Chapitre XV.
Les dispersions probables et les corrélations ^{1 a} 🔗

Au niveau préopératoire les sujets présentent à l’égard du hasard une attitude paradoxale : ils s’attendent à ce que, à conditions semblables, les phénomènes se répètent identiquement ou selon une progression, etc., puis, lorsqu’ils constatent l’existence de petites fluctuations, ils nient la conservation des quantités en jeu (matière, etc.) et concluent, d’autre part, à l’arbitraire complet des points d’arrêt :

MEY (6 ;8), pour le plan horizontal, constate que la grande boule d’aluminium s’est arrêtée en un certain point (à 20 cm) : « Et si on la relance elle arrivera où ? — Plus loin (expérience : 21 cm). — Et si tu relances encore ? — Un tout petit peu plus loin parce qu’elle a déjà été plus loin. — (Expérience 19 cm). Pourquoi elle s’est arrêtée là ? Parce que le petit drapeau (marque des arrêts) est toujours là. — Et si tu la relances ? Un peu plus loin parce qu’elle va toujours un peu plus loin. »

GROS (5 ;9), pour les liquides, prévoit que si l’on remet la boîte rouge (500 g), l’eau retournera « au même endroit » en montrant le drapeau rouge. L’eau dépassant de peu, Gros explique « parce que la boîte est plus lourde », « ça va plus », etc. On lui montre alors une série de positions en lui demandant s’il les estime possibles ou impossibles pour cette même boîte rouge : elles sont toutes possibles. De même pour les autres boîtes.

TAC (6 ;0) : « Où ira l’eau si on remet cette boîte (1 500 g) ? -Là. Elle ira où elle était avant. — Pourquoi ? — Parce que c’est la même chose. —   (Expérience : plus haut). Pourquoi ? — Parce qu’elle est plus lourde (l’eau). »

On retrouve donc ici les réactions connues des petits, qui nient le hasard, puis en présence des fluctuations croient tout possible, ou recherchent un ordre caché (action du drapeau chez Mey) : ou l’arbitraire, ou un désordre momentané masquant des raisons invisibles qu’il s’agit de deviner. Dans les deux cas, l’attitude du sujet est renforcée par son défaut de notions de conservation : la boîte peut devenir plus lourde en agissant plus vite, l’eau peut augmenter de quantité ou de poids, etc.

Dès 7-8 ans, la réaction du sujet est toute différente : non seulement il ne s’étonne pas des écarts, mais encore ses prévisions en font souvent la part (« à peu près à la même place »). Comme d’habitude, l’apparition de la notion de hasard se marque d’abord par une attitude surtout négative faite de prudence et de sentiment de la difficulté des prévisions :

BOUT (7 ;6) : « Si tu relances (la même bille sur le plan horizontal) 10 ou 20 fois ? — (Elle peut arriver) là (1,60 m), là (1,79) ou là (1,80) . Tu crois qu’elle peut arriver une fois jusqu’au bout ? — Non. »

DUB (7 ;5) : « (La bille arrivera) à peu près la même chose. — Elle peut aller jusqu’au bout ? — Non. »

Et dans le cas des liquides :

GUI (8 ;0) : « Pourquoi l’eau est montée un peu plus bas cette fois ? — Parce qu’il y a un peu d’eau qui est sortie (dans le tube du piston). — Et maintenant, pourquoi un peu plus haut ? — … (pas d’explication deux fois de suite). »

DES (8 ;0) fait d’abord l’hypothèse que les vis sont plus serrées pour expliquer les écarts en plus haut, puis « parce que j’ai déposé (la boîte) plus brusquement. »

Mais après ces réactions diffuses, marquant surtout la manière dont le sujet est dérouté par le fortuit, c’est-à-dire par ce qui résiste à ses opérations naissantes, les sujets, dès 9 ans en moyenne, ne se contentent plus de caractériser les fluctuations par la notion essentiellement négative de l’« peu près », mais cherchent à trouver des causes systématiques de fluctuations et même, quand on leur demande de prévoir le résultat de 10 50 essais successifs, à délimiter de véritables zones de dispersion.

Dans l’expérience des liquides (chap. X) on a surtout insisté sur le premier point :

BUC (8 ;5) : « Parfois ça descend plus vite, parfois moins vite. »

ZBI (9 ;4) : « Peut-être j’ai laissé tomber plus fort… Peut-être j’ai laissé tomber l’eau jusqu’ici (point de départ différent) et laissé tomber la boîte plus fort. »

Quant au plan horizontal (chap. VIII), on a posé la deuxième question :

COR (9 ans) : « Où va-t-elle arriver maintenant (grande bille d’aluminium à 36 cm) ? — La même chose, par là. — Et si on essaie 10 fois de suite, elle pourra arriver ici (1 m) ? — Non. — Et là (65 cm) ? — Oui. — (Expérience : 42, 36, 37 et 38 cm). — Peut-on dire maintenant où elle ira ? — Oui, par là (montre entre 27 et 47 cm). Elle pourrait arriver jusqu’ici (60 cm) ? — Oui, parfois. — Et là (1 m) ? — Non, entre ici et là (de 10 à 65 cm). »

WIN (9 ;8). Petite bille d’aluminium à 1,80, puis à 1,62 m : « Ça t’étonne cette différence ? Non. — Et si on la relance ? — Pas aussi loin que la première fois. (Expérience : 1,36 ; 1,51 et 1,48 m). — Et si on la lance 50 fois ? Par là (entre 1,27 et 1,95 m). »

JOS (10 ;2). Petite bille de laiton à 27 et 32 cm : « Et si tu l’envoies 50 fois ? — Il y aura de plus grands espaces entre les drapeaux. — Elle ira partout ? — Non, ici (de 20 à 40 cm).

LUC (11 ;0). Même bille : « Pas plus loin que (37 cm) et pas plus près que ça (20 cm). — Si tu lances 10 fois cette bille où est-ce le plus probable ? — Par ici (28-29 cm). — Pourquoi ? Parce que c’est à peu près le milieu. »

FRA (11 ;8) : « Si on jouait 50 fois ? — Entre 20 et 50 cm. — Comment fais-tu pour savoir ? — On voit à peu près où elle va. — Y aura-t-il des régions où il y aura plus de drapeaux ? — Oui, ici (35-40 cm) parce que si on lance régulièrement il y en aura plus au milieu que sur les bords. »

Au cours de ce sous-stade II B le hasard, d’abord conçu comme ce qui résiste aux opérations, commence donc à être assimilé à elles par la recherche des causes de fluctuations et par la détermination de l’amplitude de ces dernières : d’où la délimitation d’une zone et vers la fin du sous-stade la compréhension du fait que les écarts constitueront une courbe d’ensemble à fréquence plus grande dans la région médiane et plus faible aux extrémités. Le sujet Fra a ainsi l’intuition de la courbe de Gauss, dont nous avons étudié ailleurs la représentation aux différents niveaux d’évolution^l.

Il est en outre frappant de constater que ces sujets du niveau II B qui établissent ainsi spontanément une zone de dispersion sont ceux qui par ailleurs font intervenir d’emblée deux facteurs au moins dans les causes d’arrêt : poids et volume, ou volume et matière, etc. (voir chap. VIII, § 3). Mais comme il n’y a pas encore, à ce stade, de dissociation systématique des facteurs, on ne peut pas traduire leurs affirmations sur la causalité et sur la zone de dispersion par une structure implicite de corrélations : la dispersion est simplement due une multiplicité de causes, sans un effort pour en dégager les parts respectives.

Avec l’expérimentation active qui caractérise le stade III, le sujet est conduit à la fois à faire la part des dispersions, dont il recherche la forme, et à dégager la loi sous les variations fortuites, ce qui suppose tôt ou tard la formation d’un schème de corrélations.

Voici d’abord un cas relatif aux liquides :

BOI (14 ;6) : « Où ira l’eau ? — Au même niveau qu’avant. — (Plus haut). Que dites-vous de ça ? — Ça dépend du frottement de l’appareil. Il a peut-être frotté plus. ? — Sûr ? — Non. On peut avoir bouché en haut. Non ce serait monté moins haut ; l’air serait comprimé. — Si on la remet ? — Si l’expérience est exacte, l’eau ira au même niveau, la fois où le cylindre glisse le mieux. —   Où ça monte quand ça glisse le mieux ? — En faisant plusieurs fois le système on verra un endroit. — Si on le met 5 fois ? — On fera la moyenne entre les 5. — Quand ça glisse le mieux, c’est la moyenne ? — Ce sera le meilleur point obtenu. »

Et quelques exemples pour la bille sur le plan horizontal :

CHAP (13 ;3) : « Elle arrivera à peu près là (0,9 à 1 m). — Elle peut arriver jusque-là (1,60 m) ? — Non, parce qu’elle est trop lourde. —   Et celle-là (plus grosse et plus légère) ? — Par ici (1,50 à 1,70 m). — (Expérience : 1,60 m). — Pourquoi ? — Parce qu’elle est moins lourde que celle-là. »

RAY (14 ;6) constate une dispersion de 1,10 à 1,55 m : « Peut-être la façon de lancer diffère (il essaie de lancer avec une force constante). Je vois que c’est la force du ressort qui varie. Théoriquement ça devrait aller au même endroit. Il faudra réduire le frottement. —   Vous pouvez prouver le frottement ? — Théoriquement la petite devrait aller plus loin : la résistance de l’air fonctionne avec le volume (il confond maintenant ce facteur avec le frottement). Si on prend deux boules de même poids avec volume différent, on peut prouver que frottement joue un rôle. » Il fait

l’expérience et vérifie la chose malgré la dispersion, le nombre des cas favorables lui paraissant suffisant.

LEV (15 ;5) veut prouver le rôle du volume : « Ces deux billes ont le même poids et pas le même volume. (Expérience). Elles vont (à peu près) à la même distance et le volume ne joue pas le rôle principal. — Un petit rôle ou pas du tout ? — Il joue un petit rôle parce que la petite en bois va plus loin que la grande. » Il tient donc compte des cas favorables et défavorables (sans les calculer) malgré le faible écart. Quant à la dispersion elle est due au lancer : « Il y a des fois que je lance plus fort que d’autres. — Quelle zone ? — Ici et là (9 à 20 cm). C’est à peu près le trajet que je fais quand je lance normalement. Les exceptions vont sur les bords. Ça frotte un petit peu, on voit des traînées : c’est la preuve que ça freine. »

NIC (15 ans) veut montrer que la légère va plus loin que deux billes plus lourdes de même poids, mais il constate des fluctuations : « Mon hypothèse serait juste mais seulement avec les petits élans. — Alors l’hypothèse est fausse ? — Si mon hypothèse est fausse, alors je ne sais pas comment raisonner. Je n’ai pas pensé que les élans n’ont pas la même force. » Il maintient donc le facteur légèreté malgré l’interférence des champs de distribution.

La nouveauté de ces réponses par rapport à celles du stade II est bien claire. Les sujets du stade II, se bornant à décrire l’expérience brute par opérations concrètes, sans dissocier méthodiquement les facteurs, découvrent les fluctuations comme tout ce qui est donné dans l’expérience brute, et ils en construisent même les lois de dispersion (courbe en cloche avec fréquence maximum au milieu) ; mais ils ne font pas plus, parce qu’ils ne cherchent qu’à atteindre ce qui est, sans dissocier les facteurs du réel selon les combinaisons possibles. Les sujets du stade III, qui veulent au contraire atteindre les lois avec une dissociation précise des facteurs selon toutes les combinaisons possibles, se heurtent à la dispersion des résultats comme à un obstacle qu’il s’agit également d’analyser avec méthode. En quoi consiste alors celle-ci ?

A nous en tenir à ces réactions spontanées et sans chercher encore (comme nous le ferons tout à l’heure) à faire préciser aux sujets ce qu’ils considèrent comme des cas favorables ou des cas défavorables à une hypothèse, nous constatons que la méthode employée par les sujets nous rapproche du problème des corrélations.

Nous voyons en premier lieu que la simple statistique des cas (la détermination de la zone de dispersion avec son « milieu » à fréquence supérieure) ne suffit pas à résoudre les problèmes posés.

Ainsi Boi propose de faire la moyenne des points d’arrêt de l’eau pour juger du niveau normal pour un poids donné, mais reconnaît que cette moyenne sera distincte du « meilleur point obtenu » correspondant au cas où le cylindre glisse le mieux. Nic, surtout, qui veut prouver qu’une bille lourde va moins loin qu’une légère, se trouve en présence d’une interférence des champs de dispersion et constate que son hypothèse n’est démontrée que pour les « petits élans », c’est-à-dire pour les trajets les plus courts obtenus avec les lourdes et les légères.

Il en résulte, en second lieu, la formation d’une nouvelle attitude intellectuelle, spéciale à ce stade III : la distinction des cas favorables et des cas défavorables à l’hypothèse qu’il s’agit de vérifier et la nécessité de décider si les premiers l’emportent sur les seconds ou l’inverse. Nous voyons ainsi Ray et Nic maintenir leur hypothèse malgré les dispersions qu’ils constatent (et pour le second malgré les exceptions dues aux « grands élans »), tandis que Lev ramène le rôle du volume, qu’il voulait démontrer, aux proportions d’un petit rôle (par opposition au « rôle principal ») à cause du nombre des cas défavorables.

Il importe donc d’essayer de reconstituer les raisonnements de l’adolescent eu égard à cette question des cas favorables et défavorables ; et, de même que nous avons vu sans cesse le schème opératoire qualitatif des proportions (fondé sur les liaisons interpropositionnelles) précéder le calcul métrique de ces mêmes proportions, de même nous allons constater combien l’estimation simplement qualitative des champs de dispersion en présence rapproche le sujet du schème opératoire des corrélations.

Supposons par exemple que le sujet veuille démontrer que les billes les plus petites sont celles qui vont le plus loin. Appelons p la proposition énonçant le fait que la bille considérée est plus petite que la bille témoin et p̅ l’énoncé du fait qu’elle est plus grande ; appelons q l’énoncé du fait que la petite bille va plus loin que l’autre et q̅ l’énoncé du fait qu’elle va moins loin. La constatation des fluctuations conduit alors le sujet à admettre la vérité des 4 combinaisons possibles, soit (où * est le signe de l’« affirmation complète ») :

(1) (p . q) ⋁ (p . q̅) ⋁ (p̅ . q) ⋁ (p̅ . q̅) = (p * q)

Or, on reconnaît d’emblée dans ces 4 possibilités les 4 casiers des tables d’« associations », telles qu’elles sont utilisées dans le calcul de ces formes simplifiées de corrélations qu’on appelle les « coefficients d’association » (formules de Yule ou de Bravais-

Pearson). Dans le cas particulier, les sujets ne dénombrent pas les cas correspondant aux 4 possibilités ni ne font le calcul des rapports existant entre les nombres ainsi trouvés. Mais à défaut de cette quantification numérique, ils se livrent une quantification intensive (en > ou <) et s’en contentent. Or, cette

petite (p)

grande (p̅)

loin (q)

a = p . q

c = p̅ . q

près (q̅)

b = p . q̅

d = p̅ . q̅

quantification revient, semble-t-il, à évaluer les cas a et d de la table (soit p . q ⋁ p̅ . q̅ ainsi que les cas b et c (soit p . q̅ ⋁ p̅ . q), et à comparer les deux ensembles. En effet, les cas a + d sont les cas favorables (à l’hypothèse qu’il s’agit de vérifier) et les cas b + c sont les cas défavorables : or, c’est cette comparaison que paraissent faire les sujets précédents. On peut donc l’écrire comme suit (le symbole E représentant l’ensemble qui vérifie les propositions en jeu) :

(2) E [(p . q) ⋁ (p̅ . q̅) ≷ E [(p . q̅) v (p̅ . q)) soit (a + d) ≷ (b + c)

Il suffirait donc que, au lieu de se contenter de cette comparaison en > ou <, les sujets déterminent numériquement la différence (a + d) — (b + c) et son rapport eu égard au tout (a + d) + (b + c), pour que l’on soit en présence d’une notion explicite de corrélation. Celle-ci se constitue-t-elle réellement au cours du stade III ? Telle est la question que nous allons maintenant chercher résoudre par une méthode plus directe.

Conformément à ses réactions probabilistes habituelles, le sujet du niveau III A devient capable d’estimer des probabilités simples en tant que rapports des cas favorables positifs et des cas possibles relatifs au caractère considéré : il saura par conséquent juger des chances qu’un individu possède d’avoir des yeux bleus quand il a des cheveux blonds, en comparant le nombre des cas a au nombre des cas b ou des cas a + b. Mais il ne parvient pas encore, pour autant, à réunir l’ensemble des cas favorables positifs et négatifs (a + d ) pour les mettre en relation avec les cas défavorables (b + c) ainsi qu’avec l’ensemble de tous les cas possibles. Voici des exemples :

LYN (12 ; 4) : « Voyez-vous sur ces cartes (6, 0, 0, 6)¹ un rapport entre la couleur des cheveux et celle des yeux ? — Oui. Ceux-ci (d) ont la même couleur des yeux et des cheveux. — Mais pour tout ce groupe en général (on montre l’ensemble des cartes), y a-t-il un rapport entre les couleurs des cheveux et des yeux ? — Non. — Ici (d ) ? — Ici c’est seulement brun. — Et ici (a) ? — C’est bleu. Ils sont tous bleus. » « Et ici (6, 2, 4, 4) y a-t-il un rapport ? — Non. Oui les quatre (sous-ensembles) séparément, mais pas quand ils sont ensemble. — Pourquoi ? — Parce que quelques-uns sont jaunes (blonds) et bleus, et quelques-uns jaunes et bruns. — Et comme ça (4, 4, 4, 4) ? — On a plus de chances ici : ils sont tous de 4. Là, si on dit faux, il y en a 2 (b) tandis que ici c’est 4 et 4 (montre a et b). — Combien de chances avez-vous de trouver des cheveux blonds si vous voyez seulement des yeux bleus ? — 4 et 4 : il y a les mêmes chances (a et b). »

On lui donne toutes les cartes à classer, ce qu’elle fait immédiatement selon les 4 associations. Puis on lui demande de construire deux groupes

tels qu’on ait plus de chances dans l’un que dans l’autre de trouver un rapport entre les couleurs des cheveux et des yeux : elle donne (3, 3, 4, 4) et (3, 6, 6, 4) : « On a plus de chances ici (3, 3, 4, 4) parce qu’on a 3 et 3, et 4 et 4 tandis que là 6 et 4 et 6 et 3. » Autrement dit, tout en ayant constitué des ensembles corrects, Lyn les a construits et justifie son opinion en raisonnant par relations a/b et c/d et non pas par relations diagonales (a + d) /(b + c).

MOR (13 ; 6) en présence de l’ensemble (10, 2, 3, 9) répond qu’« on risque de se tromper » : il montre les cas défavorables b et c, mais ne calcule pas les rapports. « Et ici (12, 0, 0, 12) ? — C’est les mêmes couleurs, on ne risque pas de se tromper. — Et comme ça (8, 4, 6, 5) ? — On peut se tromper. — Que faire pour être sûr ? — (Il enlève les cas b et c). — Et si on a ces deux groupes (8, 4, 4, 8) et (11, 1, 7, 5), où est-on le plus sûr ? — Ici (11, 1, 7, 5) on a moins de chances de se tromper parce qu’il y a moins d’exceptions (il montre le rapport de a à b soit 11 à 1, mais sans s’occuper des 7 cas c). »

BON (14 ; 3) en présence de l’ensemble (5, 1, 2, 4), prétend qu’« il n’y a aucun rapport » entre les couleurs des yeux et des cheveux. « Pourquoi ? — Justement parce qu’il y a des cartes différentes (il montre b et c). — Et là (3, 0, 0, 3) ? — Oui, parce que les yeux bruns sont avec les cheveux bruns et les cheveux blonds avec les yeux bleus… Il y a un rapport maximum. — Et dans ces deux ensembles (4, 2, 2, 4) et (3, 3, 1, 5) ? — Le rapport est tout à fait nul parce qu’on a un nombre différent de gens dans chaque partie. — Mais c’est la même chose dans les deux groupes ? — Non, ici (4, 2, 2, 4) on a 4 et 4 et 2 et 2 (début de la relation en diagonale), mais là (3, 3, 1, 5) on a 3 et 3 (= a et b) c’est le même nombre de chaque côté (d’où il conclut qu’on ne peut rien prévoir). »

Ces cas suffisent à mettre en évidence les deux difficultés principales qui arrêtent les sujets du niveau III A. La premières qui est bien visible chez Lyn, est que, en présence des 4 combinaisons a (= p . q), b ( = p . q̅), c (= p̅ . q) et d (= p̅ . q̅), le sujet comprend bien qu’il y a un rapport entre les cheveux brun et les yeux bruns (d ) ou entre les cheveux blonds et les yeux bleus (a) mais il ne comprend pas que c’est le même rapport ou le rapport réciproque (p . q et p̅ . q̅) : il oppose les cas a aux cas b et les cas d aux cas c, sans voir que les cas a et d s’appuient les uns sur les autres et forment un seul tout qui est celui des cas favorables à la relation d’ensemble entre les couleurs des yeux et des cheveux.

D’où une seconde difficulté, qui procède de la même source mais qui dure davantage (cas de Mor et de Bon, qui ne présentent plus la première mais sont arrêtés par la seconde) : une fois admis que les cas a et d sont favorables à la relation cherchée et que les cas b et c sont défavorables, ils ne calculent pas le rapport des cas favorables aux cas défavorables, ou aux cas possibles

en comparant la somme (a + d ) à la somme (b + c) mais ils comparent seulement a à b et d à c, quand ils ne se bornent pas à l’un de ces couples (ab ou cd en négligeant le second) : par exemple pour les deux rapports égaux (8 + 8 contre 4 + 4 et 11 + 5 contre 1 + 7), Mor trouve plus favorable le second parce qu’il compare sans plus 1 contre 11 à 4 contre 8. De même Lyn se borne aux relations entre a et b et entre d et c.

Un aspect intéressant de ce raisonnement par relations ab ou cd et non par diagonales ad et bc est la réaction des sujets à l’égalité des cas favorables et défavorables ad = bc. Loin de comprendre qu’en un tel cas la corrélation est exactement nulle les sujets de ce niveau sont portés à y voir un cas privilégié parce qu’en raisonnant sur a et b seuls (ou d et c seuls) il y a égalité des chances positives et négatives. Ainsi Lyn préfère l’ensemble (4, 4, 4, 4) à l’ensemble (6, 2, 4, 4) parce qu’il y a « 4 et 4 : il y a les mêmes chances » ; elle en conclut aussi, et cette fois avec raison que (3, 3, 4, 4) est plus favorable que (3, 6, 6, 4, mais pour le même motif erroné qu’il y a égalité a = b et c = d ) « parce qu’on a 3 et 3 et 4 et 4 ». Seul Bon, parmi les sujets cités, comprend que dans le cas (3, 3, 1, 5) on ne peut rien tirer de a = 3 et b = 3 ( « parce que c’est le même nombre de chaque côté »), mais c’est encore en vertu d’un raisonnement portant sur a et b seuls.

Vers la fin du sous-stade III A on trouve par contre une étape intermédiaire entre III A et III B, où le sujet, tout en commençant par les mêmes genres de raisonnements, en vient peu à peu aux relations en diagonales et à la considération des probabilités combinées (a + d ) et (b + c). En voici des exemples :

BAB (14 ; 3) en présence de l’ensemble (5, 2, 1, 4) dit : « Il y a plusieurs cheveux blonds à yeux bleus, mais il y en a encore d’autres (montre dans l’ordre les cas b, d et c). — Y a-t-il un rapport ? — Il y a quand même un rapport : ceux qui ont des yeux bleus ont la plupart des cheveux blonds et ceux qui ont des yeux bruns ont la plupart des cheveux bruns. — Combien de chances y a-t-il de tomber juste ? — Dans ce groupe-là (a) 5 chances et ici (d et c) 4 chances de tomber juste et 1 de tomber faux. — Et dans l’ensemble ? — 3 chances sur 12 de tomber faux [donc (b + c) /(a + b +c + d)]… 3 chances sur 12. »

« Et ici (6, 0, 0, 6) ? — On a un nombre égal de chances… Non, toutes les chances de tomber juste. — Et là (5, 1, 3, 3) ? — Une chance sur 12 de tomber faux, non, il y a encore ceux-là (c) : non, 4 chances sur 12. — Dans lequel de ces deux groupes (5, 2, 1, 4) et (5, 1, 3, 3) a-t-on le plus de chances de tomber juste ? — C’est la même chose : 5 et 5 (compte les a) ; c’est pareil. — Et combien de chances de tomber faux ? — 3 chances sur 12 et 4 chances sur 12. »

Et dans ces deux groupes (4, 2, 2, 4) et (3, 3, 1, 5) ? — (Il classe les cartes, puis compare les cas a entre eux et les cas d entre eux, puis compte le tout) : 4 sur 12 de tomber faux ici et là ! » On lui demande enfin de construire un ensemble tel qu’on ne puisse rien prévoir : il construit (1, 1, 1, 1), puis (2, 2, 2, 2), etc. comprenant ainsi qu’il y a en de tels cas corrélation nulle.

VEC (14 ; 6) classe correctement l’ensemble (5, 1, 2, 4) : « Y a-t-il un rapport ? — Pas spécialement : il y a ceux-là (il met de côté des a et les d). — Pour qu’il y ait un rapport que faut-il éliminer ? (Il montre b et c). Il ne peut y avoir une loi que dans certaines proportions. — Lesquelles ? — Il y a une moitié, non 2/6 et 4/6 (calcule c sur c + d, et d sur c+ d) et dans les yeux bleus 5/6 et 1/6 (il calcule a sur a+b, et b sur a+b). — Mais si tu considères tout le groupe ? — A peu près les 9/10, non les 9/12 qui sont à peu près dans la loi et les 3/12 qui sont en dehors de la loi. »

« Et comme ça (6, 0, 0, 6) ? — La loi est exacte : il n’y a point d’exceptions. — Et ici (4, 2, 3, 3) ? — Là la proportion est assez faible, c’est à peu près moitié-moitié. — Exactement ? — 7/12 dans la règle et 5/12 exceptions. — Peut-on parler de loi ? — Moins. Pour les cheveux bruns on ne peut pas parler de loi : c’est moitié-moitié. Pour les cheveux blonds, ça va mieux. — Et ensemble ? — On peut en parler mais ce n’est pas très régulier. »

On demande un groupe à relation nulle : il construit aussitôt (3, 3, 3, 3) : « Ça s’annule. On ne peut pas parler de loi : 3/6 qui sont dans la règle et 3/6 qui en sortent pour les cheveux bruns et pour les cheveux blonds. »

On fait enfin comparer les ensembles (4, 2, 2, 4) et (3, 3, 1, 5) : il compare d’abord a à (a + b) et d à (c + d). « Mais dans l’ensemble ? — Il y en a 4/12 qui sont hors la loi et 8/12 qui sont dans la loi. Ça revient au même. Ça serait la même chose dans l’ensemble. »

On voit le grand progrès accompli depuis les débuts du niveau III A. Si Bab commence par raisonner sur les yeux bleus (a) indépendamment des bruns (cas d) il en vient rapidement à comprendre (ce que Vec saisit déjà immédiatement) que les cas a et d forment un seul tout favorable à une même loi, par opposition aux cas b et c. D’autre part, il subsiste une tendance plus ou moins forte à raisonner sur les cas a et b isolément ou d et c isolément (voir le calcul de Vec pour l’ensemble initial 5, 1, 2, 4), mais, dès que l’on fait appel à la totalité des cas possibles, ces sujets de niveau intermédiaire en arrivent à comparer les cas (a + d ) réunis aux cas (b + c) ou (a + b + c + d ), ce qui marque le début de l’idée de corrélation proprement dites. Le propre des sujets du niveau III B sera d’en arriver d’emblée et spontanément à ce calcul d’ensemble.

Nous avons trouvé dès l’âge de 10 ; 4 des sujets exceptionnels réagissant selon le schéma final du niveau III B, mais c’est habituellement vers 14-15 ans que ces cas présentent une fréquence suffisante pour caractériser un stade. En voici deux exemples :

DAN (14 ; 0) classe l’ensemble (5, 1, 2, 4) : « Si vous regardez les cheveux, pouvez-vous trouver la couleur des yeux ? — C’est sûr… Il y a des exceptions, mais elles sont rares : 3 exceptions sur 9 naturels. Dans un tel cas on dit qu’il n’y a pas de loi absolue, mais une loi certaine. — Et ici (3, 0, 0, 3). — Ici c’est une loi absolue. — Et là (4, 2, 3, 3) ? — Les exceptions sont rares par rapport au nombre (des cas favorables). — C’est pareil au premier groupe ? — Non, les exceptions sont moins rares : avant c’était 3 sur 9, ici c’est 5 sur 7. » On lui demande un cas de relation nulle : il donne (1, 1, 1, 1). Puis on lui fait comparer (4, 2, 2, 4) à (3, 3, 1, 5) : « Il y a plus de chances de tomber juste ici (second groupe). Non, c’est exactement la même chose. » On lui fait enfin constituer un groupe où il y ait plus d’irrégularités que dans l’autre : il construit alors une corrélation inverse (1, 2, 2, 1) et (1, 1, 1, 3) : « Là c’est 2 (favorables) et 4 (défavorables), ici c’est 4 (favorables) et 2 (défavorables). »

COG (15 ; 2). Ensemble (5, 1, 2, 4) : « Les personnes qui ont des cheveux bruns ont la plupart des yeux bruns et celles qui ont des cheveux blonds ont la plupart des yeux bleus. — Quel est le rapport ? — Pas maximum mais pas faible… 9 personnes sur 12 ont des cheveux qui tirent sur la même teinte (que les yeux). — Et (6, 0, 0, 6) ? — C’est le maximum. — Et un groupe où il n’y ait pas de rapport ? — Alors il faut mélanger (il fait 1, 1, 1, 1). — Et comparez ces deux groupes (4, 2, 2, 4) et (3, 3, 1, 5). — Les rapports sont égaux : il y a le même nombre de cartes ( !). — Vous avez compté ? — Oui, dans les deux groupes il y a 8/12 (favorables) et 4/12 (défavorables). — Quelle est la bonne manière pour voir s’il y a rapport ? — Il faut comparer (a) et (d) avec (b) et (c) (il décrit les 4 combinaisons en les groupant ainsi par diagonales). »

On discerne aisément dans ces réactions du niveau III B, la notion qualitative des corrélations que nous annoncions au début de cette section II. En premier lieu le sujet reconnaît d’emblée, après avoir classé lui-même les 4 possibilités selon le schéma (p . q) ∨ (p . q̅) ∨ (p̅ . q) ∨ (p̅ . q̅), (prop. 1) que les cas a (= p . q) et d (= p̅ . q̅) sont liés entre eux (couleur des cheveux correspondant à celle des yeux), mais par un lien de réciprocité et non pas d’identité (la réciprocité étant ici comme toujours,

le même rapport mais en négatif : blond × bleu et pas blond × pas bleu) :

(4) p̅ . q̅ = R (p . q)

D’où l’équivalence (qui ne signifie pas non plus l’identité mais la correspondance réciproque nécessaire) :

(5) (p = q) = (p . q) ∨ (p̅ . q̅)

Ces deux prop. (4) et (5) définissent ainsi, aux yeux du sujet, les caractères propres aux cas favorables à la loi. En effet, la prop. (5) énonce la loi (correspondance entre p qui affirme la présence des yeux bleus et q celle des cheveux blonds ou entre p̅ qui affirme la présence des yeux bruns et q̅ celle des cheveux bruns), tandis que la prop. (4) énonce la relation unissant les deux couples de caractères qui interviennent dans la loi.

De même le sujet comprend la réciprocité entre les cas b (= p . q̅) et c (= p̅ . q) :

(6) p̅ . q = R (p . q̅)

D’où l’équivalence négative¹ propre aux cas b et c :

(7) (p = q̅) = (p . q̅) ∨ (p̅ . q) où (p = q̅) = (p ∨∨ q) (exclusion réciproque de p et de q).

Mais ce que comprend aussi immédiatement le sujet, c’est que les cas b et c constituent l’inverse des cas a et d, c’est-à-dire l’ensemble des cas défavorables :

(8) (p = q̅) = (p ∨∨ q) = [(p . q̅) ∨ (p̅ . q)] donc (p ∨∨ q) = N (p = q).

En d’autres termes, sitôt comprise la réciprocité entre les cas favorables a et d (soit p . q ∨ p̅ . q̅), le sujet comprend celle des cas défavorables b et c et le rapport d’inversion (prop. 8) existant entre les deux classes ainsi caractérisées. Le sujet du niveau III B raisonne ainsi dès le départ selon les diagonales et cherche les rapports numériques entre les ensembles a + d, vérifiant la prop. (4), les ensembles (b + c), vérifiant la prop. (6), et l’ensemble des cas possibles. Or, à cet égard, la nouveauté de ces cas francs du niveau III B par rapport aux cas intermédiaires (Bab et Vec au § 4) est que, au lieu de chercher les rapports (a + d)/(a + b + c + d ) et (b + c)/(a + b + c + d ) le sujet met directement

en relation les cas (a + d) avec les cas (b + c) pour juger du degré de corrélation. Ainsi Dan compare 3 (b + c) à 9 (a + d ) et 5 (b + c) à 7 (a + d ) pour juger que la première corrélation est meilleure et Cog dit explicitement : « Il faut comparer (a + d ) avec (b + c). » Il en résulte la découverte des trois cas suivants (si E est l’ensemble vérifiant les propositions considérées) :

(9) E [(p . q) ∨ (p̅ . q̅)] = E [(p . q̅ ∨ p̅ . q)] = corrélation nulle

C’est ce que Dan et Cog comprennent en construisant les ensembles (1, 1, 1, 1), etc., jugés correspondant à un rapport nul.

(10) E [(p . q) ∨ (p̅ . q̅)] > E [(p . q̅ ∨ p̅ . q)] = corrélation positive d’autant plus forte que l’inégalité est plus grande

C’est ce qu’expriment les sujets en comparant deux distributions pour juger de leurs corrélations respectives inégales ou égales.

(11) E [(p . q) ∨ (p̅ . q̅)] < E [(p . q̅ ∨ p̅ . q)] = corrélation négative

C’est ce qu’entrevoit Dan à la fin de son interrogation.

Comme ces différences entre les deux ensembles E [(p . q) ∨ (p̅ . q̅)] et E [(p . q̅) ∨ (p̅ . q)] sont en outre toujours évaluées relativement au nombre total des cas possibles, il n’est donc pas exagéré de considérer ces sujets comme utilisant les diverses liaisons en jeu dans la prop. (3), c’est-à-dire comme possédant une notion implicite de la corrélation.