Chapitre premier.
Les changements de direction d’une boule heurtant une paroi ^a 🔗

Le problème avait déjà été étudié par B. Inhelder et l’un de nous¹, mais dans le seul but d’analyser l’induction progressive de la loi de l’égalité des angles d’incidence et de réflexion, tandis que nous aimerions atteindre ici l’explication causale de cette dernière.

Le dispositif consistera en un grand plateau carré d’environ 80 cm de côté, pourvu de rebords perpendiculaires de 2,5 cm de hauteur, avec une ouverture suffisante au coin gauche inférieur pour pouvoir placer et faire tourner à volonté des deux côtés un propulseur tubulaire à ressort de 20 cm de long. Ce « canon » n’est pas fixé, comme dans la recherche citée, mais placé en diverses positions par l’expérimentateur ou par l’enfant et il projette une bille contre les parois du billard (sans butoir en caoutchouc). Nous avons néanmoins débuté, sur quelques sujets, par l’emploi d’un canon fixé (ce qui sera désigné sous le terme de « technique I »).

On commence par faire anticiper le trajet de la bille depuis la sortie du canon, en priant le sujet de marquer cette trajectoire sur le plateau au moyen d’une série de jetons. On précise la méthode qu’a utilisée le sujet pour prévoir cet itinéraire : prolongement de la direction du canon ou visée sur un point choisi au préalable, etc. On examine également de près le caractère courbe ou rectiligne de cette trajectoire et si elle est formée de droites on demande pourquoi. On fait prévoir enfin ce qui se passe par rapport aux rebords du plateau : évitements (en cas de courbes), contacts, arrêts, ricochets, etc. Si l’arrêt contre le bord n’est pas prévu, on demande pourquoi il n’a pas lieu, pourquoi la bille continue et change de direction, etc. Nouvelles explications après constatations, puis on fait viser un plot qu’il s’agit d’atteindre après ricochet contre une paroi.

A un niveau IA (4-6 ans), les trajectoires prévues ne prolongent pas la direction du canon et sont courbes, de manière à éviter les bords et à ne pas conduire à des arrêts. Au niveau IB, la trajectoire du mouvement d’incidence prolonge en ligne droite la direction du canon, mais il n’y a toujours pas de réflexion, faute d’attribuer aux parois un rôle « médiat » dans la transmission des poussées : au point d’impact la bille s’arrête, retourne au canon ou suit le bord touché sans relation avec le mouvement d’incidence.

Au niveau IIA, il y a enfin réflexion proprement dite et orientée du côté opposé à celui de l’incidence, ce qui constitue un début de symétrie, mais relative à la seule orientation glo-

(^x) B. Inhelder et J. Piaget, De la logique de l’enfant à la logique de l’adolescent, chap. I^er.

baie, sans détermination des degrés d’inclinaison. Au niveau IIB, par contre, il y a mise en relation entre les inclinaisons, c’est-à- dire covariation entre les directions des mouvements d’incidence et de réflexion. Au stade III enfin, on obtient une égalité des angles d’incidences et de réflexion et un début d’interprétation par actions et réactions.

Le critère de ce niveau est donc que le sujet non seulement néglige la direction de la lancée, mais encore n’aboutit qu’à des trajectoires courbes :

Xan (4 ;6) : « Dessine-moi le chemin que va faire la bille. — (Elle dessine un trajet partant à 60° environ par rapport à l’axe du canon et faisant une grande courbe autour du billard sans toucher les bords). — Maintenant montre avec le doigt. — Elle va sortir par ici et elle va rouler (indique trois trajets possibles, le premier comme son dessin, le second étant un raccourci du premier et le troisième avec courbe sortant à 90° du canon et se dirigeant vers le bas du billard). Elle va aller jusqu’au bord (3^e courbe). — Elle ne va pas plus loin ? — Elle ne peut pas parce qu’il y a le bord, ça empêche de rouler. » Le canon est placé maintenant à 45° du bord gauche du billard, visant le bord supérieur ; Xan rapproche le canon du bord gauche (20° environ) et dit :« Parce que de là (montre le bout du canon) ça peut venir jusque-là (angle inférieur à droite du billard, donc à peu près la diagonale par rapport au prolongement du canon, et elle dessine une courbe très irrégulière menant à cet angle). — Il n’y a pas d’autres chemins ? — Oui (second trajet courbe menant au même point). — Est-ce qu’il n’y a pas un chemin qu’elle doit faire (accentuation) ? — Elle peut faire n’importe lequel. — On peut le savoir d’avance ? — Non, parce qu’il y a plusieurs chemins qu’elle peut faire. » On passe à l’épreuve du plot, situé au centre du billard. Xan vise le bord supérieur et dessine un chemin menant à peu près en ligne droite (mais à 90° du canon) qui rejoint le plot. « Il y a d’autres chemins qu’elle peut faire ? — Oui, comme ça (deux détours aboutissant au plot). — Et comme ça (on montre la droite menant au bord supérieur et une déviation vers le plot) ? — Non, parce qu’elle n’arrive pas à faire le tour (= la réflexion exacte !). Si elle ne vient pas au bord c’est plus juste. — Pourquoi pas ? — Elle peut aussi faire ça (arrivée de la bille au bord supérieur qu’elle suit jusqu’au-dessus du plot et tournant brusque pour rejoindre celui-ci). — Pourquoi elle tourne comme ça ? — Parce qu’elle va essayer de descendre. — Elle va arriver comme ça ? — Sais pas. Elle peut prendre tous les chemins. — Lequel est le plus facile ? — C’est tout droit (= montre une belle courbe !). »

Fas (5 ;4), pour un canon visant du bas du côté gauche le premier tiers du côté supérieur du billard, montre le tiers supérieur du côté de droite.

a Pourquoi ? — Parce que la bille va passer. On tire. — Qu’est-ce que tu as fait ? — Le chemin de la bille. —   Comment va-t-elle là ? — Elle tourne. — Mais le tout premier chemin de la bille depuis le canon ? — Là (moitié droite du côté supérieur). — Pourquoi ? — Parce que la bille elle va sortir. C’est le chemin. — (Dessine où elle est en premier). — (Elle redonne le haut du côté de droite). » On présente alors trois chemins attribués à des camarades en demandant lequel est le plus juste : (a) un chemin courbe partant à gauche, (b) le chemin droit correct et (c) un chemin courbe partant à droite : Fas choisit sans hésiter le troisième : « C’est le juste ? — Oui. —   La bille peut faire d’autres chemins ou c’est le seul ? — C’est le seul. —   Regarde (on le fait). Tu peux dessiner le chemin qu’elle a fait. — (Elle dessine un chemin en S qui aboutit bien au point du côté de droite atteint par la bille après réflexion sur le côté supérieur, mais l’atteint par en bas sans souci de la réflexion). — C’est juste. C’est comme ça qu’elle a fait ? — Oui. — Regarde encore. — (Nouveau dessin qui, cette fois, se rapproche du côté supérieur, mais par une courbe qui l’évite de près). Elle a tourné. Comment elle a pu tourner ? — … » Enfin, on obtient un dessin qui atteint l’angle supérieur de droite du billard, donc après une courbe et qui suit le côté de droite jusqu’au but atteint.

Bur (5 ;0) donne pour la position initiale du canon un chemin en méandres qui fait le tour du billard en évitant soigneusement les bords. « Elle s’arrête ici ? — Peut-être. Elle veut peut-être aller ailleurs. — Pourquoi ? — Parce qu’elle roule. — Pourquoi quand elle est là (près d’un bord) elle ne va pas au bord ? — • Elle peut. — Où ira-t-elle après ? — Là (près du bord). — Qu’est-ce qu’elle fait au bord ? — Elle saute. —   Pourquoi ? — Parce qu’elle roule bien (ce n’est donc pas une réflexion mais un évitement !). — (On met le canon au coin gauche inférieur, face au premier tiers du côté supérieur). — Elle tourne (dessin d’une sorte de spirale). — Si on met deux fois de suite une bille dans le canon elles font le même chemin ? — Elles vont un autre chemin. — Et si on remet la même bille, elle arrive au même endroit ? — Non. — Regarde bien ce qu’elle va faire (quatre tirs de suite, on l’arrête au bas du côté de droite après réflexion sur le côté supérieur). — (Elle dessine une courbe arrivant au bon endroit sans toucher les bords). — Elle a fait chaque fois le même chemin ? — Non, c’était très différent. »

Tor (5 ;0, techn. I) dessine une belle courbe menant du canon au bas du côté de droite, mais ce n’est pas une prévision du résultat de la réflexion, car le point d’arrivée est le même en changeant l’orientation du canon. On pose un plot qui peut être atteint par réflexion : « Elle va pouvoir toucher ce plot ? — Je crois que oui, comme ça (courbe rejoignant le plot). — Et si on le met là (près du canon à sa droite) ? — Non, parce qu’il est tout en bas. — (On remet le plot et on modifie la direction du canon : même dessin). — Elle ne change pas de chemin, la bille si on bouge le canon ? — C’est la même chose. — Elle va toujours au même endroit ? — Oui, oui, parce qu’il est là (le plot). — (On met le plot vers le haut, facile à atteindre par une réflexion). Ça peut toucher le plot ? — Je crois que non. — Et si on bouge le canon ? — (Tor l’ajuste correctement pour le rejoindre sans réflexion, et dessine une ligne droite du canon au plot, ce qui la fait passer momenta-

nément au niveau IB qu’elle atteindra à 5 ;3, voir § 3, mais la suite montre un recul). — Et si le plot n’est plus là ? — (Tor dessine un autre trajet, cette fois courbe). — S’il y a pas le plot, elle va passer par là. — Il y a deux trajets ? — Oui. — Et quand il n’y a pas le plot elle peut aller par les deux chemins ? — Oui. — Comment on sait où elle ira ? — • … »

Mar (6 ;3, techn. I) : « Elle va tourner (le trajet évite le bord supérieur et aboutit assez loin du point exact en décrivant un début de spirale). — Elle touche là (butée) ? — Non. — (On change la position du canon en le redressant). — Qu’est-ce qu’elle fait en sortant du canon ? — (Il fait à nouveau un tracé en spirale mais en renversant la courbure). — C’est le même chemin mais à l’envers. — (On remet le canon face à la butée). — Et comme ça ? — Elle va aller là (butée) et fait le tour (dessin qui se rapproche du bord, le longe un peu et fait un vaste cercle pour revenir près de la sortie du canon). — Et si on met un plot là, la bille peut le toucher (non possible) ? — Oui (dessin en courbe). Elle va continuer là (courbe arbitraire). — Et s’il n’y a pas de plot ? — (Chemin différent). »

Pit (7 ;0, techn. I) malgré son âge donne encore des courbes arbitraires. « Et quand elle arrive là (butoir) ? — Elle va ici mais pas tout près parce qu’elle fait le tour (l’évite). Si elle fait un accident (si elle le touche) elle va rentrer (rebondissement, donc proche du stade II). » Avec le plot : courbe arbitraire avec départ à 80° par rapport au canon.

Ces réactions initiales soulèvent de nombreux problèmes. Le premier est de comprendre pourquoi la trajectoire ne part pas en une ligne droite prolongeant l’axe du canon, alors que dans le choc des boules étudié avec R. Maier (voir le chap. II) la direction de la poussée est à ce niveau entièrement subordonnée à celle du lancement (ce qui signifie qu’une boule frappée de côté part en ligne droite en prolongement du mouvement de lancée de la bille active). La réponse est évidemment que de lancer une boule à la main est une action propre dont la direction donne lieu à une prise de conscience, tandis que la lancée par le moyen d’un canon ne conduit pas, à moins d’exercices préalables, à une détermination de la direction.

Mais ensuite, la trajectoire des billes présente deux caractères dont il s’agit d’établir le rapport : elles peuvent aller n’importe où sans régularité, puisqu’elles « roulent » (du fait qu’une sphère n’a pas de direction) et qu’elles sont en bonne partie animées, et elles décrivent des courbes de manière à éviter soigneusement les bords. Le premier de ces deux caractères va d’ailleurs de soi si les trajets ne sont pas déterminés par la position des canons. Quant au second, la question est

d’établir si c’est par une sorte d’intention arbitraire et animiste que les billes évitent les bords ou s’il y a à cela une raison systématique, d’aspect dynamique aussi bien que finaliste : or cette raison existe et est que le choc contre les bords arrêterait le mouvement de la bille. « Ça empêche de rouler », dit ainsi Xan du bord, et « si elle fait un accident (c’est-à-dire justement touche le bord), elle va rentrer », déclare Pit. Nous verrons au paragraphe suivant Tor préciser encore plus clairement : « si elle touche (le bord), ça veut dire qu’elle veut s’arrêter », et si elle fait une courbe pour l’éviter « ça veut dire qu’elle veut continuer ». En d’autres termes, les sujets de ce niveau, n’ayant encore aucun sens de la direction (en dehors de celles des actions propres) et ne tenant même aucun compte de l’orientation du canon, ne peuvent alors concevoir le choc contre une paroi immobile que comme une cause d’arrêt : d’où le remplacement des réflexions par des courbes évitant ces chocs inhibiteurs.

Le finalisme implicite de cette interprétation se retrouve dans les réactions au plot : la bille le rejoint facilement par des courbes quelconques (et naturellement sans réflexion), en se bornant à le viser et, si on l’enlève, elle suit un autre chemin puisque son mouvement n’est plus subordonné à ce but.

Il va de soi que l’ensemble de ces réactions témoigne en outre d’une absence complète de transitivité. Mais réservons la discussion de ce point jusqu’au niveau IB, qui marque un progrès notable dans la détermination des directions.

Les sujets du niveau IB parviennent à prévoir des trajets initialement rectilignes et prolongeant l’axe longitudinal du canon, mais sans en arriver pour autant à des réflexions. On trouve en outre, entre les niveaux IA et IB, des réactions intermédiaires consistant à prévoir des droites mais ne prolongeant pas l’axe du canon. En voici deux exemples :

Orl (5 ;6) débute par une courbe, comme au niveau IA, mais qui rejoint le bord supérieur du billard (beaucoup trop à gauche). « Et là elle va s’arrêter ? — Oui. —   Elle va ailleurs ? — Oui. —   Tu peux mettre encore des jetons. — (Cette fois la courbe arrive au même point mais se prolonge en

droites qui suivent le bord supérieur, le bord de droite et les deux tiers du bord inférieur du billard). — (On change la position et l’orientation du canon). — Elle ira là (montre à peu près juste sur le bord supérieur, le canon étant sur le bord inférieur, mais sans indiquer le trajet intermédiaire). — Mais une fois qu’elle sort du canon ? — (Courbe vers le bord de gauche qu’elle suit ainsi qu’ensuite le bord supérieur). — Regarde maintenant comment fait la bille (constatation). — (Il dessine un trajet rectiligne mais faisant 45° avec l’axe du canon, et avec une réflexion correcte contre le bord supérieur mais beaucoup trop à droite). — Et si je recommence ça fera le même chemin ? — Non. »

Ros (6 ;0), le canon étant placé sur le bord de gauche et visant le premier tiers du bord supérieur, dessine une trajectoire à peu près rectiligne mais à 45° de l’axe du canon et aboutissant à l’angle supérieur de droite du billard, pour suivre le bord de droite, puis le bord inférieur pour revenir près de la bouche du canon. — (On redresse le canon en visant le tout début du bord supérieur). « Et comme ça ? — (Même dessin et même retour, mais avec départ à 80° environ par rapport à l’axe). » Avec le plot, mêmes départs en ligne droite, à 45°, suivis de courbes pour rejoindre le plot. Constatations : dessins arbitraires mais avec réflexion ! « La bille doit toujours revenir comme ça ? — Elle peut toucher le bord. — Elle doit toujours faire ce chemin ? — Non, elle peut faire un autre chemin (elle dessine un trajet courbe qui évite le bord et la réflexion). »

Voici maintenant deux cas francs du niveau IB, à commencer par Tor (voir § 2) que l’on a revue à 5 ;3 avec le nouveau billard (elle avait déjà fourni une ligne droite à un moment donné de la première interrogation, mais sans s’y tenir ensuite comme ce sera à peu près constant durant la seconde) :

Tor (5 ;3). Canon sur le bord inférieur visant le premier tiers du bord supérieur : Tor dessine un chemin à peu près rectiligne prolongeant à peu près l’axe longitudinal du canon, puis un changement net de direction près du bord supérieur. « Je pense qu’elle va s’arrêter là-bas (tout près du bord supérieur) et revenir ici (retour un peu moins droit vers l’angle inférieur de droite). — Est-ce qu’elle touche le bord là (en haut) ? — Non, elle ne le touche pas. — Pourquoi ? — Je dis qu’elle touche après (elle prolonge alors le trajet le long du bord inférieur avec remontée brusque au point d’arrivée initial près du bord supérieur). Elle tourne et puis après elle touche. — Pourquoi elle ne touche pas (la première fois) ? — Je ne sais pas, mais je sais qu’elle va tourner. Si elle touche ça veut dire qu’elle veut s’arrêter. — Et si elle ne touche pas ? — Ça veut dire qu’elle veut continuer (d’où la dissociation étrange des deux phases du dessin : d’abord sans contact avec le bord pour qu’elle puisse continuer, puis avec contact et arrêt, puisque Tor prévoyait bien qu’elle doit toucher le bord à un moment ou un autre). — Et si je tire avec le même canon cette même bille, elle fera le même chemin ? — On va voir si elle veut s’arrêter ou continuer. — On peut savoir ?

— Oui je peux savoir. Je pense qu’elle va s’arrêter. Non je crois qu’elle va tourner sans toucher. — Et si on tire très fort ? — (Tor fournit alors un admirable dessin montrant que) si on tire pas très fort elle va jusqu’ici (1), si on tire plus fort elle va ici (2 où elle tourne aussi) et si on tire plus fort elle va là (3 où elle s’arrête alors). — Et comment elle fait pour tourner (en 2) ? — Si elle veut se retourner, eh ! bien… » On change alors le canon de place en l’orientant vers le dernier quart à droite du côté supérieur ; Tor a, en ce cas, une réaction curieuse qui se maintiendra jusqu’aux constatations : elle fait partir la bille à 90° sur un très petit parcours de manière à donner ensuite une trajectoire rectiligne qui rejoigne à peu près le point

d’arrivée initial. « Oui elle va tourner comme ça. — Comment ? — Je pense parce que… » Constatation :« Elle touche (le bord) là et puis là », et elle dessine une réflexion vers le bas.

Dag (5 ;0, techn. I) donne le seul exemple d’un début de réflexion observé à ce stade, mais très momentané et sous la forme d’un simple rebondissement. Pour le canon orienté à 45° du bord supérieur et à extrémité très proche de celui-ci, Dag prévoit en effet un aller et retour : « Elle va au bois (bord de bois) et elle va retourner dedans (le canon) et sortir par le trou où on l’a mise (entrée du canon et non pas sa sortie). — (On déplace le canon vers la droite). — Elle tourne et s’arrête (dessin de droites orientées d’abord vers l’angle supérieur de droite en prolongeant au départ l’axe du canon mais avec incurvation ensuite, puis longeant les bords de droite et du bas). — (On met un plot). — La bille va faire comme ça parce qu’il y a un petit trou (ligne droite jusqu’au plot, mais à partir de l’entrée du canon et non pas de sa sortie qui est orientée vers le bord supérieur !). » On montre enfin un trajet avec réflexion : Dag dessine une ligne droite correcte du canon au bord supérieur, puis un trajet qui suit les bords (à droite, à la descente et à gauche).

Deux mois plus tard, on revoit Dag à 5 ;2 avec le nouveau billard. Il prévoit correctement le point d’arrivée des billes contre les bords, et en lignes droites prolongeant l’axe de lancée du canon (et en positions variées),

mais au lieu de réflexions il prévoit constamment que la bille suivra les bords depuis là : « Quand elle tape, elle suit le bord. — Elle peut faire comme ça (courbure comme au niveau IA) ? — Non, c’est faux. » On lui montre trois fois de suite une réflexion : il commence par dessiner un trajet qui suit le bord frappé puis un retour parallèle à l’allée, et donne enfin un dessin correct.

Les deux problèmes que soulève ce niveau IB sont d’expliquer les progrès dans la détermination des directions et le fait qu’ils ne suffisent pas à assurer la découverte de la réflexion, malgré le remplacement presque complet des courbes par des droites.

Le progrès des directions est évidemment à mettre en relation avec les améliorations auxquelles on assiste à ce niveau dans l’interprétation des poussées sous leur forme immédiate (vol. XXVII). En ce cas, le mouvement de la bille est moins conçu comme dû à des forces internes animistes et davantage subordonné à la poussée exercée par le canon, malgré le caractère peu visible du ressort : bien qu’elle « roule » parce que ronde, la bille ne va plus alors n’importe où mais selon les lignes droites que lui imprime la poussée, et c’est déjà le cas chez les sujets intermédiaires Orl et Ros. Le progrès suivant (cas francs du niveau IB) est alors de tenir compte de l’orientation du canon, c’est-à-dire de comprendre que, si c’est lui qui pousse la bille et est seul responsable de son mouvement, il ne la pousse pas n’importe où, mais selon sa propre position : dès lors, la trajectoire initiale ne sera plus seulement une droite, mais encore une droite prolongeant l’axe rectiligne du canon lui- même, par assimilation entre la direction des poussées et celle des lancements.

Mais alors pourquoi ces découvertes ne suffisent-elles pas à assurer celle de la réflexion contre les parois ? Pour cette raison bien simple que la paroi n’est pas encore conçue comme un organe de transmission assurant par sa médiation, donc de façon « médiate », le lien entre la première partie de la trajectoire, due à la poussée par le canon, et la seconde partie après changement de direction : la paroi n’est encore, en effet, qu’ou bien un obstacle, ou bien la source d’une nouvelle action sans rapport avec la précédente.

Chez Tor, la paroi n’est toujours qu’un obstacle, d’où ses déclarations si claires sur le bord qui « arrête » et la courbure

qui permet de « continuer » et d’où son étrange dessin où la bille commence par frôler le bord sans le toucher pour « continuer » sa marche et finit par y revenir et le toucher avec l’arrêt puisqu’il faut qu’elle y arrive ! Mais ce ne sont là que des résidus du niveau IA et au point de vue logique Tor aurait dû, en découvrant les trajectoires en général droites, éviter les courbures et passer à la seconde solution. Celle-ci est représentée par Orl, Ros et surtout Dag, pour lesquels il y a choc contre la paroi, mais celle-ci devenant alors la source d’une nouvelle action sans relation avec la poussée initiale, et d’une nouvelle trajectoire ne prolongeant pas le trajet du début (du canon à la paroi) : en effet, ayant rejoint les bords, la bille ne fait plus alors que de suivre ceux-ci, l’action des parois se substituant à celle du canon ou se la subordonnant entièrement.

En un mot, ce qui manque aux sujets du niveau IB, c’est la notion de la paroi en tant que chaînon transmettant la poussée entre la première et la seconde parties du mouvement, et jouant ainsi un rôle médiat en tant que « repoussée », sans constituer une source indépendante d’action. Ce qui manque est donc la transitivité, assurant la réflexion dans la mesure où la phase C de la trajectoire (direction modifiée) garderait sa continuité avec la phase A (produit direct de la poussée) par l’intermédiaire d’un choc B qui modifie bien sa direction, mais en fonction de la direction d’arrivée (incidence) et non pas de façon radicalement nouvelle.

Les sujets du stade II comprennent la réflexion, mais au niveau IIA sans parvenir à la loi de l’égalité des angles d’incidence et de réflexion (ce qui n’est atteint qu’au stade III) ni même les covariations entre deux (niveau IIB). Voici des exemples, à commencer par deux cas intermédiaires entre les stades I et II (dont le premier suppose un rebondissement simple avec retour sur le même trajet comme Dag au début de son interrogation) (§ 3) :

Ber (7 ;2). Canon orienté vers les deux tiers du bord supérieur : « Elle va aller là (exact). Elle se tape là-dedans. —   Et après ? — Elle roule un peu. — Comment ? — En arrière (trajet inverse). » On modifie les directions :

mêmes réactions : « Tu es sûr ? — Non. —   Alors ? — Comme ça (retour mais avec léger écart de 10° environ). — Et si on met un plot ici (à droite, accessible par réflexion), c’est possible qu’elle l’attrape ? — Non, parce qu’elle va droit, la bille. —   Et puis quand elle a tapé là ? — Alors elle retourne, elle tape et ça fait reculer (trajet inverse). — (On suggère le trajet par réflexion, qu’il semble accepter, puis on modifie la direction du canon). — Elle tape sur le bout de bois et elle recule (trajet inverse comme avant). » Plusieurs réactions semblables. On passe enfin aux constatations : il dessine alors le trajet exact avant l’impact, puis la bille suit un moment le bord et repart dans l’autre direction avec angle trop faible.

Mer (7 ;7) pour un canon orienté vers les deux tiers du bord supérieur débute encore par un trajet légèrement incurvé qui atteint le coin de droite en haut, puis suit le bord de droite et le quitte pour revenir obliquement vers le bas : « Pourquoi ça (dernier segment) ? — Parce qu’elle a changé de chemin. — Qu’est-ce qui l’a fait changer de chemin ? — C’est le coin. » Nouvelle position (vers le milieu du bord supérieur). — (Le chemin se dirige à nouveau vers le coin de droite en haut, puis suit le bord supérieur et redescend vers le canon). On déplace celui-ci vers la droite : cette fois Mer dessine une droite correcte jusqu’au bord supérieur et une réflexion à peu près exacte : « La bille peut aller en virage ? — Oui, il faut d’abord qu’elle tape sur quelque chose. » Mais ensuite, la bille vient frapper le bord inférieur et rebondit trois fois en retombant plus à droite pour remonter enfin : « Elle tourne n’importe comment. — Pourquoi ? — Parce qu’elle est ronde. » Après que Mer ait prévu une réflexion correcte, on passe aux constatations, qu’il traduit par des dessins exacts.

Voici maintenant des cas francs du niveau IIA :

Vin (6 ;10) donne, dès la première prévision, un dessin correct qui semble même conforme à la loi de l’égalité des deux angles, mais lorsqu’on incline le canon plus à droite, Vin donne le même angle et quand on le remet dans la position initiale l’angle de réflexion est cette fois bien supérieur à celui d’incidence. « Et si on met un plot là, la bille va le toucher ? — Peut-être parce qu’elle (re)bondit là. — Des enfants m’ont dit que quand elle tape le bord la bille rentre ensuite dans le canon. C’est juste ? — Sais pas. » Il prévoit que non pour des inclinaisons notables, mais que « Ça va rentrer » pour une inclinaison de 20° environ. On met le plot près du canon : « La bille ira comme ça (trop à droite), mais elle ne touche pas. »

StÉ (7 ;7) prétend n’avoir aucune idée sur le chemin que va suivre la bille. Elle dessine néanmoins, pour un canon dirigé près de l’angle supérieur de droite, un chemin qui« est droit (mais arrive un peu en dessous du coin). — C’est tout ? — Elle a tapé là et quand elle a tapé elle retourne (mais elle indique une réflexion de sens correct, avec angle trop petit par rapport à celui d’incidence). — Elle pourrait aussi revenir par là (autre côté, même angle) ? — Oui quelquefois comme ça. — Il pourrait y avoir un autre chemin ? — (Elle fait un second chemin plus correct, arrivant à gauche du coin). — Et puis là, qu’est-ce qu’elle fait ? — Elle retourne d’un côté ou de l’autre

(deux réflexions symétriques). — Il n’y a pas d’autres chemins ? — Oui, tout droit (dessine cette fois l’arrivée correcte). Il est au milieu (= dans l’axe du canon). — Regarde ces trois dessins (trajet juste, les autres trop à gauche ou à droite), lequel est le juste ? — Celui-là (juste), parce qu’elle sort comme ça. — Mais les autres sont possibles ? — Là (le juste) elle va fort et là et là tranquillement ». Après quoi, elle marque les réflexions correspondant aux trois chemins : les trois sont orientées du bon côté (inverse). Pour les autres positions du canon, elle dessine des trajets d’aller très corrects (axe du canon) et les deux réflexions symétriques qu’elle croit possibles. Constatations : « Ça dépend comme on la lance (allusion à la force suffisante). »

Bab (8 ;10) commence par une ligne bien droite prolongeant le canon et touchant l’endroit correct du bord supérieur, mais indique encore une seconde partie du trajet le long de ce bord. « Pourquoi elle suit le bord ? — Elle pourrait aussi partir comme ça (réflexion à peu près exacte). — Et là (arrivée à la paroi de droite après la première réflexion) ? — Elle suivra le bord (de droite jusqu’en bas). — Est-ce que deux billes feront le même chemin ? — Elles peuvent faire les deux les mêmes chemins ou des chemins différents. » Canon dirigé vers le premier quart du bord supérieur : dessin correct avec angle de réflexion à peine trop grand. « Elle pourrait faire d’autres chemins ? ■— Oui aussi par ici (angle de réflexion plus que double du premier). — Elle pourrait faire des virages ? — Je ne sais pas. — (Constatations). — Elle va en lignes droites. Elle fait des tours (deux puis trois réflexions correctement reproduites dans les dessins). — Comment ça se fait que la bille change de direction ? — Elle se cogne contre un mur, il fait changer de direction. »

Cri (8 ;6). Canon dirigé non loin de l’angle supérieur de droite : « Ça tape contre là (à peu près juste) et après ça rebondit, elle retape de nouveau (l’autre côté de l’angle) et après elle continue son chemin, puis elle s’arrête parce qu’elle n’a plus d’élan. — Pourquoi ? — Là elle doit aller vers le rebord, puis elle tourne un peu, s’il y a beaucoup d’élan. — Pourquoi elle tourne ? — Parce quelle a tapé. S’il y a beaucoup d’élan, elle repart parce qu’elle tape fort, le choc la fait revenir en arrière (avec écart de 90° environ), elle a tapé fort et il lui faut repartir. — Que fait le bois (ou le rebord) ? ■— • Il fait repartir la bille, il fait arrêter la bille d’aller dans une certaine direction et elle repart dans une autre. — On peut savoir où elle va toucher ? — Oui, le canon la jette dans cette direction et elle continue. — Et quand elle arrive au rebord ? — Je ne sais pas ce qui se passe exactement, mais elle va aller dans une autre direction. — Et le bois que fait-il ? — Il la fait repartir dans l’autre sens (opposé) ; il ne fait rien, c’est la bille qui fait…, mais non, il arrête la bille et la fait repartir… Non, c’est pas le bois, c’est parce que la bille tape contre le bois. » Autre prévision : pour un plus faible angle d’incidence, les réflexions sont à peu près les mêmes, et les trajets légèrement courbes mais avant l’impact « l’élan ça la fait aller droit ».

Mic (8 ;9) :« Elle va taper très fort et revenir en arrière (= autre direction avec 70° environ d’écart : il met ses jetons). Ici (après rebondissement)

elle va lentement. — Pourquoi ? — Elle est allée très fort contre le bois, et après elle s’arrête un peu et va plus lentement. — Elle fera le chemin que tu as fait ? ■— Elle peut faire autrement. Le chemin est un peu courbe selon les endroits (a marqué une courbe locale après l’impact puis un redressement). — Pourquoi c’est courbe ici ? — Parce qu’elle va plus lentement, elle a perdu de sa force. » Mais après le redressement, le trajet tourne avec retour parallèle à l’aller, quoique à bonne distance : « Pourquoi elle revient ici ? — Elle tape tellement fort qu’elle revient après. — Pourquoi elle va comme ça (aller) ? — Parce que ça (canon) est dans la direction que j’ai montrée. S’il était comme ça (plus incliné), elle ira comme ça (juste). — Pourquoi ce chemin est droit (avant l’impact) ? — Parce que là on a donné de la force, ça va tout droit et quand elle s’arrête contre le bois (et repart) elle n’a plus d’élan. — On peut savoir où la bille va aller ? — Une fois que ça a tapé on ne peut plus savoir, ce n’est pas possible. — Pourquoi ? — Le bois la rejette, comme s’il y avait un ressort dedans, dans le bois. » Nouvelle position : Mic fait d’abord partir la bille du même côté que celui de l’incidence, puis dans le côté opposé, mais de nouveau avec retour parallèle au lancement après une courbure qui vient elle-même après le ricochet contre la paroi (mais avec un angle à peu près correct). — Le dessin marque les deux directions à gauche ou droite de l’impact : « Il y a deux chemins possibles, dans un sens ou dans l’autre. — Tu peux savoir ? — ■ Je ne peux pas savoir : la bille va tout droit vers le bois et ensuite elle ne part pas toujours dans la même direction, ça dépend aussi si je tape fort ou pas. » Mais le dessin insiste sur la bonne direction (celle où on « tape fort ») et se borne à esquisser comme « possible » celle où le mouvement de réflexion part du côté de l’incidence. Expérience qu’il répète plusieurs fois : « C’est toujours dans la même direction (= du même côté), parce que c’est une force. »

Kat (9 ;10) : « Elle tape la barre, ça lui donne une pression et après elle continue tout droit, mais dans une autre direction. » Kat indique d’abord un trajet le long de la paroi, puis un angle correct mais avec ensuite une continuation courbe revenant dans la direction du canon et enfin un trajet perpendiculaire à la paroi heurtée : « C’est le bord, ça l’arrête. Si elle va fort elle va contre et ça lui donne de l’élan. — A quoi sert le bord ? — A l’arrêter et à lui donner de l’élan. Ah ! non, c’est une contradiction. Mais quand même le bord l’arrête d’aller plus loin : elle revient, elle reprend de l’élan et le bord la fait aller jusqu’au bas (côté opposé avec départ perpendiculaire). — Tu peux savoir où la bille va toucher quand elle sort du canon ? — Oui, le canon donne la direction, ça va dans la même ligne droite que le canon. L’élan la fait aller droit, l’élan ne peut pas la faire aller tout biscornu. — Et là (bord) ? — Elle perd de l’élan mais le bord lui en donne un tout petit peu, non il la pousse dans une autre direction et ça a tendance à revenir en arrière, »

La nouveauté propre à ces réponses est donc que le choc contre la paroi n’est plus cause ou d’arrêt ou de subordination entière à celle-ci (encore que les dessins de Mer et de Bab se bornent encore par moments à faire suivre par la bille le

bord touché par elle), mais qu’il est produit un changement de direction dépendant à la fois de l’orientation de cette paroi et de l’orientation du mouvement antérieur à ce choc : d’une part, en effet, « le mur fait changer de direction », comme dit Bab, mais, d’autre part, « ça dépend comme on lance la bille », comme le souligne Sté. La paroi joue donc dorénavant le rôle d’un moyen terme dans la succession des mouvements, mais d’un moyen terme ne transmettant pas sans plus le mouvement qu’il a reçu et le transformant au contraire en son symétrique. Néanmoins, on est en présence d’une transitivité que l’on peut formuler comme suit. Dans le cas de la transmission médiate du mouvement M, telle qu’elle a été étudiée au volume XXVII, on a :

P -> M ; TP ->M’ d’où M’ = TM (1)

où P est la poussée initiale, TP la transmission de cette poussée, M’ le mouvement provoqué par TP : la conclusion est alors l’identité qualitative de M’ et de M en tant que mouvement transmis TM.

Dans le cas du choc contre la paroi, on a par contre :

P -> I ; SP -> R d’où R = SI (2)

où P est la poussée initiale (canon lançant la bille), I le mouvement d’incidence contre la paroi, SP le symétrique de la poussée (donc la repoussée), R le mouvement réfléchi et la conclusion est que celui-ci est le symétrique de I.

Seulement la symétrie reliant le mouvement réfléchi à celui de l’incidence peut comporter des degrés bien distincts et pour l’instant (niveau IIA) il ne s’agit que de ceci. Divisons le plan du billard en deux parties (égales ou inégales) en fonction du point d’impact et de la perpendiculaire à la paroi touchée. Appelons a la partie comprenant le canon et le mouvement d’incidence jusqu’au point d’impact et appelons a’ la partie située de l’autre côté de la perpendiculaire issue de ce point. Ce que comprennent les sujets du niveau IIA est alors simplement que si l’incidence se produit en a le mouvement réfléchi s’orientera du côté opposé a’ et ne reviendra pas en a. Or c’est là un début de symétrie, bien qu’elle concerne uniquement les orientations globales et ne comporte encore rien de plus.

En effet, si c’est là un tournant appréciable, à mettre en

liaison avec ce que nous savons des débuts de la transitivité causale vers 7-8 ans, il ne marque encore qu’un progrès très restreint par rapport à tout ce qu’il entraînera dans la suite. Au stade III vers 12-13 ans, cette symétrie deviendra quantitative sous la forme de l’égalité des angles d’incidence et de réflexion et nous sommes naturellement encore très loin de là au niveau IIA. Au niveau IIB, la symétrie se marquera déjà par la découverte de covariations (par correspondances sériales) entre les modifications de l’incidence et de la réflexion, mais les sujets du niveau IIA n’y parviennent pas non plus. Par contre, s’il est impossible de parler déjà de quantification des angles au présent niveau, la symétrie naissante se marque de façon assez nette dans l’orientation des réflexions qui partent presque toujours des côtés opposés à celui de l’incidence. On dira que c’est bien naturel puisque, en fait, cela revient à établir une continuité entre la direction du lancement (entre le canon et la paroi) et celle de la réflexion, mais c’est justement cette continuité qui est nouvelle par opposition aux réactions consistant à prévoir un arrêt ou une simple subordination à la direction de la paroi.

Plusieurs exceptions à cette symétrie naissante sont cependant à noter. C’est d’abord celle du cas intermédiaire Ber qui croit à un simple rebondissement avec retour sur le même trajet, mais ce n’est là qu’un résidu des croyances du niveau IB (cf. Dag au § 3). L’autre est celle de Sté qui prévoit d’abord correctement le départ de la réflexion R du côté opposé à l’arrivée de l’incidence I, mais Sté, alors soumise à une question suggestive, admet jusqu’à la fin la possibilité d’une réflexion du mauvais côté. C’est ensuite le cas de Mic qui hésite entre les deux directions. C’est enfin la tendance momentanée de Kat à marquer un retour dans la direction du canon, mais après une réflexion bien orientée. Cependant, ces exceptions, à part le cas intermédiaire de Ber, ne sont qu’apparentes du point de vue de la transitivité naissante, car, on le verra tout à l’heure, la direction change en cas d’affaiblissement de l’élan : lorsqu’il y a conservation suffisante de la force de poussée initiale, la réflexion se fait bien du côté opposé à l’incidence et c’est en cas de perte de l’élan que la bille se dirige du mauvais côté (Sté et Mic) ou revient finalement vers le canon (Kat). Mic qui a hésité entre les deux côtés possibles conclut, lors de la constata-

tion : « C’est toujours dans la même direction (du même côté) parce que c’est une force », donc parce que l’élan conservé est suffisant pour continuer le mouvement du côté symétrique à celui de l’incidence… A part ces exceptions, qui ne demeurent donc qu’apparentes, nous assistons à une anticipation correcte de la dépendance entre la direction de la réflexion et celle de l’incidence, du moins tôt après l’impact, et c’est bien là la marque de la transitivité indiquée sous (2), quoique la symétrie R = SI en reste donc à cette approximation encore grossière de la simple prévision d’un départ de la bille du côté opposé à celui de l’incidence.

A noter maintenant le rôle de la force de la lancée, qui pour Sté peut modifier quelque peu la direction, comme nous l’avions souvent remarqué jadis avec B. Inbelder : dans leur effort pour atteindre un objectif après ricochet, plusieurs sujets admettaient par exemple qu’en tirant plus fort ils agrandiraient l’angle compris entre les lignes de l’incidence et de la réflexion. Il faut d’abord relever à cet égard que, si la direction du lancement à partir du canon avec incidence contre la paroi est tenue par chacun de ces sujets comme univoquement déterminée par l’orientation du canon (ce qui était déjà le cas au niveau IB), la direction de la réflexion à partir du point d’impact est par contre conçue par chacun également comme sujette à variations possibles pour une même ligne d’incidence : Vin prévoit des angles différents, Sté et Bab déclarent explicitement que la bille peut se diriger « quelquefois » ailleurs ou que deux billes successives en même situation de départ « peuvent faire le même chemin ou des chemins différents ». Mer dit que la bille (à la fin de son trajet) « tourne n’importe comment parce qu’elle est ronde », et que sa forme ne comporte donc pas d’orientation privilégiée. Mais si Sté attribue ces changements de direction aux variations de la force de lancée, Cri, Mic et Kat à 8-9 ans encore vont beaucoup plus loin (sans doute parce que l’on ne pensait pas encore à cette hypothèse en interrogeant les plus jeunes) : ils ne se bornent pas à invoquer ces variations dynamiques pour expliquer celles de la direction, et reviennent à l’idée de trajectoires en partie courbes lorsque 1’« élan » s’affaiblit. Au niveau IA, les trajectoires courbes avaient un tout autre sens et n’étaient destinées qu’à éviter les rebords conçus comme causes d’arrêt. A ce

niveau IIA, par contre, la bille avance en ligne droite dans la mesure où elle est lancée fort : « l’élan ça fait aller droit », dit ainsi Cri, ou « l’élan la fait aller droit, l’élan ne peut pas la faire aller tout biscornu » (Kat). Réciproquement, lorsque l’élan faiblit « le chemin est un peu courbe selon les endroits parce qu’elle va plus lentement, elle a perdu sa force », dit ainsi Mic et cela explique du même coup les variations de la ligne de réflexion si l’élan se perd à l’impact : « Quand elle s’arrête contre le bois elle n’a plus d’élan… une fois que ça a tapé on ne peut plus savoir (où elle va) ce n’est pas possible. »

Cette subordination de la direction et même de la rectilinéarité à la force de lancée est intéressante à deux points de vue. En premier lieu, elle explique le faible rôle attribué aux directions (dans presque toutes les recherches) au cours du sous-stade IIA, puisque celles-ci dépendent des intensités initiales sans conservation inertiale. On en comprend d’ailleurs bien les raisons. De façon générale, le mouvement et la force sont encore indifférenciés au niveau IIA : d’où l’idée que celle-ci peut modifier la direction de celui-là. Quant au détail des observables physiques, un mobile n’avance en ligne droite indépendamment de sa vitesse que sur une surface à la fois plane et horizontale, tandis que lancé en l’air (en hauteur ou devant soi) il ne conserve une trajectoire rectiligne que momentanément et en fonction d’une certaine force, de même que s’il roule obliquement par rapport à la pente sur un plan incliné (sans parler des surfaces non entièrement planes qui abondent dans l’expérience courante) ; chez les jeunes sujets, il s’y ajoute l’idée qu’un mobile sphérique ne comporte pas d’orientation privilégiée (contrairement à une flèche, etc.), et se mettra donc à divaguer s’il perd son élan, à la manière d’un personnage flânant de gauche et de droite lorsqu’il cesse d’être pressé. Certes, l’absence de système de coordonnées (débutant vers 9 ans) joue un rôle dans cette négligence partielle des directions, mais, même si les structures logico-mathématiques sont dues aux actions du sujet sans être extraites de l’objet, il est clair que ces actions du sujet peuvent être sollicitées plus ou moins tôt selon les besoins d’adaptation aux situations physiques. Or la direction de la lancée ne pose pas de problème puisque prolongeant simplement celle du propulseur, tandis que la direction de la poussée ou repoussée après l’impact en

soulèverait un, car, une fois admis que la réflexion s’oriente du côté inverse à celui de l’incidence (seule conquête de ce niveau), il reste à préciser la direction exacte : mais si celle-ci dépend avant tout de la force de lancement et que cette dernière s’affaiblit à l’impact et sans qu’on puisse savoir de combien, le problème est alors conçu comme insoluble et perd donc son intérêt.

La seconde signification essentielle de ces faits est de nous confirmer la difficulté si générale à ce niveau de coordonner la direction du lancement (entre le propulseur et l’objet touché) et celle de la poussée ou de la repoussée (poussée du mobile actif A contre un mobile passif B touché de côté, cf. chap. II et VI, ou contre une paroi, comme ici, qui le repousse en une direction nouvelle). Le problème ainsi soulevé est celui du degré d’autonomie de l’objet touché et, dans le cas particulier où il s’agit d’une paroi immobile avec simple déviation de la bille, cette question nous ramène à celle de la transmission médiate (bien qu’il n’y ait qu’un mobile, mais alors la média- teté porte sur les deux directions après et avant l’impact) et de la transitivité.

Voyons d’abord ce que les sujets pensent du rôle de ce rebord. « Il fait changer de direction », dit simplement Bab, et c’est l’opinion générale. Mais comment procède-t-il ? C’est ici que nous assistons aux hésitations les plus instructives entre l’idée d’une source causale propre à la paroi (et point de départ des futures « réactions ») et l’hypothèse que tout est dû à la bille qui la frappe. Pour Cri celle-ci « tourne un peu, s’il y a beaucoup d’élan, parce qu’elle a tapé. Le choc la fait revenir en arrière (de côté) ». Mais, d’autre part, à la question suggestive de ce que « fait » le bois, Cri répond « il la fait repartir » atténué aussitôt en « il la fait arrêter d’aller dans une certaine direction et elle repart ». A ce point, Cri prend conscience du problème et dit prudemment « je ne sens pas ce qui se passe exactement », mais se lance dans une série d’affirmations contradictoires : « Il fait repartir dans l’autre sens ; (non) il ne fait rien, c’est la bille qui fait… mais non, il arrête la bille et la fait repartir… non, ce n’est pas le bois (la paroi), c’est parce que la bille tape contre le bois. » Chez Kat, la contradiction est même avouée : « C’est le bord qui l’arrête ; si elle va fort elle va contre et ça lui donne de l’élan… (le bord sert) à l’arrêter et à lui donner de l’élan. Ah ! non, c’est une contradiction.

Mais quand même le bord l’arrête… elle reprend de l’élan et le bord la fait aller jusqu’en bas. » La synthèse entre les idées que la paroi donne de l’élan ou que la bille en « reprend » à son contact est alors trouvée dans l’identification (naturelle, à ce qu’on a vu plus haut) entre l’élan et la direction : la bille « perd de l’élan mais le bord lui en donne un tout petit peu, non il la pousse dans une autre direction ». Mic enfin admet les deux forces : d’une part « le bois la rejette (la bille) comme s’il y avait un ressort dedans », mais, d’autre part, « ça dépend aussi si je tape fort ou pas » (cette force assurant la direction du bon côté si elle est suffisante ou du même côté que celui de l’incidence, si elle est trop faible). Il y a là une ébauche de l’action et la réaction, sauf que le « ressort » de la paroi peut projeter la bille n’importe où et que la direction finale dépend de la force du lancement.

En un mot, et c’est ce qui nous importe le plus pour l’instant, le rebord n’est plus un simple obstacle que la bille doit éviter (niveau IA), ou qui la renvoie vers le canon lorsqu’elle n’est pas obligée de suivre la paroi touchée (niveau IB) : cette paroi acquiert un pouvoir d’intermédiaire nécessaire en tant que transformateur de direction entre le mouvement d’incidence et celui de réflexion. Cette médiateté, comme dans le cas des transmissions semi-internes du stade II, n’est d’ailleurs encore que très incomplète et n’assure la transitivité que dans le choix du côté où le mouvement se continuera : côté opposé à celui de l’incidence et qui prolonge donc en un sens très global la direction du lancement au lieu de revenir à sa source. Mais, si inachevée que soit cette symétrie, sur laquelle porte ici la transitivité naissante, elle est au point de départ de deux développements essentiels : une symétrie progressive des incidences et des réflexions aboutissant au stade III à l’égalité des angles, et une symétrie des transmissions comme telles aboutissant au même stade III aux notions d’action et de réaction.

Le principal progrès accompli à ce niveau IIB est que la symétrique de l’incidence, soit SI (prop. 2 du § 4) ne porte plus simplement sur le côté où va s’engager la bille (côté R opposé

à C), à condition qu’elle soit lancée assez fort, mais (le choix de ce côté étant dorénavant général indépendamment de l’intensité) sur la direction de la réflexion R qui est comprise comme covariant avec celle de la direction I : c’est donc presque l’égalité des angles d’incidence et de réflexion (sauf la quantification même des deux angles). Il s’agira donc de chercher ce qui permet ce progrès : la construction des systèmes de coordonnées (vers 9 ans), des raisons physiques ou les deux.

Kar (9 ;6) avec l’ancienne technique portant sur l’induction¹ : « Plus je mets le tuyau dans ce sens (à gauche vers le haut) et plus la bille viendra comme ça (angle de plus en plus aigu) et plus je le mets comme ça (incliné sur la droite), plus elle ira comme ça (angle obtus croissant). » Kar va même jusqu’à découvrir que le canon perpendiculaire au côté supérieur renverra la bille à son orifice, ce qui n’est pas le retour indifférent à la direction que nous avons observé au niveau IB, mais la compréhension de l’angle zéro.

Mos (9 ;8) donne même des réflexions variant avec l’incidence. « Quand elle tape contre le bord, ça la projette parce quelle tape fort. —   Que fait le bord ? — Il ne bouge pas. Mais quand la bille tape, elle pousse contre le bord et le bord la fait repartir… Quand on tape fort sur la bille, elle va fort contre le mur : vous voyez c’est un peu élastique, donc elle repart. — Qu’est-ce qui est un peu élastique ? — La bille un peu, ça fait un peu comme un élastique, elle tape fort, le bois la projette et la bille revient en arrière (= dans l’autre sens). — Comment va la bille du canon au bord ? — En ligne droite parce qu’il n’y a rien qui la fait tourner. — Il y a des petits qui croient qu’elle peut tourner. — Non elle ne peut pas : elle ne peut rien faire (que d’aller droit), elle ne rencontre rien. »

Nik (9 ;3) :« Si la bille ne se cogne pas contre le bout de bois, elle ne peut pas tourner. Il l’arrête, mais elle ne s’arrête pas… Il retient la bille et ensuite elle repart dans une autre direction. » Variations de R en fonction de I avec corrections jusqu’à égalité approximative des angles.

Met (10 ;4) :« Le bord il est là, il la fait dévier, il la pousse dans une autre direction. — Comment ? — C’est-à-dire quelle arrive contre le bois, elle frappe fort, le bord l’arrête et, parce qu’elle frappe, il la dévie dans une autre direction. »

A lire ces propos sur le rôle de la paroi de réflexion, on a presque l’impression d’un recul par excès de simplification, eu égard aux hypothèses contradictoires du niveau IIA sur les parts respectives de la bille et du rebord dans les ricochets de la première. Mais c’est que, pour ces sujets, la direction de la trajectoire de réflexion n’est plus sujette à variations, mais

P) Inhelder et Piaget, loc. cit., p. 10.

dépend régulièrement de l’orientation de l’incidence : par un jeu de correspondances sériales que décrit bien Kar, plus l’incidence I est inclinée plus la réflexion R l’est symétriquement, etc. En ces conditions, le rôle de la paroi se simplifie notablement (en l’absence d’une notion de réaction non encore constituée) : il n’est plus d’affaiblir ou de renforcer l’élan de la bille, mais simplement de la repousser ou de la « projeter » (Mos) sous la forme d’un changement de direction. A cela Mos ajoute l’élasticité, mais seulement « un peu comme » si, et attribuée à la bille pour expliquer qu’elle ne s’arrête pas. D’autre part, les relations entre la continuation des trajets en ligne droite et les changements de direction ne sont plus ici attribuées à des variations d’élan¹, mais essentiellement à l’absence ou à la présence de quelque butoir qui puisse « faire tourner » la bille (Mos et Nik). En un mot, la fonction de médiateté ou de transitivité de la paroi s’est précisée du niveau IIA à ce niveau IIB : transformatrice de direction, cette paroi n’assure plus seulement le renversement du côté où s’engage la bille en R par rapport à I, mais une symétrie relative ou qualitative (non encore quantifiée en angles) entre les inclinaisons de R et de I.

Cela dit, est-ce parce que ces sujets de 9-10 ans sont devenus capables d’utiliser des systèmes de référence ou de coordonnées qu’ils ont fait de tels progrès de nature directionnelle ou sont-ce leurs progrès prévectionnels, mais dans le domaine dynamique, qui les amène à construire ces systèmes de référence géométriques ? Avant de pouvoir nous prononcer, il est utile d’examiner encore des cas du stade III et les intermédiaires entre IIB et III.

Les deux caractéristiques de ce dernier niveau sont le début des notions d’action et de réaction et l’égalité quantitative des angles d’incidence et de réflexion. Voici des exemples à commencer par des cas intermédiaires.

C) L’hypothèse est d’ailleurs loin d’être rejetée d’un bloc (et ceci est utile à noter), puisqu’on la retrouve jusqu’aux débuts du stade III (voir Rec au § 6), mais elle est progressivement écartée en raison des symétries entre I et R.

Rec (10 ;0) :« La bille part du mur chaque fois différemment, elle va chaque fois un peu plus ou un peu moins (de côté) selon qu’on tire (ici ou là). La bille part de côté, c’est le mur qui la fait rebondir. — Il fait quelque chose ? — Oui, on ne le voit pas mais il fait quelque chose et c’est la bille qui rebondit. — Comment est ce trajet ? — Elle va droite, c’est une ligne droite parce que c’est la vitesse¹. Si je vais doucement… non, elle va quand même droit ! Elle va droit parce quelle est lourde et parce que c’est plat, elle fait autre chose si c’est pas plat, c’est les bosses qui la font aller dans une autre direction. »

Boc (10 ;8) : « Le rebord la pousse contre ici. — Il la pousse ? — Ce n’est pas exactement qu’il la pousse. Quand elle va contre quelque chose c’est comme un ressort qui butera contre quelque chose. Il y a tellement de pression que quand ça bute, ça se repousse. —   Que fait le bois ? — C’est pas qu’il fait grand-chose, mais il sert à arrêter, à pousser, à repousser. Ce n’est pas tant des vibrations quand on pousse, mais ça fait peut-être un peu élastique ; pas élastique quand on touche, mais élastique avec les deux choses quand ils se rencontrent et que ça repousse un peu les choses. — Et si je pousse avec mon stylo ? — Non, il faut que ça ait de la pression ; si on touche doucement, le mur ne pousse pas. S’il y a beaucoup de pression, le mur il pousse fort. S’il y a un peu moyen de pression, il ne pousse qu’un peu moyen. Comme ça (stylo) s’il n’y a presque pas de pression il ne pousse rien du tout, n

Aug (11 ;3) débute (avec l’ancienne technique d’induction) par découvrir les covariations entre l’incidence et la réflexion : « Qu’as-tu pensé ? — Il faut que l’angle soit la même chose ici qu’ici. » II montre l’angle entre les trajets d’incidence puis de réflexion et le côté correspondant du billard, donc les angles complémentaires à ceux que font les trajets par rapport à leur médiane.

Lev (13 ;2) découvre qu’il faut viser le rebord « le plus près du milieu possible » entre le canon et le plot, et après quelques réussites : « Les deux angles ici doivent être égaux (angles situés entre les trajectoires et leur médiane). »

Cette analyse, destinée à compléter du point de vue causal notre ancienne recherche avec B. Inhelder, confirme tout d’abord deux résultats essentiels du point de vue de la constitution des structures prévectorielles. Le premier est que, aux niveaux IA et encore souvent IB, les trajectoires du lancement sont prévues courbes, bien que la bille sorte d’un canon recti-

P) Cette hypothèse momentanée de Rec se retrouve encore à 14 ;8 chez Bon (voir Inheldeb et Piaget, loc. cit., p. 12).

ligne de 20 cm. Ces formes curvilignes du lancement disparaissent au stade II, mais on trouve encore au niveau IIA des parties courbes quant aux trajectoires issues de la réflexion. Le second fait frappant est que, jusqu’au niveau IIA inclusivement, l’enfant admet que la direction de la réflexion sera modifiée par la force du lancement, la grandeur de l’angle de réflexion augmentant avec cette force et certains sujets croyant même qu’un ralentissement de la bille après l’impact engendre un trajet courbe.

De tels faits, et surtout la subordination de la direction à l’intensité, expliquent alors le défaut si systématique de composition des directions que l’on observe au sous-stade IIA. En certaines situations, comme c’est le cas de celle qui est étudiée ici ou du choc des boules du chapitre II et de la poussée des plaquettes ou des tiges (chap. V à VII), on assiste par contre au niveau IIB à un progrès dans les solutions ou dans la conscience des problèmes, parce qu’il s’agit alors des directions des mouvements successifs (avant et après un choc ou une poussée), et non pas de la composition de forces agissant simultanément. Dans ces cas de progrès au niveau IIB et surtout dans la présente situation, deux sortes de facteurs peuvent être invoqués et il s’agit de trouver leurs relations : le facteur dynamique en jeu dans l’action de la paroi de réflexion et le facteur géométrique tenant à l’élaboration des systèmes de coordonnées.

Pour ce qui est du dynamisme, la paroi n’est au stade I qu’un obstacle à éviter parce que cause d’arrêt ou que source de retour renvoyant le mobile vers le canon. Au niveau IIA en liaison avec la transitivité naissante, elle devient un opérateur modifiant la direction, mais seulement en l’orientant (et encore en cas d’élan suffisant) du côté opposé à celui de l’incidence, sans mise en relation des inclinaisons de celle-ci et de la réflexion. La raison de cette lacune est que, d’une part, la direction du mouvement réfléchi dépend de l’élan de la bille lors de l’incidence et que, d’autre part, la paroi elle-même agit de façon comparable à un processus de déclenchement, mais demeurant essentiellement équivoque et oscillant entre deux pôles : ou bien la bille « reprend de l’élan » contre la paroi si celle-ci a tendance à l’arrêter, ou bien la paroi elle-même joue le rôle d’une sorte de « ressort ». En aucun de ces deux cas,

le choc contre la paroi ne peut donc déterminer univoquement la direction en tant que degré d’inclinaison (angle), seul étant prévisible le côté où s’oriente la bille en continuant son mouvement de lancement (donc le côté opposé). La nouveauté dynamique propre au niveau IIB, en attendant les notions d’action et de réaction du stade III et en continuant de faire de la paroi un transformateur de direction, est d’y voir essentiellement un intermédiaire reliant le mouvement réfléchi à celui de l’incidence, ce qui constitue un progrès dans la transitivité et dans la symétrie, et une incitation à chercher les covariations entre les deux mouvements ou les dépendances du second par rapport au premier. En effet, le progrès consiste en ceci que, au lieu de mettre l’accent sur les forces respectives de la bille et de la paroi, le sujet considère dorénavant le canon, le mouvement d’incidence, le changement dû à la paroi et le mouvement de réflexion comme une série homogène dont les variables principales directement observables deviennent de ce fait les deux mouvements d’incidence et de réflexion, la paroi ne jouant plus qu’un rôle de médiateur transformant l’un dans l’autre et cessant de constituer une sorte d’antagoniste du canon. C’est alors, et en fonction de cette transitivité dynamique accrue, que se pose pour le sujet la question du détail des directions (inclinaisons), car si l’intensité de la force après l’impact se borne à conserver celle d’avant l’impact, les covariations entre les deux mouvements successifs d’incidence et de réflexion seront de plus en plus de nature directionnelle.

Or, cette transformation du système dynamique coïncide avec la construction des systèmes géométriques de référence, de même que nous verrons ailleurs l’horizontalité de l’eau (en tant que prévision spatiale correcte) coïncider avec son explication par le poids et la descente. La question est alors de trouver la relation entre les deux. Il est clair, tout d’abord, que la situation physique ne suffit pas à engendrer le système géométrique de références, puisque celui-ci suppose une activité du sujet et l’emploi d’opérations (qui généralisent celles de la mesure). Par contre, la compréhension (et même l’enregistrement en tant que simple lecture) de la situation physique suppose l’intervention du cadre géométrique qui, à cet égard, pourrait paraître préalable puisqu’il est nécessaire à la mise en relations directionnelles des mouvements d’incidence et de

réflexion. Mais il est, d’autre part, clair que les références géométriques ne suffisent pas à la compréhension ni même à la découverte des liaisons physiques, qui supposent, comme on l’a vu, une certaine continuité dynamique entre ces mouvements d’incidence et de réflexion, ainsi qu’une certaine interprétation du rôle médiateur de la paroi. Par ailleurs, on comprend mal, à s’en tenir aux opérations proprement géométriques, pourquoi les systèmes de coordonnées se constituent vers 9 ans et non pas plus tôt ou plus tard : or, expliquer les vitesses ou les dates chronologiques de leur formation semble devoir impliquer l’intervention de certains besoins extérieurs au système (car les besoins de cohérence interne, etc., devraient, s’ils étaient seuls en jeu, aboutir à une évolution plus rapide), et ces besoins externes ne peuvent être que physiques.

En un mot l’hypothèse générale pourrait être que, dans le développement mental comme dans l’histoire des sciences, l’explication physique soulève sans cesse de nouveaux problèmes (sans être naturellement la seule à le faire) et qu’alors la construction d’opérations logico-mathématiques nouvelles est de ce fait sollicitée et aboutit à l’élaboration des instruments nécessaires à leur solution. Or, nous avons vu qu’au niveau IIA l’interprétation dynamique donnée aux relations entre les mouvements d’incidence et de réflexion empêchait de conférer une signification aux questions de direction (sauf en ce qui concerne le côté où s’engage la trajectoire de réflexion), tandis qu’au niveau IIB la question prend un sens. Ce n’est donc pas par hasard que s’élabore à ce niveau le système géométrique indispensable à sa solution.

Mais le problème se pose naturellement alors de comprendre comment le besoin (du côté physique) d’instruments mathématiques nouveaux peut être satisfait et pourquoi ceux-ci sont adéquats à la réalité physique correspondante. La première de ces deux questions est facile à résoudre. La différence essentielle entre les systèmes de coordonnées et les opérations antérieures (mesures à une, deux ou trois dimensions) est, en effet, qu’ils sont de caractère interfigural, en opposition par exemple avec les relations de perpendicularité, qui, sous leur forme élémentaire, demeurent intra figurales¹ : or, l’effort, qui débute au

(^x) Cf. les dessins de cheminée sur un toit incliné où la cheminée n’est pas verticale, ce qui supposerait des références extérieures au toit, mais sont à 90° par rapport à celui-ci.

niveau IIB, de comparaison des incidences et des réflexions en dépassent les simples considérations de forces, comporte précisément des mises en relation interfigurales dont la motivation physique entraîne un exercice géométrique (de même que dans le problème de l’horizontalité, ce peut être le recours aux notions physiques de descente et de poids qui conduit à chercher des références interfigurales, tandis que l’explication par la forme du bocal demeure intrafigurale). De façon générale, on peut dire que tout progrès dans l’explication causale provoque la mise en œuvre d’activités du sujet qui comportent des composantes logico-mathématiques, d’où un progrès géométrique corrélatif.

Quant à savoir pourquoi ces opérations du sujet sont en accord avec les lois physiques de la réalité, c’est que l’organisme du sujet fait partie du monde physique dont il subit les lois, et que la construction des opérations procède par abstractions réfléchissantes à partir d’activités sensori-motrices dont la source est organique. Si les coordonnées de l’espace représentatif sont tardives, elles sont précédées par celles des mouvements du regard, de l’espace postural, etc., sans parler des multiples composantes de l’orientation proche ou lointaine chez l’animal.

Enfin, les deux progrès propres au stade III (égalité de l’action et de la réaction¹ et égalité des angles d’incidence et de réflexion), ils sont corrélatifs en tant qu’effort de quantification, mais le premier suppose l’emploi d’un nouvel instrument logico- mathématique qui est un groupe de quaternalité. On pourrait, à cet égard (mais nous l’avons fait ailleurs), retrouver ce que nous venons de dire à propos des systèmes de coordonnées quant aux relations entre le problème posé par les progrès de l’explication physique et la construction des instruments indispensables à la solution.

(^x) Cf. la belle formulation de Boc : « Si on touche doucement, le mur ne pousse pas. S’il y a beaucoup de pression, le mur il pousse fort. S’il y a un peu moyen de pression, il ne pousse qu’un peu moyen. »