Chapitre premier.
Transitivité et additivité des différences infraliminaires ¹ 🔗

— Le matériel est formé d’une planchette rectangulaire percée de sept trous dont chacun est occupé par un disque. Ces disques ont une même épaisseur mais leur diamètre croît de proche en proche du premier au septième selon des différences infraliminaires de 0,2 mm : le cercle de A a ainsi 58,8 mm de diamètre et celui de G 60,0 mm. Les disques sont disposés en quinconce sur deux rangées etc.,

et les disques A à F sont retenus par une chaînette permettant la comparaison de chacun avec son successeur uniquement, jusqu’à la relation de F avec G. Le dernier disque G est par contre libre, ce qui permet sa comparaison avec A (différence nettement supraliminaire) et avec chacun des autres.

L’interrogation commence par une exploration du matériel, l’enfant étant centré sur la grandeur des disques (diamètres). Dès le premier contact le sujet se dit souvent certain de l’égalité des cercles par simple perception visuelle. On propose ensuite des mesures plus précises et il est intéressant

de noter les suggestions spontanées des sujets (la mesure par superposition ou congruence ne va guère de soi avant 7-8 ans, en ce cas particulier). La manipulation dure jusqu’à ce que l’enfant émette un jugement sur l’ensemble des objets et l’on examine durant cette phase le rôle éventuel de la transitivité en la testant au besoin (il est en particulier intéressant de noter si les mesures ont lieu dans l’ordre AB, BC, etc., ou AB, CD, EF sans liaison entre ces couples).

Lorsque l’enfant admet l’égalité de tous les disques, on le questionne sur la relation de G avec A, qu’il doit d’abord anticiper, puis vérifier en disant ce qu’il en pense. Si les mesures précédentes du sujet ont suivi un ordre relevant de la transitivité, le sujet prend en général conscience de la contradiction. Si les mesures ont été désordonnées on en provoque de nouvelles dans un ordre suggérant les liaisons transitives, de façon à ce que le sujet voie un problème dans la distribution des égalités ou inégalités.

La partie essentielle de l’interrogation commence alors, qui consiste à examiner comment le sujet cherche à lever la contradiction ou comme il se représente la totalité des éléments A à G avec leurs relations. Si le sujet, comme c’est presque toujours le cas, se livre à une dichotomie de classes d’équivalence, par exemple EFG égaux à G et ABCD égaux à A on demande quelle est la relation entre E et D, puis on la fait contrôler. Si le sujet passe alors aux classes DEFG et ABC on pose la même question quant à la relation entre D et C, etc.

C’est en général dans cette structure de l’ensemble que l’on rencontre les contradictions les plus intéressantes, dont il s’agit de faire l’inventaire, de voir si et comment le sujet en prend conscience et enfin de quelle manière il les subit ou parvient à les éliminer.

— Les sujets de ce stade ne parviennent point encore à la transitivité et demeurent donc insensibles à la contradiction relative au cercle G. Voici deux exemples d’un niveau IA :

Jos (5 ;0) déclare les éléments « tous de la même grandeur ». On lui montre la vérification possible (A sur B) et il plaque alors B sur C et D sur E, etc., sans s’occuper de la relation C-D. « Qu’est-ce que tu peux dire maintenant ? — Ceux-là (E et F ; C et D ; A et B) sont la même grandeur. —   Et celui-là (G) ? — (Il compare F et G.) Ils sont tous la même grandeur. » Mais une fois comparés A et G il conclut simplement que A, B, C, D, E et F « sont la même grandeur, ils sont plus petits que (G). — Et G et F ? (F) sera plus petit. —   Essaie. — Oui, ça dépasse (il nie donc l’égalité apparente) ».

Pas (6 ;1) affirme l’égalité de tous les éléments, en les regardant puis en les entourant de ses deux mains. Il accepte les superpositions A sur B et B sur C, ainsi que l’égalité A — C mais « en regardant » et non pas par transitivité inférentielle. Il continue à mesurer : « Ils sont tous la même chose. — Et G et A ? — Ils sont la même chose. — Regarde bien. — Non. —   Alors ils sont tous la même chose ? — Sauf (G) et (A). — G est la même

chose que quoi ? — Que (B, C, D, E, F). — Et A ? — Il est la même chose que (B, C, D, E, F). — Et A et G ? — Ils ne sont pas la même chose. —   C’est une bonne explication ? — J’sais pas. —   Explique au monsieur (l’etudiant). — (Il répète que G = B, C, D, E, F et A = B, C, D, E, F mais que G est plus grand que A.) —   Et G et C ? — Je crois que (G) est un peu plus grand. — Et G et B î — (G) est plus grand. — Et G et È ? — C’est la même chose. — Et G et D ? — Aussi. — Et G et E ? — Aussi. — Alors ? — (G) est plus grand que (A, B et C) et il est la même chose que (D, E et F). — Et C et D, ils sont comment ? — J’sais pas. — Qu’est-ce que tu crois ? — (D) est plus grand que (C). — Essaie. — (D) est un petit peu plus grand… non, ils sont la même chose. — Et G et D 1 — Ils sont la même chose. — Et C et D ? — La même chose. — C’est juste ça ? — Oui. — Alors, tous ils sont comment ? — (G) est plus grand que (C, B et A) et il est la même chose que (D, E et F). —   Et C et D ? — Ils sont la même chose. — Comment peut-on les appeler ces trois (A, B et C) ? — Ils sont petits. — Et D, E, F et G ? — Ils sont grands. — Il y a une différence entre les grands et les petits ? — (G et D) sont la même chose et (C et D) aussi… Ah ! J’ai tout compris : (G) est la même chose que (F, E et D). Et (A, B, C, D) sont la même chose (entre eux), mais (G) est plus grand que (C, B et A) ! »

On peut distinguer par contre un niveau IB où l’on observe des ébauches de transitivité, mais insuffisantes pour imposer la conscience de la contradiction :

Ala (6 ;6) mesure A et B : « Ils sont égaux parce que ça ne dépasse pas. —   JB et C ? — Aussi. —   Et A et C ? — (Il essaie de mesurer, sans succès.) — Ils sont comment, tu penses ? — Ils sont la même chose parce qu’ils sont tous la même chose. — D et E 1 — Aussi. — F et G ? — Aussi. — Et si on met G sur A ? — Ils seront la même chose parce qu’ils sont tous la même chose grands. — Essaie. — La même chose. — Ça ne dépasse pas ? — Un tout petit peu, alors (G) est plus grand que (A). —   Tu trouves ça normal ? — Je ne sais pas. — Avant tu m’as dit qu’ils étaient tous la même chose. — Il n’y a que le (G) qui n’est pas la même chose. —   Et F et G ? — La même chose. Non, non, (G) dépasse. — Alors comment sont tous les ronds ? — (A, B, C, D, E, F) sont la même chose, (G) est plus grand et (G) est la même chose que (F). — Regarde GA. — (G) dépasse, il est plus grand. — G et B ? —   (G) dépasse. — G et C ? — Là aussi. — G et D 1 — Là aussi. — G et E ? — Ils sont la même chose. — G et F ? — Aussi la même chose. — Alors ? — Ils sont tous la même chose sauf (G). — Réfléchis bien. — Alors (AB, CD) sont la même chose et ils sont plus petits que (G). — Et E, F, G ? — Ils sont la même chose (entre eux). — Et D et E 1 — Ils sont la même grandeur mais (G) est plus grand que (A). »

Cri (6 ;5) commence par des estimations visuelles puis pour deux cercles à comparer voudrait les « mettre l’un à côté de l’autre (ce qui permettrait le tracé visuel des lignes des sommets et des bases). — Et si c’étaient des biscuits ? — Je les mets dessus. —   Bien. Vas-y. — (FG) ils sont de la même grandeur. (DE) C’est la même grandeur. (BC) Ceux-là aussi. (AB) Ceux-là aussi. — A est la même chose grand que B 1 — Oui. — Et R que C ? — Oui. — Et A et C ? — Ils sont de la même grandeur, puisqu’ils vont les deux

sur (B). — Bien. Essaie CD. — Ils sont la même grandeur. —   Alors AB 1 — Aussi. — BC ? — Aussi. — AC ? — Aussi. •— CD 1 — Aussi. — AD ? — On n’a pas essayé. — Qu’est-ce que tu crois ? •— • C’est dur. —   On ne peut pas savoir ? — ■ (Il essaie de plaquer A sur D.) — Ah ! oui, on peut, parce que (D) est la même chose que (C), et (C) que (A), alors (D) et (A) sont la même chose ». Il continue à mesurer E et F puis F et G et conclut qu’« ils sont tous de la même grandeur. — Ça vaut la peine de faire G et A ? — … Je ne suis pas très très sûr (la transitivité naissante de Cri ne s’accompagne pas encore de nécessité !). — Normalement ? — Ils sont tous la même chose. —   Alors vas-y. — Il (G) dépasse un peu ! — C’est normal ? — Non, c’est (F) qui n’est pas la même chose que (G) ». Il compare alors G a F, « c’est la même chose », puis à C : « (G) est plus grand que (C) », puis « il est plus grand que (B) », et aussi plus grand que D, mais G et E puis F « sont la même chose. —   Bon, comment sont ces ronds ? — Il y en a des grands (E, F, G), et des petits (A, B, C,D). — Et D et E sont comment ? — (D) est plus petit que (E). — Essaie. — Ils sont de la même grandeur. — Qu’est-ce qui se passe alors ? — J’sais pas. Peut-être que (G) vient plus grand quand on le touche. — (On lui donne l’explication.) C’est possible ça ? — Oui. — Tu as bien compris ? — Oui. ■— Tu peux répéter ? — Alors (A) est petit, (B) est plus grand, (C) est plus petit, (D) est plus grand, (E) est plus petit, (F) est plus grand et (G)… s’agrandit ! ».

Sia (7 ;1). Mêmes réactions : G est tantôt égal à D, tantôt plus grand. « Comment ça se fait ? Ça change ? — Oui, de grosseur. — Comment tu sais ? — Parce que j’ai vu. »

Ick (7 ;3) ayant cru constater que D = E leur trouve ensuite la relation D < E : « Qu’est-ce qui se passe ? — Ça change. — De grandeur ? — Oui. — C’est possible ? — Oui. »

Oli (7 ;0). Après comparaisons de G avec A et B : « Le (G) il n’est pas la même chose avec tous. — A est une fois la même chose que B et une fois plus petit ? — Oui, c’est (A) : des fois il est petit, des fois il est grand. — Il change de grandeur, de grosseur ? — Oui. »

Les sujets du niveau IA présentent deux sortes de contradictions. La plus élémentaire semble peu intéressante du point de vue logique, mais il s’agit d’un facteur préalable indispensable à la prise de conscience de toute contradiction : c’est le souvenir des données antérieures (constatations ou inférences). Lorsque Jos affirme l’égalité de tous les éléments, de A à G, puis découvre que G est plus grand que A, il en conclut sans plus que G est alors supérieur à tous les autres y compris F, sans y voir de contradiction, car il oublie aussitôt qu’il a vérifié F = G. Dans le présent immédiat, il n’y a donc pas contradiction, et cela d’autant moins qu’en reprenant la comparaison de F et G il nie l’observable perceptif, c’est-à-dire leur

égalité apparente. Seulement il y a contradiction par rapport à l’une des données admises antérieurement, qui n’est pas rediscutée mais simplement oubliée et c’est là la forme la plus simple de la contradiction. Or, elle n’est malgré tout pas dénuée de signification logique : lorsqu’une affirmation précédente sort si facilement de la mémoire, c’est qu’elle n’a rien de nécessaire, et cela est naturel cbez des sujets comme Jos, qui ne présentent ni transitivité (voir ses mesures EF, CD, etc., sans baisons DE, etc.), ni tendance spontanée à la vérification par congruence et se contentent d’estimations à vue.

Le sujet Pas, par contre, se rappelle les données antérieurement admises et cherche alors à lever la contradiction entre « tous la même chose » et G > A, en subdivisant ce « tous » en classes d’équivalence de caractères distincts. Mais le fait fondamental est qu’il retombe alors en une autre contradiction systématique et dont il semble d’abord ne pas prendre la moindre conscience. Ces classes sont, en effet, définies l’une par l’égalité avec G, donc les grands, soit X = B, C, D, E, F, et l’autre par l’égalité avec A, donc les petits, soit non-X : seulement non-X est formé des mêmes éléments B, C, D, E, F, de telle sorte que ces deux classes qui devraient être disjointes (puisque l’une est caractérisée par l’égalité avec G et l’autre par la non-égalité avec G) sont conçues comme identiques ! Si la non-contradiction peut se définir par la réversibilité ou compensation complètes X. non-X = 0, nous sommes donc en ce cas en présence de la contradiction maximale X — non-X ! Par contre après de nouvelles applications de G sur les autres éléments, le sujet trouve une solution meilleure : X (égalité avec G) = D, E, F et non-X = A, B, C. Ces classes sont donc disjointes et la contradiction semble levée, d’où la conclusion logique de Pas que D doit être plus grand que C. Malheureusement, la mesure montre à nouveau C = D, d’où nouvel embarras. Le sujet le surmonte alors (« Ah ! J’ai tout compris ») en acceptant une fois de plus une contradiction, mais plus faible : X = D, E, F et non-X = A, B, C, D : la compensation demeure donc incomplète, puisque X. non-X — D, c’est-à-dire que D est égal à la fois à G et à A, bien que G > A. L’insensibilité à cette contradiction tient assurément, pour une part, à la carence de la transitivité, mais aussi probablement à une signification insuffisante attribuée aux négations.

Quant aux sujets du niveau IB chez lesquels on voit se dessiner une ébauche de transitivité, le cas de Ala reste analogue à celui de Pas (sauf qu’il ne débute pas par X = non-X) : il admet, par exemple, que G « est plus grand et est la même chose que (F) », puis il construit deux classes non disjointes ABCD et EFG avec égalité de D et E, ce qui équivaut à la compensation partielle dont se contente Pas à propos de C et D. Cri aboutit à la même impasse : l’élément D est à la fois égal à EFG et à ABC bien que G > A. Sa solution est alors simplement que G change de grandeur selon qu’on le compare à certains éléments ou à d’autres, tous demeurant sans cela égaux entre eux. On essaie alors de donner à Cri l’explication correcte fondée sur les différences non perceptibles, mais il la comprend si peu qu’il la ramène à une simple alternance des tailles avec « agrandissement de G ». Enfin Sia, Ick et Oli lèvent les contradictions entre G > D et G = D, etc., en admettant comme Cri que G « change de grosseur », ou même D et A.

En un mot, le propre des sujets du stade I est d’aboutir à des classes d’équivalence dont les caractères distinctifs sont exclusifs (x égal à G et y inégal à G donc y = x) mais ne sont pas sentis comme tels pour une partie commune de ces classes qui devraient être complémentaires ou disjointes. Ou bien alors le sujet accepte cette situation, qui est contradictoire pour nous, ou bien il cherche à l’expliquer par un appel à la non-conservation de la grandeur de G. Mais il n’essaie pas, comme cela va être le cas au niveau IIA, de remédier à la contradiction en modifiant les classes d’équivalence, en espérant trouver une dichotomie exacte.

— Ce stade est caractérisé par la transitivité et par une conscience de la contradiction, mais sans que le sujet réussisse à la dépasser. Au niveau IIA, il met son espoir dans le déplacement de la frontière entre les « petits » et les « grands », comme si ces manipulations successives allaient fournir la solution : Voici des exemples, à commencer par un cas intermédiaire :

Sté (7 ;6) croit tous les ronds égaux « parce que je regarde. — Et si on veut voir s’ils sont bien la même chose ? — On les met l’un sur l’autre (Sté est donc le premier de nos sujets qui utilise spontanément la congruence). — Essaie

avec A et B. — Oui, c’est la même grandeur parce qu’il n’y en a pas un qui dépasse. — Et B et C ? ■— • Même grandeur. — Et A et C ? — Non, (C) est plus grand que (A), il me semble. — Tu as dit A = B et B = C alors A et C ? — Ah ! mais (C) est la même grandeur que (A) puisque (A = B) et (B = C) ! — Tous sont comment ? — Il faut tous les essayer pour voir (il procède par couples avec interférences AB, BC, etc., sauf CD). — Tous sont comment ? — Même grandeur. — Et G avec A ? ■— • (Il fait le zigzag avec les doigts.) Même grandeur parce que (A = B, B = C, C = D, etc.) et (F = G). — Essaie. — Il est plus grand que (A). — C’est normal ? — J’sais pas. Non, puisqu’ils sont tous la même chose grands, c’est pas normal. — Ils sont comment maintenant ? — Ils sont différents de grandeur. — Tous ? — Non, (G) est le plus grand de tous… (Il essaie à nouveau et répartit le tout en petits, A et B, et en grands, de C à G.) — Et B et C ? — (C) est plus grand que (B). Ah non (il essaie), tous ceux-là (A, B, C) sont petits et ceux-là (de D à G) sont grands ». Puis il essaie C et D. « Pourquoi tu fais ça ? — Parce que j’avais fait une faute. » Il est donc pris de doute sur la cohérence de sa dichotomie : « Ah non, (C) est plus grand. — Mais tu le tiens penché. — Il est quand même plus grand. — Sûr ? — Oui (il répartit à nouveau en ABC et DEFG puis corrige néanmoins spontanément en ABCD et EFG). — Et D et E ? — Ils sont différents (sans essai). » Puis après une nouvelle mesure il revient à A, B, C « petits » et D, E, F, G « grands ». « Alors qu’est-ce qui se passe ? — Celui-là (C) change de grandeur ! Je ne sais pas, on n’a pas de bons yeux. — Des fois c’est petit et des fois c’est grand ? — Parce que avant je m’étais trompé, j’ai mal vu. Il faut voir si je me suis trompé. » Il essaie alors à nouveau D et E et rit : « Je me suis trompé : (G) et (F) sont grands et le reste est petit. » Il applique alors G sur d’autres ronds et rit chaque fois : « Il y a des trucs puisque ça devient petit et grand. C’est une drôle de chose. •— ■ Ça change de forme ? — Non, mais c’est peut-être à cause des trous (selon que le rond perçu est encastré ou sorti de son trou). » On lui donne alors l’explication et il conclut : « Faudrait avoir un microscope ou alors une loupe. C’est drôle parce que ça change de grandeur (apparente). »

Lau (7 ;3) constate que A = B et B = C. Pour A et C : « Même grandeur. — Mais on ne les a pas mis ensemble. — C’est parce que (A = B) et (B) n’est pas plus grand que (C). » De même D = C donc = A, etc.. Après avoir reconnu que G > A, Lau en conclut que G « sera plus grand que (F) ». Après mesure il en déduit que F et G sont grands et A, B, C, D, E petits. « Et E et F ? — (Essai.) Même grandeur. ■— Alors ? — (A, B, C, D) sont petits et (E, F, G) plus grands. » Puis après comparaison de D et E, ce sont A, B et E qui sont seuls petits. « Et C et D ? — (C) sera plus petit que (D). » Après constatation de leur égalité, Lau conclut alors qu’« ils sont tous grands ». On revient à G > A : « (A) est plus petit que tous les autres. —   Il est plus petit que B ? — Oui. — Essaie. — (B) est plus grand (déformation de l’observable apparent). »

Nad (8 ;1) dit que, pour être sûre de l’égalité apparente, « on va les mettre l’un sur l’autre ». Après les mesures elle conclut que C = Aa parce que (A) est la même chose que (B), (B) la même chose que (C), alors (C) et (A) ils s’égalisent », de même que E et B, etc., jusqu’à G et A : « Ça vaut la peine d’essayer G

et A ? — Non. — On va quand même essayer. — Oui… Non, (G) est plus grand que ÇA). —   Tu trouves ça normal ? — Non, non. J’ai peut-être mal regardé (G) et ÇF). — Eh bien ! regarde. — Ils sont égaux. Alors ÇF) est plus grand que (A). — Et F avec E ? — C’est la même chose. — Alors E est plus grand que A ? — Non. — Et F et A ? — Ils sont la même chose : c’est (G) qui est plus grand que (A). — Alors F et A sont de la même grandeur, G et F aussi et G est plus grand que A ? — Oui, c’est juste. Non, non, c’est pas juste. — Alors ? — Ces quatre (A, B, C,D) sont la même chose, ces quatre (C, D,E, F) aussi, (E) et (F) aussi, (F) et (G) aussi et (G) n’est pas la même chose que (A). — Mais tous ils sont comment ? — Moyens. — Il y a des grands et des petits ? — Non, tous la même chose. — Et G et A ? — Non, (G) est plus grand que ÇA). —   Explique-moi ça. — Ils sont la même chose ces deux. J’avais mal vérifié. — (Nouvelle mesure.) Qu’est-ce qui se passe ? — Sais pas. ÇG) est plus grand que tous les autres sauf ÇF). —   Et E et F ? — Même chose. Oui, ÇF) est la même chose que ÇG), ÇE) est la même chose que ÇF) mais peut- être que ÇG) n’est pas la même chose que ÇE). —   Comment ça se fait ? — … » Nad après nouvelles mesures passe alors aux répartitions : E, F, G sont égaux, tous les autres plus petits et A le plus petit de tous, puis, après avoir mesuré A et B, « ÇA, B, C) sont petits et ÇD, E, F, G) sont grands. — Et si on fait C et D ? •— ■ Ils sont la même chose. —   Alors C est petit, D est grand et ils sont la même chose ? — Ah non, c’est pas juste. — Essaie G sur tous. — (Il le fait et conclut que G = F, E, D et C et G > B et A.) ÇA et B) sont plus petits que ÇC, D, E, F, G). — Et B et C ? — ÇC) est plus grand que ÇB). —   Essaie. — La même chose. — Qu’est-ce qui se passe ? — Sais pas ». On lui donne l’explication : elle accepte bien l’idée de petites différences invisibles, mais au lieu de les concevoir comme égales et additives, elle les conçoit croissantes : « la différence entre ÇB) et ÇC) est plus grande que la différence entre ÇA) et ÇB) ».

Tio (8 ;10) croit à l’égalité générale puis après comparaison de G et A place G sur chacun et conclut : « (G) est plus grand que ÇA, B) et ÇC, D, E, F) sont la même chose que ÇG) », mais il veut spontanément contrôler le rapport entre B et C « pour voir si c’est comme il faut. (Essai.) Ils sont la même chose grands ! — Et G sur B ? — ÇB) est plus petit. —   Alors ? — ÇA) et ÇB) sont plus petits que ÇG), ÇC, D, E, F) sont la même chose que ÇG) et ces quatre-là ÇC, D, E, F) sont la même chose que ÇA et B). — C’est possible ça ? — Soit ils sont tous la même chose, soit ils sont plus petits que ÇG) ». Il aboutit ensuite à l’hypothèse : « ÇA, B, C) sont plus petits que ÇD, E, F, G.) — Et si je mets D sur C ? — ÇC) sera plus petit que ÇD). — Tu veux essayer ? — Non, c’est quand même la même chose ! » « Ça change de grosseur ? — Non, c’est resté comme c’était, c’est moi qui me suis trompé. — Alors comment ils sont tous ces ronds ? — Ils ont l’air d’être la même chose. — Et si G dépasse sur B ? — Ça veut dire qu’ils ne sont pas la même chose. » On donne l’explication : Tio n’est guère convaincu.

Une fois constatée la contradiction entre G > A et l’égalité générale des mesures de proche en proche, la solution de ces sujets est naturellement, comme au stade I, de répartir les

éléments en deux classes d’équivalence distinctes. Mais le grand progrès dû à la transitivité et à la réversibilité (considération des opérations inverses, donc des négations) les empêche alors de se contenter d’une compensation approchée X. non-X 0 0, autrement dit d’accepter l’existence d’une partie commune présentant à la fois les caractères x et non-x : par exemple, Tio ayant réparti les éléments en A et B (plus petits que G) et C, D, E, F (égaux à G) compare spontanément B à C « pour voir si c’est comme il faut », donc pour voir si l’on a bien C > B et non pas C = B. Chez les autres sujets, chez qui la comparaison a été demandée, l’existence d’un terme qui serait à la fois égal et différent est d’emblée sentie comme une contradiction, et ils cherchent autre chose. La solution générale consiste alors à changer les classes d’équivalence, en modifiant la frontière entre < G et = G. Deux problèmes se posent alors : pourquoi, si ces sujets croient à la transitivité, ne savent-ils pas d’avance qu’un déplacement de frontière conduira à retrouver le même problème à propos des deux nouveaux éléments frontaliers ? Et surtout pourquoi, en présence de contradictions désormais ressenties, ne cherchent-ils pas à la lever dans la direction d’une structure sériale au lieu de s’en tenir à des dichotomies de classes ?

La réponse à la première question est évidemment qu’ayant constaté une suite d’égalités transitives de A à G, puis une inégalité imprévue A < G, il est naturel qu’ils aient des doutes sur leurs mesures (« J’avais fait une faute », dit Sté, etc.) et puissent donc espérer trouver une frontière fixe entre les classes X et non-X. Mais cela suppose précisément une dichotomie : d’où le second problème.

A cet égard, l’intérêt des faits observés est de nous mettre en présence d’une évolution comparable à celle de la sériation elle-même, mais avec un décalage facilement explicable du fait que les différences en jeu sont imperceptibles de proche en proche. Dans le cas des différences perceptibles les jeunes sujets commencent, en effet, par des réactions de dichotomie : un petit et un grand, etc., par couples juxtaposés, ou les petits et les grands par dualité de classes. Après quoi seulement viennent les trios (petits, moyens, grands) et enfin une recherche de la continuité (A < B < C < D < …). La raison en est que les caractères « petit » et grand » sont des prédicats absolus,

plus simples à manier que les relations « plus petit » = « moins grand ». De même, dans le présent cas, la constatation A < G s’opposant à une suite d’égalités apparentes suggère une simple dualité et il est naturel que les sujets débutent par une recherche de dichotomies entre classes d’équivalence.

Cela dit, les contradictions dues aux frontières artificielles ainsi établies ne peuvent donc pas être levées. Les sujets s’en tirent, soit comme Lau en déformant l’observable (sur B et A à la fin), soit comme Sté en admettant à nouveau que la grandeur de G varie, mais subjectivement (selon les comparaisons perceptives et les positions), soit en renonçant à comprendre, comme Nad et Tio.

— Le critère de ce niveau de 9-10 ans est que le sujet, sans parvenir encore à lever la contradiction par une additivité des différences invisibles, entrevoit cependant par moments deux idées orientées dans la bonne direction et dont il s’agira de préciser le rapport qu’elles soutiennent entre elles : l’une est celle de différences multiples, sinon sériales, par opposition aux simples dichotomies en grands et petits ; l’autre est la possibilité de différences non perceptibles. Voici des exemples, à commencer par un cas intermédiaire :

Pie (9 ;4) : « Ils sont la même grandeur. Non, il y a deux petits, deux moyens… C’est comme une famille d’haricots : il y a des petits et des moyens jusqu’au papa. —   Mais pour être sûr ? — Il faut les mettre par grandeurs, on peut les poser dessus. — Bien, vas-y. — (C et D) Ils sont la même grosseur. (A et B) Je crois (B) plus gros (grand) que (A). (E et F) : c’est presque la même grosseur, mais c’est (F) qui gagne encore, il est plus gros que (E). — A quoi vois-tu ça ? — Parce qu’il y a un petit peu de bande qui dépasse. — Regarde encore. — Non, c’est les mêmes. » Il change alors de position et après les avoir déclarés tous pareils, il les subdivise en AF < G, puis en AE < F G, etc., allant jusqu’à admettre simultanément F = G, G > A et F = A.

Mar (9 ;9) débute par une égalité générale, puis, constatant G > A, croit qu’« on a mal mesuré avant ». Il recommence et suppose AE < F G. « Et si tu fais E et F ? — (F) sera plus grand que (E). — Essaie. — • Non, même grandeur. C’est peut-être que (EG) sont la même chose et ceux-là (AD) plus petits. — Et D et E ? — Mais on a vu qu’ils sont la même chose. C’est bizarre… Peut-être que ça devient toujours plus petit, mais on n’arrive pas à voir. ■— ■ Comment peux-tu le savoir ? — Parce qu’on a tout essayé. — Mais on a vu qu’ils sont tous de la même grandeur. — Oui, mais on n’arrive pas à voir quand ça devient toujours plus petit. — Entre A et B 1 — • Le (B) devient plus grand mais on n’arrive pas à le voir. »

Tin (10 ;6) fait les comparaisons de A à F puis F = G et conclut par transitivité à une égalité générale. Une fois constaté que G > A elle le dit d’abord simplement « plus grand que les autres. — Mais tu l’aurais vu avant ? — … — Qu’est-ce qui se passe ? Il change de grandeur ? — Non, je pense qu’ils étaient tous un peu plus grands (les uns que les autres). — Je ne comprends pas. — Je pense que (A) et (B) sont presque de la même grandeur, alors on ne voit pas la différence. Puis c’est tout le temps comme ça, alors quand on a mesuré (G) avec (A), ça faisait une différence ». Tin semble donc atteindre la solution juste, y compris l’additivité des différences non perceptibles, mais il suffit d’une question suggestive pour lui faire changer d’avis : « Une différence tellement petite qu’on ne la voit pas tu crois que ça existe ? — Non, je ne crois pas qu’ils sont tous un peu plus grands. » Elle recule alors à l’hypothèse des classes d’équivalence (A, B, C) < (D, E, F, G) mais revient ensuite à son idée précédente pour C et D : « (D) sera plus grand que (C), il y aura une petite différence. —   Essaie. — Oui… non. » Elle reprend G avec B-D et conclut : « (C) est plus grand que (B), et (B) est plus grand que (A). (G) et (D) c’est la même grandeur, il y a seulement une petite différence : (D) est plus grand que (C), un tout petit peu. —   Et G et E ? — La même grandeur. — Et E et D ? ■— (E) est quand même un peu plus grand, mais c’est difficile à dire. — Peut-être qu’il y a une petite différence qu’on ne voit pas ? — Non, je ne crois pas. Je pense que ÇA, B, C, D, E, F) sont la même grandeur et qu’ils sont tous plus petits que (G). — Pourquoi tu crois que ton explication avec les petites différences est fausse ? — Parce que j’ai mesuré et je ne les ai pas vues. — Mais si elles sont minuscules ? — Si elles sont minuscules, peut- être qu’on ne les voit pas. — Tous les minuscules ensemble ça peut faire une grande différence ? — Non ce n’est pas possible. »

Roc (10 ;8) présente les mêmes oscillations. Après avoir admis l’égalité générale, la constatation de G > A, il prétend qu’entre F et G « il y a la même différence (= 1 mm). Ils ne sont pas tous égaux. Oui, ils sont tous différents. —   Entre G et E 1 — Un demi-millimètre de plus. — Et G et C ? — Ouf ! Ou ils sont égaux ou il y a un quart de millimètre. — ■ Et G et B ? — Alors là il y a une différence visible ! — Et D et B 1 — Ils sont différents. Exactement je ne peux pas dire ; au toucher ça se sent ». Mais ensuite il affirme D = F = G : « Oui, ces trois sont égaux. Les autres sont dans une autre famille. Non, ils sont tous égaux, à moins qu’il faille les départager. — Et E et C ? — Attendez, je ne m’en sors plus, moi. » Etc. « Mais ça se pourrait qu’il y ait une différence entre chaque rond et le suivant ? — Oui. Je vous ai dit que je ne savais pas exactement. »

Le cas de Pie montre d’abord qu’au palier d’équilibre des opérations concrètes, vers 9 ans, où un certain nombre de notions deviennent relationnelles, nos sept cercles dont les rapports de grandeur sont difficiles à percevoir peuvent aussi bien suggérer un modèle sérial que des classes d’équivalence : dès l’abord Pie évoque, en effet, la possibilité de « petits », « moyens » et « grands ». Il est donc normal qu’en présence des

contradictions où conduisent les dichotomies, les autres sujets de ce niveau pensent à des différences multiples et sériables au heu d’en rester à des catégories discontinues. Mais il s’ensuit alors deux conséquences opposées. La première est qu’à imaginer des différences entre chaque élément et le suivant le sujet est conduit à les reconnaître comme non perceptibles. C’est ce que dit, par exemple, Mar de façon frappante : « Peut-être que ça devient toujours plus petit, mais on n’arrive pas à voir. — ■ Comment peux-tu le savoir ? — Parce qu’on a tout essayé ! » Autrement dit, il faut bien, pour sortir des difficultés, recourir à des grandeurs imperceptibles. Mais alors, une seconde conséquence s’ensuit qui vient modérer ces espoirs, du moins dans les limites que les modes de raisonnement inhérents aux opérations concrètes imposent à la pensée du sujet : si de telles grandeurs ne peuvent être ni perçues ni mesurées, elles ne sauraient alors être composées entre elles, d’où leur non-additivité. De même qu’au plan physique il faut attendre le stade des opérations formelles pour que les corps soient composés de corpuscules microscopiques (à l’exception du sucre où l’on voit les grains se réduire progressivement), les compositions concrètes demeurant semi-macroscopiques, de même, en ces questions de différences conçues comme imperceptibles, les sujets de 9-10 ans sont bien conduits à en faire l’hypothèse pour lever la contradiction entre les égalités apparentes et l’inégalité finale (AG), mais ils ne sont pas encore en état de déduire que celle-ci constitue la somme des différences imperceptibles, du fait que l’imperceptible leur paraît être d’une autre nature que les grandeurs accessibles à des lois de composition rationnelles et que son existence même ne saurait être assurée avec certitude : « Je vous ai dit, conclut ainsi Roc, que je ne savais pas exactement. » Et Tin qui, au début de son interrogation, semble avoir tout compris et avoir ainsi atteint le stade III, ne résiste pas à la question de savoir si les différences invisibles « existent » : « peut-être qu’on ne les voit pas », donc qu’elles existent quand même, mais « ce n’est pas possible » que leur somme donne une grande différence. D’où finalement, les oscillations de ces divers sujets qui, au total, ne parviennent pas à se décider entre les deux modèles de la sériation avec différences imperceptibles et des classes d’équivalence avec les contradictions qu’elles comportent inévitablement.

— Vers 11-12 ans, enfin, les sujets qui constatent l’inégalité G > A après avoir cru à une équivalence générale lèvent la contradiction en admettant l’existence de différences non perceptibles, susceptibles de s’additionner jusqu’à donner beu à cette inégabté visible. Voici des exemples, à commencer par un cas de transition entre les niveaux IIB et III :

Nad (10 ;10) ne voit que des égalités jusqu’à G > A : « Alors ? — (A) est le plus petit de tous. — Et A et B sont pareils ? — Non. —   Essaie. — La même chose ! Il y a un défaut. — Explique. — Ils sont… (G) est plus grand que les autres. — Et on a F = G ? — Non. Oui pareils. — Alors G est plus grand ? — Non. » Vérifications nouvelles et Nad renonce à comprendre. « G se gonfle ? — Non. — A devient plus petit ? — Non. — Il y a une toute petite différence entre A, B, C, etc. ? — Oui ! — C’est possible ? — Oui. — Explique. — (A) ajuste une petite différence avec (B), (B) avec (C), etc., puis alors ça fait une grosse différence entre (G) et (A). — Et entre F et G ? ■— Aussi. — On la voit ? — Non, on ne la voit pas. — Et entre G et C ? — On la voit. — Entre G et E ? — On ne la voit pas. — Us sont pareils ? — ■ Non… Chaque fois il y a une petite différence, alors à la fin il y a une grosse différence… parce que (G et A) sont plus éloignés et qu’on les a mis dans l’ordre. » On voit qu’une simple question suggérant la possibilité de petites différences a déclenché la compréhension, tandis qu’aux niveaux antérieurs l’explication complète proposée par l’expérimentateur demeurait sans effet.

Pat (11 ;4) croit d’abord à l’égalité puis constatant G > A dit que « c’est pas très précis ce que j’ai fait avant ». Il croit d’abord à deux classes (A = B — C = D) et (E = F = G). « Et D et E ? — Ils ne sont pas tout à fait égaux. —   Tu le vois ? — Je le sens (!). — Une grande différence ? — Très petite. — Puis F et E ? — Ils sont encore inégaux. — Ça se pourrait une petite différence qu’on ne voit pas ? — Je vais voir. On peut dire qu’il n’y en a pas. Si on regarde avec une loupe c’est possible qu’ils ne soient pas de la même grandeur. — Alors ils sont égaux ? — Ils sont tous égaux, mais il y a une tellement petite différence que plusieurs petites différences ça fait une grande différence. —   Ça t’a étonné G sur Al — Oui, mais comme il y en avait beaucoup, maintenant ça fait une grande. »

Jeu (11 ;9), après les égalités, constate que G > A et en conclut que « (F) sera plus petit que (G). — Regarde. — Il est égal. C’est un autre qui est plus petit, peut-être (E). — Essaie. — ■ Même grandeur ». Puis EetD,D et C, etc., jusqu’à A ! « C’est normal ? — Non, ils vont de plus en plus petits avec une très petite différence. —   Ça existe des différences si petites qu’on ne les voit pas ? — Oui. »

Ane (12 ;0) : « Ils sont égaux. — Et G et A ? — Ils sont égaux. — Sûr ? — Oui (essai). Ah ! non, ça fait une différence. —   Ça te surprend ? — Ah oui ! — Ça ne joue pas ? — Oui, il y en a qui sont un tout petit peu plus petits,

qu’on ne voit pas à l’œil nu. ■— Alors ? ■— • Il y a une petite différence entre chaque rond. — Mais ces petites différences, tu les a vues ? — Parce qu’en additionnant toutes les petites différences et en les mettant sur (G), (G) est plus grand. — Comment tu as fait pour penser à des petites différences qui s’ajoutent ? — Parce que quand on les met ensemble, on ne peut pas mettre tout d’un coup la grande différence, sinon on aurait vu (autrement dit parce qu’il y a sériation continue). »

Asc (12 ;7) : « Ils sont tous égals. » Mais avec G et A : « Il est plus grand que ÇA) ! ■— • Comment ça peut se faire ? — J’ai mal mesuré. » Il recommence AB, BC, etc., jusqu’à FG en disant chaque fois : « Un tout petit peu plus grand. C’est pas beaucoup. Ça ne se voit pas, ça se sent… avec les doigts. —   Ça se sent beaucoup ? — Presque rien, un petit peu. — La différence entre A et B est la même qu’entre B et C, etc. ? — C’est toujours celui qui est dessous (superposition) qui est plus grand… Ça s’agrandit toujours un peu plus (par rapport à A) et le dernier est plus grand que le premier (en tant que caractère visible de la différence AG). »

L’additivité des différences imperceptibles est donc acquise, ce qui permet de lever les contradictions. Quant à savoir d’où provient cette nouvelle opération, on pourrait n’y voir qu’une généralisation de l’addition des différences visibles, qui donne beu à une structure cohérente dès le niveau des opérations concrètes. Mais il s’agit probablement en fait d’une abstraction réfléchissante, avec ses deux caractères de projection d’un plan à un autre (du perceptible réel à l’imperceptible possible et déduit de façon nécessaire) et de réorganisation, car cette additivité des possibles va sans doute de pair avec la distributivité.

Au total ces résultats sont assez instructifs quant à la nature de la contradiction, quant à sa prise de conscience et quant aux processus logiques de son dépassement. En ce qui concerne sa nature, nous avons constaté qu’elle revient à une compensation ou réversibilité incomplètes : lorsque, pour deux classes d’équivalence X et non-X, leur produit n’est pas considéré comme nul (compensation complète), mais que le sujet leur prête une partie commune dont les caractères seront donc simultanément x et x, il y a contradiction. Nous avons vu, d’autre part, que celle-ci comporte des degrés, selon l’étendue de cette partie commune (qui chez Pas, au § 2, comprend d’abord les éléments B, C, D, E, F, donc tous sauf A et G, ces cinq éléments étant à la fois égaux à A et à G bien que G soit reconnu plus grand que A).

Mais il va de soi que de définir la non-contradiction par le fait que la négation (non-X) compense exactement l’affirmation (X) subordonne la notion de contradiction à celle de négation : dire que la classe des X est formée des éléments égaux à G et que la classe des non-X est formée des cercles plus petits que G, c’est d’abord admettre que « plus petit » constitue une négation de « égal », du moins en notre ensemble de sept éléments dont aucun n’est > G. Mais est-ce bien là la croyance des sujets de 5-6 ans puisqu’ils ne voient pas de difficulté à admettre qu’un, deux, trois ou même cinq éléments soient à la fois égaux à G et plus petits que lui ? En fait, de deux choses l’une : ou bien l’enfant conçoit comme nous le caractère « plus petit » comme équivalent à « inégal » et donc comme une négation de « égal », mais il ne parvient pas à composer cette négation avec l’affirmation selon une compensation complète, ou bien il introduit un moyen terme original entre notre négation et l’affirmation et ce moyen terme demeure incomposable en termes de compensation.

Par contre, ce qui est évident est que l’enfant ne dit pas (dans son langage) que tel élément est à la fois « la même chose » et « pas la même chose » que G : il intervient donc entre « plus petit » et non égal ou « pas la même chose » un processus inférentiel qui pour nous est immédiat sous une forme sériale, mais qui pourrait fort bien ne pas s’imposer au sujet de 5-6 ans sous quelque forme que ce soit. Nous disons alors que l’enfant demeure insensible à la contradiction, mais en avons-nous le droit et ne vaudrait-il pas mieux soutenir qu’à défaut de cette inférence il n’y a effectivement pas contradiction : E = G, E = A et G > A seraient ainsi trois constatations distinctes qu’il ne faut pas chercher à relier, chacune étant vraie dans son contexte limité (et, ajoutent les sujets du niveau IB, les éléments G et A pouvant fort bien changer de grandeur d’une situation à l’autre). Seulement il se trouve qu’en passant du stade I au stade II l’enfant ne devient pas un physicien nucléaire qui se délecterait de ces occurrences complexes et y verrait des cas élémentaires de complémentarité : le sujet du stade II trouve effectivement contradictoires de telles affirmations, ce qui nous permet de dire qu’à 5-6 ans elles l’étaient déjà virtuellement, mais que le sujet n’en prenait pas conscience faute des inférences nécessaires. D’où notre seconde conclusion : la

prise de conscience de la contradiction suppose une structuration inférentielle des observables et des constatations, et nous l’avons effectivement vue à l’œuvre sous les espèces de la transitivité conçue comme nécessaire et de la composition des affirmations et des négations.

Enfin pour ce qui est du dépassement de la contradiction (niveaux IIB et III), nous en observons ici les deux aspects complémentaires habituels : en extension, un élargissement du référentiel (hypothèse des différences imperceptibles) et, en compréhension, une relativisation des notions, les prédicats absolus « petits » et « grands » étant transformés en relations de différences sériales. Il est d’un certain intérêt de retrouver à cet égard entre 7-8 et 11-12 ans une évolution très semblable à celle des progrès de la sériation (supraliminaire) entre 3-4 et 7-8 ans : passage des dichotomies (7-8 ans) aux trichotomies (Pie à 9 ;4) et aux différences continues. Dans ces deux cas les prédicats absolus (petits et grands) sont remplacés par des relations ordonnées, mais dans un cas celles-ci sont manipulables et dans l’autre il faut les construire par pures inférences.

Quant au type des contradictions étudiées en ce chapitre on pourrait y voir un conflit entre un fait constaté (A < G) et un schème d’anticipation (A = B = C = … = G), mais il va de soi que les oppositions ultérieures portent avant tout sur les relations entre schèmes distincts (classes d’équivalence ou sériation) applicables aux objets en leurs caractères observables autant qu’inobservables. Pour ce qui est, enfin, du sens général de l’évolution observée, nous y reviendrons au paragraphe 5 du chapitre II qui porte sur un problème parallèle.