Chapitre II.
La contradiction dans les compositions partitives ^{1 a} 🔗

On commence par présenter à l’enfant deux carrés A et B de carton de surfaces égales (16 × 16 cm) et, sans qu’ils les juxtaposent ou les mettent en congruence, on demande s’ils offrent la même « place » (pour jouer, etc.) ou s’il y a plus de place sur l’un que sur l’autre. L’égalité a été admise par tous les sujets. Après quoi on présente 4 petits triangles rectangles et isocèles (que nous appellerons t1 et dont la surface totale est de 16 cm²) et on fait vérifier par congruence leur égalité. On fait de même avec 4 petits carrés de 8 cm² (que nous appellerons c1), puis on place un t1 à quelques centimètres au-dessus d’un c1 (sur l’hypoténuse ou sur le sommet opposé) en demandant s’il y a la même place ou non sur les deux : en fait on a presque toujours le jugement t1 > c1 sous la double influence du dépassement et du périmètre.

Après quoi l’enfant et l’expérimentateur (celui-ci manipulant les objets derrière un écran) construisent deux grands carrés, l’un avec les 4 t1 (nous l’appellerons T1), l’autre avec les 4 c1 (nous l’appellerons C) et l’on demande au sujet d’anticiper leurs rapports de surface (on a donc objectivement T1 = C). Cette prévision obtenue, on enlève l’écran et le sujet juge perceptivement s’ils sont égaux ou non. Si cette égalité est contestée, on peut se livrer à une épreuve de transitivité au moyen des deux carrés vides du [p. 35] début A et B : on fait constater TI = A et C = B, d’où T1 = C puisque A = B. Lorsque l’égalité est reconnue on demande à l’enfant de rappeler son jugement sur t1 et c, et on observe ses réactions en présence des relations T1 = C et t1 > c.

On procède ensuite de même avec 8 petits triangles (que nous appellerons t2 valant chacun la moitié de t1) et 8 petits rectangles (appelés r et valant chacun 4 × 8 cm) en construisant ensuite les carrés T2 avec les t2 et R avec les r. On a donc à nouveau T2 = R (et d’ailleurs égaux aux grands carrés précédents, T1, C et A et B), tandis que le sujet admet en général t2 > r.

Il arrive en outre que, pour renforcer la compréhension de la composition additive, on fasse faire deux carrés avec 4 t1 et 4 t2, ces deux carrés, que nous nommerons T1 et T2, étant alors notablement inégaux du fait que leurs composantes le sont elles-mêmes.

Enfin on se livre rapidement à des épreuves de conservation du nombre et des surfaces pour juger du niveau opératoire de l’enfant.

Voici des exemples d’un niveau IA :

Gab (5 ; 8) : « Si tu regardes ça (1 t1) et ça (1 r1) un est plus grand que l’autre ou pas ? — Le triangle est plus grand. — Et si on en prend 4 et 4 et qu’on fait des carrés avec (l’enfant ajuste les carrés comme l’expérimentateur les triangles), ça fait deux grands carrés (T1 et C) : un est plus grand que l’autre ? — La même grandeur. — Et t1 et r1, ils ont la même place ? — Celui-là (t1) a plus déplacé. — Et mon grand carré et le tien ? — La même chose de place. »

Béa (6 ans) : « Tu crois qu’il y a plus de place sur un de ces grands carrés (vides) ou la même chose ? — Ils sont les deux la même chose. — Et ces petits carrés (4 c)? — Oui. — Et ces triangles (t1) sont la même chose les uns que les autres ? — Oui. — Et si on prend ça (c) et ça (1 t1), il y a plus de place sur c que sur t1 ou la même chose de place ? — Celui-là (t1) est plus grand. — On va faire ensemble un grand carré avec tous ces petits triangles et un grand carré avec tous ces petits carrés. Un de ces grands carrés est plus grand que l’autre ? — C’est la même chose (prévision). — Comment tu sais ? — … — Tu es sûre ? Tu as vu ? — Non, mais c’est la même chose. — Et (t1 et c) il y a un des deux qui a plus de place ? — Oui, c’est le triangle. — Et on a construit deux grands carrés avec ces triangles et ces petits carrés, et tu crois qu’ils sont la même chose ? — Oui, la même chose. — Pourquoi ? — … — C’est mes triangles ou tes carrés qui sont plus grands ? — C’est les triangles. — Et les grands carrés sont la même chose ? — Oui. — Qu’est-ce qu’on a fait avec les petits carrés ? — Un grand carré. — Tu les as pris et tu les as mis ensemble ? — Oui. — Il y a plus de petits carrés ou de petits triangles dans les grands carrés ? — La même chose. — Et t1 est plus grand que c et maintenant il y a la même chose de place ? — Oui. — Mais alors t1 est plus grand que c et j’ai mis 4 t1 et toi 4 c et les grands carrés sont la même chose ? — Oui. »

[p. 36]Bos (6 ; 6) commence par anticiper et juger égaux les grands carrés T1 et C et de même les éléments t1 et c : « ils sont la même chose », puis dit en pensant à eux : « parce qu’ils appartiennent les deux à la maison », ce qui semble être un jugement d’appartenance qualitative plus que de surface. On lui fait alors comparer 4 t2 à 4 t1 en faisant avec ces deux ensembles deux carrés dont T1 est bien plus grand. Il anticipe : « Le mien est plus grand parce qu’on a de plus grands triangles. » Bos semble donc bien préparé à la composition additive, mais avec T2 et R, il déclare égaux ces deux carrés mais « le triangle (t2) est plus grand » que le rectangle r : « Et les grands carrés sont la même chose ? — Oui. — Tu as combien de triangles ? — Huit. — Et moi de rectangles ? — Huit. — Comment tu sais ? — Ils (grands carrés) sont la même grandeur. — Et (t2 et r) ? — Non le triangle est plus grand. — Et quand je prends (t1 et t2) le carré T1 (avec 4 éléments pour chaque grand carré donc T1 bien supérieur) est plus grand ? — Oui parce que les (t2) sont plus petits que (t1). — Et pour (t2 et r) tu dis que le petit triangle (t2) est plus grand que (r) et il y a la même chose de place pour les grands carrés, c’est juste ? — Oui. — Et si un garçon disait que si (t2 > r), alors le grand carré (T2) est plus grand que l’autre (R), ce serait faux ? — Oui. »

Avec un niveau IB apparaissent des débuts de composition additive, mais épisodiques et avec contradictions entre les réactions aux questions différentes :

Tan (6 ; 8) : t1 est plus grand que c, mais pour les grands carrés T1 et C (formés de 4 éléments) elle anticipe qu’ils « sont la même chose tous les deux, parce qu’ils ont le même nombre. — Mais tu n’as pas compté ? — Avec les yeux, si. — Chaque t1 peut être mis avec un c ? — Oui. — Mais il y a plus de place sur un ? — Sur le triangle (t1). — Il y a la même chose de place sur les grands carrés ? Il y a une chose que je ne comprends pas : tu dis qu’il y en a plus sur t1 que sur c ? (On fait comparer chaque t1 à chaque c.) Alors les deux grands carrés ? — Il y a la même chose ». On montre t1 et t2 et on fait les carrés avec 4 t1 et 8 t2 : « Il y a plus de place sur mon carré (T1 = 4) parce que les (t2) sont petits et les (t1) sont grands. — Ça joue avec ce que tu m’as dit avant ? — Non. — Alors (on reprend les t1 et les c) ? Il y a un plus grand ? — Le triangle (t1). — Et si on fait la construction ? — C’est la même chose. — Et pour ça (t1 et c) ? — Le triangle est plus grand. — Et les grands carrés ? — Ils ont autant de place. »

Ful (6 ; 3), t1 et c : « Il y a plus de place sur le triangle. — On va faire ensemble deux grands carrés. — (Prévision.) Il y a plus de place sur celui-là (T1) parce qu’il y a 4 grands (t1) ça donne un carré un peu plus grand que l’autre qui est fait avec 4 carrés un peu plus petits. — Tu te souviens comment on a construit. — Il y a 4 carrés. — Un des grands carrés est plus grand ? — (Perception.) La même chose les deux, je croyais qu’il était plus petit parce qu’il y avait moins de place sur les petits carrés. — (On fait comparer chaque t1 à chaque c et la réponse est constante : t1 > c.) Et pour l’ensemble ? —  [p. 37] (T1) est la même chose grand que (C). » Pour les 8 t2 et les 8 rectangles : même réaction d’égalité des grands carrés et d’inégalité des 8 et 8 éléments : « Comment ça se fait ? — Parce qu’ils sont (tous) petits, parce qu’il y a des petits triangles et des petits rectangles. — Mais (t1 et r) ? — Le triangle est plus grand. » On fait alors comparer deux grands carrés très inégaux formés de 4 t2 et de 4 t1 : « Celui-là (T1) est plus grand parce qu’il y a plus de place ici (t1 > t2). » On reprend la situation t1 et c : « Le triangle (t1) n’est pas la même chose que le petit carré (c) mais ça fait quand même la même grandeur (totale). — Et puis ici (t1 et t2) ? — Celui-ci (t1) n’est pas la même chose que l’autre et ça ne fait pas la même grandeur. — Je ne comprends pas. — Parce qu’il est grand (t1) et celui-ci est plus petit (t2) ça fait plus petit (au total). Celui-ci (t1) est presque de la même grandeur que (c), mais pas tout à fait, mais ça fait la même grandeur quand même. — C’est possible ? — Oui. »

Dom (7 ; 1). Prévision : « Le vôtre (T1) est plus grand parce que vous avez des triangles (t1 > c). — Qu’est-ce que ça fait ? — Pas tout à fait la même grandeur, mais un peu plus grand, … non la même grandeur, la même chose de place. » Pour les t2 et les rectangles : « Plus de place sur les triangles. — Et les grands carrés ? — La même chose. — Pourquoi ? — Si (= quoique) les rectangles sont plus petits, il y a la même chose de place (au total). — Pourquoi ? — On a le même nombre. Pour faire la même chose, il faut le même nombre. — Et puis (t2 et r) ? — Le triangle est plus grand », mais les grands carrés restent égaux.

Mey (7 ; 9). Les triangles t1 sont plus grands que les carrés c, mais les grands carrés T1 et C sont égaux (en prévision comme en perception) : « On peut avoir (t1 > c) et (T1 = C) ? — Oui, ça dépend de la façon dont on les construit, on peut avoir (T1 = C), c’est normal. »

Les sujets du niveau IA ne voient ainsi aucune contradiction à ce que des éléments carrés ou triangulaires soient de surfaces inégales, tandis que leurs sommes, à nombre égal (Béa et Bos ont la conservation du nombre), se trouvent équivalentes quant à la place occupée. Il est vrai que ces sujets n’ont pas la conservation de la surface, mais ceci n’est pas une explication, car ce qui leur manque dans la présente expérience comme dans les épreuves de conservation, c’est la composition additive des grandeurs spatiales et il s’agit de comprendre le pourquoi de cette carence. Rappelons d’abord que, à ce niveau IA, il existe cependant déjà certaines relations quantitatives entre les parties et le tout, mais d’un type particulier dû à une différenciation et une coordination insuffisantes entre l’extension et la compréhension des classes : par exemple il arrive que les sujets considèrent que 10 éléments tirés d’une collection de 50 font « plus » que 10 tirés de 20, comme si le [p. 38] caractère plus « nombreux » des 50 se transférait aux 10 à la manière d’un caractère qualitatif en compréhension. Lorsque Bos admet t1 = c parce que T1 = C, ce qui serait une réponse du niveau IIB si elle était fondée sur une composition additive, il raisonne comme ces anciens sujets par simple appartenance qualitative, car les t1 et les c « appartiennent les deux à la maison » qu’est le grand carré. D’autre part, dans le cas des 4 t1 et des 4 t2 il n’y a pas de problème de compositions, les différences t2 < t1 et 4 t2 (en carré) < 4 t1 étant perceptivement évidentes parce que très fortes, puisque les t1 valent le double des t2.

Le problème est donc celui du pourquoi de la non-composition additive, telle que t1 < c mais 4 t1 (soit T1) = 4 c (donc C), étant donné que cette contradiction flagrante, et surtout le fait que les sujets de ce niveau n’en prennent aucune conscience, tient évidemment au défaut d’un tel mécanisme inférentiel. Pour comprendre la nature de ce défaut et donc de cette contradiction, il suffit alors d’examiner comment apparaissent au niveau IB les premières ébauches de ce mécanisme, bien que les sujets de ce niveau IB demeurent largement inaptes à sa généralisation et donc encore insensibles aux contradictions précédentes.

Tan, par exemple, anticipe que T1 > T2 (bien que ces carrés soient perceptivement égaux), parce que formés d’éléments très inégaux et Ful reprend la même idée pour T1 et T2 en disant que par contre dans le cas des t1 et des c la différence est bien moindre, d’où la possibilité T1 = C. Et Mey précise qu’avec des éléments inégaux on peut avoir deux totalités égales parce que « ça dépend de la façon dont on les construit, c’est normal ». Il semble ainsi que deux conditions soient nécessaires pour qu’il y ait composition additive. La première est naturellement qu’un élément quelconque t1, ou c, etc., garde son identité en entrant dans la composition du grand carré et qu’on ne puisse même plus dire avec Ful que « presque la même grandeur… ça fait la même grandeur quand même », autrement dit que les petites différences puissent disparaître au cours de la composition. Mais la seconde condition est moins évidente : c’est comme dit Mey « la façon dont on construit » le tout, comme si une construction astucieuse permettait de compenser les inégalités. Or il faut noter que [p. 39] Mey, comme Ful et Dom, réussit les épreuves simples de conservation des surfaces, lorsque l’on transforme, par exemple, un carré en rectangle ou qu’on le découpe en petits carrés à rassembler pour retrouver le tout initial : en ces cas un allongement est effectivement compensé par un rétrécissement, etc., mais avec cette facilitation qu’il s’agit de formes parentes (quadrilatères). Il convient par contre de rappeler ⁴ la grande difficulté des sujets, jusque vers 9-10 ans, à imaginer qu’on puisse construire un carré avec quatre triangles, en combinant leurs positions comme cela est précisément fait ici avec le carré T1. En comparant T1 au carré C, composé de petits carrés C, le sujet se trouve donc en présence d’un nouveau problème de conservation, avec hétérogénéité et non plus homogénéité des formes, d’où l’impossibilité de percevoir de façon immédiate les compensations dimensionnelles : il est donc « normal », comme dit Mey, qu’à défaut d’une représentation précise de cette composition des triangles en un carré, le sujet puisse supposer que les différences de grandeurs admises entre les t1 et les c s’annulent par compensations lorsque l’on construit les deux grands carrés égaux T1 et C. L’idée en est que si t1 > c, ces différences, quoique orientées toujours dans le même sens (d’après le sujet en ses comparaisons par couples), peuvent se compenser, et non pas s’additionner, selon les positions nouvelles qu’on donne aux petits triangles t1. En effet, le dépassement qui joue un rôle évident dans le jugement t1 > c (évaluation ordinale) n’intervient plus lorsque les triangles sont disposés de façon cyclique dans le grand carré T1 ou T2 et même quand il y a eu anticipation de T1 > C par intuition momentanée de la composition additive (Ful et Dom) la perception d’une égalité ne choque pas le sujet.

Contrairement aux sujets précédents, ceux du niveau IIA commencent à prendre conscience de la contradiction, mais sans toujours la dépasser pour autant :

Dan (6 ; 8) : c est plus petit que t1, et le carré T1 « est plus grand parce que (c) est plus petit pour former un grand carré. — Tu expliques encore ? — Les (t1) étaient plus grands que les (c). — Et j’ai mis la même chose de c [p. 40] que toi de t1 ? — Ah ! oui, parce qu’il y a 4 et 4, les deux (T1 et C) sont la même chose. — Mais de t1 et c il y en a un qui a plus de place ? — Oui, le triangle. — Et sur T1 et C il y a plus de place ? — Non. — Ça joue ? — Non. — Qu’est-ce qui ne joue pas ? — Les deux (t1 et c) sont la même chose. — Comment tu peux savoir ? — … » Hésitations pour T2 et R, puis même solution (t2 = r). « Comment tu peux savoir ? — … — Tu peux expliquer ? — Non. »

Sta (7 ; 4) : t1 est plus grand que c. « Et les grands carrés qu’on a construits ? — Ils ont la même chose de place parce que tous les cartons ont la même chose de place (mais peut-être avec indifférenciation relative entre les t1 et les c et entre les t1 ou les c entre eux). — Tu avais dit (t1 = c) ? — Oui, non, t1 est plus grand. — Et les grands carrés ? — (T1) est plus grand parce que les (c) sont plus petits que les (t1). — Et j’ai pris plus de t1 que toi de c ? — Non chaque fois un (contre un). — Et tu vois ? — (T1) est plus grand. » On compare alors T1 puis C avec de grands carrés vides, soit X : Sta admet alors T1 = X puis C = X mais continue de croire à T1 > C (bien qu’il possède en général la transitivité de même que les conservations du nombre et de la surface, bien justifiées). On passe alors à T2 et R : t2 est plus grand que r mais sur T2 et R « il y a la même chose de place parce que (t2) est plus grand que (r) mais deux (r) font la même chose que deux (t2) ». En effet, 2 r = 2 t2 = ¼ du grand carré. « Et si je fais le grand carré en mettant ensemble (2 r) et (2 + 2), on aura ? — La même chose de place, parce que les (t2) sont plus grands, mais ils font un grand carré (= ¼ du carré) comme les (r). » Par contre, quand on introduit des rectangles plus petits, Sta constate une inégalité sensible des carrés totaux et lorsqu’on revient à T2 et R, il dit alors : « Ils sont les deux de la même grandeur, parce que le rectangle (r) fait la même grandeur que le petit triangle (t2). » Mais après nouvelles perceptions il est repris de doutes.

Guy (7 ; 9) trouve t1 > c et en conclut que le carré T1 « est plus grand. — Explique. — Parce que (t1) est plus grand que (c), c’est pourquoi (T1) est plus grand que (C) ». Mais lorsqu’il pense aux nombres (4 et 4) il en conclut que T1 = C et en déduit qu’« il y a autant de place dans (t1) que dans (c). — Tu as dit qu’il est plus grand ? — Si on coupait (t1) on ferait la même chose que (c) ». Tout est donc logique, mais un nouvel examen perceptif ramène Guy à t1 > c. « Et puis T1 est la même chose que C ? — Oui. — Tu es sûr ? — (Nouvel examen.) Je crois que oui. — Et puis t1 et c ? — (t1) est plus grand et (c) est plus petit. — Ça ne fait rien qu’un soit plus grand ? — Si, ils ne sont pas la même chose ! Si, ça devrait être la même chose… (mais) le triangle (t1) est plus grand que le carré (c). — Ça ne fait rien ? — Non. » Pour T2 et R, mêmes flottements, avec d’abord T2 > R parce que t2 > r, puis égalité dans les deux cas et finalement, après perceptions attentives : « Ils (T2 et R) sont de la même grandeur. — Et (t2 et r) ? — Plus de place sur (t2). »

Lam (8 ; 0) trouve que r < t2 et T2 = R. « C’est bizarre ? — Ah ! oui puisqu’il y a le même nombre et que (t2) est plus grand, je me demande pourquoi ils (les grands carrés) sont la même chose grands. Il faudrait que (r) soit la [p. 41] même chose que (t2). — Et c’est comme ça ? — Ah ! non, (t2) est plus grand. » On revient à T1 et C : « Même chose de place (malgré t1 > c). — C’est normal ? — Non ! Maintenant j’ai compris. Ici c’est un triangle et ici un carré, c’est des formes différentes, on les a placées différemment (dans le grand carré), alors c’est la même grandeur. »

Lorsqu’on reprend en détail les comparaisons d’éléments, il continue d’admettre que les petits triangles sont plus grands que les petits carrés ou rectangles si on les compare un à un, tandis que deux triangles accolés sont égaux à deux rectangles accolés, etc., parce que les formes deviennent comparables.

Cos (8 ; 6) : (t1 > c) mais quand on forme le carré (T1) « c’est la même chose de place. — Pourquoi ? — Je ne sais pas ». Pour T2 et R, par contre on a R < T2 parce que r < t2. Mais lorsqu’on présente des rectangles inégaux et que les différences totales sont évidentes, Cos conclut pour T2 et R à leur égalité et à celle des éléments, mais elle revient ensuite à sa solution initiale.

On voit que tous ces sujets sont sensibles aux exigences de la composition additive et sentent donc une contradiction entre t1 > c et T1 = C, etc. Mais ils ne parviennent pas à la lever entièrement (sauf le plus jeune, Dan, seulement sans trouver une explication, comme ce sera le cas au niveau IIB), et cela pour deux raisons. La première est naturellement d’ordre perceptif ⁵, puisque t1 paraît plus grand que c et que le grand carré T1 est visiblement égal à C. Seulement la perception est loin de tout expliquer, puisqu’elle demeure la même au niveau IIB, mais est alors tenue en échec par les inférences suffisantes : « On voit que t1 > c, mais ce n’est pas vrai », dira ainsi Roi (§ 4) et rien n’empêcherait les sujets précédents, qui sont au niveau des premières opérations concrètes, de raisonner de même s’ils parvenaient à appliquer les lois (donc connues d’eux) de la composition additive en ces cas où les formes sont hétérogènes comme dans ceux où elles sont homogènes. La raison principale de leur échec relatif est donc la persistance de celle que nous avons signalée en fin du paragraphe 2 : pour qu’il y ait composition additive correcte entre formes hétérogènes (triangles et quadrilatères), il faut non seulement que chaque élément conserve son identité, mais encore que, lors de la réunion de deux éléments différents, les inégalités de ces formes se compensent quantitativement. Or [p. 42] ces sujets continuent à croire à de fausses compensations, tenant à des facteurs qualitatifs (position) sans parvenir aux compensations quantitatives comme ils le font aisément dans les épreuves de conservation de la surface où les éléments sont de mêmes formes et où seules les totalités changent de configuration.

Le sujet Lam est remarquable à cet égard : il en arrive, ce qui est décisif, à admettre que deux triangles accolés, et prenant ainsi la forme d’un carré, sont égaux en surface à deux rectangles accolés donnant le même carré, mais continue à penser en même temps qu’un seul de ces deux triangles est plus grand qu’un seul de ces rectangles. Sa conciliation acquiert en ce cas une signification très claire : « c’est des formes différentes, (mais) on les a placées différemment, alors c’est la même grandeur ». Il y a ainsi compensation résolument incomplète au point de vue quantitatif, mais qui paraît suffisante pour les raisons qualitatives de position. Il est visible que Sta raisonne de même lorsqu’il dit « les triangles sont plus grands, mais ils font un grand carré comme les rectangles ». Guy atteint un instant le niveau IIB lorsqu’il dit « si on coupait le triangle (t1) on ferait la même chose que le carré (c) », ce qui est donc une compensation complète parce que quantitative, mais ce n’est qu’une lueur momentanée et il revient à sa compensation qualitative et à la contradiction qu’elle comporte, en concluant qu’elle ne saurait le gêner.

Les sujets du niveau IIB parviennent, mais non sans tâtonnements, à lever les contradictions et avec justifications. Ils sont en général de 9 et 10 ans mais avec 3 cas plus précoces de 8 ans ou presque :

Jul (7 ; 11) ne sait pas si t1 est plus grand ou plus petit que c, selon les positions. Quant à T1 et C, celui-ci sera « plus grand : là il y a des carrés et ici des triangles, ça fait une différence. — C’est C qui est plus grand ? — Je ne sais pas (examen), je crois que c’est la même grandeur… Je crois que (t1) et (c) sont quand même la même grandeur. — Alors pourquoi C = T1 ? — Je ne sais pas comment expliquer. Ah ! parce que les (t1 et c) sont la même chose grand. Chacun des (c) est la même grandeur que chacun des (t1) ».

Rol (7 ; 11) : « C’est (T1) qui est plus grand, parce que les (t1) sont plus grands que les (c). — Regarde. — Les grands carrés sont de la même grandeur. — Je n’ai pas bien compris. — Maintenant je crois que (t1 = c) parce que (T1 = C). — Mais on voit comment ? — On ne voit que pas que (t1 et c) c’est [p. 43] de la même grandeur. On voit que (t1 > c) mais ce n’est pas vrai. — Pourquoi pas vrai ? — Parce que les grands carrés sont de la même grandeur. » Longues hésitations sur les rapports de t2 et de r, mais dès que les grands carrés sont faits. « Alors (t2 = r) parce que (T2 = R). »

Bar (8 ; 4) croit t1 > c et T1 > C. « Pourquoi ? — Ce n’est pas vrai. Si les (4 c) font ensemble une place égale à celle des (4 t) alors (t1 = c). — Mais à regarder ? — (t1) paraît plus grand, mais ils sont les mêmes : si on découpe ce triangle (t1) pour en faire un carré (c) c’est la même chose. » Pour T2 et R, « (T2) est peut-être plus grand ou pas. — Ça dépend de quoi ? — Ça dépend de (r) et de (t2). Il faut que, en découpant (t2), ça donne (r) (pour que T2 = R) ».

San (9 ; 5) : « J’ai dit que (c > t1), je ne sais pas. — Et les deux grands carrés peuvent avoir la même chose de place ? — Oui… (t1 et c) doivent alors être de la même grandeur. »

Cri (9 ; 8) pour T2 et R : « Si (t2) est plus grand, le grand carré est plus grand » ; et Lau (9 ; 11) : « Si (R = T2) alors (t2 = r) » après hésitations sur ce dernier point.

Dia (10 ; 6) croit que t2 > r, puis « non, quand on les met ensemble (2 t2) ça fait comme un carré, (2 r) ça fait la même somme que (2 t2), ça fait la même chose » et « quand on fait les deux grands carrés ça fait la même chose ».

Sem (10 ; 6) : même raisonnement pour les t2 = r. « On dirait, à voir (t2), qu’il est plus grand, mais c’est la même grandeur. »

Les deux nouveautés conjointes qui caractérisent les réactions de ces sujets sont qu’ils arrivent donc à lever la contradiction (entre t > c et T = C, etc.), définitivement et non plus momentanément, et qu’ils justifient leur position finale par une explication faisant explicitement appel à la composition additive (contrairement à Dan au niveau IIA, qui l’applique mais ne la dégage pas). On note, en effet, la rapidité avec laquelle Rol, Bar et San déduisent l’égalité des éléments (t1 = c ou t2 = r) à partir de celle des grands carrés (T1 = C ou T2 = R), parce que pour ces sujets l’égalité des parties (à nombre égal de triangles et de quadrilatères) résulte nécessairement de celle des totalités aussi bien que la réciproque. Jul donne sa démonstration dans le sens parties → tout mais sa découverte est également issue de l’égalité des grands carrés. Lorsque Dia et Sem procèdent de la partie au tout c’est en s’appuyant sur des analyses logiques de ces parties : si on « découpe le triangle (t1), dit Bar, pour en faire un carré, c’est la même chose » ; et Dia comme Sem découvrent spontanément que deux triangles t2 accolés sont égaux à deux rectangles r également accolés, d’où t2 = r et T2 = R.

[p. 44] Quant aux réactions du stade III, elles ne diffèrent des précédentes que par une compréhension immédiate :

Cor (11 ; 7) : « Si on regarde un de ces triangles et un de ces rectangles, l’un a plus de surface que l’autre ? — Non, parce que deux de ces triangles font un carré et deux rectangles aussi. — Et T1 et C ? — Les deux les mêmes puisque (1 t = 1 r) et il y en a 8 là et 8 là. »

Rib (12 ; 0) : « t et r ? — C’est la même surface. Si on pose (1 t) sur (1 r) il y a un bout qui dépasse et un bout pas recouvert, alors c’est la même chose. — Et T1 et C ? — Si (1 t = 1 r) les deux grands carrés devront être égaux parce qu’il y a le même nombre. — Mais si on regarde 1 t et 1 r ? — Ce pourrait être plus grand sans réfléchir, mais ce n’est pas vrai. — Pourquoi ? — Parce que notre œil il nous trompe. »

La première conclusion à tirer de cette évolution, des niveaux IA à IIB ou III, est naturellement qu’en une telle expérience, comme en celle du chapitre I^er, l’insensibilité à la contradiction, puis sa prise de conscience et enfin son dépassement sont dus au défaut puis à l’acquisition d’un mécanisme inférentiel lors de conflits entre la perception et la déduction. Au chapitre I^er il s’agissait de différences non visibles, donc d’égalités perceptives apparentes, sauf entre les termes extrêmes de la série ; mais pour reconstituer celle-ci il était nécessaire de s’appuyer sur un mécanisme inférentiel de transitivité, absent aux débuts (d’où l’insensibilité à la contradiction), puis se constituant avec difficultés à cause de ses conflits avec la perception. Dans la présente recherche, la situation est exactement parallèle, mais en sens inverse : la perception impose des inégalités apparentes, sauf dans la configuration finale (totalités des grands carrés) et, pour établir les égalités réelles, il faut recourir à un mécanisme inférentiel de composition additive, d’abord inexistant puis se constituant avec difficulté dans le cas particulier où les éléments à réunir et comparer sont hétérogènes.

1) Or, dans les deux développements ainsi parallèles (car au chapitre I^er il y a additivité nécessaire des différences non perçues et la transitivité elle-même est une composition additive des relations, puisque ARC = ARB + BRC), la carence initiale du mécanisme inférentiel tient en réalité à la combinaison de deux composantes : le défaut d’identité des termes en jeu, [p. 45] et le caractère incomplet des compensations nécessaires. Pour ce qui est de l’identité, un même terme (grandeur des cercles au chapitre I^er et des triangles ou quadrilatères dans la présente recherche) est conçu tantôt comme égal tantôt comme non équivalent à un second. Quant aux compensations incomplètes, on a vu au chapitre I^er que les classes d’équivalence complémentaires, construites par le sujet ont une partie commune de caractères à la fois x et non-x. De même dans les présents résultats, les sujets croient, jusqu’au niveau IIA y compris, que les différences entre éléments jugés inégaux peuvent se compenser, cela grâce à leurs rapports de position jouant alors le rôle de relations quantitatives, comme cela est concevable en une perspective ordinale.

Mais des compensations incomplètes constituent en tous les domaines le caractère fondamental des états de déséquilibre, puisque l’équilibre a pour propriété une compensation entière (somme algébrique égale à zéro) des travaux virtuels. Une telle considération est sans doute seule à pouvoir expliquer pourquoi le sujet est gêné par la contradiction bien avant de savoir l’exprimer logiquement. Une formulation adéquate supposerait, en effet, que l’on considère comme une norme nécessaire l’égalité du tout et de la somme des parties : en ce cas, mais en ce cas seulement, il est exclu d’admettre simultanément t1 > c et T1 = C, autrement dit l’explicitation de la contradiction entraîne sa suppression. Or ce n’est qu’au niveau IIB qu’une telle manière de penser s’impose au sujet, tandis qu’auparavant il se borne à éprouver une gêne, avec solutions momentanées mais locales, comme s’il parvenait par instants à une intuition de la composition additive, mais parmi d’autres et sans son caractère de nécessité ni surtout sa généralité. Mais qu’est-ce que des intuitions fragmentaires, sinon l’expression de schèmes d’actions, chacun valable en son domaine d’application, seulement insuffisamment réglé quant à l’extension de ces domaines d’où des interférences entre les applications (affirmations) et non-applications (négations), c’est-à-dire à nouveau des compensations incomplètes mais entre les schèmes d’actions eux-mêmes avant de l’être entre les classes d’objets.

Par exemple, le sujet juge le triangle t1 plus grand que le carré c parce que sa base dépasse les côtés du carré, critère qui est exact lorsqu’il s’agit de deux lignes à comparer (et encore [p. 46] avec même point de départ), mais qui, dans le cas de t1, fait oublier les autres dimensions. Il en résulte alors que dans le grand carré T1 où les triangles t1 sont placés différemment et équivalent au carré C formé de 4 c, les dépassements ne jouent plus de rôle et l’égalité T1 = C ne paraît pas choquante. De même le sujet peut juger t1 > c en fonction du périmètre plus grand de t1, mais en oubliant que périmètres et surfaces ne sont pas proportionnels : or, dans les grands carrés T1 et C, les périmètres sont englobés dans ceux des carrés totaux, d’où à nouveau fausse compensation. Ou encore le sujet juge en fonction de l’égalité des nombres, mais en oubliant la non-équivalence possible des unités. Par contre, il accepte la composition additive en cas de formes homogènes des éléments, mais sans la généraliser aux formes hétérogènes pour les raisons qu’on vient de rappeler. En un mot le sujet dispose d’une série de schèmes partiellement valables, mais mal réglés quant à l’extension de leurs domaines d’application, d’où l’insuffisante compensation des affirmations et des négations et le déséquilibre se traduisant par les sentiments de gêne du sujet avant qu’il parvienne à formuler clairement les contradictions. En effet cette formulation suppose précisément le réglage préalable des extensions, donc du « tous » et du « quelques », tandis que l’embarras du sujet vient de l’absence de telles délimitations, jusqu’à ce qu’il ait trouvé un principe d’intégration en la généralisation de la composition additive, qui va justement de pair avec le réglage des extensions.

2) Mais le problème n’est ainsi que déplacé puisqu’il reste à expliquer cette incoordination des affirmations et des négations, et l’on pourrait se demander s’il ne serait pas plus simple, en ce chapitre comme au chapitre I^er, d’attribuer sans plus les déséquilibres initiaux aux conflits entre la perception et les inférences, et l’équilibration au succès de celles-ci. Cela est bien entendu en partie le cas, mais à la condition d’insérer ce primat initial de la perception et cette victoire finale de la composition inférentielle dans un mouvement plus large dont les chapitres ultérieurs fourniront la signification (chap. VII-XI).

En fait, le sujet du stade préopératoire commence par être centré sur l’objet avec ses caractères positifs, fournis par la perception, tandis que les négations et limitations (réglage [p. 47] du tous ou du quelques en tant que non-tous, etc.) ne sont que dérivées ultérieurement par mises en relations ou inférences secondaires. Il résulte de ce primat initial du positif sur le négatif qu’en cas de changement de forme de l’objet (épreuves de conservation) le sujet considère l’action transformatrice (étirer une boulette en boudin) comme additive et créatrice d’augmentation, sans voir que ce qui est ajouté selon une dimension est nécessairement enlevé ailleurs. La conservation se constitue au contraire lorsque cette action est conçue comme un déplacement des parties de l’objet les unes par rapport aux autres, avec donc additions et soustractions nécessairement liées et compensées, d’où la conservation de la quantité totale s’appuyant sur une simple « commutabilité » ou commutativité en un sens élargi (voir le chapitre X).

Or, dans les situations du chapitre I^er et de la présente recherche, nous assistons à un développement en partie analogue, bien que les objets individuels en jeu ne soient pas transformés par les actions mais simplement comparés. Le sujet commence, ce qui est bien naturel, par ne s’occuper que des caractères perceptibles et positifs de l’objet, sous forme d’égalités ou de différences, sans s’occuper de leurs limitations ou négations possibles. Puis, lorsqu’il est en présence des conflits (égalités et différences à la fois ou les unes conduisant aux autres), une réaction fréquente sous sa forme explicite, mais plus souvent implicitement, est d’admettre que les cercles du chapitre I^er peuvent changer de grandeur quand on les manipule (« peut-être qu’il devient plus grand quand on le touche », Cri à 6 ; 5, « des fois il est petit, des fois il est grand » Oli à 7 ; 0) et que les triangles t cessent d’être plus grands que les carrés c quand on les dispose convenablement. Il y a là sous une forme atténuée l’équivalent des actions qui, dans les épreuves de conservation, sont censées modifier matériellement les objets individuels en leurs caractères quantitatifs.

Après quoi seulement la solution est cherchée puis trouvée dans la direction de l’additivité et en opposition avec les données perceptives. Or, sur ce point (et toute proportion gardée quant au rôle retardateur des imperceptibles ou des apparences contraires aux égalisations), une telle victoire progressive de l’addition des parties en un tout stable constitue l’équivalent sur le terrain des comparaisons logiques à ce qui [p. 48] est le déplacement sur celui des transformations. Il y a déjà longtemps que dans le domaine des actions concrètes É. Meyerson comparait l’addition à un déplacement, effectif ou mental. En effet, dans ces cas élémentaires l’addition, comme le déplacement, s’accompagne nécessairement d’une soustraction, ce qui est ajouté à une collection étant de ce fait même enlevé à une autre. Dans le cas de la réunion des parties en un tout, il en résulte que ce qui est introduit dans la somme est nécessairement puisé dans les parties et ne saurait donc plus, comme l’imaginent tant de sujets du stade I, être produit en cours de route. Réciproquement ce qui manque dans la somme (comme le grand carré T1 peut en donner l’impression aux sujets après prévision en opposition à C) n’existait pas dans les parties et n’a pas été anéanti en cours de route par l’action qui arrange spatialement ce tout (en disposant les éléments de manière à supprimer les inégalités).

Au total, bien qu’en ces expériences nous n’ayons pas à faire à des actions modifiant matériellement les objets en leurs formes, mais seulement à des comparaisons logiques (au sein desquelles les transformations ne portent que sur les structures des totalités ou des mises en relations), le passage des déséquilibres initiaux à l’équilibre final présente des traits généraux communs avec ce que l’on verra en d’autres domaines : un manque de compensations, d’où les contradictions, tant que le sujet est centré sur les caractères positifs de l’objet, suivi de compositions opératoires ou inférentielles, dont l’additivité est réglée par le jeu des soustractions ou opérations négatives implicites et atteint ainsi la nécessité réversible.