Chapitre IX.
Les transferts simples ou réciproques d’une collection à une autre ^a 🔗

Commençons par quelques exemples de sujets auxquels le spectacle du transfert n’apprend rien et qui en restent à leur certitude d’une différence de n et non pas 2n :

Mar (5 ; 7) pour un transfert de 1 (sous cache) ne veut pas croire à la différence de 2 : « Il en manque un. — Où ? — Il est là-dessous (sous le dernier jeton de la collection donnante). — Alors je triche ? — Oui, un peu. » Lorsqu’il en donne lui-même 3 au partenaire et constate une différence de 6 et non pas 3 il remet (sans cache) un à un les 3 à leur place initiale et explique les 6 : « J’ai mis 3 à vous et 3 à moi », comme s’ils comptaient en positif aux deux places à la fois. Il en donne cette fois 1 et constate une différence de 2 (après avoir prévu 1) : « C’est parce que l’autre a bougé ici, il est allé là (il croit donc à un transfert de 2). » Sans cache : transfert de 2. — « Pourquoi 4 ? — Parce que ces deux ils étaient là, ils ont été ici. » On pourrait donc croire qu’il a compris, mais pour un autre transfert de 2, en sens inverse, il prévoit à nouveau une différence de 2.

[p. 25]Mic (6 ; 10) finit, avec les caches, par prévoir parfois une différence de 2n, par simple généralisation des constatations, et sans comprendre. Sans cache elle donne 3 et compte la différence de 6 : « Tu comprends maintenant ? — Oui, si je vous donne 3 vous avez 6 (de plus). — Pourquoi ? — Parce que j’ai donné 3. — Et si tu donnes 2 ? — 5, non 4 ! 4 ! — C’est normal ? — Non, c’est bizarre. »

Geo (7 ; 10) trouve aussi par instants la loi, sans comprendre. Sans cache : « Donne-moi 1 jeton (il le fait). J’ai combien de plus ? — 2, ça manque aussi ici (il montre la fin de sa série). — Donne-moi 2. — Ça fera 3 de plus… non 4. — Pourquoi 4 et pas 3 ? — Sais pas. »

On voit que même la perception complète du déroulement de l’action ne conduit pas ces sujets à la compréhension, soit qu’ils en restent à la simple constatation (Mic), soit qu’ils cherchent par différents moyens à imaginer que, pour une différence de 2n, le transfert est aussi de 2n et pas de n : Mar compte les 3 jetons dans les deux collections et Geo voit dans la lacune de sa propre rangée l’indice non pas d’une même différence entre les deux séries mais d’un départ de 2 jetons alors qu’il en a donné 1. Ces réactions, dont on pourrait citer bien d’autres, sont d’autant plus surprenantes que le sujet perçoit donc les n jetons transférés quitter leur rangée en y laissant une lacune et s’ajouter à l’autre série, d’où une différence de 2n se formant sous les yeux de l’enfant. Mais celui-ci ne voit alors dans le transfert qu’une action à sens unique, qui ajoute des jetons d’un côté comme si c’était sans les enlever de l’autre, puisque ce qui est enlevé ne sert qu’à cette adjonction et que les jetons restent les mêmes : il y a donc négligence totale de la soustraction en tant qu’élément négatif du processus, celui-ci demeurant pure addition.

Les sujets qui n’ont rien compris au transfert sous cache mais qui sont éclairés par le spectacle de l’action confirment cette interprétation en tant que prenant brusquement conscience de la soustraction, désignée par les termes d’« enlever », « ôter », etc. :

Rin (5 ; 7), comme presque tous les jeunes sujets, commence par refuser les faits eux-mêmes et croit à un truc : « Tu triches avec ça (écran). » On lui fait alors donner elle-même 1 jeton au partenaire : « Mais ça fait de nouveau 2 ! — C’est toi qui triches ! — Non ! non ! — Alors ? — Je ne sais pas, moi. (Avec transfert de 2.) C’est 4 ! Mais comment ça se fait ? » Sans écran : « Ah, j’ai compris : c’est parce que tu enlèves de là. »

[p. 2b]Yve (5 ; 9), très intelligent, comprend par moments, à la simple inspection des rangées inégales, ce qui se passe (ce qui est exceptionnel pour son âge). Il commence par prévoir une différence de 2 pour 2 jetons, mais emploie déjà un langage de soustraction : « 2, parce que vous avez enlevé de vous et vous les avez mis à moi (on montre). J’en ai 4 de plus ! — C’est bizarre ? — Ah oui, parce que vous avez enlevé 2 et il y a 4 là ! » Transfert inverse : il prévoit de nouveau 2. « Mais, 4 ! On n’en a enlevé que 2 ! Ah ! j’ai compris ! C’est quelqu’un qui a mis ces deux-là (en plus, donc triché). » On le fait recommencer : « Ah, j’ai compris, c’est moi qui ai mis là ces deux-là. On en avait 2 là, d’abord, alors il en manque 2 là (sur sa série) et il y a 2 là (en plus : sur l’autre série). — Combien j’en ai de plus ? — Eh bien, 4 ». Nouvel essai sous cache avec 1 : la différence sera « 2 parce que j’ai enlevé celui qui était là, le mien, et je l’ai mis là ». Pour un transfert de 3 il prévoit par contre une différence de 4, mais voyant 6 donne la bonne explication sur les 2 séries en montrant à nouveau la lacune : « parce qu’on a enlevé là ». Mais pour un transfert de 1 il retombe dans l’erreur initiale : « 1, plutôt 3, non 1 (on montre). Ah ! 2, parce qu’on a pris 1 de là. »

Flo (6 ; 8) débute avec les erreurs habituelles et croit qu’on a triché. Sans cache elle est stupéfaite qu’un transfert de 2 donne une différence de 4, mais ne comprend pas encore et trouve qu’il y en a 2 de trop dans la série accrue. Elle recommence avec 1 : « Alors combien j’ai de plus ? — 2 (sourire gêné). — Tu comprends pourquoi ? — Non. — Ça devrait faire combien ? — 1. » Les prévisions suivantes (avec cache) sont à nouveau fausses. On refait un transfert sans cache et cette fois elle comprend : « 4 parce que j’en ai pris 2 de chez moi (montre la lacune) et je me suis aperçue tout de suite parce que j’ai vu où ça commençait. — (Transfert inverse). — 4 parce que vous avez ôté 2 de chez vous. »

Lie (6 ; 9). Erreurs habituelles, puis, sans cache : « Ah ! j’ai compris : c’est parce que j’ai enlevé un de là (d’où la différence de 2). »

Fra (6 ; 3), après les erreurs, soupçons de tricherie, etc., voit un transfert sans cache : « Ça fait 6 parce que si vous m’en donnez 3 là (chez lui) il y en a 3 qui manquent (chez l’autre) alors j’en ai 6 de plus. »

Le fait frappant en ces réactions est le processus de la prise de conscience. Le transfert des jetons étant dirigé vers une adjonction dans l’une des rangées, le sujet néglige donc d’abord entièrement le fait que cette adjonction dans un sens comporte une soustraction de l’autre côté, et cela même lorsque (Yve 5 ; 9) la description verbale l’indique déjà « vous avez enlevé de vous et mis à moi ». Ce n’est qu’après coup et au vu de la lacune laissée dans la série du donneur, donc au vu du résultat matériel de l’acte et non pas au cours de son déroulement, que la soustraction est aperçue en tant que [p. 27] symétrique de l’addition : d’où la compréhension de la différence en tant que « ce qui est ajouté d’un côté plus ce qui manque de l’autre », et non plus en tant que simplement égale à l’adjonction.

Il reste à rappeler comment le processus rétroactif de la prise de conscience de la soustraction devient anticipateur.

Un beau cas de transition est celui d’Art (7 ; 5). Pendant l’interrogation, elle prévoit systématiquement des différences de n et non pas 2n pour des transferts de n et est indignée des tours qu’on semble lui jouer. On interrompt donc, mais après plusieurs semaines, sans aucune intervention entre deux, elle déclare d’emblée : « Quand tu me donnes 1 jeton de chez toi, ça me fait 2 de plus parce que ça te fait 1 de moins. Si tu avais pris dans la boîte (réserve en dehors des rangées, dont on se sert parfois pour comparer aux transferts de rangée à rangée), ça me ferait 1 de plus (qu’à toi). Mais tu as pris chez toi. »

Pan (10 ; 11) prévoit une différence de 2 après une courte hésitation : « 1. — Pourquoi ? — Non, 2, parce qu’on avait le même nombre. Lui il a enlevé 1, ça fait 1 de moins. Il m’en a donné 1, ça fait un de plus ; (au total) ça fait 2. »

Sans insister sur tous les intermédiaires connus entre les niveaux de 7-8 et 11-12 ans, on voit comment Art, par une frappante réorganisation du souvenir, et Pan, dès la première question qu’on lui pose, dissocient le transfert en deux opérations, quoique reliées en une seule action matérielle : une opération de départ, qui consiste à enlever et une autre d’arrivée, revenant à ajouter, ces deux aspects étant respectivement relatifs aux deux collections simultanément transformées.

Mais si, en cette expérience, les deux caractères de l’action sont nécessairement à mettre en relation, puisque la question porte sur les différences entre les deux collections transformées, il importe de se rappeler que la situation est la même pour n’importe quelle action ou opération, sauf que l’aspect négatif peut ne pas intéresser actuellement le sujet, selon le problème posé : déplacer un objet de X en B, c’est créer une lacune en X ; réunir un objet A à des objets B, c’est le dissocier d’un autre ensemble préalable, bien ou mal déterminé ; attribuer à l’objet A une qualité a, c’est sous-entendre que d’autres objets ne la possèdent pas (et donc postuler l’existence d’autres [p. 28] classes ou de classes secondaires non-A au sein d’un même ensemble), etc. Le primat initial des affirmations sur les négations est donc fort naturel, puisque l’action vise en général un but positif (exception faite pour les corrections, ou actions dérivées visant à éliminer les perturbations possibles). Mais il n’en reste pas moins que pour atteindre un état d’équilibre (toujours relatif et provisoire), la pensée doit tenir compte de l’ensemble des négations éventuelles, autrement dit doit disposer d’un système complet de compensations possibles par rapport aux affirmations dont elle se sert. L’exemple spectaculaire des additions sans soustractions que constitue le transfert des jetons rappelé ici n’est donc exceptionnel que dans la mesure où il fournit une sorte de grossissement de situations par ailleurs courantes à de plus faibles degrés, et qui sont en fait à la source des contradictions réelles ou virtuelles, aboutissant aux stades élémentaires et dont on comprend ainsi le caractère de compensations incomplètes.

De 5 à 7 ans les sujets jugent essentiellement en fonction des éléments positifs et majoritaires des échanges, sans calculer les aboutissements, et ils justifient leurs opinions soit en déformant les observables, soit en renonçant à différencier les couleurs et en se fondant simplement sur l’égalité numérique n = n des éléments échangés :

Nic (5 ; 6) pour 2a contre 2b annonce et constate que « c’est pareil. — Et comme ça (1a 1b contre 2a) ? — Il y aura plus de rouges chez vous (il néglige donc le fait qu’on en transfère 1 dans l’autre sens). — (2a contre 2b). — Ça fera 2 et 2.— Et (2b 1a contre 3a) ? — Même chose, parce que moi 3 et vous 3. — Mais il y aura autant de rouges ici que de blanches là ? — Non, pour que ce soit égal il faut 3b. Fais que ça soit égal. — (Il met 3a et 2b 1a.) Ça fait pareil parce que vous avez 3 et j’en ai 3. — Mets-les dans les pots. (Il le fait.) Combien tu as de rouges et moi de blancs ? — 3 et 3. — Pourquoi ? — Parce que j’ai vu (il se réfère donc aux nombres globaux 3 = 3) ». Question 3 : On tire 1a 1b et 1a 1b du cornet pour I et II : « Ça sera égal (autant de rouges en I que de blancs en II). — Et comme ça (1 rouge à chacun) ? — Ça sera égal. — Compte. — Il n’y en a pas assez. — Tu peux expliquer ? — Parce qu’il y a beaucoup de rouges et pas beaucoup de blancs (1 de moins). »

Ser (5 ; 9) pour 2a 1b contre 3b : « Vous aurez moins de blancs. — Et toi plus de rouges ? — Oui. — Regarde. — (Il compte.) J’ai 5 et vous 5. On est de nouveau égal ! — Comment ça se fait ? — Quelque chose s’est passé, je comprends pas. » On recommence avec 2a contre 1a 1b : « C’est égal parce qu’on a donné 2 et 2. — Mais on compare les rouges ici et les blancs ici. — Ça fait 1 blanc là et pas ici. — Et dans le panier c’est pareil (il regarde). — Oui, parce que avant on se prêtait des billes égales. On est égal. — Mais pourquoi ? — Parce que… Parce qu’on est égal. » Source extérieure : comme Nic.

Eri (5 ; 6) pour 2b contre 1b 1a : « On aura plus de blancs et là moins de rouges. — Pourquoi ? — Parce que je reçois 2 blancs et elle 1 rouge. — Regarde. D’où ça vient que c’est égal ? — Je ne comprends pas. — Refais l’échange pour que tu comprennes. — (Il met 1a 1b de chaque côté). » Question 2 : [p. 31] « On pourrait faire une différence pour que tu aies plus avec un échange honnête ? — Oui (il se donne 2a contre la 1b à l’autre). » Apports extérieurs avec 2a contre 1a 1b : il prévoit l’égalité en fonction des constatations précédentes puis découvre : « C’est pas la même chose. — Avant ça l’était et maintenant pas, c’est normal ? — Non, je sais pas. » On reprend 2a contre 1a 1b entre I et II : « Elle aura plus de rouges et moi moins de blancs. — Regarde. — C’est amusant elle a 6 et moi 6 ! — Tu as bien compté ? — Non (sans recompter) : elle a 7 et moi 6 (déformation des observables). — Pourquoi ? — C’est pas la même chose : elle a reçu (2a) et moi (1a 1b) ».

Myb (6 ; 3), après plusieurs échanges panachés mais entre éléments semblables (2a 1b des deux côtés), prévoit l’inégalité pour 2a contre 1a 1b : « Ce ne sera pas la même chose. — Regarde. — 4 et 4 ! C’est parce que vous avez remis une bille rouge ici (en I). Vous avez triché. » On procède sans écran : « Tu peux expliquer ? — Non. »

Ala (6 ; 4), de même, anticipe l’inégalité pour la question 1, constate 4 = 4 et dit : « Mais tu changes tout. Comment tu fais ? »

Le raisonnement de ces sujets est fort simple. Pour la question 1, ils se contentent de constater soit qu’on donne le même nombre des deux côtés en négligeant les couleurs, d’où une prévision d’égalité (comme Nie), soit qu’on transfère plus, par exemple de rouges, dans un sens qu’on ne transmet de l’autre couleur dans l’autre sens, d’où une anticipation d’inégalité. En ce second cas, ce qui manque au sujet est l’opération complexe x − x’ = y’ − y, autrement dit la compréhension du fait que si, pour 2a 1b et 3a, trois billes rouges sont transférées dans un sens, deux le sont dans l’autre, d’où la soustraction 3 − 2 = 1, cette dernière rouge étant compensée par la blanche. En d’autres termes le sujet ne pense qu’aux excédents positifs et oublie la soustraction. Pour ce qui est de la question 2, le sujet croit facile de réaliser l’inégalité en vertu du même principe (Eri) ; quant aux apports extérieurs (question 3) ils ne sont pas distingués des échanges entre les collections I et II puisqu’on ceux-ci le sujet néglige toute soustraction.

La source des erreurs de prévision étant ainsi l’oubli de toute opération négative, il s’y ajoute que c’est la même lacune systématique qui empêche ces sujets d’expliquer le résultat une fois constaté. Les uns le contestent en déformant les observables (voir Eri) d’autres refoulent leur souvenir des données, d’autres invoquent une tricherie ou une astuce cachée (Myr et Ala), d’autres reviennent aux considérations numériques [p. 32] globales en écartant le facteur gênant des couleurs, etc.

En un mot, ce stade est caractérisé par une incompréhension complète due à la prédominance systématique des aspects positifs de l’échange avec oubli de toutes soustractions. Pourtant celles-ci sembleraient en un sens plus faciles à considérer que dans le cas d’un transfert unique de n éléments où la différence est alors de 2n, puisqu’il y a ici échange et que les soustractions à trouver portent d’abord sur la comparaison des deux transferts avant de faire intervenir ce qui est enlevé en chaque cas. C’est ce que va nous montrer le stade II.

Voici des exemples du stade II :

Cat (7 ; 9) pour 2b 1a contre 2b 1a (sous le cache) : « C’est la même chose puisqu’on s’est donné la même chose. — Si je te donne 2b 1a et toi 2a 1b et si on compare les a aux b, c’est égal ? — Il y aura pas la même chose : chez moi il y aura 1 de plus de b et chez vous 1 de plus de a. — Mais compare les a chez toi à mes b, c’est égal, ou plus ou moins ? — … — Qu’est-ce qui te tracasse ? — Parce que vous avez dit de voir les a chez moi et les b chez vous : il y aura 1a chez moi et 1b chez vous, ça fera la même chose. — (On découvre). — 2a 2b. — Bien. Tu vas me donner 3b et moi 1a 2b. — Il y aura 1b de plus chez vous que de a chez moi, parce que 1a 2b et 1a 3b. — (Constatation.) — C’est faux. Ah ! parce que vous m’avez donné 2b : c’est comme si on en avait enlevé quand moi j’avais pas 2b la et pas 3b, moi je vous ai donné 3b et vous 2b, ici il y a 1b et 1a 3a et vous me donnez seulement la et vous avez 3b, alors ça fait 4. — Et 1b 1a contre 2b ? — Ça ne va pas, Moi je vous donne 1a 1b, vous aurez 1b de plus que moi, et moi j’aurai… il faut que je calcule ça : je reçois des b, ça ne compte pas (pour vous). Moi je vous donne 1b et vous 2b qui ne comptent pas. Les 2b comptent pour vous et moi je vous ai donné 1b qui compte. Donc il y a 1b de moins pour moi… Ah ! non, ça fera la même chose parce que, comme je disais qu’une manquerait chez vous, si on ne compte pas les a, vous m’avez donné 2b qui comptaient et moi j’ai donné 1b qui comptait pour moi et vous la qui compte pour vous ; alors comme ça les 2b ne comptent pas pour moi mais pour vous, moi je vous ai donné 1b qui compte et la qui ne compte pas, donc c’est égal. — Tu pourrais arriver à une différence avec des échanges égaux ? — Mais il faudrait que je vous en donne une. — Mais tu dois en reprendre une chez moi. — On n’arriverait pas. Si je prends 1a ça en fera 5 et si je vous en redonne 1b ça fera 5. — Et si on se donnait 5 et 5 billes on peut faire une différence ? — (Elle compte et essaie.) On n’arrive pas avec 5 et 5. — Pourquoi ? — Parce que quand je mets 5a et vous me donnez 5b, ça fait la même chose. » Apports extérieurs : 1b 1a et 1b 1a en regardant les a chez toi et les 6 chez moi ? — Ça fait la même chose puisqu’il y a la même chose dans les pots : je reçois une bille qui compte et une qui compte pas, et vous aussi. » Par contre pour 1b ou la de chaque côté, Cat hésite entre l’inégalité et l’égalité des résultats et se décide pour cette dernière.

[p. 33]Ale (7 ; 6), 1b 1a contre 2a : « Vous aurez plus de a. — Regarde. — Ah ! C’est l’égalité. — Pourquoi ? — Parce que je croyais qu’il y en avait la de plus. — Qu’est-ce qui s’est passé ? — Je ne sais pas. — Refais ce qui s’est passé. — (Il dénombre les résultats mais sans les soustractions.) — Comme ça (3b contre 2a 1b) ? — C’est moi qui ai… non, non c’est pas ça, ça fait égalité. — Pourquoi ? — Parce que j’en ai pris (soustraction de sa collection) 2a et vous m’avez donné 3a. J’en avais 1 (après la soustraction), ça fait 4 et je vous ai donné 1b, ça fait 4b (chez vous). — Tu crois que c’est possible en échangeant toujours le même nombre de billes de faire que tu aies la de plus que moi ? — (Il essaie avec 2b.) Non, il faut que j’en reprenne 3, sinon ça fait égalité. » Idem de proche en proche. « Impossible ? — Oui. » Apports extérieurs de 1b et 1b : « Égalité, parce que vous avez égal », puis il constate que « c’est faux. — Pourquoi ? — Parce que vous aviez autant que moi (de b que moi de a) ».

Tia (8 ; 1) : « 3b contre 1b 2a ? — Il y aura plus de 6 chez vous. — (On le fait.) — Il y a le nombre égal. — Pourquoi ? — Comme la b que j’ai reçue (addition) est celle qui était là (soustraction de l’autre côté) il ne restait plus que 2b (chez vous). C’est pour ça que c’est égal. » Néanmoins à la question « c’est possible qu’il y ait (avec échanges n à n) par exemple 1b de plus chez moi que de a chez toi ? — Oui, je prends 2b 1a et là 3a (il retombe donc dans la même erreur puis essaie sans succès divers échanges panachés analogues). Ce sera toujours le même nombre ». Apports extérieurs la de chaque côté : prévision fausse puis généralisation du résultat observé.

Les réactions sont les mêmes à 9 et 10 ans sauf que la référence aux soustractions est souvent plus explicite :

Fra (10 ; 0), par exemple, essaie d’obtenir des résultats inégaux avec des échanges panachés mais n à n : « J’ai compris, ça fait exactement le même nombre… parce que si je fais la soustraction il faut donner (autant de billes) que je perds (que celles) que je gagne. »

Le propre de ce stade II est donc que, si les sujets débutent par des erreurs analogues à celles du stade I, ils les corrigent rapidement en dressant le bilan des pertes comme des gains, donc en tenant compte des soustractions comme des additions. Par contre les lacunes qui subsistent à ce niveau demeurent importantes. D’abord il n’y a pas toujours généralisation immédiate de ce qui vient d’être découvert en une situation, mais rééquilibration de cas en cas après répétition en plus bref des mêmes tâtonnements (centration sur le nombre global des billes indépendamment des couleurs, compensations incomplètes entre les termes de l’échange, etc.). Ensuite, lorsqu’on passe à la question de la possibilité d’une inégalité avec échanges n [p. 34] à n le sujet recourt souvent et spontanément à des panachages dont il vient pourtant de constater qu’ils aboutissaient à des égalités. Et surtout, lorsqu’il retrouve une fois de plus l’égalité, il ne comprend pas pour autant l’impossibilité logique qu’il en soit autrement, se bornant à prendre acte de la non-possibilité de fait, ou légale, ou l’attribuant même à son incapacité subjective d’y parvenir malgré ses essais. Enfin, lors de la question des apports extérieurs, les sujets de ce stade II en demeurent plus ou moins longtemps aux erreurs habituelles, concernant 1a ou 1b de chaque côté avant de comprendre que l’inégalité est due à l’absence de soustraction au sein des collections elles-mêmes.

Ce n’est qu’au stade III que le sujet s’approche d’une solution générale :

Anc (12 ; 5), pour 3a contre 2a 1b : « Ça revient au même : vous m’avez donné 1b et moi la donc ça se compense et comme des deux côtés on a 2a, ça ne change rien. » D’autre part, pour la 1b contre 2b, elle explique l’égalité par le fait que « j’ai enlevé 1b de chez moi mais j’ai repris 2b, c’est comme si je vous avais donné 2a et repris 2b » (ou bien elle veut dire 1a et 1b ou elle généralise d’emblée).

Noc (12 ; 0) généralise aussi la soustraction à propos de 1b 2a contre 3a : « Parce que au début les 3b viennent de vous, j’ai enlevé 1b de moi, donc 2b. — Et les a ? — Ça n’a pas changé : 2 de plus, c’est de nouveau à égalité… pour que ce soit inégal il faut n’enlever que d’un côté. Si on enlève des deux côtés, c’est égal. » Et à propos des apports extérieurs, prévision d’inégalité « parce que je n’ai rien enlevé des pots (récipients des collections) : il y aura plus de b que de a ».

Les généralisations sont ainsi de deux sortes. L’une, adoptée par Anc au début de son interrogation, revient à réduire l’échange total à des échanges 1 à 1 dans lesquels il y a nécessairement, ou bien identité (« des deux côtés on a 2a, ça ne change rien »), ou bien compensation (« vous m’avez donné 1b et moi 1a, donc ça se compense »). Mais, qu’il s’agisse de l’une ou de l’autre, cela revient à égaliser ce que l’on donne d’un côté (− x ou − y) et ce que l’on reçoit (+ x’ ou + y’), donc à mettre en relation les soustractions avec les additions, en cas de mêmes couleurs (identités) comme de couleurs croisées (compensations : en cette situation on a − x = + y’ ou + x’ = − y). L’autre forme de généralisation consiste, comme le fait Noc (et Anc en fin d’interrogation), à comparer les [p. 35] additions et soustractions couleur par couleur (d’où x − x’ = y’ − y, etc.) comme nous le faisions dans notre introduction. Mais l’intérêt de ces réactions et ce qui les distingue de celles du stade II est qu’elles dégagent d’emblée la généralité du processus : pour conserver l’égalité, dit Noc, il faut « enlever des deux côtés », et non pas d’un seul et Anc compare ces différences entre additions et soustractions par couleurs aux compensations dont elle vient de se servir (« c’est comme si je vous avais donné 2a et repris 2b »). C’est donc bien, dans les deux procédures, la comparaison des additions et soustractions, qui constitue le principe commun des généralisations propres à ce stade III.

Nous retrouvons ainsi ce qui correspondra à la conclusion générale de cet ouvrage : que les contradictions sont dues au défaut d’équilibre entre les additions et les soustractions et que leur équilibration suppose leur compensation exacte, autrement dit la réversibilité opératoire. Mais celle-ci, on le constate une fois de plus, ne s’acquiert que par approximations ou régulations successives, palier par palier, et représente donc le résultat et non pas la source de l’équilibration progressive qui caractérise chaque développement.