Chapitre premier.
Abstractions, différenciations et intégrations dans l’utilisation d’opérations arithmétiques élémentaires ^{1 2} 🔗

Les sujets de ce niveau élémentaire échouent aux questions 3 et 4. Quant aux deux premières, souvent étudiées dans les recherches antérieures, elles donnent lieu aux remarques suivantes du point de vue de l’abstraction. D’une part, plus de la moitié des sujets considèrent que les deux ensembles sont égaux en se fondant, non pas sur la coordination des actions assurant la correspondance (et cela contrairement à ce qui se passe quand c’est l’enfant lui-même qui place simultanément d’une main un élément dans l’une des collections et de l’autre main un élément correspondant dans la seconde), mais sur l’espace occupé par les deux rangées, dont les unités peuvent être écartées ou serrées pourvu qu’il y ait égalité visuelle des longueurs totales. Ce fait confirme la règle selon laquelle l’abstraction porte d’abord sur le résultat des actions avant de se centrer sur celles-ci. Mais surtout il montre une fois de plus l’indifférenciation initiale du nombre des éléments et de la longueur de leur rangée, ce qui expliquera les réactions à la question 4. D’autre part, lorsque l’on passe à la bijection matérielle, en posant chaque fois un cube rouge sur un plot bleu le sujet justifie l’équivalence en disant « parce qu’on a pris la même chose » et il lui arrive alors de préciser qu’il en va de même lors du prélèvement simultané :

Ste (5 ;2) évalue d’abord l’égalité en fonction de la longueur des rangées, mais après la superposition par couples des cubes rouges et bleus, il dit, lorsqu’on revient aux prélèvements simultanés : « Vous avez beaucoup et moi beaucoup, la même chose : pour mettre les rouges sur les bleus il y a juste assez. »

L’indifférenciation du nombre (ou de la quantité) d’éléments et de la longueur des rangées rend par conséquent immédiate [p. 12] une réponse paraissant juste à la question 2. Tous les sujets du niveau IA disent, en effet, déjà comme l’un d’eux : « C’est la même chose de plots, alors ça fait les mêmes murs » ; mais la réaction n’est correcte qu’en apparence, puisque (on le voit à la question 4) ils ne tiennent pas compte de la longueur des unités, et ne précisent pas, comme au niveau IIA, « parce qu’il y a le même nombre de plots et que tous sont de la même longueur ». La réponse n’est donc juste qu’en fonction d’une indifférenciation et non point encore d’une coordination (ou intégration après différenciation).

Quant à la question 3, les résultats obtenus en sont intéressants :

Dm (4 ;10). Question 1 : « Même chose beaucoup. » Question 2 : « Même bout, on a pris les mêmes. — Et si on continue (question 3) ? — … — (On refait). Si on continue toute la journée ? — Peut-être comme l’autre : on ne peut pas savoir, c’est long une journée. — Mais si on réfléchit ? — Ça change : à la fin on ne sait pas comment ils seront les murs. — Mais idem ou pas ? — On ne sait pas. On doit voir. »

Geo (5 ;1). Question 2 : « Les murs seront les mêmes, parce que les plots sont les mêmes… Il faut voir. On ne peut pas savoir déjà (avant la construction). » Après constatation : « Et si on continue ? — Ça fera beaucoup pour vous et pour moi beaucoup beaucoup. —  Mais autant ? — On ne sait pas. Vous pouvez savoir quand vous les compterez. »

En fait, si les sujets à partir du niveau IB affirment qu’en continuant indéfiniment le prélèvement simultané on obtiendra toujours une égalité des nombres ainsi que celle de la longueur des murs, dix sujets du niveau IA (de moyenne d’âge de 5 ;3) n’en sont pas certains et déclarent ne pas pouvoir en décider. Du point de vue qui nous intéresse ici il y a donc là la preuve que l’abstraction réfléchissante de la bijection demeure incomplète et ne fonctionne qu’en s’appuyant sur une nécessaire abstraction pseudo-empirique, autrement dit sur une constatation des résultats observables.

Tout ce qui précède rend alors naturel l’échec à la question 4, portant sur la comparaison des longueurs de deux murs formés d’un même nombre de plots mais de longueurs inégales. On commence par présenter un plot cubique (longueur 1) et un autre de valeur 5, d’où la comparaison spontanée : « un est plus grand », « le bleu est grand et le rouge est carré » ou « le bleu est allongé et le rouge est carré », autrement dit, du point [p. 13] de vue de l’abstraction, une indifférenciation entre la grandeur et la forme, ce qui est essentiel et explique le caractère qualitatif et l’absence de quantification (sauf ordinale, ce qui est encore qualitatif) propres aux réactions de ce niveau. On demande ensuite la construction de deux murs (et on le commence même), l’un formé de plots de longueur 1 et l’autre de plots de longueur supérieure. Les sujets du niveau IA prévoient en ce cas l’égalité des longueurs totales :

Per (4 ;11) : « Les murs iront (tous deux) jusqu’au bout : on a beaucoup ici et beaucoup là. »

Cri (5 ;10) : « Même longueur, parce qu’on a fait en même temps (gestes de correspondance). »

Duc (6 ;3) : Idem parce qu’« on prend les mêmes, on a la même chose de briques ».

PlE (6 ;3) : « Même longueur parce qu’on commence et qu’on finit en même temps. »

Tous ces sujets sont ensuite visiblement étonnés lorsqu’ils constatent que le mur bleu est bien plus long que l’autre et leur réaction immédiate est alors de douter qu’en réalité le nombre des éléments soit le même : ou bien ils le disent explicitement, comme Per affirmant « alors vous avez pris plus », ou bien ils se mettent à compter les plots en cessant de se fier à la correspondance 1 à 1 observée au cours de la construction.

Quant aux épreuves 6 à 8 il va de soi qu’en ces conditions il y a échec total :

Cat (4 ;11) ne comprend rien à l’épreuve 6 et dit, pour 7 : « On ne peut pas savoir », puis « le mur bleu sera la même chose long que le rouge parce qu’on prend des petits ».

Dar (5 ;2), en présence des murs inégaux construits (et achevés) à propos de la question 4, pense (pour la question 7) que « ça fera plus petit ce mur (celui qui dépasse) », puis « ils seront la même chose longs (au total) : on rajoute les mêmes ».

Gra (6 ;2), en présence également des murs bleu > rouge dit, pour la question 6 : « Ça fera le vôtre plus allongé et le mien aussi », eu indiquant une même longueur pour chacun.

Dans le cas de la question 8 il n’y a aucune compréhension de la compensation :

[p. 14]Jul (6 ;2), après avoir constaté les inégalités bleu > rouge lors des questions précédentes : « Ça fera toujours dépasser le mur avec les grands. »

Bal (6 ;4) : « Pas possible de faire la même longueur si vous prenez des petits et moi des grands. »

En un mot la caractéristique de ce premier niveau est le peu de pouvoir de l’abstraction, d’où la présence et la persistance de quelques indifférenciations fondamentales, telles qu’entre la grandeur des objets et leur forme, ou (ce qui est très proche) entre un nombre d’éléments et la longueur de leur rangée. Même la coordination si primitive d’actions constituant la bijection (et dont on trouve des racines dès les niveaux sensori-moteurs) ne donne lieu à une abstraction réfléchissante si faible que la prise de conscience du résultat de ces actions l’emporte encore sur celle du processus comme tel et que la question 3 donne lieu à un échec par nécessité d’appuyer le ré fléchissement sur une abstraction pseudo-empirique.

Autour de 6 ans en moyenne l’épreuve 1 donne lieu à une abstraction réfléchissante à partir des actions de bijection : il y a égalité des nombres parce qu’« on a pris comme ça », « on a pris ensemble », « on a fait attention de prendre en même temps », etc. Il en résulte que la question 3 donne lieu à une réussite (l’égalité se conservera si l’on continue indéfiniment ³) sans plus avoir besoin de constatations pseudoempiriques, la généralisation procédant ainsi de l’abstraction :

Eno (5 ;9) « Et si on continue toute la journée ? — Si on prend la même chose chacun à son tour et qu’on ne se trompe pas, ça ira au juste point, au bout comme à l’autre. »

Duc (6 ;3) même question : « La même chose de long : on en fait la même chose tout le temps (geste rythmé). »

Une autre différenciation, mais ne faisant alors que débuter, s’observe à propos des questions 2 et 4 : celle du nombre et de la longueur, qui mérite un examen attentif du point de vue des [p. 15] premières ébauches de quantification à partir des différences qualitatives.

Notons d’abord le progrès accompli dans la mesure des unités (par exemple un rouge = 1 et un bleu = 5) : on peut mettre, disent des sujets de 6 ans, « 5 rouges sur un bleu » ou « il entre 5 petits dans un grand ». Il y a donc là un recours à l’extension succédant à la seule qualification en compréhension (« grand » ou « allongé » et « carré », etc.), mais sans que l’emploi du nombre 5 conduise à une mesure authentique, c’est-à-dire à une métrique fondée sur l’additivité des unités. C’est ce que montrent les faits suivants :

Mol (6 ;0) répond naturellement à la question 2 que les murs seront de même longueur. On lui montre alors un bleu = 3 à comparer à un rouge = 1, et on annonce que les murs à construire (épreuve n° 4) comprendront 6 plots de chaque. Elle répond d’abord qu’« on ne peut pas savoir » où ils se termineront, puis : « Ils seront de la même longueur. » Peu après : « Il sera plus long le bleu », mais elle pose l’indicateur face au dernier plot bleu comme prévision de la longueur du mur rouge (donc à nouveau égalité) ; puis, arrivée vers le milieu, elle est très étonnée de la différence et met l’indicateur face à l’avant-dernier bleu, donc à nouveau beaucoup trop loin. Pour n = 8 et une proportion de 2 à 1 : mêmes réactions.

Cba (6 ;2), avant la construction des murs, avec des plots différents de 5 à 1, regarde de près les plots témoins et dit d’emblée « le vôtre sera plus long ». Mais il place l’indicateur à l’avant-dernier bleu (sur 10, à 45 cm environ), puis examinant encore une fois les rouges il le met au 8^e bleu. Il est ensuite très surpris que ses rouges n’y arrivent pas : « C’est parce que je n’ai que des petits-petits. » Aucune généralisation pour les essais suivants.

On le voit, le progrès de ces réactions, par rapport à celles du niveau IA, ne consiste qu’à prévoir une petite inégalité de longueur entre les murs, mais minime et même pas toujours immédiatement (Mol). Il y a donc là, non pas encore une quantification (métrique), mais une évaluation ordinale fondée sur les différences qualitatives. Lorsque l’on pose la question 5 (même problème mais sans préciser le nombre d’éléments) avant la question 4 (en indiquant le nombre de plots de chaque catégorie que l’on va poser), en se bornant à tracer une ligne pour indiquer la longueur du mur bleu et en demandant le dessin parallèle d’une ligne rouge pour symboliser le mur de cette couleur, les réponses sont du même genre mais avec des différences encore plus réduites.

Quant aux questions 6 et 7, même les sujets les plus évolués [p. 16] de ce niveau ne parviennent à prévoir que l’allongement des deux murs, sans coordination des rapports, mais parfois avec l’idée que les petits plots rouges ont tendance à rattraper les grands bleus (bien qu’on en donne le même nombre) :

Esc (7 ;4). Question 6 : « Si on ajoute les bleus, il dépasse… quand j’ajouterai aussi des rouges cela fera encore plus ici (mur rouge). » Question 7 : « C’est le rouge qui devient plus long. Vous rajoutez des grands, le mien dépassera quand même, j’en prends beaucoup de petits. —  Mais regarde ce qu’on a fait avant. — Ça ne compte pas, c’est ce qui allonge ici (qui compte), c’est mes petits. » On fait l’essai : « Non, c’est quand même vous le plus long, je n’ai pas pu rattraper le vôtre. »

Sel (7 ;1). Question 6 : « Le dépassement sera le même » en se référant seulement au nombre des plots ajoutés, tandis que paradoxalement à la question 7 : « On ajoute les mêmes » donc « le dépassement devient plus petit parce que vous n’ajoutez que des petits (alors que vous aviez seulement des grands) ».

Or, malgré certaines tendances compensatrices (comme chez Esc), l’épreuve 8 n’est pas réussie faute de considérer les rapports, le sujet ne songeant qu’à rattraper l’extrémité du mur le plus long en ajoutant au second ce qui manque.

Ren (5 ;10) rajoute 5 petits pour rattraper et est très étonné en voyant au résultat final que les longueurs sont inégales.

Bac (7 ;0) malgré son âge répond comme Bal au niveau IA : « On ne peut pas faire égal quand vous prenez des petits et moi des grands. »

Il n’y a donc pas plus de quantifications métriques avec ces épreuves qu’avec les précédentes, les raisonnements se bornant à utiliser les différences qualitatives.

Aux environs de 7-8 ans on trouve comme d’habitude un niveau caractérisé par les débuts de la quantification, et, dans le présent cas ⁴, ils se manifestent par une réussite à la question 4, mais de nature encore additive par utilisation répétée de la différence donnée (entre un plot rouge valant 1 et un plot bleu valant entre 2 et 5) : cette différence, [p. 17] déjà notée par le sujet au niveau IB, mais à titre d’abstraction pseudo-empirique locale ou isolée, est donc alors additionnée à elle-même un certain nombre de fois (autant qu’il y a d’éléments dans le mur), ce qui conduit à une quantification à partir de la différence de départ. Par contre, les questions 5 à 8 ne donnent encore lieu qu’à des échecs faute de coordinations suffisantes, c’est-à-dire en l’espèce de réflexion sur les réflexions.

Voici d’abord un cas intermédiaire entre les niveaux IB et IIA :

Lor (7 ;4) dit d’emblée « le nombre est le même, mais la longueur allonge les bleus », puis il est pris de scrupule : « Je suis bête : c’est le même nombre alors c’est la même longueur. Quand même ils (les rouges) sont petits, c’est le nombre qui fait égaux les murs. » Mais le mur bleu une fois construit (10 unités valant chacune 5), Lor, prié d’indiquer où arrivera le rouge, dit à nouveau : « Le bleu sera plus long. » Il pose alors l’indicateur à la fin du bleu puis regardant chaque fois les deux éléments bleu (5) et rouge (1) donnés pour comparaison, il déplace l’indicateur de proche en proche en s’arrêtant un instant vers le milieu puis en reculant encore vers le 3^e, ce qui est donc presque juste ; ensuite il touche chaque plot bleu et rapproche l’indicateur du 2^e, ayant ainsi ajouté 10 fois la différence ⁵ b — r en reportant visuellement sur chaque bleu la relation donnée sur les deux plots témoins. Mais il ne généralise pas sa découverte lors des essais suivants.

Dès ces cas intermédiaires on voit ainsi que la relation donnée b > r, donc la différence b — r, au lieu d’être simplement reportée telle quelle à l’extrémité du mur bleu, d’où B — R = b — r comme au niveau IB, est comprise (au moins momentanément) comme se répétant identiquement pour chaque couple b et r, d’où B — R = (b — r) (b — r) -|- (à — r), etc. = N (b — r), mais le sujet en reste à cette répétition additive sans dégager la relation générale donc multiplicative.

Voici maintenant des cas francs du niveau IIA, en y joignant les réponses à la question 5, posée tantôt avant et tantôt après la question 4, ou encore en indiquant d’avance le nombre n [p. 18] des éléments des murs, mais sans construire le bleu et en demandant seulement le tracé de deux lignes :

Jac (8 ;8) pour N = 10 et b = 5r : « Le mur bleu sera plus long. » Mais on ne construit pas le mur bleu et on dessine simplement un trait : Jac trace alors un trait rouge plus court, mais de très peu, donc B — R = b — r. Lorsqu’on construit le mur bleu avec les plots, Jac fait une correspondance visuelle (sans rien toucher) entre chaque bleu et la différence b — r perçue sur les plots témoins : elle arrive alors à mettre l’indicateur sur le milieu du 2^e bleu, ce qui est une approximation valable. Ensuite, pour N = 9 et h — 3r, en dessinant simplement les lignes, elle retombe dans B — R = b — r (rapport d’environ 45 à 40), mais, quand on construit avec les plots le mur bleu, elle compte jusqu’à 9 en faisant correspondre chaque plot b à la différence témoin (b — • r) et pose à nouveau l’indicateur sur le milieu du 2^e bleu en disant : « 2 grands (6) et encore la moitié du grand (3) ça fait 9 petits cubes », ce qui est juste, mais mal appliqué puisqu’elle a indiqué une longueur de 4 1/2. Pour N = 10 et b = 2r elle mesure b avec r et dit spontanément « la moitié ». Or, chose extraordinaire, lorsqu’on se borne à dessiner les lignes, elle donne à nouveau B — R = b — r donc un rapport d’environ 20 à 18-19. Mais quand on construit les murs avec les plots elle compte « 2 et 2 et 2 et 2 et 2 » et pose l’indicateur au 5^e bleu, ce qui est donc juste, soit B — R — 5(b — r), mais lorsqu’on reprend le dessin par lignes, elle retombe dans l’estimation B — R = b — r !

Mac (8 ;5). Question 5 (pour b = 5r) : elle prévoit des murs de même longueur puisqu’ils ont le même nombre d’éléments, mais avec les plots (question 4 : IV = 10), elle pose d’abord l’indicateur à la fin de B puis se corrige aussitôt en comptant jusqu’à 5 sur le premier bleu et encore 5 sur le second et place le terme des rouges de façon correcte « parce qu’il (un 6) a la longueur des 5 carrés (r) ». Pour N = 9 et b = 3r, elle refuse toute décision sur les dessins de lignes, mais avec les plots elle compte a 3 et 3 et 3 » et se décide avec succès. Même pour N = 12 et b = 2r, elle refuse encore le dessin « il faut construire le (mur) bleu pour savoir », mais avec les plots elle réussit d’emblée : « On a 12 et 12 (éléments) et 2 rouges pour un bleu, alors c’est là parce que 6 et 6 ça fait 12. » Pour N = 3 elle pose l’indicateur sur le 1^er puis sur le 2^e b.

De façon générale, que le sujet procède par correspondances visuelles entre chaque bleu et la différence témoin b — r, ou en touchant chaque bleu et en comptant le nombre de rouges qui lui correspondent ou encore en comptant (2 et 2 et 2, etc., ou 3 et 3 et 3, etc.), la solution est trouvée par un processus additif revenant à B — R = (b — r) -f (b — r) … Or, il y a là un progrès considérable par rapport au niveau IB, quoique procédant par abstraction réfléchissante à partir de l’abstraction de la différence de longueur r — b pour deux unités numériques (1b et Ir) qui caractérisait le niveau précédent. [p. 19] En effet, ce qui est nouveau est de retrouver la même différence ou la même relation pour chaque couple b et r, ce qui comporte l’abstraction d’une équivalence, donc d’une sorte de corrélât : r2 est à b2 comme rl est à bl = etc. (voir le chapitre III où les corrélats débutent aussi à ce niveau IIA). En ce cas le fait de reconnaître l’existence de plusieurs relations équivalentes conduit à les réunir en extension et cette addition des différences constitue une quantification.

Mais il est alors très remarquable de constater que si TV n’est pas connu, donc si l’on procède dans l’abstrait, sans les plots (sauf les deux témoins b > r) le sujet en revient aux solutions du stade I, donc B — R = une seule différence (b — r) ou même B — R parce que les TV sont les mêmes (Mag.) C’est que, pour résoudre cette question 5 il faut faire usage d’une forme supérieure d’abstraction : une abstraction réfléchie ou réflexive procédant par réflexion sur les réflexions particulières. En fait, elle reviendrait à réunir les additions en une addition d’additions, c’est-à-dire en une multiplication B — R = TV (b — r) ou même en une proportion B/R = b/r, et tout cela dépasse ce niveau IIA.

Quant aux questions 6 et 7, dont la solution implique soit (en 6) la permanence du même rapport, soit (en 7) la conservation de la différence absolue, le progrès sur le niveau IB est que les sujets admettent d’emblée que les allongements des deux murs sont coordonnés, mais ils échouent à préciser comment. Pour la question 7, ils prévoient un changement de la différence absolue. Quant à la question 6, ils ne parviennent pas à comprendre que le corrélât (r2 est à b2 comme rl à bl, etc.) déjà atteint lors de la question 4 n’est qu’à conserver et à prolonger lors de l’adjonction de nouveaux éléments b et r ; ils oublient ce rapport de b à r, sans doute parce qu’il s’agit maintenant de deux ensembles de différences (quoique équivalentes) et que cela supposerait le passage de simples corrélats (dont la « compréhension » qualitative est immédiate) à des proportions proprement dites R2 est à B2 comme Rl à Bl :

Rol (8 ;11), N = 10, b — 3r, à quoi on ajoute ensuite 66 et 6r : il dit que « votre mur va s’allonger et le mien aussi », mais il prévoit un allongement plus grand pour les rouges. Pour simplifier on enlève progressivement les nombres égaux de bleus et de rouges : il modifie alors chaque fois le rapport. [p. 20] Pour la question 7, il comprend que les adjonctions sont égales (6 petits bleus et 6 petits rouges) mais croit que le dépassement « il sera moins que cela (= celui d’avant) ».

F AB (8 ;8) pour un rapport 6 = 3r, réussit d’emblée à la question 4, il l’oublie à la question 6 et aboutit à un mur rouge beaucoup trop long. Pour la question 7 le dépassement sera « plus grand (qu’avant), non plus petit parce qu’avant vous aviez des briques plus grandes et moi plus petites ».

Comme on le voit, bien que la découverte des corrélats, lors de la question 4, ait permis une addition générale des différences, il suffit d’en ajouter de nouvelles (quoiqu’identiques en leurs valeurs élémentaires b — r) pour que le système soit perturbé. C’est sans doute qu’aux premiers ensembles B1 et RI s’en ajoutent de nouveaux B2 et R2, qui exigeraient une abstraction réfléchissante (ou au moins pseudo-empirique) analogue, avec ensuite réflexion sur les réflexions (donc abstraction à la seconde puissance) qui se traduirait numériquement par les proportions R2/B2 = Rl/Bl ou (RI -|- R2)/R1 = (B1 J- B2)/B1 ; or, les proportions en tant qu’abstractions de deuxième puissance n’apparaissent qu’à des niveaux ultérieurs.

En ce qui concerne les simples compensations de la question 8, elles pourraient paraître plus faciles, mais elles comportent des comparaisons réflexives analogues, d’où un nouvel échec :

Pal (8 ;8) rajoute par tâtonnements les plots jugés nécessaires à l’égalisation, mais conclut : « On ne peut pas : c’est le mien qui dépasse ou le vôtre. »

Cal (8 ;6) n’arrive pas non plus aux mêmes nombres N en grandeurs inverses des plots déjà posés. Il arrête en route en posant ses grands rouges (r = 5b) et dit : « Ça ne va pas : c’est le mien qui va devenir plus grand », etc.

Ce défaut de compensations est d’autant plus frappant qu’à la question 7 un certain nombre de sujets admettent qu’en ajoutant sans cesse des éléments de valeur 1 aux deux murs, ceux-ci finiront par s’égaliser. Mais dès qu’interviennent les différences (b r) ou que, à la question 7, le sujet se rappelle les différences initiales, les réponses à ces questions 6-8 témoignent d’un oubli systématique du cadre concret qui leur a servi à résoudre la question 4. Us se lancent alors dans des généralisations arbitraires et abusives dont le caractère principal est d’être indifférenciées, c’est-à-dire de ne plus se fonder sur les abstractions pseudo-empiriques ou réfléchies qui [p. 21] conviendraient en chaque cas, avec ou sans permanence de la relation métrique fondamentale b = nr (ou, en 8, r = nb), où n varie de 1 à 5. A cet égard et psychologiquement, l’abstraction constitue une différenciation, même si, sans porter sur des différences données entre les objets ou prescrites entre les modes de composition, elle se borne à détacher une relation en réalité déjà utilisée, mais pour en faire par « réfléchissement » un nouvel objet de pensée : c’est à cette condition que deviennent alors possibles les « réflexions » sur les réflexions antérieures comme le supposent la construction des proportions, etc., et les généralisations adéquates, autrement dit les intégrations équilibrant les différenciations.

Représenté surtout à 9-10 ans (avec 3 cas de plus de 10 ans), ce niveau qui constitue le palier d’équilibre du précédent est caractérisé par une réussite à la question 4, avec compréhension progressive d’un rapport multiplicatif b = nr et B = nR tendant à supplanter les procédures additives, mais parfois sans généralisation immédiate quand on change les nombres et surtout sans solution de la question 5 qui, pour les raisons qu’on a vues demeure plus abstraite. D’autre part, les questions 6 et 7 donnent toujours lieu à difficultés (changement du rapport en 6 et de la différence absolue en 7). A la question 8 l’égalisation est censée demeurer impossible.

Voici des exemples de réactions aux questions 4 et 5 :

Fav (9 ;1). Question 5 (avec un 6 et un r donnés comme témoins dans un rapport de 1 à 5 et avec la ligne bleue tracée par l’expérimentateur) : « Si on ne sait pas le nombre, on ne peut pas savoir. » Pour N = 10 il indique très rapidement et correctement le 2^e, mais pour b = 3r il fait une faute de calcul.

Led (9 ;10). Question 5 : « Sans nombres on ne peut pas savoir. » Pour 10 et b = 5r : « Dans un (b) il y a 5 (r) alors 5 et 5 égalent 10 » en montrant l’indicateur au 2^e.

Dm (10 ;2). Question 5 (pour B — 5r) : « Le mur rouge arrivera peut-être à la moitié : ça dépend du nombre qu’on prendra. » Pour N = 10 il montre par contre d’emblée le second bleu et pour N = 12 il passe de 2 à un demi. Mais dès qu’il cherche à faire usage des connaissances scolaires (multiplications et divisions), il s’embrouille copieusement, comme encore presque tous les sujets de ce niveau.

[p. 22]Los (10 ;2) pour la question 5, il remarque spontanément « un bleu vaut 5 fois le rouge », mais il fait une ligne rouge de plus de la moitié de la bleue, puis après longue réflexion : « à peu près la moitié ». Par contre avec 10 plots, il dit : « Non, je me suis trompé, il arrive là (juste). » Pour N = 9 et b = 3r il refuse le dessin des lignes, mais il montre correctement le tiers, en le justifiant additivement « 3 + 3 + 3 = 9, cela fait 3, car j’ai 9 ».

On voit qu’à la question 4, donc avec plots, ces sujets ne procèdent plus comme au niveau IIA par additions successives des différences, mais avec compréhension et utilisation de la relation de base b = nr. Cela revient donc à dire qu’ils atteignent implicitement le rapport multiplicatif, mais, dès qu’ils cherchent à faire des calculs scolaires, ils donnent une impression d’inassimilation complète. Par contre, à la question 5, ou bien il n’y a aucun progrès par rapport au niveau IIA ou bien l’enfant dessine une ligne rouge plus courte, ce qui est un début de compréhension, mais occupant au moins la moitié de la longueur bleue. Cependant il note souvent spontanément le rapport de base (b = 5r), cette relation demeurant donc inopérante dans l’abstrait et Did disant même que « ça dépend du nombre (TV) qu’on prendra ».

En ces conditions d’abstraction insuffisante, les questions 6 et 7 ne sont pas encore dominées, puisqu’il s’agirait de comparer deux couples d’ensembles (avant et après les adjonctions) et qu’une telle comparaison suppose une abstraction de seconde puissance :

Fav (9 ;1), comme on l’a vu, réussit bien l’épreuve 4 pour IV = 10 et n = 5 en posant l’indicateur sur le 2^e bleu. Mais, lorsqu’on ajoute 10 nouveaux éléments (question 6), il déclare que « quand on ajoute encore des (plots) comme ça, cela fait chaque fois 5 pour 2 (et non pas 5 pour 1 !) alors là (il remet l’indicateur au 2^e bleu) ». Il cherche donc à conserver le rapport b = nr, mais ne le transpose pas sur le tout et s’imagine qu’avec N = 20, il conduit au même résultat (absolu et non relatif). Pour la question 7, il raisonne de même et dit « il faut compter » comme s’il s’agissait d’un rapport et non pas de la différence absolue + N .

Ran (9 ;6) raisonne de même (pour N = 12 et n = 3) : « Il y en a 3 (rouges) dans 1 (bleu), alors si on ajoute cela donne 3 bleus » : il met donc l’indicateur au 3^e bleu (sur 24) alors que pour la question 4, il le plaçait correctement sur le 4^e ! Pour la question 7 : « La différence ne sera pas comme ça (= le dépassement antérieur). Les vôtres sont plus grands et les miens petits, ça ne peut pas être la même différence. »

Car (10 ;4). Question 6 : N — 9, b = 3r, on ajoute 9 bleus et 9 rouges, donc en doublant à nouveau le tout. Car prévoit alors un allongement sensible [p. 23] du mur rouge (quoique inférieur au double), mais sans modification du bleu. Pour la question 7, la différence augmentera en faveur des bleus.

Gar (10 ;2). Question 7 : Il y a plus de grandeur chez vous (bleus). Alors quand vous ajoutez et moi aussi les mêmes, alors le vôtre s’allonge plus vite. »

Pour ce qui est de la question 6, il est surprenant que ces sujets, qui résolvent en gros correctement la question 4 en se fondant sur le rapport de base b = nr ne parviennent pas ou bien à le conserver (Cat) ou bien à l’appliquer au tout (Fav et Ran) lorsqu’on annonce l’adjonction d’éléments bleus et rouges respectivement identiques aux précédents. Et cependant on indique le nombre N’ des éléments que l’on va rajouter aux N et on montre à nouveau deux des plots dont il s’agit pour que soit bien comprise leur équivalence avec les précédents (ce dont d’ailleurs le sujet ne doute jamais). Nous ne voyons alors qu’une explication à cela : c’est que, comme déjà dit (mais la chose devient plus frappante avec la meilleure réussite à la question 4), le sujet n’a plus à faire avec les seules collections B1 et RI, mais avec deux autres (B2 et R2) et, surtout, avec une nouvelle totalité (B1 -|- B2) et (RI -|- R2) : en ce cas il devient nécessaire de procéder à deux sortes d’abstractions et de les comparer en une abstraction de rang supérieur, ce qui, au point de vue des opérations, revient sans doute à s’appuyer sur des proportions au moins implicites, dépassant ainsi les corrélats qualitatifs du niveau IIA et même les rapports simples compris en IIB pour la question 4. Ce seraient donc les difficultés de ces nouvelles abstractions qui retarderaient la généralisation. Quant à la question 7, elle pourrait sembler plus facile puisque le rapport entre les B2 et les R2 n’est qu’une relation d’équivalence mais il reste à composer ces équivalences avec la relation B1 = nRl en jeu dans le premier ensemble, ce qui conduit le sujet à penser que celle-ci l’emportera, d’autant plus que ce n’est guère qu’à partir de ce niveau que, de façon générale, se différencient l’allongement d’un mobile et son déplacement (encore confondus par Car).

Reste l’épreuve 8 qui n’est pas non plus réussie, bien qu’en d’autres situations l’idée de compensation soit en général précoce :

Leb (9 ;10) pour N = 10 et b = 5r : « Cela va en 2^e, il faut prendre 6 pour ce qui manque et encore 1 pour les petits. Non, 6 pour les petits et 3 pour [p. 24] les grands. » Il oublie donc le rapport n = 5 et le remplace par n = 2 puis il se ravise : « Les miens sont 5 fois plus petits et (= mais) si je prends des grands, cela fera dépasser le mien : ça ne peut pas rattraper, les petits (qu’on ajoutera au mur bleu) ne peuvent pas faire allonger comme les grands les miens. » Il se livre ensuite à une série de combinaisons, avec fautes de calcul ou avec dessins, mais avec le souci constant de ne pas ajouter trop de grands à ses 10 petits pour ne pas dépasser le mur de 10 grands auquel il ne peut adjoindre que des petits. Conclusion : « Ni avec les calculs ni avec le dessin ce n’est pas possible…, c’est toujours un qui dépasse le rouge ou le bleu. »

Bru (9 ;6) pour n = 2, ce qui simplifie, ne s’en sort pas mieux, chaque essai lui faisant prévoir un dépassement final, et il conclut : « Il faut calculer bien, mais je crois que cela est tout simplement impossible. »

Gui (10 ;2) pour N = 9 et b = 3r présente les mêmes réactions que Leb avec la même tendance à remplacer n = 3 par n = 2 dès qu’il raisonne sur les compensations. Tantôt il a peur de dépasser avec ses grands, tantôt il dit : « Non, vous avec vos petits cela fera dépasser le mien : il faut prendre moins, il faut prendre la moitié… (etc.). Non : c’est impossible. »

Cin (10 ;8) pour n = 5 s’arrête après chaque début d’essai en disant finalement : « Vous avancez lentement (avec vos petits bleus) et moi très vite avec les grands. Non, je n’arrive pas, je crois quand même que c’est impossible défaire une égalité en prenant des autres, vous et moi. »

Le problème n’est cependant que d’obtenir NB1 -J- NB2 = NR1 -j- NR2 ou B1 = nB2 et R2 = nRl, ce qui paraît d’une simplicité totale puisqu’il suffit de conserver N et de renverser le sens de n. Mais la difficulté est de conserver le rapport n, ce que ne font pas ces sujets, soit qu’ils le remplacent par n = 2 comme si « plus petit » signifiait toujours « la moitié plus petit » (Leb et Gui), soit surtout qu’ils le négligent (même pour n = 2 comme Bru) pour se borner à l’abstraction pseudo-empirique des accroissements lents et rapides (Cin). La raison de ces échecs est donc à nouveau le manque de généralisation de n mais dû lui-même à une insuffisance d’abstraction réfléchie de ce rapport de base.

Avec le stade de 11-12 ans qui est celui de la pensée formelle, donc des abstractions sur les abstractions ou de la réflexion à la n-ième puissance, le sujet trouve enfin les solutions ; mais il n’y parvient qu’en deux étapes : en IIIA réussite à la question 6 mais échec à 7 et encore, pour l’épreuve 8, de nombreux tâtonnements ; au niveau IIIB il y a [p. 25] par contre réussite générale immédiate. Voici des exemples de IIIA pour les questions 4 et 5 :

Fed (10 ;8). Question 5 : il anticipe d’emblée avant qu’on ait tracé la ligne bleue : « Le mien sera 5 fois plus petit » mais dès qu’on dessine cette droite : « Je ne peux pas savoir, il faut savoir le nombre des briques employées, sinon c’est impossible » : il juge donc nécessaire le rapport B = 5R puisque b = 5r sur le couple témoin, mais en bon représentant des débuts du stade formel, il refuse de le concrétiser ! Pour la question 4, il n’y a plus de problèmes.

Kru (11 ;5). Question 5 : « Le vôtre sera 5 fois plus grand… et je sais où arrive le mien. » Il généralise bien pour les autres rapports : 1/11 pour n = 11, 1/3 pour n = 3, etc. A la question 4, il s’embrouille dans ses calculs tout en raisonnant correctement et pour N = 9 et n = 3 il multiplie 3 X 9 = 27 : « Où est le 27 ? — C’est pour trouver où arrive le rouge sur le bleu qui a 9 et je sais que ça fait 3 fois moins, cela fait un tiers. »

Et voici un exemple du niveau IIIB pour les mêmes questions 4 et 5 :

Bar (10 ;5) pour la question 5 : il dessine lui-même une ligne et indique juste : « Cela fait 1/5 du vôtre. Et si on continue longtemps ? — Cela fait toujours 1/5 je sais que votre mur est 5 fois plus grand. » On lui propose des IV de 100, 125 et 50 et il continue de dire : « Ça fait toujours 1/5, ça ne peut pas changer. » Il généralise ensuite pour n = 3, etc. et traduit ses dessins en nombres de plots.

On voit combien le progrès de l’abstraction fondée sur le rapport fondamental favorise la généralisation, malgré les réactions paradoxales du niveau IIIA d’une difficulté de revenir de l’abstrait au concret. Voici maintenant des exemples de réactions IIIA aux épreuves 6 et 7, dont la première est réussie, tandis qu’à la seconde il y a confusion entre les différences (rapports) et les dépassements (différence absolue), avec indifférenciation entre les opérations numériques additives et multiplicatives :

Pie (10 ;5). L’épreuve 6 est réussie mais à la question 7 il y a équivoque après un bon début : « Il y aura toujours la même différence (absolue, pour N = 45 et n = 3), mais ils seront les deux plus longs. » Il montre alors correctement l’identité des dépassements, et il commente : « La différence sera de 30 parce que 45 : 3 = 15 alors de 15 à 45 cela fait la même différence, même si on ajoute », seulement il continue : « parce que ça fait toujours mon mur le tiers du vôtre et il restera toujours les 2/3 », ce qui est un passage à la différence- rapport.

[p. 26]Kru (11 ;5). Question 6 : N = 9, n = 3 : « Et si on ajoute des grands et des petits à chaque mur ? — Cela fait toujours trois fois plus et cela reste toujours 1/3 pour le rouge. » Mais à la question 7, il en reste au même rapport : « Ça fera toujours le mur rouge le tiers du bleu, cela ne change pas avec les mêmes en plus. »

Hos (11 ;8) conserve, à la question 6, le rapport pour n = 5 puis pour n = 4 malgré des adjonctions successives, mais à la question 7 : « Le bleu va toujours dépasser quand même comme avant, parce que c’est toujours la même différence, toujours 1/5 et les petits (ajoutés) ça ne fait pas rattraper le mur rouge. »

Le grand progrès marqué par le niveau IIIA, déjà visible à propos de la question 5, dont l’épreuve 6 n’est qu’une concrétisation, est donc que le sujet conserve suffisamment la relation fondamentale b = nr pour en tirer par abstraction réfléchissante une généralisation lors de toutes les adjonctions qui le respectent : d’où les réussites à la question 6. Mais ce grand pas en avant se paye alors par une généralisation abusive lors de la question 7, avec indifférenciation entre le dépassement (différence absolue) et le rapport (différence relative), ou, si l’on préfère, entre les compositions additives et multiplicatives, mais avec, en ce cas, un primat des secondes ! Cette différenciation est par contre atteinte et explicitée au niveau IIIB :

Piz (11 ;5). Question 6 : « Ça reste toujours 1/5. » Question 7 : « Ça ne fait plus la même fraction cette fois, mais ça ne peut pas dépasser (= changer) ni moins ni plus parce que vous avez prolongé avec les mêmes. »

Ega (12 ;2) après un début de niveau IIIA déclare : « Il faut soustraire le mur R du mur B : il ne suffit pas de diviser par 5 (la première partie des murs est dans le rapport 1 à 5)… la différence reste la même chose de mètres (= d’unités) si vous voulez, mais pas la même fraction. Pour que cela reste la même fraction, il faudrait qu’au mur B on ajoute un bout 5 fois plus grand : on a rajouté la même chose, alors ça change lajraction mais pas la différence. »

On voit combien cette différenciation est devenue lucide. Quant au problème 8, il est résolu dès le niveau IIIA, mais par tâtonnements :

Isa (10 ;8) pour N = 10 et n = 5 : elle commence par 8 ( = nombre de plots marquant la différence entre B et R), puis en ajoute 2 : « Cela va faire égaliser avec les vôtres si vous prenez aussi les 10, mais pour les petits. » Elle passe par le même détour arbitraire pour N = 12 puis réussit aussi.

[p. 27]Fed (10 ;8) mêmes données : il commence aussi par 8 petits en B et 8 grands en R puis rajoute 1 de chaque et enfin encore 1, d’où 10 de chaque, en disant : « J’ai confondu, un grand égale 5 petits. On y arrivera. »

Au niveau IIIB la solution est par contre immédiate :

ZiM (12 ;3) : « Il faut prendre les nombres comme avant : on a pris 10 grands et 10 petits, alors il faut prendre à l’envers : 10 petits bleus et 10 grands rouges ; ça les égalise parce que c’est la même chose mais à l’envers. » Pour N = 30, même réponse.

Dem (13 ;5) croit un instant la solution impossible, puis immédiatement : « Je prends maintenant moi des grands et vous des petits : ça fait la même chose si je prends aussi 10. Ça fait la même chose, mais renversé. Mais il faut toujours le même nombre de petits et de grands. »

On est surpris qu’il faille attendre ce niveau d’âge pour des raisonnements aussi simples : mais il est des cas où seule l’abstraction permet la simplicité déductive.

Tout le développement dont nous venons de décrire les étapes se caractérise par un ajustement laborieux des abstractions et des généralisations, ce qui revient à dire plus précisément des différenciations (correspondant à l’aspect de « réfléchissement » de l’abstraction réfléchissante) et des intégrations (correspondant à l’aspect de « réflexion » en tant que réorganisation du nouveau tout). La loi d’une telle évolution peut donc s’exprimer en termes d’équilibration graduelle entre la différenciation et l’intégration.

Rappelons d’abord les trois indifférenciations qui subsistent au niveau IA et expliquent ses lacunes : entre la coordination des actions (prélèvements simultanés ou bijections) et leur résultat (longueur des rangées), entre la forme et la grandeur des plots et entre leur nombre et la longueur des rangées. Au niveau IB, débute une triple différenciation correspondante par « réfléchissement » des actions au plan des conceptualisations. Sur le premier point cette abstraction différenciatrice est complète : l’abstraction réfléchie du prélèvement simultané (« on a pris ensemble », etc.) engendre la formation d’un nouveau tout (la continuation possible de ces bijections en plus des résultats déjà obtenus et constatés par abstraction pseudoempirique), d’où l’intégration généralisatrice d’une égalité se conservant dans la suite. Sur le second point il y a début de [p. 28] différenciation, par réfléchissement des différences qualitatives de forme/grandeur au plan des extensions : « 5 petits sur (ou dans) un grand » ; mais il manque à cela une abstraction ou différenciation de l’additivité comme telle. Celle-ci n’est, en effet, qu’utilisée implicitement, mais non encore thématisée de façon réfléchie, d’où la différenciation très insuffisante sur le troisième point : le sujet admet bien que le mur bleu sera « plus long », mais cela en se bornant à une différence minime sans aucune quantification métrique. D’où a fortiori l’échec aux différenciations et intégrations qui supposeraient les solutions des épreuves 5 à 8.

Au niveau IIA l’additivité des unités, déjà utilisée implicitement dans les mesures pour un seul couple b > r au niveau IB, est par contre différenciée par réfléchissement sur un plan de thématisation, c’est-à-dire qu’elle devient objet de pensée après n’avoir servi que d’instrument dans l’action (superposition). Il s’ensuit que le sujet se trouve obligé de considérer une nouvelle totalité : l’ensemble des couples b > r, renforcé par l’abstraction pseudo-empirique de leur relation d’équivalence : d’où, en « compréhension » la saisie des corrélats (r2 est à rl comme b2 à bl, etc.), ce qui entraîne, par extension, l’addition des différences : B — R = (b 1 — rl) + (b2 — r2) …), etc. Mais cette addition n’est pas encore

un rapport, surtout quand elle se fait de proche en proche par correspondances successives entre chaque couple b > r et le couple témoin. Il n’y a donc pas encore abstraction d’une équivalence quantitative entre les relations b > r et B > R (ce qui serait une proportion) ⁶, autrement dit de la multiplication B — R = N (b — r), N se traduisant par un quotient. Or, cette relation générale de nature multiplicative serait nécessaire pour résoudre les questions 5 à 8 : d’où leur échec au niveau IIA. Mais, si elle est nécessaire, elle ne suffit pas, comme le montrent les réactions du niveau IIB.

A ce niveau ultérieur, la relation générale commence à être abstraite des opérations additives précédentes, selon un processus d’abstraction qui sera analysé au chapitre II : la multiplication « n fois x » est une addition d’additions, où le sujet [p. 29] commence par ne considérer que l’augmentation cumulative des x pour abstraire finalement le nombre de fois qu’il a effectué cette opération, donc le multiplicateur comme tel (n). Mais cela ne suffit pas pour résoudre les questions 5 à 8 comme le montrent en particulier les sujets Fav et Ran qui cherchent explicitement à conserver le rapport b = nr. En effet, le propre des épreuves 5-8 est que, le rapport une fois trouvé entre B et R pour la question 4, on plonge les éléments B1 et RI en une nouvelle totalité, du fait de l’adjonction de nouveaux plots (ou, dans la question 5, du fait que seul est indiqué le processus cumulatif) : en ce cas il s’agit d’abord de déterminer le rapport entre les b et les r pour les nouvelles collections B2 et R2, et, même si le sujet affirme qu’il s’agit toujours du rapport initial (comme le disent Fav et Ran), il est ensuite nécessaire de coordonner B2 4- R2 et RI -|- RI en une nouvelle totalité. Or, du point de vue de l’abstraction, il y a là un processus complexe, qui exige : 1) une abstraction portant sur chacun des deux couples B1 RI et B2 R2 (avec réfléchissement et réflexion au plan des conceptualisations) ; et surtout 2) une comparaison entre eux, ce qui constitue alors une réflexion sur les réflexions antérieures, donc une abstraction de seconde puissance (par rapport à 1, ou de n-ième par rapport à tout ce qui précède) ; 3) cela revient alors à une intégration (réorganisation réflexive du tout) équilibrant les différenciations (abstractions partielles, y compris celle des équivalences de relations pour la question 6 et des différences entre B1 RI et B2 R2 pour l’épreuve 7). Il est donc naturel que l’abstraction progressive du rapport multiplicatif qui caractérise le niveau IIB ne suffise pas à la solution des problèmes 5-8.

Mais il est également normal que le stade III, qui est celui des réflexions sur les réflexions (donc de la pensée réflexive ou formelle) soit celui où deviennent possibles de telles solutions. Au niveau IIIA les épreuves 5, 6 et 8 qui ne requièrent que des mises en relation entre les sous-systèmes et le système total, les questions 5 (où b > r est comparé à un tout quelconque), 6 et 8 sont résolues, de façon immédiate ou par tâtonnements. Quant à la question 7, elle comporte une différenciation de plus, entre le rapport (ou différence relative) et le dépassement (ou différence absolue) : d’où un retard jusqu’au niveau IIIB.

Ainsi toute cette évolution est dirigée par une loi d’équilibration [p. 30] entre les différenciations et les intégrations. Les premières résultent du processus de « réfléchissement » propre aux abstractions réfléchissantes, qui dégage d’un niveau inférieur certaines liaisons, employées implicitement ou simplement impliquées mais non remarquées, pour les transformer en objets de pensée au niveau ultérieur. Les secondes résultent alors de la « réflexion » ou réorganisation nécessaire, sur le nouveau plan, du système ainsi enrichi par l’introduction de ces objets de pensée non considérés jusque-là. Cette « réflexion », second aspect de l’abstraction réfléchissante est alors nécessairement généralisatrice du fait qu’elle porte sur une totalité plus large. Ce ne sont donc pas seulement les rapports indissociables de l’abstraction et de la généralisation qui déterminent les deux pôles du processus d’équilibration, mais plus généralement ceux de la différenciation et de l’intégration. Quant à cette dernière, elle implique une action du système total sur les sous-systèmes et ne se réduit donc pas sans plus à un équilibre ou assimilation réciproque entre les sous-systèmes : en effet, l’intégration en un tout conduit à la formation de lois générales de composition pouvant différer de celles des sous-systèmes et les résultats qui précèdent montrent assez les difficultés que doit surmonter le sujet pour en arriver à la constitution de telles totalités cohérentes.