Chapitre VII.
Des formes concrètes du groupe de Klein au groupe INRC ^{1 2} 🔗

[p. 131] Le groupe de Klein est un groupe commutatif de quatre transformations Tl à T4, telles que la composition de deux des opérations T2 à T4 donne la troisième et que leur ensemble T2 à T4 redonne l’identique Tl. Sous cette forme très générale on retrouve le groupe de Klein dans tous les domaines. Il suffit de considérer deux caractères A et B et, en une matrice multiplicative de classes, les quatre associations possibles A.B, A.(non-B), (non-A).B et ni A ni B, pour que le passage de l’une à l’autre constitue un groupe de Klein. De même la rotation de 180° d’une figure asymétrique sur le plan horizontal et sa rotation de 180° dans le plan vertical (donc en deux permutations avant- arrière et dessus-dessous chacune à part ou les deux réunies) donnent un groupe de Klein, ces deux sortes de rotations, séparées ou conjointes, revenant à nier A ou B et les doubles négations ramenant à AB.

Le groupe INRC constitue par contre un cas particulier du groupe de Klein et de caractères bien délimités, ne se présentant que dans les structures d’« ensembles de parties » (simplexes) et spécialement sur le terrain des opérations de la logique des [p. 132] propositions. Soit une opération propositionnelle bivalente telle que p V q. On peut d’abord introduire sa négation N, qui est sa complémentaire par rapport à la « tautologie » (p. q) ∨ (p non-ç) V (non-p et q) ∨ (ni p ni q), qui correspond aux quatre couples AB, A non-B, etc., d’une matrice multiplicative de classes. Mais, en opposition avec le simple passage de l’un de ces couples à un autre, la négation N en jeu dans les opérations propositionnelles comporte une complémentarité entre 1 couple {p. q, etc.) et les 3 autres, entre 2 couples et les 2 autres, entre 3 couples et le quatrième ou entre les 4 couples et 0, soit 16 négations possibles, selon les 16 combinaisons ³ auxquelles donnent lieu p et q ainsi que leurs négations non-p et non-q.

Dans le cas particulier de p ∨ q sa négation N est « ni p ni q », ce qui rappelle « ni A ni B » ; mais, dans le cas de p = q, sa négation n’est pas « non-p = non-g » (qui fait partie de la « forme normale » de p = q) mais « (p et non-q) V {non-p et q) », c’est-à-dire l’exclusion réciproque W. La négation N est donc celle de l’opération comme telle et non pas celle des termes qu’elle relie. Quant à la réciproque R, elle constitue au contraire la négation des termes eux-mêmes p et q, l’opération qui les relie demeurant inchangée, même si on la désigne par un autre symbole. Dans le cas particulier R {p V q) = p V q (ce qui équivaut à p | q) ; de même R {p D q) = p D q (ce qui équivaut à q D p) ; R {p. q) = q.p ; etc. En troisième lieu, la corrélative C se définit, indépendamment (et ceci est essentiel) de N et de R, par la permutation des (v) et des (a) ou (.) dans la forme normale de l’opération de départ. Dans le cas de p ∨ q, dont la forme normale est [ç] ∨ [(non-p). ç] V [non-q] la corrélative est donc : [(p ∨ ç]. [(non-p) V ç]. [p V (non-g)], ce qui donne C = p. q. Dans le cas de p D q la même permutation en {p. q) V {non-p. q) ∨ {ni p ni q) donne C = {non-p).q, etc. L’intérêt est alors que ces trois définitions indépendantes de N, R et C conduisent néanmoins à vérifier R. N = C ; R. C = N) ; C.N = R et N.R. C. = I (identique). Du point de vue formel le groupe INRC est donc plus complexe que les formes élémentaires du groupe de Klein : le passage de A. B à ni A ni B [p. 133] n’est en particulier qu’une réciprocité R si l’on s’en tient à nos définitions, et celui de A. B à non-A. B n’est qu’une réciprocité partielle (complétée par A.non-B).

Du point de vue psychologique le contraste est encore plus net, car, même appliqué à des propositions décrivant des actions matérielles, le groupe INRC suppose une abstraction réfléchissante et une généralisation non encore accessibles au niveau des opérations concrètes et consistant à différencier pour les coordonner une inversion N portant sur l’opération comme telle et une réciprocité R portant sur la négation des termes. Par exemple dans un problème d’action et de réaction, l’une des transformations (qu’on l’appelle N ou R) consiste à modifier la quantité d’action (ou de réaction), tandis que l’autre consiste à opposer à l’action une réaction de sens contraire qui la compense et annule donc son effet, mais sans la modifier en elle-même. Dans les problèmes de deux systèmes de coordonnées (un escargot sur une planchette que l’on peut déplacer en sens contraire de celui de l’animal), l’une des transformations (N) revient à inverser la direction de la marche de l’escargot (ou de la planche), tandis que l’autre (R) revient à compenser cette marche par un déplacement contraire de la planchette. Au contraire, dans le cas des structures élémentaires du groupe de Klein, il n’y a rien de pareil et il serait arbitraire de distinguer N et R puisque les 4 transformations sont homogènes et ne reviennent qu’à des négations de termes : aussi bien le passage de A.B à (non A).B, etc., est-il compris dès que le sujet devient capable de construire lui-même une matrice à 4 casiers, c’est-à-dire dès le niveau IIA à 7-8 ans.

Il n’en est alors que plus intéressant, du point de vue de l’abstraction réfléchissante et de la généralisation de se demander en quoi l’acquisition de ces groupes élémentaires de quater- nalité, dont il reste d’ailleurs à expliquer la genèse en tant que groupes, prépare la formation du groupe INRC. En effet, le problème central, en ce qui concerne ce dernier, est que, tout en portant sur des opérations propositionnelles, les transformations N.R.C. et I ne font pas elles-mêmes partie de ces foncteurs (v ; . ; D, etc.), mais transforment les opérations les unes dans les autres, ce qui est tout différent : ce sont donc des opérations de puissance supérieure, ou « opérations sur des opérations » et leur genèse pose donc un problème. Au [p. 134] contraire, dans le cas du groupe de Klein qui permet de passer de A. B à A. non-B ou à ni A ni B, les opérations permettant ces passages ne diffèrent pas sensiblement de celles qui interviennent dans la construction de la matrice de classes à 4 casiers AB, A non-B, etc. Néanmoins, il reste intéressant d’analyser la manière dont le sujet va coordonner deux ou trois passages et ces coordinations peuvent préparer les transformations plus fortes propres au groupe INRC. Mais il est à noter soigneusement que ces compositions entre deux couples (par exemple AB et A non-B, etc.) ou davantage ne correspondent alors qu’aux opérations propositionnelles (p ∨ q, etc.) et non pas aux opérateurs N, R ou C portant sur ces opérations et qui sont ainsi d’un type supérieur. En outre, une différence subsiste entre la combinatoire propositionnelle et celle (toujours possible) des classes : c’est que chacune des 16 opérations propositionnelles présente un sens spécifique et bien distinct (implication, disjonction, équivalence, incompatibilité, etc.), tandis que dans le cas des couples de classes ou des rotations, etc., leur coordination en ensembles de 2 ou 3 couples ou rotations successives ne comportera qu’un faible degré de complexité supérieure, les différences qui les séparent restant analogues à celles qui opposent l’un des couples à un autre ou une rotation à une autre. Quant à soumettre ces ensembles eux-mêmes (de 2, 3 ou 4 couples) à des transformations isomorphes à N, R, C ou I, on le pourra naturellement aussi, mais psychologiquement parlant ce sera seulement au plan de la pensée réflexive, c’est-à- dire moyennant une traduction en transformations propositionnelles, qui rejoignent alors (mais alors seulement) le groupe INRC.

I I LES ROTATIONS DE 180°

Nous commençons par ce problème des rotations, parce que sa solution donne lieu aux niveaux les mieux différenciés et, d’autre part, pour réserver à la section II les questions de comparaisons entre diverses situations dont les unes comportent une structure de groupe et les autres pas.

La technique a consisté à présenter aux sujets un grand garage muni en sa partie centrale de trois boxes parallèles ouverts du même côté et entourés [p. 135] de suffisamment d’espace pour que les camions puissent circuler librement. A l’entrée du garage on place un petit camion chargé d’un paquet rectangulaire de « briques » rouges ou blanches, attachées en un tout, et tel que l’on puisse distinguer facilement (grâce à la disposition des couleurs) l’avant et l’arrière du paquet ainsi que les dessus et dessous. Le camion doit entrer dans les boxes (toujours en marche arrière) et décharger son paquet sur un autre camion qui l’attend et est vide. Dans le box ou garage n° 1 le premier camion décharge son paquet sur le second par un glissement, mais comme le second camion est en situation opposée l’avant du paquet devient l’arrière sur cet autre camion, ce qui équivaut à une rotation de 180° sur le plan horizontal. Dans le box n° 2 les camions sont placés de façon telle que pour passer le paquet de l’un à l’autre il faut le retourner (rotation de 180° en vertical). Enfin, dans le garage n° 3, le transfert du paquet exige une double rotation avant-arrière et dessus-dessous. Pour concrétiser les questions posées, on place à l’entrée du grand garage un camion témoin portant un paquet de briques dans l’état où l’on veut qu’il soit à la sortie du camion principal, lequel entre avec un paquet en situation de départ.

Les questions portent d’abord sur des opérations n’impliquant l’utilisation que d’un seul garage (un box). Mais ensuite on dit qu’il est fermé et il s’agit alors de parvenir au même résultat en passant par deux garages successifs.

Dans la suite on demande en outre d’obtenir un état final identique à l’état initial, ce qui revient à combiner les opérations 1 + 2 + 3 et l’on fait préciser si cet ordre est nécessaire (alors que le groupe en jeu est commutatif). Enfin, on introduit un autre paquet de briques (n° II) de mêmes dimensions, mais de couleurs autrement réparties, pour tester la généralisation des procédés utilisés avec le paquet I.

Nous désignerons les garages par les n^os 1, 2 ou 3 et les opérations correspondant par A, B et C, l’opération identique étant appelée D.

Un premier stade (5-6 ans) est caractérisé par l’échec aux tâches proposées, faute de différenciation entre les trois sortes de rotations et par l’incompréhension de toute composition entre les opérations :

Xav (5 ;1). On demande l’opération C (par présentation de la situation initiale des briques dans le camion d’entrée et de la situation finale dans le camion de sortie, qui est juste en dessous) : « Je vais en 1 (il essaie). Non. —  Tu vas où ? — Sais pas. — Dans un autre garage 1 — Oui, peut-être (il essaie en 2). Non. — Alors où ? — En 3 (il ne reste que celui-là). Oui, ça va. — Et maintenant si 3 est fermé ? — Alors on peut pas. — Essaie avec les autres. — Ça n’ira pas. — Essaie. — (Il reprend 1 seul et 2 seul.) — Mais quoi faire d’autre ? — … — Et comme ça (1 et 2) ? — … — (On le fait.) — Oui. —  J’ai fait quoi ? Vous êtes allé en 1 et en 2. —  C’est comme si j’avais fait quoi ? — … — 1 et 2 c’est comme 3 ? — … » D’autres essais ne donnent rien de plus. L’opération D identique est naturellement échouée et lorsqu’on montre 1, 2 et 3 = 4 il ne sait pas pourquoi. Avec le second paquet de briques (II) il ne « croit pas » qu’on puisse refaire les mêmes opérations et [p. 136] lorsqu’on en demande une et qu’il échoue il juge inutile d’essayer avec les autres garages : « Non, ce n’est pas la peine. »

Yve (5 ;11), de même, juge qu’il « n’est pas possible » d’obtenir une transformation au moyen de deux autres et que ce n’est pas non plus possible de répéter ce qu’il a fait en utilisant le matériel II « parce que ce n’est pas pareil ».

Bien que les sujets de cet âge sachent naturellement retourner un objet et même dans les deux sens lorsqu’il le faut (avant-arrière et dessus-dessous, par exemple un pull-over), ils ne tirent donc de leurs coordinations d’actions aucune abstraction suffisante pour différencier les mouvements demandés et encore moins pour comprendre la composition de deux d’entre eux. Mais le plus frappant est qu’après avoir vu de quoi il s’agissait ils ne croient pas possible de refaire les mêmes rotations avec un autre paquet de briques, semblable en tout au premier sauf la disposition des surfaces blanches ou rouges.

Durant ce sous-stade les opérations A à C sont réussies par tâtonnements plus ou moins longs et le sujet admet naturellement qu’elles pourraient être reproduites avec le matériel II, mais il ne parvient pas de lui- même à effectuer les compositions et ne les comprend pas toujours une fois suggérées :

Den (7 ;6) ne réussit les rotations simples qu’après tâtonnements. Parvenue en 2 pour B, on lui demande : « Mais si 2 est fermé ? — On va là (3). — (Essai.) — Non. —  Alors ? — Là (1). » Pour A avec 1 fermé elle propose 2 à la place. Lorsqu’on suggère 2 + 3 elle ne trouve pas d’autre explication que « On va en 2 et en 3 ». Contrairement à la compréhension, habituelle à ce niveau, de la négation d’une négation elle ne prévoit pas le résultat de 2 opérations identiques dans le même garage et encore moins l’opération identique pour 1, 2 et 3 : « Ah ! (devant le fait) ça fait la même chose ! —  Pourquoi ? — Je ne sais pas. »

Pau (7 ;8) après les mêmes tâtonnements arrive à 2 pour B. « Et si 2 est fermé ? — On peut aller en 3. (Elle constate l’échec.) — Que faire ? — Aller en 1. Avec les briques comme au départ (avant 3) ou comme ça (telles qu’en 3) ? — Les briques comme au départ. — Alors on a ça (on montre) ? — Non, alors comme en sortant de 3 (elle va en 1). — Ça va ? — Oui. — Maintenant pour arriver à ça (D = identique) ? — Il faut aller en 1 (essai). — Et après ? — En 2 (essai). — Et après encore quelque part ? — Oui en 1 (essai). La même chose (qu’avant) ! — Alors où aller ? — En 3 (réussite). — Alors on a fait 1 + 2 3. On peut faire 3 -|- 2 + 1 ? — Non, parce qu’en 3 on tourne et en 2 aussi et en 1 c’est la même chose. »

[p. 137]Val (8 ;4) ne prévoit pas mieux les rotations : pour A en 1 : « On va dans 2 ou 3. —  Tu commences par où ? — Celui-là (2). Non c’est du même côté. —  Alors on va où ? — En 1. —  Ça ira ? — Sais pas (essai). Oui ça va. » Etc. Pour C elle essaie en 2 puis trouve 3. « Et si 3 est fermé ? — Peut-être en 2 (le fait). — Ça va ? — Non. — Alors ? — (Elle va de là en 3 mais à titre d’essai) Oui. » Après un nouvel A en 1 : « Et si 1 est fermé ? — Il faut aller en 3 (échec). Alors on va aller en 2 (y va depuis 3). Oui, ça va. — Pourquoi ? — Parce qu’on a été en 2 et qu’on a tourné les briques (juste). — On peut dire qu’aller en 1 c’est comme d’aller en 2 et en 3 ? — Oui, parce que le garage 3 est plus large que le 1. — Et maintenant pour ça (D = identique) ? — On peut aller en 1. En 2 on ne peut pas parce que ça le retournerait. En 3 ça va. —  Donc en 1 et en 3 ? — Oui, mais je ne suis pas sûre. Le mieux serait 1 seulement (essai). Ça ne va pas. (Elle va en 3.) C’est retourné. » On essaie 14-2 + 3. « Ça va ? — Oui, il y en a deux qui étaient faux : 1 et 2. »

Kel (8 ;7) trouve 3 pour C. « Et si 3 est fermé ? — En 1 (Essai). Non, ça ne va pas. Ici (2 : Essai). Ça ne va pas non plus. » On suggère alors en dictant presque la réponse (puisque si 3 est fermé il ne reste que 1 et 2) : « Tu peux aller dans deux garages à la suite. — … — Regarde (on le met en 1). Où aller après ? — (Il le ressort de 1 pour le mettre en 2) Ça ne va pas (il hésite puis va en 1 à partir de 2). Ah ! Ça va. » On passe à l’autre matériel : « (A en C) Mais 3 est fermé ? — (Il essaie empiriquement 2 puis de là en 1) Ça va. — Et si on passe de 1 à 2 ? — Oui… non (il essaie). Oui c’est la même chose. —  On a ça (I position 1). Retrouve la même chose en passant par 1, 2 ou 3 garages. — (Va en 3). — Ça ne va pas. (En 2) Ça ne va pas. (En 1) Ça ne va pas. — Bon, on recommence tout (geste de réunir). — (Il fait 1, 2 et 3) Ça va. —  Et 3, 2, 1 ? — Non. »

On voit que ces sujets parviennent plus ou moins rapidement à trouver l’une des trois rotations en correspondance avec l’un des garages, ce qui, du point de vue propositionnel, équivaudrait à une proposition isolée, p, q ou r. Par contre, ils n’arrivent pas à coordonner deux rotations et encore moins trois, ce qui équivaudrait aux conjonctions propositionnelles p. q, etc., ou plutôt (non-p). (non-q) puisque les rotations de 180° sont des inversions. On constate, en effet, que, lors de la fermeture d’un garage, l’enfant commence toujours par recourir à un seul autre, dont il sait pourtant par ce qui précède qu’il donne lieu à une opération différente. Même l’inversion de l’inversion (non-p). (non-p) = p n’est pas réussie dans le cas des rotations et encore moins le retour à l’identique par réunion des opérations ABC. Quant aux explications que donne le sujet après suggestion et réussite empirique, elles restent très incomplètes et Val qui s’en rapproche le plus (« on a été en 2 et on a tourné ») ne fait allusion, pour expliquer que B. C = A [p. 138] (2 et 3 redonnent 1), qu’à la largeur du garage 3 (permettant la double inversion C).

Vers 9-10 ans, avec quelques cas de 8 ans, on trouve en revanche des solutions immédiates d’opérations isolées et des compositions spontanées de deux ou même trois opérations mais avec tâtonnements, ou encore après suggestions mais en ce cas avec généralisations dans la suite. Voici d’abord un cas intermédiaire entre les niveaux IIA et IIB :

Jos (8 ;6) réussit d’emblée les opérations A (1) avec les deux matériels et, pour l’opération C, il a de lui-même l’idée de l’obtenir par composition, puisqu’il s’agit d’une rotation double : « Il faut aller en 2 et 3 » mais comme on voit il se trompe (il aurait fallu 1 et 2) et trouve que 3 suffit. Mais chose curieuse lorsqu’on ferme 3, il croit alors qu’« on ne peut pas » et il faut alors lui rappeler : « Et si on va dans les autres garages ? — Oui, en 1 et après… en 2 (essai). Oui c’est juste. » Mais pour obtenir A avec 1 fermé il ne généralise pas encore : « Il faut aller en 2 et faire double tour (donc l’inversion de l’inversion : il essaie). Ah ! Ça ne change rien. » Par contre après réussite il généralise ensuite et pour II (identique) il dit d’emblée : « Il faut aller en 1 puis en 2 puis en 3 : comme ça (le montre). »

Et maintenant des exemples du niveau IIB :

Car (10 ;2) réussit d’emblée C puis A. « Et si 1 est fermé ? — On ne peut pas. — Il n’y a pas de moyens ? — Si on fait comme avant on ne peut pas. —  Et avec 2 garages ? — … — Et si j’entre en 2 puis je sors et je vais en 3 ? — Ah oui. — Maintenant ça (D, identique) ? — (Sans hésiter Car fait 1 -|- 2 -|- 3.) Voilà, c’est juste. — Comment tu sais que c’est juste ? — Je ne sais pas : c’est comme ça. » Mais Car en admettant qu’on peut faire les mêmes opérations avec le matériel II ajoute : « Si on peut savoir comment est l’endroit et l’envers et savoir ce qu’il y a à gauche et à droite, ça va. »

Fra (10 ;3) est en progrès sur Car et annonce finalement le stade III : après les réussites immédiates d’opérations simples, il demande pour D : « On peut passer par plusieurs garages ? — Oui. Alors ? — Aller en 2 puis en 3. » Il réfléchit un moment puis ajoute 1, mais ne croit pas qu’on puisse changer l’ordre. Avec le second matériel il généralise et pour 3 fermé = 1 + 2 il explique : « En 1 j’ai interverti le sens du paquet et en 2 j’ai retourné : c’est comme de retourner les briques en 3. »

Quant au stade III, les sujets trouvent toutes les compositions de 2 ou 3 opérations, admettent sans essai qu’elles sont commutatives et donnent l’explication de ce qu’ils ont fait, à la manière de Fra lorsqu’il atteint ce dernier niveau :

[p. 139]Bar (12 ;3) pour 3 fermé ne demande rien et effectue d’emblée 2 + 1. « On pourrait faire 1 + 2 ? — Oui. » Pour 1 fermé il réfléchit un instant et fait 2 + 3. De même pour D il comprend aussitôt 1 + 2 + 3. « Et 3 + 2 + 1 ? — Oui, on a vu que c’était la même chose. » Avec le matériel II mêmes réussites et quand on demande l’explication del + 2 + 3= Dil décrit les opérations en les détaillant avec des gestes : « J’ai retourné comme ça… », etc.

Ainsi s’achève ce développement au niveau où se constitue le groupe INRC. Il nous reste alors à préciser les rapports entre ces deux sortes de structures.

Les quatre situations A, B, C, D correspondant aux garages 1, 2, 3 et au retour à l’état initial signifient A = une rotation horizontale mais sans rotation verticale (donc « a non-p » où a et p pourraient être des classes ou des propositions) ; B = une rotation verticale sans rotation horizontale (donc « non-a. et p » ; C = les deux rotations à la fois (donc « a et p ») et D = aucune rotation = l’état de départ ou le retour à ce point (donc « ni a ni p »). Comme les rotations de 180° constituent des inversions, les quatre associations de base en question peuvent donc être formulées en termes de classes d’inversions ou de propositions qui les expriment (pq, p non-q, etc.). Nous nous bornerons à les écrire comme suit, le symbole — signifiant une inversion (de 180°) et le symbole 0 = pas d’inversion :

D = 00 ; A (1) = 0 — ; B (2) = — 0 ; C (3) = .

Les compositions de deux ou trois de ces couples (de classes ou de propositions), atteintes de façon immédiate au stade III, sont alors :

1 + 2 = 3 parce que (0 — ) 4- (— 0) — ( )

14-3 = 2 parce que (0 — ) 4* ( ) — (— 0).

En effet (— ) X (— ) = 4" mais 4~ signifie le retour à l’état initial, donc « pas d’inversion », ce que nous écrivons « 0 ».

2 4-3 = 1 parce que (— 0) 4- ( ) = (0 — )

1 4- 2 4- 3 = D

parce que (0 — ) 4- (— 0) 4" ( ) ⁼ (00).

[p. 140] On voit alors que ces compositions constituent bien un groupe de quaternalité ou de Klein. Mais chacune d’entre elles revient simplement à relier 2 ou 3 couples, c’est-à-dire à construire les isomorphes de ce que seraient des opérations propositionnelles telles que (« p. q ou p. non-q »), ou encore (« p. non-q ou ni p ni q »), etc. Par contre, en ces cas il n’intervient pas de transformations de « type » plus élevé portant sur de telles opérations composées, autrement dit on ne trouve pas là l’équivalent des opérateurs de puissance supérieure N, R, C et I.

En revanche, il serait facile de tirer des mêmes quatre associations de base (00), (0 — ), (— 0) et ( ) des groupes

INRC en se fondant sur les 16 combinaisons possibles de leur « ensemble de parties ». Donnons-en un exemple en partant de la conjonction ( ) qui signifie donc « les deux rotations à la

fois ». En ce cas, la négation N reviendrait à (0 — ) ∨ (— 0) V (00), c’est-à-dire « l’une sans l’autre ou ni l’une ni l’autre »), donc l’incompatibilité. La réciproque R serait par contre constituée par (00), c’est-à-dire la négation conjointe « ni l’une ni l’autre ». Enfin la corrélative C ou négation de la réciproque serait « ( ) ∨ (0 — ) V (— 0), donc la disjonction. On a bien

alors le groupe INRC, soit NR = C, CR = N, NC = R et NRC = I. Remarquons en outre que dans cet exemple possible la négation N ou incompatibilité est bien une négation de l’opération comme telle (conjonction) tandis que la réciproque R est celle de ses termes (« ni l’un ni l’autre »). De même on pourrait combiner les quatre associations de base en autres quaternes isomorphes à des implications, équivalences, etc., mais cela toujours en considérant l’« ensemble des parties » et non pas les compositions élémentaires qui ont été demandées et qui n’équivalent qu’à des opérations propositionnelles sans leurs transformations selon N, R et C.

Mais, du point de vue psychologique, il est clair que quand l’enfant du stade III devient capable de décrire le détail des rotations et de leurs compositions par couples ou triplets, il pourra tout aussi bien distinguer les transformations N, R et C. Il dira, par exemple, pour N : « Quand je ne fais pas les deux rotations à la fois, c’est que je fais seulement l’une sans l’autre ou ni l’une ni l’autre. » Et pour R : « Le contraire des deux rotations, c’est ni l’une ni l’autre. » Et pour C : « Si je ne fais pas ni l’une ni l’autre je fais les deux ou l’une sans [p. 141] l’autre  » ⁴, etc. Il semble donc à peu près évident que les abstractions réfléchissantes et les généralisations que comporte le maniement du groupe INRC, c’est-à-dire (il importe de le préciser ici comme nous l’avons toujours fait) son utilisation dans la solution des problèmes (actions et réactions, etc.) et non pas sa prise de conscience ou abstraction réflexive en tant que structure, sont préparées par les abstractions successives auxquelles donnent lieu les formes élémentaires du groupe de Klein. En effet, c’est grâce à ces dernières que le sujet apprend à manipuler les quatre associations de base (a et p, a et non-p, non -a et p, ni a ni p) et à les réunir deux par deux ou par trois, ce qui équivaut à la constitution des opérations propositionnelles. Il suffit alors d’une généralisation de cette combinatoire naissante pour dominer (mais, répétons-le, dans le détail des raisonnements particuliers et non pas sous une forme réflexive) l’« ensemble des parties » et parvenir ainsi au groupe INRC.

III LES SYSTÈMES DE QUATRE OBJETS OU CLASSES

Venons-en à la forme sans doute la plus élémentaire du groupe de Klein, c’est-à-dire au passage d’un casier à l’autre d’une matrice multiplicative (A et B) (A non-B) (Non-B et A) (ni A ni B) où A et B ne sont que des objets ou classes (avec leurs qualités), sans autre transformation que de les introduire ou de les enlever (ou encore d’ouvrir et de fermer, dans le cas d’une porte).

Le premier dispositif consiste en un port à 4 bassins : le premier 1 où il n’y a rien ; le n° 2 où un bateau rouge charge ou décharge des cailloux blancs (ou du sucre) ; le n° 3 où un bateau jaune charge ou décharge des cailloux noirs (ou du charbon) ; et le n° 4 où se trouvent les deux sortes de cailloux et où les deux bateaux chargent ou déchargent en même temps. Les deux bateaux entrent toujours ensemble dans le port et on pose des questions du type : « Le jaune est plein et le rouge est vide. On veut qu’à la sortie ils soient tous les deux pleins. Que faire ? » On demande aussi au sujet comment procéder de différentes manières, par exemple si un des bassins est [p. 142] fermé. On l’interroge ensuite sur l’ordre, pour voir s’il le juge inopérant, puis sur l’opération identique (sortie dans le même état qu’à l’entrée mais après transformations) et sur l’involution (deux opérations s’inversant).

Les opérations précédentes présentent une structure de groupe. On utilise ensuite, pour comparaison par l’enfant une épreuve qui en est dénuée : un couloir donne sur 4 compartiments ou « caves », l’un contenant de la farine blanche, un autre du charbon, un troisième de l’eau et un quatrième rien : on y introduit un chat blanc et un chat noir qui peuvent alors changer de couleur. On pose des questions analogues à celles des bateaux mais on demande surtout au sujet de comparer les deux situations et d’indiquer les ressemblances et différences.

Or, il existe une différence essentielle : les chats devant toujours marcher ensemble (ce que le sujet n’oublie pas et ce qu’on lui rappelle sans cesse), on ne peut donc pas permuter les couleurs du chat blanc et du noir, tandis qu’avec les bateaux, l’un des deux peut se vider quand l’autre se remplit et réciproquement.

Un troisième dispositif consiste en une boîte mécanique actionnée par 4 boutons et présentant 2 portes, l’une jaune et l’autre rouge. Le premier bouton ne produit rien, le n° 2 ouvre ou ferme la porte jaune, le n° 3 de même pour la porte rouge et le n° 4 pour les deux portes ensemble. La situation est donc isomorphe à celle des bateaux et les questions se correspondent. L’examen terminé on demande à nouveau des comparaisons avec les épreuves précédentes.

Il est inutile d’insister sur le stade préopératoire I (5-6 ans) où le sujet réussit les opérations simples (charger, décharger, changer de couleur, etc.) dans la mesure (variable) où il garde en sa mémoire les conditions indiquées, mais où il n’est pas capable de composer deux opérations.

Mie (6 ;2) indique plus ou moins bien ce qu’il faut faire pour remplir ou vider les bateaux mais n’y parvient pas lorsqu’un des bassins est fermé : « On a les deux pleins et on les veut les deux vides : où aller ? — (Il indique correctement le bassin 4.) — Et s’ils ne peuvent pas entrer ici (4) ? — Là (2). — Qu’est-ce qu’ils font ? — Ils se vident. «  Après l’épreuve des chats on demande si « les jeux se ressemblent ? — Non. — Qu’est-ce qu’il y a de différent ? — Rien ».

Cal (6 ;2) : « Les deux sont pleins, on veut les deux vides et le port ici (4) est fermé. — … — On ne peut pas dans les autres ports ? — Non. » Les portes : « On veut les deux ouvertes. — Avec ça (4). — Et sans ce bouton ? — … — Tu peux ? — Non. »

Par contre, dès le niveau IIA on trouve une majorité de sujets pour réussir les compositions demandées, mais ils échouent [p. 143] aux comparaisons de structure et parfois aux questions d’ordre et d’involution :

Bad (7 ;1) : « Les deux bateaux sont vides et on veut qu’ils soient pleins ? — Les deux là (4). — Et d’une autre manière ? — Le rouge prend du sucre là (2) et le jaune après prend du charbon là (3). — On a les deux pleins et on veut les deux pleins à la fin. — Le jaune décharge du charbon ici (3) et là (2) le rouge décharge (du sucre) et puis là (4) le jaune prend (du charbon) et le rouge prend du sucre. — Et on peut avoir la même chose d’une autre manière ? — Les deux (bateaux) là (4) : le jaune et le rouge se déchargent et le rouge prend là (2) du sucre et là (3) le jaune prend du charbon. — Et d’une autre manière ? — Non. » Il manque par contre l’involution. Après l’épreuve des chats, il pense que c’est « la même chose » que celle des bateaux. Pour les portes, il réussit l’involution : « On a la rouge ouverte et la jaune fermée et on veut la même chose. Quels boutons ? — Celui-là (1 = sans changement). — Et d’une autre manière ? — Non. — Pense bien. — Tourner la jaune (2) : deux fois la jaune… — Et ici (4) ? — La même chose : la rouge se ferme et la jaune s’ouvre et puis après la rouge se rouvre et la jaune se ferme. —  Et comme ça ? (on change l’ordre d’une séquence). — La même chose. » Comparaison finale : « Il y a des jeux qui se ressemblent ? — Non. —  Tous différents ? — • Oui. — Il y en a un qui ressemble plus à celui-là (bateaux) ? — Non. —  Et celui-là (chats) ? — Non. »

Fra (7 ;6) voit d’emblée deux manières différentes pour vider les bateaux pleins. Puis : « Ils sont les deux pleins. On veut la même chose. — Ils vont se vider là (4) et après se remplir là (2) et là (3). — Et si on change l’ordre c’est la même chose ? — Non. (Essai.) Oui. —  Et comme ça (autre changement) ? — Oui. » Involution : « Si on entre une fois ici (3) ? — Le jaune se vide. —  Et encore une fois ? — De nouveau plein. — Et ici (4) aussi ? — Non… Oui. » Après les chats : « Il y a quelque chose de pareil, etc. ? — Les jeux sont différents. — Pourquoi ? — Là (chats) il y a un carré (dispositif général) et là (bateaux) il y a de l’eau partout. — Mais tu as joué de la même manière ? — Non, là il y a des caves et là de l’eau. » Portes : tout est réussi.

Car (7 ;2). « On a les deux bateaux vides et on veut à la fin les deux vides. — Celui-là (jaune) va se remplir là (3) et puis le rouge ici (2) et puis ils se revident là (4). — Et si on fait 4, 3, 2 ? — Ça change. — Pourquoi ? — Ils se remplissent ici (4), après ici (3) le jaune se vide et après le rouge ici (2). — Alors c’est la même chose ? — Oui. — Et comme ça (2, 3, 4) ? — La même chose. » Comparaison avec les chats : « Ils sont différents ; là il y a des bateaux et là des chats. » On essaie d’insister sur les actions et les résultats : « Non parce qu’il y a (bateaux) un jaune et un rouge et là (chats) un noir et un blanc. »

LüP (8 ;8), mêmes réussites. Comparaisons : « Les deux jeux sont la même chose. — Pourquoi ? — Parce qu’on a toujours la même chose (bateaux) et là (chats) la même chose une fois (noirs). — Quelles sont les différences ? — Les chats entrent dans le charbon et puis dans l’eau. Les bateaux sont déjà dans l’eau. —  Il y a d’autres différences ? — Les chats deviennent noirs et là non. » [p. 144] Comparaison générale ⁵ : « Il y a des jeux qui se ressemblent ? — Ces deux (chats et bateaux) et ces deux (portes et disque). — Lequel ressemble le plus à ça (portes) ? — Aucun. »

Cla (8 ;11). Comparaison bateaux-chats : « C’est la même chose. Si on rentre deux fois ici les chats sortent noirs. Si les bateaux entrent deux fois ici (3 : cailloux noirs) ils sortent comme avant. — Il n’y a pas de différences ? — Ici les bateaux prennent (quelque chose), là les chats changent de couleur. » Comparaison générale : portes et bateaux « c’est la même chose », chats et portes aussi, disque et bateaux non.

Has (8 ;6). Bateaux et chats : « C’est le même type de jeux. — Pas de différence ? — Non. — Avec les bateaux on peut avoir le contraire : un se vide quand l’autre se remplit, ou l’inverse ? — Oui. — Et avec les chats ? — Non. — Il y a d’autres différences ? — C’est la seule. »

Nie (8 ;5) : « C’est exactement le même jeu mais là il y a des bateaux et là des caves. —  • Pense à ce que tu as pu faire. — … — Tu as pu tout faire avec les chats ? — Il n’y a pas de différence, sauf qu’ici il y a un port, etc. — Pour faire le contraire, tu as pu l’avoir ici (chats) — Non. — Et ici (bateaux) ? — Oui. » Comparaison générale : « Il y a des jeux qui se ressemblent ? — Oui, parce que là ça fait un bateau rouge et un jaune et là il y a une porte jaune et une rouge. —  D’autres ressemblances ? — Les deux parce que c’est 2 chats et 2 bateaux. »

Sim (8 ;4). Bateaux et chats : « C’est à peu près la même chose. — On peut faire la même chose avec les deux ? — Non, les bateaux à la sortie pouvaient avoir d’autres couleurs (celles du chargement) et les chats non. — Quand les bateaux entrent deux fois dans le même port, c’est la même chose qu’avant ? — Oui. — Et les chats ? — Non. — Us sont comment ? — Deux fois noirs. »

Le premier intérêt de ces faits est l’âge de réussite des diverses compositions demandées, encore manquées au niveau préopératoire mais dominées dès 7 ans en moyenne. Ce n’est pas un hasard, puisque c’est là le niveau de la construction spontanée des classifications multiplicatives, ou tables à double entrée : (A.B), A.(non-B) (non-A et B) et (ni A ni B). Or le problème des bateaux (et celui des portes) repose entièrement sur une telle structure, les opérations du groupe de Klein ne consistant alors qu’à passer de l’un des quatre casiers à un autre, avec les significations suivantes : A —  présence et donc changement possible de l’élément (tel que les cailloux noirs) ; non-A = absence de A et donc manque de changements possibles [p. 145] (charger ou décharger) ; B = présence et changement possible de l’autre élément (cailloux blancs) et non-B : absence et donc non-modification possible de B. Quant aux opérations, elles ne consistent qu’en réciprocités, selon les diagonales si la table est carrée : par exemple, passage de (A. B) à {non-A). {non- B) ou l’inverse ; et en semi-réciprocités selon les trajets verticaux ou horizontaux d’une table carrée : passage de (A. B) à A. {non-B) ou à {non-A) .B, etc. Ce groupe de quaternalité ne revient donc qu’à actualiser par abstraction réfléchissante les opérations mêmes qu’utilise le sujet lorsqu’il construit une classification double ou matrice multiplicative. Il est alors instructif de constater que cette actualisation, sous forme d’opérations ou séparées ou coordonnées de diverses manières (voir les changements de trajets ou les retours au point de départ identique chez Bad, Fra, etc.), se produit dès le niveau où le sujet les emploie globalement lorsqu’il se borne à classer concrètement des objets selon les deux dimensions d’une table à double entrée.

Mais, s’il y a là un remarquable exemple d’abstraction réfléchissante, elle ne conduit encore nullement à une abstraction réfléchie, c’est-à-dire à une prise de conscience de ces opérations qui seraient alors thématisées en devenant des objets de pensée, après n’avoir été qu’effectuées à titre d’instruments pour atteindre un résultat. A cet égard les comparaisons demandées entre les diverses épreuves, pourtant réussies, sont très significatives. Les sujets de 7 ans réagissent encore comme aux niveaux préopératoires : il n’y a rien de pareil entre les jeux parce que le matériel est différent, la forme des opérations n’étant donc pas différenciée de leur contenu. Les sujets de 8 ans, par contre, commencent à penser aux actions elles- mêmes et donc à un début de formes, mais ils n’aperçoivent néanmoins en rien les différences de structures, dont l’inversion possible dans le cas des bateaux et non pas dans celui des chats : tout leur paraît semblable et si l’on insiste sur les différences, ils en reviennent à celle des contenus (couleurs, locaux, etc.). Pourtant, si on les questionne sur la réversibilité, ils reconnaissent l’opposition (voir Has, Nie et Sim) mais, à eux seuls, ils n’y attribuaient aucune importance sans voir qu’il y a là une distinction essentielle de structure. En un mot, ils savent agir de façon adéquate, ce qui suppose une abstraction [p. 146] réfléchissante non consciente à partir de leurs pouvoirs antérieurs de constructions concrètes, mais ils n’en tirent aucune abstraction « réfléchie ».

Au sous-stade IIB (9-10 ans), on trouve encore de nombreux résidus du type précédent de comparaisons, mais on note un progrès en ce sens que le sujet acquiert le sentiment d’une différence de structure entre les questions de bateaux et de chats, mais sans savoir encore le localiser sur le point central des opérations inverses :

Rac (9 ;3) : « C’est pas la même chose : là (bateaux) ils sont obligés de se séparer et ici (chats) non. Là ils vont l’un après l’autre et ici les deux ensemble. «  C’est bien ce qui empêche les inversions dans le cas des chats, mais Rac ne le dégage pas, tout en sachant répondre aux questions plus détaillées : « Si les bateaux entrent deux fois dans le même port ? — Ils seront vides. — La même chose qu’au départ ? — Toujours. —  Et là (chats) ? — Noirs. »

Ren (10 ;8) dit des bateaux et des portes : « Ils sont exactement la même chose » et il indique avec précision la correspondance entre chaque bouton et chaque bassin du port. Mais pour les chats, « il manque les deux ensemble, le charbon et la farine », donc le casier A.B, d’où la non-correspondance des compositions, mais sans allusion spontanée à la réversibilité.

Bab (11 ;2) également : « C’est pas la même chose… parce qu’il y a ici (bateaux) un port qui en vaut deux (AB = A non-B + non-A et B) » et pas dans le cas des chats.

Au stade III enfin, on trouve des réponses dégageant explicitement la réversibilité dans le cas des bateaux et des portes par opposition aux chats :

Rel (11 ;6) : « Les bateaux peuvent inverser mais pas les chats. »

Max (11 ;6) : « Les chats peuvent pas se changer de couleur, tandis que les bateaux peuvent changer de chargement. »

Ago (11 ;9) : « Là (bateaux) on peut avoir le contraire, là non. »

Dub (12 ;6) : « On a pu tout faire avec les deux jeux ? — Les chats ne peuvent pas sortir comme avant (inversion de l’inversion). »

Il est surprenant que la réversibilité, dont la formation a certes été laborieuse au cours des stades préopératoires mais dont l’utilisation devient générale en presque tous les domaines à partir du niveau IIA de 7-8 ans, ne donne ainsi lieu à une [p. 147] abstraction réfléchie qu’au stade III qui est celui des « réflexions sur les réflexions. Dans le cas des rotations de la section I de ce chapitre, ce n’est qu’à ce stade III que se constituent d’emblée les compositions entre couples (tels que ou 0 — , etc.), tandis qu’avec les transformations beaucoup plus simples et d’une réversibilité de type élémentaire (introduire ou enlever) qui caractérisent les présentes épreuves ces compositions intercouples sont aisées dès le niveau IIA. Mais dans les deux cas, l’abstraction réfléchie (description détaillée des actions propres dans le cas des compositions de rotations de la seetion I et comparaison entre épreuves dans ce qu’on vient de voir) ne se constitue qu’au stade III. Ce qu’un tel fait suggère est alors que pour parvenir au groupe INRC (en son utilisation et non pas naturellement en tant que représentation réflexive de cette structure) le sujet a besoin d’abstractions réfléchies pour distinguer les diverses compositions en jeu dans les « ensembles de parties » et notamment pour différencier les situations d’inversion N et de réciprocité R : d’où sa formation tardive au stade III seulement. En ce sens les présents résultats nous ont apporté un complément d’information utile par rapport à ceux de la section I.