Chapitre V.
Problèmes d’inclusions et d’implications ^{1 2} 🔗

Il convient d’abord de noter que nous retrouvons naturellement avec les présentes épreuves les niveaux connus du développement de nos deux opérateurs, mais avec quelques petits décalages selon les questions posées, ce qui est intéressant du point de vue de l’abstraction.

C’est ainsi qu’au stade I (en moyenne 5-6 ans), l’épreuve ordinaire des fleurs donne lieu à un échec assez systématique (sauf quelques cas intermédiaires de niveau IB entre 6 ;6 et 7 ans), tandis que la question similaire des cartes donne lieu à des oscillations ou à des réponses apparemment justes :

Jos (5 ;3) : « Dans ce bouquet il y a plus de fleurs ou plus de marguerites ? — Plus de marguerites. — Que de quoi ? — Il y en a (encore) deux roses. —  Et plus de fleurs jaunes ou plus de fleurs ? — … — Montre-moi les jaunes ? (Elle montre les marguerites.) — Et les fleurs ? (Les montre toutes.) — Alors plus de fleurs ou plus de fleurs jaunes ? — Plus de jaunes. — Que de quoi ? — Que de blanches. » Par contre pour les cartes, la totalité des vertes est plus prégnante : « Il y a plus de formes ou de formes petites ? — Plus de petites. — Et plus de formes carrées ou de formes vertes ? — Plus déformés vertes. — Comment tu sais ? — Parce qu’il y a tout ça (= l’ensemble). »

Cat (6 ;6) : « Une fille veut faire un bouquet avec les marguerites et l’autre avec toutes les fleurs, laquelle aura le plus grand ? — Avec les fleurs, non avec les marguerites : c’est plus que les fleurs (= montre les roses). » Cartes : « Plus déformés vertes » que de carrées, mais « plus de petits cartons » (par opposition aux grands) que de formes vertes. Implication : « Je trouve une mauvaise montre… — Elle est faite le lundi ! »

Cou (6 ;9) : « Plus de fleurs ou de marguerites ? — Moins de fleurs. —  Si je te donne toutes les fleurs qu’est-ce qui me restera ? — Rien. — Montre- moi les fleurs ? (Ne montre que les roses !) — Et si je te donne les marguerites, il restera ? — Les fleurs, les deux roses. » Cartes : « Plus de formes carrées » que de vertes, puis « plus de vertes, parce qu’elles sont toutes vertes. —  Et plus de formes ou plus de petites ? — Plus de formes. — Comment tu sais ? — Parce que. »

[p. 85]Bar (6 ;4) est intéressant par sa manière inhabituelle de délimiter le tout : « Si tu prends toutes les fleurs ensemble, il y a plus de marguerites ou plus de fleurs ? — Plus de fleurs. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de bouquet. — Qu’est-ce que ça veut dire ? — Il n’y a qu’une rose. Ça (les marguerites) c’est plus. Ça (les roses) ça ne compte pas : c’est pas la même fleur, il pousse ailleurs. — Et ça (marguerite) c’est une fleur ? — Ben non ! C’est une marguerite ! — Et si vous êtes deux garçons et trois filles ensemble, qu’est-ce qu’on peut dire que vous êtes ? — On est des gens. — Et alors il y a plus de gens ou plus de garçons ? — Plus de filles. » De même pour les cartes, il y a « plus de carrées » que de formes vertes. Quant à l’implication, elle est naturellement conçue comme symétrique : « Je tombe sur une mauvaise montre et je dis qu’elle est faite le lundi. J’ai raison ? — Oui, oui, oui, parce que vous avez dit qu’elles (= les montres du lundi) ne marchaient pas et celle-ci ne marchait pas. »

Ast (6 ;10) : Fleurs : d’abord « plus de marguerites » puis avec hésitation « plus de fleurs 1 » mais pour deux marguerites et deux roses « Là c’est la même chose » (= autant de marguerites que de « fleurs », comme elle le précise). Figures : « Plus de vertes que de carrées », mais moins de formes que de carrées et pour cinq carrés et un rond « plus de carrés que de verts ».

Cos (6 ;10) croit qu’il y a « plus de marguerites » que de fleurs (il montre les deux roses comme étant « les fleurs »), mais pour les figures il admet après longue réflexion qu’il y a « plus de cartons » que de carrés. Un instant après il revient par contre à « plus de petites » que de « formes ».

Le caractère commun de ces réactions du stade I est la difficulté à construire les classes secondaires de type A’ en tant que réunies à A en une classe totale B et simultanément opposées à A par une négation partielle B.non-A. D’où la double tendance à remplacer la relation d’inclusion par un simple rapport entre classes disjointes caractérisées par leurs seules différences et à identifier le tout B à l’une de ces sous- classes : les A ou les quasi-A’, c’est-à-dire ce qui reste des B une fois dissociés les A. C’est ainsi que Cat et Cou donnent la réponse habituelle, pour la comparaison des fleurs et des marguerites, en identifiant les fleurs B aux roses seules (quasi- A’), donc au simple reste des B, tandis que Bar assimile le tout B (« les fleurs » ou « le bouquet ») aux marguerites A, parce que les roses « ça ne compte pas, ce n’est pas la même fleur », etc. S’il en est ainsi de l’inclusion pour les fleurs, où la classe secondaire (les fleurs non-marguerites) correspond pourtant à des données perceptibles (les roses), il va de soi qu’il en sera a fortiori ainsi dans la question d’implication où la classe des non-p. q (les mauvaises montres, mais non faites le lundi) doit [p. 86] être entièrement construite par inférence : d’où la tendance presque invincible à considérer l’implication pDq (lundi D mauvaises) comme inversible q } p (mauvaises donc lundi comme le dit aussitôt Cat en interrompant l’expérimentatrice ou comme en est certain Bar : « Oui, oui, oui »), c’est-à-dire comme une équivalence p = q (donc analogue à B = A ou B = A’).

Restent par contre les réponses apparemment justes de Jos, Cat et Cou à la comparaison des « formes » vertes et carrées (tandis que Bar et Ast en restent à n carrées > n vertes, donc àA>B et ùB = quasi-A’). Or, il y a là une intéressante question d’abstraction : il est plus facile de construire un tout B qui demeure résistant et conserve sa propriété de tout B > A et B > quasi-A’ lorsque le tout est défini par une propriété perceptive simple, comme sa couleur verte que par un ensemble de propriétés coordonnées en compréhension, même si chacune est perceptible, comme c’est le cas pour la notion de fleur. Ce petit fait (et Cou généralise sa réponse juste aux « formes » elles-mêmes, c’est-à-dire à l’ensemble des ronds et carrés présentés) a son importance, car il nous montre déjà que l’équilibration des réunions (choix du tout) et des négations relatives (ici les vertes non carrées, etc.) dépend du degré de construction inférentielle exigé de la part du sujet. De façon générale, les réunions sont facilitées par le fait que les objets ou les propriétés à réunir sont positifs et (à notre échelle d’observation) donnés à titre d’observables dès la perception, tandis que les négations sont à construire par le sujet et cela au moyen de mises en relations ou même d’inférences. Or, toute réunion, pour donner lieu à des compositions valables, doit être coordonnée aux négations correspondantes : A’ pour A, d’où B. A et B. A’, ou les caractères a’ pour le caractère a, etc. L’abstraction elle- même consiste à retenir un caractère (opération positive) quelconque a et à écarter (opération négative) les autres, soit a’. Si donc, dès les formes les plus élémentaires d’inclusion, les réunions en totalités stables dépendent des facilités perceptives (l’ensemble des figures « vertes » plus facile que celui des fleurs « »), on peut y voir le début des processus plus ou moins aisés ou malaisés de construction qui finiront par aboutir aux réunions en négations abstraites du stade formel (où les données sont des propositions à traiter formellement et non plus fournies par des perceptions actuelles) qui caractérisent l’implication.

Au niveau IIA (7-8 ans) l’inclusion des classes de fleurs est réussie, mais avec encore quelques hésitations et celle des cartes de façon immédiate et bien motivée :

Pit (7 ;1) : « Dans ce bouquet il y a plus de fleurs ou plus de marguerites ? — Plus de marguerites. — Que de quoi ? — Que de fleurs. —  Où sont les fleurs ? (Il montre les roses, puis les laisse.) — Les fleurs c’est tout. — Alors ? — Plus de fleurs. — Et si deux marguerites et deux roses ? — Plus de fleurs, parce que c’est tous les deux des fleurs. » (Cartes.) « Plus de formes vertes parce qu’elles sont toutes vertes. — Et plus de formes ou plus de carrés ? — Plus de formes parce que c’est tout des formes. » Mais en ce qui concerne l’implication il n’y a pas de progrès : de ce que les montres fabriquées le lundi sont mauvaises, il conclut qu’une autre montre quelconque « parce qu’elle n’était pas faite le lundi, elle marchait ». On lui montre ensuite des cartes retournées : « J’ai ici des formes qui sont rondes, carrées, grandes et petites, et rouges. Mais je te dis que toutes les grandes sont rondes. « Quelles formes est-ce que j’ai là ? — Des grands ronds rouges, des petits ronds rouges, des grands carrés rouges et des petits carrés rouges. — Mais je t’ai dit aussi : tous les grands sont ronds. Alors je prends cette carte et je te dis : « C’est grand . » Qu’est-ce qu’on peut dire encore sur cette carte ? — C’est rond. Tu es sûr ? — Oui, parce que vous avez dit que tous les grands sont ronds. — Et maintenant je prends cette carte et je dis : « C’est rond. » — Elle est grande. — Sûr ? — Oui, parce qu’avant vous avez dit que tous les grands… que tous les ronds étaient grands. — Et maintenant cette carte : c’est petit. — C’est un petit carré. —  Comment tu sais ? — Je ne sais pas… oui (sûr) un petit carré… parce qu’avant vous avez dit qu’il n’y avait pas de grands carrés. »

Sir (7 ;5). En inclusion des fleurs : « Il y a plus de marguerites… plus de fleurs… de marguerites… non de fleurs. —  Comment tu sais ? — C’est tout des fleurs. — Et si 1 marguerite et 1 rose, plus de fleurs ou de marguerites ? — C’est la même chose, il y a une marguerite et l’autre aussi une. — Mais plus de fleurs ou… ? — De marguerites, non de fleurs parce que ça (les deux) c’est des fleurs. » Cartes : aucune hésitation. Implication : « Toutes les montres faites le lundi sont mauvaises : il en prend une faite le lundi : « Mauvaise ? — Non, il ne sait pas, peut-être… (On répète la donnée.) — Oui, c’est juste. » Et il prend une montre bonne : « Alors pas faite le lundi ? — Oui, parce que le lundi elles ne marchaient pas, alors le vendredi que c’était un autre jour. —  Et une montre du mercredi : bonne ? — Oui, il avait raison, par ce que le mercredi elles sont aussi bonnes. —  Sûrement bonnes ou elles peuvent être mauvaises aussi ? — Non, sûrement bonne. — Une montre mauvaise ce n’est pas possible qu’elle soit faite un autre jour que le lundi ? — Non, parce que vous avez dit que le lundi, c’était celles qui ne marchaient pas. »

Pat (7 ;0). Inclusion : mêmes réactions. Implication : les montres du mercredi sont toutes mauvaises. — « Cette montre est mauvaise, alors elle est du mercredi ? — Oui (hésitation). — Ou elle pourrait être d’un autre jour ? — Non, du mercredi. —  Qu’est-ce qu’on avait dit, avant ? — Que si [p. 88] elle est du mercredi, alors elle est mauvaise. — Et les autres jours ? — Bonnes et mauvaises. — Alors on peut dire sûrement que si elle est mauvaise elle est du mercredi ? — Oui. »

Ces faits montrent à l’évidence les analogies et les différences entre les questions d’inclusion et d’implication. L’inclusion, tout d’abord, n’est correctement comprise, donc quantifiable sous la forme nA < nB, que si deux conditions sont remplies et elles commencent précisément à l’être à ce niveau IIA : 1) Il faut que la sous-classe A (par exemple les marguerites) fasse partie d’une classe totale B suffisamment résistante et permanente pour qu’elle conserve son extension lorsque le sujet centre son attention sur ses subdivisions : or au stade I, le tout B (les fleurs) défini avec justesse lorsque le sujet ne pensait qu’à lui, se résorbait jusqu’à s’identifier à A ou à A’ sitôt que l’enfant se centrait sur ces subdivisions ; à ce niveau IIA au contraire, l’enfant découvre que malgré ces répartitions, « les fleurs c’est tout » (Pit) ou « c’est tout des fleurs » (Sir). 2) Il est en outre nécessaire de subdiviser le tout B en sous-classes A et A’ explicitement caractérisées par des négations partielles : A’ = les B non-A et A = les B non-A’, seules ces négations, donc l’emploi d’opérations inverses (soustractions) permettent d’assurer la quantification nA < nB et de dépasser l’identification ou symétrie nA = nB (ou nB = nA’).

Or, dans le cas des implications proposées, la situation est pareille, même si l’on en vient à dépasser les frontières du « groupement » des classes initiales en introduisant en plus le cas ni A ni B. 1) Dire que toutes les montres fabriquées le lundi sont mauvaises signifie d’abord qu’il existe un tout B formé par les montres mauvaises et qu’une partie A de ce tout consiste en montres fabriquées le lundi, puisque ces A sont « toutes mauvaises ». 2) Mais pour conclure que p (proposition affirmant A) implique q (affirmant B) sans que p 3 q entraîne q D p, donc sans qu’on ait p — q ou A = B, il est nécessaire de construire une sous-classe A’ et de la caractériser explicitement par une négation partielle (A’ = les B non-A, donc les montres mauvaises non fabriquées le lundi ou, dans le cas des cartes retournées, les ronds B qui ne sont pas grands).

Mais alors la première différence entre nos questions d’inclusion et d’implication est que, dans le cas des premières, [p. 89] l’existence de la sous-classe A’ est imposée par la présence d’objets donnés perceptivement (les roses, qui sont des fleurs différentes des marguerites), tandis que dans le cas des secondes, la sous-classe A’ doit être construite inférentiellement par une analyse suffisante de la donnée (simplement propositionnelle et non pas perceptive) p Z) q (donc « toutes les montres du lundi sont mauvaises »). Il s’y ajoute que la négation partielle (A’ = les B non-A) doit être dégagée elle aussi déductivement. Certes, dans la question des fleurs, la négation suppose déjà une part de construction : la perception montre simplement que les roses sont « différentes » des marguerites, et les sujets du stade I n’en concluent pas encore pour autant que les roses sont des « fleurs non-marguerites ». Ils préfèrent traduire cette situation sous une forme positive : les roses A’ sont ce qui reste des fleurs B, une fois considérées à part les marguerites. Mais il est clair qu’une différence perceptible conduit plus facilement à la négation (car elle la contient en quelque sorte implicitement) qu’une réflexion formelle sur le « tout » et le « quelques » à propos de p D q (qui exclut p. (non-q) mais non pas (non-p) et q.

Au sujet de (non-p) et q, notons encore que les questions d’implication conduisent à généraliser le groupement initial jusqu’à se servir de la logique des classes sans les restrictions propres à cette structure. C’est ainsi que dans le cas des montres du lundi A qui sont mauvaises (B), on n’a pas seulement, pour juger de toutes les relations, à construire les sous-classes A’ (mauvaises mais non du lundi) et B’ (si C = les montres, alors B’ = celles qui sont bonnes) ; mais on peut continuer : si D = les appareils de mesure, alors C = ceux-ci sauf les montres, etc. On constate alors que l’expression ni p ni q, qui entre dans la forme normale de l’implication (p. q V p. q V p. q), est égale à B’ 4* G’ + D’ + …, ce qui permet d’en tirer la loi fondamentale suivante : si A est inclus dans B et B dans C, etc., par contre non-B est inclus dans non-A (car non-A = A’ ₊ B’ 4- etc.), non-C l’est dans non-B donc dans non-A, etc. Or cette « loi de dualité » due à de Morgan est d’usage courant.

Comme chacune de ces constructions comportant des négations demeure inaccessible (y compris celle de la sous- classe A’) à ce niveau IIA, bien que prolongeant simplement ce que suppose déjà la compréhension de l’inclusion, le problème [p. 90] de l’abstraction réfléchissante étudié en ce chapitre va consister à établir comment s’effectue le passage de ces mécanismes acquis à propos de l’inclusion à ceux que nécessite l’implication.

L’examen des niveaux IIB et III ne suffira pas à résoudre le problème mais est cependant utile à fournir pour montrer l’existence d’étapes intermédiaires analogues aux hésitations qu’on a vues en IIA quant à l’inclusion des fleurs :

Ala (9 ;8) résout immédiatement cette question des fleurs : « Il y a plus de fleurs (que de marguerites) parce que les marguerites ce n’est qu’une espèce, tandis que les fleurs c’est tout : les marguerites et les roses. «  Implication : « Si une montre est mauvaise, elle est faite en septembre ? — Ben oui, si le contremaître a dit que toutes les mauvaises montres sont faites en septembre. —  Qu’est-ce qu’il a dit ? — Que toutes les montres de septembre sont mauvaises. — Alors toutes les mauvaises sont faites en septembre ? — Oui. — Et une montre en juillet est sûrement bonne ? — Oui, puisqu’il a dit que c’est seulement les montres de septembre qui sont mauvaises. — Si on dit 1) toutes les mauvaises sont faites en septembre et 2) toutes les montres faites en septembre sont mauvaises… ? — C’est différent les deux : dans 1) on dit c’est « toutes » et dans 2) « toutes faites en septembre » et il peut y avoir d’autres faites un autre mois qui sont mauvaises. — En octobre elle est sûrement bonne ? — Sûrement, oui… il peut se tromper aussi. — Et si elle est mauvaise alors elle est de septembre ? — Il peut se tromper parce qu’il y a souvent des autres mauvaises dans les autres mois. »

Far (10 ;3). Immédiatement juste aux inclusions. Implication : « Toutes celles du mardi sont mauvaises. Celle-ci est du lundi, alors elle est bonne ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce que le mardi elles sont mauvaises. Alors il était sûr que la montre du lundi marchait. — Maintenant on a une montre mauvaise : elle est sûrement du mardi ? — Oui, puisque tous les mardis les montres sont mauvaises. —  Et les autres jours ? — Bonnes. — On a dit ça ? — Non. —  Quand on dit que le mardi elles sont mauvaises, qu’est-ce qu’on peut dire pour les autres jours ? — Qu’elles sont bonnes. — On peut dire ça ? — Non, elles peuvent être mauvaises des fois. »

Dan (11 ;4). Mêmes réactions. Pour les deux propositions présentées à Ala (voir 1) et 2) ) : « C’est à peu près la même chose. — Laquelle est la plus claire ? — La 2. » Cartes retournées : « J’ai des ronds et des carrés, des grands et des petits. Je te dis seulement : tous les grands sont ronds. Je tire 1 : il est grand. — C’est un rond. — Pourquoi ? — Parce que vous avez dit que tous les grands étaient ronds. — Un petit, donc un carré. J’ai raison ? — On ne peut pas savoir : s’il y a des petits ronds aussi et des petits carrés, on ne peut pas savoir. — J’ai un carré : je dis que c’est un petit. C’est juste ? — On ne peut pas savoir. — On a dit que tous les grands… — C’est des ronds. — Alors un carré ? — C’est petit parce qu’on a dit que tous les grands étaient ronds : s’il y a un carré c’est un petit carré. — J’ai un rond, alors c’est grand ? — Oui, [p. 91] parce que les formes grandes ce n’est que des ronds. Si on dit c’est grand, on est sûr que c’est rond. — Et si on dit que c’est rond on est sûr que c’est grand ? — Non, on peut avoir des petits ronds. »

Ces hésitations chez des sujets de 9 à 11 ans sont très instructives. A voir leurs réactions aux questions d’inclusion, il est clair qu’en présence des objets concrets ils n’éprouvent plus la moindre difficulté à régler le « tous » et le « quelques » à l’intérieur d’une structuration de « groupement » : voir Ala précisant que « les marguerites ce n’est qu’une espèce », etc. Leur incapacité à faire de même au moyen des données verbales (donc propositionnelles) des questions d’implication semble ainsi simplement due à la difficulté des transpositions du concret aux énoncés propositionnels, donc du réfléchissement ou « réflexion » au sens de réflecteur, c’est-à-dire du premier caractère de l’abstraction « réfléchissante ». Mais cette condition préalable, que ces sujets arrivent finalement à remplir, mais avec peine et après hésitations, doit conduire normalement au second des caractères de l’abstraction réfléchissante, c’est-à- dire aux généralisations et constructions nouvelles que permet la « réflexion » (au sens de l’activité mentale de réorganisation) sur le nouveau palier qui est celui des seuls énoncés propositionnels. Or ce second progrès n’est pas atteint à ce niveau IIB, tandis que l’on aperçoit rapidement les manifestations de cette pensée généralisatrice dès les débuts du stade III (11-12 ans), y compris dans le cas précoce suivant :

Sam (9 ;1). Horloger : « Une montre bonne, c’est sûr qu’elle vient d’un autre mois que septembre ? — Oui, parce que toutes les montres en septembre sont de mauvaise qualité. — Une montre d’octobre est sûrement bonne ? — Non, il y en a peut-être de mauvaises. — Comment peut-on se tromper ? — On regarde une montre mauvaise et on dit qu’elle est sûrement de septembre : on a pas raison… (On) pense qu’on a dit que c’est seulement les montres de septembre qui sont mauvaises. »

Ce sujet Sam formule ainsi explicitement la distinction formelle fondamentale du « si » et du « seulement si », si courante en mathématiques et qui caractérise précisément l’implication : pour p } q on a toujours q vraie si p est vraie, mais pas seulement si puisque l’on a également la vérité de « non-p et q ». Mais c’est à propos des utilisations d’indices et de l’abstraction « réfléchie » que nous verrons le mieux les progrès.

[p. 92] Les problèmes d’inférences à partir des informations ou indices fournis aux sujets présentent cet intérêt qu’en employant le même matériel de cartes que pour certaines des questions d’inclusion et d’implication, et en faisant construire des inférences qui logiquement comportent les mêmes inclusions et implications, on obtient des solutions plus précoces et bien plus faciles du seul fait qu’on ne recourt à aucune quantification ou négation explicites et que tout le raisonnement s’effectue en « compréhension » à partir de qualités positives communes ou différentes.

Pour ce qui est des cartes rappelons qu’on présente sur des cartons de même format de grands et petits carrés et des petits ronds, tous les cartons étant retournés et avec plusieurs des trois sortes mais en laissant un exemplaire visible de chaque comme aide-mémoire. Les problèmes d’emboîtement sont donc de reconnaître en les distinguant deux sortes de carrés, deux sortes de petites figures, une seule espèce de ronds (petits) ainsi que de grande taille (carrée), toutes les figures étant vertes. Quant aux inférences il s’agit de caractériser les propriétés non visibles d’une carte ou de juger indécidable ce choix lorsque l’on donne une seule information : « rond », « carré », « petit », « grand », « vert ». On voit alors qu’il y a là l’analogue des questions d’implication : « grand » implique « carré », mais la réciproque n’est pas vraie, puisque « carré » correspond à « petit » ou à « grand », etc. La nouveauté est alors que ce problème se pose en termes d’alternatives ou de disjonctions : x signifie Al ou A2, donc l’un ou l’autre s’il s’agit de remonter aux termes individualisés, ou même Al ou A2 ou A3 lorsque l’indice x est « vert ». Or le grand intérêt de cette épreuve est de nous montrer que cette sorte d’« implication signifiante » (notion qui reste à caractériser au vu des faits) et non pas propositionnelle, est bien plus précoce que cette dernière et de facilité au moins égale et en général supérieure à celle de l’inclusion des cartes, elle-même moins difficile que celle des fleurs.

Voici d’abord des exemples du stade I :

Cat (6 ;6) dont on a vu (§ 1) les hésitations pour l’inclusion des cartes commence, pour l’indice « petit » par dire « le petit carré », puis elle reconnaît que ce peut être un petit « rond, mais je suis sûre que c’est carré », ce qu’elle prétend « deviner ». — « Maintenant c’est grand. — C’est le grand carré. —  Sûre ? — Sinon il n’y a rien de grand. — Maintenant c’est toi qui vas me poser [p. 93] des questions. On peut me poser une question difficile. — C’est vert. — Pourquoi c’est difficile ? — Ils sont tous verts. — Et une autre moins difficile. — Il y a quatre pointes (= carré). — Pourquoi c’est difficile ? — Parce qu’il y en a deux. — Maintenant une facile ? — C’est pas pointu… c’est petit (ajoute après hésitation ce second indice en trop). »

Bar (6 ;4) dont on a vu (§ 1) l’échec à l’inclusion : « C’est rond. — C’est celle-là (le seul). — Une autre maintenant : elle est verte. — C’est carré. —  Pourquoi ? — Parce que tout à l’heure c’était rond, maintenant c’est carré (il cherche donc à deviner). — J’avais dit qu’elle est verte. — Mais c’est tous verts. Alors on ne peut pas deviner (= choisir juste). — Un autre : c’est grand. — Eh ben, c’est ça (petit carré). Je ne vous dirai pas comment j’ai trouvé : vous devez deviner (Bar a donc conscience d’avoir choisi entre les deux petits). »

Ast (6 ;10) (voir au § 1 ses oscillations à l’inclusion) :« Il est carré. — C’est celui-là (le petit). — Comment tu sais ? — Je devine. — On peut être sûr ? — — Non parce qu’il y a encore le grand. — Un autre : c’est petit. — Un rond, mais pas sûr : il y a encore le carré. — Pose-moi une question, mais très facile. — Elle est grande et verte. — Je ne peux pas me tromper ? — Non, parce qu’il n’y a pas de plus grand (que le grand carré). — Maintenant une question difficile. — Cest carré. — Pourquoi c’est difficile ? — • Parce que c’est ça ou ça. — Et de nouveau une facile ? — Un rond. »

Cos (6 ;10) reste intermédiaire (niveau IB) pour l’inclusion des cartes : il y a plus de cartons que de carrés, de même que plus de vertes, mais il y a « plus de petites que déformés ». Indices : « Elle est petite ? — C’est un petit carré ou un petit rond. — Elle est grande ? — Celui-là. — Elle est verte ? — C’est tout l’ensemble : carrés, petits carrés ou ronds. — Pose-moi, toi, une question difficile. — Une petite. — Pourquoi ? — Il faut choisir. — Une question facile ? — Elle est grande. »

La qualité de ces réponses est surprenante à les comparer aux insuffisances de ces mêmes sujets quant aux problèmes d’inclusion. Certes plusieurs de ces enfants prétendent pouvoir « deviner » juste, mais cela va avec les attitudes de ce niveau concernant les questions de hasard. D’autre part, s’essayer à deviner revient à admettre qu’il y a plusieurs possibilités équivalentes, ce que reconnaissent vite Cat et Bar et de façon immédiate Ast et Cos.

Quant au sens de ces réactions, examinons d’abord celles du niveau IIA, car après ces bons débuts les réponses sont rapidement toutes correctes.

Voici donc trois cas de ce niveau IIA :

Pat (7 ;0) (voir le § 2) : « Elle est petite. — C’est celle-ci (petit rond). — Sûr ? — Ou celle-ci (petit carré). On ne peut pas être sûr parce qu’elles sont toutes les deux petites. — J’en prends une autre (dans le cas de Pat on a [p. 94] utilisé de grands ronds comme seules grandes figures) : elle est ronde. — C’est ça (grand rond) ou ça (petit rond). — Une autre : elle est carrée. — C’est celle-ci (petit carré). Il n’y a pas d’autres carrés. — Elle est verte. — Une de ces trois. »

Sir (7 ;5) (voir le § 2). « Elle est petite. — Un carré. — Sûr ? — C’est peut-être faux, ça pourrait être un rond. — C’est grand. — Alors c’est un carré (certitude). Oui c’est le seul qu’il y avait. —  Et pourquoi « petit » c’est plus difficile ? — Il y en avait deux. »

Per (8 ;4) : « Pose-moi une question pour que le monsieur trouve. — C’est petit, non (ça ne va pas) parce qu’il y a deux petits. C’est grand. — Et si tu dis petit ? — Ça peut être petit rond ou petit carré. — Et si tu dis carré ? — Ça peut être grand ou petit. »

Les réponses des niveaux IIB et III sont également d’emblée justes et bien motivées. Quant à leur interprétation, dissipons d’abord un malentendu possible. On pourrait, en effet, penser que la solution rapide de ces questions tient au fait qu’il s’agirait de simples constatations ou lectures perceptives des données puisque les trois figures en jeu sont présentées de façon visible et que la tâche du sujet consiste sans plus à identifier telle ou telle des multiples cartes retournées à l’une ou l’autre de ces trois formes visibles. Mais, s’il y a là bien sûr une facilitation par rapport à nos questions d’implication (avec les mêmes cartes ou avec les horlogers) où les données demeurent à l’état d’énoncés verbaux, ce n’est pas le cas par rapport aux questions d’inclusion, où tous les objets sont présents et visibles et où il n’y a rien à inférer, mais où il s’agit simplement de construire, pour les comparer, des classes et des sous-classes en réunissant ou dissociant les éléments tous perceptibles.

Or, nous voyons des sujets comme Bar, qui lors des questions d’inclusion répond « plus de carrés » quand on veut les comparer aux figures vertes, déclarer lors des présentes questions : « c’est tous verts, alors on ne peut pas deviner » s’il s’agit de carrés ou de ronds ni de grands ou de petits. Voir aussi Cat et surtout Cos pour qui « vertes » c’est « tout l’ensemble : carrés, petits carrés ou ronds ». Autrement dit dès le stade I les questions d’inclusion B > A de même C > B > A (où C = le tout, B les petits ou les carrés et A = les termes individuels) semblent résolues a priori sans hésitations ! Quant aux classes secondaires A’ (ou même B’) il semble en aller de même avec [p. 95] leurs négations partielles implicites : quand Ast dit des « carrés » (choisis par elle-même comme indice « difficile ») « c’est ça (le grand) ou ça (le petit) », cette alternative revient à admettre : si c’est le grand carré ce n’est pas le petit et réciproquement, chaque sous-classe comportant la négation des caractères de l’autre. Et chacun de ces sujets raisonne ainsi, au stade I comme aux suivants. Reste l’implication, dont nous avons vu que, jusqu’au stade III, la difficulté systématique était de ne pas la considérer comme nécessairement symétrique ou réciproque : si « tous les grands sont ronds » ne pas en conclure que « tous les ronds sont grands ». Or, dans les réponses qu’on vient de lire, aucun de ces sujets ne commet cette erreur et pour chacun le caractère carré de la grande figure (ou rond dans le cas de Pat) conduit à une disjonction (comparable à p. q ∨ non- p. q dans la relation p D q : alors « c’est ça ou ça » (donc « grand ou petit carré » et non pas à « grand carré »).

En un mot, les réactions que nous venons de décrire, donc les inférences à partir d’indices significatifs, semblent non seulement préparer les structures d’implication, mais encore les ébaucher en simplifiant déjà notablement les problèmes d’inclusion. A quoi alors ces facilités sont-elles dues ? La réponse semble évidente : aucune des questions précédentes n’est posée en termes de quantification ni de négations mêmes partielles (cf. les fleurs non-marguerites : B non-A), de telle sorte que le sujet peut raisonner par connexion de pure « compréhension » : « grand » signifie « carré », « rond », signifie « petit », « petit » signifie « rond ou carré », etc., sans que l’on ait besoin de préciser l’« extension » de ces notions signifiées ou signifiantes, donc de les quantifier, la seule question quantitative étant de savoir si un indice notionnel correspond à un seul ensemble de figures ou à deux ou à trois. Quant aux négations implicites (rond = non carré, etc.), elles sont traitées par l’enfant en tant que relations de simples « différences », comme dans les « logiques sans négations » de Griss ou de Nelson. Il est vrai qu’à elle seule une différence qualitative présuppose une négation, mais de façon implicite et, pour la conscience du sujet, elle s’exprime en termes de seules affirmations : carré « ou » rond, le foncteur disjonctif « ou » signifiant donc une « autre » affirmation et non pas encore la négation de l’un des termes relativement à cet « autre ».

[p. 96] Reste alors à comprendre en quoi consiste cette relation générale, qui n’est ni une inclusion de classes (extension) ni une implication propositionnelle mais qui les précède toutes deux jusqu’à pouvoir être dominée en de nombreux cas aux niveaux préopératoires et même fréquemment aux stades sensori-moteurs. Nous proposerons le vocable (déjà utilisé en des travaux antérieurs) d’« implication signifiante » entendant par là le rapport entre deux significations tel que la première entraîne la seconde. Il faut tout d’abord préciser qu’il ne s’agit point ici du rapport linguistique de signe à signification, car si le signe verbal (donc le mot) est bien un signifiant, il n’est que cela et sa signification se réfère à un concept, d’où en ce cas, l’hétérogénéité du signifiant et du signifié et l’autonomie de la linguistique en tant que science des signifiants ⁴. Dans le cas de l’implication signifiante, au contraire, le signifiant momentané, même si nous l’appelons indice comme dans la présente expérience, comporte sa propre signification conceptuelle (par exemple « petit » ou « carré », etc.), laquelle entraîne d’autres significations également notionnelles, les fonctions de signifiant et signifié n’ayant ces sens qu’en raison du contexte et pouvant être interverties. Mais, seconde remarque, la relation d’implication signifiante n’est pas par elle-même réciproque. Dans les présents faits, « rond » signifie « petit », mais « petit » signifie « carré ou rond » ; de même, « carré ou rond » ne signifient pas en retour « petits » mais « petits ou grands », etc. Quant à la précocité de ces rapports d’implication signifiante, il n’est pas de raison qu’ils ne débutent, sous leurs formes les [p. 97] plus simples, dès les niveaux sensori-moteurs, sous les espèces d’une implication entre schèmes, puisque tout schème d’assimilation comporte une signification et que tout acte d’assimilation comportementale consiste à conférer des significations. C’est ainsi que pour un bébé de douze mois le fait qu’un objet éloigné soit placé sur un support implique la possibilité de l’atteindre en tirant ce dernier. Il faut seulement préciser que l’implication, si précoce soit-elle sous ces aspects de connexions entre significations, constitue un résultat et non pas une donnée première, celle-ci consistant en une activité, qui est celle de l’assimilation.

Cela dit, rappelons que notre problème était de chercher à expliquer comment l’abstraction réfléchissante peut tirer l’implication propositionnelle des mécanismes constitutifs de l’inclusion des classes (celle-ci étant partiellement isomorphe à celle-là). Or, ce problème s’élargit maintenant quelque peu, puisque nous croyons trouver dans l’implication signifiante une source commune des inclusions et des implications (propositionnelles), mais restant entendu, ou tout au moins supposé que le chemin aboutissant à ces dernières passe par les inclusions, même (ou surtout) si celles-ci doivent leur constitution à une quantification des implications signifiantes. L’hypothèse qui semble la plus vraisemblable est, en effet, qu’à partir des multiples liaisons construites par implications signifiantes (ce qui revient donc en un sens à dire : par assimilations en compréhension), une quantification devient possible par mise en correspondance de ces relations en compréhension avec des rapports d’extension et par traduction des relations de différences en négations partielles propres aux classes secondaires. Il y a là, bien entendu, une première manifestation d’abstraction réfléchissante, mais ne conduisant encore qu’aux systèmes d’inclusions caractéristiques des « groupements » de classes avec leurs limitations. Dans la suite, en revanche, les multiples arrangements que permet le jeu des implications signifiantes (« c’est ça ou ça » selon les indices rencontrés tour à tour) conduisent aux structures d’« ensemble des parties » et permettent alors enfin de dépasser le concret et de construire les implications propositionnelles.

Une première vérification de ces hypothèses est fournie par la question des oiseaux et des avions, particulièrement [p. 98] simple puisqu’elle ne fait intervenir que deux classes d’objets (même s’ils ne sont pas posés concrètement sur la table) et une seule différence (la présence ou l’absence d’un moteur). Il en résulte que cette question est résolue à tous nos âges, et encore que l’on voit fréquemment les sujets du stade I traduire déjà ces données en termes d’inclusions et de négations partielles :

Bar (6 ;4) est le seul qui ait hésité dans ses réponses, mais un très court instant seulement : « Il voit un objet avec des ailes… — Alors c’est un oiseau. — On peut être sûr ? — Oui, peut-être. — Qu’est-ce que ça pourrait être aussi ? — Aussi un avion. — On peut être sûr ou pas ? — Pas tellement sûr… (l’avion) ça a aussi des ailes. »

Cat (6 ;6) : « Si je vois quelque chose avec des ailes et que je dis « c’est un oiseau » c’est juste ? — Ça peut être un avion. —  Et s’il fait ce bruit (imitation) ? — C’est un avion, ils font comme ça et pas les oiseaux. Les oiseaux sifflent. »

Dom (6 ;6) : « Je vois quelque chose qui vole. — C’est l’avion… L’avion, l’oiseau, la fusée. — Pourquoi ? — Parce qu’ils ont tous des ailes. — Et s’il y a un moteur ? — La fusée ou l’avion. L’avion a des moteurs mais pas l’oiseau. — Et s’il y a des fenêtres ? — L’avion, parce que la fusée n’a pas de fenêtres. » (On n’avait pas parlé de fusées à Dom, qui les a introduites en plus.)

Ces réponses banales appellent cependant deux remarques. La première est que s’il est facile à des sujets de 4-6 ans de comprendre qu’un indice s’appliquant à toute une classe B ne prouve rien quant à la présente d’une sous-classe A, il n’en est pas de même aux débuts de la représentation. Un enfant de l’un de nous discutant avec son père pour savoir si une image figurait un chien ou un chat, n’a finalement trouvé que cet argument : « C’est un chien, parce qu’il est gris », comme si cet indice ne s’appliquait pas aux deux. En second lieu, si l’on voit Cat et Dom manier avec aisance le tout (« ils ont tous des ailes ») et les négations propres aux classes secondaires (les avions « font du bruit et pas les oiseaux »), c’est que l’on a à faire à un seul indice simple opposant les deux sous-classes, le tout lui-même n’étant caractérisé que par une seule propriété (les ailes ; cf. la couleur verte pour les figures du § 1), tandis qu’à comparer les fleurs et les marguerites, et à construire la classe secondaire des fleurs non-marguerites, il y a bien plus d’indices à coordonner. Il n’en était pas moins utile de montrer par ces [p. 99] petits exemples qu’en cas de données assez simples, le sujet tire facilement du fonctionnement de ses implications signifiantes un jeu élémentaire de quantification (« tous » et pas tous) et de négations partielles (« pas les oiseaux », etc.). Ces formes si banales d’abstraction réfléchissante tirant un début de structure d’un fonctionnement préalable n’auront donc dans la suite qu’à être généralisées pour conduire aux inclusions et enfin aux implications propositionnelles.

Si les processus de ces abstractions successives sont inobservables en tant que tels, leur prise de conscience, quoique toujours en retard sur les constructions elles-mêmes, peut nous renseigner rétroactivement sur leurs mécanismes. Or, ces étapes de l’« abstraction réfléchie » (en tant que thématisation après coup des processus antérieurs) vont nous mettre précisément en présence des quantifications et négations progressives marquant le passage des implications signifiantes aux inclusions et implications propositionnelles :

Le premier niveau, correspondant au début (IA) du stade I, est caractérisé par l’absence de toute structure et par une simple recherche des ressemblances et différences entre les objets en eux-mêmes appartenant au dispositif matériel des épreuves :

Jos (5 ;3), comparant l’inclusion des fleurs à celle des cartes trouve que ces jeux « ne sont pas pareils » mais elle arrive ensuite à cette analogie « que ça (les marguerites), c’est la même couleur (entre elles) et ça et ça (deux carrés) c’est les mêmes (formes) ».

Bar (6 ;4) trouve « très différentes » les questions d’implications sur les horloges et sur les cartes retournées : « Il n’y a rien qui ressemble. » Mais il finit par cette trouvaille : « Il y a quelque chose qui ressemble : vous m’avez demandé des questions ! »

Dom (6 ;11). Inclusions fleurs et cartes : « Les deux jeux se ressemblent ? — Ça et ça (une marguerite et un grand rond vert) se ressemblent parce que c’est rond et ça (carré)… Non. Seulement les autres. Il faut enlever ça (les roses) pour bien faire le jeu (de comparaison) : il n’y a pas déformés (cartes) comme ça. Et puis du jeu des cartes, il faut enlever ça (les carrés) parce qu’il n’y a pas déformés (de fleurs) comme ça. »

Tia (7 ;1) se refuse à toute comparaison entre la question des horloges et celle de l’implication sur les cartes : « Mais les questions qu’on posait se [p. 100] ressemblaient un peu 1 — Non. — On ne peut pas dire que « toutes les montres du lundi sont mauvaises » ressemble à « tous les grands sont ronds »? — Oui. — Et si je dis « les petits sont ronds ou carrés », ça ressemble à quoi dans l’histoire des montres ? — Que les montres sont carrées ou rondes. »

Ces premières réactions sont conformes aux caractères généraux des implications signifiantes les plus élémentaires (déjà dépassées dans les actions effectives des sujets aux prises avec un problème) : considération exclusive des qualités en compréhension, sans quantification et de ce point de vue sans atteindre la structure des questions posées ; d’où la centration sur les objets comme tels ou sur le fait d’avoir « demandé » des questions (Bar). Par contre, Dom et Tia, malgré le caractère saugrenu de leurs propositions, ne se contentent plus comme Jos de dire que les fleurs se ressemblent entre elles comme les figures entre elles : ils cherchent des correspondances qualitatives entre les deux ensembles à comparer et s’orientent ainsi dans la direction du second niveau.

Celui-ci est, en effet, caractérisé par une recherche de correspondance mais visant cette fois la quantification :

Ast (6 ;10, voir § 1). Comparaison des inclusions de fleurs et de figures : « Vous demandiez s’il y avait plus de marguerites ou plus de roses. — Autre chose ? — Je ne me rappelle plus. — Plus de marguerites ou plus de fleurs ? — Oui. — Et le jeu de cartes ressemble un peu ? — Non. — Comment tu avais fait pour trouver avec les fleurs ? — Parce que là (roses) il y avait seulement deux. — Et pour trouver avec les cartes ? — Là (carrés) il y a un de plus. — Essaie maintenant de faire avec les cartes un jeu qui ressemble aux fleurs ? — (Elle aligne 4 grands ronds et 3 petits.) — Pose-moi maintenant tes questions. — Là, où est-ce qu’il y en a le plus ? — De quoi ? — De ronds. —  Comment ? — Grands (plus de grands que de petits). — C’est le même jeu qu’avec les fleurs ? — Oui (elle met 4 marguerites en correspondance optique avec les 4 grands ronds, en écartant les autres, et les 2 roses face aux 3 petits ronds). — Pose-moi encore tes questions. — Où est-ce qu’il y a plus de fleurs. — Mais c’est tout des fleurs. — Alors où y a-t-il plus de marguerites ? »

Cos (6 ;10) : « Est-ce que le jeu que tu as fait avec les fleurs ressemble à celui des cartons ? — Oui, il y a 2 roses là et ici 2 grands carrés verts. — Et quoi d’autre ? — Là il y a ça (les marguerites) et ça va avec ceux-là (les ronds). — Pourquoi tu mets les 2 roses avec les deux grands carrés ? — C’est compliqué ! Parce que là (petits carrés) il y a 3 et là (petits ronds) il y a 4 (il les aligne et met en regard terme à tërme les 7 marguerites). — Comment on appelle ces tas ? — Là un tas de marguerites et de roses, là des verts et des carrés. —  Où sont les verts ? — … — Comment on appelle ça et ça (petits ronds et carrés) ? — Tous les verts… non le, tas des carrés et des ronds verts. — Bien. [p. 101] Tu penses que les questions qu’on posait se ressemblaient ? — Oui, là (fleurs) il y a 4, 3 et 2 et là (cartes) 2, 4 et 3. —  Tu te rappelles les questions ? — Oui : pourquoi là il y a 2 ? — Bien, je vais te poser une question pour les fleurs et tu trouveras la même pour les cartons. Est-ce qu’il y a plus de marguerites ou de roses ? — Plus de marguerites. —  Et pour les cartons ? — Il y a moins de ceux-ci (grands carrés). — Et une autre question : plus de fleurs (on souligne) ou plus de marguerites ? — Plus de marguerites. — Et pour les formes ? — Là (grands) il y a 2 et là il y a 7. »

Cat (6 ;6) : Fleurs et cartons : « Ça se ressemble un tout petit tout petit peu. — En quoi ? — C’est presque le même jeu parce que là on a dit « Qu’est-ce qu’il y a plus ? et là aussi ». — Je te pose la question avec les fleurs et tu trouveras celle qui ressemble avec les cartons : « Est-ce qu’il y a plus de fleurs ou plus de marguerites ? » — Est-ce qu’il y a plus de carrés que de ronds ? — Maintenant on va faire le contraire (cartons — > fleurs) : « Est-ce qu’il y a plus de formes ou plus de petites ? » — Plus de fleurs ou plus de marguerites. —  Bien ! Plus de grands carrés ou plus de petits ? — Plus de feuilles ou de fleurs ? — Pourquoi pareil ? — Parce qu’il y a plus de feuilles. —  Dis-moi à la fin : il y a plus de fleurs ou de marguerites ? — Plus de marguerites. »

Ces réponses qui correspondent à ce que nous avons vu aux § § 1 et 3 des réactions du stade I aux questions d’inclusion et d’utilisation d’indices reviennent donc à dégager, d’une part, la prise de conscience par les sujets des problèmes qui leur ont été posés, mais surtout, d’autre part, la signification qu’ils attribuent à ces questions, selon qu’ils y discernent certains éléments communs ou qu’ils laissent échapper leur structure essentielle. Malgré le retard naturel et général de la prise de conscience par rapport à la construction effective, on peut donc penser que les essais de comparaison auxquels se livrent Ast, Cos et Cat nous renseignent indirectement sur le processus assurant le passage entre l’implication signifiante purement qualitative (liaisons en compréhension) et l’inclusion en tant que début de la quantification en extension. D’un tel point de vue, ces réponses sont instructives par leur convergence et leur simplicité : alors qu’au niveau précédent, les sujets cherchaient tout au plus (comme Dom) des correspondances qualitatives entre les deux collections (fleurs et cartons), ceux-ci se livrent immédiatement à des essais de correspondance terme à terme, cette correspondance prénumérique (et non pas encore numérique puisque les correspondances figurales (ou optiques) n’entraînent pas encore la construction des équivalences) étant par ailleurs l’instrument qui permet au sujet la comparaison des sous-classes entre elles, donc leur quantification en extension.

[p. 102] Ce seraient donc les correspondances terme à terme (avec conservation de la qualité, mais non pas encore de la quantité) qui assureraient le passage des correspondances qualitatives aux débuts de l’extension. Rappelons à cet égard que les recherches d’Inhelder, Sinclair et Bovet sur l’apprentissage ont montré que de telles correspondances avec leur conservation de la qualité sont nécessaires à l’acquisition de l’inclusion, mais les sujets que l’on vient de citer n’en sont pas encore là (voir Cat, même à la fin de son interrogation) et s’en tiennent aux correspondances entre classes disjointes.

Au niveau suivant (correspondant au sous-stade IIA, ici le 3^e palier bien distinct), la traduction des rapports de compréhension en ceux d’extension, qui permettent les correspondances précédentes, conduit par contre à la comparaison du tout et des parties, donc à la quantification de l’inclusion et, ce qui est plus intéressant, dès le sous-stade IIB, à la prise de conscience du fait que, dans les questions d’utilisation d’indices, la relation entre une information globale X et les choix particuliers a, b ou c (donc X alors on peut avoir ou a ou b ou c) équivaut à la relation d’inclusion entre un tout B et les sous- classes primaires ou secondaires A et A’ :

Pit (7 ;1), après avoir réussi l’inclusion des fleurs (2), est prié de fabriquer un « jeu » analogue au moyen des cartes. Il dispose deux marguerites avec deux roses et trois cartes de 3 espèces : « Il y a là 2 et 2 et là 3, et après on a mis tout (les réunit en deux touts avec d’autres). — Je vais te poser une question sur le jeu de cartes et tu en poseras une qui ressemble sur le jeu de fleurs : « Est-ce qu’on a plus de carrés ou plus de formes vertes (= le tout) ? » — Plus de fleurs ou plus de marguerites. — Et plus de grands ou de petits carrés ? — Plus de marguerites que de roses ? »

Des (7 ;5) : Mêmes réactions, puis « plus de formes vertes ça va avec quoi pour les fleurs ? — Plus de fleurs. — Et plus de carrés ? — Plus de marguerites. « 

Roc (7 ;7) : « On peut dire que les questions se ressemblaient un peu ? — Oui, la rose est en plus de ça (marguerites). Vous m’avez demandé s’il y a plus de fleurs ou plus de marguerites. Alors là (cartes) c’est la même chose : « plus de vertes ou plus de carrés » je crois. — En quoi ça se ressemble les questions ? — Parce que… je ne sais pas. »

Rog réussit donc bien à la question d’abstraction réfléchie, c’est-à-dire de prise de conscience de ce qui a été fait, mais pas à cette dernière question, portant sur le « métaréflexif », c’est-à-dire [p. 103] sur la structure abstraite. Les sujets ne réussissent pas non plus à dégager des comparaisons valables à propos des utilisations d’indices ou des implications (comme Tia à 7 ;1 au 1^er niveau). Par contre on trouve des sujets du sous-stade IIB (4^e niveau), pour répondre comme suit au sujet des indices :

Ala (9 ;8) : Oiseaux-avions et cartes : pour les premiers « on ne savait pas si c’était un oiseau ou un avion si (l’on dit simplement que) tous les deux volent. — Et pour les cartes ? — On ne savait pas si c’était celui-ci ou celui-ci si on disait (seulement) que c’était grand (il a pris comme exemple un jeu comportant de grandes figures carrées et rondes). — Je vais te poser une question à propos des oiseaux et tu trouveras celle qui ressemble pour les cartes : Je vois quelque chose qui vole et qui a des ailes. — Il y a quelque chose qui est carré (juste : ils peuvent être petits ou grands). — Je vois quelque chose qui vole et qui fait du bruit. — Que c’est petit (juste : il n’y en a qu’un) ». Quant aux implications, on se rappelle les difficultés de Ala (§ 2) ; néanmoins, il traduit la situation des horloges en langage de cartes par des correspondances exactes : « Grand carré = toutes les montres en septembre, petit carré = toutes les mauvaises des autres mois ; petit rond = toutes les bonnes montres ; toutes les mauvaises c’est carré. — Et ça (petits ronds), et ça (petits carrés) ? — • C’est les mêmes mois (autres que septembre). — Une montre faite en mai, elle est bonne ou mauvaise ? — On ne sait pas, c’est petit (référence aux cartes). » Ala se rapproche ainsi de ce fait du dernier de nos niveaux.

Cor (10 ;6) : « Le jeu des avions et celui des cartes se ressemblent ? — Oui : si on dit que c’est petit et vert, on ne sait pas si c’est carré ou rond, c’est la même chose pour les oiseaux et les avions. » Correspondance : « Je vois des ailes. — Je vois que c’est vert. — J’entends du bruit. — Je vois que c’est grand. »

Quant au dernier ou 5^e niveau, qui correspond au stade III, les nouveautés sont d’une part la capacité de faire correspondre les questions d’implication à des problèmes analogues imaginés par l’enfant au moyen des cartes (succès finalement atteint par Ala), mais encore, d’autre part, l’arrivée à un palier d’abstraction que l’on peut qualifier de « métaréflexion » en ce sens que c’est la structure elle-même du problème que parvient à dégager le sujet et non pas seulement les analogies des contenus :

Sam (9 ;1), dont on a déjà vu au § 2 qu’il se sert de l’expression formelle « seulement si », déclare que l’inclusion des cartons ressemble à celle des fleurs, « parce que vous avez demandé par exemple (les relations d’)une forme, (d’)une fleur avec tout l’ensemble », donc la relation de partie à tout. On lui donne alors deux sortes de cartes carrées et rondes en demandant s’il y a plus d’une sorte que de l’autre : « Cette question ressemble à celle de tout à l’heure. — Non, pas tellement : là vous avez demandé le rapport entre une [p. 104] forme et une forme, alors que là (inclusion) j’avais demandé une forme avec tout l’ensemble. » De même il compare le jeu des avions à celui des cartes comme Ala et Cor, mais il assimile explicitement leur structure à celle des rapports de classes à « une forme et une autre forme », ou pour les indices ambigus à « un ensemble et une forme ». Quant aux implications des horloges, il en construit un modèle correct avec les cartes, mais n’en dégage pas la structure abstraite.

Nov (13 ;5) par contre, compare avec précision l’implication des horloges à celle des cartes et en conclut que, si en septembre toutes les montres sont mauvaises (ou si toutes les grandes cartes sont carrées), tandis que dans les autres mois elles peuvent être bonnes ou mauvaises (et les petites cartes carrées ou rondes), il y a alors une « intersection ». Mais ce langage scolaire ne l’empêche pas de faire d’elle-même un dessin très correct dont le secteur 1 représente les montres de septembre (ou les grands carrés), le secteur 2 les montres mal fabriquées en d’autres mois (ou les petits carrés) et le secteur 3 les montres non mauvaises (ou les petits ronds). Nov a donc découvert à elle seule que l’implication p 3 q peut, comme on le sait bien en logique, s’écrire sous la forme d’une disjonction non exclusive pD q = p V q = p .q (1) Vp-9 (2) VP-? (3).

On constate ainsi à ce dernier niveau la possibilité d’une métaréflexion, autrement dit d’une réflexion sur les produits déjà réfléchis (au sens de la prise de conscience des niveaux IIA et IIB) des abstractions réfléchissantes en tant que processus. Cette conquête finale, nouvel exemple de ces « opérations sur des opérations » qui caractérise le stade III (début de la logique propositionnelle ou formelle) est très instructive quant au mécanisme même des abstractions réfléchissantes, dont il s’agit maintenant de dégager les grandes lignes.

Les analyses qui précèdent ont remis en lumière un ensemble de processus dont chacun à part nous était déjà connu : coordination graduelle de la compréhension avec les extensions qu’il s’agit de construire, donc quantification progressive des systèmes (réglage du tout et de quelque, etc.), élaboration des négations, constructions d’opérations sur des opérations, etc. Mais la complémentarité des différentes épreuves utilisées ici sur les mêmes sujets permet de discerner l’unité fonctionnelle de ces divers processus et de la ramener aux relations entre l’abstraction empirique et l’abstraction réfléchissante.

En effet, les trois grands types de connexions que nous avons rencontrés sont l’implication signifiante, relation essentiellement [p. 105] « intensive » (compréhension) dont le caractère élémentaire explique la facilité relative des utilisations d’indices (§ 3), l’inclusion des classes, relation quantifiée (extension) construite dès le stade II et l’implication propositionnelle. Or, la première de ces trois sortes de liaisons semble en majeure partie dominée par l’abstraction empirique, tandis que les deux autres constituent les produits d’abstractions réfléchissantes successives, et il s’agit alors de dégager les raisons de cette évolution.

1) L’implication signifiante revient à reconnaître dans les objets l’existence de propriétés qualitatives, significatives pour le sujet, et à discerner des liens suffisamment constants entre elles pour permettre d’inférer la présence de l’une à partir de la perception d’une autre.

Bien entendu, lors de telles constatations ou coordinations inférentielles, le sujet est très loin d’être passif, puisqu’il se livre sans cesse à des assimilations, sources de mises en relations, et c’est parce qu’il est actif qu’il pourra dans la suite tirer de ces activités de quoi construire les extensions, les négations, etc. Comme c’est le cas sans exception aucune, toute abstraction empirique suppose donc un cadre instrumental nécessaire à son effectuation et qui est lui-même tiré par abstraction réfléchissante d’activités antérieures plus simples (ou plus proches du préalable biologique). Mais dans le cas des implications signifiantes initiales et en considérant celles-ci relativement aux inclusions et implications ultérieures, il est difficile de contester que les caractères des objets assimilés comme significatifs par le sujet correspondent à des propriétés qui, bien que non atteintes en elles-mêmes de façon effectivement objective, existaient néanmoins en ces objets sans que le sujet les y ait introduites, autrement dit sans qu’elles se déduisent du cadre instrumental nécessaire à leur enregistrement. Par exemple, dire d’une carte qu’elle est « verte » suppose des comparaisons, des classements, etc., mais ce n’est pas d’eux qu’est tiré le fait observable que cette carte est verte, tandis que la relation selon laquelle le tout est plus grand que la partie s’impose tôt ou tard en vertu de la logique interne du cadre instrumental (devenu opératoire), quand bien même le sujet se refuse d’abord à toute constatation de ce genre (« plus de marguerites » !). [p. 106] Quant au lien entre une propriété significative et celle qu’elle entraîne, il ne s’agit également que d’un lien surtout empirique (ou « légal ») et non pas déductif sinon analytique (carré D quatre côtés), donc d’une généralité relative aux constatations antérieures et non pas nécessaire (cf. l’exemple classique de « cygne implique blanc », jusqu’à la découverte des cygnes noirs d’Australie).

C’est alors le rôle prépondérant de l’abstraction empirique dans les implications signifiantes qui explique leurs limitations, puisque les activités du sujet y demeurent plus réduites que dans le cas des liaisons ultérieures.

La première de ces limitations tient à la nature essentiellement qualitative des significations initiales, qui procèdent par simple « compréhension », d’où le défaut des « extensions » et de leur quantification. La raison en est que seule la qualité est donnée, tandis que toute quantité doit être construite (même des termes apparemment quantitatifs tels que petit et grand ne sont d’abord que des prédicats absolus avant la relativisation et la métrisation progressives nécessaires à leur quantification).

La seconde limitation des systèmes primitifs de significations est l’absence de négations sauf en cas d’attente déçue ou d’inférences démenties par les faits. Mais en ces deux cas la négation est imposée du dehors : ce qui manque encore est la négation construite par le sujet (non-a par rapport à a, etc.) et dont le rôle est en partie assumé par la simple relation de différence. En effet, une propriété telle que « non verte » n’est pas une propriété inhérente à l’objet, lequel, s’il n’est pas vert, n’est que jaune ou bleu, etc., tant qu’on ne le compare pas à d’autres selon une structure de classification, etc., de telle sorte que le caractère général « non vert » n’acquiert de sens que relativement à des classes en extension. La carence initiale des négations ⁵ semble donc aller de pair avec celle des extensions et des quantifications, comme le montre le cas des classes secondaires ou complémentaires de A sous B, etc., la négation étant d’ailleurs nécessaire à leur construction aussi bien que la réciproque.

[p. 107] 2) Le problème qui se pose est alors de comprendre par quelles constructions le sujet va dépasser l’état initial pour aboutir aux structures d’inclusion avec quantification du tout et élaboration de classes complémentaires ou secondaires : s’agit-il de constructions extérieures étrangères à tout ce qui précède ou de constructions dues à l’abstraction réfléchissante, c’est-à-dire imposées par les réorganisations rendues nécessaires du seul fait du passage des activités en jeu d’un palier inférieur de départ à un palier supérieur d’arrivée ? En ce second cas, la réorganisation constructive n’utiliserait au départ que des matériaux tirés de ce qui précède, tout en les enrichissant par recombinaison, tandis que dans le premier cas des constructions nouvelles feraient appel à des éléments non donnés jusque-là et introduits du dehors, en surplus de l’acquis antérieur.

Notons d’abord qu’il y a bien, en premier lieu, passage d’un niveau d’activité mentale à un autre, c’est-à-dire réflexion au sens d’un pouvoir réflecteur (nous parlons en ce cas de « réfléchissement »), ce ré fléchissement étant distinct de la réflexion en tant que réorganisation cognitive, consciente ou inconsciente. Ce réfléchissement consiste ici en un passage de la récognition en présence de l’objet à l’évocation ou représentation possible en son absence. En effet, l’implication signifiante ne suppose rien de plus que la récognition par assimilation à un schème d’action, et lorsqu’une signification en entraîne une autre, rien de plus que la constatation de cette liaison ou la conservation du schème qui la suppose (par exemple tirer un support pour atteindre l’objectif), cette conservation pouvant demeurer motrice sans évocation représentative. Avec les progrès de la fonction sémiotique ⁶, par contre, la récognition peut se doubler d’évocations, ou représentations des objets non actuellement perçus, et celles-ci confèrent ipso facto une certaine connaissance des extensions, ce qui ne signifie nullement encore leur réglage, mais simplement leur existence pour le sujet.

A ce réfléchissement sur le plan des évocations extensionnelles va alors correspondre une réflexion réorganisatrice, et c’est ici que débutent les difficultés, car la conscience d’extensions [p. 108] de divers ordres n’implique encore nullement leur structuration en quantifications et en négations, donc la construction du système des inclusions.

Or, les réactions aux questions d’utilisations d’indices (§ 3) semblent montrer de façon décisive que cette structuration n’est pas ajoutée du dehors, mais qu’elle résulte d’une réflexion sur les rapports déjà établis en compréhension et qu’il s’agit dès lors (ce qui n’est nullement simple, mais ne fait pas appel à des facteurs extérieurs ou étrangers à ce qui précède) de traduire un à un en termes d’extension. C’est ainsi qu’il est aisé de dégager en compréhension les qualités communes à plusieurs objets : la traduction en extension est en ce cas le « tous », ce qu’indique déjà au § 3 les sujets Cat et Bar (« ils sont tous verts »), tandis que, toujours en compréhension, les sous- classes sont désignées par les expressions « (alors ce peut être) ça ou ça » (Ast), « un petit carré ou un petit rond » (Cos), etc. Pourquoi donc, si les emboîtements des parties dans le tout ou les déboîtements du tout en parties semblent si faciles sous ces formes implicites, les questions de quantification de l’inclusion (A < B) demeurent-elles plus compliquées ?

Il y a à cela quatre raisons, qui font comprendre par ailleurs pourquoi l’abstraction réfléchissante constitue une source de nouveautés et pas seulement de transposition d’un niveau à l’autre (réfléchissement). La première est que, dans les réactions rappelées à l’instant, le sujet part des liaisons en compréhension et ne les traduit qu’ensuite en termes d’extension, tandis que dans les questions d’inclusion on procède directement sur les extensions pour les faire comparer en plus ou en moins. Or, il y a là une différence plus notable qu’il ne paraît, car partir des extensions, c’est les considérer d’emblée comme des objets stables de pensée, donc thématisables, et non plus seulement comme un dérivé inférentiel momentané de la compréhension. En second lieu, pour thématiser ces extensions il faut un instrument d’assimilation et de comparaison permettant de les considérer en tant que quantités : on a vu (§ 4, second niveau) que cette condition était remplie par le passage de la correspondance qualitative (= ressemblance entre les propriétés communes des objets) à une correspondance figurale ou optique, terme à terme, donc une correspondance prénumérique (sans conservation) portant sur les objets individuels [p. 109] comme tels, ce qui permet l’évaluation quantitative (en plus, égal ou moins) de leurs réunions en tant qu’extension des classes. En troisième lieu cette mise en correspondance ne suffit pas, car à elle seule elle ne conduit qu’à comparer des classes disjointes : il faut un effort supplémentaire pour parvenir à comprendre que la question d’inclusion est celle de la mise en relation d’une sous-classe A non pas avec une autre, mais bien avec la classe totale B ; or pour saisir ce problème, en tant que tel et préalablement à la recherche de sa solution, il faut pousser l’analyse jusqu’à un degré d’abstraction consciente (donc réfléchie en plus de réfléchissante) permettant de distinguer les diverses questions et relations. En effet, nous avons vu au § 4 que cette capacité est acquise (3^e niveau, cas de Pii, Des, Rog, etc.) sitôt résolues les questions d’inclusion et cela montre que cette réussite supposait bien une compréhension « réfléchie » de la question comme telle.

Mais les trois nouveautés que nous venons de décrire ne portent encore que sur les conditions préliminaires de la solution du problème de l’inclusion. La condition centrale est, comme nous y avons insisté dès l’époque lointaine où nous avons abordé cette question, que le tout B, une fois dissocié en sous-classe A et A’ de manière à permettre la comparaison demandée, ne cesse pas d’exister en tant que tout mais se conserve comme tel malgré son morcellement : d’où A = AB = B — A’ et A’ = A’B — B — A. Or, cette conservation n’est pas du même type que celle d’un ensemble dont on modifie la disposition des parties et où il suffit de comprendre que ce qui est ajouté sur un point est enlevé d’un autre. Elle suppose certes aussi une soustraction en tant qu’opération inverse (B — A = A’ par rapport à A + A’ = B), mais cette soustraction comporte des conditions plus profondes : une négation partielle ou complémentarité sous B, telle que les A’ soient compris comme les B non-A et les A comme les B non-A’. Or, nous savons aujourd’hui le caractère tardif et les difficultés de la négation, à tel point que les sujets préopératoires, dominés par la prégnance des affirmations préfèrent, pour essayer de conserver le tout, admettre que, une fois dissocié en A et A’, il s’identifie au « reste » A’ (les roses du § 1 deviennent « les fleurs ») ou parfois à la partie la plus nombreuse A (voir Bar au § 1).

Au total, la condition la plus importante du réglage des [p. 110] extensions et de la constitution de l’inclusion est que ce qui était conçu comme simples « différences », entre les qualités des objets en compréhension, soit promu au rang de négations compensant exactement les caractères positifs des objets et des classes. Or, cette nouveauté n’a non plus rien d’une création ex nihilo : elle est abstraite en sa racine des différences ou oppositions qualitatives propres aux significations en compréhension et est solidaire de tout le processus d’ensemble de mise en correspondance des compréhensions avec les extensions. En un mot l’abstraction réfléchissante qui conduit de l’implication signifiante à l’inclusion est certes source de constructions essentiellement nouvelles au sens de non préformées, mais ces nouveautés résultent de la « réflexion » réorganisatrice rendue nécessaire par le « réfléchissement » des données déjà acquises au palier inférieur et qu’il s’agit de reconstruire dans les termes nouveaux propres au palier supérieur.

3) Reste notre problème central : la construction de l’implication propositionnelle à partir de l’inclusion. Or, nous retrouvons, ce qui est instructif, les mêmes processus en ce passage qu’en celui conduisant des significations qualitatives aux inclusions.

Il y a d’abord un changement des niveaux d’activité mentale obligeant le sujet à des transpositions ou « réfléchissements ». L’inclusion se construit au palier des « groupements » de classes et relations donc des opérations « concrètes » portant directement sur les objets. L’implication propositionnelle, comme les autres opérations de la logique des propositions (sous leurs formes « naturelles » aussi bien qu’axiomatisées), porte sur des énoncés quelconques qui peuvent naturellement être également concrets, mais peuvent aussi demeurer verbaux (comme en nos questions d’implication) et qui, dans les deux cas, sont à considérer comme des hypothèses dont le contenu n’est pas mis en discussion et dont il s’agit s eulement, mais par la forme exclusivement, de tirer les conséquences nécessaires. Or, certaines de ces formes interviennent naturellement déjà au niveau des opérations concrètes, mais en restant subordonnées aux considérations de contenu et limitées par elles : il s’agit donc, au niveau propositionnel, de les extraire des réactions précédentes et de les transposer par « réfléchissement » au plan des [p. 111] énoncés hypothétiques tout en les généralisant par « réflexion » réorganisatrice.

Cette transposition réflective engendre alors les quatre transformations suivantes, correspondant à celles que nous venons de décrire dans le passage des significations en compréhension aux extensions quantifiées et aux inclusions. La première est une thématisation de la forme, dont les diverses liaisons deviennent des objets de pensée et non plus simplement des instruments de transformation. Cette thématisation est très visible en n’importe quelle épreuve de raisonnement formel : en dessous de 11-12 ans le sujet met sans cesse en discussion les hypothèses données au départ, et dans le cas des horloges il dira, par exemple, que les montres fabriquées en septembre ne sont peut-être pas toutes mauvaises parce qu’on ne les aurait pas toutes examinées (« on ne peut pas les jeter avant de les regarder, peut-être qu’il y en a de bonnes », Ray 8 ;6). Au niveau formel, au contraire, le sujet s’en tient à l’hypothèse proposée et se donne pour seule tâche à en analyser soigneusement la forme : « on a dit toutes celles de septembre », etc.

En second lieu, pour analyser les énoncés verbaux par opposition à l’inspection simplement perceptive des objets concrets, il faut des instruments de comparaison jouant un rôle analogue à ce qu’étaient les correspondances terme à terme succédant aux correspondances qualitatives lors de la formation de l’inclusion. Ces instruments nouveaux ont naturellement pour source ceux du niveau antérieur, c’est-à-dire les quantificateurs « tous » « quelques », « un » et « autant », mais lorsqu’ils sont appliqués aux énoncés verbaux et non plus directement aux objets, ils acquièrent un rang supérieur de quantificateurs propositionnels dont l’emploi n’a rien d’immédiat et demande un long exercice : preuve en soit le fait très général et cité à plusieurs reprises au § 2 (voir tous les cas du niveau IIA et les hésitations instructives de Ala, Far et Dan au niveau IIB jusqu’à 10-11 ans) selon lequel « toutes les montres de septembre sont mauvaises » signifie « toutes les mauvaises ont été fabriquées en septembre ». Les quantificateurs propositionnels sont donc psychologiquement bien différents des mêmes quantificateurs appliqués aux objets présents et supposent des mises en correspondances ou en non-correspondances entre termes individuels simplement évoqués par [p. 112] désignations verbales ; d’où l’interprétation : les montres mal faites sont plus nombreuses que celles du mois de septembre, etc.

En troisième lieu cette thématisation des formes et ces mises en correspondances (ou non-correspondances) exigées par les quantificateurs propositionnels entraînent une réflexion (conduisant jusqu’aux abstractions « réfléchies » et même « métaréflexives » décrites au dernier niveau du § 4) assez systématique pour porter sur tous les emboîtements possibles, et non pas seulement sur ceux qui se construisent de pioche en proche au sein des « groupements » concrets : il en résulte alors une construction de l’« ensemble des parties », c’est-à-dire d’une combinatoire reliant tous les termes en jeu dans les énoncés.

Enfin, et cette quatrième nouveauté est aussi fondamentale dans le cas de l’implication que dans celui de l’inclusion, les trois transformations précédentes exigent comme condition de leur équilibration une refonte et une généralisation des négations, complémentaires de toutes les affirmations en jeu et nécessaires à leur réglage par compensations systématiques. En particulier pour l’ensemble des parties, à chaque combinaison d’entre elles correspond une partie négative : en une table de quatre associations de base, a, [3, y et 8 (comme pq, pq, pq et pq), non-a = p y 3, non-a [3 = y 3, non-oc [3 y = 8, etc. (d’où les 16 opérations binaires avec leurs négatives). Il en résulte, dans le cas de l’implication que la négation correspond à une complémentarité complète et non pas à une complémentarité sous la classe la plus proche comme dans l’inclusion, où, si A C B alors A’ = B non-A. En effet, la négation de p. q sous p D q est p. q vpq et non pas seulement pq, ce que le sujet Nov (§ 4) à 13 ;5 montre explicitement dans son schéma disjonctif (intersection) de l’implication. Il résulte en outre de cette généralisation de la négation que les sujets du niveau où ils dominent l’implication comprennent également la loi de dualité due à de Morgan, comme nous l’avons vu jadis avec B. Inhelder ⁷ : Si A est inclus dans B alors non-B l’est dans non-A (de même pDq = q :)p = pq’ipqVpq).

[p. 113] 4) On voit ainsi que l’abstraction réfléchissante aboutissant à l’implication est source de nouveautés réelles non contenues dans les structures limitées d’inclusion propres aux « groupements » de classes, de même que celles-ci sont plus riches que les implications signifiantes qualitatives dont elles sont tirées. Et cependant les éléments dont sont composées ces constructions nouvelles sont tous extraits de ces structures antérieures, mais sans que les structures supérieures soient pour autant préformées dans les précédentes. Certes, il est facile de parler en de tels cas de synthèses ou combinaisons nouvelles à partir de composantes déjà connues. Mais une notion telle que l’abstraction réfléchissante ne saurait avoir de valeur qu’à la condition de substituer un modèle détaillé à des formules aussi vagues. Nous n’en sommes pas là, mais pouvons déjà faire quelques remarques.

La première est que les relations entre le réfléchissement et la réflexion doivent être conçues comme d’étroite continuité, malgré leur distinction : en transposant une structure d’un plan inférieur à un plan supérieur, le réfléchissement lui donne un nouveau contenu (donc crée un nouveau morphisme), ce qui revient déjà à le généraliser quelque peu, tandis que le rôle initial de la réflexion n’est que de la reconstruire ou reconstituer sur un nouveau plan, ce qui revient à prolonger le réfléchissement.

Or, le propre des généralisations dues à l’abstraction réfléchissante — et c’est en cela que se situe son problème — est que les formes générales ainsi construites sont plus riches que les particulières, tandis que le général obtenu par abstraction empirique est plus pauvre en compréhension que le particulier, puisque portant sur un contenu de plus large extension et par conséquent sur des propriétés communes plus restreintes.

Mais la raison en est sans doute simplement que la réflexion réorganisatrice devant prolonger le réfléchissement, elle doit englober le contenu et la forme de niveau antérieur dans le nouveau contenu élargi sur le plan supérieur et dans la nouvelle forme qu’il s’agit de lui adapter : pour reconstituer les anciennes formes sur le nouveau palier, il est donc nécessaire de construire une forme de formes, ce qui constitue le principe de ces enrichissements (et ce qui est si visible dans le développement historique des structures logico-mathématiques).

[p. 114] Le propre de l’abstraction réfléchissante est donc de conduire nécessairement à la construction d’opérations sur des opérations, mais avec cette particularité que les nouvelles venues ne sont pas quelconques mais prolongent les précédentes d’une manière différenciée. D’un tel point de vue les quatre sortes de nouveautés signalées dans le passage des significations qualitatives aux inclusions en extension, puis de celles-ci aux implications propositionnelles peuvent s’interpréter comme suit :

1) La thématisation des liaisons antérieures qui, d’instruments inconscients et transformations, deviennent objets de pensée, tient à la sommation itérative des actes de réflexion, qui de réfléchissants sont ensuite promus au rang des réfléchis puis métaréflexifs à des degrés divers.

2) L’emploi généralisé des correspondances (ou non-correspondances) terme à terme n’est dû qu’à un passage de la correspondance qualifiée à la correspondance en extension, puis de celle-ci sous sa forme concrète à ses formes verbales (simples énoncés en termes de quantificateurs propositionnels).

3) L’ensemble des parties est la forme finale de l’analyse des liaisons propres d’abord à toute classification puis à la « classification de toutes les classifications » possibles pour un contenu donné (donc, ici avec passage à la seconde puissance).

4) La généralisation des négations est la résultante, en termes complémentaires, des liaisons additives en jeu dans le processus précédent (sous 3).

Au total les opérations nouvelles dont la construction est provoquée par l’abstraction réfléchissante ne sont pas le produit d’un appel à l’extérieur, mais constituent en chaque cas le prolongement de ce qui est abstrait du niveau antérieur.