Chapitre IV.
Abstraction et généralisation lors de transferts d’unités ^{1 2} 🔗

Au niveau préopératoire IA (avec d’ailleurs encore plusieurs cas de 7 ans et parfois davantage) les sujets ne sont capables d’aucune généralisation II ni même I et ne procèdent que par simples constatations et comptages :

Fra (6 ;0) pour m.d., met correctement l’allumette au milieu d’une série de 4 : « Il y en a combien de chaque côté ? — Deux. — J’en ajoute 2. — (Il arrive par tâtonnements à 3 et 3.) — J’en ajoute 2. — (Il remet l’allumette après 3.) — Il y a la même chose de chaque côté ? — (Il compte et met l’allumette après 4.) — J’en rajoute 2. — (Il recompte). » On recommence à 1/1. « J’en rajoute 2. — (Il arrive empiriquement.) — Et encore 2. — (Il recompte). » On lui montre alors une rangée de 10 jetons mais serrés à gauche et espacés à droite : il met l’allumette au milieu de la longueur et non pas entre 5 et 5 éléments.

Fil (5 ;8) pour m.i. sans avoir passé par m.d. « (2 et 2 avec allumette placée). C’est combien de chaque côté ? — 2 et 2. — Et maintenant, si je déplace l’allumette ici ? — 3 et 1 (lecture). — Et pour qu’il y ait la même chose des deux côtés ? — (Il ajoute 3 jetons, d’où 3/1 + 3 un peu séparés.) — Combien ici ? — 3. — Et là (à droite) ? — 4. — (On réexplique et il pose 3 et 3 en comptant.) — Et si je déplace l’allumette d’un jeton (4 et 2) ? — (Il compte les 4 et met 4 à droite.) — Et si je bouge de 1 (on déplace sous ses yeux et on cache la rangée) combien vas-tu ajouter ? — Sais pas. —  (On découvre la lignée.) — (J’ajouterai.) Un. » On recommence : il compte et ajoute 2. — « Avant tu avais ajouté 1 — Un. — Et les fois d’avant, quand j’ai bougé de 1 ? — Je ne sais plus. »

Il est en outre à noter que ces sujets enlèvent en général l’allumette avant de se décider, puis comptent et la replacent.

A un niveau IB on voit poindre un début de généralisation I (donc de répétition de la solution trouvée, témoignant ainsi d’un sentiment de régularité empirique), mais cela seulement pour un allongement de 2 et non pas de nombres supérieurs lorsqu’ils viennent d’être expérimentés. Le critère de cette généralisation est l’immédiateté de la réponse, ce qui exclut un dénombrement, mais le sujet ne peut justifier sa décision qu’en [p. 66] comptant après coup. Cette réaction IB a été obtenue en un cas dès 5 ;6 pour m.d. mais pas avant 7 ans pour m.i. :

Pao (6 ;1) pour deux ³ jetons (1/1) : « J’ajoute 2 jetons. — (Il déplace l’allumette de 1 mais déclare) : De 2. —  J’ajoute encore 2. — (Il compte et déplace de 1.) — (On donne 5 et 5.) Si j’en mets encore 2 où vas-tu mettre l’allumette ? — (Il déplace de 2.) — C’est au milieu ? — Oui. —  Compte. — 7 et 5 (il déplace de 1). — Et si j’ajoute 2 ? — (Il déplace de 1 mais cette fois sans compter.) — Tu as bougé de combien ? — Un. — Pourquoi ? — … » Il conserve deux fois de suite cette réaction malgré l’allongement de la série, mais ne généralise pas quand on passe à 4 : il déplace alors de 3, puis constate l’erreur, déplace de 2 puis revient à 3 puis à 1. Il y a donc eu généralisation I pour 2 mais pas de généralisation II ni même de reproduction du déplacement de 2 pour les allongements de 4 quand il a vérifié. Lors des essais m.i. Pao en reste au stade I, c’est-à-dire à l’égalité supposée des allongements de la série et des déplacements de l’allumette (cf. Fil à la fin).

Pie (7 ;6). On part de 2/2. « Si j’ajoute 2 jetons ? — (Il déplace de 2.) — C’est juste comme ça (4/2) ? — Non (il ajuste 3/3). — De combien tu as déplacé l’allumette ? — De une place. — Et si j’en ajoute 2 ? — Je bouge de 1. — Comment tu sais ? Il y en a 8 (6 + 2) la moitié c’est 4. — Et si j’en ajoute 2 ? — Je bouge de 1 place (sans compter). — Il faut toujours bouger de 1 ? — Oui. » On passe à un allongement de 4 et Pie trouve empiriquement la solution : « Je bouge de 2 places. — Si j’ajoute encore 4 ? — De 2 places. — Et si la série devient très longue ? — Peut-être de 3. » Pour m.i. : « Je déplace l’allumette de 1 et toi tu rajoutes des jetons. — J’en mets 3 (il essaie et corrige). — Je redéplace de 1. — (Il ajoute 2) » et ainsi 3 fois de suite, puis il arrive sans compter. « Et si la série est très longue et que je bouge de 1 ? — … — Tu peux savoir ? — Ça dépend. »

On voit que cette généralisation est modeste et ne consiste qu’à répéter pour 2 en m.d. (ou pour un déplacement de 1 en m.i.), ce qui a été découvert empiriquement en comptant. Il arrive même, sans que ce soit le cas de tous que, quand l’expérimentateur ajoute ses jetons à l’autre bout de la rangée, le sujet renonce à sa généralisation à cause de ce changement de sens.

Entre ce niveau IB et le stade II où les généralisations de type II deviennent possibles on trouve un groupe nombreux de cas intermédiaires où la généralisation de type I s’applique aux allongements de 2 et de 4 (et non plus de 2 seulement), mais pas aux nombres supérieurs (et cela en m.i. lors de déplacements [p. 67] de 1 et 2 comme en m.d. lorsqu’il s’agit de traduire les allongements en déplacements).

Gui (7 ;0) en partant de 2/2 : « Si j’ajoute 2 jetons ? — (Il arrive à 3/3.) — De combien de jetons as-tu déplacé l’allumette ? — … — Et si j’ajoute encore 2 ? — Comme ça (4/4). — De combien as-tu déplacé ? — (Il compte.) De 1 pour que ça fasse 4 des deux côtés. — Et si j’ajoute encore 2 ? — Je bouge de 1. —  Pourquoi ? — Pour que ça fasse 5 des deux côtés : il y en avait 4 de chaque côté et si je bouge de 1 il y en a 5 et 3 + 2 = 5 de chaque côté. — Et si j’en ajoute encore 2 ? — (Réponse immédiate) De 1. — Et si j’en ajoute 4 ? — (Il déplace l’allumette de 2.) Non, de 3 (il compte). Ah non, de 2. (On repart de 2/2.) Si j’en ajoute 4 ? — Je bouge de 2 (mais il vérifie encore). — Et si j’ajoute encore 4 ? — (Sans compter) Je bouge encore de 2. — Et encore 4 de plus ? — Je bouge encore de 2. — Pourquoi ? — Il faut déplacer de 2 pour qu’il y en ait 2 de plus de chaque côté. — Et si j’en ajoute encore 6 ? — Il faut bouger de 4 (il essaie, se corrige et déplace de 3). — Et encore 6 ? — Je bouge de 3. — Sûr ? — Oui. —  Et quand la série est très longue c’est de plus de 3 ou pas ? — Oui (plus), si on bouge toujours de 3, ça fait jamais la même chose. » On passe à m.i. : « Si je déplace l’allumette de 1 combien faut-il rajouter de jetons pour que l’allumette soit au centre ? — Il faut en ajouter 2. — Et si je déplace encore de 1 ? — On met 2 jetons. — Et si je continue très longtemps ? — On met toujours 2. —  Et si je bouge l’allumette de 2 ? — On en met 3 (il compte) non, 4. — Et si je bouge encore de 2 ? — On en met 4. — Et si la série devient très longue, il faut en mettre plus ? — Non. —  Si je bouge de 3 ? — Je dois compter. »

Ama (8 ;6). Mêmes réactions pour m.d. lorsqu’il arrive à prévoir un déplacement de 1 sans compter mais en justifiant l’égalité par un dénombrement après coup, on lui demande : « Un de tes copains dit que si on ajoute 2 il suffit de bouger de 1 : pas besoin de compter. C’est malin ? — Non. —  Pourquoi ? — Je ne sais pas. » On reprend les essais et il généralise sans hésiter. « Alors ce que disait ton copain c’était juste ? — Oui ! — Pourquoi ? — Je ne sais pas y dire. — Un autre copain dit que quand c’est très long il faut bouger de 2. — Non, c’est faux (sans hésiter). — (2/2) Je vais ajouter 4. — Là, je sais. — Quoi ? — Il faut bouger de 2 (début de généralisation II !). — Comment tu sais ? — Parce qu’il y a 4 de chaque côté (2/2 + 4 = 8). — Et si j’ajoute encore 4 ? — De… de… de 2 ! Et encore de 4 ? — Encore de 2. —  (Idem 3 fois). C’est toujours 2 ? — Ouais (moins sûr que « oui » !). — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a 4. —  Et comme ça (10/10 + 4) ? (Il bouge de 3.) — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a 8 de chaque côté. — Mais non ! » — (Il corrige.)

Dan (8 ;10) en m.d. généralise les déplacements de 1. « Pourquoi ? — Ça se voit aux yeux. — J’en ajoute 4. — (Il déplace de 2.) — Pourquoi ? — Si vous mettez 2 je saute 1, si vous mettez 4 moi je saute 2. —  Si je mets 6 ? — Ça fera 4 : la même chose des 2 côtés. —  Et si j’allonge de 8 ? — Je saute 6. »

Ces faits sont remarquables par la constitution d’une quasi- nécessité telle que le sujet soit certain d’une conclusion avant [p. 68] d’en comprendre la raison (il est donc sûr avant de savoir !) et sans que cette déduction se réduise aux généralisations empiriques des niveaux IA et IB. Nous y reviendrons au § 4.

Au niveau IIA (avec un cas frontière de 6 ;6 pour m.d. et d’autres dès 7 ;3 mais seulement à partir de 9 ;6 pour m.i.) est caractérisé par la constitution des généralisations de type II mais sous des formes encore partielles (par exemple réussite à 8 et échec à 6, etc.) :

Gal (6 ;6) m.d. : « (2/2) J’ajoute 2 jetons. — (Déplace de 1.) — De combien ? — De 1. — Et 2 de plus ? — (Déplace de 1 et compte pour vérifier.) — Encore 2. — (Déplace de 1 sans compter.) — Comment tu sais ? — Ça fait au milieu. — Et si j’ajoute encore 2 ? — (1 sans compter.) — Comment tu sais ? — Chaque fois qu’on ajoute 1 il faut bouger de 1. — Et si la ligne est très longue et que j’en ajoute 2 ? — Je bouge de 1. — Un de tes camarades dit que si la ligne est très longue il faut bouger de 2 ? — Je ne sais pas. —  J’ajoute 2. — (1) (idem encore 3 fois.) — Tu ne changes jamais ? — Non. —  J’ajoute 4. (Elle déplace de 2 sans compter, et cela encore deux fois.) — Comment tu fais ? — Chaque fois que tu mets 4 je saute de 2. — J’ajoute 2. — Je saute de 1. —  J’ajoute 6. — Je saute de 3 (sans compter : deux fois de suite). — Et si j’en ajoute 20 ? — … — Et si j’ajoute 2 de chaque côté ? — L’allumette reste à la même place. — Et si j’ajoute 10 ? — Je dois bouger de 7. — Pourquoi ? — Parce que c’est au milieu (simple faute de calcul ?). — Un camarade dit qu’il faut bouger de la moitié. C’est juste ? — … La moitié de 10 c’est combien ? — 6 de chaque côté. — Et de 4 ? — 2. —  De 6 ? — (Hésitations) 5. —  Partage ces 6. — (En prend 3.) — Et 8 ? — Je prends 4. » On refait quelques essais de 2, 4 et 6 : justes « parce que l’allumette est au milieu ». Et cependant pour m.i., Gal en reste au niveau IA ! Il s’agit donc d’un cas frontière à mi-chemin des intermédiaires précédents et du niveau IIA.

Cri (7 ;3) réussit aussi les déplacements de 1, 2 et 3 pour 2, 4 et 6 jetons en plus et donne comme raison générale : « Parce que (quand) vous avancez de 2, moi j’avance de 1 », ce qui est donc une extension de l’idée de moitié à 2, 4 et 6. Mais pour m.i. Cri en reste au niveau précédent.

Bar (9 ;4). Pour m.d. et une adjonction de 2 : « Je bouge de 1 (immédiat et trois fois de suite). — Si j’ajoute 4 ? — Je bouge de 2. — Encore 4. — (Idem sans compter.) — Si j’enlève 4 ? — Je bouge 2 en arrière. —  Et si j’enlève 2 ? — Je bouge de 1 en arrière. —  Si j’ajoute 6 ? — Je bouge de 4. —  Sûre ? — (Compte) Non, de 3. — Si j’en ajoute 8 ? — Je bouge de 5. —  Comment tu sais ? — Pour que ça soit la même chose (vérifie). Non il fallait bouger de 4. — Et si j’ajoute 10 ? — Je bouge de 5. — Et 20 ? — Je bouge de 10. —  Et 40 ? — Je bouge de 20. —  Comment tu penses ? — Je fais la moitié ça fait la même chose (des 2 côtés). » En m.i. est du niveau précédent.

Roy (9 ;8) est le premier sujet de ce niveau IIA dont les réactions en m.i. sont à la hauteur de celles en m.d. et même vaguement supérieures, mais avec [p. 69] apprentissage possible (ordre m.d. — ► m.i.). En m.d. il réussit sans compter les déplacements pour des adjonctions de 2, 4 et 10 : « Pourquoi ? — Je compte la moitié de 10, ça fait 5. — Et si la ligne est longue et que j’ajoute 2. — Je bouge de 1. — Pas de 2 si la ligne est très longue ? — Non, il y aurait plus de l’autre côté, —  Sûr ? — Ah non, si on bouge de 2, ça fait la même chose parce qu’on aura déjà ajouté 2. — Et si la ligne est très longue et que j’ajoute 4 ? — Il faut bouger de 4 parce que 20 et 20 il y aura 20 et 24… Ah non il faut bouger de 2 sinon il y aura trop d’un côté. » m.i. : «  Si je bouge l’allumette de 1, tu dois en ajouter combien ? — 2 pour qu’elle soit à la moitié… —  Et si je bouge de 3 ? — Il faut en ajouter 4… ah non 6. » « Et si je bouge de 8 ? — Il faudra en ajouter 16, c’est comme si on partageait 8 de chaque côté. — Et alors ? — Ça fait la même chose et un nombre pair. — C’est toujours pair ? — Si on déplace des nombres pairs, il faudra ajouter des nombres pairs et si on déplace des impairs ajouter des nombres impairs. —  Et si je déplace de 1, c’est pair ? — Il faut ajouter 2 : ah oui, j’ai confondu (n et non plus 2 n pour n). »

Ce niveau IIA marque donc le passage des quasi-nécessités à la nécessité vraie fondée sur la compréhension, donc sur la raison du procédé opératoire conduisant à la solution. Cette nécessité s’affirme par contre de façon immédiate au niveau IIB (majorité de sujets de 9-10 ans avec deux cas précoces de 7 ans) :

Gin (9 ;2) s’en tient pour m.d. au sentiment d’évidence. Après avoir déplacé correctement l’allumette jusqu’à un allongement de 8 : « Comment tu sais ? — Ça vient tout seul. — Et si j’ajoute de… — (Gin interrompt)… de 10 alors je bouge de 5 parce que 10 moins 5 ça fait 5. »

Mot (9 ;9) m.i. : « (2/2) Si je déplace de 1. — (Elle ajoute 2.) — Et encore de 1. — (Ajoute de nouveau 2.) — Comment tu sais ? — Parce que d’un côté ça fait 5 et de l’autre 3 alors il faut en ajouter 2. — Et si je bouge de 2 (en cachant la série) ? — 4. — Comment tu sais ? — Parce qu’avant c’était 2 pour 1 maintenant on avance de 2 ça fait 4. — • Et si la ligne est très longue… ? — Non, quand la ligne est très longue ça ne fait rien du tout. »

Syl (10 ;0), mêmes réactions pour m.i. : « Maintenant je sais qu’il faut rajouter le double. — Et si la ligne est très longue ? — Je ne vois pas pourquoi il faudrait en rajouter (en plus du double)… Il n’y a pas de rapport. »

Woj (10 ;l) m.i. : « Je déplace de 6 (après 1 et 2). — J’ajoute 12 parce qu’on ajoute 6 à chaque moitié. —  Et si la ligne est très longue ? — Ça ne change rien que ce soit long ou court. »

La réaction aux longues séries montre assez que la nécessité atteinte à ce niveau est devenue solidaire d’une compréhension explicite. Mais pour mieux tirer la leçon de ce développement, examinons encore les résultats fournis par les deux autres épreuves.

[p. 70]La question de savoir combien il faut déplacer de voix pour renverser une majorité de n, soit (n/2 4- 1) soulève une difficulté analogue à celle des transformations m.i. au § 1. Il est, en effet, remarquable que seulement 1/3 des sujets précédents présentent des réactions de même niveau aux questions m.d. et m.i. (et encore en y comptant le niveau IA avec échec aux deux), tandis que les 2/3 marquent une avance souvent notable (jusqu’à IIB contre IA) des réponses en m.d. (avec la seule exception, d’ailleurs douteuse, de Roy à 9 ;8). La raison en semble claire. Dans le cas de m.d. on se borne à allonger la série, sans action de soustraction, et le sujet n’est alors appelé qu’à trouver le nouveau milieu par égalisation des jetons des deux côtés de l’allumette, ce qu’il parvient à faire avant de comprendre que ce déplacement équivaut à la moitié de l’allongement. En m.i. par contre, on commence par déplacer l’allumette de n, ce qui revient pour les deux moitiés initiales A et B, à additionner A n mais également à soustraire B — n, la différence étant donc de 2n et non pas de n : d’où la tendance initiale à n’allonger la série que de n et la difficulté de comprendre le rapport du simple au double, comme dans le problème bien connu du transfert d’une collection à une autre.

Or, c’est ce problème que l’on retrouve dans le cas de la votation, mais en partant d’une inégalité initiale A > B : il s’agit alors de comprendre que ce qu’on ajoute à B est enlevé de A, l’addition étant donc solidaire d’une soustraction (ainsi que précédemment en m.i.’). La tendance des jeunes sujets est alors d’oublier celle-ci et de considérer le nombre de voix n (= A — B) comme nécessaire au renversement du vote :

Fil (5 ;8 voir § 1 sous IA) a devant lui les deux séries de jetons. On part de 4 et 3 et il constate qu’en déplaçant un seul élément on renverse en 3 et 4. « 3 et 5. Et maintenant, combien ? — 2 (d’où 5 et 3). — 1 ça suffirait ? — Non (il a raison mais sans le savoir ni essayer). — Et 6 et 3 ? — 3. —  1 ça suffit ? — Non. —  Et 2 ? — Non. — Essaie. — (Il constate 4 et 5) Oui. — Et 2 et 7 ? — 5. —  Avec moins ça va aussi ? (Hésitation puis généralise ce qu’il vient de voir) Oui. —  Combien ? — 3. —  Et 2 ça va aussi ? — Oui. — Essaie voir. — … » Après interruption d’un quart d’heure de récréation on reprend 2 et 7 : « Combien faut-il changer ? — 5. —  On peut en prendre moins ? — Non. — Essaie. — (Il constate que 3 renverse en 5 et 4.) — Et maintenant 3 et 7 ? — 5. — Où sont-ils ces 5 ? (Il montre la différence 7-3 en comptant mal.) — Moins ça irait ? — Non. »

[p. 71] Un deuxième niveau correspondant au stade II est celui des sujets qui n’anticipent pas la solution juste, faute de comprendre le rapport n/2 -j- 1 (si la majorité est de n), mais qui en cherchent une inductivement par déplacement un à un, tout en restant en partie accrochée à l’idée d’un déplacement nécessaire de n :

Cal (9 ;1) pour 4 et 3 déplace un jeton, puis pour 6 et 3 en déplace 1 puis 1 et constate le renversement (donc en fait 4 et 5). « Combien ont changé de côté ? — 3 (donc 6 — 3 et non pas les 2 qui lui ont suffi en action). — Recommence (6 et 3). — (Elle en déplace 2 donc à nouveau 4 et 5.) — Combien doivent changer d’avis ? — 3. — Et maintenant (1 et 6) ? — (Elle déplace un à un et trouve) 3. —  Et 5 et 10 ? — … — Essaie. — (En déplace 1 à 1 jusqu’à 3 et compte.) »

Guy (9 ;6). 6 et 3 : « Combien doivent changer ? — 3. —  Pourquoi 1 — Parce que tous ceux qui veulent aller au Salève doivent changer d’avis. —  Essaie. — 2. — Et 4 et 9 ? — (Elle procède 1 à 1.) J’en fais changer 3. —  Et 9 et 6 ? — Si j’en ôte 3 ça fera 6 et 9. — Et 1 suffit ? — (Essaie) Non, 2, il resterait 7 pour le Salève et 8 pour l’autre. — Comment tu as calculé ? — De 6 à 9 ça fait 3 et si j’en ôte 1 à 9 ça fera toujours moins à l’autre. Alors j’ai essayé avec 2 et ça a marché. »

Les solutions ne sont donc trouvées que par tâtonnements, faute de coordination entre les additions et les soustractions, et même faute de prise de conscience de ces dernières. Il faut attendre le stade III pour que cette composition du positif et du négatif soit comprise et aboutisse à une abstraction « réfléchie » à partir de ces actions coordonnées :

Sal (12 ;10) trouve entre autres que pour 3 et 4 il suffit que 1 change d’avis pour renverser la situation, tandis que si des élèves jusque-là malades viennent s’ajouter aux votants il en faut 2 (3 4- 2) et non pas 1 pour obtenir le revirement : « Comment expliques-tu ça ? — Parce que si on les prend 1 là (aux 4) il y en a 1 de plus là (aux 3) et un de moins là (4 — 1). » Il raisonne de même pour des ensembles de 100 et 101, etc.

L’accès à la nécessité est donc, en cette épreuve, conditionné par une coordination des soustractions et des additions, comme lors de tout transfert d’éléments d’une collection à une autre.

Pour arriver à poser le 4^e jeton en n’utilisant que 1 ou 2 éléments à la fois, on a les possibilités : 2, 1, 1 ; 1, 2, 1 ; 1, 1, 2 ; 2, 2 ; et 1, 1, 1, 1. Le sujet peut alors [p. 72] raisonner en fonction de tous ces chemins possibles (ceux du partenaire et les siens) mais sans la certitude, avant un certain niveau de combinatoire, de les avoir énumérés tous ; ou encore il peut découvrir qu’en commençant le premier par 1 il est sûr de pouvoir gagner à condition de conserver son avance. Les niveaux qui suivent sont donc relatifs à ces relations ainsi qu’au passage éventuel du gain du 4^e au 7^e jeton placé.

Le niveau IA sans intérêt est celui de l’absence de tout système. Le sous-stade IB est celui du début des anticipations, mais limitées et procédant de proche en proche :

Sca (7 ;4). « Qui commence ? — Moi (il pose 1 [l]!) ⁴. Qui va gagner ? — Vous. — Tu aurais pu gagner ? — Non, parce que j’ai commencé le premier (il inverse donc le rapport). — Je commence : — [1] 1 [2] ; [1] 2 ; [1] 1 [2]. — Ah ! … [1] 2 [1] Tu ne veux pas essayer de gagner aussi ? — Je ne sais pas comment faire… J’ai trouvé : si vous en mettez 2, je peux en mettre 2. — [2] 2. — Tu as gagné. Si je commence avec 1, tu peux gagner. — [1] 1… Je peux gagner, mais si vous en mettez 2 (au prochain coup), alors ça ne va pas. —  Si je commence tu peux gagner ? — Si vous en mettez 1, j’en mets 1, vous 1, moi 1 et j’ai gagné. —  Tu crois que je vais jouer comme tu dis ? — Non. —  C’est toi qui commence. — 1. — Je peux gagner ? — Oui, vous 1 moi 1, vous 1 et vous gagnez. — Si tu commences avec 2 ? — C’est vous aussi. » Jusqu’à 7 : « [1] 1 [1] 1 [1] 1 [1]. Vous gagnez ! — Tu ne peux pas en mettre 2 à la fin ? — Ah oui : 1 [2] 1 [1] 1. — Tu ne peux pas gagner ? — Non. —  Pourquoi tu n’as pas mis de 2 ? — C’est vrai : 1 [1] 1 [2] 2. — Tu as gagné. Comment tu as fait ? — (Il répète.) »

On constate l’absence de toute anticipation systématique, sinon quant au coup suivant ou à une suite d’unités à elles seules. Dès le niveau IIA, par contre les anticipations portent sur l’ensemble de la partie, dont la plupart des sujets ont trouvé tous les chemins, et ils déduisent en particulier que, à commencer eux-mêmes et par 1 ils sont sûrs de gagner. Par contre ce n’est qu’au niveau IIB qu’il y a réussite pour le gain au 7^e jeton placé, tandis qu’en IIA, le succès se limite à la position du 4^e :

Tof (7 ;11) : « Je commence : 1 … — Qui va gagner ? — Sais pas. — 1 [1] 1… C’est vous. — Je commence : 1 [2]… — C’est vous. —  On peut savoir d’avance qui gagne ? — C’est vous parce que, ou bien vous commencez le premier, je pose 1 et vous gagnez. Si moi je commence avec 2 vous mettez 2 et vous gagnez. Si moi je commence avec 1, vous 1, moi 1 vous gagnez. Pour [p. 73] que moi je gagne vous commencez avec 2, moi 2. Sinon je commence avec 1, vous 2, moi 1 et je gagne. —  Si moi je commence, tu peux gagner ? — Non, vous posez 1, moi 1, vous 1… de toute façon il ne faut jamais commencer avec 2. » Jusqu’à 7 : « 2 [2] 1 [2]. Bien sûr j J’ai mal joué. — Qu’est-ce que tu aurais dû faire ? — 1 [1] 1 [1] 1 [1] 1. Pour que vous gagniez, il faut faire 2 [2] 2 [1]. » Mais il ne trouve pas les séries découvertes pour 4 ; et cela encore moins quand on passe au 10^e.

Sto (8 ;6) de même : « Je commence 1 [1] 1… (il voit qu’il perd et remplace son dernier 1 par 2). — Je commence [1] 1 [2]. J’ai gagné. Si je commence tu peux gagner ? — Non si vous posez 1 et moi 2 vous gagnez. Mais si vous posez 2 et moi 2 je gagne. — Et si j’en mets 1 et toi 1 ? — C’est vous. — Si tu veux gagner comment tu dois jouer ? — Je commence : 1 [1] 2. »

Pat (9 ;6) rappelle les règles du jeu et ajoute : « Il doit y avoir un empêchement, sinon c’est trop facile : on fait 2 et 2 ! — Qui commence ? — Moi : 1 [1] 2. J’ai gagné. — J’aurais pu gagner ? — Non : si vous mettiez 1 (après elle : 1), je mettais 2 et si vous mettiez 2 je mettais 1. — On dira maintenant que celui qui pose le 3^e gagne. Qui commence ? — C’est à vous de commencer. — Qui va gagner ? — Peut-être moi. — Sûre ? — Sûre (en effet [2] -|- 1 ou [1] J- 2 = 3) ». Jusqu’à 6 : « Pour que tu gagnes qui va commencer ? — Ça peut être les deux, c’est le hasard. — Avec 3 c’était le hasard ? — … — 1 [1] 1… — Je suis bien embêtée. — Qui va gagner ? — C’est vous. —  Cette fois tu commences. — 1 [2] 1… c’est vous ! » Etc. Pour 9, Pat a un plan mais ajoute « je ne le dis pas » de peur que le partenaire joue autrement que prévu : c’est ensuite bien le cas et elle perd.

Voici quelques réactions du niveau IIB avec réussite pour position du 7^e :

Son (9 ;10) pour le 4^e : « Si je commence avec 1, lui en met 2 et moi 1 je gagne. S’il en met 1 je suis sûre de gagner aussi. — Sûre ? — Sûre et certaine. » Elle note aussi que si le partenaire commence par 2 il perd aussitôt. Jusqu’à 7 : 2 [1] 1… « Pourquoi tu rigoles ? — Parce que je vais gagner. — Elle recommence : 1 [2] 1 [2] 1. — Comment tu joues ? — Je dois (d’abord) arriver à 4. — Je commence : [1] 1 [1] 1 [1] 2. » Elle réussit de même l’arrivée à 10.

Cla (10 ;8). Pour le 7^e : « 2 [2]. — Qui va gagner ? — Moi : si vous posez 2 je pose 1 si vous posez 1 je pose 2. —  Sûre ? — Oui. —  Pour gagner tu dois jouer en premier ou en deuxième ? — Celui qui commence met le dernier. »

Et enfin pour comparaison voici un sujet du stade III, le progrès accompli à ce dernier niveau étant qu’il n’y a pas seulement généralisation séquentielle (cf. Son : « je dois d’abord arriver à 4 ») mais ajustement des stratégies en cas de modification des règles :

[p. 74]Ser (13 ;8) constate pour 4 qu’il gagne chaque fois qu’il peut commencer. Il applique à 7 les mêmes procédés. Pour 10 « je commence : 1 [2] 2 [1] 1 [2] 1. — Comment as-tu fait ? — Exactement comme avant. » Mais on change de règles en autorisant la pose de 3 jetons à la fois et en fixant comme réussite l’arrivée au 13^e : Ser commence par appliquer sans plus ses tactiques antérieures, mais il les corrige en cours de route.

Cela dit, passons aux interprétations.

Deux questions principales sont à discuter au vu de ces nombreux faits : celle des rapports entre les types de généralisation et les types d’abstraction et surtout celle des relations entre la nécessité et l’abstraction réfléchissante. L’intérêt des présents résultats est, en effet, que les généralisations et les sentiments de nécessité pouvant les accompagner, à commencer par les quasi-nécessités, sont d’abord relatifs à des situations d’abstraction pseudo-empirique, portant donc, non pas sur des objets quelconques, mais bien sur des objets préalablement arrangés et modifiés par le sujet (ou par deux sujets) et cela d’une manière sans cesse vérifiable mais compréhensible à des degrés très divers (de la compréhension nulle à la compréhension complète). Or, le chapitre VIII nous montrera, à propos des séries exponentielles, que l’enfant ne parvient à observer (et à abstraire) la propriété d’accroissement multiplicatif, au sein des éléments déjà ordonnés, que dans la mesure où. il la comprend au cours de ses actions propres, consistant à prolonger les séries. Dans les présents cas, par contre, l’action propre du sujet se continue et se renouvelle sans cesse, ce qui assure une solidarité plus grande entre ses coordinations et la lecture de leurs résultats sur l’objet modifié. Il en résulte alors le fait fondamental qu’entre une lecture sans aucune compréhension et la découverte de la raison des faits observés s’intercale une étape intermédiaire où l’enfant est déjà certain qu’il y a une raison, mais sans encore savoir laquelle : d’où cette apparence paradoxale d’un sujet qui est « sûr » avant de « savoir », alors qu’en fait il « sait » déjà qu’il existe une raison, mais qui reste à trouver ⁵.

[p. 75] 1) Pour ce qui est des généralisations, le § 1 en a distingué deux variétés : 1° quand le sujet ayant réussi à faire correspondre un certain allongement à un certain déplacement du milieu de la rangée modifiée (par exemple 2 à 1 ou 4 à 2 mais non pas encore 2n à n) et qu’il conserve ce même rapport particulier si l’on modifie la longueur de la rangée (par exemple en passant de 2/2 à 4/4, 6/6 ou 8/8), y compris la possibilité de rangées « très longues » ; et 2° quand le sujet ayant trouvé le rapport de 2 à 1, le généralise ensuite sous les formes 4 à 2 ou 6 à 3, etc. (donc 2n à n), sans avoir besoin de recompter chaque fois les jetons par constatations pseudo-empiriques. Notons d’abord que, comme il était naturel, les sujets parviennent aux débuts de la généralisation II avant d’avoir terminé la construction de la généralisation I, notamment pour ce qui est des longues rangées (c’est parfois le cas chez les plus jeunes sujets du niveau IIA). Par contre, tant l’une que l’autre de ces deux variétés de généralisation changent de nature au cours de nos stades et ceci est plus important que leurs relations de simple décalage, encore qu’un tel décalage se retrouve entre les changements respectifs de significations.

Les généralisations de type I sont absentes du niveau IA, ce qui est instructif et montre que pour ces sujets un allongement de 2 ne donne pas toujours lieu au même déplacement relatif du milieu, celui-ci dépendant de la longueur absolue de la rangée : effectivement quand 10 jetons sont plus espacés à droite qu’à gauche, Fra met l’allumette au milieu de la longueur spatiale et non pas entre 5 et 5. Lorsqu’au niveau IB débute la généralisation I, mais seulement pour le rapport de 2 à 1, la situation est donc déjà complexe. D’une part l’enfant ne généralise sans compter qu’après plusieurs constatations empiriques du résultat de ses actions sur les objets eux-mêmes comme s’il s’était agi de la manipulation de corps physiques [p. 76] pour en déterminer les propriétés : en ce sens il va de soi que la généralisation I demeure inductive et extensionnelle. Mais, d’autre part, les propriétés ainsi lues sur l’objet (le résultat d’un allongement de 2 et d’un déplacement de l’allumette de 1 en tant que conservant tous deux la position de celle-ci au milieu de la nouvelle rangée) constituent le produit des actions du sujet (ou des deux sujets), et quoique semblable au début de l’abstraction empirique, celle qui conduit à la généralisation I reste donc « pseudo-empirique ». Or, cela se traduit rapidement par des caractères nouveaux : le fait que l’action dont les résultats sont constatés empiriquement (ou pseudo-empiriquement) est liée à un but (et un but qui dorénavant est l’équivalence des nombres des deux côtés de l’allumette et non plus l’égalité des longueurs comme le cherchait le sujet Fra), entraîne un jeu d’assimilations réciproques entre le but atteint (milieu) et les moyens employés (le rapport 1 à 2) et il y a là davantage qu’une constatation et qu’une généralisation inductive de ce qui a été constaté : c’est un début de coordination dont la généralisation comporte une ébauche d’abstraction réfléchissante, donc de mise en « acte » de ce qui était en « puissance » dans l’abstraction pseudo-empirique. Or, la construction de ce nouveau schème d’assimilation a beau ne comporter qu’un progrès minime dans le savoir du sujet, puisqu’il est encore très loin de comprendre la raison pour laquelle cette correspondance de 2 à 1 conserve la position médiane de l’allumette, ce progrès est cependant notable en ce que la coordination des moyens employés et du résultat obtenu (dont le sujet n’a plus besoin de le vérifier pour 2 et 1), donne déjà à l’enfant l’impression qu’il doit y avoir une raison. Quand le sujet Gui (intermédiaire entre IB et IIA) dit, pour un allongement de 4, « il faut déplacer de 2 pour qu’il y ait 2 de plus de chaque côté », il l’atteint même momentanément, mais la suite montre combien elle reste fragile. Seulement ne pouvoir la dégager tient aux lacunes des « abstractions réfléchies » et la conviction qu’elle existe semble assurée chez ces sujets intermédiaires de Gui à Dan : ce serait alors ce fait essentiel propre à la construction des structures logico-mathé- matiques qui explique la formation de cette « quasi-nécessité » qui s’ajoute aux généralisations encore presque inductives des débuts et qui procéderait donc des premières manifestations de l’abstraction réfléchissante.

[p. 77] 2) Quant à la généralisation II, elle est rendue possible par les progrès de ce type d’abstraction. Chez les sujets intermédiaires Ama et Gai le passage de 1 pour 2 à 2 pour 4 ou 3 pour 6 n’est encore qu’inductif, c’est-à-dire adopté sans en dégager la raison sinon par vérification mentale de la position médiane de l’allumette : mais comme ce sont les actions du sujet qui y ont conduit, il y a donc là déjà un élément d’abstraction proprement réfléchissante qui s’ajoute à l’abstraction pseudo-empirique, puisque le passage de 1 pour 2 aux dimidiations supérieures ne consiste pas en une simple répétition comme la généralisation I, mais aboutit à une extension du schème. Or, ce début encore modeste d’abstraction réfléchissante se renforce notablement au niveau IIA pour s’affirmer définitivement au niveau IIB : dès le niveau IIA, en effet, la nouveauté, qui n’a l’air de rien pour un adulte mais qui marque à cet âge un réel progrès de l’abstraction, consiste à substituer à la vérification empirique ou mentale de l’égalité des jetons des deux côtés de l’allumette une déduction de cette égalité à partir du partage en deux moitiés de l’allongement de la rangée. C’est ainsi que Bar déclare : « Je fais la moitié, ça fait (= entraîne ou implique) la même chose » des deux côtés de l’allumette ; mêmes références à la moitié chez Roy (et en m.i. comme en m.d.) et naturellement chez les sujets du niveau IIB.

Il est donc clair que la généralisation II est un résultat d’abstraction réfléchissante et non pas empirique, ni même pas simplement pseudo-empirique comme elle le reste en partie dans les cas intermédiaires. Et ce rôle de l’abstraction est encore plus visible dans le fait qu’à partir du niveau IIA (et même seulement à partir de Roy) les réactions en m.i. sont enfin homogènes à celles de m.d., c’est-à-dire que la moitié dans le sens m.d. est traduite en termes de double en m.i., ce qui n’était pas compris auparavant puisqu’une telle abstraction suppose la coordination des soustractions avec les additions, comme on l’a vu au début du § 2.

Or, la nouveauté essentielle que comporte cette abstraction de la relation de « moitié » est qu’elle fournit enfin la raison, jusque-là seulement pressentie, des résultats du partage en 2 que le sujet effectuait déjà dans son action et qui, grâce au « réfléchissement » propre à l’abstraction logico-mathématique [p. 78] devient dès le stade II objet de « réflexion ». Il est alors clair que c’est cette prise de conscience de la raison qui transforme les « quasi-nécessités » en nécessité proprement dite. Un bon critère en est la réaction aux longues séries : au niveau IIA ce n’est encore qu’avec hésitations que Gai et encore Roy se prononcent sur cette généralisation, tandis qu’au niveau IIB, les sujets déclarent enfin : « Ça ne change rien que ce soit long ou court » ; ou plus catégoriquement encore : « Il n’y a pas de rapport. »

3) Nous voici en mesure de traiter de la nécessité en général, dans ses relations avec l’abstraction et la généralisation. Il est d’abord clair que quand une généralisation ne dérive pas d’une abstraction réfléchissante (comme la généralisation II à partir de sa seconde étape et I à partir de ses dernières), mais seulement d’une abstraction empirique (inductions), elle n’entraîne aucune nécessité : celle-ci, en effet, ne se confond en rien avec la généralité, sauf à en fournir la raison, et elle se définit au contraire par la prise de possession de cette « raison » des relations observées. En un mot, la généralité comme telle demeure au niveau des observables, tandis que la nécessité, par sa nature même de coordination logique, se situe au-delà ou en deçà de leurs frontières.

La nécessité constitue ainsi un (ou même le) produit spécifique de l’abstraction réfléchissante, mais comment et pourquoi ? Ne revenons pas sur les « quasi-nécessités » qui paraissent (mais en apparence seulement) précéder l’abstraction réfléchissante, alors qu’elles sont issues de ses débuts lorsque le sujet pressent qu’il y a une raison aux régularités observées mais sans pouvoir encore la dégager. A nous en tenir à la nécessité proprement dite, elle consiste donc en coordinations et celles-ci résultent alors des modes de composition des actions du sujet. C’est pourquoi la nécessité est de nature logico- mathématique et non pas physique puisque les « lois » de la logique ne sont pas simplement des lois au sens de la généralité des observables, mais bien les normes de la cohérence impli- catrice régissant les compositions opératoires et issues de la coordination des actions. De façon générale la nécessité s’impose ainsi à une structure logico-mathématique lors de son achèvement ou de sa fermeture. Qu’en est-il alors dans le cas [p. 79] de nos faits, et à quels critères y reconnaît-on une fermeture lors de la constitution de la nécessité ?

Le premier tient aux inférences suivantes : une rangée de départ étant formée de N éléments répartis en (| N | | N) et l’allongement étant de n, les sujets du niveau IA enlèvent l’allumette (|) et réunissent N 4- n pour en trouver le milieu par tâtonnements successifs. Après de longues phases de vérification empirique, puis mentale (calcul du milieu), le sujet en arrive à ne partager que n en deux « moitiés », d’où la solution (| N 4- 1 n) | (J N 4~ i n), qui est le premier signe de l’achèvement du système.

Le second est plus général, parce que fondé sur la réversibilité opératoire et la coordination des soustractions avec les additions : c’est le passage de la « moitié (n/2) » en m.d. au « double » en m.i. (2 X | n = n), ce qui permet également (mais avec quelque décalage) la solution du problème des votations.

Quant au jeu de Nim, la fermeture des systèmes tient naturellement au calcul de tous les chemins possibles (atteint dès le niveau IIA pour l’arrivée du 4^e jeton), ce qui entraîne la nécessité de gagner selon certains types d’ordre prévisibles. Il est vrai qu’au niveau IIB encore (prévisions pour l’arrivée au 7^e) certains sujets paraissent ne pas se fier à cette combinatoire naissante (« naturellement si vous avez un truc vous gagnez »), mais il s’agit là d’un facteur étranger à la structure et qui est la possibilité d’une tricherie : les lois de la structure n’en demeurent donc pas moins « fermées » et elles tiennent sans conteste à une abstraction réfléchissante à partir des coordinations des actions.

En un mot, la nécessité est sous toutes ses formes un produit de l’abstraction réfléchissante, et elle constitue l’une des principales nouveautés dont la formation est provoquée par un tel mécanisme.