Chapitre II.
La construction de communs multiples ^{1 2} 🔗

Malgré les difficultés de comprendre la consigne (d’ailleurs instructives en elles-mêmes), ce premier stade montre déjà de façon claire la différence entre l’addition, où la pensée est centrée sur les objets que l’on réunit à d’autres, donc sur le résultat de cette réunion, et la multiplication où il s’agit en plus de dégager le nombre de fois qu’on les réunit donc de dénombrer les opérations comme telles et non plus seulement leurs résultats en tant que nombre des objets transférés. Voici des exemples d’un niveau IA :

Nat (4 ;6) place deux fois 2A et 3B. « Où y en a-t-il le plus ? — Là (B) parce qu’on a mis 3 B à la fois et là que 2 A et 2A. —  Si on veut qu’il y ait la même chose ? — Alors il faut encore des A (elle en met 2 puis compte et est étonnée de l’égalité 6 = 6) mais moi j’en ai mis beaucoup ! — Comment [p. 33] ça se fait ? — J’en ai mis beaucoup. — On va essayer de refaire. — (Tâtonnements en ajoutant puis enlevant des A.) — On peut faire la même chose qu’avant ? — Non, il faut 3A et 3B. — Ce n’est pas permis. On peut arriver autrement ? — (Met 2A et 3A puis rajoute un A.) — On n’a pas le droit. — (Elle rajoute alors 2A puis prend d’une main les 3B et de l’autre IB !) Je mets comme ça les 3 à la fois ! » On passe à une construction de colonnes de jetons (pour remplacer les tours de plots : on pose donc en vertical 2A et, en parallèle 3B : « Celle-là est petite et celle-là grande. — On peut faire 2 tours de la même grandeur ? — (Elle ajoute 2A.) Maintenant B est petite et A est grande. — Mais la même grandeur ? — (Rajoute 3B.) —  Mais celle-là est plus grande ? — (Elle rajoute 2A ce qui fait sans qu’elle l’ait prévu 6A et 6B.) Ah ! c’est la même grandeur ! — Comment ça se fait ? — Il faut en mettre beaucoup ! » On met alors 2A à côté des 6A et 3B à côté des 6B en espérant faire voir le rapport : « Combien il faut mettre de ça (2A) et de ça (3B) pour avoir la même grandeur ? — 3A et 3B ! »

Pat (5 ;6). On place les jetons d’abord les A en vertical et les B horizontalement, puis pour faciliter, en 2 rangées horizontales superposées (correspondance optique) et Pat procède comme Nat pour les colonnes en ajoutant tantôt 2A tantôt 3B jusqu’à découvrir à son étonnement qu’elle arrive à 6 de chaque : « Les deux la même chose ! — Comment ça se fait ? — Je ne sais pas, moi. — On pourrait le refaire ? — Non, je ne crois pas. — On essaie (même procédure). — Encore les deux la même chose ! —  Comment tu as fait ? — J’ai compté là 6 et là 6 (pure imagination !). — Pour ton tas, qu’est-ce que tu as fait ? — J’ai pris 2 (à la fois). — Et pour moi ? — J’ai pris 3. —  Combien de fois tu as pris 3 ? — Je ne me rappelle plus. — Et 2 ? — Je ne me rappelle pas non plus. — On va recommencer, mais cette fois tu vas bien regarder pour te rappeler. — (Elle le fait.) J’ai pris 4 fois les petits jetons (des deux sortes). Les A combien de fois ? — 4 fois. — Et les B ? — 4 fois. » On passe aux colonnes verticales et Pat ne comprend pas mieux que Nat mais prévoit qu’« en dernier on arrivera » en montrant le bord supérieur de a feuille servant de support, qu’on ne saurait en effet dépasser.

Dan (6 ;0) débute par la tour de plots et après tâtonnements arrive à l’égalité puis compte (après coup) 6A et 4B : « Pourquoi c’est quand même la même grandeur ? — Parce que les B sont grands et les A pas la même chose grands. —  Et on pourrait faire aussi deux tours égales, mais qui soient plus grandes ? — Non. — Essaie. — (Il démonte le tout, fait plusieurs essais et finit par refaire ce qu’il a déjà construit). » On lui montre 3A et 2B côte à côte puis 6A et 4B (égalité), puis à nouveau 6A et 4B, mais il conclut simplement sans idée de les superposer : « Oui, on peut faire 2 tours et 2 tours. » On passe aux jetons mais il ne résulte de ce qui précède aucune facilitation : pour deux rangées égales « il faudrait prendre 3A comme 3B ». Dan arrive cependant par adjonctions successives à 3 et 3B et à 2 + 2 + 2A mais déclare que « les B il y en a moins, c’est les A qui a le plus ». Il y a donc sentiment implicite d’avoir mis plus souvent des A mais en traduisant illusoirement ce nombre d’opérations sur celui des objets, donc sur le résultat. On place alors les A et les B en correspondance presque optique, avec très léger resserrement des B : « Il en manque là et là (les 2 bouts). »

[p. 34] On peut caractériser un niveau IB par le fait que le sujet, tout en débutant par les mêmes réactions d’incompréhension, en arrive à prendre conscience du nombre de fois qu’il a pris 2A et 3B dans le cas des jetons :

Nad (6 ;2) pour l’égalisation des collections de jetons : « Non, ce n’est pas possible parce qu’il y en a là 2 et là 3. » Elle met d’abord 3 fois 2 A puis 4 fois 2B et les compte. Puis 2 fois 3B, les compte et prend les 2A successifs en comptant. On recommence après approbation, mais elle prend cette fois alternativement 2A et 3B un certain nombre de fois sans compter : « C’est la même chose maintenant ! — Il n’y en a pas plus ici ? — (Met en correspondance.) Ah ! j’ai oublié qu’il y a plus de B ! — On va recommencer pour être sûr. — (Elle pose 2A, 3B, 2A, 3B et 2 A, ce qui est donc juste.) — On arrivera à la même chose ? — … — On sait déjà ? — Non, on ne sait pas. —  Regarde. — (Elle les met en correspondance.) Cette fois c’est la même chose ! — On peut savoir d’avance ? — Non, on ne peut pas. — C’est par chance ? — Oui. — Combien de fois as-tu dû mettre les B ? — (Les compte) 6 fois les B. —  Et des A, combien de fois tu en as mis dans ta main ? — 6 fois. —  On recommence : on dira que quand tu en prends 2 ou 3 c’est un voyage. — (Elle pose 2A et 3B.) — Combien de voyages ? — 1 pour les A et 1 pour les B. — Et pour faire la même chose de A que de B ? — (Elle pose 2A, 3B, 2A, 3B et 2A.) — Combien de voyages ? — (Elle regarde les tas) 3 pour les A et 2 pour les B. — Et combien de jetons ? — 6 et 6. —  Pourquoi ? — Parce qu’avec les B il y a 3 et avec les A il y a 2. Aux A il y a moins pour prendre (par voyage). — Combien de voyages si on voulait continuer ? — Là 2 et là 3 (juste). — Ça irait toujours ? — Non. »

Ces faits sont d’une clarté remarquable. Ces sujets sont si persuadés que deux collections atteignent l’égalité, à la seule condition qu’on les construise par correspondance terme à terme, qu’ils commencent par déformer la consigne du jeu des jetons en croyant à l’obligation de poser toujours simultanément 2A et 3B, ce qui comme dit Nat « n’est pas possible parce qu’il y a 2 là et 3 là ». Après quoi ils procèdent par apports successifs et alternés, tout en cherchant très souvent à violer les règles, mais ce n’est pas intéressant. L’intérêt est par contre leur étonnement général, lorsque ayant mis sans aucune anticipation ni même intention 2 A -J- 3B -|- 2 A -|- 3B -|- 2A, ils découvrent l’égalité 6 = 6. Pat déclare n’y rien comprendre, Nat suppose simplement qu’il suffit d’en mettre beaucoup pour atteindre l’égalité sans système (comme Pat à la fin quand elle propose d’aller jusqu’au haut de la feuille sans s’occuper de savoir si les deux colonnes y arriveront en même temps) et Nat attribue son succès à un coup de chance. La confirmation [p. 35] de cette incompréhension est le refus d’admettre la possibilité de reconstruire cette équivalence : Nat dit qu’on ne saurait la retrouver « parce qu’il faut 3A et 3B » à chaque coup, Pat « ne croit pas » à la reproduction de ce résultat surprenant. Nad avant de passer aux réactions de niveau IB nie la validité de toute prévision. Quant à admettre une généralisation à l’égalité possible de collections plus grandes ou de tours plus hautes, il va de soi que cela est a fortiori exclu, puisque même la simple répétition l’est déjà.

Reste alors à expliquer une telle myopie à l’égard de structures multiplicatives pourtant aussi simples et même transparentes, ces quelques sujets nous en montrent eux-mêmes les raisons lorsqu’ils cherchent à décrire ce qu’ils ont fait. Le seul aspect de leur action dont ils prennent conscience est d’avoir ajouté sans cesse 2 jetons d’un côté et 3 de l’autre, ce qui revient à dire qu’ils se centrent sur le résultat additif de ces transports. Quant à savoir combien il y a eu de transports, donc quel est le nombre de fois qu’ils ont ajouté 2 ou 3, c’est là une question bien différente puisqu’il s’agit alors de dénombrer les opérations et non plus les objets, donc de se centrer sur les actions ou même sur leur mécanisme et non plus sur les seuls résultats, ce qui suppose une abstraction plus poussée, de nature « réfléchie » et non pas seulement « pseudo-empirique ». Or c’est de cette prise de conscience qu’ils ne sont pas encore capables : « je ne me rappelle plus » dit Pat, et quand on lui demande de recommencer (donc 2A + 3B + 2/1 3B -|- 2/4 conduisant à 6A = 6B) et de bien s’observer elle prétend avoir pris « 4 fois » des A et autant de fois des B ! Nad réagit d’abord de même et traduit le nombre de transferts en nombre d’objets : « 6 fois » de chaque ! Il faut exprimer ses transferts en termes de « voyages » pour qu’elle arrive enfin à en dénombrer 3 pour les A et 2 pour les B mais en se refusant à une généralisation possible.

Dans le cas des tours égales formées de 6 petits plots A et de 4 grands B, le problème ne se pose pas ainsi puisque la multiplication est pour ainsi dire matérialisée dans les objets : B —  3 unités et A = 2 unités. Mais il n’y a pour autant ni anticipation ni généralisation des égalités obtenues par tâtonnements. Par contre on discerne un début de compensation (chez Dan) : moins de grands plots = plus de petits, ce qu’on retrouve (à tort) dans son jugement sur les deux collections de [p. 36] jetons par une sorte d’indifférenciation entre le nombre de transports (n fois A ou B) et le nombre final des objets transportés.

A ce niveau de 7-8 ans, le sujet anticipe les égalités comme possibles mais sans en prévoir la programmation et il y arrive par tâtonnements successifs :

Cri (7 ;0) pose d’abord 4 « tas » de 3B et 4 « tas » de 2A et commence à compter le résultat : « Pourquoi tu comptes, tu crois que c’est pareil ? — Oui. —  Comment tu sais ? — … — J’ai mis 3B ensemble et 2A ensemble. » Puis il voit l’erreur et conclut que pour avoir le même nombre il faut « plus de tas de A que de B, sinon il y aurait eu moins de A que de B. — Alors comment on fait ? — Un tas de plus de A, il faut deux tas de A de plus que de B (Essai). Non, ça ne va pas ». Puis il réussit et conclut : « Si je mets 2 tas de B il faut mettre 3 tas de A. — Et c’est pareil ? — Oui. — Et si on met plus de B on pourrait avoir aussi la même chose de A ? — 2 tas de B encore et de nouveau 3 de A. » Pour les tours de plots, Cri commence de même par des nombres égaux de chaque côté, puis voyant la différence de hauteur il compare un A à un B : « Non, on n’arrive pas, il faudrait que les A soient plus hauts. » Il essaie quand même : « Mais tu m’as dit qu’on n’arriverait pas ? — Oui mais il fallait mettre plus de A l’un sur l’autre. » Il voit donc la compensation nécessaire comme pour les jetons et arrive à 2B pour 3A. De plus, il comprend qu’on ne saurait construire de plus petites tours avec égalité mais qu’on retrouve celle-ci en superposant les mêmes plots, d’où 4B et 6A.

Yve (7 ;0) commence avec les plots et, comme Cri, met d’abord autant de B que de A puis les compare, cherche une compensation avec 6B et TA « parce qu’autrement ce n’est pas la même hauteur » et trouve l’égalité pour 6A et 4B. Pour les jetons il suit une marche analogue, puis essaie de diverses compensations conduisant à 2 et 3, 4 et 3, 4 et 6, 6 et 3, 10 et 9, 12 et 10 et finit par trouver l’égalité pour 12 = 12 en respectant constamment la règle des prises par 2A et par 3B. Pour les engrenages, il est d’accord que les repères noirs se retrouveront si on tourne en arrière après environ un demi- tour en avant, mais pour tout un tour en sens positif ça « ne se retouchera pas. — Pourquoi ? — Si on tourne lentement. — Alors des fois ça se touche et des fois pas ? — Oui, des fois on tourne trop fort et des fois trop lentement ».

Dom (7 ;6) commence, pour les jetons, par nier l’égalité possible : « Non, il en faudrait le même nombre (par prises) », mais il essaie néanmoins de l’atteindre par adjonctions successives en examinant chaque fois le résultat. Lors de 3 fois 2A et 2 fois 3B, donc 6 = 6, il s’arrête pour examiner rétrospectivement comment il en est venu là par prises inégales et dit « 3 fois (2) A et 2 fois (3) B », puis il continue d’ajouter des couples de A et des triplets de B et arrivé à 9B et 10A il s’arrête à nouveau pour analyser : « Qu’est-ce que tu as fait ? — 2 fois 3B, non 3 fois, et là 4 fois 2A (en fait 5 fois). — C’est juste ? — Sais pas. —  Et avant ? — 6 (et 6). — Et si j’en voulais plus que 6 [p. 37] et 6 ? — J’en remettrais (il refait 3 fois 2A et 2 fois 3B). On en mettrait toujours 6 (de plus). — Comment tu as su ? — J’ai compté. » Pour les tours de plots, même méthode mais en disant presque dès le départ : « J’ai vu que 2A = IB, non mais qu’il faut plus de A pour moins de B. »

Mil (8 ;3) pour les tours : « On ne pourrait pas (les faire égales) parce que les A et les B c’est pas la même hauteur. — Alors pas possible ? — Oui, peut- être… Non on ne pourra pas », mais il compare A et B et trouve que B = 1 1/2 A sous la forme suivante : A égale ça (une partie de B) et il manque le demi de ça (B) ». Il se met alors à la recherche de l’égalité : il empile 9A et superpose les B jusqu’à 6. Il admet la possibilité d’une tour plus grande : « Je mettrais toujours 3A et 2B. » Pour les jetons, il accepte d’emblée par transfert le projet d’une égalité et croit l’avoir trouvée avec 2 fois 2A et 1 fois 3B, puis : « (Essai) Non, c’est pas juste : il faut mettre encore 3B et là 2A. Comme ça toutes les deux en ont 6. » Roues : les repères se retrouveront « quand ils auront fait un tour (essai incomplet). Non, ça ne va pas, parce que A est plus petit que B, ça fait qu’ils se ne retrouveront plus… oui quand ils auront tourné plusieurs fois. — Combien ? — 2 fois (A) et 1 fois (B). Peut-être 3 tours (A : essai). Non jamais. — Essaie de continuer. — Ils se sont retrouvés ! » Il recommence et compte : « 5 tours. — Toujours le même nombre ? — Non, ça peut changer. »

Rie (9 ;0) malgré son âge a besoin de très longs tâtonnements pour égaliser les jetons et commence, comme Cri et Yve, par faire autant de « paquets » de 3B que de 2A. A la fin : « J’ai trouvé. Là (B) c’est impair parce que c’est par 3 et là (A) c’est pair : j’ai fait 2 paquets de 3 et là 3 paquets de 2. » Il admet la généralisation pour 6 + 6 = 12 et 12 + 6 = 18, etc.

Ce niveau est, pour la question des jetons, celui d’un début de prise de conscience, mais encore incomplète du nombre des opérations correspondant à « n fois x » où n est le nombre de fois que le sujet prend x éléments et où x est dans le cas particulier fixé par la règle « 2A ou 3B à la fois ». Il est d’abord à noter que, tout en respectant cette règle, Cri, Yve et même Rie commencent par faire autant de « tas » ou de « paquets » de 3B que de 2A, comme si, pour atteindre l’égalité, le nombre n dans n fois x était indépendant de la valeur des x et suffisait à lui seul à assurer l’équivalence (ce que refuse Dom mais pour contester d’abord la possibilité de toute égalisation entre les A et les B). Il est à remarquer ensuite que Cri et Rie (comme d’autres) n’emploient pas l’expression « n fois » mais comptent les n en termes de « tas » ou de « paquets » comme s’il s’agissait de sous-classes à réunir (d’où d’ailleurs leur indifférence initiale pour le nombre x), tandis que Dom dont le vocabulaire paraît plus abstrait (« 3 fois » les 2A et « 2 fois » les 3B) se trompe [p. 38] précisément dans l’énumération de ces « n fois ». Mais, qu’il s’agisse du nombre de tas ou d’opérations, le grand progrès accompli par tous ces sujets est la découverte d’une compensation nécessaire : si l’on vise l’égalité entre les deux collections en procédant pour l’une par « n fois x » et pour l’autre par « n’ fois x’ », alors si x > x’ on doit compenser cette différence par n < n’, et réciproquement si x < x’. Autrement dit, tout en procédant encore de façon additive par adjonctions tâtonnantes de nouveaux « paquets » ou « tas », ces sujets commencent à comprendre un principe essentiel de la multiplication : la relation inverse entre le multiplicateur et le multiplicande en cas d’égalité des produits.

Pour ce qui est des tours de plots, on retrouve le principe de compensation : « J’ai vu qu’il faut plus de A pour moins de B » dit ainsi Dom. Quant aux engrenages, aucun rapport numérique n’est encore trouvé et la répétition même de jonctions entre les repères est contestée, comme celle des égalisations de jetons au stade I, ce qui revient à nier à la fois la régularité du processus physique et la constance des relations métriques.

Au niveau de 9- 10 ans que nous appelons IIB (avec quelques cas dès 8 1/2 ans), le problème des jetons est résolu à peu près d’emblée, tandis que celui des tours marque quelque retard. Par contre pour les roues il y a progrès par rapport au niveau IIA dans le sens de la constance attribuée au rapport numérique trouvé empiriquement :

Tri (8 ;6) pour les jetons réunit immédiatement 3 couples de A qu’il compare à 2 triplets de B disposés en regard : « Là il y a toujours 6 et là toujours 6. — Comment as-tu fait ? — J’ai pris 2 fois 3B et 3 fois 2A. —  On pourrait continuer ? — Oui on met toujours 2 fois 3B et 3 fois 2A. —  Et si on faisait longtemps comme ça on aurait toujours le même nombre des deux côtés ? — Oui, toujours. » Pour les plots, il essaie de 6A et de 3B et comme les hauteurs restent inégales il propose de rajouter un A : « Sûr ? — J’ai pensé que ça pourrait aller, il faut contrôler. » « Et en plus petit ? — Oui 3 et 2. — Sûr ? — Il faut contrôler. » Mais après vérification il admet qu’on conserverait toujours l’égalité en ajoutant 3 et 2. Pour les roues Tri doute d’abord que les repères se retrouvent, puis, le constatant, il croit un instant que la petite roue fera alors 5 tours comme il vient de le compter de la grande. « Sûr ? — Il faut contrôler (il le fait). C’était faux il y a 7 tours pour A quand B fait 5 tours. Et si on tourne beaucoup plus de fois les repères se retrouveront ? — Oui si 5 fois B et 7 fois A. »

[p. 39]Vas (9 ;11) pour les jetons pose immédiatement 3 couples de A puis 2 triplets de B : « J’ai fait chacun 6. — Tu pourrais faire des tas moins grands ? — Non, parce qu’on doit prendre à la fois 2A ou 3 B : si on fait un tas de 3 jetons, ça ira pour les B mais pas pour les A et si on prend 4 ça ira pour les A et pas pour les B. —  Et des tas plus grands ? — Oui, par exemple 12. » Néanmoins avec les plots elle doute d’abord de la possibilité de faire deux tours égales « parce que le plot B est plus grand que le A » puis elle procède par compensations successives et arrive à 3A = 2B. Pour les roues, doute initial puis la régularité apparaît assurée une fois trouvée la relation numérique 7 à 5.

Ser (10 ;2). Jetons : « Je mettrai toujours par 2 et par 3 jusqu’à ce qu’ils soient égaux. » Ce qu’il trouve pour 6 et 12, etc., tandis que pour les plots, même doute initial et tâtonnements que chez Vas.

Au stade III la question des plots est résolue comme celle des jetons par mise en relation des unités dès le départ, ce qui évite les compensations par tâtonnements :

Erg (11 ;6) compare un B à un A : « C’est peut-être le double » puis il trouve le rapport 2B = 3A et explique que B = 1 1/2 A puisque « maintenant j’ai la preuve ».

Man (11 ;8) explique que les repères des roues dentées ne se retrouvent pas après un tour parce que la grande « elle va toujours plus loin… C’est toujours plus loin d’un cran », mais ils se retouchent « après 5 tours entiers ». Le rapport des deux, d’abord évalué de 5 à 10 tours, puis constaté de 5 à 7 est alors tenu pour constant.

Gil (12 ;6) fait tourner 2 roues dentées de rapport 4 à 6, s’attend d’abord à ce que les repères se retrouvent après 1 tour : « Non, ça ne va pas (il continue) J’ai remarqué que quand on faisait 6 tours ça revenait et si on fait moins de tours alors ça ne revient pas. —  Et si on en fait plus ? — Oui, 6, 12, 18, 24 ça joue. — Pourquoi ? — Parce que c’est le double, alors une fois 6 (de plus) ça revient. —  Si on avait 2 roues de même grandeur il faudrait aussi 6 tours ? — Non, un seul. — Et la petite ? — Moins de tours, ah non plus parce que c’est plus petit. »

La relation numérique des tours de roue donne une certitude de régularité d’autant mieux assurée qu’elle s’accompagne d’un début d’explication cinématique comme la traduction que fait Man de la vitesse angulaire en termes linéaires de « plus loin », puis « plus loin d’un cran ».

Le premier résultat de cette recherche est de nous faire comprendre la différence de difficultés, pour l’enfant, de la multiplication des classes ou relations, maîtrisée au même niveau que les classifications ou sériations simples, et la multiplication des entiers nettement plus malaisée à comprendre que l’addition numérique. Cependant, au premier abord, il semble exister une étroite parenté entre la multiplication des classes et celle des nombres : à faire le produit des deux classes « ronds » et « carrés » (pour de petits cartons que l’enfant doit arranger) et des trois classes « blancs, bleus et rouges », le sujet obtiendra une table à 6 casiers, donc les 6 sous-classes « ronds blancs, bleus ou rouges » et « carrés blancs, etc. », de même qu’à multiplier 2 par 3 on obtient 6 unités numériques. Mais la grande différence psychologique est que dans le premier cas le sujet n’a pas besoin de compter les classes et qu’il peut se borner à les construire « en compréhension » par association des propriétés qualitatives en jeu. Par contre, dans le cas des nombres qui font abstraction de toutes qualités, c’est-à-dire dont les imités sont à la fois distinctes et toutes équivalentes entre elles, il est indispensable pour comprendre la relation « n fois x » de dénombrer en [p. 42] « extension », non seulement les unités x (qui sont donc dépourvues de toute « compréhension ») mais encore le nombre de fois n que l’on a pris x unités ensemble : en ce cas le dénombrement des n suppose que l’on compte le nombre des classes de x éléments ainsi réunis par « paquets » ; mais comme les classes de x (les classes de 2 jetons dans notre exemple 3x2) ne possèdent plus aucun caractère distinctif en compréhension, dénombrer les n revient à compter le nombre d’actions ou d’opérations que l’on a effectuées en réunissant n fois les imités en x. C’est alors cette différence entre les paliers de prise de conscience, selon qu’il s’agit des objets eux-mêmes ou des opérations consistant à les réunir n fois en classes de x qui explique la difficulté plus grande de la multiplication numérique, par rapport à celle des classes, et également par rapport à l’addition des entiers, dans laquelle le dénombrement des objets suffit.

Cela dit, on comprend alors de ce fait même par quel jeu d’abstractions réfléchissantes va se construire la multiplication à partir de l’addition.

L’addition comme telle ne pose pas de problème étant la plus élémentaire des actions constructives (dès les réunions d’objets qu’on observe aux niveaux sensori-moteurs supérieurs). Aussi bien dans notre problème des jetons les sujets de 4-5 ans (niveau IA) procèdent-ils d’emblée à des adjonctions successives de A par 2 et de B par 3. Mais, comme on l’a vu, le caractère éminemment instructif de leurs réactions est qu’ils n’ont aucune conscience du nombre n de fois qu’ils ont ainsi ajouté des x de 2 ou 3 ; et, lorsqu’ils arrivent sans la prévoir à l’égalisation de 6 = 6 ils en sont si étonnés qu’ils croient impossible de la reproduire à volonté. Il y a donc manifestement incompréhension complète de la multiplication, qui n’est même pas encore une addition d’additions, mais une simple succession d’additions, ce qui ne revient pas au même, faute à la fois de plan préalable et de synthèse après coup.

Au niveau IIA, la multiplication est partiellement comprise, mais à titre d’addition d’additions, en ce sens que l’enfant procède par adjonctions successives de « tas » ou « paquets » de valeurs x ou x’ et qu’il les compte ensuite à titre de n ou n’ classes ou sous-classes. Il y a donc réussite mais par voie additive, avec synthèse après coup (n collections de x [p. 43] = n’ ensembles de x’), mais sans encore de plan et sans que l’on puisse parler d’une prise de conscience de l’opération « n fois » puisque l’abstraction porte sur les résultats. Néanmoins, de même qu’à ce niveau du début des opérations concrètes, le sujet sait qu’il peut atteindre additivement une même somme par des combinaisons variées et de façon associative (au sens logique du terme), de même à comparer ses n « tas » de x aux n’«  tas » de x’ il découvre qu’un produit identique suppose des compensations : si x > x’ alors n < n’, autrement dit il faudra d’autant plus de « tas » ou « paquets » qu’ils sont plus petits : d’où les communs multiples, par une associativité multiplicative au sens large.

Enfin, de même que les additions d’additions résultent au niveau IIA d’une abstraction réfléchissante (à titre de synthèses et même sans plan) à partir des successions de réunions, de même, au niveau IIB, l’opération multiplicative « n fois x » enfin comprise constitue le produit d’une abstraction réfléchissante à partir des additions d’additions, en ce sens que n n’est plus simplement le nombre des « paquets » qu’il a fallu faire pour arriver au but, mais bien le nombre des opérations constitutives de ces classes, et qui dorénavant peuvent jouer à titre de projets ou de schèmes programmés comme le montrent les solutions immédiates dont sont capables les sujets. Ce n’est pas à dire que l’opération multiplicative soit d’emblée générale ni même réversible (division) comme le montrent les recherches sur les proportions et la persistance, en ce domaine, des solutions additives jusqu’au stade III, mais pour ce qui est de notre problème élémentaire des jetons il n’y a plus de difficultés.

Quant aux tours de plots, si la question paraît plus simple puisque le rapport multiplicatif est pour ainsi dire matérialisé dans les grandeurs données, l’absence d’unités toutes faites comme le sont les jetons la complique en réalité. Pour ce qui est des roues dentées il s’y ajoute que le rapport numérique exprime des variables cinématiques. Il n’en est que plus frappant de voir qu’une fois reconnu ce rapport donne un caractère de régularité à un tel processus physique, alors que la jonction répétée des repères après 5 tours de B donnait encore aux sujets du niveau IIA ce sentiment d’étonnement et de simple chance que l’égalisation des jetons aux enfants du stade I.

Reste le problème des « abstractions réfléchies » en tant que [p. 44] produit réflexif (donc en tant qu’objets conceptualisés de représentation ou conscience) de ce qui n’est que processus dans l’abstraction réfléchissante. Or il existe une relation évidente entre elles et les étapes analysées ci-dessus. Au stade I où le sujet n’a pas conscience de ses propres actions d’adjonctions, la comparaison réflexive des épreuves de jetons et de plots échoue précisément à relever ces actions et ne porte que sur les objets matériels utilisés. Au niveau IIA où l’abstraction réfléchissante ne porte que sur les « paquets » de x transportés et non pas encore sur le nombre n des opérations de transports (donc pas encore sur la relation « n fois »), l’abstraction réfléchie n’atteint que les actions globales (« on fait des petits tas », Cri) en leur but général d’égalisation, mais sans atteindre les correspondances détaillées de structures (et même avec erreurs comme chez Dom et Mil). Enfin l’abstraction réfléchissante du nombre n des opérations comme telles (dans la relation « n fois x ») conduit au niveau IIB à la conscience et à la conceptualisation explicite de ces correspondances structurales.

Il nous a paru intéressant d’interroger les enfants des niveaux précédents sur les analogies qu’ils pouvaient [p. 40] percevoir entre les problèmes posés, bien qu’il s’agisse là de ce que l’on peut appeler des abstractions « réfléchies » et non pas « réfléchissantes ».

Au stade I le seul intérêt de ces comparaisons est qu’elles portent sur les objets matériels en jeu et non pas encore sur les actions :

Dan (6 ;0 voir § 1) ne voit d’abord que les différences de forme : les jetons « ils sont carrés (ils l’étaient au début) et les tours elles sont rondes. — Mais les deux jeux ça allait bien ensemble ? — Non, ceux-là (jetons) ils sont plats ils ne peuvent pas grandir (en hauteur). Oui, on aurait pu faire comme ça (colonne de carrés posés horizontalement sur la table et pouvant représenter une tour) ».

Au niveau IIA par contre l’accent est mis sur l’action, mais avant tout comme but et comme récit de ce qui a été fait :

Cri (7 ;0 voir § 2). Les jetons et les plots, ça se ressemble « parce qu’on fait aussi… on fait des petits tas et on fait des tours. — Et puis ? — On fait aussi que les tours aient la même hauteur et qu’il y ait le même nombre de jetons ».

Cha (7 ;2) : « Ils se ressemblent parce qu’il doit y avoir tout le temps la même chose. — Qu’est-ce que tu as fait dans les deux jeux qui soit pareil ? — … — Rien ? — Non. » Puis quand on lui suggère de comparer les plots et les jetons il accepte d’abord la comparaison des grands plots B et des 3 jetons B puis des plots A et des 2 jetons A, mais ajoute : « Non, ça ne va pas bien, il faudrait 3 plots B pour que ça aille bien. »

Dom (7 ;6 voir § 2). Les deux jeux se ressemblent « parce qu’on voulait le même nombre de jetons et le même nombre de plots. —  Le même nombre ? — Non, la même grandeur. — Le même nombre de plots ou la même grandeur ? — Le même nombre. »

Mil (8 ;3 voir § 2) : « Oui, parce que vous avez dit 3 jetons B et 2 jetons A et 3 plots B et 3 plots A. «  Il inverse donc le rapport des plots. On essaie de préciser en mettant plots et jetons en regard : « Non, on ne peut pas mettre 3 jetons A et 2B… on ne fait pas des tours avec les jetons ! « 

On voit que ces comparaisons demeurent fonctionnelles et n’atteignent pas les correspondances structurales, sauf à les simplifier avec erreurs comme Dom et Mil. Ce sont au contraire ces correspondances que recherchent les abstractions réfléchies du niveau IIB :

Tri (8 ;6 voir § 3) n’a été interrogé que sur les ressemblances entre la question des tours et celle des roues : « Il y a toujours une chose plus grande et une plus petite et il faut toujours plus de petits pour faire des grands. »

[p. 41]Vas (9 ;11 voir § 3) : « Les jetons B on peut les prendre seulement par 3 et les plots B aussi (= ils valent 3) tandis que pour les jetons A on prenait par 2 comme les plots A. —  Explique-moi. — Parce que les plots B il y en a moins que les plots A alors les jetons A ils peuvent être plus nombreux pour… 1 bloc… On fait un échange (veut dire une correspondance). — Comment ça un échange ? Montre-moi. — (Elle met en correspondance sur la table 2 jetons A avec un plot A et 3 jetons B avec un plot B).

Joe (10 ;0). Tours et roues : « Il faut plus de plots A que de B. Là c’est la même chose : plus de tours avec la roue A qu’avec la B. —  Les repères seraient quoi pour les tours ? — Chaque fois qu’ils se rencontrent ce serait 3 plots A en plus. » Pour les jetons et les tours bonne correspondance comme chez Vas.

Ser (10 ;2 voir § 3) : même correspondance 2 à 3 pour les jetons et les plots.

Les réactions du stade III ne diffèrent pas de ces correspondances structurales. Comme on le voit ces abstractions « réfléchies » en tant que prises de conscience du résultat des abstractions réfléchissantes correspondent d’assez près à ces dernières en leurs étapes successives. On y reviendra à l’instant.