Chapitre III.
L’inversion des opérations arithmétiques ^{1 2} 🔗

[p. 47]Il est inutile de fournir le détail des réactions d’un sous-stade IA, au cours duquel l’enfant éprouve de sérieuses difficultés à bâtir un champignon (faute de se centrer sur les surfaces de section, tandis que sont considérées les grandeurs, les couleurs, etc.), ainsi qu’à sentir la différence entre les cas du cube, où l’ordre suivi reste indifférent, et du champignon dont le montage exige un ordre nécessaire. Par contre le niveau IB, caractérisé par la réussite de ces deux constructions, est intéressant du point de vue du contraste total entre les réponses quant aux calculs et celles que l’on obtient au niveau IIA du début des opérations :

Eli (6 ;6) débute par la construction d’« une lampe » formée de 5 éléments ; puis ajoute les deux autres en vérifiant par tâtonnements la correspondance des surfaces d’application : « Il faut empiler les ronds. — N’importe comment ? — Non. —  A quoi faut-il faire attention ? — A leur place. Si on fait attention ils sont toujours à la même place. » On défait : « Ils sont placés à l’envers. — Et pour les construire ? — (Elle montre l’ordre correct.) — Et pour défaire la lampe ? — (Montre l’ordre inverse.) — Quand on défait et quand on construit il y a quelque chose qui se ressemble ? — Non. — Les morceaux ne sont pas au même endroit » (on montre l’ordre de la série) ? — … Cubes : construction immédiate c’est « plus facile parce qu’empiler (n’importe comment). — Tu ne fais pas attention où tu mets les morceaux ? — Non, on peut mettre le vert sur le rouge, ça ne fait rien. Dans la lampe il faut faire attention ». Mais tout en décrivant si bien les différences entre la construction du cube et celle du champignon, Eli, au lieu de dégager la succession des actions avec ordre nécessaire en un cas et arbitraire dans l’autre, dit simplement, lorsqu’on lui demande ce qui est pareil ou non dans les deux épreuves : « C’est pas pareil parce que la fin (le haut) de la lampe c’est pas carré », comme si seul comptait le contenu et non pas l’ordre des actions. Opérations avec des carrés : « Mets sur la table le nombre de carrés que tu veux. — (Elle en met 4.) — Ajoute 3 carrés. Tu en mets autant que ce que tu as là, mais en un autre tas… Tu les mets tous ensemble… Et tu en mets encore 5… Combien en as-tu en tout ? — 19. —  Tu crois que je peux savoir combien tu en as mis la première fois 1 — Oui, vous devinez. — Mais pour ne pas se tromper ? — On réfléchit bien… — Comment tu ferais, toi, pour trouver ? — … — Moi je crois que c’est 4 : tu crois que j’ai écrit n’importe quoi ? — Vous saviez que j’avais rajouté 3 et vous saviez que j’en avais 19 (à la fin). Avant, 4 3 ça faisait 7. — Alors ?

— … — Explique mieux. — … — Ça m’a servi que tu me dises 19 ? — Non. — Ça ne sert à rien que je sache combien il y en a en tout ? — … — Fais ce que je t’ai dit tout à l’heure. — J’en ai mis 4, puis vous avez dit d’en mettre 3 autres, etc. (elle refait correctement). — Alors comment j’ai pu savoir que tu as mis 4 au début ? — Parce que vous avez bien réfléchi. » On renverse alors les rôles et l’expérimentateur pose 2 derrière un écran en refaisant ensuite les opérations -|- 3, X 2 et + 5, dont Eli se souvient : « En tout j’en ai 17. Tu peux savoir combien j’ai mis la première fois ? — 3. — Tu es sûre ? [p. 48] — … — Pourquoi 3 ? — Parce que ça se voit ici (elle montre 3 carrés qui se détachent très peu du tas). » On recommence alors avec 5 au départ et 21 au total : Eli devine 6 au hasard « parce que j’ai réfléchi ». — « Comment tu calcules ? — Parce que vous en mettez quelques-uns. » On lui montre alors la procédure en détail : « Moi je fais comme ça : on a mis 5 à la fin alors on en enlève 5 ; on en mettait autant ( X 2 en montrant), alors j’en enlève la moitié ; et au commencement on ajoutait 3, alors qu’est-ce que je fais ? — Vous en avez mis 5 (au départ). — Mais pour les trouver ? — On compte qu’il y en a 5 puis on en a mis autant… On compte ce qui reste… Comme vous avez ajouté 3, on les retire et on a 5. » On recommence, tout étant visible et en suggérant de « bouger les carrés si ça t’aide » : elle en enlève 5, puis 3. « Pourquoi tu enlèves 3 ? — Je ne sais pas trop. »

Set (6 ;9) réussit bien son champignon. « Quand on le construit et qu’on le défait ça se ressemble un peu ? — Oui, c’est les mêmes choses. » On fait énumérer les ordres direct et inverse, mais il ne voit pas le rapport : « Non… (ce n’est) pas tellement » pareil. Par contre, il n’y a qu’un ordre possible dans chaque sens, tandis qu’avec les cubes « il y a plusieurs manières ». Mais ces propos ne sont obtenus qu’en réponse aux questions suggestives sur le nombre de manières dans la construction, tandis qu’à faire comparer simplement les deux constructions, Set se contente de dire : « ça ne se ressemble pas parce que le champignon c’est pas les mêmes cubes », « parce que les cubes c’est léger… ce n’est pas les mêmes choses », donc en se centrant sur le seul contenu et en oubliant la forme des actions, pourtant bien analysée en constatations séparées. Quant aux opérations avec cartons, Set pense que l’expérimentateur peut deviner le nombre initial « parce que vous avez entendu un peu de bruit (la mise en place des cartons). — Tu crois que j’ai dit comme ça et suis tombé juste ? — Parce que vous avez su que j’en ai mis plus. —  Ça peut servir de savoir combien il y en a à la fin ? — Ça peut servir. —  Comment ? — … ». Comme il ne comprend rien de plus que Eli, on ne demande que des additions : n + 5 + 3 + 4. Set annonce : 17. « —  Moi je crois que tu as mis 5 sur la table. C’est ça ? — Oui. — Qu’est-ce que je me suis dit ? — Que j’en ai mis 5 : vous avez deviné. — J’ai eu simplement de la chance ? — Oui. » On replace les carrés sur la table : 5 + 5 3 + 4. « Ça m’a servi

de savoir qu’il y en avait 17 ? — Oui. — Pourquoi ? — Vous faisiez des ensembles, vous avez fait dans votre tête (il réunit 5 carrés). — Qu’est-ce que ça veut dire ce petit paquet ? — Que c’est 3. » Mais on ne trouve chez Set aucune compréhension de l’inversion.

Lar (7 ;0) pense que pour trouver n « vous avez regardé. — Mais non, je tournais le dos. Alors ? — Vous avez écrit n’importe quel chiffre et après c’était vrai ». On refait tout de façon visible, puis on lui demande d’enlever 5, puis la moitié du reste, puis 3 et il retrouve le n de départ (4) : « C’est un hasard, on a eu de la chance ? — Oui. —  Ça te donne une idée de la façon dont j’ai fait ? — Non. » On rappelle le champignon dont il réaffirme l’ordre de construction et de remise des morceaux sur la table : « Il n’y a qu’une manière de ranger les morceaux ? — Oui. — Et les petits cubes il y a quelque chose qui y ressemble ? — Non, parce que les petits carrés, ça ne peut pas se transformer en champignons. »

[p. 49]San (7 ;1) est sur la voie du niveau IIA en ce qu’elle entrevoit que l’expérimentateur a trouvé n en suivant le même chemin qu’elle, mais sans comprendre la nécessité de l’inversion et en admettant une convergence fortuite bien que l’on passe de n à n’ par une voie purement additive (4-2, etc.) : « Est-ce que je peux savoir le chiffre que tu as mis dans un rond ? — Non, parce qu’on ne vous l’a pas dit et que vous ne m’avez pas vu écrire. —  C’est 4 ? — Oui (étonnement). — Comment j’ai fait ? — Parce qu’on vous a dit l’ensemble (total). — Et alors ? — Notre premier ensemble c’est 2 4- (4), ça faisait 6, etc. — Alors ? — Peut-être vous avez les sous-ensembles dans la tête et vous avez eu les mêmes idées de chiffres que moi. »

En ce qui concerne le champignon, ces sujets ont clairement conscience de l’ordre nécessaire à la construction, ainsi que de l’inversion de sens qui intervient lors de sa démolition ; les morceaux sont alors « placés à l’envers » comme dit Eli, mais cela sans admettre pour autant que les ordres direct et inverse aient une parenté opératoire : ils ne se ressemblent pas, dit Eli, ou « pas tellement » (Set), ce qui revient sans doute à dire qu’il n’y a pas encore réversibilité, au sens d’une identité entre l’ordre A -> X et l’ordre X -> A, à la direction près ; ces réactions demeurent donc au niveau de la « renversabilité ». Quant à la comparaison avec l’absence d’ordre obligé lors de la construction du cube, elle est immédiatement correcte.

Or, le fait frappant, sur le terrain de l’addition numérique des carrés, est que les sujets ne voient pas la possibilité, après avoir passé de n à n’ par l’intermédiaire de quelques opérations, de revenir de n’ à n, en renversant le sens des additions, ni même en se référant au chemin parcouru et ce point est essentiel. Le sujet San, le plus proche du recours à ce trajet, n’y trouve pas un appui indispensable ni même utile (bien que les opérations 4~ 2, etc., aient été explicitées verbalement une à une, seul le nombre initial n demeurant à trouver), mais n’y voit qu’une pure coïncidence : « peut-être vous avez eu les mêmes idées de chiffres que moi ». Un caractère remarquable de ces réponses est, en particulier, que pour revenir de n’ àn ces sujets ne croient pas, sauf San (qui se rapproche donc du niveau IIA) qu’il soit nécessaire de connaître ce nombre terminal n’ : Eli, tout en notant « vous saviez que j’en avais 19 (en tout) », suppose que cela n’a servi à rien. Set, qui concède « ça peut servir » n’attribue la découverte de n qu’à la chance : « Vous avez deviné. » C’est cette dernière réponse qui correspond en fait à la croyance générale, y compris chez San. Même lorsqu’on [p. 50] montre au sujet le détail des opérations inverses, cela ne sert à rien : Eli, constatant qu’on enlève 5 là où on a ajouté -j- 5, arrive alors à imiter l’opération finale (« comme vous avez ajouté 3, on les retire »), mais quand on lui demande pourquoi soustraire ces 3 carrés elle avoue « je ne sais pas trop ». Lar ne voit que de la chance dans la réussite de ces inversions et nie que cela l’instruise sur la méthode adoptée en réalité.

En un mot ni l’inversion des opérations, ni la connaissance de n¹, ni même le rappel du chemin parcouru de n à n’ ne sont invoqués par les sujets pour comprendre comment on peut retrouver n : de leur point de vue il n’y a encore aucun rapport entre une succession ordonnée d’actions (champignon) et une suite d’opérations additives, lorsqu’on ajoute les uns aux autres des nombres (même incarnés en des carrés) et non pas des objets individuels. La raison en est sans doute précisément que ces carrés dénombrés constituent des collections quantifiées sans cesse modifiées par des opérations et non pas des unités qualitatives qui demeurent stables une fois posées ou ajoutées : or, malgré leur langage scolaire d’« ensembles » et même « sous- ensembles » (San), ils n’en sont pas à un niveau de quantification opératoire.

Les sujets de 7 ;6 à 8 et 9 ans comprennent par contre la nécessité, pour retrouver n, de partir de n’, et de procéder par opérations inverses ; mais ils ne voient pas encore ou pas d’emblée que celles-ci ne sont pas commutatives, autrement dit qu’il faut conserver l’ordre en le renversant :

Mar (7 ;6) débute en doutant qu’on puisse retrouver n : « Non… (ou bien) vous me dites un nombre et ce peut être juste (par chance). » Mais quand on lui indique 24 après qu’il ait annoncé 59 (n en chiffres sans les cartes), il comprend d’emblée : « Ça m’a aidé que tu dises 59 ? — Oui. —  Comment ? — Vous avez fait dans le sens contraire. » Il reprend alors sa feuille et fait en regard de ses calculs les opérations inverses, ce qui revient à conserver l’ordre sans intention. Mais l’inversion est bien comprise : « une addition c’est le contraire d’une soustraction ».

Jéa (8 ;2) : « Tu crois que je peux connaître le nombre que tu as mis dans un cercle ? — Oui. — Comment ? — Chaque fois en enlevant le nombre que j’ai trouvé. » Mais pour reconstituer le chemin suivi (qui était de 27 à 65) il indique 65 — 30 = 35 ; 35 — 3 = 32 et 32 — 5 = 27, ce qui aboutit donc à 27 mais seulement du fait que Jéa enlève 30 à 65 et non pas à 60 (et ne [p. 51] divise pas 65 par 2). Pour le champignon, qu’il appelle une lampe, Jéa indique l’ordre nécessaire de la construction, et tout autant celui de la démolition, en montrant les morceaux un à un du haut vers le bas : « Ça se ressemble de construire et de défaire la lampe ? — Oui, parce que c’est rangé pareil. » « Pour la construire et pour la défaire il y a plusieurs façons ? — Il n’y en a qu’une. —  Ça se ressemble ? — Oui. » Par contre la différence avec les cubes est qu’« on peut les ranger n’importe comment ».

Tié (8 ;4) pour le calcul effectue correctement les soustractions : « Ça se ressemble ajouter et soustraire ? — Ouï, c’est moins et plus : moins c’est ce qu’on enlève et plus c’est ce qu’on rajoute. » Il a donc la conscience de l’identité de l’opération malgré l’inversion de la direction. Pour les cubes et les champignons : « C’est pareil ou différent ? — Différent, le champignon il faut le mettre en longueur… il faut que ce soit rangé par ordre, le cube non. »

Bnu (8 ;7) de même, après avoir hésité sur la possibilité de retrouver n, comprend d’emblée que la réussite est due à l’inversion. Pour (26 + 3) X 2 + 5 = 63, il dit ainsi : « A 63 vous avez enlevé… on dit 63 et en enlevant les nombres on peut tomber sur 26. » Mais sa reconstitution suit l’ordre direct : — 5, : 2 et — 5, ce qui ne conduit pas à 26. Lorsqu’on lui montre comment on a fait, il voit alors l’analogie avec le champignon, sauf qu’« au lieu de mettre des rouleaux on met des multiplications et des additions » et il conclut alors, quant à la succession ordonnée des opérations : « Je crois qu’il n’y en a qu’une. » Lors d’une nouvelle épreuve, il inverse en effet correctement l’ordre.

Gou (8 ;6) pense qu’on peut retrouver n, mais ne sait pas comment : « Ça m’a servi que tu me dises 39 (= n) 1 — Oui, parce que vous avez multiplié et additionné (donc refait le chemin). — Comment ? — Vous avez enlevé. » Il essaie alors la reconstitution mais sans suivre l’ordre.

Gol (8 ;0) par contre suit le bon ordre dès le début : « Il faut mettre les opérations dans l’ordre ou pas ? — Je crois, je ne suis pas sûre. » En comparant ses opérations à celles de l’expérimentateur (écrites également sur une feuille), elle dit : « Vous avez commencé par la fin et fini par le début », mais elle pense néanmoins qu’on aurait pu commencer par — 3 et finir par — 5 (n était de 22 et n’ de 55). Elle essaie et conclut : « Non, on est obligé défaire comme ça (ordre inverse). » « Une soustraction — 2 et une addition + 2 ça se ressemble ? — Un peu, mais à « moins » il faut enlever et à « plus » il faut en mettre : c’est le contraire. » De même pour construire le champignon il n’y a qu’« un seul » ordre possible, et pour le défaire, « c’est l’inverse ».

Lau (8 ;3) : « Comment j’ai pu trouver ? — Parce que je vous ai dit 107 (= n’). Vous marquez les nombres qu’il vous faut pour faire 107. » Il semble ainsi ne pas prendre conscience de l’inversion, mais en fait il ajoute : « Vous avez fait comme ça » en suivant sur sa feuille d’opérations les résultats de bas en haut, donc l’ordre inverse conduisant de la fin au début. « On peut les faire dans n’importe quel ordre ? — Je ne sais pas. » Il ne voit alors pas d’analogie avec le problème du champignon où « l’important »? — C’est de mettre en ordre ».

[p. 52]Luc (9 ;6) pense que pour retrouver n « les additions que vous m’avez données, vous les calculez jusqu’à (n ) ». « Tu crois que j’ai fait comme toi ? — Oui, mais seulement à l’envers. » En fait, pour le montrer, il ne suit pas l’ordre et débute par « la moitié de 55 (= n’) ». « Il y a plusieurs façons de faire ou une seule ; — Je crois qu’il n’y en a qu’une. — Sûr ? — On peut commencer par la division ou par la soustraction » mais « il faut faire deux soustractions ». Par contre, lors de la comparaison du champignon et des calculs il est plus hésitant : « Pour les nombres on peut faire les opérations dans n’importe quel ordre ? — Dans le même ordre. — Sûr ? — Je ne sais. — Et pour la lampe ? — Oui. »

Il est frappant de constater que l’inversion des opérations, si nette chez tous ces sujets, n’est ainsi comprise qu’avec les débuts du stade II, à cet âge de 7-8 ans toujours retrouvé pour ce qui est de la découverte de la réversibilité. En effet, à comparer ces réactions à celles, purement négatives à cet égard, du niveau IB, on note l’unanimité des déclarations : « Vous avez fait dans le sens contraire » (Mar à 7 ;6), « Vous avez enlevé » (Bru, Gou), « Vous avez commencé par la fin et fini par le début » (Gol, de même que Lau en fait mais sans le dire), Vous avez calculé « à l’envers » (Luc), etc. Aussi bien, chacun de ces sujets considère-t-il comme nécessaire de connaître le nombre terminal n’ pour retrouver n et après les hésitations initiales chacun reconnaît que l’on peut reconstituer déductivement ce nombre de départ n, et cela bien qu’il s’agisse de nombres sans objets et non plus de carrés.

Mais il reste à expliquer la formation de cette réversibilité ainsi que les lacunes de ce niveau IIA en ce qui concerne l’ordre nécessaire des opérations inverses. On répondra peut-être, pour le premier de ces problèmes, que tout cela n’est affaire que de connaissances scolaires : ayant appris les additions ainsi que les soustractions, ces sujets seraient donc instruits par l’enseignement seul du fait que les secondes sont « le contraire » des premières comme le dit déjà explicitement Mar. Seulement les enfants du niveau IB peuvent eux aussi compter « faire des ensembles » et Eli à 6 ;6 sait parfaitement parler d’« ajouter » et « retirer ». Si la formation scolaire joue un rôle incontestable, il y a donc d’autres facteurs en jeu et le problème capital est d’expliquer pourquoi, lorsqu’il s’agit de retrouver n à partir de n’ les sujets du sous-stade IB ne pensent pas au chemin parcouru de n à n’, tandis que ceux du sous-stade IIA s’en occupent immédiatement comme de la chose essentielle.

[p. 53] Or il y a à cela une raison fondamentale intéressant de près l’abstraction réfléchissante. Toute action, et a fortiori toute succession d’actions s’éloigne, en effet, de son point de départ par le fait même qu’elle se rapproche de son point d’arrivée. Or, la prise de conscience initiale des conduites étant centrée sur leurs buts ou résultats, et le caractère général des représentations élémentaires étant d’insister sur les aspects positifs des objets et événements et de négliger leurs aspects négatifs (x « n’est pas » a, b, etc.), il va de soi que l’abstraction porte d’abord sur la terminaison des séquences et non pas sur leur point d’origine ou leur déroulement. Au point de vue spatial, cela est si vrai que jusqu’à 8-9 ans la longueur des chemins est évaluée par l’ordre des points d’arrivée (convergences ou dépassements) sans s’occuper des points de départ. Dans le présent cas des opérations conduisant de n à n’, les sujets du niveau IB ne pensent qu’aux (pré) opérations directes d’« ajouter » de proche en proche, mais en oubliant ce qui précède et sans la conscience d’une coordination, donc d’un chemin parcouru à partir de n. Il faut donc, malgré les apparences, une réelle abstraction réfléchissante et plus difficile qu’on ne pourrait le croire pour concevoir n’ comme relié à n par un trajet opératoire d’ensemble. Celui-ci est aisé à atteindre dans le cas du champignon, où le système forme un tout perceptif qui commande la superposition des morceaux, ceux-ci demeurant inchangés, mais lorsqu’il s’agit de collections (de carrés ou de simples unités) et de leurs transformations successives (n 4- 3…, etc. -> n’), il ne suffit pas de considérer les observables pour aboutir à la notion d’un chemin total consistant en coordinations, d’où la nécessité d’une abstraction réfléchissante.

Cela étant, il en résulte d’abord la compréhension du lien entre n et n’, d’où l’obligation de connaître n’. Puis vient fréquemment l’idée initiale que l’expérimentateur a simplement procédé comme le sujet : « Vous avez multiplié et additionné » (Gou), « Vous marquez les nombres qu’il vous faut pour faire n’ » (Lau), « Les additions, vous les calculez jusqu’à n’ » (Luc à encore 9 ;6). Mais comme le chemin opératoire forme désormais un tout reposant sur la compensation de ses aspects positifs et négatifs (se rapprocher du terme = s’éloigner du point de départ), il est alors aisé de compléter cette première abstraction réfléchissante par une seconde très proche : « Vous avez commencé [p. 54] par la fin et fini par le début » (Gol) ou : « Vous avez fait comme moi » mais seulement à l’envers (Luc). D’où enfin l’abstraction de l’opération inverse sous une forme plus générale : « Vous avez enlevé » (Jéa, Bru, etc.) ou « Vous avez fait dans le sens contraire » (Mar).

Mais pourquoi alors les difficultés à comprendre que l’ordre est nécessaire simplement du fait qu’au niveau IIA l’addition est déjà comprise comme commutative mais que, comme nous l’avons vu au chapitre II, la multiplication est une composition opératoire plus difficile à saisir étant déjà une opération de rang supérieur effectuée sur les opérations additives élémentaires. De plus la seule multiplication invoquée ici étant une duplication, le sujet n’a pas le sentiment de sortir du domaine des additions puisque 2x = x + x.

Le niveau IIB est caractérisé par la compréhension d’un ordre nécessaire, mais sans encore que le sujet soit certain d’avance de la possibilité de retrouver n, autrement dit comme au niveau IIA sans encore anticiper déductivement ce chemin de n’ à n, pourtant immédiatement compris par reconstitution inférentielle dès le premier essai :

Sta (8 ;6) passe de 12 à 35 : « Tu crois que je peux connaître le nombre que tu as mis dans un cercle ? — Oui. — Comment ? — Vous devinez. —  Mais pour trouver à coup sûr ? — Je ne sais pas. — Regarde (12). Comment j’ai fait ? — 35 — 5 = 30 ; 30 : 2 = 15 ; 15 — 3 = 12 : il faut faire deux soustractions et une division. — On peut commencer par n’importe quelle opération ? — Non, il faut commencer par la soustraction (de 5) puis la division, sans ça ça n’irait pas. » Et encore : « Il n’y a qu’un ordre… pour construire le champignon il fallait le mettre en ordre et pour trouver 12 il fallait mettre les chiffres en ordre, non, les nombres. »

Fra (9 ;1) : « Tu crois que je peux retrouver n ? — Non. — Aucun moyen ? — Non. —  C’est 72 ? — Oui. — Comment j’ai fait ? — Une division. Vous avez fait 155 — 5 = 150 puis 150 : 2 = 75 et 75 vous avez enlevé 3 et avez trouvé 72. —  Je pourrais commencer par n’importe quelle opération ? — Moi je ne crois pas, parce que si vous aviez fait 155 — 3 = 152, divisé par 2 ça fait 76, moins 5 = 71 ! Vous avez dû faire dans le bon ordre… Il faut les mettre dans l’ordre inverse qu’on avait fait et faire le contraire des opérations. » Il dit ensuite que cela ne ressemble pas au problème du champignon parce que « j’aurais pu mettre sur le champignon le nombre (de morceaux) que je veux » mais quand même « ça se ressemble parce que pour trouver comment je fais l’ordre du champignon vous avez dû (le défaire) dans l’autre ordre… mais là [p. 55] (calcul) vous avez inventé les opérations et pour le champignon vous avez (seulement) inversé l’ordre des morceaux ». Pour le cube, il n’y a pas d’ordre nécessaire « parce que toutes les formes sont pareilles ». On le remplace par un quadrillage muni de nombres et on demande si l’on peut changer l’ordre pour passer de 40 à 32 : « On peut peut être car c’est toujours des additions. Les divisions et multiplications il faut faire le contraire (= suivre l’ordre inverse) et ici il n’y a pas de divisions (mêlées aux soustractions). »

On voit que dès ce niveau IIB tout est compris, mais le fait curieux est que cette compréhension, qui est immédiate dès le premier essai, ne s’accompagne pas encore d’une prévision de la méthode à suivre ni même de la possibilité de retrouver n. Nous n’y voyons qu’une explication : c’est que l’abstraction réfléchissante décrite au § 2 pour rendre compte de la formation des inversions opératoires nécessite encore, au niveau des opérations « concrètes », une abstraction pseudoempirique, c’est-à-dire la réflexion sur des objets réels ou sur un exemple particulier qui, quoique entièrement construit par des opérations d’un sujet, donne lieu à des constatations comme s’il s’agissait d’une lecture physique. Dans le présent cas, l’enfant doutant d’abord qu’on puisse retrouver n faute de l’avoir fait lui-même, a besoin de constater qu’il y a eu réussite pour reconstituer le processus, bien que cette reconstitution ne lui pose plus aucun problème ; mais, n’étant point encore parvenu au niveau des opérations hypothético-déductives, il ne pouvait pas l’expliciter dans l’abstrait en tant que simplement « possible » avant de vérifier par les faits qu’elle pouvait être réelle. Il y a donc là un joli exemple, non seulement des différences entre les opérations « concrètes » et formelles, mais encore de la manière dont les constructions d’un niveau donné consistent à actualiser ou réaliser les possibilités nouvelles ouvertes par les élaborations du niveau précédent : en effet, dès le stade III il y a anticipation de la reconstitution déductive de n et non plus seulement reconstitution après constatation de la réussite :

Eri (10 ;6) est encore intermédiaire entre les niveaux IIB et III : « Tu crois qu’on peut retrouver ni — Oui, en faisant l’inverse : soustraire, diviser, soustraire », et il montre correctement les calculs, mais il n’est pas encore certain que cela soit toujours le cas : « Quelques fois oui, quelques fois non. — Et on peut changer l’ordre des opérations ? — Non, celle du milieu est différente des deux autres. »

[p. 56]Bar (11 ;1). « On peut retrouver ni — Non, oui, oui ! En refaisant les opérations inverses. » Après hésitations sur l’ordre. Bar le reconnaît nécessaire : « C’est comme un compte à rebours » ; et, dans la comparaison avec le champignon : « Oui, c’est pareil, il n’y a pas deux manières de le construire et à trouver 42 à partir de 95 », tandis que dans le cas du cube et des seules additions : « On arrive au même résultat dans l’ordre que dans le désordre. »

Lorsqu’on présente à ces sujets (comme d’ailleurs dès le niveau IIB) des suites d’opérations, soit purement additives, soit hétérogènes, ils distinguent d’emblée celles dont l’inversion conserve l’ordre « comme un compte à rebours » et les autres. Les modèles inventés par les sujets ne nous apprennent rien de plus.

Les faits qui précèdent nous mettent en présence d’une série ininterrompue d’abstractions, dont on peut distinguer les formes suivantes :

1) Il y a d’abord l’abstraction de l’ordre, dans le montage du champignon, non encore atteinte au niveau IA, où le sujet se contente d’empilements quelconques sans correspondance entre les surfaces de section des morceaux. Cette considération des contacts et leur vérification relèvent naturellement d’abstractions empiriques, mais subordonnées à un plan d’ensemble de sériation par superpositions, qui exige une coordination des actions. C’est de cette coordination d’actions à la fois successives et interdépendantes qu’est ensuite abstraite la notion d’un ordre nécessaire s’imposant dès le niveau IB pour ce qui est du champignon. Mais cette abstraction « réfléchissante » n’est alors accessible que grâce à une facilitation qui explique sa précocité dans le cas particulier : c’est de pouvoir constater par une abstraction « pseudo-empirique » l’ordre introduit au sein des parties du champignon par l’action ordinatrice, autrement dit de « lire » sur les objets le résultat de l’enchaînement sérial, ce qui est bien plus aisé que de prendre conscience des étapes successives et des exigences de ce processus en tant que tel. En effet, le champignon étant un objet de forme totale connue, dressé verticalement et dont les morceaux demeurent immobiles, la lecture pseudo-empirique de l’ordre est fournie percepti- vement de la façon la plus simple par opposition d’une succession de mouvements ou d’opérations dont la structure d’ensemble [p. 57] exige une reconstitution pour être reconnue. Cette union des abstractions réfléchissante et pseudo-empirique rend alors immédiate une abstraction « réfléchie » se traduisant par une bonne description consciente et verbale de l’ordre et surtout par la compréhension et l’énoncé explicite de son caractère obligé.

2) Un second complexe d’abstractions semblable au précédent intervient lors de la démolition du champignon et de la prise de conscience de l’ordre nécessairement suivi lors de ce démembrement. Inutile d’y revenir, les diverses phases précédentes se retrouvant ici.

3) Par contre, la comparaison des ordres direct et inverse, autrement dit l’abstraction « réfléchie » de la renversabilité, soulève un problème, car une action renversée n’est pas, comme l’est une opération inverse, la même opération que la transformation directe mais en sens opposé : c’est une autre action qualitativement différente, telle que se déshabiller par rapport à s’habiller ; or, à ce plan des habitudes, on sait assez que la capacité d’écrire de gauche à droite n’entraîne pas sans plus celle de faire le contraire. Il ne faut donc pas s’étonner qu’au niveau IB les sujets ne voient pas de ressemblance entre les deux ordres de succession, même si comme Eli, il dit que les morceaux démolis sont « placés à l’envers », tandis qu’au niveau IIA les sujets indiquent la correspondance (voir Jéa au § 2), même quand ils disent que ce n’est pas pareil (au sens alors de non identique) parce que « c’est le contraire ». L’essentiel est que la symétrie affirmée entre les opérations directes et inverses devient au niveau IIA un médiateur positif et non plus un argument d’hétérogénéité. — Or, cette comparaison ainsi réussie au niveau IIA constitue une abstraction réfléchie de second degré, ou réflexion sur les réflexions de formes 1 et 2. Il est intéressant de noter que quand nous étudierons l’abstraction de l’ordre à partir d’actions plus simples, comme d’habiller ou déshabiller une poupée et faire ou défaire une tour (chap. X, sect. II), ce n’est qu’à partir du niveau IIA également que la structure commune de « faire » et « défaire » est dégagée.

4) Une abstraction instructive est celle de l’absence d’ordre dans la construction du gros cube, qui n’est naturellement pas atteinte au niveau IA puisque le montage du champignon [p. 58] n’est pas encore réussi, mais qui est explicitée très clairement dès le niveau IB : « On n’a qu’à empiler » les petits cubes n’importe comment pense Eli, et « Il y a plusieurs manières » d’y arriver, précise Set. En extension il y aurait donc là trois classes : B celle des constructions par actions successives, A avec ordre nécessaire et A’ (= B — A) sans ordre nécessaire. Mais au niveau IB le sujet évite ces négations et utilise le langage des différences en compréhension : « faire attention à l’ordre » (A) ou « simplement empiler » (A’) ou encore « une seule manière (A) ou « plusieurs manières » (A’). En ce cas il suffit d’une abstraction réfléchissante assez élémentaire pour prendre conscience de la différence qualitative des actions et le traduire en abstraction réfléchie.

5) La comparaison entre les situations 1 et 2 (champignon) et ce cas 4 (construction du cube sans ordre nécessaire, pas plus que pour sa dislocation) soulève par contre une question intéressante que nous retrouvons souvent à propos du sous-stade IB. Lorsque nous demandons aux sujets de ce niveau de comparer deux sortes d’épreuves dont ils peuvent fort bien faire la description et même une certaine analyse des solutions trouvées en les considérant séparément, ils n’arrivent pas à les relier du point de vue de leurs formes communes ou en partie différentes : et cependant ils parviennent fréquemment à établir une correspondance détaillée entre les objets manipulés et même les actions exercées sur eux, mais, pour ce qui est de la comparaison comme telle, ils ne parlent plus que des contenus et ne dégagent pas les formes. Par exemple, Eli, lorsqu’il s’agit des facilités relatives, décrit très bien l’absence d’ordre pour les cubes, mais quand on lui demande ce qu’il y a de pareil ou de différent elle ne trouve à dire que « la fin (le haut) de la lampe, c’est pas carré ». Set est très conscient de la différence des ordres nécessaire ou arbitraire, mais, pour la question de la comparaison comme telle, il ne découvre comme différence que « ce n’est pas les mêmes choses » et que « les cubes sont plus légers ». Roi, à 7 ;0, invoque les différences de couleur et la présence d’un axe pour le champignon, Lar 7 ;0 dit qu’on ne peut pas faire de pyramide avec les cubes ; bref tous pensent alors aux contenus et négligent la forme des actions. Il y a donc là un problème, puisque sur le fond (ordre nécessaire ou arbitraire) ils ont des [p. 59] opinions très correctes : en fait ce que l’on demande avec la comparaison est une réflexion sur les réflexions, donc une abstraction réfléchie de niveau supérieur, d’où sa construction décalée jusqu’au niveau IIA. En effet, les réponses de ce niveau centrent immédiatement la comparaison sur la forme, donc sur la question de l’ordre, ce qui revient à dire qu’ils savent dégager par une nouvelle abstraction les relations structurales entre les abstractions 1 et 4.

6) Quant à l’abstraction du chemin parcouru par les calculs de n à n’ et de son importance pour retrouver n, elle est beaucoup plus complexe que celles de l’ordre 1 ou du manque d’ordre nécessaire 4 et se rapproche davantage des réflexions sur les réflexions intervenant dans les comparaisons 3 et 5. En effet, il s’agit d’abord pour le sujet de reconstituer l’ordre de ses propres actions, ce qui est une abstraction réfléchissante à partir de leur coordination et aboutissant à une abstraction réfléchie ³. En outre, sans connaître le trajet suivi par l’expérimentateur, il faut aussi comprendre qu’il y a une relation entre ces deux itinéraires, autrement dit qu’une comparaison est possible (sous sa forme la plus simple elle fait croire au sujet que les opérations du partenaire ont été les mêmes que les siennes) : il y a donc là une réflexion à la seconde puissance comme en 4 et 5, et se constituant d’ailleurs au même niveau IIA.

7) Mais il intervient davantage encore dans la découverte du fait que la connaissance du nombre terminal n’ est nécessaire pour retrouver le nombre initial n : il y a là en effet autre chose qu’une constatation, même pseudo-empirique et qu’une simple reconstitution, puisqu’il s’agit d’une inférence fondée sur une raison conçue comme nécessaire. Ce sur quoi porte alors l’abstraction n’est plus seulement la coordination des actions [p. 60] du sujet ni leur comparaison possible avec celles de l’expérimentateur, c’est l’idée plus générale qu’un chemin est toujours fonction à la fois de son point de départ et de son point d’arrivée. Or, on sait (par les expériences sur la conservation des longueurs, etc.) combien tardivement cette double condition est reconnue : il faut donc admettre que cette liaison entre n et n’ est le résultat d’une abstraction réfléchissante de rang encore supérieur, atteignant les raisons nécessaires (ce qui du reste se produit dès le niveau IIA pour des connexions logiques élémentaires comme la transitivité, etc.) et non pas seulement les processus.

8) L’abstraction du chemin parcouru et celle de la liaison entre n et n¹ conduisent alors à une nouvelle abstraction réfléchissante : celle de l’inversion de sens des opérations conduisant de n à n’ et de n’ à n, donc d’inversion des additions en soustractions, Or, il y a là une abstraction nouvelle et fondamentale, qui aboutit à réinventer (à chaque génération de sujets individuels) la réversibilité en tant, non plus qu’actions successives et différentes, mais qu’opérations identiques ou solidaires dont la direction seule les distingue : lorsque Tié (8 ;4, § 2) dit que l’addition et la soustraction se ressemblent parce que « c’est moins et plus : moins c’est ce qu’on enlève et plus c’est ce qu’on rajoute », il comprend de façon explicite que toutes deux reviennent identiquement à déplacer des unités, mais dans le sens -> A si on les joint à A et dans le sens contraire <- A si on les en sépare. Il y a donc là, en plus de l’abstraction réfléchissante conduisant à inverser les opérations de l’expérimentateur par rapport à celles du sujet, une abstraction réfléchie portant sur la comparaison de ces opérations de directions contraires sous leur forme générale.

9) Quant à l’abstraction de l’ordre nécessaire en une suite d’opérations mêlant une multiplication avec des additions, en opposition avec la commutativité des additions à elles seules, elle n’apparaît qu’au niveau IIB et encore en général (comme d’ailleurs chez les adultes non mathématiciens) sous la forme d’une abstraction pseudo-empirique, c’est-à-dire en se bornant d’abord à constater qu’il en est ainsi lorsqu’on s’essaie sur des exemples. Ce n’est que par une réflexion de rang supérieur que la raison en est (éventuellement) trouvée.

[p. 61] 10) Cette réflexion de niveau supérieur aboutit au stade III à un début de pensée réflexive qui permet au sujet de résoudre entièrement le problème (en ce qui concerne le chemin, l’inversion des opérations et celle de l’ordre comme tel) par voie exclusivement déductive, c’est-à-dire en anticipation et non pas seulement au vu des réussites de l’expérimentateur. Ce qui jusque-là n’était que reconstitutions successives donc rétroactives est ainsi coordonné en un système unique d’inférences proactives.

11) A ce même niveau III devient également possible la comparaison, par abstraction « réfléchie », de la construction du champignon et du calcul conduisant de n à n’ avec son ordre nécessaire (mais découvert seulement au niveau IIB) : « Oui, c’est pareil, dit ainsi Bru à ll ;0, il n’y a pas deux manières de construire le champignon et de trouver n à partir de n’ », et Ala : « Ça se ressemble pour le monter et pour le démonter ; pour le monter c’est le nombre n (qui correspond au premier morceau placé) et pour le démonter on part du nombre n’ comme de haut en bas (pour le champignon). »

12) Enfin c’est encore à ce niveau que paraît aisée la comparaison générale des trois épreuves précédentes, ainsi que des suites d’opérations quelconques, présentées au sujet : à des séries d’additions et soustractions à elles seules correspond alors la construction du cube, tandis qu’aux opérations hétérogènes correspond le montage du champignon. Il y a alors explication claire, par la pensée réflexive, des traits communs et des différences entre les deux types de structure.

On voit au total combien sont variées et de plus en plus complexes les diverses formes d’abstractions en jeu dans la solution de ces petits problèmes et cela montre une fois encore que l’abstraction réfléchissante n’est pas une entité statique, mais qu’elle évolue sans cesse, ainsi que ses sous-variétés pseudoempiriques et réfléchies.