Avant-propos de la troisième édition ^a

Comme le montrera cet ouvrage, il ne suffit nullement au jeune enfant de savoir compter verbalement « un, deux, trois, etc. », pour être en possession du nombre. Un sujet de 5 ans peut fort bien, par exemple, être capable de numéroter les éléments d’une rangée de 5 jetons et penser que si l’on répartit les 5 jetons en deux sous- ensembles de 2 et de 3 éléments, ces sous-collections n’équivalent pas en leur réunion à la collection totale initiale.

Le nombre est donc solidaire d’une structure opératoire d’ensemble, à défaut de laquelle il n’y a pas encore conservation des totalités numériques indépendamment de leur disposition flgurale. Telle est l’hypothèse dont nous sommes partis, et, si évident que cela puisse paraître, il faut d’abord insister sur le fait que, chez l’être humain, les nombres se construisent en fonction de leur suite naturelle, tandis que ce n’est pas le cas des correspondances figurales découvertes par O. Kœhler chez les perruches ou les choucas, qui peuvent apprendre à distinguer par exemple 5 éléments de 4 avant de savoir distinguer 4 de 3. En quoi consiste alors cette structure opératoire immanente à la série même des entiers 1, 2, 3… ? Le résultat principal auquel nous avons été conduits est que cette structure s’élabore par la synthèse, en un seul système, de deux structures plus simples, qui sont le « groupement » de l’inclusion des classes (A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C = D ; etc.) et celui de la sériation ou des relations d’ordre (A — A’ — B’ — C’ — , etc.). Il n’y a donc pas construction du nombre cardinal à part ni du nombre ordinal à part, mais tous deux se constituent de façon indissociable (dans le fini) à partir de la réunion des classes et des relations d’ordre. Et cette

synthèse d’éléments logiques est elle-même numérique car elle aboutit à des propriétés nouvelles, étrangères à celles des « groupements » de départ : la plus importante est la substitution de l’itération A + A = 2 A à la tautologie A + A — A.

Ces résultats ont donné lieu, depuis leur parution, à trois sortes de travaux, les uns tendant à fournir une élaboration logique ou formalisée de cette construction psychologique, les autres ajoutant de nouvelles expériences à celles dont nous nous étions contentés dans cet ouvrage, et les troisièmes reprenant nos expériences initiales mais en d’autres contrées de manière à vérifier leur bien-fondé et leur généralité.

Pour ce qui est de la structuration logique de la construction du nombre à partir des « groupements », nous en avons nous-même fourni les premiers linéaments, mais d’une manière intuitive et non pas formalisée (voir Classes, Relations et Nombres, Vrin 1942 et Traité de logique, Colin, 1950). Par contre J. B. Grize, dans le vol. XI des « Etudes d’épistémologie génétique » (Problèmes de la Construction du Nombre, Paris, P.U.F.) a mis au point une formalisation des « groupements » de classes et de relations asymétriques transitives, au moyen d’un système de postulats dont certains sont limitatifs et traduisent ainsi les conditions de leur fonctionnement dans la pensée réelle du sujet. Puis il a montré que leur fusion en un seul système, obtenue sitôt que l’on fait abstraction des qualités différentielles des éléments, a pour résultat de lever ces limitations et de constituer un système nouveau qui est précisément celui des nombres car ce système nouveau se conforme alors aux axiomes de Peano. De plus, Grize a montré que cette synthèse des inclusions et de l’ordre sérial intervenait en fait, mais sous une forme implicite dans toutes les axio- matiques du nombre entier, y compris celle de Whitehead et Russell (dans les Principia mathematica) : les résultats que nous avions obtenus consistent donc en fait à dégager de façon explicite un processus naturel auquel chacun fait plus ou moins appel sous des formes variées.

En second lieu, une série de recherches dues à P. Gréco, à A. Morf, à B. Matalon, à J. Wohlwill, à B. Inhelder et nous-même, ont paru dans les « Etudes d’épistémologie génétique » (Paris, P.U.F., vol. IX, XI, XIII et XVII) et ont enrichi de façon notable les expériences contenues dans le présent ouvrage. Sans entrer dans le détail de ces travaux multiples et pour la plupart très riches, relevons seulement

deux de leurs apports essentiels. L’un est que la synthèse de l’inclusion et de la sériation ne se constitue vers 7-8 ans, comme nous l’avions montré, que pour les premiers nombres naturels : par contre, elle ne se réalise que de façon très progressive pour le reste de la série. Comme l’a prouvé en particulier P. Gréco, en analysant la commutativité n+m=m+noula différence de 2 entre un nombre n et le successeur s de son successeur sn (soit s (sn) = n + 2), on assiste à une sorte d’arithmétisation très progressive de la série des nombres, par tranches d’environ 1-7 puis 8-15, puis 15-30, etc, les tranches non encore arithmétisées conservant longtemps leurs caractères de simples classes ou de simple ordre sérial tant que la synthèse n’est pas généralisée. Inversement, nous avons décrit, B. Inhelder et nous-même, une situation exceptionnelle dans laquelle des enfants de 5 ¹∕₂ ans déjà, en moyenne, parviennent à un raisonnement numérique et quasi récurrentiel par synthèse pour ainsi dire locale de l’inclusion et de l’ordre et cela sans atteindre encore la conservation du nombre dans les situations habituelles étudiées avec A. Szeminska dans le présent ouvrage : lorsque l’enfant met lui-même une perle dans un bocal A en même temps qu’une autre perle dans un bocal B et juge, après quelques répétitions de cet acte, que n A = n B, il parvient, en effet, dès 5 ¹∕₂ ans en moyenne, à anticiper (si l’on masque le contenu de l’un des bocaux) que cette égalité se vérifiera indéfiniment. « Si on sait une fois, on sait pour toujours » dit par exemple un garçon de 5 ans, car, en ce cas particulier, il y a itération non par des nombres comme tels, mais des actions constitutives elles-mêmes (ajouter en ordre de succession une unité de chaque côté à la fois), ce qui réalise localement une synthèse élémentaire de l’ordre et de l’inclusion.

En bref, ces divers travaux confirment bien l’existence d’une synthèse entre les emboîtements de classes et l’ordre sérial, mais montrent que cette synthèse n’est pas généralisée d’emblée à tous les nombres et demeure très progressive : un tel résultat est d’ailleurs de nature à vérifier qu’il s’agit bien d’un processus synthétique et constructif et non pas d’une création ex nihilo ou encore d’une transformation instantanée (comme l’eût été la simple correspondance bi- univoque entre classes invoquée par Whitehead et Russell).

Enfin un ensemble de travaux ont consisté à refaire nos anciennes expériences avec A. Szeminska, contenues en cet ouvrage, pour les préciser davantage ou les appliquer en d’autres régions et vérifier

leur généralité. Rappelons d’abord les standardisations auxquelles s’est livré Vinh Bang sous l’impulsion de B. Inhelder et qui ont porté entre autres sur la non-conservation et la conservation du nombre à l’occasion de deux rangées à mettre en correspondance optique (voir plus loin les chap. III-IV de cet ouvrage). Signalons, à propos de cette même expérience, que P. Gréco a distingué un quatrième stade s’intercalant entre les trois que nous avions décrits. Lorsque l’on présente 7 à 10 jetons bleus alignés (avec un court espace entre chacun et le suivant) et que l’on demande à l’enfant d’en mettre autant de rouges, les stades successifs sont alors les suivants : 1) l’enfant construit une rangée de même longueur, mais sans correspondance terme à terme ; 2) il parvient à une correspondance optique exacte, mais, si l’on espace un peu les éléments de l’une des rangées, l’enfant croit que la rangée plus longue acquiert de ce fait un nombre supérieur (8 au lieu de 7, etc.) ; 3) dans la même situation l’enfant pense que le nombre se conserve mais que la quantité augmente (conservation de la quotité mais non encore de la quantité, le nom numérique n’étant donc encore qu’un moyen d’individualiser les éléments, mais sans que la quantité totale soit conçue comme égale à la somme des parties) ; 4) dans la même situation il y a dorénavant conservation de la quantité comme de la quotité.

D’autres travaux ont repris dans un but de contrôle ou de critique les expériences décrites en cet ouvrage : en Hollande, L. N. H. Bunt (The development of ideas of number and quantity according to Piaget Groningen, Wolter 1951) ; en Grande-Bretagne, E. M. Churchill (Early number concepts : thèse de Leeds), A. Jones (An investigation based on the work of Jean Piaget into children’s concepts of provoked correspondance, Diss. Dpt. Psych. Univ. Birmingham, 1959), K. Lovell (The growth of basic mathematical a. scient, concepts in children, Univ. London Press 1961) ; J. B. Mannix (The number concept Brit. J. Educ. Ps, 1960). A. A. Williams (Number Readiness, Ed.-Rev. Univ. Birmingham, 1958) ; au Canada, P. C. Dodwell (Children’s understanding of number, Canad. J. Psych. 1960), M. Laurendeau et A. Pinard (non encore publié) ; aux U.S.A., D. Elkind (The development of quantitative thinkings, a systematic réplication of Piaget’s studies, J. Genet. Psych. 1961), B. M. Estes (Some mathematical and logical concepts in children, J. Gen. Psych. 1956), K. D. Feigenbaum (An evalution of Piaget’s Studies, Amer. Psych. Assoc. New-York, 1961), C. L. Shedd (An exploratory study of the concept of quantities, Educ. a Psych. 1958),

J. F. Wohlwill (A study of development of number concept, J. Genet. Psych. 1960), J. F. Wohlwill, R. C. Lowe, Conservation of number, child. Devel. 1962). En U.R.S.S., Kostiouk a refait nos expériences, mais sans toujours citer ses sources. D’autre part, J. M. Hyde (An investigation of Piaget’s théories of the development of the concept of number, thèse de Londres) a contrôlé nos stades sur des enfants arabes, indiens, somalis, et anglais et J. Goodnow sur des enfants chinois et anglais à Hong-Kong.

De même P. R. Price-Williams (Study confirming concepts of conservation of quantity among primitive children, Acta Psychol. 1961) a retrouvé chez les jeunes Boschimans l’essentiel de nos stades et à peu près aux mêmes âges qu’à Genève.

Notons enfin un certain nombre d’études sur les applications pédagogiques possibles de nos résultats : N. Isaacs (About « the child’s conception of Number » by J. Piaget, Nat. Froebel Found. 1955), E. M. Churchill (The number concepts of the young child, Leeds Univ. Res. a. Stud., 1958) et surtout l’intéressant ouvrage de E. A. Peel : The Pupil’s thinking, London (Oldbourne) 1960 ; etc.

Genève, mai 1964. Jean Piaget.