Chapitre V.
La sériation, la similitude qualitative et la correspondance ordinale ^{1 a} 🔗

— Soient dix poupées en bois, découpées dans une planche d’épaisseur constante, pouvant être disposées soit sur leurs pieds soit horizontalement, et graduées de telle sorte que chacune diffère sensiblement des plus voisines, la plus grande étant au moins deux fois plus longue que la plus petite. Soient d’autre part dix cannes, également graduées mais par progression moins rapide, et correspondant

ainsi à ces dix poupées. De plus, à titre de contrôle, nous disposons de dix balles de terre à modeler, de volumes nettement gradués aussi, et figurant des sacs de montagne en relation avec la taille des bonshommes de bois.

La première question consiste à trouver la correspondance entre les poupées et les cannes ou les sacs, lorsque les diverses collections sont en désordre. On raconte à l’enfant quelque chose comme une histoire de promenade, motivant la correspondance mais sans faire appel explicitement à la taille : « Arrange les bonshommes et les cannes pour que les bonshommes puissent vite trouver chacun sa canne. » On insiste naturellement jusqu’à ce que l’enfant ait compris le principe de la correspondance sériale.

Une fois les deux rangées construites en correspondance l’une avec l’autre, on les transforme sous les yeux de l’enfant de la manière suivante : tout en laissant les deux rangées parallèles, on rapproche les poupées les unes des autres, en espaçant les balles ou les cannes, de telle sorte que les termes correspondants de la série des poupées et de celle des cannes ne se trouvent plus en regard les uns des autres. On demande alors, en posant le doigt sur une poupée quelconque : « Avec quelle canne se promène cette poupée ? » On pose ces questions soit en prenant les poupées et les cannes dans leur ordre successif, soit en sautant d’un objet à l’autre, et cela en suivant les réponses de l’enfant.

Troisième question : après avoir fait quelques exercices de ce genre, on inverse (on retourne sur elle-même) l’une des deux rangées, par exemple celle des cannes, de telle sorte que, tout en demeurant parallèles l’une à l’autre, le plus petit terme de l’une est en regard du plus grand terme de l’autre et réciproquement. On pose alors les mêmes questions que lors de la précédente question.

Quatrième question : On bouscule les termes de l’une des rangées, tandis que l’autre demeure bien sériée, ou (selon le niveau de l’enfant) l’on dérange les deux séries à la fois, et l’on demande au sujet de retrouver quelle balle ou quelle canne correspond à l’une des poupées, ou l’inverse.

On peut enfin préciser le niveau de compréhension de l’enfant sous la forme d’une cinquième question : nous mélangeons les éléments des deux rangées, puis nous désignons une certaine poupée (par exemple la 6^e) en disant « Maintenant les poupées iront se promener, mais pas toutes, seulement celles qui sont plus grandes (ou

plus petites) que celle-là. Alors trouve les cannes des poupées qui partent et les cannes qui restent à la maison ».

Ces cinq questions, qu’il est utile de distinguer au cours de l’interrogatoire, se laissent réduire à trois problèmes quant à la systématisation des résultats obtenus : celui de la construction de la correspondance sériale ou similitude (question 1), celui de la détermination de la correspondance sériale lorsqu’elle n’est plus directement perçue et par conséquent du passage à la correspondance ordinale (questions 2 et 3) et celui de la reconstitution de la correspondance ordinale lorsque les séries intuitives sont brisées (questions 4 et 5). Or la solution de chacun de ces problèmes passe par trois stades, à peu près synchroniques et qui, chose intéressante, synchronisent également avec les stades de la correspondance cardinale et avec ceux que nous établirons, au cours du chapitre suivant, quant aux relations de l’ordination et de la cardination.

La construction de la correspondance sériale passe, en effet, par trois étapes : comparaison globale sans sériation exacte ni correspondance terme à terme spontanée, puis sériation et correspondance progressives et intuitives et enfin sériation et correspondance immédiates et opératoires.

Quant à la détermination de la correspondance, lorsque l’on déplace quelque peu les séries intuitives (questions 2 et 3), on trouve également trois stades, qui concordent avec les précédents. Durant un premier stade l’enfant ne retrouve pas la correspondance entre une poupée déterminée et sa canne ou sa balle, dès que les deux termes ne sont plus en regard l’un de l’autre. Durant un second stade, ou bien l’enfant essaie de compter, ou bien il a recours à une nouvelle correspondance terme à terme, facilitée par la disposition semi- intuitive des rangées à comparer, mais, dans les deux cas, il commet diverses erreurs systématiques dont la plus notable est la confusion du rang cherché et de celui du terme précédent. Durant un troisième stade, enfin, l’enfant trouve la correspondance en combinant les notions ordinales et les notions cardinales.

Pour ce qui est, enfin, de la reconstitution de la correspondance lorsque l’une des deux rangées ou que les deux rangées sont défaites (questions 4 et 5), on trouve également trois stades, qui complètent notre connaissance des précédents. Durant le premier stade, l’enfant n’est pas capable de reconstruire de lui-même la ou les séries, et il décide de la correspondance à vue et arbitrairement. Durant un sec< nd

stade, l’enfant compte mais sans tenir compte de l’ordre, ou bien il confond le rang recherché avec celui du terme précédent. Enfin, durant un troisième stade, l’enfant parvient à trouver la correspondance correcte en coordonnant la sériation avec la cardination.

Etant donnée la complexité des faits à analyser, il vaut la peine d’étudier à part chacun de ces trois problèmes, au lieu de procéder par stades généraux, l’unité de ceux-ci ressortant suffisamment du tableau d’ensemble que nous venons d’esquisser.

— L’un des problèmes les plus intéressants que soulève la construction de la correspondance sériale est sans doute le suivant : est-il plus facile pour le sujet de construire une seule série d’objets, rangés par exemple, comme dans le présent cas, selon l’ordre croissant de leurs tailles, ou de construire deux séries correspondantes, chaque objet de la première série étant ainsi conçu en relation non seulement avec les éléments plus grands et plus petits de sa propre série, mais encore avec tous les objets de la série parallèle ? On pourrait penser qu’il est plus simple de construire une seule série, sans correspondance extérieure, puisqu’une série suppose déjà une multitude de rapports additionnés, qui doublent ainsi de complexité dans le cas de deux séries parallèles si vraiment la correspondance résulte d’une multiplication logique et non pas seulement d’une composition additive. Mais, d’autre part, on pourrait également supposer, et cela par comparaison avec la correspondance cardinale, que toute mise en correspondance constitue un moyen d’analyse pour le sujet, et qu’ainsi construire deux séries « semblables » peut être plus simple psychologiquement que d’en construire une seule.

La réponse, très instructive, que les faits ont donnée à cet égard, est que de construire une seule série ou de mettre deux séries en correspondance terme à terme revient exactement au même, la coordination des rapports exigée par une seule série étant d’un ordre de difficulté égal à celui dont relève la correspondance elle- même. Les exemples que nous allons citer montrent, en effet, qu’au niveau auquel l’enfant ne parvient pas à mettre les poupées et les balles en correspondance il ne peut pas non plus les sérier correctement en séries isolées, et que sitôt que la sériation est possible, la correspondance l’est aussi.

Voici d’abord des exemples d’un premier stade dans lequel on n’observe ni sériation ni correspondance spontanées :

Gui (4 ; 6) commence par arranger de lui-même les poupées dans l’ordre suivant : 2, 7, 1, 6, 9, 5, 8, 3, 4, 10. « Tu peux les mettre en rang, d’abord la toute grande, puis celle qui est un peu plus petite, puis plus petite, plus petite, jusqu’à la toute petite ? — Oui (il arrange 7, 6, 1, 10, 2, 9, 8, 4, 5). — Quelle balle aura cette poupée-là (10) ? — Celle-là (10). — Bien, et celle-ci (1) ? — Celle-là (1). — Bien. Alors tu peux mettre les poupées en rang, pour qu’on puisse après facilement trouver leurs balles ? Mets ici la toute petite, puis plus grande, plus grande, jusqu’à la toute grande. — (Il met 1, 3, 2, 4, 5, 6, 10, 9, et laisse 8 et 7 à part, qu’il veut ensuite intercaler entre 5 et 6. »

Nous lui aidons alors à faire la série correcte, en défaisant le tout et en discutant bonhomme après bonhomme jusqu’à la réussite. « Maintenant, tu vas donner les balles. Il faut donner les petites aux petits et les plus grandes aux plus grands, comme ça jusqu’à la fin. Quelles balles tu donneras à ceux-là (1 et 10)? — Celles-là (1 et 10). — Juste. Alors, vas-y. — (Il met alors en regard de la série correcte 1-10 des poupées, la rangée suivante de balles, chacune étant en regard d’une poupée : 1, 5, 6, 7, 8, 9, 4, 3, 2,10). — Mais ces bonhommes vont pleurer, parce qu’on leur a donné de trop petites balles ? — (Il enlève d’un coup les balles 4, 3 et 2 et essaie de les intercaler, mais il déplace les premières balles, qu’il replace alors dans l’ordre : 1, 3, 4, 2, 5…) — Il y a la même chose de poupées et de balles ? — Oui. —   Combien de balles ? — (Il compte) 10. —   Et de poupées ? — (Il doit à nouveau compter !) 10*

Val (5 ; 6) : « Montre la canne de cette poupée (P 10)¹. — (Il montre C 10.) — Et pour celle-là (P 1) ? — (Montre Cl.) — Bien. Et pour les autres poupées ? — … — Arrange les poupées. — (7, 9, 6, 5, 2, 3, 1, 10, 8, 4.) — Quelle canne ira avec celle-là (P 8) ? — Celle-là (C 6). — Et pour P 4 ? — (Montre C 4.) — Pour bien trouver, comment faut-il arranger ? — … — Arrange les poupées : la toute grande ici, puis celle qui est un peu plus petite, plus petite et comme ça jusqu’à la toute petite. — (10, 9, 7, 4, 6 puis 10, 9, 6, 7, 4, 8, 5, 2, 3, 1.) — Essaie de mettre la toute grande, tu vois (10) c’est juste, puis celle qui est un peu plus petite, tu vois (9), c’est aussi juste, puis un peu plus petite, là (7) est-ce que c’est juste ? etc. — (Val parvient ainsi à 10, 9, 8, 7, 6, 5. Mais pour le reste, il fait 3, 1, 2, 4, puis 4, 1, 2, 3, puis 4, 2, 3, 1. — C’est juste ça (2, 3)? — Non (il corrige). — Maintenant montre pour chaque poupée sa canne. — (Il met 9, 10, 8, 7, 4. — C’est juste ? — (Change 9 et 10.) — Et ça (4)? — (Intercale 5.) — … etc. »

Clan (5 ; 8) essaie de faire la correspondance sans sériation préalable de l’une des rangées seules : P 6 pour B 10 et P 1 pour B 1. « Où est la plus grande poupée ? — (Met P 9 et B 10, puis P 3 avec B 4, P 2 avec B 2, corrige B 10 et P 10 et B 9 avec P 9 ; P 4 avec B 6 ; etc.) — Comment faire pour savoir si chacune a sa balle ? — (Il change un peu mais sans sérier.) — Et si tu mettais le tout grand, puis plus petit, etc. — (Clan cherche alors à sérier, mais avec les mêmes difficultés que les précédents sujets.) »

Ros (5 ; 6) après avoir passé par les mêmes difficultés pour sérier les poupées, met B 1 en face de P 1, puis B 3 avec P 2, B 4 avec P 3, B 8 puis B 6 avec P 4, B 8 avec P 5 et B 9 avec P 6. Il prend ensuite B 5 et dit « Je ne sais pas où il doit aller •. Il enlève B 4 et met B 5 à sa place avec P 3. Inspectant alors l’ensemble de la rangée, il n’est pas satisfait, enlève toutes les balles, puis met sous P 10-1 la rangée : B 10, — 9, 7, — , 8, 6, 5, 4, 1, les deux balles 2 et 3 restant sans emploi et les poupées 9 et 6 sans balles.

¹ P = poupée ; C = canne ; B = balle.

Il est clair que pour résoudre ce problème de correspondance, trois méthodes et trois seules sont possibles. La première consiste à sérier les poupées, puis à sérier à part les balles ou les cannes dans le même ordre et à mettre enfin chaque terme de la première série en correspondance avec le terme de même rang de la seconde série : c’est ce que nous appellerons la méthode de la double sériation. La seconde méthode consiste à sérier les éléments de l’une des collections et à mettre directement en correspondance avec eux les éléments de l’autre collection choisis un à un selon leur rang et dans le même ordre : c’est la sériation simple avec correspondance. La troisième méthode consiste à mettre d’emblée en correspondance terme à terme les poupées et les balles, sans sériation préalable, mais bien entendu en les sériant (effectivement ou par le regard seul) au cours de cette correspondance même : c’est la correspondance directe.

Or, une première constatation s’impose : aucun des enfants de ce stade — et c’est même là un caractère distinctif évident de ce niveau — ne s’est révélé capable non seulement d’employer correctement, mais même de projeter ou de concevoir la méthode de la double sériation. L’idée de la double sériation suppose, en effet, le problème résolu d’avance, c’est-à-dire qu’elle requiert la faculté de se représenter pour ainsi dire à vide l’ensemble des rapports constitutifs de la série et de la correspondance. Or, puisque l’enfant de ce stade n’arrive même pas à construire d’emblée correctement la série des bonshommes, il est normal qu’il n’essaie pas, pour mettre les cannes ou les balles en correspondance avec eux, de sérier d’avance ces objets, mais qu’il les traite successivement un à un.

Deuxième constatation : lorsqu’ils emploient la méthode de la sériation simple avec correspondance, les enfants de ce stade ne sont pas capables de sériation spontanée exacte. Par exemple, la série primitive de Gui débute par les rangs 2, 7, 1, 6, 9 etc. et celle de Val par 7, 9, 6, 5. Sans doute ces sujets ne cherchent-ils même pas, au début, à constituer une série d’augmentations régulières et se bornent-ils à aligner les poupées dans un ordre quelconque. Mais il va de soi que cette première réaction, comparée à celle des aînés, est déjà intéressante et montre à tout le moins une attitude encore globale et contraire aux exigences d’analyse que nécessite la sériation. En effet, lorsque après avoir laissé l’enfant construire sa suite globale spontanée, on le prie d’établir une vraie série (« d’abord le tout grand, puis un peu plus petit, etc. »), il n’y parvient pas mieux. C’est que,

pour sérier un certain nombre d’éléments d’après leur grandeur, il faut que la taille de chaque terme soit à la fois plus élevée que celle des précédents et plus basse que les suivantes : or, il est visible que, quand Gui et Val veulent construire une série, ils oublient la dernière condition. Par exemple Gui, pour la série descendante, pose d’abord 7, 6, 1 en négligeant les autres termes, puis il rajoute 10, 2 et enfin 9, 8, 4, 5. De même Val, après plusieurs corrections, essaie d’une série descendante et pose 10, 9, 7, 4, 6 en négligeant 8 et 5, et rajoute ensuite 8, 5, 2, 3, 1.

Troisième constatation : les correspondances établies par l’enfant ne dépassent pas le niveau de ces sériations, c’est-à-dire qu’elles demeurent aussi globales et pré-sériales. Deux cas sont à distinguer, celui de la deuxième méthode dans lequel les sujets, comme Gui, Val et Ros, font correspondre les balles et les cannes aux poupées préalablement sériées (la série n’étant devenue correcte qu’à l’aide de nos suggestions) et celui de la troisième méthode, dans lequel l’enfant, comme Clan, débute d’emblée par la correspondance sans sériation préalable. Or, dans le cas de la deuxième méthode, on constate que l’enfant, bien que parvenu à une sériation exacte des poupées avec l’aide de l’expérimentateur, établit sa correspondance entre les balles et les poupées exactement de la même manière qu’il a construit sa suite spontanée de poupées (avant les suggestions adultes). Par exemple Gui fait correspondre aux poupées 1-10 les balles 1, 5, 6, 7, 8, 9, 4, 3, 2, 10 puis, malgré nos suggestions, il ne réussit pas la correspondance correcte et finit par intercaler la balle 2 entre les balles 4 et 5. De même Val fait correspondre aux poupées 1-10 les cannes 9 10, 8, 7, 4, etc. Ros va même jusqu’à faire correspondre aux poupées 1-6 les cannes 1, 3, 4, 6, 8, 9 puis, pour la série des poupées 10-1, il aboutit à 10, -, 9, 7, -, 8, 6, 5, 4, 1, deux balles restant sans poupées et deux poupées sans balles. Quant à Clan (3^e méthode) : correspondance directe), il ne réussit qu’à construire les couples suivants : 6- 10, 1-1, 2-2, 9-10, 3-4, puis 10-10 et 9-9, mais ensuite 4-6, 7-7, 5-3, 6-5 et enfin 5-4, 6-5 et 3-3.

Il est donc évident que les difficultés de cette mise en correspondance sériale sont de même nature que celles de la sériation elle- même et que le caractère propre de cette correspondance, qui est d’être une double sériation, ne facilite en rien, pas plus que le contraire d’ailleurs, la compréhension de la sériation elle-même. Dira-t-on, dès lors, que dans la correspondance sériale, c’est la sériation qui

prime la correspondance et que cette dernière notion vient seulement se surajouter du dehors sans rien introduire de neuf ? Mais ce serait négliger le fait que la sériation ou l’ordination supposent ou constituent déjà une sorte de correspondance, celle qui relie chaque terme au suivant : on pourrait dire que la sériation est une correspondance intrinsèque et la correspondance sériale une correspondance extrinsèque entre deux séries. Inversement, d’ailleurs, on peut dire que toute correspondance suppose une sériation quel qu’en soit le type. En bref, là où la sériation spontanée n’est pas possible, la correspondance sériale ne l’est pas non plus, et réciproquement. Or, on se rappelle qu’à ce niveau la correspondance cardinale et même la correspondance qualitative non sériale ne le sont pas non plus et que toute opération demeure ainsi remplacée par une évaluation globale. Sans anticiper sur les preuves que nous cherchons à donner au cours des paragraphes suivants de cette connexion entre la correspondance ordinale et la correspondance cardinale, nous pouvons remarquer déjà combien les sujets cités à l’instant demeurent éloignés de la correspondance cardinale : par exemple Ros ne fait correspondre en fin de compte que 8 balles aux 10 poupées et Val met d’abord 9 balles en regard des 10 poupées, puis lorsqu’il aligne 10 éléments contre 10, il ne conclut pas d’emblée qu’il y a 10 poupées lorsqu’il a compté 10 balles.

Si nous passons maintenant à l’examen des réactions du second stade, nous assistons à un double progrès : d’une part, l’enfant devient capable de construire spontanément des séries correctes après un certain nombre de tâtonnements et de corrections, et, d’autre part, il parvient par le fait même (mais sans que cette seconde découverte se confonde avec la première) à résoudre le problème de la correspondance sériale, en particulier par la méthode de la double sériation.

Voici trois exemples de ce niveau :

Tis (5 ; 6) regarde les poupées et les cannes en désordre : « Est-ce qu’ils sont tous pareils ces bonshommes ? — Oh non, ils sont plus petits, plus petits, et ça est le tout petit. — Tu ne sais pas quelle canne est pour quel Monsieur ? Qu’est-ce qu’il faut faire ? — Il faut arranger plus petit, plus petit, plus petit. » Tis se met alors spontanément à sérier les cannes dans l’ordre suivant : 9, 10, 8 puis dit « Non, on a deux de même grandeur. • Il mesure alors 10 et 8 et pose le 10, puis compare 9 et 8, pose 9, 8, 7 (il n’a donc pas comparé 10 et 9 et a corrigé par hasard son erreur initiale). II prend ensuite 6, 5, 4 et les mesure entre eux, puis continue à sérier : 6, 5, 4, 3, 2, 1. Après quoi il regarde les poupées et, sans que l’on dise un mot, il place le 10 et le 1 en face des deux extrémités de la série des cannes. Il place ensuite correctement la poupée 9, puis 7, 8 (et se corrige

après comparaison), et complète enfin : 6, 5, 4, 3, 2, la série totale des poupées étant ainsi en regard de celle des cannes. Mais malgré ce début brillant Tis, comme nous le verrons au § 2, est perdu dès que l’on resserre légèrement la rangée des cannes sans toucher à celle des poupées.

Chou (7 ans) : « Quel bonhomme va avec cette balle (la plus grande) ? — Le tout grand. —   Alors mets les balles avec les bonshommes. » Il place les poupées dans l’ordre 4, 6, 7, 8, 3, 10, 9, 5, 2, 1. « C’est bien ? — Non. » Il série alors sans autre suggestion : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10 puis rajoute avec quelque tâtonnement les poupées 4 et 8. « Et puis ? — Il faut mettre les ballons. » Il commence par des correspondances décalées d’un rang : 6 pour 5, 7 pour 6, 9 pour 8, etc. puis se corrige lorsqu’il voit l’ensemble.

Ch a (6 ¹∕₂) : « Comment trouver les balles pour chaque bonhomme ? — … — Celui-là (10) aura quelle balle ? — (Il montre 10.) — • Et pour celui-là (5)? — Ça (7). — Comment faire pour être tout à fait sûr ? — Je mettrai comme ça (il série) : 10, 8, 9, puis 10, 9, 7, 8 puis 8, 7, 5, 6 puis 6, 5, 4, 3, 2, 1. » Après quoi il met les balles en regard des poupées, mais avec erreur d’un rang, de telle sorte qu’à la fin une balle est sans poupée et une poupée sans balle : « Il y a la même chose de balles et de poupées ? — Il y a plus de bonshommes. —   Combien ? — (Il compte lès 10 poupées.) — Et de balles ? — (Il compte) 10. —   Alors c’est la même chose ? — Oui (il corrige alors la correspondance). »

Il est inutile de multiplier les exemples pour déterminer la signification de ce second stade. Les différences qui le séparent du premier stade sont bien claires : apparition de la sériation et de la correspondance sériale correctes et spontanées. Il est, par contre, un peu plus délicat de le distinguer du troisième, auquel il est relié par tous les intermédiaires. La différence de principe, qui apparaît dans les cas nets, est facile à établir : la sériation et la mise en correspondance sériale demeurent intuitives et perceptives, durant le second stade, et deviennent opératoires au cours du troisième, pour se doubler alors d’une correspondance proprement ordinale, c’est-à-dire de nature numérique. La distinction devient évidente lorsque l’on compare la sériation avec le résultat des expériences suivantes (§ 3 et 4), qui permettent de démonter, pour ainsi dire, le mécanisme de la correspondance sériale, mais il serait intéressant de trouver des critères différentiels entre le niveau intuitif et le niveau opératoire dans la manière même dont l’enfant construit ses séries et ses correspondances, et c’est ce que nous allons chercher maintenant.

La sériation, tout d’abord, est effectuée par tous les sujets de ce deuxième stade sans que l’expérimentateur n’ait plus à intervenir dans le détail : l’enfant est donc capable dorénavant d’ordonner un élément dans une série de façon telle qu’il soit à la fois le plus grand (ou le plus petit) de ceux qui restent à sérier et le plus petit (ou le plus grand) de ceux qui ont déjà été placés. Mais est-ce là déjà de la logique opératoire, c’est-à-dire un système d’actions réversibles

rendant le sujet capable de décomposer et de recomposer ses séries en fonction des problèmes qui se posent, ou bien la simple perception des rapports pratiques permet-elle d’atteindre ce premier résultat sans que la sériation ou l’ordination soient par là-même devenues opératoires et réflexives ? Or, dès l’examen de la méthode suivie par l’enfant, nous constatons un certain nombre d’indices qui, à eux seuls, pourraient paraître fragiles mais qui, comparés à tous les faits de ce niveau, sont certainement significatifs. On peut dire d’un mot que, au lieu de dominer simultanément la totalité des relations nécessaires à la sériation, le sujet du second stade les découvre peu à peu au cours de tâtonnements empiriques. C’est ainsi que Tis, le plus avancé des enfants que nous venons de citer, commence par poser 9, 10, 8 puis mesure l’un par l’autre les éléments 10 et 8 puis 9 et 8 (mais non pas 9 et 10). Chou, de même, commence par une suite arbitraire, puis essaie d’une sériation graduée, mais avec oublis et corrections. Cha tâtonne également pour les poupées, en opérant des interversions constantes qu’il corrige ensuite, et série les balles en oubliant la plus grande. Certes, il est possible de tâtonner à tous les niveaux et même un mathématicien tâtonnerait peut-être en sériant des perches si celles-ci étaient malcommodes à dominer du regard. Mais l’intérêt n’est pas dans le pur fait du tâtonnement, il est dans l’attitude révélée par celui-ci : lorsque l’intuition prime l’opération, l’enfant, tout en sachant bien qu’il construit une échelle croissante, compare les termes par petits groupes ou deux à deux, comme Cha qui oublie la balle 10 jusqu’à la fin, tandis que lorsque l’opération prime l’intuition, l’enfant éprouve le besoin de comparer sans cesse l’ensemble des données entre elles, c’est-à-dire de choisir par exemple d’abord « le plus petit de tous », puis « le plus petit de tous ceux qui restent », et ainsi de suite. Mais bien entendu, ce sont là nuances difficiles à diagnostiquer, et surtout mobiles et à gradations continues (par exemple Tis est plus près du troisième stade que Chou et Cha), de telle sorte que seule la comparaison de l’ensemble des réactions permet d’interpréter à coup sûr le comportement d’un sujet. Mais, que l’interprétation que nous venons de suggérer soit exacte, c’est ce qu’il sera facile de démontrer dans la suite, lorsque nous verrons (au chap. VI, § 1) l’incapacité des enfants de ce niveau à intercaler sans erreurs de nouveaux éléments dans une série, ou ( § 3 de ce chapitre) à rétablir la sériation en esprit lorsque l’on dérange tant soit peu l’ordre perceptif de la correspondance.

Quant à la correspondance sériale, elle apparaît à nouveau, durant ce stade, comme s’élaborant en connexion étroite avec la sériation elle-même, mais sans se confondre avec elle, puisque ces deux opérations s’appuient l’une sur l’autre tout en demeurant distinctes. Notons d’abord l’analogie étroite qui existe chez chaque enfant entre sa manière de sérier et son mode de correspondance : Chou commence par des correspondances arbitraires de même qu’il a débuté par une sériation arbitraire. Cha qui intervertit 9, 8 puis 8, 7 puis 6, 5 dans sa sériation aboutit à un décalage d’un rang dans sa correspondance et Tis, qui série plus systématiquement, opère la correspondance par double sériation.

C’est que, en bref, construire une série ou effectuer une correspondance sériale revient dans les deux cas à coordonner des relations A → B → C… ¹ de façon telle que si E → F, cela signifie à la fois que E « - A, B, C… D et que F → G, H, I… etc. Or, si l’on compare les réactions de ce second stade avec celles du premier, on constate que la différence essentielle entre elles est que, durant le premier stade, l’enfant ne procède précisément pas au moyen de telles relations, mais bien par qualités » pré-relatives » : ou bien ses sériations et correspondances demeurent arbitraires, ce qui n’est jamais d’ailleurs complètement le cas, ou bien il met les « petits » éléments d’un côté et les « grands » de l’autre, par chaînes ou par couples, c’est-à-dire qu’il procède par qualités « grands » et « petits » (avec les rapports perceptifs qui les unissent), et non pas par relations « plus grand » et « plus petit » ni surtout par coordinations « à la fois plus grand que X et plus petit que Y », de telles coordinations constituant le vrai critère de la relation. Or, cette méthode rend, il va de soi, impossible tant la sériation que la correspondance sériale. Au contraire, dès que les rapports établis entre les éléments acquièrent une relativité réelle, la coordination ainsi constituée conduit à la correspondance sériale aussi bien qu’à la sériation simple : en effet, une fois coordonnées deux relations entre elles, c’est-à-dire trois éléments au moins, il n’est pas plus difficile d’en coordonner davantage. La difficulté est de passer de la qualité à la relation, mais une fois celle-ci découverte, elle donne lieu à de doubles sériations correspondantes autant qu’à des séries additives isolées.

Une restriction doit cependant être immédiatement apportée à cette description : les relations découvertes au cours de ce second

¹ Le signe A → B signifie que B est « plus > que A, par exemple B > A.

stade ne sont élaborées, comme nous y avons insisté tout à l’heure, que sur le plan intuitif et expérimental, c’est-à-dire semi-opératoire seulement, et ne constituent point encore des opérations réelles susceptibles d’être détachées de la perception pour être manipulées abstraitement. Ce dernier progrès est accompli par les sujets du troisième stade, dont voici maintenant des exemples :

Shen (6 ; 6) met d’emblée, et sans sériation préalable, la plus grande balle (10) en correspondance avec la plus grande poupée (10), puis B 9 avec P 9 ; B 8 avec P 8, et ainsi de suite. Il cherche chaque fois la balle la plus grande et la poupée la plus grande de celles qui restent, et n’éprouve même pas le besoin de les mettre en ligne, posant les couples épars sur la table. « Mets les poupées en rang — (Il les aligne de 10 à 1.) — Et maintenant les balles (on les a rebrassées). — (Il les série immédiatement en face des poupées.) »

Derc (6 ; 10), de même, procède par correspondance directe. « Comment faire pour trouver tout de suite la balle de chaque bonhomme ? — Je ne sais pas. — Réfléchis bien. Que faut-il arranger ? — (Il prend P 10 avec B 10 ; P 9 avec B 9 ; P 8 avec B 8, etc., cherchant chaque fois les éléments les plus grands qui restent, et les sériant en même temps.) — Est-ce qu’il y a autant de balles que de poupées ? — Oui (puis il change B 7 avec B 6 et dit : Si c’était comme ça ce ne serait pas juste ».)

Pot (7 ; 2) série d’abord les poupées, avec une seule interversion immédiatement corrigée puis série les cannes en regard.

On voit en quoi consiste la nouveauté de ce stade : l’enfant envisage à chaque instant l’ensemble des rapports entre tous les éléments, puisqu’il cherche, lors de chaque nouvelle relation, le terme le plus grand (ou le plus petit) de ceux qui restent. La série est ainsi construite sans hésitations ni tâtonnements. Or, chose intéressante et qui confirme bien les interprétations précédentes, il est aussi facile dans ce cas, pour les sujets de ce stade, d’opérer par correspondance immédiate, comme Shen et Derc, sans sériation préalable des poupées à part ou des balles à part, que de procéder par sériation simple avec correspondance ultérieure.

C’est ainsi que s’achève la construction de la correspondance sériale, ou similitude qualitative, par un système d’opérations proprement dites susceptibles de coordonner les relations inverses aussi bien que directes. Bien plus, si nous nous en sommes tenus, au cours de ce paragraphe, à la description de l’aspect purement logique ou qualitatif de cette évolution, nous allons maintenant voir qu’il se double, à partir du moment où l’opération se détache de la perception, d’un second aspect de nature arithmétique, qui constitue la correspondance ordinale ou similitude généralisée.

— La correspondance sériale une fois construite au moyen des processus que nous venons de décrire, il est possible de déranger l’ordre intuitif des séries et des correspondances pour mettre en évidence le mécanisme opératoire en jeu. Les deux épreuves dont nous étudierons concurremment les résultats consistent, d’une part, à décaler l’une des séries correspondantes par rapport à l’autre (par exemple en resserrant les balles sans toucher aux poupées) et, d’autre part, à inverser l’une par rapport à l’autre. Dans les deux cas, on désigne alors une poupée en demandant quelle balle lui correspond et vice versa. (L’examen a naturellement lieu aussitôt après que le sujet a construit ses séries.)

Or, on retrouve à cet égard les trois stades que nous venons de décrire, mais avec un certain nombre de précisions intéressantes en plus. Durant le premier, l’enfant perd toute notion de la correspondance dès que l’on déplace l’une des deux séries, et se borne, pour la déterminer, à désigner les éléments actuellement placés en face l’un de l’autre. Durant le second, l’enfant cherche à rétablir la correspondance exacte, soit au moyen de procédés empiriques, soit en comptant, mais il confond sans cesse le rang recherché et celui du terme précédent. Durant le troisième, au contraire, il résout enfin le problème en coordonnant la détermination du rang recherché avec celle de la valeur cardinale des collections intéressées : dans ce dernier cas, la correspondance sériale qualitative se double d’une correspondance numérique ordinale.

Voici d’abord quelques exemples du premier stade :

Gui (4 ; 6) Après être parvenu avec notre aide à sérier les poupées et les balles : « Regarde. On va serrer un peu les balles et tu me diras quand même quelle balle aura chaque poupée (on serre les balles de manière à ce que la balle 10 soit en face de la poupée 9 et la balle 1 en face de la poupée 1, l’ordre étant respecté et la correspondance restant encore très visible). Quelle balle aura cette poupée (7) ? — Celle-là (8, qui est en face de P 7). — Et celle-là (P 8) ? — Celle balle (B 9). — Et celle-là (P 9)? — Celte balle (B 10). — Et celle-là (P 10)? — Celle-là (de nouveau B 10). » On serre un peu davantage les balles, de telle sorte que B 1 reste en face de P 1 mais que B 10 est en face de P 8. Gui attribue alors B 9 à P 7, qui est en face, B 10 à P 8, etc. Par contre, lorsque l’on suit l’ordre pas à pas de P 10 à P 5 Gui donne la correspondance correcte, mais dès que l’on reprend au hasard, il se trompe à nouveau.

Ros (5 ; 6), pour les balles serrées : « Montre la balle de cette poupée (P 10). — (Il montre B 10.) — Et de celle-ci (P 9) ? — (Il montre B 9.) — Et de celle-ci (P 5). — (Montre B 6.) — Et de celle-ci (P 8) ? — (Montre B 8,7, 8 et de nouveau 7.) — Et de celle-ci (P 9) ? — (Montre B 8.) » etc.

10

On déplace encore légèrement la série des balles et l’on procède systématiquement de P 10 à P 1 : Ros montre chaque fois la poupée correspondante, sauf deux erreurs. Mais lorsque l’on reprend au hasard, il désigne à nouveau les éléments situés en face sans parvenir à sérier mentalement.

On passe alors à la question III, c’est-à-dire que, sous les yeux de l’enfant, on intervertit la série des balles en laissant en place celle des poupées : celle-ci est donc orientée de P 10 à P 1 tandis que celle des balles de B 1 à B 10. Ros comprend bien la consigne comme le prouvent ses premières réponses : « Montre la balle de cette poupée (P 10). — (Il montre d’abord B 1 qui est en face, puis recherche B 10.) — Et de celle-là (P 1)) — (Il montre d’abord B 10 puis dit : Non, elle est là (B 1). » Mais dès que l’on désigne une poupée quelconque, il se borne à montrer celle qui est en face et ne tient plus aucun compte des relations inverses.

Val (5 ; 6), après que l’on ait serré les cannes : « Montre-moi la canne de cette poupée (P 10). — (Montre C 10.) — Et de celle-là (P 1)? — (Montre C 1.) — Il y a la même chose de poupées et de cannes ? — Il y a plus de poupées (puisque la rangée des poupées est plus longue : voir chap. IV § 1). — Accroche toutes les cannes aux poupées. — (Elle le fait.) — 11 y a plus de poupées ? — Il y a la même chose. — (On décroche les cannes pour les placer comme auparavant et on fait à nouveau montrer C 10 pour P 10 et C 1 pour P 1.) — Montre- mol maintenant la canne de cette poupée (P 7) ? — (Montre C 6, qui est en face.) — Et de celle-ci (P 9)? — (Montre C 10.) — Et de celle-ci (P 8) — (Montre. C 6.) — Et de celle-ci (P 6)? — (Il montre C 4.) — Et de celle-ci (P 4)? — (Il montre C 2.) »

On intervertit alors l’ordre des cannes (question III). Val comprend bien la consigne, puisqu’il montre C 10 pour P 10 et C 1 pour B 1, mais échoue ensuite totalement : il montre C 8 pour P 7 ; C 3 pour P 2 ; C 4, 5, 6, 5 et enfin C 6 pour P 4, etc.

Ces trois exemples suffisent pour permettre l’interprétation de ce premier stade, qui est aisée. On se rappelle que les enfants de ce niveau sont incapables de parvenir spontanément à une sériation et à une correspondance sériale correcte. Mais avec nos suggestions, c’est- à-dire lorsqu’on les questionne sur leurs erreurs, ils y parviennent. On pourrait donc se demander si l’enfant n’est pas, en fin de compte, apte à bien sérier ? Les résultats que nous venons de relever permettent de donner une réponse décisive à cette question : les sujets de ce niveau demeurent si éloignés de la compréhension réelle de la sériation qu’ils ne saisissent plus les correspondances dès que les éléments ne sont plus directement en regard terme à terme, les deux séries restant parallèles avec seulement un léger décalage.

Cependant l’enfant comprend bien les questions posées. Preuve en soit que si l’on suit l’ordre des poupées de 1 à 10 ou de 10 à 1, il désigne chaque fois du doigt les balles correspondantes. Il réussit aussi toujours à trouver les correspondances justes des deux extrémités des rangées. Mais dès que l’on pointe un élément central quelconque, sans suivre l’ordre intuitif de la série, le sujet s’égare : au

lieu de retracer lui-même, des yeux ou du doigt, les correspondances depuis les extrémités, il se borne à indiquer le terme situé en face. Les séries et les correspondances établies avec l’aide de l’adulte ne sont donc, pour l’enfant de ce niveau, que des figures globales, non encore décomposables systématiquement : si l’enfant semble bien comprendre la correspondance, lorsque l’on suit l’ordre de la série, c’est qu’il se borne à une simple persévération sans aucune mise en relations réelle, et dès que l’on saute un ou deux éléments, le caractère global de la figure s’oppose à toute analyse exacte. On voit, en bref, que l’enfant de ce premier stade en est, du point de vue de la correspondance sériale, exactement au niveau que nous avons décrit au cours des chap. III et IV pour la correspondance cardinale : celui de la comparaison globale sans compréhension, même intuitive, du détail des rapports.

Voici maintenant des exemples du second stade, qui est, on s’en souvient, celui de la sériation et de la correspondance sériale intuitives ou empiriques :

Lie (5 ; 6), après avoir sérié avec tâtonnement (interversions de 5 et 6, de 7 et 8, etc.) les poupées et établi par le même procédé la correspondance avec les balles, est prié de retrouver la correspondance lorsque l’on espace, sous ses yeux, ces dernières (la balle 9 se trouvant ainsi en face de la poupée 10 et la balle 6 de la poupée 1) : « Il y a encore la même chose de balles que de poupées ? — Il y a plus de balles. — Il y a combien de balles ? — (Il compte) 10. — Il y a aussi 10 poupées ? — Non. — Compte-les. — (∏ compte) Ah ! oui, aussi 10. — Alors pour cette poupée (P 5) quelle est la balle qui va ? — (Montre B 7.) — Et pour celle-là (PI)? — (Il montre B 1.) » n montre de même B 10 pour P 10, B 9 pour P 9 ; B 8 pour P 8, B 7 pour P 7, mais lorsque l’on saute d’une poupée à l’autre, il montre systématiquement B 8 pour P 7, B 2 pour P 3 (parce qu’il a pointé du doigt les deux éléments antérieurs à P 3, soit P 1 et P 2), B 4 pour P 3 (il pointe cette fois les trois éléments antérieurs à B 4 pour trouver la correspondance avec P 3), etc. Lorsque l’on reprend la correspondance graduelle de P 10 à P 1,11 répond juste (en pointant toujours du doigt), puis lorsque l’on saute à nouveau, il retombe dans la même erreur systématique.

Pour la question III (les poupées mises en série inverse par rapport aux balles), il répond correctement si l’on suit l’ordre P 1 à P 10, mais se trompe d’un rang toutes les fois que l’on saute au hasard.

Kel (6 ; 6). On serre la rangée des cannes. Kel montre C 1 pour P 1 et C 10 pour P 10, mais il montre d’abord C 7 pour C 6, puis se corrige ensuite.

On met, d’autre part, les balles en ordre inverse : « Ah ! s’écrie Kel, je comprends le jeu » et il veut remettre les éléments en sériation directe. On l’en empêche. Il montre correctement P 9 pour B 9 et P 7 pour B 7, mais pour B 5 il montre P 6 : « Tu es sûr ? — (Il effectue avec le doigt la correspondance terme à terme entre les deux séries, de P 10 à P 5 et de B 10 à B 5.) — Alors elle est à qui cette balle (B 5)? — (Il montre de nouveau la sixième poupée, en confondant le rang avec le nombre des précédents.) — Et celle-ci (B 4) ? — (Montre P 7, en se trompant de direction.) — Et celle-ci (B 5) ? — (Montre P 6 par confusion

<lu rang et de l’ensemble des précédents.) — Et celle-là (B 4)? — (Montre P 8 à la fois par erreur de direction et par confusion du rang avec la collection des éléments précédents B 1, B 2 et B 3.) » De même, il montre P 4 pour B 3 et P 3 pour B 2, toujours en vertu de la même erreur systématique. On désigne alors successivement toutes les balles de 1 à 10 : Kel leur fait correspondre très correctement les poupées 1 à 10. Puis on montre la poupée 6 : Kel désigne à nouveau la balle 7 !

Pel (6 ; 10), dans l’expérience des cannes déplacées, montre d’abord correctement les cannes 1 et 10 pour les poupées correspondantes. " Et pour cette poupée-là (P 8)? — (Il montre bien C 8.) — Comment as-tu trouvé ? — Parce que j’ai vu qu’il y a 2 là (P 10 et P 9, qui précèdent P 8) et puis 2 là (C 10 et C 9). — Et cette poupée-là (P 4)? — (Il montre C 3.) — Et celle-ci (P 1)? — (11 montre C 1.) — Et celle-ci (P 4)? — (Il montre à nouveau C 3, après avoir voulu mettre en correspondance directe.) — Et pour celle-ci (P 6)? — (li montre C 6 puis se corrige.) Non, c’est celle-ci (C 5). — Pour (P 4)? — (Montre C 3.) »

Dans la sériation inverse (question III), Pel, pour trouver la balle correspondante de P 6, effectue la correspondance avec l’index : il touche P 10 et B 10 ; P 9 et B 9, P 8 et B 8, mais ensuite P 7 et B 6 et perd la direction. Il recommence, mais se perd à nouveau, puis il compte 1, 2, 3, 4, 5 pour P 6, compte les balles de 1 à 5 et désigne la balle 5 1 Etc. « Combien il y a de balles ? — 10. —   Et de poupées ? — Là aussi 10, ah non, 11, parce que ça dépasse. »

Chou (7 ans), les cannes étant serrées par rapport aux poupées : « Cette canne (C 1) est à qui ? — (Montre P 1.) — Et celle-ci (C 10)? — (Montre P 10.) — Et celle-ci (C 4) ? — A celle-là (P 3). — Pourquoi ? — Parce que là (P 1 et P 2) il y a 2, et là aussi (C 1, C 2…) Ah non ! (montre alors P 4). — Et celle-là (C 7) ? — (Montre P 8.) — Et celle-ci (C 10)? — (Montre P 10.) — Et celle-ci (C 7)? — (Montre de nouveau P 8.) — Comment tu sais ? — Parce que là (C 10 ; C 9 et C 8)… Ah non, c’est pour celle-là (P 7), parce que là (C 10 ; C 9 et C 8) il y a 3, et là aussi (P 10-8). — Et pour celle-ci (C 6)? — (Montre P 7.) — Pourquoi ? — Parce que là (C 10 à C 7) il y a 4 et puis là aussi (montre P 10 et P 7). »

Quant à la question III (balles inversées), les réactions sont les mêmes : Chou montre correctement B 10 pour P 10 et B 1 pour P 1, mais pour la 6^e poupée il désigne la 5, balle : « Pourquoi ? — Parce qu’il y a la même chose (il montre d’une part les poupées 1 à 5 et d’autre part il compte les balles 1 à 5 et désigne B 5.) "

Tels sont les débuts de la reconstitution des correspondances lorsque l’on déplace l’une des séries par rapport à l’autre. On se rappelle que la même situation, étudiée du point de vue de la correspondance cardinale, conduisait les sujets à nier que l’équivalence numérique se soit maintenue. C’est bien aussi ce que nient les sujets précédents : Lie croit qu’il y a plus de balles que de poupées, parce que celles-ci sont resserrées, Pel pense que celles-ci sont plus nombreuses lorsqu’elles sont écartées, etc. Or ces sujets viennent de faire correspondre eux-mêmes les deux collections, non seulement terme à terme mais rang à rang ! On voit que la correspondance sériale n’assure pas plus l’équivalence cardinale que la correspondance qualitative en général propre à ce niveau. Cela n’empêche nullement, d’ailleurs,

le sujet de chercher à retrouver les rangs correspondants, puisque, on s’en souvient, si l’enfant de ce niveau nie l’équivalence cardinale lorsque les éléments ne sont plus en regard les uns des autres, il croit possible de la retrouver en les remettant en place : or, la recherche du rang correspondant est précisément un effort orienté dans cette direction de la réversibilité et qui conduira, au cours du troisième stade, à la notion d’une équivalence durable à la fois cardinale et ordinale. Mais, pour le moment, l’enfant n’est pas en état de se construire un tel système opératoire. Comment s’y prend-il, en effet, pour retrouver les rangs correspondants ?

La réaction la plus simple, une fois que le sujet renonce à désigner sans plus les éléments situés en face les uns des autres, consiste à pointer du doigt ou à suivre des yeux les correspondances terme à terme depuis les extrémités des séries. C’est ce que font Lie et Kel, durant toute l’expérience et Pel, pour la question III, etc. Mais cette méthode donne lieu, chez les enfants qui n’ont pas l’habitude de compter, à de fréquentes omissions, ou à de doubles dénombrements. D’autre part, lorsqu’il s’agit de suivre les deux séries inversement orientées (quest. III), il y a souvent erreur de direction. A un moment donné, l’enfant préfère donc parfois une seconde méthode, qui est celle de la numération parlée : il compte les poupées depuis la première ou la dixième jusqu’à celle dont on demande la correspondance et compte d’autre part les cannes ou les balles jusqu’au nombre obtenu (cf. Chou).

Or, qu’ils emploient l’une ou l’autre méthode — et il convient d’insister sur le fait que cela est indifférent pour ce qui suit — les enfants que nous venons de citer et qui sont très représentatifs de ce niveau se trompent sans cesse d’une unité. Par exemple Lie montre la balle 8 pour la poupée 7, la balle 2 pour la poupée 3, etc. Kel, après avoir effectué correctement les correspondances 1 et 10, montre la poupée 7 pour la canne 6, puis, dans l’ordre inverse, la 6^e poupée pour la canne 5, la 4^e pour la canne 3, etc. Pel commence par indiquer correctement les correspondances 10, 1 et même 8 (avec justification) mais il montre ensuite la canne 3 pour la poupée 4, la canne 5 pour la poupée 6, etc. Chou, qui n’emploie que la numération parlée, désigne la 3^e poupée pour la canne 4, la 8^e pour la canne 7, etc. Or, ces sujets donnent eux-mêmes fort bien la raison de ce système, encore qu’il reste à en expliquer la causalité : lorsqu’il s’agit de trouver la correspondance d’un élément n, ils comptent les termes qui précèdent, soit

n — 1, puis ils cherchent dans la série correspondante, le n — l^eτ élément et s’y arrêtent. D’autre part, comme ils comptent n — 1 soit à partir de 1 soit à partir de 10, le rang trouvé est tantôt d’une unité trop faible, tantôt d’une unité trop forte. Par exemple Chou, à la fin de l’interrogatoire, choisit la balle 5 pour la poupée 6 « parce qu’il y a la même chose » : il a compté les poupées 1 à 5 précédant la 6* puis a désigné la 5^e balle. Mais il choisit aussi la poupée 7 pour la canne 6, parce que, après la canne 6 « il y a 4 » (c’est-à-dire les termes 7-10), et que la poupée 7 est la quatrième à partir de 10 ! Néanmoins cet enfant, dès le début de l’interrogatoire, s’est plusieurs fois corrigé spontanément de cette erreur, mais il y retombe sans cesse. De même Pel, qui commence par choisir la canne 8 pour la poupée 8 « parce que j’ai vu qu’il y a 2 là (9 et 10) et 2 là (id.) », montre ensuite la canne 5 et la balle 5 pour la poupée 6 en cδmptant les poupées 1 à 5. Chez Kel et Lie qui n’emploient pas la numération parlée mais effectuent les correspondances avec l’index, le phénomène est le même : ainsi Lie attribue la 2^e balle à la 3^e poupée en indiquant du doigt la correspondance entre la l^re balle et la l^re poupée et entre la 2^e balle et la 2® poupée I etc.

Comment donc expliquer ce type d’erreur et sa régularité si frappante ? Tant que les éléments correspondants sont situés en regard les uns des autres, la correspondance est assurée par cette similitude qualitative elle-même et il n’y a pas de problème. Celui-ci commence avec la rupture du contact perceptif. Supposons que nous demandions au sujet « quelle est la canne qui va avec cette pou- pée-là ? », en désignant la poupée 5. La poupée 5 est alors à caractériser par son rang : seulement, pour déterminer ce rang en relation avec celui des cannes, il ne suffit plus de constater la position absolue de l’élément en question, il faut calculer sa position relative et la seule manière d’y parvenir est d’évaluer la quantité ou le nombre des éléments précédents. Il s’établit par le fait même, dans l’esprit de l’enfant, une dissociation entre le rang recherché (celui de la poupée 5) et la collection des termes précédents (les poupées 1-4). Si donc, pour fixer ce rang, il ne compte pas 5 mais 4, c’est que les nombres 1 à 4 et le nombre 5 ne remplissent pas, dans le cas particulier, la même fonction pour le sujet : les nombres 1 à 4 constituent l’ensemble (cardinal) qui sépare la poupée 5 du point d’origine de la série, tandis que le n° 5 constitue le rang (ordinal) qui caractérise la poupée. C’est pourquoi l’enfant déclare « il y a 4 avant », ou simplement

« il y a 4 », parce que pour lui le rang n’a pas encore un nombre de même nature que ceux dont il se sert pour compter les termes précédents. De même, s’il évalue les nombres en pointant chaque élément du doigt, il dissocie la collection des 4 premiers de celui (le 5^e) dont il s’agit de déterminer le rang. Au contraire, lorsque ensuite il recherche le rang de l’élément correspondant (de la canne), le phénomène inverse se produit : cet élément n’étant pas désigné d’avance comme l’était la poupée que montrait du doigt l’expérimentateur, il demeure sur le même plan que les autres, pendant toute la recherche, et non plus à part. Dès lors, si l’enfant a compté 4 (verbalement ou par gestes) pour la poupée 5, il appliquera ce nombre 4 à la série correspondante (cannes), mais d’une manière différente, puisque rien ne distingue plus a priori l’élément dont il faut trouver le rang de ceux qui le précédent : en appliquant aux cannes successives les nombres 1, 2, 3, 4, l’enfant donnera donc à ces nombres un sens aussi ordinal que cardinal si ce n’est même davantage, de telle sorte que, au n° 4, l’enfant aura l’impression d’être parvenu au terme de la correspondance et attribuera ainsi la canne 4 à la poupée 5.

Or, cette incoordination si suggestive des mécanismes de nature cardinale et de ceux de type ordinal, loin de résulter d’une rupture d’équilibre ou d’une dissociation momentanée, comme il pourrait le sembler lorsque l’on décrit les choses en termes de logique et d’arithmétique toute faite, marque au contraire un début de coordination : c’est donc une incoordination du point de vue seulement des stades ultérieurs, mais qui constitue un progrès à tous égards, par rapport au premier stade, au cours duquel le problème n’existait même pas. En effet, tant que le sujet n’était pas capable ni de sériation, ni de correspondance sériale correctes, la question de la cardination ne se posait pas, puisque, dans le cas des rangées disjointes, l’enfant ne cherchait pas à compter les rangs ni même à les retrouver intuitivement et que dans le cas des rangées semblables optiquement, le rang était déterminé par le simple contact spatial. Avec le progrès de la sériation, nous voyons apparaître un premier lien entre le rang et la cardination, puisque, pour retrouver le rang d’un élément dans le cas des séries optiquement disjointes, il faut compter les rangs des éléments précédents ou les évaluer par correspondance terme à terme. Seulement, la sériation propre au second stade demeurant intuitive et n’ayant pas atteint un niveau réellement opératoire, la cardination demeure extérieure à cette sériation : le rang reste affaire de position

dans l’échelle qualitative, sans être encore corrélatif d’une valeur cardinale, d’où l’incoordination subsistant à ce niveau.

Mais il y a plus, et les hésitations propres à ce stade témoignent en réalité d’un début de dissociation, mais non encore achevée entre les relations qualitatives et les relations numériques, donc entre la correspondance sériale (ou similitude qualitative) et la correspondance ordinale (ou similitude généralisée). Il y a similitude qualitative entre deux séries de relations lorsque deux collections d’objets sont sériées au moyen de la même suite de relations qualitatives asymétriques, le rang de chaque élément de la première série correspondant à celui d’un élément déterminé de la seconde : lorsque l’enfant se borne à sérier les cannes et les poupées par leurs grandeurs et à mettre en correspondance ces deux séries, il y a donc là simplement similitude qualitative. Mais, en de telles sériations, chaque élément est différent de tous les autres (dans le cas particulier, « plus grand » ou « plus petit ») et, d’autre part, chaque relation est différente des autres (il n’y a pas nécessairement la même différence de taille entre les poupées 1 et 2 qu’entre 2 et 3). Au contraire, dans la sériation ordinale, chaque élément compte pour une unité, équivalente en tout aux autres sauf quant à son rang dans la série. Cet ordre peut être celui d’une série qualitative (mais alors, dans le cas particulier, chaque poupée ou chaque canne compte pour 1, comme les autres, et la seule différence existant entre elles du point de vue numérique est qu’il y a une l^re, une 2^e, etc.) ou peut être différent, mais dans tous les cas, chaque relation d’ordre reliant deux éléments est équivalente à toutes les autres (il y a la même différence d’ordre entre le 1^er élément et le 2^e qu’entre le 2^e et le 3^e, etc.) Cela étant, il est clair que, sitôt les deux séries qualitatives optiquement disjointes, l’enfant de ce second stade est obligé de doubler la correspondance simplement sériale d’une correspondance ordinale, c’est-à-dire de considérer les poupées et les cannes comme autant d’unités pouvant être dénombrées aussi bien que sériées. Mais alors, et nous retrouvons ici les considérations de tout à l’heure, si chaque élément d’une série ordinale compte pour une unité égale aux autres, la seule différence qui permette de distinguer l’élément n de l’élément n + 1 est que l’élément n vient après n — 1 autres éléments et que l’élément n + 1 vient après n termes : le rang ordinal suppose donc la cardi- nation (la réciproque étant vraie également, comme nous l’avons vu chap. IV, Conclusions). Or c’est là que les enfants de ce niveau

s’arrêtent en chemin : lorsqu’ils cherchent à trouver le rang d’un élément donné, ils comprennent bien qu’il faut dénombrer les termes précédents comme autant d’unités équivalentes entre elles, mais ils ne poussent pas l’arithmétisation de la série assez loin pour compter également l’élément dont le rang est en jeu comme une unité homogène aux autres. Dès lors, pour déterminer un rang quelconque par la numération, l’enfant envisage à part la position qualitative de l’élément en question, et à part également la valeur cardinale de la collection des éléments qui précèdent : il ne comprend pas que chaque rang est lui-même un nombre, ni que ce nombre est indissociable de la collection entière dont fait partie l’élément ainsi ordonné.

Venons-en donc aux réactions du troisième stade qui nous permettront d’assister à ce double progrès de la construction opératoire, et non plus intuitive, des correspondances sériale et ordinale et, par cela même, de la découverte d’une connexion nécessaire entre l’ordination et la cardination :

Bos (6 ; 6). Question II (séries disjointes): « Cette balle (8) est à qui ? — (Il montre P 8.) — Comment tu sais ? — Je vois les 3 (B 10, 9 et 8) et là aussi (P 10, 9 et 8). — Et celle-ci (B 6) ? — A celle-là (P 6), parce qu’avant il y avait 3 et c’est sauté à 6 (il a donc compté les balles 1-6). — Qu’est-ce qu’on a fait ? — Avant il y avait 3 (10, 9, 8) et maintenant on a sauté à 5 (il compte cette fois les balles 10, 9, 8, 7, 6 et les poupées 10-6 et montre à nouveau P 6 et B 6). »

Pour les séries inverses, il désigne P 7 pour B 7, puis P 4 pour B 4, etc. Il compte alors chaque fois les précédents, mais sans se tromper dans la série correspondante. Par exemple dans le cas de B 4 il dit « là, il y a 3 au bord (B 1, 2, 3) • et compte P 1, 2, 3, pour désigner P 4.

Vio (6 ; 6). On commence par les séries inverses (quest. III) : « Cette balle (B 10) est à qui ? — (Il montre P 10.) — Et celle-ci (B 8)? — A celle-là (P 8). — Comment as-tu fait ? — Il y a 3 ici (P 10, 9, 8). — Et celle-là (B 5) ? — Celle- là (P 5). — Pourquoi ? — J’ai regardé s’il y avait 4 (il compte les précédents). De même il montre B 6 pour P 6, etc.

Question II : « Cette poupée (P 6) aura quelle canne ? — (Il montre C 6.) — Comment as-tu trouvé ? — J’ai regardé combien il en reste (C 7, 8, 9, 10). • etc.

Nbl (7 ans). Quest. III (séries inverses): • Est-ce que chaque poupée aura sa canne quand même ? — Oui. —   Cette canne (C 6) est pour quelle poupée ? — Celle-là (P 6). — Et cette canne (C 3)? — (Il montre d’abord P 8 puis P 3.) »

Quest. Il : « Pour cette poupée (P 5) il faut donner quelle canne ? — Celle-là (C 5) parce qu’il y a 4 poupées ici (P 1-4), et 4 cannes ici (C 1-4). — Et cette canne- ci (C 7) ? — Celle-ci (P 7) parce qu’il y a 6 cannes avant (C 1-6) et 6 poupées avant aussi (P 1-6). »

On constate d’abord qu’au point de vue cardinal, ces enfants, comme Nel, n’hésitent plus à admettre que le nombre des cannes ou des balles égale toujours celui des poupées même si on intervertit

l’ordre ou si l’on disjoint les séries. Ce fait, qui est nouveau, est naturellement capital pour l’arithmétisation de la correspondance sériale. D’autre part, pour la détermination d’un rang n ils emploient tous la numération en comptant indifféremment de 1 à n ou de 10 à n. Lorsque, comme Nel, ils comptent seulement les termes précédents (donc n — 1), ils opèrent de même dans la série correspondante. D’autre fois, avec Vig, ils comptent le reste (par exemple 7-10 pour 6). Enfin, avec Bos et Vig ils comptent aussi bien l’élément dont on cherche le rang que les précédents (par exemple 6 pour le rang 6) et dans un sens comme dans l’autre (6 est le 5^e en partant de 10). Bref, grâce à ce double progrès de la cardination devenue indépendante des parties et s’appliquant à tous les termes conçus comme des unités équivalentes, ainsi que de l’ordination détachée de la qualité, ces deux mécanismes sont rendus corrélatifs et le terme n signifie dorénavant pour l’enfant à la fois le n^e rang et une somme cardinale de n.

— Les interprétations que nous venons d’esquisser peuvent être vérifiées par le développement de l’expérience, puisque, au lieu de nous borner à disjoindre optiquement les séries correspondantes ou à en inverser une, nous allons les disloquer en tout ou en partie et analyser ce qui demeure alors de la correspondance chez l’enfant et comment il parvient à la reconstituer.

Cette technique permet naturellement de retrouver les trois stades précédents : durant le premier la correspondance est rompue, il n’y a pas resériation et le choix des termes à remettre deux à deux se fait arbitrairement ; durant le second il y a recherches plus ou moins poussées, mais sans resériation ni cardination systématiques et durant le troisième la reconstitution est complète avec coordination de l’ordination et de la cardination.

Voici des exemples du premier stade :

Gui (4 ; 6). Toutes les cannes et les poupées sériées auparavant viennent d’être mélangées : « Regarde. Toutes les poupées plus petites que celle-là (P 6) iront maintenant se coucher. Tu vas les mettre là. — (Il met P 4, 1, 3, 2, 6.) — Et alors quelles cannes restent dans l’armoire ? — (Il commence par rajouter la poupée 7 au groupe de celles qui restent à la maison, puis met les cannes 1, 2, 4, 6, 3, dans l’armoire. Il laisse sur la table les cannes 5, 7, 8, 9, 10.) — Et quelles sont les poupées qui vont se promener ? — (∏ montre le groupe restant, soit 5, 8, 9 et 10.) — Combien de cannes restent dans l’armoire ? — (Il compte) 5. — Et comiben de poupées restent à la maison ? — 6. —   Alors ? — … (Il n’a nullement l’air gêné par ce manque de correspondance.) •

Val (5 ; 6) : « Regarde. Toutes les poupées plus petites que celle-là (P 7) vont se promener. Alors quelles poupées restent à la maison ? — (Il montre P 9 et 10.) — Et quelles cannes restent dans l’armoire ? — (∏ montre C 10, C 8 et C 9.) — Et maintenant toutes les poupées plus petites que celle-là (P 5) iront se promener. Quelles cannes resteront à la maison ? — (Val série C 10, 9, 8, 7.) — Quelles cannes vont partir ? — (Il montre le reste.) — Quelles poupées restent à la maison ? — (Montre P 9, 10, 8, 7, 9.) »

Rei (5 ; 6) : « Toutes les poupées plus grandes que celle-là (P 6) iront se promener. Alors quelles cannes iront avec elles ? — (Il désigne G 10, 9 et 8.) — Quelles poupées se promènent ? — (P 10, 9, 6, 7.) — Maintenant celles qui sont restées à la maison veulent jouer à la balle. Prépare les balles. — (Rei aligne B 4, 1, 3, 2, 5, 6.) »

Quant à la question IV (disloquer l’une ou les deux séries et faire reconstituer la correspondance), elle ne donne naturellement rien de neuf à ce stade, puisque ni la sériation ni la correspondance ne sont acquises spontanément. Mais les réactions que nous venons de citer (question V) confirment parfaitement, et d’une manière nouvelle, ce que nous avons vu jusqu’ici de ce niveau, tant au point de vue de la sériation et de la correspondance sériale qu’à celui des rapports entre l’ordination et la cardination.

On constate d’abord que, si l’on demande de trouver les poupées plus grandes ou plus petites que l’une déterminée (P 6, par exemple), au lieu de mesurer ou de sérier les autres termes, ou tout au moins de les examiner un à un pour les répartir ainsi en deux groupes, l’enfant les classe globalement en plus petits et plus grands, sans s’occuper du détail. Ainsi Gui met l’élément 7 dans l’ensemble < 6, et l’élément 5 dans la collection > 6. Val oublie 8 entre 7 et 10, etc. D’autre part, lorsque ces mêmes sujets cherchent à réunir les cannes convenant à ces collections globales, au lieu d’effectuer une correspondance ou de compter, ils se bornent à nouveau à une estimation d’ensemble, mettant en gros les grandes cannes avec les grandes poupées et les petites avec les petites. Ces comportements confirment donc entièrement ce que nous avons vu de la sériation et de la correspondance sériale propres à ce stade.

Par contre, les rapports dont ces conduites témoignent entre la sériation et la cardination sont à la fois nouveaux et très instructifs pour la vérification des interprétations du paragraphe précédent. En effet, en demandant à l’enfant de trouver à la fois les poupées > n ou < n et les cannes qui leur correspondent on pose un problème d’ordre aussi bien cardinal qu’ordinal, puisqu’il s’agit de trouver le même nombre de cannes que de poupées. Notons que ce n’était pas le cas

lors des questions I-III, puisque les rangées étaient à construire avec un nombre déjà donné de poupées et de cannes (10 + 10) ou que la correspondance pouvait être retrouvée par voie optique. Or, le grand enseignement des réactions de ce premier stade, lors de la présente expérience, est que, si ces enfants se contentent de sériations et de correspondances sériales de type global, ils font preuve d’une désinvolture également complète à l’égard de la cardination et de la correspondance cardinale. Ainsi Gui attribue 5 cannes aux 6 poupées restant à la maison et laisse 5 cannes sur la table pour les 4 qui vont se promener. Val, de même, réserve 3 cannes pour 2 poupées, puis met 4 cannes dans l’armoire pour les 5 poupées restantes. Rei également réserve 3 cannes pour les 4 poupées en départ, etc.

Il est donc parfaitement clair que l’absence de sériation spontanée va de pair avec l’absence de correspondance cardinale spontanée. Nous avons déjà vu qu’à l’absence de sériation correspondait une absence de conservation ou d’équivalence durable : le phénomène va donc plus loin et à ce niveau il n’y a même pas de correspondance cardinale spontanée lorsque l’on pose un problème de double sériation.

Voici maintenant des exemples du second stade :

Tis (5 ; 6). Quest. IV : les deux séries sont disloquées après avoir été construites par l’enfant (voir § 2) : « Tu peux me dire maintenant quelle canne aura ce Monsieur (P 6) ? — Oui, il faut faire comme avant peut-être (il série alors les poupées, mais pas les cannes, et attribue sans plus C 5 à P 6). — Et pour celle-là (P 3)? — C’est celle-là (C 3). » Etc.

Quest. V. Poupées et cannes à nouveau brassées : « Toutes les poupées plus petites que celle-là (P 6) iront se promener. — (Il réunit P 10, 9, 8, 7, 6, 5 et montre P 1, 2, 3, 4 en disant : ils sont allés se promener (puis il rajoute P 6 et 5 à l’ensemble P 1-4). — Et maintenant montre les cannes qu’ils ont prises pour se promener. — Oh ! C’est difficile (il met alors C 5 avec P 6, C 4 avec P 5, C 3 avec P 4, C 2 avec P 3 et C 1 avec P 1). Eh ! il en manque une (il rajoute C 6 et corrige la correspondance par une série de tâtonnements). — (On reprend alors les cannes, on les mélange et on demande) Mets dans l’armoire les cannes de ceux qui restent à la maison. — (Il met C 10, 9, 8 et 7.) — Tu es sûr ? — Oui, c’est toutes les grandes. »

Tal (5 ; 5). Les poupées restent sériées mais les cannes sont en désordre. Quest. IV. On demande la canne de P 7 et Tal choisit sans sérier C 5. Pour P 10 il donne bien C 10, mais pour P 7 à nouveau, il compte 4 (soit P 10, 9, 8 et 7), puis aligne 4 cannes (soit G 10, 8, 5 et 9) et désigne alors la canne 9 comme étant celle qui correspond à P 7 I

La quest. V est par contre bien résolue, puisque les poupées sont restées sériées : « Combien de cannes restent dans l’armoire ? — (Il compte : 5.) — Et combien de poupées restent à la maison ? — (Sans compter) 5. »

Cha (6 ans). Les cannes restent sériées mais les poupées sont disloquées. Quest. IV : « Quelle est la canne qui va avec cette poupée (P 6)? » Cha met P 10 à une certaine distance de la série des cannes, puis il série P 9, P 8, P 7 et P 6

à la suite de P 10, sans s’occuper des cannes. P 6 se trouve alors par hasard en face de C 4 et Cha s’écrie : « C’est celle-là ! —   Où est la canne de (P 10)? — Celle-là (C 10). — Alors où faut-il mettre la poupée (P 10)? — (∏ la place sous C 10 et effectue alors toute la série correcte de P 10 à P 1.) »

Ora (6 ans). Les poupées sont sériées et les cannes en désordre. Quest. IV : « Tu peux me trouver la canne de cette poupée (P 4)? — (II compte 7 poupées depuis la 10« , et aligne les cannes 1-7, en désignant alors la canne G 7.) — Et pour celle-là (P 6)? — (Il compte les 4 poupées précédentes et désigne la 4∙ canne en partant de 10 soit C 7.) »

Quest. V : « Regarde. Toutes les poupées plus grandes que celle-là (P 6) iront se promener. Alors quelles cannes resteront dans l’armoire ? — (Il fait la correspondance de C 6 à G 10 avec les poupées P 6 à P 10 et montre les autres cannes.) »

Chou (7 ans). Quest. V. Cannes et poupées en désordre : « Tous les bonshommes plus grands que celui-là (P 6) iront se promener. — (Il série les poupées P 6 à P 10.) — Mets dans l’armoire les cannes qui restent à la maison. — (11 met d’un côté C 1, 5, 4 puis, à part, C 10-6 et place alors dans la boîte C 1, 5, 4 et les deux restantes.) — Compte les poupées qui restent. — (Il devine par erreur 6.) — Et combien de cannes restent ? — Il compte 5 et rajoute la canne 6 pour faire l’équivalence avec le nombre supposé des poupées. »

Le progrès accompli du premier à ce second stade est d’un grand intérêt. Commençons par analyser les réponses données au problème de la promenade qui, d’une manière générale, est plus facile que la question IV, nous verrons pourquoi.

La grande nouveauté du stade, à cet égard, est le début de relation qui s’établit entre la cardination et l’ordination : en effet, contrairement aux sujets du premier stade, chacun de ces enfants sait d’avance que le nombre des cannes restant dans l’armoire est égal au nombre des poupées restant à la maison et que celui des cannes partantes est égal à celui des bonshommes en promenade. C’est ainsi que Tis, effectuant la seconde de ces correspondances, constate qu’une poupée reste sans canne et la cherche aussitôt. Tal, qui compte les 5 cannes demeurées dans l’armoire, en conclut sans plus que 5 poupées sont restées à la maison. Chou, ayant admis par erreur que 6 poupées restent sans se promener, en déduit qu’il faut trouver 6 cannes dans l’armoire et en rajoute une, etc. Notons d’ailleurs que ce résultat n’a rien de contradictoire avec la non-durée des équivalences cardinales observée au cours du second stade des chap. III et IV ou du § 3 de ce chapitre : en effet, il ne s’agit pas ici de deux rangées disjointes à comparer l’une en présence de l’autre, mais de l’aflirmation d’un retour à la correspondance possible, retour qui est souvent affirmé au cours du second stade de la correspondance cardinale et qui est ici facilité par la correspondance sériale.

Mais, si la correspondance sériale implique ainsi pour ces enfants un début de signification cardinale, cela ne prouve nullement qu’ils aient déjà découvert les relations constantes qui unissent ces deux aspects de la notion du nombre, comme on pourrait le croire si on se bornait à l’examen du problème de la promenade sans analyser les résultats bien différents fournis par la question IV. Il suffit, en effet, pour résoudre le problème V, de répartir les poupées en deux collections ou classes, Γune ≥ n et l’autre < n (ou l’une > n et l’autre ≤ n) et de faire de même avec les cannes. Mais cela ne suppose pas encore le système opératoire suivant lequel chaque rang nouveau représente une unité cardinale de plus et réciproquement : cela implique simplement que deux rangées ou deux segments de rangées correspondant sérialement se correspondent aussi cardinalement. Or, la nuance est très appréciable. Dans le second cas, l’enfant fait abstraction des relations d’ordre, sauf ≥ n et < n, et définit ainsi simplement deux classes : par exemple, Tis rassemble les cannes > C 6 et dit « c’est toutes les grandes »; Ora, après avoir sérié les cannes C 6 à C 10, réunit sans plus les autres comme restant dans l’armoire ; Chou procède de même, etc. Ce sont donc en réalité ces classes dont l’enfant évalue cardinalement les éléments par numération, sans procéder sans plus du nombre ordinal au nombre cardinal. Au contraire, dans le premier cas, il s’agit de saisir le rapport direct unissant les ordinaux aux cardinaux, et c’est précisément ce que l’enfant de ce stade ne comprend pas.

En effet, si nous passons du problème V à la question IV, ces mêmes sujets témoignent de difficultés surprenantes à concilier l’aspect ordinal et l’aspect cardinal des correspondances, et, pour tout dire, ils ne parviennent point encore à ces notions numériques sur un plan opératoire et se bornent à les pressentir intuitivement. Nous assistons, à cet égard, à quatre sortes de tentatives de synthèse entre l’ordination et la cardination :

La méthode la plus primitive consiste à deviner sans plus la correspondance ou à ordonner l’une des séries seulement et à deviner ensuite les correspondances avec l’autre. C’est ce que fait Tis, qui se trompe pour C 5 et P 6 mais tombe juste pour les éléments extrêmes tels que P 3 et C 3. De même Tal devine C 5 pour P 7, etc. En procédant ainsi, l’enfant utilise naturellement une co-sériation implicite, mais de nature purement qualitative et il n’est donc pas encore question d’ordination proprement numérique. La seconde méthode,

dont on rencontre plusieurs exemples et que nous observerons également à propos du problème des barrières (chap. VI § 3, 2^e stade : cas de Jen), consiste à utiliser la cardination, mais à négliger l’ordination ! Le cas de Tal illustre bien la chose : pour trouver la canne correspondant à la poupée 7, il compte les poupées 10, 9, 8, 7 ce qui donne 4, puis il cherche 4 cannes, surtout parmi les grandes il est vrai, mais choisies dans un ordre quelconque (10, 8, 5 et 9) et désigne alors la canne 9, puisqu’elle sort la dernière et qu’elle doit ainsi correspondre à 7 ! (Or Tal a fort bien résolu le problème de la promenade, ce qui montre bien l’absence de rapport direct entre ces deux questions.) La troisième méthode consiste au contraire à utiliser l’ordination ou plus précisément la sériation, mais à oublier la cardination, ce qui fait que la correspondance établie par le sujet n’est pas non plus rigoureuse : par exemple Cha, pour trouver la canne de la poupée 6 (les cannes étant déjà sériées), ordonne en ligne droite les poupées 10, 9, etc. jusqu’à 6, mais sans les mettre en regard des cannes (les deux rangées commençant en des points différents), ce qui fait que la poupée 6 vient aboutir par hasard sous la canne 4 et que l’enfant croit ainsi avoir découvert la correspondance voulue… Enfin la quatrième méthode utilise simultanément l’ordination et la cardination, mais sans coordonner le rang cherché avec l’ensemble cardinal des éléments : par exemple Ora, pour la poupée 6, compte les 4 poupées précédentes à partir de 10 (10, 9, 8 et 7) puis désigne la canne 7, c’est-à-dire la dernière de 4 cannes comptées également en partant de la 10^e. Nous retrouvons ainsi, dans cette quatrième méthode, les erreurs du deuxième stade observées à propos des questions II et III (paragraphe précédent).

Telles sont les relations établies durant ce stade entre l’ordination et la cardination lorsqu’il s’agit de retrouver la correspondance entre deux rangs et non plus seulement entre deux collections plus ou moins grandes qu’un terme donné. Or, il est visible que, tout en cherchant à concilier l’ordre avec la valeur cardinale, l’enfant ne parvient à penser aux deux choses à la fois : lorsqu’il pense à la dernière, il oublie le rang (méthode 2), lorsqu’il pense au rang, il oublie le nombre cardinal (méthode 3) et lorsqu’il tient compte des deux à la fois en gros, il les dissocie dans le détail (méthode 4). Ce que l’enfant a appris depuis le premier stade, c’est donc que, si 10 bonshommes de grandeurs différentes ont chacun une canne appropriée à sa taille, le nombre total des cannes sera aussi de 10 et que si les 5 plus grands de ces

bonshommes se promènent avec leurs cannes, ces cannes seront également les 5 plus grandes de la collection. Mais ce que l’enfant n’a pas encore compris, c’est que la canne correspondant au bonhomme n sera non seulement la n^e de la série des cannes mais encore qu’elle constituera avec les précédentes un ensemble cardinal de n cannes, ou, plus simplement, que le n^e bonhomme est nécessairement lui-même le dernier de n bonshommes. Il pourrait sembler cependant que la première de ces deux propositions entraîne la seconde. Mais il n’en est rien, parce qu’entre les deux subsistent deux différences essentielles, l’une tenant à la structure logique des opérations et l’autre à leur mécanisme psychologique.

Du point de vue logique, en effet, le problème V peut être résolu tout entier par la logique qualitative. 1° La sériation des bonshommes ou des cannes n’est qu’une question de relations qualitatives asymétriques, chaque élément étant conçu comme différent de tous les autres et chaque relation de différence entre deux éléments étant elle aussi différente de toutes les autres. 2° La construction des collections ≥ n ou < n consiste simplement à définir deux classes, chaque élément de l’une de ces classes étant équivalent aux autres éléments de la même classe (par exemple lorsque Tis dit « c’est toutes les grandes », l’une de ces grandes est équivalente du point de vue de cette réunion à n’importe quelle autre) mais naturellement chaque sous-classe (ou classe élémentaire) diffère de chacune des autres par ses qualités propres, celles qui permettent précisément de les sérier par ailleurs). 3° La classe totale des bonshommes est égale à la cl. ≥ n plus la cl. < n. 4° Enfin l’équivalence entre la cl. < n des poupées soit cl. < PN et la cl. < n des cannes, soit cl. < CN peut être assurée par simple correspondance qualitative entre classes élémentaires, les deux classes cl. < PN et cl. < CN ayant la même extension, ce qui signifie concrètement que « chaque bonhomme a sa canne » (et ce qui n’empêche pas naturellement d’effectuer la correspondance des cl. < PN et < CN au moyen du nombre cardinal, si le sujet le préfère). Au contraire, le problème IV, ou plus précisément la compréhension du fait que le n^e bonhomme est nécessairement le terme ultime de n bonshommes suppose que l’on fasse abstraction des qualités pour considérer chaque élément comme étant à la fois équivalent à chacun des autres et différent par sa position d’ordre (chaque différence entre un rang et le suivant étant elle-même équivalente à chacune des autres). Autrement dit,

cela suppose que les éléments soient considérés à la fois comme termes de classes et termes de relation, non plus alternativement et à part comme dans le système précédent, mais simultanément et un même tout opératoire, ce qui est, on le reconnaît, notre définition même du nombre.

Or, à cette opposition logique correspond la différence suivante dans le fonctionnement psychologique. Le problème V ressortissant de la logique qualitative seule, peut être, d’autre part, résolu intuitivement (non pas par le fait même, mais parce que les opérations qualitatives en jeu ne demandent pas à être généralisées en toutes leurs conséquences). En effet : 1° La sériation qualitative est effectuée intuitivement au cours du présent stade. 2° Les classes ≥ n et < n sont aisées à délimiter intuitivement. 3° L’opération d’addition des classes (cl. ≥ n + cl. < n = cl. totale P ou C) qui ne pourrait être effectuée intuitivement s’il s’agissait de considérer simultanément le tout (cl. P ou C) et la partie (cl. < PN, etc.), peut au contraire fort bien l’être lorsqu’il n’est question que d’un partage en deux sous-classes d’un sectionnement quelconque. 4° La correspondance qualitative entre la cl. < PN et la cl. < CN est elle aussi couramment effectuée par la méthode intuitive durant ce stade. Au contraire, les opérations numériques employées par nos sujets pour résoudre le problème IV (méthodes 2 à 4) ne peuvent être menées à bien intuitivement et supposent une coordination opératoire. C’est pour cela que les sujets de ce stade échouent dans sa solution et que seuls les enfants du 3^e stade y parviennent sans difficultés. Ces constatations montrent une fois de plus que la correspondance sériale d’ordre qualitatif est conquise au cours du second stade dans la mesure où elle peut être effectuée par voie intuitive, mais que la généralisation des opérations qualitatives ainsi que la construction de la correspondance ordinale sont réservées au troisième stade, parce qu’elles supposent un mécanisme proprement opératoire, particulièrement en ce qui concerne la coordination du nombre ordinal et du nombre cardinal. Au total nous pouvons donc conclure (comme nous l’avons fait au § 3) que le second stade est caractérisé par un début de connexion entre l’ordination et la cardination, mais avec défaut de liaison entre ces deux processus.

Nous allons voir maintenant, au contraire, que durant le 3’ stade non seulement le problème V est résolu immédiatement mais encore que le problème IV donne lieu d’emblée à des solutions correctes, avec

H

ou même sans tâtonnements de détail, parce que la correspondance ordinale achève enfin sa constitution, en connexion nécessaire avec les progrès finaux de la cardination déjà analysés au cours des chap. III et IV. Voici des exemples de ce 3^e stade :

Shen (6 ; 6). Poupées et cannes en désordre. Question V : « Les poupées plus grandes que celle-là (P 5) iront se promener. Alors mets dans l’armoire les cannes qui restent à la maison. — (Shen regarde attentivement les poupées puis prend les cannes dans l’ordre C 1, 2, 3, 4, et 5 qu’il met dans l’armoire.) — Combien de poupées restent à la maison ? — 5. — Comment tu sais ? — Je les ai comptées de 1 à 5. —   Ce bonhomme (P 5) va aussi se promener. — Alors il y a 4 cannes qui restent. (Il cherche une canne dans l’armoire.) — Qu’est-ce que tu fais ? — Je veux voir laquelle il faut sortir (il série les cannes et sort C 5). »

D’autre part, Shen ayant compté les poupées de 1 à 5, nous lui demandons : « Lequel est le plus grand ? — Le dernier (P 10). — On pourrait aussi dire que c’est le lⁿ, n’est-ce pas ? — Oui. —   Et celui-là (P 9) ? — Le 2∙. —   Et celui-là (P 8) ? — Le 3∙… etc. — Si on dit qu’un bonhomme est le 4 », alors combien il y a avant ? — 3. —   Et le 8‘? — 7. — Pourquoi ? — J’ai compté dans ma tête combien il reste. »

Quest. IV : « Cette canne-là (C 5) va avec quelle poupée ? — Celle-là (P 5). — Pourquoi ? — J’ai compté dans ma tête (il montre P 10-5 et C 10-5). »

Vio (6 ; 6). Question IV (Poupées et cannes en désordre) : « Pour cette poupée (P 7) il faut quelle canne ? — (Vig série P 10, P 9 et P 8 et montre C 8, mais il continue spontanément à sérier, et vers le milieu s’écrie : Non, c’est celle-là (C 7), parce qu’elles ont toutes leurs cannes. » Autrement dit il corrige son erreur en coordonnant le rang et la cardination. « Et pour celle-là (P 6) ? — Celle-là (C 6). — Comment as-tu trouvé ? — J’ai regardé combien il y en a. »

La coordination entre l’ordre et le nombre cardinal est ainsi achevée. Vig, qui commence par attribuer C 8 à P 7 en commettant l’erreur du second stade, se corrige spontanément en rappelant le principe de la correspondance cardinale. Quant à Shen, non seulement il est d’accord de renverser sa propre numérotation et d’appeler 1,2,3… ce qu’il appelait jusque-là 10, 9, 8… — ce qui montre que pour lui le rang est devenu relatif à l’ordre de succession pure — mais encore il comprend que, dans n’importe quel ordre, il y a toujours 7 termes avant le 8^e etc. La correspondance ordinale est ainsi acquise sur le plan opératoire, grâce à sa mise en connexion avec la cardination elle-même.