Chapitre VI.
L’ordination et la cardination ^{1 a} 🔗

— Nous avons déjà abordé l’étude de la sériation au cours du chapitre précédent, mais l’expérience des bâtons, en permettant de modifier quelque peu les questions posées à l’enfant, fournira un certain nombre de données supplémentaires à verser au dossier. Il vaut donc la peine de reprendre le problème en introduction à celui de l’ordination numérique elle-même.

Voici la technique adoptée à cet égard. On donne à l’enfant une collection de 10 petits bâtons de différentes longueurs en demandant de la sérier du plus petit (A) au plus grand (K). La série une fois construite on présente, et cette fois un à un mais dans un ordre quelconque, 9 nouveaux bâtons (que nous appellerons a-i), en disant qu’on les a oubliés et qu’il faut maintenant les intercaler à leur rang

exact ¹. D’où la série : AaBbGcDdEeFfGgHhliK. En troisième lieu, on fait compter tous les éléments de la série (y compris les bâtons intercalés) et on laisse devant l’enfant un nombre d’éléments correspondant à un chiffre bien connu de lui (si par exemple sa numération devient hésitante à partir de 10, on laissera 8 bâtons, etc.) On montre alors, en laissant la série en place, un bâton quelconque et on demande combien un bonhomme a déjà parcouru de marches d’escalier en arrivant à ce point-là (on peut faire circuler réellement ou par un geste symbolique une petite poupée d’un bâton à l’autre, comme si elle montait un escalier). On demande également combien le bonhomme a de marches derrière lui et combien il lui en reste à monter pour parvenir au haut de l’escalier. Enfin, quatrième problème, on mélange les bâtons et on pose les mêmes questions que précédemment, le sujet étant obligé donc de refaire la sériation avant de répondre.

Trois étapes peuvent être distinguées dans la sériation même des bâtons (questions I et II). Il y a, en premier lieu, une période au cours de laquelle les enfants manquent toute sériation complète, même pour les bâtons A-K, et ne réussissent à constituer que de petites séries juxtaposées sans ordre d’ensemble. Ou bien encore, ils parviennent bien à construire un escalier, mais en ne considérant que la partie supérieure de chaque bâton : or, comme ils négligent la partie inférieure, donc la longueur totale de chaque élément, leur escalier n’est ainsi régulier que du point de vue de la figure d’ensemble constituée par les sommets, et, les bâtons ne reposant pas sur une ligne horizontale, ils ne se succèdent pas selon leur ordre réel de grandeur. Au cours d’un deuxième stade, l’enfant construit par tâtonnements, un escalier correct, mais sans parvenir à un système de relations qui puisse dominer les essais et erreurs et permettre en particulier d’intercaler sans fautes les bâtons supplémentaires. Enfin, un troisième stade est caractérisé par le fait que chaque élément trouve d’emblée une position telle qu’il soit à la fois plus grand que les précédents et plus petit que les suivants.

Quant aux relations entre l’ordination et la cardination (questions III et IV), on peut également distinguer trois stades, qui correspondent grosso modo aux précédents. Au cours du premier, l’enfant ne comprend pas que pour évaluer combien le bonhomme a parcouru

* Lee longueurs des bâtons A, B, C, etc., diffèrent d’environ 0,8 cm et les bâtons a, b, c, etc., diffèrent des précédents d’environ 0,4 cm, le tout s’échelonnant entre 9 et 16 cm environ.

de marches depuis le plus petit échelon (A), il faut déterminer le rang du bâton N considéré, et se contente d’une évaluation arbitraire. Durant le second stade, l’enfant comprend peu à peu qu’il a besoin de reconstituer l’escalier, mais il croit nécessaire de refaire l’ensemble de la série, de A au bâton N et de N à K, comme si les termes supérieurs à N étaient aussi utiles pour déterminer le rang de N que les termes inférieurs : de fait ces sujets, dont le caractère distinctif est donc la difficulté à dissocier un segment de série de la totalité, confondent fréquemment les termes de A à N (marches déjà parcourues) avec ceux de N à K (marches à gravir encore). Enfin au cours d’un troisième stade, l’enfant comprend que pour déterminer le rang de N, il lui suffit du segment de A à N et que le rang équivaut au nombre des marches déjà parcourues.

Voici d’abord deux exemples du premier stade, caractérisé donc par l’échec de la sériation elle-même, et naturellement dès lors par l’incompréhension complète des rapports entre l’ordination et la cardination :

Lu. (4 ans) I : « Montre la toute petite marche. — (Juste.) — Maintenant cherche un qui est un tout petit peu plus grand que celui-là. (Elle prend un grand, qu’elle met à côté de A.) — Montre le tout grand. — (Elle montre un grand quelconque, sans chercher à comparer.) — Essaie maintenant de mettre d’abord le tout petit, puis un bâton un peu plus grand, un peu plus grand, un peu plus grand, etc. — (Lil prend J pour le mettre à côté de A, puis E, puis H, etc. sans ordre aucun.) — Tu vois on met d’abord comme ça (A, B, C). Ça fait comme un escalier. Alors continue. — (Lil continue : K, F, D, I, G donc sans ordre) Comme ça ? » Parvenue à ce point, Lil découvre un procédé, propre à ce premier stade, pour construire l’escalier : Lil prend le bâton B et le fait suivre du bâton H, mais en faisant dépasser légèrement le sommet de B par celui de H sans se soucier des bases. Elle rajoute ensuite K, F, D, I, G, etc. en sériant les sommets seuls. — On demande alors à Lil de recommencer, mais avec une réglette servant de support horizontal : Lil série A, C, H, G, E. On défait cette série, on construit l’escalier entier, on le disloque et on prie Lil de le refaire : elle place A, B, C, D, H, F, E, G.

III : aucune évaluation possible.

Eli (4 ans). I : « Montre le tout petit. — (Juste.) — Et le tout grand ? — (Il désigne un grand quelconque.) — Arrange maintenant, etc. (consigne de l’escalier). — (Il série A, B, G, K, H, etc. puis aligne A, B, K, etc. de manière à ce que les sommets fassent un escalier sans se soucier des bases. Après divers essais de ce genre, on montre à Eli comment faire un escalier à base horizontale, puis on le défait, et Eli essaie de le reconstituer : d’où A, I, H, F, D. Lorsqu’il s’agit de dénombrer les bâtons, Eli compte 1, 2, 3, 5, 10, 3, 14, etc. »

On voit que les réactions de ces sujets témoignent d’un niveau antérieur à la sériation, même intuitive, en ce qui concerne le problème posé. Certes, dès les premières années et même peu après la conquête de l’intelligence sensori-motrice qui apparait vers les 10^β-12^β mois,

l’enfant est capable d’aligner 3 objets du plus petit au plus grand (par exemple 3 plots), ce qui constitue un début d’ordination, de même qu’il est apte à distinguer qu’il y a « plus » d’objets dans ces 3 que dans une couple, ce qui constitue un début de cardination. Seulement, de même que, du point de vue cardinal, l’enfant de 3 ou 4 ans demeure incapable de décider lequel est le plus nombreux de divers ensembles de 20 à 25 grains de haricots, parce qu’il ne sait pas faire correspondre terme à terme les éléments de ces collections et qu’il ne lui est pas possible de juger globalement de leurs valeurs respectives, de même, du point de vue ordinal, le même enfant sera empêché de sérier des cubes ou des bâtons, lorsque leur nombre dépasse une certaine limite ou que les différences de volume ou de longueur qui les séparent sont trop peu sensibles pour donner lieu à des comparaisons systématiques étant donné ce nombre. Sans vouloir donc affirmer en aucune manière que des sujets tels que Lil ou Eli sont inaccessibles à toute sériation et seraient ainsi à classer dans une période présériale au sens absolu du terme, nous prétendons simplement que, du point de vue du problème considéré ici, c’est-à-dire des 10 bâtons donnés (plus les 9 éléments intercalaires), et de leurs différences particulières de longueur, ces enfants ne parviennent pas sans aide à une sériation régulière quelconque, et demeurent ainsi à un niveau présérial relativement à ce problème précis. Quant à la cardination, ils ne savent par conséquent pas évaluer les collections de plus de 2 ou 3 objets par des nombres, puisque la numération suppose l’ordination. Par exemple Eli répète deux fois le nombre 3 dans son essai de dénombrement. Il n’y a donc aucune relation possible entre l’ordination et la cardination.

Il n’en est pas moins intéressant de nous demander ce qui empêche ces enfants de constituer des séries en escalier, c’est-à-dire les plus intuitives des séries, car ces difficultés sont de nature à éclairer, par leur persistance partielle, les stades ultérieurs, c’est-à-dire les débuts de la période proprement ordinale.

Le premier point à noter est que, si ces enfants savent d’emblée montrer « le tout petit bâton », ils désignent par contre un grand quelconque lorsque l’on demande « le tout grand », comme si le plus grand était un bâton grand en soi, indépendamment des relations qu’il soutient avec les autres. Or, cette attitude initiale est déjà instructive : en effet, lorsque l’enfant de ce niveau cherche à ordonner l’un des bâtons, tout se passe comme s’il ne le comparait pas à

l’ensemble des autres, ou du moins des restants, mais simplement comme s’il cherchait, par rapport au premier ou à l’un des « petits », un « grand », encore un « grand », etc. En second lieu, une série suppose une direction stable dans la mise en relations des termes, et cette vection semble également faire défaut.

Par contre, à un moment donné, l’enfant trouve le procédé qui consiste à construire un escalier en tenant compte des sommets seuls indépendamment des bases. De cette manière les deux conditions précédentes sont partiellement remplies, mais, comme la longueur totale des bâtons n’intervient pas encore, il n’est point besoin de comparer chacun à ceux qui restent à classer ni de le comparer au précédent selon une progression constante. Un tel procédé remplace ainsi le système des relations par une simple figure d’ensemble intuitive. On ne saurait donc pas encore parler à son sujet d’ordination proprement dite, de même qu’un tas n’implique nullement comme tel une colligation vraie, mais une évaluation globale et non analysée. L’escalier par simple ajustement des sommets n’est ainsi qu’une forme de passage entre le chaos préordinal et l’ordination, et c’est au moyen d’une structure perceptive que cette transition s’opère, comme dans le cas de la cardination, lorsque, pour passer de l’évaluation globale à la correspondance terme à terme, l’enfant procède par comparaison de figures plus ou moins bien analysées.

Voici maintenant des exemples du second stade, à commencer par un cas intéressant, intermédiaire entre le premier et le deuxième stade et montrant le passage des jugements pré-relatifs à la sériation empirique :

Cla (4 ¹∕₁) L II commence par montrer le bâton le plus petit et le plus grand, puis, sans aligner les autres sur une même base horizontale, construit deux suites en relation avec A et K : à gauche, il met les petits A, C, F, D, E, G, B, H et à droite, après avoir retiré de l’autre ensemble l’élément G, il met les grands G, I, K. Puis il corrige en A, C, H, F puis en A, B, C, H, E, F, D puis en A, B, C, D, E, F, H et juxtapose à H les éléments G, I, K. Il aligne les bases puis corrige la fin en F, G, I, K, H puis les trois derniers en D, H, G puis en F, H, K puis enfin trouve l’arrangement correct. Nous nous sommes contentés, après chaque arrangement, de demander : • C’est juste ? »

II. Quant aux bâtons supplémentaires, il place d entre C et D, puis après E, avant B et enfin avant E ce qui est juste, n situe a correctement, puis met / entre B et C, etc.

III. Après quoi, on fait compter les bâtons en ne laissant que AaBbCcDd ; Cia comprend la question ΓV. On mélange alors les 8 bâtons et l’on demande : « Il est ici (b). Combien y a-t-il de marches derrière lui ? — 2, parce que celui-ci (a) est derrière lui. — Combien il a fait de marches ? — 2, non 3 (il met A, B et a avant b). — Combien il en a à faire encore ? — (∏ compte l’espace vide après b) 8. — Pourquoi 8 ? — Parce qu’il y en a S en tout. — (On mélange à nouveau.)

— Tu vois, il est là (C). Combien il a fait de marches ? — (Il arrange tout l’escalier et compte) 4. —   Combien il en reste à faire ? — 10, non 3. »

Vot (4 ; 10). I. Il montre d’emblée le plus petit, mais désigne un grand au hasard (H) comme étant le plus grand, puis il arrange sa série sans s’occuper d’une base commune : A, H puis A, B, H puis A, B, C, D, E, F, G, H, J, K.

II. Il met g avant K. Il met c à la place de A, puis l’intercale correctement. ∏ met g entre c et D puis i entre H et I, etc.

III. Après avoir régularisé la série, nous retenons 8 éléments et Vot comprend bien la question. IV. Mais lorsque l’on mélange les bâtons, il croit que le bonhomme sur b a parcouru les marches a, d et D, etc. « Combien il lui en faut encore monter ? — (D compte 8.) »

San (5 ans). I. H choisit correctement le plus petit et le plus grand bâtons, puis arrange A, B, C. Arrivé à D il le compare à chacun des autres individuellement, même aux plus grands, et le place après C. Les bâtons E-K sont ensuite sériés avec tâtonnements (corrections sur la série même).

IL II intercale correctement i avant K, puis il compare e à E, F, D, E puis à tous les autres en série, avant de le placer. De même pour g. Le h est mis avant G puis San s’écrie : « Non, ça ne va pas, c’est trop difficile. »

III. Bonne numération jusqu’à 9. On laisse 8 éléments et San compte correctement. ΓV. Bâtons en désordre : San montre les marches A, b et B comme déjà parcourues quand on est en C (oublie d), etc. Pour les marches précédant D il refait tout l’escalier. Pour les marches à monter encore il montre le tout.

Bru (5 ans ½)∙ I∙ Il arrange avec quelques tâtonnements la série correcte de A à K. IL Pour intercaler h il déplace K, I, H puis le situe juste. Pour le g il enlève G, met g avant H, sort E, met G après F, etc. De même, il commence par mettre e avant E, puis après F.

III. Réponses correctes jusqu’à 8. IV. Bâtons mélangés. Bru est désorienté pour trouver combien il y a de marches avant C : il prend d qu’il place avant puis après C, met A avant C, puis série le tout : « Combien il en a déjà fait ? — 3 (exact). — Et combien il en reste à faire ? — 8. »

Dit (5 ; 6). I. II commence par faire la suite par couples non coordonnés A B, H G, E F, I C, D K puis aboutit à une série correcte sans le H qu’il rajoute ensuite.

I. Grandes difficultés : il met h après K, g après H, d entre c et D, etc. Il aboutit à A, a, B, b, C, c, d, D, E, e, F, f, H, g, G, I, h, K, i. « Est-ce qu’il est bon ton escalier ? — Non, pas très. » Il corrige peu à peu. A un moment donné il voit que d est trop petit pour la position qu’il lui a donnée : il le remonte alors simplement de quelque mm.

III. Correct pour 8. IV. En désordre : on montre B et Dit répond correctement sans sérier que 2 marches ont déjà été gravies. « Combien il y en a encore à monter ? — (Il série.) — Tu peux savoir sans arranger ? — 11 peut-être (il ne compte donc pas les 5 restants). — Et s’il y avait 11 en tout et qu’il est sur le 3*, celui-là (B), combien il devrait en monter encore pour arriver au haut ? — Alors il doit encore monter 11. »

Voici enfin deux cas d’enfants qui parviennent à répondre correctement à la question des marches à parcourir encore, mais grâce à la méthode empirique, caractéristique de ce stade :

Mic (5 ; 8). I. Réussit avec quelques corrections. II. Met e entre D et E, puis juste. Met i après H, etc. mais se corrige chaque fois avant de poursuivre.

III. Correct pour 8. IV. Les 8 marches en désordre : pour trouver combien il y a de marches avant D, il compte les places vides précédemment occupées

sur la table, aboutit ainsi à 7, puis cherche les bâtons plus petits que D et finit par sérier le tout, pour trouver 6 (juste). Quand le bonhomme est sur C, Mic compte correctement 5 marches antérieures, mais pour les marches restantes, il croit devoir les sérier au lieu de compter simplement le reste.

Chal (5 ; 10). I et II comme les précédents. III correct pour 10. IV (en désordre). Pour compter les marches antérieures à D, il série A, a, B, b, C, c puis continue avec d, E. « Combien il a fait alors ? — 6 (juste). — Et pour celle- là (G) il reste combien de marches à faire après ? — (Il série le tout et compte juste.) »

Ces quelques cas représentent ainsi les grandes lignes de l’évolution accomplie durant le second stade, c’est-à-dire entre le niveau auquel l’enfant est incapable de sérier les bâtons A-K (1^er stade) et celui auquel la série est construite sans hésitations même en ce qui concerne les éléments à intercaler après coup (3^e stade). Du point de vue de la sériation elle-même, ce second stade demeure donc bien homogène. Chacun de ces enfants est parvenu avec tâtonnements, mais sans aide extérieure, à construire la série A-K. D’autre part, aucun de ces enfants ne parvient sans erreurs et sans de longs tâtonnements à intercaler les bâtons supplémentaires, une fois cette première série construite. C’est cette opposition entre la réussite de la première sériation et l’échec de l’insertion des nouveaux éléments qui nous paraît donc définir le niveau actuel, avec les conséquences que nous verrons quant aux rapports entre l’ordination et la cardination.

Tout d’abord comment ces sujets parviennent-ils à sérier les 10 bâtons fournis simultanément au début de l’expérience, tandis que les enfants du premier stade n’y arrivent point ? Pour qu’il y ait sériation, il est logiquement nécessaire, comme nous l’avons déjà dit au cours du chap. V (§ 2), que chaque élément soit choisi comme étant à la fois le plus petit de ceux qui restent et plus grand que ceux qui précèdent : il y a donc, d’une part, mise en relation de chaque terme avec tous les autres, et, d’autre part, direction constante à suivre dans cette coordination. Or Cia et Vot, par exemple, qui commencent comme les sujets du premier stade, l’un par répartir les bâtons en petits et grands comme si la série n’était pas continue et l’autre par désigner un grand quelconque (H) comme étant le plus grand, effectuent bien ensuite leurs sériations grâce à un ensemble de réarrangements et de corrections qui semblent supposer ces relations. De même San montre cette relativité naissante de la manière la plus claire lorsque, après avoir classé A B C, il compare D à tous les autres éléments, en le mesurant avec chacun, même avec les plus grands.

D’autre part, que la mise en relation ne suffise pas à elle seule à constituer la série sans une direction d’ensemble qui oriente les comparaisons toujours dans le même sens, c’est ce que montre bien le cas de Dit, qui procède par couples hétérogènes entre eux pour devoir les ajuster ensuite les uns aux autres en une série unique.

Mais ce double progrès comporte des limites, comparé à la méthode propre au 3« stade. Lorsque Tis, par exemple, compare consciencieusement le terme D à chacun des autres, il s’avère certes supérieur aux sujets du premier stade, mais il est clair qu’une seule de ses mesures en implique chaque fois une série d’autres. A plus forte raison chez Dit, lorsqu’il construit ses couples, et, d’une manière générale, lors de chaque tâtonnement de ces différents enfants, on a donc l’impression que ce qui manque à ce niveau, c’est la coor- <mation simultanée de l’ensemble : la série se construit pas à pas, sans être donnée d’avance en un acte logique qui « grouperait » toutes les relations. Or, la raison en est bien claire : ces sujets remplacent simplement l’ordre logique par l’intuition, c’est-à-dire l’opération par la comparaison perceptive. Il suffit, en effet, si l’on ne peut pas mettre chaque relation de détail en connexion additive ou multiplicative avec toutes les autres, de construire par tâtonnement une figure d’ensemble. C’est déjà ce que font les cas supérieurs du premier stade, en construisant un escalier par les sommets : les enfants du second stade font de même, mais en tenant compte de la longueur totale de chaque bâton, et ainsi la figure devient analytique et précise, mais elle n’est que l’équivalent intuitif d’une série opératoire.

La meilleure preuve qu’elle ne va pas plus loin est la difficulté de l’enfant à intercaler les éléments supplémentaires a-i dans la rangée initiale. Il y a là, en effet, un phénomène remarquable, et qui semble constant : la construction d’une série est plus facile que l’insertion de termes nouveaux : ceux qui parviennent à résoudre le premier de ces deux problèmes avec le minimum de tâtonnement (Mic et Chai par exemple), se trompent plusieurs fois en intercalant a-i et ceux qui tâtonnent plus longuement pour la première série (Cia, Vot, Dit, etc.) font de grossières erreurs lors de cette insertion. San, dont on a vu la conduite systématique de mise en relation pour la série A-K, met le h avant le G (soit une erreur de plus de 4 rangs) et finit par s’écrier « non, ça ne va pas, c’est trop difficile ». Or, c’est que précisément, intercaler un élément nouveau suppose des opérations de mise en relation beaucoup plus susceptibles d’être remplacées par

l’intuition que dans le cas de la construction de piano de la série initiale. Certes, il y a bien d’abord un problème perceptif : une série achevée constitue une forme d’ensemble fermée et il est par conséquent plus difficile de comparer un nouveau bâton à ceux qui font déjà partie de cette structure globale que de le mesurer avec des éléments isolés. Mais précisément cette différence d’ordre perceptif montre que la construction d’une série peut rester affaire d’intuition tandis que l’insertion ne le peut pas : pour construire la série sans coordination logique proprement dite, il suffit de poser successivement : le plus petit de tous + le plus petit de tous ceux qui restent + … etc. tandis que pour placer x dans la suite A < B < C … il faut l’insérer entre X et Y d’une manière telle que x soit à la fois (et l’expression « à la fois » prend maintenant un sens réel de simultanéité psychologique) x > X et x < Y. Or cette coordination de deux relations ne peut plus être affaire de simple perception puisque X et Y ne sont pas donnés (comme lorsque l’enfant a posé A B C et cherche D par rapport aux suivants seuls) mais doivent être déterminés en même temps et en fonction l’un de l’autre. Ajoutons que la meilleure preuve du caractère non exclusivement perceptif de ce problème est que l’enfant non seulement tâtonne pour intercaler a-i (ce qui n’a rien d’éton- nant et ne constitue pas le fait intéressant) mais encore est satisfait de ses insertions fausses : ainsi Vot ne corrige aucune de ses insertions sans nos suggestions. De même Dit se satisfait des suites C c d D et H g G I h k i et Mic de la suite D e E tant que nous n’intervenons pas. Or, il n’y a plus là une question de perception, puisque la suite fausse une fois construite, il serait facile de l’arranger : si l’enfant hésite à le faire, c’est qu’il a l’impression d’un problème nouveau, qui le dépasse.

Si nous examinons maintenant les rapports entre l’ordination et la cardination, nous nous trouvons en présence d’une situation exactement parallèle : c’est dans la mesure seulement, en effet, où la sériation deviendra opératoire, c’est-à-dire reposera sur une coordination simultanée de toutes les relations ou plus exactement sur leur « groupement », que le sujet pourra réunir en un tout la cardination et l’ordination. Jusque-là le rang demeure qualitatif et n’implique pas pour le sujet un nombre précis d’éléments. Aussi voyons-nous, de Cia et de Vot à Mic et à Cha, se dessiner une évolution continue qui va de l’incompréhension presque complète à la solution empirique correcte (avec de nombreux tâtonnements).

Rappelons d’abord que tous les enfants de ce stade peuvent indiquer sans erreur combien le bonhomme a parcouru de marches, combien il en a derrière lui et combien il lui en reste à monter, tant que la série demeure ordonnée (quest. III). Une telle capacité ne prouve naturellement rien quant aux rapports de la cardination et de l’ordination : c’est une simple lecture perceptive, avec emploi de la numération parlée et sans opérations proprement dites. C’est au moment où la rangée est défaite que la vraie compréhension de l’enfant se manifeste. Or, ce qui est extraordinaire c’est que, tout en reconnaissant fort bien les questions qu’on vient de lui poser en III, l’enfant ne parvienne plus à y répondre.

Cependant, dès le niveau le plus bas de ce stade, Cia, Vot et San sont déjà capables de reconstituer de petites suites de 2 ou 3 bâtons, ce qui montre qu’ils comprennent bien le sens des questions posées : ainsi Cia sait qu’en B le bonhomme a déjà passé les 3 marches A, a et B, et San dit que si le bonhomme est en C les marches A, B et à sont derrière lui (il oublie a). Mais s’ils arrivent à cette compréhension intuitive pour de courtes suites, tout se passe comme s’ils n’arrivaient pas à décomposer la série totale en deux segments séparés par la marche sur laquelle se trouve le bonhomme. Par exemple, Cia et Vot qui savent qu’en b la poupée a parcouru 3 marches répondent en énumérant les 8 termes de la série pour déterminer combien il en reste à monter. Au niveau moyen, de même Bru et Dit parviennent bien à comprendre que le calcul des marches déjà parcourues dépend du rang de celle où se trouve le bonhomme. Mais si Bru compte correctement que la poupée a parcouru 5 marches en C, il ne peut découvrir combien il en reste à monter et compte la totalité de la série. Dit répond de même, mais plus clairement encore. Or, rappe- lons-le une fois de plus, pour prévenir tout malentendu, ces enfants répondaient correctement à la même question lorsque la série était entière : c’est en la décomposant qu’ils sont perdus ! Quant à Mic et à Cha, c’est-à-dire aux sujets qui sont à la limite du 2^e et du 3^e stade, ils ne parviennent à résoudre la question qu’en sériant les marches jusqu’au bout, comme s’il ne suffisait pas de compter celles qui ne figurent pas dans la série des marches déjà parcourues !

En réalité, l’explication de ces difficultés devient claire dès que l’on se réfère à la manière dont l’enfant a construit sa série. Dans la mesure où la sériation procède par opérations proprement dites, c’est-à-dire par coordination de toutes les relations simultanément,

il est clair, en effet, que tout élément ordonné selon sa hauteur est conçu comme étant à la fois plus élevé que ceux qui précèdent et plus bas que ceux qui suivent. Dès lors, lorsqu’il s’agira de traduire cette sériation qualitative, mais devenue opératoire, en termes d’ordination et de cardination numériques, c’est-à-dire de faire correspondre au numéro d’ordre d’un terme donné la somme des termes déjà ordonnés avant lui, il résultera directement des relations en jeu dans la construction de la série que celle-ci demeure sans cesse divisible en deux segments, l’un partant de l’origine A et aboutissant à l’élément donné N, l’autre s’étendant de cet élément N jusqu’à l’élément Anal T. D’où cette double évidence que le nombre cardinal N considéré peut se traduire en un nombre cardinal N représentant la somme des éléments A… N et que le second segment est égal au nombre cardinal T (correspondant au rang T) moins les termes A… N, d’où T— N. Mais, dans la mesure où la série n’a point été construite par coordination opératoire de relations, mais simplement au moyen d’une suite de rapports perceptifs, cette sériation intuitive demeurera intraduisible en termes d’ordination et de cardination numériques, solidaires l’une de l’autre, parce que la série demeurera indécomposable.

Il est même particulièrement facile, si l’on se place à ce point de vue du contraste entre les suites qualitatives intuitives et les séries opératoires qualitatives ou numériques, de comprendre pourquoi l’enfant a plus de peine à compter les marches qui restent à parcourir que celles qui ont déjà été gravies. Du moment qu’une suite intuitive n’est qu’une juxtaposition de rapports perceptifs, il est relativement facile à l’enfant, lorsqu’il voit le bonhomme en N, de reconstituer la suite A… N, c’est-à-dire de sérier qualitativement les marches parcourues, puis de les compter. Au contraire, les marches à parcourir encore supposent la relation complexe A… < N < … T, soit la coordination (à la fois additive et soustractive) des deux relations inverses N > … A et N < … T qui se traduit du point de vue cardinal par la soustraction T — N et non plus par la simple suite additive A … N. C’est ce qui explique, par exemple, la difficulté de Dit à comprendre le rapport 8 — 5 = 3 et à compter les bâtons restants sans reconstituer tout l’escalier. D’une manière générale, c’est pourquoi, lorsqu’on demande à l’enfant de traduire sa sériation qualitative en nombres ordinaux et cardinaux, il y parvient tant que la série demeure entière et perceptible, mais est perdu dès qu’on la disloque,

toute suite intuitive oscillant ainsi entre la rigidité et le chaos.

La difficulté de l’enfant à traduire le rang en nombres, dès que les séries sont défaites, est donc très comparable à celle qu’il éprouve à intercaler des éléments nouveaux lorsque les séries sont achevées, tandis que sa facilité à compter les termes de la suite perçue est comparable à sa facilité à sérier les bâtons en une rangée intuitive. Dans les deux cas, l’opposition est la même entre l’intuition semi-opératoire et les opérations qui seules fondent la réalité du nombre sur des relations rationnelles. On voit donc, en conclusion, combien ces résultats confirment en les complétant les interprétations auxquelles nous a conduit l’analyse de la correspondance ordinale.

Examinons enfin deux exemples du troisième et dernier stade, caractérisé par la compréhension de ces opérations qui intéressent à la fois la logique du nombre et celle de la sériation des relations asymétriques :

Sin (6 ans). I. Il arrange d’emblée la suite A, B, C, D, F puis remplace F par E et continue F, G, H, I, K. IL On lui propose c : il le mesure avec C et le place à sa droite (juste). Puis il mesure d avec D et le place également juste. Il met correctement i entre K et I, etc. (9 insertions successives sans fautes).

III. Correct. IV. (Les 19 bâtons mélangés) : « Si le Monsieur est là (c) combien il a fait de marches ? — (Sin commence par compter avec son doigt sur le bâton c les hauteurs supposées des précédents, puis il essaie de compter les positions supposées dans l’espace A-c, mais sans placer A, puis finalement dit : Il faut remettre l’escalier. (Il arrange les bâtons avant c.) — Alors combien a-t-il fait ? — 6. —   Il est sur lequel ? — Le sixième. — Combien il en a derrière son dos ? — S (sans compter). — Combien il en a encore à faire ? — (Il compte le reste en désordre, sans chercher à les sérier) 13 (juste). — Et quand il est sur ce bâton (F) il est sur lequel ? — (Il arrange l’escalier jusqu’à F) Le onzième (juste) »

Ald (6 ¹∕_j). I-III. Il construit sans hésiter la série A-K, intercale presque sans hésitations les éléments supplémentaires, et comprend bien les questions relatives au nombre des marches quand la série est entière. IV. On mélange les 19 bâtons : « Tiens, le bonhomme est ici (/). Combien il a fait de marches ? — (Aid débute comme Sin pour c, puis dit : II faut arranger jusque-là (il le fait). Ça fait 12. —   Combien il en a derrière lui ? — (Sans compter) 11. —   Et combien il lui en reste à faire ? — (II compte les bâtons épars sans les sérier) 7 (juste). »

On voit combien ces réactions font contraste avec celles du second stade. Bien qu’au point de vue de la sériation initiale A-K il y ait toutes les transitions entre les deux stades (cf. encore une interversion chez Sin), la différence de comportement à l’égard des éléments supplémentaires est d’emblée caractéristique : tandis que les sujets du second stade les considèrent comme des sortes de corps étrangers, Sin et Aid réagissent à leur égard comme vis-à-vis des autres.

les comparent, en mesurant s’il le faut, et les situent en tenant compte simultanément des relations > et <. Or, il est remarqué que ce progrès s’accompagne d’emblée d’une compréhension très fine à l’égard des rapports entre l’ordination et la cardination.

En effet, il est bien visible que ces enfants savent immédiatement, et avant tout essai, que le nombre des marches parcourues ou à parcourir encore est déterminé par le rang du bâton sur lequel on pose le bonhomme : qu’ils cherchent à compter le nombre des bâtons antérieurs d’après la hauteur du bâton donné, ou d’après leurs places vides ou en les resériant réellement, le principe en est le même. Mais ce qui montre le mieux leur compréhension des rapports entre le nombre ordinal et cardinal est que, une fois resériées et comptées les marches déjà parcourues, ils n’éprouvent aucun besoin, pour compter combien il reste de marches à monter, de sérier ces dernières : ils savent bien que les marches à parcourir encore sont représentées par les bâtons laissés en désordre sur la table après qu’on ait ordonné les marches déjà parcourues. En d’autres termes, après avoir reconstitué la série A … N, l’enfant comprend bien que les marches N … T sont représentées par la soustraction T — N ou (A … T) — (A … N). C’est pourquoi Son et Aid se bornent à compter le reste des bâtons : 13 et 7. Or cette réaction, qui paraît si simple, est en réalité toute nouvelle et dénote l’accès à un niveau opératoire à la fois du point de vue logique et du point de vue numérique. Notons enfin, à titre de confirmation, que les enfants savent d’emblée, sans compter, que les marches situées derrière le bonhomme sont égales à (N — 1): ils comprennent donc bien que le rang N^β correspond à une valeur cardinale N qui est à la fois supérieure à celle des éléments A … (N — 1) et inférieure à celle des éléments (N + 1 … T) et qu’il s’intercale ainsi entre ces deux segments.

— Soit un carré de carton. A, représentant une unité, un rectangle B ayant la même largeur que A et deux fois Sa hauteur (représentant donc 2 unités), un rectangle C représentant 3 unités superposées (même largeur et trois fois la hauteur), etc. On a donc A = 1 ; B = 2 A ; C = 3 A ; D = 4 A ; E=5A ;F=6A ;G=7A ;H=8A ;J=9AetK=10A. Ces cartons constituent ainsi un escalier, mais fondé sur une composition d’unités et non plus sur des relations quelconques comme celui du § 1.

On commence par prier l’enfant de confectionner lui-même la série, pour qu’il prenne conscience du principe de cette ordination et on lui fait compter les cartons en arrêtant leur nombre à 10 ou à la limite de la numération connue sans hésitation. Après quoi on demande : « Combien de cartons comme (A) pourrait-on faire avec (B), ou (C), etc. » jusqu’à ce que le sujet comprenne que le 2^e carton peut être découpé en 2 A ; le 3® en 3 A ; etc. Cette loi une fois comprise, on désigne un carton quelconque (par exemple F), l’escalier restant entier, et l’on demande combien on pourrait faire d’unités avec ce carton-là. C’est la solution trouvée par l’enfant à ce troisième type de questions qui nous intéresse ici : si le sujet est capable de faire correspondre d’emblée la valeur cardinale 6 de ce carton F à son rang (6^e), il est clair que la relation entre l’ordination et la cardination est acquise. Si, au contraire, l’enfant a besoin chaque fois de mesurer combien de A peuvent entrer en E, F, etc., nous serons en droit d’admettre que cette correspondance n’est point encore constituée. D’où trois stades, correspondant à ceux du § 1 : durant le premier, la sériation reste globale et la relation entre l’ordre et la cardination n’est pas comprise, au delà de 3 ou 4, même en suivant l’ordre A → K. Durant le second stade, la sériation intuitive aboutit au résultat correct après tâtonnements et la relation entre l’ordination et la valeur cardinale est comprise lorsque l’on suit l’ordre, mais cesse de l’être lorsque l’on mélange les cartons. Au cours du troisième stade, cette dernière question est également réussie. Voici des exemples du premier stade :

Tes (4 ans ¹∕a) série correctement les cartons jusqu’à D, puis commet les erreurs habituelles de ce niveau. Il sait compter jusqu’à 15. « Combien de cartons comme ça (A) pourrait-on faire avec ça (B) ? — Deux. —   Et avec ça (C) ? — Quatre… Non, c’est la même chose que ça (B + A). Un (il compte), deux, trois, trois, ça fait trois. — Et avec ça (O) ? — Il compte avec le doigt) Quatre. — Etc. — Et avec ça (J = 9)? — (Il compte encore en suivant du doigt les divisions supposées du carton 1, 2… 8. —   Et avec ça (C)? — 1, 2… 5. —   Et avec ça (un autre C) ? — Ça fait 4 cartons. »

Fiv (5 ans) se contente également d’une sériation globale, que nous corrigeons ensuite avec lui et les compte correctement. « Combien de cartons comme ça (A) on pourrait faire avec celui-ci (B) ? — Deux. — Et avec ça (C) ? — Trois. — Et avec ça (D)? — Cinq. — Pourquoi ? — … — A quoi voit-on que ça (D) est plus grand que ça (C) ? — A ça (montre la différence de hauteur). — Combien y a-t-il de plus chaque fois ? — Un. — Alors combien de cartons comme ça (A) peut-on faire avec ça (D)? — Cinq, non deux. — Combien ? — (Il compte toute la série de A à K) 1. 2… 10. —   Alors combien de petits cartons peut-on faire avec ça (A) ? — 1. —   Avec ça (B) ? — 2. —   Avec ça (C) ? — 3. —   Avec ça D) ? — 5. .

12

On voit l’intérêt de ces faits. Ces enfants sont capables de compter sans hésiter les termes de la série, et même de comprendre, lorsque l’on compare deux termes successifs, que leur différence vaut A ou 1. Ainsi Tes identifie C à B + A, et Fiv déclare qu’il y a « un de plus chaque fois ». Néanmoins ils ne parviennent pas, si on leur demande combien d’unités A entrent dans un carton quelconque N, à trouver la solution par simple examen du rang et à dire, par exemple, que le carton comporte 4 unités parce qu’il est le 4^e. Bien plus, ils ne saisissent même pas cette correspondance entre le rang et la valeur cardinale lorsqu’on désigne un à un les différents cartons dans leur ordre progressif : ils la constatent par perception directe jusqu’à 3, mais ensuite, ou bien ils comptent à nouveau chaque fois les divisions possibles comme Tes, ou bien ils jugent à vue comme Fiv ! Bref, ils sont en possession de tous les éléments empiriques qui leur permettraient de comprendre la loi, mais ils ne la comprennent pas.

La situation paradoxale propre au second stade fait encore mieux apercevoir la chose, puisque les sujets que nous allons citer maintenant paraissent découvrir la loi lorsque l’on suit l’ordre progressif, mais sont perdus dans l’ordre inverse, ou lorsque l’on saute d’un carton à l’autre, ou plus encore quand on détruit la sériation visuelle. Voici des exemples de ce deuxième stade :

Bet (5 ans) série d’abord comme suit : A, B, C, D, F, G puis intercale E, etc. donc parvient seul à la suite correcte, mais avec tâtonnements. « Si on coupe ça (B), combien de petits comme ça (A) peut-on faire ? — 3. — (On juxtapose B et A.) — Non, 2. — Et de (C) ? — 3. — Et de (D) ? — 4, etc. juste jusqu’à 10. — Et de celui-là (on montre à nouveau J). ? — 9. — Et de (H) ? — 10. — Et de (G)? — 11. — Et de (F)? — 12. » Donc lorsque l’on inverse la série, Bet redescend bien à 9 mais ensuite poursuit 10, 11, 12… et ne voit l’absurdité de sa méthode que parvenu à B ! Enfin, quand on mélange les cartons, Bet attribue bien 4 à D (à vue), mais 5 à G, à nouveau 4 à D, puis 6 à G, et également 6 à H (en suivant du doigt les divisions possibles sur le carton même).

Mic (5 ans) parvient à aligner et à compter correctement les 10 cartons. « Combien de ça (A) on peut faire avec ça (B) ? — 2. —   Et avec ça (C) ? — 4, non 3. — Avec (D) ? — 5 ; etc. » Mais lorsque, sans défaire la rangée, on lui montre le carton F, il ne songe pas à utiliser le système ainsi trouvé : il attribue 4 A à F (en comptant sur le carton même), 6 à G (idem) 5 à E, et « « non 12 » à F (même méthode).

Bru (5 ans): « Montre le 1^er. — (Il montre A.) — Le 2^e? — (B). — Si on coupe celui-là (B), combien de petits cartons comme ça (A), peut-on faire ? — 2. —   Et avec ça ? — 3. —   Et avec ça (D)? — 4 ; etc. jusqu’à 10. » Mais, quand sans défaire la rangée, on choisit au hasard, il attribue 4 à E, 6 à H, 3 à D, 7 de nouveau à E, etc.

Dit (5 ans) parvient à ordonner après tâtonnement les 10 cartons en escalier et comprend immédiatement la loi : « Ça (A) c’est un, fa (B) fa fait 2 ; fa (C) fa fait 3 ; fa (D) c’est 4 ; fa (E) fa fait 5 ; fa (F) 6,… etc. et fa (K) fa fait 10 petits

cartons. » On défait alors la rangée et on montre le carton F (6) : « Ça fait combien ? — 4 petits. — Tu es sûr ? — Non, mais je crois. — Que faut-il faire pour être sûr ? — Arranger un escalier. (Il le refait et compte) 6 petits (juste). » Mais pour D (4), Dit échoue parce qu’il renverse l’ordre. Il commence par sérier les 6 premiers cartons : « On peut déjà savoir avec ceux-là combien ça fait ? — Non, il faut avant mettre les autres. » Il aligne ainsi : les 10, puis il compte du 10« au 4’ et dit : « Ça (donc D) fait 7, on peut faire 7 petits. —   Pourquoi ? — Parce qu’il y a 7 places. —   Comment ça ? — (Il place 7 fois le carton A sur le D et dit : Voilà 7, c’est comme ça. »

On voit combien sont significatifs ces cas du second stade et combien ils éclairent rétrospectivement ceux du premier. Il est hors de discussion, en effet, que les enfants de ce niveau comprennent la loi de la série, et font correspondre, lorsque l’on suit l’ordre A → K, un cardinal de plus à chaque nouvel ordinal. Cependant il suffit que, même sans déranger l’escalier construit par l’enfant lui-même, on lui montre un carton quelconque supérieur à 3 ou à 4 pour qu’il renonce à évaluer le nombre cardinal de ses unités d’après son rang, et qu’au début il essaie uniquement de reconstituer cette valeur cardinale par évaluation directe, en marquant du doigt les divisions hypothétiques sur le carton même (cas de Bet, de Mic et de Bru). Quant à Dit, qui est plus avancé et marque la limite supérieure du second stade, il comprend bien qu’une fois les cartons défaits, il faut, pour déterminer la valeur de chacun, reconstituer la série et retrouver les rangs respectifs. Mais, d’une part, il croit nécessaire de reconstituer toute la série de A à K et qu’il ne lui suffit pas de voir les 4 premiers cartons pour juger que le 4« vaut 4 unités, et, d’autre part, une fois la série totale reconstruite, il calcule le rang de D à l’envers et aboutit ainsi à 7 au lieu de 4.

Il ne paraît donc pas exagéré, étant donnés ces comportements bizarres, de supposer chez ces sujets une difficulté systématique à saisir les rapports de l’ordination et de la cardination. Comment expliquer la chose puisque, dans cette épreuve des cartons en escalier, le matériel représente avec le maximum de clarté intuitive la loi de formation des dix premiers nombres entiers finis eux-mêmes, chaque ordinal correspondant dans ce cas à chaque cardinal et réciproquement ? L’hypothèse la plus naturelle qu’il soit possible d’invoquer à cet égard consiste sans doute à mettre cette incompréhension en relation avec celles que nous avons analysées à propos de la cardination des ensembles. Soit une collection de 6 objets que l’enfant parvient à reproduire sous la forme d’une autre collection lui correspondant terme à terme. On se rappelle qu’à un certain niveau du développement,

dont l’âge moyen correspond précisément à celui du présent stade, il suffît de changer la disposition des éléments de l’un de ces ensembles pour que l’enfant cesse de croire à leur équivalence cardinale. Sous les apparences d’une correspondance univoque et réciproque conduisant à une colligation stable, nous découvrons donc un système dénué de conservation et par conséquent de cardination vraie : la seule colligation en jeu dans ce système demeure intuitive, c’est-à-dire liée à la perception de la figure ou de l’espace occupé par les ensembles considérés et même si l’enfant sait employer les noms de nombre pour en énumérer les éléments, cette numération ne constitue donc pas encore de nombres cardinaux réels. De même, il se pourrait fort bien que, dans le cas actuel, la compréhension de la série en apparence ordinale soit liée à l’acte intuitif au moyen duquel il est possible de la parcourir terme à terme du commencement à la fin, mais que cette compréhension cesse dès que l’on remplace le parcours intuitif de la série par la réflexion sur l’un de ses termes particuliers.

Il est d’autant plus légitime de faire cette comparaison entre les difficultés de la cardination et celles de l’ordination qu’elles apparaissent, une fois constituées, comme liées l’une à l’autre par un lien nécessaire. Si l’enfant ne parvient pas à constituer la notion de la valeur constante d’une collection indépendamment de la disposition de ses éléments, ce serait donc qu’il n’y a pas non plus à ce niveau d’ordination stable. Soit dit plus simplement, cette hypothèse reviendrait à admettre que la sériation intuitive ne se constituerait en ordination vraie qu’à partir du moment où elle devient opératoire et qu’elle ne deviendrait opératoire qu’à partir précisément du moment où elle se coordonne avec la cardination. Inversement la colligation et la correspondance intuitive ne se transformeraient en cardination vraie qu’à partir du moment où elles deviennent opératoires et elles ne le deviendraient qu’en se coordonnant avec l’ordination. De ce point de vue, la sériation telle que la pratiquent les sujets de ce stade n’aboutirait qu’à des sortes de « séries rigides » telles que les rangs demeurent solidaires de l’acte total de sérier, et ne puissent donner lieu à des opérations de détail une fois considérés à part. De même que l’enfant, avant que la correspondance opératoire ne conduise à l’idée de l’équivalence durable entre les collections correspondantes, ne parvient à les évaluer que par une sorte de colligation rigide, c’est-à-dire sans concilier la conservation du tout avec la mobilité

des éléments, de même, durant ce stade, il ne parviendrait à fonder la valeur cardinale sur le rang, que si les rangs sont liés les uns aux autres en une suite continue et totale, tandis que l’« avant » et 1’« après » perdent leur signification cardinale, ou que les valeurs cardinales cessent de se traduire en « avant » et « après » dès que l’on décompose la série pour examiner les rapports d’un élément particulier avec les autres sans suivre pas à pas l’ordre progressif.

Examinons, enfin, à titre de contre-épreuve, les sujets du troisième stade, caractérisés par la compréhension complète du problème, donc par l’ordination et la cardination opératoires.

Let (6 ans) : « Combien il y a de cartons ? — 10. — Combien on peut faire de ça (A) avec ça (B) ? — 2. — Et avec (C) ? — 3. — (il a compté sur le carton). — Et avec ça (D)? — (Il commence à compter sur le carton, puis s’écrie : C’est 4. —   Et ça (E)? — 5, parce que je sais comment vont les chiffres ! — (On saute alors un élément.) Et ça (G) ? — 7. » etc. On bouscule les cartons et on montre G : « Combien avec celui-là ? — (Il compte puis se met à sérier immédiatement de A à G et dit) : « Ouf, c’est 7. »

Ald (6 ; 6) série sans hésiter, puis lorsqu’on lui désigne en premier lieu C pour savoir « combien on peut faire de ça (A) avec » lui, il répond « 3, j’ai pensé qu’il faut compter aussi celui-là (A). » Il a donc compté d’emblée les rangs. « Et avec celui-ci (F)? — 6, parce qu’il y a 3 (montre K, J, H) ça fait 9, 8, 7 puis celui-là (G) 6. » Lorsque la série est défaite, il reconstruit l’escalier jusqu’au rang intéressé et trouve ainsi : 5 pour E, etc.

Ces enfants sont devenus capables de trouver d’emblée la valeur de l’un des cartons, qu’on le désigne au hasard dans l’escalier, ou une fois la rangée défaite. En d’autres termes la série, de rigide qu’elle était, est devenue mobile ou opératoire, chaque terme pouvant être considéré en lui-même et dans ses rapports avec les autres et cela dans n’importe quel ordre donné. Ainsi Aid reconstitue la valeur cardinale de F en déterminant son rang dans l’ordre décroissant et Let trouve la question si facile dans l’ordre progressif qu’il dit « Je sais comment vont les chiffres ! »

On voit, en conclusion, combien cette coordination graduelle de l’ordination et de la cardination confirme, sur ce plan essentiellement numérique, ce que nous ont appris jusqu’ici la sériation qualitative et la correspondance sériale.

— Etant données les difficultés de dissocier l’ordinal du cardinal dans la numération ordinaire, et par conséquent la nécessité pour nous de multiplier les épreuves servant à leur étude, nous avons encore imaginé le problème suivant,

qui présente un décalage des ordinaux par rapport aux cardinaux. Lorsque l’on dit de quelqu’un : « il est dans sa vingtième année », cela signifie qu’il n’a que dix-neuf ans révolus : il est dès lors plus facile pour l’analyse, quoique plus difficile pour le sujet, de distinguer en pareil cas l’aspect ordinal, qui est celui de l’année en voie d’écoulement, de l’aspect cardinal, qui est celui des années révolues, que dans le cas où les deux notions coïncident. Seulement comme la mesure du temps est spécialement compliquée pour l’enfant, nous avons cherché un équivalent spatial de la situation. Soit un écolier s’exerçant au saut : il passe par-dessus une première barrière, puis une seconde plus haute, une troisième encore plus haute, etc. jusqu’à la 7^e. Mais pour prendre son élan et pour retomber sans se blesser, il a besoin, étant en savates de gymnastique, de petits tapis que l’on étend sur le terrain avant et après chaque barrière, soit 8 tapis en tout. On présente naturellement au sujet un matériel composé de 7 petites barrières graduées, de 8 petits tapis de dimensions constantes, et d’une poupée qui figure le gymnaste. De cette manière, si la poupée est sur le 3^e tapis cela signifie qu’elle a sauté 2 barrières et si elle a franchi la 5« barrière, cela signifie qu’elle a touché 6 tapis, etc.

Les questions que l’on pose sont les suivantes. D’abord, après avoir placé les deux premiers tapis devant et derrière la première barrière, on peut demander : « Combien faut-il mettre de tapis pour ces barrières ? » Une fois que l’enfant a construit la série des barrières et des tapis, on fait sauter le bonhomme et on l’arrête, pour des raisons quelconques, après 3 barrières, donc sur le 4® tapis. On pose alors la deuxième question : « Combien de barrières ont-elles été sautées et combien de tapis ont-ils été touchés ? » On reprend naturellement cette question dans une série de positions différentes. Troisième question : on enlève les 8 tapis ainsi que quelques barrières et l’on demande combien il faut de tapis pour les barrières restantes. Quatrième question : on mélange les barrières, on en choisit une (par exemple la 4^e) et on demande combien de barrières ont été passées avant celle-là. Cinquième question : les barrières sont mélangées mais on aligne par exemple 5 tapis : on demande le nombre de barrières sautées et lesquelles ? Sixième et dernière question : on pose à nouveau n tapis et l’on demande quelle est la barrière sautée en dernier lieu (avant le n® tapis).

Les problèmes ainsi posés sont : 1° la sériation ; 2° la correspondance entre le nombre des tapis et celui des barrières soit n + 1

tapis pour n barrières ; 3° le nombre cardinal des barrières déterminé par le rang de cette barrière ; 4° le nombre ordinal et cardinal des barrières déterminé par le nombre cardinal des tapis. — Les problèmes 1 et 3 nous retiendront peu, ayant déjà été étudiés sous d’autres formes précédemment, mais les problèmes 2 et 4 posent d’une manière nouvelle la question des relations entre l’ordination et la cardination.

La question de la sériation (question 1) permet de retrouver les mêmes stades que précédemment : sériation globale, sériation intuitive avec tâtonnements contrôlés par la perception et sériation systématique due au groupement des relations.

Le problème de la relation entre le nombre des tapis et celui des barrières donne lieu à trois stades également, qui correspondent aux précédents. Durant le premier, il n’y a pas compréhension de la loi : ou bien l’enfant ne peut s’empêcher de croire que le nombre des tapis égale celui des barrières, ou bien, détrompé par les faits, il recompte chaque fois sans système. Au second stade, l’enfant découvre la loi par tâtonnements empiriques et au troisième, il la déduit dès la première constatation et cela pour n’importe quel nombre de barrières.

Le problème du nombre des barrières correspondant à un rang donné fournit les trois stades déjà connus : échec au premier stade, réussite au second mais à condition de reconstituer toute la série et compréhension au troisième.

Quant au problème du nombre des barrières et de leur composition ordinale en tant que déterminés par un nombre donné de tapis, au premier niveau il y a incompréhension ; au second, l’enfant arrive bien à poser un tapis de plus que de barrières, mais avec diverses difficultés de nature ordinale ; au troisième niveau, il y a réussite complète, en particulier lorsque l’on demande le rang de la barrière sautée en dernier lieu par rapport à un nombre donné de tapis (tandis qu’au second stade il y a confusion de ce rang avec le nombre des tapis).

Voici des exemples du premier stade, au cours duquel il n’y a donc ni sériation correcte, ni compréhension des rapports entre les ordinaux et les cardinaux en jeu dans le problème :

Lie (4 ans) ne sait compter que jusqu’à 6. On lui donne 5 barrières, qu’elle ne parvient pas à sérier sans nos suggestions. « Maintenant on va mettre les tapis de chaque côté d’une barrière pour que le bonhomme ne se fasse pas mal

sur la terre. (On pose les deux premiers tapis.) Combien ça fera de tapis en tout ? — (Au hasard) 4. — Combien il y a de barrières ? — Je ne sais pas (il recompte), 5. » Il place alors lui-même les 6 tapis. « Combien y a-t-il de tapis ? — (Il compte) 6. — Et de barrières (il réfléchit et regarde) — 6. — Compte les barrières. — 1, 2, 5, β. — Essaie encore (on pointe du doigt chacune). — 5. —   Et combien de tapis ? — 5. —   Compte-les. — 6. — Et combien de barrières ? — 6. »

On prend le bonhomme et Lie lui-même le fait sauter en le faisant courir sur le premier tapis ; il saute la l^rβ et la 2’ barrière et s’arrête sur le 3^e tapis : « Par-dessus combien de barrières le bonhomme a sauté ? — 3. — (On recommence la démonstration.) Regarde bien. — 2 barrières. — Et combien de tapis il a touchés ? — 2. — Montre-les. — 1, 2, 3. —   Et combien de barrières ? — (Sans compter) 1, 2, 3. —   (On fait alors traverser cette fois 3 barrières au bonhomme, en le posant sur le 4« tapis) : Combien de barrières il a sautées ? — 3. — Et combien de tapis touchés ? — 3. — Compte. — 1, 2, 3, 4. — Bien, et combien de barrières ? — 3. — Et combien de tapis ? — 3. »

On enlève tout et l’on pose devant l’enfant les 3 premières barrières sériées : « Il y a combien de barrières ? — 3. — Combien de tapis va-t-on mettre pour qu’il ne se fasse pas mal ? — (∏ en met 1 avant et après la l^rβ barrière puis en rajoute spontanément 2). C’est 4. — Et combien de barrières ? — (Il compte) 1, 2, 3. — Pourquoi y a-t-il plus de tapis ? — … »

Ray (4 ; 6) ne parvient pas à sérier sans suggestions les 7 barrières (il les pose par couples non coordonnés entre eux). On lui fait poser alors 6 tapis pour les 5 premières barrières (en enlevant les 2 autres). « Alors combien il y a de tapis ? — 6. — Regarde (on fait sauter le bonhomme par-dessus les 2 premières barrières et on le laisse sur le 3“ tapis). Combien de tapis il a touchés ? — 3. — Et combien de barrières il a traversées ? — 3. — Çompte-les. — 1, 2. — Et combien de tapis il a touchés ? — 2. —   (On fait maintenant sauter le bonhomme par-dessus les 3 barrières du début. Il s’arrête sur le 4’ tapis.) Combien de tapis il a touchés ? — 4. — Bien (on fait sauter 4 barrières : il repose sur le 5^e tapis). Combien de tapis a-t-il touchés ? — 5. —   Et combien de barrières il a sautées ? — 5. »

On enlève les tapis et on ne laisse que les 3 premières barrières sériées : « Combien de barrières va-t-il sauter ? — 3. —   Et combien de tapis va-t-on mettre pour qu’il puisse courir sans se faire mal ? — 3 (il les met) Ah ! 4. —   Et maintenant combien y a-t-il de barrières (on met les 4 premières)? — 4. —   Et combien de tapis va-t-on mettre ? — 4 » ; etc.

On mélange les barrières et on désigne la 3^e en demandant combien le bonhomme en a sauté. Ray montre la deuxième. « Et encore ? — (Il montre la l^rβ.) Combien il a sauté en tout ? — 3. * Mais il échoue pour quatre.

Enfin on mélange les 7 barrières et les 8 tapis, puis on pose 3 tapis devant l’enfant : « Tu vois, le bonhomme a touché les tapis. Combien de barrières a-t-il sautées alors ? — 3. — Montre-les. — (Ray met la barrière B 1 en regard du tapis T 1 ; B 4 avec T 2 et B 5 avec T 3.) »

Telles sont les réactions de ce premier stade. Il est clair, tout d’abord que ces enfants ne savent ni sérier seuls les barrières, ni reconstituer le nombre cardinal de celles qui sont déjà passées lorsqu’on en désigne une quelconque en désordre. Mais ceci est connu et ne nous retiendra pas.

Quant au rapport du nombre n des barrières et du nombre n + 1 des tapis, il demeure entièrement incompris. Certes il y a une

convention dans la donnée, mais c’est l’enfant lui-même qui place les tapis et il sait bien pourquoi on les dispose ainsi. Enfin et surtout, lorsqu’il a échoué à prévoir le nombre des tapis, il a sous les yeux la rangée toute construite des barrières et des tapis, et cependant son erreur est la même : il identifie invinciblement le nombre des barrières et celui des tapis, comme si la correspondance était univoque et réciproque. Par exemple Lie, après avoir compté 5 barrières, place lui- même 6 tapis, les compte et en conclut qu’il y a 6 barrières. Constatant qu’il y en a 5, il refuse alors de croire à 6 tapis et les déclare au nombre de 5, puis, comptant à nouveau les tapis, il en conclut une fois de plus qu’il y a 6 barrières ! De même Ray, après avoir prévu 5 tapis pour 5 barrières, en pose lui-même 6 : néanmoins il oscille aussi sans cesse entre l’idée qu’il y a n tapis puisqu’il y a n barrières et celle qu’il y a n + 1 barrières puisqu’il y a n -f- 1 tapis !

Or, cette confusion qui caractérise ainsi la perception de la rangée toute faite autant que les prévisions antérieures à sa construction, est d’un certain intérêt pour l’étude de l’ordination elle-même, bien qu’elle paraisse au premier abord n’affecter que la correspondance cardinale. Notons d’abord qu’il ne s’agit pas d’un phénomène isolé mais qu’on retrouve le même lors des expériences de partage d’une bande de papier par exemple, lorsque l’enfant voulant faire 3 parties donne 3 coups de ciseaux sans comprendre qu’il divise en 4. Or, dans l’un et l’autre cas, l’erreur s’explique par une incoordination de la cardination et du rang : comprendre que si chaque barrière est placée entre 2 tapis, il y aura n + 1 tapis pour n barrières, c’est, en effet, se placer simultanément au point de vue de l’avant et de l’après, tandis que l’enfant a une tendance invincible à se placer soit au point de vue de l’avant (un tapis devant chaque barrière) soit au point de vue de l’après (un tapis derrière chaque barrière) et alors il oublie soit le dernier soit le premier tapis. Dès lors, bien qu’en pratique le sujet soit parfaitement capable de construire correctement une suite de n + 1 tapis pour n barrières, il la traduit cardinalement sous la forme d’une correspondance terme à terme simple et identifie sans plus le nombre des tapis et celui des barrières.

Venons-en maintenant aux réactions du deuxième stade : sériation intuitive et découverte empirique de la relation entre le nombre des tapis et celui des barrières, mais sans compréhension de la relation.

Ris (5 ans) série avec succès les 7 barrières, mais en tâtonnant. On pose un tapis de chaque côté de la première barrière : < Combien ça fera de tapis si on en met de chaque côté de toutes les barrières ? — (Il place les autres tapis sans répondre, puis dit): Ils sont tous la même chose grands. —   Combien de tapis ? — (Il compte) 8. —   Combien de barrières il y a ? — (Il les compte à nouveau) 7. »

On fait sauter le bonhomme par-dessus 4 barrières successives et on le laisse posé sur le 5^e tapis : « Combien de barrières a-t-il passées ? — (Il compte) 4. —   Et combien de tapis a-t-il touchés ? — (Il compte) 5. — Et combien de barrières ça fait ? — (Il compte à nouveau) 4. —   Et combien de tapis ça fait, pour 4 barrières ? — (Il compte une fois de plus) 5. » On voit la méfiance avec laquelle Ris se garde de déduire la loi : il recompte le tout à chaque question !

On laisse 4 barrières devant l’enfant, sériées, mais sans tapis : « Combien il y a là de barrières ? — 4. —   Et combien il faut mettre de tapis pour que le bonhomme ne touche pas la terre ? — (Il compte les espaces avant la l^r∙, entre les barrières et après la 7^e) 5. — Et combien de barrières il va traverser ? — (Il recompte) 4. »

Les barrières sont mélangées sur la table. On désigne la 5’ : il parvient à ordonner avec tâtonnements les 4 précédentes mais à condition de sérier le tout : « Combien de barrières a-t-il sautées ? — 5. — Et combien de tapis faut-il mettre ? — (Il recompte les espaces) 6. »

On mélange les barrières et l’on met devant l’enfant 4 tapis serrés l’un contre l’autre : « Je vais te faire une devinette : Quelles barrières le bonhomme a-t-il traversées ? — (Ris intercale B 2 entre T 1 et T 2, B 3 entre T 2 et T 3 et B 4 entre T 3 et T 4. Il a bien reconnu la barrière la plus petite B 1 mais l’a mise de côté pour commencer par B 2 et arriver à B 4.) — Il commence par sauter pardessus celle-ci (B 2)? — Non. (Il met B 1 avant T 1.) — C’est juste ? — (∏ ôte B 1.) — Mais il saute d’abord quelle barrière ? — La l^τ∙. — Alors ? — (II remet B 1 avant Tl.) — Il y a combien de tapis ? — 4. —   Alors il faut combien de barrières ? — 4. »

Enfin on montre à l’enfant 5 tapis alignés en demandant « quelle est la barrière qu’il a sautée en dernier lieu s’il passe seulement sur les tapis » (et l’on pose le bonhomme sur T 5). Ris ne peut alors s’empêcher de croire que c’est B 7 qui est la dernière et série les barrières de B 7 (entre T 4 et T 5) jusqu’à B 4.

Jen (6 ans) série avec corrections les 7 barrières, puis place les 8 tapis et compte les uns et les autres, mais ensuite pour 4 barrières sautées il croit qu’il y a 4 tapis, puis pour 5 barrières sériées il prépare 5 tapis et ne se corrige qu’en comptant les espaces à occuper.

On pose 4 tapis serrés : « Combien de barrières a-t-il sautées pour arriver là (bonhomme sur T 4) ? — (Il prend les barrières 1 à 4 et les place : B 1 avant T 1, B 2 avant T 2, etc. Il ajoute ensuite B 5 qu’il enlève immédiatement.) On recommence avec 4 tapis : « Combien il a sauté de barrières ? — 4. —   Lesquelles ? — (Il intercale alors B 1 entre T 1 et T 2, etc.) Ah, c’est 3 ! » Mais il place B 4 entre T 3 et T 4 pour que B 4 corresponde à T 4 !

On pose ensuite 5 tapis serrés en demandant la barrière sautée la dernière (bonhomme sur T 5). Jen montre B 7 et passe par toutes sortes de tâtonnements avant de conclure * Ah la 4 » »!

La continuité entre les réactions de ce stade, au cours duquel débute cependant la compréhension des rapports en jeu, et celles du premier stade est d’un grand intérêt pour notre analyse.

Il est tout d’abord bien clair que ces enfants apprennent à sérier comme tous les sujets de ce niveau : intuitivement et empiriquement.

D’autre part, lorsqu’il s’agit de déterminer combien de barrières ont été passées avant une barrière d’un rang donné, le sujet ne parvient à répondre qu’en reconstituant la série totale, comme d’habitude. Or, en ce qui concerne les questions nouvelles soulevées par le problème des barrières et des tapis, les réactions de ce stade sont en parfait accord avec les comportements déjà connus grâce aux épreuves précédentes.

En premier lieu, le rapport du nombre des barrières et des tapis, au lieu d’être systématiquement déformé dans le sens de l’identification, comme au premier stade, donne lieu à une accommodation, mais tout empirique, de la pensée du sujet. Par exemple Ris recompte à chaque question, correctement mais sans aucune déduction, le nombre des uns et des autres. Jen par contre, ainsi que les sujets les plus avancés du stade, aboutit à une induction élémentaire de la loi, mais sans compréhension réelle et à titre de simple généralisation des expériences faites.

Quant aux questions cruciales du nombre des barrières qui correspond à un nombre donné de tapis, de l’ordre de ces barrières et du rang de la dernière, les réactions de ce stade s’avèrent intermédiaires comme toujours, mais avec quelques particularités notables. Du point de vue cardinal, l’enfant est à peu près obligé d’intercaler un nombre correct de barrières, puisque leur emplacement est déterminé entre chaque couple de tapis : aussi Ris met-il bien d’emblée 3 barrières pour 4 tapis. Mais si, au lieu de procéder aussi empiriquement en intercalant les barrières une à une, l’enfant cherche à formuler le rapport ou à préparer d’avance les barrières, le sujet retombe alors dans l’erreur du premier stade : par exemple Ris veut 4 barrières pour 4 tapis, et Jen également. On voit combien la loi est peu comprise encore.

D’autre part, du point de vue ordinal, deux particularités sont d’un certain intérêt. Tantôt, en effet, l’enfant s’arrange malgré tout, à cause de sa tendance à la correspondance simple, à situer la barrière n juste devant le tapis n, tantôt, au contraire, il situe la dernière et 7^e barrière devant le tapis n et fait ensuite la correspondance en régressant. Sur le premier point, on peut citer Ris lorsqu’il intercale entre 4 tapis les barrières 2, 3 et 4 et n’arrive pas à mettre B 1 à la place de B 2. Sur le second point, on a vu ces enfants intercaler les barrières 4, 5, 6, 7 entre les 5 tapis présentés, pour que B 7 soit la dernière.

En conclusion, ces réactions du second stade montrent une fois de plus l’incapacité dans laquelle se trouve l’enfant de ce niveau de coordonner la sériation avec la cardination. Lorsqu’il pense au nombre cardinal des barrières, le sujet oublie l’ordination ou bien il série en fonction du dernier tapis seulement, et lorsqu’il pense à sérier en fonction de la dernière barrière, il oublie le nombre des tapis et construit des séries telles que 4 → 7.

Venons-en maintenant aux réactions du troisième stade, au cours duquel toutes les questions donnent lieu à solutions correctes à peu près simultanées. En voici des exemples, à commencer par un cas intermédiaire entre le 2^e et le 3^e stade :

Bru (5 ans) série les barrières sans erreurs. « Combien de barrières y a-t-il là ? — 7. — Combien de tapis (on pose les 2 premiers)? — 7. — Mets-les. — 8. —   Pourquoi y a-t-il plus de tapis que de barrières ? — Parce qu’il y a 2 tapis de plus (montre les extrémités) »

On fait sauter le bonhomme jusqu’au 4^e tapis : « Combien de barrières il a traversées ? — 4. —   Et combien de tapis ça fait ? — 3, non 4. —   Et de barrières ? — 3. >

On laisse les 4 premières barrières sériées, sans tapis : « Combien de barrières ? — 4. — Et combien de tapis on va mettre ? — 5. »

On met 4 tapis serrés devant l’enfant : « Combien de barrières il va traverser ? — 3. » Puis 5 tapis serrés : « Combien de barrières ? — 4. —   Montre-moi la dernière ? — (Il série immédiatement 1 → 4 et montre la 4^e.) »

Shen (6 ; 6) série correctement les 7 barrières. « On va mettre des tapis de chaque côté des barrières, ça fera combien ? — 6, parce qu’il y a 7 barrières (U les met entre les barrières). — Non, regarde (on met T 1 et T 2). — Alors 8 (il les met). »

On fait sauter le bonhomme jusque sur le 4’ tapis : « Combien de barrières il a traversées ? — 3. — Et combien de tapis il a touchés ? — 4. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a 3 barrières. »

On montre 6 barrières sériées sans tapis : « Combien de tapis il a touchés ? — 8 parce que c’est 7 barrières. — Regarde. — Ah oui, 7 parce qu’il y a 6 barrières. » On désigne la 4∙ barrière seule : « Combien de tapis ? — (Il met les barrières 1 à 3 et répond) : 5 tapis parce qu’il y a 4 barrières. »

On présente 6 tapis serrés : « Combien de barrières il sautera ? — 5 parce qu’il y a 6 tapis. Autrement, s’il y avait 6 barrières, il faudrait en mettre une sur le dernire tapis. » (Il série B 1 > 5, qu’il intercale ensuite.) »

Auo (6 ans) série les 7 barrières, puis, après qu’on ait mis les tapis 1 et 2 : « Ça fera combien de tapis ? — 7. —   Pourquoi ? — Je les ai comptées les barrières. Ah non, 8 tapis, parce qu’il y a 7 barrières, parce qu’il faut mettre un tapis devant. »

On pose ensuite le bonhomme sur le 4^e tapis. Aug en conclut qu’il a sauté 3 barrières. Puis on montre la 5^e barrière isolée : Aug série les 4 précédentes et conclut à 6 tapis. Pour 4 tapis serrés, il trouve que la dernière est B 3 ; etc.

On constate d’abord que chacun de ces enfants sait sérier sans hésitation, c’est-à-dire en coordonnant d’emblée ces relations en

< et >. En outre, pour un élément donné isolément, l’enfant de ce niveau retrouve et ordonne les termes qui précèdent sans avoir besoin de reconstituer l’ensemble de la série intuitive.

Quant au rapport du nombre des barrières et de celui des tapis, qui constitue l’objet propre de cette recherche, les sujets cités montrent par leur compréhension qu’un tel problème peut être résolu au niveau de 7 ans. Il est vrai que seul Shen comprend d’avance, c’est-à-dire au seul énoncé verbal de la consigne, que pour n barrières il y aura n + 1 tapis. Mais si Bru et Aug s’attendent à devoir poser autant de tapis que de barrières, ils saisissent immédiatement le rapport dès qu’ils construisent la rangée, et c’est là ce qui constitue la nouveauté de ce stade. Les raisons invoquées à cet égard sont instructives : pour Bru, s’il y a n + I tapis, c’est « parce qu’il y a 2 tapis de plus », c’est-à-dire un à chaque extrémité. Pour Shen, s’il n’y avait n tapis pour n barrières « il faudrait mettre une barrière sur le dernier tapis » c’est-à-dire que la dernière ne serait pas suivie d’un tapis. Pour Aug, il « faut mettre un tapis devant ». On voit que l’explication de ces enfants revient toujours à dire : si l’on se place au point de vue de l’« après », il faut rajouter un tapis avant et si l’on se place au point de vue de l’« avant » il faut rajouter un tapis après.

Dès que ce rapport est compris, la question de savoir combien il faudra de tapis pour n barrières déjà sériées est évidemment résolue d’emblée. Quant au problème des n tapis auxquels il faut faire correspondre un nombre donné de barrières sériées depuis la l^rβ, il est, chose intéressante, résolu en même temps que les questions précédentes. Par le fait même de mettre toujours en relation n X avec (n + 1) Y, les X étant intercalés entre les Y, et de le faire consciemment et avec système, l’enfant acquiert donc — et c’est ce qui est nouveau pour ce stade — la capacité d’ordonner les barrières depuis la plus petite et de renoncer à considérer les plus grandes comme étant les dernières en soi quel que soit le nombre des tapis présentés.

En bref, la solution de ce problème comme celui des cartons en escalier ou des bâtons, montre que l’ordination opératoire, en dépassant le niveau de la sériation intuitive, s’appuie nécessairement sur la cardination et réciproquement : la compréhension du rapport cardinal entre nX et (n + 1) Y suppose, en effet, une ordination opératoire, avec mise en relation de l’avant et de l’après, et cette ordination suppose un tel rapport cardinal.

— Parvenus au terme de ces recherches sur le nombre ordinal, le moment est venu de réunir en un tout les résultats obtenus au cours du précédent et du présent chapitre, et de les comparer avec les données relatives à la correspondance cardinale.

L’expérience des bâtons nous a appris à distinguer trois sortes de sériation correspondant à trois niveaux successifs d’évolution : une sériation globale, sans succession régulière de détail ; une sériation intuitive avec tâtonnements dans la construction et difficultés à intercaler sans plus des éléments nouveaux dans la série construite, formant ainsi un bloc rigide, et une sériation opératoire due à une coordination systématique des relations en jeu.

Or, cette loi de succession s’est retrouvée à propos de chacune des différentes épreuves où intervient la sériation. Même dans le cas des cartons, dans lequel la sériation est particulièrement facile puisque les éléments diffèrent notablement les uns des autres et qu’ils constituent une échelle régulière par addition d’une unité lors de chaque nouvel élément, on retrouve les trois stades. Il en est de même des barrières, ainsi que des poupées, des balles et des cannes envisagées en tant que 3 séries Indépendantes.

Il est d’autant plus légitime d’accepter ce premier résultat avec quelque sécurité qu’il s’accorde entièrement avec celui d’une seconde question étudiée, celle de la correspondance sériale et ordinale. A cet égard, les données rassemblées au sujet de l’épreuve des poupées et de leurs cannes ou de leurs balles ajoutent un précieux complément à celles des épreuves de sériation pure : c’est qu’il n’est pas plus difficile pour l’enfant de mettre en correspondance terme à terme deux séries à construire simultanément que d’en ordonner une seule isolément. On retrouve, en effet, dans le développement de la correspondance sériale les trois mêmes étapes que dans la sériation simple : échec de la correspondance, laquelle demeure globale et prérelative (différenciation grossière des « petits » termes et des grands), correspondance intuitive avec tâtonnements et correspondance systématique par coordination opératoire des relations. De plus, dès le second stade s’esquisse, et au cours du troisième stade s’effectue une dissociation entre la sériation qualitative et la correspondance sériale d’une part et l’ordination proprement numérique et la correspondance ordinale de l’autre, de telle sorte qu’au niveau opératoire ce

l’ordination et la cardination 191 sont à la fois les opérations qualitatives et les opérations numériques qui trouvent leur achèvement.

Or, avant de poursuivre, il est possible d’indiquer d’emblée en quoi ces trois stades de la sériation et de la correspondance ordinale sont parallèles aux niveaux de la colligation et de la correspondance cardinale.

Au premier stade de la sériation, qui est donc préordinale puisque l’ordre progressif des éléments n’est pas atteint spontanément, correspond aussi bien quant aux âges moyens que structuralement le premier stade de la cardination, c’est-à-dire celui dans lequel il n’y a aucune conservation des quantités, continues ou discontinues (chap. I et II), et dans lequel l’enfant, invité à reproduire une rangée ou une figure, n’établit pas de correspondance terme à terme mais se borne à construire une autre rangée de même longueur ou une autre figure d’ensemble à ressemblance globale avec la première (chap. III et IV). En effet, deux caractères au moins sont communs à ces diverses réactions : leur nature globale et leur soumission à l’expérience perceptive immédiate, par opposition à la composition logique et opératoire. Lorsque l’enfant aligne au hasard une suite de bâtons et de poupées en opposant simplement les grands éléments aux petits, ou qu’il imite sans plus la figure d’ensemble d’un escalier, en ajoutant les uns aux autres les sommets sans se soucier des bases, il réagit exactement comme les sujets qui, pour trouver une quantité équivalente à 6 jetons alignés, juxtaposent en les serrant 7 à 9 jetons en ayant seulement soin que la rangée copie ait exactement la même longueur que la rangée modèle : dans les deux cas c’est l’aspect global qui prime. Cela est si vrai que, précisément, lorsqu’il s’agit de reconstituer des fragments de séries correspondantes (par exemple pour savoir quelle canne correspond à la n® poupée), l’enfant de ce niveau ne s’occupe pas du nombre cardinal des éléments qu’il regroupe lui- même. D’autre part, si les réactions élémentaires de nature ordinale et de nature cardinale ont en commun ce caractère global, c’est que toutes deux ne fondent leurs critères de vérité que sur l’expérience perceptive, et nullement encore sur un système d’opérations susceptibles de composition. Preuve en soit que, si l’on altère la disposition de l’une des collections jugées équivalentes, l’enfant cesse de croire, d’une part, à leur équivalence cardinale, et, d’autre part, à la durée de la correspondance sériale entre éléments n’étant plus en contact optique l’un avec l’autre.

Quant au second stade de l’ordination (sériation et correspondance intuitives et avec tâtonnements), il est évident, si l’on se fonde sur les mêmes analogies de mécanismes et pas seulement sur les résultats, qu’il correspond aux seconds stades établis à propos de la cardination (début de conservation des quantités mais pour certaines transformations seulement, correspondance terme à terme et reproduction des quantités par analyse exacte des figures mais sans équivalence durable, etc.). Or, en chacune des manifestations, ordinales aussi bien que cardinales, de ce second stade, on retrouve les mêmes caractères internes : l’enfant ne procède plus globalement et devient capable d’analyse correcte, mais cette analyse ne dépasse toujours pas les données de la perception et n’atteint point encore le niveau de la composition opératoire. En effet, des enfants capables de construire une correspondance cardinale terme à terme mais qui cessent de croire à l’équivalence des deux collections, dès que l’on resserre ou desserre l’une d’entre elles, sont assurément des sujets devenus aptes à l’analyse puisqu’ils réussissent la correspondance, mais qui ne croient aux rapports établis que s’ils les perçoivent (termes correspondants en regard les uns des autres ou occupant la même position dans la figure, etc.) et ne les fondent point encore sur un système de relations indépendantes de l’arrangement des éléments. Or, ce sont précisément ces mêmes caractères qui nous ont permis de distinguer un second stade dans les épreuves d’ordination, à mi-chemin du niveau global et du niveau opératoire. D’une part, dans la sériation même on constate que l’enfant ne sait pas dominer d’avance toutes les relations en jeu, mais qu’il tâtonne et se trouve obligé à des corrections incessantes. D’autre part, une sériation une fois effectuée, l’enfant éprouve certaines difficultés systématiques à intercaler des termes nouveaux, comme si la rangée construite constituait un ensemble rigide et fermé sur lui-même. Bien plus, l’analogie se poursuit lorsque l’on altère sous une forme ou sous une autre deux séries correspondantes : les sujets de ce niveau ne savent pas mieux retrouver la correspondance terme à terme lorsque l’on resserre, desserre ou invertit une série qu’ils ne savent postuler l’équivalence cardinale. Sans doute recherchent-ils cette correspondance ordinale, mais parce qu’on la demande et qu’ils croient possible un retour à l’état initial ; mais pour les séries défaites ils ne sont pas sûrs que chaque élément conserve son correspondant virtuel (voir cas de Cha, chap. V § 2, de Lie et de Pel, ibid. § 3, etc.). Certes il peut y

l’ordination et la cardination 193 avoir décalage entre les deux découvertes de l’équivalence cardinale et de la permanence des rangs, mais il reste que les mêmes attitudes se retrouvent dans ces deux domaines au cours du second stade comme au cours du premier.

Quant aux troisièmes stades des épreuves ordinales et cardinales, il est clair qu’ils peuvent être homologués quant à leurs structures et à leurs résultats, puisqu’ils sont caractérisés les uns et les autres par la victoire de l’opération sur l’intuition : dans les deux cas il coordonne d’avance le système des relations en jeu, parce que la composition opératoire l’emporte enfin sur la constatation perceptive ou plus précisément que celle-ci est désormais encadrée dans celle-là.

Il est donc aisé de retrouver dans les étapes de l’ordination les mêmes processus et les mêmes niveaux que dans le développement de la cardination. Mais il va de soi qu’avant de chercher à traduire la chose sous une forme statistique et d’appliquer à ces épreuves les diverses formules de corrélation du calcul des probabilités, il faudrait résoudre auparavant des questions pour lesquelles nous avouons n’avoir aucun intérêt : tel problème d’ordination dont nous nous sommes servis est-il exactement de difficulté égale à tel autre ou à tel problème de cardination, indépendamment de l’ordination et de la cardination elles-mêmes ? Il est clair, en effet, qu’en chaque épreuve intervient une foule de facteurs hétérogènes, tels que les mots employés, la longueur de la consigne, son caractère plus ou moins concret, ses relations avec l’expérience individuelle du sujet, le nombre des objets considérés, l’intervention de la numération apprise, etc., etc. C’est ainsi que dans les diverses épreuves de correspondance cardinale, nous avons pu observer de très nets décalages entre les résultats des unes et des autres, de telle sorte que l’on n’atteint jamais une mesure de la compréhension de cette correspondance cardinale à l’état pur, mais toujours de la compréhension relative à un problème et à un matériel donnés. C’est pourquoi le calcul de la corrélation entre les niveaux de la cardination et ceux de l’ordination ne saurait donner que des résultats décevants s’il ne s’accompagne pas d’une analyse qualitative très poussée, à moins de transformer les épreuves en « tests » dans lesquels une précision statistique peut sans doute être obtenue sans trop de difficultés, mais à condition de ne plus savoir exactement ce que l’on mesure.

Examinons maintenant la convergence obtenue entre les différentes analyses que nous avons tentées de la coordination progressive

13

entre le nombre ordinal et le nombre cardinal et cherchons à lui trouver une explication.

Au cours du premier stade, il n’existe point encore de coordination entre le processus de nature cardinale et ceux de nature ordinale. On peut, à cet égard, distinguer deux sortes d’épreuves, celles qui consistent à faire déterminer une classe quelconque au moyen d’un rang dans une série, ou une valeur cardinale au moyen d’une valeur ordinale, et celles qui consistent inversement à faire déterminer un rang au moyen d’une classe ou une valeur ordinale au moyen d’une valeur cardinale. Au premier groupe d’épreuves appartient, par exemple, le problème des bâtons : trouver quelles sont les marches (classe) et combien de marches (nombre) ont été parcourues lorsque l’on désigne une marche quelconque (rang qualitatif ou nombre ordinal). Or, l’enfant qui saisit naturellement la question lorsque l’escalier est construit (il n’y a alors qu’à dénombrer les marches jusqu’au point indiqué) se révèle incapable, durant ce premier stade, de comprendre qu’il suffirait pour la résoudre de compter les bâtons de rang inférieur à celui qui est désigné. L’épreuve des cartons rentre également dans ce premier groupe, avec cette différence qu’elle implique d’emblée un processus de composition par unités et qu’ainsi l’enfant a la possibilité de se donner une intuition visuelle de la série (1), (1 + 1), (1 + 1 + 1), etc. Or, même en ayant sous les yeux la série des cartons, et même si l’on suit l’ordre de 1 à 10, l’enfant de ce premier stade ne parvient pas au-delà de 2 ou de 3, à découvrir la valeur cardinale (le nombre d’unités) d’un carton déterminée par son rang. Quant aux épreuves des barrières et des tapis, elles participent des deux types que nous venons de distinguer. Lorsqu’il s’agit, étant donné une barrière d’un rang quelconque, de déterminer quelles barrières et combien ont été sautées ou quelle collection et combien de tapis ont été touchés, nous sommes encore dans ce domaine du premier type d’épreuves. Or, au cours du premier stade, l’enfant ne parvient précisément pas à cette détermination.

Pour ce qui est des épreuves du second type (détermination du rang au moyen d’une valeur cardinale), nous trouvons le résultat exactement complémentaire. Par exemple dans la question des barrières (trouver le rang de la dernière barrière sautée, étant donné un nombre quelconque de tapis), l’enfant du premier stade échoue complètement. Il en est de même lorsque, dans les questions II à V des poupées et des cannes, il s’agit, pour déterminer à quelle poupée

appartient telle canne, de reconstituer la série antérieure, ce qui implique l’intervention de la collection ou de la valeur cardinale de cet ensemble des termes antérieurs, et cela soit sous la forme d’une correspondance soit par numération directe : dans le cas où l’on déplace ou intervertit simplement l’une des séries, l’enfant du premier stade prétend en effet retrouver les rangs correspondants sans tenir compte du nombre des termes précédents et, dans le cas où l’une des séries au moins est en désordre, il est incapable de reconstituer les rangs pour la même raison. Bien plus, lorsque l’on demande uniquement de rassembler les cannes et les poupées plus grandes ou plus petites qu’un élément donné (question de la promenade), l’enfant pousse si loin l’incoordination des valeurs ordinales et des valeurs cardinales qu’il ne réunit même pas un nombre égal de cannes et de poupées ! Cette dernière réaction, caractéristique du premier stade, est assurément la plus parlante de toutes celles que nous venons de rappeler et synthétise à elle seule les résultats des deux types de questions distinguées à l’instant.

D’une manière générale, nous pouvons donc admettre qu’au niveau du premier stade, l’enfant n’est pas capable de conclure d’un rang donné à une valeur cardinale déterminée, lorsque cette valeur n’est pas fournie telle quelle à la perception, et qu’inversement il ne parvient pas à déduire un rang en partant d’une valeur cardinale donnée lorsqu’il doit la reconstituer même empiriquement.

Les réactions du second stade sont beaucoup plus complexes, puisqu’elles marquent le début de la coordination entre les structures cardinales et les structures ordinales. Aussi convient-il d’examiner avec soin jusqu’à quel point convergent les résultats de nos diverses épreuves. Pour celles du premier type, on peut dire, de façon générale, que l’enfant commence à comprendre les relations entre l’ordre et la quantité, mais seulement en fonction de l’ensemble des séries et sans saisir qu’un rang particulier correspond nécessairement à une valeur cardinale précise. Par exemple, dans l’expérience des cartons, l’enfant du second stade arrive bien à désigner la valeur de chaque carton lorsque l’on suit l’ordre 1 → 10. Mais, si l’on en montre un au hasard en le pointant du doigt, la rangée restant complète sous les yeux de l’enfant, il n’arrive pas à reconstituer sa valeur cardinale en comptant simplement de 1 jusqu’à son rang. Vers la fin du stade, il parvient bien à cela, mais il échoue si l’on détruit la rangée et qu’on pointe un carton quelconque, avec permission naturellement de reconstruire

la série à sa guise. Dans l’expérience des bâtons, l’enfant arrive bien, quand l’escalier est entier, à indiquer pour chaque bâton combien le bonhomme a déjà monté de marches et combien il lui en reste à monter. Cela reste vrai même quand l’on pointe une marche au hasard sans suivre l’ordre progressif, parce que la question ne suppose pas ici de loi de composition comme dans le cas des cartons, mais simplement la numération d’un ou de deux ensembles perçus. Mais si l’on défait l’escalier et que l’on désigne un bâton quelconque n, l’enfant éprouve une difficulté systématique à répondre aux mêmes questions, c’est-à-dire à resérier les bâtons de 1 à n et surtout de n au dernier t ; plus précisément, s’il arrive, après de nombreux tâtonnements, à dire combien de marches ont été gravies (1 à n), il lui faut reconstituer l’ensemble de la série pour compter combien sont encore à monter, comme s’il ne suffisait pas de compter celles qui restent, et alors il confond le tout avec la partie n … t.

Ces deux réactions nous sont apparues comme typiques pour ce stade : compréhension des rapports entre une série intuitive considérée en bloc et une valeur cardinale prise également en bloc, mais, incompréhension du lien nécessaire entre un rang donné et le nombre cardinal correspondant. L’expérience des barrières a entièrement confirmé la chose. D’une part l’enfant arrive par expérience à admettre qu’à une série de n barrières correspondent n + 1 tapis, mais il n’y parvient pas sans plus dès que l’on décompose la série et que l’on demande par exemple combien de tapis il faudra pour 3 ou 5 barrières. D’autre part, si l’on désigne une barrière quelconque, la rangée étant défaite, il lui faut la reconstituer dans sa totalité (comme pour les bâtons), pour savoir combien de barrières ont été sautées, etc.

Or, si les sujets de ce stade ne sont donc pas capables de déterminer une valeur cardinale en fonction d’un rang particulier, ils ne parviennent pas mieux à l’opération inverse (épreuves du second type), c’est-à-dire à déterminer un rang particulier en fonction d’un nombre ou d’une collection qualitativement définie. C’est ainsi que pour la dernière question des barrières, lorsqu’il s’agit de savoir quelle barrière a été sautée en dernier lieu (un nombre n de tapis étant donné), l’enfant échoue et confond en particulier la dernière de toutes les barrières (la 7^e) avec la n — 1 ? (pour n tapis). De même, dans les questions de correspondance entre les poupées et les cannes (questions II, III et IV), nous avons vu que les nombreux types d’erreurs observés se ramènent tous à ceci que si l’enfant pense au rang

il oublie le nombre cardinal et vice versa. En particulier, lorsque les séries sont défaites, l’enfant du second stade est incapable de retrouver la canne correspondant à une poupée donnée ou l’inverse (quest. V), faute de coordination entre les rangs et les collections cardinales. Seule la question de la promenade (quest. V) est résolue correctement, c’est-à-dire que l’enfant est capable de réunir toutes les poupées ≥ n ou < n, et de trouver les cannes correspondantes, en particulier la n‘. Il semble y avoir ici contradiction avec les résultats de l’épreuve des bâtons, dans laquelle l’enfant ne parvient pas, sans voir tout l’escalier, à dire combien de marches ont été gravies ou restent à monter. Mais, ainsi que nous l’avons dit à propos de la question V des poupées et des cannes, cette question ne suppose pas autre chose que la construction des deux classes cl. ≥ n et cl. < n correspondant aux expressions qualitatives « cette poupée et toutes celles qui sont plus grandes qu’elle » et « toutes celles qui sont plus petites qu’elle », et une telle construction peut être effectuée par une voie purement intuitive. Au contraire, la question IV suppose la compréhension de ce fait que la n® poupée est le dernier terme d’un nombre cardinal de n poupées, et ce rapport, par l’abstraction des qualités qu’il nécessite, est psychologiquement d’ordre opératoire et non plus intuitif. Or, dans le problème des bâtons il en est de même : la question « combien de marches ont-elles été montées » jusqu’à la n® suppose que la n® soit le terme ultime de n marches et « combien en reste-t-il à gravir » jusqu’à t suppose le rapport t — n = (n + 1)… t. Dès lors, si, par la méthode intuitive, les sujets du second stade ne parviennent pas sans de nombreux tâtonnements à reconstruire la série 1 … n, il est naturel qu’ils échouent à établir le nombre t — n, qui implique un rapport opératoire entre le tout et ses parties. Ce contraste entre les résultats de la question V des poupées et ceux de la question IV, ainsi que ceux du problème des bâtons, démontre donc une fois de plus le caractère de ce stade : coordination entre les rangs et les valeurs cardinales tant qu’il s’agit de séries prises en bloc ou de classes fermées mais incoordination dans le détail des valeurs particulières ; ou, d’un mot : coordination intuitive et incoordination opératoire.

Enfin, la situation propre au troisième stade est bien simple par opposition aux précédentes : que l’on demande à l’enfant de déterminer une valeur cardinale au moyen d’un rang particulier ou un rang particulier au moyen de la valeur cardinale, il y réussit dans toutes les épreuves. Il a donc compris la correspondance étroite de l’ordination

et de la cardination et la coordination de détail atteste le caractère opératoire propre à ce niveau, par opposition à l’incoordination complète du premier stade et à la coordination uniquement intuitive du second.

Ces caractères généraux étant ainsi dégagés, essayons maintenant de les expliquer. La chose devient aisée, puisque les trois stades de la coordination entre les valeurs cardinales et les valeurs ordinales correspondent aux trois stades de la sériation elle-même et que nous avons vu tout à l’heure que ceux-ci correspondent de leur côté aux trois stades de la cardination et de la correspondance cardinale.

Qu’il n’y ait point de rapports possibles entre l’ordination et la cardination au cours du premier stade, cela résulte très simplement du fait qu’il n’existe encore à ce niveau ni cardination ni ordination proprement dites. L’évaluation cardinale ne consiste, en effet, durant ce stade, qu’en une appréciation globale, sans conservation ni même correspondance terme à terme et fondée simplement sur la figure d’ensemble de la collection, l’espace qu’elle occupe et la densité plus ou moins grande de ses éléments. Mais la sériation, de son côté, ne consiste qu’à juxtaposer un terme à un autre en une suite dépourvue de loi de succession s’appliquant à tous les termes et ne parvenant qu’à opposer les « grands » éléments aux « petits », par couples ou par séries élémentaires non raccordées les unes aux autres. Entre ces deux processus, il ne saurait donc y avoir de connexion. On peut même dire, en un sens, qu’ils sont antagonistes et cela pour les raisons suivantes. On constate, en premier lieu, qu’ils témoignent d’une indifférenciation avec les mécanismes d’ordre logique ou qualitatif correspondants : l’ordination n’est pas dissociée de la sériation qualitative ni de la cardination de la construction de totalités qualifiées ou collections participant de la nature des classes. Or sérier c’est distinguer chaque élément en tant que non équivalent aux autres, tandis que classer c’est réunir en un tout une certaine quantité d’éléments en les considérant comme équivalents. Dans le cas particulier, dans lequel les opérations qualitatives de sériation et de classification ne sont pas plus achevées que les opérations numériques, on voit cependant que, dans la mesure où l’enfant cherche à sérier, il renonce aux totalités qu’il construit par ailleurs et que dans la mesure où il cherche à évaluer par totalités globales, il n’établit aucun ordre.

Au cours du second stade, les choses changent. On assiste tout d’abord à un début de systématisation des opérations qualitatives dans les limites du champ de la perception ou du domaine intuitif. C’est ainsi que, d’une part, l’enfant devient capable de sériation correcte par tâtonnement empirique et que, d’autre part, il apprend à construire des collections équivalentes par correspondances terme à terme qualitatives. Or, bien que la classe et la relation asymétrique ne puissent être composées l’une avec l’autre si l’on demeure sur le plan qualitatif (puisque l’une réunit des éléments considérés comme équivalents et l’autre comme non-équivalents), il est facile de traduire la sériation en termes de classes et inversement, d’où une première connexion, par complémentarité, entre les deux systèmes. C’est ainsi que, dans le problème des poupées et des cannes, l’enfant du second stade sait répartir les séries en deux classes ≥ n et < n quel que soit n, ou inversement mettre en correspondance sériale les collections ainsi définies. Mais de telles constructions demeurent semi-opératoires et ne dépassent pas le champ de l’intuition pour aboutir à leurs conséquences logiques générales.

D’autre part, par le fait même qu’il y a esquisse d’opérations, il y a début de différenciation entre les mécanismes d’ordre qualitatif dont il vient d’être question et les mécanismes d’ordre numérique, qui reposent sur la notion d’unités homogènes à la fois sériables et colligibles. Seulement, à part les premiers termes tels que 1 à 3 vers 3 ans, 1 à 4 vers 4 ans et 1 à 5 vers 5 ans, la construction du nombre déborde nécessairement le champ de l’intuition perceptive et ne peut ainsi s’achever que sur le plan opératoire, tandis que les opérations qualitatives sont susceptibles d’un développement proportionnellement plus important — étant donnée leur simplicité — sur le plan intuitif. Dès lors, la solidarité entre les processus ordinaux et cardinaux, qui est le propre du nombre, ne fait-elle que s’amorcer au cours du présent stade, sans aboutir encore à une coordination proprement dite.

C’est ainsi que, pour autant que l’on demeure dans le champ de la perception, l’évaluation cardinale caractéristique du second stade s’effectue au moyen de la correspondance terme à terme qui suppose une ordination. Inversement, en toute sériation intuitive l’enfant comprend que chaque terme peut être compté et constitue avec les précédents une collection susceptible d’être dénombrée cardinalement. Il y a donc coordination élémentaire entre les deux processus. Seulement la correspondance cardinale n’entraîne pas encore

l’équivalence durable et nécessaire, et cela, d’une part, parce qu’elle n’est pas encore suffisamment dissociée de la correspondance qualitative (topologique) et, d’autre part, parce qu’elle demeure liée au contact perceptif, donc limitée au champ de l’intuition immédiate. D’autre part l’ordination demeure, elle aussi, relativement indifférenciée de la sériation qualitative et celle-ci demeure, elle aussi, intuitive, c’est-à-dire que l’ordre est compris en fonction seulement de la série totale actuellement perçue, et qqe la valeur du rang ou des correspondances sériales et ordinales se perd lorsque la série est disloquée du point de vue de la perception. Ces deux sortes de limitations — différenciation non encore achevée entre le qualitatif et le numérique et fonctionnement semi-opératoire ne dépassant pas le plan perceptif — suffisent à expliquer que la coordination naissante de l’ordinal et du cardinal ne puisse être généralisée ni systématisée au cours de ce stade.

En effet, pour que le rang d’un élément parvienne à se traduire d’une manière univoque en une valeur cardinale déterminée, il faut que l’ensemble constitué par cet élément et les précédents soit assuré d’une conservation suffisante pour pouvoir être décomposé en parties dont la somme recompose le tout. Par exemple dans l’expérience des bâtons, si le bonhomme est sur la 3^e marche d’un escalier de 8 marches, l’enfant doit comprendre que, même si l’escalier est disloqué, le tout est encore de 8 =3 + 5 et que les marches restant à gravir sont de 8 — 3 =5. Or, précisément, durant ce stade, un tout cardinal n’existe que dans la mesure où il est perçu comme un tout et ne peut pas être décomposé impunément, ce qui fait que le rang de chacun des éléments de la série ne peut pas encore se traduire sans plus en une valeur cardinale. Inversement, pour qu’une valeur cardinale puisse correspondre d’une manière précise à un rang, il faut que chaque ordinal n^e puisse être considéré de façon permanente comme > (n — l)^t et < (n + l)^e, ce qui suppose à nouveau l’invariance des collections (n— 1), (n), (n + 1), etc. Bref, le caractère intuitif et semi-opératoire des totalités cardinales et des séries explique pour sa part la non-conservation des ensembles et des rangs. Or, faute d’opérations proprement dites de compositions et de décompositions, rendues impossibles par cette non-conservation, les mécanismes numériques ne sauraient se différencier suffisamment des mécanismes qualitatifs pour engendrer une interaction effective des classes et des relations, d’abord, et par conséquent ensuite du cardinal et de l’ordinal.

Au cours du troisième stade, par contre, cette coordination d’ensemble s’effectue et cela grâce à la victoire de l’opération sur l’intuition perceptive, c’est-à-dire du groupement réversible sur la constatation statique. D’où : 1° la généralisation des opérations qualitatives ; 2° leur différenciation d’avec les opérations numériques ; et 3° l’interaction nécessaire de l’ordinal et du cardinal.

1° Pour ce qui est, tout d’abord, de la généralisation des opérations qualitatives, il est inutile de répéter à propos de la sériation ce que nous avons vu de la réversibilité des opérations à propos de la correspondance non sériale (chap. IV § 5, I). Il est clair, en effet, que ce qui constitue le caractère opératoire des réactions du troisième stade, c’est précisément que, comme dans le cas de la conservation des quantités et de l’équivalence cardinale durable, les relations en jeu sont devenues réversibles. La sériation arbitraire du premier stade n’est susceptible d’aucune réversibilité. La sériation intuitive se perd également, une fois détruite la présentation perceptive. Seule la sériation opératoire est victorieuse des fluctuations du champ de la perception, et cela dans la mesure où elle repose sur des relations qui se composent entre elles parce que susceptibles de s’inverser rigoureusement. Comme nous l’avons vu, sérier opératoirement, c’est coordonner les deux relations inverses s > r avec s < t, ce qui implique donc la possibilité de dérouler la série dans les deux sens.

Or, la réversibilité une fois acquise dans le domaine de la sériation comme dans celui de la classe, les « groupements » suivants d’opérations, c’est-à-dire les systèmes de compositions réversibles, deviennent accessibles à l’enfant, et définissent le champ de sa logique qualitative (sur le terrain concret propre au niveau mental de 7 à 11 ans, naturellement, et point encore sur le terrain formel, où ces constructions se répéteront après un décalage de quelques années).

Soit une pluralité d’éléments donnés à la perception, tels que les poupées du chap. V. Le sujet peut, d’une part, les concevoir comme analogues, c’est-à-dire faire abstraction de leurs différences et ne retenir que leurs qualités communes : ce premier point de vue, qui est celui de l’équivalence des éléments, conduit à la construction de concepts en extension, ou classes logiques. Par exemple, deux poupées peuvent différer par leur taille mais elles appartiennent l’une et l’autre, et au même titre, à la classe des poupées posées sur la table. Si P sont ces poupées, le sujet élaborera ainsi cette classe en réunissant les poupées A + A’ + B’ + … = P, le signe + étant celui de la

réunion et chaque élément A, A’, B’ … étant la classe singulière de chaque poupée individuelle. Mais, d’autre part, et par le fait même qu’il distingue ces éléments les uns des autres, il est obligé de les concevoir comme différents par d’autres qualités que par leur qualité commune de poupées. Ce second point de vue, qui est celui de la non-équivalence, est celui des relations asymétriques. Toute relation asymétrique est une inégalité, non seulement si A’ > A et que B’ > A’, etc. mais même si A, A’, B’… sont indiscernables en tout, sauf que A’ vient « à côté de » ou « après » A. Nous dirons donc que le sujet, lorsqu’il distingue A, A’, B’…, construit, par cela même, des rapports (A → A’) ou (A’ → B’) qui deviennent des relations dès qu’elles peuvent être composées (A → A’) + (A’ → B’) = (A → B’) (où A → A’ signifie par exemple que A’ est « plus grand » que A, etc.) et inversées (A → A’) = (A’ <- A) où <- signifie « plus petit ».

Les classes et les relations asymétriques sont complémentaires, c’est-à-dire qu’il est impossible de construire des classes sans relations permettant de qualifier les éléments, ni des relations sans classes permettant de définir les éléments reliés. Mais elles ne sont que complémentaires, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de rapports qualitatifs qui soient des classes et des relations à la fois : la classe fait, en effet, abstraction des différences et la relation asymétrique fait abstraction des équivalences. C’est ainsi que la réunion de deux éléments A + A’ = B en une classe B les rend par cela même équivalents au point de vue de la classe B, tandis que la réunion des deux relations (A ° A’) + (A’ ^a₁ B’) en une seule relation A B’ aboutit à sérier les termes de ces relations et non pas à les rendre équivalents. Il est donc clair que les classes sont sources de totalités hiérarchiques (A + A’ = B ; B + B’ = C ; … etc. jusqu’à P) et les relations asymétriques transitives, sources de sériations. Seulement, tant qu’on n’introduit pas le nombre, on ne saurait tirer de ces totalités hiérarchiques aucune cardination proprement dite ni de ces séries aucune ordination réelle. Le concept n’est qu’une synthèse de qualités, et la classe qu’une réunion d’individus qualifiés et non pas dénombrés. La relation asymétrique, d’autre part, en tant que rapport entre qualités, est nécessairement quantifiante, et, dans la mesure où elle distingue les individus au lieu de les fusionner, elle prépare la voie au nombre. Mais, dans la mesure où celui-ci n’intervient pas, elle n’aboutit par ses compositions qu’à ces quantités que Kant appelait intensives parce que non réductibles à un système d’unités.

Telles sont les principales compositions additives (nous avons déjà examiné les compositions multiplicatives au chap. IV § 5) dont l’enfant du troisième stade devient capable par généralisation des opérations qualitatives.

2° Or, sitôt parvenu à ce type de compositions logiques, l’enfant devient par cela même capable d’en tirer les compositions numériques correspondantes et de les différencier les unes des autres. En effet, le nombre se construit précisément dans la mesure où, en opposition avec ce que nous venons de voir, les éléments A, A’, B’… sont conçus non plus comme équivalents ou comme non-équivalents, mais comme étant à la fois équivalents et non-équivalents. Si l’on préfère une formule d’apparence moins contradictoire, le nombre n’est ni seulement classe totalisante ni seulement relation sériante, mais à la fois classe hiérarchique et série. Or, nous venons de voir que sur le plan des qualités, il ne peut y avoir de rapport logique qui soit à la fois classe et relation. La chose n’est donc possible qu’à la condition d’éliminer les qualités et de considérer chaque élément comme une unité équivalente aux autres. On a, dès lors, simultanément A = A’ = B’… etc., ce qui traduit l’équivalence propre aux classes et A → A’ → B’… conformément à la non-équivalence inhérente à tout système de relations asymétriques. Cela revient à dire que (A + A’ = B) devient (A + A = 2 A), et (B + B’ = C) devient (2 A + A = 3 A), etc., ce qui définit l’itération de l’unité dans le système des nombres entiers.

Bien entendu, nous n’entendons pas, par là, prétendre que le nombre se réduise aux classes et aux relations, mais simplement montrer leurs rapports mutuels. Il est d’autant plus nécessaire de prévenir un tel malentendu que, nous le verrons au cours du prochain chapitre, la classe n’est pas antérieure au nombre mais s’achève en même temps que lui et s’appuie sur lui autant que l’inverse : sans la notion du nombre cardinal qui intervient implicitement dans les termes « un », « aucun », « quelques » et « tous », on ne saurait en effet concevoir l’inclusion des classes les unes dans les autres : les classes sont donc, en un sens, des nombres non sériés comme les nombres sont des classes sériées et la constitution psychologique autant que logique des classes, des relations et des nombres, constitue un développement d’ensemble dont les mouvements respectifs sont synchroniques et solidaires les uns des autres.

3° Dès lors, l’explication de la coordination des nombres ordinaux et des nombres cardinaux, au cours du troisième stade, s’impose

en toute clarté et en toute simplicité. Un nombre cardinal est une classe dont les éléments sont conçus comme des « unités » équivalentes les unes aux autres et cependant comme distinctes, leurs différences consistant alors seulement en ceci que l’on peut les sérier, donc les ordonner. Inversement les nombres ordinaux sont une série dont les termes, tout en se succédant selon les relations d’ordre qui leur assignent leurs rangs respectifs, sont également des unités équivalentes les unes aux autres et par conséquent susceptibles d’être réunies cardinale- ment. Les nombres finis sont donc nécessairement à la fois cardinaux et ordinaux et cela résulte de la nature même du nombre qui est d’être un système de classes et de relations asymétriques fusionnées en un même tout opératoire. Les cardinaux résultent donc d’une abstraction de la relation et cette abstraction ne change pas la nature de leurs opérations puisque tous les ordres possibles que l’on peut attribuer à n termes aboutissent à la même somme cardinale n. Les ordinaux, de leur côté, résultent d’une abstraction de la classe, abstraction légitime également et pour cette même raison que le n* terme fini correspondra toujours à un ensemble cardinal de n. Mais cette double abstraction n’empêche en rien le nombre entier fini de demeurer un, et d’impliquer l’indissociable solidarité des totalités et de l’ordre.