Chapitre III.
La correspondance provoquée et l’équivalence des collections correspondantes ^a 🔗

— On pose sur la table 6 petites bouteilles alignées (des bouteilles de 2-3 cm pour jeux de poupée) et l’on désigne un plateau contenant une collection de verres : « Tu vois, ce sont de petites bouteilles. Qu’est-ce qu’il faut avoir pour les boire ? — Des verres. — Eh bien, voilà les verres. Tu prends sur ce plateau juste assez de verres, la même chose de verres que de bouteilles, un verre par bouteille. » L’enfant opère lui-même la correspondance en mettant un verre devant chaque bouteille. S’il se trompe en trop ou en trop peu, on demande : « Tu crois que c’est la même chose ? », jusqu’à ce qu’il ait fourni son maximum. L’erreur n’est possible d’ailleurs’ que chez les enfants du premier stade (4-5 ans) dont nous parlerons à l’instant. On peut faciliter la correspondance en faisant verser les bouteilles dans les verres : chaque bouteille remplit un verre exactement. Une fois la correspondance établie, on serre les six verres en un petit tas et l’on demande à nouveau : « C’est la même chose de verres et de bouteilles ? » Si l’enfant dit « non », on poursuit : « Où y a-t-il plus ? » et « Pourquoi il y a plus là ? » Puis on remet les verres en rangées et on serre les bouteilles en tas, etc. en répétant chaque fois les questions.

Nous classerons les résultats obtenus en trois stades caractérisés comme suit : I. Pas de correspondance terme à terme ni d’équivalence ; IL Correspondance terme à terme mais pas d’équivalence durable ; III. Correspondance et équivalence durable.

I. Le premier stade : ni correspondance exacte ni équivalence. —   Nous classons donc dans ce premier stade tous les enfants qui ne parviennent pas d’emblée à la correspondance terme à terme, mais procèdent par simple correspondance globale fondée sur la seule

perception de la longueur des rangées. Chez ces sujets, il est évident que l’absence d’équivalence durable entre les ensembles correspondants résulte de l’absence de correspondance terme à terme, puisque la longueur des rangées varie selon l’espace intercalé entre les objets :

Bon (4 ans) : « Tu vois toutes ces petites bouteilles. Qu’est-ce qui manque encore si on veut boire ? — Des verres. — Eh bien, il y a ici beaucoup de verres (on les pose sur la table). Toi, tu mets ces verres ici, mais juste assez pour ces bouteilles, un verre pour chaque bouteille. — (Il les prend les 12, mais les serre, de telle sorte que les 6 bouteilles forment une ligne un peu plus longue.) — Où y a-t-il le plus ? — Là (les bouteilles). — Alors mets un verre pour chaque bouteille ? — (Il aligne les 12 verres en une rangée de même longueur que les 6 bouteilles espacées.) — C’est la même chose ? — Oui. — (On écarte les bouteilles.) C’est la même chose de verres et de bouteilles ? — Oui (mais il espace légèrement les verres). — (On espace les bouteilles à nouveau.) — Ici c’est peu (les 12 verres), ici c’est beaucoup (les 6 bouteilles). »

Gol (4 ans) commence par verser le contenu de chaque bouteille dans un verre. Arrivé à la 4* bouteille, il s’écrie spontanément, en voyant qu’il ne parviendra pas à faire correspondre les 6 bouteilles aux 12 verres. « II n’y a pas beaucoup de bouteilles. — Alors tu peux enlever les verres, (Il aboutit à 7 verres pour 6 bouteilles, en serrant un peu les premiers.) — Il y a la même chose de verres et de bouteilles ? — Oui. — (Nous mettons un verre devant chaque bouteille et on voit ainsi un verre sans bouteille correspondante.) — Il faut donner encore une bouteille. — (On la lui donne.) Et maintenant ça va ? — (Il arrange les choses de façon que la première bouteille corresponde au second verre, et ainsi de suite jusqu’à la 7’ bouteille qui n’a pas de verre correspondant.) Non, il y a un verre qui manque là, et là il y a un verre qui n’a pas de bouteille. —   Alors qu’est-ce qu’il faut ? — Une bouteille et un verre. — (On les lui donne, mais il les met en regard l’un de l’autre et manque la correspondance jusqu’à la fin. »

Car (5 ; 2) : « Fais que chaque bouteille ait son verre. — (L’enfant qui avait pris tous les verres, en enlève un certain nombre et en laisse 5 qu’il essaie de faire correspondre aux 6 bouteilles en les espaçant pour constituer une rangée de même longueur.) C’est la même chose de verres et de bouteilles ? — Ouf. — Tout à fait ? — Oui. — (On serre alors les 6 bouteilles devant les 5 verres, les deux rangées n’ayant plus ainsi la même longueur.) C’est la même chose de verres et de bouteilles ? — Non. — Pourquoi ? — Les bouteilles sont peu. —   Il y a plus de verres ou plus de bouteilles ? — Plus de verres. (Il les serre un peu.) — C’est la même chose de verres et de bouteilles ? — Oui. — Pourquoi tu as fait ça ? — Parce que ça fait peu. »

Ces cas nous mettent en présence d’un stade antérieur à la correspondance proprement dite. Au cours de ce stade, l’évaluation procède par comparaison globale des longueurs (ou densités, etc.) des collections considérées. L’exemple de Car est particulièrement clair à cet égard : cet enfant considère, en effet, qu’une rangée de 5 verres espacés est plus nombreuse qu’une rangée de 6 bouteilles

serrées, mais il pense d’autre part qu’en serrant la première rangée « ça fait peu » de telle sorte qu’elle devient équivalente aux 6 bouteilles ! Dès lors il va de soi que l’équivalence entre deux collections ne saurait être durable puisqu’elle dépend de facteurs variables comme la longueur de la rangée.

II. Le second stade : correspondance terme à terme mais sans équivalence durable entre les collections correspondantes. — Par contre, les enfants dont nous allons maintenant donner quelques exemples sont parfaitement capables d’effectuer d’emblée la correspondance terme à terme entre les bouteilles et les verres. Mais, s’ils déclarent au moment même de la correspondance visuelle entre les deux rangées, qu’il y a autant de verres que de bouteilles, ils cessent de croire à cette équivalence dès que l’on sépare les couples de termes corrélatifs en espaçant ou en resserrant les termes de l’une des deux collections :

Hoc (4 ; 3) : « Tiens, ce sont des bouteilles dans un café. Tu es le garçon et tu dois prendre des verres dans l’armoire. Chaque bouteille doit avoir un verre. • Il met exactement un verre en face de chaque bouteille et néglige les autres verres : « C’est la même chose ? — Oui. » On serre alors les bouteilles en un tas : « C’est la même chose de bouteilles et de verres ? — Non. — Où y a-t-il plus ? — Il y a plus de verres. » Ensuite on remet les bouteilles en face des verres, une pour un exactement, puis on serre les verres en tas : « Il y a la même chose de verres et de bouteilles ? — Non. — Où il y a le plus ? — Plus de bouteilles. — Pourquoi il y a plus de bouteilles ? — Parce que (air décidé). »

Moo (4 ; 4) prend à vue 9 verres pour les 6 bouteilles, puis les fait correspondre un à un en écartant les 3 verres restants, et dit spontanément : « Non, ce n’était pas juste. — Et maintenant c’est la même chose ? — Oui. — (On serre les verres et on espace un peu les bouteilles.). C’est la même chose de verres et de bouteilles ? — Non. — Où il y a plus ? — Il y a plus de bouteilles. »

Gin (4 ; 11) : « Tu prends sur ce plateau juste assez de verres, de bouteilles, un verre pour chaque bouteille. — (Il les prend tous.) — Tu crois que c’est la même chose ? — Non. — Alors enlève ce qui est de trop. — (Il fait la correspondance terme à terme avec le regard seul et laisse 6 verres sur le plateau mais sans compter !) C’est la même chose ? — Oui. — Alors mets-les pour voir si c’est juste. — (Il les pose exactement devant les bouteilles.) Voilà. — C’est la même chose ? — Oui. — (On serre les verres en tas.) C’est la même chose ? — Non. — Où il y a plus ? — H y a plus de bouteilles. — Pourquoi ? — C’est parce qu’il y en a plus ici (montre les 6 bouteilles alignées). — (On espace les verres et on met les bouteilles en tas.) C’est la même chose ? — Non. — Où y a-t-il plus ? — Ici (les verres). >

Gal (5 ; 1) fait correspondre 6 verres à 6 bouteilles. On serre les verres : « C’est la même chose de verres et de bouteilles ? — Non, ça c’est plus grand (les bouteilles), et ça c’est plus petit (les verres). — (Inverse.) — Maintenant il y a plus de verres. — Pourquoi ? — Parce que les bouteilles sont encarrées ( = serrées) et les verres sont tous sortis. — Compte les verres. — 1, 2… 6. — Compte les bouteilles. — 1, 2… 6. —   Alors c’est la même chose ? — Oui. —   Pourquoi

tu as dis que ce n’est pas la même chose ? — Parce que les bouteilles sont toutes petites. >

Mül (5 ; 3) fait la correspondance exacte entre les bouteilles et les verres après avoir jugé à vue et mis 2 verres de trop : « C’était la même chose ? — Non, il y avait trop de verres. — Et maintenant ? — Oui, c’est la même chose. — (On serre les verres et on écarte les bouteilles.) C’est la même chose ? — Non, parce que c’est plus grand. —   Tu sais compter ? — Oui. —   Combien il y a de verres ? — Six. — Et de bouteilles ? — Six. —   Alors il y a la même chose de verres et de bouteilles ? — U y a plus là où c’est plus grand. »

Os (5 ; 10) effectue une correspondance immédiate : « C’est la même chose de verres et de bouteilles ? — Oui, j’ai compté. • On serre les verres en tas : « C’est la même chose de verres et de bouteilles ? — Non. — Pourquoi ? — Parce que c’est beaucoup ici (bouteilles) et c’est ici c’est peu. — (On serre les bouteilles et on écarte les verres.) C’est la même chose maintenant ? — Non. — Pourquoi ? — Parce qu’ici (les verres) c’est beaucoup, et ici c’est peu. »

Fu (5 ; 9) verse le contenu des 6 bouteilles dans 6 verres et les met devant les bouteilles vides : « Il y a la même chose de bouteilles que de verres ? — Ouf. — (On met les bouteilles en tas devant les verres.) C’est la même chose ? — Non. — Où il y a plus ? — Il y a plus de verres. — (On fait le contraire.) Et maintenant ? — Il y a plus de bouteilles. — Comment peut-on faire pour avoir la même chose ? — Il faut pousser les verres comme ça (geste d’écarter), non, il faut ajouter des verres. »

Fba (6 ; 3). Même réaction : quand on serre les verres, il y a plus de bouteilles et réciproquement :   » Il y a plus parce que c’est plus écarté. » Lorsque à la fin on lui demande : « Fais qu’il y ait la même chose », il rétablit la correspondance par contact spatial terme à terme.

Telles sont les réactions du second stade. On constate d’abord que tous ces enfants sont capables d’effectuer la correspondance terme à terme. Seulement, et c’est là le phénomène sur lequel nous voulions insister, il suffit d’abolir la correspondance intuitive ou visuelle, c’est-à-dire par contact optique et spatial entre chaque bouteille et chaque verre, et de mettre l’un des ensembles sous la forme d’un tas en laissant l’autre en rangée espacée, pour que l’équivalence quantitative et même la correspondance qualitative semble disparaître aux yeux de l’enfant. Tout se passe comme si, pour ce dernier, la quantité dépendait moins du nombre (notion qui, dans cette hypothèse demeurerait donc verbale même lorsque le sujet compte correctement) ou de la correspondance terme à terme entre objets discrets que de l’aspect global de la collection et en particulier de l’espace occupé par la série. Même Mül, par exemple, qui sait compter, estime qu’« il y a plus là où c’est plus grand » même lorsqu’il constate que les verres mis en tas comportent 6 unités soit autant que les bouteilles alignées en file.

Mais alors, ne pourrait-on pas dire qu’il y a malentendu sur les mots : l’enfant, tout en admettant que le nombre des bouteilles et celui

5

des verres demeure le même lorsque l’on met l’une des deux collections en tas répondrait néanmoins qu’« il y a plus » d’un côté, mais cela tout simplement pour exprimer l’idée que la forme de la collection a changé et que l’espace occupé est plus grand. C’est précisément à cause de cette objection et parce qu’il est difficile d’écarter par des mots la possibilité d’un malentendu verbal que nous multiplierons les situations et les exemples au cours de ces deux chapitres. C’est donc au fur et à mesure de l’examen de nouveaux faits que nous pourrons choisir entre les deux interprétations.

Dès maintenant néanmoins, il est nécessaire de faire les quelques remarques suivantes. Tout d’abord, s’il est difficile de trouver des expressions bien comprises entre 4 et 6 ans pour exprimer l’équivalence quantitative, nous n’avons aucune preuve, en retour, qu’un enfant de 5 ans comme Mül emploie les termes « six verres » ou « six », en général, dans le même sens que nous. Tout ce que nous voyons, c’est que Mül sait appliquer à 6 objets les 6 premiers noms de nombre, c’est-à-dire qu’il sait mettre en correspondance des mots et des verres aussi bien que des verres et des bouteilles. Mais cela prouve-t-il que cette énumération verbale exprime une quantification meilleure, du point de vue de l’enfant, que l’espace occupé, et que l’attribution des chiffres aux objets réponde à la question « combien » en un sens réellement numérique ? Nous n’avons évidemment aucun droit de l’affirmer, car il se pourrait que la correspondance entre les noms de nombre et les objets demeure à ce niveau une simple correspondance verbale sans que l’enfant parvienne aux notions nécessaires à la constitution du nombre lui-même et définies par la permanence et l’équivalence des ensembles indépendamment de la disposition des éléments qui les composent. L’argument tiré du langage se retourne donc facilement et il serait prudent d’en tirer autre chose que la simple constatation d’une discordance entre l’attribution de noms (de « chiffres ») et l’intuition visuelle.

En second lieu, lorsque l’enfant exprime une variation quantitative, il ne se borne pas toujours à dire « il y a plus » ou « il y a moins », ce qui pourrait laisser croire à une évaluation purement spatiale sans signification relative aux quantités discontinues, mais il précise souvent (Hoc, Mog, Gin, Du, Fu, etc.) « il y a plus de verres » ou « il y a plus de bouteilles ». Os dit « ici c’est beaucoup et ici c’est peu ». Gai, qui, contrairement à Mül, se laisse persuader finalement de l’équivalence des deux collections en découvrant qu’elles ont le même

nombre 6, nous fait bien comprendre la chose : l’expression initiale « c’est plus grand » est traduite ensuite en « il y a plus de verres », et cela parce que les bouteilles, une fois serrées, « sont toutes petites ». Que peut donc signifier cette dernière affirmation, sinon que l’enfant s’attendait à une diminution de la quantité elle-même et que, trouvant le même nombre contre son attente, il concilie cette permanence expérimentale du nombre 6 avec la contraction de l’espace occupé en réduisant la valeur même des éléments évalués.

En troisième lieu, et c’est là nous semble-t-il l’argument décisif, l’arrivée à la réponse juste montre clairement ce que l’enfant pensait jusque-là. Nous allons voir, en effet, comment au troisième stade, l’enfant découvre et déclare explicitement que le fait de serrer ou de desserrer les éléments ne change en rien leur nombre, ce qui constitue précisément la conquête propre à ce niveau supérieur, antérieurement à laquelle les modifications introduites dans l’espace occupé apparaissent donc à l’enfant comme intéressant la quantification des éléments eux-mêmes.

III. Le troisième stade : correspondance terme à terme et équivalence durable des collections correspondantes. — Voici deux exemples de réponses justes, qui nous permettront cette comparaison avec les solutions inférieures :

Pel (5 ans ¹∕₂) commence par mettre 5 verres en regard de 6 bouteilles, puis ajoute un verre : « C’est la même chose ? — Oui. — Et maintenant (on serre les verres)? — Oui, c’est la même chose de verres. — Pourquoi ? — Ça n’a rien changé. — Et comme ça (on serre les bouteilles et on aligne les verres espacés)? — Oui, c’est la même chose. »

Lau (6 ; 2) fait correspondre 6 verres à 6 bouteilles. Nous mettons les verres en tas : « C’est encore la même chose ? — Oui, c’est la même chose de verres. Vous n’avez rien fait que les serrer comme ça, mais c’est la même chose. — Et maintenant, il y a plus de bouteilles (en tas) ou plus de verres (espacés) ? — C’est toujours la même chose. Vous les avez seulement mises ensemble (les bouteilles). »

On voit que, pour ces enfants, les ensembles une fois mis en correspondance univoque et réciproque et ainsi rendus équivalents au moment de cette correspondance, le demeurent ensuite quel que soit l’arrangement de leurs éléments. C’est ce que Lau indique le plus clairement, comme s’il voulait marquer la différence qui le sépare du stade précédent : les verres conservent le même nombre si l’on ne « fait que les serrer », etc. Bref, le sens de ces réponses est que les quantités demeurent équivalentes si l’on modifie l’espace occupé, ce qui

montre assez que la question, pour l’enfant, était précisément jusque- là de savoir si le nombre variait avec la figure : l’opération de la mise en correspondance bi-univoque et réciproque est ainsi constituée, par delà la comparaison simplement intuitive ou optique.

Il est donc maintenant possible d’interpréter la signification des trois stades qui caractérisent cette construction, ou du moins d’énoncer les hypothèses qui seront à vérifier au cours des expériences suivantes.

Pour ce qui est du premier stade, sa signification est évidente : l’enfant se contente, pour estimer les collections d’objets, d’une sorte de comparaison d’ensemble ou de rapport global, sans correspondance terme à terme et par simple évaluation spatiale (longueur des rangées, etc.) Le troisième stade présente aussi un sens parfaitement clair : correspondance bi-univoque et réciproque, avec équivalence durable des collections correspondantes. Dès lors, pour interpréter le second stade, il suffit, semble-t-il, de rétablir la continuité entre les deux autres, ce qui revient précisément à accepter telles quelles les réactions des enfants de ce niveau, sans vouloir traduire leur pensée en concepts supérieurs : l’équivalence quantitative entre deux ensembles se manifeste bien pour eux par une correspondance terme à terme, mais d’ordre perceptif, pour ainsi dire, ou intuitif, supposant donc un contact perçu entre les termes correspondants. Ce contact est, dans le cas particulier, d’ordre visuel, mais il pourrait être acoustique, tactile, etc. Par le fait même de cette restriction, il suffît que les objets perdent ce contact terme à terme pour que la correspondance soit rompue, et alors l’enfant n’a plus pour évaluer les deux collections que le critère du stade précédent, soit le critère global et spatial : comme le dit Mül, qui sait pourtant compter jusqu’à six, « il y a plus là où c’est plus grand ».

Que signifie donc l’expression « il y a plus » chez un enfant sachant par ailleurs qu’il y a six verres et six bouteilles ? D’une manière générale, que veut dire l’enfant dans des expressions telles que « il y a plus de verres » ou bien « ici il y a beaucoup, et ici il y a peu »? Il serait absurde de leur prêter l’idée que le nombre même des objets varie, puisque précisément toute notre interprétation revient à dire qu’ils ne possèdent pas encore cette notion du nombre. D’autre part, et par cela même, cela ne peut signifier simplement que l’espace a augmenté tandis que le nombre est resté le même, pour cette même raison que l’idée du nombre n’est pas encore construite. La seule

manière d’interpréter la chose est donc d’admettre une sorte d’indifférenciation entre le nombre et l’espace occupé, c’est-à-dire, répétons-le, une évaluation globale, et non encore analytique, la seule évaluation analytique qui est à disposition de l’enfant étant la correspondance visuelle ou d’ordre perceptif. C’est ce qu’exprime fort bien Fu lorsqu’il déclare que pour rétablir la correspondance entre six verres serrés et six bouteilles espacées il faut écarter les verres ou en rajouter, comme si les deux solutions se valaient.

Deux problèmes se trouvent ainsi posés. Le premier est celui du passage entre la quantification globale par rapports perceptifs de longueur ou d’espace occupé à la correspondance terme à terme d’ordre intuitif ; le second est celui de la transformation de cette correspondance intuitive en une correspondance opératoire avec équivalence durable. Mais de nouveaux faits sont nécessaires avant de pouvoir en discuter utilement.

— Il est clair que plus la cohésion des objets correspondant terme à terme est grande et plus ^équivalence des collections correspondantes sera durable. C’est ainsi que de mettre une fleur dans un vase ou un œuf dans un coquetier assuerra, aux yeux de l’enfant, un lien plus étroit entre les termes corrélatifs que de mettre simplement un verre à côté d’une bouteille : le contenu à insérer dans le contenant lui est plus complémentaire que le verre ne l’est à la bouteille demeurant devant lui. L’enfant aura donc moins de peine à comprendre que la quantité de fleurs ou d’œufs reste équivalente à celle des vases ou des coquetiers une fois que l’on aura sorti fleurs ou œufs pour les mettre en tas.

Cette circonstance est précieuse à deux points de vue. D’abord elle constitue un argument de plus en faveur du bien-fondé de nos interprétations : si les mêmes enfants répondent mieux aux mêmes questions lorsque la correspondance est intuitivement plus étroite, c’est qu’il n’y a pas malentendu verbal, mais que la correspondance est plus ou moins quantifiante selon le contenu des problèmes posés. En second lieu, cette différence de facilité des réponses va nous permettre de mieux analyser ces dernières que si l’incompréhension de l’enfant était générale.

La technique adoptée est la suivante. Dans le cas des fleurs et des vases, on commence par éveiller l’intérêt du sujet par un petit jeu :

« Que va-t-on mettre dans ces vases ? — Des fleurs. — Alors il faut aller au jardin chercher des fleurs, une fleur pour chaque vase, la même chose (ou « la même chose beaucoup ») de fleurs que de vases. » On pose devant l’enfant un certina nombre de fleurs, davantage que de vases, et l’on observe la manière dont il effectue la correspondance : il peut ou bien mettre une fleur devant chaque vase, ou bien les aligner en une rangée plus ou moins serrée mais de même longueur. Après quoi il est prié de vérifier, en mettant une fleur dans chaque vase : la correspondance terme à terme étant ainsi obtenue, on reprend les fleurs et on les met en bouquet (ou les vases en tas) et on demande comme précédemment s’il y a encore autant des unes que des autres. Quant aux œufs et aux coquetiers, la technique est la même : le sujet doit préparer autant d’œufs qu’il voit de coquetiers, puis, après avoir introduit les œufs à titre de vérification, on les ressort et on les rassemble pour voir si l’équivalence est durable. Il est indiqué, en outre, de serrer les œufs d’abord tout près des coquetiers, puis à une certaine distance pour voir si le contact optique joue effectivement un rôle dans le jugement d’équivalence.

L Le premier stade : comparaison globale sans correspondance terme à terme ni équivalence durable. — Voici quelques exemples de ces enfants qui, pour constituer deux quantités égales, se contentent d’aligner une rangée de fleurs de longueur équivalente à la ligne des vases !

Fum (4 ; 4) commence par prendre les fleurs une à une en regardant chaque vase successivement, mais ne peut poursuivre cette méthode au delà de quelques unités et se contente ensuite d’une estimation globale. « C’est la même chose ? — Oui. — Tu veux voir ? — (Il met les fleurs dans les vases et constate qu’il en manque 3.) Il manque des fleurs là (il les rajoute). — Et maintenant, c’est la même chose ? — Oui. — Ecoute, on va alors sortir les fleurs un moment et changer l’eau (on serre les vases et on espace les fleurs). Est-ce qu’il y a la même chose de vases et de fleurs ? — Il y a plus de fleurs. — Essaie. — (Il écarte les vases) Non, c’est la même chose. —   (On serre à nouveau les vases.) — Il y a plus de fleurs. — Pourquoi ? •— Parce qu’il y a une fleur ici (montre une fleur qui n’est plus en face d’un vase). — Crois-tu que toutes les fleurs vont dedans ? — Je pense que (a, il faut enlever (les deux fleurs qui dépassent la rangée des vases). Moi, je veux vite les mettre (il essaie et constate qu’il manque les deux fleurs qu’il a enlevées : il les rajoute). — On va changer l’eau, tu veux ? (On sort à nouveau les fleurs et on les serre.) Si on remet ces fleurs dans ces vases, ça sera la même chose ou pas ? — Je crois que c’est la même chose. Non, il y a trop de vases. — Alors, prépare toi-même pour que ça aille ? — (Il serre les vases 1) Est-ce que tu crois que ça va, comme ça ? — Je crois que ça va bien. >

Gui (4 ; 4) .aligne 13 fleurs serrées en face de 10 vases plus espacés, bien qu’il ait compté ceux-ci de 1 à 10. Les rangées étant de même longueur, Gui pense qu’il y a « la même chose • de fleurs et de vases. « Alors tu peux mettre les fleurs dans les vases ? — Oui. » Il le fait, et il reste 3 fleurs. On sort les fleurs et on les entasse devant les vases : « C’est la même chose de fleurs et de vases ? — Non. — Où il y a plus ? — Il y a plus de vases. — Et si on remet les fleurs dans les vases il y aura une fleur dans chaque vase ? — Oui. —   Pourquoi ? — Parce qu’il y a assez. — (On serre les vases et on espace les fleurs.) — Et maintenant ? — Il y a plus de fleurs. » … etc.

Quant aux œufs et aux coquetiers, voici trois exemples de réactions de ce stade, dont les plus primitives ne parviennent même pas (pas plus que celle de Fum pour les fleurs) à l’idée d’un retour nécessaire à la situation initiale :

Fra (4 ; 3) : « Prends juste assez d’œufs pour les coquetiers, pas plus et pas moins, un œuf pour chaque coquetier. — (L’enfant construit une rangée de même longueur, mais contenant beaucoup trop d’œufs.) C’est la même chose d’œufs et de coquetiers ? — Oui. —   Alors mets les œufs pour voir si c’est juste. — (Il le fait.) — C’était la même chose ? — Non. — Et maintenant ? — Oui (il enlève le surplus). — Alors on va sortir tous les œufs (on les met en tas devant les coquetiers). C’est maintenant la même chose ? — Non. — Pourquoi ? — Il y a plus de coquetiers. — Y a-t-il assez d’œufs pour les coquetiers ? — Je ne sais pas. — (On serre les coquetiers et on répand les œufs.) — Regarde. Et maintenant, il y a la même chose d’œufs et de coquetiers ? — Non, il y a plus d’oeufs. —   Y a-t-il assez de coquetiers pour ces œufs ? — Non. Je ne sais pas. •

Zu (4 ; 9), de même, commence par mettre devant les coquetiers une rangée serrée d’œufs, mais de même longueur. Puis il met les œufs dans les coquetiers, en écartant le surplus. Après quoi, il sort lui-même les œufs qu’il place devant les coquetiers, en tas : « C’est la même chose d’œufs et de coquetiers ? — Non, li y a beaucoup de coquetiers et moins d’œufs. —   Il y a assez d’œufs pour les coquetiers ? — Non. • On enlève alors tous les œufs et (pour 7 coquetiers) on en remet 4 seulement, en ligne très espacée : « Est-ce qu’il y a assez d’œufs pour ces coquetiers ? — Oui (la longueur des rangées est la même). — Mets-les toi-même, pour voir. — (11 les met et paraît très surpris qu’il en manque.) — Et maintenant y a-t-il la même chose (on a enlevé les 4 œufs et placé devant les 7 coquetiers une rangée de même longueur mais formée de 12 œufs). — Oui. — Tout à fait ? — Oui. — Si on les met dans les coquetiers, est-ce qu’il en restera ? — Non, ils vont tous dedans. — Essaie. — (Il est à nouveau très surpris) : Il y en a encore qui restent ! » Avec 3 œufs seulement, très espacés, pour 7 coquetiers, Zu répond bien « Il restera des vides coquetiers », mais avec 5 œufs espacés il croit à nouveau qu’il y aura correspondance exacte I

On voit que ces enfants ne parviennent pas d’eux-mêmes à la correspondance terme à terme et ne la découvriraient même pas s’ils n’y étaient contraints par les relations de contenant à contenu que les vases soutiennent avec les fleurs et les coquetiers avec les œufs. Quant à l’équivalence des deux ensembles, on constate qu’elle est entièrement fondée sur la comparaison perceptive des longueurs

des rangées : il suffît, en effet, de serrer ou d’espacer les éléments de l’une des deux collections pour qu’elle ne soit plus conçue comme équivalente à l’autre. Ainsi Fum, après avoir mis une fleur par vase, va jusqu’à croire que ces fleurs, une fois sorties et espacées, ne correspondent plus terme à terme aux vases, et il va même jusqu’à en enlever pour rétablir la correspondance ! De même Zu pousse si loin l’évaluation par l’espace occupé qu’il se propose de faire entrer successivement 4, 12 et 5 œufs dans les 7 coquetiers, tandis qu’il ne pense pas possible de leur faire correspondre les 7 œufs qu’il a lui- même introduits, puis sortis et posés en rang serré ! Il y a là d’éton- nantes conduites, qui montrent jusqu’où peut aller, au cours de ce premier stade, l’indifférenciation de la quantité discontinue et de l’espace occupé. A ce niveau, même lorsque la correspondance terme à terme est établie par la force des choses, l’enfant doute, après que l’on ait déformé l’aspect perceptif de l’une des collections correspondantes, du retour possible à cette correspondance par une remise en l’état initial. Lorsque l’enfant croit, comme Gui, à un retour possible à la situation initiale, il va de soi que cela peut s’expliquer par un simple souvenir de la correspondance antérieurement perçue, sans que cela prouve que l’équivalence dure entre temps : Gui estime, en effet, qu’« il y a plus de fleurs » lorsque l’on serre les vases, et inversement.

IL Le second stade : correspondance terme à terme, mais intuitive et sans équivalence durable. — Les enfants de ce second stade diffèrent de ceux du premier en ce qu’ils sont capables d’effectuer d’emblée la correspondance terme à terme, mais ils n’en concluent pas davantage à une équivalence qui durerait indépendamment de la disposition spatiale des éléments. Voici des exemples pour les fleurs et les vases :

Dal (4 ; 6) après avoir examiné les 10 vases, prend 9 fleurs en croyant avoir trouvé du regard la correspondance exacte. Parvenu au septième vase, il prévoit qu’il n’en aura pas assez et en prend encore une. Une fois les fleurs introduites dans les vases, on les en sort pour les mettre en tas : « C’est la même chose de fleurs et de vases ? — Non. —   Pourquoi ? — Il y a plus de vases. —   Et maintenant (on fait l’inverse) ? — Il y a plus de peurs. »

Sim (5 ; 7) met une fleur dans chaque vase. On les ressort et les met en tas : « C’est la meme chose de fleurs et de vases ? — Non. — Pourquoi ? — Il y a plus de vases. —   Est-ce qu’il y a assez de fleurs pour les vases ? — Oui. — (On fait l’inverse.) Et maintenant ? — Il y a plus de peurs. — Y a-t-il assez de vases pour les fleurs ? — Oui. —   Alors c’est la même chose beaucoup ? — Non, ici (vases) il y a plus, parce que c’est écarté. »

Et avec les œufs et les coquetiers :

Sim (5 ; 7) fait correspondre 6 œufs à 6 coquetiers, puis les introduit. On les en sort et on espace les œufs : « C’est la même chose d’œufs et de coquetiers ? — Non. — Où y a-t-il le plus ? — Ici (œufs). — Si on veut remettre dans chaque coquetier un de ces œufs, ça va encore ? — Oui… Je ne sais pas. »

Dum (5 ; 8) fait également correspondre 6 œufs à 6 coquetiers et les introduit lui-même. Lorsque l’on sort les œufs et qu’on les met en tas devant les coquetiers, Dum estime que ce n’est plus la même chose. « Pourquoi ? — Parce qu’on a fait comme ça (geste de serrer). — Est-ce qu’il y a assez d’œufs pour les coquetiers ? — Non. —   (On serre les coquetiers et on espace les œufs.) Et maintenant ça va ? — Non, parce qu’il y a plus d’œufs. »

Ces quelques cas suffisent à confirmer l’existence d’un second stade, situé entre celui de la non-correspondance spontanée et celui de l’équivalence durable : il y a correspondance terme à terme immédiate, mais elle demeure intuitive, puisqu’il suffit de transformer la configuration de l’ensemble pour que l’équivalence cesse. D’autre part, si certains sujets de ce stade croient possible le retour à l’état initial, ils ne le conçoivent pas comme nécessaire : par exemple Sim, qui affirme cependant que les fleurs serrées ou espacées retrouveront chacune un vase correspondant, n’en est plus certain pour les œufs et les coquetiers. Bien plus, même lorsque l’enfant admet le retour possible à l’état initial, il n’en conclut pas à l’invariance de l’équivalence durant l’intervalle : ainsi le même Sim considère qu’« il y a plus de fleurs » que de vases lorsque ceux-ci sont serrés, bien que l’on puisse remettre une fleur en chaque vase, et précise, lorsque nous demandons « alors il y a la même chose ? », que « non, ici il y a plus parce que c’est écarté ». On ne saurait mieux indiquer que la quantification, pour l’enfant de ce niveau, ne se réduit ni au nombre (la plupart de ces sujets savent compter jusqu’à 10) ni à la correspondance bi-univoque et réciproque, mais à une correspondance intuitive liée à la configuration perceptive de l’ensemble analysé.

III. Réponses intermédiaires entre le deuxième et le troisième stade et réponses du troisième stade : correspondance opératoire avec équivalence durable. — L’intérêt des présentes épreuves est que, étant un peu plus faciles que celles des verres et des bouteilles, on trouve des cas intermédiaires qui ne parviennent pas à résoudre ce dernier problème mais réussissent peu à peu à résoudre ceux des vases et des coquetiers, ce qui permet ainsi de mieux analyser le mécanisme de

la solution correcte. Voici quelques exemples de ces cas de transition :

Du (5 ; 8) demeure du second stade en ce qui concerne l’épreuve des verres et des bouteilles (voir 1). Quant aux fleurs, il les met en correspondance exacte avec les vases, et, lorsqu’on les ressort pour les poser en tas, il commence par dire   » il y a plus de vases ». Lorsque l’on fait l’opération inverse, il dit également :   » Il y a plus de fleurs. » Mais ensuite, nous présentons à Du un nouveau bouquet de fleurs d’une autre couleur : « Tu en mettras aussi une pour chaque vase. — (Il le fait, puis on les sort et on les serre devant les vases.) — Et maintenant, c’est encore la même chose de fleurs et de vases ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce qu’on les avait toutes mises là (dans les vases). » Lorsque l’on serre les vases et espace les fleurs à quelque distance il retombe par contre dans son erreur.

Mou (5 ; 8), de même, dit qu’il y a toujours autant de vases que de fleurs lorsque celles-ci sont serrées. Par contre, lorsque les vases sont serrés, il les voit plus nombreux :   » Il y a plus. »

Os (5 ; 10) demeure également du second stade en ce qui concerne les verres et les bouteilles. Quant aux fleurs, il oscille aussi entre les solutions du second et celles du troisième stade. Il commence par compter 10 vases, puis il compte 10 fleurs en les mettant au fur et à mesure dans les vases. On les sort et on les serre près des vases : « C’est la même chose beaucoup ? — Oui, parce qu’il y a dix (vases) et ici (les fleurs) il y a dix. — (On serre les vases en écartant les fleurs à une certaine distance.) Et maintenant ? — Non. Ici (les vases) il y a peu. — Tiens, voilà maintenant des fleurs roses. Prends-en la même chose pour les vases (ils sont à nouveau alignés). — (Il compte doucement en les mettant dans les vases.) — (On sort les fleurs roses en les étalant de l’autre côté des vases, les fleurs étant restées du côté de l’enfant.) — C’est la même chose de fleurs roses et de fleurs bleues ? — Oui, il y a 10 ici et 10 là. —   Et la même chose de fleurs roses et de vases ? — Non. •

Voici encore quelques réactions semblables observées à propos des œufs et des coquetiers (à noter en plus ce fait que dans plusieurs cas l’enfant croit à l’équivalence lorsque l’une des collections est serrée à proximité immédiate de l’autre, tandis que le sentiment d’équivalence diminue avec la distance I) :

Gal (5 ; 1), dont on a vu les réponses du deuxième stade au § 1, fait correspondre d’emblée 7 œufs à 7 coquetiers. Lorsque l’on sort les œufs pour les serrer devant les coquetiers, il croit encore à l’équivalence. « Pourquoi tu dis que c’est la même chose ? — Parce que. —   (On répand les œufs à une certaine distance). C’est encore la même chose ? — Non. —   Pourquoi ? — Parce que c’est décarré ici et là c’est encarré (= parce que les œufs dehors sont répandus et dans les coquetiers ils sont serrés). — Mais si on les remettait ce serait la même chose d’œufs et de coquetiers ? — Oui. •

Os (5 ; 10) compte le même nombre d’œufs et de coquetiers. On les sort et on les place serrés devant les coquetiers : « C’est la même chose ? — Oui. — (On les écarte à quelque distance.) C’est la même chose ? — Non. —   Où y a-t-il plus ? — Il y a plus d’œufs. —   Tous les œufs iraient dans les coquetiers ? — Ouf. »

On voit l’intérêt de ces cas intermédiaires. D’une manière générale, ils marquent, en effet, le début de la libération de la correspondance opératoire par rapport à la correspondance optique ou intuitive. Ainsi Du, après avoir nié l’équivalence lorsque la correspondance terme à terme n’est plus visible, parvient à comprendre que les fleurs serrées près des vases sont aussi nombreuses que ceux-ci, pour cette raison excellente que « on les a toutes mises là », c’est-à-dire que les fleurs ont été contenues précédemment par les vases. Mais il ne peut retourner le raisonnement lorsque l’on espace les mêmes fleurs et il les croit plus nombreuses parce qu’elles sont plus éloignées. Mou accorde la même constance à la quantité des fleurs, mais croit les vases plus nombreux quand on les serre (à remarquer que ce n’est plus l’espace occupé mais la densité qui joue ici le rôle de critère de la quantité). Quant à Os, il présente ce cas extraordinaire de pouvoir identifier le nombre des vases et des fleurs, quand on serre ces dernières et pas quand on espace les fleurs, mais encore d’identifier le nombre des fleurs roses et celui des fleurs bleues qui sont toutes deux espacées, et pas celui des fleurs roses espacées et celui des vases qu’on a serrés. La raison en est évidemment que les fleurs serrées près des vases lui rappellent qu’elles étaient toutes dedans, tandis que les fleurs espacées perdent ce caractère, faute de contact optique. C’est bien ce que l’on voit dans le cas, plus simple, où Os croit à l’équivalence des coquetiers et des œufs lorsque ceux-ci sont serrés près de ceux-là, mais n’y croit plus à une certaine distance. De même Gai montre clairement comment, lorsqu’il pense au retour possible des œufs dans les coquetiers, il conserve la croyance en l’équivalence, mais la perd lorsque les œufs sont trop éloignés. En bref, l’enfant commence à se libérer de la perception pour constituer une correspondance avec équivalence proprement intellectuelle. Lorsque les œufs sont serrés mais près des coquetiers, la configuration des deux collections a beau être altérée, le contact optique reste suffisant pour rappeler la correspondance, et l’enfant admet l’équivalence, mais lorsque les œufs sont espacés à une certaine distance les uns des autres et par conséquent des coquetiers, l’équivalence est rompue, parce que l’opération de correspondance n’est pas encore assez libérée de la perception.

Avec les cas francs du troisième stade, par contre, l’opération est enfin affranchie de l’intuition et l’enfant atteint par cela même la réversibilité et l’équivalence :

Fet (5 ; 5) aligne 10 fleurs devant les vases puis les y introduit. On les sort et on les met en tas : « Est-ce que c’est encore la même chose ? — Oui. —   Et comme ça (espacées à distance)? — Oui. — Pourquoi ? — Parce qu’elles étaient là dedans. »

Bet (5 ; 8). Après qu’il ait fait la correspondance sans compter, on serre les fleurs en tas à distance : « C’est la même chose ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce que ça va (= on peut les mettre dedans). »

Et avec les œufs serrés devant les verres : « C’est encore la même chose ? — Oui. —   Pourquoi ? — Parce que c’est comme ça (geste de serrer). — Et maintenant (œufs répandus et verres serrés)? — Oui. — Pourquoi ? — Si vous mettez les oeufs écartés, c’est la même chose. »

Pit (6 ; 11). Mêmes réactions. Lorsque les œufs sont écartés, ils restent équivalents « parce tous vont dans les coquetiers ».

On se demande, à lire ces réponses si simples, comment il se peut faire que l’enfant ait tardé jusque-là pour comprendre l’équivalence durable des collections correspondantes. La différence entre ces sujets et les précédents est cependant essentielle. Elle marque le primat de l’opération proprement dite sur la perception.

Jusqu’ici, en effet, la seule quantification dont l’enfant soit capable se fondait sur les transformations d’ordre spatial et perceptif, tandis que la correspondance terme à terme elle-même n’était pas quantifiante. En d’autres termes, les qualités perçues par l’enfant ne donnent lieu, durant les premiers stades, qu’à de simples rapports quantitatifs (plus ou moins « grand », « long », « petit », « serré », etc.) sans opérations proprement dites. En effet, ces qualités ne sont pas coordonnées ou multipliées entre elles : l’enfant ne voit plus, par exemple, que si l’on espace les éléments d’une rangée, on diminue leur nombre par unité de longueur et que si on les serre, on augmente ce nombre relatif. C’est ainsi qu’au cours du premier stade l’enfant ne juge de la quantité que par la longueur plus ou moins grande de la rangée, sans multiplier cette relation avec celles de « placé en face », c’est-à-dire sans constituer de correspondances, même intuitives (la correspondance terme à terme pouvant se définir au niveau intuitif comme résultant précisément de la multiplication des rapports de « même distance » entre N_t et N₂ et entre N’₁ et N’₂ ; entre N₂ et N, et entre N’₁ et N’,… etc. et des rapports de « placé en face » existant entre N₁ et N,₁ ; entre N₂ et N’,…). Au niveau du second stade, l’enfant est devenu capable de cette coordination mais sur un plan purement intuitif, c’est-à-dire qu’il sait effectuer une mise en correspondance lorsque les termes corrélatifs sont situés en regard les uns des autres. Par contre, il suffit de changer la disposition de l’une des collections,

soit en resserrant soit en espaçant ses éléments, pour que le sujet cesse de croire à l’équivalence. C’est que la correspondance quantifiante suppose, en plus de la correspondance simplement perceptive, même si elle est qualitativement exacte, une opération supérieure qui est l’égalisation des différences, c’est-à-dire une coordination des déplacements telle que ceux-ci se compensent en devenant réversibles. Tant que l’enfant ne parvient pas à cette dernière multiplication, qui est d’ordre mathématique et non plus seulement qualitatif, ses mises en correspondance ne conduisent pas à une équivalence durable. C’est pourquoi, même lorsque les petits, qui croient les fleurs serrées moins nombreuses que les vases avec lesquels elles ont correspondu, admettent cependant que l’on pourrait les replacer une à une dans les vases, il n’y a pas encore là une opération logiquement réversible, niais la simple prévision d’un retour empirique, faute de cette coordination des relations qui seule rendrait un tel retour nécessaire. Au cours du troisième stade s’opère précisément cette multiplication, et cela grâce au fait que l’enfant découvre que toute transformation spatiale dans la disposition des éléments peut être corrigée par une opération inverse. C’est ce qu’expriment Fet et Bet, lorsque, pour justifier l’équivalence qu’ils établissent entre les fleurs serrées ou espacées et les vases, ils disent simplement : c’est la même chose « parce qu’elles étaient là dedans » ou « parce que ça va (là dedans) », ou « si vous mettez les œufs écartés, c’est la même chose », et « tous vont dans les coquetiers ». Ces raisons, qui n’ont aucune valeur pour les enfants des stades précédents, n’acquièrent, en effet, leur signification que si la réversibilité est comprise, et comprise comme source de l’équivalence. On voit ainsi comment le primat de l’opération par rapport à l’intuition perceptive résulte de la réversibilité progressive de la pensée : la perception est par essence irréversible mais, au fur et à mesure qu’elle se résout en jugements de relation, les opérations réversibles ainsi constituées sont capables de la dominer et de remplacer ainsi la correspondance intuitive par une correspondance opératoire et quantifiante, assurant, contrairement aux apparences de la perception immédiate, l’équivalence nécessaire et durable des collections correspondantes.

— Après avoir étudié la correspondance, pour ainsi dire statique, d’objets complémentaires juxtaposés ou emboîtés, il est indispensable

d’étudier la correspondance dynamique que représente l’échange un contre un. Nous commencerons par l’analyse au moyen d’une technique prolongeant simplement celle des dernières épreuves. On annonce à l’enfant que l’on va jouer au marchand et on lui donne, à cet effet, quelques sous pour acheter soit des fleurs, soit des bonbons, etc. étant convenu que chaque objet coûte un sou. On peut faire d’abord prévoir combien l’enfant pourra acheter d’objets (et c’est ici que la méthode se retrouvera être soit celle de la comparaison globale, soit celle de la correspondance terme à terme, soit celle de la numération elle-même). Puis on fait l’échange un contre un et enfin on recherche si, pour l’enfant, il y a équivalence ou non des sous et des objets achetés. Mais comme ces méthodes de correspondance reviennent à celles que nous étudierons dans le prochain chapitre, et que le problème qui nous intéresse ici est celui de l’équivalence des collections correspondantes, c’est surtout sur ce dernier point que nous ferons porter l’analyse.

I. Le premier stade : comparaison, globale et absence d’équivalence, après l’échange un contre un. — Les enfants de ce premier niveau savent naturellement déjà tous échanger d’une manière correcte leurs sous un à un contre les objets proposés. Mais d’une part, ils sont incapables de prévoir par correspondance la quantité d’éléments qu’il leur faudra échanger, et, d’autre part, ils ne tirent pas cette conclusion que les collections échangées sont équivalentes. Voici trois exemples :

Gui (4 ; 4) met en regard 5 fleurs et 6 sous, puis il échange un contre un 6 sous contre 6 fleurs (en reprenant l’une de celles-ci dans la boite de réserve). Les sous sont alignés et les fleurs en tas : « Qu’est-ce que nous avons fait ? — On a changé. — Alors c’est la même chose de fleurs et de sous ? — Non. — Il y a plus d’un côté ? •— Oui. — Où ? — Là (sous). — (On échange à nouveau, mais on pose les sous en tas, et les fleurs en ligne.) — C’est la même chose de fleurs et de sous ? — Non. — Où y a-t-il beaucoup ? — Ici (fleurs). — Et là (sous) ? — Moins. »

Mic (4 ; 4) ne sait pas non plus faire correspondance d’avance les fleurs contre les sous. — On échange un à un 6 contre 6, les fleurs étant alignées et les sous serrés : « Il y a la même chose ? — Non, il y a plus de fleurs. — Pourquoi ? — Parce que les fleurs sont plus écartées. »

Duc (4 ; 6) ne parvient lui aussi qu’à une estimation préalable d’ordre global. Puis on échange 6 fleurs contre 6 sous, ceux-ci étant répandus : « Nous avons la même chose de fleurs et de sous ? — Non, il y a plus de sous. — (On rend l’argent et on recommence l’échange en entassant les sous au fur et à mesure.) — Et maintenant ? — Non, il n’y a plus de fleurs. »

Inutile de commenter ces quelques cas avant d’avoir examiné ceux du second stade, qui présentent en commun avec les derniers l’absence de croyance en l’équivalence durable.

II. Le second stade : correspondance préalable et échange un contre un, mais pas d’équivalence durable. — Le seul progrès marqué par le second stade est donc l’estimation juste, par correspondance visuelle, de ce qu’il faudra échanger pour que l’échange un contre un réussisse. Mais, malgré cette prévision et malgré la confirmation expérimentale que constitue cet échange, le sujet ne croit pas plus que les précédents à l’équivalence nécessaire des collections échangées :

Nie (4 ; 1) compte 10 fleurs et 10 sous, mais ne totalise pas en un nombre cardinal unique : « Alors combien a-t-on de. sous ? — Un, deux, trois, quatre… dix (énumération de mémoire). — Alors achète. — (Il donne un sou contre une fleur, etc. jusqu’à 10, mais nous avons aligné les sous en une rangée tandis que les fleurs restent dans sa main.) — C’est la même chose de fleurs et de sous ? — Il y a plus de sous (mais il fait alors spontanément la correspondance en mettant une de ses fleurs devant chaque sou). Ah.’ oui, c’est la même chose. —   (On met les fleurs en tas.) Et maintenant ? — Il y a plus de sous. — (On met les sous en tas et les fleurs alignées.) Et maintenant ? — Non, parce qu’il y a beaucoup de fleurs. »

Lid (4 ; 5) met 4 sous en regard de 4 boutons : « C’est la même chose de sous et de boutons ? — Oui, c’est la même chose. —   Très bien, alors maintenant tu vas acheter des fleurs. Voilà tes sous (six). Pour chaque fleur tu donnes un sou. — (Nous échangeons 6 fleurs contre 6 sous, ceux-ci étant alors alignés tandis que les fleurs sont dans sa main.) C’est la même chose de fleurs et de sous ? — Oui, c’est la même… Non, c’est pas la même chose. Ici il y a plus (il montre les fleurs). — Est-ce qu’on peut mettre une fleur devant chaque sou ? — Non, il y en a trop, de fleurs (il essaie et trouve la correspondance exacte). Oui c’est la même chose. — On va recommencer, tu veux ? (On échange à nouveau, en espaçant les sous, les fleurs étant en tas.) Ça ira ? — Trop de fleurs, tu verras (il fait la correspondance, et est très surpris du résultat I) »

Par (5 ; 2) : « Pour chaque fleur, tu payes un sou. Combien de fleurs tu peux acheter avec ça (1)? — Une. —   Et avec ça (3)? — Trois fleurs pour trois, parce qu’il y a trois sous. — Bien, alors on va acheter tout ça (il échange 6 sous contre 6 fleurs, celles-ci étant alignées et les sous en tas. — C’est la même chose ? — Non. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de fleurs. — Si je veux acheter ces fleurs avec ces sous (donc les 6 sous que nous a donnés l’enfant un à un), je pourrais ? — Non, oui. — Alors c’est la même chose ? — Non, il y a plus de fleurs. — Et si je mets devant chaque fleur un sou (on le fait devant les deux premières fleurs, pour mieux faire comprendre) ? — Non, il restera des fleurs. »

Fur (5 ; 9) échange 7 sous contre 7 fleurs après avoir établi correctement la correspondance 5 à 5. Les fleurs restent dans sa main et les sous sont alignés : « D y a la même chose ? — Non, il y a beaucoup de sous et pas beaucoup de fleurs. — (On aligne les fleurs mais en les serrant un peu plus que les sous.) Il y a la même chose ? — Non, il y a plus de sous. Il y en a un qui dépasse. —   Compte les fleurs. — Sept. —   Et compte les sous. — Un… sept. — Alors il y a la même

chose ? — Non. Il y en a qui dépassent. — On va voir (on recommence l’échange un contre un, qui réussit). — Alors c’est la même chose ? — (Il se tait, évidemment ébranlé dans sa conviction.) — Si on comptait les sous et les fleurs (celles-ci sont maintenant plus espacées) il faudrait compter plus longtemps ou ce serait la même chose ? — Il faudrait compter plus longtemps les fleurs. •

Aud (6 ; 7) : « On va jouer au marchand de fleurs. Voilà tes sous. — (II compte correctement.) Huit sous. —   Chaque fleur coûte un sou. Combien pour- ras-tu en acheter ? — Huit. —   (On fait l’échange un contre un. Aud garde les fleurs en mains. Les sous sont alignés.) C’est la même chose de fleurs et de sous ? — Non. Ici (les sous) il y a plus. — Pourquoi ? — C’est écarté. — Peut-on mettre une fleur sur chaque sou ? — Oui. —   Alors c’est la même chose beaucoup ? — Non. Ici (les sous) il y a plus, parce que c’est écarté. « 

Ces quelques cas nous paraissent démontrer avec une netteté suffisante que l’échange un contre un ne suffit en rien à assurer la notion cardinale de deux totalités équivalentes l’une à l’autre de façon durable.

Notons tout d’abord que l’on n’observe aucune différence entre les réactions du premier stade et celles du second quant à l’équivalence elle-même. Or, que Gui, Mic et Duc (premier stade) qui ne savent pas, avant l’échange un contre un, faire correspondre quelques objets à quelques autres et évaluent les quantités par l’espace occupé, ne sachent pas non plus, après l’échange un contre un, que les deux collections échangées demeurent nécessairement équivalentes, cela n’a rien, en somme, d’extraordinaire. Mais que Nie, qui fait spontanément la correspondance pour voir si les sous et les fleurs échangées s’équivalent, que Lid, qui dans les exercices préliminaires fait correspondre correctement 4 sous à 4 bonbons, que Par qui prévoit l’échange 3 contre 3 en termes numériques, etc. soient incapables, une fois l’échange un à un terminé, de postuler l’équivalence des collections échangées, cela est véritablement impressionnant.

Les cas les plus curieux, à cet égard, sont ceux de Par, et surtout de Fur et d’Aud, par leur emploi de la numération parlée. C’est ainsi que Par annonce, avant toute expérience, que l’on peut acheter 3 fleurs avec 3 sous, mais, dès qu’on espace les fleurs, il n’y a plus équivalence. Fur fait mieux encore : devant 7 sous serrés et 7 fleurs espacées, il compte les fleurs et les sous, constate ainsi l’identité de nombre des deux collections, mais refuse d’admettre leur équivalence : « Non, il y a plus de sous, il y en a un qui dépasse I » Aud de même, compte 8 sous, annonce qu’il achètera 8 fleurs, fait l’échange et nie l’équivalence : « Il y a plus, parce que c’est écarté ». On voit combien

la perception des qualités spatiales l’emporte même sur la numération verbale. C’est pourquoi nous reprendrons la question au § 4.

Quant à la question du retour à l’état initial, nous avons demandé, lorsque l’enfant conteste que les fleurs échangées avec les sous leur sont équivalentes, si l’on pourrait mettre ou remettre une fleur devant chaque sou ou sur chaque sou. On constate que presque tous les sujets de ce stade le nient encore : il y aura « trop de fleurs, tu verras », dit Lid ; « non, il restera des fleurs », dit Par. Seul Aud l’admet, mais sans en conclure à l’équivalence, bien qu’il en soit proche.

III. Réponses intermédiaires et troisième stade : équivalence momentanée, puis durable. — Voici d’abord deux réponses intermédiaires entre le deuxième et le troisième stade :

Pit (6 ; 11). On échange 10 fleurs contre 10 sous. Pit garde les fleurs en main et les sous sont alignés : « C’est la même chose de fleurs et de sous ? — (En silence, Pit aligne les fleurs en face de chaque sou pour contrôler.) Oui, il y a beaucoup de /leurs, comme de sous. — (On écarte les sous et on met les fleurs en tas.) C’est la même chose ? — Non, ici (les sous) c’est plus. —   Et maintenant (fleurs espacées, sous en tas) ? — Pas la même chose. Il y a beaucoup de fleurs (il refait la correspondance spontanément). Ah ! oui, c’est la même chose. —   Mais avant, tu disais qu’il y avait plus de fleurs ? — Oui, mais c’était comme ça (geste de serrer les sous). »

Fran (6 ; 3) compte d’emblée les 10 sous qu’on lui donne. « Alors combien de fleurs peux-tu acheter si chaque fleur coûte un sou ? — Dix (on fait l’échange, les fleurs restant dans sa main et les sous espacés). — C’est la même chose de fleurs et de sous ? — Ouf. — Pourquoi ? — Parce que c’est la même chose. — (On refait l’échange. Les sous sont étalés.) C’est la même chose ? — Oui. —   (On serre les sous et on espace les fleurs.) Et maintenant ? — Non. — Pourquoi ? — Il y a plus là (montre les sous seerés). — Peut-on cacher chaque sou avec une fleur ? — Oui. —   Alors ? — C’est la même chose. »

Ces deux cas d’arrivée à la réponse juste sont hautement instructifs, en particulier les vérifications spontanées de Pit qui, visiblement, lutte contre l’apparence sensible au moyen d’opérations auxquelles il a peine à croire abstraitement. Quant à Fran il parvient finalement à cette abstraction, c’est-à-dire à la mobilité de l’opération comme telle.

Voici enfin quelques réponses justes :

Gin (4 ; 11) compte ses 10 sous et prévoit qu’il aura 10 fleurs. Après l’échange, il dit que « c’est la même chose » quelles que soient les figures, mais sans donner de raisons.

Du (5 ; 8), après échange un contre un jusqu’à 10 (les fleurs restent dans ses mains et les sous sont répandus). « C’est la même chose de sous et de fleurs ?

6

— Oui. —   Pourquoi ? — Parce que c’est tout fini (parce que les deux collections échangées se sont épuisées en même temps). — (On espace les fleurs et on serre les sous). Et maintenant c’est la même chose ? — Oui. —   Pourquoi ? — Parce qu’on a tout fini. »

Ler (5 ; 8) après échange, les fleurs restées dans sa main : « C’est la même chose ? — Ouf. — Pourquoi ? — Parce que ça va là (inet spontanément alors une fleur en regard de chaque sou). »

Clav (5 ; 8). Même situation : C’est la même chose ? — Oui. — Tout à fait ? — Oui. —   Pourquoi ? — Parce que je vous ai donné mes sous. »

On voit que chez, les enfants l’équivalence est devenue évidente et logiquement nécessaire. Les raisons fournies pour justifier ce postulat sont intéressantes par leur caractère opératoire : pour Bet c’est la possibilité d’une correspondance univoque et réciproque, donc le retour de l’échange à la correspondance visible ; pour Du et Clan c’est l’échange lui-même, conçu comme l’épuisement simultané des deux collections : « Je vous ai donné mes sous » ou « parce qu’on a tout fini ».

En conclusion, l’épreuve de l’échange un contre un donne exactement les mêmes résultats que celle de la correspondance statique ou visible des objets. Il y a là un résultat précieux pour l’intelligence de la notion de correspondance : à lui seul, le fameux procédé de l’échange un contre un, dans lequel tant d’auteurs ont cherché le début de la cardination, ne conduit pas comme tel à l’équivalence nécessaire des collections échangées. Pour parvenir à ce résultat, l’échange un contre un, comme la correspondance Intuitive, doit au préalable devenir opératoire, c’est-à-dire être conçu comme un système réversible de déplacements ou de relations.

— On vient de voir, par les cas de Par, de Fur et de Aud, que la numération parlée semble n’exercer qu’une faible influence sur le sentiment d’équivalence résultant — ou ne résultant pas — de la correspondance terme à terme. Déjà au cours des paragraphes précédents, nous avons eu l’occasion de signaler fréquemment l’absence de cohérence entre la numération apprise et les opérations effectives dont est capable l’enfant.

Le moment est venu d’examiner la chose systématiquement. Nous déterminons d’abord jusqu’où l’enfant sait compter sans difficulté. Puis nous faisons l’expérience précédente de l’échange un contre un en choisissant un nombre de couples d’objets inférieur à la limite

de la numération parlée du sujet. Nous demandons alors à celui-ci de compter les objets qu’il vient de recevoir et cachons sous notre main les sous qu’il nous a donnés en échange (pour qu’il ne puisse pas les compter) : nous le prions alors simplement de deviner combien d’objets sont ainsi cachés.

Nous avons retrouvé ainsi, sans que la numération parlée y change quoi que ce soit, les mêmes stades qu’avec les techniques précédentes :

L Le premier stade : comparaison globale et absence d’équivalence malgré l’échange un contre un. — Par exemple :

Ras (3 ; 6) ne sait compter que jusqu’à 4 ou 5. Nous lui donnons 2 sous et lui demandons de nous rendre « la même chose de bonbons ». 11 en donne 5, puis 2. Pour 3 sous, il donne 4 bonbons, etc. Nous échangeons alors 4 sous contre 4 bonbons, un à un. Lorsque nous cachons les bonbons, il croit qu’il n’en reste plus après qu’on en a sorti 3 de dessous la main, puis croit au contraire qu’il en reste encore un après qu’on a sorti le quatrième.

Ber (3 ; 11) compte jusqu’à 5 correctement, mais ne sait guère faire correspondre deux collections l’une à l’autre au delà de 2 ou de 3. Nous échangeons un à un 3 sous contre 3 bonbons et lâchons les 3 sous. Nous en sortons un en disant : « Il en reste encore ? — Oui. —   Combien ? — … — Et maintenant (reste 1)? — Non. —   Et maintenant (le dernier a été sorti) ? — Oui. — Combien ? — Il reste un sou. » Avec 2 sous échangés un à un contre 2 bonbons, Ber répond juste mais dès 3 et 4 les réponses sont à nouveau fantaisistes. Nous échangeons enfin un à un 4 sous contre 4 bonbons et demandons : « Combien je t’ai donné de bonbons ? — Un, deux, trois, quatre. —   Et combien j’ai de sous dans ma main ? — … — Combien tu crois ? — Sais pas. »

II. Le second stade : correspondance correcte, mais sans équivalence durable malgré l’échange un contre un. — La seule différence entre ce stade et le précédent est donc relative aux exercices de correspondance antérieurs à l’échange proprement dit :

Mλrd (5 ¹∕₂) : « Tu vois, je vais l’acheter des bonbons. Je mets ici mes sous (7, alignés). Donne-moi autant de bonbons qu’il y a de sous. — (Il compte) 1, S, 3… 1. —   Et de sous ? — 1, 2, 3… 7. — Très bien. Et tu m’as donné combien de bonbons (recouverts par la main) ? — … — Pour un sou tu m’as donné combien de bonbons ? — Un. —   Très bien. Et pour deux sous ? — Deux. —   Très bien. Et pour trois sous ? — Trois. —   Très bien. Et combien de sous y a-t-il là ? — 1, 2, 3… 7. — Très bien. Et combien tu m’as donné de bonbons ? Combien y a-t-il de bonbons ici (on les découvre un instant, puis on les recouvre de la main)? — 1, 2, 3, 4, 5. » Nouvel essai : « Tiens. Voilà des sous (5, alignés). Combien y en a-t-il ? — 1, 2, 3, 4, 5. —   Très bien. (On les reprend.) Quand je vais te donner un sou, tu me donneras un bonbon (on échange un à un, jusqu’à 3). Combien as-tu de sous ? — 1, 2, 3. —   (Encore deux échanges.) Et maintenant combien as-tu de sous ? — 1… i. —   Bien. Et moi combien j’ai de bonbons (on cache les 5 bonbons)? — … ’J. »

Cλucπ (5 ¹∕₂), de même, sait faire correspondre un à un les bonbons aux sous, lorsque ceux-ci sont alignés, et cela jusqu’à 15, 17, etc. Il sait compter jusqu’à 10, et davantage, les sous qu’on lui présente. Mais d’un échange un à un de 8 sous contre 8 bonbons, il ne conclut à aucune équivalence nécessaire : « Combien je t’ai donné de bonbons ? — (Il compte.) 8.— Bien. Combien tu m’as donné de sous (cachés sous la main) ? — 10. »

Per (6 ans) fait correspondre 7 bonbons à 7 sous, puis les échange un à un avec nous : « Combien as-tu de sous ? — (Compte) 7. — Et combien m’as-tu donné de bonbons (cachés sous la main)? — … » Nous recommençons avec 5 : « Combien as-tu de sous ? — 5. — Et moi, combien m’as-tu donné de bonbons ? — … 7. » Troisième essai : Per compte 10 sous et croit avoir touché 9 bonbons ; etc.

De tels faits sont aisés à interpréter. Au moment même de l’échange un contre un, l’enfant sait bien qu’il y a équivalence : Mard, par exemple, sait que pour un sou il donne un bonbon, pour 2, 2, pour 3, 3, etc. Par contre, il suffit que l’échange soit achevé et que l’une des deux collections ne soit plus visible pour que le sujet cesse de la considérer comme équivalente à celle qui est sous ses yeux. Les réactions ainsi obtenues sont donc exactement les mêmes que celles des stades correspondants étudiés au cours des paragraphes précédents : la numération parlée semble ainsi, en dessous d’un certain seuil de compréhension marqué par le début du troisième stade, ne transformer en rien le mécanisme de la pensée nombrante.

III. Réponses intermédiaires et le troisième slade : équivalence momentanée puis durable. —   Lorsque l’échange un contre un s’accompagne, comme dans la présente technique, de numération verbale, on trouve parfois, au moment de l’arrivée à la réponse correcte, des cas intéressants dans lesquels l’enfant, pour déterminer l’équivalence, énumère le nombre des échanges, mais sans parvenir pour autant à assigner un nombre aux ensembles correspondants eux-mêmes :

Mad (5 ¹∕₂) échange un à un en les comptant 7 sous contre 7 bonbons : « Combien as-tu de bonbons ? — 1, 2… 7. — Et combien m’as-tu donné de sous ? — 1, 2… 7. » Mais lorsqu’elle ne compte pas les éléments au moment de l’échange, Mad en demeure au niveau précédent : pour 5 bonbons échangés un à un contre 5 sous, Mad estime qu’« il y a 5 bonbons. — Et sous ma main, il y a combien de sous ? — 4. » etc.

Ferd (6 ans) de même échange 5 bonbons, contre 5 sous et évalue correctement les deux collections en répétant la suite des nombres : « 1, 5… » Mais dans la suite, lorsque nous demandons à l’enfant combien il y a de sous cachés, il n’a pas l’idée de compter les 7 bonbons alignés devant lui.

Il est clair que le comportement en jeu dans de telles observations est en progrès sur les précédents et conduit à la constitution d’une

équivalence réelle entre les collections considérées. Mais, l’équivalence à laquelle parviennent Mad et Ferd n’est en réalité encore que celle des opérations elles-mêmes exécutées juste auparavant, c’est- à-dire des actions de déplacer un bonbon et des actions de déplacer un sou. Dans la mesure où il s’en tient à l’énumération de ces échanges un contre un l’enfant parvient alors à l’idée que la correspondance est durable. Mais dans la mesure où il essaie d’abstraire la totalité cardinale des opérations mêmes qui ont permis de la constituer, il n’arrive pas encore à l’équivalence nécessaire ^l.

Voici enfin des exemples de sujets capables de tirer de l’échange un contre un, l’idée de l’équivalence durable (cas francs du troisième stade) :

Sim (6 ¹∕₂). Nous échangeons un à un 6 sous contre 6 bonbons. « Combien as-tu de sous ? — 6. —   Et moi de bonbons ? — 6. — Tu en es sûr ? — Sûr. —   Pourquoi ? — … »

Far (6¹∕_a) échange 8 sous contre 8 bonbons : « Combien y a-t-il de bonbons ? — 8. —   Et de sous ici (nous soulevons la main et l’on voit les sous en tas) ? — 8. — Sûr ? — Oui. » Même résultat avec 11, etc.

Telle est l’évolution des jugements d’équivalence accompagnés de numération parlée. Il n’est donc pas exagéré de dire que ce facteur verbal ne joue guère de rôle dans le progrès même de la correspondance et de l’équivalence. On retrouve les mêmes stades dans cette dernière épreuve que dans celles des § 1-3, et à des âges sensiblement égaux. Sans doute, au moment où la correspondance devient quantifiante et donne ainsi naissance à des débuts d’équivalence, la numération parlée peut accélérer le processus d’évolution. Mais comme tels les noms de nombre ne l’engendrent pas, et c’est là tout ce que nous voulions montrer.

Cette analyse des rapports entre la correspondance et l’équivalence étant ainsi terminée, il conviendrait de les expliquer. Mais pour y parvenir, il faut auparavant étudier l’évolution de la correspondance comme telle, c’est-à-dire de son mécanisme lui-même et cela sous sa forme spontanée et non plus provoquée. C’est ce que nous tenterons de faire au chapitre suivant, en cherchant comment l’enfant évalue les quantités, comment il découvre à cette occasion la correspondance terme à terme, et comment il l’utilise dans le cas de la correspondance entre objets homogènes et non plus qualitativement complémentaires.

¹ M. A. Rby (L’Educateur, mai 1931, p. 151) a observé de même des entants qui comptent les opérations en les exécutant, sans qu’ils parviennent tous, pour autant, à l’idée d’équivalence.