Chapitre X.
Les compositions additives et multiplicatives des relations et l’égalisation des différences^{1 a} 🔗

— On peut distinguer six problèmes successifs dans les questions que nous avons posées aux enfants pour la présente recherche, et nous les numéroterons de I à VI pour la clarté de l’exposé.

Le premier problème a déjà été étudié au cours du chap. I : c’est celui de la conservation même des quantités. Si A = B, et si l’on transvase B en un certain nombre de récipients différents, est-ce que ces nouvelles quantités C, D, E, etc. seront toujours identiques à A ? Nous n’allons pas analyser à nouveau les réponses données sur ce point, puisque l’étude en a déjà été faite, mais il est nécessaire de savoir, pour chaque enfant, à quel niveau il se trouve au point de vue de la conservation, pour comprendre ses réactions dans les questions de composition et de mesure.

Le problème II est celui de la mesure numérique spontanée. Nous présentons aux enfants deux ou trois quantités quelconques dans deux ou trois récipients de formes différentes tels qu’il soit impossible à la perception directe de juger de leurs rapports ¹. Nous demandons si l’une des quantités est égale, plus grande ou plus petite que l’autre ou que les deux autres et mettons à disposition de l’enfant les récipients vides en lui expliquant qu’il peut se livrer à toutes les manipulations voulues pour résoudre la question. Nous cherchons en particulier si le sujet est capable de construire une unité déterminée au moyen des verres qui sont devant lui.

Le problème III est analogue au problème II mais avec une commune mesure imposée par la consigne même. Nous versons dans trois récipients, l’un large et haut, le second plus large et plus bas, le troisième plus étroit et plus haut, la même quantité de liquide à l’aide de E₁ (petit, étroit et bas) et demandons si les trois quantités

¹ L’un des L et des C. Voir le chap. i pour les formes employées.

sont égales. Ce problème est surtout utile à titre d’expérience de contrôle, si l’enfant a échoué à résoudre la question II, pour voir si l’échec est dû à l’incapacité à comprendre la mesure ou simplement à un manque d’initiative dans l’utilisation des récipients.

Problème IV : nous présentons à l’enfant une certaine quantité de liquide dans le récipient U₁ (large et bas) en lui demandant de prendre la même quantité dans le verre L (étroit et allongé). Cette coordination des relations inverses, déjà étudiée au cours du chap. I, est à mettre ici en relation avec les problèmes II-III et V-VI.

Le problème V porte sur la coordination des équivalences : si L = A et que A = G, aura-t-on L = G ?

Enfin, le problème VI conduit à une composition additive ou multiplicative d’ordre numérique procédant de ces rapports. En effet, il est aisé de tirer des égalités précédentes des compositions telles que L + G = 2 A. D’autre part, si l’on remplit le verre A avec 2 L, on a G = ¹∕_j du niveau de A, etc.

Les réponses données à ces différentes questions peuvent être ordonnées en trois stades, qui sont à homologuer aux trois niveaux auxquels nous sommes habitués depuis le début de ce volume. Le premier stade étant celui du primat de la perception immédiate, sans conservation (I), l’enfant ne parvient pas à la notion de commune mesure (II) et lorsqu’on essaie d’une démonstration par l’exemple, il n’en tient aucun compte et évalue par la perception seule (III). Il ne sait donc composer d’aucune manière les rapports perçus (IV-VI).

Au cours d’un second stade, l’enfant parvient à certaines conservations sans généraliser à toutes les transformations (I). Prié de mesurer (II), il y parvient en partie, mais sans savoir toujours choisir les verres utiles. Lorsqu’on propose une unité de mesure (III) pour juger d’un rapport quelconque, le sujet ne peut se défaire des critères d’ordre perceptif. Les problèmes IV et V le mettent aux prises avec un conflit du même genre et en VI l’enfant s’avère encore incapable d’aucune composition générale.

Au cours d’un troisième stade, enfin, le sujet parvenu à la conservation (I) devient capable de mesurer par l’intermédiaire d’unités communes (II-III) et de se livrer à toutes les compositions élémentaires (IV-VI).

— Bien que la construction d’une métrique, si élémentaire soit-elle,

repose évidemment sur la composition, nous préférons cependant, pour la clarté de l’exposé, examiner à part les questions de mesure (I-III) et à part celles de composition (IV-VI), étant entendu que les premières sont théoriquement identiques aux secondes et en diffèrent seulement par le caractère pratique de l’activité qu’elles déclenchent chez le sujet.

Nous procédons, en effet, comme suit. Nous présentons à l’enfant deux ou trois récipients de formes différentes remplis d’une même quantité de liquide. On demande d’abord l’évaluation à vue : tous les sujets, à quelque stade qu’ils appartiennent, sont alors naturellement victimes des illusions d’ordre perceptif dues en particulier aux inégalités de niveaux. On suggère alors une vérification : « Comment faire pour être sûr ? Tu as tous ces verres (vides), tu peux les prendre et verser pour voir. » Si l’enfant ne réagit toujours pas, c’est nous- mêmes qui faisons la démonstration pour les deux premiers récipients. Mais alors, de deux choses l’une : ou bien l’enfant ne croit pas encore à la conservation, et alors tout transvasement impliquant pour lui un changement de quantité, la mesure devient impossible, ou bien il admet suffisamment la conservation pour que l’interrogatoire se poursuive, et alors on assiste à des compositions diverses.

Examinons d’abord quelques réactions du premier stade (pas de mesure faute de conservation) :

Bô (6 ans) : Probl. Il : on donne G₁ (bleu) = W₁ (rose) = L_l (vert). « Est- ce que c’est la même chose ? — Non, ici c’est plus qu’ici (L₁ > W₁) mais ici c’est un peu moins qu’ici (G₁ < W₁). — Comment tu sais ça ? — On voit. — Ça t’aidera d’essayer avec les autres verres, pour être sûr ? — Oui, avec un autre verre (il prend P₁ met à côté de W₁). Je verserai le vert là dedans (L₁ dans P₁). — Qu’est-ce qu’on va faire après ? Et ça (L₂), ça te rendrait service ? — (Ne comprend pas.) — Si on versait ça (W₁) dans ça (L₂) ? — Oui. — Ça arriverait où ? — (Bô montre le même niveau en L₂ qu’en W₁). — Pourquoi ? — … — Et si je versais ça (W₁) là dedans (A_l)7 — (Montre toujours la même hauteur.) — (On verse W₁ dans A₁ et Bô constate que le niveau est plus haut.) Et si je verse (W₁) dans (L₂) ? — Non ça ne montera pas si haut (que dans A₁). — (On verse W₁ dans L₂.) Alors il y a plus de vert (L₁) ou plus de rose (L₂) ? — La même chose. — Et si je reverse (L₂) dans (W₁) ? — Ça montera plus haut. Il y a plus. — (On le fait.) Est-ce qu’il y a la même chose de rose (W₁) et de vert (L₁) ? — Non, du vert il y a plus. —   Si moi je bois ça (W₁) et toi ça (L₁) est-ce que nous aurons bu autant ? — Pas autant. — Et si je verse ça (W₁) là dedans (L₂)? — La même chose. — Et dans le verre (W₁) ? — Non. »

« Regarde : je mets le même sirop ici (W₁) et là (W₂). C’est la même chose ? — Oui. — Maintenant je verse ça (W₂) dans ça (C₁ et C₂) ? — Non, vous avez plus haut et 2 verres. Ça fait plus. »

Probl. III : « Je mets ça et ça et ça (3 fois E₁) dans chacun de ces verres : P (très large et bas), T (moins large et un peu plus haut) et L (étroit et haut).

Raconte-moi ce que j’ai fait. — Vous avez versé avec celui-là (E₁). — Est-ce que c’est la même chose dans les trois ? — Ici (L) c’est plus que là (T), et là (T) c’est plus que là (P : donc graduation d’après les niveaux). — Tu peux le refaire ? — (Bo reverse 3 verres E₁ en chacun des grands verres.) — Alors si on donne 3 verres à chacune de ces petites filles, elles auront la même chose ? — Non, celle-là a beaucoup (L), et celle-là pas (T). Celle-là encore moins (P). — Mais avec quoi tu as versé ? — Avec ce verre (E₁). J’ai mis une fois dans les trois (=3 fois de suite à chacune un verre). — Et alors ce n’est pas la même chose ? — Non, là (L) il y a plus à boire, puis là (T) puis là (P). »

Jol (6 ans). Probl. II. On donne trois quantités égales de liquide coloré différemment L₁ = W₁ = G₁ : « Est-ce qu’il y a la même chose ? — Ici (G₁) le plus peu. —   Et ça (WJ ? — Moyen. — Et ça (LJ ? — Beaucoup. C’est là (GJ le plus peu. — Est-ce que tu peux faire quelque chose avec ces verres vides, pour voir si tu as raison ? — (Il prend A.) Il faut mettre le vert (L) là dedans. Non c’est trop grand. Il faut mettre là dedans (il veut mettre L₁ dans LJ pour voir s’il y a la même chose là-dedans. Et là-dedans (il verse W₁ dans W₂.) C’est la même chose, parce que c’est la même grandeur (il remet W₂ dans WJ. — Tu te rappelles que tu dois montrer s’il y a la même chose dans (LJ que dans (WJ ? — Il faut mettre (LJ dans (LJ. — Et si tu verses (LJ dans (WJ, ça te servira ? — Non. — Si je mets ça (LJ dans ça (WJ, ça sera la même chose, ça (WJ et ça (WJ, la même hauteur ? — Je crois que ça (W₂, si l’on y verse LJ sera plus grand que ça (WJ. — (On verse L₁ en W₂.) — Ah ! Tous les deux la même chose (W₁ et WJ ! — (On reverse W₂ dans L₁.) Pas la même chose. Ce n’est plus la même chose. *

« Et si je verse (WJ dans (LJ ? — Ça ira jusqu’ici (montre sur L₂ le niveau de WJ. — (On verse.) Regarde. — Ah ! Tous les deux (L₂ et LJ la même chose ! — Pourquoi ? — Parce qu’on a versé l’orange (WJ c’était trop petit : on a versé d’un petit verre (W₁ qui est plus bas mais plus gros) dans un grand verre (L₂ qui est haut et mince). — Et si je reverse (LJ dans celui-là (WJ ? — Jusque-là (montre la même hauteur qu’avant). — (On verse.) Pourquoi c’est jusque-là ? — Parce que le vert (LJ c’est plus à boire, l’orange (L₂ versé en WJ c’est moins. — Mais avant (L₁ et LJ c’était la même chose ? — Oui, mais vous avez versé l’orange (WJ dans le tout grand (LJ ! »

Problème III : « Et maintenant regarde : (on verse au moyen de E₁ trois fois de suite la même quantité de liquide, donc 3 E₁ pleins dans U₁ puis idem dans G₁ et idem dans LJ. Est-ce qu’il y a la même chose dans les trois ? — Non. —   Qu’est-ce qu’on a fait ? — Vous avez pris avec ça (EJ et vous avez mis là-dedans. — Il y a la même chose ? — Non, là (LJ il y a un petit peu plus. — Avec quoi on a pris (montre E₁ en indiquant du doigt le trajet). — On a pris la même chose avec ça (EJ ? — Ouf. — Et il y a la même chose là dedans (G₁, U₁ et LJ ? — Non. »

Ces réactions du premier stade sont du plus haut intérêt pour la psychologie de la mesure : elles ne sauraient montrer avec plus d’éloquence, en effet, que toute mesure est impossible tant qu’il n’y a pas conservation des quantités à mesurer, et cela pour cette bonne raison que des quantités non conservables ne peuvent se composer entre elles.

Or, sur le premier point, non seulement ces enfants confirment entièrement ce que nous avons vu au chap. I de la non-conservation

en général, mais encore ils insèrent de la manière la plus surprenante leur attitude prélogique dans le contexte dans lequel nous cherchons à les placer. Par exemple, Bô estimant qu’il y a plus de liquide en Li qu’en W₁, nous versons W₁ en L, (identique à L₁) : il reconnaît alors que les quantités sont égales mais cesse de l’admettre lorsqu’on reverse L_a en W₁. De même Jol pense que le vert et l’orange sont identiques en W₁ et W₂ mais ne le sont plus lorsque l’on reverse W₂ en L₁, etc.

Il est clair qu’en une telle situation, la mesure ne présente aucun sens. Aussi l’enfant ne comprend-il pas ce qu’on lui veut lorsqu’on lui demande de vérifier ses évaluations au moyen des verres vides mis à sa disposition. Ainsi Jol, pour comparer L₁ et W₁, veut mettre L₁ en L₂ et W₁ en W₂, comme si cela changeait quoi que ce soit. Puis, lorsqu’on lui propose de verser L₁ en W₂, il ne comprend en rien l’utilité de cette transformation, pour les raisons qu’on vient de voir : faute de conservation, toute commune mesure est donc impossible.

La chose est particulièrement claire dans le cas du problème III, lorsqu’on se livre à la forme la plus simple de mesure par composition additive en versant 3 verres E₁ dans chacun des récipients G, U et L ou P, T et L. L’enfant comprend fort bien la donnée et Bô reproduit lui-même très correctement l’opération. Cependant les sujets de ce niveau ne concluent nullement de l’égalité de distribution (« j’ai mis une fois dans les trois » comme dit Bô) à l’égalité des résultats. Jol dit ainsi explicitement « on a pris la même chose » avec E₁, mais « il n’y a pas la même chose » dans les 3 verres G, U et L. Si les termes de « prélogique » ou de « prénumérique » ont un sens, il est difficile de ne pas les employer pour désigner un comportement dans lequel l’impossibilité de la mesure résulte d’une négation aussi crue des axiomes de l’équivalence.

Passons aux réactions du second stade (ébauche de mesure parce que ébauche de conservation) :

Vis (6 ; 9) Probl. II. G_l (bleu) = W_l (rose) = L₁ (vert) : « Est-ce que c’est la même chose ? — Non. Là (L₁) c’est plus que ça (W₁) et ça (W_l) c’est plus qu’tci (G₁). — Comment tu sais ? — Parce que je le vois. —   Tiens ces verres vides et essaie si c’est vrai. — (Vis prend L_a.) C’est la même grandeur que ce verre (L₁). — Alors qu’est-ce qu’il faut verser ? — Le rose (W₁ : il le verse dans L_a.) Ah ! il y en a tout juste autant (qu’en L₁). J’ai cru qu’il y avait plus de vert. — (On reverse L_a en W₁.) Est-ce qu’il y a autant de rose que de vert ? — Non (il hésite). Je ne peux pas dire. — Si je bois ça (W₁) et toi ça (L_l) nous aurons la même chose

à boire ? — Non, moi (L₁) j’aurai plus. — Et si je reverse ça (W₁) dans ça (L₂) ? — Les deux la même chose. — Et si je bois directement ça (W₁) ? — Non, pas la même chose. »

De même, après avoir reconnu qu’   » il y a juste autant » dans A₁ (rose) que dans A_a (vert). Mais si l’on verse A_a dans (B_l + E₁ + E_a + E_a + È₄) il y a plus de vert (tandis que si A, est versé simplement en B₁ + B_a le vert reste constant. Ce flottement est typique du stade) : « Et quand tout le vert (B₁ -f- E₁-₄) était ici (A_a) ? — C’était la même chose (que de rose). — Et si je remets tout le vert là dedans (A_a) ça arrivera où ? — A la même hauteur. — Alors c’est la même chose le vert (B₁ + E₁-₄) et le rose (A₁)7 — La même chose (hésite et verse B₁ + E₁-₄ en A_a). — Pourquoi tu verses ? — Pour voir si c’est la même chose. Non ça arrivera plus haut… Non, ça sera la même chose (finit de verser). Oui. »

Ree (6 ans) L₁ = W₁ = G_l. Ree croit que L_l > W₁ > G₁ et pour vérifier prend L₁ : « Montre-moi jusqu’où ça va arriver. — (Il montre sur L_a le niveau de W₁ et verse.) Mais ça va jusqu’en haut ! — Pourquoi ? — C’est tous les deux la même chose. —   (On reverse L_a en W₁.) — Ça devient tout bas (rit). — Est-ce qu’on aura bu la même chose ? — Oui, quand on verse là dedans (L_a) ça devient la même hauteur, parce que c’est plus grand. —   Et ça (W₁ et G₁) ? — Celui-ci (G_l) il est bien plus grand. —   Quel verre tu prendras pour voir ? — (Ree prend W, et verse G₁.) C’est la même chose. — (On reverse W_a en G₁.) — C’est la même chose. — Et ça (G₁ et L₁) ? — Je ne sais pas. Il faut essayer. Il y a plus là (L_l). — Et si on verse (G₁ en L_a)? — Ça arrivera peut-être jusqu’en haut, je ne pourrais pas dire. •

On donne ensuite à Ree les verres G et P contenant la même quantité de liquide, mais sans fournir de doubles pour la comparaison. On présente par contre W_l et W_a vides : « Qu’est-ce que tu peux faire pour mesurer ? — Sais pas. (Il verse P en W₁.) — Est-ce que (W₁ = G)? — Non. — Comment faire ? — Sais pas. —   Verser ? — … — (On verse G dans W₂) — Ah ! »

Pro (7 ans) est également à mi-chemin de la conservation et de la mesure dans les problèmes I et II. Probl. III : On donne les récipients D₁ ; O₁ et L₁ et on y verse la même quantité à l’aide de E₁, donc 3 E_l en chacun. « Est-ce que c’est la même chose dans les trois ? — Non. Il y a plus ici (L) moins ici (D₁) et très peu ici (O₁). — Tu te rappelles comment j’ai versé ? — Oui, trois fois ça (E₁) un ici, un ici puis un ici (reproduit correctement la distribution). — Alors c’est la même chose ? — Non. Ici (O₁) vous n’avez mis que la moitié. —   (On vide le tout.) Verse toi-même comme j’ai fait avant. — (Il verse 3 E₁ en chacun.) — C’est la même chose ? — Non, le verre (L₁) est plus grand. —   Qu’est-ce que tu as versé ? — J’ai mis un là puis un là puis un là. —   Alors c’est la même chose ? — Ouf, c’esf la même chose. Celui-là (O₁) est plus large, celui-là (L₁) pfus étroit. — Comment tu sais maintenant que c’est la même chose ? — Il y avait la même chose là dedans (E₁). »

Pos (6 ; 11) est presque du troisième stade en ce qui concerne les problèmes I et II. Pour le probl. III nous présentons 4 récipients G, L, W et B et versons dans chacun 2 fois E : « Qu’est-ce qu’on a fait ? — On a versé avec ça (E). — C’est la même chose à boire ? — Non. Il y a plus à boire ici (L₁). »

Coτ (7 ¹∕₁). Probl. III : On présente P₁, L₁ et A₁ vides et on verse 3 E₁en chacun : « Est-ce qu’il y a autant en chacun ? — Il y a moins de jaune (P₁). — (On recommence.) Et maintenant ? — Moins de jaune. — Raconte-moi comment on a fait ? — (Il reproduit exactement et dit) Non, c’est la même chose. Vous avez rempli ça (E). Vous avez mis toujours la même chose dans le petit (E). »

On retrouve ainsi, au cours de ce second stade, les caractères généraux qui définissent ce niveau lors de toutes les épreuves étudiées

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dans cet ouvrage : début de coordination, mais intuitive ou expérimentale, sans rigueur opératoire.

Tout d’abord, en ce qui concerne la conservation, ces sujets confirment exactement ce qui a été vu au chap. I î conservation pour les transformations de faible étendue, ne heurtant pas trop l’intuition perceptive, non-conservation pour les transformations plus amples, puis croyance progressive à la constance au fur et à mesure des vérifications. Par exemple Vis commence par ne pas croire que L₁ = W₁ bien qu’admettant L₁ = L₂ si on verse W₁ en L₂. Il conçoit Ai = Bi ÷ B₂ si on verse A₂ en (B, + B₂) mais refuse d’abord de reconnaître Ai = B₁ + E₁.₄ lorsqu’on verse B₂ dans E₁.₄ ; etc.

En de telles conditions, la mesure commence à être possible, mais sans encore aucune systématisation. Contrairement aux sujets du premier stade, les enfants de ce niveau parviennent spontanément à utiliser les verres vides comme instruments de mesure et même (à la fin du stade) à titre de communes mesures. Ainsi Vis, à qui l’on demande de voir si L₁ est égal à W₁, prend L₂ et y verse W_v Ree prend W₂ pour comparer W₁ à G₁, etc.

Seulement, si ces enfants atteignent ainsi d’eux-mêmes l’idée de la mesure — et il est fort intéressant que cette notion apparaisse en même temps que l’esquisse de la conservation — il faut néanmoins noter avec soin les restrictions qui limitent leur capacité métrique. En premier lieu, la construction de la conservation n’étant pas achevée, la valeur de la mesure demeure par cela même relative aux états considérés comme invariants (voir Vis pour W₁ et L„ par exemple). En second lieu, faute de compositions rigoureuses, c’est-à-dire de ces opérations réversibles qui précisément rendraient la conservation nécessaire si elles existaient déjà, il ne saurait y avoir de coordination suivie entre les mesures, ce qui aboutit au même résultat. C’est ainsi que Ree, après avoir mesuré W₁ au moyen de L, et constaté que L₁et W₁ sont égaux, mesure également W₁ et G₁ mais se montre ensuite incapable d’en conclure que L₁ = G₁. Or cette incapacité à composer les équivalences (voir chap. XI) intéresse naturellement la mesure, puisque, en un tel cas, c’est W₁ qui devrait servir de commune mesure entre L₁ et G₁ et que faute de composition il ne saurait y avoir de mesure générale. On ne saurait dire, en effet, que de mesurer W₁par L₂ pour l’égaler à L₁ revienne à appliquer ce schéma, car L₂n’est pas un moyen terme distinct de L_l, mais un doublet entièrement semblable à L₁. Lorsque, au contraire, le moyen terme est différent de

formes et de dimensions, l’enfant éprouve de sérieuses difficultés. Par exemple le même Ree, devant comparer G à P sans doublets, est incapable de trouver de lui-même une commune mesure.

Ceci nous conduit à la troisième restriction, et, par cela même, au cas du problème III : il n’y a point encore, au niveau du second stade, d’« unités » de mesure, c’est-à-dire de commune mesure susceptible d’être additionnée ou multipliée n fois. C’est ainsi que, dans le problème III, lorsque l’on verse deux ou trois fois le verre E dans trois ou quatre récipients et que l’on fait comparer ceux-ci les uns aux autres, l’enfant éprouve les plus sérieuses difficultés : même Pos et Cot, qui sont à la limite du deuxième et du troisième stade pour tous les autres problèmes, se refusent à admettre l’unité de mesure E et évaluent les quantités versées d’après les niveaux atteints dans leurs nouveaux récipients. Pos reconnaît, par exemple, que l’on a versé la même quantité avec E mais n’en conclut pas (et pas plus qu’au premier stade) qu’il y a la même chose à boire dans les quatre récipients. Cot demeure également insensible à l’égalité de distribution jusqu’au moment où on la lui fait répéter en détail. Pro, enfin, résiste et cela bien qu’il verse lui-même les E : ce n’est qu’en lui faisant prendre conscience du rôle de ces unités par un récit, qu’il se décide à admettre les équivalences.

On constate donc la parenté profonde des réactions de ce stade, de toutes celles que nous venons de souligner à propos de la mesure et de celles qui caractérisent la composition des relations (§ 3) ainsi que la correspondance multiple (chap. IX). En effet, tout en esquissant intuitivement un ensemble de coordinations, l’enfant de ce niveau ne paraît être capable de composition opératoire dans aucun domaine, d’où son incompréhension de la commune mesure, par opposition à la mesure simple ou comparaison entre deux termes, et d’où, en fin de compte, son incompréhension de l’unité en tant que l’unité est précisément une commune mesure.

Si nous passons maintenant au troisième stade, nous y trouvons des enfants capables de constructions opératoires, c’est-à-dire unissant la croyance en la conservation à une capacité de mesure de plus en plus systématique. Voici des exemples, à commencer par un cas de transition entre le second et le troisième stade :

Ar (6 ; 8). On donne la même quantité de liquide en L₁ = W₁ = G₁ et, à vue, Ar pense que L₁ > W₁ > G₁ : « Comment tu le sais ? — J’ai regardé. — Et si tu prenais un de ces verres, tu ne verrais pas mieux ? — tll prend L_t, le met

à côté de L₁, verse L₁ dans L_s et dit). C’est la même grandeur. Je vais verser (W₁). — Ça arrivera où ? — (Montre environ la ¹∕s de L₁ et verse.) C’est la même chose. — (On reverse L_l en W₁.) Et maintenant ? — Ce sont les deux mêmes/ (L, et W₁). » Puis, pour W₁ = G₁, il veut verser G₁ dans W,: « Jusqu’où ça montera ? — (Montre la même hauteur que W₁ puis verse.) — C’est les deux la même chose. —   Et y a-t-il autant dans L₁ et dans G₁7 — Non, on a plus ici (L₁). — Et ça (W₁) et ça (G₁) ? — C’est la même chose. — Et ces deux (L₁ et G₁)7 — Ah ! oui ! Quand on a versé (W₁) dans un verre comme ça (L₁) c’était la même chose. Alors ça (L₁ et G₁) c’est la même chose. —   Est-ce qu’on a essayé ? — Non. — Alors comment tu le sais ? — Parce qu’il y a la même chose de l’orange (montre W₁ = G₁), alors c’est la même chose dans les trois. »

Probl. III : On verse 3 fois E plein dans B, W et P. « Est-ce qu’il y a autant à boire ? — Il y a tous la même chose parce que vous avez fait une même quantité avec ça (E). — Mais pourquoi là (B, W et P) ça fait plus bas et plus haut ? — Ça fait plus petit ici (P), ça (W) c’est un moyen et ça (B) c’est plus grand, mais quand même il y a la même chose : vous avez mis la même chose comme quantité quand même c’est plus bas et plus haut. •

San (6 ; 3). Problème II. L₁ = A₁ = G₁. San pense que L₁ > A₁ > G₁. « Essaie avec ces verres. — ( Il verse A₁ dans L₂.) C’est la même chose. —   (On reverse L₂ en A₁.) Et ça (A₁ et L₁) ? — La même chose. —   Comment tu le sais ? — On a mesuré avec un même. — Et ça (A₁ et G₁) ? — Je crois que c’est la même chose. Il faut mesurer (il verse G₁ dans L₂ puis prend A₂ et y met L₂.) C’est la même chose (il reverse). — Et ça (G_l et L₁) ? — C’est la même chose parce qu’on a mesuré : on a vu que ça (G₁) et ça (A₁) c’est la même chose. — Oui mais ces deux (L₁ et G₁)7 — Parce qu’on a mesuré ça (A₁) avec ça (L₂). »

Probl. III : G₁, P₁ et L₁ dans chacun desquels on verse 2 fois E : « C’est autant dans les trois ? — La même chose : vous en avez mis 2 chaque fois. •

Jan (6 ¹∕₂). Probl. III : 2 fois E dans G, dans P et dans D : « C’est la même chose ? — Non. — Pourquoi ? — Ici (G₁) il y en a moins parce que vous avez mis 2 de ça (E) et là (P) 3 et là (D) 3. — (On refait la démonstration.) — Ah ! c’était 2 dans chacun et c’était la même chose. J’ai cru que c’était 3. »

Probl. II. Prié de comparer les verres G₁ et P₁ sans utiliser les doubles G, et P₂, etc. Jan verse G₁ dans D₁, met son doigt sur le niveau, verse P₁ et compare les deux niveaux !

Van (7 ans). Probl. II. O_l (bleu) = H₁ (rose) = L₁ (vert). L’enfant pense que rose > vert > bleu : « Qu’est-ce qu’il faut faire pour être sûr ? Tu as les verres, tu peux faire ce que tu veux. — Oui, qu’est-ce qu’il faut faire ? Dans un verre, mais lequel ? (Il verse O₁ dans A₁ et compare A₁ à II₁ dont la forme est semblable, puis 11 prend le vert L_l en disant) : Il y a plus de vert. ( Il verse un peu du liquide de L₁ dans L₂ et D₁ en en laissant dans L₁, après quoi il transvase le tout, soit L₁ + L₁ + D₁ dans A, et compare à A₁.) Non, il n’y a pas plus. C’est la même chose. Moi je croyais qu’il y avait plus de vert. — Et le rose (H₁) et le bleu (D₁ versé en A₁) ? — C’est la même chose. —   Et le rose (H₁) et le vert (A,) ? — C’est la même chose : j’ai versé là dedans. •

En outre nous présentons à Van les verres G et P mais sans doubles : il verse G dans W₁ et P dans W₂. De même, prié de trouver la valeur de A₁ (rempli en partie) sans utiliser A_j, il verse A₁ en L₁ + L₁ + L_s (pleins) et W₂ dans L₁ + ¼ + L,.

Enfin, pour le problème III il dit d’emblée : « C’est la même chose puisque c’est chaque fois dans chacun un petit (3 E). »

On voit le contraste entre les réactions de ce troisième stade et celles du second. Il n’est pas besoin de rappeler d’abord que chacun

de ces enfants croit à la conservation. Mais, en plus, ces sujets sont devenus capables de mesure spontanée avec quelques tâtonnements, comme dans le cas intermédiaire de Ar, puis avec système. A signaler, en particulier, le cas de Van qui trouve de lui-même une commune mesure A₁ pour D₁ et A₂ et pour L₁ + L₂ + D₁. Même dans le cas des verres G et P sans doublets, Van et Jan découvrent le moyen de s’arranger par commune mesure (Van) ou calcul des parties (Jan). D’autre part la coordination des mesures s’opère d’elle-même, comme le montre le cas de San qui fait intervenir d’emblée, sans que nous lui posions la question, les égalités L₁ = G₁, si L₁ = A₁ et A₁ = G₁. Enfin et surtout, le probl. III est résolu sans hésitation, c’est-à-dire qu’est découverte d’emblée la relation « en chacun n fois l’unité ». En bref, la commune mesure et la découverte des unités marquent ainsi le progrès de ce stade par rapport au deuxième et définissent la composition opératoire par opposition à la simple coordination intuitive.

— Les faits décrits à l’instant montrent assez que la mesure suppose une logique : mesurer c’est composer des unités qui se conservent et introduire entre ces compositions un système d’équivalences. Il convient donc, dans cette dernière étude, d’analyser les compositions logiques et numériques en jeu, non seulement dans les questions précédentes, mais encore dans les problèmes IV, V et VI dont chacun comporte un enseignement particulier à cet égard. Nous n’oublions pas que la question IV a déjà été sommairement étudiée au cours du chap. I et que la question V est une application aux quantités continues des équivalences analysées dans le précédent chapitre, mais il est utile, pour comprendre les solutions données par les enfants au problème VI qui nous intéresse ici spécialement, de connaître les réactions de chaque sujet aux questions IV et V, d’où ce bref rappel dont nous nous excusons auprès du lecteur.

Voici d’abord quelques réponses du premier stade, au niveau de l’expérience perceptive immédiate :

Fum (5 ans). Pas de conservation ni de mesure. Probl. IV : • Tiens ce verre (U_l contenant ¹∕, de liquide rose). Il est pour toi. Prends pour Reml la même chose à boire là dedans (L₁). — (Il verse du liquide bleu en L₁ jusqu’au même niveau qu’en U₁.) C’est la même chose. —   (On verse U₁ en L₂ qui se remplit jusqu’au bord.) Regarde qui a plus ? — Moi, j’ai plus. — (On reverse L, en

U₁.) Alors donne la même chose. — (Fum en met un peu plus qu’auparavant, à peu près les ²∕_β de L₁.) Remi a plus. — Tu es sûr ? (On reverse U₁ en L_s.) — Ah ! non, moi j’en ai plus. — Pourquoi ? — Remi en a bu. »

Probl. VI (simplifié) : « Tiens, ce verre (A₁) c’est pour moi et ça (A_a même quantité) c’est pour toi. C’est la même chose ? — Oui. — (On verse A₁ dans B₁et B_a.) On aura la même chose ? — Non, c’est plus pour vous parce gu’il y a un petit peu plus dedans. —   D’où ça vient ? — Ça fait plus parce que vous avez versé là dedans, ça fait différent, ça fait plus. — Et si je reverse (B₁ + B_a) dans (A₁) où ça arrivera ? — (Il montre le verre plein, puis presque plein.) C’était la même chose que le mien (A₂) avant. Maintenant ça montera jusque-là. —   Pourquoi ? — C’était dans deux verres. — (On verse.) — Ah ! La même chose. » De même Jol, pour avoir plus que nous, met A_a dans E₁ + E_a + E_a + E₄ et s’attend à ce qùe, reversés en A_a, le niveau de celui-ci soit supérieur à ce qu’il était avant.

A la question « Qu’est-ce qu’il laut faire pour avoir plus haut que moi ? », Fum qui a donc son liquide en E₁-₄ et nous en A₁, prend L₁ (plus étroit que A_l, donc juste) mais renonce avant d’engager en disant :   » Ça ne fera pas plus (= plus haut) parce que vous avez un verre plus grand. » Il cherche alors un verre plus grand que A₁ et prend P (large et bas) et y verse 3 de ses 4 E. Puis il essaie dans H (plus haut que A₁ mais presque aussi large), dans S (grand et évasé) et conclut déçu : « C’est toujours vous. » Il s’attendait donc, d’une part à ce que le niveau soit d’autant plus élevé que le verre est plus grand, et d’autre part, il n’a utilisé que 3 de ses 4 verres E comme si le tout n’était pas la somme des parties.

Mol (6 ans). Ni conservation ni mesure. Probl. IV (U₁ rempli jusqu’à la ¹∕_a) : Mol verse en L₁ jusqu’au même niveau. On incline U₁ et Mol regarde la surface du liquide incliné : « Ici (U₁) il y a plus. Non, ici (L₁) c’est plus, parce que c’est plus haut. »

Probl. V (simplifié) : « Tu vas prendre ça (W₁) et le verser dans G_l puis dans A₁. — (Il le fait.) — Raconte. — J’ai versé avec ça (W₁) dans ça et ça. — Alors c’est la même chose à boire ? — Non. Ici (A₁) il y a plus qu’ici (G₁) parce que c’est plus haut. — Mais comment était ce verre-là (W₁) ? — Tout plein, mais ça ne fait pas la même chose. »

Probl. VI (simplifié): « Tiens (L₁ et L_a) c’est la même chose ? — Oui. —   Regarde (on verse L_a dans E₁ + E_a). — C’est la même chose, parce que ça (E) ça fait une moitié de ça (montre les 2 E). — Et si je fais ça (L₁ versé en P) ? — Oh ! non, j’ai plus (2 E). — Mais d’où j’ai pris le sirop de (P)? — De là dedans (L₁) mais ça ne fait plus la même chose. »

Sot (5 ¹∕_a) réagit comme les précédents pour la conservation et la mesure. On essaie cependant de lui poser le probl. VI complet après qu’il a comparé P₁ et L₁ et constaté que « c’est la même chose. — Alors regarde ce que je fais (2 fois L₁ dans A₁). Est-ce que c’est la même chose à boire pour moi (A₁ = 2 L₁) et pour toi (L₁ + P₁) ? — Non. Moi j’ai plus. Ah ! non, ça fait la même chose si je fais comme ça (il met L₁ dans A_a)… Non, moi j’ai plus. — Pourquoi ? — … — Qu’est-ce que j’ai fait ? — On a versé deux fois ça (L₁) dans ça (A₁). — Alors — Moi j’ai plus. —   Est-ce que (L₁ = P)? — Oui. — Alors ? — Mais ça (P₁) c’est rond, ça fait plus. — Mais (L₁ = P₁) ? — Oui si on verse. — Alors c’est la même chose ? — Non, ici on a comme ça (L₁ + P₁) et ici ça (A₁). — Si on verse P₁ dans A_a ça arrivera où ? — A la même hauteur (que A₁ = 2 L₁ = 2 P). — Et ça (L₁)7 — Plus bas (montre le ¹∕s)∙ »

Her (7 ans) vient de verser E₁ dans P₁ : « Regarde (on verse 2 E_l dans B₁). Toi tu bois ça (E₁ + P₁) et moi ça (B₁). Qu’est-ce qu’il y a ici (Bj)? — Deux fois ça (2 E₁). — Alors nous aurons bu la même chose ? — Oui, moi plus. Non

vous avez plus, parce que c’est plus gros (B₁). — Si je verse ça (P₁) dans ça (B₁) ça arrivera où ? — (Montre ¹∕₃ du niveau.) — Et ça (E₁) ? — (Montre plus haut, presque au niveau de B.) — Et c’est la même chose, ça et ça (E₁ et PJ ? — Oui. »

Il est inutile de multiplier ces exemples pour montrer que les sujets de ce niveau sont incapables de toute composition, aussi bien logique que numérique.

Tout d’abord, l’enfant ne parvient pas à multiplier les deux relations inverses de hauteur (niveau) et de largeur (surface) des colonnes d’eau considérées (probl. IV), ce que nous avons déjà vu au cours du chap. I (§ 2). Aussi, lorsqu’on lui demande de prendre en L₁ une quantité d’eau égale à celle qui est donnée en U₁, il se borne à reproduire le même niveau sans s’occuper du fait que le verre L₁ est 4 ou 5 fois plus étroit que le verre U₁. Mol, en particulier, présente une réaction qui est typique de ce stade et que nous avons souvent observée : il reproduit simplement en L₁ le niveau de U₁, mais lorsque l’on incline U₁ et qu’il est ainsi forcé de considérer la largeur de l’eau et non plus seulement son niveau, il oublie ce dernier, puis, lorsqu’il repense à la hauteur, il oublie la largeur : « Ici (dit-il en voyant la largeur de UJ il y a plus. Non (rectifie-t-il en pensant à la hauteur de L₁) ici c’est plus, parce que c’est plus haut. » Bref, il n’y a pas multiplication de (largeur) x (hauteur) mais juxtaposition des deux données considérées alternativement.

Pour ce qui est du problème V, c’est-à-dire de la composition des équivalences, il va de soi que cette absence de multiplications des relations, jointe à celle de toute conservation et de toute mesure, exclut la compréhension même intuitive d’un tel rapport. Notons d’emblée que ce problème V ne soulève plus, comme la composition des équivalences étudiées au chap. IX, une simple question d’égalisation de trois classes (X = Y) + (Y = Z) = (X = Z) mais une égalisation de trois couples de relations respectivement multipliées entre elles. Lorsque l’on compare les liquides versés en trois bocaux différents, on a, en effet (si nous appelons h₁ et 1₁ la hauteur et la largeur du premier, h₂ et 1₂ celles du second et h₃ et 1₃ celles du troisième) la composition suivante : [(h₁ × 1₁) = (h₂ × 1₂)] + [(h₂ × 1₂) = (h₃ × 1₃)] = [(h₁ × 1₁) = (h₃ × 1₃)]. Or nous avons vu au § 2 de ce chapitre que Bô et Jol sont incapables d’identifier même 1 à 1 deux des trois quantités mises en L₁ ; W₁ et G₁ : il n’est donc pas question -de leur demander de les composer. Nous avons essayé de simplifier

le problème en faisant directement verser par l’enfant le contenu d’un verre ( = moyen terme) dans deux autres successivement (extrêmes). Par exemple, Mol verse W₁ plein dans G₁ puis dans A₁. On ne saurait concrétiser davantage la coordination de deux égalités par l’intermédiaire d’un terme commun : néanmoins Mol n’en conclut nullement que A₁ = G₁ : le verre W₁ était « tout plein, dit-il, mais ça ne fait pas la même chose ».

Enfin, pour ce qui est des compositions numériques (probl. VI), nous l’avons également simplifié à l’extrême en proposant des questions telles que : si (A₁ = B₁ + BJ aura-t-on (B₁ + B₂ = A₁)7 Ou si (L, = E₁ + E₂) et si (L₁ = P), aura-t-on (E₁ + E₂ = P)? Or Fum pense que (B₁ + B₂) ne redonneront pas le niveau primitif de (A₁) et Mol qui admet L_j = E₁ + E₂ n’en conclut pas que (E₁ + E₂ = P) : P vient bien « de là dedans (LJ mais ça ne fait plus la même chose ! » Lorsque l’on présente à l’enfant la quest. VI au complet (cas de Sot et de Her), on observe deux réactions curieuses. La première est que l’égalité (a + a = 2 a) qui est présentée sous la forme (P₁ + L₁ = A₁) ou (P_j + E₁ = BJ n’est pas comprise parce que l’enfant juge selon sa perception et non pas selon cette composition. Par exemple, dans (P₁ + L₁ = AJ Sot conclut que (P₁ + LJ font plus que A_ubien que sachant que A₁ = 2 L₁ et que P₁ = L₁, la raison étant que P₁ « c’est rond, ça fait plus ». D’autre part Her, de (P₁ + E₁ = B J conclut que B_l fait plus, bien que B₁ = 2 E₁ et que P₁ = E₁. Cela n’est d’ailleurs que naturel faute de conservation. Mais la deuxième réaction est bien plus étrange. Tout en se rappelant que P₁ = L₁et que A₁ = 2 L_n Sot pense que P₁ versé en A₁ rejoindra le niveau actuel ( = 2 LJ de A₁ tandis que L, n’atteindra que le ¹∕_s. Et Her, tout en disant que P₁ = E_u pense que P₁ atteindra le ¹∕_a de B_j et E₁ presque la même hauteur ( = 2 EJ ! La colonne d’eau n’est donc encore nullement divisée en fractions d’après sa composition, ou plutôt il n’y a pas de composition additive et soustractive possible, faute de conservation, la conservation n’étant d’autre part pas concevable faute de composition.

Cette absence de composition est si stupéfiante qu’on se demande naturellement sans cesse s’il n’y a pas malentendu, c’est-à-dire si en disant « il y a plus » ou « moins », l’enfant ne pense pas simplement au niveau lorsque nous pensons à la quantité totale. Mais cette interprétation nous paraît exclue. En premier lieu, nous avons constamment pris garde à la compréhension des consignes, et précisé « plus

(ou moins) à boire » pour exclure toute équivoque. D’autre part, lorsque l’enfant pense au niveau comme tel, c’est qu’il ne parvient justement pas, faute d’instruments logiques suffisants, à se représenter la quantité d’ensemble autrement qu’au moyen de l’un de ses aspects, sans coordonner ce rapport particulier avec les autres. En troisième lieu, l’enfant essaie fréquemment de faire intervenir la largeur (Fum, etc.) mais alors oublie le niveau. D’une manière générale, il faut bien que l’enfant comprenne ce que l’on cherche puisqu’il se livre, dans ces essais de mesure ou de contrôle, à une série de transvasements spontanés.

Voici maintenant les réactions du second stade, caractérisées par les essais de coordination du niveau et de la largeur, mais sans solution des questions de proportions, par la coordination des équivalences, mais sans rigueur déductive, et par les débuts de la composition numérique, mais intuitive et non encore opératoire :

Vis (6 ¹∕₂). Probl. IV : P₁ est rempli au ¹∕, et L₁ vide. Pour trouver la même quantité, Vis remplit L₁ jusqu’au même niveau que P₁ : « C’est la même chose ? — Non, moi (L₁) j’ai plus (verse aux ²∕₃ de L.) Ah ! non, comme ça vous avez plus (il égalise puis met au ¹∕₄). Ah ! non j’ai plus, etc. »

Probl. V. L₁ (bleu) = W₁ (rose) et W₁ = G₁ (vert). On montre l’égalité en versant simplement le bleu en W₁ avant d’y mettre autant de rose une fois le bleu reversé en L₁ : « Est-ce que le bleu est la même chose que le rose ? — Ouf. — Il y a autant de rose que de vert ? — Ouf. — Et le bleu est la même chose que le vert ? — (Hésite) Oui. — Tu es sûr ? — Non. — Pourquoi ? — Celui-là (L₁) est mince, et celui-là (G₁) est plus grand.. (Il prend W₂ et W₃, verse L₁ en W₂et G₁ en W₃ et seulement alors paraît sûr) : C’est la même chose !

Ree (6 ¹∕₂). Probl. IV. P₁ ( = ¹∕_β) et L₁ : « Prends ici (L₁) la même chose qu’il y a là (P₁). — Je ne sais pas jusqu’où ça viendra (remplit la ¹∕₂ de L₁). Ça va. Non ça (P₁) c’est plus grand ( = large). Il faut essayer (verse P₁ en L₂). Ah ! ça vient plus haut. — (L₂ rempli au moyen d’un ¹∕_β de P₂ et P = ¹∕,.) C’est la même chose à boire ? — Ouf, mais j’aimerais essayer encore dans un vase comme ça (P₂). Il verse L₁ en P₂). C’est la même chose (puis reverse P₂ en L₂ et P_l en L₁). C’esf tout à fait la même hauteur. »

Probl. V. On a vu au § 2 qu’après avoir identifié L₁ et W₁ puis W₁ et G₁Ree conclut pour G₁ et L₁. « Ça arrivera peut-être jusqu’en haut (= même niveau si on verse G₁ en L₂), je ne pourrais pas dire. « 

Probl. VI. On verse 2 fois E₂ en A₁. D’autre part, l’enfant verse lui-même une fois E₁ en U₁. On lui donne alors U₁ + E₁ : • Raconte-moi ce que j’ai fait ? — Vous avez mis 2 fois (en A₁). — Toi tu bois ça (E₁ + U_l) et moi ça (A_l). Est-ce que nous aurons bu la même chose ? — Non, je ne crois pas. Je veux essayer qui aura le plus. Ça (U₁) c’est un petit vase où il y a peu dedans. —   Mais ça (U₁) et ça (E₁) c’est la même chose ? — Ouf. — Et il y a combien de ça (E₁) là-dedans (A₁) ? — Il y a deux. — Alors ? — Alors on aura tous les deux la même chose. On a mis ces deux (met E₁ à côté de E_j). Ça fait la même hauteur. Il faut essayer. — Tu es sûr ? — Il vaut mieux essayer. »

Après quoi, l’on demande : ■ Si je verse (U₂) dans (A₂) jusqu’où ça arrivera ?

— (Ree montre la ¹∕₃ du niveau de A, ce qui est donc juste.) — Pourquoi ? — 

Parce que c’est au milieu. Ça (U₂) c’est la même chose que ça (E₁). — Pourquoi ça arrivera au milieu ? — Je ne sais pas si c’est juste au milieu (il verse U₂ dans A_j). Oui, voilà, c’est le milieu. » On reverse ensuite A₂ dans U₂ pour l’essai suivant

Enfin, l’on présente E₁ + U₂ + A₁ (où A₁ = 2 E) remplis de liquide rose : « Combien de E je dois verser là (A₂) pour avoir la même chose que tout ça ? — 2. — Essaie (il touche du doigt les récipients et compte). Non, 4, ça viendra à la même hauteur. — (On verse 4 E bleus dans A_j.) — Oui. » Puis Ree, qui n’est jamais convaincu d’emblée, prend B₁ et dit : « J’aimerais voir le rose (il verse en B₁ le tout E₁ + U₂ + A₁). — A quelle hauteur ça arrivera ? — (Il montre la hauteur de A₂ bien que B₁ soit plus étroit.) Ici, je crois, je ne sais pas (il verse). C’est plus haut. Ah, maintenant, je ne comprends pas. — (On verse B₁ dans U₁et A, dans U₂.) Ah la même hauteur ! »

Bon (7 ans). Probl. V. Il établit avec difficulté que L₁ = W₁ et que W₁ = G₁. Lorsqu’on lui demande si L₁ = G₁, il montre l’ensemble des verres et dit :   » Il y avait toujours la même chose », c’est-à-dire qu’il y a toutes les raisons inductives pour qu’il en soit ainsi, mais qu’il ne le démontre pas déductivement.

Probl. VI. « Regarde ce que je fais (2 E_j dans A₁). — Vous avez mis deux fois le verre (E₂). — Et ça (E₁ dans P₁). Est-ce que c’est la même chose, ça (E₁ + P₁) et ça (A₁) ? — Non, ça (A₁) c’est deux fois et ça (E₁ + P₁) c’est quatre fois. —   C’est la même chose ça (E₁) et ça (P₁) ? — Oui. — Et si on verse ça (E₂) dans ça (E₁) ? — Ça arrivera jusqu’en haut. C’est exactement la même chose. —   Et comment j’ai versé là (A₁) ? — Deux fois ce verre (E₂). — Et si nous buvons, moi je bois ça (A₁) et toi ça (E₁ + P₁) ? — Moi je bois plus. Ça fait quatre fois et ça (A₁) c’est deux. —   Pourquoi 4 ? — Parce que c’est plus gros ça, (P₁). J’ai deux verres (E_let P₁) et j’ai en plus ça (P). Ça (P) c’est un gros verre, et ça (E₁) c’est un petit, alors ça fait quatre fois. » Il compte donc E₁ et P₁ pour 2, puis comme P₁ est gros il rajoute arbitrairement 2.

« Si je verse ça (E₁) ici (A₂) ça arrivera où ? — (Il montre la ¹∕₂ du contenu de A₁.) — Et si je verse ça (P₁) ? — (Il montre aussi la ¹∕₂ du contenu de A₁ ce qui est donc juste.) — Et si je verse ça (E_l + P₁)7 — (Il montre un niveau notablement plus haut que le contenu de A₁.) Ça fera quatre fois. — Explique- moi. — Là (E₁) et là (P₁) c’est la même chose. Si on mesurait ça (P₁) ça deviendrait plus haut… (air embarrassé. Il prend P₁ dans une main et E₁ dans l’autre en les regardant ainsi que E₂.) Ça c’est deux verres… Ah non, ça arrivera la même chose ! — Comment tu as trouvé ? — J’ai vu que ça (P₁ + E₁) c’est la même chose et ça (Ej) le même verre. »

Gis (7 ans). Probl. V : Après avoir mesuré l’égalité de G₁ et W₁ puis de W₁et de L₁ il pense que L₁ = G₁ mais, au lieu de le déduire, il l’induit simplement : « Ça sera la même chose, parce que là (G₁) c’est plus étendu (il le regarde attentivement), plus grand et plus mince. On croit que c’est plus parce que… (montre le niveau) mais ça doit être la même chose. »

Probl. VI : Gis verse P₁ dans E₁ et nous versons 2 E₁ dans B₁. « Moi je bois ça (B₁) et toi ça (P₁ + E₁) c’est autant ? — Oui, moi autant que vous. Le vôtre est plus grand. Si on mettait ça (P₁ + E₁) là dedans (B_t) ça ferait la même chose. —   — Comment tu le sais ? — … — (On verse la ¹∕₂ de B₁.) C’est encore la même chose ? — Non, j’ai plus. —   Alors comment tu sais ? — … — Comment j’ai versé ? — (Montre E₁.) Avec ça. Une fois ça (E₁) et la ¹∕₂ (de B₁). — Ça (P₁) et ça (E₁) c’est la même chose ? — Oui. — Et ça (B₁ : on a remis la ¹∕₂) c’est autant que ça (P_l + E₁) ? — Oui. •

« Si je verse (P₁) dans (E₁) ça arrivera où ? — (Il montre le même niveau que P₁.) — Et si je verse ça (B₁) dans (E₁ et E₂) ? — Ça fait 1 et la ¹∕₂. •— (On verse E₁ + P₁ dans B₂.) C’est la même chose ? — Oui. — (On reverse.) Si je

verse ça (E₁) dans ça (B_a) ça arrivera où ? — (Montre le même niveau que E₁.) C’est la même hauteur. — C’est autant (P₁ et EJ ? — Oui. —   Si je verse ça (E₁ + P₁) ici (B_a) ça arrivera où ? — Tout plein (Montre au-dessus du niveau de B₁.) — Moi si je bois ça (B₁) et toi ça ? — C’est plus à moi. — (On verse E₁ + P₁en B_a.) — La même chose ! »

« C’est donc autant ça et ça (E₁ et P₁)7 — Oui. — Et si je verse tout ça (E₁ + P₁) là dedans (B_a) ? — Ça arrivera à la même hauteur (que B₁). — C’est juste. Et si je verse ça seulement (EJ ? — (Montre les ⁵∕_β du liquide.) — Et ça seulement (PJ. — La même chose (^t∕, du liquide). — Et si on verse les deux ? — La même hauteur (que BJ. — Et seulement (EJ ? — Un petit peu moins (⁵∕_β). — Et ça (PJ ? — Un petit peu moins (⁵∕_β). »

Lois (7 ans). Probl. V : il mesure l’égalité de G₁ et de W₁ puis de W₁ et de L₁. « Et ces deux (G₁ et LJ, c’est la même chose à boire ? — Je crois que c’est la même chose. —   Pourquoi ? — Parce qu’ici (GJ c’est plus écarté. C’est pour fa que ça reste en bas. »

Probl. VI : « Tu vois ça (E₁ + P J c’est pour toi. Et ça c’est pour moi (A₁ dans lequel on verse 2 E_a). — Raconte-moi comment j’ai versé ? — Deux fois avec ça (E₂). — Et ça (PJ c’est la même chose que ça (EJ ? — Oui. —   Et que ça (E_a) ? — La même chose. —   Alors est-ce que nous aurons bu la même chose, moi ça (AJ et toi ça (P₁ + EJ ? — Moi j’ai plus, parce que je bois deux verres, et vous seulement ça (AJ. — Mais, ça (PJ c’est la même chose que ça (EJ ? — Oui. —   Et ces deux (E₁ et E_a) ? — Ah oui, c’est la même chose. Ces deux (E₁ + PJ c’est la même chose et vous avez versé deux fois ça (EJ, ça fait la même chose. »

« Et si je verse ça (PJ là dedans (AJ ça arrivera où ? — (Il montre les ³l_tdu niveau.) — Et ça (EJ ? — La même hauteur (³∕J. — Et tous les deux ? — La même chose (niveau actuel de AJ. »

Telles sont les réactions de ce second stade, lequel, comme toujours, se présente donc comme le niveau des débuts de la coordination, mais par voie intuitive et sans composition opératoire.

La chose se voit d’emblée dans les solutions données au probl. IV. Contrairement aux enfants du premier stade qui, pour mettre dans le verre étroit L₁ la même quantité de liquide que dans le verre large P₁, cherchent simplement à atteindre en L₁ le niveau de P_v les enfants de ce second stade pensent à la fois à la largeur et à la hauteur et cherchent en L₁ un niveau supérieur à P₁. Seulement, au lieu de trouver un principe de composition et de mesure, c’est-à-dire de tenir compte des proportions, l’enfant se borne à des évaluations tout empiriques.

Or, fait intéressant, les résultats obtenus sur les enfants du même niveau au moyen du problème V sont exactement parallèles. Les sujets du stade précédent ne pouvaient pas tirer l’égalité (h₁ × IJ = (h₃ x IJ des égalités (h₁ × 1J = (h_a x IJ et (h₂ x 1₂) = (h_s x IJ, ou, plus simplement, l’égalité (G₁ = LJ des égalités (G₁ — WJ et (Wj = LJ et cela faute de toute conservation ou de toute mesure. Au cours du présent stade, au contraire, l’enfant parvient (cf. § 2)

à découvrir les égalités (G₁ = W₁) et (W₁ = L₁) et à attribuer à ces égalités une constance progressive : dès lors il arrive aussi à en conclure (G₁ = L₁), soit (h₁ x IJ = (h₃ × l_s). Seulement, il ne faudrait pas croire, malgré certaines apparences, que l’enfant aboutit à cette conclusion en vertu d’une déduction réelle, qui consisterait à composer les égalités totales (L₁ = W₁) ; (W₁ = G₁) donc (Li = GJ ou encore moins à composer les rapports hl respectifs. S’il découvre le résultat correct, c’est en vertu d’une simple analogie inductive. En effet, pour établir les égalités (L₁ = W₁) et (W₁ = G₁), l’enfant doit déjà établir au moins quatre équivalences : lorsqu’on l’interroge sur L₁ = G₁, il est ainsi conduit à se dire que cela doit vraisemblablement continuer de la sorte, mais c’est pour lui une probabilité et non pas une nécessité logique. Par exemple Ree pense que L₁ égalera « peut- être » G₁ mais se refuse à l’affirmer avant une vérification empirique. Bor l’admet aussi, mais simplement parce que « il y avait toujours la même chose » jusque-là. Vis, Gis et Lois raisonnent de cette même manière.

Or, il est très suggestif de constater cette analogie des réactions données au problème V et au problème IV. On trouve, en effet, dans les deux épreuves une composition des relations h et l ainsi que des équivalences. Mais dans le problème IV, il faut construire le rapport multiplicatif de h et l tandis que dans le problème V, il est donné. D’autre part l’équivalence est donnée en IV et doit être construite en V. Il est donc intéressant de trouver au présent niveau, dans ces deux épreuves simultanément, la même méthode de coordination intuitive et non pas déductive.

La clef de ces réactions se trouve dans les réponses données à la question VI, la solution correcte de ce problème exigeant une arith- métisation des compositions additives et multiplicatives des relations en jeu. En effet, pour résoudre une question telle que E₁ + U₁ = A₁(où A, = 2 E_l et où E₁ = U₁), l’enfant doit comprendre les relations suivantes. Si nous appelons h₁ et 1₁ la hauteur et la largeur de E₁j h, et 1, celles de U₁j h₃ et 1₃ celles de A₁, il lui faut d’abord poser que le rapport (ou multiplication des relations) de h, et 1₁ est le même que celui de h₃ et 1₃, soit :

(1) (h₁ × 1₁) = (h, x 1.)

Il lui faut ensuite comprendre que E₁ + U₁ = A_j soit

(2) (h₁ × 1₁) + (h, x 1,) = (h_s × 1₃).

Et s’il prend ainsi (h₁ × 1₁) soit E₁ comme commune mesure, cela signifie que tout récipient contenant (hx x Ix) peut être conçu comme un multiple de (h₁ × 1₁) d’où les compositions additives et multiplicatives suivantes :

(3) (hx x Ix) = l®r (h₁ × 1₁) + 2^β (h₁ × 1₁) + n∙ (h₁ × l_l)

ou (3 bis) hx × lx = n (h₁ × 1₁).

D’où enfin les compositions inverses qui correspondent à la dernière partie du problème (déterminer le niveau de A₁ selon que l’on y verse un seul ou deux seuls E au lieu de la totalité) :

(4) n (h₁ × 1₁) — 1 (h₁ × 1₁) = n — 1 (h₁ × 1₁) ; … etc. ou (4 bis) n (h_l × 1₁) : n = (h₁ × 1₁).

Or, aucun des enfants cités (ou des autres sujets caractéristiques de ce stade) n’a éprouvé de difficultés à comprendre que E₁ = U_vdonc à admettre l’égalité (1). Tous également se rappellent que l’on a mis 2 E₁ en A₁. Néanmoins aucun n’est parvenu à une solution déductive complète.

Pour ce qui est de l’égalité E₁ + U₁ = A₁ sous sa forme qualitative (2) ou numérique (3), Ree, par exemple, est partagé entre l’idée de l’équivalence et celle de la non-équivalence (parce que U₁ « est un petit vase où il y a peu dedans »). Ainsi combattu entre le raisonnement qui impose l’évidence E + E = 2 E et la perception qui suggère l’inégalité, Ree conclut qu’« il faut essayer ». Ensuite il comprend presque d’emblée que pour E₁ + U₁ ( = E₁) + A_l ( = 2 E₁), il faut mettre 4 E₁ dans A„ mais il tient néanmoins à vérifier la chose et, lorsqu’il verse (E₁ + U_x + A₁) en B₁, il ne saisit pas pourquoi le niveau de B (plus étroit) n’est pas égal à celui de A. De même Bor est partagé entre le raisonnement qui lui fait admettre que (E₁ + P₁= A₁), puisque (P₁ = E₁) et que (A₁ = 2 E₁), et l’intuition perceptive qui le pousse à croire que P₁ « c’est plus gros » : d’où il conclut que (Pi + E₁) « ça fait 4 fois » et A₁ seulement 2. Le terme « 4 fois » ne peut avoir ici qu’un sens de simple appréciation perceptive, puisque Bor dit lui-même que l’on a mis un seul E₁ en P₁ ! Gis a d’emblée l’impression que P₁ + E₁ = B_l mais pour des raisons d’analogie avec toutes les égalités vues jusque-là ; il reste incapable de démontrer pourquoi et il en vient, lorsqu’on veut lui faire préciser son intuition initiale, à déclarer que (E + P) dépasseront le niveau de

B₁ et que « c’est plus » ! Lois enfin, tout en ayant fort bien compris les données, commence par dire que P₁ + E₁ font plus que Ai « parce que je bois deux verres », puis il en vient à l’égalité.

On voit donc que ces enfants ne sont point encore capables de composer 3 ou 4 éléments en 2 totalités équivalentes. Ou plutôt, s’ils y parviennent naturellement sans difficulté lorsque la perception s’accorde avec ces relations (si, par exemple, E₁ + E, = E₈ + EJ, ils ne peuvent point encore faire triompher la composition rationnelle (additive et multiplicative à la fois) lorsque la perception s’y oppose.

La chose est encore plus claire dans la seconde partie du problème, c’est-à-dire dans la décomposition soustractive ou division (4) et (4 bis). Chacun de ces enfants sait donc bien que A₁ = 2 E₁ et que E₁ = P₁. Or lorsqu’on leur demande jusqu’où montera le liquide de E₁ seul en A₂ situé à côté de A₁, aucun ne sait dire à coup sûr que le contenu de E₁ atteindra la ¹∕₂ du niveau de A₂ ; que le contenu de P_latteindra également la ¹∕₂ seulement et que (E_j + P₁) rejoindront le même niveau ! Ree seul répond « au milieu » pour l’un des éléments isolés « parce que c’est la même chose que » E₁, mais il ajoute aussitôt « je ne sais pas si c’est juste au milieu » comme pour bien montrer qu’il ne s’agit pas de déduction pure mais d’une probabilité intuitive ! Bor commence aussi par attribuer à E₁ la moitié de la hauteur et à P₁ aussi. Mais pour (E₁ + P₁) il montre bien plus haut que le niveau de Aj (plus de 3 fois l’unité) parce que « si on mesurait ça (PJ, ça deviendrait plus haut ». Donc, pour lui, 1 + 1 ne font pas 2 si les deux unités sont trop hétérogènes pour la perception. Gis pense que pour (P₁ + E₁ = BJ si (Ej = PJ le contenu de E₁ atteindra en B₂ le niveau de E₁ tandis que (P₁ + EJ arriveront plus haut que B₁. (« C’est plus à moi »). Puis, lorsqu’il comprend que (P₁ + EJ réunis donneront en B₂ le niveau actuel de B_l, il croit que E₁ seul en donnera les ⁵/« (et P₁ seul aussi) ! Donc chacune des deux moitiés d’un tout équivaut à elle seule aux ⁵∕, de ce tout ! De même pour Lois, (E₁ + P J donnent ensemble « la même chose » que le niveau de A₁, mais E₁seul en donnerait les ³∕_i !

L’absurdité de ces compositions montre à nouveau, et plus clairement encore, le conflit de la perception et du raisonnement chez les sujets de ce stade. Elle nous montre surtout comment la constitution de l’unité, nécessaire à la mesure, implique l’égalisation des différences, dont nous avons entrevu l’importance au cours du chap. I et qui nous apparaît maintenant comme la condition même de passage

[p. 303] entre les compositions de relations simplement qualitatives et les compositions proprement numériques.

Examinons maintenant les réactions du troisième et dernier stade, c’est-à-dire de celui au cours duquel se constitue, sur un mode opératoire et non plus seulement intuitif, la composition additive et multiplicative des relations et des nombres :

Fol (7 ans). Probl. IV : « Ça (L) c’est long et ça (P) c’est gros. Pour ça (P ¹∕_β) il faut mettre ici tout plein (L) : si on ferait la mesure, ça ferait la même chose. »

Probl. V : O₁ (rose) = A₁ (jaune) = P₁ (bleu). « Est-ce qu’il y a autant de rose que de bleu ? — Oui. — Tu es sûr ou tu crois seulement ? — Il y avait autant de rose et de jaune, puis autant de jaune et de bleu, alors c’est la même chose le rose et le bleu (montre à mesure les bocaux). »

Probl. VI. On met 2 E₁ dans A₁ puis E₁ dans U₁ : c’est la même chose ça (U₁ + E₁) et ça (A_l) ? — Oui, parce que vous avez mis les deux là dedans (AJ. — (On verse U₁ dans L_l.) — C’est encore autant (L₁ + E₁) et (AJ ? — Oui. — (On met L₁ en B₁.) Et ceux-là (B₁ + EJ et (AJ ? — Oui ça (EJ c’est autant que ça (BJ et pour ça (AJ vous avez pris le petit verre (EJ. »

U₁ = Û₂. On verse U₁ en L₁ et L₁ en E₁ + E₂ ; puis on met E₁ en M₁ : ■ C’est la même chose (E₂ + MJ et (U₂)? — Oui. —   Et ça (BJ c’est autant que ça (E₁) ? — Oui. — Et que ça (MJ ? — Oui. —   (On verse ¹∕₂ U₂ en M₂.) Est-ce que ça (U₂ + M₂) c’est autant que (M₁ + EJ ? — Oui. Il y a les deux petits et vous avez pris avant avec le même tout petit (E). » On remplace ensuite M₂ par E₂, etc. : il répond toujours juste malgré une série d’autres transformations du même type.

Nao (6 ; 10). Probl. VI. On verse 2 L₁ dans A₁ et on donne à l’enfant P₁ + L₁ que Nao vient d’identifier : « Qui a plus (P₁ + LJ et (AJ ? — Autant les deux, parce que (LJ et (PJ c’est les mêmes et vous avez mis 2 comme ça (LJ là dedans (AJ. — Et si on verse (L₁ + P J dans (A₂) ça montera où ? — A la même hauteur. — Et (PJ seul ? — La ¹∕₂ parce que ça fait la moitié. — Et (LJ seul ? — Aussi la ¹∕₂. — (On ajoute un 3^e L à A₁.) — Vous avez plus que moi : vous avez mis 3. — Si on verse (LJ dans (AJ ça ira jusqu’où ? — (Montre le ¹∕₃ du niveau actuel.) — Pourquoi ? — Parce que vous aviez mis 2 comme ça (LJ et c’était jusque- là (le niveau primitif). — Si on verse (AJ dans 3 verres comme ça (LJ ? — Ça fera 3 pleins (juste). »

Schen (6 ; 11) Probl. IV et V entièrement corrects. Probl. VI : A₁ = 2 E₁et E₁ = P_l : « Là (AJ il y a plus que là (PJ. — Et (P₁ + EJ c’est moins que (AJ ? — La même chose. Vous en avez pris 2 (en A₁). — Et si je verse (PJ en (AJ ça ira jusqu’où ? — (Montre la ¹∕₂.) Plus bas : la moitié. — Et ça (EJ ? — Aussi là ¹∕₂. — Et ça (P₁ + EJ ? — Autant que ça (AJ. »

San (7 ans) Probl. VI : A₁ = 2 L_l et L₁ = P₁. « C’est autant parce que vous avez mis 2 comme ça (LJ et ça (L₁ + PJ ça fait aussi deux fois. — Si on verse (PJ dans (AJ ça ira jusqu’où ? — La moitié. — Bien. Toi tu as tout ça (P₁ + L₁ ⅛ Aj). Combien de verres de ça (LJ il faut verser ici (AJ pour avoir autant ? — 3, non 4 fois, parce que là (AJ il y a 2 fois. »

Chou (7 ans). Probl. V. L₁ (bleu) = W₁ (rose) et W_l = G₁ (vert). « Ça (GJ c’est autant que ça (LJ. C’est les deux mêmes. —   Pourquoi ? — On a regardé tous les trois. — Mais a-t-on regardé ces deux ensemble (bleu et vert) ? — Non. mais on a regardé par le rose. »

Probl. VI. P₁ = E₁ et Aj = 2 E₁ : « Toi tu prends tout ça (P₁ + E₁ + AJ. Combien de petits (EJ je dois verser pour avoir la même chose ici (AJ ? — 6.

— Pourquoi ? — (Il montre les 3 verres l’un après l’autre.) 2, 4, 6… Ah ! non : j’ai pensé que partout il y en a deux (le raisonnement était donc juste). »

Si nous comparons ces réactions à celles du dernier stade, le contraste est net entre l’opération et l’intuition. Sans revenir sur le problème IV dont la solution complète (multiplication des relations inverses de hauteur et de largeur et proportions) est maintenant acquise (voir chap. I), notons d’abord la précision avec laquelle le problème V est résolu. Par exemple Chou est très conscient, après avoir comparé le bleu et le rose puis le rose et le vert, que le verre rose W₁ lui sert de commune mesure : « On a regardé tous les trois », dit-il, parce qu’« on a regardé par le rose ! »

Enfin, le problème VI donne lieu aux constatations les plus intéressantes : à le mettre en rapport avec les deux précédents, il permet d’établir que c’est au moment où l’enfant devient capable d’une composition rigoureuse des opérations élémentaires de la logique des relations (addition et multiplication des relations asymétriques) que sont réussies également les épreuves de composition numérique, additive et multiplicative à la fois, lorsque cette composition porte sur les mêmes relations.

Du point de vue de la logique des relations, en effet, le problème VI n’est que la synthèse des questions IV et V (d’où leur rappel en ce chapitre) : pour pouvoir établir que E₁ + U₁ = A₁ (si A_l = 2 E₁), il faut être capable 1° de comprendre que l’augmentation de hauteur du liquide dans un bocal allongé est compensée par la diminution de largeur, et réciproquement (probl. IV), et 2° que si U₁ = E₁ et si E_x = ¹∕_l A₁ alors U₁ = ¹∕_j A₁ (probl. V). Mais, d’autre part, il comporte en plus, par le fait même que les quantités caractérisées par des relations différentes sont égalées comme E₁ et U_l, la constitution d’unités composables additivement [E₁ + U_l(=E_l) =A₁(=2E)] ou multiplicativement (A₁ : 2 = E).

Or précisément c’est au moment où les probl. IV et V sont résolus opératoirement que le probl. VI l’est aussi. Si l’on reprend à cet égard les 4 sortes d’égalités formelles énoncées à propos du second stade (propositions 1 à 4 bis), àous constatons, en effet, qu’elles donnent toutes lieu, chez les sujets cités à l’instant, à une compréhension complète. C’est ainsi que, chez Fol, une série de transformations successives n’altèrent en rien sa conscience de l’équivalence des unités ou des sommes. Chez Nao, Schen, San et Chou, la composition du type

E + E + … = n E prend un sens aussi bien multiplicatif qu’additif, comme le montre Chou lorsqu’il croit que la somme est 6 parce qu’on aurait mis 2 unités par verre. Inversement nous voyons ces mêmes sujets déterminer la ¹∕₂ ou même le ¹∕₃ de la colonne A₂ (ou A₁) pour leur faire correspondre les unités E. En bref, contrairement à ce qui se passait au cours des stades précédents, où toute composition numérique était tenue en échec par les évaluations perceptives, ces enfants combinent entre elles les unités de mesure obtenues par une égalisation rigoureuse des différences. Quel est, en cette naissance de la composition opératoire, le rapport existant entre la logique des relations et le nombre ? C’est ce qu’il convient d’examiner brièvement.

— Il convient d’abord de noter, pour comprendre les rapports unissant les opérations numériques à celles qui portent sur les relations logiques qualitatives, que les compositions dont nous venons de retracer la genèse sont déjà toutes impliquées dans l’élaboration de la conservation elle-même (chap. I). Mais elles demeurent alors à l’état virtuel, c’est-à-dire que le sujet ne se doute pas de leur existence tandis qu’au cours des présentes épreuves, il s’agit pour lui de les dégager et de les « réfléchir ».

En effet, que demandions-nous aux enfants du chap. I en leur présentant exactement le même matériel que celui dont il vient d’être question ? Si une quantité A₁ semblable à A₂ lui demeure équivalente en cas de transfert de A₁ en Bι + B₂ ou en C₁ + C₃ + C₃, etc. ou en L₁, etc.? Or, il est clair que pour résoudre de tels problèmes, il s’agit précisément de réunir des parties en un tout ou de diviser un tout en fractions, de coordonner des équivalences et de multiplier des relations, etc., bref de se livrer à toutes les compositions additives et multiplicatives étudiées dans les pages qui précèdent. Aussi n’est-il pas étonnant que les stades de la construction de la conservation (ou quantification) et ceux du développement de ces compositions soient exactement synchroniques. Le lecteur a même dû parfois se demander si nous ne répétions pas simplement, en variant à peine les expressions verbales, les épreuves du chapitre I. Or, il n’en est rien : autre chose est de poser une équivalence A₁ = A₂ du point de vue de la perception elle-même et de chercher si elle se conserve lors de transformations successives, et autre chose est de la construire, par la mesure (probl. II et III de ce chapitre), ou par déductions variées (probl. IV-VI). Dans le premier cas, le

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sujet part d’une solution pour la justifier, dans le second, il doit la trouver : les mêmes compositions résultent ainsi, dans la première situation, d’une analyse qui peut comporter tous les degrés de prise de conscience, et, dans la seconde situation, d’une synthèse qui nécessite une réflexion claire et distincte. C’est pourquoi les problèmes de composition opératoire se présentent pour le sujet en termes nouveaux, tandis que pour l’observateur ils sont immanents à toute question de quantification.

Ces considérations peuvent d’ailleurs s’appliquer à chacune des études des chapitres VII à X portant sur les compositions additives et multiplicatives. L’addition et la multiplication des classes, des relations et des nombres sont impliquées dans la construction de toute classe, de toute relation et de tout nombre : cependant, autre chose est de construire de tels éléments sans se douter des opérations que l’on met en jeu dans cette élaboration, et autre chose est, ces éléments une fois construits, de les relier les uns aux autres au moyen des mêmes opérations devenues explicites et réflexives. Dans les deux cas, les mêmes « groupements » ou les mêmes « groupes » sont en jeu, mais dans le premier, l’esprit procède du résultat à l’analyse de sa composition, tandis que dans le second, il procède de la composition synthétique elle-même à ses résultats.

Cela dit, il est aisé de comprendre pourquoi les stades de la composition sont les mêmes que ceux de la conservation comme telle ; celle-ci constituant à la fois le résultat de la composition et l’invariant rendant cette composition possible.

Au cours d’un premier stade, en effet, l’enfant ne connaît ni conservation ni composition. Les rapports perçus, plus ou moins grand, petit, haut ou bas, large ou étroit, etc., changeant lors de chaque transvasement, ne sont encore coordonnés entre eux ni opératoirement ni même intuitivement. D’où une évaluation fondée sur les seules qualités et leurs rapports simples et actuels (quantité brute), sans conservation, ni mesure, ni multiplication des rapports, ni constitution d’unités numériquement « imposables : un rapport dominant (le niveau, ou plus rarement la largeur) l’emporte sans plus sur les autres et empêche ainsi toute coordination.

Mais, grâce aux progrès de l’intuition, ces rapports perceptifs commencent tôt ou lard à se coordonner entre eux, au cours des transformations peu amples et non plus seulement dans leurs totalités globales actuelles : c’est ce début de coordination intuitive qui

caractérise le second stade. Un liquide contenu dans un récipient bas et large, versé dans un verre haut et étroit apparaît comme conservant sa quantité dès que le sujet commence à comprendre la coordination des rapports inverses (multiplication des relations haut x large). D’où, si une quantité est caractérisée de la sorte par la multiplication h_l × 1₁, la possibilité d’entrevoir le jeu d’équivalences (h₁ × 1₁) = (h₂ x k) = (h, × 1₃) fondées non pas encore sur la composition opératoire mais sur une croyance inductive. La conservation, la coordination des relations inverses et celle des relations directes débutent ainsi nécessairement en s’appuyant les unes sur les autres. Par le fait même surgissent également certaines égalités numériques, puisque les termes équivalents peuvent être comptés et mis en correspondance avec d’autres, etc., de telle sorte que l’enfant de ce niveau parviendra bien, par exemple, à comprendre que si l’on verse un grand verre A₁ dans deux petits verres E₁ et E„ ou l’inverse, on aura E₁ + E₂ = A₁. D’une manière générale, la mesure devient ainsi possible sous sa forme élémentaire de comparaison de deux termes, tant qu’il n’intervient encore aucune commune mesure ou composition non intuitive d’unités.

Seulement, tant que la coordination des relations n’est pas généralisée, il ne saurait y avoir de système rigoureux de compositions. Or, précisément, au cours du second stade, les rapports issus de transformations trop étendues demeurent incoordonnés, c’est-à-dire qu’en de tels cas le sujet conserve une confiance plus grande en la perception actuelle qu’en une règle de composition : c’est pourquoi le second stade demeure intuitif, l’intuition n’étant qu’une représentation construite au moyen de perceptions intériorisées et fixées, et n’atteint point encore le niveau de l’opération, celle-ci consistant en une composition libérée de la perception et reliant toutes les données perçues successives en un système à la fois cohérent et mobile. Comment donc expliquer le passage de cette étape intermédiaire à la composition rigoureuse et commune aux différents domaines que nous avons distingués ?

L’avènement du troisième stade ne se comprend, semble-t-il, que par la constitution de deux systèmes solidaires, le « groupement » des multiplications de relations et le « groupe » des multiplications numériques, tous deux coordonnant les opérations en jeu en une totalité fermée et réversible, l’un sur le plan qualitatif et l’autre sur celui des nombres.

Ce qui manque aux multiplications de relations asymétriques propres au deuxième stade, c’est, en effet, la possibilité de leur groupement. D’une part, l’enfant ne sait pas tirer l’équivalence (h₁ x 1₁) = (h₃ × 1₃) des deux équivalences (h₁ × 1₁) = (h₂ x 1₂) et (h₂ × 1₂) = (h₃ × 1₃). D’autre part, s’il commence à coordonner dans chacun de ces deux derniers cas les relations inverses de hauteur et de largeur, ce n’est encore qu’en gros, sans tenir compte des proportions : or, si nous faisons pour le moment abstraction des proportions d’ordre numérique pour nous en tenir à celles qui reposent sur la simple multiplication des rapports qualitatifs, il n’en est pas moins clair que l’absence du souci des proportions indique la difficulté à sérier les rapports selon deux dimensions à la fois, donc la difficulté à grouper les multiplications elles-mêmes. Au contraire, lorsqu’au troisième stade, l’enfant parvient à ordonner les niveaux de 5 ou 6 verres différents en proportion inverse de leurs largeurs et cela même sans qu’ils soient rangés sur la table en ordre progressif, il est évident qu’il témoigne ainsi de sa capacité à grouper les multiplications. En effet, le groupement des multiplications de relations n’est pas autre chose que la sériation simultanée de ces relations selon les deux ou n dimensions différentes qu’elles constituent. Dans le cas de la largeur et de la hauteur (il s’agit ici de dimensions géométriques, mais il va de soi que l’opération serait la même pour des relations de couleur, de valeur, etc. multipliées entre elles) nous avons par exemple, si a₁ ; b₃ etc. désignent les largeurs sériées du plus étroit au plus large des bocaux et a₂ ; b₂ = les niveaux sériés du plus bas au plus haut :

où a₁ + a,₁ = b₁ ; b₁ + b,₁ = c₁ etc.

et où a₂ + a,₂ = b₂ ; b₂ + b,_s = c₂ etc.

C’est ce que montre bien le cas de Fol que nous pouvons prendre comme exemple pouι∙ illustrer ce groupement des relations. Le sujet Fol se montre, en effet, capable de coordonner une suite d’égalités

que le lecteur est presque obligé de mettre sur le papier pour pouvoir les suivre : U₁ = U_a ; puis U₂ = L₂ ; L₁ = E₁ + E_a ; puis E₁ = M₁ ; d’où (E_j + M₁ = U₂) ; puis ^l∕_a U_a = M_a ; d’où (¹∕₂ U_a + M_a = M₁ + E₁) ; et si E_a = M₂, alors (¹∕₂ U₂ + E₂) = (M₁ + E₁), etc. Or, il est clair qu’en plus de l’égalisation des différences et de la constitution d’opérations d’ordre mathématique sur lesquelles nous reviendrons à l’instant, une telle coordination suppose au minimum les opérations logiques suivantes :

1° Tout d’abord l’enfant comprend que s’il n’ajoute aucun liquide lors d’un transvasement, une augmentation de niveau correspondra à une diminution de largeur et vice versa. Par exemple si le contenu U₂ comparé à une quantité nulle Q_o s’exprime par les relations ^b_t¹ ↑ a₂ et si les différences, donc les relations asymétriques entre U₂ et L₁ s’expriment par t a’₂, on a :

(Qo ½ t ^a> U₂) + (U_a ^a√ î ^a’a L₁) = (Q₀ i ↑ b₂ L₁).

Or, indépendamment de savoir s’il prévoit de façon exacte le niveau de L₁ (c’est-à-dire s’il sait égaliser les différences -∣- a’₁ et ↑ a’₂, ce qui est déjà une opération d’ordre mathématique), il est clair que l’enfant du présent niveau sait qu’en versant U₂ en L₁il aboutira à une augmentation de hauteur puisqu’il y a diminution de largeur. Inversement il sait bien que :

O↑ b₂) + !√j a’_a) = (^t a₂); etc.

D’une manière générale, résoudre en tous les cas possibles le problème IV, comme l’enfant de ce niveau y parvient aisément, c’est donc nécessairement ordonner, en réalité ou en esprit peu importe, les relations de hauteur et de largeur selon le tableau multiplicatif construit à l’instant, et cela même sans aucune valeur numérique. Du point de vue du problème IV, la suite des égalités de Fol suppose donc un groupement des multiplications de relations conforme à ce tableau.

2° En second lieu, une suite d’équivalences comme celles dont se montrent capables les enfants de ce stade (Fol, par exemple) suppose, cela va de soi, les raisonnements de la forme :

(h] 1₁ = h_a 1₂) + (h₂ 1₂ = h₃ 1₃) = (h₁ 1₁ = h₃ 1₃)

lesquels, si l’on fait abstraction de l’égalité d’ordre mathématique, se ramènent aux équivalences qualitatives résultant précisément des multiplications précédentes. La solution du problème V, qui restait inductive et intuitive au cours du second stade, implique donc aussi,

310 I.A GENÈSE DU NOMBRE

lorsqu’elle devient générale et opératoire comme c’est le cas désormais, un groupement des multiplications de relations.

En effet, si nous appelons h_l, 1₁, les différences de niveau et de largeur entre les liquides de forme h₁ 1₁ et h₂ 1₂, et h₂, 1₂’ les différences entre h₂ 1₂ et h₃ 1₃, l’enfant comprend d’emblée que :

[hι 1₁ + (h₁’ 1₁’) =’h, 1₂] + [h₂ 1₂ + (h₂, 1₂’) = h₃ 1₃J =

[h₁ 1₁ + (h₁’ Γ_l + h₂’ 1₂’) = h₃ J,]

c’est-à-dire que deux transformations successives se réduisent à une seule.

3° Bien plus, s’il parvient ainsi à tirer de deux équivalences une troisième, l’enfant du troisième stade devient par le fait même apte à généraliser. Le tournant décisif, pour la pensée, consiste à passer d’un rapport intuitif entre deux objets à un rapport opératoire entre trois, et sitôt ce dernier constitué, il peut être étendu à n objets. C’est précisément ce que montre le cas de Fol rappelé sous 1° et 2°. Soit

h₁ h + (h₂ l_x ) = h₂ 1₂

∙½ l_l + (h₂, 1₂,) - h₃ 1,

h₂ k + (h₃ 1₃ ) = h₁ 1₁

hm 1m -1- (hm’ Im’) — 11∏ ln

h₁ 1₁ + (hi’…m’ li’-.-m*) “ bn ln

ce qui constitue précisément le groupement complet des multiplications de relations asymétriques.

Mais, il est clair que le progrès marqué par ce troisième stade ne consiste pas seulement en l’achèvement des coordinations qualitatives, c’est-à-dire, dans le cas particulier, en un groupement des multiplications de relations, mais en la constitution synchronique du groupe des multiplications arithmétiques elles-mêmes, et cela grâce à ce processus d’égalisation des différences, déjà entrevu au cours des chapitres I et II, et qui permet au sujet d’arithmétiser les relations et leurs termes en un système d’unités composables entre elles.

En effet, et nous l’avons constaté dès les chap. I-II, lorsque l’enfant de ce stade admet qu’une quantité de liquide h₁ l_l se transforme selon les différences h₁’ l_l’ (par exemple une augmentation de niveau h\ et une diminution de largeur 1,₁) en une nouvelle quantité h₂ 1₂,

il admet aussi que h₂ 1₂ reste égale à la quantité initiale, soit h₂ 1₂ — h₁l₁. Or une telle égalité dépasse la composition logique h₁1₁ + h,₁1’₁= h₂ 1₂ et suppose la compréhension du fait que les différences h’_let Γ₁ se compensent et sont donc elles-mêmes égales entre elles (l’augmentation de niveau équivaut à la diminution de largeur). En d’autres termes, dans le tableau des transformations écrites à l’instant, si l’enfant reconnaît que h₁ 1₁ = h₂ 1₂ = h₃ 1₃ = h₄ 1₄, etc., il reconnaît par là-même que les différences h,₁ Γ₁ ; h,₂ Γ₂ ; h,₃ Γ₃ etc. s’annulent, cette égalisation des relations permettant la constitution de la notion d’unité.

Un tel mécanisme est bien visible dans les solutions correctes du probl. II. Lorsque l’enfant, pour comparer L₁ et G₁ verse spontanément G_l dans L₂ ou lorsque, pour comparer G et P, il met G en W₁et P en W„ c’est assurément qu’il ne se borne pas à sérier les différences entre G et L₁ ou entre G et P, mais qu’il cherche à réduire les relations de différences à des égalités, ce qui constitue le propre de la mesure. La forme la plus simple de cette égalisation consiste à verser G en L, pour le comparer à L₁ et à montrer ainsi que la diminution de largeur de G à L est bien compensée par l’augmentation de niveau entre G et L, puisque L₂ = L₁ : en ce cas, l’égalisation des différences se borne à une réduction de G à L, le second de ces deux termes servant par là-même de mesure pour le premier. Lorsque, par contre, G est versé en W₁ et P en W₂, les différences entre G et P sont annulées au moyen d’une commune mesure W, laquelle constitue ainsi une unité élémentaire, distincte des termes à comparer mais non encore composée avec elle-même par additions ou multiplications.

Avec les solutions correctes du problème III, enfin, nous assistons à l’achèvement de l’égalisation des différences sous la forme de la constitution d’unités composables additivement et multiplicativement, donc d’une commune mesure au sens général du terme. En effet, lorsque l’enfant considère les quantités G, P et D comme équivalentes parce qu’on a versé deux fois le verre E en chacun de ces bocaux, cela revient à dire que les différences h’₁ Γ₁ (entre G et P), h,₂ l’₂ (entre P et D) et h’₃ Γ₃ (entre D et G) s’annulent parce que les relations h₁ 1₁ ; h₂ 1₂ et h₃ 1₃ (lesquelles constituent elles-mêmes les différences entre G, P ou D et la quantité nulle Q_o) sont égales entre elles parce que toutes égales à 2 E. Et si les relations définissant le verre E sont h_e le, c’est-à-dire les différences entre E et Q_o, on peut dire

que h_c le constituent dorénavant une unité composable, additivement et multiplicativement. On voit ainsi que, comme nous le disions déjà au cours des chap. I et II, l’égalisation des différences conduit à la partition et à la composition des unités devenues ainsi numériques.

Si, en effet, nous appliquons cette égalisation des différences au tableau des multipliçations des relations (p. 308), nous voyons immédiatement en quoi cette opération nouvelle dont devient capable l’enfant, en même temps qu’il parvient à grouper les multiplications de relations, transforme celles-ci en multiplications arithmétiques et constitue par là-même un groupement multiplicatif d’ordre numérique.

On a constaté, par exemple, que sitôt apte à résoudre le problème VI sous sa forme P ( = E) + E — A (si A = 2 E), l’enfant du troisième stade comprend aussi que les niveaux successifs de A seront graduables en un système d’unités et de fractions selon le nombre de E versés en ce bocal : si A = 4 E alors 2 E correspondront à la moitié du niveau et 1 seul E au ¹∕₄ de 4 E ou à la ¹∕_a de 2 E ; etc. Appelons donc t a₂ le niveau de A correspondant à 1 E ; ↑ b_a le niveau de A correspondant à 2 E ; t c₂ le niveau de A correspondant à 3 E ; etc. Appelons en outre a’₂ la différence entre a₂ et b₂ ; b’₂ = la différence entre b₂ et c₂; etc. Egaliser les différences consistera donc à établir les égalités a₂ = a’₂ = b,₂ = c’₂, etc. et b₂ = 2 a,; c₂ = 3 a₂ ; d₂ = ta, etc. Or on voit d’emblée en quoi une telle composition des relations diffère de la simple sériation qualitative : en cette dernière, les différences a’₂ ; b’₂ ; etc. ne sont pas comparables entre elles, puisque l’on sait seulement que b₂ > a₂ ; que c_a > b₂ etc. ; au contraire, il suffît de considérer les différences a,₂ ; b,₂ ; c,₂ etc. comme égales pour les transformer en unités numériques. Si l’on effectue les mêmes opérations sur les largeurs etc., alors le groupement des mul

tiplications de la relation (mis en tableau à la p. 308) aboutit ipso /acto au groupe des multiplications numériques elles-mêmes, l’équivalence générale des relations élémentaires transformant celles-ci en autant d’unités. C’est ce que comprend précisément l’enfant du troisième stade en ce qui concerne le probl. VI (voir au § 3, les commentaires des second et troisième stades).

En effet, il est clair que les sujets de ce troisième niveau conçoivent les questions III, V et VI comme des problèmes d’ordre multiplicatif. Lorsque, dans le cas du problème VI, le sujet San déclare que pour (P + L -f- A) il faut verser « quatre fois » le verre L « parce que

dans (A) il y a deux fois », il n’y a là qu’un exemple particulièrement explicite du processus que l’on retrouve en toute mesure, l’idée même de commune mesure reposant sur celle d’équivalence mul- t iplicative.

Nous retrouvons ainsi, en définitive, ce qui a été établi en conclusion du chap. IX. Tandis que la multiplication des classes et celle des relations constituent deux opérations bien distinctes, qui consistent à mettre en correspondance, l’une, des termes qualitativement équivalents entre eux et l’autre, des relations asymétriques ( = de différences) entre ternies non équivalents, il suffit d’égaliser ces différences pour introduire l’équivalence entre les termes eux-mêmes de ces relations, et pour fusionner ainsi la multiplication des relations et celle des classes en un seul tout opératoire qui n’est autre que la multiplication des nombres. Une fois de plus, par conséquent, le nombre apparaît comme la synthèse de la classe et de la relation asymétrique ou, ce qui revient au même, de la relation symétrique (égalité) et des différences (relations asymétriques). Telle est ainsi la conclusion générale que les études qui précèdent nous ont permis de vérifier sur tous les points sur lesquels nous avons abordé l’analyse du nombre.