Chapitre V.
L’équilibre de trois poids en présentation horizontale ^a 🔗

Le dispositif utilisé se présente sous la forme d’une planche carrée que l’on pose sur une chaise en laissant pendre les poids. Au milieu de trois des côtés se trouvent des poulies, sur lesquelles sont posés trois fils de pêche de longueurs égales attachés ensemble à l’une de leurs extrémités en un point de la planche, les extrémités libres pendant en dehors et se terminant par des

boucles auxquelles on suspend des poids. Pour concrétiser le point de concours des forces, on fixe une allumette A à la jonction des fils.

On met directement l’enfant en présence d’une composition de trois forces égales (fil 1) :

1) Après avoir fait décrire le matériel, on demande d’expliquer pourquoi l’allumette A occupe cette position, pourquoi les fils sont ainsi disposés et si cela pourrait être autrement étant donné les poids et leur situation.

2) Par une traction exercée à la main sur le point de concours, on déplace l’allumette en modifiant ainsi la configuration et on demande à l’enfant (a) si l’allumette va rester à sa nouvelle place si on lâche et (b après ou avant l’essai selon la prévision) pourquoi elle reprend sa position initiale.

3) On fait ensuite anticiper et justifier le déplacement de A pour la variation de l’une des composantes (pour faciliter la symétrie, on a souvent évité de modifier P3, l’enfant étant placé en face de la chaise). Après constatation, on demande comment obtenir le retour à la configuration initiale sans enlever le plot ajouté.

4) Mêmes questions pour une variation identique de deux composantes.

5) Idem pour des variations différentes de trois composantes. Pour faire marquer les directions, on se sert de petites tiges fines et colorées.

Bien d’autres problèmes auraient pu être soulevés, mais nous nous en sommes d’abord tenus à ceux-là. Il est à noter qu’en mettant l’accent sur les poids, nous avons intentionnellement évité les questions sur l’aspect de direction des forces, cela pour pouvoir établir quand et sous quelles formes elles sont soulevées spontanément par les sujets.

Cela dit, les niveaux observés ont été les suivants. En un premier stade (5 ans et un ou deux cas de 6 ans), le sujet ne prévoit pas qu’en ajoutant un poids d’un côté il attire l’allumette dans sa direction (question 3), tout en le comprenant d’emblée après constatation. A un niveau IIA (6 1/2-7 ans avec un ou deux cas de retard à 8 et 9 ans), le sujet résout la question 3 mais échoue à prévoir la solution de la question 4 (deux

poids supérieurs égaux avec avance de l’allumette selon la médiane de l’angle qu’ils font). Au niveau IIB qui suit de près le dernier (8-9 ans avec certains cas précoces dès 5-7 ans et de nombreux résidus à 10-12 ans), cette question est résolue mais pas celle des trois poids inégaux (question 5). Au stade III (11-12 ans), celle-ci est comprise.

Sur 30 sujets, nous trouvons la répartition suivante (en % par âges) :

5-6 ans

6 112-7 ans

8-9 ans

10-12 ans

I

75

12

0

0

IIA

12

50

28

0

IIB

12

37

71

66

III

0

0

0

33

Il y a ainsi évolution nette avec l’âge, les trois stades I, II et III étant nettement dissocies et les deux niveaux IIA. et IIB clairement voisins.

Voici quelques exemples :

San (5 ;1) : « Où est l’allumette ? — Là. —   Elle pourrait être ailleurs ? — Oui si on met du fil. — Si je tire ici (F3) et que je lâche, qu’est-ce qu’elle va faire ? — … — Elle va rester où je la tire ou revenir à sa place ? — Elle va rester. —   Elle va rester là ? — Non, elle va de nouveau aller à sa place. — Pourquoi ? — Parce qu’on la lâche. — Les plots font quelque chose à l’allumette ? — Non. — Si l’allumette était un petit bonhomme il sentirait les plots ? — Non. — Si j’ajoute un poids ici (P2), qu’est-ce qui va se passer ? — … — Elle va rester au milieu ? — Oui. — Elle ne va pas bouger ? — Oui, elle va bouger. — Comment ? — En avant, comme ça (dans le prolongement de F3 en sens inverse de P3). — Regarde (exp.). — Elle a bougé. —   Pourquoi ? — … — Qu’est-ce qu’on a fait ? — On a mis un plot. — Et pour qu’elle retourne au milieu ? — Il faut enlever le plot. —   Et si je mets un plot de plus ici (P3). — Elle va bouger comme ça (vers PI). — Pourquoi ? — Je sais pas. — Et si je mets un plot de plus ici et là (P2 et P3) elle ira où ? — Sais pas. — Mais tu te rappelles qu’en mettant un plot ici (P2) elle est allée là (vers P2). — Elle va bouger là (P2) puis là (P3). — L’un après l’autre ? — Oui. — Regarde (ex.). — Elle est allée là (milieu). — Pourquoi ? — Parce qu’on a mis les plots. — Pourquoi ça n’a pas fait ça (vers P2) et ça (vers P3) ? — Parce qu’on a bougé les roues (poulies). — Les plots font quelque chose ? — Non. — Et si je rajoute un plot ici (PI) et là (P3) ? — Elle va aller là (entre PI et P2) et puis là (direction P3). — Pourquoi 1 — … »

Sou (5 ;5) : « Si je tire sur cette ficelle et que je lâche, l’allumette va rester ici ou revenir où elle était ? — Elle va venir où elle était parce que quand on prend les ficelles et qu’on les lâche elles vont où elles étaient. — Regarde (exp.). — Oui. — Pourquoi elle revient ? — Parce que l’allumette était trop lourde. — Si j’ajoute le plot ici (à P2), l’allumette va bouger ? — Non. — Regarde (exp.). — Oui, parce que ces deux plots (= P2) c’était trop lourd. — Et pour qu’elle revienne au milieu ? — Il faut l’enlever. — (On le fait). — Et si j’ajoute un plot ici (P3) ? — Ça vient vers là (P3). — Pourquoi ? — Parce que ici (P3), ça tire l’allumette. — Et si je mets ici (P2) ? •— Ça tire aussi, l’allumette vient ici (P2). — Et si j’ajoute là et là (P2 et P3) ? — Ça va presque tomber, parce que ça vient trop lourd ça va un peu bouger (indique que les fils vont bouger en PI et P2 puis en PI). — Et l’allumette ? — Ça va tomber ici (P3). » On le fait et l’on note le mouvement des fils ; on enlève les poids ajoutés et on demande où ira l’allumette si on les remet en P2 et P3. Il répond : « L’allumette ira ici (PI). — Regarde (exp.). — Ça tire ici. — Et si je mets un plot à (PI) en laissant ceux-là, l’allumette va aller où ? — Un peu comme ça (le long de Fl). — Elle ira où elle était avant ? — Non. — Regarde (exp.). — Elle est allée là ! (Milieu). — Pourquoi ? — Parce qu’on a mis encore un plot ici (PI). — Et si je mets 3 plots à (PI et P3) ? — Elle ira un peu ici (P3). »

Der (5 ;6) : « Où est l’allumette ? — Au milieu. ■— Pourquoi ? — Parce que, autrement, ça jouerait pas. — Si je tire ici (F3 de quelques centimètres) et que je lâche, ça fera quoi ? — ■ C’est élastique, elle va monter (montre un rebondissement). — Elle va rester à cette place ou retourner là où elle était avant ? — Oui elle reste à sa place (= là où on la tire). » — (Démonstration) : on tire F3 et on lâche : « Pourquoi ça a bougé ? — Parce que ça (F3) ça a fait. —   Fait quoi ? — … — Et les plots font quelque chose ? — Ils font du poids, ça fait monter et descendre. Si on met pas (P3), ceux-là (PI et 2) ça descend. — Ils font quelque chose à l’allumette ? ■— Ils lui serrent et puis aussi du poids. — Si j’ajoute un poids ici (P2), ça fait quoi ? — Il descend. — Et l’allumette ? — Elle va dans un autre coin. — • Où ? — ■ Là, ou là (gestes vagues). — Tu peux me montrer exactement ? — Là (dans le prolongement de P3 mais en sens inverse) puis là (direction de PI). — Pourquoi ? — Parce que si vous mettez un plot là (PI) elle va là (direction PI) et si vous mettez là (P2) elle va là (direction P2). — Alors le chemin juste ? — Là (P2). — • Et si je mets un poids de plus ici et là (P2 et P3) ? — Ça va aller là (entre PI et P2) parce que la ficelle va faire comme ça (remonter entre PI et P2). — Et l’allumette ? — Elle ira là (P2). »

Man (6 ;0) : « Le bonhomme doit être au milieu, sinon ça va pas. — Si je rajoute un plot ici (P3) ? — Ça sera trop grand (= F3 s’allongera). — Le bonhomme va bouger ? — Non. — Regarde (exp.). — Il a bougé. Il devait rester au milieu et il est parti. — Et quand j’enlève le plot ? — Il revient en place (on le fait). — Si je mets 2 plots ici (P2) ? — Il va venir dans ce sens (P2). — Pourquoi ? — Le plot il tire. — (On le place). — Et maintenant (repos), il est toujours tiré le bonhomme ? — Non. — Et les autres plots ils tirent sur le bonhomme ? — Non. -— Alors pourquoi il est là ? — … — (On tire sur les fils un à un). — Si je lâche il va où ? — Au milieu. —   (On lâche).

— Pourquoi il n’est pas allé au milieu ? — Parce que vous avez laissé le plot (en P2). — Qu’est-ce que ça a fait ? — Ça Va (= l’avait) retiré. » Deux plots en P2 et P3 : « Ça fera ? — Je sais pas. — Ça va le tirer ? — Oui. — Où ? — Ici (P3). — (On le fait). — Où est-il ? — Ici (indique bien entre les deux). — (On tire une ficelle). — Si je lâche il ira où ? — Au milieu (de la planche et non pas entre P2 et P3). — (On le fait et après constatation on recommence). — Il ira où ? — Là (vers P3). — Tu te souviens où il était ? — Oui (montre entre deux). — Et maintenant si j’enlève les 2 plots (suppléments à P2 et à P3) il ira où ? — Ici (montre cette fois entre deux !). »

Le propre de ces sujets est ainsi de ne pas prévoir que si l’on ajoute un poids dans l’une des directions, l’allumette sera de ce fait entraînée dans ce sens. Cette réaction va de pair avec tout ce que nous savons de la notion de poids entre 4 et 6 ans et cela souvent même dans les situations où deux poids seuls sont en présence : le poids est une force polyvalente mais sans direction déterminée.

Il est vrai qu’à la question 2 de savoir si l’allumette reprendra sa position lorsqu’on lâche le fil qu’on a momentanément tiré, la majorité de ces sujets l’affirme, tandis que San (au début) et Dar le nient, comme si les poids ne rétabliraient pas la situation de départ. Mais ceux qui l’affirment ne pensent pas davantage au poids : Sou estime que c’est aux fils à reprendre leur place et Man déclare simplement que le bonhomme « doit être au milieu », au point qu’il ne bougera pas si l’on ajoute un poids d’un côté.

Quant à la question 3, on constate que ces sujets commencent tous par ne pas prévoir que l’allumette sera tirée du côté du poids que l’on ajoute, tout en comprenant rapidement, sauf San, le pourquoi de cet entraînement dès qu’il est constaté et en utilisant cette information dans la suite. On pourrait, il est vrai, se demander si la présence de trois poids ne complique pas le problème pour les sujets de cet âge. Bien sûr, mais en quel sens ? Ce n’est nullement que ces trois plots leur font oublier qu’un poids est capable de tirer, puisqu’ils raisonnent aussitôt de cette manière (« Ça tire l’allumette », disent Son et Man) une fois le fait constaté : c’est bien plutôt parce que, en l’absence de toute quantification, ils conçoivent le poids comme apte à toutes les actions : repousser (comme l’eau dont le niveau s’élève dans un verre à cause du poids du corps qu’on immerge), propulser (une boule lourde contre une autre), retenir, tirer, etc. Il n’y a donc pas de raison pour qu’un poids ajouté en P2 ne

renvoie pas l’allumette en sens inverse de P3 puis vers PI (comme le dit Dar avant d’admettre qu’il l’attirera vers lui), ou même pas de raison pour que l’allumette bouge : Son dit, en effet, qu’elle est « trop lourde », ce qui ne signifie nullement qu’il lui attribue le même poids qu’aux plots suspendus mais qu’il lui prête le pouvoir de bien se retenir, ce qui est précisément l’un des multiples attributs du poids. Pour Man, de même le « bonhomme » ne va pas bouger si l’on ajoute un plot en P3 : et pourtant elle voit bien que le fil va s’allonger (devenir « trop grand » — très grand) et elle dit bien ensuite que le plot a tiré, mais ce n’est pas une raison pour que l’allumette se déplace si elle « doit être au milieu » et y rester.

On note, en outre, la réaction intéressante de Man qui ne pense pas que l’action du poids surajouté puisse durer si l’on manipule les fils entre deux : lorsqu’on les lâchera (sans avoir naturellement touché aux poids, le poids P2 étant donc resté plus grand que les autres), elle pense que l’allumette retournera au milieu, comme si, ayant été « tirée » un moment par P2, cette action n’allait pas se reproduire une fois les fils remis en place.

Les réactions à la question 4 (deux poids égaux rajoutés, le premier à l’un des P, le second à un autre) sont tout aussi instructives. San, pour un poids rajouté à P2 et un autre à P3, pense que l’allumette va aller successivement de l’un à l’autre, ce qui n’est pas absurde si l’on admet, comme chacun de ces sujets (et comme le dit Man explicitement), qu’un poids agit seulement lorsqu’il y a mouvement et qu’il ne « tire » plus à l’état immobile : en ce cas, l’action de deux poids est assurément plus claire s’ils agissent l’un après l’autre, car leur action simultanée laisse également les composantes invisibles. Pour d’autres sujets, l’allumette ira donc soit vers l’un des deux poids, soit vers l’autre sans tenir compte de leur dualité d’actions. C’est même le cas de Sou qui s’attend pourtant à ce que tous les fils se déplacent si l’on ajoute deux poids. Après quoi, et c’est la troisième des solutions observées, il indique une direction étrangère à celles des deux poids surajoutés. Dar a l’intuition qu’en rajoutant des poids à P2 et P3, la direction ne saurait être simplement l’une des deux, indique d’abord entre PI et P2 parce qu’il pressent aussi que tous les fils vont remuer, puis se rallie à la solution de P2 seul.

Ajoutons enfin qu’aucun de ces sujets n’a pu répondre à la question 1 (explication de l’état initial), sinon par une simple description de l’allumette qui « tient les fils », etc., et qu’aucun ne comprend qu’en rajoutant des poids égaux à PI, P2 et P3 on retrouvera cet état initial avec l’allumette au milieu (cf. la fin de l’interrogation de Sou). Cela va d’ailleurs de soi en l’absence de toute quantification du poids.

Le critère du niveau IIA est, comme on l’a vu, la réussite immédiate à la question 3 (adjonction d’un poids) et l’échec à la question 4 (adjonction de deux poids égaux en deux directions différentes). L’âge moyen est de 7 ans. Voici des exemples à débuter par deux cas intermédiaires de 5 et 6 ans :

Ala (5 ;2) : « Où est l’allumette ? — Au milieu. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a 3 machins et on doit les mettre comme ça. •— Elle pourrait être ailleurs ? — Oui. » Question 2 : « Oui, elle revient, parce qu’on la lâche. — (Exp.). — Oui, elle revient comme avant. — Pourquoi ? — Parce que (montre P3) c’est lourd. » Question 3 : « Si j’ajoute un poids à P2 ? — Elle va venir là (mais ne décide pas où, geste vague). — Et si j’en mets un de plus là (P3) ? — Elle va bouger, elle va venir là (poulie de P3). — Pourquoi ? — Parce qu’un plot est attaché là. — Et si je le mets à P2 ? — Elle vient comme ça (P2). — Pourquoi ? •— Parce qu’on tire l’autre (P2), on bouge ce petit plot. » Question 4 : « Si j’ajoute ici et ici (P2 et P3) ? — Elle va rester comme ça (au milieu de la planche). — Pourquoi ? — Parce qu’il y a 2 plots. — Ça fait quelque chose d’avoir rajouté ? — Non. Si on bouge, oui. —   Regarde (exp.). — Il y a celui-là (P3) qui a fait monter celui-là (P2). — Et si j’ajoute à (PI et P3) ? — Elle va faire comme avant, comme ça (entre P2 et P3) ou comme ça (entre PI et P3). •— ■ Pourquoi ? — Parce que c’est celui-là (PI) qui a tiré. — Et (P3) il fait quelque chose ? ■— Non. — Pourquoi (PI) a tiré ? — Parce qu’il est plus lourd (ils sont égaux !). — Et je mets encore un au troisième (P2) ? — Il va rester comme ça… mais il y a celui-là (P2) qui va tirer l’allumette et elle revient au milieu, parce qu’il y a 2 plots aux 3 là (PI, P2 et P3). » Question 5 (+ 1 en PI, 2 en P2 et -|- 3 en P3) : « Il y aura celui-là (P3) qui tire plus. — Et les autres ? — Les autres ne tirent pas. — Alors ? — Elle va aller là (vers P3). — Regarde (exp.). — Non (il montre le chemin et le resserrement des fils Fl et F2). — Et comme ça (+ 4 à PI, + 3 à P2 et + 1 à P3) ? — C’est celui-là (PI) qui va faire venir (indique une direction proche, assez juste). — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a 4. —   Elle ne va pas aller comme ça (P4) ? — • Oui, comme ça (cède à la suggestion). »

Cor (6 ;0). Question 2 : « Elle va rester (où on l’a tirée) », puis après essai : « Elle va revenir si on lâche. » Question 3 : + 1 en P2 : « Elle va se mettre ici (près de P2 mais avec écart)… non, elle va se mettre ici (direction P2).

— Pourquoi ? — Parce que ça fera lourd. » Puis généralisations. Question 4 : + 1 en P2 et + 1 en P3 : « Elle va rester en place. — Si je mets seulement 1 en (P2) ? — Elle va se mettre ici (vers P2). — Et en (P3) ? — Ici (vers P3). — Et si (+ 1 en P2 et en P3) ? — • Elle restera en place. — Pourquoi ? — Si par exemple il y en avait un (garçon) qui me tirait ici (gauche) et un là (droite), je resterais au milieu. — Regarde (exp.) — Elle s’est déplacée. » Pour + 1 en PI et -|- 1 en P3 : « Elle va bouger (montre à peu près la médiane). — Et si je mets + 1 partout ? — Elle restera au milieu… Faudrait voir, peut-être là, là ou là (les 3 P). — Alors ? — ■ Elle restera sûrement au milieu, parce que les trois ils tendront, ils feront lourd. » Question 5 : + 1, + 2 et + 3 en P3 : « Je sais pas. Vers (P3). »

Jos (6 ;6). Question 3 (+ 1 à P2) : « Ce sera plus lourd, ça ira un peu là (vers P2). » Question 4 (+ 1 à P2 et + 1 à P3) : « Elle pourrait aller vers (P2) ou vers (P3), mais je ne sais pas lequel il faut montrer. — Qu’est-ce que tu crois ? — -Je crois que c’est vers (P2). — Pourquoi ? — Elle pourrait aller là (P2) et puis là (P3), alors la route irait d’abord là (P2) et puis là (P3). — Regarde (exp.). — Elle est allée là parce que c’est les plots qui ont tiré (ensemble). — Ils tirent encore maintenant ? — Non. — Et si j’en rajoute ? — Elle irait jusqu’au bord ici (médiane). — Et maintenant comme ça (+ 1 à PI et + 1 à P3) ? — Elle va se tirer ici (PI). — Pourquoi ? — Parce que là (P3) elle a déjà été, elle a déjà fait son tour, alors c’est là (PI) qu’elle va aller. » Question 5 (+ 1 à PI, -|- 2 à P2 et + 3 à P3) ? : « Elle va faire ça (vers P3) parce qu’il y en a plus là. » « Et (+ 4 à PI, + 3 à P2 et + 1 à P3) ? — Elle va aller ici (PI) parce que avant il y en avait, etc., alors cette fois elle doit aller à (PI). »

Man (7 ;4). Questions 1 et 2 : L’allumette ne pourrait pas être ailleurs et si on tire puis lâche un fil « elle va revenir parce qu’il y a du poids ici (P3) ». Si on ajoute + 1 à P2 « elle viendra un peu là (vers P2) parce qu’il y a plus de poids », quand même les autres « tirent un peu ». Pour que l’allumette revienne au milieu « il faudrait l’arrêter. — On pourrait faire autre chose ? — Rajouter (+1) ici et ici (PI et P3), il y aurait la même chose (partout), alors elle reviendrait au milieu ». Mais pour 4- 1 à P2 et P3 (question 4), Man prévoit : « Ça va aller là (vers P2). — Pourquoi ? — … (hésitation) ça reste au milieu (de la planche)… Ça peut aller des deux côtés, là (P2) ou là (P3). — Elle pourra aller ici (PI) ? — Non, il y a moins de poids. — Et ici (P2 et P3) ? — Le même poids. — Alors ? — Elle reste au milieu (de la planche). — Regarde (exp.). C’est comme tu pensais ? — Non, elle est partie à peu près au milieu des deux parce qu’il y avait le même poids. —   Et si j’ajoute encore (P2 et P3) ? — Ça ira plus ici. — Et encore ? — Jusque-là… non parce que (PI) devrait venir jusqu’à la roue (sa poulie). — Que font (P2 et P3) ? — Ils la tirent. — Et PI ? — Non. » Question 5 : + 1 à PI, + 4 à P2 et + 3 à P3 : « Elle viendra vers (P2) parce qu’il y a plus de poids. — Et les autres ? — -Ça tirera quand même un peu pour qu’elle s’arrête. — Regarde (exp.). — Ça tire des deux côtés un peu. — Et PI ? •— Quand même un petit peu. »

Oli (7 ;6). Question 3 (+ 1 en P2) : « Ça tirera de ce côté parce que ça sera plus lourd. » Question 4 (+ 1 en PI et P2) : « L’allumette va rester là

(en A = milieu de la planche) parce que c’est égaux les deux. — Et si j’ajoute (+ 2 en PI et P2) ? — Ça va rester là. Ils vont tirer mais l’allumette restera parce que les poids sont égaux. — Regarde (exp.). — C’est devenu droit (F2 et F3 écartés). — Et pourquoi ? — Parce que là (PI) il y avait pas assez de poids pour continuer. » Question 5 : + 1 à P3, + 2 à PI et + 3 à P3 : « Elle ira un peu dans le sens (P2) et un peu dans le sens (PI) » : il dessine un trajet rectiligne vers P2 (mais avec léger écart) et faisant ensuite un tournant vers PI donc deux segments successifs avec près de 90° d’angle.

Cat (8 ;0). Question 4 : L’allumette reste au milieu : « Elle ne va pas bouger ? — Non, c’est seulement le fil qui se tire un peu des deux côtés. »

Pas (9 ;4). Question 3 : « Elle vient de ce côté, comme ça, parce que c’est plus lourd. — Et (-|- 1 à P2 et -|- 1 à P3 : question 4) ? — Elle va bouger, non elle va rester à sa place. —   Pourquoi ? — Parce qu’il n’y a pas de plot ici (PI). — Et si j’en mets partout ? — Ça resterait aussi. — Et si je n’en mets un qu’à (P2 et P3) ? — Ça restera parce qu’il y en a un qui n’a pas de plot. — Regarde (exp.). — C’est venu, parce qu’en (PI) il n’y a pas de plot et les autres sont plus lourds. — Pourquoi pas vers (P2) ou vers (P3) ? Parce qu’ici (PI) il n’y a pas de plot, c’est léger. » Quant à la question 5, elle est près de la solution, mais le poids le plus lourd « entraîne » et « fait aller » les autres, tandis que ceux-ci « laissent venir ».

Le progrès marqué par ce niveau est que dorénavant le poids ne fait plus que tirer et non plus repousser dans la situation de notre dispositif : la question 3 est donc résolue d’emblée par anticipation, l’enfant prévoyant bien que si l’on rajoute un poids d’un seul côté l’allumette sera entraînée dans cette direction. Dans le cas de deux poids (question 4) rajoutés chacun à un P, les sujets comprennent alors sans difficulté qu’ils vont tirer l’un et l’autre en des sens différents, ce qui devrait leur permettre de résoudre qualitativement ce problème élémentaire de parallélogramme des forces. Mais faute de tenir compte des directions, bien qu’ils sachent les considérer dans le cas simple d’une seule force supplémentaire, ils commencent par croire que l’allumette ne bougera pas, et la petite Cor (à 6 ;0) en donne une illustration concrète en disant que si elle est elle-même tirée par deux garçons, l’un à sa gauche et l’autre à sa droite, elle restera immobile. Cette absence de souci des directions (puisque les deux P qui agissent ne font pas une droite avec l’allumette mais un angle) est encore manifeste chez Cat à 8 ;0, qui croit que les fils seuls remuent mais pas l’allumette et chez Pas à 9 ;4 qui fait intervenir de façon contradictoire le poids non modifié.

Lorsque le sujet comprend, dans cette question 4, que l’allumette va se déplacer, il pose alors le problème en termes de choix et non pas de composition, comme s’il s’agissait d’un âne plus décidé que celui de Buridan : l’allumette va aller d’un côté ou de l’autre et non pas en fonction des deux poids simultanément. Ou bien donc il y a choix, et il reste arbitraire, ou bien il y a recherche non pas de composition mais de conciliation et l’enfant recourt alors à une succession temporelle ou spatio- temporelle : pour Jos à 6 ;0 l’allumette se dirige d’abord vers l’un des poids et ensuite vers l’autre, et pour Oli à 7 ;6 il n’y a qu’un trajet mais avec un tournant, passant du milieu de la planche vers le premier poids et se dirigeant de là vers le second.

Cette absence remarquable de composition est due à un caractère déjà mentionné de la force à un niveau de développement : une force n’existe que si elle est en mouvement (ce qu’un sujet vu ailleurs appelait de façon frappante le « poids moteur ») donc si le poids tire à lui l’allumette de façon visible, sinon il ne fait rien (voir Ala et Man). Or, dans une composition de l’action de deux poids, aucun des deux ne tire à lui de façon perceptible, puisqu’il y a équilibre cinétique au cours de leurs actions simultanées : c’est donc comme s’ils étaient immobiles en un équilibre statique et par conséquent ils ne « font rien ». Même en présence des faits, donc en constatant, pour + 1 à P1 et P3, que l’allumette s’engage le long de la médiane de l’angle et non pas vers P1, Ala conclut que c’est PI « qui a tiré » et il le postule de ce fait « plus lourd », alors qu’il sait bien qu’on a rajouté les mêmes poids.

Ce stade est celui de la solution du cas simple (médiane) de la composition quant à leur direction de deux forces égales faisant un angle :

Jac (5 ;5). Question 1 : « Pourquoi cette allumette est là ? — Sais pas. — Que faire pour qu’elle aille ailleurs ? — Il faudrait pousser ça (P2) un peu », tirer un peu sur Fl, etc. Question 2 : elle va retourner « au milieu ». Question 3 (+ 1 à P1) : « Ça ira comme ça (direction juste) parce que ça sera plus lourd. » Question 4 (+ 1 à P1 et P2) : « Je ne sais pas… elle va aller là (médiane). — Pourquoi ? — Parce que là c’est plus lourd et là aussi. — Alors ça tire comment ? — Ici (médiane) parce que ces deux fils ça tire. »

Question 5 (+ 1 à PI, + 2 à P2 et + 3 à P3) : à nouveau « Comme ça (médiane) » (entre P2 et P3). — Regarde (exp.). C’est ce que tu pensais ? — Non, c’est allé comme ça (oblique), parce qu’il y avait plus ici (P3) », mais généralise ensuite.

Cla (6 ans). Question 3 : « Jusque-là (direction médiane !) parce que c’est l’autre (P2) qui le fera, il donnera plus de poids. — Et (+ 1 à P2 et P3 : question 4) ? — Ça fera comme ça (médiane) parce qu’il y a deux côtés de poids. — Pourquoi ? — Parce qu’il y en a pas un mais deux. — Et si on ajoute encore ? — Jusque-là (même direction, plus loin). » Question 5 (+ 3 à P3, + 2 et + 1 aux autres) : « Elle ira là (P3) parce qu’il y a plus de poids. — Et les autres ? — Non, ils ne font rien. »

Tho (7 ;0). Question 3 : « Elle va aller un peu par là (PI = juste), parce que s’il y en a deux (poids), ça tire alors ça fait avancer ces deux fils (F2 et F3). — Et si j’ajoute un plot à (P2) et (P3) (question 4) : « C’est ces « deux (F2 et F3) qui tirent, alors ça va un peu en avant (Fl tiré vers l’in- « térieur de la planche : juste). — Et l’allumette ? — Aussi en avant « (médiane). — Et pour la faire revenir au milieu ? — En rajouter (un « poids) là (PI), parce que si on met tous les trois elle reste au milieu. » » Question 5 : « Un peu par là (indéterminé). — Mais où ? — Un peu là ou un peu là (autour du poids le plus fort, mais d’un côté ou de l’autre). »

Bar (8 ;10). Question 3 : « Un tout petit peu dans cette direction (juste) parce que ça fait plus lourd. — Et (+ 1 à PI et P3 : question 4) ? — Je crois qu’elle se déplacera comme ça (médiane). — Pourquoi ? — Parce que ces deux poids sont égaux. » Il montre correctement la direction des deux fils Fl et F3 et l’allongement en F2. Question 5 (+ 1, -|- 2 et + 3) : il indique la médiane entre les deux fils correspondant à + 2 et -|- 3, puis après expérience dit que « ce poids (+2) est moins lourd que celui-là (-(- 3). Mais ça tire quand même ». Mais pour -|- 4 en PI, 2 en P2 et -|- 1 en PI, il prévoit la direction PI « parce que là ça fait plus lourd », comme si P2 et PI n’agissaient plus.

Dor (9 ;3). Question 3 : « Ça tendra encore les fils, puis ils se tourneront de ce côté. —   Et l’allumette ? — Elle va venir ici (juste). — Et si j’ajoute (+ 1 en PI et P3 : question 4) ? •— Un peu comme ça (médiane). — Pourquoi ? — Parce que ça tire sur ce fil (F2) et ça fait avancer en bas. —   Mais pourquoi comme ça ? — Parce que (F2) retient (F3) et (F3) retient (Fl) » : Dor comprend donc bien la réciprocité, mais pour la question 5, il prévoit la direction du poids le plus lourd. « Et les autres ils ne font rien ? — Ils vont essayer de la retenir. — Que fait PI (+ 2 contre + 3 en P2 et + 1 en P3) ? — Il essaie de retenir l’allumette. — Et P3 ? — Il est léger, il essaie de retenir mais moins. »

Pro (10 ;3). Question 3 : juste « parce que plus de poids ça fait plus de tension ». Question 4 : « Le fil va se tendre pour devenir droit (entre les deux poids ajoutés) et l’allumette sera ici (médiane). — Pourquoi ? — Parce qu’il

y aura du poids à (P2) et (P3) et là moins (PI). — Mais il tire aussi (PI) ? — Un tout petit peu, ça fait que l’allumette reste en stabilité. » Mais malgré ces bons raisonnements, la question 5 donne lieu à un retour aux successions temporelles : pour + 3 à PI, + 2 à P2 et -f- 4 à P3 « elle va venir un peu vers (P4), non ici (entre PI et P3). — Comment ? — Elle avancera du côté de (P3) d’abord, puis un peu ici ».

Dra (10 ;9). Question 4 : solution immédiate « parce que c’est le centre de ces deux poulies jusqu’à la fin de la planche » donc la médiane. Pour la question 5, même solution (médiane entre + 2 et 4 3), puis « ah non, elle viendra comme ça, de ce côté (juste : 4“ 3), oh non elle restera au milieu (de la planche) parce que 3 j- 3 --= + 1 2. —   Regarde (exp.). — Ah non

elle s’est déplacée pas tout à fait au centre. — Pourquoi ? — Parce que les deux poids (+ 2 et + 3) sont plus que ce poids (4- 1)- — Que font ces plots, ils tirent ? — Ces deux (+ 2 et + 3) oui. — Et l’autre (4- 1) ? — R se laisse tirer ».

On voit que la question 3 donne lieu à des solutions immédiates, qui, dès 8 ans, se justifient par l’égalité des poids et chez Dor par une expression spontanée de la réciprocité entre eux. Mais dès que l’on passe chez les mêmes sujets de cette question à celle des trois poids inégaux, on voit réapparaître par un décalage remarquable les notions préopératoires du poids qui, au niveau IIA, s’appliquaient au problème 2 et qui, à ce niveau, sont éliminées dans la solution de la question 3. Par exemple Pro, à 10 ans encore, fait intervenir des successions temporelles, l’action du plus grand poids agissant d’abord et ensuite celui du second. Dra, à 10 ans également, nie la réciprocité entre « tirer » et « se faire tirer », comme nous l’avons vu au chapitre IV pour les trois poids en présentation verticale. Bar et bien d’autres, qui prévoient la position médiane à la question 3 à cause de l’égalité, raisonnent, lorsqu’il y a trois poids, ou comme s’il s’agissait encore de médiane ou comme si le plus fort attire l’allumette à lui seul : dans le premier de ces cas, l’un des poids n’est donc censé plus tirer, et dans le second deux sont considérés comme ayant une action nulle. Bref, il suffit de passer de l’égalité de deux poids à l’inégalité de trois pour que l’on voit réapparaître les notions de la non-action des poids à traction invisible, de la non-réciprocité des tractions et même des successions temporelles d’actions à effets différents, bref un retour du synchronique au diachronique.

La question 5 des trois poids inégaux est résolue sur le même principe que les précédentes :

Myr (11 ;4). Question 4 : « L’allumette va venir ici (médiane) parce que c’est 2 plots qui sont doublés. — Alors ? — Ça retire parce qu’ils descendent », etc. Question 5 : + 1 à PI, + 3 à P2 et + 2 à P3 : « Ça ira comme ça (près de P3), non plutôt comme ça (près de P2 les deux fois entre P2 et P3). — Pourquoi ? — Parce que là (P2) il y a plus de poids, alors ça tire en arrière. — Et si on mettait 3 plots partout ? — Ça resterait au milieu parce que c’est le même poids de chaque côté alors ça ne peut pas bouger. — Qu’est-ce qu’ils font sur l’allumette ? — Ça la tire. — En ce moment (immobile) ça (P3) ça tire ? — Oui, mais les deux autres aussi. Ils restent en place. »

Wen (12 ;0). Question 2 : « Ils tirent tous avec la même force, alors elle est obligée de rester où elle est. » Question 3 : « J’ai regardé là (entre les deux poids augmentés), et j’ai partagé cette partie en deux ; l’allumette sera toujours vers le milieu (= la médiane) là où il y a le plus de poids (= le maximum de traction des deux côtés). » Question 5 (4- 3 en PI, 4- 1 en P2 et + 2 en P3) : « Elle va se diriger comme ça (entre PI et P3 mais près de PI) parce que c’est là qu’il y a le plus de poids. — Pas au milieu ? — Non. — Regarde (exp.). — Oui. — Que font les poids ? — Ils dirigent l’allumette, ils tirent et ils freinent : celui-là (PI) tire, celui-là (P2) freine et celui-là (P3), il freine et il tire. — Et PI on ne peut pas dire qu’il freine ? — Oui. —   Quoi ? — Les deux autres. — Tous freinent et tirent ? — Oui. »

Zan (13 ;5). Question 2 (on tire l’allumette dans la direction de P2) : « Elle retournera au centre, parce que (PI) tire là-bas et (P3) aussi. » « Si on la mettait ici (face à P3), ce poids tirerait. Quand ils ont trouvé l’axe ils s’arrêtent parce que l’allumette est au milieu. » Question 4 : « Celui-là tire là et celui-là ici, à la même force et à la même vitesse », donc direction médiane. Question 5 (4- 4 en P2, + 2 en P3 et 4- 1 en PI) : « (P2) va entraîner de son côté, (P3) aussi et (PI) presque pas », d’où position près de P2.

A lire ces réponses si simples, on est surpris qu’il faille attendre 11-12 ans pour les obtenir alors que sous sa forme élémentaire et qualitative de la question 4, la règle de la médiane est découverte par le 71 % des sujets de 8-9 ans, et par un certain nombre de sujets auparavant. La question qui nous reste à examiner à titre de conclusion est donc celle du pourquoi de cette évolution, en situant ce stade III dans ses relations avec les deux premiers.

La question clef du développement de la causalité est sans

doute celle de la direction des forces et de la composition de ces directions, les faits de ce stade III confirmant cette idée générale, puisque c’est seulement par ces dernières compositions que le sujet parvient à la compréhension du dispositif présenté, y compris son état d’équilibre initial.

La forme la plus simple de composition des mouvements est la composition linéaire dans le cas d’un mobile qui en pousse un autre en ligne droite ou le tire dans le sens inverse : dès 5 ans 1/2, on trouve ainsi des sujets qui comprennent à cet égard le rôle du poids dans la poussée d’une boule et dans la résistance de la boule passive. Dans le cas de notre question 3, il n’en va pas de même, puisque le dispositif n’est que partiellement linéaire (le poids augmenté tire bien l’allumette en ligne droite, mais en devant vaincre la résistance de deux poids aux extrémités des deux côtés de l’angle qu’ils forment avec cette allumette) : il en résulte qu’au niveau I (5 ans) le sujet n’est pas certain de la direction que prendra cette allumette, les poids étant susceptibles de tirer, retenir, pousser ou repousser, etc. Ce n’est donc qu’au niveau IIA que la traction exercée par le poids renforcé est assimilée à une composition linéaire.

Vient alors le problème de la composition de deux forces égales divergentes partant du même point visible, telles que les présente la question 4, cas particulier qualitatif¹ du parallélogramme des forces. Même en s’en tenant aux seules directions, indépendamment des intensités, nous aurions cru que sa découverte serait plus tardive : or, dès 8 ans et avec des cas précoces dès 5 ans 1/2 et 6-7 fins, on en trouve la solution qui suit ainsi de près celle de la question précédente (effet de l’augmentation d’un seul poids). Pourquoi cette facilité relative ? Simplement du fait que sitôt comprise l’action d’un seul poids, celle de deux divergents est aussitôt assimilée à une symétrie avec annulation des forces opposées (et il existe déjà une symétrie préopératoire, sensori-motrice, puis intuitive, etc., avant d’être renforcée par la réciprocité opératoire). En effet, les sujets du niveau IIA, qui échouent à la question 4, donnent très rarement comme solution le départ de l’allumette vers l’un seulement des deux poids égaux : ou bien elle va de l’un à

(’) Qualitatif puisqu’il y a égalité qui neutralise les intensités.

l’autre (Jos), ou bien et en grande majorité, ils s’attendent à ce que l’allumette reste en place, comme une petite fille tirée à gauche et à droite par deux garçons de force égale (Cor). Autrement dit, l’enfant du niveau IIA a presque résolu le problème à cela près (et cette lacune importante est à elle seule très significative) qu’ils raisonnent en linéaire, comme si les deux poids et l’allumette faisaient une droite, en négligeant simplement l’angle. Le passage du niveau IIA au niveau IIB consiste donc simplement à substituer une médiane à un point médian, donc de l’angulaire ou quasi linéaire à du linéaire pur : c’est à peu près la même différence que l’on trouve en faisant prévoir le résultat du choc d’une boule contre une autre qui, elle, frappe de côté au lieu de la heurter de plein fouet.

Mais malgré cette généralisation constructive s’effectuant entre les niveaux IIB et IIA, nous avons vu que les sujets capables de résoudre cette question 4, quant à la direction des forces, retombent, dès qu’il s’agit des intensités (trois poids inégaux), dans les attitudes préopératoires de non-composition : annulation de la force dès qu’il n’y a plus mouvement, absence de réciprocité entre les actions des poids, ou entre tirer et retenir, et même succession temporelle au lieu du synchronisme nécessaire à toute composition. Comment donc expliquer que la solution de la question 5, donc du parallélogramme des forces avec intensités, soit tellement plus tardive que la composition des seules directions, puisque seuls 33 % des sujets de 10-12 ans y parviennent (contre 71 % à 8-9 ans pour la question 4) ?

C’est que, dès qu’il n’y a plus symétrie (égalité des deux poids de la question 4, donc dès que l’on sort des compositions quasi linéaires, les seules obtenues au niveau des opérations concrètes), on se trouve en présence d’une situation très nouvelle : les forces à composer doivent être conçues tout à la fois en tant qu’agissant chacune comme si elle était seule (sinon on ne peut pas trouver leur résultante) et en tant qu’agissant synchroniquement et non pas successivement (sinon la composition elle-même est impossible). Autrement dit, le problème de la composition comme telle est déjà très voisin de celui des mouvements ou travaux virtuels, indépendamment du fait que cette composition aboutit à un état d’équilibre, et c’est ce qui explique que seules les opérations formelles permettent au sujet de parvenir à cette compréhension.

Or, c’est bien ce que l’on constate à examiner les réactions de ce stade III. Le sujet Zan dit, par exemple, que « quand les poids ont trouvé l’axe ils s’arrêtent » : cette formule surprenante ne revient pas seulement à attribuer aux objets des opérations et non plus de simples actions musculaires ; elle signifie en plus que ces transformations oscillent autour d’un état d’équilibre dont, au repos, elles constituent les mouvements virtuels. Il y a ainsi, enfin, homogénéité entre les transformations et les états, ceux-ci comportant causalement autant de processus moteurs que celles-là. Ainsi Myr admet qu’à l’état immobile les poids tirent et freinent à la fois et les faibles comme les forts. Bref, la causalité est atteinte dans le sens d’interactions permanentes et d’une réciprocité qui dépasse largement celle qu’au niveau IIB les sujets tiraient de la composition linéaire. C’est l’existence d’un tel système total que requiert la composition des directions et intensités réunies, même sous la forme modeste atteinte par les quelques sujets de 11-13 ans de notre stade III.