Chapitre VI.
De la composition des forces sur une surface circulaire ^a 🔗

On dispose d’une surface de bois circulaire de 40 cm de diamètre bordée d’un rail sur lequel peuvent circuler trois poulies mobiles. Au centre du cercle est situé un petit anneau de métal auquel sont fixés les fils de nylon retenant les poids suspendus sous les poulies. Au moment des prévisions, l’anneau est immobilisé par une tige verticale traversant la surface de bois en son centre et, au moment des constatations, on enlève cette tige, l’anneau étant alors entraîné ou demeurant en place selon la composition des poids. Ceux-ci sont formés de cylindres de 50 ou 100 g et munis de crochets permettant de les attacher les uns aux autres ou aux fils.

Les problèmes posés portent sur les intensités ou les directions :

Question I. ■— L’enfant se trouve en présence d’une force fixe Fl sous la forme d’un poids déjà suspendu et on lui présente un deuxième fil et une collection de poids en lui demandant ce qu’il doit faire pour que l’anneau reste en place lorsqu’on enlèvera la tige verticale qui le retient. Il s’agit donc ici de trouver à la fois la direction et l’intensité de la force opposée.

Questions II. —   La direction de l’opposée R d’une résultante¹ étant donnée, trouver son intensité dans les situations suivantes :

III. — Face à l’opposée R de la résultante, deux poids Fl et F2 sont suspendus chacun à un fil, mais ces fils sont voisins et parallèles, et supportent

deux poids égaux 3 + 3. La composition doit donc être R = 2F = 6 pour que le système demeure en équilibre.

112. — Les deux poids Fl et F2 sont encore égaux (3 et 3), mais s’écartent chacun d’environ 45° de la ligne virtuelle prolongeant R, celle-ci valant 4.

IL3-5. — Même dispositif, mais les poids sont écartés de 60° (113 : donc R = Fl = F2 = 3), de 90° (114) et de 120° (115) (voir la fig.).

A chaque nouvelle position, on pose les questions suivantes :

a) l’anneau va-t-il rester au milieu lorsqu’on enlèvera la tige qui le retient ? et pourquoi oui ou non. Après constatation, on demande b) ce qu’on pourrait faire pour que l’anneau reste en place sans la tige de fixation, puis, après constatation, pourquoi l’anneau a bougé ou non.

On sait qu’en tous ces cas R sera égale à la somme des projections de Fl et F2 sur son axe : en 114, par exemple, cette somme sera nulle et l’anneau ne restera donc immobile que si R = 0.

Questions III. —   Deux forces Fl et F2 de position fixe étant données (en fait entre 60° et 90° l’une de l’autre) mais d’intensités variables, trouver la direction de l’opposée R de la résultante de manière à ce que l’anneau reste au milieu.

Les valeurs considérées seront (III1) Fl = F2 ; (IH2) Fl > F2 ; et (HI3) Fl < F2.

On constate ainsi que dans les questions II, l’intensité à trouver (R) dépend de la direction des forces Fl et F2, tandis que dans les questions III, la direction à trouver dépend de l’intensité des forces Fl et F2, égales ou inégales. Mais physiquement il s’agit du même problème, puisque la solution des questions III consiste à trouver la direction de la diagonale du parallélogramme formé par Fl et F2, et que, dans les questions III, le parallélogramme est un losange (à petite diagonale nulle en III et en 114) et que la solution revient aussi à déterminer la diagonale à partir du centre du plateau (cette diagonale étant égale à la somme des deux projections de Fl et F2 sur elle-même).

Seulement, si le problème physique ou logico-mathématique est le même, il se présente sous des formes intuitives ou figuratives bien différentes. Dans le cas des questions III, les sujets de 5 à 12 ans, qui n’ont aucune notion du parallélogramme des forces, trouveront la direction en tenant compte comme ils le peuvent de l’inégalité des poids, ce qui correspondra à une diagonale variable ou tout au moins à une semi-diagonale intérieure aux côtés Fl et F2 et se confondant avec puis s’éloignant toujours davantage de la bissectrice. Dans le cas des questions II, rien ne les orientera vers la considération de la

diagonale ou de la bissectrice, dont l’orientation est constante et ils ne s’occuperont que des directions de Fl et F2 pour expbquer à leur manière que la variation de ces directions modifie la valeur de la résultante R. Il n’y a donc que peu de rapport intuitif ou figuratif entre ces deux sortes de questions. Le problème est alors pour nous d’examiner si l’évolution des solutions obéit à une sorte de logique interne (puisqu’il s’agit en fait de la même structure de transformations), ou si les facteurs de différences externes l’emporteront.

En fait, on observe deux évolutions relativement parallèles, bien qu’avec une légère avance pour les questions de direction (voir la fin du § 7). Pour les questions d’intensité, un premier stade dure jusque vers 7 ans avec échec à toutes les épreuves y compris III, faute d’additivité des forces (tandis que la question I des forces simples opposées est un peu plus facile mais parfois non résolue à cause des directions). Au cours d’un stade II (7-10 ans), il y a réussite à la question III mais échec à II2-II5, les sujets ne comprenant pas pourquoi des forces déviées (et tout en remarquant cet écart angulaire) ne se composent plus par addition scalaire. La solution est trouvée à un niveau III dès 10-12 ans par coordination des intensités et directions. Pour les questions de simple direction, on retrouve un stade I où la question III1 n’est pas résolue pour Fl = F2, n’importe quelle résultante étant admise et non pas exclusivement la bissectrice. A un stade II (avec quelques cas précoces dès 6 ans mais ordinairement dès 7 ans), il y a réussite à cette question III1 mais échec à III2-3, qui sont résolues au niveau III de 10-12 ans. Il y a donc, sauf un petit décalage pour les débuts du stade II et un plus faible encore pour ceux du stade III, concordance assez remarquable entre les solutions des deux sortes de problèmes II et III.

Voici quelques exemples, à commencer par deux cas ne concernant que la question d’introduction I (forces opposées simples)¹ :

(!) Pour la question I, nous appellerons F2 le poids à mettre par l’enfant à l’opposé de Fl.

Van (5 ;5) pour 2 fils opposés Fl et F2 et Fl = 3 : « Combien de poids il faut mettre ici (F2) pour que ça tienne ? — 3 ou 4. — Avec 4 ça va rester au milieu ? — Sais pas, hum, ça va pas rester. ■— Où ça tombera ? — Ici (Fl donc 3). — (Constatation). — Pourquoi c’est tombé là ? — Sais pas. — Et si on met 5 poids ? — Sais pas. — (On met 3 entre). — Ça tombera par là (F2, côté où on vient de les mettre). — Regarde : l’anneau reste. Comment ça se fait ? — Sais pas. »

Ema (5 ;4). Question I : 3 poids sont suspendus en Fl et le fil est dirigé en face : « Si tu mettais ce poids ici (1 en F2), l’anneau resterait ? — Oui. — Regarde. Où c’est parti ? — Ici (côté Fl). — Et si je mets ces 4 poids ça restera ? •— Oui. — Regarde (départ vers F2). Comment ça se fait ? — A cause du fil. — Et si je mets ces 3 poids, ça restera ? — Non. — Regarde. Pourquoi c’est resté au milieu ? — Sais pas. — Et si j’avais mis 4 poids ici (Fl) et 3 poids là (F2) ça serait resté ? — Oui. — Regarde. Pourquoi pas ? — Sais pas. »

Liv (6 ;1). Question I : elle met 6 poids en F2, alors que Fl en a 3 et ne s’occupe pas de la direction, puis après tâtonnements en arrive à 3 et finit par mettre F2 en face de Fl.

Question III (Fl = F2 = 3) : met d’emblée la poulie en face mais met 3 poids à R. Essai : « Il (l’anneau) n’est pas resté au milieu, parce que ces deux ils sont serrés : c’est plus lourd. — Quoi faire ? — En mettre encore deux ici (R = 5) pour que ce soit plus lourd. — Tu es sûr ? — (Arrive à 6 : essai réussi). » — (Question 112) : « Je crois que ça va rester au milieu parce que 3 et 3 ça fait 6. — (Essai). — C’est parce que avant ils étaient près. Maintenant ils sont écartés. — Alors ? — Ça n’aide pas beaucoup à tirer » (enlève 1 puis 1 : réussite).¹ — Question 113 : mêmes réactions. Question 114 : met 3, 3 et 3 poids, puis après essais enlève 1, puis 1 puis « alors on met zéro, pour que ce soit zéro lourd, parce que ces deux (F) ils sont au milieu ». Question 115 : « Il va aller là (R). — Alors ? — (Elle met spontanément les poids en face de R, sans savoir les évaluer). »

Lil (6 ;3). Question I (forces opposées avec Fl = 3) : « Ça va pas tenir, il y a rien qui tient (elle met alors le fil de F2 non pas en face mais à 150° de Fl) et il faut mettre des poids (en met 4). — Pourquoi 4 ? — Non, c’est plus lourd : 2, non 3, il faut que ce soient les deux les mêmes pour que ça tienne. •— (Essai). — Euh ! Il est allé ici (côté Fl). — Il faut en mettre 2 (à F2), je ne sais pas. — (Essai). — Ça va toujours là (vers Fl, elle change alors la direction du fil) : il faut que ce soit les deux à la même place (= opposées), en ligne comme ça. »

Question III : Fl = F2 = 3 poids (fils parallèles et proches) : elle met la poulie en face de Fl F2 avec 3 poids. « Pourquoi 3 ? — Parce que avant

Ç) On a réexaminé Liv un mois et demi plus tard. Pour la question III, elle hésite longuement puis met 6 « parce que 3 et 3 ça fait 6 ». Pour la question 112, par contre, elle ne prévoit pas l’équilibre « parce qu’ils ne sont pas serrés. Ici (R) il y a 6 poids à un seulement, tandis que là (Fl et F2) il y a 3 et 3 » : elle prévoit l’équilibre pour Fl = F2 = R = 3. Pour les questions de direction (voir à nouveau Liv au § 5), elle en reste à sa solution juste en III1. Pour III2, elle indique l’opposée de la bissectrice puis de Fj en passant par la position juste, mais sans s’y arrêter.

on avait mis les 3 poids dans la ligne droite et ça restait au milieu. — (Essai). — Parce que là (Fl F2) il y en a plus. Alors il faut mettre 6. — (Question 112) : Si je lâche la tige, l’anneau ira où ? — Ici (F2). — (Essai). — (Elle enlève 3 poids à R, donc RI = Fl = F2. Essai). — Il faut en mettre 4 ici (à R. Essai : réussite). — Pourquoi ça tient ? — Sais pas. — (Question 113) : Où va aller l’anneau (Fl = F2 = 3 et R = 4) ? — Ici (R) parce qu’il y a plus. — Que faire ? — (Met Fl = F2 = RI. Essais et tâtonnements : renonce). — (Question 114 : R perpendiculaire). Où ira l’anneau ? — Ici (R) parce que la ligne (Fl F2) est droite. — (Essais et tâtonnements jusqu’à R = 1). — Presque ! — (On suggère R = 0). Pourquoi ça tient maintenant ? — Parce que c’était droit et l’autre fil (R) n’était pas dans cette ligne. »

Cat (6 ;6). Question I : elle pense qu’il faudra 3 fils pour retenir Fl et pose 100 g à 90° et 180° de Fl (= 100 g), mais dès qu’elle les a mis elle anticipe que l’anneau va tomber ; elle rajoute alors un quatrième fil (le tout en croix) et constate que tout tient « parce que c’est plus lourd ». Mais pour le poids de 50 g, cela tomberait « parce que c’est pas lourd ». Après constatation, elle en conclut que « c’est aussi lourd qu’avant ». Lorsqu’on passe à 2 fils seulement, elle anticipe bien l’équilibre pour Fl = F2 en ligne droite et la chute si F2 n’est pas dans le prolongement de Fl ou si F2 $ Fl. On passe à la question III avec 3 poids en Fl et en F2 (accolés) : elle met 5 poids : « Pourquoi ? — Parce que c’est plus que les autres : c’est 3 chacun, et si on mettait tous ces poids dans l’autre (R), ça ferait 6. —   Et combien tu veux en mettre ? — 5. —   Regarde. — (Essai). — Parce que ces deux (Fl et F2 = 3 + 3) ils sont ensemble alors ça fait tirer plus et celui-là (R = 5) il est tout seul, alors ça lui fait tirer moins. — Comment faire ? — Mettre plus ici (elle met 10 à R). — Ça va rester au milieu ? — Non parce que le piquet il penche un peu (= elle voit la tige retenant l’anneau être un peu inclinée sous l’effet de R = 10). — Alors ? — (Elle enlève 2 et laisse 8 à R). — Combien tu as mis ? — 8. —   Et ici ? — 6. — Ça va rester au milieu ? — Oui, parce que ce sera la même chose que là, ça va tirer la même chose. — (Essai). — C’est plus lourd que là (en met 6 à R). — (Question 112 : 3 et 3 à 45°) ? — Il restera au milieu. Ah non ! (met 3 à R comme en Fl et en F2). — (Essai). — C’est allé là (opposé à R). Je veux en remettre (met 4 à R et constate l’équilibre). — Et avec 5 ça serait allé ? — Ça irait par là (R). — (Question 113 : Fl = F2 = 3 et R = 4) ? — Ça ira là (R) : si on lâche c’est plus lourd et là (en face de R) il n’y a rien du tout (la composante de Fl et F2 est donc considérée comme nulle !). — Ça va venir là (direction R) parce que c’est plus lourd et là et là (Fl et F2) moins lourd. — Quoi faire ? — Enlever des poids, tous… non 2. — Pourquoi pas tous ? — Parce que si je laisse zéro ça ira là (côté Fl F2). Là (Fl et F2) ils sont penchés, alors l’anneau il va aller là et si je laisse 2 (en B) l’anneau reste au milieu. ■— (Question 114 : Fl F2 = 3 = perpendiculaires à R) ? — Il va aller comme ça (vers R) parce qu’il n’y a rien en face. — (Enlève tout à R, spontanément). — Mais là (Fl et F2) c’est lourd ? — Mais ça restera au milieu parce que c’est les deux mêmes lourds, alors ça reste au milieu. — (Question 115) ? — (Elle rajoute d’abord un poids à R). — Non, zéro. — (Essaie). — Ça va toujours là (R. Elle met la poulie de l’autre côté). Parce que ça sera au milieu. »

Mar (6 ;5). Question I : il prévoit l’équilibre pour l’égalité Fl = F2 mais sans s’occuper des directions (150° d’écart au lieu de 180°), puis il découvre que cela tient quand « c’est du droit », mais ne peut dire pourquoi ni la raison de Fl = F2. Question III : il commence aussi par ne pas se soucier des directions, puis lorsqu’il met R en face de Fl + F2, il donne 3 poids à chacun : « Les poids sont comment ? — Plus lourds ici (Fl F2 = 6 et R = 3). — L’anneau ira où ? — Sais pas. » — Il ne trouve pas et on pose 6 = 6. — « Pourquoi ça tient ? — Parce qu’il y avait des lourds et des moyens. ■— Combien ? — (Il compte, n’ayant pas encore compris jusque-là l’égalité 3-|-3 = 6). — Il y en a 6 et ici 6. »

Lov (7 ;9) malgré son âge (il est d’ailleurs du stade II pour la direction, voir § 5), tâtonne encore quelque peu avant de trouver les poids égaux et opposés de la question I. Pour la question III, il veut « plus de poids là (R) pour garder l’anneau », mais il en met 4 contre 6 à Fl 4- F2. Constatation : « Parce que là il y a 6 et là que 4. » En 112. il garde les 6 et voyant le départ sur R il en met 3 « pour avoir la même chose de chaque côté » parce que Fl et F2 en ont 3 chacun, etc.

Rap (7 ;0), à 7 ans également, ne parvient pas à la question I à mettre les 2 poids égaux à l’opposé l’un de l’autre (se contente de 130° environ) : « Je pense que ça tiendra parce que ça tire les deux fils. » Puis pour 3 poids à Fl en mettre en F’« peut-être 3 » mais se contente de 2 : « Je crois que je vais laisser comme ça (donc F’ = 2). Là il y a 3, oui je crois que c’est juste. — (Essais). — Parce qu’ils ne sont pas assez lourds », etc.

Ces faits sont d’un intérêt évident, tant en ce qui concerne la question I que le problème III. Pour cc qui est de la première, on aurait pu croire que dès 4-5 ans, ou même un peu avant, le sujet saurait prévoir que pour retenir un solide il suffit d’en mettre un de même poids en face de lui. Les réactions à la règle dépassant la table et qui est prévue tomber dès le point médian semblaient confirmer cette précocité, éventuellement due dans le cas particulier à l’expérience des balançoires à levier. Mais dans le cas particulier où les poids Fl et F2 sont retenus par des fils et sur un plateau circulaire (n’évoquant donc aucune droite), nous constatons que jusque vers 7 ans (voir encore le cas intermédiaire de Béa au § 4) ni la direction ni parfois même l’égalité des poids ne sont constamment respectées.

Quant aux réponses à la question III, elles témoignent, d’une part, de la même non-nécessité de l’égalité. Liv, qui débute cependant par une égalisation (3 à R comme à chacun des F), la reconnaît fausse mais met alors 5 contre 6. Même solution chez Cat, qui après 5 contre 6 met 10 contre 6, puis 8 et enfin 6. Lil en met 3 (contre 6) parce que, à la question I,

le nombre de 3 (contre 3) réussissait. D’autre part, les réactions font également preuve d’une non-additivité des forces. Pour Liv, deux poids « serrés » sont plus lourds qu’un seul de même valeur. Pour Cat, « ces deux ensemble ça fait tirer plus » et « un seul fait tirer moins » d’où 10 = 6, et pourtant elle dit bien que 3 et 3 font 6. Mar, lorsqu’on lui suggère 6 contre 6, pense que ça tient parce qu’« il y a des lourds et des moyens » (avant de compter 6 et 6), etc. ; or Cat (comme les autres sujets) sait bien que 3 + 3 = 6 et elle le dit explicitement : la non-additivité dynamique de ces poids ne tient donc pas à une non-additivité numérique, mais au fait que deux actions réunies de 3 et 3 avec un fil à chaque ensemble de 3 n’équivaut pas à l’action de 6 avec un seul fil, bien que 3 + 3 et 6 soient en face l’un de l’autre (selon un diamètre passant par l’anneau). Le problème est donc analogue pour ces sujets à celui du chapitre I^er où un poids au bout d’un long fil tire plus fort qu’avec un fil plus court, etc. : le poids d’un objet ne se conservant pas si l’on change sa position ou sa situation dynamique, il ne saurait donner prise à une additivité comme ce sera le cas au niveau II (§ 3) en liaison avec ce début de conservation.

Quant à la question 114, elle est résolue d’emblée par Cat et vite comprise par les autres.

Il s’agira maintenant du problème réciproque : deux forces étant posées à 60-90° l’une de l’autre, trouver l’opposée R de leur résultante, de manière à tenir les deux premières en équilibre :

Ema (5 ;4). Question III1 (Fl = F2 = 3) : « Si j’enlève la tige l’anneau va aller où ? — Il restera au milieu. — ■ Pourquoi ? — Parce qu’il y a 3 poids (sur Fl comme sur F2 sans considération d’une force opposée). — (Essai). — Pourquoi il n’est pas resté ? — … — (Question III2 : Fl > F2) : Il va rester ? — Non. — Où ira-t-il ? — (Montre la bissectrice). — Regarde. — (Essai). — Ici. — Pourquoi ? — Sais pas. —   (Question III1 : reprise) : Où ira l’anneau ? — Ici (bissectrice). — Ou bien là (Fl) ? — Oui. »

Van (5 ;5), dont on a vu au § 2 les réactions à la question préalable des forces opposées, donne ce qui suit pour les questions préalables de direction. On met 3 poids sur 2 fils seulement à 45°. « Où vas-tu mettre celui-là pour que ça tienne ? — Ici (90°). — Ça va rester ? — Sais pas. — Et si on ne

met rien sur ce fil (F’). — (L’anneau) il va partir. — Où ? — (Montre à l’opposé de F’). — Il pourrait aussi partir là (130°) ? — Sais pas. — (On met F et F’ avec 3 poids chacun à 90° l’un de l’autre). — ■ Il partira ici (entre deux). — Et comme ça (à l’opposé l’un de l’autre) ? — Sais pas. » III1 : « Il va partir. — Où ? — Peut-être ici (Fl) parce que là le fil ça tire. — Et ici (F2) ? — Je crois qu’il va aller ici (bissectrice). — Pourquoi ? — Sais pas. Peut-être ici (sur Fl) ou il peut venir ici (F2). J’sais pas moi. » Question III2 (Fl = 6 et F2 = 3) : « Il va partir par ici (à peu près l’opposé de Fl). — (Essai). — Comment ça a fait ? — Parce que ça (Fl) c’est trop lourd alors ça l’a fait partir ici. ■— Je n’ai pas bien vu où il est parti. Montre encore. — Peut-être qu’il va aller ici (à 30° de F2 sans relation avec Fl ni avec son opposée). Ou alors à côté de celle-là (à 30° de Fl). — C’est plus juste où ? — Pas ici je crois (l’opposée de Fl). — Pourquoi ? — Sais pas. — Il peut partir à beaucoup d’endroits ou à un seul ? — Il n’y a qu’un endroit. — Où ? — J’sais pas moi. —   Cherche. — Quelque part ici (entre Fl et F2) parce qu’il y a les fils qui font tirer l’anneau. » Mais aucune précision de plus.

Lil (6 ;3) pour III1 (Fl = F2) pense que l’anneau partira « ici (fil vers Fl). — Pourquoi ici ? — Il passe par ici (Fl). — Et si tu voulais qu’il reste au milieu, d’où tu tirerais ? — Ici (bissectrice). — Pourquoi ? — Parce que ça tient. — Comment tu sais ? — … — Ce serait juste de tirer ici ou ici (opposées de Fl ou F2) ? — Oui et ici aussi (opposée de F2). — Où c’est le plus juste ? — Là (bissectrice) parce que ça tient mieux (en arrive ainsi au seuil du stade II). — (III2 Fl > F2) : Où va l’anneau ? — Ici (F2) parce que là (Fl) c’est plus lourd, alors l’anneau va là (F2) et ça (F2) c’est pas lourd. — Qu’est-ce que ça fait quand ce n’est pas lourd ? — L’anneau y va. Quand c’est lourd ici (Fl) l’anneau va ici (F2) et quand c’est lourd ici (F2) il va là (Fl). — Pourquoi ? — L’anneau vient ici (F2) puisque là (Fl) c’est lourd. Euh ! Il va (aller) là (Fl) parce que ça c’est petit (F2) et ça c’est grand. C’est vrai ! Et puis ça n’est pas la même longueur : ça (Fl) c’est le petit fil et ça (F2) c’est grand. —   (On met 4 à Fl et 2 à F2). ■— Où ira l’anneau ? — Ici (sur F2) parce que c’est plus lourd. — Que faire pour que l’anneau reste au milieu ? — • (Lil place R non pas entre Fl et F2 mais un peu au-delà de F2). — Pourquoi ? — Parce que ça (F2) c’est plus lourd. Non il faut le mettre ici (R à l’opposé de Fl). — Pourquoi ? — Non, ici (bissectrice). — Ça va rester ? — Sais pas ».

Ce stade I, étant, du point de vue des directions, celui où la question III1 (Fl = F2) n’est elle-même pas résolue, il convient d’abord à préciser à partir de quelles réponses on peut considérer qu’elle l’est. Or, nous constatons chez Ema (pour la question III2), chez Van (III1), et chez Lil une tendance assez précoce à prévoir le départ de l’anneau selon la bissectrice entre Fl et F2 et même (chez Lil) la possibilité de retenir Fl et F2 au moyen d’un poids de direction opposée à cette bissectrice. Ceci semble une solution correcte mais d’autant

FORCES 4

plus curieuse que pour la question élémentaire I (deux forces opposées § 2), Lil ne tenait compte ni de l’égalité des poids ni même de celle des directions et que, pour la question III2, Lil commence par prévoir le départ de l’anneau dans la direction de F2 parce que ce poids « n’est pas lourd ».

Il faut donc admettre que les solutions précoces apparemment correctes à la question III1 peuvent ne tenir qu’à des raisons de symétrie en partie figurative (comme celles qui apparaissent dès 5 ans pour la chute d’une règle à partir du « milieu », etc.) et non pas à une composition des intensités ni même des directions. Le critère qu’il convient d’adopter en ce cas est celui de la nécessité. Pour aucun de ces sujets du niveau I, le choix de la bissectrice ou de son opposée n’est nécessaire : pour Ema, l’anneau suivra la bissectrice mais peut aussi bien aller du côté Fl. Pour Van, les possibilités sont M, Fl ou F2 « j’sais pas, moi » ; et pour Lil, la bissectrice est simplement préférable parce que « ça tient mieux », mais sans pouvoir dire pourquoi. Au niveau II, au contraire (et en certains cas dès 6 ans), le sujet ne considère pas d’autres solutions possibles que l’opposé de la bissectrice et explique pourquoi : sinon l’anneau partirait d’un côté ou d’un autre, selon l’inclinaison choisie.

D’abord quelques exemples, à commencer par un cas intermédiaire :

Béa (7 ;0). Question I (Fl = 3) : « Il faut aussi en mettre 3 ici (F2, mais s’occuper de la direction). » Constatant l’échec, elle veut mettre un 3^e fil, puis veut « rajouter un poids (à F2). — Tu es sûre que ça restera au milieu ? — Non (elle ajuste la direction). On peut la mettre là, comme ça elle est en face (doutes puis essai). S’il est là (de côté) il ne peut pas rester au milieu parce que celui-là (Fl) le tire vers lui. S’il est en face, les deux ne peuvent pas tirer l’un vers l’autre. » Question III (Fl = F2 = 3 + 3 accolés) : « Ici il y en a 3 et ici 3 donc ça fait 6 (elle met 6 en R mais sans s’occuper de la direction malgré ce qu’elle vient de dire en I). Oui (ça ira), c’est comme s’il y avait (en Fl + F2) une poulie avec 6 poids : on peut enlever ceux de (F2) et les mettre ici (Fl). Si on met encore 1 ici (R qui aurait alors 7), ça n’ira pas. » Elle pousse R en face de Fl + F2, mais dans le prolongement de Fl plus que de F2 (bien qu’ils soient parallèles et proches). « Ça ne va pas parce qu’elle est juste en face de celle-là qui en a 3. J’en mets 3 (à R) parce

qu’elle est en face de celle qui en a 3. — Et celle-ci (F2) ? — Mais elle n’est pas tout à fait en face (remet cependant 6 à R). — Pourquoi tu en remets 3 ? — Parce que autrement elle n’aurait pas assez. — (Essai). — Oui ». Question 112 (Fl = F2 = 3 à 30°) : « Il va aller là (R). — Pourquoi ? — Là (Fl) il y a 3 poids et là (F2) 3, et là il y a 6, ça fait beaucoup de poids, il ira donc ici. » (Autrement dit, la prévision juste est justifiée par une non-additivité, alors que l’additivité était presque comprise à la question III). Elle enlève alors 3 à R « pour qu’ils soient tous égaux et que l’anneau reste au milieu ». Ensuite, tâtonnements jusqu’à R = 4, mais très étonnée de la réussite. Question 113, mêmes réactions.

Fer (7 ;6), pour la question I, met d’emblée le même poids et à l’opposé « pour que le fil soit droit et que ça reste au milieu ». Question III (Fl = F2 = 3 -|- 3) : il met d’emblée 6 poids : « Ça ne serait pas juste de mettre 3 ? — Il faut que ce soit le même poids des deux côtés, autrement l’anneau ira là (Fl + F2). » — (Question 112) : on pense d’abord que cela tiendra avec 6 = 3 + 3, puis « c’est que là (R) c’est plus lourd » (sans trouver pourquoi) et il essaie avec R = 3, puis par tâtonnements arrive. (Question 113) : il enlève spontanément un poids à R. (Question 114 avec Fl — F2 = R = 3) : « Ça va rester parce qu’il y en a deux en face » (l’un de l’autre : Fl et F2). Lorqu’il constate le départ vers R, il suppose d’abord que Fl et F2 « ne sont pas tout à fait en ligne droite », et les aligne encore : « Non, celui-ci (R) doit être plus lourd. » Il en enlève un peu et finit par R = 0. Question 115 : il remet d’abord un poids en R, puis après constatation il le place dans la direction opposée.

Dan (7 ;7). Question I : « Je mettrai ça (le fil) en face (de Fl), ensuite je prendrai 3 poids (correct). — Pourquoi en face ? — Sinon l’anneau filerait là. — ■ Et pourquoi 3 poids ? — Il faut avoir le même poids. » Question III : il met d’emblée 6 poids à R « parce que ici (Fl -f- F2) 3 et 3 ça fait 6 ». Question 112 : il voudrait d’abord écarter Fl et F2 « parce que là (angles F1R et F2R) c’est plus écarté que là (angle Fl F2). — Qu’est-ce que ça ferait ? — Ah non, ça doit quand même aller parce que quand ces deux (Fl F2) étaient à côté de l’autre l’anneau restait au milieu. — (Essai). — Mais… il y a plus de poids ici (R) ! ça fait plus lourd que les deux autres ! Il faut mettre partout 6 ou partout 3 poids. — (Nouveaux essais). — ■ Ah ! J’ai compris. Parce que là (angle Fl F2) c’est un peu plus petit et là (angles F1R et F2R) c’est un peu plus grand (il met 4 en R et 3 à Fl et à F2 : essai) ça marche. — (Question 113). — Il faut en enlever un : comme ça, ça fait 3 et 3 et 3 (réussite après hésitations). — (Question 114). — Je vois bien ce qu’il y a à faire : enlever tous ces poids à (R). — (Essai réussi. Question 115) ? — L’anneau va partir là (juste). J’ai envie de mettre cette poulie en face (réussite) ».

Fra (7 ;11). Question I : il met en face le même poids. « Pourquoi pas ici (déviation) ? ■— Parce que autrement l’anneau ira par là, il faut les deux droits pour qu’il reste au milieu. — (Question III) ? — Il faut mettre ici en face le même poids que ces deux-là, ça fait 6. — (Question 112) ? — Il restera au milieu (avec les mêmes poids). — (Essai). — Je ne sais pas alors (il ajuste R comme s’il n’était pas entièrement au milieu, puis enlève 2 poids :

réussite). — (Question 113) ? — Ça va aller par là (R) parce qu’ils sont plus écartés qu’avant. — Qu’est-ce que ça fait ? — Ça tire (de côté) parce qu’ils sont écartés (il enlève encore 1 poids à R : réussite). — (Question 114) ? — Il faut mettre un 4^e fil ou enlever encore un poids ici (R : il enlève 1 puis tout). Ça va rester parce qu’il y a le même poids ici (Fl) et là (F2) et ils sont tout droits. — (Question 115) ? — Il ira là (R). Je ne sais pas du tout. Ah ! On peut le mettre de ce côté (opposé à R). »

Pas (8 ;0). Question I : même poids et « au même endroit en face ». Question III : « Il faut en mettre 6, autant qu’ici (Fl et F2). — Pourquoi ? — Ça (les F) ça vaut un fil avec 6 poids ! — (Question 112). — (Id.). — Parce que ça fait toujours le même poids. — (Essai). — C’est plus lourd ici (R) parce qu’ils sont séparés (les F) ça laisse tomber du fil (= du poids), ça fait moins lourd. — (Essais jusqu’à réussite). — (Question 113). — L’anneau va descendre là (R) parce que ça fait plus de poids (réussite). — (Question 114) ? — Il va partir là (R dont il enlève 2 poids). — Pourquoi 2 ? — Non il faut tout enlever, parce que ça tire des deux côtés (Fl en face de F2). — (Question 115) ? — Il faut mettre un poids ici (montre d’emblée l’inverse de R). »

Tho (8 ;2). Question I : anticipe correctement un poids égal et une direction opposée. « Pourquoi ? — Parce que si on tourne ça n’irait pas… (il faut que) ce soit tout droit. » Par contre en III, il pose bien R = Fl + F2 « parce que c’est le même poids que là », mais il admet que la direction importe peu pourvu que R soit dans la moitié du plateau opposée à celle de Fl + F2 : « Si ça dépasse le milieu (de la surface) ça peut tirer les poids puisqu’ils sont tous du même côté. » Question 112 : il prévoit l’équilibre « parce que c’est toujours les mêmes poids, seulement ils tirent chacun pour soi, ces deux-là (F) ils ne tirent plus ensemble, mais ça resterait quand même au milieu parce qu’ils sont dans la même moitié du cercle et celui-là (R) il est tout seul dans une même moitié ». Il prévoit ensuite le déséquilibre en faveur de R puis de nouveau l’équilibre et met enfin R = Fl = F2(= 3) puis R = Fl + F2. Après constatations, on passe à 113 et il enlève alors des poids à R jusqu’à réussite. Pour 114, il en enlève encore à R, puis tous « parce qu’il y en a deux qui tirent en face de soi alors ça reste au milieu. — Ce n’est pas bizarre ? — Non, parce que maintenant ils n’ont rien à tirer : si on met un poids ici (R) ça tire (de ce côté) ». Pour 115, il prévoit l’équilibre « parce que les deux poids sont dans la même moitié que (R)… Ah non, alors il faut enlever des poids à ces poulies (Fl et F2). — On ne peut rien faire d’autre pour que ça tienne ? — Non, leur enlever du poids ».

Tié (8 ;2). Question I : « le même poids et tout droit. ■— ■ (Question III). — (Prévoit l’équilibre) parce qu’ils sont à la même distance de (R). — (Essai). — Là (R) c’est plus lourd (il vérifie et revient alors à la non-additivité du niveau I). Là (R) c’est plus lourd parce qu’il y en a 6, tandis que là (les F) il y a 3 et 3 ». Pour 114, il n’enlève qu’un poids à R et après constatation : « C’est pas normal, ça devrait rester au milieu. »

FAV (9 ;1). Question III : « Pour que ce soit en équilibre il faut que ce soit en ligne droite. — Et pour les poids ? — (R) 3, non le double 6, pour que

ça fasse 6 de ce côté et 6 là. — Et avec 3 ça marcherait ? — Peut-être. — (Il essaie). — Non, ça fait une décalation de poids. — (Question 112). — (Prévoit un déséquilibre) parce que 6 d’un côté et 3 + 3 de l’autre. » (Essai avec Fl = F2 = R = 3) : « Il va ici parce que ceux-là sont plus serrés l’un avec l’autre qu’avec celui-là (R). » Enlève un poids à R. Question III3 : prévoit le déséquilibre et enlève encore un poids. Question III4 : prévoit le déséquilibre, puis après essai enlève peu à peu tout à R. Question III5 : prévoit le déséquilibre « parce qu’il faudrait que ce soit en face (R par rapport aux F) ».

Coi (9 ;6). Question III : met R = Fl + F2 et « sur la même ligne ». 112 : prévoit l’équilibre puis le déséquilibre dans le mauvais sens (Fl -f- F2 plus lourds parce que « deux qui sont séparés et là un ». Après essai : « Là (les F) c’est séparé et là ça tire tout d’un coup s¹. III3 : prévoit l’équilibre, puis le déséquilibre dans le sens juste « parce que là (R) le poids est tout entier et là, ils sont chacun de leur côté ». 114 : met d’emblée R = 0 : « Maintenant il y a les mêmes poids et là (Fl et F2) ». 115 : met en face.

Cla (9 ;10) qui est du stade II pour la direction (§ 5, mais avec l’une des réactions annonçant le stade III) passe en III pour l’intensité (voir § 6).

Ros (10 ;6). Question III : met R = Fl -|- F2 : « C’est comme s’il y avait 2 poids au bout du même fil. » 112 : prévoit l’équilibre « parce qu’il y a des deux côtés le même poids », puis prévoit un déséquilibre mais dans le mauvais sens et veut ajouter du poids à R. Après essai enlève du poids jusqu’à R = 4. En III3, elle prévoit d’emblée le déséquilibre et enlève un poids à R : « les trois parties sont égales ». En 114, même compréhension et aboutit à R = 0. La récapitulation finale est au seuil du stade III : « Ça dépend de la position des poulies : pas besoin de poids égaux, ce n’est pas ça qui compte, ça dépend où l’on met les poulies. »

Cel (12 ;0) qui atteint le stade III pour les directions en reste au stade II pour les intensités. III : juste. 112 : « Ça revient au même qu’avant : il y a toujours les mêmes poids ici (les F) et là (R). — (Essai). — Ah ils ont dû perdre du poids, avant ils étaient assemblés et quand ils se séparent ils perdent du poids. » III4 : il veut rajouter du poids à R, de même qu’en 115 et n’arrive que par de longs tâtonnements à R = 0 pour 114 et à inverser R en 115.

Ces sujets résolvent donc d’emblée (sauf le cas intermédiaire Bea) les questions I et III : deux poids totaux se font équilibre s’ils sont égaux et opposés l’un à l’autre en ligne droite. Il va alors de soi que, parvenus à cette additivité, ils l’appliquent sans plus à la question 112 où les poids de Fl et F2 sont écartés (cf. les solutions d’additivité au début du stade II au chap. I^er). Mais l’intérêt est alors de voir comment ils expliquent les faits

(^x) D’un seul coup.

contraires à cette prévision, donc le rôle de l’écartement. Dans les cas de Béa et Fer, il y a simple retour à une non-additivité comparable à celle du stade I, sauf que 6 font alors plus que 3 + 3. « Là il y a 3 et 3 et là il y a 6 ça fait beaucoup de poids », dit Béa et Fer : « Là (6) c’est plus lourd. » De même Tié, également après essai, dit que 6 « c’est plus lourd » que 3 et 3. Par contre Pas, après avoir affirmé qu’un fil avec 6 poids vaut 2 fils avec 3 poids, pense après constatation que les premiers « font moins lourds » parce que « séparés » ; Cel soutient également que « quand ils se séparent ils perdent du poids ». Il y a donc là le début d’une intuition du rôle de l’angle. Certains sujets, après avoir prévu l’équilibre en 112, anticipent ensuite le déséquilibre pour des raisons de non-additivité liée également à l’angle mais dans le mauvais sens : les F séparés font plus lourd (Coi et Ros). Enfin les plus avancés, comme Dan dès 7 ;7, interprètent le fait contraire à leur prévision Fl + F2 = R par un appel explicite à l’angle et non plus seulement à la séparation : Fl et F2 sont plus légers parce que l’angle F1R ou F2R est plus « écarté » que l’angle entre Fl et F2. De même Tho combine la non-additivité (« ensemble » et non-ensemble) avec la considération des moitiés de la planche circulaire, ce qui annonce une notion d’angle. Fav fait le même raisonnement que Dan, où l’angle est explicite. Mais ce sont là des constatations ou des compréhensions de fonctions (cf. la récapitulation de Ros) plus que des explications. Néanmoins, on trouve chez certains sujets une tendance à passer du voisinage ou de la séparation spatiaux à la notion de « tirer ensemble » ou « chacun pour soi » (cf. Tho à 8 ;0), etc., ce qui s’oriente dans le sens des compositions directionnelles. Nous y reviendrons au chapitre VIII, § 3.

D’autre part, sitôt les faits constatés en 112, il y a généralisation en 113 mais non pas à 114 où Fl et F2 sont face à face. Seuls, Dan et Coi prévoient d’emblée R = 0, ce qui est peut-être en relation avec le début d’une compréhension du rôle des angles ou au moins des directions.

En un mot, on assiste à ce niveau, lors des prévisions initiales, à une additivité stricte, et lorsque celle-ci semble contredite par les faits, on observe une sorte de retour à la non-additivité, mais justifiée par une intuition progressive du rôle de l’angle, sous les formes de fils « séparés », puis « écartés », etc. Seulement

si ce rôle est ainsi entrevu dès le stade II, c’est-à-dire de fait ou de fonction constatée, relevant donc de la seule légalité, sans que son explication soit encore trouvée comme ce sera le cas au niveau III. Il est intéressant de noter combien ces faits du stade II convergent ainsi avec ce que l’on trouve au moyen d’une autre technique, où les poids ne se font plus équilibre entre eux mais agissent sur l’étirement d’un élastique (chap. VII).

Comme on l’a vu au § 3, la question III1 où Fl = F2 semble résolue avant la question III (Fl = F2 serrés), c’est-à- dire avant le niveau II des solutions données aux problèmes d’intensité. Voici donc d’abord quelques exemples de sujets qui appartiennent déjà au niveau II pour la direction et qui demeurent au niveau I pour l’intensité :

Liv (6 ;1). Question III1 : « L’anneau va aller où ? — Comme ça (bissectrice). — Pourquoi ? — Ça tire ici (Fl) et ça tire là (F2). — Et pour les retenir ? — (Met d’emblée le poids en sens opposé à la bissectrice). — Comme ça. Ça tire ici (Fl) et là (F2) et là aussi (R), alors ça reste au milieu. » (Question III2) : « Où ira l’anneau ? — Là (Fl) parce que c’est plus lourd. — Mais (F2) ne va pas gêner ? — Non ça va pas gêner. — Tu es sûr ? — Oui. — Où vas-tu tirer pour faire tenir ? — Là (opposée de F2). Ici, ça aide celle-là (F2). — Pourquoi ? — Si on enlève ça (R opposée à F2) celle-là (Fl) va tout tirer. — Où est-ce le mieux ? — Ici peut-être (hésitations puis à peu près en face de Fl). — En somme, tu te mets en face de ça ? — Oui. — Et l’autre (F2) ne va pas tirer l’anneau ? — Non, parce que là (Fl) ça tire fort et là (F2 + R opposée à Fl) ça tire aussi. — (On augmente la différence). — Ça ira là (Fl) parce que c’est plus lourd. — Et où faut-il tirer pour retenir ? — Ici (face à F2). Ça aidera à tirer l’anneau. — Pourquoi ? — (Choisit maintenant face à Fl). — Tu es sûre ? — Oui (et paraît l’être !). — (Question III3). — Il partira là (F2) parce que c’est très lourd. — Alors ? — (Elle met le poids face à Fl). — Là. Ça aidera ça (Fl). — Pourquoi ? — Ici (face à F2) ça aide beaucoup plus. — Où est-ce que ça aide le plus ? — Les deux ! », etc. On renforce F2 : elle met le poids face à Fl : « Oui, je suis tout à fait sûre. »

Cat (6 ;6). Question III1 : « L’anneau va partir par là (bisectrice) parce que si on lâche, il peut pas partir là (Fl) ou là (F2). — Et pour retenir ? — Là (opposée de la bissectrice). — Et comme ça (déviation) ? — Non, parce qu’il va partir là. Il faut tirer ici (R médiane). — (Question III2) ? — L’anneau va aller là (Fl) parce que c’est très lourd. — Comment retenir ?

— Ici (opposée de la bissectrice). — Ça ne fait rien que Fl > F2 ? ■— ■ Non. — (On renforce Fl : 9 et 3) ? — L’anneau ira ici (bissectrice). — Et tu tires où ? — Là (son opposée) parce que si je tire plus par là (entre Fl et M) ça gêne l’anneau. — Ça gêne comment ? — Ça ferait 3 (du même côté). ■— Alors ? — Il faut le mettre ici (opposé de Fl) parce que ça aidera un peu celui-là (F2). » Question III3 : elle met le poids face à F2 « parce que ça aidera celui-là (Fl) ». Id. pour F2 = 9 et Fl = 3 : met le poids en face de F2 « ça aidera celui-là (Fl) à tirer l’anneau au milieu », puis choisit la bissectrice, « parce que ça aidera un peu là (F2 = 9 !) ».

Mar (6 ;5). Question III1 : choisit d’emblée la bissectrice et résiste aux suggestions contraires. Question III2 (Fl = 4 et F2 = 2) : « C’est ici (Fl) que ça tire parce qu’il y en a plus. — Où dois-tu mettre la poulie ? — (La met d’abord près de Fl et ensuite à son opposée). — Parce que ici (Fl) c’est plus lourd et il faut mettre au même endroit (= le même puis l’inverse !). — (Question III3 : F2 = 4 et Fl = 2) : même réaction (face à F2). »

Et voici des sujets qui étaient déjà du niveau II pour les questions d’intensité, à commencer par le cas intermédiaire de Béa :

Bea (7 ;0). Question III1 : prévoit le départ au milieu et met le poids à son opposé parce que Fl et F2 « ils peuvent pas aller des deux côtés à la fois, il faudrait deux anneaux ». Question III2 : prévoit le départ de l’anneau vers Fl et met le poids à l’opposé de la bissectrice, et ensuite de Fl « parce que ces deux-là (Fl et F2) ça fait beaucoup de poids ». Par contre, pour la question HI3 (F2 > Fl), elle met le poids face à Fl « parce qu’il est très petit celui-là, l’autre a beaucoup de poids », puis elle revient à l’opposé de la bissectrice « ça va mieux, c’est près des deux » (id. quand on renforce la différence : 9 et 3).

Fer (7 ;6). Question III1 : choisit la bissectrice « parce qu’il faut que ça fasse droit avec ça (avec la direction où partirait l’anneau sans contrepoids). Autrement ça n’irait pas ». Question III2 : il met le poids face à Fl ( > F2) « parce qu’il va (plus) tirer l’anneau ». Quand on renforce Fl, il fait de même « parce que si je le laissais ici (bissectrice), ça tirerait par là (Fl) ». Pour F2 > Fl (question III3), même réaction : poids face à F2, sinon « si je le laissais ici (milieu) l’anneau irait de ce côté (F2) ».

Dan (7 ;7). Question III1 : « Il faut tirer juste au milieu ( = opposée de la bissectrice), sinon l’anneau va d’un côté ou de l’autre. -— ■ Mais pourquoi au milieu ? — Pour que ça tende des deux côtés la même chose. » (Question III2) : il débute par le prolongement de Fl (> F2), puis corrige : « Non, un peu plus de ce côté (F2). » Mais cette intuition juste (entre le prolongement de Fl et celui de la bissectrice) n’est suivie d’aucune modification lorsqu’on augmente la différence entre Fl et F2 : « Pourtant c’est beaucoup plus lourd (Fl) maintenant ? — Oui mais ça dépend de la force qu’on a (la force en B n’étant donc pas égale à la résultante de Fl -f- F2). » Par contre, pour la question III3

(F2 > Fl), il part de l’opposée de la bissectrice et se rapproche de plus en plus de l’opposée de F2 lorsqu’on augmente F2, ce qui le conduit ainsi au seuil du stade III.

Lov (7 ;9). Question III1 : « Où ira l’anneau ? — Là (bissectrice) parce que ces deux poids sont égaux. — Et pour les retenir ? — (Il met correctement en R). — Si je tire là (d’un des côtés F) ça part ici (donc il faut l’opposée de la médiane). » — (Question III2) : il prévoit le départ de l’anneau du côté Fl et met le contrepoids dans le prolongement de F2 « pour que celui-là (F2) reste en place ». Lorsqu’on augmente le poids Fl, il met R dans son prolongement « sinon l’anneau va là (Fl) ou là (F2), comme ça il reste au milieu (de la gauche) ». On reprend la question III1 : à nouveau l’opposé de la bissectrice. Question III3 : il choisit le prolongement de F2 (> Fl) et en reste là lorsqu’on écarte F2 et Fl ainsi que lors des augmentations de F2 : « Et si on en met encore plus ici (F2) ? — Je pencherais un peu (vers l’opposé de la bissectrice). — Et si c’est très très lourd ? — Je tirerais là (en face de F2). »

Fra (7 ;11). Question III1 : « Où ira l’anneau ? •— Là (bissectrice). — Pas un peu ici, plutôt ? — Non au milieu. — Et pour le retenir ? — Ici (sens opposé). ■— Pourquoi ? — Parce qu’il y a 2 fils alors il faut tirer là. — (Question III2). — L’anneau ira ici (sur Fl) parce qu’il y a plus de poids. — Et pour le retenir ? — (Met d’abord la poulie sur l’opposé de la bissectrice puis de Fl). — Et si on augmente (Fl = 9 et F2 = 3) ? — Encore ici (face à Fl). — Et (F2) va gêner ? — ■ Un peu. — Alors ? — Ben, c’est ici (face à Fl). — (Question III3). •— (Met face à la bissectrice). •— Les poids sont comment ? — 4 (F2) et 2 (Fl). — Ça ne fait rien ? — Non. —   (On augmente F2). — Ici (face à F2) parce qu’il y en a beaucoup alors j’ai mis en face. — Fl gênerait ? — Non, oui parce que ça tirerait aussi. Non, si on en met deux de moins (à R) ça ira (sans modifier la direction). »

Pas (8 ;0). Question III1 : « C’est au milieu. » Question III2 : face à Fl et quand on l’augmente « il faut que ce soit toujours en face. —   Et si c’était très très lourd ? — Je mettrais d’autres poids (à R mais en face). •— • Et celle-là (F2) ne risque pas d’ennuyer ? — Non ». On voit la différence avec la question 114 (§ 4) où il prévoyait le contraire et annulait la force de R parce que perpendiculaire aux F. Question III3 : même réaction « toujours en face ».

Tho (8 ;2). Question III1 : l’anneau ira vers Fl « parce que ça tire là, non vers (F2) un peu de ce côté, non ici (bissectrice) parce que les deux tirent l’anneau. — Et pour le retenir ? — Il faut que ce soit au milieu de ces deux-là » (opposée de la bissectrice). — Question III3 : aussi à l’opposé de la bissectrice, « seulement il faut mettre le même poids (en Fl et F2), sinon ça fait une erreur parce que celui-là (F2 qui est > Fl) tirerait l’anneau vers lui. — Alors ? — Il faut que ce soit au milieu (quand même). — Et si on augmente (F2) ? — Comme ça (opposée de Fl) parce que je l’ai mis en face de celle-là qui a moins de poids ».

TlÉ (8 ;2). Question III1 : « Il faut mettre juste au milieu des autres. •— ■ Question III3 F2 > Fl, qu’on a posée avant HI2). — (Il met correc-

tement R entre l’opposée de la bissectrice et celle de F2) parce que si on met ici (bissectrice) ça va tirer de ce côté (F2). » Mais après cette intuition du stade III, il revient au niveau II dès qu’on augmente le poids de F2 : il met sa poulie face à F2 : « Elle est plus lourde alors ça va tirer juste en face. — Et (Fl) ne gêne pas ? — Non. — (Question III2). — (Face à Fl) parce que quand on est là ça tire plus celle-là (Fl qui est > F2) et puis l’autre (F2) ça ne tire presque pas parce qu’elle n’est pas en face de l’autre. Quand on tire là (face à F2) ça tire celle d’en face » (cf. sa réponse à 114 au § 4).

Fav (9 ;1). Question III 1 : choisit d’emblée la bissectrice. Question III2 (Fl > F2) : « Un peu là (près de l’opposé de Fl mais du côté de F2 et non pas de l’axe médian) parce que là (Fl) c’est plus lourd, alors il faut aider celui-là (F2), il faut le renforcer parce que (Fl) a 6 poids et (F2) n’a que 3 poids, alors il faut mettre ici une poulie avec 3 poids. » Le raisonnement est donc qu’il faut avoir Fl = F2 + R en calculant les directions sur un principe d’union entre F2 et R et non pas d’opposition entre R et Fl + F2. « Et si on le mettait ici (entre la bissectrice et l’opposé de Fl) ? — Peut-être parce que ça tirerait celle-là (Fl) et ça donnerait de la force à celle-là (F2). Il faut que ce soit en face de (Fl) parce que ça aide celle-là (F2) à pouvoir monter celle-là (Fl) (il passe donc à l’idée d’opposition). — Et comme tu avais mis au début (entre l’opposé de Fl et F2) ça n’aiderait pas ? — On ne peut pas dire que pas du tout, mais ça l’aiderait moins parce que ça l’aiderait à descendre au lieu de l’aider à monter. » On augmente Fl : « Toujours là (son opposé) parce que ça aide celui-là (F2) à rester au milieu. » Question III3 (F2 > Fl) : à l’opposé de F2 « parce que ça aidera celui-là (Fl) ».

Coi (9 ;6). Question III1 : « Au milieu, il faut que ce soit égal. » Question III2 (Fl > F2) comme Fav, près de l’opposé de Fl mais du côté de F2 « pour qu’elle aide celle-ci (F2) parce qu’elle a moins de poids ». On augmente Fl : « Il faut encore pousser la poulie de ce côté (de F2). — Et ici (entre l’opposé de Fl et celui de la bissectrice) ? — Non, elle aurait aidé celle-ci (Fl). »

Cla (9 ;10). Question III1 : « Au milieu parce que les deux poids tirent sur l’anneau. » Question III3 (F2 > Fl) : à l’opposé de la bissectrice « pour retenir les deux poids, pour pas que le grand soulève le petit. — Il y aurait d’autres endroits ? — Ici (face à F2) pour tenir les deux poids, mais c’est pas mieux… Si on tire ici ça ne tire pas très bien le petit, ça tire seulement le grand. Il faut tirer depuis le milieu pour que ça tire les deux ensemble. — (On augmente F2). — Carrément là (en face de F2), ça change alors. Non, ici je pense (entre le milieu et Fl, donc juste) pour que les deux poids se tirent en même temps ; ça fait 1-2 cm à côté du milieu ». Au total pour 3 et 3, à l’opposé de la bissectrice, pour 6 et 3 aussi, mais pour 12 et 3 solution juste (donc au seuil du stade III).

Tia (10 ;0). Question III1 : « Au milieu pour tirer les deux fils à la fois. » Question III2 : même solution après avoir mis la poulie face à Fl puis à F2. En augmentant Fl puis aussi pour III3 : « Ici en face (du plus lourd) pour le tirer. — Et l’autre (le plus léger) ne va pas gêner ? — Non, pas du tout. »

On note tout d’abord la réussite à la question III1 qui est l’équivalent pour les directions de ce que sont les questions I et III pour l’intensité, mais qui est plus facile que 112, puisqu’on ne demande pas de prévoir le montant de la résultante en fonction de l’angle entre Fl et F2. La question est même plus facile que III1, puisqu’il n’intervient pas d’additivité (d’où les réussites de Liv à Mar qui sont du stade I pour III) et qu’il s’agit simplement de comprendre que la résultante de deux forces égales passe par leur milieu « pour que, comme dit Dan, ça tende des deux côtés la même chose ».

Par contre, pour les forces inégales en III2 et III3, on assiste à trois solutions : ou l’opposée de la bissectrice comme en III1, ou l’opposée du plus grand poids (F + ) ou celle du plus faible (F— ). La première de ces réactions se comprend d’elle-même par négligence des intensités. La seconde marque un progrès, puisqu’elle en tient compte. L’idée qui inspire cette seconde solution est que le grand poids (F ) étant source d’inégalité, donc de déviation, c’est lui qu’il faut neutraliser, ce qui, pour plusieurs sujets (Liv, Fav, etc.), revient à « aider » le petit (F— ). Quant au rôle perturbateur possible de celui-ci (F— ), on observe deux nuances distinctes : ou il y a négligence voulue de son poids comme chez Fra (qui voit pourtant le problème), ou elle est involontaire comme chez Par et Tia. Ce sujet se trouve donc en présence de la même question qu’en 114 avec plus ou moins les mêmes solutions (sauf chez Par).

Quant à la troisième solution, qui est moins fréquente et jamais pure (Liv, Béa, Lov et Tho), elle part de l’idée qu’il faut « aider » le poids faible (F— ) comme si son union avec R allait contrebalancer le poids fort (F + ). C’est la même idée que l’on retrouve chez Fav et Coi qui placent d’abord R en face de (F ), mais l’orientent du côté de (F— ) lui-même (et non plus de son opposé) pour « le renforcer » (Fav) ou 1’« aider » (Coi, cf. Liv chez qui tout finit par aider tout).

Il faut encore remarquer, en comparant les prévisions sur la direction du départ de l’anneau et celles sur la direction à donner à R, que ces deux prévisions coïncident toujours pour la question III1. Par contre pour la question III2, chez les jeunes sujets (Liv, Cat, Béa) et chez les partisans momentanés de la troisième des solutions indiquées à l’instant, l’anneau est prévu partir vers (F +), tandis que la poulie en R est placée

à l’opposé de la bissectrice ou en face de (F— ), c’est-à-dire non à l’opposé de la direction de départ de l’anneau. Or, ce fait est instructif : il montre que la force de rétention recherchée en R n’est pas d’emblée comprise comme devant être l’inverse de la force de traction qu’il s’agit d’annuler. Autrement dit, ce qui fait problème en cas de forces inégales c’est de savoir comment annuler leur action composée, et, lorsque R est placé en face de (F -)-), ce n’est encore qu’à moitié satisfaisant puisqu’il reste à savoir que faire de (F— ). Quant à l’opposée de la bissectrice, ce n’est aussi qu’un pis-aller puisque ces sujets savent bien que (F-{-) > (F— ) et que leurs actions ne sont point identiques.

Le nœud du problème est donc pour le sujet la signification à attribuer aux actions respectives de (F + ), de (F— ) et de R sur chacun des deux autres. L’équivoque qui subsiste à cet égard se cristallise en particulier dans le terme et le concept d’« aider », qui apparaît chez Liv, Cat, Fav (plusieurs fois), Coi, et qui est implicite chez Tho et chez Lov. Il s’agit alors, en effet, de préciser comment et surtout à quoi il faut aider et c’est ce que nous allons essayer de comprendre. Chez Liv (il est vrai à 6 ans mais on retrouvera la même idée chez Coi et Fav à 9 ans), R opposé à (F— ) 1’« aide » à résister à (F+) qui, sans cela, « va tout tirer », mais, d’autre part, R opposé soit à (F-|-), soit à (F— ), les « aidera à tirer l’anneau », donc les renforce en leur traction et leur descente. Chez Cat, au contraire, R opposé à (F + ) « aide un peu » (F— ), et cela en III3 comme en 1112. Chez Coi (9 ;6), R presque en face de (F + ), mais du côté (F2— ), aide « celle-ci parce qu’elle a moins de poids », tandis qu’entre l’opposé de (F + ) et celui de la bissectrice cela aiderait (F + ) : dans les deux cas, un léger rapprochement quoique de l’autre côté du plateau de bois augmente donc la force du poids presque opposé. Lov et Tho mettent R en face de (F— ) pour le stabiliser comme si cela le rendrait indépendant de (F-|-). Mais c’est chez Fav, sujet de 9 ans très intelligent, qu’on trouve la plus belle confusion : d’abord il faut « aider » (F— ) qui a 3 en mettant R (= 3) face à lui ce qui le « renforce » et non pas le neutralise (le renforce donc vis-à-vis de F-j- = 6, comme chez Tho). Ensuite, si R est situé entre l’opposé de la bissectrice et celui de (F + ), cela « donne de la force » à (F— ) en « tirant » (F-f-) et en aidant (F— ) à « pouvoir le monter ». Par contre, si R est entre (F— ) et l’opposé

de (F-|-) cela aide (F— ) « à descendre au lieu de l’aider à monter ». Enfin, en mettant R à l’opposé de (F-]-), cela aide (F + ) « à rester au milieu », donc cela le stabilise en neutralisant (F-).

La leçon de tout cela est alors sans doute plus claire qu’il ne pourrait sembler : de même qu’à ce niveau II il y a, pour les questions III à 115, recul de l’additivité faute d’explication de l’affaiblissement apparent des forces Fl et F2 écartées, de même lorsque ces forces écartées sont inégales (III2-3), il y a recul de la réversibilité faute de pouvoir composer leur résultante et prévoir l’opposée R qui annule celle-ci. En ce cas, l’opposée de (F-f- ) ne le neutralise pas simplement par inversion, mais le stabilise et renforce (F— ) ; de même l’opposé de (F— ) le stabilise, ce qui, puisque cette force est la plus faible, revient à la renforcer (d’où certains raisonnements étranges selon lesquels l’opposée s’ajoute à la force donnée au lieu de la compenser). Même en position exactement opposée une force égale n’est donc pas l’inverse d’une autre et, a fortiori, lorsqu’elle s’en rapproche de quelques degrés elle la renforce au lieu de l’affaiblir. En un mot, de même que les sujets du niveau II du § 4 en arrivent à propos de l’intensité à imaginer toutes sortes d’actions selon que les poids agissent ensemble ou séparés par un prolongement de la non-additivité du stade I, puisque l’additivité ne se vérifie pour eux que dans le cas des questions I et III, de même ces sujets prêtent aux situations d’opposition, etc., la capacité d’engendrer une série d’actions incompatibles avec la réversibilité, puisque celle-ci ne se vérifie pour eux quant aux directions que dans le cas des questions I et III1. Or, la raison en est évidemment que (F-|-) et (F— ) sont à la fois relativement opposés l’un à l’autre (mais sans inversion) et solidairement opposés à R (inversion vraie) : il en résulte pour l’enfant que chacun de ces trois termes peut être alternativement opposé ou allié à l’un des deux autres, ce qui remplace le calcul en deux temps (portant sur la résultante puis sur son opposée) par un dynamisme global au sein duquel R et (F— ), (F— et F-|-) et R ou (F+) peuvent être alternativement alliés ou opposés.

Les solutions des questions II d’intensité reposant sur le parallélogramme des forces (car la réunion des projections de Fl et de F2 sur l’axe de leur bissectrice équivaut à la diagonale du parallélogramme qu’elles forment et qui est un losange), comme la solution des questions III de direction, il est intéressant d’établir avec soin si ces solutions apparaissent simultanément non seulement en moyenne au même niveau III dès 10-12 ans, mais chez les mêmes sujets ; ou, si ce n’est pas le cas chez chaque sujet, il reste à examiner si les avances dans l’un des groupes de questions par rapport à l’autre comportent un ordre de succession systématique ou se compensent. Voici donc les cas observés, à commencer par deux intermédiaires :

Tia (10 ;0). III : met R = Fl + F2. 112 : prévoit le déséquilibre « parce que là (R) c’est plus lourd que là (Fl + F2). — Comment le sais-tu ? — … — Alors ? — (Met Fl = F2 = R = 3) puis tâtonne et trouve, mais sans explication. 113 : id. 114 : prévoit le déséquilibre mais « parce qu’il y a moins de poids ici (R) », mais se corrige en « plus de poids » (en R) et arrive à R = 0 après tâtonnements. 115 : en face.

Ala (10 ;ll). III : juste. 112 : il prévoit le déséquilibre parce qu’« ils sont séparés, ils n’ont pas le même poids », et il met Fl = F2 = R = 3 en proposant : « le cercle il faut le diviser en trois parties égales (il touche ainsi au niveau III). Il continue (après variation des angles) par cette affirmation de niveau III : « Si les parts ( = les surfaces entre les F et R) sont plus grandes, il faut plus de poids que quand les parts sont égales » et il aboutit à R = 4. Mêmes réactions à 113. Mais à 114, il prévoit l’équilibre, puis tâtonne avant d’arriver à R = 0. Mêmes tâtonnements avant d’inverser R en 115.

Cla (9 ;10) débute au niveau II pour les questions III de direction, mais parvient au stade III lorsqu’on accentue les différences entre Fl et F2. Pour les questions II, il atteint le stade III. III : il met R = Fl + F2. Question 112 : il prévoit d’emblée le déséquilibre et enlève spontanément du poids à R « parce que ça ferait beaucoup trop de poids sur celui-là. — Pourquoi pas comme avant (III) ? — Parce que ceux-là (Fl et F2) les deux serrés ensemble faisaient 6, tandis que maintenant ils ne sont plus à côté l’un de l’autre : ils sont à une certaine distance entre eux, alors leur poids se ferait prendre par le tout gros qui en a 6 : c’est celui-là (R) qui emporte les poids. — Pourquoi ça change quand il y a une distance ? — Ces poids quand ils sont rapprochés, ça fait presqu’une poulie (= même direction pour les deux)

mais avec 6 poids, tandis que quand ils sont écartés ils ont leurs poids à eux (= chacun dans sa direction). C’est tout simple : ils en ont moins à comparer à celui-là (R) ». — (Question 114) : il prévoit bien le déséquilibre (« l’anneau se ferait prendre par celui-là » : R), mais il se borne d’abord à enlever quelques poids à R. « Oh ! ce que je suis bête (il enlève tout à R) parce que les deux sont en face, alors on ne s’occupe pas de celui-là (R) : ça fait 3 et 3.-— (Question 115). — (Ajoute d’abord du poids à R). — Non c’est faux, il faudrait les mettre en face. »

Mic (10 ;6). III : juste. 112 : il prévoit le déséquilibre. « Ça tombera par ici (R) parce qu’il y a plus de poids. Ici (les F) comme c’est séparé il y a moins de poids en tout. — Pourquoi ? — Si les poids sont séparés la force n’est pas du même côté (direction), ils ne restent pas ensemble, ça fait plus léger » (il réussit). 113 : « C’est plus séparé encore, il y a de nouveau moins de poids ici (les F) » (réussite). 114 : il déclare immédiatement que l’anneau ne restera pas au centre et après hésitations arrive à R = 0 : « Si on enlève ça, ça restera la même chose. » 115 : « Il faut mettre ça (R) de l’autre côté. »

Jea (12 ;5). III : juste. 112 : « Quand on écarte, ça augmente le poids de ce côté-là (R). » Entre les positions III et 112 : « Il faut en rajouter ici (R). » 113 : il compare la distance entre les F et R à celle entre les F : « Il faut en enlever seulement un (Fl = F2 = R). » 114 : en enlève et dit « on pourrait même les enlever tous ». 115 : inversion.

Le critère de ce stade étant, pour les questions d’intensité, la prévision d’emblée correcte des déséquilibres en 112 et 113, il reste à comprendre comment le sujet parvient à cette anticipation. Chez le sujet intermédiaire Tia aucune explication n’a pu être obtenue, mais chez Ala nous voyons intervenir presque explicitement la notion d’angle (sous forme des secteurs de surface), ce qui est encore une loi plus qu’une explication. Avec Cia, par contre, l’angle devient explicatif, car de dire que « écartés, ils ont leurs poids à eux » revient à soutenir que chacun tire dans sa direction et que ces directions étant divergentes, ils sont défavorisés par rapport au poids à direction unique en R qui pourra « prendre l’anneau ». C’est ce que dit Mic encore plus clairement : « si les poids sont séparés, la force n’est pas du même côté », c’est-à-dire qu’il y a divergence et non pas convergence entre Fl et F2, ce qui les affaiblit d’autant. Enfin, Jea parle nettement de l’angle et de son effet affaiblissant.

En d’autres termes, la réussite à ces questions d’intensité provient de leur coordination avec celles de direction, puisque leur solution revient à découvrir que des directions divergentes affaiblissent la résultante. Nous verrons, d’autre part, au § 8

que la solution des questions de direction, obtenue au même stade III, dépend réciproquement de la prise en considération des différences d’intensité. La question est alors d’établir si, à cette synchronisation moyenne des réussites du stade III, correspond une relation de dépendance en chacun des cas individuels. Il va de soi qu’elle ne saurait être aussi simple, mais on trouve en gros, entre 9 et 12 ans, quelques réussites aux deux groupes de questions II et III à la fois (par exemple Jea)¹, quelque avance en II par rapport à III (par exemple Cia) et un peu plus souvent quelque avance en III (direction) par rapport à II (par exemple Ros, Ala, Cel et les intuitions de Tié), sans parler du décalage noté dans le même sens aux débuts du stade II à propos de la question III1.

Voici d’abord deux cas intermédiaires entre les stades II et III, puis des cas francs de ce dernier :

Ros (10 ;6). III1 : bissectrice, « étant donné qu’il y a deux poids, il est obligé d’être entre eux pour les retenir ». III2 : anticipe d’abord un départ de l’anneau sur la bissectrice et veut mettre R face à Fl (> F2) « parce que ça aiderait (F2) à tenir (Fl) », puis : « Non, c’est faux parce qu’il y a un poids ici » : elle met R entre l’opposé de la bissectrice et celui de Fl.

Cab (10 ;10). III1 : bissectrice. III2 : il prévoit le départ de l’anneau vers Fl « parce qu’il y a plus de poids ici » et met R face à Fl « pour que les deux (F2 et R) fassent le poids pour retenir celui-là (Fl) », puis anticipe que « ça va pas très bien. Je le laisserais ici (face à la bissectrice) parce qu’ils tireraient chacun d’un côté ». Par contre, pour III3 (F2 > Fl), il prévoit le départ de l’anneau vers F2 puis sur la bissectrice, puis : « Non, pas tout à fait au milieu parce qu’il y a un poids de plus ici (F2), alors ça tirerait un peu plus de ce côté (direction de F2). » Quant à R « il faudrait le mettre en face d’où irait l’anneau », donc entre l’opposé de bissectrice et celui de F2.

Voici des cas francs :

Mic (10 ;6). III1 : juste « parce que ça fait l’opposé ». III2 (F1 = 6 et F2 = 3) : il place juste R entre l’opposé de Fl et la médiane, puis hésite à le mettre face à Fl puis : « Là (F2) il y a quand même du poids, ça tire

Q) Cf. aussi les deux sortes d’intuitions de Dan à 7 ;7 relatives à l’angle pour l’intensité et aux directions.

aussi. » Pour Fl = 9, il rapproche R de E l’opposé de Fl. « Et si je rajoute encore du poids ici (Fl) ? — Là (opposé de Fl), non quand même pas tout à fait parce qu’il y aura quand même ce poids-là, alors ça tire. »

Ala (10 ;ll). III1 : juste. III2 : Panneau « ira ici (vers Fl), non peut-être un peu par ici (entre la bissectrice et Fl). — Pourquoi ? — Parce qu’il n’y a pas les mêmes poids ici (Fl > F2). — Et si c’est encore plus lourd ? — (Indique juste). — Et encore plus lourd ? — Ici (encore plus près de Fl) ». Question III3 (F2 > Fl) : indique sans hésiter entre F2 et la bissectrice.

Cel (12 ;0) qui demeurait au stade II pour l’intensité, dit en III1 : « Au milieu, pour que la force soit égale des deux côtés », et en III2 : « Il faut faire tenir celui-là qui est plus lourd (Fl) : de cette façon (il met la poulie entre l’opposé de la bissectrice et celui de Fl) celui-là (R) aidera celui-là (F2) à tirer celui-là (Fl). — Et si on met encore plus lourd ? — Encore plus près de là (F2). — Explique encore pourquoi pas au milieu ? — Avant (en III1 où Fl = F2) on restait au milieu. Maintenant ça (Fl) est plus lourd, donc si la poulie est au milieu, ça tirera de ce côté (Fl), donc il faut le mettre plus près de là (de F2, ce qui équivaut à plus près de l’opposé de Fl) pour l’aider à tirer¹. » Pour la question III3, même raisonnement : entre l’opposé de la bissectrice et celui de F2 : « Celui-là (R) aidera celui-là (Fl) à tirer celui-là (F2). — Et si (F2) est encore plus lourd ? — Il faudra encore plus pousser (R) vers celui-là (Fl). »

Vie (12 ;4). III1 : au milieu « pour que ça tire en même temps. Ça fait comme si ça (côté Fl et F2) tirait tout du milieu ». III2 : d’abord face à Fl « parce qu’on tire d’abord le plus gros et après ça égalise… Oui, le petit est moins lourd que celui-là (Fl). — Si je mettais là (position juste), ça égaliserait un peu le poids, je pourrais tirer le plus lourd et le petit n’entraînerait pas (comme dans la solution de l’opposé de Fl). — Pourquoi ne pas mettre la poulie au milieu ? — Je ne peux pas le mettre au milieu parce que (Fl) entraînerait un peu, donc je ne mettrais pas directement en face de (Fl). Je mettrais un petit peu de ce côté-là, pas tout à fait au milieu (juste). — Pourquoi ? — Parce qu’il y aurait (Fl) à tirer et, pour pas que (F2) gêne trop (comme si c’était en face de Fl), je l’inclinerais un peu dans ce sens (juste). — Et si on augmente Fl ? — Je devrais presque le mettre en face mais il y a toujours ce fichu poids (F2) qui gêne ». Ensuite plus Fl est lourd plus il rapproche R de l’opposé de Fl mais sans jamais faire coïncider, à cause de F2. Question III3 (F2 > Fl) : « Il faut que je me mette de l’autre côté (position juste) pour soutenir ce poids (F2) et retenir quand même celui-là (Fl). — Et si j’augmente F2 ? — Je me mettrai encore un peu plus de ce côté, mais tout de même pas en face. »

Jea (12 ;5). HH : correct. III2 : d’emblée entre l’opposé de la bissectrice et celui de Fl : « Il faut aider celle qui n’a pas assez de poids (F2) : ici ça aide ça (F2) et ça tire celui-là (Fl). — Et pourquoi pas face à Fl ? — Non, parce que celui-là (F2) ne servirait à rien. — Et si on augmente Fl ? — Il faut mettre un peu plus ici mais pas en face. —   Et si Fl est très très lourd ? — Je me mettrais au quart de poil en face, mais pas tout à fait. »

Ç) Effectivement pour F₁ + F₂ = R, on obtient F₂ + R = Fj et R + Fj = F .

La première nouveauté qui frappe en ces réponses est que le sujet formule enfin le problème en ses termes réels qui sont d’opposer R à la fois à la plus grande force (F + ) et à la plus petite (F — ) : donc R à (Fl + F2). On se rappelle, en effet, qu’au stade II, la difficulté était pour l’enfant qu’il combinait sans système (F-|-) avec R, ou R avec (F— ) ouF+ avec F— selon des associations d’aide ou des oppositions variées. Il en résultait que, ou bien il plaçait R sur la bissectrice (dans les questions III2 et III3 comme en HH), ce qui revenait bien à réunir F-|- et F— mais en négligeant leurs inégalités, ou bien il tenait compte de ces dernières en mettant R face à (F— |— ), ce qui revenait à négliger (F— ) ; ou bien encore il le mettait face à (F— ), mais pour 1’« aider » en oubliant le rôle des inversions de sens. Nous voyons au contraire les cas intermédiaires Ros et Car (et encore Ala) débuter de même, mais se corriger pour ces deux raisons que (F— ) a quand même un poids et que (F-|-) est le plus lourd des deux : d’où l’opposition entre R d’un côté, et (F+) réuni à (F— ), de l’autre. Le raisonnement est explicite chez les cas francs : en particulier, Jea dit que si l’on plaçait R face à (F-|-) en ce cas (F— ) « ne servirait plus à rien », ce qui signifie ne jouerait plus de rôle, ce qui est contradictoire avec le fait qu’il a un poids ; cela montre du même coup que Jea ne pense plus à des collaborations entre (F— ) et R ou (F+ ), mais bien à une opposition entre (F + et F— ) et R : même si l’on augmente fortement (F— |-) le poids (F— ) compte toujours, de telle sorte que R serait à mettre « un quart de poil en face mais pas tout à fait ».

Il est vrai que Cel parle encore d’une « aide » entre (F— ) et R pour « tirer » (F-|-), ce qui rappelle le cas de Fav au niveau H. Mais en fait, leurs raisonnements sont bien différents : chez Fav il y a conflit entre l’aide et l’opposition, tandis que chez Cel R aide (F— ) en compensant par sa direction l’infériorité de (F— ) dans l’opposition entre (F -j- et F— ) et R. En effet, non seulement Cel ne choisit que des positions correctes pour R, mais encore ses réductions reviennent à tirer R (F— ) = (F -J- ) de (F-|-) + (F— ) = R, ce qui est vectoriellement exact.

Quant à savoir comment ces sujets découvrent la bonne direction de R, il semble y avoir deux méthodes : ou le sujet part de l’opposé de la bissectrice entre (F+) et (F— ), mais du fait que (F-f- ) < (F— ) ils déplacent un peu R du côté de l’opposée

de (F-f-), ou bien comme Gel ils se centrent d’abord sur « celui qui est le plus lourd », mais s’engagent alors quelque peu de son opposé dans la direction de (F— ). Mais, dans les deux cas, la découverte de la bonne direction de R dépend naturellement de la prise en considération des différences d’intensité, tandis que réciproquement la solution correcte des questions II d’intensité nous est apparue comme subordonnée à la mise en évidence du rôle des directions (en fonction de l’écartement entre les F). Le stade III est donc bien celui de la synthèse entre les facteurs d’intensité et de direction permettant la solution des questions II et III.

Nous voyons effectivement, à ce dernier niveau III, que certains sujets y accèdent pour les questions de directions avant d’y parvenir pour celles des intensités (c’est le cas de Gel et des cas intermédiaires Ros et Car), que d’autres sujets y parviennent au contraire dans les problèmes des intensités avant ceux de directions (c’est le cas de Cia et de Tia), tandis que les troisièmes accomplissent ce progrès pour les deux épreuves à la fois (Ala, Mic, Vie et Jea). Cela revient à dire que sur l’ensemble des sujets (cités ou non cités) accédant au stade III, 36 % y arrivent pour l’intensité et la direction à la fois, 45 % avec avance de la direction et 18 % avec avance de l’intensité. Par contre, sur l’ensemble des sujets examinés, 66 % sont du même stade pour les deux sortes de questions, 27 % sont en avance pour la direction et 6 % pour l’intensité (et seulement à la frontière des stades II-III). Mais cette avance générale sur les questions de direction est assez naturelle, puisqu’il s’agit d’intensités visiblement inégales modifiant la direction de l’opposée de leur résultante, tandis que les questions d’intensité portent sur des forces apparemment égales dont on ne modifie que l’écartement. Il n’en est que plus frappant que les deux tiers des sujets appartiennent aux mêmes stades pour les deux sortes de problèmes à la fois et qu’au niveau de la synthèse (stade III), on trouve des avances pour les questions d’intensité. Dans les grandes lignes on peut donc bien soutenir, comme nous l’annoncions au § 1, qu’il y a synthèse graduelle, avec progressions parallèles, entre les constructions des notions de direction et de celles d’intensité.