Avant-propos ^a

Le but de cet ouvrage est double : initier le débutant à la logique moderne, qui est la logistique, et développer certaines thèses concernant les structures d’ensemble et la réversibilité qui caractérisent les opérations déductives.

Il importe dès l’abord de préciser, vis-à-vis des logisticiens de métier, les limites d’un tel Traité, ainsi que son utilité éventuelle. Ce livre est écrit par un psychologue, qui s’intéresse à la logique dans la mesure où elle permet de construire un modèle épuré des structures de la pensée ; il n’est donc point l’œuvre d’un spécialiste de l’axiomatique ni d’un mathématicien. Tout vrai logisticien (l’espèce en est d’ailleurs encore rare) pourra donc constater les lacunes de la formalisation dont se contentent ces pages (une formalisation plus précise les eût au reste rendues peu abordables). La logistique y est présentée « intuitivement », comme on dit, y compris les quelques démonstrations poussées jusqu’à un certain détail.

Mais, si une logistique intuitive constitue, de toute évidence, une simple introduction à la logistique entièrement formalisée, elle n’en présente pas moins son utilité pour le logicien lui-même. En effet, toute logistique s’appuie sur des présuppositions intuitives : à lire les principaux logisticiens, comme Russell, v. Wittgenstein, Carnap, etc., on s’aperçoit vite qu’ils se réfèrent tous à certaines intuitions tenues par eux comme allant de soi dans la mesure précisément où elles échappent à la vérification logistique. Les’ uns se fient à leur « intuition rationnelle », s’imaginant atteindre des formes en soi ; les autres s’appuient sur une sorte d’intuition symbolique et croient ne manipuler que des signes selon une combinatoire suspendue dans le vide ; d’autres recourent à une intuition physicaliste ; les derniers, enfin, invoquent certaines intuitions psychologiques — et ce sont là les présuppositions les plus dangereuses, car elles se contentent souvent de la psychologie la plus courte et la plus illusoire : celle des données soi-disant immédiates. Nous avons pensé au contraire que notre rôle, en tant que logicien formé par la psychologie, était de fournir un modèle logique des opérations réelles de la pensée, ou, plus précisément, une image du processus selon lequel la logique formalise progressivement les opérations concrètes de l’esprit.

Or, nous croyons que cette image peut être instructive pour la logique elle-même. Quelle que soit, en effet, la philosophie que chacun, en privé, se donne de la logique (platonisme, nominalisme ou empirisme physicaliste),

les opérations logistiques correspondent toujours d’abord à des opérations de la pensée, car, même pour atteindre des idées en soi, des syntaxes ou des choses, il faut nécessairement passer par des actions du sujet, c’est-à-dire par des opérations réelles de l’esprit. Pour la psychologie, comme pour la logique, le vrai n’est pas dû à une simple lecture, mais est toujours lié à des « manipulations » opératoires. Or, ces opérations réelles, tout en rejoignant de façon frappante les opérations abstraites sur lesquelles porte la logistique, en diffèrent cependant sur un point, et qui est essentiel : loin de se composer d’éléments discontinus et isolés, de « propositions atomiques » ou d’énoncés exprimant sans plus des qualités physiques morcelables, le modèle concret que constituent les opérations de la pensée consiste toujours en systèmes d’ensemble, structurés en tant que totalités et reconnaissables à leur composition réversible. Mais cette différence entre le modèle concret et le schéma abstrait soulève naturellement elle-même un problème logistique : il est évidemment possible de construire une logistique des systèmes d’ensemble comme tels, et elle doit être de nature à enrichir, et non pas à contredire la logistique combinatoire usuelle. C’est en vue d’assurer cette liaison du concret et de l’abstrait, liaison indispensable au logicien comme au psychologue, que nous avons écrit le présent ouvrage et lui avons conservé une forme intuitive, à la fois accessible au débutant en logistique et facile à formaliser davantage par le logicien de métier.

Mais cette recherche des lois propres aux structures opératoires d’ensemble nous a conduit à centrer nos analyses d’une manière qui s’éloigne - parfois des préoccupations un peu trop unilatéralement mathématiques de la logistique contemporaine. Il ne s’agit à cet égard, ni de faire preuve d’ingratitude à l’égard des mathématiciens ni surtout de méconnaître l’intérêt exceptionnel de la logique mathématique, mais simplement de la compléter par une logique des opérations élémentaires elles-mêmes, ou, si l’on préfère, des opérations prémathématiques. La logistique a été presque entièrement l’œuvre des mathématiciens et elle leur doit par conséquent beaucoup, à commencer par sa rigueur et son indépendance philosophique. Mais les mathématiciens, en s’intéressant à la logique, n’ont pas seulement eu en vue la théorie de la démonstration et de la déduction, ce qui a grandement enrichi notre connaissance des opérations de l’esprit : ils ont souvent rêvé d’une réduction des mathématiques à la logique, ou au contraire d’une identification de la logique avec certaines des parties générales de la z mathématique. Or, de ces efforts, d’ailleurs très fructueux par les problèmes nouveaux qu’ils ont suscités, n’est pas uniquement résulté un approfondissement de notre savoir quant à la complexité des mécanismes opératoires ; il en est découlé aussi parfois une sorte de déplacement des problèmes ou des buts mêmes de la logistique, qui sont cependant multiples et ouverts à toute recherche.

Tout en reconnaissant une évidente continuité entre les opérations logiques et les opérations mathématiques, nous ne croyons cependant pas que l’une des deux disciplines ainsi rapprochées puisse sérieusement songer à absorber l’autre, dans le sens d’une réduction pure et simple. Nous ne croyons même pas que la logique qualitative courante, celle qui intervient par exemple dans la construction des classifications zoologiques et botaniques, se confonde avec les parties les plus générales de la théorie des

ensembles et nous chercherons à montrer pourquoi cette identification de la classe logique et de l’ensemble mathématique aboutit à fausser les perspectives sur un certain nombre de points.

Aussi serons-nous conduits à défendre quelques thèses non-conformistes quant aux rapports entre la logique et les mathématiques. En voici les trois principales. En premier lieu, tandis que l’élémentaire pour le mathématicien se confond avec le plus général, le logicien doit remonter aux opérations les plus élémentaires dans le sens des plus simples possibles. Il ne partira donc pas nécessairement des opérations présentant un intérêt à la fois mathématique et non-mathématique, mais de celles qui traduisent les actions les plus fondamentales du sujet opérant : substitutions, classements, enchaînements, correspondances, etc., en tant qu’appliquées à des objets qualifiés, et non pas d’emblée aux unités « quelconques » caractérisant l’élément mathématique. C’est donc sur l’analyse de ces opérations les plus simples qu’insiste surtout le présent ouvrage : il pourrait être intitulé Esquisse d’une logique des opérations élémentaires, par opposition aux opérations les plus générales.

En second lieu, les opérations élémentaires qu’étudie la logique se rapportent exclusivement aux relations de la partie et du tout (inclusions et complémentarités de diverses formes) ; par contre, les* mathématiques, qui utilisent aussi de telles relations, les complètent d’emblée par des relations directes entre les parties. La logique ne connaît donc que la quantité « intensive » liée aux « quelque » et au « tout », alors qu’en théorie des ensembles déjà intervient la quantité « extensive » due à la comparaison des parties entre elles : par exemple la notion du « presque tous » (qui est impliquée dans l’idée de limite, etc.) est déjà spécifiquement mathématique. C’est ainsi que la logique (intensive) sait qu’il existe plus de Vertébrés que de Poissons, car tous les Poissons sont des Vertébrés sans que la réciproque soit vraie, mais elle ne saurait décider si la classe des Poissons est d’une extension plus ou moins grande que celle des Oiseaux ou des Insectes faute de relations de partie à tout entre ces deux classes ; au contraire la théorie des ensembles peut juger si deux ensembles disjoints E et F sont équipotents ou si l’un est de « puissance » supérieure à l’autre. Or, cette distinction élémentaire de l’intensif et de l’extensif explique, verrons-nous, les oppositions entre la logique des propositions bivalentes et les raisonnements spécifiquement mathématiques, autant que les différences entre la classe et le nombre.

En troisième lieu, et surtout, s’il existe des structures d’ensemble embrassant la totalité des opérations logiques, elles se distingueront alors des structures totales connues en mathématiques (groupes, corps, anneaux, lattices, etc.) par des conditions restrictives qu’il s’agira d’analyser avec soin au lieu de les voiler pour rendre les assimilations plus faciles. Le problème principal que nous chercherons à résoudre sera donc de caractériser les structures d’ensemble spécifiques des opérations logiques élémentaires et de construire ainsi une logique de la totalité, bien coordonnée (mais non pas subordonnée) à la mathématique.

Or, nous croyons que cette attitude critique dans la détermination des structures opératoires élémentaires est, en définitive, de nature à intéresser les mathématiques elles-mêmes et à préparer la solution de certains problèmes

de logique mathématique mieux que n’y conduit l’attitude de réduction pure et simple du mathématique au logique (ou l’inverse). Chacun sait, en effet, que les tentatives répétées de « formaliser » l’arithmétique jusqu’à pouvoir établir la non-contradiction logique de cette discipline ont jusqu’ici échoué. Or, cet échec, dont Goedel a fourni la raison en une démonstration célèbre, montre mieux que tout autre argument l’inadéquation relative des cadres logiques aux[constructions proprement mathématiques. Ne serait-ce point alors que les critères classiques de la non-contradiction et de l’identité exigent une révision et un élargissement ? Est-il certain que la contradiction (n — n) ≠ 0 soit de la même espèce que (p ∙ p) ≠ 0 (par exemple x est à la fois invertébré et poisson) ? Or, la solution d’une telle question ne saurait être cherchée que sur le terrain des structures opératoires d’ensemble, car c’est seulement en fonction de la composition réversible des opérations que l’identité et la non-contradiction prennent un sens, et peut-être un sens distinct d’un système d’opérations à l’autre. En dégageant la nature des totalités élémentaires, il sera donc sans doute possible de répondre, non seulement aux exigences proprement logiques d’un retour aux sources opératoires de la pensée, mais encore aux intérêts des mathématiciens eux-mêmes : remontant à ces mêmes sources prémathématiques, ceux-ci découvriront vraisemblablement pourquoi la logique pure, avec ses structures restreintes (quantité intensive, dichotomies propres à la logique bivalente, etc.), ne saurait rendre compte des structures arithmétiques qui englobent ces dernières, mais en les dépassant.