Introduction.
L’objet et les méthodes de la logique ^a 🔗

Il est un point sur lequel tous les logiciens se trouvent d’accord, quelle que soit leur école : c’est que l’analyse logique porte sur certains énoncés susceptibles de vérité ou de fausseté, autrement

1. Pour le Cercle des Sciences, voir notre Introduction à l’épistémologie’ génétique, Presses Universitaires de France.

dit que l’objet de la logique est relatif au vrai et au faux. Qu’il s’agisse de logique normative (art de bien penser ou codification des règles de vérité), de logique réflexive (ou analyse de la pensée se considérant comme vraie), de logistique à nuances platonicienne, nominaliste ou physicaliste, chacun se réfère à la distinction du vrai et du faux. On pourrait donc dire, en première approximation, que la logique est l’étude de la connaissance vraie, envisagée en ses formes les plus générales. __

Mais les connaissances vraies, sous leurs formes particulières, relevant de sciences autres que la logique, et l’étude des divers types de connaissance scientifiques étant l’objet de l’épistémologie, il s’agit d’abord de délimiter les champs respectifs de l’épistémologie et de la logique, puis ceux de la logique et des autres sciences différenciées. Or, sur le premier de ces deux points, l’accord est loin d’être généra] et toutes les positions ont été défendues, depuis l’absorption de la logique dans l’épistémologie, ou l’inverse, jusqu’aux divers modes concevables de répartition. L’opinion la plus répandue, que nous accepterons ici, est cependant fondée sur une distinction entre deux points de vue possibles sur la connaissance, distinction dont chacun est obligé de tenir compte malgré la diversité des expressions qui la désignent. On peut, en effet, étudier la connaissance soit à titre de rapport entre le sujet et l’objet, soit à titre de forme pure, c’est-à-dire en se référant exclusivement (nous préciserons plus loin le sens de cette exclusivité) à certaines activités du sujet qui comportent la distinction du vrai et du faux (à ses énoncés propositionnels, par exemple, ou aux « lois » de sa pensée, à ses opérations, etc.). Nous conviendrons donc d’appeler épistémologie l’étude de la connaissance en tant que rapport entre le sujet et l’objet et de réserver le terme de logique pour l’analyse formelle de la connaissance.

Il est, en effet, possible de construire une théorie des rapports entre le sujet connaissant et les objets donnés dans l’expérience, et c’est à cette théorie que l’on réserve habituellement le nom de théorie de la connaissance ou épistémologie. Mais l’histoire montre que, si l’on pose un tel problème sous sa forme générale, en cherchant à atteindre la relation entre le sujet et l’objet considérés une fois pour toutes (en soi et a priori, ou bien a posteriori dans la connaissance constituée), on aboutit à des épistémologies multiples et irréductibles entre elles, parce que toujours solidaires d’une métaphysique de l’esprit ou du monde extérieur (ou des deux solidaire-

ment). Il est, par contre, possible, comme nous avons cherché à le justifier ailleurs¹, de constituer une épistémologie positive, en réduisant le problème à cette question limitée : comment s’accroissent les connaissances ? Sous cet angle génétique et historico-critique, tous les problèmes de l’épistémologie classique sont alors abordables, mais en termes d’accroissement et non plus d’un point de vue statique.

Or, tant sous cette forme restreinte que sous sa forme générale, l’épistémologie envisage la connaissance du point de vue de l’objet autant que du sujet. Même lorsqu’elle s’occupe des mathématiques sous leur forme axiomatisée ou de rapports logiques purement formels, l’épistémologie est sans cesse ramenée à la question des rapports entre le sujet et l’objet : son problème propre, en ce qui concerne les sciences déductives, est de comprendre comment la logique et les mathématiques sont possibles, dans leur aspect non seulement d’activités du sujet, mais encore d’adéquation au réel. Or, cette question est plus large que le problème logique, lequel porte uniquement sur la validité interne des systèmes de propositions, c’est-à-dire sur la manière dont une proposition en entraîne ou en exclut d’autres. L’épistémologie suppose donc résolu le problème logique, mais la réciproque n’est pas vraie. Même une épistémologie purement aprioriste, s’accompagnant de la métaphysique la plus idéaliste, est obligée de fournir une théorie de l’expérience et d’expliquer l’accord entre les cadres supposés a priori et les données sensibles. La logique, au contraire, étudie simplement la manière dont les données sont énoncées par des propositions et comment celles-ci s’enchaînent entre elles : elle pofte donc sur un domaine qui demeure intérieur à l’activité du sujet. Même si ces données sensibles sont, du point de vue épistémologique, relatives à une interaction entre l’objet et les activités du sujet, et même si ces propositions expriment des opérations^ c’est-à-dire (épistémologiquement parlant) des actions du sujet exercées sur l’objet, la logique ne s’occupe que de la systématisation et de la cohérence internes de ces opérations et non pas de leurs relations avec l’objet comme tel. C’est en ce sens que la logique demeure exclusivement relative aux activités du sujet et ne s’occupe pas des interactions entre le sujet et l’objet, lesquelles concernent seulement l’épistémologie. Cela ne signifie nullement que la logique nie en quoi que ce

1. Voir notre Introduction à Γépistémologie génétique.

soit (pas plus qu’elle ne l’affirme) l’existence épistémologique de l’objet, mais, les opérations dont elle étudie la cohérence formelle pouvant être effectuée sur des objets extérieurs quelconques, elle n’a point à considérer l’intervention de ceux-ci¹.

Il faut donc préciser que le vrai et le faux dont s’occupe la logique constituent uniquement une vérité et une fausseté formelles. On distingue, en effet, une vérité réelle ou accord entre les propositions et l’expérience, et une vérité formelle ou accord des propositions entre elles. La vérité réelle concerne la méthodologie des sciences expérimentales, tandis que la vérité formelle est l’objet de cette discipline que l’on appelait « logique formelle » lorsque l’on désignait du nom de « logique appliquée » l’étude des méthodes propres aux autres sciences. Nous ne parlerons donc pas de. logique formelle et la nommerons, suivant l’usage actuel, la logique tout court. En effet, la méthodologie ne fait pas partie de la logique et rien n’est plus équivoque que le terme de logique appliquée, lorsqu’on l’utilise pour la caractériser. Il y a à cela trois bonnes raisons. La première est que, historiquement et génétiquement, la soi-disant logique appliquée a toujours précédé la logique formelle. On commence toujours par raisonner sur le réel, et c’est après coup seulement que l’on peut se demander (une fois organisées les ^opérations intellectuelles et une fois leurs structures d’ensemble suffisamment élaborées) comment on raisonne. La logique est donc le produit d’une réflexion et d’une formalisation rétrospectives et ne constitue pas un code déjà formulé avant ses applications. Lorsqu’Aristote a tenté une première formalisation de la logique, les mathématiques existaient déjà, ’et lui-même avait auparavant tenté de comprendre l’univers et notamment de classer les êtres vivants. En second lieu, si la logique est devenue une science positive depuis qu’elle possède ses propres algorithmes, elle peut être appliquée aux mathématiques, et même à la physique, à la biologie, etc…, comme les mathématiques s’appliquent aux autres sciences et comme la physique et la chimie s’appliquent à la biologie. Mais ces applications ne se confondent nullement avec la méthodologie des sciences intéressées : elles consistent en une intégration des formules logistiques dans les théories axiomatisées des sciences déductives ou en leur

1. Gonseth a caractérisé la logique comme étant (entre autres) une « physique de l’objet quelconque ». Cette accentuation physicaliste va trop loin. Il s’agit d’opérations sur l’objet quelconque. Que celles-ci réussissent dans leurs applications au réel et que cette réussite suffise à constituer une physique, c’est là un problème épistémologique et non plus logique.

utilisation lorsqu’il s’agit d’exprimer en termes qualitatifs ce qui ne peut être mesuré (provisoirement ou définitivement)¹. En troisième lieu, et surtout, la méthodologie est l’affaire des spécialistes de chaque science, car, pour traiter avec fruit des méthodes, la condition minimum, non pas suffisante, mais assurément nécessaire, est de les avoir pratiquées et vécues ! C’est faute de reconnaître cette évidence que les logiques de 1’« induction » sont, jusqu’à ces derniers temps, demeurées si étonnamment inadéquates, à commencer par celle de F. Bacon, sur la valeur de laquelle les philosophes eux-mêmes ne parviennent pas à se mettre d’accord, et à continuer par les canons de J. Stuart Mill, qui constituent d’excellents sujets de dissertation, mais dont le rendement effectif n’a point égalé ce succès scolaire.

Mais, après que les procédés méthodologiques des diverses sciences aient été analysées par les spécialistes eux-mêmes, il va de soi qu’ils intéressent au plus haut point l’épistémologie et la logique. Seulement, c’est au premier surtout de ces deux points de vue que la méthodologie importe, car elle met précisément à nu les rapports vivants et ondoyants qui relient le sujet aux objets. La logique au contraire ne puise dans les données méthodologiques que les éléments intéressant la formalisation graduelle du savoir à partir des purs énoncés de faits jusqu’à la constitution d’une théorie cohérente, et cela sans se placer sous l’angle historique ou génétique, mais en demeurant sur le terrain de la formulation comme telle.

Bref, le vrai et le faux ne sont pour la logique que la vérité formelle et la contradiction entre les énoncés propositionnels. La logique n’a point à établir une théorie de l’expérience. Elle part, cela est exact, des énoncés les plus simples possibles et les plus proches de la donnée de fait ; mais ce n’est pas elle qui décide qu’une proposition est vraie ou fausse par rapport aux faits : elle reçoit simplement, à titre de pures données, un certain nombre d,énoncés, les uns qualifiés de vrais et les autres de faux, et son travail propre commence avec la composition formelle de ces énoncés, vrais ou faux par hypothèse. Elle montre alors, et tel est exclusivement son rôle, comment ces énoncés combinés entre eux aboutissent à des conséquences formellement nécessaires ou à des contradictions selon que sont res-

1. En psychologie, par exemple, on peut décrire au moyen de symboles logistiques certains mécanismes de l’intelligence et même de la perception, indépendamment de la mesure.

pectées ou non certaines structures formelles de composition. C’est en ce sens que la logique s’intéresse à la forme pure et ne s’occupe en rien de l’objet lui-même, lequel concerne les sciences expérimentales et l’épistémologie.

Mais il convient de déterminer maintenant en quoi consiste cette « forme », c’est-à-dire de quoi elle est la forme. Une question préalable est de savoir s’il s’agit d’une forme normative, c’est-à-dire d’un ensemble de règles et de valeurs réglées, ou s’il s’agit d’une structure réglée par des lois nécessaires et non pas par des impératifs. Les deux opinions ont été soutenues. Pour les uns, comme A. Lalande, la logique est essentiellement une discipline normative, puisqu’elle porte sur le vrai et le faux qui sont des valeurs réglées, et que le vrai s’impose obligatoirement à l’esprit, non pas à la manière d’une loi naturelle ou psychologique, mais à l’instar d’une norme morale. Pour les autres, au contraire, tels que les nominalistes viennois, les compositions formelles sur lesquelles porte la logique constituent une structure, idéalisée et schématisée certes, mais dont les transformations sont accessibles à un calcul donnant lieu aux mêmes constatations mentales que toute combinatoire.

En réalité les deux thèses correspondent à deux points de vue possibles (d’ailleurs complémentaires) sur la logique, et concernent sa signification épistémologique sans affecter sa technique. Elles sont donc acceptables simultanément, toute proposition logique pouvant tour à tour être exprimée dans le langage normatif de la règle et dans le langage constatif de la loi. Soit, en effet, deux propositions p et p, vraie et fausse en vertu d’une construction formelle. On peut à leur sujet employer les termes de « vrai » et de « faux » et se placer ainsi à un point de vue normatif : par exemple la proposition p « Genève est en France » est fausse. Mais on peut aussi considérer p et p comme des propositions positives et négatives et lire p sous la forme « Genève n’est pas en France », ce qui permet de demeurer constamment dans le vrai. Le principe de non-contradiction p ■ p = 0 signifiera alors simplement qu’aucun terme ne saurait appartenir à la fois à une classe donnée (par exemple les villes de France) et à sa complémentaire (les villes non situées en France). Nous parlerons donc indifféremment de propositions vraies ou fausses ou positives et négatives, étant entendu que toute composition formelle est ainsi réductible à une même structure abstraite, qu’il s’agisse de valeurs réglées (vérité et fausseté) ou de simples relations combinatoires (positives ou négatives).

Mais c’est la structure de quoi ? Autrement dit de quoi les « formes » logiques constituent-elles les règles ou les lois ? Une première solution^ consiste à les considérer comme l’ensemble des coordinations propres à une langue bien faite. C’est l’opinion commune du Cercle de Vienne, qui interprète la logique comme une pure syntaxe et de l’école d’Amsterdam, qui en fait un système de « communications » (en insistant davantage sur les « significations »). La nuance épistémologique propre à de telles interprétations consiste assurément à mettre l’accent sur la connaissance soit expérimentale, soit intuitive, dont les structures formelles constitueraient alors les simples énoncés combinables entre eux. Mais, même à réduire les formes logiques au rang de purs signes, il reste qu’un signe comporte toujours une signification et que le jeu formel lui-mème, indépendamment de toute référence à son contenu, est un système de significations distinctes puisqu’il comporte des valeurs vraies et fausses (ou positives et négatives). Fût-il donc entièrement tautologique eu égard à son contenu, un système de combinaisons formelles engendre au moins autant de significations que de combinaisons différentes, et opérer sur des signes consiste ainsi également à opérer sur des significations, c’est-à-dire à composer des opérations intellectuelles. L’interprétation nominaliste de la logistique ne concerne par conséquent que l’épistémologie des structures logiques et n’appauvrit pas la nature de ces dernières en tant que relatives à des activités du sujet : de telles structures comportent donc à la fois des signes et des opérations d’inférence s’appliquant à ces signes pour leur conférer des significations relatives à leurs combinaisons mêmes.

D’où la seconde interprétation possible : les structures logiques expriment les lois de la pensée. Il ne s’agit naturellement pas de lois causales et temporelles, mais de celles qui règlent les activités du sujet susceptibles d’engendrer des rapports vrais ou faux. Que sont alors ces activités, s’il ne s’agit pas d’un pur langage ? Un système de propositions comporte deux sortes de structures : les liaisons internes entre les termes contenus dans la proposition et les liaisons externes entre les propositions elles-mêmes. Si l’on appelle « opérations » les activités intellectuelles composant ou décomposant de telles liaisons, on peut alors considérer les structures logiques comme exprimant les opérations de la pensée.

La logique serait donc, en deuxième approximation, la théorie • formelle des opérations de la pensée. Mais deux questions se posent

alors : celle des limites entre la logique et la psychologie ou la sociologie, qui s’occupent aussi des opérations de la pensée (voir § II), et surtout celle des frontières à tracer — ou à supprimer — entre la logique et les mathématiques, lesquelles constituent à leur tour des structures opératoires de plus en plus différenciées (voir § III). A ces deux réserves près, la définition recouvre bien tout le programme de la logique classique et de la logistique moderne. Là où celle-là portait sur des énoncés verbaux — résultats statiques des opérations elles-mêmes — celle-ci est devenue essentiellement calcul. Or, le calcul exprime les opérations comme telles et, si raffinée que puisse être son axiomatisation, les axiomes ne décrivent en fin de compte que le jeu d’un certain nombre d’« opérateurs » fondamentaux. Il est vrai que, désireuse de pousser le formalisme au maximum, la logistique moderne tend à réduire, autant que faire se peut, non seulement tout appel au contenu de la pensée, c’est-à-dire aux relations établies entre les choses, mais encore tout appel aux données psychologiques, quelles qu’elles soient : ces dernières risquent, en effet, d’introduire un élément intuitif au sein d’un mécanisme formel qu’il s’agit d’épurer dans la mesure du possible. C’est pourquoi, sous la double influence des courants nominalistes et du besoin de formalisation, la logistique en vient souvent à n’employer aucune expression empruntée à un domaine extérieur au discours lui-même ; cela permet alors à certains logiciens de paraître ignorer le concept de pensée et de s’en tenir à ce que l’on pourrait appeler une sorte de logique du comportement (par analogie avec la psychologie du même nom, laquelle a voulu réduire aussi la pensée au langage, avant de découvrir ses rapports avec l’action). Mais c’est précisément en suivant cette voie que l’on aboutit le mieux à mettre en évidence le rôle irréductible des opérateurs. Qu’il s’agisse d’opérations-actions et, comme on dit parfois, de « manipulations », ou d’opérations-pensées, cela reste l’affaire de la psychologie : du point de vue logistique, il s’agit d’opérations formalisables et cela suffit pour caractériser une théorie logique cohérente.

Mais la définition adoptée n’est-elle pas tendancieuse, en ce sens qu’elle introduit dès l’abord l’idée de transformation opératoire, tandis que l’on pourrait mettre l’accent sur les éléments statiques comme tels : sur les énoncés propositionnels, pour ce qui est du calcul des propositions et sur les relations ou les classes pour ce qui est de la logique de ces structures élémentaires. Nous reconnaissons, en effet, qu’il y a une intention en cette accentuation de la notion

d’opération : c’est celle que nous développerons en tout cet ouvrage de dégager les caractères de systèmes d’ensemble, c’est-à-dire précisément de totalités opératoires, que constituent, sur chaque palier de formalisation, tantôt les classes et les relations, tantôt les propositions elles-mêmes. Mais indépendamment de toute hypothèse sur le rôle effectif que jouent en logique formelle les totalités ou les systèmes d’ensemble de transformations, il reste que la notion d’opération s’applique à tous les éléments logiques, même lorsqu’ils peuvent par ailleurs être envisagés statiquement (c’est-à-dire en cas d’opérations nulles). Il est aussi faux logiquement que psychologiquement de croire que l’on puisse se donner une classe, une relation, ou même un objet individuel pourvu d’un certain nombre d’attributs positifs ou négatifs (présence ou absence de qualités déterminées), sans faire intervenir des opérations (de réunion, de correspondance, de substitution, de sériation, etc.), et il suffit déjà, en posant une proposition p, de la qualifier en ( + )p ou en ~p, pour la soumettre à d’autres opérations, indépendamment de sa décomposition interne possible en termes de classes et de relations. C’est donc l’ensemble des opérations de la pensée que la logique se doit de formaliser, si elle veut parvenir à une théorie exhaustive de la cohérence formelle.

Si la logique est une théorie formelle des opérations de la pensée, la psychologie et la sociologie, ou du moins certaines parties de ces disciplines, constituent au contraire une théorie réelle des mêmes opérations : des opérations effectuées par l’individu, ou échangées grâce au langage et effectuées en commun. En principe la limite entre l’objet de la logique et celui de la psycho-sociologie est donc claire : c’est celle qui sépare une forme pure d’un mécanisme concret et causal. Mais en pratique, la délimitation est-elle aussi aisée ?

En principe, le point de vue de la logique et celui de la psychologie ou de la sociologie sont entièrement distincts. Pour la première discipline, le seul et unique problème est celui de la validité formelle des compositions opératoires : étant donné un système de propositions vraies et fausses, quelles sont les autres propositions vraies et fausses qui découlent valablement des rapports admis ? Or, analyser la validité formelle, ce sera nécessairement la fonder et le but essentiel de la

logique consistera donc à dégager les principes ou axiomes nécessaires et suffisants pour assurer la rigueur des enchaînements opératoires étudiés. Pour la psychologie et la sociologie, le problème est au contraire d’établir les lois réelles des opérations de l’action ou de la pensée, et de les expliquer : la question ne sera donc pas de « fonder », mais exclusivement de comprendre et de reconstituer génétiquement¹.

Ainsi le jeu des opérations se présente sous un jour très différent selon qu’on l’étudie formellement ou d’un point de vue réel, en tant qu’inséré dans un contexte temporel et causal d’activité vivante. Formellement les opérations sont des transformations permettant d’établir certaines propositions ou relations à partir d’autres propositions ou relations, et des transformations dont la validité est réglée par l’acceptation (ou le rejet) de certains axiomes. Réellement les opérations sont des actions équilibrées. Dire qu’elles sont des actions signifie qu’elles ont une histoire les rattachant aux activités concrètes du sujet : psychologiquement cela revient à montrer la continuité entre les coordinations sensori-motrices et les actions effectives, puis entre celles-ci et les actions intériorisées ou actes symboliques caractérisant la pensée ; sociologiquement, cela revient à faire voir comment ce passage de l’acte réel à l’opération mentale est solidaire d’une coopération concrète entre les individus et d’un système de communications entre eux. Dire que les opérations sont des actions équilibrées revient, d’autre part, à affirmer que ces actions intériorisées en pensée et échangées sous forme de propositions parviennent à se coordonner en systèmes mobiles, mais stables, dont les transformations deviennent entièrement réversibles, dont la conservation d’ensemble est assurée par cette réversibilité même et se trouve réglée par des normes collectives de réciprocité (expression interindividuelle de la réversibilité). Bref, là où la logique voit dans les opérations des transformations formelles dont la validité repose sur des axiomes, la psychosociologie les considère comme des actions intériorisées, effectuées en commun ou selon des correspondances interindividuelles, et susceptibles de coordination équilibrée (composition réversible) à la

1. Par exemple une inférence telle que A = B ; B = C donc A = C apparaîtra au logicien comme très primitive (comme un axiome ou comme directement issu d’un axiome) ; le psychologue au contraire constatera que cette transitivité n’est pas accessible à la pensée avant un niveau mental donné : il cherchera alors à. déterminer les facteurs qui en préparent la construction et la rendent en fin de compte nécessaire (réversibilité progressive des opérations mentales conduisant à la conservation des données, etc.).

fois au sein des pensées individuelles et dans les échanges entre individus.

Pour ce qui est des principes, il est donc clair que la théorie formelle des opérations, ou logique, et la théorie réelle des mêmes opérations, ou analyse génétique et causale propre à la psychologie et à la sociologie, ne sauraient en rien empiéter l’une sur l’autre, mais qu’elles se complètent au contraire de façon parfaitement délimitée et sans contradiction possible.

Mais, si évident que soit le principe d’une telle délimitation, on s’aperçoit que cette différenciation et cette complémentarité sont en réalité très récentes et à justifier encore aujourd’hui après de longues phases d’indissociation et d’empiètement réciproque.

Faute d’un algorithme symbolique, la logique classique ne s’est pas détachée, en effet, d’une description psychologique (introspective et non pas génétique, mais d’autant plus sujette à caution) des concepts, jugements et raisonnements. Elle a bien cru atteindre une ontologie, mais grâce à une sorte de projection de la pensée dans les choses, et elle a bien insisté, d’un tel point de vue, sur l’aspect normatif du problème en opposant ses descriptions de la pensée vraie à celles des paralogismes. Mais, en l’absence d’une axiomatique stricte, cette caractérisation du vrai et du faux ne pouvait se borner qu’à une introspection de ce que le sujet lui-même considère comme vrai ou faux. En énonçant les « principes » du vrai, tels que ceux de non-contradiction, d’identité ou de tiers- exclus, elle les formulait ainsi non pas à titre d’axiomes de départ d’une construction formelle autonome, mais à titre de « faits normatifs » observés dans la conscience individuelle ou collective. Elle ne sortait donc guère, en fait, des cadres de la psychologie et de la sociologie et décrivait les réalités logiques comme on décrit en sociologie les normes en vigueur dans une société donnée (ou dans tous les groupes sociaux si l’on croit pouvoir en découvrir de communes).

On retrouve ce psychologisme jusque dans la doctrine de Goblot, qui a le grand mérite d’avoir porté sur les opérations elles-mêmes, mais dont l’opérationalisme demeure une théorie psychologique beaucoup plus qu’il n’atteint la cohérence formelle. Caractériser la déduction par la construction opératoire, c’est, en effet, énoncer une évidence psychologique, mais c’est simplement poser le problème logique. Quel est alors le mode de composition entre opérateurs qui soit susceptible de garantir à la construction sa rigueur ? Telle est la vraie question, de ce second point de vue, et, pour la résoudre,

il est de toute nécessité de pouvoir formaliser le réglage lui-même du processus constructif.

*Or, si la logique est ainsi trop longtemps demeurée psychologiste, la psychologie et la sociologie ont réciproquement abusé du logicisme. C’est ainsi que la psychologie de la pensée, fondée sur les méthodes d’introspection provoquée, a par exemple consisté à analyser dans la seule conscience adulte les différences entre le jugement (susceptible de vérité et de fausseté) et la simple association d’idées : or, à défaut d’une étude génétique des opérations, une telle méthode a parfois abouti à se heurter, au terme de cette direction, à un résidu logique irréductible, que l’on a alors considéré simultanément comme « extrapsychologique » (Marbe) et comme agissant cependant sur les états mentaux¹ !

Par contre, au fur et à mesure que l’étude de l’intelligence est devenue génétique, tandis que la logique formalisait de son côté la structure des constructions opératoires, les deux disciplines se sont différenciées jusqu’à vouloir exclure tout chevauchement, tout en devenant, de ce fait et sans le rechercher, complémentaires et même, en certains domaines, exactement correspondantes.

Qu’on nous permette, à ce propos, de rappeler en quelques mots les résultats de nos études antérieures sur le développement individuel et interindividuel des opérations, à titre d’exemple de recherches exclusivement psychologiques, mais qui convergent avec une formalisation logique possible (c’est-à-dire avec celle que nous allons précisément prendre pour fil conducteur dans ce Traité). Le premier point à noter est que tout système d’opérations intellectuelles se présente psychologiquement sous deux aspects parallèles : extérieurement il s’agit d’actions coordonnées entre elles (actions effectives ou mentalisées), tandis qu’intérieurement, c’est- à-dire pour la conscience, il s’agit de rapports s’impliquant les uns les autres. L’explication psychologique consiste alors à procéder de l’extérieur à l’intérieur et non pas l’inverse, c’est-à-dire à voir dans les implications réfléchies le produit de la prise de conscience de l’organisation des actions. Or, le principal résultat de cette méthode, appliquée à la succession des conduites cognitives, de la naissance à l’âge adulte, est de montrer que la conscience d’implications nécessaires (telles que par exemple la notion de la conservation d’un tout indépendamment de l’arrangement de ses parties) est liée à

1. Voir notre Psychologie de l’intelligence, Collection Armand Colin, chap. II.

deux conditions psychologiques inséparables : la capacité de composer les actions entre elles (l’action a coordonnée avec l’action β donnant ainsi l’action γ) et surtout leur réversibilité, c’est-à-dire la possibilité de les dérouler dans les deux sens¹. En un mot, la conscience de la nécessité logique est liée psychologiquement à l’achèvement d’une composition réversible des actions et c’est cette composition réversible qui transforme les actions simples en opérations proprement dites. Mais cette réversibilité ne s’acquiert que par étapes : ce n’est qu’après une organisation sensori-motrice des actes et une articulation plus ou moins mobile des intuitions représentatives (ou actions imaginées en pensée) que les opérations se constituent, d’abord sous une forme concrète (composition des opérations constitutives des classes et des relations), puis sous une forme abstraite ou formelle (traduction des opérations concrètes en propositions posées à titre d’hypothèses et composition de ces propositions elles-mêmes, selon des opérations à la seconde puissance, qui sont les implications et incompatibilités déductives, etc.).

Or, ces données psychologiques correspondent à une formalisation logique possible, car les compositions réversibles d’opérations, dont la genèse peut ainsi être suivie au cours du développement mental, présentent des structures bien définies. II faut, à cet égard, distinguer avec soin deux sortes de processus mentaux. Il y a, d’une part, la formation ou l’évolution comme telles, qui n’intéressent pas directement la logique. Mais il y a, d’autre part, les états d’équilibre atteints au terme du développement d’un système de notions, et le critère de cet équilibre est précisément la réversibilité, devenue entière, des opérations. Or cette réversibilité, qui comporte un aspect causal (de ce point de vue elle caractérise l’existence même d’un état d’équilibre), comporte aussi un aspect implicatif ou logique : une opération réversible est une opération qui admet la possibilité d’une inverse. D’autre part, la réversibilité n’est que l’un des aspects de la composition équilibrée des opérations, laquelle suppose également l’intervention du produit de deux opérations, / d’opérations nulles ou identiques et de l’associativité des opérations (correspondant psychologiquement aux « détours » comme l’inversion correspond aux « retours »). Bref, une structure psychologiquement équilibrée est, en même temps, une structure logiquement formalisable : tel est le cas des classifications, des sériations et des

1. Voir La Psychologie de l’intelligence, chap. IV et V.

correspondances sur le terrain concret, et des systèmes déductifs sur celui des propositions.

D’un tel point de vue, et en se limitant donc aux états d’équilibre, on comprend alors les vrais rapports entre la logique, d’une part, et la psychologie ou la sociologie des opérations intellectuelles, d’autre part : la logique est l’axiomatique des structures opératoires » dont la psychologie et la sociologie de la pensée étudient le fonctionnement réel. Il existe, dans ce cas, entre la théorie formelle et l’analyse réelle, exactement le même rapport qu’entre toute axiomatique et toute recherche réelle concomitante (par exemple entre la géométrie axiomatique et la géométrie des objets physiques) : indépendance complète des méthodes et correspondance possible entre les problèmes. _ _κ

La correspondance des problèmes est claire. D’abord, tous les problèmes soulevés par la formalisation logique peuvent correspondre à des questions psychologiques et sociologiques. Ainsi l’emploi d’un symbolisme logistique adéquat correspond au problème des signes ; chaque structure formalisée correspond à une structure réelle, dans la pensée commune ou, à son défaut, dans l’esprit du logicien lui-même, etc. Inversement toute structure atteinte par les opérations mentales de l’individu ou par une coopération interindividuelle soulève le problème logique de sa formalisation possible : c’est le cas de la réversibilité et des divers groupements d’ensemble constitués par les opérations concrètes ou abstraites.

Mais, s’il y a ainsi correspondance possible des problèmes, il y a indépendance radicale des méthodes : jamais une donnée de fait, psychologique ou sociologique, ne saurait être invoquée dans la formalisation logique, laquelle reste autonome même à l’égard des normes les plus communément admises par le groupe social ou les individus ; jamais, en revanche, un raisonnement s’appuyant sur un algorithme formel ne saurait avoir raison d’un fait d’expérience en psychologie ou en sociologie de la pensée. C’est cette indépendance des méthodes qui, seule, assure, par ailleurs, la correspondance des problèmes. La logique et la psychologie classiques ont manqué l’une et l’autre cette correspondance, faute, entre autres, de méthode logique propre. La logistique garantit seule, par sa technique de formalisation, l’autonomie respective de la logique et de la psychosociologie, car seule l’axiomatisation peut libérer une science déductive de ses attaches intuitives et libérer une étude concrète et causale de ses présuppositions normatives.

Si la logique s’est ainsi dissociée de l’analyse psychologique elle s’est, en cette même mesure exactement, rapprochée des mathématiques pures. On observe, à cet égard, dans le mouvement des idées propres à la seconde moitié du xιx^e et au xx^e siècle, un déplacement en sens inverse de celui que nous venons de rappeler. La logique classique n’entretenait que de lointains rapports avec les mathématiques, parce qu’elle demeurait de fait en partie psychologique. Mais réciproquement les mathématiques se souciaient peu de logique formelle parce qu’elles restaient essentiellement intuitives. Or, tandis que la logique et la psychologie évoluaient en des directions divergentes quant à leurs méthodes, une convergence graduelle entre la logique et les mathématiques a résulté d’un double processus, extrêmement significatif parce que dû à des raisons partiellement indépendantes : la mathématisation de la logique, d’une part, due à la nécessité d’un symbolisme précis (l’algèbre de la logique), et la logicisation des mathématiques, d’autre part, due aux exigences de l’axiomatisation, c’est-à-dire à l’élimination progressive de l’intuition à titre de fondement de la connaissance abstraite.

Mais il faut soigneusement distinguer, dans les rapports entre la logique et les mathématiques, deux sortes de questions qui sont, en droit, entièrement indépendantes : celle de la convergence entre les méthodes logistiques et mathématiques, et celle de fa réduction éventuelle des structures mathématiques aux structures logiques. Ces deux problèmes sont souvent mêlés en fait, ou du moins, l’ont été à l’époque où l’influence de Russell tendait à les lier. Mais le déroulement ultérieur des idées a montré combien ils étaient distincts.

En ce qui concerne l’interaction des méthodes, c’est au projet de combinatoire universelle de Leibniz qu’il faut remonter pour voir comment l’idée d’une algèbre de la logique et d’une extension de la logique classique à celle des relations a pu être inspirée par l’algèbre proprement mathématique. Le projet a pris corps avec A. Morgan et G. Roole, dès le milieu du xιx^e siècle, puis avec W. S. Jevons, Peirce, Frege, Schrœder et Brentano durant sa seconde moitié, mais sans répercussion profonde sur la pensée commune, faute d’intérêt de la part des mathématiciens non encore préoccupés par les problèmes de fondement et d’axiomatique. Puis les travaux de B. Russell et A. N. Whitehead en Grande-Bretagne, de G. Peano,

Burali-Forti et de Padoa en Italie, de Couturat en France, de C. I. Lewis de Church, aux États-Unis, de Chwistek, Lesniewski, Lukasiewicz et Tarski en Pologne, de Wittgenstein et Carnap en Autriche, et de bien d’autres, ont constitué la logistique au moyen d’algorithmes précis, en assurant enfin la soudure complète avec les méthodes de calcul et de formalisation mathématiques. C’est que, entre temps, les exigences croissantes de la méthode aχioma- tique, avec les travaux de Bolzano, de Pasch, puis de Hilbert, faisaient sentir aux mathématiciens la nécessité d’une logique à la fois plus générale et plus rigoureuse que la logique classique : aussi bien D. Hilbert lui-même, avec ses collaborateurs W. Ackermann, P. Bernays, etc., ont-ils collaboré à la constitution de la logistique proprement dite (certains des logiciens précédemment cités étaient d’ailleurs des mathématiciens de métier).

Quant à la question de la réduction comme telle des structures mathématiques aux structures logiques, elle n’a pas été posée à la seule occasion de cette convergence méthodologique. Elle est surtout née d’une rencontre remarquable entre les parties les plus générales des mathématiques et l’algèbre des classes et des relations logiques. En effet, la théorie des ensembles, constituée par G. Cantor, tant sous sa forme élémentaire que dans ses parties les plus abstraites (cardinaux et ordinaux transfinis : voir plus loin, fin du § 26), s’est trouvée converger par certaines de ses structures avec les opérations portant sur les classes et les relations en général : c’est ce rapprochement qui a inspiré à Frege et à Russell leurs tentatives célèbres de réduction du nombre cardinal à la classe logique et du nombre ordinal à la relation asymétrique. D’autre part des essais de réduction issus de la même inspiration ont porté sur les rapports entre la théorie des groupes et la logique des relations (Couturat) et sur l’analogie entre l’idée même de fonction et celle de relation logique. Enfin, et ceci rejoint le terrain commun entre la théorie de la déduction en général et l’analyse axiomatique, on a cherché à réduire le fameux raisonnement par récurrence, dont le rôle a été découvert par Maurolico et mis en évidence particulière par H. Poincaré, à un raisonnement purement logique fondé sur une suite de relations d’antécédence et de consécution.

Bref, sous la double influence d’une fusion incontestable des méthodes, d’une part, et d’une convergence partielle de la logique et des chapitres généraux des mathématiques, d’autre part, une tendance est devenue de plus en plus forte à réunir les deux disciplines

X

en une seule. Mais les modalités mêmes de cette union souhaitée varient d’une école à l’autre et, pour prendre parti, il s’agit d’examiner les quatre solutions possibles. On peut, avec Russell, concevoir les mathématiques entières comme une sous-classe de la logique, cette subordination exprimant l’espoir d’une réduction complète des rapports mathématiques aux identités logiques. On peut, avec Hilbert, concevoir les rapports logiques comme une sous-classe des êtres mathématiques, ceux-ci n’étant donc pas tous réductibles aux structures logiques, mais comprenant ces dernières à titre de cas particulier. On peut en troisième lieu concevoir la logique et les mathématiques comme les deux sous-classes disjointes de la grande classe des structures formelles ou abstraites. On peut, enfin, concevoir les structures logiques et mathématiques comme partiellement disjointes, mais comme constituant une partie commune par assimilations réciproques (et non plus à sens unique).

On voit que ce problème des rapports entre la logique et les mathématiques se pose en de tout autres termes que celui des relations entre la logique et la psychologie. En ce dernier cas il s’agissait de dissocier deux domaines non pas seulement en vue de la clarté des classifications, mais dans un but essentiellement méthodologique : ne point altérer la pureté respective d’une analyse formelle et d’une recherche expérimentale par des empiètements illégitimes. Le problème est alors d’autant plus facile à résoudre que la séparation est souhaitée de part et d’autre, et que les auteurs dont la coopération constitue le désir avoué trouvent dans cette séparation même l’occasion d’une mise en correspondance des problèmes et d’une complémentarité des solutions. Tout autre est la question des frontières entre la logique et les mathématiques : il s’agit ici de modérer deux impérialismes inspirés par une même idéologie, en attendant de voir si l’un vaincra l’autre ou s’ils fusionneront en partie, mais alors sous une forme de confédération. La question est donc, non pas de choisir actuellement entre les quatre combinaisons possibles, mais d’effectuer un choix provisoire en vue des meilleurs rapports futurs.

A cet égard, la première formule est sans doute à exclure. Non seulement les réductions, tentées par Frege et Russell, du mathématique au logique, ont été contestées dès le départ, et nous aurons l’occasion de voir pour quelles raisons purement logistiques le doute était légitimement fondé, mais encore l’histoire de la logique mathé-

t

matique elle-même a conduit à des revirements inattendus : c’est ainsi qu’on n’est point parvenu à vérifier par des moyens purement logiques la non-contradiction de l’arithmétique et que Goedel a démontré en 1929 l’impossibilité de cette démonstration, sauf à recourir à des instruments supérieurs à l’arithmétique elle-même. Il est donc exclu de considérer actuellement les mathématiques comme une partie de la logique. Quant à la seconde solution, — la subordination inverse, — elle repose davantage sur une convention verbale que sur une connexion naturelle : faire de la logique une partie des mathématiques présenterait un sens constructif si, à partir d’une structure générale unique (telle qu’une « logique générale », un « groupe » de tous les groupes ou un système d’ensemble subsumant tous les ensembles logiques possibles, etc.), on pouvait engendrer le principe d’une distinction entre les structures logiques et les structures translogiques ou mathématiques pures. Or, il n’existe pas de telles structures générales et, à leur défaut, cela reste une pure question de mots que d’appeler mathématiques les opérations logiques effectuées par exemple par un biologiste lorsqu’il classe une collection d’animaux en espèces, genres et familles d’après la présence ou l’absence de certains caractères qualitatifs concrets.

Quant à la troisième solution, elle est irrecevable, puisqu’il existe des structures communes à la logique et aux mathématiques : même si la logique des propositions bivalentes ne rend pas compte de toutes les formes d’inférence mathématique, elle en recouvre une grande partie et appartient donc aussi bien à l’une des deux disciplines qu’à l’autre. Il ne reste ainsi à considérer que la quatrième solution : autonomie relative de la logique et des mathématiques et réduction réciproque partielle. Mais un tel schéma est naturellement à prendre dans un sens heuristique, en laissant ouvertes les frontières et les possibilités de réduction future. Dans l’état actuel des connaissances, la logique joue le rôle d’un domaine inférieur, c’est- à-dire plus simple ou plus élémentaire, par rapport aux mathématiques qui lui sont supérieures parce que la débordant en complexité’ et en richesse. Il se produit alors entre l’inférieur et le supérieur le même double courant d’assimilation réciproque qu’au sein de tous les couples de sciences se trouvant dans la même situation¹ : le supérieur est partiellement assimilé à l’inférieur, mais celui-ci

1. Voir notre Introduction à l’épistémologie génétique (Conclusions).

est enrichi d’autant par celui-là. La logique ne s’« applique » donc pas du dehors aux mathématiques : elle leur est partiellement incorporée et se trouve ainsi généralisée en logique mathématique. Inversement les mathématiques ne se réduisent pas sans plus à la logique, mais la complètent et la modifient selon un processus d’échange continu.

L’assimilation réciproque de la logique et des mathématiques est particulièrement clair sur le terrain de la quantité. Comme nous le verrons sans cesse, la quantification logique se réduit aux seuls rapports de partie à tout et de complémentarité (quantité intensive), tandis que les structures mathématiques supposent en plus une relation quantitative entre les parties elles-mêmes des ensembles (quantité extensive). On peut donc construire des structures logiques sans faire appel à la mathématique (classifications, etc.) et inversement il existe un ensemble considérable de structures mathématiques. débordant la quantité logique. Mais il est clair que les structures intensives interviennent aussi en mathématiques : il s’établira par conséquent au sein même des mathématiques (en théorie des ensembles) des rapports toujours plus étroits entre les structures communes à la logique et aux mathématiques (inclusions et complémentarités) et les structures extensives (correspondances entre éléments, etc.) sans qu’il puisse être question d’une identification pure et simple entre elles.

1

Après cet examen de l’objet et des frontières de la logique, nous pouvons la définir en troisième approximation comme la théorie formelle des opérations déductives¹. La qualification de formelle suffit à distinguer la logique de la psychologie et de la sociologie. Quant aux rapports entre le champ des études logiques et les mathématiques, ce champ débute en deçà des mathématiques elles-mêmes : il comprend, en effet, un ensemble d’opérations élémentaires de caractère prémathématique, parce que relevant exclusivement de la quantité intensive. Seulement ce champ pénètre en mathématiques et reste ouvert en leur sein, puisqu’il comprend aussi l’analyse des inférences proprement mathématiques, mais sans limites assignables

1. Les mots « opérations déductives » désignent les opérations nécessaires et suffi- santés pour rendre possible la déduction, et non pas, naturellement, toutes les opérations dont le maniement donne lieu à une déduction.

d’avance. Le champ de la logique demeure donc ouvert par le haut, tant que l’on n’aura pas démontré l’existence d’une « logique générale », c’est-à-dire d’un système d’inférences tel qu’il subsume tous les autres.

D’autre part, l’analyse des opérations déductives comporte la considération de certaines opérations intérieures aux propositions elles-mêmes et qui consistent à les décomposer en rapports de classes, en relations de diverses formes, etc. La logique est, en effet, obligée de s’occuper de telles opérations élémentaires, et cela dans la mesure où elles donnent lieu à des structures déductives possibles (par exemple la transitivité des inclusions de classes, des relations d’équivalence, etc.). Or, cet ensemble d’opérations (que nous appellerons intrapropositionnblles) demeure à son tour ouvert, mais par le bas, car on ne sait pas d’avance à partir de quelle limite elles intéressent la déduction. On voit d’emblée qu’il s’agira, à son propos, de traiter de la logique des classes et des relations, puisque les emboîtements de classes et les suites de relations donnent lieu à des inférences cohérentes et formalisables. On admettra de même que les rapports entre les classes, les relations et les nombres sont à inclure dans le champ des études logiques, puisque les différences entre les classes et les nombres commandent sans doute le problème des rapports entre le raisonnement par récurrence et les inférences propres à la logique des propositions bivalentes. Mais on ne peut pas préciser a priori où il conviendra de s’arrêter et le détail des opérations intrapropositionnelles est susceptible de donner lieu à de nouvelles analyses, imprévisibles quant à leur répercussion sur la théorie de la déduction : en effet, les divers types de relations étant en nombre sans doute illimité, on ne sait où fixer les limites de leurs caractères formels les plus généraux, et il est possible de distinguer des caractères spéciaux de plus en plus différenciés. C’est en ce sens que le champ de la logique demeure ouvert par le bas.

Or, cette double ouverture, par le haut et par le bas, rend indispensable une réflexion sur les méthodes de la logique, car, contrairement aux apparences, elles peuvent varier grandement et donner lieu à la même diversité que les méthodes des mathématiciens,, malgré l’accord sur les résultats finaux. Bien que les mathématiques constituent une discipline exclusivement déductive, on y trouve, en effet, toutes les nuances entre le plus ou moins intuitif ou formel, entre les diverses sortes d’intuition ou de formalisation. La différence la plus notable est celle qui opposera les méthodes s’attachant

à la recherche d’un ordre naturel de construction ou de filiation, et celles qui poursuivent avant tout l’épuration de la démonstration. En logique, il en va de même : on peut hésiter entre des constructions paraissant, selon des critères à analyser de près, plus ou moins naturelles, et des reconstructions plus artificielles, mais plus pures. On peut débuter par le haut (logique des propositions), ou parle bas (classes et relations). On peut mettre l’accent sur les rapports statiques ou sur les opérations. On peut procéder de façon atomistique ou rechercher les totalités opératoires. On peut surtout partir des éléments communs à la logique mathématique et à celle des structures extramathématiques, ou insister d’abord sur les différences entre les divers domaines. Bref, même à aboutir à des formules identiques, on peut concevoir de la façon la plus variée l’œuvre de formalisation à laquelle se consacre la logique.

Or, la vraie raison de ces divergences multiples est que le « formel » qui caractérise la logique n’est point une qualité donnée, caractérisant un état, mais l’expression d’un processus ou d’un mouvement de formalisation. La définition que nous venons d’accepter de la logique ne désigne en réalité qu’un idéal : la logique est en fait la théorie, non pas formelle (à l’état achevé), mais formalisante ou formalisatrice, des opérations déductives. Le propre d’une théorie logique, autrement dit, est de constituer une formalisation progressive, mais sans pouvoir en entrevoir d’avance l’achèvement, pour cette bonne raison que l’ensemble des opérations déductives demeure ouvert par le haut et par le bas. La formalisation n’est point terminée par le haut, puisqu’il n’existe point (ou point encore) de logique générale ; elle est a fortiori incomplète par le bas, puisque les opérations élémentaires procèdent d’actions psychologiques exercées sur les objets concrets et qu’il s’agit de détacher, à sa racine, la « forme » de son « contenu » vivant et divers.

Il en résulte que, suivant les tendances poussant le logicien à partir du sommet, de la base ou des étages moyens de la hiérarchie des formalisations, il aboutira à donner une image bien différente de l’édifice total, tout en représentant les mêmes pierres, les mêmes ’ façades et en retrouvant tôt ou tard les mêmes charpentes. Il provoquera surtout des impressions contraires quant à l’achèvement de l’édifice, les uns parvenant à idéaliser la logique jusqu’à y voir le reflet des idées éternelles, les autres l’apercevant sous les aspects d’un chantier de construction. C’est pourquoi il importe, même en logique, de parler des méthodes et cela à trois points de vue : la

technique même de la formalisation, l’atomisme logique ou la détermination des totalités, et l’ordre naturel de formalisation.

Sur la nécessité d’une technique de formalisation, tout le monde s’accorde aujourd’hui à voir dans les algorithmes logistiques la condition sine qua non de 1 ;? constitution d’une logique. Mais la conquête est récente. En 1918 encore, Ed. Goblot pouvait écrire que, la « logique déductive » et la « logique inductive » formant déjà deux domaines trop distincts, il était inutile d’en ajouter un troisième avec la logistique ! Les deux premières de ces logiques « sont demeurées extérieures et comme étrangères l’une à l’autre ; et je me suis inquiété de voir une troisième logique former un troisième courant… Aurons-nous donc trois logiques qui s’ignorent entre elles, trois sources qui suivront leur cours sans mêler leurs eaux ?¹ » C’est à peu près (toutes proportions gardées), comme si du temps de Descartes un professeur de mathématiques avait dit : nous avons une arithmétique datant de Pythagore, nous avons une géométrie datant d’Euclide et elles ont trop peu de rapports : n’y ajoutons pas une algèbre, qui, malgré ce qu’on nous vante de ses applications, va créer fatalement un troisième domaine séparé. En réalité l’algèbre logistique n’a pas seulement constitué un langage plus précis, pour la logique, que l’ancienne formulation verbale : elle a substitué à la méthode de simple réflexion une technique de construction abstraite qui a simultanément élargi et restructuré le champ des opérations déductives, de façon analogue (toutes proportions à nouveau gardées) à celle dont l’algèbre mathématique a étendu le domaine des opérations arithmétiques et a restructuré l’espace euclidien par l’introduction, en géométrie analytique, des axes de coordonnées. En effet, d’une part, la logistique permet d’atteindre une série d’opérations inconnues de la logique classique ou négligées par elle ; d’autre part, elle conduit à en charpenter le système en fonction de ce mécanisme central qu’est le calcul des propositions, avec ses structures d’ensemble dont la richesse n’a point encore été épuisée.

* La raison décisive de l’emploi d’une technique logistique est donc que seule une algèbre proprement dite est susceptible d’assurer une formalisation progressive, en opposition avec l’état semi-formalisé dont se contente toute logique formelle à technique simplement verbale. Admettre que la logique puisse se satisfaire du langage

1. Traité de logique, A. Colin, 1918, p. xix.

courant pour exprimer les différents types de rapports et d’opérations, c’est considérer ce langage courant comme ayant déjà atteint, et une fois pour toutes, les connexions formelles. D’où l’idée fréquente, chez les adversaires de la notation logistique, qu’il est inutile de retraduire en de nouveaux signes ce que la désignation verbale indique à elle seule. Goblot va jusqu’à croire le langage commun plus riche que celui de la logistique : après avoir admis avec quelque dédain que l’algèbre logique « ramène de laborieuses opérations de l’esprit à de très faciles opérations de plume »¹ (ce qui est, notons-le, un reproche à adresser aux mathématiques entières), il ajoute : « N’est-il point à craindre qu’on ne soit enclin à méconnaître ou à écarter tout ce que la nouvelle notation ne pourrait écrire ?² » Mais la notation logistique fût-elle plus pauvre que le langage verbal, que sa précision supérieure faciliterait alors les opérations de l’esprit et la réflexion sur ce qu’elle ne pourrait écrire, sans exclure en rien l’adjonction de développements en langage ordinaire. Or, loin d’être moins riche, elle a consisté au contraire à distinguer de multiples significations hétérogènes et parfois même incompatibles que recouvrent certains mots de la langue, tels que « est », « et », « ou », etc. C’est le langage verbal de la logique classique qui a précisément « écarté ce qu’il ne pouvait écrire ». Il suffit, par contre, de constater que l’état semi-formalisé qui a duré pendant plus de vingt siècles d’histoire de la logique n’est pas définitif, et que la formalisation propre à la logique constitue donc un processus et non pas une situation acquise, pour que tout doive être mis en œuvre en vue d’assurer une technique adéquate à cet effort nécessaire et susceptible de renouvellement continuel. Or, il n’existe pas d’autre technique de formalisation déductive que les techniques d’expression symbolique et d’analyse axiomatique. De même que, dans les sciences expérimentales, l’expérimentation est appelée à remplacer l’observation directe et à dissocier systématiquement les facteurs que cette observation globale confond fatalement, de même, dans les sciences déductives, la reconstruction symbolique des notions permet seule de dégager les implications et les rapports que le langage courant laisse indifférenciés. La technique logistique ♦n’apporte donc pas seulement un langage précis ; elle est essentiellement une méthode de pensée et de réflexion : elle est la seule méthode garantissant l’analyse réflexive contre la spéculation, c’est-

1. Traité, p. xvin.

2. Ibid., p. xix.

à-dire justement contre cette forme de pensée inapte à éviter les pièges du langage courant.

La seconde question à discuter est alors celle de l’orientation à donner aux analyses logistiques : faut-il, pour atteindre plus efficacement les lois de la nécessité formelle, faire porter l’effort sur les éléments préalablement isolés de la pensée et du discours, ou sur les systèmes d’ensemble qu’ils forment dans la déduction en action ? Faut-il, autrement dit, se fier aux reconstructions les plus simples et les plus commodes, mais peut-être les plus artificielles, ou chercher à dégager les connexions naturelles, au risque de glisser sous cette désignation un certain nombre de préoccupations extralogiques ?

Il y a d’abord un malentendu à écarter. Chaque logicien a des préoccupations extralogiques, car la vérité formelle n’est, à elle seule, la vérité de rien. C’est ainsi que l’école de Vienne a marqué une tendance « physicaliste », l’une de ses préoccupations principales ayant été de supprimer au maximum les intermédiaires entre le contenu réel ou expérimental des énoncés et leur forme logique, conçue comme « tautologique », et comme caractérisant une simple « syntaxe ». La préoccupation dominante de Russell a été la réduction des mathématiques à la logique. Celle de la plupart des logiciens mathématiciens est d’assurer la rigueur des axiomatiques et de démontrer la non-contradiction des systèmes. L’auteur du présent traité avoue que sa préoccupation essentielle n’est ni physicaliste, ni mathématique, mais consiste à vouloir éclairer le mécanisme réel de la pensée, et notamment sa réversibilité, par l’analyse des structures formelles correspondantes. Bref, chacun peut avoir des préoccupations extralogiques < t elles ne nuisent en rien à la rigueur de la formalisation logistique tant qu’elles demeurent extérieures à celle-ci : on ne demande, en effet, à cette dernière que de présenter une cohérence interne suffisante et non pas de répondre d’elle- même aux questions épistémologiques que l’on posera à son sujet. C’est donc à partir du moment où les considérations extralogiques conduiraient à altérer cette cohérence au nom de principes non formels qu’elles deviendraient illégitimes. Mais, dans la mesure où elles consistent simplement à orienter la recherche logistique dans une direction ou une autre, en conservant les conditions générales de formalisation cohérente, elles constituent l’équivalent de ce qui se passe en mathématiques lorsque le mathématicien cherche à résoudre par ses moyens propres un problème que lui pose le physi-

cien ou le statisticien, etc. : ces problèmes fécondent simplement la recherche, sans modifier pour autant la méthode exclusivement déductive de l’analyse.

Cela dit, la recherche des connexions naturelles en logique peut être entendue en deux sens distincts : dans le sens d’une correspondance avec des domaines extérieurs au champ de la logique et dans le sens d’une systématisation interne plus harmonieuse et plus cohérente. Dans le premier sens nous pourrons dire qu’une construction logistique est plus ou moins naturelle ou artificielle selon son degré de correspondance avec des systèmes soit psychologiques (opérations mentales du sujet ou système de communications, etc.), soit mathématiques. Dans le second sens, la construction logistique sera d’autant moins artificielle qu’elle parviendra à retrouver des structures analogues dans les diverses parties du champ de la logique et à ressouder en un ensemble plus cohérent les aspects dissociés par les besoins de l’analyse. C’est ainsi, pour prendre un exemple bien connu, que la notion de fonction propositionnelle est naturelle dans les deux sens du terme : elle correspond (au sens extrinsèque) à la distinction mathématique des fonctions et des arguments (constants ou variables) ; elle permet, d’autre part, de situer plus naturellement (au sens intrinsèque) la logique des classes et des relations dans le cadre de celle des propositions.

Nous pouvons alors nous poser la question (dont tout cet ouvrage tentera de montrer l’importance) de savoir s’il est plus naturel pour la logique de procéder par combinaison à partir d’éléments isolés ou par analyse des lois propres aux structures d’ensemble. Il y a là ùn problème dont le développement des mathématiques contemporaines montre l’indéniable portée et qui, cependant, chose surprenante, n’est que peu discuté en logistique.

Tant en mathématiques qu’en psychologie, c’est-à-dire dans les deux disciplines entre lesquelles s’intercale la logique, le rôle des totalités opératoires, avec leurs propriétés d’ensemble, est devenu fondamental, dans les systématisations des opérations abstraites comme des opérations réelles en jeu dans la pensée en action. En mathématiques, les opérations n’existent pas à l’état isolé, mais sont solidaires de structures globales. Les nombres, par exemple, n’existent pas les uns indépendamment des autres : ils constituent des « groupes » (avec leurs lois de composition d’ensemble), des « corps » (ou systèmes de deux groupes), des « anneaux » (un groupe muni d’une opération auxiliaire) et bien d’autres systèmes totaux.

*

Les diverses formes d’espaces s’ordonnent selon une hiérarchie de groupes, chaque « groupe fondamental » d’une géométrie constituant un sous-groupe du groupe fondamental caractérisant le palier supérieur. Les fonctions constituent entre elles des « familles » et la notion récente de « famille normale » représente à son tour une totalité définie par ses lois d’organisations propres. Les ensembles constituent des suites « bien ordonnées », ou des « réseaux », etc., et le réseau possède des propriétés en tant même que totalité, qui se retrouvent dans les domaines les plus variés (un groupe et ses sous- groupes constituent un cas particulier de « réseau »). Bref, en un nombre croissant de cas, c’est la totalité d’un système qui est structurée par des transformations opératoires définies et ce sont ces transformations d’ensemble, reflétées par les éléments mêmes du système, qui confèrent une ordonnance aux domaines mathématiques considérés.

Or, en regard de cette tendance générale, qui oppose si profondément les mathématiques contemporaines aux recherches plus analytiques des périodes antérieures, la logistique paraît se complaire dans un état étonnamment atomistique. Sans doute la préoccupation dominante des logiciens étant une axiomatisation toujours plus épurée, et non pas une construction opératoire progressive, la plupart d’entre eux répondront que toute théorie axio- matisée constitue pour son propre compte une totalité achevée et fermée : de ce point de vue, un système sera dit complet si toute proposition universellement valable lui appartenant est déduite des axiomes par le moyen des opérateurs admis. Mais nous ne croyons nullement qu’un tel genre de recherches épuisent les possibilités de la logistique. En logique comme ailleurs, l’axiomatique la plus pure exprime essentiellement un mécanisme opératoire sous-jacent : le rôle des axiomes est de fixer les règles d’un jeu consistant à manipuler un certain nombre d’opérateurs, et c’est par le seul intermédiaire de ceux-ci que la théorie est déduite des propositions postulées au départ. Quelles que soient la cohérence et la rigueur de la théorie ainsi achevée, l’énoncé des axiomes nécessaires à sa fermeture ne résout donc pas, mais soulève au contraire le problème de la totalité opératoire comme telle : quelle est la structure d’ensemble constituée par les opérateurs en eux-mêmes ? Autrement dit, peuvent-ils être isolés les uns par rapport aux autres ou sont-ils solidaires d’un même système de transformations ? Et s’ils sont interdépendants, les divers systèmes ainsi formés sont-ils

eux-mêmes autonomes ou dérivent-ils les uns des autres ? Etc… Il existe ainsi un nombre appréciable de questions de structure dont certaines ont été résolues (par exemple en ce qui concerne les opérations propres à l’algèbre de Boole ou les rapports entre les opérateurs interpropositionnels et la théorie des réseaux, etc.), mais qui sont loin d’être épuisées.

En règle générale, au contraire, on traite les opérateurs comme s’il s’agissait de procédés auxiliaires, bien réglés, mais isolables, sans rechercher ce qu’ils sous-entendent ni dégager les lois d’organisation totale qu’ils impliquent par leurs connexions mêmes. Ainsi l’on pose à part les opérations de classes et celles de relations sans insister sur les structures si caractéristiques qu’elles constituent dans leurs totalités. On étudie la logique des propositions à titre de combinatoire, c’est-à-dire en procédant par analyse des différentes compositions deux à deux, etc., à partir de propositions quelconques simplement combinées entre elles. Pourtant l’étude des axiomes nécessaires à cette combinatoire avait conduit J. Nicod à les grouper en un axiome unique portant sur cinq propositions et deux relations, mais on n’a pas cherché à exploiter tout ce que cette tentative comportait quant à l’existence d’une totalité sous-jacente. Bien plus, après avoir conçu la logique des classes et celle des propositions comme se correspondant, on a tout fait pour les dissocier. Dissociation utile, certes, en ce qu’elle met en évidence l’existence de deux paliers distincts de formalisation, mais qui n’eût rien perdu de sa signification si l’on avait après coup cherché à rétablir les contacts et à dégager les isomorphismes entre ces deux sortes de totalités distinctes : on en est venu ainsi à raisonner comme si, dans une déduction effective, les propositions se reliaient entre elles sans un classement préalable des notions leur servant de contenu et sans une organisation préalable des relations qu’expriment ces propositions. Comment donc, en présence d’un tel contraste entre l’atomisme logistique et les recherches mathématiques portant sur les structures totales, peut-on songer à réduire le mathématique au logique ?

D’autre part, une variété d’atomisme encore plus frappante s’est manifestée dans les recherches faites en vue de fonder la logique des propositions sur les énoncés les plus élémentaires possibles. Tout un courant logistique s’est, en effet, orienté vers la reconstruction des structures interpropositionnelles à partir des énoncés de « faits », entendus comme traduisant le contact le plus simple entre

s"

le sujet et un donné immédiat et sensoriel. Nous craignons que, sur ce point, la préoccupation physicaliste de logiciens tels que Wittgens- tein et les Viennois ait conduit leur analyse logistique à se laisser influencer malgré eux par une certaine psychologie (car on s’inspire toujours de la psychologie du sens commun lorsqu’on décide de faire abstraction de toute psychologie) : jamais on ne parvient, en effet, à prendre contact avec un fait donné, même bien délimité, et surtout jamais on ne parvient à l’énoncer sans se référer à des systèmes d’ensemble. Il convient naturellement de distinguer avec soin à ce sujet la question de la formalisation logique elle-même sur laquelle nous reviendrons (chap. I, § 3) et le problème des présuppositions ou des correspondances psychologiques éventuelles, auxquelles nous nous bornerons dans cet exposé liminaire. Or, de ce dernier point de vue, il est contraire à toutes les données psychola- giques actuellement connues d’imaginer que l’on puisse atteindre des faits isolés : on peut les dissocier après coup, mais la prise de contact avec un fait repose nécessairement sur une organisation englobant un grand nombre de connexions avec d’autres faits. Les perceptions elles-mêmes n’atteignent que des rapports interdépendants et demeurent relatives à des actions vis-à-vis desquelles elles jouent le rôle d’indices ou de signaux. Le langage ne confère sa signification à un mot qu’en relation avec tout le système des autres significations. Quant aux opérations de la pensée, nous avons déjà vu (§ II) qu’elles ne se constituent jamais sous une forme isolée, mais s’appuyant les unes sur les autres en des systèmes d’ensemble caractérisés par leur composition réversible : il ne saurait donc exister de classe ou de relation sans référence à des classifications, des sériations, etc. L’énoncé du fait le plus individualisé est ainsi solidaire d’un ensemble de structures qui le dépassent et par rapport auxquelles il est situé. Il est aussi impossible, psychologiquement, de « décrire » ou d’« énoncer » un fait isolé qu’il est exclu, en un espace métrique, de déterminer la position d’un point sans un système de références ou de coordonnées.

Si les structures d’ensemble jouent un pareil rôle, tant dans le domaine abstrait des mathématiques que dans le domaine concret des opérations mentales, il est assurément légitime (sans qu’aucune considération extralogique n’intervienne au sein de la démonstration logistique elle-même) de se demander si l’on ne retrouvera pas en logique de telles totalités opératoires. Or, il est d’un grand* intérêt de constater non seulement que de pareilles structures

peuvent être construites en termes purement logistiques, mais encore que leur intervention permet d’ordonner les résultats de la logistique selon une filiation plus naturelle que l’analyse atomistique (le terme de naturel étant pris dans le sens intrinsèque aussi bien qu’extrinsèque). C’est ce que nous chercherons à montrer dans le présent ouvrage du double point de vue de la logique des propositions et de celle des classes et des relations.

Mais, à vouloir tenter une telle mise en correspondance entre ces deux domaines de la logistique, il importe de suivre un ordre de présentation adéquat. Deux raisons nous ont poussé à débuter par les opérations de classes et de relations, au lieu de partir du calcul des propositions comme on le fait ordinairement. La première est que, la formalisation ne constituant point un état, mais un processus, il y a intérêt à suivre les étapes de cette formalisation elle-même, en procédant du plus concret au plus abstrait. La seconde est que, les opérations de classes et de relations formant déjà un tout achevé à elles seules, mais alors à la première puissance, on peut concevoir les opérations de la logique des propositions comme à la fois supérieures aux précédentes et portant sur leurs résultats (puisqu’une proposition est, en son contenu, une opération de classes ou de relations) : les opérations combinant entre elles des propositions seront donc des opérations à la seconde puissance et l’ordre suivi par la formalisation croissante coïncidera ainsi avec l’ordre des puissances opératoires (c’est ce que nous allons voir dès les § § 1 et 2).