Chapitre III.
La logique des relations ^a 🔗

Après avoir loué de Morgan de s’être dégagé de la forme exclusivement prédicative attribuée par Aristote à toutes les propositions — ce qui revient à dire que le grand logicien anglais a eu raison de dissocier la logique des relations de celle des classes — M. Boll préconise, pour l’exposé de cette autre logique, l’emploi des matrices « qui met à nouveau l’accent sur le point de vue extensionaliste de la logique scientifique »¹. Or, ce recours aux matrices revient

1. M. Boll, Manuel de logique scientifique, p. 256. i

ni plus ni moins à exprimer une fois de plus les relations dans la perspective de la logique des classes. Cette nouvelle réduction de la relation à la classe est, il va de soi, parfaitement légitime en théorie des ensembles, puisqu’un ensemble est une collection en extension. Mais, si la logique veut être une théorie des opérations de la pensée, il n’est ni à son avantage ni à celui des mathématiques qu’elle copie trop servilement ces dernières. Or, du point de vue de la logique élémentaire, il résulte d’une telle conception exten- sionaliste de la relation, que la théorie des relations, au lieu de constituer l’un des piliers de la logique entière, au même titre que la logique des classes, devient un petit compartiment de cette dernière (comme par exemple dans le Manuel de Boll, où elle est réduite à une sorte d’appendice dénué de nécessité).

La position de Russell est plus satisfaisante, qui considère une fonction propositionnelle, saturée par un seul argument φ(≈), comme dénotant une classe et une fonction saturée par deux ou plusieurs arguments φ(z, y) comme dénotant une relation. Seulement, comme nous l’avons déjà vu (§ 4), la fonction φ(τ) cemporte déjà une relation proprement dite : la relation d’équivalence (positive ou négative), au nom de laquelle on qualifie x₁ d’une propriété (φ) qui appartient (ou n’appartient pas) à d’autres argu- . ments que x₁. C’est pourquoi nous considérons toute relation comme exprimant la compréhension d’un concept dont l’extension est une classe et toute classe exprimant l’extension d’un concept dont la compréhension se réduit à une ou plusieurs relations.

A cet égard, la seule différence entre ce que nous avons appelé les classes faiblement structurées et les classes semi-structurées (définitions 11 et 12) tient à la nature des relations qui unissent les individus de la classe et par conséquent aux rapports entre l’extension et la compréhension (voir § 5). Aussi n’allons-nous pas faire une théorie des classes semi-structurées en tant que classes, et nous bornerons-nous, à leur sujet, à grouper les relations asymétriques transitives qui les caractérisent.

Mais examinons auparavant la conception extensionaliste des relations, telle qu’elle ressort de la méthode d’exposition par « matrices ». Les matrices utilisées par Carnap et par Boll reposent sur l’opération propre à la théorie des ensembles et appelée le « produit »¹ : le produit de deux ensembles, distincts ou non, E × F,

1. Voir Bourbaki, Éléments de mathématiques, Hermann, 1939, Première partie, Livre T, les § 3, 5 et 6 dont s’est inspiré M. Boll.

est l’ensemble des couples x, y, dont « le premier élément x est un élément quelconque de E et le second y un élément quelconque de F »¹. La multiplication de deux ensembles est donc l’opération associant chacun des éléments de E à chacun des éléments de F et réciproquement, deux couples x, y et x’, y’ n’étant considérés comme identiques que si l’on a x = x’ et y = y’. Les applications de E x F

Fig. 10.

sur E et sur F détermineront ce qu’on appelle la première et la seconde coordonnées ou projections du système. On dira par exemple qu’un couple quelconque z est projeté simultanément sur les deux coordonnées et on exprimera le rapport entre un élément a : en E et un élément y en F sous la forme z ≡ x∣y (voir fig. 10). On peut alors multiplier un ensemble E par lui-même et c’est cette automultiplication qui constituera sa matrice. Les casiers tels que les x et les y soient équivalents (0/0, 1/1, 2/2, etc. = les casiers hachurés de la fig. 10) seront appelés la diagonale de la matrice.

1. Ibid., p. 13.

On obtient de la sorte la représentation possible de toutes les relations x, y, en portant en x les antécédents et en y les conséquents de la relation. La relation d’équivalence, par exemple, se confond avec la diagonale ; si les casiers 0, 1, 2, 3, etc., correspondent aux termes A, B, C, D…, la diagonale donne en effet AA, BB, CC, etc., c’est-à-dire les identités A = A ; B = B ; etc.

Or, deux choses frappent, dans cette représentation matricielle des relations : la première est que l’opération de la construction même des matrices consiste en une multiplication de classes ; la seconde est que la relation comme telle ne donne lieu à aucun calcul, mais est remplacée par l’arrangement de ses termes au sein du tableau multiplicatif, c’est-à-dire par la seule disposition des éléments x et y entre lesquels sont données les relations.

L’opération de construction de la matrice, tout d’abord, n’est autre que la multiplication bi-univoque des classes décrite à propos du groupement IV. Dans le cas des ensembles, cette opération consiste en une association entre un élément quelconque de l’ensemble E et un élément quelconque de l’ensemble F. Une telle opération sort en principe de la logique des classes, puisque celle-ci n’envisage pas des termes « quelconques », mais des individus qualifiés. On peut cependant étendre l’opération aux classes elles-mêmes et considérer les termes x et y des relations comme des classes singulières qualifiées. Cela réduira donc la construction de la matrice à un groupement IV, avec auto-multiplication. Or ce groupement IV comprend les trois premiers. D’autre part, toute relation constitue la compréhension d’une classe. Il en résulte que les groupements de relations qualitatives élémentaires (intensives) se réduiront, dans le calcul matriciel, aux groupements des classes elles-mêmes.

Mais alors que devient la relation comme telle ? Elle est traduite sous forme de quotients¹ (à éléments tels que z = x/y), mais ceux-ci ne sont pas autre qu’un certain produit logique des termes eux- mêmes, c’est-à-dire à nouveau une composition multiplicative de classes. Les classes étant ordonnées d’une certaine manière, elles expriment naturellement, par leur disposition même, les relations considérées. Mais le calcul ne porte que sur les classes, ou l’extension, et non pas sur les relations en tant que compréhension.

1. Voir dans Bourbaki (op. cit., p. 29) les relations entre 1’« ensemble-quotient » et l’ensemble produit E x F.

*

Par exemple Bourbaki exprime comme suit la relation d’équivalence. Soit G une partie de l’ensemble B x E. Cette partie G est définie par la relation d’équivalence : 1° si la diagonale fait partie de G ; 2° si la partie réciproque de G est identique à C, ce qui revient à dire s’il y a symétrie : x, y = y, x ; et 3⁰siles compositions de G sont transitives¹. La relation d’ordre, par cbr.tre, est caractérisée, outre la même transitivité, par le fait que la partie commune à la partie C et à sa réciproque (= l’ensemble des éléments de même ordre) est identique à la diagonale². Quant à la relation « totalement ordonnée » elle requiert l’axiome supplémentaire selon lequel la partie C jointe à sa réciproque³ sont équivalentes à l’ensemble total E × E.

C’est d’une manière analogue que Russell, après avoir caractérisé les relations par les fonctions φ(τ, y), les analyse par l’extension : le « champ » d’une relation R(x, y) étant l’ensemble de ses termes (x et y), le « domaine » l’ensemble des antécédents x et le « co-domaine »l’ensemble des conséquents ?/, une relation symétrique sera celle dont le co-domaine est identique au domaine, etc.⁴.

Mais il subsiste deux sortes de difficultés. La première est que, du point de vue de la logique pure, par opposition à la théorie des ensembles, il est indispensable de faire une analyse de la compréhension comme telle, ne serait-ce que pour établir l’isomorphisme de ses formes avec celles de l’extension. Lorsqu’on nous décrit une relation par la disposition des termes de cette relation dans un tableau multiplicatif, on ne nous donne en effet que le résultat de la mise en relation, et non pas la relation comme telle. Dire que la relation d’équivalence est celle qui caractérise les termes occupant la diagonale d’une matrice, tandis que les termes reliés par une relation d’ordre sont extérieurs à la diagonale, sauf les termes de même ordre, on traduit de façon assurément univoque le produit des opérations de mise en relation, mais on énonce une vérité beaucoup moins immédiate qu’en attribuant à la relation d’équivalence la signification d’une différence nulle et aux relations asymétriques transitives constituant l’ordre A < B < C < … la signification d’une différence croissante. Sans doute, le mathématicien n’éprouve- t-il aucun besoin d’exprimer ces rapports de compréhension par des opérations spéciales puisqu’il s’intéresse essentiellement aux extensions que ces rapports déterminent. Mais, si le logicien imite sur ce point le mathématicien, il intervertit l’ordre naturel de la

1. Ces trois conditions s’écrivent en théorie des ensembles : 1° AC C ; 2° C^— 1 = C et 3“ C o C = C.

2. en c— ¹ = a.

3 C U C-¹ = E × E (p. 43).

4. B. Russell, Introd. à la philosophie mathématique, chap. V et VI.

∖

construction et contraint l’esprit à reconstituer, par une inférence proprement dite, la relation en compréhension à partir de la disposition en extension, au lieu de reconnaître en cette disposition un résultat de la mise en relation et de chercher à atteindre celle-ci sur le plan de la compréhension.

La seconde difficulté est plus grave et renforce la première : c’est qu’il existe des opérations portant sur les relations comme telles, par opposition à leurs termes envisagés en extension, et que ces opérations diffèrent des opérations de classes tout en présentant des groupements isomorphes. En effet, si une relation asymétrique transitive exprime une différence entre les termes qu’elle relie, par exemple A < B et B < C, autre chose sera d’additionner deux différences (A B) + (B ^gj C) = (A ^b, C) et autre chose sera de soumettre les termes A, B, C, à des opérations de classes (par exemple A + B + C), même en construisant à leur usage des classes ordonnées ou ensembles déterminés en fonction d’une matrice et de sa diagonale. De même, si une relation d’équivalence exprime une différence nulle, elle donnera lieu à des opérations tautologiques, 0 0 0

comme (A≠E∣j ⅛ (B UC) = (A V C), distinctes des opérations correspondantes qu’on peut faire sur les termes ou leurs classes :

(A, B, C) × (A, B, C) ; etc.

Or, il est d’autant plus intéressant de chercher à dégager ainsi la structure des relations en elles-mêmes que les groupements de ces opérations en compréhension sont isomorphes aux groupements des opérations de classes portant sur les termes reliés par les relations envisagées, et cela bien qu’il ne s’agisse donc pas des mêmes opérations. On aperçoit alors immédiatement que, si l’addition de deux différences ( ^g, + ^gj = ^) correspond à l’addition de deux classes distinctes (A + A’ = B), l’addition d’équivalences correspond aux tautologies (A + A = A) donc à l’identique spéciale des groupements additifs ou à l’identique générale (0 + 0 = 0). Et pourtant (et ceci justifie à soi seul une étude séparée des opérations en compréhension) l’opération inverse de l’addition d’une différence + (A 4 B); qui θ≡t la soustraction de cette même différence, soit — (A4B), équivaut à l’addition, de la relation converse :

(A 4 B) + (B 4 A) = (A 4 A)

A la complémentarité des opérations de classes (+ A et — A) cor-

¾

respondra donc la « réciprocité » dans les groupements de relations, sans que cela exclue un isomorphisme complet entre les deux sortes de groupements !

Il se pose ainsi un problème de structure d’ensemble à propos des relations comme à propos des classes et ce problème mérite un exam,en attentif, même s’il n’intéresse en rien la théorie des ensembles. Ce n’est donc pas nécessairement en copiant les procédés des mathématiciens que l’on fera la meilleure des logiques : c’est en traitant d’abord pour elle-même la question spécifique des opérations les plus élémentaires de l’esprit. A cet égard, les relations méritent une étude à part, qui les considère en et pour elles-mêmes.

Il va de soi, d’ailleurs, que cette recherche sur les opérations propres aux relations en compréhension n’enlève rien à l’intérêt des matrices et des analyses extensionalistes de la relation. Au contraire, c’est une fois dégagé le mécanisme propre aux relations que l’on saisit le mieux, par une mise en rapport de la compréhension et de l’extension, la correspondance des classes et des relations. Quant à dire, avec M. Boll, que le point de vue de l’extension est plus « scientifique » que celui de la compréhension, on serait heureux de savoir selon quel critère cet auteur juge des caractères et des limites de la science…

Il est, au reste, une méthode classique d’exposition des relations fondée sur la compréhension : c’est la représentation sagittale, qui consiste à figurer les termes des relations par des symboles de classes (individus ou classes) et les relations elles-mêmes par des flèches exprimant le sens du rapport : A → B représentera « A père de B » (ou A < B ; etc.); A≠B figurera A = B ; etc. Quant à la méthode dite de l’énumération des couples, elle prélude aussi bien à une disposition en matrice qu’à une disposition sagittale.

Nous retiendrons donc la figuration sagittale. Elle ne présente assurément en elle-même que l’intérêt d’un symbolisme commode. Mais, par le fait que le symbole se réfère alors à la compréhension, c’est-à-dire à la relation en tant que propriété relative, et non pas seulement aux termes reliés, son usage permet, en groupant les flèches comme telles, de construire des groupements spécifiquement relationnels, sans que l’on ne soit plus tenté de confondre les opérations portant sur les relations et les opérations portant sur leurs termes en tant qu’éléments de classes.

Par le fait que les relations expriment la compréhension des concepts et les classes leur extension, la logique des relations rencontre un problème plus délicat de formalisation, de dissociation entre la « forme » et le « contenu » (voir § 2), que celle des classes. Il existe d’ailleurs différents paliers de formalisation au sein des classes elles-mêmes : un « ensemble abstrait » dont les éléments sont, par définition, démunis de propriétés sauf l’identité x = x, la distinction x ≠ y et l’appartenance à l’ensemble æsE, constitue, par exemple, une classe tout autrement formalisée que la classe des hommes, dont chaque.individu forme une sous-classe singulière bien distincte des autres par ses qualités propres. Mais il est facile de dissocier toute classe de son contenu extralogique, en formalisant les emboîtements d’extensions indépendamment de la compréhension. Avec la relation, au contraire, qui exprime cette compréhension comme telle, le problème se pose de savoir comment dégager la « forme » des rapports en compréhension de leur « contenu », c’est-à-dire de la variété illimitée des relations données.

On pourrait être tenté de résoudre le problème en considérant simplement comme formels les caractères les plus généraux des relations (les propriétés de symétrie ou d’asymétrie, de transitivité, etc.). Mais ce serait là un critère bien insuffisant, car les transitions sont insensibles entre le général et le spécial, ce qui effacerait toute frontière stable entre la forme et le contenu : ne sachant où s’arrêter dans l’analyse des caractères généraux, on en viendrait à une description pure et simple des diverses relations possibles, et elles sont en nombre indéfini. La distinction des relations continues et discontinues est-elle, par exemple, d’ordre général ou spécial ?

Un second critère est beaucoup plus solide : est « formelle » toute propriété des relations qui donne lieu à une composition possible ; ne concerne par contre que le contenu ce qui demeure incomposable. Par exemple, les caractères asymétrique et transitif d’une relation donnent lieu à des compositions d’ordre qui constituent à coup sûr des « formes » logiques au même titre que les emboîtements de classes (d’autant plus que ceux-ci sont partiellement ordonnés). Par contre, les relations intransitives telles que « le loup mange la brebis », « x a tué y », etc., représentent un résidu inanalysable au point de vue formel, sauf à les relier d’une façon quelconque aux relations transitives. _ββ-

Mais ce caractère de composition possible ne résout pas tout le problème de la logique des relations, car, si toute composition pure est formelle, toute composition formelle n’est pas exclusivement logique : à définir la logique des relations par sa seule capacité de composition, elle engloberait toutes les mathématiques. Il convient donc, à propos des relations comme à propos des classes, de limiter la logique non spécifiquement mathématique au domaine de la quantité intensive. Les relations (A < B) = a et (B < C) = a’ sont, à cet égard, simplement logiques, car, si (A < C) = b, la composition a -f- a’ = b permet seulement de juger que la différence est plus grande entre A et C (= b) qu’entre A et B ou qu’entre B et C (donc a < b et a’ < b), mais elle ne nous renseigne pas sur les rapports entre a et a’ (qui peuvent être a > a’ ou a < a’ aussi bien que a — a’). Au contraire la relation 2 = 4/2 est mathématique car, si a = 2 ; b = 4 et a’ = b — a, on a b = a 4- a et a’ = a.

Nous nous bornerons donc, en ce chapitre, à l’étude des relations intensives, c’est-à-dire de celles qui, par définition, ne connaissent d’autre quantification que le rapport d’inégalité entre la partie et le tout ni d’autre équivalence que la co-possession de la même qualité. Or, le premier point à noter est que ces expressions, dont la signification semble au premier abord n’intéresser que la seule extension, concernent également la compréhension elle-même. En effet, sous sa forme la plus générale, une relation ne saurait exprimer qu’une ressemblance ou une différence. Or, la différence est ordinairement susceptible de plus et de moins, et cette graduation peut admettre elle-même une quantification soit intensive, soit extensive ou numérique (comme nous venons de le voir). Il en est de même de la ressemblance, y compris l’équivalence ou différence nulle : il existe des équivalences numériques, extensives ou intensives, ces dernières exprimant la simple possession en commun d’une même qualité. En ce cas, la relation x _< ^a-, y qui attribue à z et à y la même couleur, la même vertu, etc., est à la fois une équivalence intensive, du point de vue de la compréhension, et l’expression d’une co-appartenance ou d’une co-inclusion par rapport à une même classe (non ordonnée), du point de vue de l’extension.

Cela dit, la première division à introduire dans les relations est celle des relations asymétriques A(R)B≠B(R)A et des relations symétriques A(R)B = B(R)A, car elle correspond précisément à une certaine répartition en relations de différences et relations de ressemblances. Toute relation symétrique exprime une équivalence

positive ou négative, cette dernière constituant, alors une différence non ordonnée : par exemple a ; « est de la même espèce » ou « n’est pas de la même espèce » que y. Les relations asymétriques sont toujours, par contre, des relations de différence ordonnée. Il convient d’y insister car cela n’est pas évident pour toutes ; d’autre part, les relations « diffèrent » et, dans certains cas, « asymétrique » sont elles-mêmes des relations symétriques !

Il existe d’abord des relations asymétriques impliquant le plus et le moins : ± grand, vertueux, etc. Il est clair que de tels rapports expriment une différence ordonnée entre les termes reliés. Mais il est des relations asymétriques ne comportant qu’un couple de valeurs : gauche et droite, extérieur et intérieur, etc. (avec un ter- tium : ni à gauche ni à droite, sur la frontière, etc.). En un tel cas, la relation est bien asymétrique, puisqu’on n’en saurait permuter les termes (A est à gauche de B est contradictoire avec B est à gauche de A), mais elle exprime en son contenu une sorte de symétrie correspondant en particulier souvent au sens géométrique du terme. Cependant, il est clair que la relation traduit par sa composition asymétrique, comme telle, une différence orientée dont le caractère est simplement de procéder par couples, mais par couples composables entre eux selon un ordre.

Mais pourquoi la relation « différent » est-elle elle-même symétrique ? En effet « A est différent de B » équivaut à « B est différent de A ». On peut convenir, de même, de dire que, dans l’ordre de succession AB, « A est asymétrique à l’égard de B » : cette relation équivaut alors à : « B est asymétrique à l’égard de A ». Les relations « différent » et, en un sens défini, « asymétrique » sont donc des relations symétriques, qui expriment par ailleurs des sortes d’équivalences : « A est différent de B » signifie qu’il existe « la même différence » entre A et B qu’entre B et A et « A est asymétrique par rapport à B » signifie qu’il existe une « même asymétrie » entre eux ! Or, la chose est aisée à expliquer et ne contredit pas la règle générale : tant que la différence ou l’asymétrie est exprimée sous une forme indéterminée, c’est-à-dire non orientée, elle demeure précisément une différence non ordonnée, donc une simple équivalence négative. Plus précisément, en un ordre de succession quelconque A < B < C… il convient de distinguer la différence asymétrique qui sépare A de B, B de C, etc., et l’intervalle, c’est-à-dire la relation « entre » qui est symétrique parce que cet intervalle est le même « entre » A et B qu’« entre » B et A et qu’il constitue

ainsi une équivalence dans la différence, c’est-à-dire une différence non ordonnée. Or, dire qu’il existe la même différence entre A et B qu’entre B et A, c’est précisément se référer à l’intervalle qui sépare symétriquement ces deux termes et non pas à la différence orientée ou ordonnée qui les oppose. De même, si l’on convient de dire que l’asymétrie est la même « entre » A et B qu’« entre » B et A, on enlève à cette asymétrie son orientation et on l’assimile à une différence indéterminée, c’est-à-dire à nouveau à un intervalle.

Une division aussi importante que celle des relations symétriques et asymétriques est celle des relations transitives et intransitives. Une relation transitive présente la propriété :

A(R)B + B(R)C = A(R)C

c’est-à-dire que la relation unissant A à B et B à C unit aussi A à C. Mais il faut distinguer deux cas : celui où la transitivité signifie une augmentation ou une diminution de différence ordonnée, c’est- à-dire un changement d’intensité de la même relation qualitative (A < B ; B < C ; donc A < C où la différence A < C est plus grande que les différences A < B ou B < C) ; et celui où la transitivité est tautologique, parce qu’exprimant la co-appartenance à une même classe (A est compatriote de B ; B est compatriote de C ; donc A l’est de C). Quant aux relations intransitives, elles ne sont pas toutes incomposables, comme il pourrait le sembler. Il existe, en effet, ce qu’on appelle les relations « aliotransitives » qui donnent lieu à une composition comportant diverses possibilités simultanées : le frère de mon frère n’est pas nécessairement mon frère, mais peut être mon frère ou moi-même ; le cousin germain de mon cousin germain peut être mon cousin germain, mon frère ou moi- même, etc. Seule l’intervention des classes secondaires propres aux « groupements » rend compte (comme nous l’avons déjà vu au § 11) de ce genre de composition. En effet, si l’on désigne par A les fils d’un même père, par B les petits-fils d’un même grand-père, etc., on aura les relations : _< ⁰ > : l’identité d’un individu ; √→ : fils d’un même père ; _t ^b , : petits-fils d’un même grand-père ; mais aussi _{< y}, : frère, c’est-à-dire fils de mon père (_< ^a J, mais pas moi- même (₍ %) ; _< ^a’_y : cousin germain, c’est-à-dire petit-fils du même grand-père (₍ ^b _y), mais non pas fils du même père (<+_>) ; etc. En ce cas, on aura la composition _< ^g’ _y + _< ^a’ _y = ₍ ⁶ _y, parce que Aj + A₂ = B (proposition 23 bis) ; le cousin germain de mon

cousin germain (_χ ⁿ’ _> + √→) ne peut être que petit-fils du même grand-père que moi (^‰,), autrement dit il peut être mon cousin germain (₍ ^a’-,), mon frère (_t⁰ ,) ou moi-même (_< ⁰ j) ; en effet _x ⁶ > comporte les possibilités ₍ ⁰ _>’₁ < ⁰’ > ; ₍ ^a > et ,^a’> parce que la classe (B) contient les sous-classes A’, A, (x’) et (x).

Dans le cas des relations franchement intransitives, du moins en apparence, comme « le loup mange la brebis ; la brebis mange l’herbe, mais le loup ne mange pas l’herbe », il importe donc de chercher en chaque cas si la relation n’est pas comparable à une aliotransitivité. Tout d’abord il convient de se méfier du langage courant, qui n’est pas nécessairement logique : ainsi dans l’exemple choisi, le langage ne permet pas de continuer la série en disant « l’herbe mange les sels minéraux du sol », alors qu’il s’agit évidemment de la même relation. Ensuite, il convient de chercher la relation transitive la plus proche, dans un sens analogue au genus proximum, mais en termes de relations. Dans le cas particulier, c’est la relation « assimile les substances extraites de » ou « se nourrit de », mais indirectement comme directement : le loup se nourrit de la brebis, et, à travers la brebis, de l’herbe, et, à travers l’herbe, de sels minéraux. Il est alors facile de construire un système de relations asymétriques transitives, telles que : les sels minéraux sont assimilés par l’herbe, etc., et d’y situer les relations initiales « le loup mange la brebis » à titre de relations aliotransitives. Ce processus de transformation des relations intransitives en relations transitives ou aliotransitives n’est pas autre chose que le travail accompli par les sciences lorsqu’elles remplacent les concepts vulgaires par des lois et qu’elles introduisent entre les relations légales cette transitivité déductive qui constitue la causalité. Ainsi « le feu brûle le bois » est une relation intransitive liée à des concepts vulgaires dont la chimie a commencé par être dupe (le phlogistique), tandis que l’analyse de l’oxydation lui substitue un système de relations causales transitives. La plupart des lois et des déductions causales sont de caractère métrique, mais il en est (en biologie, etc.) de caractère simplement intensif, qui illustrent ce genre de formalisation logique. Bref, une relation intransitive est, en général, ou une relation aliotransitive plus ou moins correctement formulée, ou une forme à contenu extralogique encore mal élaboré, ou un pur assemblage verbal. Mais il reste une dernière éventualité, qui caractérise les relations intransitives authentiques : c’est l’intransitivité par défaut de composition réversible possible du contenu extra-logique

des rapports : par exemple : « x a tué y » et y n’est plus apte à aucune action.

La logique des relations distingue également les relations réflexives A(R)A et irréflexives, les premières étant celles qui relient un terme à lui-même : je suis un « fils du même père » que moi-même (. ^a _v est donc une relation réflexive), mais je ne suis pas mon propre frère ((⁰’_i, est donc une relation irréflexive). On parle aussi de relations connexes, si pour deux termes distincts quelconques de leur champ elles existent entre le premier et le second, ou entre le second et le premier, ou dans les deux cas à la fois. Ainsi une série A < B < C <… est faite de relations asymétriques, transitives et connexes.

Il nous paraît utile d’introduire en outre une distinction entre relations bivalentes, trivalentes et multivalentes. Une relation sera dite « bivalente » quand elle ne pourra être qu’affirmée ou niée, sans degrés intermédiaires : A est le frère de B ou il ne l’est pas. Toutes les relations symétriques sont bivalentes, car une équivalence déterminée est vraie ou fausse, sans tiers possible. Une relation sera dite « trivalente » si elle admet le rapport considéré, sa réciproque, et l’absence ou la présence des deux. Par exemple « A est à gauche de B », « B est à droite de A », mais C peut n’être ni à gauche ni à droite de B (s’il est au-dessus, etc.). Autre exemple : « A est extérieur à une frontière », « B est intérieur à la frontière », mais C peut être « sur la frontière », c’est-à-dire à la fois extérieur et intérieur (s’il est un ensemble de points) ou ni l’un ni l’autre (s’il est un point). Certaines relations peuvent être définies à volonté comme bivalentes ou trivalentes comme le vrai et le faux (d’où les logiques bivalentes ou trivalentes : voir § 48). Enfin une relation sera dite « multivalente » si elle connaît le plus et le moins : « plus lourd que », etc. Certaines relations peuvent être définies à choix comme trivalentes ou multivalentes : si A est à gauche de B, et B à gauche de C, on peut concevoir une définition multivalente de ce rapport et conclure que C est plus à droite de A que ne l’est B ; mais on peut aussi convenir d’une définition trivalente et conclure que C est à droite de A au même titre que B. En ce dernier cas, on introduit alors implicitement une relation symétrique, donc bivalente, entre B et C : « B et C sont co-à droite par rapport à A ».

Ces quelques notions vont nous suffire pour construire les « groupements » de relations. La différence essentielle entre ces groupements et ceux de classes est que, au lieu de porter sur l’addition ou la soustraction de classes, c’est-à-dire sur la présence ou l’absence

des termes considérés (individus ou collections), ils n’admettent que l’addition ou la soustraction des différences données entre ces termes. L’intérêt des classifications précédentes de relations est, en effet, de montrer que la structure des relations concerne exclusivement la différence (ou ressemblance) entre ces termes, par opposition à la réunion des termes eux-mêmes (ou de leurs emboîtements) qui relève de la logique des classes. Une relation asymétrique exprime, en effet, une différence ordonnée non nulle, tandis qu’une relation symétrique traduit une différence nulle (équivalence) ou une différence non ordonnée (équivalence négative). Les relations transitives sont celles qui admettent l’addition cumulative des différences non nulles ou l’addition tautologique des équivalences. Les relations réflexives intéressent cette même tautologie, tandis que les relations connexes l’addition des différences distinctes. Enfin les relations bivalentes, trivalentes ou multivalentes connotent les divers modes de distribution des différences elles-mêmes. Tout le mécanisme des « groupements » de relations portera donc sur la composition des différences intensives, et cette remarque suffit à elle seule à justifier la légitimité d’une logique des relations fondée sur la compréhension, par opposition à la logique des classes fondée sur l’extension (voir § 16).

Mais il s’y ajoute une circonstance capitale, à laquelle nous avons déjà fait allusion au § 16. Par le fait même que l’addition des classes consiste à ajouter des termes (individuels ou collectifs) à d’autres, l’opération inverse consistera à s’en priver, et l’opération identique générale à ne plus en considérer aucun (classe nulle). Les opérations multiplicatives de classes porteront, il est vrai, sur les emboîtements comme tels et le fait de s’en priver conduira à titre d’opération identique à la classe la plus générale, mais le principe demeure de ce point de vue le même. Au contraire, l’addition des relations consistant à ajouter des différences (et non pas des termes ou des emboîtements comme tels), l’opération inverse consistera à enlever ces mêmes différences et l’identique générale se réduira donc à la différence nulle. Or, tandis que la classe nulle est synonyme de zéro, la différence nulle n’est autre que l’équivalence ! Les opérations inverse et identique (générale) de classes reposent donc, dans le cas de l’addition, sur un principe de négation simple, donc de complémentarité par rapport à l’ensemble total envisagé : la négation d’une classe A est, en effet, sa complémentaire par rapport au tout considéré : B — A = A’ ; C — A = A’ + B’ ; etc.,

•

donc de façon générale A par rapport à la classe totale Z, soit A = Z — A, car A = A’ + B’ J- C’ + … = Z — A ; d’où A — A = 0 et A + A = Z. Au contraire les opérations inverse et identique (générale) de relations reposent sur un principe de réciprocité, si l’on appelle opération réciproque la complémentaire par rapport, non pas au tout Z, mais à l’équivalence A = A.

Ainsi l’inverse d’une relation symétrique A = B sera sa réciproque B = A, d’où (A = B) + (B = A) = (A = A). De même l’inverse d’une différence ordonnée A 4 B sera la différence parcourue en sens opposé, soit B 4 A, d’où (A4 B) + (B 4 A) = A 4 A, c’est-à-dire A = A. L’inverse est donc la soustraction d’une différence — (A4 B) ou ce qui revient au même l’addition de la relation converse + (B 4. A), c’est-à-dire de la différence parcourue en sens opposé.

Bref l’inverse d’une opération additive de relations est l’opération réciproque¹ et non pas la complémentaire comme dans l’addition des classes. Il s’ensuit que les groupements de relations jouent un rôle à la fois très différent et étroitement corrélatif de celui des groupements de classes : développant les structures de réciprocité, ils constituent l’une des deux bases de la logique des propositions, dont nous verrons qu’elle repose aussi bien sur cette même réciprocité que sur la complémentarité simple.

Il est d’autant plus intéressant, étant donné ce dualisme des structures de classes et de relations, de constater l’isomorphisme des deux sortes de groupements. Gela est en un sens naturel, puisque les relations expriment les rapports de compréhension dont l’extension est représentée par les classes. Mais la profonde opposition qui distingue l’addition des différences et celle des termes eux-mêmes, ainsi que l’inverse fondée sur la réciprocité (converse) de l’inverse fondée sur la complémentarité simple (négation) aurait pu faire croire à une hétérogénéité des deux sortes de groupements. En réalité on retrouve deux groupements additifs et deux groupements multiplicatifs. Ces derniers sont co-univoques ou bi-univoques comme les groupements correspondants de classes. Les premiers portent sur la sériation simple des relations asymétriques transitives en correspondance avec le groupement de l’addition simple des classes (I) ou sur les symétries qui correspondent aux tautologies

1. D’où le rôle de la diagonale dans la représentation par matrices, car, dans la multiplication E x E, la diagonale représente la réciprocité des relations x, y et y, x.

et aux vicariances du groupement II des classes. Un tel isomorphisme est plein d’enseignements en ce qui concerne à la fois les rapports entre l’extension et la compréhension, et le caractère naturel, ainsi qu’élémentaire de la structure des « groupements ».

Soit une collection de termes A, B, C, etc., tous différents les uns des autres, mais comparables à un point de vue commun (par exemple des objets plus ou moins hauts, lourds, etc., des teintes plus ou moins foncées, des valeurs telles que des vins sériés selon leur bouquet ou des actions selon leur utilité ou leur vertu, etc.). Ces termes peuvent indifféremment consister en éléments individuels ou en classes (singulières ou non). Ordonnons maintenant ces termes selon leurs différences croissantes. Nous obtenons ainsi une suite de relations asymétriques, transitives et connexes, exprimant la série des différences considérées :

O4A ; A^B ; B^C ; C^D ;… etc.

Les flèches → traduisent la relation asymétrique elle-même par opposition aux termes ordonnés O, A, B, etc. et la direction de la flèche marque une inégalité en faveur du terme visé : « A B » signifie ainsi « B est plus (grand, etc.) que A ». Les converses seront’:

A4.O ; B 4L A ; C JC B ;… etc.

avec la signification : « O est moins (grand, etc.) que A », etc.

DÉFINITION 24. — Nous écrirons (0 Λ A) + (A B) = (O B) en attribuant à cette opération la signification suivante : « Si j’ajoute la différence (a’), existant entre A et B, à la différence (a) existant entre O et A, j’obtiens la différence (b = a + a’) existant entre O et B ». Cette opération sera dite addition sériale.

On constate que cette addition sériale (a + a’ = b) implique a < b et a’ < b, mais ignore toute comparaison entre les parties a et a’ (quantité intensive).

Ces relations posées, il est alors facile de construire le groupement suivant :

1. L’opération directe sera l’addition des différences, soit + 4 :

(40) (O4A)+(A4B)=(O4B) et (A4B) + (B4Q = (A C) (O4B)+(B4C)=(O4C) (A±XC) + (Q4D)=(A£^D)

(O4C)+(C4D)=(O4D) (A≤4’D)+(D4E)=(A≤4’E) …etc. …etc.

2. L’opération inverse sera la soustraction d’une différence — ^d_y :

(41) (O 4 B) — (A 4 B) = (O4 A); etc.

Nous conférons un sens à l’expression suivante :

(41 bis) — (O 4 A) — (A4 B) =— (O 4 B)

qui représente la composition de deux soustractions de différences, donc l’inversion complète des compositions précédentes de sens + (proposition 40) ; cette composition symbolise donc une soustraction possible à partir de différences d’ordre supérieur.

Il est, d’autre part, légitime de soustraire une différence à elle- même, donc de l’annuler : (A 4 B) — (A 4 B). Mais cette opération comporte deux significations possibles, bien distinctes l’une de l’autre et entre lesquelles il faut choisir : 1° l’annulation de la différence entre A et B pourrait signifier que l’on modifie A ou B de manière à les égaliser ; le produit de .l’opération serait alors A 4 B, c’est-à-dire A = B ; mais 2° l’annulation de la différence peut aussi être conçue comme une mise en relation selon le sens de parcours A 4 B suivie d’une mise en relation selon le sens de par- . cours opposé B 4 A, c’est-à-dire B 4 A, le produit de ces deux mises en relation consistant alors à relier A à A sous la forme A = A. Or, la première de ces deux opérations n’est pas une opération de relations, mais bien une opération de classes : elle consiste, en effet, à modifier les termes eux-mêmes, A ou B, par addition d’éléments nouveaux ou soustraction d’éléments donnés. C’est donc dans le seul sens (2) qu’il convient de concevoir la soustraction d’une différence par rapport à elle-même. On a alors :

(42) (A 4 B)— (A 4 B)=(A4B) + (B 4 A)=(A 4 B)+(B 4 A)

On aboutit ainsi à ce résultat essentiel, qui n’est point dû à une convention, mais exprime le mécanisme propre aux opérations de relations, que la soustraction d’une relation asymétrique positive ( = d’une différence ordonnée) équivaut à l’addition de sa converse.

Autrement dit, additionner une relation consiste à passer de A en B, donc à poser une différence tandis que la soustraire consiste à revenir de B en A, c’est-à-dire à parcourir le même chemin en sens opposé (réciprocité). On a donc, si l’on convient d’écrire en tête et en queue d’une suite d’opérations les termes à relier l’un à l’autre par la relation finale (par le produit de la composition transitive) :

(42 bis) (A.4.B) — (A4-B) = (A4.B) + (B4-A)=A4~A,soit(A=A) ’

On a de même :

(42 ter) (O^B) — (A⅛B) = (O-‰B) + (B≠A) = (O-‰A) ; etc.

3. L’opération identique générale est donc la différence nulle (A A), ou A = A. La différence nulle ne peut, en effet, signifier en ce groupement que l’identité, puisque les termes sériés sont, par définition, tous différents. On a donc :

(43) (A4B)+(B≠A)=(AλA) et (A4.A)+(A4B)=(A4B)

L’identique générale est bien comme toujours : (a) le produit de l’opération directe par son inverse ; et (b) l’opération qui ne modifie pas celles avec lesquelles elle est composée.

4. Les identiques spéciales sont la tautologie et la résorption :

(44) (A4,B) + (A4B) = (A4B) et (A4B) + (A44C) = (AA4C)

5. L’associativité suit les mêmes lois que dans les groupements de classes.

Un tel groupement, dont on constate l’isomorphisme avec celui de l’addition simple des classes (groupement I), soulève un ensemble de problèmes intéressants quant à la comparaison des structures de classes et des structures de relations.

Deux individus appartiennent à la même classe s’ils présentent en commun un caractère (ou plusieurs) définissant cette classe en compréhension : ils sont donc équivalents l’un à d’autre en tant qu’appartenant à la même classe, ou, ce qui est identique, en tant que présentant le même caractère définissant cette classe. Or, ce caractère en compréhension ne saurait être qu’une relation, puisqu’il est commun aux divers individus de la classe, et cette relation ne saurait être qu’une équivalence, puisqu’elle confère à chacun des individus reliés la même co-appartenance à cette classe. Il s’y ajoute naturellement ce fait que deux individus appartenant à deux classes différentes présenteront entre eux une relation d’équivalence négative, c’est-à-dire de non possession en commun des mêmes caractères spécifiques. Telles sont les relations symétriques : au lieu de traduire des différences ordonnées, comme les relations asymétriques, elles expriment soit des différences milles, ou équivalences, c’est-à-dire des relations de co-appartenance ou de co-inclusion par rapport à des classes, soit des différences non ordonnées ou équivalences négatives, marquant la non appartenance ou la non inclusion communes par rapport aux mêmes classes. Par exemple « compatriote » est une relation symétrique qui unit les membres d’une même classe nationale et « non compatriote » est une autre relation symétrique qui unit les membres de classes nationales distinctes ; « égal » est une relation symétrique qui marque la co-appartenance à une même classe de valeurs (qu’il s’agisse d’égalité juridique, morale, etc., ou d’égalité arithmétique, métrique, etc.) et « inégal » ou « différent » est une autre relation symétrique marquant la non appartenance commune par rapport à une telle classe ; « identique » est une relation symétrique marquant l’appartenance à une même classe singulière et « non identique » ou « distinct » est une autre relation symétrique niant cette co-appartenance, etc. Or, même les prédicats non explicitement formulés en relations symétriques en constituent de telles : « humain » signifie co-possesseur des caractères de l’homme, « vertébré » signifie co-porteur d’une colonne vertébrale, etc.

Si A est une classe (les fils d’un même père) et que x, y et z lui appartiennent tous trois, il existe donc une relation symétrique,

transitive et réflexive d’équivalence x <^a -, y (ainsi que x _f ^a x et que x _< ^g _> z si x _< ^g _y y et y ,₄JL> z), qui exprime la co-appartenance à cette classe. De même, si x, y et z, appartiennent à une même classe B (les petits-fils d’un même grand-père), il existe une relation symétrique, transitive et réflexive _< ^b > exprimant leur propriété commune sous B ; il en sera ainsi pour les classes C (d’où _< ^e _>), D (d’où ₍ ^dA. etc. Nous attribuons à ₍ ⁰ _y le sens, non pas de l’appartenance à la classe nulle (relation qui n’existe pas), mais de l’identité (différence nulle) : x <_rS→x signifiera donc « x est le même individu que lui-même ». Les relations < ⁵ > ; < ^s >; _<^b _> signifieront « non identique », « n’ayant pas le même père », « n’ayant pas le même grand-père », etc. Nous pouvons alors conférer un sens aux relations _t^g’ _y = frère, c’est-à-dire ₍ ^g _> et ₍ ⁰ > (ayant le même père sans être identiques) ; ₍ ^g’ _y — cousin germain, c’est-à-dire _< ^b _y et _< ^g _ÿ (ayant le même grand-père et pas le même père) ; _< ^b’, = cousin issu de germain, c’est-à-dire _< ^c _> et < ⁸ > ; etc. Les relations _t⁵’ _{? <} ^g’ ₎ ; < ⁸’ > ; etc., présenteront le sens de « non-frère », « non-cousin », etc.

Il est à noter soigneusement que les relations exprimant une non- équivalence ou équivalence négative, telles que ₍ ⁵ > ; _<^g’ _> ; _< ^g j ; _x ^g’ > ; etc., ne constituent pas des opérations inverses par rapport aux relations positives correspondantes. En effet, d’une part, les compositions x ₍ ⁰„ y + x _< ⁸> y ou x ₍ ^a-, y + x ₍ ^s> y, etc., ne donnent pas l’identité comme produit, ainsi qu’il conviendrait pour une composition de l’opération directe et de l’opération inverse sur le terrain des relations ; d’autre part, et surtout, ces compositions sont contradictoires et n’existent donc pas logiquement : on ne saurait affirmer d’abord que a : et y présentent une certaine relation (identiques, ayant le même père, etc.), pour le nier ensuite, comme on peut poser une classe + A et la soustraire ensuite — A, d’où A — A = 0.

On aperçoit ici de la façon la plus claire pourquoi la réversibilité propre aux opérations de relations repose sur la réciprocité et non pas sur la négation : du fait même que les relations portent sur la compréhension et non pas sur l’extension, l’affirmation et la négation simultanée de la même relation sont dénuées de toute signification.

Les relations ₍ ^a j ₍ ⁸ -, signifient donc simplement que les termes x et y qu’elles unissent n’appartiennent pas à la même classe A, B, etc., mais que x appartient à A, ou à B, etc., et en possède les

caractères, tandis que y appartient à la classe complémentaire A = Z — A ou B = Z — B, etc., et en présente les caractères distinctifs. Autrement dit, dans les relations ₍ ^g > ? _< ^g _y ; etc., la négation porte sur la classe et non pas.sur la relation : ces relations sont la simple généralisation aux classes négatives,

(A = A’ + B ,+ C’ + … ; B = B^z + G’ + D’ + … ;

G = G’ + D’ + E’ + …)

des relations A ’_λ ; 4→> ^e⅛^c∙ Ba négation en jeu est donc une opération de classe, tandis que la relation comme telle reste une relation d’équivalence et de co-appartenance, même s’il faut remonter jusqu’à la classe totale Z : de même que _< ^g’_y signifie ₍ ^b _> et non _ζ ^g s. de même ₍ ⁵ , signifie _< ^z _y et non _< ^a _y.

Gela dit, nous pouvons préciser la terminologie dont nous nous servirons (en nous référant à la définition 16 pour l’équivalence qualitative en général) :

DÉFINITION 25. — Nous appellerons relations d’« équivalences positives » les relations symétriques, transitives et réflexives<^a _< ⁶ ,; etc., qui expriment la co-possession des caractères distinctifs propres aux classes A, B, etc., avec pour limite l’identité _< ⁰> relative aux classes singulières (≈₁), etc.

DÉFINITION 26. — Seront dites « altérités positives » ⁰> ; ^g _y ;

⁶ _y; etc., les relations symétriques, intransitives et irréflexives exprimant la co-possessiondes caractères spécifiques des classes A (pour _< ⁰ >); B (pour <^a>) ; G (pour 4→) > ^ei non-commune possession des caractères propres aux classes de rang inférieur : (x₁) pour 4> > A pour _< ^a > ; A et B pour < _y ; A, B et G pour _<^e , ; etc.

DÉFINITION 21. — Seront dites « équivalences négatives » _<°  < ^a> ;

4√ ^etc∙> l^gs relations symétriques, intransitives et irréflexives exprimant la non-commune possession des caractères distinctifs propres aux classes de rang correspondant : (x₁) pour _< ⁰ , ; A pour < ^a > ; etc. ; et seront dites « altérités négatives » ⁰> ; <^α> ; ⅜ * > ; etc., les relations symétriques, intransitives et réflexives niant l’altérité correspondante. (Exemple x <^g> y : « x n’est pas le cousin germain de y » ; et x _< ^a> x : « x n’est pas son propre cousin germain ».)

Remarque. — On peut distinguer, outre les relations entre individus, des relations entre classes ; ces relations présentant les mêmes formes. Par exemple les relations A _< ^b _y A ’ ; B _< ⁰ _> B’; etc., seront dites « équi-

valences positives » entre classes et exprimeront l’équivalence entre A et A’ sous B, etc.

DÉFINITION 28. — Nous appellerons « produit additif de deux relations symétriques » entre trois termes x, y et z la relation symétrique du rang le plus faible déterminée entre x et z par les relations symétriques données entre x et y ainsi qu’entre y et z : soit {x <— > y) + (y <— > z) = {x <— > z).

On peut aussi additionner les relations symétriques données entre deux mêmes termes : (x < - > y) -|- (x <— >y), lorsque ces relations sont compatibles entre elles {non contradictoires) ; et, à la limite, on peut additionner les relations réflexives {x < ■ > x) + (x < ■ > x).

Ces opérations additives (28) permettent alors de caractériser un « groupement ». Mais ce groupement est d’une forme très particulière à cause du rôle fondamental qu’y jouent les tautologies et les résorptions, ainsi que les altérités correspondant aux classes secondaires et aux vicariances. Il convient donc d’en analyser de près le mécanisme, car celui-ci est extrêmement instructif quant à la nature des structures d’ensemble de caractère intensif et des « groupements » logiques en général.

En effet, les relations d’équivalence exprimant la co-possession des caractères d’une même classe, toutes les compositions d’équivalences positives seront des tautologies correspondant à la composition des classes A + A = A : (x ₍ ^g > y) + (y < ^g > z) = {x _< ^a > z) (si x est compatriote de y et que y l’est de z, alors x le sera aussi de z). Il en résulte qu’il est impossible de s’élever, par la seule composition des équivalences positives, d’une relation de rang inférieur _< ^g à une relation d’ordre supérieur _{( >} ; _< ^c > ; etc., bien que, si deux individus soutiennent entre eux la relation _< ^g -, (par exemple compatriotes), ils sont naturellement aussi unis par les relations ^b > (par exemple appartenant au même continent); ^c _; ; etc. Si maintenant nous composons une équivalence positive avec une altérité positive, (x _< ^g-, y) + (y _< ^g’ -, z), par exemple « a ; a le même père que y et y est cousin germain de z », nous n’obtenons pas non plus la relation ₍ ^b _> (car, selon la définition 28, l’addition des relations symétriques, comme celle des classes, détermine le rapport du rang le plus faible) : nous trouvons la relation _< ^g’ , c’est-à-dire que x sera aussi cousin germain de ÿ.’Il y a donc à nouveau tautologie, ou du moins résorption a + a, = a’. La raison en est que, si x et y sont de la même classe A₁ et z de la classe A₂ (c’est-à-dire de la même classe B, mais non pas de la même classe AJ, alors x et y appartiendront, par rapport à z, à la classe A₂ (= A₁) : la composition _< ^g s + ₍ ^g’ -, = ₍ ^a’ _> correspondra donc, en termes de classes,

à la résorption A₁ + Aj = Aj (voir la figure 11). La seule manière d’atteindre les relations ₍ ⁶ > ; _< ^c, ; etc., en partant de relations de rang inférieur, consistera donc à additionner des altérités positives : x ₍ ^a’_y y + y , ^a’ y z — x _< ^b _y z : si x est cousin germain de y et si y l’est de z, alors la seule conclusion possible est que x aura le même grqnd-père que z (et pourra donc être son cousin germain ou son frère, ou encore se confondre avec z lui-même). La raison en

Fig. il.

est que (si x appartient à la classe A₁) y appartiendra à la classe Aj par rapport à x (Aj contenant la classe A₂ dont y est membre) et z appartiendra à la classe Aj par rapport à y (élément de A₂) : d’où Aj + Aj = B (voir la figure 14, p. 156). On aura de même :

_< ^b’ y -f- j ^b’ y = . ⁸ j J , _? -J- _γ ⁸’ y = etC.

Inversement la seule manière de redescendre d’une équivalence positive supérieure à une équivalence positive inférieure consiste à composer la première avec une équivalence négative, et cela dans le cas où les deux relations unissent deux mêmes termes x et y. Par exemple (x _> yj + (x, _c«  _y y) = (x _< ^g’ y y), c’est-à-dire « si a ; a le même grand-père que y et qu’ils n’ont pas le même père, alors ils sont cousins germains » ; de même :

(x +±> y) + (x y. y) = (x <4> y) ;

(x √L> y) + (x _< ^by. y) = (x y y) ; etc.

Par contre si l’on compose les mêmes relations entre trois termes, on aboutit à des résorptions : par exemple x ₍ ^by y + y < ^g > 2 (si a ; a le même grand-père que y et si y et z ne sont pas frères), la seule conclusion quant aux rapports entre x et z est qu’ils appartiennent à la classe la plus générale du système (Z), soit : x ₍ , z.

Il est donc clair, une fois de plus, que l’opération + _< ^a _y n’est pas l’inverse de + ^a _t et ne peut donc constituer l’inverse du groupement. De façon générale, le passage des équivalences de rang inférieur à celles de rang supérieur ou le passage en sens opposé ne constituent pas les opérations directes et inverses du groupement, mais sont des opérations directes parmi les autres. Les opérations directes du groupement consistent ainsi en additions, correspondant aux tautologies, résorptions et vicariances des groupements de classes plus souvent qu’aux additions et soustractions simples de classes. Quant aux opérations inverses, ce sont les mêmes additions appliquées aux relations converses. Telle est l’originalité de ce groupement VI, qui est à la fois très différent des autres et indispensable pour faire comprendre la structure qui caractérise l’ensemble des groupements I à VIII :

1. L’opération directe sera l’addition d’une relation symétrique quelconque (équivalence positive ou négative, et altérité positive ou négative) dans un ordre donné des termes x, y et z (ou x et y) :

(46) {x _< ^g , y) + {y ₍ ^a _> z) = (x _< ^a , z)

2. L’opération inverse sera l’addition de la converse, c’est-à-dire de la même relation symétrique x « — > y dans l’ordre y <— > x.

On pourrait aussi écrire cette inverse — {x <— > y) :

(47) — (x y) = + {y x)

3. L’identique générale, produit des opérations directe et inverse et opération laissant invariante toute autre opération, est V identité (x <⁰ , x) :

(48) (x _x ^g , y) + (y _< ^a _> x) = (x _x ⁰-, x)

et

(48 bis) (x _< ⁰ _y x) + (x _< ^g, y) = (x ^a , y)

4. Les identiques spéciales sont la tautologie et la résorption :

(49) (x y) + (x < ^g > y) = {x y)

et

(49 bis) (x _< ^g _y y) + (x ₍ ^b„ y) = (x _< ^b _> y)

5. Quant à l’associativité elle est générale puisque les opérations directes et inverses sont identiques entre elles.

Les principales compositions sont alors :

1. Le produit de deux équivalences positives est la plus faible des équivalences positives qui les englobent toutes deux :

(50) (x <^a> y) + (y _< ^a> z) = (x <^a> z)

(x < .^α > y) + (y ^^b^ z) = (x <_r^b→ z) (x _< ^c _y y) + (y _< ^b∖ z) = (x <^c> z) ; etc.

En effet, si x et y appartiennent à une même classe (A ou D, etc.) et que y et z appartiennent tous deux à une autre classe (B ou F), alors le rapport d’équivalence entre x et z sera déterminé par leur co-appartenance à la classe composée (A + B) ou (D + F), etc. Dans le cas des emboîtements additifs on aura donc les résorptions A + B = B ou D + F = F, c’est-à-dire que le produit des deux équivalences positives sera simplement celle qui est de rang supérieur (proposition 50).

Mais il reste le cas où les équivalences traduisent la co-apparte- nance à des classes multiplicatives. « Les Parisiens (x) sont compatriotes (4→) des habitants de Perpignan (y) » ; « les habitants de Perpignan (y) parlent catalan ( ₍ ^g* > ) comme ceux de Barcelone (z) » : quel sera le rapport entre les Parisiens et les Barcelonais ? L’équivalence x <— > z sera alors la plus faible de celles qui englobent _< ^g| > et ₍^g>>, c’est-à-dire :

(51) ($ < % y) ÷ (y <^Sa> z) = (x ^’^b∖ z)

En effet, la classe A₁ correspondant à x <^a’_y y est celle des Français (parlant ou non catalan) et la classe A₂ correspondant à 44 ^est celle ^des Catalans (Français ou non-Français). Il en résulte quatre possibilités (selon le groupement IV) : A₁A₂ (= les Français catalans) ; A₁Aj (= les Français non-catalans) ; A₂A₂(les non-Français catalans) et A₂A₂ (les non-Français non-catalans). La classe totale étant alors B₁B₂ l’équivalence x <— > z est bien x ^^b∖ z.

2. Le produit d’une équivalence positive et d’une altérité positive est celle de ces deux relations qui est de rang supérieur :

(52) (x _< ^a > y) + (y _κ^a∖ z) = (x z)

(x 44 y) + (y _<^b’ _> z) = (x _< ^bL> z) et

(x 44 y) + (y 4 > z) = (x _< L> z)

(æ 44 y) + (y <^a’> z) — (x ₍ ^c -, z) ; etc.

Par exemple si x et y sont petits-fils du même grand-père (_< ^b >) et que y est cousin germain paternel de z (soit < 4 >) alors x et z sont petits-fils du même grand-père (< ^b y),

En effet, la relation d’équivalence e,xprime le fait que deux des trois

individus appartiennent à une classe commune X (d’où leur relation _< ^τ y). Si l’un des deux est en relation d’altérité ( ₍ ^f,.,) avec un troisième qui appartient à une classe Y non incluse en X (fig. 12), alors l’autre le sera aussi : d’où r + τ’ = r’ parce que, en ce cas, r < r’. Si au contraire, la classe Y est incluse en X (fig. 13), alors x, y et z appartiennent tous trois à Xet l’on aura r’ < r, d’où r + r’ = r.

Fia. 12.

La classe X contient les termes x et y et la classe Y, disjointe de X, contient le terme z.

3. Le produit de deux altérités positives de rangs différents, données entre trois termes, est celle de rang supérieur :

(53) (x _< ≤_λ y) + (y _<£_> z) = (x √L> z)

et

(x √L> y) + (y > z) = (x √4 z)

(x ^ey y) + (y _< ^a’ > z) — (x j ^c’ j z) ; etc.

Par exemple si x est frère de y et y cousin germain de z, alors x est cou

sin germain de z.

Fia. 13.

La classe X contient les termes x et y et la classe^, incluse en X, contient le terme ?..

En effet, quand les altérités sont de rangs différents, les deux termes reliés par celle de rang inférieur (par exemple frère _< ⁰’ ;,) sont nécessairement équivalents du point de vue de la classe immédiatement supérieure (par exemple _< ^a _> = fils du même père). Si l’un de ces deux termes est relié à un troisième par une altérité d’ordre supérieur (comme < ^a’, ~ cousin germain), l’autre l’est donc

aussi en vertu de sa co-appartenance à la même classe.

4. Lorsque deux altérités positives sont de même rang, leur produit est Γéquivalence de rang immédiatement supérieur :

(54) (x 44 y) + (y _x‰ z) = (x < ^a > z) (x <^a’ > y) + (y <^a’ > z) = (x ₍ ^b _y z) ; etc.

Par exemple si x est cousin germain paternel de y, et que y l’est de z, alors x et z sont petits-fils du même grand-père c’est.à-dire cousins germains, frères ou identiques.

En effet la composition de ces altérités de même rang ne repose plus sur la tautification ou la résorption des classes correspondantes, comme les symétries précédentes, mais sur la vicariance de ces

Fis. 14.

A¹ fait partie de A’₂ et A₂ fait partie de A’_v

classes. Soit < ^a’ > + < ^a’ > = ₍ ⁶ >• La première de ces altérités {x est cousin germain paternel de y) constitue une relation entre la classe A₁ ( = x et ses frères) et la classe AJ (= ses cousins germains, dont y) ; la seconde de ces altérités {y est cousin germain paternel de z) constitue par contre la relation entre A₂ (= y et ses frères) et A₂ ( = ses cousins germains dont x). Or, comme

AJ A2 = B, le produit de ₍ ^a’, + _< ^a’, ne saurait donc être que <^ft,, ^car l’individu z appartenant à la classe A₂ peut être un A₁ou un Λ₂ non A₁ (voir la figure 14).

5. La composition d’une équivalence positive (_x  »,) entre x et y avec une équivalence ou une altérité négatives de rang inférieur (f"4) entre les deux mêmes termes x et y, donne une relation exprimant, sous la forme d’une équivalence ou d’une altérité, le produit de la soustraction des classes correspondantes : S — (A… R’) :

(55) (x J→ y) + (x y) = {x √L> y)

et

(x > y) + (x _< ?4 y) = (x y)

Par exemple si a : a le même grand-père que y et qu’il n’est pas son frère, il est son cousin germain et vice versa (B — A = A’ et B — A’ = A).

La composition cesse d’être intéressante lorsque l’équivalence positive et la relation négative ne sont pas de rangs contigus : par exemple

c + â — a’, b, b’

(si x et y ont le même arrière-grand-père et qu’ils ne sont pas frères, ils peuvent être cousins au premier et au second degré et avoir ou non le même grand-père).

6. La composition d’une équivalence positive entre x et y avec une équivalence ou une altérité négatives de même rang ou de rang supérieur, entre y et z, donne cette même équivalence ou altérité négatives, entre x et z x

(56) (z^→^) + ⅛√L>z) = (z√L>z) ; (x _i^ay y)+(y _< * ) ^z)=(^a∖ * >z) (χ^y)+(y<^z)=(x^z)∙, (χ^y)+(y ^z)=(χ^z)

Par exemple si x est le frère de y et que y n’est pas le frère (ou le cousin, etc.) de z alors x n’est pas non plus le frère (ou le cousin, etc.) de z.

7 et 8. Enfin, la composition d’une équivalence positive entre x et y et une équivalence ou altérité négatives de rang inférieur entre y et z, ou la composition de deux équivalences ou altérités négatives entre les termes x, y et z donne l’équivalence la plus générale du système considéré (soit _χ ^zy correspondant à la classe Z) :

(57) (x y) + (y <_« ..> z) = (x z)

et

(57 bis) (x y y) + (y _< ^s _> z) = (x _< ^z _> z) et

(x <1→ y) + (y z) = (x ÷j→ z)

En effet, si x et y appartiennent ensemble à une classe quelconque X et que y et z n’appartiennent pas à la même classe Y, incluse en X (si x et y ont le même grand-père et que y et z ne sont pas frères), alors x et x peuvent appartenir à cette même classe Y ou à toute autre classe de rang supérieur jusqu’à Z (x et z peuvent être frères ou ce qu’on voudra, jusqu’à n’avoir comme ancêtres communs que le père Adam lui-même ou le premier des Protozoaires, selon la définition de Z). De même, si x et y ne sont pas de la même classe X et que y et z ne sont pas de la même classe Y (sans qu’aucune relation soit donnée entre les classes X et Y) on n’en peut tirer qu’une conclusion : c’est que x et z appartiennent à la classe la plus générale du système, c’est-à-dire à Z (d’où ₍ ^z y).

Multiplier une relation par une autre consiste à soumettre les termes de la première (tous ou quelques-uns) à la seconde également (de même que multiplier deux classes consiste à emboîter tous les termes ou quelques-uns des termes de la première dans la seconde). Or, il existe deux sortes de multiplications entre relations et il ne peut en exister que deux : les multiplications bi-univoques et co-univoques.

On pourrait concevoir, il est vrai, trois sortes de multiplications, celle des relations symétriques entre elles, des relations asymétriques entre elles, et des deux à la fois. Mais on ne saurait multiplier des relations symétriques à elles seules : si un individu peut être à la fois frère, cousin, etc., par rapport à d’autres, c’est en tant qu’il est fils du même père, etc., et qu’il appartient à un même système de classes emboîtées : or les relations de fils, petit-fils, etc., ou d’inclusions entre classes sont des relations asymétriques, et il faut passer par leur intermédiaire pour insérer les relations symétriques dans des systèmes multiplicatifs. On peut par contre multiplier des relations asymétriques entre elles et traduire ainsi en langage de relations les tables à double (ou à triple, etc.) entrée (voir groupement IV) dont les inclusions constituent déjà à elles seules des relations asymétriques : mais les correspondances bi-univoques intervenant en de telles tables consistent, par contre, en relations symétriques, ce qui confère à un tel système un caractère mixte. Quant aux multiplications entre relations asymétriques et relations symétriques, elles peuvent être de deux sortes. Elles peuvent donc être bi-univoques, comme nous venons de l’entrevoir et le reverrons en détail au § 21. Mais il peut aussi y avoir multiplication co-univoque et c’est de cette dernière qu’il va s’agir maintenant.

Un théorème connu de logique des relations, développé par Russell, dit qu’une relation asymétrique multipliée par sa converse engendre une relation symétrique et transitive. Par exemple, la relation « x est fils de z » multipliée par « z est père de y » donne « x est fils du même père que y » (c’est-à-dire frère de y ou identique à y) : soit (x∣z) × (z^y) = (x <— > y). Réciproquement on peut considérer toute relation symétrique transitive comme le produit de deux relations asymétriques. En effet, une relation symétrique et

transitive entre x et y exprime leur co-appartenance ou leur co-inclusion par rapport à une même classe : or, l’appartenance ou l’inclusion sont des relations asymétriques, de telle sorte que, si A est la classe qui emboîte x et y, et si les relations ψ et f expriment la relation d’emboîter ou celle d’être emboîté, on a toujours :

(58) (xfA) × ^y)^(x^y)

DÉFINITION 29. — Nous appellerons « relation co-univoque » toute relation asymétrique unissant un même terme à plusieurs.

Par exemple la relation unissant une classe à ses sous-classes est co-univoque. Ou bien encore la relation ψα unissant un père à ses fils ; la relation ψδ unissant un grand-père à ses petits-fils, etc.

DÉFINITION 30. — Sera dite « multiplication co-univoque des relations » l’opération qui détermine entre deux termes x et z les relations co-univoques et les relations symétriques du rang le plus faible, en partant des relations de mêmes formes données entre x et y et entre y et z : soit

(≈∣^g→^y) × (y∣^g→-^z) =

Par exemple x est le père (ψ^g) du frère (< ⁰’ >) de y ; y est le père (ψ^g) du cousin germain paternel ( < ^g’ > ) de z : donc x est le grand-père (-P < ⁰ >) de z.

De telles opérations constituent un groupement multiplicatif, isomorphe au groupement co-univoque des classes (III). Nous allons en développer les principales compositions en prenant comme exemples les relations de famille constitutives d’un arbre généalogique. Mais nous n’envisagerons que la filiation paternelle et non pas les innombrables combinaisons issues des unions (par l’interférence de plusieurs systèmes co-univoques, ce qui donne d’ailleurs à nouveau des systèmes co-univoques).

Voici d’abord la série des relations asymétriques en jeu :

œ|^g y = x est le père de y x∖^a y = ∖^b— ∖^ay — x est le père de y

x∖^by = a : est le grand-père de y ≈f^g y = ∣^c— ∖^by = x est le père de y

æj⁰ y = a : est l’arrière grand-père -∙et^c∙

de y …etc.

Nous écrirons uniformément, pour abréger |^g pour la relation « père », etc. (voir fig. 15).

æ|^g y = x est le fils de y x∖^a y = ∖^b — ∣^α y — x est le fils de y

x∖^by = x est le petit-fils de y x∖^b y = ∣^c— f^b y = x est le petit-fils de y … etc.

Nous écrirons uniformément ↑α pour la relation « fils », etc.

Ces relations se composent entre elles par additions simples :

G4^ay) + (n^αz) = M^δ*)

= si x est le père de y et si y est le père de z, alors x est le grand-père de z.

Nous écrirons donc, de façon générale, si 4 est une relation quelconque de rang a, b, c, etc., et 4 une autre relation quelconque également de rang a, b, c, etc. :

(59) (τ∣^i, y) + (y∣^y’z) = (z^+^’z)

et

(59 bis) y) ÷ GP’z) = (x∖^β~o’z)

Lorsque g’ > g par exemple (g’ = f^δ et g = 4), il va de soi que le produit sera de sens f : 4 +↑⁶ = ↑^α.

Fia. 15.

Quant aux relations symétriques, elles constitueront le produit :

(

∣α \  / A® \ z x

zhaA×(y∣iz) = U 4-4 y) où m = g le /  \ lu /

On obtiendra ainsi les relations connues par le groupement VI :

(z|“ x) × (y∖^a z) = (æ y) = x est fils du même père que y

(z∣^δ x) × (y∖^b z) = ↑x _tⁱ, y) = x est le petit-fils du même grand-père que y

(zγ^c x) × (aιf^c z) =  — ^{x es}t l’arrière petit-fils, etc.

… etc.

x y = x est le frère de y

x_λ^λ∖ y = x est le cousin germain de y

x TL^ y = x est le cousin issu de germain de y …etc.

En appliquant les lois du groupement VI, on a alors (si m et m’ sont deux relations symétriques primaires ou secondaires)¹ :

,_a,, ι _m ∖ _l i ∖ ( (^χ <^m \ z) si m. > m’

(61) TT +¹J L> L = ∖ *~^y ; .

* *^j* *^z ( (x <^my z) si m > m et

!

(x <A→ z) si m = m’et que tous deux sont primaires

(x _i^my z)sιm = m et que tous deux sont secondaires.

La relation m ! signifie, en ce dernier cas, la première relation primaire supérieure à m’ (<^a’ y + -^a’ y = b) : voir proposition (54).

En multipliant maintenant les relations asymétriques et les relations symétriques on a :

x ^⁸-√l⁰ y = x est le frère du père de y, donc l’oncle de y.

x y = x est le cousin germain du père de y.

x T, y — x est le cousin au deuxième degré du père de y.

… etc.

x y = x est le frère du grand-père de y, donc le grand-oncle de y. … etc.

xl^aTL^ y = x est le père du cousin germain de y.

≈∣⁰→≤>- y = x est le grand-père du cousin germain de y.

… etc.

y = x est le fils du frère de y, donc le neveu de y. χi[^aT→- V —  ^x est le fils du cousin germain de y.

… etc.

x T’, V = ^{χ es}t le cousin germain du fils de y. … etc.

Ces relations, ainsi engendrées grâce aux lois de formation (59) à (61), donnent alors lieu aux compositions suivantes. Il convient d’abord de noter que les multiplications en jeu dans ce groupement ne sont pas commutatives, c’est-à-dire que _< ^m>∣^g n’équivaut

1. La relation m peut donc être secondaire aussi bien que primaire et la relation m’ primaire aussi bien que secondaire.

pas à : « x est le frère du père de y » (l’oncle de y) n’est pas

identique à « æ est le père du frère de y » (= x est le père de y). On a donc à considérer d’abord les lois de conversions suivantes :

(62) (,Λ∣4) = (_y*‰)

Exemple : x est le frère du père de y (c’est-à-dire son oncle) = y est le fils du frère de x (c’est-à-dire son neveu).

et (62 bis) (_x y) ₌ (y _x)

Exemple : x est le père du cousin germain de y (c’est-à-dire son oncle) = y est le cousin germain du fils de x (c’est-à-dire son neveu).

Ensuite, la multiplication constitutive du groupement, étant co-univoque et non pas bi-univoque, la loi de transformation fondamentale sera la suivante :

(63) = (xγ^y’)

ou (en vertu de 62 bis) :

(63 bis) (x ) I« y) = (y <^m°_y x)

formules dans lesquelles le produit mg résulte du tableau des correspondances suivantes déterminées par la proposition (60) avec décomposition des relations symétriques primaires en leurs composantes secondaires (voir p. 163. Ce tableau des correspondances co-univoques constitue donc l’expression même des compositions du groupement¹ (propositions 60 et 62 réunies).

Ce tableau se lit comme suit. La première ligne horizontale (0) signifie ∣o × |o = _< ⁰ _> : l’individu x dont sont issues les générations suivantes est identique à lui-même du double point de vue de la descendance et et de la parenté collatérale (_t ⁰ >). La seconde ligne horizontale se lit ∣a ×   = _< ⁰ _>,  = <-→ ^e⅛ représente les

seules relations collatérales possibles entre individus de la première génération : l’identité (₍ ⁰,), la relation de frère (_< ⁰’ >) et celle de « fils du même père » (_t ^a _y). La troisième ligne horizontale se lit ∣^δ × ∣⅛ = _< ⁰ > ; θ ! <^a > = ÷-→ θt représente les relations

1. Charles Serrus, qui nous a emprunté toutes les formules du présent groupement, traduit ce tableau (Traité de Logique, p. 295) par des nombres, ce qui lui enlève tout intérêt quant à ses connexions avec les autres structures « intensives ».

collatérales possibles entre individus de la seconde génération : _< ⁰ > (identité), 4→ (frère), < ^a > (cousin germain) et _<^b _> (petit- fils du même grand-père), etc.

Pour déterminer, dans la proposition (63), le produit mg, il suffit alors de considérer la relation 4→ comme prolongeant additive-^ ment la suite g, les valeurs de m et de g étant données par le tableau ci-après. Cette addition g + m s’obtient elle-même comme suit :

La relation s’exprimera par les valeurs (père) = différence d’une ligne horizontale à la suivante ; ∣^δ (grand-père) = différence de deux lignes ; (arrière grand-père) = différence de trois lignes, etc. Le produit

o o, a’ b’ c’ d’ e’ m

∣⁰∣ o ?…  = 44 l|°

∣^α o 0’  = →4

|⁶ 0 0’ a’ ……………… ;  = ∣^α

|° 0 0’ a’ b’ = 44 ∣^α

γ^d 0 0’ a’ b’ c’ = 44

γ^β 0 0’ a’ b’ c’ d’ .. = ∣^α

0 0’ a’ b, c’ d’ e’ = 4->- |°

∣^σ … etc. etc. I »

4→-j^βsignifiera que, partant de la ligne <^δ_r (= la troisième), on descend de |o (voir les |a à droite du tableau) à la ligne I^e produit _<^t_> γ^δ signifiera que l’on descend de 4>- ⅛ <^dr > etc.

Quant aux relations _<^m_>, elles peuvent être primaires ou secondaires. Si elles sont primaires, le produit _t^m, est alors simplement donné par la relation terminale (primaire) de la ligne horizontale atteinte parγβ, à partir de Par exemple x 44 ∣^α y (= ® est petit-fils du même grand-père que le père de y) équivaut à. x _c ° _x y (= x est le père de l’arrière petit-fils du même arrière grand-père que y), parce que, partant de la ligne 4> ^et descendant d’une ligne (|°), on aboutira à la ligne _t . Si est d’ordre secondaire, ce qui est le cas le plus instructif, alors

mg est la dernière relation secondaire de la suite additive g + m. Par exemple x TL,. l^g y (= x est le cousin germain du grand-père de y) donne x ∣⅛ y (= a : est le grand-père du cousin au troisième degré de y), parce que, partant de la ligne (la troisième) et descendant de deux

alignes (j⁸), on arrive à la ligne <^d> dont la dernière relation secondaire

est TT-

On peut construire ainsi la table de multiplications suivante, que nous tirons directement du tableau des correspondances co-univoques précédent :

m X g = mg m X g  = mg

0×0 =  0 0’ x 0  =  0’

a X 0 =  a 0’  ×  a  =  a’

.b x 0 =  b 0’ x b  =  b’

…etc. 0’  ×  c  =  c’

0 x a = a …etc.

0 × b =  b a’ x 0 =  a’

…etc. a’ X a =  b’

a × a =  b a’ x b =  c’

a x b =  c a’  ×  c — d’

a x c = d …etc.

…etc. b’ X 0 =  b’

b x a =  c b’  ×  a — c’

c × a — d b’  ×  b =  d’

d × a =  e b’  ×  c =  e’

…etc. ’ … etc.

b ×  b =  d c’ X 0 = c’

b x c =  e c’  ×  a = d’

b ×  d =   /  c’  ×  b = e’

…etc. …etc

c ×  b =  e d’ x a = e’

c x c =  f d’ x b = f

c X d =  g d’  ×  c = g’

…etc. …etc.

Inversement, on aura :

(64) =

ou (en vertu de la proposition 62) :

(64 ½) =

Pour déterminer le quotient m : g la valeur de g est alors à soustraire de celle de m, conformément à la table que voici :

m : g m : g

0 :0 = 0 0’ : 0 = 0’

0 : a = 0 0’ : a = 0

…etc. …etc.

a : 0 =  a a’ : 0  = a’

a-, a =  0 a’ : a  = 0’

a : b =  Q a’ : b  = 0

…etc. …etc.

b : 0 =  b b’ : 0  = b’

b : a =  a b’ : a  = a’

/ b :b = O b’ -.b = 0’

…etc. b’ : c = 0

c : 0 = c …etc.

c : a — b c’ : 0 =  c’

c : b — a c’ : a =  b’

c : c = 0 c’ : b =  a’

…etc. c’ : c =  0’

d : 0 = d c’ : d =  0

d : a = c …etc.

d-. b = b …etc.

Exemple : Si x est le grand-père (i^δ) du cousin issu de germain ( _t^b∖ ) de y, alors il est le frère ( _t⁰’> ) du grand-père de y (∣^δ), soit :

(x →→- y) = (x y⁶ y) ⁼ (y f^δ →→- y)’

parce que b’ — b = 0’.

En effet, l’opération b’ — b consiste à remonter de deux lignes (∣^δ) à partir de la rangée ^^δ4> ce qui donne _c⁰’, .

Enfin, si m ≤ g, on a naturellement :

(65) {x∖^β^^y) = (x∖^βy}

Exemple : Si x est le grand-père (j^δ) du frère ( 4’_r ) de y, il est aussi le grand-père de y.

Ces transformations fondamentales (63) à (65) permettent alors la composition des relations entre trois individus quelconques. On a d’abord, en vertu de (65) :

(66) Si m ≤ g alors (z∣^l7y) × (y44z) = (xpz) proposition qui définit la « famille » d’ordre g de x, c’est-à-dire l’ensemble ne dépassant pas, pour chaque génération a… g, la parenté m = g.

Par contre, si m > g, on a, en vertu de (64) :

(67) GΨ*∕) × {y 44 z) = (xZLi’z)

Exemple : Si x est le père de y et que y est le cousin germain (4 »-) de z,

alors x est le frère ( <^a‰ = a’ : a) du père Q^β) de z.

En introduisant une relation | de plus, on aura :

(68) (_χ X (y I_β’ _z) = (_a, 44 p+ q’ _z}

et si m < g, alors (æp+’z)

Exemple : Si x est le père (|°) de y et que y est le cousin germain du grand-père de z {y +4y⁶z), alors x est le frère ( < ⁰ * — a’ : a) de l’arrière grand-père U® = a x b) de z, ou encore (proposition 63) x est l’arrière grand-père du cousin au troisième degré (γ^c →→-) de z.

De même, si m > g, on a :

(θθ) (x∖^β-*→-y) × (y∣⁹’z) = (4-⅛+⁹’zj

et si m ≤ g alors (z y^6f+i’, z)

Exemple : Si x est le père du cousin germain (44) de y et que y est le père (j“) de z alors x est le frère (4>- = « ’:« ) du grand-père (∣^δ — a X a) de z.

D’où, par composition de (68) et de (69) :

(70) (χ∖^β^y) × GP’^z) = (zp+^z)

si m ≤ g et si m’ ≤ (g + g’).

Si ces deux conditions ne sont pas remplies simultanément, on a :

Si m’ < mg’ alors (x^^+o’ z)

Si m’ > mg’ alors {x >’^β+a’ ^→-z} et si m’ = mg’ alors (iv’+^z)

Voici un exemple pour (m < g) et (g + g’) ≥ m’ :

(x∣^c→Λ^y) × (y∣^δ-Λ*-z) = (x∣^ez)

Et pour (m < g), mais (g + g’) < m’ :

G √4- y) × {y z) = (χ ∣d z)

De même, on a :

(’si m’ < mg alors (x -+→- ∣^t,+l7’ z)

(71) 04‰H ×  _siw>_mgaiors(τ^∣^a+<’’_z)

( si m’ = mgalors

où _< ^ffti> est la plus faible relation primaire englobant m, si m est d’ordre secondaire.

Exemples pour (m’ < mg) : si x est le cousin germain du grand-père de y, et que y est l’oncle de z, alors x est le cousin germain de l’arrière grand-père de z : soit (x-4-^∣^δy) X (y4>J“z) = (x-i »- j^cz).

Pour (m’ > mg) : soit (x→-->-j"y) × (y→→-∣^αz) = (z→→~∣^δz).

Et pour (m’ = mg) : soit (x-t—  >~y^αy) X (y*-∣^αz) = (x→<-→-y^δz), c’est-à-dire que x peut être le grand-père de z, ou son grand-oncle ou le cousin germain de son grand-père : en effet (x -*-→- ∣^δ z) indique sans plus que x a pour son compte le même grand-père dans ces trois cas, mais sa parenté vis-à-vis de z reste indéterminée, puisqu’on sait seulement que x est le cousin germain du père de y et que y est le cousin au troisième degré du père de z : le père de z peut donc être le fils de x ou son neveu ou le fils de son cousin germain.

Telles sont (66 à 71) les compositions élémentaires du groupement des multiplications co-univoques des relations. Ces compositions, dont on constate l’isomorphisme avec le groupement de la multiplication co-univoque des classes, peuvent alors être différenciées selon toutes les combinaisons possibles. Nous avons donné ailleurs¹

1. Classes, relations et nombres.

quelques échantillons de leurs diversités, notamment selon les quatre figures :

(xy × yz) = (xz) ; (xy) × (xz) = (yz) ; (xy) × (zy) = (xz)
et (χy) × (zæ) — (yz)

que Ch. Serrus a reprises dans son Traité¹. Il n’est donc pas nécessaire de les réanalyser ici, car elles dérivent toutes des transformations fondamentales (63) et (64), en appliquant aux relations asymétriques et symétriques en jeu leurs règles respectives d’addition.

Notons seulement que, quand les relations asymétriques sont inverses, le calcul est un peu plus compliqué. En voici un seul exemple :

(72) {χ^∖^gy) ×{y∖^g^_z’) =

L’associativité présente, dans ce groupement, un intérêt particulier, du fait qu’elle y manifeste plus visiblement que dans les autres sa fonction propre : atteindre le même point d’arrivée par des chemins différents et notamment par des « détours » plus ou moins grands. Soit par exemple :

( ≈) = G ? y) ; ( β) = G ∣^c z₁) ; et (γ) = (z₁ Λ- ∣^rf z₂)

On aura si l’on compose (œ × β) à part, puis (α × β) avec (γ), ou bien (a) à part et (β × γ) d’autre part, le même produit final (z-<→-∣,z₂), mais par des chemins différents : en effet (α × β) donnent (x-*-*-∣^ez₁) et (β × γ) donnent {y^-*~∖^gz). Pourtant la

1. Ch. Serrus, op. cit., p. 292-313.

première de ces deux expressions, multipliée par (y) donne le même produit que la seconde multipliée par (a).

Les identiques spéciales sont naturellement conformes à la règle habituelle. Quant à l’identique générale, on se rappelle que, dans les groupements multiplicatifs de classes, elle résulte de l’opération d’abstraire une classe d’elle-même, c’est-à-dire de la supprimer en tant qu’emboîtement tout en laissant ses éléments dans la classe la plus générale du système. De même, abstraire une suite de relations d’elle-même consistera à supprimer les relations entre ces termes comme tels tout en conservant ces termes à titre de termes de toute autre relation possible :

UW) : (χ∖^ay) = ⅛∖⁰y)

Ce groupement de la multiplication co-univoque des relations est ainsi, de beaucoup, le plus riche des groupements « intensifs » examinés jusqu’ici. On pourrait se demander si cette fécondité ne révèle pas l’existence d’un fond numérique qui engendrerait les rapports en jeu, puisque les générations peuvent être considérées comme des unités successives, que l’on retrouve dans les degrés de la parenté collatérale. Certes il est facile de dénombrer les générations comme ces degrés, mais c’est un fait remarquable que rien ne nous y contraint, et que l’emboîtement des relations secondaires 44 ; < ^a’ -, ; 44 ! etc., dans les relations symétriques primaires _t∙ ^a -, ; 4→’> < ^c > ^en fonction des relations asymétriques etc., suffit à exprimer de la manière la plus précise et la plus complète l’ensemble des rapports intervenant dans un système de filiations. Or, comme un tel système est isomorphe au groupement des multiplications co-univoques de classes, et que ce dernier groupement traduit la structure de toute classification complète, on voit que l’existence du présent groupement constitue la meilleure des vérifications établissant le caractère à la fois naturel et élémentaire du mécanisme opératoire des groupements.

Au groupement (IV) de la multiplication bi-univoque des classes correspond enfin un groupement multiplicatif de relations qui intéresse comme le groupement VII les relations asymétriques et symé-

triques à la fois : il constitue des tables à double (ou à triple, etc.) entrée, l’une des entrées étant occupée par une sériation (groupement V), tandis que l’autre l’est, soit par une seconde sériation, soit par un système de relations symétriques (correspondances), soit par les deux à la fois.

Cherchons à distribuer un ensemble d’objets selon leur poids et leur volume simultanément, sans être en possession d’aucune donnée métrique. Pour les poids on ne disposera ainsi que d’estimations qualitatives (perceptives) en (+), en ( = ) et en (— ). Pour le volume on immergera successivement les objets en un récipient d’eau en jugeant donc du résultat en (+), en (=) et en (— ), toutes les comparaisons de poids ou de volume s’effectuant par couples. On aura ainsi la possibilité de sérier les objets selon une suite de relations asymétriques transitives exprimant les différences de poids : 0 4. A4B-4C4 D 4∙∙∙) θt^c∙, ^e⅛ ^de construire une’ suite semblable pour les volumes. On aura de même le pouvoir d’établir des équivalences X 4> Y ou X ₍ ^b > Y, etc., selon les divers poids ou les divers volumes constatés égaux. Mais on n’aura, par hypothèse, aucun moyen d’égaliser les différences 4 = → = → = • ••, c’est-à-dire de construire une unité métrique ^a = a telle que b = 2 a, c = 3 a, etc. On ne pourra pas non plus graduer les différences selon un ordre croissant (4) <(→) <(→)∙∙∙, etc., ou décroissant. On ne disposera donc d’aucune quantification extensive et l’on se trouvera en présence de seules relations intensives fondées sur l’emboîtement des différences positives (groupement V) ou nulles (groupement VI). Comment alors comparer tous les objets en présence, du double point de vue du poids et du volume, c’est- à-dire comment construire un groupement multiplicatif avec ces deux suites de relations ?

La seule méthode consistera à construire une table à double entrée combinant les deux sortes de différences et d’équivalences. On commencera par construire des classes d’équivalences contenant les objets de même poids ou de même volume. Nous supposerons qu’il n’existe pas deux objets de même poids et de même volume à - la fois, mais il peut y avoir équivalence selon l’une ou l’autre qualité. En ce cas, les objets de poids équivalent seront donc à sérier selon le volume et vice versa. Appelons ainsi A₁ une classe d’objets de même poids ; Ai une classe d’objets de même poids également, mais plus lourds que les A₁j Bj une classe d’objets encore plus lourds, mais de poids égal entre eux, etc. Appelons d’autre part A₂;

A₂; B₂; etc., des classes d’objets de volume croissant d’une classe à l’autre, mais de volume égal à l’intérieur de chaque classe. Nous pouvons alors construire au moyen de ces classes une table à double entrée de la forme de celles du groupement IV (voir fig. 9, p. 123),

Fig. 16.

mais à cette différence près que chaque intersection A₁A₂j A(A₂; A₂A₂; etc., sera constituée par une classe singulière.

La figure 16 représente les classes singulières de cette table à double entrée par un ensemble de rectangles : chaque rangée horizontale figure ainsi une suite d’objets de même volume, mais de poids croissant, et chaque colonne verticale une suite d’objets de même poids, mais de volume croissant. Il est alors facile de relier ces objets par un double système de relations asymétriques exprimant

simultanément les différences de poids et de volume. Pour une même classe A₂ contenant des objets de volume égal, on aura en effet, la sériation suivant des poids (en négligeant le 0) :

(73) (A₁A₂)4(a ;a₂)4 (b ;a₂)4(c ;aj4(d ;a₂)4… etc.

Ces relations seront les mêmes entre les termes de la classe A₂ ou de la classe B₂, etc., lesquelles ne diffèrent que par le volume. Réciproquement, pour une classe A₁ contenant des objets de poids égal, on aura la sériation suivante des volumes (cette série étant verticale dans la figure 16) :

(74) (A₁A₂) 4 (A₁A₂) 4 (A₁B₂) 4 (A₁C’) 4 … etc.

Ces relations y“²; ; y⁶*; etc., se retrouveront entre les termes des

classes A_n BJ C(, etc., lesquelles ne diffèrent que par le poids.

Si nous extrayons maintenant de’ la figure 16 les relations (73) et (74) nous trouvons un système de relations, distribuées comme dans le tableau ci-contre. Ce sont ces relations qui constituent alors le groupement VIII : on constate qu’elles expriment une double sériation de différences, mais en se répétant entre plusieurs suites distinctes d’objets, lesquels demeurent donc partiellement équivalentes. Notons à ce propos que,

si certains éléments manquaient au tableau de la figure 16, c’est-à- dire s’il n’existait pas de séries correspondantes de mêmes poids et de mêmes volumes, la comparaison entre les autres deviendrait impossible ; plus précisément, il est nécessaire, pour le faire, de supposer l’existence logique de moyens termes semblables entre eux du point de vue de l’une des deux qualités en jeu, que ceux-ci existent empiriquement ou non. Seule une quantification extensive (un rapport métrique ou ■ une proportion entre les poids et les volumes) permettrait d’éviter une telle limitation, mais en se référant implicitement à une commune mesure. A défaut de quoi il faut passer par l’égalité qualitative : par exemple Aristote, ignorant la mesure de la vitesse, se bornait à définir celle-ci en disant que, de deux mobiles, le plus rapide est soit celui qui arrive plus loin à temps égaux, soit celui qui parcourt en moins de temps des espaces

égaux ; il y a là un bon exemple d’opération intensive relevant du présent groupement et reposant sur une organisation des données analogue à celle des tables précédentes. Dans le tableau de la figure 16 aussi, on peut dire que le plus dense de deux objets est celui qui, à poids égal, a un volume plus petit ou celui qui, à volume égal, a un poids plus grand ; mais on ne peut rien affirmer de plus, faute de quantification extensive ou métrique.

Cela dit, ce groupement VIII réunit en un seul tout trois sortes d’opérations : la multiplication de deux sériations l’une par l’autre (opération qui peut se poursuivre avec de nouvelles sériations) ; l’addition de nouvelles relations asymétriques selon chacune des séries envisagées (double ou triple enchaînement, etc.) et la mise en correspondance selon des relations symétriques d’équivalence multiplicative (correspondance bi-univoque et réciproque).

Ces huit groupements possibles de classes et de relations forment au total un système simple et cohérent dont il s’agit pour conclure de dégager l’économie.

Nous avons déjà vu (§ 11) que ce nombre 8 était dû à une triple dichotomie : groupements de classes et de relations (2), groupements additifs et multiplicatifs (2), groupements primaires et secondaires (2), soit 2 × 2 × 2 = 8. Mais on ne pouvait comprendre avant d’en avoir, analysé le détail, le rôle fondamental des classes et relations secondaires, que mettent en évidence les groupements II, III, VI et VII. La raison en est maintenant claire : il existe, en fait, deux structures fondamentales qui se partagent l’ensemble des groupements intrapropositionnels : l’une est fondée sur les emboîtements et sériations linéaires, c’est-à-dire entièrement ordonnés, (I et V) et sur leurs multiplications, qui sont alors bi-univoques (IV et VIII) ; l’autre l’est sur les systèmes hiérarchiques, donc co-univoques (II et III, VI et VII). Ce sont ces derniers qui mettent en jeu les compositions de classes ou de relations secondaires entre elles, sous forme de vicariances (II) ou de symétries (III) et surtout de correspondances « un à plusieurs » (III et VII).

Un autre résultat de l’étude des groupements est de permettre une analyse précise des divers modes d’équivalence et de différence sur lesquels est fondée la logique intensive. Toute la logique des classes et des relations constitue, en effet, une théorie de la ressem-

blance et de la différence, qu’il s’agisse de classifications, c’est-à-dire de systèmes de ressemblances hiérarchisées, ou de mises en relations, c’est-à-dire d’équivalences symétriques ou de différences asymétriques. C’est donc par une détermination des rapports entre l’équivalence et la différence qu’il s’agit de clore cet exposé.

L’équivalence qualitative, tout d’abord, dont nous venons de décrire les diverses variétés additives et multiplicatives, présente ce caractère fondamental de comporter des degrés. Nous ne faisons pas allusion en cela aux formes mathématisées d’équivalence, sur lesquelles nous reviendrons (chap. IV), mais à ce fait fondamental qui conditionne toute la construction des groupements de classes et de relations symétriques : l’identité ou relation de différence nulle (x 4 x)=(x ₍ ⁰> x)=(χ-χ) n’est que lalimite maximale d’une forme d’équivalence dont les divers degrés s’échelonnent jusqu’à l’équivalence minimale, reliant les uns aux autres les éléments de la classe la plus générale du système considéré (Z).’ Prenons comme exemple une classe A (les Hommes) incluse en une suite de classes B (les Mammifères), C (les Vertébrés), D (les Animaux), E (les êtres vivants)… jusqu’à Z. Il existe alors entre les Hommes une équivalence globale ar₁ ^aδcd-² x₂, définie par l’ensemble de leurs caractères communs¹, et qui est plus grande que l’équivalence globale donnée entre les Mammifères (x₁ χ_n) ; en effet, ceux-ci, tout en présentant des qualités communes qui les rendent tous équivalents entre eux en tant que Mammifères < ^δ >, ^s°ⁿt plus différents les uns des autres que ne le sont les Hommes, puisqu’il leur manque les qualités spécifiques de la classe A, c’est-à-dire _< ^a >■ L’équivalence donnée entre les Vertébrés (τ₁ f^d-^z_r y) est plus faible encore, et ainsi de suite jusqu’à l’équivalence ia plus faible qui réunit les uns aux autres les êtres en général ( ₍ ^z, ).

Cet affaiblissement de l’équivalence entre les éléments des classes emboîtées au fur et à mesure de leur extension n’est pas autre chose que l’expression de la loi classique de la proportion inverse entre la compréhension des concepts et leur extension : en effet, dans le cas des classes « faiblement structurées », auxquelles s’applique la loi en question (comme nous l’avons vu au § 6), l’extension n’est autre que la classe elle-même, tandis que la compréhension

1. Nous distinguons ici le symbole x₁ x₂ désignant l’ensemble des équivalences entre x, et x₂ du symbole x, x₂ représentant l’équivalence différentielle propre à la classe A et définie par la co-possession des caractères spécifiques de cette classe.

est précisément constituée par les équivalences qualitatives qui caractérisent cette classe.

Or, dire que l’équivalence a des degrés et qu’elle s’affaiblit au fur et à mesure de l’extension des classes emboîtantes, c’est soutenir, par cela même, que la différence augmente corrélativement. Nulle dans le cas de l’identité (< ° >), la différence est plus grande entre individus de la classe A (soit A4), plus grande encore entre individus de la classe B (soit 4→) ^e⅛ ^a⅛si de suite jusqu’à (<*>). Les équivalences décroissantes A→i A4 ; -4→i constituent ainsi par ailleurs et simultanément des relations de différences croissantes. Mais en quoi consistent les différences, du point de vue de la structure des groupements ?

Il n’existe que trois formes de différences de qualité : 1° les « altérités » (définition 26) : par exemple <^a’_y exprimant la différence entre les compréhensions correspondant aux classes A et A’ ∣si A’ = B — A ; _i^b’_y exprimant la différence entre les compréhensions des classes B et B’, si B’ = C — B, etc., jusqu’à 4→ correspondant à la différence entre la compréhension de Y et de Z (la classe totale du système) ; 2° les différences asymétriques :

O 4 A 4 B 4 C 4 … ; etc.

propres à la sériation ; 3° les différences symétriques d’intervalles :

O « — > | A ; A <→ | B ; B ÷→ | C ; etc.

signifiant qu’il existe, en une série, le même intervalle entre O et A qu’entre A et O ; entre A et B qu’entre B et A, etc.

1° Les premières de ces différences expriment la présence chez l’un des termes de la relation, et l’absence chez l’autre terme, des qualités _c ^g, ou A » etc., caractérisant une classe A ou B, etc., mais avec présence chez les deux termes des qualités de la classe de rang supérieur (B pour A, C pour B, etc.). Ainsi :

4→ = (√→ + A>) i <→ = (A + √→) ; etc.

Par exemple, si A = les Hommes, B = les Mammifères, G = les Vertébrés, etc., alors _< ^a’, = la différence entre les Hommes et les autres Mammifères ; 4 — l^a différence entre les Mammifères et les autres Vertébrés, etc. Il est facile de constater que toutes les variétés de différence résultant de la présence ou de l’absence d’une qualité quelconque 44 ou 44 ^se réduisent aux précédentes.

Ainsi, la relation < % signifie que les deux individus comparés n’appartiennent pas à la même classe A : ils seront donc reliés par la relation ₍^a\ s’ils appartiennent tous deux à la classe B ; par la relation _f^b’ _y s’ils appartiennent tous deux à C, etc. S’ils n’ont rien de commun, sinon que l’un appartient à A et l’autre à la classe totale Z, la relation ₊A> signifiera simplement que le second terme appartient à Z — A : elle restera donc indéterminée, mais sera à coup sûr _<^g’_>, ou ou _< ^c’_y… ou _f^v’_y. L’équivalence négative < ^s_y est donc un cas particulier de l’altérité en général.

2° Quant aux différences asymétriques ^a, ; ; etc., elles

expriment le plus et le moins, ou les différences trivalentes (voir § 17). Ce sont les relations asymétriques transitives qui traduisent de la manière la plus spécifique la différence en général. En particulier, dans le cas des classes emboîtées A, B, C… dont chacune est caractérisée par l’une des équivalences différentielles,

l’inclusion elle-même qui les relie, c’est-à-dire A < B ; B < C ; C < D ; etc., constitue une relation asymétrique transitive (voir § 18). Mais comment alors concevoir le rapport entre les différences asymétriques et ce qu’on peut appeler les différences symétriques, c’est-à-dire d’une part, les altérités et, d’autre part, cet élément de différence qui intervient de façon croissante, comme nous l’avons vu plus haut, dans l’affaiblissement même des équivalences globales f^,e_y ; J^,c-_y ; etc.?

3° C’est ici qu’interviennent les différences d’intervalles, que nous n’avons pas encore discutées (sinon au § 17 à propos du caractère symétrique de la relation de différence indéterminée). Les différences d’intervalles s’appuient toujours sur une sériation de relations asymétriques. Par exemple si l’on a la série :

oΛa*b4c4…

exprimant une suite de différences ordonnées (de plus en plus lourd), on en peut tirer immédiatement qu’il existe « la même différence » entre A et O qu’entre O et A ; entre B et A qu’entre A et B, etc. Or, « la même différence » est une relation symétrique (<— ►) parce que non orientée, en opposition avec la différence asymétrique (→∙) ordonnée du moins au plus ou du plus au moins. Elle est donc relative, non pas à la vection, mais à l’intervalle, c’est-à-dire à ce qui est donné « entre » les points de départ et d’arrivée ou l’inverse _:elle exprime, autrement dit, que l’intervalle entre les extrêmes est le même dans les deux sens.

Or, l’existence de ces relations de différence « entre », ou d’intervalle, relève de deux sortes de compositions qui permettent de les comparer à la fois aux différences croissantes corrélatives des équivalences décroissantes, pour ce qui est de leurs formes primaires, et aux altérités pour ce qui est de leurs formes secondaires. En effet, leurs formes primaires peuvent être engendrées selon le mode de la multiplication co-univoque de la proposition 58, en intercalant « entre » les termes de la série O→A→B→C→… un ensemble de nouveaux termes possibles. On définira alors la relation O_a → A par le rapport d’ordre : « O_A vient avant A ; et la relation A ÷- O_Apar : « A vient après O_A » (O_A signifiant les termes quelconques compris entre O et | A, c’est-à-dire entre O non exclus et | A exclus). De même O_b →∙ B signifiera : « O_D vient avant B », et B <- O_B : « B vient après O_B » (O_B représentant les termes compris entre O non exclus et | B, c’est-à-dire B exclus), etc. D’où la multiplication « avant » × « après » = « entre » :

(O_aΛA) × (A40_a) = (04|A);

(86) (O_B 4 B) × (B 4 O_B) = (O 4 | B) ;

(Oc 4 C) × (C 4 O_c) = (O 4 | C); etc.

Mais la suite des classes primaires emboîtées A < B < C < … qui sont déterminées par les équivalences 4i ÷→> < °> ; etc., constituent elles-mêmes une sériation d’inclusions en fonction de leurs extensions respectives : O→ A ; A4 B ; B → C ; etc. (voir § 18). Il est donc clair que ces extensions propres aux classes O, A, B, C, etc. relèveront aussi de la proposition 86. En ce cas, l’intervalle (O <^a > | A) comprendra tous les termes ou ensembles de termes distribués entre O et la classe A elle-même (non comprise) ; l’intervalle (O 4> I B) représentera tous les termes compris entre O et la classe B elle-même non comprise (les classes A et A’,) etc. Or, ces intervalles étant de plus en plus grands, ils correspondront donc à des différences croissantes entre deux termes quelconques compris en chacun d’eux. A chaque intervalle _t^a _y | ; <^b _> | ; _<^c_> | ; etc, on peut ainsi faire correspondre, en compréhension, les équivalences 44 ; ÷→! 44 ; etc., données entre les termes compris dans ces intervalles respectifs, équivalences dont on se rappelle qu’elles ont la signification de ressemblances décroissantes : 4→> 4→’> 4→∙

Malgré tout ce qui sépare un système de classes primaires emboîtées et une suite de termes ordonnés, on peut donc assimiler les

LA LOGIQUE DES RELATIONS

185

relations primaires d’intervalles croissants à l’extension progressive de ces classes, puisqu’on fait abstraction de l’ordre à l’intérieur de chaque intervalle. Quant aux relations secondaires d’intervalles, il est alors possible de comparer leur structure à celles des altérités. En adoptant la même nomenclature pour les intervalles que

pour le groupement VII, on peut appeler _< ^a _y tout intervalle élémentaire entre O et | A, entre A et | B, entre B et | C, etc. (voir la figure 18) ; on appellera alors 44 l’intervalle compris entre un terme situé dans un intervalle 44 et un terme compris dans l’intervalle • t 1 il

voisin (de rang <^a, également) ; on appellera 44 l’intervalle compris entre un terme situé dans un intervalle 44 et un terme situé dans un intervalle voisin du voisin de _t ^a,, etc. Ce mode de présentation permet donc de confronter les rela

tions d’intervalle propres aux structures linéaires ou bi-univoques avec celles des structures hiérarchiques ou co-univoques. On s’aperçoit alors que certaines compositions sont communes aux deux structures ; on a par exemple :

a । a’ __ a’ . a’ \ a’ b ,

₍^b_? + 4→ = ÷→! <→ + /> = < % ; etc.

lorsque les intervalles en jeu se recouvrent en partie. Par exemple si x₁ est situé « entre O et A », si τ₂ l’est également et si x₃ est « entre A et B », on aura :

(τ₁ 44 χ₂) + (χ₂ 44- ⅝) = (« 1 4→ ⅝) ; θtc.

Par contre, si les intervalles composés entre eux ne se recouvrent pas, il n’y aura plus tautification ou addition vicariante, mais addition

Fig. 18.

simple : a’₁ +   = b’ ; b,₁ + α₂ = ^c’ > ^e⅛^c∙j ^ce 9^ui sort des

compositions ordinaires du groupement VII et montre la différence des deux sortes de structures, bien qu’on fasse abstraction de l’ordre à l’intérieur de chaque intervalle.

Au total, il subsiste malgré ces rapprochements deux formes essentielles de différences correspondant aux deux sortes de structures hiérarchiques et linéaires (c’est-à-dire entièrement ordonnées) : les altérités (symétriques) exprimant la présence simultanée de qualités différentielles (différences bivalentes) et de qualités communes ; et les différences asymétriques exprimant les degrés divers (trivalence ou multivalence) d’une qualité commune. Mais, tant les unes que les autres de ces deux sortes de différences correspondent à des différences d’intervalles, qui traduisent simplement l’écart plus ou moins grand (et symétrique) entre les termes comparés. On peut alors composer de façon analogue les relations d’intervalles propres aux structures entièrement ordonnées (mais en faisant abstraction de l’ordre au sein de chaque intervalle) et aux structures hiérarchiques (ou partiellement ordonnées). De telles compositions atténuent l’opposition entre les altérités et les différences asymétriques en réduisant les premières à des relations secondaires d’intervalle et en faisant correspondre aux secondes les relations primaires d’intervalle : les relations d’intervalle n’apparaissent plus ainsi comme une catégorie à part de différence, mais comme l’élément commun aux deux catégories principales. Néanmoins celles-ci conservent leur dualité.

On voit ainsi l’unité dans la diversité, qui caractérise le système des huit groupements de classes et de relations. Serait-il cependant possible de les réduire à un seul ? Sur le plan intrapropositionnel, il subsiste deux sortes d’oppositions qui s’opposent à une telle réduction. D’une part, nous venons de constater le dualisme des structures entièrement ordonnées ou bi-univoques (groupements I, V, IV et VIII) et des structures hiérarchiques (groupements II, VI, III et VII); d’autre part, l’opération inverse des groupements additifs de classe est fondée sur la complémentarité tandis que l’opération inverse propre aux groupements additifs de relations repose sur la réciprocité. Mais on a vu (§ 15) que les groupements de classes I à III peuvent être considérés comme des différenciations du groupement IV qui est plus général qu’eux. De même pourrait-on considérer les groupements de relations V à VII comme issus du groupement VIII, par spécialisations successives. Quant aux groupe-

ments IV et VIII, leur isomorphisme permet de les considérer comme deux aspects, l’un en extension, l’autre en compréhension, de la même structure totale. Seulement pour que cette réunion en un système unique soit effective et ne consiste pas en simples correspondances, il est nécessaire de passer du plan intrapropositionnel, ou concret, au plan interpropositionnel qui comporte un degré de formalisation supérieur et est caractérisé par des opérations à la seconde puissance, portant sur les opérations précédentes. C’est ce que nous verrons au cours des chapitres V et VI.