Chapitre V.
Le calcul des propositions ^a 🔗

On désigne ordinairement sous le nom de « tautologie » l’arrangement n° 1 (pq ; pq ; pq ; pq) qui

Fig. 19. — L’affirmation complète.

(En cette figure, comme en toutes les suivantes, jusqu’à la figure 34, le cercle de gauche représente la classe P et le cercle de droite la classe Q.)

correspond à une affirmation simultanée des quatre couples possibles entre p et q. Nous préférons appeler cette opération 1’« affirmation complète », étant donné les nombreux sens distincts attribués au terme de tautologie. De plus cet arrangement n’est en général pas désigné par un symbole particulier (sauf en un sens plus large). Nous emploierons au

contraire un symbole distinct (* ) pour, représenter l’affirmation complète en tant qu’opération, car il nous sera indispensable dans la suite : l’expression (p * q) signifiera donc désormais que p et q sont affirmées selon les quatre combinaisons pq, pq, pq et pq réunies.

Du point de vue des rapports entre classes, l’affirmation complète (p*q) correspond à la multiplication bi-univoque :

(P + P) X (Q + Q) = PQ + PQ + PQ + PQ

(voir la figure 19). En termes de propositions, l’affirmation complète s’écrira donc f

(101) (p*q) = (p ■ q)v (p ■ q)v (p ■ q) ∨ (p ■ q)

Exemple : Si p = « x est un Vertébré (P) » et si q = « x est pourvu de poumons (Q) » alors les quatre combinaisons suivantes peuvent être vraies : p • q (= « x est un Vertébré pulmoné ») ; p ■ q (= « x est un Vertébré non pulmoné ») ; p • q (= « x n’est pas vertébré, mais est pulmoné ») ; et p • q (= « x n’est ni Vertébré ni pulmoné »).

L’affirmation complète est dite tautologique, indépendamment de son contenu, en ce sens qu’elle affirme simultanément tous les cas possibles. Cela signifie donc que p et q ne sont ni incompatibles l’un avec l’autre, ni impliqués l’un par l’autre.

Exemple : Si p signifiait « x est Mammifère » et q = « x est pulmoné », la combinaison p • q serait fausse, puisqu’il n’y a pas de Mammifères sans poumons : il n’y aurait donc pas « affirmation complète » (p * q), mais implication.

L’opération complémentaire de l’affirmation complète, c’est-à-dire celle qui la nie, sera la « négation complète », telle que chacune des quatre combinaisons p ■ q\ p ■ q∙, p ■ q et p • q soit fausse. La négation complète équivaudra donc à un arrangement total quadruplement vide, que nous désignerons par le symbole (o) :

(102) (o) = (o) ∨ (o) ∨ (o) ∨ (o)

On désigne souvent cet arrangement du terme de « contradiction », mais nous ne saurions suivre

Fig. 20. — La négation complète.

cet usage, et cela pour deux raisons. La première est qu’il s’agit d’une véritable opération, qui exprime non pas la contradiction en tant qu’état, mais le fait qu’une opération en nie ou en « contredit » une autre (cf. une opération directe et son inverse)¹. La meilleure preuve qu’il s’agit d’une opération est que la négation complète constitue la

négation de l’affirmation complète (la barre sur l’ensemble d’une expression signifie sa négation).

(103) (p^q) = (p • ?) ∨ (p • y) ∨ (p • ç) ∨ (p • q) = (o) ∨ (o) ∨ (o) ∨ (o)

1. La négation complète joue alors le rôle d’« opération identique ». Voir § 39.

D’autre part, ce qu’on appelle couramment « contradiction » n’est en général pas constitué par la présente liaison. Par exemple les deux propositions « x est un Mollusque » et « x est un Vertébré » ne sont pas à proprement parler contradictoires, mais incompatibles (voir V). La plupart des affirmations dites contradictoires sont des exclusions réciproques et des incompatibilités. C’est le cas notamment de l’expression usuelle du principe de non-contradiction (p • p = o), qui est une exclusion réciproque (voir XII) de p et de p !

Supposons maintenant que soient vraies les associations p • q ; p • q et

Fig. 21. — La disjonction non-exclusive.

p • q, mais que p • q soit fausse. L’arrangement ainsi constitué entre p et q exprimera alors une alternative, mais à trois branches, donc un trilemme : ou p est vraie, ou q est vraie ou toutes les deux sont vraies, mais il est exclu que l’un de ces trois cas soit faux. L’alternative correspond, en langage de classes, à la réunion de deux classes partiellement disjointes : PQ + PQ + PQ, avec exclusion de PQ. D’où, en langage de propositions :

(104) (p ∨ q) = (p • q) y (p . q) ∨ (p • q)

Exemple (voir fig. 21) : Si P = les Vertébrés pulmonés et Q = les Vertébrés à branchies,il existe des Vertébrés à poumons sans branchies (PQ), des Vertébrés à branchies sans poumons (PQ) et des Vertébrés rentrant dans les deux classes à la fois (PQ), mais il n’existe pas de Vertébrés sans branchies ni poumons. Si p = axP, si q = æeQ (et si T = P + Q), on a bien alors p ∨ q, c’est-à-dire (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q}.

1.

L’opération complémentaire du trilemme (donc sa négation) est constituée par l’affirmation de p • q, puisque cette association est exclue dans l’opération III.

L’affirmation de p ■ q (avec exclusion des trois autres possibilités) se traduit par « ni p ni g ». En terme de classes, elle correspond donc à la partie complémentaire de (PQ + PQ + PQ), c’est-à- dire à (PQ) :

Fig. 22. — La négation conjointe

Exemple : Si P = les Invertébrés pluricellulaires et Q = les Verté

brés, le produit PQ sera constitué par les Protozoaires qui ne sont « ni P ni Q ». Si p = xzP et q = kQ, on a donc pour les Protozoaires, vérité de p ∙ ^q.

La négation conjointe exprime ainsi la négation de l’alternative :

(105) (p • q) = (p • ?) ∨ (p • g) ∨ (p • q)

c’est-à-dire qu’à elles deux elles donneraient une « affirmation complète » : en rajoutant [v (p ■ g)] à (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p ■ q), on retrouve en effet la formule (101).

Admettons maintenant que la première association (p ■ q) fasse défaut : cela signifie alors que p est

incompatible avec q puisque la présence de l’une de ces deux propositions n’est compatible qu’avec l’absence de l’autre :

(106) (p∣g)=(p ∙g) ∨ (p∙g) ∨ (p -q)

Exemple : Si p = « x est Vertébré (P) » et si q = « x est Insecte (Q) », la classe PQ reste vide, tandis que les P sont tous PQ, les Q tous PQ et qu’il existe

Fig. 23. — L’incompatibilité.

des PQ. Si les PQ n’existaient pas, c’est-à-dire si tous les animaux (T) étaient Vertébrés ou Insectes, il n’y aurait alors pas seulement incompatibilité, mais « exclusion réciproque » (voir XII).

La négation de l’incompatibilité (opération complémentaire) sera l’affirmation de (p • q) puisque seulo

cette association est niée par (p\q) :

(107) (p∙q)=(p-q)^(p∙q)^(p∙q)

La conjonction (p • q) est par définition l’affirmation simultanée de deux propositions : « p et q à la fois ».

Exemple : Si p = « x est un animal aquatique (P) » et q = « x est un Mam

mifère (Q) », la conjonction (p • q) sera vraie des Cétacés et correspondra à la seule classe PQ.

Fig. 24. — La conjonction.

Si les conjonctions (p ■ q) ; (p ■ q) et (p • q) sont vraies tandis que p • q est fausse, il y a alors implication dans le sens (asymétrique) « p implique q » :

(108) (p^ q) = (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p ■ q)

En termes de classes l’implication correspond ainsi à l’inclusion P < Q, laquelle laisse vide la classe (PQ).

Exemple : Si p = « x est Mammifère (P) » et q = « x est Vertébré (Q) », on a alors trois seuls cas vrais PQ (les Mammifères qui sont tous Vertébrés),

Fig. 25. — L’implication.

PQ (les Vertébrés autres que les Mammifères) et PQ (les non Mammifères non Vertébrés). Mais la classe PQ est nulle parce qu’il n’existe pas de Mammifères non Vertébrés : la classe P est donc incluse en Q, d’oùp d q par exclusion de p • q.

La négation de l’implication est l’opération p • q complémentaire depz q, puisque

cette conjonction p • q est la seule exclue par l’implication :

(109) p -q = p^q

= (p ■ q)y (p • q)y (p-q)

Du point de vue des rapports entre classes, la non-implication correspond donc à la classe PQ.

Fig. 26. — La non-implication.

L’implication est une relation asymétrique entre propositions (comme l’inclusion entre les classes) et l’implication (p ⊃ q) n’équivaut donc point à (qz>p). On appelle ordinairement « implication inverse » l’opération (q □ p), mais il s’agit ici d’une inversion dans le sens de la

Fig. 27. — L’implication invebse.

réciprocité et non pas de la complémentarité simple ou négation (en effet q □ p est compatible avec pz q bien que l’une des implications n’entraîne pas nécessairement l’autre, tandis que deux opérations inverses dans le sens de la complémentarité ou négation sont la « négation complète » l’une de l’autre) :

(110) (p c q) = (q □ p) = (p . q) ∨ (p . q) y (p . q)

Le symbole (p c q) se lit : « p est impliqué par g » et le symbole équivalent (q ⊃ p) se lit : « q implique p ». Pour illustrer la chose en termes de classes, il suffit de reprendre l’exemple de VII en intervertissant la signification des termes P et Q.

C’est l’opération complémentaire de IX (sa négation).

Soit :

(111) (q^p)

= (p • q)v (p ■ q)v (p ■ q) = (P ■ q)

On constate que cette opération constitue la réciproque de VIII, la conjonction p • q correspondant à la classe PQ (voir fig. 28).

Fia. 28. — La non-implication.

Supposons maintenant que seules soient vraies les conjonctions p • q et p • q, tandis que p ■ q et p • q restent fausses : cela signifie que quand p est vraie, q l’est aussi (conjonction) et que p est fausse q l’est aussi (négation conjointe) : p est donc équivalent à q. D’autre part, exclure p • q etp-q signifie exclure la non-implication entre p et q ainsi qu’entre q et p : c’est donc affirmer que p et q s’impliquent réciproquement, ce qui est une autre manière d’exprimer l’équivalence :

(112) (p = q) = (p ^q) = (p • q) y (P • q)

On peut donner comme modèle de classes le cas des classes présentant les mêmes éléments.

Fia. 29. — L’équivalence.

Exemple : P = les Protozoaires et Q — les Invertébrés non pluricellulaires. D’où, si p = wP, et si q = œQ, l’équivalence (p • q) ∨ (p • q) parce que les classes PQ et PQ sont vides.

Mais l’équivalence peut aussi correspondre à une vicariance entre classes, comme nous le verrons plus tard. L’équivalence est symbolisée par les signes =, ≡ (en cas d’identité) et surtout œ et est aussi

appelée « homologie ». Mais il est inutile de compliquer le vocabulaire et le symbolisme : l’équivalence entre proposition exprime, en effet, comme tout autre équivalence, la possibilité d’une substitution.

La négation de l’équivalence (c’est-à-dire sa complémentaire) est l’opération qui affirmera la vérité de p • q et de p • q et niera celle de p • q et de p • q. Or, affirmer p • q et p ■ q seuls, c’est exprimer l’exclusion réciproque de p et de q : ou p est vraie, et q est fausse,

Fig. 30. — L’exclusion réciproque. ?

ou réciproquement. L’exclusion réciproque est donc un dilemme, par opposition au trilemme (voir III). Aussi est-ce utile, lorsqu’il s’agit de distinguer le « ou… ou »(le tiers étant exclu) du « ou… ou… ou les deux » (trilemme) de symboliser l’exclusion par un signe spécial (w par opposition à v). Mais en pratique on se sert ordinairement du même signe (v) pour les deux. Il ne s’agit cependant pas de la même opération, puisque l’exclusion réciproque est une équivalence négative et le trilemme une simple disjonction partielle (comprenant l’association p • q). L’exclusion (w) correspond ainsi à l’addition disjonctive des classes (fig. 30) et l’alternative (v) à l’addition non disjonctive.

Exemple : Si P = les Vertébrés et Q =.les Invertébrés, la classe totale T étant celles des Animaux, on a PQ et PQ, mais ni PQ ni PQ. Si p = xzP et q = aεQ, la formule de l’exclusion est donc bien :

(113) (p^q) = (p∙q)^ (p-q)

ce qui contredit ou « nie complètement » l’équivalence (p • ?) ∨ (p • q).

Admettons maintenant que les conjonctions (p ■ q) et (p • q) soient seules vraies. Il y a dans ce cas simple affirmation de p conjointement avec soit q, soit q :

(114) p[ç] = (p • q) ∨ (p • q)

Exemple : Soit ainsi une classe P telle que P soit nulle : par exemple P = les animaux qui respirent (il n’y en a point d’autres) ; et soit Q = les ∣ animaux à poumons. On a alors PQ + PQ, mais ni PQ ni PQ (si la classe totale est T = les animaux). D’où si p = xεP et q = xεQ l’affirmation

= (P • ?) ^v (P ∙ β)∙

Inversement, si (p • q) et (p ■ q) sont seuls vrais, par opposition à (p • q) et (p • q), l’opération revient à nier p tout en affirmant q ou q :

(115) p[q} = (p • q) (p ■ q)

Exemple : P = les Immortels, Q = les Vertébrés et Q = les Invertébrés, la classe totale T étant celle des animaux. Seules alors les classes PQ et PQ sont non vides (fig. 32). D’où si p = ∞Pet q = xεQ, la proposition (115).

Si maintenant (p ■ q) et (p • q) sont seuls vrais, à l’exclusion de (p • q) et de (p ■ q), il y a affirmation de q conjointement avec soit p soit p.   C’est l’opération symétrique du n° XIII. D’où :

(116) g[p] = (p • q) y (p • q)

Le modèle correspondant de classes est PQ + PQ.

Enfin, si (p-q) et (p-q) sont vrais, à l’exclusion de (p • q) et de (p • q), il y a négation de q. D’où :

Au total, on constate que les seize arrangements possibles au moyen des propositions p et q selon leurs valeurs de vérité et de fausseté correspondent chacune à une opération interpropositionnelle distincte, à signification bien définie. On constate de plus que chacune de ces opérations admet la réalisation d’un modèle tiré de la logique des classes et exprimant les propositions p et q sous la forme d’un énoncé d’appartenance (même à des « classes faiblement structurées » comme en témoignent nos exemples). Cette correspondance est bi-univoque ; elle est en outre réciproque, puisque les arrangements possibles tirés de la multiplication des classes (P + P) × (Q + Q) = PQ + PQ + PQ + PQ sont également au nombre de seize et que les opérations (v) et (•) correspondent aux opérations (+) et ( X ). Ce sônt ces correspondances qui assurent aux seize opérations interpropositionnelles une signification concrète.

On se rappelle (proposition 101) l’expression de l’affirmation complète :

P* q = (P ’ q) ∨ (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q)

Or, on constate que, tout en pouvant symboliser cette opération par un signe spécial (p*q), son expression entière consiste en conjonctions (•), disjonctions (v), affirmations et négations. La chose n’est pas spéciale à l’affirmation complète, puisque, au § 28, nous avons déjà traduit chacune des seize opérations binaires dans ce même langage.

Cette forme disjonctive (disjonction de conjonctions) que l’on peut ainsi donner à l’affirmation complète comme aux quinze autres opérations binaires est appelée « forme normale disjonctive » ou « première forme normale ». L’idée de ramener toutes les opérations à des « formes normales », c’est-à-dire homogènes et donc comparables, est due à E. Schrœder et a été largement utilisée depuis, en particulier par Hilbert. Leur emploi est spécialement fécond dans les axiomatiques ou lorsqu’il s’agit de vérifier une démonstration : en mettant toutes les opérations sous forme de

disjonctions et de conjonctions, il est, en effet, facile de constater si le développement en jeu contient des contradictions ou des tautologies. Hilbert a notamment montré que toute expression est tautologique quand, mise sous forme d’une suite de disjonctions p ∨ p ∨ q ∨ r…, deux termes de cette suite (ici p et p) sont de signes contraires¹.

Mais il n’existe pas qu’une forme normale disjonctive : il en existe une « seconde », ou « forme normale conjonctive » qui consiste à relier des disjonctions par des conjonctions : (p ∨ q) • (p vy)∙(etc.). Nous verrons à propos de la disjonction (III) quels sont ses rapports généraux avec la forme disjonctive. Dans le cas de l’affirmation complète, cette forme normale conjonctive est nulle : en effet, puisque l’affirmation complète (p * q) exprime la totalité (ou somme) des combinaisons possibles, la partie commune (•) des alternatives qu’elle réunit ne saurait qu’être nulle².

La forme normale disjonctive de cette opération est (o). Quant à sa forme normale conjonctive, elle est donc :

(122) o = (p ∨ q) • (p ∨ q) ■ (p ∨ q) • (p ∨ q)

Reprenons, pour comprendre la chose, l’exemple que nous avons donné (§ 28, n° 1) de l’affirmation complète : p = « x est Vertébré (P) » et q = « o : est pulmoné (Q) ». Il est alors facile de voir qu’un élément x qui serait à la fois (•) Vertébré ou (v) pulmoné, et Vertébré ou non-pulmoné et non-Vertébré ou pulmoné et non-Vertébré ou non-pulmoné, est inexistant. La proposition (122) exprime donc bien la négation complète dite contradiction ; de plus l’opération correspondante de classes donne également (o) : en effet (P + Q) x (P + Q) x (P + Q) x (P + Q) = o.

Avec l’alternative (p ∨ q) nous sommes en présence d’une liaison qui est d’un rendement opératoire remarquable, étant donné son caractère commutatif et complet. C’est bien pour cette raison que la disjonction permet, en collaboration avec la conjonction, la mise en formes

1. On dira, en effet, en logique des propositions, qu’une expression est tautologique quand elle est exacte pour n’importe quelle valeur des combinaisons de base (p, q, etc.). Par exemple l’axiome unique de Nicod (§ 35) est en ce sens une tautologie.

2. Serrusdonne comme forme normale conjonctive de la tautologie l’expression (p vq)∙(p vq)∙(p vq)∙(ρ vq). Mais c’est là une fâcheuse erreur : il s’agit précisément en ce cas de la forme normale de la négation complète ou contradiction (voir II). D’une manière générale, tout le tableau des formes normales conjonctives que fournit Serrus (p. 65) est à inverser, sauf pour les opérations que nous numérotons XII-XVI.

normales de l’ensemble des liaisons binaires (et ternaires, etc.). Ses propres formes normales disjonctives et conjonctives sont¹ :

(Cf. proposition 104) p ∨ q = (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q)

(123) (p ∨ q)

Il convient donc de donner, à propos de l’alternative, un bref éclaircissement sur la portée générale des formes normales. Les deux pôles extrêmes entre lesquels s’étendent toutes les affirmations de la logique bivalente sont p ■ p équivalant à o (principe de non-contradiction) et pvp équivalant à tout (ou « toujours vrai », principe du tiers exclu) : ce sont ainsi une conjonction et une disjonction. On a par conséquent cherché à exprimer sous cette même forme toutes les opérations interpropositionnelles. Or, l’entreprise a pleinement réussi, et, indépendamment de ses avantages pratiques (simplicité et pouvoir de vérification), la construction des formes normales présente un triple intérêt théorique. En premier lieu, elle montre comment toutes les liaisons binaires consistent en décompositions de 1’« affirmation complète » (p*q) ; nous reviendrons sur ce fait fondamental, qui montre d’emblée l’unité opératoire du système. En second lieu, la réduction de toutes les opérations à des disjonctions et conjonctions combinées prouve, comme nous y avons déjà insisté, la capacité de transformation des opérations les unes dans les autres ; mais c’est à la condition de respecter la bipolarité des opérations directes et inverses, par combinaison des (v) et des (•) avec les affirmations et négations.

En effet, et c’est là le troisième intérêt essentiel de la théorie des formes normales, ce dualisme manifeste l’existence d’un principe de réversibilité opératoire : principe que nous croyons être celui de toute rationnalité et que nous retrouverons à titre de mécanisme essentiel du « groupement » unique des opérations interpropositionnelles. La réversibilité propre aux « formes normales » s’exprime selon une loi que la théorie des classes a mise en évidence dans son propre champ et que l’on a ensuite appliquée à la logique des propositions, la loi de dualité :

RÈGLE DE DUALITÉ. — La négation d’une forme normale s’obtient en substituant les négations aux affirmations et. réciproquement, ainsi que les conjonctions aux disjonctions et réciproquement.

1. Voir l’exemple du § 28 sous III.

La loi de dualité fournit ainsi le moyen de procéder à une inversion immédiate des opérations, et ce résultat capital rencontre exactement la distribution des mêmes opérations selon leur caractère complémentaire, telle qu’elle a été exposée au § 28. Partons, pour illustrer la chose, de la forme normale conjonctive de la disjonction elle-même, soit p ∨ q. Si nous appliquons la règle de dualité, nous obtenons p • g, c’est-à-dire la négation conjointe, qui est précisément (voir § 28 sous IV) l’opération complémentaire de (p m q), donc son inverse : en effet ~p ■ q est celle des quatre associations de base (p • q) ∨ (p ■ q) ∨ (p • q) ∨ (p • q) qui manque à la forme normale disjonctive de la disjonction, soit (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q). On a donc :

(124) (pVq) = p∙q et (p • q) = (p y q)

Exemple : Si je nie l’alternative « ou terrestre ou aquatique ou les deux (amphibie) » j’obtiens « ni terrestre ni aquatique (ni par conséquent amphibie non plus) ». Et réciproquement, il est exclus qu’un être vivant ne soit ni terrestre ni aquatique, il est l’un ou l’autre ou les deux.

De même, si l’on applique la loi de dualité à la forme normale disjonctive du trilemme (p ∨ q), on obtient :

(125) (p ■ q) y (p-q) y (p ■ q) = (p y q) ■ (p y q) ■ (p y q) = (p- q)

En effet l’expression (p ∨ q) • (p ∨ q) • (p ∨ q) est la forme normale conjonctive de la négation conjointe (p • q).

Partons du même exemple (p ∨ q) = terrestre ou aquatique. On a alors : si je nie le trilemme « ou p • q (terrestre et non aquatique) ou p • q (aquatique et non terrestre) ou p ■ q (amphibie) « j’obtiens ^p∙q (ni terrestre ni aquatique) » par l’intermédiaire de « à la fois p yq (non terrestre ou non aquatique) et p ∨ q (non terrestre ou aquatique) et p ∨ q (terrestre ou non aquatique ». La partie commune de ces trois dilemmes est, en effet, p • q.

Un autre exemple d’application de la loi de dualité est celui qui relie les formules (101 et 122) de l’affirmation et de la négation complètes :

(126) (p-q)y (p-q)y (p-q)y (p-q) = (pyq)-(pyq)∙(pyq)-(py q)

Le second membre de cette équation est bien identique à l’expression (122), c’est-à-dire qu’il équivaut effectivement à (o), complémentaire de (p*q).

Quant aux propriétés do la disjonction elle-même, on a notamment :

(127) (pvg) = (gvp)

(128) (p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r) — (p ∨ q) ∨ (p ∨ r) = (p ∨ q y r)

(129) p • (q ∨ r) = (p ■ q) ∨ (p • r)

Exemples : Pour (127) « x est terrestre ou aquatique » = « x est aquatique ou terrestre ». Pour (128) si p = « x est un animal terrestre », q = « x est un animal marin » et r= « x est un animal d’eau douce », alors les diverses distributions du mot « ou » sont évidemment équivalentes. Pour (129) les mêmes significations de p,qetr donnent : « x est à la fois terrestre et habitant soit la mer, soit les eaux douces » est équivalent à « x est à la fois terrestre et marin ou à la fois terrestre et d’eau douce ».

Enfin les relations de la disjonction avec les autres opérations comprennent en particulier les importantes transformations suivantes :

(130) (p ∨ q) = (p | q)

En effet (p ∨ q) étant la négation de p • q, on a donc p ∨ q = p\q puisque l’incompatibilité (|) est la négation de la conjonction (•).

Exemple : Si une classe d’animaux possède nécessairement des poumons ou des branchies (p ∨ q), l’absence de poumons (p) est incompatible, pour cette classe, avec l’absence de branchies (q), d’où p\q.

(131) Pvq = p∖q

En effet, en vertu de (104), on à :

P ∨ q = (P • q) ∨ (p • 5) ∨ (p • q) c’est-à-dire (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q), ce qui est la formule de l’incompatibilité (p\q).

Exemple : « Un être vivant ou bien n’est pas vertébré (p) ou bien n’est pas invertébré (g) ou bien n’est ni l’un ni l’autre » équivaut à « être vertébré est incompatible avec être invertébré ».

(132) (p vg) = (p⊃g) = (g⊃p)

Exemple : « a : est porteur de poumons, ou de branchies, ou des deux » signifie que pour x l’absence de poumons implique la présence de branchies et l’absence de branchies implique la présence de poumons.

(133) (pvq) = (p|?) =

Exemple : « Ou non-Mammifère (p) ou Vertébré (q) » équivaut à « Mammifère (p) est incompatible avec non-Vertébré (q) » et équivaut encore à « Mammifère implique Vertébré ».

(134) (p vq) = (p\q) = q^p

Même exemple en intervertissant les significations de p et de q.

La forme normale disjonctive en est simplement p • q, tandis que la forme conjonctive est :

(135) P - q = (pvq) ■ (pvq) ■ (pv q)

On a déjà vu (à propos de 125) comment s’explique cette proposition 135.

La négation de ces deux formes normales ramène à la disjonction, puisque la négation conjointe est l’inverse de la disjonction et que l’inverse de l’inverse est l’opération directe :

(136) (p ∨ q) ■ (p ∨ q) ■ (p ∨ q) = (p ■ q) ∨ (p ■ q) ∨ (p ■ q) = (p ∨ q) et

T∙l = pyq

(Voir pour des exemples les propositions 124 et 125 en les inversant.)

Les deux formes normales dis- jonctives et conjonctives de l’incompatibilité nous sont connues par les propositions 106 et 131 :

p I q = (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q)
p\q = pvq

(Voir pour les exemples les propositions 106 et 131.)

Il est à noter que cette équivalence (p∖q = pvq), qui constitue la réciproque de l’équivalence pv q — p\q (proposition 130), confère à l’incompatibilité, vis-à-vis de la disjonction, un rôle bien déterminé, que nous appellerons par la suite la « réciprocité ». En effet (p | q), c’est-à-dire (p ∨ q), n’est pas l’inverse de (p ∨ q), puisque cette inverse est p • q : c’est la même opération que (p ∨ q), mais entre propositions niées (p et q). Il faut donc bien distinguer p ∨ q = p∙q et p yq = p\q (propositions 124 et 131).

Exemple : Si (p ∨ q) signifie « x a des poumons ou des branchies (ou les deux à la fois) », la négation (p ∨ q) signifie « sans poumons ni branchies »

(donc respirant par la peau), tandis que (p ∨ q) signifie « ou sans poumons ou sans branchies » (donc la présence des poumons est alors incompatible avec celle des branchies, tous deux pouvant d’ailleurs faire défaut).

L’incompatibilité (p | q) équivaut, d’autre part, aux implications suivantes :

(137) (p∖q) = (p=>q) = (q^p)

Exemple : « Végétal incompatible avec animal » signifie que « x est végétal » implique « x est non-animal » et que « x est animal » implique « x est non-végétal ».

En effet, l’implication (p d q) équivaut en vertu de la proposition 108 (§ 28 sous VII) à :

(138) (p^q) = (p ∙q)y (p ∙q)y (p-q)

Exemple : « Végétal implique non-animal » implique que « x peut être végétal et non-animal ou ni végétal ni animal ou non-végétal et non non- animal ».

Or, puisque p -q = p ■ q, cette expression (138) est identique à p\q — p • q ∨ p • g vp ■ q. En outre, on peut retraduire l’expression (p □ q) en langage d’incompatibilité. Dé ce point de vue la négation q est l’incompatibilité de cette proposition q avec elle-même, soit (q = q\q). Quant à l’implication (p^q), elle est l’incompatibilité de la proposition p avec la négation de q puisque la non-implication (p □ q) équivaut à (p ■ q). L’implication (p d q) s’écrira donc en langage d’incompatibilité p | (q | q). Il en résulte que (p □ q) pourra se lire :

(139) p^q = [p∖(q∖q)l = (p\q) = p\q

Dans l’exemple choisi, ces transformations signifient : (végétal implique non-animal) = (végétal incompatible avec la négation de la négation d’animal) = (végétal incompatible avec animal).

Ce qui nous ramène à l’expression 137.

Le grand intérêt de l’incompatibilité est, en effet, comme l’a découvert Sheffer en 1913¹ de constituer une forme opératoire à laquelle toutes les autres sont formellement réductibles. Ainsi la négation s’exprimera, comme nous venons de le faire, par l’incom-

1. Transact. of Amer. Math. Soc., vol. XIV, p. 481-488.

patibilité d’une proposition avec sa propre affirmation, d’où il découle que l’affirmation sera l’incompatibilité d’une négation avec elle-même :

(140) p = (p | p) et p = [(p∖p)∖(p∖p)]

L’implication (p □ q) sera l’incompatibilité de la proposition p avec la négation de q, ce qui s’écrira :

(141) (p^q) = [p∖(q∖q)] (= p\q)

Exemple : Insecte implique Invertébré = Insecte est incompatible avec non-Invertébré.

Dans le cas d’une liaison ternaire, telle que p ⊃(g • r), on écrira :

(142) P÷>(q∙ r) = p∖(q∖r}

puisque l’incompatibilité (q\r) est la négation de (q ■ r).

Exemple : Éléphant (p) implique Mammifère et Vertébré à la fois = « x est éléphant » est incompatible avec l’incompatibilité de Mammifère et de Vertébré.

L’équivalence étant une implication réciproque relève de la proposition 141 et l’identité sera l’implication d’une proposition par elle-même :

(143) (pop) = [p∣(p∣p)] (=p|g)

La conjonction (p ■ q) équivaut à la négation de l’incompatibilité (p\q) :

(144) (p • q) = [(plg)∣(p∣g)]

Notons à cet égard que la conjonction d’une proposition avec elle-même (p • p) donnera alors (p∖p) | (p\p), ce qui nous ramène à (140), puisque (p • p) — p. 

L’alternative (p ∨ q) est l’incompatibilité de p et de g (voir 130) :

(145) (P ∨ g) = [(p∣p)∣(g)g)]

L’exclusion réciproque (p w g) sera l’incompatibilité de l’implication (p □ g) et de l’implication (g ⊃ p) :

(146) (P wg) = [p∣(g∣g)]∣[g∣(p∣p]

X

Quant à l’affirmation complète elle-même, elle est l’incompatibilité de toutes les incompatibilités entre p, q, p et q :

(147) (p*q) = [p∣y]∣[(y∣7)l⅛∣p)]¹

Bref, toutes lès liaisons uninaires et binaires sont exprimables en langage d’incompatibilité. Il en est de même des liaisons ternaires, etc., mais avec naturellement une complexité croissante. Seulement, il est clair qu’une telle réduction à un symbole unique n’implique en rien l’unicité de toutes les opérations. Il subsiste, en effet, d’un dualisme fondamental entre les opérations directes et inverses, bien que leur symbolisme soit alors renversé : p s’écrit en effet (p\p) et p oup s’écrit (p\p)|(p\p). De même, si l’incompatibilité elle-même, qui est une négation, s’écrit p\q, l’implication qui est une affirmation s’écrit p∖(q∖q), c’est-à-dire p\q. Mais ce renversement d’écriture à part, la traduction de toutes les opérations en langage d’incompatibilité conserve donc leur diversité fonctionnelle. Une telle traduction n’en présente pas moins le grand intérêt de mettre en évidence les substitutions possibles de l’une quelconque des seize opérations binaires à une autre.

Notons, pour terminer, que la propriété essentielle de l’incompatibilité est la commutativité :

(148) (p∖q) = (q\p)

D’où les doubles implications de la proposition 137. Par contre, il va de soi que p\q n’équivaut point à p\q. En effet :

(149) p∖q = p^q et p∖q = q^pp

Voir la proposition 141 pour un exemple de p | q. Quant à (p I q) si non-uni- cellulaire (p) est incompatible avec protozoaire (5), alors protozoaire implique unicellulaire.

La conjonction est l’inverse de l’incompatibilité, ou, si l’on préfère, est l’opération affirmative dont l’incompatibilité est la négation. La forme normale disjonctive en est p ■ q ; et la forme normale conjonctive :

(150) (p ■ q) = (p ∨ q) • (p ∨ q) • (p ∨ q)

1∙. Le sens de cette proposition 147 est donc : (p*q) = [(p∣q) ∣(p • q)]. En effet si l’on compose (p|q) avec (p ■ q) selon l’opération ( ∣ ), on obtient :

[⅛ ■ « ) ∙ (P∣q) ∨ (p | q) • (p • q)] c’est-à-dire :

(p • q) ∨ (p • q) ∨ (p ■ q) ∨ (p • q)

Exemple : Si p = « a : est Mammifère » et q = « z est aquatique », alors p • q = « a : est à la fois Mammifère et aquatique ». En ce cas, si x est à la fois « Mammifère ou aquatique ou les deux [p ∨ q) », et « Mammifère ou non-aquatique ou les deux (p ∨ q) » et « non-Mammifère ou aquatique ou les deux (p ∨ q) », alors il ne peut être simultanément « Mammifère et aquatique (p ■ q) ».

Si maintenant l’on nie (p • q) ou le second membre de (150), par le moyen de la loi de dualité, on retrouve l’incompatibilité à titre d’inverse :

(151) (p • q) = (pvq) = (p\q) (voir proposition 131) et :

(152) (p ∨ _?) • (p ∨ ÿ) • (p ∨ q) = (p • q) y (p • q) ∨ (p • q) = (p\q)

(Voir proposition 106.)

Exemple : Si x n’est pas à la fois Mammifère et aquatique, alors il est l’un sans l’autre ou ni l’un ni l’autre.

Par contre si l’on nie les deux propositions d’une conjonction (p • q) sous la forme (p • q), on trouve une fausseté conjointe, et si l’on nie cette négation sous la forme (p • f), on retrouve la conjonction (p • q). Il faut donc distinguer (p • q) et (p • q) (proposition 151) : (p • q) est l’inverse de (p • q) dans le sens de sa négation et (p • q) est sa réciproque, dans le sens général que nous serons conduits à attribuer par la suite à la « réciprocité » (§ 31). Quant à la négation de (p ■ q), soit (p • q) on retrouve (p • q) = (p ∨ q) (voir proposition 124).

La conjonction (p • q) étant la négation de l’incompatibilité, il en résulte que la négation de l’incompatibilité ramène une conjonction :

(153) (pïq) =pvq = (p∙q)

Exemple : « x est Mammifère n’est pas incompatible » avec « x est aquatique » équivaut à « il est faux que x soit ou non-Mammifère ou non-aquatique » et équivaut donc à « x est à la fois Mammifère et aquatique ».

Les relations de la conjonction avec l’implication sont :

(154) (p • q)-= p^q = q^p

car (p d q) — (p • q) = (p • q) en vertu des propositions 108 et 109 et (q ^p) — (p • q) = (p • q) en vertu des propositions 110 et 111.

Exemple : « Si a : est à la fois Mammifère et aquatique » il est faux que Mammifère implique non-aquatique et qu’aquatique implique non-Mammifère.

Inversement, on a :

(155) (p • q) = (p ∨ q) = (p d q)

(Cf. proposition 133.)

Reprenons le même exemple que pour la proposition 133 : « S’il est faux que x ne soit pas à la fois Mammifère (p) et non-Vertébré (q) », alors il est « ou non-Mammifère (p) ou Vertébré (q) » : donc « x est Mammifère » implique « a : est Vertébré ».

La transformation de (p • q) en (p ∨ q) est donnée par la loi de dualité.

Notons enfin que la conjonction est commutative :

(156) (p • q) = (q • p) ; (p • q) = (q • p) ; etc.

Elle est distributive par rapport à la disjonction (proposition 129), et par rapport à elle-même :

(157) [p∙(q∙ r)] = [(P ∙q)∙(p∙ r)]

On a, en outre :

(158) [p • (q □ r)] c [(p • q) □ (p • r)]

Inutile de revenir sur son rôle dans la loi de dualité.

Les formes normales de l’implication sont (cf. proposition 108) :

p g = (p • g) ∨ (p • g) ∨ (p • g)

(159) p d q = p ∨ q

Voir l’exemple de la proposition 108. Pour la proposition 159 il donne « ou bien x n’est pas Mammifère, ou bien il est Vertébré ».

De ces formules on tire, par contraposition :

(160) p d q = q^p = q ∨ p

En effet si Mammifère (p) implique Vertébré (g), alors « si x est non- Vertébré, il est non-Mammifère », car les non-Mammifères P comprennent tous les non-Vertébrés (PQ) plus les Vertébrés non-Mammifères (PQ). D’où qz> p.   De g□ p, on déduit (en vertu de 159) g ∨ p, c’est-à-dire g ∨ p (= p ∨ g).

De cette contraposition p ⊃ q = qz>^p on peut alors tirer :

(161) {p^>q) = {q^>p) = (p^q)

(Cf. proposition 132.)

En effetpzq donne q □ p en vertu de (160), d’où q □ p, ces deux implications p □ q et q ⊃ p équivalent à une disjonction en vertu de la proposition 159 (voir l’exemple donné à propos de la formule 132).

On déduit de même, de (160) et de (159), que :

(162) (p^q) = (q ?p) = (p ∨ q) = (p\q)

(Cf. proposition 137.)

(Voir l’exemple donné à propos de 137.)

La proposition (159) p ⊃ q = p ∨ q a parfois été présentée, notamment par Russell, comme exprimant l’implication à titre de fait indépendamment de toute idée de rapport nécessaire entre p et q. Tel est le cas de l’implication « matérielle » ou donnée, à laquelle on a opposé l’implication « formelle » ou construite, appelée par Lewis, « implication stricte ». Considérons ainsi l’expression suivante, qui traduit la transitivité de la relation d’implication :

(163) [(P =>?) ’ ⅛=>r)] □ [p ⊃r]

Exemple : Gastropode implique Mollusque ; Mollusque implique Invertébré, donc Gastropode implique Invertébré.

Les implications (p d q) et (q d r) y sont données et sont donc « matérielles ». Par contre l’implication (p ⊃ r) est construite au moyen des deux premières et l’implication reliant (p □ r) à [(p ⊃ q) • (p d r)] présente de la sorte un caractère plus formel. Mais il n’existe en réalité entre les implications matérielle et stricte qu’une différence de modalité dans le sens de la plus grande nécessité formelle. Lewis définit sans plus l’implication stricte par le fait que si p implique formellement q il est« formellement impossible » que l’on ait p ■ q. Il en résulte, malgré Serrus¹ (qui donne par erreur, pour l’implication, la forme normale conjonctive de la non-implication), que l’implication formelle elle-même possède la propriété (159). Ce n’est que dans le cas où p est équivalent à q (donc p § q ou p — q) que

1. Op. cit., p. 38.

la proposition 159 est, non pas fausse, mais insuffisante, car on a alors p w q, c’est-à-dire p = q. Nous y reviendrons à propos de l’équivalence.

Quant aux relations entre l’implication et la conjonction, on a :

(164) p aq = p ■ q et P^q — p-ÿ

(voirpropositions 154et 155)parce qu’en raison delà loi de dualité (p∙q) = (pyq) et que (p • q) est la négation de l’implication (voir VIII).

Nous avons déjà énoncé les rapports de l’implication avec l’incompatibilité.

Notons encore les combinaisons ternaires exprimant la distribution de l’implication :

(165) [P^d(7=,Q] 3 [(P ³ ?) 3 (? ≡> Q]

(166) [p d (q ■ r)] c [(p □ q) • (p d r)]

(167) [p d (q ∨ r)]  =  [(p d q)  ∨ (p □ r)]

(168) [P≡>(7=Q]  =  ⅛+)  = (p-’∙)]

(169) [p ∨ ⅛d r)]  =  [(p  ∨ q) □ (p ∨ r)]

Exemples : (165) « Le fait que x soit Vertébré implique que la possession de son crâne implique celle d’un système nerveux différencié » ⊃ (« x est Vertébré » implique la possession d’un crâne) □ (« a : possède un crâne » implique qu’il présente un système nerveux différencié).

(166) « Le fait que x soit Oiseau implique qu’il ait un bec et des plumes » c « le fait que x soit Oiseau implique qu’il ait un bec et le même fait implique qu’il ait des plumes ».

(167) « Le fait que x soit Oiseau implique qu’il sache courir ou voler » = « le fait que x soit Oiseau implique qu’il sache courir ou le même fait implique qu’il sache voler ».

(168) « Le fait que x soit Vertébré implique que la possession d’une colonne vertébrale équivale à la possession d’une moelle épinière » = « le fait que x soit Vertébré implique la possession d’une colonne vertébrale » équivaut à « le même fait implique la possession d’une moelle épinière ».

(169) « x est aquatique, ou bien le fait qu’il soit terrestre implique qu’il ait des poumons » = « x est aquatique ou terrestre » implique qu’il soit aquatique ou qu’il ait des poumons.

L’implication, ainsi caractérisée, soulève un curieux problème, ou plutôt un problème que l’on a curieusement compliqué sur le terrain de l’atomisme logique, tandis qu’il trouve une solution simple sur le terrain des structures opératoires d’ensemble. L’implication p ⊃ q signifiant la vérité de (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q), il s’agit, en

effet, d’expliquer pourquoi on peut avoir simultanément p ∙ qetp∙ q tandis que l’on n’a pas à la fois p • q et p • q. On explique en général la chose en disant que le « faux implique le vrai » et on justifie cette formule bizarre en constatant que l’implication (p d q) reste vraie même lorsque p est fausse (p). Notons que le paradoxe n’est pas spécial à l’implication matérielle¹ : on a répondu à ceux des auteurs qui croient pouvoir circonscrire ainsi la difficulté que, sur le plan de l’implication stricte elle-même, l’impossible implique le formellement nécessaire ; en effet, toute implication po q, formelle ou matérielle, implique la vérité simultanée de p • q et de p • q. Mais faut-il vraiment interpréter la conjonction p ■ q comme si elle équivalait à p q (ce qui est incompatible avec p d q puisque po q = p ∨ q), ou comme si la logique avait à envisager, à côté d’implications vraies telles que « Vertébrés (p) implique Animal (q) », des implications fausses telles que « Caillou (p) implique Animal », de manière à enrichir la proposition q de toutes les absurdités (p) qui peuvent lui être associées en plus de la vérité p • ql Pourquoi donc, en ce cas, admettre la vérité simultanée de p • q et de p • q, ce qui signifie pourtant à l’évidence que tous les p ne sont pas associés à q ? Faut-il alors introduire un choix arbitraire entre les faussetés p, les unes impliquant q et les autres pas ; ou cette répartition p • q et p • q est-elle elle-même susceptible de formulation cohérente ?

En réalité, la vérité simultanée de p ■ q et de p ■ q résulte directement de la nature non réciproque de l’implication, qui constitue une liaison asymétrique par opposition à l’équivalence p^q ou p = q : si l’on a p d q sans que l’on ait g d p, donc sans que p = g, c’est donc, par définition même (p⊃g = p∙gvp∙gvp∙g par opposition hpgg = p∙gvp∙g), que la proposition p n’est pas seule à impliquer g, et que d’autres propositions, impliquant p, impliqueront aussi q ; mais toutes les propositions impliquant p n’impliqueront pas g, ce qui montre bien qu’il s’agit encore et toujours de vérités et non pas de cette pseudo-règle dénuée de signification, selon laquelle le faux impliquerait le vrai. C’est ce qui ressort à l’évidence de la traduction de l’implication en un modèle d’inclusions de classes : si P = les vertébrés et Q = les animaux, alors PQ = les animaux vertébrés et PQ = les animaux invertébrés : dès lors si p = xεP et q —   rrεQ, on a bien p • q et p • q vrais

1. Comme le soutient par exemple Serrus (voir p. 24, etc.).

sans qu’il faille admettre que p • q soit une implication du vrai par le faux 1

Il en résulte que si p □ q est vrai sans que la réciproque q^ p le soit (donc qz>p), il existe au moins une proposition p’ qui est p’ = p • q ou p’ d p ■ q et qui implique q : donc pzq implique p’ □ q. Dans l’exemple choisi où p = « x est Vertébré » etç=« æ est Animal », on aura p’ □ q où p’ = « x est un Invertébré ». La proposition p’ correspond donc, dans ses rapports avec p à ce qu’est, pour l’inclusion A < B, l’inclusion complémentaire A’ < B, où A’ = B — A.

La raison dernière de cette difficulté est donc que, contrairement aux liaisons symétriques comme la conjonction, l’incompatibilité, l’exclusion réciproque, etc., la liaison asymétrique d’implication demeure incomplète en sa forme : elle n’exprime pas tout ce qu’elle implique elle-même, c’est-à-dire qu’elle laisse informulés certains rapports qu’elle sous-entend cependant nécessairement. En une incompatibilité (p|ç) ou en une disjonction (p ∨ q), la proposition p est seule à être donnée comme présentant la liaison considérée (|) ou (v) avec q : rien n’indique, dans l’expression même de la liaison, qu’il intervienne d’autres propositions à l’état implicite, et de (p|q) ou de (p ∨ q) l’on ne peut déduire sans plus l’existence d’une troisième proposition distincte de p (et de p) ou de q (et de q). Au contraire la liaison (p □ q) implique la distinction entre deux cas possibles pour p : celui où p implique q et celui-ci où p implique q. On répondra qu’il s’agit de simples conjonctions : p ■ q et p • q. Mais il y a plus : (p □ q) signifie, si l’on n’a pas aussi (q □ p), que p n’est pas seule à impliquer q : il existe donc au moins une proposition p’ telle que (p’ = p • q) et que (p’ □ q).

Rien ne montre plus clairement l’existence de cette proposition p’ que la traduction de (p ⊃ q) en la disjonction (p ∨ q) selon la proposition 159. En effet, écrire (p ∨ q) pour (p ⊃ q), c’est énoncer le fait qu’il y a trois possibilités à considérer : ou p ■ q ou p • q (c’est-à-dire p ■ q) ou p ■ q. Ce sont bien les mêmes possibilités que contient déjà (p ≡ q), mais le signe (v), qui exprime les trois branches d’un tri- lemme, introduit une symétrie beaucoup plus explicite entre les conjonctions p ■ q et p • q et les met ainsi sur un même plan, par opposition à (p d q) qui accentue l’association (p - q).

En conclusion, poser l’implication p ⊃ q, ainsi que son équivalence par rapport au trilemme p ∨ q, c’est bien affirmer l’existence de deux implications conjointes (p □ q) et (p’=>⅛ La liaison binaire d’im-

plication constitue donc, en fait, une expression abrégée dont la signification complète se réfère à une liaison ternaire :

(170) (p □ q) □ [(p □ g) • (p’ □ g)] où p’ = p • g

Cette liaison ternaire entre deux implications et une conjonction exprime en réalité une équivalence entre g et (p ∨ p’) :

(171) [⅛³g)∙⅛’²g)]³bc⅛vp’)]

c’est-à-dire que :

(172) (p^g) □ [g = (p ∨ p’)]

Exemple : Si « x est Vertébré » implique « x est un Animal », alors « x est un Animal » équivaut à « x est un Vertébré ou un Invertébré ».

On trouve donc ici l’exact parallèle de ce qui se produit dans les opérations intrapropositionnelles, lorsque A < B signifie en réalité B = A + A’. On entrevoit donc l’importance des propositions 170 à 172 pour le « groupement » des propositions.

Comme on l’a vu au § 28, l’implication fait partie d’un système de quatre opérations, comprenant elle-même son inverse qui est la non-implication (p - g), sa réciproque (g d p) et l’inverse de celle-ci (p • g). L’inverse de p ⊃ g est, en effet, p • g, seule conjonction exclue de :

p = g = (p • g) ∨ (p • g) ∨ (p • g)

La forme normale disjonctive de p • g est p • g, tandis que sa forme normale conjonctive est :

(173) p3g = (p vg) • (p vg) • (pvg)

Exemple : Si p = « x est Insecte (P) » et q = « x est Reptile (Q) », la proposi- ’ tion 173 correspond à (P + Q) X (P + Q) X (P + Q) = PQ. En effet (P + Q) x (P + Q) = PP + PQ + PQ + OJQQ) et (PP + PQ + PQ) X (P + Q) = O (PPP) + O (PPQ) +_O(PPQ) + PQ + O(PQQ) + PQ = O + O + O + PQ + O + PQ = PQ.

La proposition 173 résulte de la proposition 108 niée par la règle de dualité :

(174) (p • g) ∨ (p • g) ∨ (p -q) = (pvq) • (pvq) • (p y q)

La conjonction p • g est donc bien l’inverse de p d q.

Cette liaison a pour formes normales disjonctive et conjonctive :

(Cf. proposition 110) q c p = (p ■ q) ∨ (p • q) ∨ (p • q)

(175) pcq (= q^p) = p vq

Exemple : Si p — « x est Vertébré » et q = « x est Oiseau », alors dire que p est impliquée par q signifie que « x est Vertébré et Oiseau ou Vertébré et non-Oiseau ou ni l’un ni l’autre ». Gela signifie aussi (175) que « ou x est Vertébré ou il n’est pas Oiseau ».

De pcq, c’est-à-dire donc de q ⊃ p on peut tirer (en <ertu de 160) :

(176) q^p^p^q

Exemple : Oiseau implique Vertébré = non-Vertébré implique non- Oiseau.

Il existe donc une relation remarquable entre les implications directe (p ⊃ q) et inverse (q d p) : l’une est l’inverse de l’autre, non pas au sens de sa négation ou complémentaire, mais au sens de sa réciproque. Nous pouvons donner ainsi un sens général au terme de réciprocité dont nous nous sommes servis déjà pour caractériser les relations du trilemme (p ∨ q) avec l’incompatibilité (p\q = p y q) ou celles de la conjonction (p • q) avec la négation conjointe Çp • q) : la réciproque d’une opération est la même opération, mais effectuée sur les propositions niées. Ainsi la réciproque de (p ∨ q) est (p ∨ q — p\q) et celle de (p ∨ q) est Çp ∨ q) = (p ∨ q). Dans le cas de l’implication (p □ q), la réciproque est donc (p □ q). Or (p □ q) équivaut précisément à q o p (proposition 176). Inversement la réciproque de (g a p) est (g d p) qui équivaut à (p □ g) comme on l’a vu sous proposition 160.

Mais pourquoi ce terme de « réciprocité » (étant entendu d’emblée que la réciproque d’une opération peut être fausse ou vraie quand cette opération est vraie)? Rappelons d’abord que toutes les liaisons binaires peuvent s’exprimer sous la forme d’implications (comme d’ailleurs sous toutes les autres formes) : par exemple (p y q) = p^jq et (q d p) ; (p | q) = (p o g) et (q ⊃ p) ; (p • q) = (p ⊃ q), etc. Or, dans le cas de l’implication (poq), la réciproque (p^q) n’est pas autre chose que la même liaison (=>), mais avec permutation, soit des termes (q o p), soit du signe lui-même (p c q). La réciproque de « p implique ç » est donc « q implique p », ce qui rejoint le sens ordinaire du mot « réciprocité ».

Mais il y a plus : quand la réciproque d’une implication est vraie comme cette implication elle-même, toutes deux constituent alors une « implication réciproque » ou « équivalence », c’est-à-dire une double implication qui est donc symétrique par opposition à l’asymétrie de (p □ q) et de (q d p) :

(177) ■ (ΓP)] = [? =

Autrement dit, le produit de la composition d’une implication et de sa réciproque donne une équivalence, de même que dans le cas des groupements de relations (chap. III), par opposition aux groupements de classes, le produit des opérations additives directes et inverses (inverses au sens précisément de la réciprocité) donne l’équivalence. On comprend alors la valeur opératoire que peuvent prendre les propositions 170 à 172 dans un groupement des implications : l’équivalence entre (p ∨ p¹) et q comporte la possibilité de la double composition (p ∨ p’) d q et q d (p ∨ p’) qui caractérise la réversibilité de tout groupement.

La négation (c’est-à-dire l’opération inverse au sens de la complémentaire) de l’implication inverse (q □ p) est l’expression (p • q) dont la forme normale disjonctive est (p • q) et la forme conjonctive :

(178)’ (pâq) = (p ∨ q) ■ (p ∨ q) • (p vq) (= p • q)

Exemple : Si p = « x est un Mollusque (P) » et q = « x est un Insecte (Q) », on a qz>p = p q parce que (P + Q) X (P + Q) X (P + Q) = PQ.

L’expression p • q et la proposition 178 constituent bien la négation de (p • q) ∨ (p ■ q) ∨ (p ■ q) au sens de la complémentaire, puisque l’on a (règle de dualité) :

(179) (p ■ q)v (p ∙q)v (p -q) = (pvq) • (p ∨ q) • (p y q)

De plus (p ■ q) est la réciproque de (p ■ q) (opération VIII), puisque p -q = p • q. Il en résulte ce fait fondamental que, si la composition de deux implications donne une équivalence (177), la composition de deux non-implications donne une équivalence négative, c’est-à-dire une exclusion réciproque :

(180) (p • q) ∨ (p • q) = (p w q)

Il est important de saisir dès maintenant la raison de ces compositions essentielles. Si nous joignons membre à membre au moyen

dé l’opération (•), qui est l’équivalent interpropositionnel de la multiplication (x), les formes normales disjonctives de l’implication (p □ q) et de sa réciproque (g⊃p), nous obtenons :

(p ⊃ g) = (p • g) ∨ (p • g) ∨ (p • g)

(181) (•) (g 3 p) = (p • g) ∨ (p • g)j (p • g)

(P=?) = (P-?) v(o)v(p∙g)

Les deux conjonctions (p • g) et (p ■ g) sont, en effet, contradictoires entre elles, puisque (p • p) = o et que (g • g) = o. Mais elles sont en outre contradictoires, la première avec (g d p), puisque p • q est une non-implication inverse, et la seconde avec (p ⊃ g), puisque p • g est une non-implication (directe).

Par contre, si l’on retient les conjonctions (p • g) et (p • g) pour les réunir l’une à l’autre au moyen de l’opération (v), la réunion de ces deux non-implications donne l’équivalence inverse (p = g) et (g = p), c’est-à-dire justement l’exclusion (p w g) comme on l’a vu (proposition 180) :

(182) [(p • g) v(p • g)] = [(p = g) ∨ (g = p)] (=pwg)

Ainsi les deux implications (p □ g) et (g □ p), d’une part, et les deux non-implications (p • g) et (p • g), d’autre part, forment un système naturel qui s’exprime par la complémentarité de l’équivalence ou implication réciproque (p = g), produit conjonctif (ou multiplicatif) des deux premières, et de l’exclusion réciproque ou équivalence négative (p w g), produit disjonctif (ou additif) des deux secondes.

Cette opération, dont nous venons déjà de comprendre le caractère essentiel d’implica- cation réciproque, joue un rôle fondamental dans la déduction, puisqu’elle assure le jeu des substitutions, tandis que les implications directe et inverse marquent la direction ascendante ou descendante du processus opératoire.

Ses formes normales disjonctive et conjonctive sont :

(Cf. proposition 112) (p = g) = (p . g) ∨ (p • g)

(183) (p  = g) = (p ∨ g) • (p ∨ g)

En effet si p = « x est Vertébré (P) » et g : « x est possesseur de moelle épinière (Q) », on a (P + Q) X (P + Q) = (O) + PQ + O + PQ, c’est- à-dire : (p ■ g) ∨ (p-q).

Par le fait de sa symétrie, l’équivalence diffère de l’implication simple (p □ q) en ce que, mise sous la forme d’une disjonction, elle ne donne pas seulement (p ∨ q) (cf. proposition 159), mais :

(184) (p = q) = (p wq) = (qwp)

Exemple : Si Vertébré équivaut à possesseur de moelle épinière, alors il y a exclusion réciproque entre non-Vertébré et possesseur de moelle épinière.

En effet, si p = q alors p =q, d’où, si p w p, p w q.

L’équivalence est naturellement réflexive, commutative, transitive et associative.

La relation (p w q) est en général symbolisée au moyen de la disjonction (p ∨ q), dont elle représente le cas particulier dans lequel cette disjonction est exclusive. Elle présente cependant, non pas seulement une signification bien différente (celle d’un dilemme et non pas d’un trilemme), mais encore des caractères formels très distincts. Ses formes normales sont :

(Cf. proposition 113) (p w q) = (p • q) ∨ (p ■ q)

(185) (p w q) = (p ∨ q) • (p ∨ q)

Exemple : « Vivant exclut minéral » = « vivant et non minéral ou non vivant et minéral » = « à la fois (vivant ou minéral) et (non vivant ou non minéral) ». En effet (P + Q) × (P + Q) = (PQ + PQ).

Or, on remarque immédiatement que ces deux formes normales constituent la négation (par la règle de dualité) de celles de l’équivalence :

(186) (p • q) ∨ (p • q) = (p ∨ q) • (p ∨ q)

et :

(187) (p ∨ ÿ) • (p ∨ q) = (p-q)y(p-q)

La disjonction non exclusive a, au contraire, pour inverse (négation) la négation conjointe : p ∨ g = p • q. En outre, contrairement au trilemme, l’exclusion réciproque est entièrement symétrique. Toutes deux sont commutatives :

(188) (p w q) = (qw p) (cf. proposition 127)

mais la commutativité n’entraîne pas pour autant la symétrie complète du rapport (p ∨ q). En effet, la réciproque de (p ∨ q) est

(p ∨ q), c’est-à-dire l’incompatibilité (p\q), tandis que la réciproque de (p w q) est (p w q), c’est-à-dire à nouveau (p w q) :

(189) (p w q) = (p ■ q) ∨ (p • q) = (p • q) ∨ (p • q) = (p w q)

Or, la symétrie complète se définit précisément par l’équivalence des opérations réciproques entre elles.

Une autre différence essentielle entre l’exclusion et la disjonction non exclusive tient à leurs rapports avec l’implication. Deux points sont à noter à cet égard. En premier lieu, tandis que le trilemme se traduit par la double implication (p ∨ q) = (p d q) = (q d p), sans que la proposition p équivale en ce cas à q, ni q à p, l’exclusion réciproque donne :

(190) (p w q) = (p = q) = (q = p)

parce que les deux seules possibilités vraies sont (p ■ q) et (p • q). En second lieu, et en conséquence de (190), l’équivalence (p = q) se traduit par (p w q) et non pas par (p ∨ q) comme l’implication (p d q). C’est ce que nous avons déjà vu à propos de l’équivalence (proposition 184).

Formes normales :

(Cf. proposition 114) p⅛] = (p • q) ∨ (p • q)

(lθl) F⅛] = (P’v ?) • (p ∨ q)

Exemple : « x est Mammifère et aquatique ou Mammifère et non aquatique » = (191) « x est à la fois Mammifère ou aquatique et Mammifère ou non aquatique ».

Cette opération est donc la simple affirmation de p avec ou sans q. Il lui manque l’association (p ■ q) pour constituer une implication inverse (q □ p).

Sa réciproque (p • q) ∨ (p • q) est identique à son inverse (opération XIV) étant donné qu’il s’agit ici d’une simple affirmation de p et qu’alors sa négation joue le double rôle d’inverse et de réciproque.

Formes normales :

(Cf. proposition 115) p⅛] = (p • q) ∨ (p • q) et :

’(192) p⅛] = (p ∨ q) • (p ∨ q)

Cette opération est l’inverse de la précédente, car :

(193) (p • q) ∨ (p • q) = (p ∨ q) • (p ∨ q)

et :

(194) (p \t q) • (p ∨ q) = (p ■ q) ∨ (p ■ q)

La réciproque de p[g] est également son inverse p[ÿ].

Formes normales :

(Cf. proposition 116) q [p] = (p • q) ∨ (p • q) et :

(195) ?[p] = (p yq) • (p yq) ’•

Il manque à l’opération ç[p] la conjonction (p • q) pour en faire une implication directe (p d q).

Formes normales :

(Cf. proposition 117) q[p~] = (p • q) ∨ (p • q) et :

(lθθ) ?[p] = (P v ?) • (P v ?)

La négation des formes normales de q[p^∖ donnent cette même opération q[p^∖ :

(197) (p ■ q)y (p ■ q) = (pyq) ■ (py ?) et :

(198) (p ∨ ç) ■ (p ∨ q) = (p • q) ∨ (p . q)

La réciproque de q[p] est ç[p] ; la réciproque est donc, ici à nouveau, identique à l’inverse.

Les inverses de deux opérations réciproques sont elles-mêmes réciproques et les réciproques de deux opérations inverses l’une de l’autre sont elles- mêmes inverses.

corollaire. —   L’inverse de la réciproque d’une opération est identique à la réciproque de son inverse.

Il s’agit d’abord, de démontrer que l’opération (4), qui est par hypothèse la réciproque de (2), c’est-à-dire de l’inverse de (1), est nécessairement l’inverse de (3), c’est-à-dire de la réciproque de (1). Or, la transformation de (1) en (3) s’obtient par simple interversion des affirmations (p ou q) et des négations (p ou “). Il en est de même de la transformation de (2) en (4). D’autre part, la réunion des conjonctions inhérentes aux opérations (1) et (2) donne quatre conjonctions distinctes, dont la somme égale T, puisque (1) = n conjonc-

1. Cette définition de l’inverse coïncide avec la définition 32 adoptée plus haut.

2. Cette définition de la réciproque coïncide avec la définition 33.

3. Cette définition de l’opération corrélative (4) ne fait pas appel à la définition 34.

tions et (2) = T — n conjonctions. Ces quatre conjonctions seront distinctes, puisque les conjonctions intervenant en (1) et en (2) sont toutes distinctes les unes des autres : leur réunion équivaudra donc à 1’« affirmation complète » sous sa forme initiale T. Mais alors il en sera de même des conjonctions intervenant dans les opérations (3) et (4), puisque seuls les signes (p et p ; q et q) sont intervertis en passant de (1) à (3) et de (2) à (4) : la réunion des opérations (3) et (4) donnera donc également quatre conjonctions distinctes ; cette réunion équivaudra à nouveau à T puisque la réciproque d’une « affirmation complète » est encore une « affirmation complète ». L’opération (4) est donc l’inverse de (3) puisqu’elles sont complémentaires sous T.

De plus, deux opérations quelconques étaient ainsi l’inverse l’une de l’autre lorsque leurs réciproques le sont, il en résulte que deux opérations (b) et (d), inverses de deux opérations réciproques l’une de l’autre (a) et (c), sont nécessairement elles-mêmes réciproques. En effet, la réunion des conjonctions comprises en (a) et en (b) équivaut alors à T et il en est de même des conjonctions comprises en (cj et en (d), la réciproque de T demeurant T lui-même : l’opération (d) sera donc la réciproque de (b) comme (c) l’est de (a), puisque (d) comprend les conjonctions manquant à (c) et (b) celles qui manquent à (a).

Remarque. —   La démonstration qui précède est indépendante du caractère distinct des opérations réciproques et inverses, ainsi que de celui des opérations réciproques entre elles (les inverses sont par contre nécessairement distinctes). Elle ne fait appel qu’à l’identité de 1’« affirmation complète » et de sa réciproque : or, cette identité est évidente, puisque cette opération comprend par définition toutes les conjonctions possibles et qu’en intervertissant tous les signes on ne change alors rien à l’ensemble.

Dans ce qui précède nous n’avons pas introduit la définition de l’opération « corrélative » en tant que résultant de la substitution des (v) et des (•) dans la forme normale envisagée (définition 34). Il s’agit donc maintenant de prouver que la corrélative (caractérisée selon cette définition 34) est bien la réciproque de l’inverse ou (ce qui revient donc au même) l’inverse de la réciproque, et de rendre compte des différentes formes, distinctes ou non, de corrélatives.

DÉFINITION —   Introduisons maintenant cette définition 34 : une opération étant donnée sous sa forme normale disjonctive ou conjonctive, sa « corrélative » sera l’opération résultant de la substitution de (v) aux (•) et réciproquement, sans modification du signe des propositions.

La « corrélative » d’une opération est la réciproque de son inverse. Lorsque la réciproque de l’opération se confond avec l’inverse, la corrélative est alors identique à l’opération directe elle- même. Lorsque la réciproque d’une opération lui est identique, la corrélative se confond par contre avec l’inverse. Lorsqu’enfin la réciproque est à la fois distincte de l’opération directe et de l’inverse, la corrélative constitue une quatrième opération distincte.

En effet, selon la loi de dualité, l’inverse (2) d’une opération (1) est déterminée par l’interversion des (v) et des (•) ainsi que des valeurs positives et négatives des propositions en jeu. La réciproque (3) de l’opération (1) résulte, d’autre part, de l’interversion de ces valeurs positives et négatives des propositions, sans modification de l’opération elle-même, c’est-à-dire des (v) et des (•). La « corrélative » (4) étant par définition l’opération résultant de l’interversion des (v) et des (•), sans modification des valeurs positives et négatives des propositions, sera donc la réciproque de (2), qui est l’inverse de (1). Trois cas sont alors possibles :

a) La réciproque (3) est identique à l’inverse (2). Alors la réciproque de l’inverse sera l’inverse de l’inverse, c’est-à-dire l’opération directe.

b) La réciproque (3) est identique à l’opératien directe (1) ; alors la réciproque de l’inverse sera l’inverse elle-même : en effet, si les interversions des valeurs positives et négatives des propositions en jeu ne modifient pas l’opération directe, elles ne modifieront pas non plus l’inverse, puisque celle-ci est sa complémentaire sous T et que T« affirmation complète » T est identique à sa réciproque.

c) Les opérations directe (1), inverse (2) et réciproque (3) sont distinctes : alors la réciproque de l’inverse sera distincte des trois premières opérations, puisque l’interversion des valeurs positives et négatives des propositions en jeu modifient l’opération (comme le prouve la distinction de 1 et de 3) et qu’elles la modifient sous une forme distincte de la complémentarité (comme le prouve la distinction de 2 et de 3).

corollaire i. — La réciproque d’une opération est l’inverse de la corrélative de cette même opération : quand la réciproque de l’opération est vraie, la corrélative est donc fausse, et quand la corrélative est vraie, la réciproque est fausse.

Exemple : Si une conjonction (p • q) est vraie, telle que quelques Vertébrés ont « à la fois des branchies et des poumons » et que sa corrélative (p ∨ q)

est vraie (« branchies ou poumons, ou tous les deux »), alors la réciproque (p ■ q) (quelques Vertébrés n’ont « ni branchies ni poumons ») est fausse. Par contre, lorsqu’une conjonction (p ■ q) est vraie (quelques animaux ont « des vertèbres et une moelle épinière ») et que sa réciproque (p • q) l’est aussi (quelques animaux n’ont « ni vertèbres ni moelle épinière »), alors la corrélative (p ∨ q) est fausse : « ou vertèbres (sans moelle épinière), ou moelle épinière (sans vertèbres) ou les deux ».

De même, si (p ⊃ q) est vrai et (q^ p) faux, alors la corrélative (p • q) est vraie : par exemple si Mammifère implique Vertébré sans que la réciproque soit vraie, alors « non-Mammifère et Vertébré » est juste. Par contre si (p □ q) et (q d p) sont vrais tous les deux (vertèbres implique _ moelle épinière et réciproquement), alors (p-q) est faux (moelle épinière sans vertèbres).

corollaire il. — La corrélation ne constitue une quatrième opération distincte que dans le cas des expressions opératoires formées de une ou trois conjonctions.

En effet seules les expressions formées de une ou de trois conjonctions peuvent avoir une réciproque et une corrélative distinctes des opérations directe et inverse, puisque les expressions constituées par la réunion de quatre, deux ou zéro conjonctions ne sauraient être transformées en quatre opérations distinctes par complémentarité, changement du signe des propositions et permutations des (•) et des (v).

Lorsque, en une expression opératoire formée par la réunion de trois conjonctions, deux de ces conjonctions expriment les parties communes (p ■ q) et (p • q), la corrélative est alors constituée par la conjonction exprimant la partie non commune (p • q) ou (p • q) ; réciproquement lorsque deux des conjonctions en jeu expriment les parties non communes (p ■ q) et (p • q), la corrélative est constituée par la conjonction représentant une partie commune (p ■ q) ou (p • q).

En effet, lorsque deux conjonctions représentent les parties communes (p • q) et (p • q), la réciproque de l’expression considérée conservera ces deux conjonctions (l’inversion des signes donnant simplement p • q et p ■ q) et ne modifiera que la troisième des conjonctions en présence : la corrélative étant l’inverse de la réciproque, c’est donc cette troisième conjonction de l’expression initiale qui constituera sa corrélative. Par exemple la réciproque de :

(p □ q) = (p • q) ∨ (p ■ q) y (p • q) étant :

(q d p) = (p • q) ∨ (p ■ q) ∨ (p • q)

la corrélative de (p ? g) sera (p • q). Dans le cas où deux des conjonc-

lions en jeu représentent les parties non communes (p • q) et (p • q), la réciproque de l’expression considérée conservera également ces deux conjonctions (l’inversion des signes les transformant en elles- mêmes : p • q et p ■ q) et ne modifiera que la troisième des conjonctions en présence : ce sera à nouveau cette troisième qui constituera donc la corrélative. Par exemple la réciproque de :

(p ∨ q) = (p ■ q) ∨ (p • q) ∨ (p ■ q) étant :

P\<1 = (P ∙q’)’^l (p -q)v (p ■ q) la corrélative de (p ∨ q) sera (p • q).

corollaire —   La corrélative d’une expression opératoire d’une seule conjonction est constituée par une expression formée de trois conjonctions. Deux nouvelles conjonctions sont alors à ajouter à la première : elles exprimeront les parties communes (p ∙ q) et (p • q) si la conjonction initiale représente des parties non communes (p ■ q ou p • q) et inversement.

Exemple : La corrélative de (p • q) est (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q) = (q∑>p), tandis que celle de (p ■ q) est (p • q) V (p • q) ∨ (p • q) = (p\q).

REMARQUE. — La corrélativité consiste ainsi soit à adjoindre soit à supprimer, au sein des expressions considérées, des équivalences positives (p • q ∨ q • p) ou négatives (p • p ∨ q • q). On comprend alors pourquoi, dans le cas des opérations (p = q) ; (p w q) ; (p*q) ou (o), consistant déjà en équivalences positives et négatives (et additives ou multiplicatives), la corrélative est identique à l’inverse, puisqu’elle revient alors à supprimer ces équivalences ou non-équivalences. Dans le cas des opérations p [ÿ] ; p ⅛] ; q [p] et ç[p],par contre, qui sont toutes formées d’une partie commune (p • q ou p • q) et d’une partie non commune (p • q ou p • q), la corrélative est identique à l’opération directe parce que l’on ne saurait ajouter ni supprimer, en de telles expressions mixtes, une équivalence (positive ou négative) entière, dont les deux couples de propositions soient l’un et l’autre distincts de ceux de l’expression considérée.

Les théorèmes II et III ayant ainsi précisé la situation de la « corrélative », passons maintenant à l’analyse plus détaillée des « réciproques » :

Rappelons d’abord la définition 33 : La réciproque d’une opération est la même opération effectuée sur la négation des propositions considérées.

Par exemple (p ∨ q) a pour réciproque (p | q) parce que :

(p V q) = (p • q) V (p • q) ∨ (p • q) et que :

P ∨ q (= pi ?) = (p ■ q) V (p • q) ∨ (p • q)

Il y a donc inversion de tous les signes, mais non pas des opérations.

DÉFINITION 35. — La réciproque d’une opération binaire sera dite transformer la valeur de p indépendamment de q (ou l’inverse) lorsque les p changent de signe sans compensation des affirmations et des négations, tandis que les changements de signe affectant les q donnent lieu à une compensation (ou l’inverse).

Prenons comme exemple : p[?] = (p • q) ∨ (p • q). La réciproque de p[?] étant p[ç] = (p • q) ∨ (p • q), la valeur des p est transformée sans compensation par cette négation, tandis que le changement de ? en ? est compensé par la transformation de q en q.

DÉFINITION 36. — La réciproque d’une opération binaire sera dite transformer simultanément la Valeur des p et des q lorsque l’ensemble des p et l’ensemble des q changent de signe tous deux avec (ou tous deux sans) compensation des affirmations et des négations.

Par exemple la réciproque de (p ■ q) étant (p • q), p et q sont simultanément transformés, mais sans compensation. La réciproque de :

(p = i) = (p • y) ∨ (p ■ q)

étant (p • q) ∨ (p • q) = (p — q), les p et les q sont transformés simultanément les uns et les autres, mais avec compensation.

Lorsque la réciproque d’une opération binaire transforme la valeur de p indépendamment de q ou l’inverse, cette réciproque est identique à l’opération inverse.

En effet, si p (ou q) change seul de valeur, ce changement constitue une simple inversion (p pour p ou l’inverse) : la réciproque équivaut ainsi à l’inverse.

Par exemple la réciproque de :

(p • q) ∨ (p • q) = p[q] est :

(ÿ ■ q) ∨ (p • q) = p[q] opération qui est aussi son inverse.

théorème v. — Lorsque les valeurs de p et de q sont transformées simultanément par une réciprocité, celle-ci est soumise aux conditions suivantes : 1° La réciproque d’une expression binaire formée

d’une seule conjonction est sa complémentaire par rapport à une équivalence directe (p = q), si les propositions p et q sont de mêmes signes, et par rapport à une équivalence inverse (p w q, c’est-à-dire p = q et q = p), si p et q sont de signes différents. 2° La réciproque d’une expression binaire dont la forme normale disjonctive comporte de deux à quatre conjonctions est formée de conjonctions bi-univoquement correspondantes, dont chacune est la complémentaire de sa correspondante par rapport à une équivalence directe (p = q), si p et q sont de mêmes signes, sinon par rapport à une équivalence inverse (p w q).

En effet, la réciproque de (p • q) étant par définition (p • q) et la réunion (p • q) ∨ (p • q) constituant une équivalence directe (p = q), toute conjonction binaire de propositions de mêmes signes (p • q) ou (p • q) aura pour réciproque la conjonction complémentaire par rapport à l’équivalence directe : (p • q) pour (p • q) et (p • q) pour (p • q). Si la conjonction considérée est de signes différents, (p • q) ou (p ■ q), la réunion des deux conjonctions réciproques constituera une exclusion, ou équivalence inverse : (p • q) ∨ (p • q), c’est-à-dire (p = q) et (ç = p). Si tel est le cas pour les conjonctions isolées il en sera également ainsi pour chaque conjonction faisant partie d’une expression normale binaire formée de deux, trois ou quatre conjonctions. Par exemple la réciproque de [(p ■ q) ∨ (p • q) ∨ (p ∙ q)^∖ est :

[(p • q) ∨ (p ■ q) ∨ (p • ÿ)]

Les conjonctions correspondantes donnent alors :

(p • q) ∨ (p • q) = (p = q) ; (p • ç) ∨ (p • q) = (p w q) ;

(p • q) ∨ (p ■ q) = (p w q)

corollaire i. — Lorsquepetq changent simultanément de valeurs, la réciproque d’une expression binaire comprenant, sous sa jorme normale disjonctive, quatre, deux (ou zéro) conjonctions, équivaut à cette expression elle-même.

C’est ainsi que les réciproques de (p * q) ; (p = q) ; (pwq) et (o) sont (p * q) ; (p — q) ; (p^q) et (o) ¹. En effet, de telles expressions constituent des équivalences directes (p = q) ou inverses (p w q) = (p = q) ∨ (q =p), ou des doubles équivalences : (p * q) comprend ainsi : (p • q) ∨ (p • q) ainsi que (p ■ q) ∨ (p • q) et (o) comprend (o w o) ou (ô w b). Or, la réciproque des expressions binaires dans lesquelles p et q sont trans-

1. La réciproque de la négation totale (p ∨ q) • (p ∨ q) • (p ∨ q) • (p ∨ q), est par définition (p ∨ g) • (p ∨ g)•(p ∨ g)•(p ∨ g), c’est-à-dire la même expression.

formées simultanément est formée de conjonctions complémentaires par rapport à l’équivalence directe ou inverse. Donc la réciproque de (p • q) ∨ (p • q) sera (p • q) ∨ (p • q) et celle de (p • q) ∨ (p • q) sera (p • q) ∨ (p • q), ce qui ramène ces deux transformations à l’expression initiale.

corollaire n.— Dans le cas des expressions binaires normales (disjonctives) formées de trois conjonctions, l’expression réciproque conserve les deux conjonctions qui constituent, soit (a) une équivalence directe (p ■ q)v (p • q), soit (b) une équivalence inverse (p • q) ∨ (p ■ q) ; quant à la troisième conjonction, elle est remplacée par la conjonction qui lui est complémentaire par rapport à Γéquivalence inverse dans le cas (a) et par rapport à Γéquivalence directe dans le cas (b).

En effet, si l’expression considérée contient trois conjonctions dont deux forment à elles seules une équivalence directe ou inverse, ces deux conjonctions se conserveront telles quelles dans l’expression réciproque, puisqu’elles constituent déjà une équivalence (en vertu du corollaire I) ; en ce cas la troisième conjonction ne saurait être transformée qu’en une conjonction complémentaire par rapport à l’équivalence inverse, si les deux premières conjonctions constituent ensemble une équivalence directe : en effet, si les conjonctions (p ■ q) et (p ■ q) sont comprises toutes deux dans ces deux premières, la troisième ne saurait être que (p • q) ou (p ■ q) ; inversement la troisième conjonction ne saurait être que (p • q) ou (p • q) si les deux premières sont (p ■ q) ∨ (p • q) : sa réciproque sera donc complémentaire par rapport à l’équivalence directe.

C’est ainsi que les formes normales disjonctives des opérations réciproques (p ∨ q) et (p | q) contiennent déjà toutes deux les deux conjonctions (p • ÿ) ∨ (p • ?), c’est-à-dire l’équivalence inverse : donc la réciprocité transforme (p • q) en (p • q) ou Γinλ^rerse. Quant aux implications p ⊃ ? et ? ⊃ p, leurs formes normales disjonctives contiennent toutes deux déjà les deux conjonctions (p ■ q) ∨ (p • q), c’est-à-dire l’équivalence directe : la réciprocité transforme alors p • q (contenu en qz> p) en p ■ q (contenu en p-qj ou l’inverse.

COROLLAIRE III.— Lorsqu’une expression binaire dont la réci- procité transforme simultanément p et q est mise sous la forme d’une implication (positive ou négative), sa réciproque est alors constituée par l’implication entre ses éléments permutés (implication converse, dite inverse). La conjonction de l’implication considérée et de sa converse donne alors une équivalence directe (p = q), en cas d’implications posi-

tives entre propositions également positives (p 3 q), ou d’implication négative entre propositions de signes contraires (p 3 q), et donne une équivalence inverse (p w q, c’est-à-dire p = q et q = p) lorsqu’aucune de ces deux conditions n’est remplie.

La permutation des termes de l’implication résulte, en effet, de la définition même de la réciprocité, puisque p 3 q a pour réciproque (p 3 q) = (q 3 p) et que q 3 p a pour réciproque (q 3 p) = (p 3 q). Il en découle alors que la conjonction des deux implications positives entre propositions positives p 3 q et qa p donne une équivalence directe, puisque (p d q) • (q d p) ≡ (p § q) ≡ (p = q). Il en sera de même des implications négatives entre propositions de signes contraires, car si l’on a à la fois p a q et p d q, cela signifie :

(p o q) • (p ⊃ q) = (p • q) ∨ (p • q) = (p = q)

puisque (p 3 q) = (p ∙ 7) = (p • q) et que (p ⊃ q) = (p • q). En dehors de ces deux cas (et de l’équivalence directe elle-même), toute implication négative ou toute implication positive entre propositions de signes contraires ne saurait évidemment donner, par conjonction avec sa réciproque, qu’une équivalence inverse (p w q) : en effet, puisque p^q = p - q et que ÿop = p • q, la conjonction de deux non-implications équivaut à (p • q) ∨ (p • q), c’est-à-dire à l’équivalence inverse ; d’autre part, les implications entre propositions de signes contraires, p 3 q\q □ p ; p^q ou q^p ne peuvent aboutir, par conjonction avec leurs réciproques, qu’à des combinaisons de signes mélangés p ■ q ou p • q, c’est-à-dire de nouveau à des équivalences inverses. D’où le tableau, p. 283.

De ce théorème V et de ses corollaires découle donc ce fait fondamental que la réciprocité fait intervenir une complémentarité spéciale, relative à l’équivalence (p = q) et non pas à l’affirmation complète (p * q) comme la complémentarité générale caractérisant les opérations inverses. C’est cette complémentarité relative à l’équivalence qui explique les trois propriétés essentielles de la réciprocité :

1° Que les expressions opératoires exprimant par elles-mêmes une équivalence directe (p = q), inverse (p w q) ou composée (p * q) et (o), sont symétriques et par conséquent identiques à leurs réciproques ;

2° Que la conjonction de deux implications converses [(p q). (q o p)] constitue une implication réciproque (p g q) et de ce fait même une équivalence directe (p = q) ;

Tableau des réciprocités.

3° Que les expressions opératoires dont la réciprocité transforme simultanément p et q ont pour réciproques, une fois mises sous la forme d’implications, l’implication donnée entre leurs éléments permutés. C’est ce troisième caractère qui motive le terme de réciprocité attribué aux transformations que nous désignons sous ce nom.

On saisit, en outre, pourquoi les opérations p [ç] ; p [ç] ; q [p] et q [p] ont une réciproque identique à leur inverse : c’est qu’elles sont formées chacune d’une partie commune (p ■ q ou p ■ q) et d’une partie non commune (p • q ou p • q) ; étant formée de couples complémentaires par rapport à l’équivalence positive (p • q ∨ p • q) ou négative (p ■ q ∨ p • q), la réciproque revient en ce cas à inverser l’expression entière (théorème IV).

On comprend alors le rôle opératoire distinct des quatre quaternes que nous avons caractérisés au début de ce § 31 et qui correspondent à des fonctions déductives bien différenciées. Tandis que le quaterne D (réciproques identiques aux inverses) concerne seulement les affirmations et négations, le quaterne C (réciproques identiques entre elles) comprend les diverses équivalences et joue ainsi un rôle principalement régulateur dans la déduction ; avec les quaternes A (disjonctions et conjonctions positives et négatives) et B (implications et non-implications), ce sont au contraire les opérations proprement constructives qui entrent en jeu et dont les différentes combinaisons aboutissent aux équivalences directes et inverses. Quant à la rationalité du système, elle est assurée tout entière par les transformations réversibles que constituent les inversions, réciprocités et corrélativités, et dont nous retrouverons le mécanisme fondamental à l’œuvre au sein du « groupement » des opérations interpropositionnelles.

En effet, l’inversion repose sur une complémentarité par rapport à l’affirmation complète ; la réciprocité exprime de son côté une complémentarité par rapport à l’équivalence positive ou négative (théorème V) ; quant à la corrélativité, elle est l’inverse de la réciprocité (théorème I) et consiste, par conséquent, à adjoindre ou à supprimer, au sein des expressions considérées, des équivalences positives ou négatives (théorème III). Or, la réunion d’une équivalence positive ( = ) et une équivalence négative (w) constitue précisément une « affirmation complète » (p * q). Il en résulte que l’inversion, la réciprocité et corrélativité, jointes à la transformation nulle (ou identique), constituent un système unique, tel que deux quelconques des trois premières transformations donnent

la troisième et que trois quelconques des quatre transformations donnent la quatrième. On obtient ainsi un groupe commutatif de transformations portant sur l’ensemble de ces quatre transformations.

Pour démontrer ce fait essentiel, qui fournit la raison des cinq théorèmes précédents, nous adopterons la forme de présentation la plus générale :

Toute opération binaire (p ∨ q ou p d q ; etc.) peut s’écrire sous la forme d’une fonction a (p, q, p,q) = 1 ou plus simplement a (p, q, p, q). A toute opération a on en peut faire correspondre d’autres au moyen d’opérateurs de transformation. On peut ainsi passer :

(1) De a (p, q, p, q) à sa réciproque a (p, q, p, q), en changeant les signes des propositions p, q, etc., mais sans changer l’opération a.

(2) De a (p, q, p, q) à sa corrélative â (p, q, p, q), en permutant l’opération a avec a, mais sans changer les signes des propositions p, q, etc.

(3) De a (p, q, p, q) à son inverse œ Ip, q, p, q), en permutant simultanément les signes des propositions p, q, etc. et les opérations a et â.

Nous désignerons respectivement les opérateurs de la réciprocité, de la corrélativité, de l’inversion (négation) de a par des symboles R, C et N.

Constatons d’abord que ces opérateurs sont tous involutifs, c’est-à-dire que la répétition de chaque opération (la réciproque de la réciproque, la corrélative de la corrélative et l’inverse de l’inverse) ramène à l’opération identique :

RR = 1 ; CC = 1 ; NN = 1

où 1 représente maintenant la transformation identique (= nulle).

Les produits deux à deux des opérateurs R, C et N s’obtiennent immédiatement et sont les suivants :

(4) La réciproque de la corrélative (RC) est l’opération : ^α (p, q, p, q) -* ≈ (p, q, p, q)

donnant donc l’inverse (N) (de même pour la corrélative de la réciproque CR = N).

(5) La réciproque de l’inverse (RN) est l’opération :

« (p, q, p,q)→a∙ (p, q, p, q)

donnant donc la corrélative (C) (de même pour l’inverse de la réciproque NR = C).

(6) L’inverse de la corrélative (NC) est l’opération :

a (p, q, p,q) -> a (p, q, p, q)

donnant donc la réciproque (R) (de même pour la corrélative de l’inverse CN = R).

On voit que tous ces produits sont commutables et tiennent la symétrie logique de a. Par conséquent :

L’ensemble des transformations (inverse, réciproque, corrélative et identique constitue un groupe commutatif.

En effet, l’inversion d’une expression opératoire a. (p, q, p, q) (écrite sous sa forme normale disjonctive ou conjonctive) consiste à permuter simultanément les signes des propositions (p, q, etc.) et des opérations a et à (soit ∨ et • ). La réciprocité consiste, par contre, « n une permutation des signes des propositions (p, q, etc.), mais non pas des opérations a et a (soit ∨ et •) ; et la corrélativité consiste •en une permutation des opérations a et a (v et-), mais non pas des .signes des propositions (p, q, etc.). Il s’ensuit que la réunion de la -corrélative et de la réciproque équivaut à l’inverse, et que, de manière générale, la réunion des deux quelconques de ces trois transformations équivaut à la troisième. En effet, on a :

N = RC (= CR) ; R = NC (= CN) ; C = NR (= RN)

et 1 = RCN (donc aussi 1 = NRC ou 1 = CRN ; etc.).

Il en résulte la table de multiplication suivante qui caractérise le groupe (cette table se lit à la manière d’une table de Pythagore) :

1 R N C

R 1 C N

N C 1 R

C N R 1

Remarque. — Dans le cas des opérations (p = q) ; (p w q) ; (p * q) et (o) on a R = 1, mais N = C et, dans le cas des opérations p[?]; p[?]; ?[p] ! on a R = N, mais C = 1. Les propriétés précédentes demeurent également vérifiées.

Un tel groupe¹ ne permet pas, à lui seul, de passer de l’un des quaternes d’opérations (A à D) à un autre, ni par conséquent d’engendrer le détail des seize opérations binaires. Mais il exprime l’essentiel des transformations réversibles du système et en fonde ainsi la rationalité.

1. Le groupe en question est isomorphe au groupe dit « des quatre transformations » (« Vierergruppe », ou groupe de Klein).