Chapitre IV.
La logique des ensembles et les rapports entre les opérations intrapropositionnelles et le nombre ^a 🔗

La première question à poser quant aux rapports entre la logique des classes et des relations et la logique mathématique est de déterminer le degré de parenté entre les classes et les ensembles. Or, une précaution s’impose à cet égard : c’est de préciser si certaines expressions semblables employées dans les deux domaines recouvrent exactement les mêmes significations.

En effet, si la logique, qui ne présuppose rien, doit partir de l’élémentaire, les mathématiques, qui veulent reconstituer simultanément leurs propres axiomes et ceux de la logique, tendent à remonter aux notions les plus générales possibles. Or, l’élémentaire, c’est-à-dire le plus simple, ne se confond pas nécessairement avec le plus général. Ainsi le rapport de partie à tout, que nous avons considéré comme caractéristique des structures logiques, n’est pas à regarder a priori comme le plus général. Du moins la question se pose précisément d’emblée de savoir si c’est ce même rapport qui définit un « ensemble » :

« Un ensemble, écrit Bourbaki, est formé d’éléments susceptibles de posséder certaines propriétés et d’avoir entre eux ou avec des éléments d’autres ensembles certaines relations.¹ » Il semble diffi-

1. Bourbaki, np. cit., t. I, p. 2.

cile de choisir une notion plus générale comme point de départ d’un Traité de mathématiques, et d’un Traité hautement représentatif de l’esprit contemporain de formalisme logique. Et pourtant rien m’est moins « élémentaire » que cette notion générale. En premier dieu nous nous demanderions ce que signifient les expressions de « propriétés » et de « relations » et au nom de quels critères on.les « distinguera. Mais cette question de rapports entre les « prédicats » « et les « relations » n’est pas spéciale aux mathématiques et nous en avons suffisamment traité au point de vue logique pour n’y point revenir ici. Par contre, un second problème surgit nécessairement qui, lui, est capital du point de vue des frontières entre la logique et les mathématiques : que signifie, pour les éléments d’un ensemble, la capacité d’« avoir des relations avec des éléments d’autres ensembles »?

Dire que les éléments d’un ensemble sont susceptibles de posséder certaines propriétés et d’avoir entre eux certaines relations ne dépasse pas nécessairement le domaine de la logique des classes et des relations « intensives ». Ainsi la classe des hommes peut être considérée comme un « ensemble » d’éléments possédant certaines propriétés (que nous considérons pour notre part comme des relations symétriques de co-humanité) et soutenant entre eux certaines relations (plus ou moins grands, larges ou étroits de crâne, intelligents, etc.). Ces propriétés et ces relations sont alors toutes réductibles, comme nous l’avons vu, à des relations de partie à tout : le tout étant la différence qualifiée ou l’équivalence qualifiée relative à la classe en jeu, les parties sont constituées par les différences partielles ou les sous-classes avec leurs équivalences propres. Admettons donc qu’il en soit ainsi de tout ensemble mathématiqùe. Ce ji’est pas le cas de tous, et nous le verrons plus loin. Mais c’est le cas de certains et n’insistons pas pour le moment sur les autres. Par contre, que sont les relations des éléments de l’ensemble avec ceux d’autres ensembles ?

Dans le cas des classes logiques, ces relations ne peuvent être que de trois sortes : 1° La classe des Hommes (A) peut être mise en relation avec celles des Mammifères (B), des Vertébrés (C), etc., de telle sorte qu’un Homme x_A sera mis en relation non seulement avec les autres Hommes (x_A( ^a _> xj), mais avec les Mammifères (x_a <^ft _> a⅛), les Vertébrés (x_a √L> a⅛), etc. Seulement ce sont encore des relations de partie à tout qu’il. s’agisse d’inclusions ou d’équivalences par co-appartenances ou co-inclusions. 2° Les « 

Hommes peuvent être comparés, d’autre part, avec n’importe quoi par le moyen de relations asymétriques qualifiées : un Homme pourra ainsi être considéré comme plus intelligent qu’un Singe (¾) soit ¾ → x_A ; plus grand qu’une Fourmi, etc. Seulement ces relations asymétriques n’ont de signification qu’à titre de relations partielles dans des sériations d’ensemble et reposent donc à nouveau sur l’emboîtement de la partie (différence plus petite) dans le tout (différence plus grande). 3° Enfin les mises en relations logiques peuvent consister en multiplications de classes ou de relations, c’est-à-dire en correspondances bi-univoques ou co-univoques. Mais ces liaisons, elles aussi, consistent à emboîter la classe A₁∙en dés classes multiplicatives A₁A₂ ou K₁K₂ (groupements III ou IV) ou en des systèmes multiplicatifs d’ensemble de relations (groupements VII ou VIII), de telle sorte que le principe en est à nouveau l’emboîtement de la partie dans le tout. La logique ignore ainsi toute autre structure que de tels emboîtements selon leurs diverses variétés.

Au contraire, mettre en relation les éléments d’un ensemble mathématique E avec ceux d’un autre ensemble F, c’est imaginer un ensemble d’« applications » de E sur F (d’associations ou de « fonctions », notamment de correspondances) qui ne sont nullement assujetties à cette condition limitative. La raison essentielle en est que le mathématicien, au lieu de ne considérer comme le logicien un élément de l’ensemble que relativement aux emboîtements ou aux relations qui le qualifient et le différencient, se réserve toujours le droit de parler d’un élément quelconque, c’est-à-dire précisément indépendant de tels emboîtements différenciés.

L’exemple le plus clair est celui des équipotences ou correspondances bi-univoques et réciproques entre les éléments individuels de deux ensembles indépendamment de leurs propriétés (donc unité à unité). Mais nous discuterons cette opération plus loin en détail (§ 25). Bornons-nous donc pour l’instant à un autre exemple : celui du « produit de plusieurs ensembles, » opération à laquelle Bourbaki cherche d’ailleurs à réduire la correspondance bi-univoque¹. Soient E et F deux ensembles distincts ou non. Les couples (x, y) dont le premier élément x est un élément quelconque de E et le second y un élément quelconque de F sont les éléments d’un nouvel ensemble, qu’on appelle l’ensemble produit de E par F, et qu’on note E × F.

1. Ibid., I, p. 13-14.

On voit d’emblée l’analogie formelle de cette opération avec la multiplication bi-univoque logique (groupements IV et VIII). Et cependant il ne s’agit pas de la même opération, du seul fait que les couples x, y sont formés d’éléments « quelconques », et ne sont pas construits seulement en fonction des ressemblances ou des différences entre τ et y. Soit un ensemble E formé de deux objets x₁et x₂ et soit un ensemble F formé de trois objets y₁, y₂ et y₃. Le produit de ces deux ensembles donnera six associations x₁y₁ ; x₁y₂ ; x₁y₃ > ^x2 !L > ^x2l∕2 ^χ2ys∙ D® même une classe B₁ formée de deux classes singulières A₁ et Aj, et une classe C₂ formée de trois classes singulières A₂, A₂ et B₂ donneront un produit formé des six associations : A₁A₂ ; A₁A₂ ; A₁B₂ ; AjA₂ ; A’₁A₂ et A(B₂. Or, bien que ces deux opérations aient, comme on le voit, des structures formelles semblables, elles ne.sont nullement identiques. Dans le cas du produit de deux ensembles E × F, chaque couple est, en effet, équivalent à chacun des autres parce que formé d’éléments « quelconques ». Au contraire la multiplication logique entre deux classes telles que B₁ et C₂ n’a de signification que dans la mesure où elle confère certaines qualités distinctes à chaque couple A₁A₂j A₁A₂j etc., de telle sorte qu’aucune de ces classes multiplicatives élémentaires n’est équivalente aux autres, sinon en tant que faisant partie de la classe totale B₁C₂. Que l’on compare ainsi la table à double entrée de la figure 9 (voir p. 123), avec ses six casiers qualifiés différemment¹, à la multiplication arithmétique 2 × 3 = 6 et l’on saisira toute la différence de ces deux sortes d’opérations.

Il y a donc (et ceci n’est qu’un premier exemple) entre la classe logique (intensive) et l’ensemble mathématique, la différence essentielle qui sépare le totalement qualifié par emboîtements contigus (voir § 10 sous III) du plus ou moins qualifié ou du quelconque : l’opération mathématique est ainsi à concevoir, en première approximation, comme une généralisation de l’opération logique correspondante. Mais ce n’est là qu’une première approximation, car on pourrait alors soutenir à juste titre qu’une telle différence n’est que de degré et qu’elle intéresse surtout le contenu de l’opération et non pas sa structure formelle. Or, en réalité, la généralisation en jeu suppose une modification de la structure elle-même. En devenant « quelconque », c’est-à-dire en perdant ses qualités individuelles, l’élément de l’ensemble devient une simple unité parmi les

1. Voir l’exemple concret donné à propos de cette figure 9 (§ 15).

autres : c’est pourquoi l’association multiplicative entre un élément « quelconque » x de l’ensemble E et un élément « quelconque » y de l’ensemble F constitue une relation directe d’élément à élément, c’est-à-dire de partie à partie, tandis que le couple A₁A₂ propre à la multiplication logique n’est pas une relation directe de partie à partie, mais une relation indirecte passant par l’intermédiaire du tout B₁C₂ et de ses sous-emboîtements A₁ et A₂. Le « produit de deux ensembles » est donc déjà une opération qui se libère des rapports de partie à tout et qui s’engage dans la direction des relations entre les parties elles-mêmes.

La notion de l’ensemble, discutée au § 23, peut être dite « concrète » en ce sens que les éléments de l’ensemble possèdent des « propriétés ». On pourrait donc comparer ces propriétés aux qualités qui déterminent les classes, sous-classes et éléments individuels des structures logiques (des classes que nous avons appelées « faiblement structurées » ou « semi-structurées » : voir définitions 11 et 12). Mais c’est à ce sujet qu’il conviendra de reprendre la question des relations qui soutiennent entre eux les éléments d’un même ensemble, car ces relations peuvent consister soit en rapports de partie à tout, comme les relations logiques, soit (dans le cas des « classes structurées », définition 13) en rapports directs entre les parties elles-mêmes. Par exemple en des ensembles tels que celui des nombres entiers ou des nombres pairs, de l’ensemble des nombres rationnels, ou en des ensembles non dénombrables comme celui des points d’une droite ou d’une demi-circonférence, etc., les propriétés des éléments et les relations qu’ils soutiennent entre eux sont déterminées par une loi de construction (la suite des nombres, le continu linéaire, etc.) qui permet de relier un élément à un autre (n à n + 1) sans passer par le rapport de partie à tout.

Mais les ensembles concrets, dont les éléments sont pourvus de propriétés, ne constituent pas la structure la plus générale de la théorie des ensembles. Pour comparer le « général » mathématique à 1’« élémentaire » logique, et pour vérifier l’hypothèse selon laquelle , la différence entre les deux notions tient effectivement à la dualité des rapports de partie à tout (quantité intensive) et des rapports des parties entre elles (quantité extensive et numérique), c’est donc aux ensembles les plus généraux qu’il faut d’abord nous adresser,

quitte à revenir ensuite aux opérations propres aux ensembles concrets.

Or, les structures les plus générales sont constituées par ce qu’on appelle les « ensembles abstraits » : (1) un ensemble « abstrait » est un ensemble dont les éléments sont démunis de propriétés ; (2) entre les-éléments d’un ensemble abstrait n’existe pas d’autres relations que celle qui distingue deux éléments différents (x ≠ y) et celle qui identifie un élément à lui-même (x = x) ; (3) entre les éléments d’un ensemble abstrait et cet ensemble n’existe que la relation d’appartenance (τεE).

Le problème est ainsi posé en termes non équivoques : un ensemble abstrait est-il réductible à une classe logique, et sinon en quoi consiste la différence ?

Deux des quatre caractères constitutifs se retrouvent dans les classes logiques : l’identité et l’appartenance, x — x et æeE. Un troisième caractère est celui que nous avons discuté au paragraphe précédent ; l’élément de l’ensemble abstrait est dépourvu de propriétés et, a fortiori, de qualités individuelles : ce caractère ne constitue donc que la généralisation du « quelconque ». Quant au quatrième caractère, qui est la possibilité de distinguer deux éléments quelconques {x ≠ y) on pourrait dire qu’il existe comme les deux premiers dans le domaine des classes logiques : dans la classe des hommes, Pierre peut toujours être distingué de Paul. La seule différence entre l’ensemble abstrait et la classe logique tiendrait-elle donc à une question de généralisation, c’est-à-dire de degré ?

Mais une telle assimilation soulève la difficulté suivante.

Deux éléments distincts d’une classe logique, tels Pierre et-Paul, ne sont différenciés qu’en fonction d’un système complexe d’emboîtements qualitatifs, conduisant jusqu’aux sous-classes singulières ; celles-ci ne sont, en effet, caractérisées que grâce à une ou plusieurs qualités différentielles, c’est-à-dire par un jeu d’« altérités » ou de relations asymétriques déterminées. Or, dans un ensemble abstrait les éléments sont « démunis de propriétés » (1). Comment donc, en ce cas, peuvent-ils être tenus pour « distincts » (2) ?

On voit ici, soit dit entre parenthèses, la différence de signification qui sépare le « général » de 1’« élémentaire ». Les mathématiciens, qui s’intéressent seulement aux notions les plus « générales », en ont poussé fort loin l’analyse en des cas touchant de près la logique : l’idée d’ordre est parvenue depuis Pasch et Hilbert à haut degré d’élaboration (il existe un ensemble fort intéressant d’axiomes d’ordre considérés comme nécessaires à la géométrie projective et euclidienne). Par contre, certaines notions « élémen-

taires » sont d’un usage quotidien en mathématiques sans qu’on ait eu la curiosité d’en pousser aussi loin l’analyse. Telle est précisément la notion du « distinct » dont l’importance est pourtant fondamentale, puisque toute la logique est en un sens une théorie de l’équivalence et de la différence et que certaines logiques mathématiques, comme la logique de Griss (voir § 49), remplacent la négation elle-même par la notion de différence. Il y a donc place, à côté de l’étude des structures générales, pour une analyse des rapports « élémentaires ».

Il est évident que, si les éléments d’un ensemble abstrait sont démunis de propriétés, ils ne sauraient se distinguer les uns des autres par eux-mêmes, de telle sorte qu’en les posant comme distincts malgré cette absence de toute qualité distinctive, on introduit implicitement une opération permettant de les distinguer. Le rôle du logicien est alors de déterminer en quoi consiste cette opération. Lorsqu’il s’agit de différences que les termes présentent en vertu de leurs propriétés, nous savons déjà que ces rapports de distinction peuvent être de trois sortes : ceux qui résultent de la présence ou de l’absence d’une qualité (« altérité » : définitions 26-27), ceux que déterminent les relations asymétriques et ceux qui expriment une différence symétrique d’« intervalle », cette troisième forme de différence étant d’ailleurs réductible aux deux autres (voir § 22). Mais, si toute propriété fait défaut, comment rendre compte de l’opération de la dictinction ?

Bien entendu, le mathématicien conserve toujours le droit de procéder par postulats. Lorsqu’on lui demande à quoi se reconnaît le caractère distinct de deux éléments x et y d’un ensemble abstrait, il répond simplement qu’il se le donne. Ou bien encore, il répond qu’en un ensemble concret les éléments diffèrent par leurs propriétés, et qu’un ensemble abstrait n’est pas autre chose qu’un ensemble concret dans lequel on néglige ces propriétés pour ne retenir que la multiplicité et la distinction des éléments. Mais cette seconde réponse constitue assurément une échappatoire, car à vouloir justifier la distinction des éléments par des propriétés dont on fait explicitement abstraction, on se réfère donc encore implicitement à elles au sein de l’ensemble abstrait lui-même. Quant à se donner simultanément la distinction et l’absence de propriétés, il reste à montrer comment ces deux postulats peuvent être compatibles logiquement.

Nous voudrions donc poser une question tout à fait naïve, comme il se doit lorsque l’on veut remonter à l’élémentaire : par le moyen de quelles opérations distinguera-t-on trois éléments quelconques de

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l’ensemble abstrait, autrement dit comment saura-t-on, en l’absence de toute propriété distinctive des éléments, que l’ensemble abstrait ne se réduit pas à un seul couple x ≠ y ? En effet, si l’on pose x ≠y_ypuis y ≠ z, l’élément z peut être identique à x ou s’en distinguer, sans aucun moyen d’en décider. Si l’on pose d’autre part x ≠ z, c’est l’élément y qui devient indéterminé, etc.

Il existe, il est vrai, des ensembles dont on ne peut différencier les éléments que par couples sans qu’ils se réduisent pour autant à un seul couple : on a décrit, par exemple, un ensemble de fonctions dont on peut seulement les distinguer deux à deux, car les deux fonctions comparées diffèrent alors chaque fois sur un point. Mais alors la distinction demeure fondée sur les propriétés des éléments, bien que celles-ci soient ramenées à leur plus simple expression. En cas d’absence -de toute propriété, comment s’assurera-t-on donc que l’ensemble ne se réduit pas à un seul couple ?

Si les éléments ne diffèrent pas par leurs qualités propres, il semble nécessaire, pour distinguer trois éléments quelconques, d’introduire entre eux un ordre. Il s’agira naturellement d’un ordre vidé de tout contenu qualitatif, c’est-à-dire ne se référant pas aux caractères des éléments comme tels, mais introduit du dehors à titre d’ordre de succession des mises en relations elles-mêmes. En effet, l’ordre d’énumération est la dernière forme de différence subsistant entre éléments dont on ignore toutes les propriétés et . dont on ne saurait donc rien dire, sinon qu’ils sont distincts.

Il est vrai que tous les mathématiciens n’admettent pas la possibilité d’ordonner un ensemble quelconque. On démontre bien que tout ensemble peut être ordonné, mais cette démonstration suppose l’intervention de 1’« axiome de choix », dû à Zermelo et qui est accepté par une partie seulement des auteurs ; ceux qui le rejettent contestent par conséquent la démonstration en question.

Mais, si l’on s’en tient à trois éléments seulement, on voit mal comment, pour être certain des distinctions x ≠ y ; y ≠ z et x ≠ z, on ne procéderait pas par ordre : ce n’est qu’en mettant à part x, après l’avoir comparé à y, que l’on sera assuré de ne plus le retrouver, identique à z ou à y, dans la comparaison y ≠ z. D’une manière générale, tout sous-ensemble fini de l’ensemble considéré peut être ordonné, et c’est en se référant à cet ordre possible d’énumération que l’on aura le droit de concevoir trois éléments quelconques comme distincts et l’ensemble comme ne se réduisant pas à un seul couple.

Dans le cas d’un sous-ensemble fini, distinguer revient donc à introduire un ordre quelconque de numérotation possible ou d’énumération simplement ordinale.

Mais alors, et ceci est essentiel, tous les ordres possibles d’énumération sont semblables entre eux, puisque les éléments ne possèdent pas par eux-mêmes de qualités distinctives : que l’on procède selon l’ordre z ;ÿ ;zouz ;ÿ ;z ; etc., il y aura toujours un premier élément que l’on aura mis de côté après l’avoir comparé à un second, de manière à le distinguer d’un troisième qui aura été entre temps mis en relation avec ce second. Il y a donc similitude générale des différents ordres possibles.

Cela dit, il devient évident qu’un ensemble abstrait n’est pas une classe logique. Les éléments de l’ensemble étant démunis de propriétés sont tous équivalents entre eux du point de vue de la qualité, puisqu’aucune qualité ne les distingue plus. Ils sont cependant distincts en tant que pouvant être ordonnés, au moins par sous- ensembles finis et bien que toutes les suites ordonnées que l’on peut construire avec les mêmes éléments non qualifiés soient semblables entre elles. Or, le domaine de la logique intensive ne connaît que l’équivalence ou la différence qualifiées et ne possède pas d’opérations pouvant porter sur des éléments à la fois équivalents et ordonnés. La logique intensive ne connaît pas, par conséquent, de similitude généralisée de tous les ordres possibles construits avec les mêmes éléments : l’ordre d’énumération Pierre, Paul et Jean reste dictinct, qualitativement, de l’ordre Paul, Jean et Pierre, de telle sorte que l’ordre généralisé (un premier) → (un second) → (un troisième) → etc. déborde la logique intensive en extrayant des différents ordres qualifiés possibles une similitude ordinale commune à eux tous.

Au total, le fait de considérer les éléments d’un ensemble abstrait comme tous distincts malgré l’absence de propriétés distinctives, consiste à les relier directement les unes aux autres en tant que simultanément équivalentes et sériables, par des opérations dépassant celles de la logique du tout et de la partie. En effet, l’élimination de toute qualité ainsi que la similitude généralisée de leurs différents ordres possibles d’énumération libèrent les éléments de leurs emboîtements antérieurs, c’est-à-dire des classes ou des relations concrètes ou qualifiées, pour les unir directement entre eux, en tant qu’éléments homogènes. Ainsi la notion de l’ensemble abstrait vérifie, quant aux relations internes des éléments les uns à

l’égard des autres, ce qui nous a déjà montré l’exemple du produit de deux ensembles quant aux relations externes entre éléments de plusieurs ensembles ; que la théorie des ensembles diffère de la logique par une mise en relation directe des éléments ou des parties entre eux, en opposition avec les rapports de partie à tout, que connaît également la théorie des ensembles, mais qui sont seuls à l’œuvre sur le terrain de la logique intensive.

Débutant comme la logique avec les relations des parties et du tout, la théorie des ensembles déborde bien vite, comme nous venons de le voir, ces simples rapports d’inclusion et d’appartenance. Elle les dépasse à l’intérieur même des ensembles, en envisageant des éléments quelconques au lieu de les qualifier nécessairement. Elle les dépasse surtout quant aux relations des ensembles entre eux.

A ce double point de vue se pose un problème qui a joué un rôle fondamental dans l’histoire de la logistique : celui des relations entre la notion de classe et celle de nombre cardinal, ainsi qu’entre celles de relation asymétrique et de nombre ordinal.

On appelle jonction l’opération qui associe un élément x d’un ensemble E à un élément y d’un autre ensemble F, et l’on parle également à ce sujet d’une « application » de E dans F (ou « sur » F si F est recouvert). La logique’connaît elle aussi⅛ en un sens, de telles applications ou fonctions, puisqu’elle peut multiplier deux classes l’une par l’autre, mais nous avons vu (§ 15) comment ces applications purement logiques restent subordonnées aux emboîtements des parties dans les totalités. Les fonctions ou applications dont use la théorie des ensembles peuvent au contraire constituer des relations directes d’élément à élément, soit y = f(x), puisqu’elle traite d’éléments quelconques.

Ce passage du rapport de la partie au tout aux rapports entre les parties elles-mêmes (ou encore les éléments comme tels) est particulièrement net dans le domaine de ces fonctions essentielles que sont les correspondances bi-univoques et réciproques en usage dans la théorie des ensembles et conduisant à la construction des nombres entiers.

DÉFINITIONS 31. — Deux ensembles sont dits « en correspondance » si l’on donne une application x→- y de E dans F et une application x <- y de F

dans E. La correspondance est dite bi-univoque si ces deux applications sont univoques. Elle est dite réciproque si x -> y entraîne x y et si x <— y entraîne x → y [il existe des correspondances bi-univoques non réciproques : n→ (n + 1) et (n + 1) → n]. Une correspondance bi-univoque et réciproque est appelée « parfaite ». Deux ensembles sont dits « équipotents » si leur correspondance est parfaite. La « puissance » d’un ensemble E est au contraire inférieure à celle <£un ensemble F s’il existe une correspondance parfaite entre E et une partie seulement de F (autre que F lui-même).

L’« ensemble des parties » d’un ensemble E est l’ensemble dont les éléments sont les parties de E ; nous le désignerons (pour simplifier le symbolisme habituel) par le signe Part. (E) ; la partie vide (O) et l’ensemble E lui-même font partie de Part. (E).

Si les ensembles E et F sont équipotents, les ensembles Part. (E) et Part. (F) le sont également [la puissance d’un ensemble E est inférieure à celle de Part. (E)].

Ces notions rappelées, on voit immédiatement la différence qui sépare, en son mécanisme opératoire, la correspondance bi-univoque en usage dans la théorie des ensembles et celle que nous avons vue à l’œuvre dans les « groupements » de la logique intensive, ainsi que l’opposition entre la notion de la « puissance » des ensembles et 1’« extension » des classes logiques.

Pour commencer par ce dernier point, dont l’intelligence commande toute la discüssion qui va suivre, l’opposition consiste en ceci : 1° Deux ensembles quelconques ou deux parties quelconques du même ensemble peuvent toujours être comparés directement entre eux du point de vue de leur puissance : ainsi un ensemble E sera reconnu comme équipotent à F ou de puissance inférieure ou supérieure à celle de F ou la puissance d’une partie X de E sera comparée à celle d’une partie Y de E, sans limitation aucune. 2° Au contraire l’« extension » d’une classe A ne peut être comparée à celle d’une classe B que si l’une des deux fait partie de l’autre (par inclusion). Par exemple on sait que la classe des Poissons est d’une extension inférieure à celle des Vertébrés parce que les premiers font partie des seconds ; et l’on sait que la classe des « Animaux » est d’extension égale à celle des « êtres vivants non végétaux » parce que ces deux classes sont identiques, c’est-à-dire incluses l’une dans l’autre, mais il est impossible de savoir si la classe des Poissons est d’extension égale, supérieure ou inférieure à celle des Mollusques faute d’inclusion de l’une dans l’autre (sauf à dénombrer les uns et les autres ou à les mettre en correspondance élément à élément, mais la question est précisément de savoir si ces opérations non intensives rentrent encore dans les opérations logiques). De même,

on ne sait pas si deux classes A et A’ co-incluses en une même classe B sont d’extension égale ou inégale, faute d’inclusion de l’une dans l’autre : les Vertébrés (A) et les Invertébrés (A’) sont d’extension impossible à comparer tandis que, si B = les Animaux, on sait que A < B et A’ < B.

Gette différence entre 1’« extension » logique et ^a « puissance » des ensembles met ainsi d’emblée en évidence l’opposition entre rapport exclusif de la partie au tout, seul à l’œuvre dans la logique intensive, et la mise en relation des parties entre elles, ou des totalités entre elles, propre à la logique des ensembles.

D’où la différence fondamentale entre la correspondance bi-univoque en usage dans la comparaison des ensembles (définition 31) et la correspondance bi-univoque qui intervient dans la multiplication logique des classes et des relations (groupements IV et VIII) : cette dernière est nécessairement qualifiée, c’est-à-dire ne met en correspondance deux termes que s’ils présentent une même qualité (ce qui les inclut dans une même classe) ou soutiennent entre eux une même relation (en compréhension) ; au contraire la correspondance bi-univoque propre à la théorie des ensembles est quelconque, c’est-à-dire qu’elle associe un terme quelconque de l’ensemble E à un terme quelconque de l’ensemble F pourvu qu’ils répondent au rapport « un à un ». Ici encore, la différence tient donc à ce que la correspondance logique procède par emboîtement de parties en des totalités, tandis que la correspondance mathématique est un rapport direct d’élément à élément ou de partie à partie.

Mais tout le problème est de savoir si ce sont là des différences apparentes ou des oppositions réelles : ce qui revient à demander si le nombre entier, produit des correspondances bi-univoques « quelconque » entre ensembles, est réductible à la classe et à la relation logiques, ou si une transformation opératoire des structures logiques elles-mêmes est nécessaire pour les généraliser en structures mathématiques.

La correspondance bi-univoque (quelconque) entre ensembles aboutit, en effet, à la construction des nombres entiers. Dire de deux ensembles finis qu’ils ont la même puissance signifie qu’ils contiennent le même nombre d’éléments. Bien plus « l’ensemble » N des entiers positifs peut être considéré comme l’ensemble des puissances des parties finies d’un ensemble infini ; la relation d’ordre x < y dans N n’est autre que la relation ordonnant cet ensemble de puissances ; et la somme de deux entiers positifs est une fonction

identique à la somme de deux « puissances d’ensembles » ou de parties sans éléments communs¹.

Or, ce passage si simple de l’équipotence de deux ensembles finis à l’égalité numérique de leurs éléments, ou, d’une manière générale, de la « puissance » au nombre cardinal, a naturellement conduit ceux des logisticiens qui, avec Frege et Russell, identifient la classe logique et l’ensemble à concevoir le nombre entier cardinal comme réductible à l’extension des classes. Du fait que l’on peut mettre deux ensembles en correspondance bi-univoque et tirer de ces correspondances des classes d’équivalence selon les diverses puissances, chaque nombre entier apparaît ainsi comme une classe déterminée : la classe de toutes les classes équivalentes entre elles par correspondance bi-univoque de leurs termes. Ainsi le nombre 0 sera la classe des classes vides, la classe 1 la classe des classes singulières, le nombre 2 la classe des duos, etc. Selon un exemple célèbre il suffira de mettre en correspondance bi-univoque les signes du zodiaque, les apôtres du Christ, les maréchaux de Napoléon, etc., pour obtenir le nombre 12. Ainsi toute distinction est abolie entre Farithmétique et la logique : celle-ci traite des classes simples sans présupposer le nombre, tandis que celui-ci procède immédiatement de la logique des classes, grâce à la construction des « classes de classes équivalentes » : « à un certain moment, dit ainsi Boll, cette notion de nombre s’impose, mais pour la définir il n’est nul besoin de recourir à quoi que ce soit de nouveau l’arithmétique est, à strictement parler, une simple branche de la logique² ».

De même le nombre ordinal n’est que la classe des relations sériales semblables entre elles. De ce que n objets peuvent être ordonnés de toutes les manières, on peut toujours (dans le fini) tirer de ces relations asymétriques transitives des relations d’ordre semblables entre elles : 0 → un premier objet → un second objet → … Le nombre ordinal n’est ainsi que l’ordre commun à tous ces ordres possibles, c’est-à-dire effectivement la classe des relations sériales semblables entre elles.

Or si la construction du nombre cardinal à partir de la puissance des ensembles est inattaquable, il n’en est nullement de même de sa

1. Bourbaki, op. cit., 1.1, p. 39-40.

2. Manuel de logique scientifique, p. ’442. Le réalisme de cet auteur va même si loin qu’il reproche aux mathématiciens de fonder le nombre sur la puissance : " C’est là une attitude contestable. Il apparaît au contraire fort naturel de définir le nombre n comme un ensemble dont on sait seulement qu’il a la puissance n » (p. 444-445). Autrement dit, en un panier de pommes, le nombre n’est pas dans la correspondance entre ces pommes et d’autres ensembles : il est dans le panier lui-même !

réduction à l’extension des classes logiques. H. Poincaré, L. Brunsch- vicg, A. Reymond et bien d’autres en ont montré les difficultés. Du point de vue de l’analyse des structures d’ensemble auquel nous nous sommes placés dans cet ouvrage, il est même évident qu’elle repose sur un cercle vicieux, puisqu’elle consiste à tirer le nombre de la classe logique en appliquant au préalable à celle-ci une opération qui n’appartient pas aux groupements de classes et qui y introduit à elle seule le nombre : la correspondance bi-univoque entre unités quelconques, par opposition à la correspondance qualifiée.

En effet, et ceci confirme pleinement ce que nous avons vu jusqu’ici de la différence des classes et des ensembles, mettre en correspondance bi-univoque les éléments de deux classes logiques en faisant abstraction des qualités qui définissent ces classes et distinguent ces éléments, c’est ni plus ni moins transformer ceux-ci en simples unités et les classes en ensembles d’unités : c’est donc réduire le nombre à la classe en introduisant à l’intérieur de celles-ci les conditions préalables d’un dénombrement proprement dit, alors qu’elle ne les comportait pas à elle seule.

La chose est d’autant plus facile à démontrer qu’il existe, comme nous l’avons vu, une opération logique de mise en correspondance bi-univoque : il suffira donc de déterminer la différence entre cette opération et celle qui définit l’équipotence des ensembles, pour mettre en évidence le cercle vicieux propre à la réduction de B. Russell. Soit, par exemple, un système de classes qualifiées K₁ dans lesquelles sont distribuées sous forme de classes singulières les diverses parties du visage : A₁ = le nez ; A₁ = le front (d’où B₁ = le nez et le front) ; Bj = l’œil gauche, etc., et soit B₂ un système formé des deux classes singulières A₂ = les parties du visage de Pierre et A₂ = celles de Paul. En multipliant B₂ par K₁ nous obtenons une correspondance bi-univoque qualifiée entre A₁A₂ ; AjA₂ ; B(A₂ ; etc et A₁A₂ ; AJA₂ ; BJA₂ ; c’est-à-dire que le nez de Pierre correspondra à celui de Paul, son front à son front, etc. Mais une telle opération ne consiste nullement à mettre en correspondance le nez de Pierre avec l’oreille droite de Paul, ce qui n’aurait pas plus de sens au point de vue des équivalences qualitatives qui caractérisent les classes logiques (par opposition aux équivalences entre unités qui caractérisent le nombre), que de construire une classe zoologique formée d’une étoile de mer et d’un kangourou. En effet si les termes A₁A₂ et A₁A₂j A₁A₂ et A{A₂; etc., se correspondent par couples, c’est qu’ils sont inclus dans les mêmes classes A_x; AJ,

Bj ; etc., dont chacune est définie par une équivalence exprimant la co-possession de certaines qualités (un nez, etc.). En dehors de tels co-emboîtements, la correspondance bi-univoque perd entièrement la signification qu’elle comporte en logique intensive des classes (c’est-à-dire dans ce qu’on appelle communément la logique des classes). Or, quand Russell met en correspondance les signes du Zodiaque, les maréchaux de Napoléon et les apôtres du Christ pour tirer de cette correspondance le nombre 12, il ne procède nullement au moyen d’une opération propre aux classes logiques, c’est-à-dire fondée sur des équivalences qualitatives : bien qu’il n’existe aucune qualité commune entre le signe du Cancer, le maréchal Ney et l’apôtre Pierre, il les relie par une correspondance directe comme il fait de n’importe quels autres éléments de ces mêmes classes, abstraction faite de toute équivalence qualitative. Mais alors il tombe sous le sens qu’il ne les traite plus en éléments logiques : l’équivalence qu’il introduit entre les termes correspondants devient une simple équivalence entre une unité et une autre unité : le Cancer, le maréchal et l’apôtre deviennent ainsi de simples unités arithmétiques, des éléments quelconques (et non plus qualifiés) d’ensembles équipotents. Il n’est, par conséquent, pas exagéré de dire que la réduction du nombre cardinal à la classe logique consiste ni plus ni moins à introduire le nombre dans la classe, grâce à l’élimination de toute qualité (c’est-à-dire de toute équivalence qualitative en compréhension), donc grâce à une transformation des éléments en unités homogènes, ce qui constitue déjà un dénombrement implicite.

Quant à la réduction du nombre ordinal aux relations asymétriques « semblables », il en va exactement de même. Se donner le droit de sérier des éléments de n’importe, quelle manière en considérant ces sériations comme « semblables » entre elles (voir pour la similitude la proposition 85), c’est dépouiller la relation sériale de toute qualité pour la transformer en un « ordre de succession » quelconque : c’est donc considérer les éléments comme de simples numéros d’ordre, et les relations qui les unissent comme une succession purement ordinale. Le processus est donc le même : en écartant toute qualité on arithmétise la succession de façon parallèle à la cardinalisation de la classe logique et, dans les deux cas, on sort du domaine de la logique intensive pour entrer dans celui de la logique extensive ou logique des ensembles.

Les objections que nous venons d’énoncer contre la réduction russellienne sont faciles à justifier par l’examen des formules elles-

mêmes. Supposons une classe L et une classe L’ (d’où L + L’ = M) multipliées toutes deux par une classe X. Il existera ainsi une correspondance bi-univoque qualifiée entre L et L’ du point de vue de X, soit L « — » L’. Mais si les classes partielles de LX correspondent ainsi aux classes partielles de L’X (selon le schéma rappelé à l’instant à propos des visages de Pierre et de Paul), il existera de ce fait même une correspondance bi-univoque qualifiée entre L (ou entre L’) et le tout lui-même (L + L’ = M). Soit :

(87) L « — » L’ donc L « — » (L + L’) c’est-à-dire L « — : »M

Par exemple, les principales pièces du squelette des Poissons correspondent à celles des Batraciens, puis des Reptiles, des Oiseaux et enfin des Mammifères ; elles correspondront aussi aux principales pièces du squelette des Vertébrés en général.

Au contraire, si deux ensembles finis E et F se correspondent bi-univoquement et réciproquement, cette équipotence ne s’étend pas à la correspondance entre E (ou F) et leur somme E + F. Si E a 20 éléments et F également, 20 ne correspond plus à 40. On a donc, si nous symbolisons l’équipotence par « — » (sans qualification X) et sa négation par « — H » :

(88) E « — » F donc E « -+- » (E + F)

Par exemple 20 « — » 20, donc 20 « — H » 40.

Une première opposition entre la correspondance bi-univoque qualifiée et la correspondance bi-univoque « quelconque » se manifeste ainsi dans la structure même de ces deux opérations, et cela par un caractère d’un grand intérêt : la correspondance bi-univoque qualifiée possède la propriété dite « réflectivité », c’est-à-dire que la partie (les sous-classes multiplicatives LX ou L’X) correspond au tout (à la classe multiplicative totale MX). Au contraire, l’équipotence ne possède pas la réflectivité dans le cas des ensembles finis. Par contre, et là est l’un des grands intérêts de cette opposition, les ensembles infinis présentent précisément la réflectivité. Par exemple l’ensemble des nombres pairs, qui constitue une partie seulement de l’ensemble des nombres entiers, correspond bi-univoquement à l’ensemble des nombres entiers, puisqu’il suffit de multiplier chaque entier par 2 pour obtenir la suite des nombres pairs :

1 2 3 4 5 …

2 4 6 8 10 …

Mais que la partie corresponde ainsi multiplicativement¹ au tout dans l’infini comme dans les multiplications bi-univoques de classes et de relations ne signifie en rien que les classes logiques soient infinies parce que le nombre de leurs éléments reste indéterminé. Au contraire, et ceci constitue une seconde différence fondamentale entre la logique et la théorie des ensembles, la distinction du fini et de l’infini ne présente aucune signification en logique proprement dite, puisque la quantité logique demeure intensive. La correspondance bi-univoque quelconque, qui (par ses mises en relations directes des éléments entre eux) constitue une quantification extensive et même numérique, est donc seule à conduire par ses généralisations successives aux diverses variétés d’infinis. D’autre part, si le transfini est réflectif, c’est (comme nous le verrons au paragraphe suivant) qu’il dissocie l’un de l’autre les deux éléments opératoires fondamentaux du nombre, c’est-à-dire la cardination et l’ordination, qui demeurent indissociablement unies dans le fini.

Une troisième différence fondamentale entre la logique et le nombre est qu’une puissance ou un nombre donnent lieu à une itération (n + n = 2n) tandis qu’une classe (comme d’ailleurs un ensemble, indépendamment de sa puissance) ajoutée à elle-même se tautifie : A + A = A. Si le nombre était une classe de classes, on ne comprendrait nullement cette exception à la règle générale de composition générale, car une classe de classes qualitatives se tautifie également, même lorsqu’elle est multiplicative :

(89) (M × X) + (M × X) = (M × X) ou MX + MX = MX

Russell et Couturat cherchent à lever cette difficulté en déclarant que si le nombre donne lieu à itération, c’est que « le même nombre » (en tant que classe de classes) peut s’incarner en deux collections différentes, lesquelles donnent alors lieu à une addition non-tautologique : 12 maréchaux + 12 apôtres = 24 individus. Mais c’est là une réponse bien fragile, car alors, de deux choses l’une : ou bien le nombre s’itère {n + n = In) parce qu’il résulte de l’addition des classes élémentaires qu’il met en correspondance, et, en ce cas, il ne constitue plus une classe de classes équivalentes par correspondance (c’est-à-dire un système relevant de la multiplication logique), mais une classe de classes additives (et alors la classe des classes formées des 12 signes du Zodiaque, des 12 maréchaux et des

1. Et non pas additivement. Pour la différence entre les équivalences additives et multiplicatives, voir le § 21.

12 apôtres devrait donner le nombre 36 et non pas le nombre 12) ; ou bien le nombre est bien une classe des classes équivalentes par correspondance bi-univoque, donc une classe au sens logique du terme (et constituant de ce point de vue un système multiplicatif), mais alors si toutes les classes de 12 éléments donnent ensemble le nombre 12, on ne comprend plus pourquoi cette classe de classes se compose sous la forme 12 + 12 = 24 et non pas 12 + 12 = 12.

Cette troisième difficulté de la thèse de Russell correspond exactement, dans le domaine de l’addition, à ce que représente la première dans celui de la multiplication. En effet, si les nombres finis ne s’itéraient pas, il y aurait réflectivité dans le fini comme dans l’infini. Comme ce n’est pas le cas, il faut trouver une explication à cette itération dans les mécanismes opératoires eux-mêmes qui sont à la source du nombre : or, la théorie de Russell est obligée de dissocier l’itération numérique des principes formateurs du nombre, en expliquant la formation de celui-ci par l’équivalence des classes réunies en une classe de classes et son itération par l’addition logique non plus des classes de classes, mais des classes élémentaires comme telles. Il y a là une équivoque fondamentale, qui subsiste inévitablement dans la réduction du nombre à l’extension des classes logiques. La théorie des ensembles y échappe pour sa part, parce que les ensembles de puissances n’y sont pas considérés comme des ensembles d’ensembles ou comme des ensembles de parties ; parce que la correspondance bi-univoque quelconque peut mettre directement en relation entre eux les éléments des ensembles disjoints ; et parce que l’addition de deux puissances repose par conséquent sur la réunion de ces ensembles sans éléments communs. Mais la logique des classes qualitatives (ou intensives), qui est exclusivement fondée sur les rapports de la partie au tout, ne saurait se prêter à une telle réduction sans tomber dans les cercles et les amphibologies que nous venons de constater.

Les difficultés propres à la thèse de Frege et de Russell ne sauraient cependant justifier une position radicalement dualiste comme celle adoptée par Poincaré et reprise par Brouwer, selon laquelle le nombre entier serait dû à une intuition sui generis sans rapport avec la logique. Qu’il existe des différences essentielles entre l’arith-

métique et la logique intensive, et même entre la théorie des ensembles et la logique des classes « faiblement structurées » n’exclut en rien la possibilité d’une généralisation qui, à partir des classes et des relations, conduirait aux ensembles et aux nombres. Mais il s’agit d’analyser en quoi consiste une telle généralisation sans projeter le nombre dans les classes sous prétexte de l’en faire sortir, et sans identifier d’avance les classes et les ensembles pour rendre leur réduction plus facile.

Le problème se pose alors dans les termes suivants. Toute la logique (nous l’avons vu pour les opérations intrapropositionnelles et allons le retrouver dans les opérations interpropositionnelles) repose sur les rapports d’emboîtements des parties dans le tout : « tous », « quelques », « un » (au sens de l’identité) et « aucun » sont les seules quantités que connaisse la quantification intensive. Les mathématiques ajoutent à ces rapports, dont elles partent également, la quantité extensive, issue d’une mise en relation des parties entre elles ou des totalités entre elles. La notion du « presque tous » propre à la théorie des ensembles (= tous sauf un nombre fini ou tous sauf un ensemble « faiblement représenté ») est ainsi une notion spécifiquement mathématique qu’ignore la logique. La correspondance bi-univoque « quelconque », qui permet de relier les éléments d’un ensemble à ceux d’un autre ensemble, imprime en outre à la quantité extensive un caractère numérique, en introduisant l’unité itérable et l’ordre des puissances. Comment s’effectue le passage de la quantité intensive, ou rapports des parties avec le tout, à la quantité extensive ou numérique, c’est-à-dire aux rapports des parties entre elles ? Telle est donc la question.

La structure spécifique des emboîtements intensifs est constituée par le « groupement », structure d’ensemble à compositions réversibles comme le groupe, mais contiguës, c’est-à-dire fondées sur les seules relations d’inclusion et de complémentarité. La structure du nombre repose au contraire sur le « groupe » : les nombres entiers positifs et négatifs, y compris le 0, forment, en effet, un groupe dont l’opération directe élémentaire est +1, l’opération inverse — 1, l’opération identique + 0 et dont toutes les opérations sont associatives ; deux quelconques de ces opérations composées entre elles donnent à nouveau une opération du groupe, c’est-à-dire un nombre entier positif, négatif ou nul. Le problème de la généralisation qui conduit des êtres logiques aux êtres mathématiques est donc d’expliquer le passage des groupements intensifs aux groupes numériques.

Une solution directe consisterait à assurer ce passage par une simple élimination des opérations tautologiques ou résorptions A + A = AetA + B = B (lorsque B = A + A’) propres au groupement. On se rappelle, en effet (§ 10), que l’addition des parties disjointes des ensembles constitue déjà à élle seule un groupe (le groupe de Boole-Bernstein). A ne considérer que les classes élémentaires A ; A’; B’; etc. du groupement I, qui sont elles-mêmes disjointes, on atteindrait ainsi directement la structure de groupe en se privant des résorptions : les opérations du groupe seraient alors : 1° Y addition de deux parties disjointes A + A’ ; 2° la soustraction (ou addition disjonctive d’une partie par rapport à elle-même) A ■— A ; 3° Yopération identique devenue unique A + O = A et A — A = O ; 4° Y associativité devenue générale. Or, comme l’addition des puissances repose précisément, en théorie des ensembles, sur l’addition des parties disjointes, le groupe de Boole-Bernstein conduit ainsi directement à l’addition arithmétique. Enfin l’unité numérique 1 serait fournie par la considération des classes singulières : si les parties A ; A’; B’; C’; etc. ne contiennent chacune qu’un seul élément, on aurait l’équipotence A = A’ = B’ = … ; deux parties quelconques donneraient alors le nombre 2, par exemple A + A’ = D’ + B’ =… = 2 ; trois le nombre 3 (F’ + A’ + D’ = 3); etc.

C’est bien ainsi que l’on peut interpréter de la manière la plus facile le passage du groupement additif des classes (I) au groupe des nombres entiers. Mais il importe de comprendre qu’un passage aussi immédiat n’est simple qu’en apparence et implique trois modifications essentielles de l’économie du groupement, modifications qu’il s’agit d’expliciter, pour en dégager le mécanisme logique, et non pas d’introduire de façon seulement implicite. 1° La première question est de comprendre comment les classes élémentaires A ; E’; C’; etc. peuvent être déboîtées des totalités qualifiées auxquelles elles appartiennent, de manière à être directement composées entre elles. En effet la logique des classes ne conçoit une sous-classe ou espèce que relativement à ses emboîtements (genre, etc.) et ne la définit même que per genus et differentiam specificam. Le passage du groupement I au groupe de Boole-Bernstein consiste, au contraire, à conférer une mobilité générale à ces classes élémentaires en les déboîtant de leurs inclusions et ceci demande à être explicité et non pas simplement postulé ; 2° le second problème est de saisir au nom de quel principe deux sous-classes ainsi déboîtées seront considérées comme des unités équivalentes entre elles : ici réappa-

raît la correspondance bi-univoque « quelconque » et il s’agit d’établir des rapports avec la correspondance qualifiée ; 3° enfin il est indispensable de montrer comment, si l’on introduit une équivalence entre.les classes élémentaires A ; A’; B’; C’; etc., on parviendra à substituer à la tautologie A + A = A l’itération 1 + 1 = 2, c’est- à-dire A + A = 2 A (puisque A = A’ = B’, etc.). En effet, on comprend bien que deux parties disjointes ne se taùtifient point : mais si on les considère en même temps comme équivalentes, c’est- à-dire comme substituables entre elles en toute composition (donc A’ = A, etc.) au nom de quel principe renoncera-t-on à la tauti- fication logique ?

Bref, le groupe de Boole-Bernstein, une fois détaché des autres compositions de classes, constitue une structure implicitement numérique, et c’est pourquoi il assure bien le passage des réunion^ d’ensembles à l’addition arithmétique. Mais il reste à expliquer le passage de la logique intensive des classes à la logique extensive des ensembles et des nombres. La vraie solution consiste donc, à cet égard, non pas à se priver de certaines opérations du groupement logique (tautifications) pour en ajouter du dehors certaines autres qui n’en font pas partie (équipotence) et retrouver ainsi directement le nombre : elle consiste à généraliser les opérations du groupement logique lui-même, en partant de son cadre restreint initial d’emboîtements de la partie dans le tout, de manière à atteindre par extensions successives les relations des parties entre elles.

Or, si nous partons du groupement additif des classes (I), l’opération qui peut être généralisée est la substitution, c’est-à-dire l’équivalence elle-même, constitutive des classes ; en effet les classes A et A’ sont équivalentes sous B (si B = A + A’) et sous C (si C = A + A’ + B’), etc., mais non pas sous A ni sous A’ ; les classes B et B’ sont équivalentes sous C, mais non pas sous B, B’, A’ ou A, etc. Quant à la généralisation de ces équivalences, elle s’obtient alors en sacrifiant le caractère propre aux classes logiques et dont le nombre fait de toute évidence abstraction : la qualification elle-même. En effet, une collection d’unités est par définition homogène, c’est-à-dire sans différences qualitatives entre une unité et une autre, tandis qu’une réunion de classes élémentaires même singulières est caractérisée par un ensemble de qualités différentielles qui limitent les équivalences et restreignent les substitutions. La première modification à introduire dans le groupement pour le transformer en un groupe numérique consiste donc à généraliser l’équiva-

lence ou la substitution, donc à faire abstraction de telles qualités. Posons donc une suite de classes élémentaires singulières A ; A’; B’; C’; etc. et demandons ce que deviendront les lois du groupement I :

A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C’= D ; etc.

Si, en écartant les qualités différentielles qui restreignent les substitutions, nous introduisons de ce fait une équivalence générale entre les classes élémentaires A ; A’; B’; C’; etc., cela reviendra à dire que A et A’ deviennent équivalents sous A et sous A’ et non plus seulement sous B ; que B’ devient équivalent à A et à A’ sous A, A’ ou B’ et non plus seulement sous C, etc. Par conséquent la classe B, initialement composée de A et de A’ seulement, pourra l’être aussi bien de B’ et de C’ par substitution de ces classes ■élémentaires à A et à A’ ; la classe C, initialement composée de A, A’ et B’ pourra l’être aussi bien de L’, M’ et N’ par substitution de ces classes élémentaires aux précédentes, etc. On aura ainsi, par substitutions progressivement généralisées, les équivalences suivantes :

(90) A = A’ = B’ = C’ = etc.

B = (A + A’) = (B’ + C’) = (D’ + E’) = etc.

C = (A -f- A’ + B’) = (C’ + D’ + E’) = (F’ + G’ + H’) = etc. etc…

Or, si nous restons fidèles aux lois du groupement, il est évident que le fait d’introduire une équivalence entre A et A’, non seulement sous la classe B (soit A < ^B > A’), mais sous A elle-même (soit A ÷→ A’) revient à les identifier, c’est-à-dire que l’on devrait avoir alors A + A’ = A et non pas A + A’ = B ; de telle sorte que les identités précédentes devraient aboutir à une tautologie générale : A = B = G = … = A. Comment y échapper ?

Ce problème, purement formel en apparence, pour ne pas dire factice, est au contraire très réel : il revient à demander comment, si l’on transforme les individus en unités équivalentes entre elles, on arrivera à les distinguer. Ce ne pourra plus être, par hypothèse, par leurs qualités différentielles, comme lorsque l’on dénombre des objets distincts, soit par leurs propriétés, soit par leur position dans l’espace ou dans le temps : nous avons, en effet, écarté toute qualité par la généralisation même des opérations de substitution. Quel sera alors le principe de la distinction ?

Or, nous avons constaté (§ 24) que le caractère dictinct des éléments démunis de propriétés contenus en un ensemble abstrait

ne saurait consister qu’en relations d’ordre, pour autant que l’on prétend ne pas limiter l’ensemble à un seul couple d’éléments distincts : « distincts » signifie alors « distingués successivement ».

Nous touchons ici au point le plus essentiel du passage de la classe et de la relation logiques au nombre : le nombre suppose, en effet, une synthèse opératoire de la classe et de la relation asymétrique. Il n’y a pas, comme le pensait Russell, de réduction possible du nombre cardinal, pris à part, à la classe comme telle envisagée isolément, ni du nombre ordinal pris à part à la relation asymétrique envisagée isolément, car, dans le fini, la cardination est indissociable de l’ordination. Pour expliquer le passage du logique au numérique, il s’agit donc de fusionner en un seul groupement l’addition des classes et celle des relations asymétriques. Seule cette fusion explique pourquoi des unités privées de qualité demeurent distinctes : seule, par conséquent, elle rend compte de l’élimination de la tautologie A + A’ = A (si A’ + A) au profit de l’itération 1 + 1=2 (ou A + A = 2 A), ce qui assure du même coup le développement du nombre jusqu’à l’infini.

En effet, si les classes singulières A ; A’; B’; etc.,ne se tautifient pas, quoique devenant équivalentes à cause de la suppression de toute qualité, c’est donc que, une fois la qualité écartée, réapparaît nécessairement l’ordre sous la forme d’un ordre d’énumération quelconque. Tant que ces classes singulières demeuraient qualifiées, elles ne comportaient pas d’ordre général, ce qui revient à dire qu’on pouvait les énumérer de diverses manières particulières. La classe C comprenait les classes élémentaires A, A’ et B’ que l’on pouvait énumérer dans cet ordre ou dans l’ordre B’, A, A’, etc. Mais tant que ces classes étaient qualifiées, chacun de ces ordres d’énumération se distinguait des autres : Pierre et Paul constitue un ordre d’énumération distinct de Paul et Pierre. C’est pourquoi les classes élémentaires demeurent, dans le groupement I, indifférentes à l’ordre, puisqu’elles ne comportent aucun ordre nécessaire. Au contraire, sitôt les classes singulières privées de leurs qualités et ainsi transformées en unités, Tordre A + A devient semblable à l’ordre A + A même si l’on a permuté les deux A : en effet, ceux-ci demeurent indistincts, à part précisément la possibilité de les ordonner. Cela revient à dire que tous les ordres possibles deviennent alors semblables, et qu’il y a donc dorénavant un ordre nécessaire, qui est précisément constitué par l’ordre commun à tous ces ordres possibles. En d’autres termes, quelles que soient les permutations effectuées

dans la suite A + A + A + il y aura toujours un A sans prédécesseur ( = le premier), un A suivant le premier ( = le second), etc.

On le constate alors : tandis que les classes élémentaires de la classification deviennent toutes équivalentes par une généralisation de l’opération de la substitution, déjà en jeu dans la construction même des classes, les relations asymétriques intervenant déjà dans l’ordre d’énumération logique deviennent toutes semblables entre elles par une généralisation analogue, mais portant cette fois sur l’ordre de succession. La série de départ est :

04a4a4b’4c4…

Mais, avec la substitution possible de A ; A’; B’; etc. devenus tous équivalents, il y a également permutation possible de toutes les relations élémentaires de succession, d’où leur équivalence :

(91) ^g> = 4 = 4 = etc.

d’où :

(92) 04A4A4A4…

Seulement, comme tous les ordres deviennent ainsi semblables, grâce à cette « similitude » généralisée, il se constitue alors un ordre unique, tel que :

(93) O 4 A = 4

0ΛA→A=4

O4A→A→A=→

dans lequel les relations 4 ; 4 ; 4i etc. prennent la signification de ce pur ordre de succession, non qualifié, qui intervient dans l’ordination des unités numériques.

Ainsi, par une double généralisation, indissociable et corrélative, de l’équivalence propre aux classes et de l’ordre de succession propre aux relations asymétriques, on procède du logique au numérique par fusion, en une seule opération + 1, de l’addition des classes et de l’addition des différences ordonnées ou relations asymétriques transitives :

(94) (₊O = θ4θ) = +0

(+ A = 04 A) = + 1

(+B = A + A = 04A4A) = + 2

(+ C = A + A + A = 04 A4 A4 A) = + 3

etc…

D’où les compositions du groupe additif des nombres entiers : + A = + 1 et l’itération A + A = A →- A = B, c’est-à-dire 1 + 1 = 2 et non plus A -f- A = A. Quant au groupe multiplicatif des nombres fractionnaires positifs, avec exclusion du 0 et dont l’opération identique est x 1, on l’obtiendra de la même manière à partir des groupements IV et VIII fusionnés en un seul système, tel que : »

(95) A × A = 1

B × A = (A 4-A) × (|“ A) = 2

aVA

B × B =  |“ = 4 ; etc.

a-Va

Trois conclusions s’imposent au sujet des développements précédents. La première est que, en interprétant ainsi le passage de la logique des classes et des relations au système des nombres, nous n’avons pas réduit le nombre à cette logique intensive, mais simplement marqué la continuité des transformations qui les relient. Nous avons montré qu’en généralisant les opérations constitutives de la classe et de la relation asymétrique, on obtient les nombres entiers, mais cette généralisation même fait sortir le nombre des cadres de la logique intensive. En effet, le nombre entier est une synthèse de la classe et de la relation asymétrique : il est une composition d’unités à la fois substituables et sériables. Or, tant qu’interviennent les qualités dont la présence caractérise la logique non mathématique, les éléments en jeu sont ou bien substituables (classes et relations d’équivalence) ou bien sériables (relations asymétriques), mais non pas les deux à la fois. Le nombre entier n’est donc ni réductible à la logique intensive ni radicalement distinct : il en constitue en un sens l’achèvement, mais par une synthèse opératoire nouvelle des opérations qui demeurent nécessairement séparées en logique.

En second lieu, le passage de la logique intensive au nombre s’effectue essentiellement par une généralisation aux rapports des parties entre elles ou des éléments entre eux des opérations que la logique applique aux seuls rapports des parties au tout. En effet, la transformation des groupements de l’addition des classes et de l’addition des relations asymétriques dans le groupe additif des nombres entiers revient à remplir les trois conditions suivantes,

qui toutes trois expriment la mise en relation des parties ou éléments entre eux, sans plus passer par le tout : 1° Suppression des limitations dues à la contiguïté, c’est-à-dire aux relations de complémentarité entre les classes (A et A’ sous B ; B et B’ sous C ; etc.), ce qui signifie une mise en relation directe des classes élémentaires entre elles ; ainsi le nombre déboîte les unités pour leur conférer une mobilité opératoire complète, tandis que la logique les maintient ‘emboîtées en des totalités de classes ou de relations en dehors desquelles elles perdent toute signification. 2° Généralisation de l’équivalence et de la similitude, ce qui signifie une substitution ou une permutation possibles entre n’importe quels éléments, indépendamment à nouveau de leurs emboîtements. 3° Suppression de la tautologie au profit de l’itération (par fusion de l’addition A + A et de l’addition +^g ), ce qui rend possible la composition directe de toute unité avec une autre. Ainsi les trois différences essentielles du groupement logique et du groupe numérique reviennent à libérer les éléments ou les parties de leurs totalités emboîtantes pour les relier directement les unes aux autres.

En troisième lieu, le fait de déboîter les classes élémentaires de leurs classes primaires emboîtantes (fait dont nous venons de noter les trois formes principales) transforme ces classes élémentaires en parties disjointes, c’est-à-dire en un système relevant du groupe de Boole-Bernstein. Il importe de noter à ce propos que le passage de la logique intensive à la théorie des ensembles, donc à la partie la plus générale des mathématiques, ne se limite nullement à ce qui précède. En plus de la construction du nombre, il y aurait à envisager tout le passage de la quantité intensive à la quantité extensive non numérique (dont le groupe de Boole-Bernstein ne donne qu’un exemple). Dans le cas d’ensembles infinis non dénombrables, comme un système d’intervalles emboîtés tendant vers un point limite, il intervient une suite de rapports « presque tous » qui relèvent d’une quantification extensive dépassant la logique intensive, sans pour autant impliquer une succession d’unités. Si l’on part des groupements I et V, il y a simplement alors mise en relation directe des parties ou des différences existant entre elles, par exemple sous la forme :

(96) A’> B’> C’> …

ou :

(97) 4 > 4- > 4 > …

Il y a donc, en ce cas, quantification extensive puisqu’il y a comparaison ordonnée des parties, mais sans que cette mise en relation atteigne une fusion de la classe et de la relation asymétrique, et par conséquent sans itération comme dans le cas des nombres entiers finis.

A cet égard l’exemple des nombres transfinis est particulièrement instructif. Dans le fini, les nombres cardinaux et ordinaux sont indissociables. En effet, le seul moyen de distinguer des unités cardinales équivalentes 1 + 1 + 1 … est de les ordonner. Réciproquement le seul moyen de distinguer des relations d’ordre

0 4 1 → 2→3 …

et de les dénombrer : dire « le suivant de 0 », « le suivant du suivant de 0 », etc., c’est, en effet, dénombrer les relations « suivant », de telle sorte que la seule différence entre le n^ème nombre ordinal et le n + l^ème est que n^ème vient après n — 1 prédécesseurs et que le n jème _est ]_e successeur de n prédécesseurs. Or, dans le transfini¹, les cardinaux n₀, n₁, 2ⁿ  » etc. et les ordinaux ω, ω + 1, ω^ω, etc., sont distincts : tous les ordinaux de la suite ω + 1, ω + 2,…, ω + ω ont en effet la même puissance n₀. La raison en est que dans le transfini il n’y a plus d’itération cardinale : on a χ₀ + χ₀ = n₀ et non pas 2n₀. Quant à la succession des ω, il ne s’agit que d’ordres distincts du même ensemble n₀, sans similitude généralisée. Mais cette dissociation de l’ordination et de la cardination, loin de contredire ce que nous avons vu à l’instant de la construction des nombres entiers finis, le confirme au contraire : le nombre n₀ n’est, en effet, plus un nombre proprement dit, puisqu’il redevient un simple ensemble : l’ensemble de tous les ensembles dénombrables. En un tel cas, il ne peut plus s’additionner à lui-même, et, faute d’itération, il n’y a plus fusion de l’ordination et de la cardination. L’itération est donc bien le produit de la synthèse opératoire entre la réunion des termes équivalents et leur sériation selon la relation d’ordre.

1. On appelle transfinis les ensembles dont la puissance dépasse celle des ensembles finis : ainsi le premier cardinal transfini est la puissance de tous les ensembles dénombrables.