Chapitre VIII.
Le raisonnement mathématique ^a 🔗

De même que personne n’a contesté l’application effective de la syllogistique aux mathématiques, mais que l’on a seulement soutenu l’insuffisance du syllogisme à rendre compte du raisonnement mathématique dans sa totalité (et dans ses aspects les plus spécifiques), de même chacun admet l’utilisation de la logique des propositions bivalentes dans la déduction mathématique : le problème ne s’en pose pas moins de savoir en quoi consiste cette utilisation et si cette logique suffit à supporter l’ensemble des constructions déductives des mathématiciens.

Il y a, en effet, deux manières de concevoir l’application d’un schématisme logique à des contenus formalisés grâce à lui et dont il représente ainsi la partie la plus « générale » : ou bien ce schématisme exprimera simplement ce qu’il y a de commun à toutes les structures, qu’elles soient mathématiques ou non, mais il n’engendrera pas leurs différences spécifiques et se bornera aux caractères les plus « généraux » dans le sens de la plus faible et non pas de la plus grande compréhension ; ou bien, au contraire, le schématisme atteindra la généralité au sens mathématique du terme, c’est-à-dire la source des structures particulières, source plus riche, quoique plus générale, que les spécifications tirées d’elle par différenciations progressives¹.

Or, nous avons constaté que les structures propres à la logique bivalente consistaient exclusivement en emboîtements (additifs ou multiplicatifs) de la partie dans le tout.et les complémentarités de diverses formes. La logique bivalente est donc, comme la syllogistique classique (et malgré les limitations artificielles de celle-ci), une logique du tout et de la partie, c’est-à-dire une logique purement « intensive » (définition 14) • e connaissant que la qualification du « tous », du « quelques », de 1’« un » (identité) et de 1’« aucun ». La question est donc en apparence fort simple : le raisonnement mathématique est-il, lui aussi, réductible à de purs rapports de partie à tout ou certains de ses éléments essentiels débordent-ils ce cadre étroit ?

Il est clair que les rapports intensifs, c’est-à-dire de partie à tout, et de complémentarité se retrouvent en mathématiques comme

1. Les deux types de généralisation sont liés à la distinction des classes « faiblement structurées » et des classes « structurées » que nous avons introduite dans les définitions 11 et 13.

ailleurs. Les aspects les plus généraux de la théorie des ensembles se confondent, en particulier, avec la logique intensive. Mais, en plus dê tels rapports intensifs interviennent immédiatement (et cela dès la théorie des ensembles) des relations extensives de partie à partie, qui supposent les relations de partie à tout, mais qui les dépassent (voir chap. IV). Il est donc facilement compréhensible que la logique bivalente s’applique à tous les domaines des mathématiques comme à n’importe quelle connaissance : seulement, il s’agit de savoir si ce schématisme des emboîtements de partie à tout constitue le caractère le plus général des diverses formes d’interférence dans le sens de la généralité la plus riche ou de la généralité la plus pauvre : cela revient donc à se demander si toutes les liaisons intervenant dans le raisonnement mathématique sont réductibles aux rapports intensifs de partie à tout et sont dérivées d’eux seuls (généralité la plus riche), ou si au contraire les relations intensives n’expriment que le cadre extérieur de toutes les liaisons sans que l’on puisse déduire de ce cadre le détail de celles-ci (généralité la plus pauvre).

Or cette question, si simple en apparence, s’avère en fait d’une surprenante complexité, car, sous le jeu formel des notions définies et des indéfinissables ou des propositions démontrées et des indémontrables, il y a le jeu réel des opérations qui les engendrent et que l’on ne parvient jamais à expliciter complètement. Il en résulte que la filiation entre les structures générales et les structures particulières est singulièrement plus malaisée à établir qu’il ne pourrait sembler par le fait que la solution du problème est à chercher dans l’analyse du mécanisme opératoire sous-jacent et non pas seulement dans celle des notions ou des propositions choisies comme axiomes.

Nous nous retrouvons donc, quant aux relations de la logique bivalente avec le raisonnement mathématique, en présence de difficultés analogues à celles que nous avons rencontrées à propos des rapports entre le nombre entier et la classe logique : ce sont d’ailleurs, à vrai dire, les mêmes difficultés, mais généralisées sur le plan interpropositionnel. De même, en effet, que les relations d’équipotence entre deux ensembles permettent d’engendrer les ensembles de puissances qui fondent le nombre entier, de même les liaisons entre les ensembles de parties conduisent à considérer un certain nombre de transformations générales qui se retrouvent en algèbre, en topologie, en analyse, etc. ; il semble alors aisé de procéder à la fois de la classe — image logique de l’ensemble — au

nombre cardinal, et de la logique bivalente des propositions — dont les opérations sont isomorphes aux transformations élémentaires des ensembles de parties — à la déduction mathématique en sa totalité. En tant que chapitre le plus général de la théori^ des ensembles, laquelle constitue elle-même le chapitre le plus général des mathématiques, la logique serait ainsi la source directe des mathématiques. C’est de cette manière que raisonnent un grand nombre de logiciens, qui pensent mieux servir par cette réduction la cause des mathématiciens. Mais cette position soulève un problème fondamental, dont l’impossibilité où l’on s’est trouvé jusqu’ici de démontrer par des moyens logiques la non-contradiction de l’arithmétique révèle à elle seule la gravité.

Il est certes possible de s’installer, dès le départ, dans un réseau d’ensembles conçus sous la forme la plus abstraite (et admettant notamment l’infini), pour considérer ensuite les classes et les relations de la logique intensive comme un simple cas particulier (et une toute petite section finie) de cette structure générale. Mais les ensembles généraux dont on peut ainsi tirer à volonté soit le nombre, soit la classe logique comportent-ils alors une structure opératoire plus complexe ou moins complexe que celle-ci ? Toute la question est là et c’est à son sujet que se précise nécessairement le problème des deux types de généralité. S’ils ne font intervenir aucune opération de plus que celles dont témoigne la classe logique, ils pourront être conçus légitimement comme plus généraux : la logique intensive sera donc à considérer comme une simple application de la théorie des ensembles, et la généralité la plus grande sera de ce fait même la plus riche, en tant que source commune de toutes les structures différenciées. Mais si la structure abstraite posée initialement comporte au contraire certaines opérations dépassant le cadre des liaisons intensives, de quel droit la concevoir comme plus générale ?

Or, nous l’avons vu (§ 23-25), si un ensemble est défini au départ d’une manière qui pourrait s’appliquer sans plus à la classe intensive¹, il revêt immédiatement des caractères dépassant ceux de la classe : il suffit ainsi que ses éléments soient mis en correspondance parfaite avec ceux d’un autre ensemble pour qu^jil cesse de constituer une classe intensive et acquiert une « puissance ». Est-il alors plus ou moins général que la classe ? Si l’on néglige les opérations

1. Voir § 23 la citation de Bourbaki.

qu’il faut faire intervenir pour effectuer une telle correspondance « quelconque » (voir § 25), on pourrait répondre qu’il l’est plus, car toute classe finie est un ensemble dénombrable et peut être mise en correspondance avec d’autres. Mais du point de vue des opérations elles-mêmes, la classe intensive est plus générale en tant que comportant exclusivement des relations de partie à tout, tandis que l’ensemble dénombrable et la correspondance bi-univoque « quelconque » y ajoutent celles de partie à partie ou d’élément à élément et dépassent ainsi les simples rapports d’inclusion et de complémentarité.

C’est de cette même manière que se pose maintenant le problème des inférences mathématiques. Celles-ci comprennent, à titre de cas particulier, la logique des propositions bivalentes, cela est évident. Mais lui sont-elles réductibles (comme on a voulu réduire le nombre à la classe), ou ajoutent-elles aux opérations interpropositionnelles élémentaires certaines liaisons qui n’y sont point contenues (comme la correspondance bi-univoque « quelconque » doit être adjointe du dehors à la classe lorsqu’on veut transformer cette dernière en nombre)? La même question des rapports entre l’intensif et l’extensif se retrouve donc nécessairement ici ; et surtout le même problème relatif à la notion de « généralité » (dans des généralités plus pauvres ou plus riches). Depuis que les logiques polyvalentes ont montré la généralisation possible de la logique bivalente, le problème est, en effet, de savoir-en quoi consiste la logique la plus générale, et si elle est de nature mathématique ou simplement intensive.

Ces questions se sont d’abord posées sur le terrain de la syllogistique classique, dont il est vite apparu qu’elle ne suffisait pas à rendre compte de la déduction mathématique. Si les solutions fournies durant cette première phase de la discussion sont aujourd’hui dépassées, du fait des progrès réalisés par le calcul des propositions, il n’en est que plus instructif de les comparer à l’état actuel des problèmes.

La logique anglaise du xιx^e siècle a soumis le syllogisme à une double critique. Critique externe, d’une part_r consistant à opposer sa stérilité à la fécondité de l’induction expérimentale : le syllogisme intervient après seulement que celle-ci ait fourni les pré-

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•f

misses, et se borne à en dérouler le contenu de façon purement tautologique. Critique interne, d’autre part, consistant à différencier les diverses formes possibles de copules et à construire une algèbre des classes et des relations mieux adaptée au contenu du raisonnement mathématique. Or, tandis que cet élargissement de la logique aboutissait, dans l’œuvre mémorable de Russell et Whi- tehead, à une réduction du mathématique au logique et notamment à une interprétation (déjà indiquée par Peano) de l’axiome de récurrence par la logique des relations, la même double critique de la syllogistique classique déclenchait un autre courant de pensée, surtout représenté en France, et tendant à opposer le raisonnement mathématique au syllogisme, même élargi et généralisé.

L’induction expérimentale est féconde, disait Poincaré, parce qu’elle constitue une généralisation progressive, mais elle manque de rigueur dans la mesure où celle-ci s’appuie sur de simples jugements de probabilité. Le syllogisme, par contre, est rigoureux, mais demeure entièrement tautologique. Le raisonnement mathématique présente alors cette originalité d’être à la fois une généralisation graduelle et une déduction entièrement rigoureuse : il ressemble donc à l’induction par son caractère généralisateur, mais sans partager son manque de rigueur, et s’apparente au syllogisme par son caractère de nécessité interne, sans pour autant connaître son infécondité. Or, le caractère tautologique de la syllogistique provient du fait que sa structure entière se réduit à l’emboîtement de la partie dans le tout : le syllogisme se borne à nous apprendre, dit ainsi Poincaré, que deux soldats appartiennent à la même brigade s’ils sont du même régiment ! Au contraire le raisonnement mathématique repose sur des structures beaucoup plus différenciées, telles la notion de groupe et la succession des nombres entiers. C’est donc dans 1’« intuition du nombre pur », comme dit Poincaré, c’est-à-dire dans la certitude que nous avons de pouvoir indéfiniment ajouter une unité aux précédentes, qu’il faut chercher l’originalité du raisonnement mathématique : le modèle en est par conséquent le raisonnement par récurrence, selon lequel une propriété vraie pour n —   O, et vraie pour n + 1 si elle est vraie de n, est valable pour tous les nombres. Un tel raisonnement est irréductible au syllogisme puisqu’il enveloppe une infinité de propositions liées entre elles ; il est d’autre part, fécond comme l’induction, puisqu’il procède par généralisation de la partie au tout, mais il est rigoureux puisqu’il s’appuie sur un dénombrement complet.

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L’hypothèse de Poincaré a donné lieu à une série de réserves, formulées de divers points de vue : de celui de la logique intuitive courante, chez Goblot, et de celui de la logistique formelle, chez Russell. Mais cette solution sans cesse attaquée rebondit cependant, malgré son caractère un peu trop limité, avec une vitalité indéniable après chacune des crises de la logique mathématique contemporaine. Aussi la retrouverons-nous plus loin et pouvons-nous commencer par examiner la position de Goblot¹.

Deux circonstances empêchent Goblot d’admettre l’interprétation de Poincaré : l’une est que le raisonnement par récurrence est. limité au nombre entier, alors que la déduction mathématique déborde celui-ci de beaucoup ; l’autre est qu’il contient déjà des démonstrations préalables, puisque, avant de généraliser une propriété à tous les nombres, il s’agit de démontrer qu’elle est vraie de n = O et que si elle est vraie de n elle l’est encore de n + 1. Mais Goblot se borne alors à remplacer la solution de Poincaré par trois thèses corrélatives que l’on peut résumer comme suit : 1° que déduire revient à construire la conclusion au moyen des prémisses et cela au moyen d’opérations analogues à des actions matérielles,, mais mentalement exécutées ; 2° que cette construction est’réglée non pas grâce aux règles de la logique, mais grâce aux propositions antérieurement admises ; 3° que ces propositions antérieures sont appliquées à la construction nouvelle par le moyen du syllogisme lequel retrouve ainsi son emploi à titre d’auxiliaire et non plus de facteur principal de la déduction.

La solution de Goblot constitue donc un mélange de psychologie du raisonnement et de logique, et elle en demeure à cet état indifférencié à cause de la position toute négative prise par cet auteur à l’égard de la formalisation logistique (voir § IV). Comme il arrive toujours en pareil cas, l’absence d’un algorithme précis empêche l’élaboration logique, c’est-à-dire là construction d’une structure bien définie, cependant que l’analyse psychologique demeure incomplète².

Du point de vue logique, peu importe d’où proviennent les opérations sur lesquelles repose la déduction : le seul problème est de

1. Traité, § 163-168, p. 257 et sq.

2. Cette dernière ne nous concerne pas ici et nous ne la discuterons donc pas. Signalons seulement que Goblot a eu le mérite d’apercevoir que l’action matérielle est déjà à elle seule opératoire et que de construire une figure ou de réunir des objets comporte déjà une logique, reliée à celle des opérations mentalisées par tous les intermédiaires. Seulement, il a bien simplifié les choses en faisant de celles-ci, avec Mach et Rignano, une simple imagination de l’action réelle, alors que l’opération est une action aussi effeclive que l’action réelle, mais réversible et portant simplement sur des objets symbolisés.

savoir comment elles se déterminent les unes les autres. Or, dire que toute déduction est une construction signifie sans plus qu’elle consiste en certaines compositions dont la structure reste à définir. Si Goblot avait consenti à utiliser la logistique, il aurait vu que les structures de la logique des propositions constituent précisément de telles constructions, dont la syllogistique représente un cas particulier, insuffisamment formalisé, et qu’ainsi les opérations interpropositionnelles suffisent à rendre compte de la déduction sans avoir à recourir aux actions matérielles qu’elles prolongent simplement. D’un tel point de vue, affirmer que la déduction est une construction est une évidence ; mais n’affirmer que cela reviendrait à se satisfaire de l’énoncé même du problème. La seule question intéressant la logique est de savoir en quoi consiste cette construction, non pas quant à son mécanisme mental, mais quant à son réglage formel ou normatif.

Or, c’est ici que la solution de Goblot marque à la fois son originalité et son inconsistance inquiétante : la construction déductive, autrement dit les diverses formes de composition opératoire (intra ou interpropositionnelle), ne comporterait pas de réglage proprement interne, mais simplement un réglage en quelque sorte extérieur : les seules règles de la déduction seraient, non pas celles de la logique, mais les propositions de départ appliquées, grâce au syllogisme, à des conclusions non contenues en elles. De deux choses l’une, alors : ou bien, le syllogisme redevient la règle suprême, permettant d’éviter la contradiction entre les prémisses et les conclusions, et il n’y a plus en ce cas « construction », mais préformation des conclusions dans les prémisses, ou bien il y a « construction » nouvelle et celle-ci, simplement limitée par l’obligation de ne pas contredire les propositions antérieures, demeure arbitraire dans la mesure où elle est nouvelle.

La vérité est que, faute de formuler les opérations dont est faite la « construction » déductive, Goblot n’a pas vu que ces opérations forment, par leurs compositions mêmes, un système à la fois fécond et rigoureux, mais rigoureux parce que réglé du dedans et non pas de l’extérieur : ce sont alors les principes de réversibilité (complémentarité, réciprocité et corrélativité) qui assurent la cohérence du système, tandis que sa fécondité est due à la possibilité des transformations. Mais alors se pose à nouveau dans toute son acuité le problème soulevé par Poincaré et non résolu par Goblot : pourquoi certaines transformations sont-elles vite épuisées tandis que

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d’autres paraissent illimitées ? Est-ce simplement l’opposition du nombre et de la classe qui marquent la ligne de démarcation entre le raisonnement mathématique et la déduction par simples emboîtements, ou existe-t-il une frontière différente ?

Il était naturel que Russell, qui conçoit le nombre comme réductible à la classe, s’efforçât de réduire de même le raisonnement par récurrence à un simple emboîtement de classes ordonnées : « Si nous définissons les « quadrupèdes comme des animaux qui ont quatre pieds », il s’ensuivra que tout animal qui aura quatre pieds sera un quadrupède ; le cas des nombres soumis au régime de l’induction mathématique est exactement le même.¹ » Il est vrai qu’il s’y ajoute l’ordre, mais, de ce point de vue aussi, il n’y a rien dans l’induction mathématique qu’une vérité purement logique : « ce qui peut être inféré du voisin au voisin peut être inféré du premier au dernier »². Par exemple si le fils d’Atrée est un Atride et que son petit-fils l’est aussi, tous ses descendants le seront de proche en proche par transfert de ce caractère du précédent au suivant. On ne saurait donc trouver, selon Russell, aucun mystère dans le raisonnement par récurrence, et Poincaré a embrouillé sans motif ce qui dérive des rapports logiques les plus élémentaires.

Nous voici effectivement au centre du problème des rapports entre la logique bivalente et la déduction mathématique. Le raisonnement par récurrence, dit Poincaré, est irréductible à la pure logique, parce qu’il suppose un passage, non pas de la totalité emboîtante à la partie emboîtée ou l’inverse, mais de 1 (ou 0) et de n→ (n + 1) à O… oo. Nullement, répond Russell, « l’induction mathématique est une définition et non un principe »³ : « une propriété est dite héréditaire, dans la série des nombres naturels, si toutes les fois qu’elle appartient au nombre n elle appartient aussi à n + 1, le successeur de n. De même une classe est dite héréditaire si toutes les fois que n en est membre, n + 1 en fait aussi partie […] Une propriété est dite inductive lorsque c’est une propriété héréditaire appartenant à O. De même une classe est dite

1. Introduction à la philosophie mathématique, p. 41.

2. Ibid., p. 42.

3. Ibid., p. 41.

inductive lorsqu’elle est héréditaire et contient O »¹. Cela posé, il est clair que les inférences portant sur de telles classes permettront le passage de O et de n → (n + 1) à l’ensemble des nombres jusqu’à l’infini.

Pure affaire de définition, dit ainsi Russell. Si l’on veut, mais il reste qu’en définissant une classe inductive par le passage de n à n + 1 on introduit des opérations nouvelles par rapport à celles permettant de s’assurer que tous les quadrupèdes auront quatre pieds et que tous les descendants d’Atrée seront des Atridθs. Dans le cas des quadrupèdes on construit un simple emboîtement de partie à tout ; dans celui des Atrides on se fonde sans plus sur les relations asymétriques transitives de filiation ; mais, dans le cas du passage de n à n + 1, on fusionne les opérations de classes et de sériation en une synthèse opératoire différente, en son mécanisme, de ces opérations prise à l’état isolé : on synthétise ainsi deux « groupements » intensifs en un « groupe » numérique en introduisant tous les caractères qui distinguent ce groupe du groupement. Construire une classe ou une sériation intensives ne consiste, en effet, qu’à réunir les individus selon une relation commune d’équivalence qualitative (analogie des organes, même si l’on dénombre quatre pieds) ou une suite de relations asymétriques qualifiées (fils, petit- fils, etc.) ; tandis que construire la suite des nombres inductifs consiste à les engendrer par addition de l’unité, c’est-à-dire d’un terme simultanément substituable (classe) et sériable (relation asymétrique). En son contenu, le raisonnement par récurrence diffère donc des opérations intrapropositionnelles non mathématiques autant que le nombre diffère des classes et des relations intensives (voir § § 25-26).

Mais qu’en est-il de sa forme, qui seule nous intéresse ici ? La solution de Russell pourrait être interprétée dans le sens que voici : une fois le contenu assuré par des définitions convenables, la forme interpropositionnelle du raisonnement par récurrence serait identique à celle d’une inférence quelconque empruntée à la logique bivalente. Or, c’est ici que joue à plein l’isomorphisme que nous avons sans cesse reconnu entre les structures interpropositionnelles et les structures de « classes de classes » constituées par les arguments vérifiant les propositions en jeu. Nous avons constaté, en particulier, que l’implication (p ⊃ q) correspondait à l’inclusion (P < Q)

1. Ibid., p. 35.

et que, si (p d q) se décompose en (p • q) ∨ (p • q), (= p’ ■ q), et (p ■ q), c’est que l’inclusion (P < Q) suppose, si (P ≠ Q), la complémentarité (P + P’ = Q) où P’ = Q — P. Qu’en sera-t-il donc, si le raisonnement par récurrence, au lieu d’avoir pour contenu les classes de classes purement intensives (P + P’ = Q) et (Q + Q’ = R), comme dans l’inférence [(p 1 q) ■ (q 1 r)] 1 (p i r), comporte à titre de contenu les classes de classes de caractère numérique que constituent les nombres inductifs ?

Il suffit, pour le comprendre, de comparer la structure du raisonnement par récurrence à un groupement d’implication (p 1 q) ;

(q 1 r) ; (r 1 s) ; etc. On se rappelle, en effet (§ 39, sous B), que toute suite d’implications peut s’écrire sous la forme (p ∨ p’ = q) ; (q ∨ q’ = r) ; (r ∨ r’ = s) ; … ou (p • p’ = q ; q • q’ = r ; r • r’ = s ; …), ce que nous transcrirons sous la forme la plus faible :

(334) (pvp’)iq ; (qvq’)ir ; (r ∨ r’) 1 s ; etc.

D’où il suit que l’on a :

(334 bis) p 1 q ; pir ; pis ; etc.

Mais il en résulte aussi que p ne saurait impliquer p’, ou q’, etc. :

(335) (p 1 p’) ; (p 1 q’) ; (p 1 r’) ; etc.

Écrivons, d’autre part, le raisonnement par récurrence sous la forme : _l

(336) [(p ») ∙ (p_n z>p_n+l)] 1 Po — ∞

c’est-à-dire si p est valable pour O et si « p valable pour n » entraîne

« p valable pour n + l », alors p est valable pour O…oo.

Appelons maintenant p la proposition « p valable pour n = l » ; q la proposition « p valable pour n = 2 » ; r la proposition « p valable pour n = 3 » ; etc. On a donc (p iq) ; (p 1 r) ; etc. ; (q 1 r) ; (q 1 s) ; etc.

Or, si l’on a (piq); (qir); etc., on doit avoir aussi (p’iq);

(q’ 1 r) ; etc., puisque :

(p ³ g) = [(p ^v p’) ³ g] ; (g ³ r) = [⅛ V q,) 1 r] ; etc.

Effectivement, si « p valable pour n = 2 » (soit q) implique « p valable pour n = 3 » (soit r), on a également à considérer une proposition q’ correspondant à 3 — 2 = l, qui signifiera donc « p valable pour l » et qui impliquera-également r. De’ même, si r

_κ I

(= p valable pour 3) implique s (= p valable pour 4), on aura une proposition r’ ( = p valable pour 4 — 3 = 1) qui impliquera aussi s, etc. Bref, on peut écrire dans le cas du raisonnement par récurrence comme dans celui de toute suite d’implications du type (334) : (p ∨ p’) 3 q ; (q ∨ q’) d r ; (r ∨ r’) d s ; etc., et l’on aura : p’ = p valable pour 1 ; q’ = p valable pour 1 ; r’ = p valable pour 1 ; etc.

Mais on voit alors la différence essentielle qui oppose cette structure déductive et celle du « groupement » ordinaire (p 3 q) ; (q ⊃ r) ; etc. En effet, au lieu d’avoir (p 3 p’) ; (p 3 q’) ; etc., on a, au contraire (p 3 p’) ; (p 3 q’) ; (p 3 r’) ; etc. :

Si dans (p ∨ p’) d q ; (q ∨ q’) 3 r ; (r ∨ r’) 3 s ; etc., on a p = « p valable pour 1 »; q= « p valable pour 2 »; r = « p valable pour 3 »; etc…, et p’ = « p valable pour 2 — 1 » ; q’ = « p valable pour 3— 2 »; etc., alors :

(337) p ? p’ ; p d q’ ; etc. ; p’ 3 q’ ; q’ 3 r’ ; etc.

Autrement dit les propositions p, p’, q’, r’, etc., sont toutes équivalentes et sighifient toutes « p valable pour l’unité ajoutée au nombre précédent ». Au lieu de se trouver en présence d’une suite de propositions dont chacune est impliquée par deux propositions élémentaires, l’une primaire (p, q, r, etc.), et l’autre secondaire (p¹, q’, r’, etc.), mais ne s’impliquant pas entre elles (proposition 334 et 335), on obtient donc une suite de propositions s’impliquant entre elles, et impliquées par des propositions élémentaires toutes équivalentes signifiant « p valable pour l’unité ajoutée aux précédentes ». Le raisonnement par récurrence aboutit ainsi à une équivalence généralisée et présente par conséquent une structure particulière, qui est à celle des « groupements » d’implications ce que la structure du groupe additif des nombres entiers est à celle des « groupements » de classes. Bien entendu, les groupements interpropositionnels peuvent s’appliquer aux nombres comme à tout, mais ils sont plus pauvres que le système des implications en jeu dans le raisonnement par récurrence et ne sauraient en rendre compte¹. C’est sans doute pourquoi la logique interpropositionnelle ne suffit point à démontrer la non-contradiction de l’arithmétique, comme nous y reviendrons au § 51.

La raison en est qu’une implication bivalente (p 3 q) n’exprime rien de plus qu’une sorte de dictum de omni et nulle : ce qu’affirme q

1. La démonstration qui précède vaudrait également, mutadis mutandis, dans le cas où l’on comparerait le raisonnement par récurrence au groupement :

(p • p’) = q ; (q ■ q") = r ; etc.

est affirmé dans p sans que la réciproque soit vraie ; d’où l’existence de l’implication (p’ ⊃ q) signifiant que q est aussi affirmé dans p’, bien que p et p’ ne s’impliquent pas mutuellement. Le passage de la proposition « p valable pour n » à la proposition q, signifiant « p valable pour n + 1 » exprime au contraire une implication (p d q) telle que q découle de p (correspondant à n) et de p’ (correspondant à n + 1) parce que l’on a simultanément (p g p¹) et que ⅛ = p ∨ p’). Il s’y ajoute que l’équivalence (p = p’), ( = q’ = r’ = etc.), n’est pas une identité, puisqu’il s’agit chaque fois d’une nouvelle unité ajoutée aux précédentes, c’est-à-dire d’une proposition distincte à effet cumulatif et non pas tautologique. Bref, on retrouve dans le raisonnement par récurrence, comparé à la logique bivalente, toute la différence existant entre l’itération (1 + 1 = 2) et la tautologie des classes et des relations (A + A = A) et (a + a = a). On a en effet (p = p’), mais on a (p ∨ p’) ≠ p puisque (p ∨ p’) = q. L’équivalence (p = p’ = q’ = etc.) est donc intraduisible en simples équivalences logiques (bivalentes).

La différence fondamentale entre le raisonnement par récurrence et les inférences logiques bivalentes est, en définitive, celle-ci : la logique bivalente ne connaît que le rapport de la partie au tout et ne détermine la partie qu’en fonction du tout par un jeu de complémentarité caractérisant les opérations inverses et réciproques. Le raisonnement par récurrence est, au contraire, un passage de l’élément à la totalité par composition graduelle des parties, les unes en fonction des autres. L’implication (p_n d p_n+1) est donc irréductible à l’implication bivalente (p d q) : elle exprime une loi de construction et non pas un simple emboîtement.

Ces remarques ne signifient naturellement pas que le raisonnement par récurrence épuise la déduction mathématique. Mais si le fait qu’il porte sur des structures numériques la différencie pareillement des inférences simplement logiques, il en sera de même, à des degrés divers, des raisonnements dont la structure impliquera la quantité extensive en général (le « presque tous » ¹, etc.). Mais le raisonnement par récurrence fournit un premier exemple de l’irréductibilité de

1. Voici par exemple la définition de la « limite » que donne Bourbaki (Livre III : Topologie générale, p. vi) : « Un nombre réel a est limite de la suite si, quel que soit le voisinage V de a, ce voisinage contient tous les a„ sauf un nombre fini ; autrement dit si l’ensemble des n pour lesquels α_n appartient A V est. une partie de N [l’ensemble des nombres entiers] dont le complémentaire est fini. » Le « presque tous » qui intervient ici est un emboîtement en un même tout N des complémentaires A et A’ tel que A > A’, ce qui dépasse la logique (tous et quelques) sans impliquer une détermination par récurrence. L’implication correspondant à (A < N), (A’ < N) et (A> A’) n’en débordera pas moins la structure de l’implication bivalente (p aq).

certaines implications à l’implication bivalente (p 3 q), bien que leur structure formelle comporte un élément commun : cet élément commun est la relation de partie (p) à tout (q), tandis que l’élément spécial à l’implication mathématique est le rapport direct de partie à partie (p 3 p’).

Comme nous l’avons vu au chapitre IV, la différence entre les mathématiques et la logique tient essentiellement, sur le plan interpropositionnel, au passage des opérations finies à celles qui sont généralisables à l’infini. Cela est particulièrement clair dans les relations que soutient le principe du tiers exclu avec les ensembles infinis et c’est à cette occasion que le problème s’est trouvé transposé sur le plan interpropositionnel et lui-même.

Dès 1907, Brouwer, suivi ensuite par Weyl et bien d’autres, a pris une position qui renverse totalement celle de Russell et des logisticiens, visant à la réduction pure et simple du mathématique au logique : la vérité propre aux liaisons mathématiques ne serait assurée que par leur construction effective et la logique dépendrait ainsi de la mathématique au lieu de la dominer. Ce point de vue de Brouwer a été l’une des sources de la logique trivalente et il en est d’autant plus intéressant d’analyser les mobiles de cette inversion générale des valeurs, qui marque un nouveau tournant dans la théorie de la déduction mathématique.

La raison de ce revirement a, en effet, tenu aux doutes éprouvés par Brouwer quant à la validité de certaines démonstrations pourtant courantes¹. Soit un ensemble E et une certaine propriété A. On démontre qu’il est faux que A s’applique à tous les éléments de l’ensemble : peut-on alors en conclure qu’il existe au moins un élément de l’ensemble jouissant de la propriété non-A ? Telle est la première question, et en voici une seconde, qui lui tient de près : étant donné un élément qui présente la propriété B, au nom de quels critères sera-t-on assuré que B équivaut à non-A (c’est-à-dire à A) ? Soit : _ _ _ _

a) A 3 B b) B 3 A c) B 3 A et d) A 3 B

d’où (a etc) l’équivalence (e) A= B ; et (b et d) l’équivalence (î)B= A.

1. Voir pour ce paragraphe R. Wavre, Y a-t-il une crise des mathématiques ?, Revue de métaphysique et de morale, t. 1924, p. 445-470.

x l

Les deux questions posées à l’instant reviennent alors à demander s’il est légitime d’écrire (A — B) et d’admettre (A w A) ; autrement dit : quelle est la portée du principe de non-contradiction (A • A = 0) dans le cas (A = B) et quelle est la légitimité du principe du tiers exclu (A w A) ?

Sur le premier point, Brouwer a pris une position qui annonçait en un sens la découverte de Gœdel : sans contester la valeur universelle (c’est-à-dire intéressant l’infini comme le fini) du principe de contradiction, il a insisté sur les difficultés de son application aux collections infinies. Seules des évidences extralogiques permettent, en effet, de considérer les attributs A et B comme la négation l’un de l’autre. Dans le cas d’une classe d’objets en nombre fini, il est certes légitime de poser les implications a) à d) et d’en tirer les équivalences e) et î). D’où :

(338) Si (A = B) et (B = Â) alors (A • B = A - A = O) ♦

Mais dans le cas d’un ensemble infini, même dénombrable, l’emploi des implications et équivalences (a à f), donc l’application du principe de contradiction à deux attributs A et B conçus comme la négation l’un de l’autre se heurte à la difficulté de donner un sens précis au mot « tous » : cette précision n’est possible qu’en cas de construction bien déterminée, comme justement celles qui s’appuient sur la suite des nombres entiers requise par l’axiome d’induction complète ou de récurrence. Cela revient à dire que l’opération numérique déborde la non-contradiction et que la non-contradiction ne suffit pas à épuiser l’existence mathématique : celle-ci est « intuitive », selon la terminologie de Brouwer, c’est-à-dire relative à une construction opératoire effective dépassant le cadre des opérations de la logique bivalente.

Mais c’est sur le terrain du tiers exclu que la chose devient le plus tangible, car en ce cas c’est la valeur même du principe, et non plus seulement la légitimité de ses applications, qui est mise en cause par les nouvelles exigences logiques imposées à la démonstration par l’école brouwérienno. Selon Brouwer, en effet, on ne saurait être certain de l’absence de tout tertium entre A et A, donc de la valeur de la disjonction exclusive (A w A) que dans le cas d’une collection finie. Par exemple dans une urne contenant un nombre fini de boules, nous pouvons être assurés que les boules sont toutes blanches (A) ou qu’elles ne le sont pas toutes (A), parce que nous

pouvons pointer l’un après l’autre tous les éléments de l’ensemble. C’est en vertu de ce même pointage que nous pourrons alors poser (A d B). Mais dans le cas d’une collection infinie, nous n’avons plus le droit de poser (A w A) précisément à cause de l’absence de tout pointage possible, c’est-à-dire de l’indétermination du mot « tous ». En ce cas, la démonstration de la fausseté d’une proposition n’entraîne pas la vérité de sa contradictoire, car cette vérité ne saurait être admise qu’une fois assurée la construction de l’élément faisant exception à la proposition niée. Par exemple le fait de démontrer qu’il est faux qu’un ensemble infini ne comprenne pas tel élément ne constitue pas ipso facto la preuve de sa présence. Cette existence ne saurait être déterminée que par une construction directe et effective, et non pas en la déduisant de la négation de sa négation.

Or, chose intéressante, les propositions mises en doute par Brouwer sur le terrain de la théorie des ensembles et de l’analyse, au nom de sa réflexion sur le principe du tiers exclu, sont entre autres celles que É. Borel et Lebesgue ont également suspectées, mais à la suite d’une critique directe des démonstrations proposées¹. Ce sont donc bien des raisons de rigueur et non pas seulement son épistémologie du devenir mathématique, qui sont à la source de la révision brou- wérienne.

La portée de cette limitation du principe du tiers exclu est évidente quant à la signification de la logique bivalente dans ses rapports avec la déduction mathématique. Contester la généralité de l’exclusion (p w p), c’est, en effet, se refuser à admettre qu’une proposition puisse être démontrée par la négation de sa fausseté, sinon en une collection finie. C’est donc, d’une part, reconnaître l’irréductibilité des constructions opératoires de caractère mathématique par rapport aux opérations logiques bivalentes. Et c’est surtout, d’autre part, limiter le domaine de la logique bivalente, non seulement aux ensembles finis, mais encore aux seules relations de partie à tout, conformément à la conception défendue en cet ouvrage.

Du point de vue formel, la thèse de Brouwer revient donc à soutenir que, indépendamment d’une loi de construction opératoire, on ne saurait appliquer aux collections infinies la disjonction exclusive entre une universelle affirmative et une particulière négative : (p d q) cesse ainsi d’être équivalent à (p • q) lorsque l’on ne peut

1. Cf. Wavre, op. cit., p. 441.

épuiser, par une méthode exhaustive le « tous » propre à l’ensemble infini. Plus précisément, sitôt qu’intervient l’infini, l’universel « tous » perd sa signification logique. De deux choses l’une, alors : ou bien il cesse de présenter un sens, ou bien il en acquiert un, mais exclusivement grâce à une loi de construction : seulement les opérations qui constituent celle-ci débordent en ce cas le champ des opérations logiques (intensives).

La conclusion que Brouwer a tiré de son analyse critique est que, loin de constituer leur source, la logique (bivalente) ne s’applique pas aux êtres mathématiques de façon adéquate et complète, ou bien, ce qui revient au même, elle ne représente qu’un simple secteur des mathématiques, limité aux ensembles finis. La vraie logique des mathématiques serait la structure propre au nombre ou aux opérations mathématiques elles-mêmes.

Mais les continuateurs et les disciples de Brouwer ont cherché à concilier sa thèse avec la formalisation logique, en respectant l’opposition de la logique bivalente, caractérisée par le principe du tiers exclu, et de la déduction mathématique, tout en généralisant la logique sous la forme d’une logique trivalente. Celle-ci ignore alors la dichotomie du vrai (p) et du faux (p) et lui substitue une trichotomie : le vrai ( + p), le ni vrai ni faux (p) et l’absurde (jp).

C’est ainsi qu’en 1926 R. Wavre¹, sans d’ailleurs se rallier entièrement à la thèse de Brouwer, énonçait les principes de départ d’une telle logistique. La question préalable lui paraît être la suivante : une alternative s’impose-t-elle s’il n’existe aucun moyen de la trancher ? Répondant par la négative, il distingue deux énoncés dictincts du principe de contradiction et deux énoncés distincts de celui de l’implication du faux. Les énoncés bivalents sont : « une proposition ne peut être vraie et fausse » et « ce qui implique le faux est faux » ; les énoncés trivalents sont par contre : « une proposition ne peut être vraie et absurde » et « ce qui implique l’absurde est absurde ». Jusque-là une troisième valeur (^∣p) est simplement ajoutée aux deux valeurs p et p du formalisme habituel. Mais sitôt qu’interviennent les principes du tiers exclu (p w p) et de la double négation (p = p), il y a opposition franche entre les logiques biva-

1. Logique formelle et logique empiriste, Revue de métaphysique et de morale, t. XXXIII 1926, p. 65-75.

lente et trivalente ; celle-ci ignore le tiers exclu et ne connaît de la double négation que l’énoncé limité : « la vérité d’une proposition implique l’absurdité de son absurdité » :

(339) (+p)□qp)

Mais la réciproque n’est pas vraie et il ne s’agit pas d’une équivalence entre (+ p) et Qjp), car le brouwérisme ne saurait admettre Qjp) 1 (+ p) ; de même il rejette les alternatives (+ p) w ∩p) et Qp) w (l>)∙ ^π rejette ainsi la contraposition (p i q) ⊃ (p d q) et son équivalent (q □ p) 1 (p 1 q), principes des démonstrations par l’absurde. La logique trivalente leur substitue les implications suivantes :

(340) [(+p)³(÷7)]³[(XH]p)]

et

D’autre part, on a :

(341) (_lP)-(]H^

c’est-à-dire que l’absurdité d’une proposition est équivalente à l’absurdité de l’absurdité de son absurdité. Ce résultat, déjà exposé par Brouwer en 1923, est connu sous le nom de règle de la triple absurdité.

Une logique trivalente complète a ensuite été élaborée par Hey- ting en 1930 et fondée sur les onze axiomes suivants dont le nombre et la complication sont dues au fait qu’ils doivent fonder une ’ logique sans utilisation du tiers exclu ni de ses conséquences :

l. p i (p • p) 2. (p • q) 1 (q • p)

3. (p^q)ι [(p • s) i (q ■ s)] 4. (p 1 q) ι [⅛ i s) i (p i s)]

5. qι(pιq) 6. [p • (p ⊃ 7)] □ p

7. p 1 (p ∨ q) 8. (p ∨ q) 1 (q ∨ p)

9. [(p ⊃ s) • (q 1 s)] □ [(p  ∨ q) 1 s] 10. p 1 (p 1 q) (c’est-à-dire que le

faux implique n’importe quoi)

il- [(p³?) ■ (p^ç)l^p

Conservant le principe de contradiction, mais éliminant celui du tiers exclu, la logique de Heyting s’interdit donc d’utiliser la double négation, ainsi de transporter la négation d’un membre à l’autre

9

d’une disjonction. La contraposition et la démonstration par l’absurde sont ainsi rejetées, de même que la règle de dualité :

[F ^v ?)] = [( » ∙ Φ)]

La logique de Heyting comportant trois valeurs pour (p) et seulement deux pour p, l’opération fondamentale de l’implication en est alors transformée en sa structure formelle elle-même : d’une part, deux possibilités simples (p) et (g), soit (p d g), donnent une vérité entière + (p d g), c’est-à-dire que la liaison des indémontrables devient susceptible d’acquérir un caractère de nécessité ; par contre l’implication (+ p) (q) ne donne que (p d q) ni vrai ni faux, etc.

Le mouvement d’idées déclenché par ces logiques trivalentes a présenté deux aspects bien distincts. On n’a d’abord cherché à concilier de tels éléments trivalents avec la logique bivalente elle- même. C’est ce qu’a tenté Gonseth dès 1926¹.

Se refusant à admettre avec Brouwer l’inadéquation générale de la logique bivalente et du principe du tiers exclu à l’infini mathématique, Gonseth adopte une position moyenne : la logique bivalente n’est qu’un schéma, dont on ne saurait considérer la signification comme absolue, mais il n’est aucune raison de se priver de l’utilisation de ce schéma partout où il s’adapte sans conduire à des contradictions explicites ; par contre, là où il ne joue plus, il convient de l’élargir : « Si dans un ensemble, une propriété A et une propriété non-A partagent tous les éléments en deux classes- complémentaires, au sens même que le mot tous peut et doit prendre dans la définition de l’ensemble, les assertions a) [(z)Az = tous les x sont A] et b) [(Eæ)Aæ = il existe un élément de la classe qui a la propriété A] sont à considérer elles-mêmes comme contradictoires et à traiter selon le schéma L (bivalent). Mais il peut arriver que pour certains ensembles — qui ne sont pas nécessairement infinis — pour certains attributs, et pour certains éléments, l’éventualité ni A ni non-A soit seule exempte de contradiction ; les deux classes ne sont alors plus complémentaires, les propriétés A et non-A ne peuvent plus être dites parfaitement contradictoires et les propositions a) et b) sont à traiter selon le schéma I »¹, c’est-à-dire le schéma qui va suivre. Or, ce schéma, dont Gonseth fournit les

1. Les fondements des mathématiques, Le François, 1933, p. 232.

linéaments, constitue un modèle trivalent, mais qui comporte cette originalité d’admettre, pour les valeurs « vraie », « fausse » et « indifférente », un nouveau principe du quart exclu conciliant les axiomes bivalents de Hilbert avec la règle de triple absurdité de Brouwer. Gonseth désigne par p le vrai (+ p), par p’ le faux Qp) et par Rp l’indifférent (p), mais nous écrirons pour simplifier ( + p) (p) et (p). On a d’abord :

(342) (+p)v(p)v(p)

au lieu de (p ∨ p). L’expression (342) est donc toujours juste. Par contre (+ p) • (p) ou (+ p) • (p) ou encore (p) • (p) ne sont jamais justes :

(343) [(+ p) ■ (p)] = o ; [(÷ p) • (p)] = o et (p) • (p) = o

L’absurdité de (+ p) et de (p) est définie par les formules suivantes (dans lesquelles Gonseth écrit A ^ce que nous continuerons de désigner par |) :

(344) (]p) = (p√p) et (]P) = (÷pvp)

L’absurdité Qp) signifie donc : « ou p est faux ou on ne peut rien en affirmer ». Quant à l’absurdité de l’indifférence comme telle de p, que Gonseth note Rp et que nous noterons ^∣(p) par opposition à C∣P^, elle signifie alors : « ou bien il est faux que l’on ne sache rien de p, ou bien on ne peut rien affirmer du fait que l’on ne peut rien affirmer ». On a donc :

(345) ](P) = (+P) ∨ (p) ∨ (p)

Cette absurdité est ainsi toujours vraie (en vertu de la proposition 342), ce qui assure la vérité de ["∣(p)] • (p) = (p) tandis que Qp) ■ ( + p) n’est jamais juste :

(346) [](p)] • (p) = (p) et [Qp) • ( + p)] = o

On peut alors accepter les formules d’équivalence de la logique classique :

(347) γpvg) =(]P)(]<7)

(348) ](p∙7)=(]p)y⅛ (=pl ?)

(349) [Qp) ∨ (+?)] = (p 3 ?)

Mais le schéma de Gonseth comprend en outre la loi de la triple absurdité de Brouwer. On a, en effet, en vertu de (344) et (347) :

(350) ∏p = ](p vp) = [(+ p) ∨ (p)]

et :

(351) ^∣^∣^∣p = ][(+ p) ∨ (p)] = Qp) • ](p) = ]p

Ainsi se trouve conciliées une logique trivalente avec les transformations essentielles de la logique bivalente.

Mais un autre courant s’est dessiné en réaction contre la logique trivalente avec négation. Il a consisté à accentuer l’élément d’irréversibilité qui se manifeste dans la conception brouwérienne des opérations portant sur l’infini et qui se retrouve jusque dans le formalisme de Heyting : ainsi le second courant a abouti à la constitution de ce mécanisme formel extrêmement original qu’est une logique sans négation.

Le propre de la conception brouwérienne des mathématiques est l’exigence d’une constructibilité entière : le terme (assez équivoque)! d’intuitionisme se réfère uniquement, en effet, à la nature de construction opératoire prêtée par Brouwer au raisonnement mathématique, par opposition à toute intuition sensible ou platonicienne (au sens des spéculations cantoriennes). Or, par un paradoxe qui mérite de retenir l’attention, il se trouve que, contrairement à tout ce que nous avons vu jusqu’ici de l’opération, Brouwer introduit l’irréversible en mathématiques mêmes ; de + p on peut tirer mais de Qjp) on ne peut plus revenir à p^ c’est-à-dire que la double négation ne ramène plus à l’affirmation. Autrement dit, il ne suffit pas de prouver la fausseté de la fausseté d’une proposition pour être certain de sa vérité et le raisonnement par l’absurde n’est plus une démonstration toujours valable en mathématiques.

La raison de cette irréversibilité de fait est d’un grand intérêt : le terme « tous » perdant son sens dans les collections infinies lorsqu’une construction opératoire déterminée ne lui en confère pas un, on peut alors démontrer des négations et tirer de ces négations d’autres négations, mais il n’est plus possible de remonter de la

t

/ /

négation à l’affirmation, faute de pouvoir trancher sur tous les termes l’alternative du vrai ou du faux. L’irréversibilité brouwérienne ne conduit donc pas à la notion, qui serait contradictoire, d’opérations irréversibles. Elle exprime seulement les limites de l’opération logique lorsqu’on ne peut connaître tous les termes sur lesquels elle porte, faute de construction opératoire : elle est une irréversibilité de fait et non pas de droit. Elle oppose à la notion rationnelle d’un infini effectivement construit l’irrationnel de l’infini non construit ou en pur devenir, lequel est au premier comme le mélange est à l’ordre ou l’entropie physique à la mécanique réversible.

Un exemple donné par Griss pour illustrer la proposition 339 dans sa propre logique nous fera comprendre la chose. Soit l’ensemble infini des

points compris entre 0 et 2 (fig. 52). Appelons A le sous-ensemble comprenant exclusivement le point 1, et (A) le complémentaire de A, c’est à-dire le sous-ensemble auquel appartiennent les points compris entre 0 et 2, sauf le point A ; définissons ensuite la proposition p par p = xz (A ∨ A).

Nous devons remarquer alors (du point de vue brouwérien) que certains points ne peuvent être classés ni dans (A) ni dans (A), faute de renseignements sur eux : nous ne savons pas si 0,999… est égal à 1 (donc A) ou fait partie de (A). Nous ne pouvons donc les inclure ni en (A) ni en (A), mais ils sont à coup sûr compris entre 0 et 2. Déterminons maintenant le complémentaire |p de p, c’est-à-dire l’ensemble des éléments dont nous sommes certains qu’ils ne sont ni (A) ni (A) : ce seront tous les points situés en deçà de 0 et au delà de 2, soit ∩p = < 0 et > 2). Nous avons alors p d (^ p) , ^mais non pas (^∩ p) d p.   En effet p est inclus (mais sans réciprocité, ni équivalence) en Q Jp) puisque le complémentaire du complémentaire de p (soit 1 jp) comprend tous les points entre 0 et 2, tandis que p comprend exclusivement les points dont nous sommes certains qu’ils sont soit 1, soit différents de 1 : il y a donc plus dans (]]p) que dans p et c’est pourquoi p□ (]]f,) ^est une implication (inclusion) et non plus une équivalence. La réciproque (^p) d P est, en effet, fausse, puisqu’il y a moins en p qu’en (j^∣p). Autrement dit encore, p correspond à un sous-ensemble de (^p), parce que tous les points compris entre 0 et 2 (soit ^∣p) sont plus nombreux, ou peuvent être plus nombreux, que les points dont nous sommes certains qu’ils sont 1 (soit A) ou différents de 1 (soit (A).

Cet exemple fait bien saisir.en quoi le « tous » logique ne coïncide pas avec le « certain » opératoire (mathématique) et pourquoi par conséquent l’opération (p ⊃ p) est apparemment irréversible dans l’infini : on aurait (p ⊃ p) donc (p = p) si l’on était « certain » quant à la nature de « tous » les éléments, mais on ne saurait l’être dans l’infini non construit, et celui-ci demeure alors irréversible parce que précisément non opératoirement déterminé. Cette sorte d’irréversibilité apparente ou provisoire, c’est-à-dire de fait et non pas de droit, qui caractérise l’infini non construit du brouwérisme confirme donc, en montrant ce que sont les limites de l’opératoire, la thèse de la réversibilité propre aux opérations.

Mais, par le fait même que la négation constitue ainsi dans les mathématiques dites intuitionistes une voie sans retour, un logicien brouwérien, G. F. C. Griss, a voulu construire une logique mathématique sans négation¹, remplaçant la notion du « non » par celle de simple « différence ». Contrairement à la logique trivalente avec négation de Heyting, Griss se propose donc de constituer une logique de l’affirmation ou de la construction pures, n’admettant comme opérations primaires que l’implication et la conjonction, et substituant à la négation la distinction au sens de la complémentarité. Le signe Qp) est donc conservé, mais dans le sens suivant, qui est positif et non plus négatif : si à la proposition p correspond la classe P, la proposition Qp) correspondra à la classe P, complémentaire de P. La différence avec la négation consiste en ceci que l’on n’a plus (p • p = 0) ni (P × P = 0), car la notion de classe vide perd toute signification (ce qui n’exclut naturellement pas l’utilisation des nombres négatifs et du zéro arithmétique, conçus comme ordinaux). Il en résulte que le principe de contradiction (p • p = 0) n’intervient pas dans la logique de Griss, non pas parce qu’elle introduit le contradictoire, mais au contraire parce qu’elle évite avec soin toute négation susceptible d’entraîner des contradictions et qu’elle s’efforce de tout interpréter en langage positif de théorie des ensembles.

Nous nous trouvons donc avec une telle logique en présence de l’aboutissement naturel de l’irréversibilité de l’infini non-construit. La logique de Heyting est déjà irréversible, puisqu’elle comporte plus de valeurs pour l’affirmation que pour la négation, et qu’elle

1. Proc. Neterland. Akad. v. Wetensch, 1944, p. 261 et 1946, p. 1127.

accepte la non-réciprocité de P^(]"∣P) (proposition 339). Mais Griss va plus loin encore en supprimant la négation comme telle, c’est-à-dire le principe même de l’inversion.

Il est d’autant plus intéressant de noter qu’un tel formalisme, qui consacre ainsi les limites de la réversibilité opératoire, retient malgré tout un principe jouant un rôle de substitut par rapport à la négation et à la non-contradiction (p ■ p = 0). La logique de Griss comporte, en effet, un équivalent de l’incompatibilité¹, mais interprétée naturellement dans le sens de la complémentarité et non pas de la négation proprement dite. Cet équivalent de l’incompatibilité „ joue même, chez Griss, le rôle d’un axiome :

(352) ∣p ^dC∣P)] P^roP^os⅛^lon 137).

d’où il tire P ^d(1^∣P) M∙ proposition 339).

Or, cette incompatibilité [(p d q) d (q ⊃ p)] est l’opération inverse de la conjonction (p • q), c’est-à-dire de l’une des deux opérations fondamentales de Griss. Il est vrai que, dans la logique de Ileyting, déjà on ne peut tirer (p • q) de (p d q) et que la logique de Griss ne comporte aucune négation permettant de passer directement de (352) à (p • q). Mais il reste que ce sont là deux liaisons inverses, même si cette inversion demeure limitée.

La leçon de cette intéressante tentative est donc que, à vouloir se priver de la négation (p) et de la non-contradiction (p • p = 0), on dissocie simplement cette dernière en ses deux composantes : la complémentarité, d’une part, et la réversibilité en général, d’autre part, même si cette dernière demeure incomplète. Nous verrons au § 51 le sens d’une telle conclusion.

La critique du principe du tiers exclu n’a pas constitué la seule raison d’élargissement de la logique bivalente. Dès 1921, Luka- siewicz, suivi de près par Post, ont cherché, par simple besoin de généralisation modale, à considérer n valeurs ou modalités distinctes, et l’école polonaise, avec Lukasiewicz et Tarski s’est même proposé de construire une logique polyvalente d’une infinité de valeurs.

1. Voir l’intéressante note de Paulette Destouches-Février sur la logique sans négation (Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 5 janvier 1948).

D’autre part, Reichenbach a élaboré une logique polyvalente destinée à rendre compte des modalités probabilistes et inspirée par les préoccupations physicalistes propres au cercle de Vienne. Ainsi se sont constituées un ensemble de logiques cohérentes, dont l’application aux mathématiques n’a sans doute pas encore porté tous ses fruits, mais dont l’existence même suffit à consacrer ce fait capital de la non-exclusivité de la logique bivalente.

Au lieu de se limiter à la complémentarité (p) et (p), d’où les principes du tiers exclu (p ∨ p = 1)¹ et de contradiction (p • p = 0), on peut, en effet, considérer la valeur de p comme équivalant à 1 moins la valeur de p, ce que nous écrirons (en simplifiant le symbolisme) :

(352) val p = 1 — val p

L’implication, dont le formalisme était déjà profondément modifié par la logique trivalente de Heyting, prend alors la signification suivante. Si dans (p i q) la valeur de vérité de p est égale ou inférieure à celle de q, il en résulte que l’implication (p i q) vaut elle- même l (vérité). Si par contre la valeur de p est supérieure à celle de q, on a :

(353) (p 1 q) = l — val p -f- val q (si val p > val q)

Exemple : Si p est vrai (!) et q faux (0), on a (p 1 q) = l — l + 0 = 0.

Introduisons maintenant les trois valeurs 0 ; 0,5 et l pour p et pour p.   Il est à remarquer que, contrairement à Heyting (qui limite les valeurs de p à 0 et l), Lukasiewicz attribue à p comme à p les trois valeurs 0 ; 0,5 et l ; en conservant ainsi la même réversibilité que dans la logique bivalente, on fait réellement de celle-ci un simple cas particulier de la logique trivalente (puis des logiques polyvalentes).

Exemple : Si p —   l et q = 0,5 l’implication (p ⊃ q) donnera :

(l — l + 0,5) = 0,5

Mais, par delà ces trois valeurs, il est alors possible de généraliser à n valeurs :

0. A • • ³ • ■ _Jl ■ • l

’ _n — U _re — Γ n —   Γ ’ n — Γ

, l. Où l = le tout référentiel T.

Dans le système bivalent où n = 2 on n’a alors que les deux possi- 1

bilités 0 et 2 ∣ = 1- Dans une logique L„ de valeurs n on aboutit

par contre à un principe du « n^e exclu » remplaçant le tiers exclu. Ce principe est (p ∨ p), c’est-à-dire en langage de négations (p ∨ p) pour n = 2. Étant donné que la proposition de rang n est seule exclue, il devient, de façon générale :

(354) pvpvpvpv jusqu’à n négations.

De même, la contradiction sera :

(355) (p ■ p) ∨ (p • p) ∨ (p • p) ∨ …

Deux remarques s’imposent en ce qui concerne cette généralisation de la logique bivalente. Sans que l’on puisse, sous peine de cercle vicieux, démontrer la non-contradiction des opérations de la logique bivalente, on est cependant en présence d’un système élémentaire, se suffisant à lui-même et dont la non-contradiction (p • p = 0) est assurée par une réversibilité qui se définit exclusivement par la complémentarité (p ∨ p) = 1 (c’est-à-dire T : voir § 39). Les séries infinies de négations et d’implications intervenant dans la logique de Lukasiewicz et Tarski assouplissent au contraire à l’extrême les principes du tiers exclu et même de non-contradiction. La contradiction du système s’y appuie à nouveau sur la réversibilité, puisque le passage d’une valeur à la suivante ou à la précédente s’y obtient par l’addition ou la soustraction d’une négation, c’est-à-dire par un déplacement, en un sens ou en l’autre, dans la série des modalités. Seulement cette réversibilité ne caractérisant plus une simple complémentarité, mais une véritable loi de succession, la question est dé savoir par quel mécanisme elle assure encore la non-contradiction du système. Nous sommes en présence d’un emboîtement indéfini de logiques particulières à n valeurs, mais elles ne se ferment pas en une logique générale unique, qui serait la Logique tout court.

Du point de vue des relations entre les mathématiques et la logique, les logiques polyvalentes, en remplaçant ainsi les relations exclusives de partie à tout par une loi de succession, débordent la structure du « groupement » et limitent les structures propres aux êtres mathématiques.

En particulier, si les valeurs considérées sont en nombre infini, l’implication logique devient alors susceptible de rejoindre le raisonnement par récurrence. Le passage d’une négation p à la suivante p ou à la précédente p s’effectue, en effet, par adjonction ou suppression d’une négation : or, ces opérations sont composables entre elles, réversibles, associatives et comportent une identique unique. On peut ainsi concevoir une récurrence logique, propre à correspondre à la récurrence arithmétique, mais c’est, comme on le voit, à la condition d’incorporer à son propre mécanisme la suite même des entiers¹. D’une manière générale, et par un paradoxe extrêmement révélateur, l’ultraformalisme dont témoigne cette généralisation des « formes » logiques met en danger l’intégrité des frontières séparant le formel, au sens purement logique, de son contenu mathématique. Dans un système où l’implication prend un nombre illimité de valeurs, les notions mêmes de compatibilité et d’incompatibilité risquent de se dissoudre dans un foisonnement de rapports tels que seul le sens effectif (« contenu ») des propositions en jeu puisse assurer une signification à la « forme » logique. C’est bien ce que Tarski lui-même a clairement entrevu. La question se pose alors de savoir si le « contenu » mathématique est bien un contenu par rapport à la logique, ou ne constitue pas au contraire une forme plus complexe dans laquelle les formes logiques d’indéfiniment différenciées deviennent parties intégrantes ? La question est surtout de savoir si la « logique générale » ne se confond pas, en ce cas, avec la théorie générale des structures plus qu’avec le calcul généralisé des propositions.

Si la portée générale du principe du tiers exclu a été mise en doute, celle du principe de contradiction n’a pas été contestée, du moins dans le même sens. On voit mal, en effet, une logique intro-

1. Quant à sa signification, cette récurrence logique ne demeure pas nécessairement modale, mais peut être conçue comme portant_sur les degrés de généralisation du vrai. De même que les propositions bivalentes p et p reviennent sans plus_à partager dicho- tomiquement l’ensemble considéré selon les classes complémentaires P et P, de même la partition en n valeurs peut être conçue comme une partition arithmétique de l’ensemble avec généralisation progressive (récurrente) d’une même vérité d’une partie-unité à la suivante. C’est selon un tel modèle que les cascades d’implications propres à la logique infinivalente sont sans doute susceptibles de rejoindre le raisonnement par récurrence ou l’axiome général d’induction complète.

duisant le contradictoire à des degrés divers au sein de la déduction, comme on peut substituer au tiers exclu le quart ou le n^e exclu. Seulement si toute logique a besoin d’un principe de contradiction, il ne s’ensuit pas qu’il soit le même pour tous les systèmes. Nous venons déjà de voir comment l’introduction des modalités autres que 0 et 1 conduisent à différencier le principe (p • p = 0) selon les diverses valeurs modales de p ou à s’en passer faute de négation. Or, il se pourrait aussi que, indépendamment de la modalité, le principe (p • p = 0) ne fût pas la seule expression possible de la non-contradiction.

Signalons d’abord qu’il s’est produit une curieuse convergence entre les constructions logiques issues de la formalisation des lois microphysiques de la « complémentarité » et certaines formes de la logique intuitioniste inspirée par le brouwérisme. La « complémentarité » des physiciens fournit, en effet, l’exemple de propositions considérées comme contradictoires d’un certain point de vue (de celui de la simultanéité des propriétés considérées) et comme ne l’étant pas à un autre point de vue. Bien qu’il s’agisse là de liaisons intéressant le contenu des propositions et non pas leur forme, il était essentiel de trouver une forme logique adaptable à de tels contenus. C’est à ce travail que se sont entre autres consacrés Mme Destouches-Février et J.-L. Destouches. En ce qui concerne la non-contradiction, l’aspect le plus intéressant de ces tentatives a été de substituer à la notion du contradictoire celle de l’incompo- sable, c’est-à-dire en un sens de l’incompatible. Procédant par paires de propositions composables ou incomposables, mais encore avec des opérateurs de négation, on tend ainsi non pas à dénier toute valeur au principe de non-contradiction, mais à le transcender au nom d’un jeu complexe de compositions permises ou interdites.

Or, par une convergence remarquable, cette tendance à dévaluer le rôle de la négation au profit du plein ou de l’affirmation rejoint les tendances profondes de la mathématique intuitioniste qui, par ses exigences de constructibilité et par sa critique des raisonnements fondés sur la négation, est conduite elle aussi à s’en tenir à l’affirmation (§ 49). C’est pourquoi Mme Destouches fait entre autres appel à la logique de Griss¹ en tant que s’appliquant à la « complémentarité » physique.

La conclusion à tirer de cette coïncidence est donc à nouveau, du ⅛

1. Voir Paulette Destouches-Février (art. cit., p. 398), p. 2.

point de vue logique, que le schéma bivalent du vrai et du faux semble impropre à s’adapter à toutes les formes de la quantité extensive et que le principe (p • p —   0) n’est peut-être que l’une des formes particulières de la non-contradiction.

Or, au moins autant que la critique brouwérienne du tiers exclu, les mouvements d’idées orientés en sens exactement inverse, et issus des recherches de Hilbert pour démontrer la non-contradiction de l’arithmétique, ont ouvert une crise que l’on pourrait considérer, nous semble-t-il, comme mettant à son tour en cause l’unicité du principe de contradiction lui-même et non pas seulement la nature des rapports entre la logique et les mathématiques. En effet, si fidèles à la logique bivalente qu’aient été Hilbert et son école, il paraît bien aujourd’hui que les difficultés s’opposant à cette démonstration de la fermeture logique de l’arithmétique parlent en faveur d’une hétérogénéité entre la non-contradiction logique et les inférences proprement mathématiques (raisonnement par récurrence, etc.) plus encore que les logiques engendrées par la généralisation du principe du tiers exclu.

Rappelons d’abord que, contrairement à Russell et aux logisticiens viennois, Hilbert n’a nullement poursuivi le but d’une réduction pure et simple des mathématiques à la logique : il considère au contraire la logique comme faisant partie des mathématiques, parce qu’impliquant le nombre cardinal, et il a voulu reconstruire simultanément la logique et l’arithmétique sur un plan formalisé, supérieur à la mathématique et qui caractériserait une métamathé- matique formelle. Or, après avoir démontré la non-contradiction de la géométrie en s’appuyant sur celle de l’arithmétique, il a échoué à démontrer celle de l’arithmétique elle-même.

La raison de cette résistance a été découverte en 1929 par Goedel : si une telle démonstration n’a pu être obtenue, c’est qu’une théorie ne saurait être « saturée » par ses propres moyens ni par l’intermédiaire d’opérations plus élémentaires qu’eux. La logique et l’arithmétique réunies ne peuvent ainsi suffire à achever la formalisation de l’arithmétique, tandis que, comme Gentzen l’a montré ensuite, l’intervention d’éléments d’ordre supérieur (transfini) permet la fermeture des systèmes arithmétiques d’ordre inférieur. De telles démonstrations résultent donc ces deux conséquences capitales que l’on ne saurait vérifier logiquement la non-contradiction de l’arithmétique et que le raisonnement par récurrence déborde le cadre des inférences strictement logiques.

Cette situation comporte deux interprétations possibles, mais contraires. L’interprétation dictée par le schéma usuel de la « forme » logique et du « contenu » non encore formalisé logiquement tendrait à faire du non-formalisable une réalité extralogique et même, en principe, suspecte de paralogisme puisqu’échappant partiellement à la juridiction considérée comme absolue, du principe logique de non-contradiction. Mais on peut concevoir une autre interprétation tout aussi légitime : les structures arithmétiques pourraient bien constituer des formes plus riches que les formes logiques, et ces dernières ne parviendraient alors pas davantage à englober les formes supérieures à elles que la partie n’est apte à s’intégrer le tout ; en ce cas, la non-contradiction de l’arithmétique ne saurait être démontrée, non pas parce que l’arithmétique contiendrait des propositions ni vraies ni fausses (relativement aux opérations arithmétiques elles-mêmes), mais parce que la non-contradiction logique serait d’une espèce trop peu affinée pour s’appliquer adéquatement à la non-contradiction mathématique.

La question est donc bien à centrer sur la nature de la non-contradiction logique. Or, si le principe (p • p = 0) est inattaquable, il n’est pas certain qu’il épuise le non-contradictoire. II n’exprime qu’une certaine forme de cohérence opératoire, parce que la signification formelle de la négation (p), par rapport à l’affirmation (p), est relative au système d’ensemble des propositions envisagées. Si l’on se place à ce point de vue des structures totales, on peut légitimement, en effet, rechercher s’il n’existe pas des degrés dans la cohérence des systèmes d’opérations et par conséquent des degrés dans la non-contradiction elle-même. Un « groupe » mathématique est plus systématisé qu’un « groupement » et les « classes structurées » utilisées par le premier le sont bien davantage que les classes « faiblement structurées » (définitions 11-13) en jeu dans le second. On peut alors se demander si la non-contradiction (p • p = 0) a la même valeur dans un système fortement structuré que dans un système moins structuré. Pour reprendre un exemple antérieur, n’est-ce pas une contradiction plus « forte » de soutenir (n — ■ n) >0 que d’écrire « x est à la fois Invertébré et Poisson » ?

Or, tout ce que nous a appris l’analyse des structures d’ensemble propres à la logique bivalente est de nature à suggérer la portée relativement restreinte du principe logique de non-contradiction et la portée beaucoup plus large du mécanisme sur lequel il s’appuie : l’énoncé (p ■ p = 0) constitue, en effet, un cas particulier de réver-

sibilité (annulation d’une opération directe par son inverse), mais un cas limite, pour ce qui est de la logique des propositions, à la seule complémentarité :

p = 1 — p (ou T • p)

Autrement dit, l’expression (p ■ p = 0) qui recouvre toute la non-contradiction logique (le contradictoire étant p ■ p ≠ 0) n’est autre chose que l’opération identique (générale) du groupement fondamental constitué par les opérations (v p) et (• p), d’où nous avons vu (§ 39) qu’il était possible de dériver l’ensemble de la logique bivalente. Toutes les formes les plus différenciées de non-contradiction correspondant aux seize liaisons binaires, par exemple :

[p ∨ g] • [p • g] = 0 ; ou [p d g] • [p • g] = 0 ; etc.

n’expriment pas autre chose que cette même valeur nulle des compositions entre deux opérations inverses parce que complémentaires.

Deux réalités fondamentales, mais distinctes, interviennent donc dans la non-contradiction logique. L’une est générale, et se trouve ainsi apte à prendre bien d’autres formes que la non-contradiction spécifiquement logique : c’est la réversibilité. De ce point de vue général, est contradictoire tout produit non nul d’opérations dont l’une est l’inverse de l’autre (voir § 40). La seconde réalité est par contre spéciale à la logique : les opérations inverses qui interviennent en logique des propositions ne sont relatives qu’à un « groupement », c’est-à-dire à un système de simples complémentarités. De ce point de vue restreint, est contradictoire tout produit non nul de deux opérations dont l’une est la complémentaire de l’autre.

Or, si de la logique nous passons à l’arithmétique, nous retrouvons naturellement certaines structures relevant de la non-contradiction par simple complémentarité. Par exemple si nous répar- tissons l’ensemble des nombres réels en deux sous-ensembles complémentaires, l’un formé des nombres rationnels et l’autre des nombres irrationnels, l’affirmation selon laquelle un nombre déterminé peut appartenir simultanément à ces deux sous-ensembles relèvera d’une telle forme de non-contradiction équivalente à la non-contradiction logique. Par contre, une expression telle que (n — n) > 0 contient une contradiction qu’il est facile d’écarter

au nom de la réversibilité des opérations ( + n) et (— n) sans qu’elle relève pour autant d’une complémentarité purement logique : la non-contradiction (n — n) —   0, traduisant les opérations inverse et identique du groupe additif des nombres entiers, est ainsi d’une force plus grande que la non-contradiction (p • p) = 0. Il n’est donc pas étonnant que l’on ne puisse démontrer la non-contradiction de l’arithmétique au moyen de la non-contradiction logique : une telle démonstration reviendrait ni plus ni moins à subordonner la structure du groupe des nombres entiers à celle des groupements logistiques, autrement dit à réduire la quantité extensive et même numérique à la quantité intensive ou simple rapport de partie à tout (voir définitions 14-15 bis).

Nous pouvons donc caractériser la non-contradiction en général, par la nullité du produit d’une opération directe et de son inverse :

(356) (Op)¹ × (Op)-¹ = 0

où 1 et — 1 expriment les opérations directes et inverses. Au contraire la non-contradiction logique ou par complémentarité se définit, si 1 = le tout considéré T (voir § 39) :

(357) Op(P) ×Op (1 — P) = 0 où (1 — P) = P

En cette proposition (357) l’opération en jeu peut être uninaire (affirmation ou négation), binaire, etc., et P peut être une proposition unique (p) ou composée (p • q, etc.).

On voit alors à la fois la parenté et la différence entre les inférences fondées sur une structure extensive (spéciales aux mathématiques) et les inférences fondées sur une structure logique intensive. Dans les deux cas, la fécondité du raisonnement provient de ce que les opérations composées entre elles engendrent de nouvelles opérations (en nombre fini ou infini). Dans les deux cas, la construction est rigoureuse dans la mesure où elle est réversible, puisque la non- contradiction se définit précisément par la réversibilité entière, c’est-à-dire par la valeur nulle du produit des opérations directes et inverses (propositions 356 et 357). La réversibilité constitue donc le principe rationnel fondamental : elle assure simultanément l’identité (opération nulle) et la non-contradiction, tout en dépassant par son dynamisme (c’est-à-dire en prenant les différentes formes

de la négation, de la réciprocité, etc.) l’expression statique de ces deux principes classiques.

Mais il existe deux sortes de constructions opératoires, selon qu’elles portent sur des systèmes plus ou moins fortement ou faiblement structurés, c’est-à-dire à quantification extensive ou intensive. Dans le cas des structures faibles ou intensives, aucune opération ne permet de transformer les propriétés caractérisant les sous- classes en celles qui caractérisent le tout : celui-ci ne constitue que la réunion des classes partielles et non pas leur généralisation opératoire par transformation des relations en compréhension. Au contraire, dans le cas des structures fortes ou extensives, il y a passage de la partie à la partie et de la partie au tout, non pas par simple inclusion de la première dans le second, mais par composition opératoire des propriétés caractérisant le tout à partir de celles des sous-classes. En certains cas, les propriétés du tout se réflètent même nécessairement sur celles de la partie, ce qui rend plus facile encore la liaison des parties entre elles : tel est le cas d’un groupe et de ses sous-groupes. Mais, dans tous les cas, le raisonnement mathématique est plus fécond que la déduction simplement logique du fait qu’il procède par généralisation constamment opératoire sur le plan de la compréhension comme sur celui de l’extension ; au contraire, le raisonnement logique non mathématique en est réduit à une généralisation que l’on pourrait appeler inclusive, parce qu’elle porte sur les emboîtements comme tels, fondés sur des rapports donnés, sans que ceux-ci se prêtent à une construction en compréhension.

Seulement, si la fécondité du raisonnement mathématique est donc constituée par le nombre plus grand des compositions opératoires que permettent les relations de partie à partie propres à la quantité extensive, la rigueur en reste assurée par la réversibilité. Dans les axiomatiques les mieux formalisées, il demeure, en effet, qu’en plus du principe logique de non-contradiction (qui constitue déjà à lui seul un principe de réversibilité), les opérations caractérisées par les axiomes et nécessaires à la déduction des propositions ultérieures sont toujours des opérations réversibles (selon les différentes’variétés que comporte la réversibilité).

C’est pourquoi, par delà les principes trop pauvres de l’identité et de la non-contradiction intensives ou bivalentes, la mathématique est sans cesse garantie contre l’incohérence, même sur les points où elle déborde le cadre logique dans lequel on voudrait

l’enfermer. Mais c’est aussi pourquoi la logique elle-même, si elle veut conserver le contact avec le dynamisme réel de la pensée, doit reconnaître dans l’identique et dans le non-contradictoire par complémentarité, les premières approximations seulement d’un principe régulateur qui les dépasse et qui est la réversibilité des mécanismes opératoires en général. Seules, nous l’avons vu (§ 49), les opérations portant sur un infini non construit peuvent être regardées comme étant sans retour : mais cette irréversibilité de fait marque alors les limites de la construction opératoire, par opposition à la construction rationnelle elle-même, toujours caractérisée par une réversibilité de droit.

ORIENTATION BIBLIOGRAPHIQUE

Cette orientation bibliographique a pour but d’indiquer au lecteur désireux de remonter aux sources de la logistique un aperçu des ouvrages indispensables. Il ne peut être question de présenter un index complet de tous les travaux particuliers. Ils sont innombrables, dispersés, et pour la plupart inaccessibles au lecteur français. En ce qui concerne la logique classique, le Traité de Logique de Goblot fournit une vue d’ensemble toujours valable. Marcel Boll a publié, dans son Manuel de Logique scientifique, une bibliographie relativement complète que l’on peut consulter avec profit.

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