Chapitre VII.
La quantification des opérations interpropositionnelles et la syllogistique classique ^a 🔗

Nous avons pu constater, au cours des chapitres V et VI l’autonomie entière de la logique des propositions à l’égard de celle des opérations intrapropositionnelles. Cependant la logique interpropositionnelle admet la réalisation d’un modèle constitué par les opérations portant sur un système de classes « faiblement structurées » (voir notamment les § 28 et 32) et le « groupement » des opérations interpropositionnelles obéit aux mêmes lois que les « groupements » de classes et de relations. Comment rendre compte d’une telle situation ?

Les opérations intrapropositionnelles consistent en actions réversibles de classement et de sériation exercées par le sujet sur les objets et exprimées au moyen de propositions à contenu déterminé : c’est ce « contenu » (voir § 2), ou structure interne des propositions, qui est alors symbolisé sous forme d’opérations de classes et de relations. Au contraire, les opérations interpropositionnelles consistent à abstraire de telles opérations certains de leurs aspects, à savoir leurs connexions de vérité ou de fausseté, sans se préoccuper

[p. 359] de leur structure particulière, c’est-à-dire du contenu des propositions en jeu. Il en résulte de nouvelles opérations, qui ont pour objet général les propositions comme telles et non plus les objets particuliers auxquels elles se réfèrent : mais, comme les propositions constituent déjà (en leur contenu) des opérations, les opérations interpropositionnelles sont donc des opérations effectuées sur d’autres opérations, c’est-à-dire des opérations à la seconde puissance. Le problème est alors de comprendre comment ces opérations à la seconde puissance peuvent atteindre une autonomie complète tout en admettant la réalisation d’un modèle formé par des opérations de classes (ou opérations à la première puissance).

La réponse à cette double question tient dans le fait que les opérations interpropositionnelles constituent une formalisation d’éléments empruntés par abstraction aux opérations intraproposi- tionnelles elles-mêmes : étant plus « abstraites » que celles-ci, elles en dégagent, en effet, un mécanisme plus général et plus profond ; mais étant abstraites de celles-ci elles comportent la réalisation possible d’un modèle isomorphe à leur champ de départ concret.

Pour construire, par exemple, les grandes classes zoologiques, il importe d’abord d’admettre comme vraies (indépendamment de l’origine épistémologique de ces vérités) un ensemble de propositions établissant les ressemblances et les différences, les homologies (au sens anatomique), etc., entre les termes classés. Le point de départ de toute opération logique est donc à chercher dans une action du sujet, source de comparaison ou d’assimilation, et consistant à réunir ou à ordonner les objets. De cette action psychologique, la logique ne retient que l’expression symbolique, sous la forme d’une proposition, ou jugement verbal : la proposition est ainsi antérieure à la classe et à la relation, comme le jugement est antérieur aux concepts qu’il engendre, ou comme l’action en général est antérieure à ses résultats. Mais les propositions ne sont envisagées en premier lieu qu’en fonction de leur contenu : comme telles, elles caractérisent les termes individuels, leurs relations et leurs classés. Soient une espècè A incluse en un genre B, et les autres espèces A’ telles que A + A’ = B et A = B — A’ : chacune de ces classes ou de ces opérations résulte d’un jeu de mises en relation ou d’actions énoncées par des propositions en vue précisément d’un tel classement. Que maintenant ces mêmes propositions soient considérées simplement en tant qu’affirmations vraies, et leurs négations en tant qu’affirmations fausses, un nouveau système d’opérations

devient alors possible. Il n’y sera plus question de termes individuels, de relations ou de classes : les propositions en jeu seront les mêmes, ou toutes celles que l’on aurait pu énoncer à propos des classes A + A’ = B, des individus qui les constituent, des relations qui les unissent ou qui les relient aux classes voisines, etc., mais il ne sera retenu de chacune de ces propositions que sa vérité ou sa fausseté. Autrement dit, de l’ensemble des actions de comparaison et de classement exécutées par le sujet, il ne sera extrait que le caractère le plus général : l’acte par lequel chaque opération concrète énoncée par une proposition est reconnue vraie ou fausse. C’est cette abstraction à partir des actions antérieures du sujet qui sert de point de départ à un nouveau calcul : un certain nombre de propositions p, q, etc., étant données comme vraies pour certains arguments (p = ex est un Poisson », q = ix est Vertébré », etc.) et fausses (p, q, etc.) pour d’autres arguments, il s’agit alors sans plus de combiner les couples (p ■ q) ; (p ■ q) ; (p • q) ; (p • q) ou les ensembles de trois ou quatre propositions, etc., sans s’occuper d’autre chose que de la vérité ou de la fausseté de leurs associations possibles. On comprend ainsi comment ce nouveau calcul peut être’ à la fois autonome par rapport au contenu des propositions considérées, et cependant isomorphe au calcul des classes elles-mêmes.

L’autonomie du calcul interpropositionnel résulte d’abord de sa plus grande abstraction. Envisageons un couple tel que (p • q) formé de deux propositions supposées vraies : ce couple peut être lui-même vrai ou faux en tant que couple : dans le cas où p = ex est poisson » et q = ex est Vertébré », le couple (p • q) est vrai, mais si p — ex est Insecte », le couple (p ■ q) sera faux, d’où (p ■ q). La logique des propositions ne groupera donc plus celles-ci en vue seulement de constituer des assemblages concrets vrais, correspondant à des classes non nulles et positives, mais déterminera tous les assemblages vrais ou faux, de manière à en dégager la structure abstraite. La logique interpropositionnelle se proposant ainsi d’abstraire leur pure forme (assemblages vrais ou faux) des propositions préalables nécessaires à la construction des classes et des relations, il y a là une première raison pour que ce calcul soit autonome par rapport au calcul intrapropositionnel : il n’en dépend pas, puisqu’il explicite simplement ce que ce dernier suppose dès le départ. Il s’y ajoute alors une seconde raison : cette abstraction plus poussée aboutit à une plus grande généralité ; les couples (p • q) ; (p • q) ; etc. considérés en eux-mêmes comme pouvant être vrais ou faux, ne

[p. 361] sont plus l’expression de classes ou de relations particulières, mais représentent un schème général applicable à tout système de classes ou de relations. Le calcul des propositions constitue donc bien un ensemble d’opérations à la seconde puissance, portant sur des opérations d’échelle inférieure. D’où une seconde raison d’autonomie.

Mais pourquoi alors est-il isomorphe aux opérations de classes, et pourquoi, par exemple, l’opération (A + A’ = B) correspondra- t-elle à l’équivalence (p ∨ p’ = q) issue de l’implication (p i q) comme (A + A’ = B) est tiré de l’inclusion (A < B)? C’est que si, à tout système d’opérations intrapropositionnelles, on peut faire correspondre un système de propositions vidées de leur contenu et considérées simplement comme des combinaisons de valeurs ( + ) et (— ), réciproquement, à tout système d’opérations interpropositionnelles, on peut faire correspondre des classes d’arguments hypothétiques vérifiant les propositions p ou q et leurs négations p ou q. Ces classes d’arguments hypothétiques (classes P ou Q) auront alors, en vertu de la réciprocité même des deux systèmes, une structure formelle isomorphe à celle des classes d’objets concrets sur lesquelles portaient les propositions de départ, envisagées en leur contenu. Mais ce ne seront plus nécessairement des classes d’objets : ce seront des classes de classes, c’est-à-dire des schèmes d’affirmations possibles ou des classes d’arguments virtuels. Il se peut naturellement que les classes P et Q coïncident avec des classes d’objets réels. Mais il se peut qu’elles ne contiennent que des assemblages possibles d’individus. Du point de vue des classes concrètes, il est évident qu’une classe formée de « quelques hommes » (A) est incluse dans la classe formée de « tous les hommes » (B) : d’où (A < B). Du point de vue interpropositionnel on doit dire, par contre, que la proposition p = « tous les hommes sont mortels » implique la proposition q = « quelques hommes sont mortels » : on a donc (p o q) et non pas l’inverse (q d p). Si l’on fait correspondre alors à p la classe P (= l’ensemble des cas vérifiant p) et à q la classe Q (= l’ensemble des cas vérifiant q), on aura (P < Q). On voit alors que (P < Q) ne coïncide nullement avec (A < B). La classe P ne contient, en effet, qu’un ensemble concret d’arguments, qui est « tous les hommes » (= les individus appartenant à B) ; au contraire la classe Q contient une multiplicité d’arguments possibles : si « tous les hommes » sont 4, « quelques hommes » peuvent ainsi être les n^os 1 et 2 ; 1 et 3 ; 1 et 4 ; 2 et 4 ; 3 et 4 ; 1, 2 et 3 ; 1, 2 et 4, etc.

Bref, si P correspond à une classe entière d’individus (B), la classe Q correspond à toutes les sous-classes qu’il est possible de construire à l’intérieur de B (soit A₁ et A) ; A₂ et A₂ ; etc.). On a donc bien (P < Q) correspondant à (p □ q), mais l’extension de P et de Q ne coïncide pas avec celle des classes A et B.

Bref, entre les deux excès d’une séparation totale de la logique des propositions par rapport à celle des opérations intraproposi- tionnelles et de sa fusion complète avec la logique des classes, il y a donc lieu de soutenir simultanément l’autonomie de la première et sa correspondance avec les opérations de classes admises par elle comme modèle possible. Il en résulte alors que la logique des propositions bivalentes contient, à titre de cas particulier, la syllogistique classique, qui s’appuie précisément sur un schème de quantification emprunté à la logique des classes.

Si le propre de la logique bivalente est de ne comporter que des rapports de partie à tout et de complémentarité, comme en témoignent sa structure de groupement, ainsi que sa correspondance avec un modèle d’opérations de classes, elle doit alors impliquer les notions du « tous » et du « quelques », bien que les propositions p, q, etc., dont elle s’occupe, demeurent quelconques et ne soient pas explicitement quantifiées à la manière dont procédait la logique classique. Or, la discussion de cette question n’est pas seulement intéressante à titre de vérification de la nature purement « intensive » (voir définition 14) du groupement des opérations interpropositionnelles. Elle soulève un problème plus général (le seul qui nous intéresse en ce chapitre) : la quantité ne concerne-t-elle que le « contenu » des propositions en jeu, ou intervient-elle nécessairement aussi dans la « forme » elle-même des opérations interpropositionnelles ?

On sait, en effet, que la logique d’Aristote constitue un compromis entre la logique des classes et celle des propositions, par le fait précisément qu’elle introduit la considération des « tous » et des « quelques » dans le formalisme même des combinaisons de propositions. La logique contemporaine, au contraire, dissocie le calcul des propositions de toute quantification pour réserver celle-ci au calcul des extensions (classes), mais Russell a introduit la

notion de fonction propositionnelle (voir § 4) à titre de lien entre les deux : les fonctions propositionnelles peuvent, en effet, être « toujours » vraies, ou « quelquefois » ou « jamais », ce qui unit la quantité propre aux classes à la vérité ou à la fausseté propres aux propositions. Aussi est-ce en général, en termes de fonctions propositionnelles que l’on traduit avec Russell la logique d’Aristote en langage logistique¹. Hilbert adopte un formulaire intermédiaire entre le calcul des prédicats et celui des propositions. D’autres auteurs ajoutent simplement des « quantificateurs » aux formules interpropositionnelles².

Nous voudrions au contraire montrer, dans ce qui suit, que les opérations interpropositionnelles impliquent elles-mêmes, dès le départ, une quantification tenant à leur forme comme telle, et non pas au contenu des propositions. Or, cette quantification formelle, ou relative à la forme seule, suffit à constituer un schème général dont la syllogistique classique peut être envisagée comme un cas particulier. Nous ne nous proposons donc nullement de refaire ici la théorie logistique du syllogisme, qui a été fort poussée³, mais uniquement de considérer la syllogistique comme un modèle particulier auquel on peut faire correspondre les structures quantifiantes de la logique des propositions (dans le même sens où nous venons de voir au § 41 pourquoi cette logique correspond à une structure d’opérations de classes).

On sait, en effet, que la logique classique distingue quatre sortes de propositions :

A. L’universelle affirmative : tout X est Y.

I. La particulière affirmative : quelque X est Y.

E. L’universelle négative : nul X n’est Y.

O. La particulière négative : quelque X n’est pas Y.

Une proposition est dite universelle quand elle est affirmée ou niée de toute l’extension du sujet, que celui-ci soit singulier, spécial ou général : tout X est Y peut donc signifier : « L’individu x_lest Y » (proposition toujours vraie), ou « tous les x sont Y » (idem). Ce qu’exprime l’universelle affirmative, c’est donc simplement que l’attribut Y est d’extension égale ou supérieure à celle du sujet et que celui-ci est pris dans toute son extension.

1. Voir Serras, op. cit., chap. X.

2. Par exemple T (tous) et 0 (quelques) dans le Manuel de Boll.

3. Voir en particulier I. M. Bochenski, On the catégorisai syllogism, Dominican Studies, Oxford, 1 948, vol. I, p. 1-23.

f

Or, il existe un rapport du même type lorsque l’on pose pour vraie l’implication (p d g). En effet, quelle que soit la nature des propositions p et q (c’est-à-dire que p ou q appartiennent aux catégories A, I, E ou O), l’implication (p ⊃ q) exclut la possibilité (p ■ q) : donc « toutes les fois » que, en un rapport (p ⊃ q), p est vraie, q est vra e. A la proposition p correspond ainsi une classe d’arguments prise dans toute son extension, sinon l’on ne pourrait exclure (p ■ q). D’autre part, q correspond à une classe d’extension égale ou supérieure, puisque l’on a toujours (p ■ q) et éventuellement (p • q). Par exemple si p = «   quelques animaux ont été importés d’Europe en Australie » et si q = « la faune australienne n’est pas purement autochtone », p est une particulière affirmative (I) et q une universelle négative (E) : néanmoins le rapport (p 1 q) correspond à une inclusion P < Q signifiant que tous les arguments qui vérifient p vérifient aussi q (mais non réciproquement) et cette inclusion se traduit par une universelle affirmative. Même dans le cas où p signifie « tous les hommes sont mortels » et q « quelques hommes sont mortels », la classe des arguments vérifiant Q est d’extension ■ supérieure à la classe des arguments vérifiant P, car un ensemble est d’extension inférieure à celle de l’ensemble de ses parties (voir au § 41 la discussion de cet exemple). Bref, l’implication comporte une quantification par sa « forme » même, puisque q est « toujours » vraie quand p est vraie, et p « quelquefois » vraie quand q est vraie. Cette quantification intensive correspond à celle de l’inclusion P ≤ Q, qui exprime l’universelle affirmative¹. On peut donc considérer l’universelle affirmative de la logique classique comme un cas particulier de l’implication (p d q), en ce sens que (.< t .3 les hommes sont mortels ») équivaut à (« x est homme » implique « x est mortel »).

L’incompatibilité comporte par conséquent elle aussi une quantification nécessaire, puisque (p\q) équivaut à la double implication (p i q) et (q i p), tandis que (p i q) correspond à (p q) et à (q i p). Or, cette quantification propre à (p\q) correspond à l’universelle négative (E) : si p = « x est homme » et q = «   est immortel », (p\q) signifie : « si x est homme, alors il n’est pas immortel » et « si x est immortel alors il n’est pas homme », ce qui entraîne bien l’universelle négative « aucun homme n’est immortel » et sa converse « aucun immortel n’est homme », P < Q et Q < P. Mais

1. « Tout P et Q » ou « tout argument vérifiant p vérifie q ».

[p. 365] précisons que, ici encore, le caractère quantitatif de l’opération (qui joue ici le rôle de l’universelle négative) est indépendant de la quantification interne des propositions p et q elles-mêmes.

Quant aux particulières affirmatives et négatives (I et O), qui correspondent à la quantification « quelques », elles portent sur des propositions affirmées ou niées d’une partie seulement de l’extension du sujet. Or, de même que l’implication (p d q) et l’incompatibilité (p\q) correspondent à des classes prises selon toute leur extension (P < Q) et (P < Q), de même il existe une liaison interpropositionnelle qui, par sa forme même (et si elle est prise en son sens complet), implique le fait que p et q sont « quelquefois » vraies mais pas « toujours », ce qui équivaut à une partition de la classe des arguments correspondants en sous-classes (PQ) et (PQ), ces sous-classes signifiant « quelques P sont Q » et « quelques P ne sont pas Q » : c’est la disjonction non exclusive ou trilemme (p ∨ g). En effet (p ∨ g), exprime par définition les combinaisons possibles (p ■ g) ∨ (p • g) ∨ (p • g), qui comprennent (p • g) et (p ■ g), donc précisément les propositions correspondant aux classes PQ et PQ. ^’Pour prendre un exemple que nous discuterons à nouveau plus loin à propos d’une affirmation de Hilbert, si p = « τ est un objet » et g = « x est beau », le trilemme (p ∨ g) signifie que « ou quelques objets sont beaux, ou quelques objets ne sont pas beaux, ou quelques réalités belles ne sont pas des objets ». En effet, si l’on n’invoquait pas la quantification « quelques », les deux propositions p et g ne donneraient pas lieu à une disjonction non exclusive (p ∨ g), mais seulement à un dilemme ou disjonction exclusive (p w g), c’est-à-dire p = q et q = p.   Le trilemme suppose donc, en tant que trilemme (p ∨ g), la quantification « quelques » ou, ce qui revient au même, « parfois vrai ».

Or, les deux premières conjonctions (p ■ g) et (p • g) dont est formée la disjonction (pvg) se trouvent justement constituer les négations de (p ⊃g), ou (p|g), et de (p ⊃g), correspondant aux universelles affirmatives (A) ou négatives (E). La conjonction (p • g) correspond donc à la particulière affirmative (I), qui constitue la négation de l’universelle négative (E) et la conjonction (p • g) correspond à la particulière négative (O), qui est la négation de l’universelle affirmative (A). En effet, dans le cas où (p • g) n’est pas contradictoire avec (p • g), notamment dans l’affirmation de p, soit p[q] —   (p • q) ∨ (p • g), ces deux conjonctions correspondent aux quantifications « quelques », c’est-à-dire aux classes (PQ) et (PQ).

On aboutit ainsi à un schème général correspondant au modèle particulier que constitue le fameux tableau des oppositions, dressé par la logique classique (carré logique) :

Les quatre types de rapports (contradictoires, subalternes, contraires et subcontraires), équivalent de ce point de vue aux opérations interpropositionnelles suivantes : 1° Les contradictoires correspondent aux négations complètes (contradiction) :

(p ⊃ q) = (p • q) et (p d q) = (p • q)

— 2°Les subalternes sont des implications du « tous » au « quelques » : (p q) d (p ■ q) et (p ⊃g) ⊃ (p • q). En effet, « tous les P sont Q » implique « quelques P sont Q », mais la réciproque n’est pas vraie car la conjonction (p ■ q) n’exclut pas à elle seule (p • q) ; de même (p d q) implique (p • q), mais (p ■ q) n’implique pas (p d q), car (p • q) est compatible avec (p • q).— 3° Les propositions contraires A et E correspondent à l’incompatibilité qui existe entre (p z>q) et (p □ q). — 4° Les rapports subcontraires correspondent enfin à la disjonction (p ∨ q) : « Deux subcontraires peuvent être tous deux vrais, car ce qui est affirmé de quelques sujets du groupe peut être nié de

[p. 367] quelques autres ; mais ils ne sont pas tous deux faux, car le rejet de l’une des assertions équivaut à l’assertion contradictoire, qui enveloppe a fortiori le subcontraire.¹ » Or c’est la définition même de la disjonction (p ∨ q) = (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q), laquelle relie deux propositions p et q dont l’une peut être fausse, mais non pas les deux.

On le constate ainsi : par leur forme même, certaines opérations inhérentes au pur calcul des propositions enveloppent la quantification intensive, selon le « quelques » et le « tous », que la logique classique mettait au point de départ de ses développements. Or, cela n’a rien de surprenant puisque l’implication, l’incompatibilité et la disjonction correspondent à des formes bien déterminées d’emboîtements de classes (§ 41). Aussi comprenons-nous mal la remarque de Hilbert selon laquelle seul un calcul combiné des propositions et des prédicats est susceptible de rendre compte de tels emboîtements quantitatifs. Si X signifie « être beau », dit Hilbert², alors X peut signifier soit « tous les objets sont non beaux », soit « il est faux que tous les objets soient beaux ». Mais si, au lieu de raisonner sur une proposition prédicative isolée, on considère l’implication (p i q) (= « si x est un objet alors il est beau »), il est facile de distinguer (p iq), c’est-à-dire (p ■ q) ( = « il est faux qu’objet implique beau », = « il est vrai que quelques objets soient non beaux ») et (p|ç) c’est-à-dire (p iq) (= « tous les objets sont non beaux »). La forme même des opérations interpropositionnelles (p ■ q) et (p □ q), dont la première contient une négation plus faible que la seconde, comporte ainsi une quantification implicite, indépendamment du calcul des prédicats. C’est d’ailleurs ce que semble ensuite admettre Hilbert lui-même³, _z

Le syllogisme consiste à tirer une conclusion de deux propositions choisies comme prémisses, autrement dit à lier trois propositions. Or, les liaisons possibles de trois propositions sont au nombre de 256, tandis que la syllogistique classique distingue 19 modes légitimes, consistant à combiner en un ordre varié (= les quatre figures) les propositions de types A, E, I, O selon toutes les combinaisons

l. Goblot, Traité, p. 212.

2. Hilbert et Ackermann, Grundzüge, p. 36.

3. Ibid., p. 38.

I

concluantes (= les modes autorisés parmi les 64 arrangements possibles de quatre propositions prises trois à trois). En plus de ces 19 modes classiques (dont 14 dus à Aristote et 5 à Galien, ceux de la quatrième figure), il existe 5 modes concluants ajoutés par Théophraste à la première figure d’Aristote (et entrevus par Aristote lui-même¹), souvent désignés du nom de modes indirects (Bara- lipton, Celantes, Babitis, Fapesmo et Frisesomorum).

Il est donc intéressant de nous demander à quoi est due cette limitation de la syllogistique classique. Résulte-t-elle du fait que la syllogistique s’en tient aux rapports de « tous » et de « quelques », tandis que la logique bivalente des propositions ignorerait cette condition restrictive ? Si cette opinion, qui est courante, était justifiée, cela infirmerait donc l’hypothèse défendue au paragraphe précédent. Est-ce au contraire simplement que, faute de symbolisme abstrait et d’une technique suffisante du calcul des opérations inverses et réciproques, donc faute d’une réversibilité assez générale, la syllogistique s’est limitée à l’analyse de certains rapports sans découvrir l’ensemble de ceux qu’il est possible de construire à partir de leurs combinaisons. En ce cas la même structure quantitative (intensive) serait commune à la syllogistique et au calcul général des propositions.

Examinons donc de ce point de vue les figures et les modes du syllogisme en nous demandant à quelles liaisons tripropositionnelles ils correspondent, si l’on admet les correspondances indiquées au § 42. La première figure, dite aussi figure parfaite, est celle qui donne au moyen terme le rôle de sujet dans la majeure et de prédicat dans la mineure. D’où les quatre modes concluants AAA, EAE, AU et EIO. Si nous désignons par r la proposition comprenant le grand terme (par exemple « x est mortel »), q celle qui comprend le moyen terme (par exemple « x est homme ») et p celle qui comprend le petit terme² (par exemple « x est Socrate »), on a donc :

(326) AAA→[(g⊃r) ∙ (p->g)]⊃(√⊃r)

. EAE→[(g∣r) ∙ (p⊃g)]⊃(p∣r)
AU → [(g dγ) • (p ■ g)] □ (p • r)
EIO → [(g∣r) • (p ■ g)] ⊃ (p • r)

1. Cf. I. M. Bochenski, La logique de Théophraste, Université de Fribourg, 1947.

2. Nous appellerons grand terme le prédicat de la conclusion, petit terme le sujet de la conclusion et moyen terme le terme uni au grand dans la majeure et au petit dans la mineure.

•

∣ ^i : ■ . -

La deuxième figure attribue au moyen terme le rôle de prédicat dans les deux prémisses, d’où le schème rq, pq et pr :

(327) EAE→[(r∣g)∙(p3g)]3(p∣r)

AEE→[(rDg) ∙ (p∣g)]⊃(p∣r) EIO →[(r∣g) • (p ■ q)]^(p∙r) AOO → [(r d q) ■ (p • g)] d (p ■ r)

La troisième figure fait du moyen terme le sujet des deux prémisses, soit qr, qp et pr :

(328) AAI → [(g Dr), (g op)] d (p ∙r)¹

IAI → [(g • r) • (g Dp)] d (p ∙ _r) Ail → [(g 3 r) ■ (g • p)] d (p ■ r) EAO → [(g∣r) • (g 3 p)] d (p • r) OAO → [(g • r) • (g 3 p)] d (p • r) EIO → [(g∣r) • (g • p)] 3 (p • r)

Dans la quatrième figure, enfin, le moyen terme est prédicat dans la majeure et sujet dans la mineure :

(329) AAI → [(r 3 g) ■ (g d p)] 3 (p • r)

AEE→[(r3g) ∙ (g∣p)]D(p∣r) IAI →[(r∙g)∙(g⊃p)]□(p∙r) EAO → [(r∣g) • (g 3p)] d (p • r) EIO → [(r∣g) • (g • p)] 3 (p • r)

On voit ainsi que les 19 modes classiques appartenant aux quatre figures possibles correspondent tous à des combinaisons interpropositionnelles définies, bien que plusieurs de celles-ci ne soient pas distinctes les unes des autres. Il s’agit donc d’abord de préciser le sens de cette correspondance. Le syllogisme est un schème de raisonnement faisant appel au contenu (définition 4) des propositions liées entre elles, c’est-à-dire à un emboîtement de classes prises en extension (ou de prédicats en compréhension) et à un emboîtement exprimé par la seule copule « est » (appartenance ou inclusion). Comme telle, la syllogistique est doublement limitée.

Elle l’est d’abord par la nature de la copule choisie, puisque toute la logique des relations infirme l’unicité de cette copule.

I. Ce mode Darapti a été rejeté par les logisticiens, du fait que des implications (q 3 r’) et (q Dp) on ne saurait tirer (p • r) que s’il existe quelque objet réalisant cette conjonction. Mais on en peut au moins déduire la possibilité logique.

D’autre part, puisque le syllogisme est un raisonnement intra- propositionnel, les classes dont les propositions unies par le syllogisme expriment les emboîtements sont des classes concrètes : leurs éléments sont des objets et constituent ainsi plus ou moins directement un « contenu extra-logique » (définition 6). Au contraire, les propositions dont nous venons de faire correspondre les liaisons aux syllogismes sont absolument quelconques quant à leur contenu, c’est-à-dire à leur structure intrapropositionnelle, et leurs liaisons ne sont vraies ou fausses qu’en fonction de leur forme interpropositionnelle. A chacune de ces propositions élémentaires on peut bien faire correspondre une classe d’arguments qui la vérifient, mais ces classes P, Q et R ne sont plus alors des classes d’objets : ce sont des classes de classes équivalentes du point de vue de leurs liaisons générales. Dire que le raisonnement [(q i r) • (p 1 q)] i (p ir) correspond au syllogisme en Barbara, c’est donc dire simplement que, au moyen d’inclusions de classes Q < R et P < Q, classes dont les éléments sont tous les arguments vérifiant (q 1 r) • (p i q), on peut construire un syllogisme en Barbara ; et que, réciproquement, on peut mettre tout syllogisme en Barbara sous la forme : [(ç ⊃ r) ■ (P ³ ?)] ³ (P ³ r).

Mais ce n’est nullement dire que la liaison interpropositionnelle en question constitue elle-même un syllogisme AAA. En effet, les classes P, Q et R, construites en fonction de p, q et r, ne se bornent pas à emboîter toutes les classes que l’on peut relier au moyen de syllogismes en Barbara (ce qui attribuerait déjà à ces classes P, Q et R des extensions considérables), mais bien les classes de tous les arguments vérifiant la structure [(⅛r ir) ■ (p i ?)] 1 (p 1 r), quels que soient le contenu et la quantification des propositions p, q et r. La correspondance entre les opérations interpropositionnelles énumérées et les 19 modes classiques du syllogisme est donc très indirecte : il n’en est que plus intéressant de constater qu’elle existe et que le seul jeu des propositions de forme (p dç); (p∖q)’, (p • q) et (p ■ q) suffit à rendre compte des combinaisons qui caractérisent la quantification (A, E, I, O) caractéristique du syllogisme.

Mais alors, si une telle correspondance existe, pourquoi la logique classique s’en est-elle tenue à ces 19 modes (ou 24 avec les modes indirects), sans s’occuper de 256 liaisons qu’il est possible de construire avec trois propositions ? Est-ce parce que seuls les rapports (p ³ q) ; (p I q) ; (p • q) et (p ■ q) admettent le « tous » et le « quelques » ou est-ce faute d’une technique déductive suffisante ? Examinons

[p. 371] de ce point de vue les conversions ou transformations d’un mode dans l’autre.

A côté du syllogisme, la logique classique distingue les « inférences immédiates », dont les unes sont fournies par le tableau des « oppositions » rappelées au § 42 et les autres par les diverses formes de « conversions ». Or, les conversions conduisent, de leur côté, à • certains développements de l’implication et des réciprocités. Ainsi la conversion simple entre deux universelles négatives (p|q) = (q\p) — « aucun homme n’est immortel = nul immortel n’est homme » — suppose la double implication (p d q) et (q d p), tandis que la conversion simple entre particulières affirmatives (p • q) = (q • p) — « quelques Vertébrés sont ovipares = quelques ovipares sont Vertébrés » — est une équivalence entre conjonctions ou implications : (p d q) = (q d p). La conversion par limitation — « tous les Oiseaux sont Vertébrés = quelques Vertébrés sont Oiseaux » — conduit à dissocier (p d q) en (p ■ q) et (p • q) et la contraposition (p d g) = (p\q) —   « non-Vertébré exclut Oiseau » — conduit à une traduction de l’implication en incompatibilité ou, ce qui revient au même, à tirer (q^p) de (p d g), car (p d q) = (g Dp) = (p|g).

De là les transformations permettant de passer d’une figure à l’autre ou même d’un mode à l’autre de la même figure. Ces transformations consistaient, pour Aristote, à réduire les figures II et III à la première, considérée comme seule parfaite. Elles sont devenues ensuite une véritable combinatoire, à laquelle Leibniz s’est intéressé en généralisant notamment le type de réduction qui consiste à remplacer la majeure par la négation de la conclusion (sa contradictoire).

Or, l’examen de ces transformations, par lesquelles la syllogistique manifeste le mieux sa nature opératoire, montre que sa vraie différence d’avec la logique bivalente des propositions ne tient pas au rôle joué par la quantification, mais simplement à un défaut de généralisation, en ce qui concerne en particulier les opérations multiplicatives et la réversibilité.

En effet, seules les transformations dites « directes » consistent à permuter les prémisses (opération symbolisée par la lettre m, paι, exemple dans Camenes et Camestres, réductibles à Celarent), à convertir simplement (symbole s dans Camestres, dont le premier s indique la possibilité d’une conversion simple de la mineure et le second s celle d’une conversion de la conclusion) ou avec limitation (symbole p, par exemple dans Darapti réductible, à Darii). Voici

la réduction de Camestres (AEE, figure II) en Celarent (EAE, figure I) :

(330) j[(r□0) ∙ (p∖q)] □ (p∣r)} □ J[(?|p) • (r 1 _?)] 1 (r∣p)j

Et celle de Darapti (AAI, figure III) en Darii (AU, figure I) :

(331) J[(ÿ 1 r) • (q 1 p)] 1 (p ∙ r){ 1 ∣[(y ιr)∙(p- <7)] 1 (p • r)^

Quant aux transformations « indirectes », elles concernent les modes AOO et OAO des figures II et III, qui ne sont réductibles à la première figure que par contraposition. Voici un exemple de Baroko de la figure II (le k étant le symbole de la réduction indirecte) transformé en Ferio (figure I) :

(332) ∣[(_r ιq)∙(p∙ ç)] 1 (p ∙ r)^ □ 1 r) • (p ■ ç)] d (p ∙^){

On voit que rien n’est changé, sinon (r ⊃ q) en son équivalent (9 ³ r).

Il existe en outre des transformations quelconques, consistant non pas à réduire les figures II et III à I, mais à passer indifféremment de l’une des figures à une autre. Étudiées par Leibniz, elles reviennent à la construction de nouveaux syllogismes obtenus par la négation de l’une des propositions contenues dans le syllogisme de départ¹. Il n’intervient donc alors que des opérations du type (p 1 q) = (p • q) ou (p ■ q) = (p 1 q), etc. Par exemple en remplaçant la mineure d’un syllogisme par la négation de sa conclusion, on obtient un syllogisme de la figure II dont la conclusion est la négation de la mineure du syllogisme initial :

(333) J(⅛ d r) • (p 1 q)] i (p 1 r)j □ j[⅛ 1 r) ■ (p ∙ r)] □ (p • q){

Au total, les réductions classiques consistent en conversions, contrapositions et négations des seuls rapports d’implication, d’incompatibilité et de conjonction. Le caractère trop limité de ces transformations se révèle d’abord dans l’absence d’une théorie systématique de la réversibilité (inversions et réciprocités). On trouve dans Goblot² un exposé tendant à synthétiser les divers rapports précédents du point de vue de ce qu’il appelle l’inversion et la réci-

l. Voir Serrus, op. cit., p. 168 et sq.

2. Goblot, Traité, § 149, p. 240-241.

QUANTIFICATION ET SYLLOGISTIQUE CLASSIQUE 373 procité, et qui suffit à révéler le désordre où en demeure la logique usuelle au point de vue des opérations d’inversion, faute d’une symbolique adéquate. « Invertir une proposition, dit Goblot, c’est former une autre proposition qui a pour termes la négation des’ termes de la première. Si deux universelles inverses sont simultanées, leurs réciproques sont vraies. En effet, la négation non-p exclut q, inverse de p entraîne q, se convertit en q entraîne p, réciproque de p entraîne q » [… etc.]. D’où Goblot conclut : « l’inverse et la réciproque d’une universelle sont un seul jugement »¹. Il n’est pas question de chicaner Goblot sur sa terminologie, car aujourd’hui encore chaque auteur est malheureusement obligé de se construire la sienne. Le problème est seulement de savoir si ce que Goblot appelle « négatives », « inverses », « réciproques » et « conversion » recouvre l’ensemble des transformations réversibles en jeu dans le cas des trois propositions invoquées : (p∖q)’, (p 3 g) et (g 3 p). Or, il saute aux yeux que, dès le départ, Goblot définit sans s’en douter l’inverse et la réciproque de (p 3 g) de la même manière car (p|g) = [(p • g) ∨ (p ■ g) ∨ (p ■ g)] = (g 3 p), de telle sorte qu’il n’est pas surprenant qu’il les trouve équivalentes en fin de compte. En réalité, les transformations réversibles que l’on peut effectuer sur (p d g) comprennent notamment : a) la contraposi- tion, qui laisse (p 3 g) identique à (g 3 p) = (p 3 g) ; b) la réciprocité, qui transforme (p 3 g) en (p d g) = (g 3 p) = (p|g) ; c) l’inversion ou négation : (p 3 q) = (p • g) ; d) la corrélativité qui tire (p • g) de (p 3 g) (voir § 31, théorème III). Quant à l’identité de (p 3 g) ou (p|g) et de (g d p), sur laquelle insiste Goblot, elle n’est pas vraie seulement des universelles, mais de toutes les liaisons : par exemple (p ■ g) = (p 3 g) et (p • g) = (p 3 g). C’est donc un véritable « groupe de transformations » (voir théorème VI, § 31) que Goblot a laissé échapper à son analyse, faute d’une théorie rigoureuse de la réversibilité opératoire.

Une seconde lacune essentielle de la syllogistique tient à l’absence d’opérations multiplicatives (intersection et produit des classes) du type (p ∨ g) (voir fig. 21) ou (p * g) (voir fig. 19). Par exemple Goblot affirme sans plus qu’« il n’y a pas de jugements disjonctifs »² sous le prétexte qu’une proposition formée de d’eux autres propositions ne constitue pas à elle seule une unité ! Cependant la notion

1. lb d., p. 241.

2. Ibid., p. 241 (§ 150). Voir aussi § 113.

même des oppositions « subcontraires » implique, nous l’avons vu (et en nous appuyant sur le commentaire de Goblot lui-même), la disjonction (p ∨ q). Mais la logique classique n’a pas su mettre en forme les liaisons (p ∨ q) ni surtout :

(p * q) = (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q)

qui cependant enveloppent elles aussi la distinction du « tous » et du « quelques ». C’est cette lacune fondamentale qui explique l’embarras de la syllogistique à l’égard des modes dits « irréguliers » et qui l’a empêchée de parvenir à la constitution d’une logique des propositions vraiment générale.

En conclusion, la différence entre la logique classique et celle des propositions bivalentes ne tient pas, comme il pourrait le sembler, au rôle de la quantification : toutes deux sont limitées à la quantité intensive, se manifestant par le « tous », le « quelques »et 1’« aucun » des inclusions de classes concrètes envisagées par la logique classique et par l’emploi exclusif des emboîtements de partie à tout et des complémentarités dans le calcul des propositions. Leur différence essentielle tient au caractère imparfait du formalisme de la syllogistique, qui, faute d’un algorithme abstrait, atteignant la généralité du pur calcul intérpropositionnel, n’a su dominer ni la question de la réversibilité ni même celle des emboîtements multiplicatifs. Ainsi le dictum de omni et nulle, entendu dans le sens • de la subordination nécessaire de chaque affirmation ou négation portant sur les parties aux affirmations et négations concernant le tout, marque les limites communes de la logique classique et de celle des propositions bivalentes, c’est-à-dire en un mot de la logique intensive, eu égard à la logique mathématique.