Chapitre VI.
Les fondements de la déduction : l’axiomatique et les « groupements » de la logique bivalente ^a 🔗

L’axiome II, écrit sous la forme 213 [p 3 (p v ç)], exprime le fait fondamental que toute proposition p fait partie d’un tout formé d’elle-même et d’autres propositions auxquelles elle est réunie de façon disjonctive. Soit p =« x est Vertébré » et o = une autre proposition quelconque telle

Fia. 37.

que « x est aquatique » ou « x est unicellulaire », etc., on a toujours p 3 (p ∨ g), c’est-à-dire « si x est Vertébré, il est alors ou Vertébré ou aquatique (ou unicellulaire, etc.) ou les deux à la fois » : cette proposition p 3 (p ∨ q) est donc toujours vraie, car, si (p • q) est faux, on a au moins (p • q), et si (p • q) est faux on a au moins (p • q): d’où (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p ■ q).

Traduit en langage de classes, l’axiome p 3 (p ∨ q) correspond, en effet, à l’inclusion P < (P 4- Q) (voir la figure 37), dans laquelle P + O se décompose en PO ÷ PO

+ PQ, l’une ou deux de ces sous-classes pouvant être nulles (à la condition que ce ne soit pas PQ et PQ à la fois ni PQ et PQ à la fois). I

On constate ensuite que cet axiome est absolument général, et on peut même l’écrire p 3 (p ∨ p), ce qui correspond à l’inclusion des classes P < (P + P) : la classe des arguments vérifiant p est incluse dans l’univers du discours formé par tous les arguments vérifiant p (classe P) et par tous ceux pour lesquels p a une valeur fausse (classe P), sans tertium possible (principe du tiers exclu propre à la logique bivalente).

Or, un tel axiome présente une signification opératoire fondamentale. Il revient à considérer chaque proposition comme une affirmation délimitée ou partielle, emboîtée dans une affirmation plus étendue : celle-ci joue alors le rôle d’un tout par rapport à la première, qui en constitue de ce fait une partie intégrante. Cet

emboîtement de la partie dans le tout est assurément le premier principe de toute logique, et appartient en commun à la logique des propositions et à celle des classes ou des relations.

En langage de disjonctions seules, l’axiome II devient p ∨ (p ∨ q) (proposition 217), puisque p ⊃ q équivaut à p ∨ q (proposition 159). Dans l’exemple choisi, cela revient à dire : « Ou bien x n’est pas Vertébré, ou bien il est Vertébré ou aquatique (ou unicellulaire, etc.) ». Le modèle correspondant de classes est alors P + (P + Q) = (P + Q), ou P < (P + Q), car, si l’ensemble référentiel est (P + Q) = (PQ + PQ + PQ) avec PQ positif ou nul, la classe P est bien comprise dans P + Q.

En langage d’implication, l’axiome II est p ⊃ (p ⊃ g) (proposition 221) puisque (p ∨ q) = (p □ q) • (q d p). En effet, l’expression (p d q) signifie (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • g) comme l’expression (p ∨ g) elle-même. L’expression p ⊃ (p Dg) correspond donc aux relations de classes P < (PQ + PQ + PQ). L’implication q^> p donne elle aussi (p • g) ∨ (p • g) ∨ (p • g) et correspond aux mêmes inclusions.

Enfin le langage des conjonctions et négations donne :

(p • p • g) =’ (p ∨ p ■ g) = p D (p . g) = p D (p ∨ g)

et correspond donc aux mêmes emboîtements de classes.

Quelle que soit la formulation adoptée, on constate donc que l’axiome II exprime le même emboîtement fondamental de la partie dans le tout. Que l’on traduise cet emboîtement en termes d’extension (classes), de compréhension (relations) ou de simple assertion (propositions), il reste qu’il constitue la condition initiale de toute structuration logique.

Un second principe fondamental de la logique est celui qu’exprime l’axiome I (p ∨ p) d p ; son rang montre même que les axiomatiques de Russell et de Hilbert en font la première proposition à admettre pour construire le calcul interpropositionnel. En effet, selon Russell, une proposition est « ce qui s’implique soi- même » : p⊃p. Mais il est douteux qu’une proposition isolée (à supposer que cette notion ait un sens) puisse s’impliquer elle-même, car une proposition est toujours à la fois partie intégrante d’un ensemble (Axiome II) et totalité en elle-même : cela est vrai déjà des propositions dites « atomiques » ou « élémentaires » qui résultent dès le départ de l’interférence avec d’autres propositions. Toute proposition implique donc simultanément d’autres propositions et elle-même.

Mais cette auto-implication ou emboîtement de la partie en elle- même est distincte de l’hétéro-implication, ou emboîtement de la partie dans le tout, bien que les deux soient solidaires. En effet, l’axiome I s’écrit (p ∨ p) 3 p et non pas p ⊃ (p ∨ p) ou p = (p ∨ p), quoique ces deux expressions soient vraies elles aussi. Mais le rapport (p ∨ p) 3 p est le plus remarquable des trois, car il exprime séparément cette vérité, indépendante de p 3 (p ∨ q), qu’une proposition p réunie à elle-même (p ∨ p) implique sa propre vérité, mais n’implique rien de plus que la vérité déjà contenue en p seule : l’auto-implication est donc à la fois nécessaire et tautologique. Elle correspond, en termes de classes, à la tautification A + A = A (proposition 20). Or, l’emboîtement de la partie dans le tout peut s’imposer sans qu’il y ait pour autant tautification : dans le cas des nombres entiers finis, onaθ<ljl<2etn<n + l (emboîtement de chaque nombre dans le suivant) ou même n < (n + m) et cependant on a 1 + 1 = 2 et non pas 1 + 1 = 1 (itération et non pas tautologie).

En langage de disjonction on a (p ∨ p) ∨ p puisque (p^>q) = (pvq). En termes d’implication, on a (p 3 p) 3 p car (p 3 p) est équivalent à (p • p) donc à (pvp). Les opérations correspondantes de classes sont alors :

(P < P) < P ou (P + P) + P = P

Or, cette expression n’est vraie qu’en un seul cas : celui dans lequel la classe P est vide. En effet, si P = O, alors la classe P inclut effectivement la classe nulle (P). Mais admettre que P soit une classe nulle revient précisément à dire que (p • p) est vide (p • p = O) et que seule subsiste l’alternative pvp : ainsi la proposition (p s p) 3 p est à la fois exacte et équivalente à (p ∨ p) 3 p, c’est-à-dire à l’expression de l’auto-implication tautologique.

Enfin, en termes de négations et de conjonctions, on a p ■ p • p, dont la signification est que l’on ne saurait affirmer simultanément p ■ p (= pvp) et p, d’où p • p (= p ∨ p) 3 p.   Les opérations correspondantes de classes sont alors :

P×P×P=(P×Pj<P=(P + P)<P

En chacune de ces expressions, on retrouve donc ce principe que la proposition p s’implique elle-même, et que cet auto-emboîtement de l’élément logique exprime le caractère tautologique de la réunion (p ∨ p) laquelle équivaut ainsi à l’affirmation unique de p. 

L’axiome III (p ∨ q) 1 (q ∨ p) exprime ce troisième principe fondamental selon lequel la réunion des éléments p et q en un seul tout (p ∨ q) est indépendante de l’ordre et présente par conséquent la propriété de la commutativité. Ce principe constitue l’équivalent, dans le domaine des opérations interpropositionnelles, de ce que représente, dans la logique des classes, la commutativité de l’addition (P + Q=Q+P), et, dans la logique des relations, la commutativité de l’addition des relations symétriques : ( _c^a_r + _t^a∖ ) = ( _t^a∖ + ,√4).

La traduction de ce rapport en termes de disjonction :

(pVq) ∨ (qyp)

n’y ajoute rien de plus. Il en est de même de la notation p ∙q ∙q ∙p qui équivaut exactement à pvq ∨ (q ∨ p) selon la règle de dualité.

Par contre, l’expression (pi q) 1 (qi p) introduit, à l’état explicite, une relation contenue seulement de façon implicite dans les expressions précédentes : la réciprocité. En effet, si l’on a :

(p⊃9)⊃(⅛⊃p)

on a nécessairement aussi (q 1 p) 1 (p 1 q), donc (p 1 q) = (q 1 p), puisque (p ∨ q) équivaut simultanément à (p 1 q) et à (q 1 p) et (q ∨ p) également. La réciprocité, qui constitue un principe essentiel comme fondement de la logique, intervient, sous une forme ou sous une autre, en chaque opération, et il est clair que même dans la notation en termes de pure disjonction on a déjà :

[(PVq) ∨ (q v p)] = [(ÿVp) ∨ ⅛ ∨ ç)]

ce qui ajoute un élément de réciprocité à la simple commutativité. Mais dans le cas des opérations non-commutatives, comme l’implication, le problème de la réciprocité prend une forme spéciale : c’est pourquoi l’expression (p 1 q) 1 (q 1 p), qui est un système d’implications, diffère de l’expression (p ∨ q) 1 (q ∨ p) en ce que les deux termes (p ∨ q) et (q ∨ p) sont, chacun à part, équivalents à (p 1 q) et (q 1 p) réunis. Aussi renvoyons-nous la discussion de cette forme particulière de l’axiome III, due aux exigences de la notation de Frege, au n° VIII où nous traiterons de la réciprocité en général.

Avec la notion d’ordre, qui s’oppose à la commutativité propre à la réunion des parties, nous en arrivons à certains principes qu’il est nécessaire d’admettre à titre de fondements de la logique et cela malgré le fait qu’ils ne figurent pas explicitement dans les axiomes. Mais s’ils ne sont pas l’objet d’une formulation axiomatique spéciale, du moins en logique (Hilbert a énoncé les axiomes d’ordre avec soin parmi les axiomes de la géométrie), ils n’en jouent pas moins un rôle implicite évident parmi les quatre axiomes discutés ici même (rôle augmentant encore d’importance avec 1’« axiome unique » de Nicod, qui les résume en un seul).

Contrairement à l’opération de la réunion des parties {p ∨ q), qui est commutative, les emboîtements de partie à tout comportent en effet la présence d’un ordre qui se traduit dans la non-commutativité de l’opération d’implication. Ainsi (p □ q) n’équivaut point à (q □ p) parce que la partie p est emboîtée dans le tout q et non pas l’inverse. Par exemple l’axiome II s’écrit p=>(pvq) et non pas (p ∨ q) □ p, ce second énoncé n’équivalant pas au premier et exprimant une assertion fausse, puisque (p ∨ q) implique seulement la vérité de p ou celle de q (avec possibilité mais non pas nécessité de la vérité simultanée de ces deux propositions). L’axiome II suppose donc l’ordre p □ (p ∨ q), par opposition à l’ordre (p ∨ q) □ p, ce qui revient à dire qu’il enveloppe la nécessité d’une distinction générale entre l’ordre (p □ q) et l’ordre (q ⊃ p).

En effet, si la notion d’ordre est étrangère à la plupart des opérations interpropositionnelles (v), (•), (w), ( = ), (|), elle s’impose dans le cas des deux implications (⊃) et (c). Dira-t-on que l’implication (p □ q) équivaut à la disjonction (p ∨ q), c’est-à-dire à une opération commutative ? Mais c’est justement reconnaître que l’ordre inverse (q s p) équivaut à une autre disjonction, laquelle est (q ∨ p). L’intérêt n’est donc pas que (p v q) puisse être permuté en ⅛v p), mais que les opérations à termes non permutables (p □ q) et (q □ p) correspondent aux deux assertions distinctes (p ∨ q) et (p ∨ q) qui ne s’équivalent nullement.

La raison en est claire : l’opération (p ∨ q) exprime la réunion des parties p et g en un même tout (p ∨ q) et cette réunion est indépendante de l’ordre, puisqu’il s’agit de parties situées à un même niveau hiérarchique. Au contraire, l’implication p ⊃ q, et la suite d’implications p ⊃ q\ q ? r ; r^s] etc., expriment une succession d’emboîtements de la partie dans le tout et de ce tout conçu comme une

nouvelle partie dans un tout de rang supérieur : p → q → r → s → … Ces emboîtements impliquent donc un ordre, lequel correspond aux inclusions également ordonnées P<Q<R<S< etc.

Aux principes de l’emboîtement (1), de l’auto-emboîtement (2) et de la commutativité des opérations de réunion (3), il faut ajouter un autre principe qui n’en découle pas (et en découle même si peu que la syllogistique classique l’a presque complètement négligé) : celui de l’intersection possible des associations, partielles ou totales, de propositions. Ici encore il s’agit d’un principe non-axiomatisé explicitement, mais qui intervient à l’état implicite dans les axiomes II et IV : l’opération (p ∨ q) signifie, en effet, l’éventualité des trois associations (p ■ q) ; (p ■ q) et (p ■ q). Or, nous l’avons vu (voir la figure 37 et l’exemple), ces trois possibilités correspondent à l’intersection des classes P et Q, dont la partie commune est PQ et dont les parties non-communes sont PQ et PQ. L’opération (p ∨ q) implique ainsi la possibilité de la conjonction p • q en tant qu’intersection des propositions partiellement disjointes p(v)q.

Nous touchons ici au fondement principal de la déduction, et le principe en est formulé

explicitement par l’axiome IV. En posant :

(p 3 î) ⊃ [(p ∨ r) 3 ⅛ ∨ r)]

on affirme, en effet, que l’association (p ∨ r) entraîne l’association (qvr) par l’intermédiaire de (p 3 q).

Fig. 38.

Exempte : si p = « x est insecte »; q~ « z est Invertébré » et r —   « z est

aquatique », on a : « Si Insecte implique Invertébré, le fait que x soit Insecte ou aquatique (ou les deux) implique que x soit Invertébré ou aquatique (ou les deux) ».

Cet axiome (IV) exprime ainsi, sous sa forme la plus générale, la transitivité des emboîtements de partie à tout : l’implication (p ∨ r) 3 (q ∨ r) est, en effet, plus générale que l’implication

(r □ p) □ (r 1 q) et y conduit comme à un cas particulier. C’est ce

que montre intuitivement le schéma des inclusions de classes correspondantes. L’axiome IV peut d’abord correspondre à la figure 38, où l’on a :

(228) (pιq^y)i [(p vr) ⊃ ⅛ ∨ r)] = (p ■ q-r)v (p ■ q-r)v

(P- q • r) ∨ (P ■ q • r) ∨ (p • q • r)

Mais l’axiome reste vrai si l’association (p • q • r) est nulle (fig. 39).

Il reste également vrai si l’association (p • q • r) est remplacée par (p • q • r), c’est-à-dire si r d q (fig. 40).

Il reste enfin vrai si (p • q • r) est annulé, ce qui réduit l’alternative (p ∨ r) à l’implication (r □ p). En ce cas (fig. 41), les emboîtements sont simplement :

(229) [(p i q) • (r ι p)] □ (r □ q)

C’est ce que montre par ailleurs la formulation de Frege (proposition 223) :

(p ⊃₉)d[(7⊃p)d(F⊃₉)]

dans laquelle il suffit de remplacer la négation r par une proposition positive r pour substituer l’implication (np) à l’alternative (rvp).

Fia. 39.

Fia. 40,

Fia. 41.

L’axiome IV, dans l’expression choisie par Russell et Hilbert, représente donc bien la transitivité des emboîtements de partie à tout sous sa forme la plus générale.

Si les axiomes I-IV dégagent explicitement les rapports de partie à tout, la commutativité des opérations de réunion et la transitivité des emboîtements, ils négligent par contre de développer une relation fondamentale, qui demeure implicite dans la formulation de Hilbert (propositions 212 à 215), mais intervient dans le symbolisme de chacune des autres formulations (propositions 216 à 227) : c’est la relation de complémentarité, principe de la négation et des opérations inverses, et par conséquent l’un des fondements essentiels de toute déduction.

Hilbert lui-même précise du reste qu’il prend l’expression {p □ q) à titre d’abréviation de (p ∨ q), c’est-à-dire que la négation p intervient dès ses axiomes autant que l’affirmation p.   Or, la négation p revient à partager le champ considéré des valeurs en deux sous-classes complémentaires P et p, telles que l’on ait (p w p), donc p = p (principe du tiers exclu propre à la logique bivalente).

De plus, la complémentarité ne porte pas seulement sur une proposition isolée (p etp), mais sur une liaison comme telle. Par exemple la liaison p • q intervenant dans la proposition 226 (axiome III dans la notation de Brentano) équivaut à l’expression (p ∨ q) de la proposition 214, parce que nier (p • q), soit « ni p ni g », c’est affirmer (p ∨ q), soit « p ou g ». De même poser l’implication (p □ q), c’est exclure la non-implication (p • q), etc. Or, ces négations de liaisons reposent également sur la complémentarité : si (p • q) est la négation de (p ∨ q) et vice versa, c’est que (p ∨ q) équivaut à (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q), c’est-à-dire aux trois conjonctions dont la réunion constitue le complémentaire de (p • q) par rapport à l’affirmation complète ou tautologie (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q).

En d’autres termes, la complémentarité est le fondement, ou l’un des deux fondements, de la réversibilité. Or, si le système des emboîtements, avec leur transitivité, rend compte de la fécondité des compositions opératoires, c’est la réversibilité, sous sa forme de complémentarité, qui, seule, lui assure sa cohérence et sa non- contradiction, en obligeant à poser (p • p = o) et (p = p). A cet égard, le principe de non-contradiction (p • p = o) n’est pas autre chose que l’expression de la composition conjonctive entre une opération directe (affirmation p) et son inverse (négation p), composition dont le propre est d’avoir pour produit l’opération identique (o). Il en est de même lorsqu’une opération binaire, par exemple (p ∨ q),

est composée conjonctivement avec son inverse (p ■ q), le produit étant la négation complète ou « contradiction » (o) :

(230) (p ∨ q) • (p • q) = (o)

Il est donc indispensable de dégager le rôle fondamental que joue implicitement la réversibilité simple (complémentarité) dans le mécanisme opératoire enveloppé par les axiomes I-IV eux-mêmes : non seulement chacun d’eux enveloppe la négation (p ∨ q), qui est une réversibilité uninaire, mais encore l’obligation où ils se trouvent de n’être pas contradictoires entre eux implique une réversibilité binaire de la forme (230), qui est l’expression même de la non- contradiction entre les opérations bi-propositionnelles comme telles.

Il existe, d’autre part, une seconde forme de réversibilité : c’est celle que l’on invoque en désignant l’implication (q 3 p) du nom d’implication inverse par rapport à (p^q). Il s’agit alors d’un nouveau principe essentiel dont on ne saurait se passer dans les fondements de la déduction : la réciprocité. La réciprocité est, elle aussi, une complémentarité, mais par rapport à l’équivalence (p = q) et non pas par rapport à l’affirmation complète (p * q) = (p • q) ∨ (p ■ q) ∨ (p • q) ∨ (p • q) ; cela revient à dire que la réunion conjonctive de deux opérations réciproques équivaut à une équivalence : (p 3 q) • (q ⊃ p) = (p = q).

La réciprocité est impliquée dans l’axiome III, car si :

(p ∨ q) 3 (q ∨ p)

on a aussi (q ∨ p) 3 (p ∨ q), donc que (p ∨ q) = (q ∨ p). Or, si nous écrivons l’axiome III dans la formulation de Frege, nous avons :

(231) (p 3 q) d (q 3 p) ; mais aussi (q 3 p) 3 (p 3 q) ;

donc (p 3 q) = (q 3 p)

La réalisation d’un modèle correspondant en opérations de classes est particulièrement instructive sur ce point. On aura, en effet :

(P < Q) = (Q < P)

(Voir les propositions 206 bis, 207, 208 et 208 bis et la figure 36.)

Or, on constate que cette équivalence n’est pas une identité, mais qu’elle fait partie d’une identité dont la forme entière est (fig. 42) :

PQ + (PQ + PQ) = (PQ + PQ) + PQ (où PQ peut être nul).

Cette expression, qui est donc la forme complète de :

(P < Q) = (Q < P)

constitue, on le voit, ce que nous avons appelé une vicariance dans
le domaine de la logique des classes (chap. Il, § 13). Or, la vicariance,
ou substitution complémentaire est, elle-même, on s’en

souvient, le principe des relations symétriques, c’est-à-dire justement des équivalences.

D’une manière générale, la réciprocité est donc la réversibilité appliquée aux relations : ou bien elle traduit sans plus

Fig. 42.

l’équivalence (réciprocité complète : p = q), ou bien elle exprime une complémentarité par rapport à l’équivalence (relations dont les termes sont permutés : p ⊃ q et q 1 p, c’est-à-dire P < Q et Q < P, ou liaisons entre propositions niées : p iq = p s q etqip = p 1 q)¹.

Si la réciprocité constitue le principe de l’équivalence, celle-ci correspond à son tour à l’opération de la substitution. Sans que cette dernière prenne explicitement place au sein des axiomes, elle n’en est pas moins indispensable à leur formulation, puisque le symbolisme et le calcul interpropositionnel utilisent sans cesse cette opération, qui est la plus générale de toutes et constitue le moule commun de toutes les transformations d’une liaison dans une autre. Le seul fait d’annoncer, comme le fait Hilbert, que l’on pourra écrire (p i q) pour (p ∨ q) est en réalité un appel à la substitution. En effet, substituer (p 1 q) à (p ∨ q) ne constitue pas une simple convention d’écriture assimilant l’un à l’autre deux signes pour désigner une seule liaison identique à elle- même : bien que les liaisons (p ∨ q) et (p d q) signifient toutes deux (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q), l’implication (p ⊃ q) exprime l’emboîtement de p dans q, tandis que la disjonction (p ∨ q) met en évidence l’existence de l’association (p • q) ; ce sont donc là deux liaisons substituables parce qu’équivalentes, mais non pas identiques.

I. Voir le théorème V et ses corollaires, au § 31.

Les sous-ensembles d’un ensemble forment, comme nous l’avons vu au § 10, un groupe additif du point de vue de l’opération consistant à réunir leurs parties non-communes. On retrouve donc un tel groupe dans le calcul interpropositionnel du point de vue de l’opération (p w q) :

Définition : (p w q) = (p • q) w (p • q)

1. Opération directe : (p w q) ; (q w r) ; etc.

2. Opération inverse : (p w p) = o ; (q w q) = o ; etc. En effet :

(244) p w p = (p -p) w (p • p) = (o) w (o) = o

3. Opération identique : o. En effet :

(245) (p w o) = p et (p w p) = o

4. Associativité :

(246) [pw ({w r)] = [(p w q) w r)]

Deux quelconques des opérations de l’ensemble ont pour produit une opération de l’ensemble : il y a donc bien groupe, mais un groupe dont l’opération directe constitue sa propre inverse lorsqu’elle est appliquée à une partie commune (p w p). Notons parmi les expressions remarquables :

(247) (p w p) w p = p

En effet (p w p) = o et (p w o) = p

(248) (p w q) = {p w q)

En effet (p w q) = (p • q) w (p • q) = (p • q) w (p • q)

(249) (p w p) = T

(où T est la totalité considérée) et surtout¹ :

(250) Si (p w q) = x ; alors (p w x) = q et {q w x) = p

1. Cf. p. 323 (théorème 21) de l’article cité de Bernstein de 1936.

Rappelons en outre que si p et q sont entièrement disjointes, on a :

(p w q) = (p = q) = (p = q)

(Cf. proposition 190.)

En effet (p w q) = (p • q) w (p ■ q). Or (p = q) = (p • q) w (p • q) et (p = q) = (p • q) w (p • q).

On constate ainsi que l’opération (p w q), tout en constituant l’élément d’un groupe, équivaut à une équivalence entre l’une des deux propositions exclusives et la négation de l’autre (ce qui ne s’applique naturellement pas à trois propositions, sauf si l’une est la négation des deux autres, etc.). L’opération (p = q) constituera ainsi (comme nous l’avons déjà vu au § 30) la négation de (p w q).

Soit donc l’opération (p = q), qui signifie (p = q) = [(p ■ q) w (p • q)]. Pour mieux marquer sa parenté avec l’opération (p w q) dont on vient de rappeler qu’elle est la négation, nous l’écrirons aussi (p w q). Et, pour éviter les confusions qui pourraient se produire au moment où nous comparerons ces deux sortes d’opérations, nous parlerons des propositions (r w s) donc (r = s), puisque (p w q) est contradictoire avec (p w q). Nous définirons ainsi :

(r = s) ≡ (r w s) = (r • s) w (r • s)

Les équivalences (r = s), donc (r w s) forment alors un groupe dont les opérations sont :

1. Opération directe : r w s (donc r = s) ; s wt (donc s = t); etc.

2. L’opération inverse est identique à l’opération directe, puisque chaque équivalence recouvre la totalité du système considéré :

(251) r w r (donc r = r) = (r • r) w (r • r)

r w s (donc r = s) = (r • s) w (r • s)

Etc.

3. L’opération identique est donc le système total T. En effet le produit des opérations directe et inverse, qui sont identiques l’une à l’autre, est toujours T, car :

(252) r w r (donc r = r) = (r ■ r) w (r • r) = r w r = T

(Cf. proposition 249.)

D’autre part, T composé avec un élément quelconque le laisse invariant puisque la partie commune entre cet élément et le tout T est cet élément lui-même :

(253) r • T = r ; s • T = s ; r • T = r ; etc.

4. Associativité :

(254) [(r ws) wi] = [r w (s w t)]

c’est-à-dire [(r = s) = Z] = [r = (s = Z)]

Mais il est à signaler que le terme o ne fait pas partie du groupe. En effet r • o = o, ce qui annule r sans retour.

Notons encore une expression intéressante, qui est la réciproque de (190) :

(255) (r w s) = (r w s) = (r w s)

En effet l’équivalence (r = s) est l’exclusion de r et de s, puisque (r w s) *= (r • s) w (r • s) et que (r w s) = (r ■ 5) w (r • s)

Le premier de ces deux groupes ne saurait à lui seul rendre compte de l’ensemble des transformations propositionnelles, puisque l’opération fondamentale de ce groupe porte sur la réunion des parties non communes, c’est-à-dire sur les éléments dissociés de leurs emboîtements et non pas sur les emboîtements comme tels. En effet :

1. L’opération directe (p w q) se définissant par (p • q) w (p • q), elle consiste essentiellement à nier l’implication de p par q ou de q par p, puisque p • q = p^q et p ■ q = q^p.   La disjonction exclusive constitue ainsi la réunion de deux non-implications, les trois liaisons binaires (p w q) ; (p • q) et (p • q) étant les seules à ne comporter ni (p • q) ni (p • q). Or, l’opération la plus importante sans doute de toute déduction est l’implication : on voit donc mal comment le groupe des exclusions suffirait à en rendre compte à lui seul, puisque l’implication (p d q) est la réunion d’une partie commune (p • q) et d’une partie non commune (p • q).

2. L’opération d’équivalence ne fait pas partie du groupe. Aussi quand B. A. Bernstein écrit (p w q) = x et (p w x) = q, il précise que l’opération ( = ) est extérieure au système¹. On se trouve alors

1. « The relation of egality = is taken oulside the System >, 1936, p. 318

en présence d’une situation paradoxale : l’équivalence (= ouw) est l’opération inverse de la disjonction exclusive (w) (inverse au sens des opérations interpropositionnelles, et non pas au sens du groupe de Boole-Bernstein) ; or, le produit x de la disjonction (p w q) ne saurait être relié aux éléments disjoints (p w q) que par cette opération inverse (=) de la disjonction elle-même (soit p w q = x) et cela , bien que cette opération ( = ) ne fasse pas partie du système ! C’est assez dire que la disjonction (w) ne suffit pas à tout. Sans doute peut-on écrire (p w q) = x en termes de pure disjonction :

(256) [(p w q) = x] ≡ [(p w q) w x] (en vertu de 255)

Mais l’inversion de (wi) en (w x) équivalant à ( = x) constitue une opération qui ne se confond pas avec l’inverse du groupe (p w p = o ou p w x = q) et qui n’appartient donc pas comme telle au groupe des disjonctions exclusives, bien qu’indispensable à la logique bivalente.

3. Les auto-emboîtements (p ∨ p) — p ou (p • p) = p ne font pas non plus partie du groupe : or ils sont nécessaires au mécanisme opératoire de la logique interpropositionnelle (axiome I de Russell et Hilbert).

4^ » Bref, le groupe de disjonctions exclusives rie porte que sur les éléments déboîtés et non sur les emboîtements comme tels. Il se trouve ainsi plus proche (voir § § 10 et 26) des structures numériques que de la logique de l’implication. Comme l’a montré Herbrand, il est en effet isomorphe au système des nombres entiers module 2, c’est-à-dire aux nombres 0 et 1 considérés comme équivalents à tous les nombres pairs et impairs.

Quant au groupe des équivalences, il porte au contraire sur les parties communes, par opposition aux parties disjointes. Il fournit ainsi l’exact complément de ce qui manque au groupe des exclusions ; seulement, de ce fait même, il est à son tour privé des éléments propres au premier groupe et qui lui seraient nécessaires pour exprimer les totalités des transformations bivalentes¹.

1. De même que l’équivalence ( = ) ne fait pas partie du groupe I tout en étant nécessaire à l’expression de ses transformations, de même la disjonction exclusive (w) ne fait pas partie du groupe II tout en étant nécessaire à l’expression (r = s) = (r • s) w (r • S). En

.1. Il est vrai que Tarski, en sa célèbre thèse, a montré comment on peut réduire les seize liaisons binaires à des équivalences. Mais c’est en faisant intervenir des quantificateurs qui attestent malgré tout la diversité des opérations en jeu.

effet, si r = s, alors (r • s) et (r • S) sont disjoints sans que cette disjonction exclusive constitue comme telle une opération du groupe.

2. Les auto-emboîtements (p ■ p) — p font cette fois partie du groupe, mais non pas le (o). En effet, l’opération identique du groupe étant le tout T, elle ne saurait être inversée sous la forme (T = o). Le (o) échappe ainsi au groupe tout en étant nécessaire au système complet des opérations bivalentes, par exemple sous la forme P • P = o.

3. D’une manière générale le groupe des équivalences se borne à réunir les équivalences, mais sans nous apprendre pourquoi il y a équivalence. Or les transformations dont l’équivalence est le produit, par exemple (p w q) = x, importent autant que l’équivalence elle- même.

Bref, le groupe des disjonctions exclusives (w) ne portant que sur les parties non communes du système d’ensemble des propositions et le groupe des équivalences (= ou w) ne portant que sur les parties communes, chacun des deux groupes est à lui seul insuffisant pour fonder la totalité des opérations interpropositionnelles. C’est ainsi que l’implication (p 3 q) donne (p w q) = (p ■ q) du point de vue de la réunion des parties non communes et (p w q) = (p • q) du point de vue de celle des parties communes : or l’essence de l’opération d’implication est précisément de réunir en un seul tout (p 3 q) les parties communes (p • q) et (p • q) et les parties non communes (p ■ q), soit (p 3 q) = (p ■ q) ∨ (p • q) ∨ (p • q). La question est alors de savoir si l’on ne pourrait pas fusionner ces deux groupes en un système unique qui rendrait compte de cette totalité opératoire.

Fonder la logique bivalente sur la notion de groupe consisterait à caractériser un groupe unique dont les compositions recouvriraient toutes les transformations interpropositionnelles et notamment toutes les manifestations de la réversibilité (dont nous avons vu, au chapitre VI, l’importance essentielle). En effet, l’opération inverse d’un groupe, composée avec l’opération directe, donne l’opération identique : d’où trois mécanismes opératoires de progression, de retour et de référence à un point d’origine invariant, dont la solidarité fonde la cohérence des systèmes¹. Or, dans le cas de la disjonction exclusive, chaque

1. Voir G. Juvet, L’axiomatique et la théorie des groupes, Actes du Congrès totem, de philos, scientif., vol. VI, Hermann, 1936, p. 28.

opération élémentaire est sa propre inverse, avec pour identique o : soit (p w p) = o. Dans le cas de l’équivalence, chaque opération élémentaire est aussi sa propre inverse, mais avec pour identique le tout : soit (r = r) = (r w r) = r w r = T. Il est alors clair que les deux inversions (p w p) = o et p w p = T ont quelque parenté, puisque l’opération (w), c’est-à-dire ( = ), est l’inverse (au sens de la complémentaire) de l’opération (w) et qu’elle se traduit par (p w p), c’est-à-dire par la simple négation de p.   On peut donc écrire :

(257) [(pwp) = o]□[(p wp) = T]

Ne serait-il pas possible, en ce cas, de réduire l’ensemble du système à un groupe unique ? Seulement un tel système devant alors porter simultanément sur les parties non communes et sur les parties communes, il est indispensable de compléter l’opération fondamentale (w) par une opération auxiliaire (•) telle que l’on ait :

_ (P Wβ) = (P , ?) w (p • q)

(r w s) = (r ■ s) w (r • s) = (r • s) w (r • s) ; donc r = s

On aura alors les opérations suivantes, aisées à traduire dans le double langage des disjonctions exclusives et des conjonctions (mais les deux opérations sont l’une et l’autre nécessaires) :

1. Opérations directes : (p w q) = (p • q) w (p • q) et :

(r w s) = (r • s) w (r • s)

2. Opérations inverses : (p w p) = p • p — o.

3. Opération identique : (o) puisque (p w p) = o et (p w o) = p. 

Il est en outre facile de traduire toutes les opérations interpropositionnelles en un tel langage. On aura :

(258) W = (pw})w(p∙j)¹

(259) (p|_?) == (pw_?)w(p-ÿ)

(260) (p □ q) = (p w q) w (p • q)

(261) ⅛⊃p) = (pwç) w (p ■ ÿ)

Etc.

Mais on constate que l’unicité du système n’est alors qu’apparente. Comme le dit B. A. Bernstein, cette reconstruction de l’algèbre

1. C’est la définition 3 de B. A. Bernstein, op. cit., 1936, p. 321 (où ∨ est écrit +).

de Boole suppose trois opérations fondamentales : deux binaires (w) et (•), et une uninaire (— ). Or, un groupe s’adjoignant une opération auxiliaire ne constitue plus un seul groupe, mais un « anneau ». Dans le cas particulier on est en présence d’un anneau commutatif du point de vue de la paire d’opérations (w) et (•), l’opération additive étant la disjonction exclusive (w) et l’opération multiplicative la conjonction (■). Une telle structure dualiste serait intéressante pour la logique si les deux opérations de l’anneau pouvaient être réduites à un seul opérateur, dont elles constitueraient deux expressions réversibles, mais elle ne rendrait compte de la forme totale des opérations interpropositionnelles qu’à cette condition.

Or, il pourrait sembler, au premier abord, que c’est le cas car, en un certain nombre d’exemples, les expressions (w p) et (• p) sont substituables, de même que (w p) et (• p), ces deux couples constituant les deux opérations de l’anneau jointes à la négation. En effet, l’exclusion de p soit (w p) équivaut à la réunion avec p, soit (• p), et réciproquement. Par exemple :

(262) (p w p) = (p • p) = o

(263) (p • T) = (p w o) = p puisque T = o

Ne serait-il pas alors possible de considérer l’expression p w p = p • p comme une équation dont les termes pourraient être transférés d’un membre à l’autre à condition de permuter les (w) et les (■), ainsi que les signes ? On aurait ainsi (par transfert du premier au second membre de l’équation de gauche) :

(p • p = p w p) → [p = p w p w p)
(T∙p = p) → (T = p wp)
(p wp = T) → (p = T ■ p)

(p ■ p = o) → (p = o w p) ou → (p = o w p)
[(p∙wp) . q = 5]→ [(p wp) = ⅛ w⅞)]→ [p = ⅛ wÿ) - p]
En effet (p wp = T) = ⅛ wg|

[(pwp) = (q wj)]÷ [(p ■ q) = (5∙p)]→ [(p-q) = ⅛∙p)]

Il semblerait donc que l’on puisse constituer le groupe unique dont nous venons de mettre en doute l’existence. Mais un certain nombre d’obstacles s’y opposent concurremment. En effet :

1° L’exclusion réciproque (w) et la conjonction (•) ne sont pas associatives l’une par rapport à l’autre.

Exemple : soit (p • p) w q = (o w q) = q, qui est vrai dans tous les cas. Mais p • (p w q) donne p • (o) = o si p et q sont entièrement disjoints (pwç), car alors {p — q) et ⅛w{=0). D’autre part p • (p w q) donne p ■ (p • q) si l’on a (p ∨ q). La même expression donne [p • (p w q = p)] = p,

si l’on a p □ q, etc. Les deux expressions [(p • p) w 7] et [p • (p w ç)] ne sont donc pas équivalentes, ce qui signifie qu’il n’y a pas associativité.

2° Le passage d’un membre à l’autre des équations avec inversion des signes et des opérations (w p) et (• p) ou (• p) et (w p) n’est pas toujours possible :

Exemple : (p w p) = p • p donnerait (p = p • p • p), donc (p = o) ; p . p = p donnerait l’absurdité p = p w p, donc p = T. De même (T w p) = p donnerait T = p∙p ou p = p∙o, par transfert de (w T) en (• T), c’est-à-dire (• o).

La raison de ces résistances est d’un grand intérêt théorique- : ce sont les opérations tautologiques p • p = p et p ■ p = p qui s’opposent à de tels transferts d’un membre à l’autre de l’équation tandis que le transfert est possible en cas d’opérations non tautologiques. On retrouve donc ici la même difficulté que nous avons commentée à propos des « groupements » de classes (§ 10 et règles I-IV).

3° Loin de constituer un groupe unique, les opérations (w p) et (■ p) ou (w p) et (• p) comportent deux opérations identiques. On a en effet :

a) (p w p) = o et (p w o) = p, c’est-à-dire (o) = identique pour le groupe des parties non communes.

è) (p • p) w (p • p) = T et p • T = p, c’est-à-dire T = identique pour le groupe des parties communes.

Or, il est clair qu’une telle dualité d’identiques empêche la réduction du système à un seul groupe. On pourrait répondre que ces deux identiques sont équivalentes, puisqu’on a (263) :

(p w o) = (p • T) = p

c’est-à-dire qu’en ce cas (w o) = (• T).

Mais cette équivalence entre (w o) et (• T) n’est qu’apparente et partielle. En effet, dire que (w o)(= ou rien) et (∙T) ( = et tout) constituent une même opération n’est vrai ni au point de vue de la signification, ni au point de vue du mécanisme formel. Du premier de ces deux points de vue, « x est un Vertébré ou rien » ou « x est à la fois un Vertébré et une partie de tout » sont deux assertions bien distinctes. La raison en est (et ceci nous conduit au mécanisme formel) que p soutient la même relation p • (q, r, s… T) = p avec une série d’autres totalités emboîtées avant de la soutenir avec le système total considéré T. On peut donc poser :

poç ; q^r-, r^s ; … ; p, q, r, s…□T

On s’aperçoit alors que p • T = p n’est que le cas le plus général d’une suite d’« identiques spéciales » (tautifications et absorptions) :

(264) (p • p) = p ; (p ■ q) = p ; (p ■ r) = p ;

(P’S) = P5 …. ; (p • T) — p

Si l’identique (• T) est considérée comme équivalant à (w o), il doit donc en être de même de chaque proposition p, q, r, etc., vis- à-vis d’elle-même et il en est également ainsi de chaque proposition impliquée (q, r, …) vis-à-vis de ses impliquantes. L’identique (p • T) = p n’est donc bien que la plus générale des « identiques spéciales » telles qu’on les rencontre en un « groupement » et elle ne constitue pas une opération identique unique. Il n’y a donc pas correspondance bi-univoque entre (w o) et (• T), mais (w o) correspond à une série d’identiques spéciales laissant p invariante. Or, ce sont ces identiques spéciales qui restreignent la mobilité du système, comme nous l’avons vu sous (2°).

Au total, il est donc clair que les deux groupes d’opérations (w) et ( = ) ne sauraient être fondus en un seul et que le système d’ensemble constitué par la logique des propositions bivalentes ne peut donc être réduit à un groupe. La raison profonde en est que la considération des emboîtements de partie à tout, dont s’occupe la logique, impose l’existence des identiques spéciales (tautification, résorption et absorption), qui distinguent les groupements des groupes. Ce n’est qu’en considérant à part les exclusions réciproques (w) et les équivalences ( = ) que l’on peut constituer ces groupes, parce qu’alors on déboîte les éléments de leurs inclusions ou on resserre les emboîtements jusqu’à l’équivalence : bref on ne considère plus que les parties non communes ou les parties communes, alors que tout emboîtement suppose les deux à la fois (comme nous l’avons vu de l’implication unissant p • q à p • q). C’est ainsi que pour la logique, l’expression (p w q) = x (empruntée à B. A. Bernstein) forme une expression totale et unique, dans laquelle le rapport (p w q) est indissociable du rapport (= x) : au- contraire, on ne la fait entrer dans les groupes de Boole-Bernstein qu’en dissociant les liaisons (w) et ( = ) pour les traiter séparément. Bien plus, du point de vue des opérations interpropositionnelles les deux expressions (p w q) et (p = q) traduisent des opérations qui sont l’inverse l’une de l’autre ; mais à vouloir les réunir en un seul tout opératoire et fondre ainsi en un seul système les deux groupes

complémentaires, on réintroduit les emboîtements et avec eux nécessairement les identiques spéciales qui s’opposent à la construction d’un groupe unique.

Par contre, il est clair que si le « corps » que forment à eux deux le groupe des exclusions réciproques et celui des équivalences ne parvient pas à embrasser la totalité des opérations interpropositionnelles, il joue un rôle essentiel dans cette structure d’ensemble. De façon générale, le produit de deux bi-groupes (un bi-groupe est un groupe élémentaire formé par l’opération et par l’identité) est un « groupe de quatre », tel que celui dont nous avons déjà entrevu le rôle dans la logique des propositions (théorème VI du § 31). Or, les équivalences positives ( = ) et négatives (w) constituent des bi-groupes, et déterminent par ailleurs les réciprocités et les corré- lativités (théorème III et V du § 31) : ils interviennent ainsi, avec la négation qui les oppose l’un à l’autre (w est le complémentaire de =), dans le groupe de quatre transformations qui exprime les divers aspects de la réversibilité interpropositionnnelle. Mais ce groupe de quatre (théorème VI), quoique fondamental de ce point de vue de la réversibilité, ne suffit pas à rendre compte de l’ensemble des emboîtements eux-mêmes, puisqu’il n’englobe pas les « identiques spéciales », dues à l’existence des auto-emboîtements, ni, par conséquent, toutes les relations élémentaires dans lesquelles ces « identiques spéciales » interviennent.

Partons d’une seule proposition p, non pas à titre d’élément atomique, mais au contraire pour marquer les rapports que soutiennent ses transformations avec l’ensemble du système dont elle fait partie. Soit donc une proposition quelconque (p) ; sans introduire encore la négation à titre d’opération, nous appellerons p la proposition qui est vraie quand p est fausse et qui est fausse quand p est vraie. On peut alors définir les opérations suivantes, qui constituent déjà à elles seules un « groupement »:

1. L’opération directe sera l’affirmation de p réunie disjonctive- ment (v p) à tout autre proposition du système (nous ne connaissons pour le moment que p) :

(265) ’ p ∨ p = T

(où T est la proposition toujours vraie).

On constate que, pour une seule proposition p et sa complémentaire p sous T, l’opération directe de départ équivaut au principe du tiers exclus.

2. L’opération inverse sera la négation de p réunie conjonctive- ment (• p) à tout autre proposition du système (c’est-à-dire pour le moment à p) :

(266) p • p = o .

Pour une seule proposition et sa négation l’opération inverse équivaut ainsi au principe de non-contradiction.

3. Il existe une opération identique générale unique, qui 1° sera le produit des opérations directe et inverse et qui 2° ne modifiera aucune opération avec laquelle elle est composée. Nous la noterons (v) o. Soit¹ :

(267) p ■ p = o ; p ∨ o = p ; p ∨ o = p ;T ∨ o = T ; o y o — o

L Il existe des opérations identiques spéciales ne modifiant pas les opérations avec lesquelles elles sont composées. Ce sont :

(268) pvp = p ;pvp=p et p ■ p = p (tautifications)

(269) p ∨ T = T (résorption), c’est-à-dire p ∨ {p ∨ p) = (p ∨ p)

5. Ces compositions sont associatives, sous les mêmes réserves qu’à propos des groupements intrapropositionnels :

(270) p ∨ (p ∨ o) = (p ∨ )p ∨ o = T

Par contre :

(271) pv(p∙p)≠(pvp)∙p

car pv(p∙p) = pvo = p et (pvp)∙p = p∙p = o

C’est donc la dualité des fonctions de p ∨ p (tautification) et de p ∨ o (opérations directe et identique générale) qui seule restreint l’associativité.

6. Ces définitions admises, on peut inverser l’opération inverse comme on inverse l’opération directe. L’inversion d’une opération se notera par une barre située au-dessus de l’expression donnée, soit (vp) = (• p). L’inversion de l’opération inverse ramènera alors à l’opération directe :

(272) (vp) = (∙p) _et (^ = (vp)

transformation que nous écrirons aussi : (p = p).

Il importe de noter soigneusement la différence qui existe entre l’inversion d’une négation, c’est-à-dire la négation de l’opération de négation (• p), et la simple répétition d’une négation, c’est-à-dire l’identique spéciale p • p = p. 

7. Les opérations fondamentales (v p) et (• p) étant ainsi posées avec leur réversibilité, on peut introduire deux nouvelles opérations

1. Il faut donc dictinguer (v)o de (∙)o, qui sera introduit dans la suite.

résultant des précédentes elles-mêmes. Si p fait partie de T sans lui être équivalent, on a donc (p ∨ p) = T (proposition 265). On peut alors se proposer d’inverser (v p) de manière à établir la relation existant entre (p) et (T), soit p = T ■ (v p) = T • p = T • p.   On est ainsi conduit à définir le nouveau couple opératoire :

(273) 6T) = (∙p) et (ψ) = (vp)

Sa signification est la suivante. Si l’on pose (p ∨ T) = T (270) la disjonction (p ∨ T) enveloppe l’existence de parties communes entre (p) et (T), soit (p • T) et de parties non communes (T • p). La conjonction (T • p) apparaît alors comme une inversion partielle au sein de la disjonction, par négation des parties non communes (v p). Inversement, l’inversion de la conjonction (• p) consiste en une réintroduction de la partie non commune (v p). La corrélativité conduisant de (p ∨ T) à (p • T) n’est donc pas autre chose qu’une inversion partielle au sein de l’opération fondamentale (v).’

7 bis. Notons que les transformations (v p), (• p), (v p) et (• p) caractérisent à elles seules les opérateurs direct, inverse, réciproque et corrélatif d’un « groupe de quatre » (voir théor. VI, p. 286), indépendamment des identiques spéciales.

8. Les opérations (• p) et (v p) ainsi introduites comportent aussi leurs propres identiques spéciales. Nous avons déjà vu p vp =p (sous 268). Quant à (• p), on a :

(274) p ■ p = p (tautification)

(275) p - T = p ou p • T = p (absorption)

Autrement dit toute proposition (p, p ou T) jointe à elle-même ou à une proposition qu’elle englobe laisse celle-ci invariante. La proposition (p • T = p) présente à cet égard deux significations équivalentes : a) si j’affirme la partie commune à T (=pvp) et à p, je n’ajoute rien à (p) ; b) si je nie p au sein de T (= pv p), je n’affirme plus que p. 

9. La plus générale des identiques spéciales (275), c’est-à-dire (• T) équivaut alors à (’identique générale (v o), non pas en tant que produit des opérations directe et inverse (première fonction de l’identique générale, voir 3°), mais en tant que laissant invariante toute autre opération (deuxième fonction de l’identique générale) : (p ∨ o) = (p • T) ; (p ∨ o) = (p • T) ; etc. De ce second point de vue, mais de ce second point de vue seulement on peut inverser T en T = O et O en O = T.

10. Le rapport d’équivalence ( = ) fait partie du système et exprime la substitution possible des expressions formant les deux membres de l’équivalence considérée, donc la vérité de leur réciprocité. Cette nouvelle opération se déduit en effet des précédentes :

(276) (p = p) = (p • p) ∨ (p ■ p)

11. On peut alors transférer d’un membre à l’autre d’une équivalence tout terme (v p) sous la forme (• p) et tout terme (• p) sous la forme (v p), ou réciproquement. Ces transferts sont cependant limités par les mêmes règles que dans les groupements de classes (§ 10, sous III : règles I-IV) : il importe donc de suivre un certain ordre entre les tautifications et les simplifications avant les transferts. Par exemple (p ∨ p) = (p • p) ne peut donner lieu à aucun transfert avant les résorptions (p = p). Par contre (p = p) donnera (p • p — o) ou (p — p), etc.

12. De tels transferts se traduisent par l’emploi de la règle de dualité. Les transformations pvp = p∙p^, p∙p = pvp∙, p ■ p = pvp∙, p ∨ p = p ■ p \ p ∨ p = p • p ; p • p — pvp- etc., ne constituent pas autre chose, en effet, que l’expression des diverses formes précédentes d’inversion.

On a alors les compositions suivantes qui, jointes aux précédentes, constituent un groupement (désignons par → les transformations) :

(p ∨ p = T) → (p = T • p) =► (p = T • p)

ou : (pvp = T)→(p∙p = o)

(p . p = o) → (p = p) → (p = p)

ou : (p • P = b) → [(p vp) = T]

(p ■ o = o) → (T = p vT)

Etc.

De la composition (p ∨ p = T) = (p = T • p) = (p = T • p), on peut déduire que T est toujours affirmé quand (p) est vrai, mais sans réciprocité puisque (T) est aussi affirmé dans le cas (p). On dira alors que (p) implique (T), soit (p ⊃ T) :

(277) (p⊃T) = (p∙T)v(p∙T)v(p∙T)

(où T = o, donc p • o = o) d’où l’équivalence :

(277 bis) T = (p • T) ∨ (p • T)

Cette dernière expression représente 1’« affirmation » de T.

Subdivisons maintenant le système T en totalités emboîtées :

p q ; q^r-, r s ; s ? … ; q^T

Cela revient à dire que la proposition (q) jouera par rapport à (p) le même rôle que jouait (T) dans les compositions précédentes (265 à 277) ; que (r) jouera vis-à-vis de (q) le même rôle que (q) vis-à-vis de (p) ; etc. Il est donc facile de généraliser les transformations du groupement précédent à des ensembles multipropositionnels aussi riches en éléments que l’on voudra. Mais il y a avantage, pour la clarté de l’exposé, à dissocier les opérations (v p) et (• p) des opérations (• p) et (v p). Décrivons donc d’abord les formes distinctes que peut prendre le groupement multipropositionnel, puis nous les réunirons en un seul tout.

Forme I. — Ne considérons donc, sous le nom de forme I, que les opérations fondamentales (v p) ; (• p) et ( = ), et généralisons sans plus, à la suite d’implications enchaînées p □ q ; q ⊃ r ; etc., les rapports établis entre p, p, T et o dans le cas p T (proposition 277).

Dès lors, si (p □ q), cela signifiera, en vertu de (277), que :

(P d q) = (p ■ q) ∨ (p • q) ∨ (p ■ q)

et que (277 bis) q = (p ■ q) ∨ (p ■ q). Appelons (p’) la complémentaire de (p) sous (q) tel que (p’ = p • q). Nous avons donc :

(p ql [{p q} ■ (p’q)} θt (p ^q) = [(p ^vp’) = ?1

On reconnaît les propositions 170-172 du § 30.

On aura de même (fig. 46) :

r = (q ∨ q’) où ⅛’ = g • r); (s = r ∨ r’) où (r’ = r • s) ; etc.

D’où :

(278) Si p ⊃ q ; q d r ; r ⊃ s ; etc.

alors [(p ∨ p’) = g] ; [(^ ∨ q’) = r] ; [(r ∨ r’) = s] ; etc.

Cette forme I du groupement des implications correspond au groupement additif de classes (§ 12). Par exemple p = « x est un Félin ». et q = « x est un Carnassier », d’où p’ = « x est un Carnassier non Félin » ; r = « x est un Mammifère », d’où q’ — « x est un Mammifère non Carnassier »; s = « x est un Vertébré » et r’ = « x est un Vertébré non Mammifère », etc…

D’où les compositions suivantes qui constituent un « groupement » :

1. L’opération directe (v p) consiste à réunir une proposition p à une autre proposition du système (278) disjointe de p, de manière à obtenir une équivalence : par exemple p ∨ p’ = q.

1 bis. L’affirmation d’une seule proposition équivaut à une opération directe portant sur cette proposition : ainsi (p) équivaut à (v p), ou plus précisément à p ∨ p (voir 4).

2. L’opération inverse (• p) consiste à joindre la négation d’une proposition p à une autre proposition du système :

p ■ p, = q ou (r • p = p, ∨ q’) ; etc.

2 bis. La négation d’une seule proposition équivaut à une opération inverse : p équivaut à (• p) et à p • p. D’où la double négation p = p qui équivaut à (• p) — p ou à (p • p) = (p ∨ p).

2 ter. Le passage d’une proposition d’un membre à l’autre d’une équivalence équivaut à une opération inverse :

^S1 (P ^v P ) = q> ^al°^rs p = q ∙~p’ et p’ ≈ q-p ; de même (p ∨ p’) • q = o

3. L’opération identique^ générale (y o) constitue le produit des

Fig. 46.

opérations directe et inverse : p-p = o.

L’identique générale ne modifie pas les opérations avec lesquelles elle est composée : pvo = p ;pvo = p ; parce que pv(p∙p) =petpv(p∙p)=p. 

4. Les identiques spéciales sont la tautification et la résorption :

Tautification : (p ∨ p = p) ; (p ∨ p) = p ; p • p = p. 

Résorption : Si p i q, alors (pvq = q).

i bis. L’existence des iden

tiques spéciales nécessitent l’application des mêmes règles de composition que dans le cas des groupements de classes (§ 10). Par exemple (p vp) = p ne saurait donner p = (p • p) par transfert de (v p) en (• p). Mais p = p donne o = p ■ p. 

5. L’associativité est limitée aux éléments disjoints, après toutes tautifications et résorptions.

Les compositions du groupement sont alors les suivantes (voir la figure 46) :

(279) (pvp’) = q

[(p ∨ p’  = ç)  ∨ _?’]  = [(p ∨ p’ ∨ q’) = r]

Kç ∨ q’  = r) v r’]  = [(p v p’ ∨ q’ ∨ r’) = s]

[(r ∨ r’  = s)  ∨ s’]  = [(p ∨ p’ ∨ q’ ∨ r’ ∨ s’) =  Z]

Etc.

D’où :

(280) (p ∨ q’) = (r • p’) ou (p’ ∨ q’) = (r ■ p)

(p ∨ _r’) = (s- p’ ■ q’) ou (p’ ∨ r’) = (s • p • q’)

Etc.

(281) Sip = q • p’ et p’ = q • p alors (p • p’ — o)

Il en résulte, puisqu’alors p • q = p’ • q et p’ • q = p ■ q, l’incompatibilité p∖p’ :

(282) [(p vp’) ( = p∣p’)] = [(p ■ [p]’) ∨ (p ■ p’) ∨ (p ∙ p’)]=(p w p’ w q) et :

(283) q = (p w p’)

(284) si (p^q) et r = (q w q’) alors p⅛’, etc.

On constate donc que : 1° Chacune des propositions soit primaires (p, q, r, etc.) soit secondaires (p’, q’, r’, etc.) implique les propositions primaires de rang supérieur : p’ d t ou r 3 u, etc. 2° Réciproquement chaque proposition primaire implique les propositions qui la composent, mais en tant qu’ensemble : s 3 (p ∨ p’ ∨ r’). 3° Toute proposition peut être déduite de celles de rang supérieur par négation des complémentaires : (q’ = t • s’ • r’ • q). Enfin 4° chaque proposition (primaire ou secondaire) est incompatible avec sa complémentaire ainsi qu’avec les propositions secondaires de rang supérieur : r∣r’ ; r|s’; r|Z’; etc ; de même r’|r ; r’|s’; r’|Z’; etc. (cf. 281 à 284).

Ces quatre sortes d’inférences, jointes à la conjonction (p ■ q) (résultant de q = p ■ qv p’ • q), suffisent, à fonder toute la syllogistique classique, comme nous le verrons au chapitre VII : (p^q) correspond, en effet, à l’universelle affirmative ; (p∖q’) à l’universelle négative ; (p • q) à la particulière affirmative et (p • q) à la particulière négative.

Notons enfin que, en vertu de définition de p’ = p • q, la disjonction (p ∨ p’) équivaut toujours à une disjonction exclusive (par opposition à p₁ ∨ p₂ que nous utiliserons dans la forme III, et qui sera un trilemme). Mais on ne saurait choisir l’opération (w) comme opération fondamentale du groupement, car on aurait alors {p w p = o) au lieu de (p ∨ p = p) et, si (p q), (p w q = p’) et non pas (p ∨ q = q). Par opposition au groupe de Boole-Bernstein le groupement exige, en effet, une opération fondamentale susceptible de rendre compte des emboîtements (p ∨ q = q) et auto-emboîtements (p ∨ p) comme des réunions disjonctives (p ∨ p’ = q).

Forme II. — La deuxième forme du groupement des implications a pour opération directe la conjonction (• p) et pour inverse l’expression (v p). Notons d’abord qu’il est facile de donner cette forme II à la forme I en écrivant :

(p ∨ p’ = q ) = [(p d q) • (p’ q) = q}

Mais si la forme I correspond au groupement de l’addition des classes (A + A’ = B ; B + B’ = C ; etc.), la forme II est seule apte à traduire en opérations interpropositionnelles le groupement de l’addition des relations asymétriques transitives :

4. + → = Λ ; → + →- = → ; ^etc∙

par exemple :

(A < B) + (B < C) = A < C ; (A < C) + (G < D) = (A < D) ; etc.

En effet, si nous appelons p la proposition affirmant (A < B), p’ la proposition affirmant (B < C) et q la proposition affirmant (A < C), on constate que l’on ne saurait écrire (p ^q) ni (p’ ^q) comme dans le cas où p = « æeA » et q = « zeB », mais que, pour exprimer le rapport entre (A < B), (B < C) et (A < C), c’est-à-dire entre p, p’ et q, il faut poser (p ■ p’) d q ; car p n’implique q que jointe à p’ et p’ n’implique q que jointe à p.   Mais réciproquement on a aussi (pp • p’). D’où (voir la figure 47, page suivante) :

(285) (p • p’) = q ; (q • q’) = r ; {r ■ r’) = s ; etc.

Quant à l’opération inverse, elle ne saurait être p = q ∙p’ ou p’ — q - p, puisque l’on ne saurait affirmer simultanément la vérité de q et la fausseté de l’une de ses composantes nécessaires (par

exemple affirmer que « C est plus grand, que B et que A », et en même temps exclure que « C est plus grand, que B »). Par contre, et conformément à ce que nous avons vu plus haut (proposition 273), l’inverse de (• p) sera (v p) :

(286) p = (q V p’) ; p’ = (q ∨ p) ; q = (p ∨ p’) ; etc.

En effet (p ∨ p’) = (p∖p’), ce qui est bien équivalent à q (= la fausseté de q équivaut à l’incompatibilité des éléments dont la conjonction définit la vérité de q). D’autre part, l’inversion de

l’inverse, soit pvp’=q, signifie bien (p • p’ = q).

Or, les expressions (q ∨ p) ou (q ∨ p’) ont un sens précis, qui équivaut à (p i q) et à (p’⊃^) (voirpropositionl59). Cela revient donc à dire qu’en isolant p’ de l’expression (p ∨ p’ = q) on affirme simultanément que p’ implique (p i q) et que (p □ q) implique p’ (l’équivalence =

Fig. 47’.

signifie en effet, g) ; de même en isolant p on affirme que p implique (p’ ⊃ q) et que (p’ ⊃ q) implique p.   Il est remarquable de trouver ainsi de telles équivalences (286) à titre d’opérations inverses du groupement exprimant en termes d’implications l’enchaînement des relations asymétriques transitives : on se rappelle, en effet, que l’inverse de la relation A < B est sa converse B > A, le produit de l’inégalité (A < B) et de son inverse (B > A) étant l’équivalence (A = A). Ainsi la réversibilité des groupements de relations, qui est une réciprocité et non pas une négation par complémentarité, correspond sur le plan interpropositionnel à une inversion proprement dite (7p) —   (v p), mais exprimant également une réciprocité dans les implications et non pas la négation des propositions en jeu. Rien ne saurait mieux illustrer un tel fait que la correspondance de cette forme II avec une sériation, dans

f.La figure 47 se lit comme suit. Chaque casier contenant (ρ • p’) ou (q • q’) ; (r • r’), etc., représente l’intersection entre le casier situé en dessous de lui et le casier, situé à sa droite Par exemple le casier (p • p’) est l’intersection de (p) et de (p,) ; le casier (q ■ q’) est l’intersection de q(= p • p’) et de (q’) ; le casier (r • r’) est l’intersection de r (= q . q’) et de r’, etc.

laquelle tous les éléments se tiennent en fonction des différences ordonnées, par opposition aux simples emboîtements de classes non ordonnées.

Forme III. — La forme I du groupement des implications relie q à deux propositions constituant un dilemme (p ∨ p’) = q_l d’où deux

implications complémentaires (p ∑> q) et (p’ p). La forme II relie plus étroitement p et p’ par la conjonction (p • p’) = q, d’où P 5 (p’ ⊃ q) et p’ (p 3 q). Envisageons maintenant le cas où q est formé de deux propositions p₁ et p₂ qui ne seraient plus entièrement disjointes ni entièrement conjointes, mais reliées par une disjonction non exclusive (p₁ ∨ p₂). Ces propositions élémentaires s’impliqueront par conséquent¹ sous la forme (p₁3 p₂) et (p₂ 3 p₁). Si nous appelons p[

Fig. 48.

la proposition (p₁ • q) et p₂ la proposition (p₂ • q), nous aurons donc la double implication² :

(287) (p₁ ∨ p₂) = (p’₁ 3 p₂) ∙ (p’ 3 p_l) (voir la figure 48)

et la réciprocité :

(288) (p₁ vp₂) = (pj∣pa)

puisque pf = (p₁ • q) et p’₂ = (p₂ • q).

On se trouve alors en présence d’un groupement de la forme suivante (l’un des deux cas possibles que recouvre l’axiome de Nicod) :

(289) (p₁ ∨ p₂) = q_l

⅛ι ^v ?₂) = (Pi ∨ Pu ∨ q^ = ^rι

(r₁ ∨ r₂) = (p₁ ∨ p₂ ∨ q₂ ∨ r₂) = s₁

(s₁ ∨ s₂) = (p₁ vp₂vq₂vr₂v s₂) = t₁

Etc.

1. On se rappelle que le trilemme (p v q) est une double implication p d q et q 3 p (proposition 132).

2. On reconnaît la vicariance des classes. Si p( = A₁ ; pj = A_s ; p, = A ; et p_l = A,, on a (A, + AJ = A, + AJ) ainsi que A, < A_s et A₂ < A₁. On a en outre A₁∕A,.

On a alors :

(290) q₁ = (p₁ ■ p₂) ∨ (p₁ ∙ p’) ∨ (p] ■ p₂)

G = (7i • 7a) ^v (71 ■ 70 ^v (71 • 7a) Etc.

Il s’ensuit que les inverses seront :

(291) q = p₁ ■ p₂ ; p₁ = q₁ ∙ (p₂ • p0 ; p₂ = q₁ ∙ (p₁ ∙ p₂)

L’identique générale est :

(292) q • q = o, c’est-à-dire (p₁ ∨ p₂) ∙ (p₁ ∙ p₂) = o et les identiques spéciales : p₁ v p₁ = p₁ ; p₁ ∨ q₁ = q₁ ; etc.

Voici un exemple concret. Soit p₁ = ex appartient à une classe de parenté par filiation (que nous appellerons PJ » ; et p₂ = « x appartient à une classe de parents par alliance (P₂) ». On a alors p_i ∨ p₂ = q₁ (un individu pouvant vérifier à la fois p₁ et p₂ ou l’un sans l’autre). Si P₁ + P₂ = Q, on a en outre q_l = « x appartient à la classe Q, » ; un des membres de Q₁s’étant marié, on a une nouvelle classe de parentés par alliance Q₂, d’où q₂ = « kQ₂i et (q₁ ∨ q_t) = r₁, etc…

Les compositions intéressantes sont d’abord les incompatibilités :

(293) (p(∣⅝) ∙ (g(∣70 ≡>(pl∣gl)

On a de même (pi | r() ; (pi 150 ; etc.

Et surtout, si nous appelons q₃ la réunion q₃ = (p₂ ∨ q₂), on aura :

(294) (p₂^q₃)^ [(PιVp₂)⊃(p₁V7₃)]

(Voir la figure 49.)

Fig. 49.

Cette implication (294) constitue l’axiome IV de Russell et Hilbert : (p d q) □ [(r ∨ p) d (r ∨ g)].

Les formes I et III du groupement des implications condensent ainsi les axiomes I à IV de la logique bivalente. L’axiome I, (p ∨ p) d p, exprime l’opération identique spéciale du groupement (p ∨ p) = p ; l’axiome II, p ⊃ (p ∨ q), exprime l’emboîtement de la partie dans le tout (p ∨ p’) = q, ainsi que la résorption (p ∨ q) = q ; l’axiome 111, (p ∨ g) d (g vp), exprime la commutativité de la réunion (v) sur laquelle reposent les formes I et III du groupement ; et l’axiome IV traduit la transitivité des compositions (proposition 294). C’est

pourquoi il y a identité entre les formes I et III du groupement et l’axiome unique de Nicod, comme nous l’avons déjà vu au § 35.

r-

Forme IV. — Introduisons maintenant une complication de plus. Admettons que les propositions élémentaires p₁ et p₂, qui constituent q avec leurs complémentaires p’₁ et p’₂, ne se composent plus seulement (comme dans la forme III) selon l’opération :

l(P1P2) ∨ (p₁p₂) ∨ (p,₁p₂) = q]

mais que q comprenne en outre (p[p₂). On aura alors une nouvelle disposition, correspondant à l’opération que nous avons appelée « affirmation complète » (et symbolisée par le signe *) :

(295) q = (p₁* p₂) = (p₁p₂) ∨ (p₁p’₂) ∨ (p’₁p₂) ∨ (p⅛’)

et l’on pourra ainsi grouper une suite d’affirmations complètes :

(Pi * Pi) = 7i ; (71 * ?₂) = O ; (G * r₂) = s₁ ; etc.

ce qui nous ramène aux opérations classiques de la logique bivalente, fondées sur les « tautologies » binaires, ternaires, etc.¹.

1. Opérations directes :

(296) {p*q) = (p • q) ∨ (p ■ q) ∨ (p • q) ∨ (p ■ q)

(P*q)*r = (p ■ q - r) ∨ (p ■ q - r) ∨ (p ■ q ■ r) ∨ (p ■ q ■ r) v∖p∙qτ)v(p∙qτ)v{p∙q∙r)v(p∙q∙r) ,

(p*q*r)*s = (p ■ q • r • s) ∨ (p • q • r • s) ∨ (p • q ■ r ■ s)

• ∨ (p • q • r • s) ∨ … etc. (16 combinaisons)

(p*q*r*s) *t = (p • q ■ r ■ s ■ t) ∨ (p • q • r ■ s ■ t) v… etc.

(32 combinaisons) etc.

2. L’opération inverse présente ici un intérêt particulier, du fait que cette forme IV du groupement (comme d’ailleurs en partie la forme III) combine en un seul tout les opérations (v p) et (• p) ainsi que leurs inverses (• p) et (v p). L’opération directe signifie ainsi une adjonction simultanée de nouveaux (•) et de nouveaux (v), comme dans le passage de (p * q) à (p * q *r). On comprend alors en quoi consistera l’opération inverse, que nous écrirons :

(297) (p*q)*r = (p*q) ou (p*q)*q = (p ∨ p)

1. Pour ne pas compliquer le symbolisme, nous allons donc reprendre simplement les lettres dont nous nous sommes servis au § 31 (étant entendu que p ; s’écrira ainsi p ; que p ₂ s’écrira q et que pi se notera q, etc.).

Décomposons pour cela l’expression directe (p*q) :

[p - I

P* Q — !^Pp\^q_q > = [(P • (î ∨ 7)] ∨ [p • (ç ∨ ç)] I P • ? ’

Pour inverser (q ∨ q’) dans j[p • (q v ç)] ∨ [p ■ (q ∨ il suffit alors d’inverser [• (q ∨ ^)] en [v (q ■ q)], c’est-à-dire en [v (q • ç)] = v(o). D’où :

(298) [⅛*g)ij] = [(pvp) v(o)] = (p vp)

Une telle opération correspond donc à ce qu’est, dans le domaine des opérations de classes, la division logique ou abstraction (PQ : Q = P), qui signifie : « abstraction faite de Q, le produit PQ se réduit à P ». En termes d’opérations interpropositionnelles, l’opération inverse revient donc à inverser simultanément (•) et (v) par opposition à (∙^-) seul ou à (v~ ) seul.

3. L’opération identique générale est donc :

(299) (*P)*(P) = (v) o

Les identiques spéciales sont :

(300) (p * p) = p ; (p * q) * p — (p* q) ; etc.

5. Associativité : règles habituelles.

En conclusion, les quatre formes de groupements d’implications dérivent toutes quatre des mêmes opérations élémentaires que le groupement de départ étudié’ sous (A). Il n’y a rien de plus, en effet, dans ces quatre formes que l’extension progressive des mêmes opérations (v p) et (∙p) d’où l’on dérive (• p) et (v p) : la forme II est corrélative de la forme 1 qui prolonge elle-même directement le groupement (A), la forme III introduit deux implications réciproques là où la forme I n’en connaît qu’une, et la forme IV réunit en un seul tout les opérations développées dans les formes précédentes. Il n’existe donc bien qu’un seul groupement sous quatre formes distinctes, puisque les inverses, réciproques et corrélatives (^vPf > (’ P) j (’P) θt (^vP) ^s°nt composables les unes à partir des autres.

Il suffira maintenant d’appliquer les opérations de la forme I aux conjonctions de propositions engendrées par la forme IV (voir proposition 295), que

nous écrirons (p*q = p∙qvp∙qvp∙qvp∙q), pour obtenir une nouvelle forme du même groupement général : celle qui relie les unes aux autres les seize liaisons binaires analysées au cours du chapitre V.

En effet, étant donnés les huit couples possibles d’opérations binaires complémentaires, si on en relie les termes soit par l’opération [v (p<∕)] soit par l’opération [∙ (pq)], il va de soi que ces couples donneront dans le premier cas l’affirmation totale (p * q) et dans le second la négation totale (o) :

(301)

(pvq) v(p-q)  =  (p*q) (p ∨ q) . (p . q)  =  o puisque (p ■ q)  =  (pvq)

(Pl ?) v(p-^  =  (p*q) (plî) ∙(p∙q)  =  o puisque (pl ?) = (p÷q)

(p ? q) ∨ (p - q)  =  (p * q) (p^q) • (p • q)  =  o etc.

(p cq) ∨ (p ■ q)  =  (p*q) (p c. q) ■ (p ■ q)  =  o

(p*q) v√o) =(p*q) (P*q)∙(⁰)  = 0

(p = q) ∨  (pw q)≈ (p* q) (p. = _q) . (pwq)  =  o

p[q] v p[_?] = (p * q) p⅛] . p⅛]  =  o

?[?]^v⅛] =(p*q) ⅛1 • ?[f] — o

L’existence de telles équivalences permet donc de traiter ces liaisons binaires (p\q) ou (p d q), etc., reliées par les opérations ’[v (pq)] et [∙(p<z)] comme constituant elles-mêmes les éléments d’un groupement. En ce cas, le groupement, qui constituera ainsi la plus générale des formes envisagées jusqu’ici, ne portera plus sur les propositions comme telles p ou q, mais sur les paires de propositions conjointes, telles que (p ∙’q) ou (p • q), etc.

Appelons (T) le système total, T = (p * q), et partons de l’équivalence :

(P • q’) ∨ (p • q) ∨ (p ■ q) ∨ (p • q) = T

Il suffira ainsi de transférer d’un membre à l’autre toute conjonction, (p ■ q) ou (p • q), etc., en changeant le signe de la conjonction comme telle (mais non pas des propositions elles-mêmes) et en permutant les opérations [v (pq)] et [■ (pq)] pour engendrer toutes les opérations binaires possibles. L’ensemble de ces transformations constitue alors un groupement.

En effet, si l’on transfère du premier dans le second membre de l’expression totale la dernière conjonction (p • q), on aura :

(302) (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q) = T • (p • q) = p • q c’est-à-dire (p ∨ q) = p ■ q (cf. 124).

En transférant l’avant-dernière conjonction, on obtiendra :

(303) (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p • q) = T • (p • q)

c’est-à-dire p^ q = p • q (cf. proposition 155) et ainsi de suite.

Les conjonctions comme telles, dont les diverses associations définissent les seize opérations binaires, constituent donc un groupement bien défini, identique au groupement d’implications de forme I à cette seule différence que l’élément n’est plus une proposition simple (v p), mais une proposition conjonctive [v (p ■ q)]. Voici les opérations de ce groupement :

1. L’opération directe est la réunion disjonctive (v) d’une conjonction à une autre : (o) ∨ (p • q) ; (p ■ q) ∨ (p • q) ; etc.

2. L’opération inverse est la négation d’une conjonction, réunie conjonctivement à une autre : [• (p ■ g)] ; [• (p ■ q)] ; etc.

3. L’opération identique générale [v (o)] est le produit de toute opération directe et de son inverse : (p • q) • (p ■ q) = o.

Composée avec une opération quelconque, l’identique générale ne la modifie pas : (p ■ q) ∨ (o) = (p ■ q).

4. Les identiques spéciales sont :

a) La tautification : (p • q) ∨ (p • q) = (p • q).

b) La résorption : (p • g) ∨ [(p • g) ∨ (p • g)] = [(p • g) ∨ (p ■ g)].

c) L’absorption : (p • g) • (p * g) = (p • g).

5. Associativité : Règles habituelles des groupements.

Les compositions du groupement embrassent alors toute la logique des liaisons binaires, tout en pouvant être mises sous la forme commode d’équivalences, c’est-à-dire d’équations à transformations algébriques usuelles (cf. § 10 sous III) :

1° On a d’abord les compositions correspondant à celles que nous avons mises (au § 32) sous la forme d’un modèle de classes :

(304) (p|g) = (p » g) ∙ (pTg)

(305) (p ■ q) = (p * q) • (p • g) ■ (p • q) • (p • g)

En effet une incompatibilité (p\q) est une affirmation complète moins la conjonction [p • q). D’autre part, une conjonction (p • q) est une affirmation complète moins l’exclusion réciproque [p • q) ∨ (p ■ q) et moins la négation conjointe (p • g).

(306) p□g = p*g∙(p∙g)

Une implication est une affirmation complète moins la non-implication (P ■ ?)•

« 

2° On a ensuite les transformations des liaisons les unes dans les autres par réunion de deux d’entre elles :

(307) (p w q) ∨ (p • q) = (p\q)

et :

(308) (p\q) • (p -q) = (p w q)

En effet, une exclusion réciproque plus une négation conjointe donnent une incompatibilité. Inversement, la partie commune à une incompatibilité et à une disjonction (p ■ q) = (p ∨ q) est [(p • q) ∨ (p ■ q)], c’est-à-dire une exclusion réciproque (pw ?).

(309) (pïq) ∨ (pUq) = (p w q)

En effet une exclusion réciproque (p w q) = (p • q) ∨ (p • q) est la réunion de deux non-implications (p 1 q) = (p • q) et (p c q) = (p • q).

(310) p[_?] v (p ■ q) = (p iq)

La négation de p réunie à la conjonction donne l’implication.

(3ll) (p = q) = {p* q) • (p • q) ■ (p ■ q)

Une équivalence est une affirmation complète moins les deux non-implications, ou encore est ce qu’il y a de commun à la tautologie et aux deux implications (p • q) = (p d q) et (p • q) = (q 1 p), c’est-à-dire (p ■ q) ∨ (p • q).

(312) p[q] v(p • q) = {p∖q)

La négation de p jointe à la non-implication p 1 q = (p • q) donne l’incompatibilité.

(313) (p ∨ q) ∨ (p ■ q) = (p * q)

d’où :

(p V q) = T • (p • q) = p • q

Etc.

3° On a enfin le passage général des opérations à leurs inverses, réciproques et corrélatives conformément aux théorèmes I-V et à leurs corollaires (§ 31) :

a) L’inverse est donnée par l’opération inverse du groupement ou par le transfert d’un membre à l’autre des équivalences.

b) Le passage d’une opération à sa corrélative est encore une opération du groupement, puisque la corrélative d’une opération se confond avec cette opération elle-même dans le cas des affirmations

ou négations de p et de g (théorème II et IV), ou avec l’opération inverse dans le cas des autres expressions à quatre, deux ou zéro conjonctions (théorèmes II et V, corollaire I) ; quant aux expressions à trois ou une conjonctions, la corrélative s’obtient (théorème III et corollaire I) par adjonction [v (pg] ou négation [• (pg)] des parties communes (p • g) ∨ (p • g) ou des parties non communes (p • q) ∨ (p • g) à partir de l’expression considérée :

(314) (P ∨ g) • (p • g) • (p • g) = (p • g)

et :

(315) (p∙7)v[(p-g) v(p∙g)] = (pvg)

(316) (p∣g) ∙ (p • g) ∙ (p-q) = (p • q)

et :

(317) (p • g) ∨ [(p • g) ∨ (p • g)] = (p|g)

(318) (p^q)∙ (p~^rq) • (p -q) = (p ■ g)

et :

(319) (p ■ q) y [(p • q) ∨ (p • g)] = (p ⊃g)

(320) (q³ p) ■ Cp⁷q) ∙(p∙q) = (p -q) et :

(320 bis) (p ■ q) v [(p • g) ∨ (p • g)] = (q d p)

Le calcul des corrélatives rentrant ainsi dans les opérations du groupement, il est alors permis de l’abréger par la simple permutation des (v) et des (•), par exemple (p ∨ q) → (p • q) (proposition 314). On peut donc incorporer les opérations (• p) et (v p) dans le système (voir proposition 273 et commentaire), ce qui autorise la transformation des formes normales disjonctives, sur lesquelles portent les opérations fondamentales du groupement, en formes normales conjonctives exprimant la corrélative des expressions considérées. Par exemple :

[(p • q) ∨ (p • g)] → J[(p ∨ q) ■ (p ∨ g)] = (p w q)\

c) Enfin, la réciproque étant l’inverse de la corrélative, il suffit donc d’appliquer l’opération inverse du groupement à la corrélative d’une expression donnée pour obtenir la réciproque de cette dernière. Il est alors permis de calculer cette réciproque par simple interversion des signes (p) et (p) dans l’expression initiale.

Bref, l’ensemble des transformations binaires relève de cette forme (C) du groupement général. Quant à cette forme (C) ses compositions apparaissent toutes comme des réunions (v), dissociations (∙^-), substitutions et « vicariances » à partir de l’expression (p * q) donnée dans la forme IV du groupement des implications (voir B sous IV).

Comme nous l’avons vu (théorème VI du § 31), les inversions, réciprocités et corrélativités, jointes à la transformation identique, forment entre elles un « groupe » proprement dit et non pas un « groupement ». Si nous désignons par N l’inversion, par R la réciprocité et par C la corrélativité (le symbole 1 représentant la transformation nulle, ou « identique »), on a, en effet :

(321) NN = 1 ; RR = 1 et CG = 1

(321 bis) N = CR (= RC) ; R = NC ( = CN) ; C = NR (=RN) (321 ter) 1 = CRN (= RCN = NCR = etc.)

Comment donc un groupe de transformations peut-il résulter du groupement des opérations élémentaires, puisque celui-ci repose uniquement sur des emboîtements de partie à tout et sur des complémentarités ? La raison en est que les transformations de ce groupes consistent exclusivement en inversions de diverses formes, qui sont alors, à celles seules, composables les unes avec les autres de façon à la fois réversible, associative et commutative. L’inversion N est, en effet, une négation, c’est-à-dire une complémentarité par rapport à l’affirmation complète (*). La réciprocité R est une inversion des propositions comme telles, c’est-à-dire une complémentarité par rapport à 1’« équivalence » (théorème V). Enfin la corrélativité C est une inversion simple (négation) de la réciproque R, c’est-à-dire à nouveau une complémentarité par rapport à l’affirmation complète (*). Il n’intervient donc, en un tel sous-système (N, R, G, et 1) aucune « identique spéciale », puisque les identiques spéciales d’un « groupement » ne sont possibles qu’entre éléments de mêmes signes :

[(p vp) = p] ; [(p • p) = pj ; [(/> • q) ∨ (p • q) = (p • q)] ; etc.

Il en résulte qu’il n’existe, dans le cas particulier des seules transformations N, R et C, qu’une opération identique unique (1) : par le fait même qu’elles sont séparées des autres compositions possibles

du « groupement » et composées entre elles seules, les trois sortes d’inversions fondamentales du groupement sont alors composables en un « groupe » de transformations proprement dit.

On voit à ce propos d’une façon particulièrement claire en quoi le « groupement » est une structure intermédiaire entre le « groupe » et le « réseau », puisque le groupement est un cas particulier du réseau et qu’il englobe lui-même un groupe de transformations si l’on se borne à composer entre eux les opérateurs d’inversion du groupement et l’identité. Rappelons, en effet, que l’inversion N correspond à l’opération inverse des groupements additifs de classes (et du groupement général des opérations interpropositionnelles) et que la réciprocité R correspond à l’opération inverse des groupements additifs de relations (et à la permutation des termes de l’équivalence ou de l’implication entre propositions). La corrélativité C, enfin, produit de l’inversion et de la réciprocité (NR ou RN) caractérise le rapport entre les bornes inférieures et supérieures du réseau correspondant.

Tout ce qui vient d’être dit des liaisons binaires devient ensuite applicable aux liaisons ternaires, etc., engendrées par les opérations (p * q * r) ou (p *q * r * s), etc., de la même forme IV du groupement des implications (B). On aura ainsi, pour (p » q * r), les opérations directes : (p • q • r) ∨ (p • q • r), etc., et les opérations inverses :

(p • q ■ r) • (p • q ■ r) = o ; etc.

Il sera alors possible d’engendrer les liaisons ternaires, soit par composition directe à partir de deux ou trois liaisons binaires (pq ; qr et pr), soit par négation à partir de l’affirmation complète (p * q * r) (proposition 296).

Prenons comme exemple la composition (p∖q) ■ (q∖r)∙ On peut d’abord composer les deux liaisons binaires entre elles :

(322) (P\q) = (P ■ q) ∨ (p ■ q) ∨ (p ■ q)

⅛∣r) = (q∙f)v(q∙r) ∨ (q ■ r)

(PI ?) ■ (q\r) = (P ■ q ■ r) ∨ (p ■ q ■ r) ∨ (p ■ q ■ r) ∨ (p ■ q ■ r) ∨ (p ■ q ■ r)

En effet (p • q • r), (p • q • r) et (p • q ■ r) sont exclus, car l’on n’a, dans les six composantes, ni l’association (p ■ q) ni l’association (q ■ r).

Mais on peut également composer (p∖q) • (q\r) selon une seconde méthode, en niant, au sein des huit associations de (p * q * r) (voir proposition 296), les trois associations contradictoires avec (p\q) ou avec (q |r), c’est-à-dire celles qui contiennent (p ■ q) ou (g • r) :

(323) (p|g) ■ (q∖r) = (p*q*r) ■ (p ■ q ■ r) • (p ■ q ■ r) • (p ■ q ■ r)

Exemple : Si p — ex est Invertébré », g = « x est Vertébré » et r = « x vit fixé sur les rochers (huîtres, algues, etc.) », on a des associations vraies : (p • q • r) = ni Invertébré, ni Vertébré, ni fixé aux rochers ; (p ■ q • r) ; etc. (voir proposition 322), mais il est exclus que l’on ait (p • q • r) = à la fois Invertébré, Vertébré et fixé aux rochers ; (p ■ q • r) = non-Invertébré, Vertébré et fixé aux rochers ; ni (p • q • r) = à la fois Invertébré et Vertébré, mais non fixé aux rochers.

Fig. 50.

De même, pour composer l’expression (p • q) d r, nous n’aurons qu’à nier l’association (p ■ q • r), seule exclue :

(324) [ (p • q) □ r] = (p * q * r) ■ (p • q • r) (voir fig. 50)

Cette expression équivaudra donc à :

(324 bis) [(p • g) d r] = [(p • g) • r] ∨ [(p7g) • r] ∨ [(pTg) • r]

Or (p • q) = (p\q) = (p • q) ∨ (p • q) ∨ (p ■ q), d’où six combinaisons :

_ _ ( r _ ( r _ ( r

P∙q∖r’, P∙q∖r ^et P’l∖r

qui donnent, avec (p • q • f), le total :

(324 ter) [(p • q) d r]=(p • q • r) ∨ (p • q • r) ∨ (p • q • r)v (p • q • r) ∨ (p • q • r) ∨ (p - q • r) v (p • g • r)

= [(P * q * r) ■ (p • q ■ r)]

Exemple : p = « £ est un animal aquatique » ; q = « x est un∙ animal terrestre » et r = « .x est un animal volant », d’où (p • q) = « x est amphibie » et (p • q) 3 r = amphibie implique non-volant. Les sept combinaisons de la proposition 324 ter sont alors vérifiées.

Voici encore un exemple, équivalant au précédent :

(325) (p • q) I (q • r) = (p * q * r) • (p ■ q ■ r)

D’autre part, on a :

(P ■ q)∖⅛ • r) = [(Γ⁷7) ∙ (7^)1 ^v [(P ‘ g) ∙ (g^τr)] ∨ [(p÷g) • (q • Q]

Or :

(p^^) ∙ (g^r) = (pjg) ∙(q∖r) = (p • q -r) ∨ (p ■ q ■ r)
v (p • q • r) ∨ (p -q • r) ∨ (p • q • r)

(Voir propositions 322 et 323.)

D’autre part (p • q) • (q^r) = (p • q • r) et (p^g) • (q -r) = (p • q • r) D’où au total les sept mêmes associations qu’en (324 ter).

Même exemple : Amphibie (p • q) incompatible avec terrestre et volant ⅛∙r).

Ainsi le passage est aisé des opérations binaires du type (C) aux opérations ternaires, etc. (E), qui demeurent les mêmes en procédant de (p * q) à (p * q * r), etc. Mais au fur et à mesure de leur complication, ces dernières cessent d’être intéressantes, à cause du nombre des combinaisons possibles : à part précisément les compositions I à III du type B (qui sont multipropositionnelles et constituent ainsi un cas particulier de E), elles ne sont pas transitives et comportent par conséquent une multivocité croissante. C’est ce qui nous reste à souligner pour conclure.