Chapitre premier.
Problèmes préliminaires : propositions, classes et relations ^a 🔗

La logique classique distinguait les concepts, les jugements et les raisonnements, ces derniers constituant une composition de jugements. Quant aux concepts, ils ont été d’abord conçus comme existant en eux-mêmes, statiquement, le jugement consistant de ce point de vue en une composition de concepts. Après quoi l’on s’est aperçu que les concepts résultaient eux-mêmes de jugements antérieurs et préfiguraient à leur tour un ensemble de « jugements virtuels »¹. La logique classique a donc déjà été conduite à mettre en évidence le primat du jugement, en tant qu’acte opératoire. Mais elle a laissé un problème essentiel en suspens : le raisonnement repose-t-il alors sur une pure combinaison formelle de jugements, ou dépend-il des concepts reliés entre eux par ceux-ci, c’est-à-dire des termes mêmes de ces jugements ?

Un tel problème montre d’emblée la nécessité d’une formalisation : seul un symbolisme précis permet de le poser de façon adéquate

1. Goblot, Traité de logique, p. 87.

et de distinguer, en partant du jugement, les deux catégories d’opérations dont l’étude se partage toute la logistique.

Exprimons d’abord le jugement par une proposition p ; c’est là une condition de tpute formulation, car un jugement implicite ou inhérent à une action muette ne saurait être analysé avec exactitude.

DÉFINITION 1. — Nous appellerons « propositions »-p, q, r, etc., les énoncés catégoriques, vrais ou faux, et affirmatifs (positifs) ou négatifs.

Les signes servant à formuler l’énoncé peuvent être ceux du langage courant ou d’un symbolisme conventionnel. Dire que l’énoncé est catégorique exclut les impératifs et les optatifs, mais n’exclut pas que la vérité ou la fausseté de la proposition soit posée à titre de simple hypothèse. Dire que l’énoncé est vrai ou faux implique qu’il présente une signification, par opposition aux énoncés dénués de sens. Le vrai et le faux sont les deux seules valeurs possibles dans la logique bivalente, mais on en peut ajouter d’autres dans les logiques polyvalentes (le ni vrai ni faux, le probable, etc.). Nous écrirons p, q, r pour les propositions vraies, et p, q, r pour les propositions fausses. Mais une proposition affirmative (ou positive) fausse, par exemple « le hanneton est un Crustacé » équivaut à une proposition négative vraie, « le hanneton n’est pas un Crustacé », et une négative fausse équivaut à une affirmative vraie : nous écrirons donc également p pour une proposition négative vraie et p (ou p) pour une négative fausse.

On peut alors concevoir un ensemble d’opérations consistant à composer une proposition avec une autre ou avec elle-même, de manière à obtenir une nouvelle proposition bien déterminée quant à son signe (positive ou négative). Par exemple la négation p d’une proposition p sera une nouvelle proposition affirmant que p n’est pas - vraie ; l’implication p=> q sera une nouvelle proposition affirmant que la vérité de p entraîne celle de q ; la conjonction p ■ q est une nouvelle proposition affirmant que p et q sont vraies ensemble, etc. Nous appellerons « interpropositionnelles » de telles opérations et les définirons comme suit :

DÉFINITION 2.— Sera dite « opération interpropositionnelle » toute transformation permettant de construire, au moyen de propositions quelconques, p, q, r, dont on ne connaît que les valeurs de vérité ou de fausseté, d’autres propositions bien déterminées, et caractérisées respectivement par les diverses combinaisons possibles de ces seules valeurs (positives ou négatives).

On peut au contraire concevoir un ensemble d’opérations consistant à transformer les propositions par décomposition de chacune d’entre elles en ses éléments et par modification des éléments ainsi décomposés. Par exemple en une proposition telle que « cette rose est rouge », on peut remplacer « cette rose » par d’autres termes (« ce drapeau est rouge », « toutes les roses sont rouges », etc.), ou remplacer « rouges » par d’autres prédicats (« jaune », « noir », etc.), ou encore modifier le rapport « est » ( « cette rose l’emporte en beauté sur celle-ci », etc.). Telles sont les opérations intrapropositionnelles :

DÉFINITION 3. — Nous appellerons « intrapropositionnelles » les opérations permettant de décomposer une proposition en éléments (cette décomposition pouvant être poussée à des degrés variables) et de construire de nouvelles propositions déterminées par les transformations de ces éléments ; les valeurs vraies et fausses des propositions ainsi engendrées résultant alors des combinaisons entre les éléments eux-mêmes.

Pour ce qui est des rapports entre les jugements et les raisonnements, on voit immédiatement l’ambiguïté que la logique classique laissait subsister dans la notion de la structure formelle du raisonnement. « Raisonner, dit par exemple L. Liard, c’est inférer ; inférer c’est tirer une proposition d’une ou de plusieurs propositions dans lesquelles elle est implicitement contenue. Tantôt l’inférence se fait sans intermédiaire ; elle est alors immédiate […]; tantôt elle se fait à l’aide d’intermédiaires ; elle est alors médiate.¹ » Or, tant les inférences immédiates entre propositions générales et spéciales ou singulières que les inférences médiates ou syllogismes, envisagées par la logique d’Aristote, reposent sur la distinction du « tous » et du « quelque » en un sens qui intéresse surtout les opérations intrapropositionnelles. Dire que « tous les hommes sont mortels ; Socrate est un homme ; donc Socrate est mortel », c’est, en effet, décomposer les propositions en classes, inclure la classe des hommes dans celle des mortels et conclure de l’appartenance de Socrate à la première classe à son appartenance à la seconde. C’est donc fonder le raisonnement sur les concepts, en extension, comme nous venons de le faire, ou en compréhension (par une hiérarchie de prédicats). Mais on peut aussi fonder le raisonnement sur la seule combinaison interpropositionnelle des jugements : [(p □ q) ∙ (q ⊃ r) d (p r)], c’est-à-dire si p implique q et que q implique r alors p implique r. De tels raisonnements ignorés sous cette forme générale par la

1. Logique (10^e éd.), p. 31.

logique classique sont alors d’un niveau plus élevé de formalisation que ceux de la syllogistique, comme l’analyse symbolique le montre à l’évidence.

Quant aux rapports entre les concepts et le jugement, ils ne peuvent être établis que par une décomposition de celui-ci, selon un jeu d’opérations intrapropositionnelles. Mais il importe de saisir que cette décomposition comporte des degrés variables. Gela signifie, d’une part, que la décomposition dont s’est contentée la logique classique ne constitue qu’une première approximation : la logistique a distingué depuis des classes et des attributs de différents types et surtout une « logique des relations », ignorée par celle d’Aristote qui réduisait tout à la copule « est ». Mais cela signifie, d’autre part, que toute décomposition en éléments premiers ( « faits » atomiques, etc.) demeure relative, de tels éléments n’acquérant leur propriété d’être premiers que relativement à un mode de décomposition, dépendant lui-même du mode de recomposition que l’on a en vue.

La distinction des opérations intra et interpropositionnelles met déjà en évidence l’existence de deux sortes de connexions que l’on peut toutes deux qualifier de formelles, mais qui témoignent de degrés différents de formalisation. Il serait pourtant erroné de croire que le palier inférieur ne puisse pas être caractérisé par une structure formelle se suffisant à elle-même. « La logique des propositions est ou veut être […] une logique formelle »¹, dit cependant Serrus, tandis que celle des relations « n’est plus une discipline formelle »², parce que ses principes « dépendent de la considération de l’objet »³. Il est parfaitement exact que la logique intraproposi- tionnelle porte, en un sens à définir, sur le contenu des propositions, par opposition à la forme, constituée par leurs liaisons ; elle est donc moins formelle que la théorie des opérations interpropositionnelles. Mais ce contenu a lui-même une forme constituée par les structures de classes et de relations, et il existe des contenus d’un niveau encore inférieur par rapport à cette forme, c’est-à-dire qu’ils sont contenus

1. Traité, p. 15.

2. Ibid., p. 197.

3. Ibid., p. 15.

dans cette forme, laquelle est elle-même contenue dans les formes interpropositionnelles. Par exemple le rapport général d’inclusion A < B est une forme qui peut comporter à titre de contenu l’inclusion concrète « Oiseaux < Vertébrés », mais qui est elle-même contenue, à titre de réalisation particulière, dans la forme plus générale de l’implication p ⊃ q (par exemple « x est Oiseau » implique « x est Vertébré »).

Il n’est donc pas légitime de soutenir que la logique intraproposi- tionnelle dépend de la considération de l’objet, tandis que la logique interpropositionnelle serait seule « pure ». Toutes deux constituent des formalisations d’opérations, c’est-à-dire des élaborations formelles portant sur ces sortes de réalité qui, psychologiquement et épistémologiquement, constituent des actions du sujet sur l’objet ; mais toutes deux ne retiennent des opérations que leurs coordinations structurales pour les reconstruire déductivement. L’un des deux domaines de la logique est à cet égard plus « pur » ou formalisé que l’autre, mais il s’agit de degrés et non pas d’une opposition de nature. Lorsque l’on parle, par exemple, de la transitivité d’une relation symétrique quelconque présentant cette propriété, a = b b — c, donc a = c, on exprime un caractère propre à l’opération générale de la substitution, sans invoquer les innombrables modèles particuliers qu’il est possible d’en réaliser : il n’y a donc pas là référence à l’objet, mais seulement à l’action opérative sous sa forme la plus dépouillée. Lorsque l’on passe, d’autre part, de cette forme commune aux formes plus spéciales, telles que l’identité A = A, l’équivalence qualitative ou intensive A = A’ (ou plutôt, comme nous le verrons au § 19, les multiples formes possibles d’équivalence logique), l’égalité entre deux nombres (ou équipotence de deux ensembles), on descend naturellement du plus formel au moins formel, mais ce sont encore des structures formelles que l’on étudie : ce ne sont pas des propriétés d’objets partiçuliers, mais les propriétés structurales des opérations que l’on peut effectuer sur les objets en les réunissant sous la forme de classes à structures spécialisées ; ce sont donc toujours exclusivement les propriétés structurales qui intéressent la logique, même lorsque celle-ci cherche à atteindre les plus élémentaires de ces propriétés.

Il convient donc de définir ce qu’on entendra par structures, par formes et par contenus. Selon Wittgenstein, la structure de la proposition est caractérisée par ce qui en reste si l’on ne parle que de faits quelconques p, q, r, d’objets quelconques x, y, z et de prédicats

quelconques φ, χ, ψ, c’est-à-dire en langage courant que si l’on ne raisonne que sur des propositions quelconques et dont les termes soient aussi quelconques. Dégager la « structure » d’un.système d’énoncés consistera donc à substituer, à chacun des termes concrets employés et à chacune des liaisons inter ou intraproposition- nelles, d’autres termes, mais quelconques et désignés par des symboles abstraits. L’on voit alors qu’il existera des degrés distincts de formalisation : Wittgenstein et Russell (dans la seconde édition des Principid) partent ainsi de propositions énonçant un fait déterminé pour ne passer qu’ensuite aux propositions de plus en plus générales (avec prédicats déterminés et objets indéterminés ou l’inverse, et finalement avec objets et prédicats quelconques). C’est pourquoi il importe de préciser notre vocabulaire en ce qui concerne les formes et les contenus.

Soit une succession d’implications [(p □ q) • (q □ r)] □ [p □ r], ce qui se lit : « si la proposition p implique la proposition q et si q implique r, alors pimpliquer ». En un tel cas, les implications p □ q et ç ⊃ r sont données, tandis que l’implication p d r est construite. Il intervient donc déjà ici, bien que nous soyons en présence d’un genre de connexions essentiel à la pure logique des propositions, deux degrés de formalisation : l’implication construisant p ⊃ r, au moyen de (p ⊃ q) et de (<∕≡ r), est de caractère plus formel que les deux autres, comme y a insisté Lewis, et peut donc être dite implication formelle ; au contraire les implications p d q et q □ r, étant simplement données, seront dites matérielles. L’implication en général est définie par Russell (p d q) = (p ∨ q), ce qui signifie « p implique q équivaut à l’alternative ou non-p ou q »¹. Cette définition met en évidence le caractère de simple fait qui exprime l’implication pj p lorsqu’elle est donnée sans plus : que l’on ait à choisir entre non-p ou q (ou les deux, mais toujours avec exclusion de non-q et p); si cette alternative n’est pas le résultat d’une construction formelle antérieure, elle ne saurait, en effet, provenir que du contenu de ces propositions. D’une manière générale, la donnée préalable, qui consiste à considérer les propositions p, q et r comme distinctes, ne saurait également tenir qu’à leur contenu. La construction formelle ne s’occupe, il est vrai, ni du contenu des implications p □ q et q □ r ni de celui des propositions distinctes, p, q et r, et considère simplement ces propositions comme données avec leurs distinctions et leurs impli-

1. Exemple : « mammifère implique vertébré » équivaut à « ou bien x est non-mammifère, ou bien il est vertébré ».

cations : mais ce donné se réfère nécessairement à un contenu. Nous pouvons donc, en ce cas, imaginer un autre critère que celui de Wittgenstein et considérer les implications q et q^>r comme des contenus par rapport à la construction formelle aboutissant à p⊃rrle contenu équivaudrait ici au donné et la forme à la construction.

Or on voit d’emblée que les deux critères tendent à coïncider, sauf que le second met mieux en évidence le caractère relatif ou mobile des notions de forme et de contenu. Ils convergent, en effet, car le déterminé coïncide en fait avec le donné et le quelconque avec le construit. La différence entre un terme quelconque x et un terme déterminé x₁ est que le premier résulte de substitutions indéfinies entre x₁, x₂, etc., donc déjà d’une construction. Dans les cas des implications matérielle et formelle, l’implication q, qui est donnée, est d’autre part moins quelconque que celle qui constitue l’inférence [(p □ q)∙(q^ r)] => [p r], car celle-ci resterait vraie même si les deux premières implications étaient elles-mêmes construites, tandis que, dans le cas particulier, p q est vraie seulement en tant que donnée. Bref, il y a des degrés dans le déterminé et le quelconque et ces degrés convergent avec ceux du donné et du construit.

Nous pouvons donc définir la forme comme étant ce qui demeure inchangé en une liaison opératoire lors des substitutions de données et le contenu comme constitué par ces données elles-mêmes, celles- ci pouvant présenter pourtant tous les degrés de détermination :

DÉFINITION 4. — Le « contenu » d’une liaison opératoire est constitué par les données, ou les termes pouvant leur être substitués, tandis que la « forme » est ce qui demeure inchangé au cours de telles substitutions.

Par exemple dans la construction [(p d q) • (q ⊃ r)] ⊃ [p □ r], les implications données (p □ q) et (q □ r) constituent le contenu de la liaison tandis que l’implication qui les relie à la conclusion [p □ r] en constitue la forme. Mais l’implication matérielle (p □ q) qui joue donc le rôle de contenu par rapport à la construction de [p ⊃ r] est elle-même une forme par rapport à l’ensemble des propositions non quelconques substituables à p et à q dans le rapport p □ q et dont celui-ci représente la forme générale. L’implication matérielle (p⊃ q) est donc à la fois contenu et forme, contenu par rapport à la forme dans laquelle elle entre comme élément et forme par rapport aux propositions plus déterminées dont elle représente la classe, c’est-à-dire le produit formel d’opérations de substitution.

Piaget. —   Traité de Logique. * 4

A

Examinons maintenant le cas d’une de ces propositions déterminées p₁ □ q_l ou p₂ □ q₂, auxquelles a été substituée pz q. Une telle implication matérielle particulière demeurera contenu tant qu’elle jouera le rôle de donnée, mais elle prendra rang de forme pour autant qu’on pourra la construire. Or, on le peut, mais au moyen d’opérations intrapropositionnelles, c’est-à-dire de structures d’un rang inférieur aux formes interpropositionnelles. Supposons ainsi que p₁ signifie « x est A » et que p₁ signifie « a ; est B », les deux termes A et B représentant deux classes telles que A soit incluse en B (donc A < B ou A + B = B). En ce cas l’implication matérielle p₁ d q_l sera vraie non plus en tant que donnée, mais en tant qu’exprimant la transitivité des relations d’inclusion (y compris l’appartenance ε) : elle sera donc forme par rapport à un contenu de niveau inférieur constitué par les classes A et B et les rapports (xεA) et (A < B).

Quant aux classes A et B elles-mêmes, elles peuvent à leur tour être données ou construites et en ce second cas constituer des formes à contenus variables (selon des opérations d’addition de sous-classes, de réunions d’individus, d’intersection, de correspondance, etc.). Et si, au lieu de considérer les classes, nous analysons les relations entre termes individuels, nous retrouvons les deux possibilités : relations données à titre de contenus d’une construction formelle, ou relations construites au moyen d’autres rapports plus élémentaires et donnés à titre de contenus.

Bref, la forme et le contenu logiques des liaisons opératoires sont relatifs l’un à l’autre et par conséquent indissociables. Mais pour discuter les questions que soulève une telle situation, il importe d’introduire encore deux définitions :

DÉFINITION 5. — Nous appellerons « structure » toute liaison logique susceptible de jouer, alternativement ou simultanément, le rôle de forme et celui de contenu.

DÉFINITION 6. — Nous appellerons « contenu extralogique » les termes ne pouvant jouer que le rôle de contenus.

Chaque structure constitue ainsi une forme par rapport aux structures de rang inférieur qu’elle englobe dans sa composition et un contenu par rapport aux structures supérieures qui l’utilisent à titre de donnée ou de matière à construction. Plus précisément chaque structure est à la fois construction (forme), à l’égard des formes inférieures, et application (contenu) par rapport aux supé-

rieures. C’est pourquoi la notion du « formel », qui caractérise la logique, se réfère à un processus continu de formalisation et non pas à une situation statique.

Mais il se pose naturellement alors deux problèmes essentiels. En premier lieu existe-t-il, au sommet d’une telle hiérarchie de structures, une forme pure qui ne soit que forme et non plus contenu, et qui constitue ainsi la forme de toutes les formes, autrement dit qui joue le rôle de logique générale ou de norme suprême ? Ou bien le sommet de l’édifice demeure-t-il ouvert ? Tel est sans doute le problème essentiel de la logique mathématique. En second lieu, en quoi consiste la base de l’édifice, puisqu’on y trouve nécessairement des contenus qui demeurent purement contenus et ne sont plus la forme de rien ? Ces contenus extralogiques sont-ils reconnaissables à un passage brusque sautant du symbole de l’individu logique, par exemple x₁, à l’individu empirique¹ connoté par lui et lui servant ainsi de contenu ultime ? Ou bien au contraire se trouve-t-on en présence d’une régression indéfinie, telle que les données logiques initiales, toujours arbitrairement choisies, constituent simplement ce que l’on pourrait appeler des « structures individualisées » susceptibles à la fois de servir de contenu aux constructions supérieures et de forme à un contenu conventionnellement considéré comme extralogique, ce qui revient à dire non encore formalisé ? C’est ce second problème qu’il s’agit d’examiner maintenant.

Si les structures logiques constituent ainsi une hiérarchie de structures telle que chacune joue le rôle de forme par rapport aux inférieures et de contenu par rapport aux supérieures, le problème préalable de la construction logique consiste à déterminer en quoi consistent les éléments de départ et quel est à leur sujet le rapport entre les structures élémentaires (définition 5) et les contenus extralogiques (définition 6). Le problème paraît simple à résoudre pour un atomisme logique, et compliqué pour une logique des totalités ; mais peut-être cette apparence est-elle doublement trompeuse.

1. Notons que l’individu empirique peut être un objet mental comme un objet physique, car la logique n’a pas à dissocier l’objet de l’action effectuée sur lui. Russell refuse à « une licorne » l’existence logique : mais alors les rayons N pu le Bathybius Haeckeli constituaient des êtres logiques tant qu’on y croyait et auraient perdu cette existence conceptuelle une fois reconnue l’illusion ?

Un effort admirable a été fourni par Wittgenstein et par Russell pour résoudre le problème sur le terrain de l’atomisme propositionnel, effort dont sont redevables aussi bien ceux qui se séparent d’un tel point de vue que ses partisans eux-mêmes. Il existe, nous disent ces auteurs, des énoncés élémentaires sans généralisation et portant sur des faits non décomposables en d’autres faits. Wittgenstein les appelle sans plus « faits atomiques » p ou q, etc., et Russell « propositions atomiques ». Une proposition moléculaire est constituée selon Russell (par définition) par les propositions que l’on peut former en composant entre elles des propositions atomiques au moyen de la relation d’incompatibilité (p | q soit p est incompatible avec q). Les propositions élémentaires seraient alors l’ensemble des propositions atomiques et moléculaires. Le caractère propre des propositions atomiques serait de consister en énoncés de faits individuels sans aucune mention de « tous », « quelques », ou « toujours » et « parfois » : elles ne comportent ainsi que des termes bien déterminés (par opposition à quelconques). Par contre elles admettent les opérations de négation (p), de conjonction (p • q), de disjonction (p ∨ q), etc., toutes réductibles à l’incompatibilité.

Le problème que nous soulevons alors est de savoir si la notion même d’une proposition atomique n’est pas contradictoire. Nous n’entendons pas soutenir qu’il existe des contradictions dans le calcul des propositions élémentaires construit par Wittgenstein et Russell et destiné à servir de fondement au calcul des propositions en général. Nous demandons simplement si les soi-disant propositions atomiques sont vraiment isolables à titre d’éléments antérieurs à leurs compositions mutuelles et si elles constituent ainsi le point de départ le plus naturel pour la construction de l’édifice logique. Nous croyons au contraire qu’elles résultent toujours de décompositions à partir de structures totales plus complexes.

En quel sens, en effet, peut-on parler de propositions élémentaires ? Si l’on se place au point de vue exclusif des opérations interpropositionnelles, sans considérer le contenu des propositions, une proposition élémentaire ne se distingue naturellement pas alors d’une proposition quelconque p, q, r, par opposition aux assemblages (p-q ou p⊃ q, etc.). Ce n’est donc pas de cela qu’il s’agit. Si l’on se place, par contre, au point de vue des opérations intrapropositionnelles, une proposition élémentaire ou atomique sera caractérisée par certains rapports entre un prédicat déterminé (a ou β)

et un terme individuel (τ₁ ou ^₂)¹ auquel ce prédicat est attribué ; nous écrirons ces rapports α(x₁) ou β(rr₂) en cas de vérité, et β(x₃) en cas de fausseté. Deux problèmes sont alors à distinguer soigneusement dont on a, malgré tout, l’impression que Russell et Witt- genstein les ont laissés quelque peu interférer : la question du caractère logiquement premier (ou indécomposable) de telles structures et celle de leur rapport avec les contenus extralogiques correspondants (simplicité des faits individualisés dans le réel).

Or, le premier de ces problèmes comporte une solution à laquelle il est difficile d’échapper ; énoncer sous forme d’une proposition p un rapport entre un terme individuel x₁ et un prédicat a consiste nécessairement à mettre le terme individuel x₁ en relation avec d’autres termes, non pas seulement parce que la proposition p peut être associée à q, r, etc., mais parce que les termes intraproposi- tionnels eux-mêmes a et x₁, dont elle se compose, ne sauraient avoir de signification logique qu’à une condition : c’est de caractériser a et x₁ en liaison avec d’autres termes (β, etc., ou x₂, etc.) empruntés à d’autres propositions, ou en liaison avec les mêmes termes (a et rr₁) se retrouvant en d’autres propositions et réapparaissant donc en tant qu’engagés en des rapports distincts de α(aq).

Il n’existe, en effet, que deux procédés pour décrire, c’est-à-dire pour isoler l’individu logique x₁ : ou bien lui attribuer des prédicats distincts de ceux de tous les autres individus (en faire une « classe » singulière), ou le comparer à tous les autres par le moyen de « relations » dont il serait lui-même l’un des termes. Supposons d’abord que le terme individuel x_j ne présente qu’un caractère distinctif a qui le différencie de ¾ ¾, etc., qualifiés par β, γ, etc. Cela revient alors à dire qu’il existe deux classes X et X’, dont l’une X ne contient que x₁ et est caractérisée par la présence de la qualité a et dont l’autre X’ contient x₂, x₃, etc., et est caractérisée par l’absence de la qualité a, c’est-à-dire par â. De plus X et X’ constitueront par leur réunion la classe, totale Y. On aura donc :

(0) X [se réduisant à α(z₁)] = Y — X’ et X + X’ = Y

De plus, on pourra toujours réunir α(^₁) et β(¾) ou a(τ₁) et γ(x₁), etc., en sous-classes K₁, K₂, etc., telles que α(x₁) équivale à K₁ moins β(‰) ; ou à K₂ moins γ(¾), etc. :

(0’) α(x₁) = K₁ — β(τ₂) ; a(x₁) = K₂ — γ(¾) ; etc.

1. Nous écrirons au cours de ce Traité, x₁ ; x, ; … ou y₁ ; y, ; … pour les termes déterminés et x ou y… pour les termes indéterminés.

/

Cela revient à dire que le terme x₁ n’est pas uniquement caractérisé par la présence du prédicat a, mais aussi par l’absence de β, de γ, etc. (soit par β, γ, etc.),’et que ces présences et ces absences suffisent déjà à constituer un ensemble de sous-classes déterminées, c’est-à-dire une classification. La partie commune de ces classes K₁,

K₂, etc., sera alors égalé a X et la somme des parties non communes équivaudra à X’ (voir la figure 1). Supposons maintenant que, au lieu d’une qualité positive a caractérisant x₁, le terme x_l soit seulement reconnaissable à l’absence des qualités β, γ, etc. Cela reviendra à définir le prédicat a par l’absence simultanée des qualités β, γ, etc., et rien ne sera changé à ce qui précède : le fait atomique sera toujours solidaire d’une classification d’ensemble.

Fia. 1.

Admettons enfin que la différence entre le fait individualisé x₁et les autres faits x₂, ¾, etc., soit une différence de degré, exprimable en plus ou en moins. Cela signifiera alors que le terme x₁ se distinguera de ¾ ¾, etc., par un jeu de relations asymétriques. Si nous désignons par une flèche (→- ou →-) ces relations exprimant une différence orientée, nous aurons donc :

(0") (x₁ →- x₂) ou (x₁ x₂) ; (x₁ →- x₃) ou (τ₁ x₃) ; etc.

En ce cas (fig. 1 bis) le terme x₁ sera bien distingué de z₂, x₃, etc., mais il s’en trouvera par cela même solidaire grâce à l’existence d’un système de relations.

Au total, même à n’envisager que des différences entre x₁ et les autres termes individuels x₂, etc., ces différences supposent ou une classification (0) ou (0’) ou un système de rapports (0"). Autrement dit, un fait individualisé est nécessairement ou bien une classe singulière résultant de l’intersection de plusieurs sous-classes (fig. 1) ou bien un centre de relations constituant l’interférence de multiples couples ou de sériations plus complexes (fig. 1 bis). Dans les deux cas, l’individualisation même du fait soi-disant atomique est

le résultat soit d’un découpage à l’intérieur d’un certain nombre, d’autres classes, soit d’une mise en relation à l’intérieur d’un système de rapports. Ce sont ces classes et ces relations asymétriques qui seules permettent l’élaboration des opérations propositionnelles auxquelles Wittgenstein soumet ses propositions atomiques. La possibilité même de ces propositions suppose déjà un classement ou une mise en relations préalables. En effet, Wittgenstein a reconnu avec profondeur que les premières propositions énonçant un « fait » se construisent par négations à partir d’autres « faits » : or ces négations et incompatibilités ne sont pas autre chose que l’expression

propositionnelle des soustractions de classes de forme (0) et (0’) ou des différences asymétriques de forme (0"). Quant aux opérations de disjonctions, d’implications, etc., elles traduisent en termes interpropositionnels les interférences ou les inclusions propres à ces classes ou aux champs de ces relations (voir § 28).

On peut donc résoudre le premier des deux problèmes

lence étant une différence nulle) ; en effet, l’identité (x₁ = x₁) suppose une délimitation entre ce qui est identique à x₁ et ce qui ne l’est pas dans le bloc de « faits » auquel appartient x₁. Ainsi l’identité elle-même ne saurait être caractérisée qu’en fonction d’autres relations qui la débordent.

Nous pouvons alors en venir au second problème : en quoi consiste le contenu extralogique (définition 6) des formes les plus simples, c’est-à-dire de la classe singulière et du rapport d’identité ? Autrement dit, qu’est-ce qu’un « contenu » qui ne soit plus la « forme » de rien, si tout individu envisagé par la logique est nécessairement membre de classes et terme de rapports ? Sommes-nous enfin en présence d’un vrai fait atomique, c’est-à-dire d’un élément isolé préalable ? Il n’en est rien non plus. Psychologiquement et épistémologiquement, sans que la logique ait à prendre position sur ce point, un fait ou un objet individualisés sont toujours relatifs au découpage exigé par l’action du sujet, et par conséquent relatifs aux structures perceptives ou intellectuelles d’ensemble qui les assimilent (et s’accommodent en retour à eux) : d’un tel point de vue il n’existe donc pas de faits isolés et les éléments individuels ne sont pas antérieurs aux systèmes qu’ils constituent entre eux, mais seulement décomposables en fonction de l’ensemble de chaque système. Du point de vue logique, qui seul nous importe ici, il en va exactement de même : le donné individuel servant de contenu à la forme la plus simple (par exemple un caillou en tant qu’individu, seul membre d’une classe singulière et seul terme d’un rapport d’identité) ne constitue un élément indécomposable que relativement au système des opérations considérées à son sujet. En construisant un autre système de classes et de relations l’élément individuel du premier système peut devenir forme d’un rang supérieur dans le second système (le même caillou envisagé en tant que collection de corpuscules ou que faisceau de rapports géométriques, etc.). Le terme ultime de la décomposition logique est donc essentiellement relatif à l’édifice des formes assurant son individualisation, c’est-à-dire que cette individualisation elle-même est fonction de la totalité du système. Le contenu individualisé des formes logiques n’est par conséquent extralogique que dans l’exacte mesure où il est donné et non pas construit opératoirement comme le sont les classes, les relations et les propositions dont l’élaboration relève de structures opératoires d’ensemble. Mais les qualificatifs de donné ou d’extralogique ne signifient nullement que l’on atteigne ainsi des élé-

ments premiers en eux-mêmes, soit du point de vue physique ou psychologique, soit du point de vue logique. Il en résulte que le système des structures est donc toujours ouvert vers le bas, c’est- à-dire susceptible de donner lieu à des analyses ultérieures plus fines et à de nouvelles formalisations de contenus jusque-là considérés comme donnés et extralogiques. Cette ouverture vers le bas est assurément gênante pour tout système atomistique procédant de l’élément à la totalité : elle n’exprime au contraire que la différenciation indéfinie possible des totalités dans les systèmes logiques fondés sur les rapports d’ensemble du tout à la partie.

Dans ce qui précède nous avons traduit les opérations intrapro- positionnelles en termes de classes (et de relations), comme si la notion de classe logique était d’une validité évidente. Or, après avoir été l’objet d’une admirable réorganisation dans les travaux de Russell, la logique des classes a été abandonnée par lui à titre de fondement de l’édifice logique et même à titre de nécessité formelle en général, pour des raisons subtiles qu’il s’agit d’examiner maintenant.

La notion capitale que l’on doit à Russell et qui relie de la façon la plus naturelle la notion de classe à celle de proposition (au point qu’elle a rendu presque inutile à ses yeux l’existence des classes elles-mêmes) est la notion de « fonction propositionnelle ». C’est le passage de la proposition comme telle à la fonction propositionnelle qui introduit donc à l’étude des opérations intrapropositionnelles.

Une proposition p est vraie ou fausse et c’est exclusivement à ce titre qu’elle intervient dans le calcul des propositions, c’est-à-dire dans la logique des opérations interpropositionnelles.. Caractérisée par ses seules valeurs de vérité et de fausseté, elle ne comporte donc pas de quantification explicite, et les expressions « un », « quelques », « tous », etc. n’intéressent ainsi pas directement la logique des propositions, puisqu’elles sont relatives au contenu de la proposition, donc opérations intrapropositionnelles. >

Mais, à un terme déterminé d’une proposition, on peut substituer un terme quelconque : la proposition « cette rose est rouge » deviendra ainsi « a : est rouge », et, si nous désignons le fait d’être rouge par le signe φ, nous écrirons cette proposition φ(z). Seulement un

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tel énoncé n’est plus ni vrai ni faux. Il n’est pas toujours vrai puisque certains termes déterminés x₁ et x₂ que nous pouvons substituer à x ne sont pas rouges : les propositions φ(rr₁) et φ(a⅛) ^sθnt alors fausses. Mais l’énoncé ^(x) n’est pas non plus toujours faux : il n’est en lui-même ni vrai ni faux et ne constitue donc plus une proposition, puisque le caractère essentiel d’une proposition est d’être vraie ou fausse (définition 1). Nous l’appellerons avec Russell « fonction propositionnelle », en désignant sous le nom d’« argument » le terme x et en considérant φ comme la fonction elle-même :

DEFINITION 7. — Une fonction propositionnelle φ(≈) est un énoncé ni vrai ni faux, mais susceptible d’acquérir une valeur de vérité ou de fausseté selon la détermination des arguments substitués à l’argument indéterminé x.

Une fonction propositionnelle sera « toujours vraie » si pour tous les x la fonction prend une valeur de vérité, ce que Russell écrit (x) φx ; elle sera « quelquefois vraie » si elle est vérifiée par un x au moins, ce qui s’écrit 3(z)φz∙ Les notions de « tous », « quelques » et « aucun » liées par la syllogistique à la théorie des propositions s’expriment ainsi en termes de fonctions propositionnelles par les mots « toujours », « quelquefois » et « jamais ». Or ces notions exprimant essentiellement une structure d’emboîtement de classes, on aperçoit la parenté entre la notion de fonction propositionnelle et celle de classe logique. Une fonction φ(z) conduit, en effet, à décomposer les propositions en classes, puisque les arguments x saturant la fonction constituent des classes positives ou nulles. Réciproquement, chaque classe peut être définie par quelque fonction propositionnelle qui sera vraie pour les membres de la classe K et fausse pour tous les termes de la classe complémentaire K.

Mais le passage de la fonction propositionnelle à la classe comporte des précautions. Les unes sont relatives à la « théorie des types » qui exclut les classes se comprenant elles-mêmes comme éléments (par exemple la classe de toutes les classes). Les autres concernent l’existence même des classes en tant que structures logiques fondamentales et c’est sur ce dernier point que Russell a introduit les corrections qu’il nous faut examiner maintenant.

Une classe logique ne saurait être conçue, en effet, comme un simple amas d’individus : la meilleure preuve, dit Russell, en est qu’une classe peut être vide ou nulle. Il faut ajouter que, lorsqu’ils existent, les individus formant une classe sont qualifiés et sont par conséquent l’objet de propositions. Ainsi la classe ne se réduit pas

à une collection physique, mais résulte de la substitution d’un individu à un autre au sein d’une proposition : la première condition de l’existence logique d’une classe est donc bien la construction d’une fonction propositionnelle (équivalent logique de ce qu’est psychologiquement un schème d’assimilation conceptuelle).

Mais cette condition ne suffit pas, selon Russell. Outre les conditions restrictives propres aux classes mathématiques (ensembles), qui ne nous intéressent pas ici (voir chap. IV), Russell formule l’exigence suivante : deux fonctions propositionnelles « formellement équivalentes », c’est-à-dire toujours équivalentes, doivent s’appliquer aux mêmes objets, tandis que deux fonctions non formellement équivalentes doivent déterminer des objets différents. Or, si toute fonction propositionnelle correspond à une classe, on aura alors plusieurs classes pour les mêmes objets, ce qui est exclu. « Deux fonctions propositionnelles φ(ιr) et ψ(x), dit Russell, sont formellement équivalentes, quand φ(rr) est toujours équivalente à ψ(ic). C’est le fait qu’il y a d’autres fonctions, formellement équivalentes à une fonction donnée, qui rend impossible l’identification d’une classe avec une fonction, car nous ne voulons pas que les classes soient telles que deux classes distinctes aient exactement les mêmes membres.¹ » Il s’agit par conséquent que deux fonctions formellement équivalentes déterminent la même classe. Mais selon Russell, cela n’est pas possible dans tous les cas. Il existe, en effet, des propositions qu’il appelle « extensives » parce que vraies de toutes les fonctions formellement équivalentes : par exemple 4 et 2 4- 2. Mais il en est d’autres, qu’il dénomme « intensives », pour lesquelles cela n’est pas le cas. Par exemple, bien que « homme » et « animal raisonnable » soient deux fonctions formellement équivalentes, ces deux termes ne sont plus substituables dans une phrase telle que « X dit qu’il a rencontré un homme », car X n’a pas dit qu’il a croisé sur son chemin un « animal raisonnable » ! En ce cas il n’y a plus correspondance univoque entre la classe et la fonction.

Une telle manière de concevoir les rapports logiques est assurément surprenante (ce qui explique pourquoi Wittgenstein a cherché à écarter à la fois la notion de classe et celle de « proposition intensive »). Mais elle est parfaitement conséquente avec l’atomisme logique, qui s’avère ainsi un atomisme grammatical ou verbal. Si une proposition peut être décomposée en elle-même, indépendam-

1. Introduction à la philosophie mathématique, p. 218.

ment de tout système de classes ou de relations comportant certaines lois de totalité, il est évident que l’on a le droit de considérer les propositions « Le signe IV désigne le quatrième nombre cardinal » et « Le signe 4 désigne le quatrième nombre cardinal » comme comportant deux fonctions formellement équivalentes (IV et 4), et ensuite de déclarer que dans la proposition « Il a écrit 4 », la fonction IV ne peut plus être substituée à la fonction 4. Mais, dans une logique des totalités, il est permis de se demander si le fait que 4 ne soit plus équivalent à IV dans la proposition « Il a écrit 4 » n’est pas contradictoire avec l’affirmation que IV et 4 sont « toujours équivalents ». Autrement dit, si l’on se place au point de vue des structures d’ensemble il faut dire, en premier lieu, qu’on ne saurait isoler une proposition de son contexte sans tomber dans le verbalisme, et, en second lieu, que l’équivalence comporte des paliers hiérarchiques et par conséquent des significations distinctes : il n’existe donc pas de termes « toujours équivalents » hormis l’identité stricte.

Dans l’exemple des signes 4 et IV nous pouvons construire une classe singulière A ne comprenant que « le signe 4 » et une classe A’ comprenant « les signes autres que 4 représentant le quatrième nombre cardinal ». Cette classe A’ comprendra donc le signe IV. Réunies l’une à l’autre, les deux classes A et A’ constituent alors la classe B = A + A’, comprenant « tous les signes qui représentent le quatrième nombre cardinal ». On peut alors définir une équivalence intérieure à une classe singulière, que nous écrirons dans le cas de A, sous la forme 4 = 4 et qui est l’identité ou auto-équivalence. Par contre l’équivalence entre 4 et IV n’est que relative à la classe B, donc 4 = IV. Il est faux que 4 soit équivalent à IV du point de vue de A et cela est faux aussi du point de vue de A’, puisque IV n’appartient pas à la classe A, ni 4 à la classe A’ : les expressions 4 A IV et 4 = IV sont donc contradictoires avec ce qui précède, c’est-à-dire fausses. De son côté, le signe IV constituera une classe singulière A₂ ; d’où IV Aî IV. En outre, A₂ aura pour complémentaire sous B la classe A₂ ( = B — A₂), qui comprendra la classe A, comme la classe A’ comprend la classe A₂. Il y aura donc autant de variétés d’équivalences que de classes ainsi construites : l’équivalence sera, dans ce système, la co-appartenance de deux individus à une même classe ou la co-inclusion de deux sous- classes à une même classe totale. D’un tel point de vue, qui est celui d’un système d’ensemble, il n’est plus légitime de parler d’équi- /

valence générale : on y perd en généralité, mais on y évite la contradiction entre la notion de « toujours équivalent » et les cas où il n’y a précisément pas équivalence !

Le problème des propositions intensives¹ étant ainsi écarté du point de vue d’une logique qui subordonne les diverses sortes d’équivalence à la considération des systèmes d’ensemble, il est alors légitime de faire correspondre à toute fonction propositionnelle une classe définie par l’ensemble des valeurs vraies de cette fonction. Il reste cependant à respecter la hiérarchie des classes en ne mêlant pas les valeurs de niveaux différents. C’est ce que Russell observe au moyen de sa fameuse « théorie des types » : les individus étant de type (0) les classes ne contenant que des individus seront dites de type (1) ; les classes ne comprenant que des classes de type (1) seront dites de type (2), etc. Le principe essentiel de la construction des classes sera alors de ne jamais englober en une classe donnée que des classes de type inférieur à elles. Nous retrouverons le problème à propos des « groupements » de classes (chap. II) et constaterons que les lois d’ensemble propre au « groupement » suffisent à le résoudre.

Avant de pouvoir aborder l’étude de ces systèmes d’ensemble, contentons-nous donc de définir comme suit les classes, en première approximation :

DÉFINITION 8. — Une classe est l’ensemble des termes pouvant être substitués les uns aux autres à titre d’arguments conférant une valeur de vérité à une fonction propositionnelle.

Une telle définition revient, d’une part, à dire qu’une classe est un ensemble de termes équivalents à un certain point de vue ; mais cela implique, d’autre part, que cette équivalence doit être subordonnée à un jeu de substitutions dont il s’agira de fixer les règles.

En effet, les propositions peuvent être reliées entre elles par des opérations soit intra soit interpropositionnelles : les substitutions possibles au sein des fonctions propositionnelles seront donc, en deuxième approximation, déterminées par les lois mêmes de composition de telles opérations.

Mais les fonctions propositionnelles dont nous nous sommes occupés jusqu’ici ne comportaient qu’un seul argument : φ(x) ou ψ(τ), etc. Or, il en existe à deux arguments, φ(τ, y), ou davantage, et on a

1. Il est inutile d’insister sur le fait que la terminologie de Russell ne coïncide pas avec la nôtre en ce qui concerne l’emploi des mots « intensif » et « extensif » (voir défin. 14 et 15).

coutume de considérer ces fonctions à deux ou plusieurs arguments comme caractérisant les « relations »¹ : en effet, la fonction tf(x, y) est vérifiée lorsque deux termes x₁ et y₁ présentent entre eux la relation φ. Faut-il donc se borner, pour distinguer les classes des relations, à cette différence entre les fonctions à un seul argument <f(x) qui correspondraient aux classes et les fonctions φ(τ, y) ou φ(τ, y, z) qui correspondraient aux relations ? Et la définition (8), dans laquelle nous n’avons point introduit une telle distinction, ne serait-elle donc pas générale ?

Seulement, une telle manière de présenter les choses, quoique fréquente, appelle les deux réserves suivantes. En premier lieu, deux termes x₁ et x₂ satisfaisant tour à tour aux conditions de vérité de la fonction à un seul argument φ(z) soutiennent entre eux au moins une relation : la relation d’équivalence du point de vue de φ(ιr), puisque x₁ et x₂ sont l’un et l’autre substituables à 2. La , classe x₁ + x₂ + … est donc qualifiée au moyen de cette équivalence même, qui est une relation. En effet, cette équivalence entre x₁et x₂ est déterminée par leur prédicat commun φ, lequel joue en ce sens le rôle d’une relation : si la classe correspondant à φ(x) est composée par les x₁, x₂, …, la fonction <p est donc une relation. En second lieu, dans la fonction à double argument ^(x, y), énonçant une relation entre x et y, la relation est à nouveau constituée par le prédicat ψ, c’est-à-dire par la fonction comme telle, tandis que les termes eux-mêmes, x et y, constituent ce qu’on appelle le « champ » de la relation et forment ainsi une classe en tant que reliés par la relation ψ. L’imbrication des classes et des relations est donc plus étroite qu’il ne pourrait paraître au vu des énoncés à un ou à plusieurs arguments φ(τ) et φ(τ, y).

Mais ici se pose une question préalable : il se pourrait que les classes fussent elles-mêmes des relations ou l’inverse ; autrement dit le problème de la différence entre les deux sortes de structures doit d’abord mettre en question la légitimité même de cette distinction. En effet, une classe est une réunion de termes individuels ■ (ou une réunion d’autres classes dont les sous-classes réunissent toujours elles-mêmes, en définitive, des termes individuels), tandis / qu’une relation est au contraire ce qui permet de réunir ces termes selon leurs équivalences, leur ordre, etc. : une classe n’est-elle donc pas elle-même une relation, ou une forme particulière de relation ?

1. Par exemple _?(x, y) signifiera que x est le père (?) de y.

Non, parce que la classe est essentiellement « extension » : elle est constituée par les x ou par les x et les y des fonctions φ(aj) et ψ(τ,y) ; au contraire, ce qui permet de réunir les x, ou les x et les y, c’est la fonction elle-même, φ ou ψ, qui est « compréhension », et nous allons voir que c’est elle qui constitue dans tous les cas la relation.

En d’autres termes, on peut admettre que la classe est constituée par sa propre « extension », tandis que la « compréhension » correspondante consiste en relations. Réciproquement l’extension d’une relation, ou plus précisément son champ n’est autre qu’une classe, tandis que la relation elle-même, en tant que relation, est constituée par sa propre compréhension. C’est du moins ce que nous allons chercher à justifier, d’abord directement, puis (§ 5) par l’analyse des prédicats en général.

La logique traditionnelle, qui ne distinguait pas les classes et les relations, mais les réunissait sous le. terme indifférencié de « concepts », opposait par contre soigneusement l’une à l’autre l’extension et la compréhension : l’extension est par définition l’ensemble des individus auxquels s’applique (justement) le concept, tandis que la compréhension est l’ensemble des attributs que possèdent en commun ces individus. Cette extension correspond ainsi à ce que l’on appelle aujourd’hui la classe et l’on peut définir par classe tout concept en extension (cf. définition 8). Il s’agira seulement de déterminer s’il n’existe qu’une seule forme de classes, telle que les classes non ordonnées, par exemple « les hommes », ou s’il existe des classes plus ou moins structurées en fonction des relations qui unissent leurs termes, par exemple « les pères et les fils » ou « les nombres entiers », etc. Quant aux qualités caractérisant la compréhension, le problème est beaucoup plus complexe. La logique classique assimilait tous les jugements à la forme attributive « x est a », la seule copule envisagée étant donc l’appartenance (ε) ou l’inclusion (<). Il en résultait que dans un jugement tel que « x est plus grand que y » le jugement était découpé en un sujet x, un attribut « plus grand que y » et la copule elle-même’,« est ». Mais, si « les objets plus grands que y » constituent bien une classe, la signification principale de ce jugement consiste à relier les deux objets x et y par la copule « plus grand que », c’est-à-dire par un prédicat qui n’a plus le même sens attributif que dans le jugement « x est grand » et qui n’est plus un attribut au sens classique du terme. C’est pourquoi le langage moderne des fonctions propositionnelles distinguera soigneusement une expression telle que « x est grand », qui

s’écrira φ(aj) et une relation telle que « x est plus grand que y », qui s’écrira φ(τ, y) ou ψ(rr, y), etc.

Seulement, comme nous l’avons entrevu, cette distinction des fonctions à un seul ou à plusieurs arguments ne suffit pas encore à caractériser la différence entre les classes et les relations, car, même dans une fonction à deux arguments ψ(τ, y), les termes x et y constituent, en tant que termes, une classe ; et, même dans une fonction à un seul argument φ(z), la fonction φ constitue une relation par rapport aux x exactement comme la fonction ψ par rapport à x et à y.

En effet, en toute relation ψ(τ, y), on distingue le « domaine » de la relation, c’est-à-dire l’ensemble des antécédents (x) de la relation ψ(β, y) considérée, le « co-domaine » ou « domaine réciproque », c’est- à-dire l’ensemble des conséquents (y) de la relation ψ(<r, y), et le « champ » de la relation, c’est-à-dire, le domaine et le co-domaine réunis, donc l’ensemble des antécédents (x) et des conséquents (y). Par exemple, dans la relation « mari à femme » les maris seront les antécédents x, les épouses les conséquents y (ce serait l’inverse pour la relation « femme à mari ») ; le domaine sera ainsi l’ensemble des maris, le co-domaine l’ensemble des épouses et le champ l’ensemble des gens mariés. Notons dès maintenant que Russell appelle extension d’une relation la classe des couples ordonnées x, y tels que x ait avec y la relation ψ(aj, y). Mais pour autant que cette notion diffère de celle du champ, nous n’emploierons pas pour la caractériser le terme d’extension, mais celui de « portée ». Quant aux domaines, co-domaines et champs, nous dirons que ce sont là différentes formes d’extension, ce mot étant alors pris dans le même sens que quand on parle de l’extension d’un concept, c’est-à-dire de l’ensemble des individus constituant une classe. Il est donc clair que, sous ses différentes formes, l’extension des relations ψ(x, y) caractérise des classes (par opposition à la relation elle-même, constituée par la fonction ψ comme telle). Mais en quoi consistent ces classes (x, y) ?

Il est d’abord un cas particulièrement simple : c’est celui des relations dites symétriques telles que φ(x, y) = <?(y, x) ; exemple : A = B équivaut à B = A. Les relations symétriques sont donc caractérisées par des champs tels que le domaine se confonde avec le co-domaine. On voit alors immédiatement que les relations symétriques caractérisent les classes les plus simples du point de vue de leur structure : celles dont les individus sont réunis sans plus par

leurs qualités communes (par exemple la classe des objets de même couleur, en opposition avec les couples déterminés par la relation « x plus rouge que y »). En un tel cas la compréhension délimitant la classe comporte au moins une relation : c’est la relation d’équivalence exprimant la co-possession d’une même qualité (« co-rouges ») et déterminant la co-appartenance à la même classe.

Il y a en second lieu les relations dites asymétriques, telles que la fonction φ(τ, y) exprime une autre relation que φ(y, x); exemple : A < B et B < A. En un tel cas le domaine de la relation est distinct du co-domaine : pour trois objets rangés dans l’ordre A < B < C, le domaine comprend A, mais pas C et le co-domaine comprend C, mais pas A. Quant à la classe constituée par le champ, il importe de distinguer deux choses : la classe ordonnée A, B, C et la classe non ordonnée formée par les mêmes objets indépendamment de leur ordre. Cette dernière est simplement définie par la qualité commune (« pesants » s’il s’agit d’objets plus ou moins lourds), tandis que la première n’est plus une classe d’individus équivalents, mais une classe structurée par les relations asymétriques en jeu. En ce nouveau cas, il est donc clair que l’extension de la relation constitue une classe, tandis que la relation elle-même est constituée par les rapports en compréhension (« plus ou moins lourds », etc.). Nous pouvons donc poser la définition suivante (en première approximation) :

DÉFINITION 9. — Une relation est ce qui caractérise un terme par l’intermédiaire d’un autre¹.

Une telle définition soulève alors deux problèmes : la relation ainsi définie en compréhension est-elle distincte ou non de l’opération en général (par exemple + ou x, etc.); et recouvre-t-elle tout prédicat en compréhension, par exemple la fonction φ dans φ(a>) ou seulement les prédicats des fonctions à deux arguments, par exemple ψ en ψ(z, y) ?

En ce qui concerne le premier point, on soutient souvent, soit en logique, soit en mathématiques, que les opérations elles-mêmes constituent des relations. C’est ainsi que deux classes A et A’ peuvent être réunies en une même classe totale A + A’ = B et que deux classes X et Y peuvent comporter des éléments communs : leur multiplication X × Y consistera ainsi à construire une nou-

1. Ceci est vrai de l’identité elle-même puisque dans A ≡ A le conséquent est posé de façon distincte de l’antécédent pour être ensuite qualifié de substituable à ce dernier en toute circonstance.

velle classe (XY) formée des éléments appartenant à la fois à X et à Y. Les mots « et » ou « à la fois » qui expriment ces opérations de réunion ou de multiplication peuvent alors être conçus comme des relations unissant A à A’ ou X à Y. Inversement on pourrait soutenir que toute relation est une opération consistant à unir des termes, puisqu’elle les caractérise les uns par l’intermédiaire des autres. Il n’existerait ainsi aucune différence de nature entre les relations et les opérations. Mais, si l’on peut effectivement concevoir la construction de toute relation, et par surcroît de toute classe comme solidaire d’un système d’opérations, il reste indispensable de distinguer ces relations (ou ces classes), données ou construites, mais demeurant toujours à elles seules invariantes, et les opérations qui sont des transformations et qui modifient les structures sur lesquelles elles portent : Wittgenstein lui-même, qui enseigne le caractère tautologique de toutes les liaisons logiques, définit une - opération comme étant « ce qu’il faut faire » pour transformer une structure en une autre. Cette définition, que nous adopterons en la complétant par un rappel de la réversibilité¹, exprime fort bien le caractère constructif de l’opération, par opposition à l’invariance des relations tant qu’elles ne sont pas composées entre elles au moyen d’opérations.

DÉFINITION 10. — Nous appellerons « opération » la transformation réversible d’une structure (définition 5) en une autre, soit par modification de la « forme », soit par substitution portant sur le « contenu ».

Il est donc clair que les notions de relation et d’opération ne sauraient se recouvrir. Par contre, si une relation est ce qui caractérise en compréhension un terme par l’intermédiaire d’un autre, la question subsiste de savoir si cette définition s’applique exclusivement aux fonctions de forme ψ(x, y) ou si elle est à étendre jusqu’aux fonctions ψ(aj). C’est la question générale de la signification des prédicats qui est ainsi soulevée : existe-t-il des prédicats en compréhension qui ne soient pas des relations ? Si ce n’est pas le cas, il est clair que toute fonction φ, de forme φ(x) comme y(x, y), constituera une relation ; la seule différence sera que, en φ(τ, y), la relation φ est explicitement posée comme relation (asymétrique ou symétrique) entre x et y, tandis qu’en <f(x) il s’agit d’une relation symétrique, demeurant implicite, entre les arguments x₁ et x₂, etc. substituables à x : d’où φ(x) = φ(x₁5 x₂’, …).

1. Cf. plus bas, § 31

La différence que nous venons d’admettre entre les classes et les relations est une différence de structure : en une fonction propositionnelle quelconque, φ(z) ou φ(τ, y), la classe est constituée par l’ensemble des termes (x) ou (x, y), considérés en extension (définition 8), tandis que la relation est ce qui les caractérise les uns par l’intermédiaire des autres (définition 9), c’est-à-dire qu’elle est la fonction elle-même (φ) envisagée en compréhension. Mais alors que devient le « prédicat » ?

Rappelons d’abord que la distinction entre le sujet et le prédicat est d’ordre fonctionnel et non pas structural ; ce sont deux rôles distincts que les termes jouent dans la proposition, mais deux rôles essentiellement relatifs à l’ordre des emboîtements : dans la proposition « cet homme est noir », « noir » joue le rôle de prédicat et « homme » de sujet, tandis que, dans la proposition « ce noir est homme », c’est l’inverse. En chacun des deux cas, le langage isole l’une des qualités de l’individu en jeu pour le désigner, et lui ■ en attribue d’autres à titre de prédicats. Le problème intéressant n’est donc pas de savoir comment un prédicat isolé est attribué à un sujet, mais de quelle manière les diverses qualités d’un individu ou d’une classe d’individus sont logiquement liés entre elles : ces qualités seront-elles simplement juxtaposées ou superposées, selon leurs présences ou absences données, ou soutiendront-elles les unes avec les autres certains rapports susceptibles de construction opératoire, telles que les propriétés d’un triangle ou d’une classe de nombres, etc.

De ce point de vue, la signification d’une proposition importe plus que sa forme verbale. Ceci peut paraître évident dès qu’on se propose de faire de la logique et non pas de la grammaire, mais une telle affirmation de principe se heurte à tout le courant nominaliste contemporain. Les logisticiens ont parfois l’ambition d’aboutir à une traduction algébrique fidèle des propositions verbales, selon toutes les formes adoptées par le langage. Il en résulte naturellement un renforcement de l’atomisme logique, puisque la langue morcèle l’action et la pensée opératoire en éléments artificiels, tandis que l’analyse des significations met en évidence certains rapports non explicités dans la phrase, mais qui n’en jouent pas moins un rôle fondamental. D’autre part, la langue introduit souvent, en plus des rapports effectifs, des rapports artificiels tenant

✓

à la forme des mots plus qu’à leur sens. C’est ainsi que Russell, dans sa théorie par ailleurs si subtile des prédicats de prédicats, en vient à construire des formes logistiques épousant exactement certaines expressions verbales, comme « Napoléon avait toutes les qualités d’un grand général ». Si l’on s’attache au seul sens des mots, on dira qu’un « grand général » est un individu pourvu d’un certain nombre de qualités (prédicats) α, β, γ, etc., et que, Napoléon les ayant toutes, il était donc par définition un grand général. Mais Russell ne s’en tient pas là et désire formuler le fait que d’être un grand général (φ) implique la possession de toutes les qualités (ψ) de ce concept : il en résulte que, si φ(τ) implique ψ(x) et que si x₁est un argument vrai de la fonction φ(z), il le sera aussi de ψ(tr). Mais nous pouvons continuer : « Napoléon avait toutes les aptitudes qui caractérisent toutes les qualités d’un grand général », etc., et ces tautologies ne seront ni plus ni moins instructives que la première φ(τ) □ ψ(aj). La question est alors de savoir si la logistique veut être une analyse du langage comme tel et se borner à constituer une langue universelle (un espéranto à l’usage des mathématiciens), ou si elle veut atteindre les connexions opératoires de la pensée. A préférer les idées aux mots, il est certes important de savoir que la possession de la qualité caractéristique d’une classe implique la possession de toutes les autres propriétés générales de cette classe ; mais il est encore plus intéressant de savoir selon quelle structure ces propriétés s’impliquent les unes les autres et si cette structure est la même pour toutes les classes ou se différencie en formes hétérogènes¹.

Cela dit, nous devons rendre pleine justice à Russell d’avoir fort bien dégagé les ambiguïtés de la notion grammaticale de prédicat. Aussi ne parle-t-il que de fonctions « toujours » vraies ou « parfois » vraies là où interviennent les « tous » et le « quelques » ; et réserve- t-il le terme de « prédicat » aux propriétés ne comportant aucune généralisation. Seulement le problème est de décider si la notion de prédicat conserve alors son utilité et s’il n’est pas plus opportun de s’en tenir à l’analyse des fonctions propositionnelles en termes d’opérations de classes et de relations. Comme nous l’avons vu (§ 3),

1. Il est vrai que symboliser les idées plus que les mots risque de limiter le symbolisme et qu’il est plus commode de s’en tenir aux expressions verbales elles-mêmes. Mais de toute manière il est des limites au symbolisme, car on ne saurait mettre en symboles les principes du symbolisme ni les définitions de départ. Wittgenstein a tourné la difficulté en élaborant une théorie intéressante du symbole en tant qu’imagé directe des objets. Mais c’est là de la psychologie et non plus de la logique, et une psychologie discutable : un symbole est toujours solidaire d’un système d’ensemble de significations et est par nature réfractaire à tout atomisme.

il n’existe pas de « faits » individuels, mais seulement des « contenus individualisés » en relation avec un ensemble systématique d’autres données, affirmées ou niées à son sujet. Il est donc douteux qu’il existe des prédicats sans généralisation : « Ceci (x₁) est rouge (φ)⅛ signifie que « ceci (x₁) a la même couleur que quelques autres termes (x₂, x₃, etc.) appelés rouges, mais non pas la même que tous les objets colorés ». Sur le terrain des prédicats, comme sur celui des termes eux-mêmes, il importe ainsi de se placer au point de vue des totalités opératoires effectives, et c’est de ce point de vue que tout prédicat se réduit, comme nous allons le voir, à une relation plus ou moins simple ou complexe.

Dressons d’abord le tableau exhaustif des diverses sortes possibles de prédicats, avant de les traduire dans le langage des fonctions propositionnelles. On peut d’abord concevoir des prédicats en extension ou en compréhension. En second lieu on peut attribuer les prédicats à d’autres termes en même temps qu’au terme considéré, mais on peut aussi ne l’attribuer qu’à lui-même ou encore à une partie seulement de lui-même. Enfin on peut distinguer les prédicats simples et des prédicats de prédicats (à des degrés divers).

Les prédicats en extension étaient admis sans plus par la logique classique. « Tous les mammifères sont des vertébrés » ou « Quelques mammifères sont des animaux aquatiques » sont des exemples de propositions dont les prédicats en extension se rapportent à d’autres termes encore qu’au terme considéré. La proposition « Les animaux sont les êtres vivants autres que les végétaux » ne rapporte le prédicat qu’au terme considéré. L’imprécision de ces rapports d’extension a conduit Hamilton à son idée célèbre de la quantification du prédicat, consistant à traduire tous les prédicats en termes d’extension explicitement déterminées : « Tous les mammifères sont vertébrés » devient ainsi « Tous les mammifères sont quelques vertébrés ».

L’idée féconde de Hamilton met en évidence le fait que les prédicats en extension sont tous réductibles à des opérations de classes. Aussi la logistique russellienne élimine-t-elle avec raison de la notion de prédicat toute intervention de l’extension. Pour passer des propositions élémentaires aux propositions dans lesquelles entrent en jeu le « tous » ou le « quelques », Russell ajoute simplement, comme nous l’avons vu (§ 4), un « quantificateur » (x)φx ou 3(x)φ^. Ces quantificateurs remplissent le rôle de détermination de l’extension, dont Hamilton avait aperçu la nécessité, mais le

fait d’en dissocier l’expression symbolique de celle de la fonction comme telle (φ), permet de réserver à celle-ci sa signification propre, qui est relative à la compréhension. Or, comme l’extension de toute fonction propositionnelle (x) ou Qz) constitue une classe (une fois levée, grâce aux équivalences de divers ordres, la difficulté exposée au § 4), nous pouvons en revenir au langage des classes : c’est ce que nous ferons au chapitre II, en poussant plus loin encore que Hamilton la quantification des extensions.

La notion de prédicat (ou de fonction elle-même, par opposition à ses arguments et à la quantification) étant ainsi réduite à la seule compréhension, examinons maintenant en quoi consiste cette dernière. Nous allons chercher à montrer que tout prédicat en compréhension se réduit à une relation, et que, parallèlement à la traduction en opérations de classes des rapports entre le sujet et les prédicats en extension, il importe de traduire en opérations de relations les rapports entre le sujet et les prédicats en compréhension. Trois cas sont à considérer à cet égard : les prédicats attribués à des termes autres que le terme envisagé, les prédicats attribués à lui seul et ceux qui se réfèrent à l’une de ses parties.

1° Le premier cas se présente lui-même sous deux formes : φ(^) et φ(τ, y)(« x est rouge » ou « x est plus rouge que y »). La fonction φ(x, y) exprimant explicitement une relation (voir § 4), elle vérifie donc l’hypothèse et il est inutile d’y insister. Quant aux fonctions de forme φ(τ), il convient d’abord de noter que le langage exprime bien souvent, par l’attribution d’un prédicat φ à un sujet x, une qualité essentiellement relative, dont la signification se réfère nécessairement, quoique implicitement, à d’autres termes sous- entendus. Lorsqu’on dit que « cette montagne est haute » ou que « cette colline est élevée », les prédicats de « haut » ou d’« élevé » ne sauraient avoir le même sens pour la colline et la montagne, mais seront relatifs à ces deux termes inégaux ; sous peine d’exprimer une pure tautologie, ils signifient, d’autre part, que la montagne ou la colline en jeu sont plus hautes ou élevées que les moyennes respectives de hauteur des montagnes ou des collines : les prédicats ou fonctions φ(z) seront donc doublement relatifs, malgré la forme absolue de l’affirmation. Il en est de même d’une série d’attributs tels que « nordique », « polaire », etc., qui expriment des relations complexes sous une forme prédicative simple.

Mais ordinairement la fonction φ(x) attribue sans plus aux objets des qualités absolues : coloré, pesant, menteur, etc. Seulement, en

attachant le prédicat φ à l’objet individuel x₁, la fonction φ(ic) le qualifie au moyen d’une qualité appartenant aussi à ¾ à ¾, etc., bref à tous les individus de la classe (x) ; le prédicat φ constitue, en effet, l’une des qualités entrant dans la « compréhension » correspondant à l’extension (x), donc à la classe des (x). Mais il est alors à nouveau et nécessaiiement un rapport, puisqu’il s’agit d’une qualité attribuée simultanément à plusieurs individus : de fait, le prédicat φ n’est pas autre chose qu’une relation de ressemblance établie entre x₁∙ x₂; x₃;…, c’est-à-dire entre tous les x constituant une même classe parce que présentant la même qualité ; écrire φ(τ) pour désigner φ(tc₁) ; φ(rc₂) ; φ(⅝) ; etc., c’est établir entre les termes en extension x₁∙, x₂; x₃; … un rapport d’équivalence φ définissable par la co-possession de la même qualité. On répondra peut-être qu’il faut distinguer, en cette qualité commune, la qualité comme telle (« rouge ») et le fait d’être commune (« co-rouge »). Mais il n’existe rien, en une qualité envisagée en compréhension, qui ne puisse être défini, énoncé ni même repéré, sinon en référence avec d’autres objets que le terme qualifié : il n’y a pas davantage dans l’énoncé « x₁ est rouge » que la constatation d’une certaine équivalence qualitative entre x₁ et d’autres termes par l’intermédiaire desquels il est caractérisé (définition 9)¹.

2° Examinons maintenant le second cas : celui où le prédicat φ s’applique à un seul terme individuel aq et à nul autre individu. La question est alors de savoir comment l’on peut décrire le prédicat φ, comme qualité distincte par hypothèse de toutes les autres. Il y a alors deux possibilités : que la qualité propre à x₁ soit définie par un jeu de relations explicites (x₁ est le plus petit terme d’une suite ordonnée, ou le point d’intersection de deux droites, etc.) ou qu’elle soit désignée sous une forme absolue. La première de ces deux possibilités confirme ce que nous voulons démontrer. Quant à la seconde, on ne saurait caractériser une qualité absolue unique que par l’espèce et la différence individuelle, celle-ci consistant alors en une négation par rapport aux qualités des autres individus de l’espèce.

1. On pourrait, d’autre part, objecter (et c’est une objection que nous ont faite en particulier certains mathématiciens partisans du « calcul des prédicats » de Hilbert) qu’en disant < cette pierre est blanche » ou ■ le ciel est bleu » on n’éprouve aucune « conscience de relation », mais uniquement l’impression d’attribuer une qualité à un objet. Seulement, de notre point de vue, la logique n’a pas à tenir compte des illusions de la psychologie introspective : de même que le géomètre ne se soumet pas au verdict de l’intuition sensible (comme dans le cas des courbes sans tangentes), mais la corrige par une analyse plus fine, de même le logicien doit remonter aux opérations effectives de l’esprit par delà les déformations de la conscience et du langage (déformations d’ailleurs en général convergentes).

On définira donc la qualité œ propre au seul x₁ par un prédicat composé tel que α = βa’ (= la qualité a est une qualité β, mais non pas a’). Mais cette fonction composée constitue comme nous le verrons (chap. III, § 19) l’une des relations du groupement des relations symétriques d’équivalence : Y altérité, produit de l’affirmation d’une première équivalence et de la négation d’une seconde incluse dans la première (« cousin germain » = petit-fils du même grand-père, mais non pas fils du même père). De ce point de vue, les qualités absolues, même attribuées en propre à un terme individuel, sont elles-mêmes des relations.

3° Quant au troisième cas, celui des prédicats relatifs à une partie de l’objet qualifié, il se ramène aux précédents. Si l’animal x₁ est unique en son genre par le fait que tel de ses membres présente une malformation, on pourra exprimer cette qualité selon plusieurs formes logiques distinctes. On utilisera d’abord la relation asymétrique de propriété : tel individu possède tel caractère (être vertébré signifie qu’il possède des vertèbres, etc.). A cet égard, toutes les attributions de qualités peuvent être réduites à de tels rapports, portant soit sur un aspect/ soit sur une partie de l’individu. Mais on peut aussi, selon des opérations de partition, distribuer les éléments de l’individu en classes : un être vivant sera une classe d’organes, une ligne un ensemble de points, etc. Ce morcelage consistera en nouvelles opérations d’extension : la qualification de telles classes et de leurs éléments se réduira alors à son tour à la construction de relations de divers genres, qui nous ramènera aux cas précédents.

Nous pouvons donc conclure que, dans tous les cas, l’attribution de prédicats à des termes individuels ou collectifs, attribution qui caractérise leur « compréhension », se réduit à la construction d’un système de relations. Le problème essentiel qui se pose alors est de déterminer quels rapports soutiennent entre eux les prédicats, dans le cas de « prédicats de prédicats ». Selon son point de vue habituel, Russell a cherché (et a pleinement réussi) à dégager sous sa forme la plus générale la structure des prédicats de prédicats et a construit ainsi un formulaire valable aussi bien pour les prédicats non mathématiques que mathématiques. Mais, si tout prédicat est une relation¹, le problème des prédicats de prédicats devient alors celui des relations entre relations : il devient de ce fait plus intéressant à aborder du point de vue de la diversité des types

I. Ceci devient évident en mathématiques où un prédicat est une ■ propriété •, car une propriété mathématique ne peut être qu’une relation, au sens logique du terme.

/

d’organisation possibles que de celui de la généralité la plus grande et la plus formelle. Un être vivant peut être à la fois quadrumane (φ), mammifère (χ) et vertébré (ψ) : or si quadrumane implique mammifère (φ□ χ) et si mammifère implique vertébré (χ⊃ ψ), la réciproque n’est pas vraie et ces implications ne traduisent que les inclusions des classes construites au moyen des fonctions φ(x), χ(x) et ψ(z). En effet, on peut définir la qualité mammifère sans faire appel à la qualité vertébré et la qualité quadrumane sans faire appel à mammifère : il n’y aurait aucune contradiction logique à construire idéalement un être qui serait quadrumane sans porter de glandes mammaires, ou qui posséderait de telles glandes sans posséder de vertèbres. Il est entendu qu’on ne rencontre pas empiriquement de tels êtres, ce qui donne bien à penser qu’il y a incompatibilité entre les propriétés caractéristiques des Invertébrés et la possession de mains ou de glandes mammaires. Mais, tant que l’on ne peut pas déduire, par des opérations définies, les rapports unissant ces organes aux vertèbres, de telles corrélations demeurent à l’état de simples faits constatés : il n’y a pas de construction possible des rapports en jeu les uns à partir des autres et les implications en jeu sont donc données et non pas déduites. Comparons maintenant à un vertébré mammifère et quadrumane un triangle euclidien, dont les propriétés sont entre autres d’être fermé, trilatère, triangulaire et de présenter 180° comme valeur totale de ses angles : chaque couple de ces quatre propriétés implique alors les deux autres, c’est-à-dire que chacune de ces propriétés consiste en relations susceptibles d’être engendrées par des opérations définies (à partir des notions topologiques de fermeture et de dimensions, jusqu’à la mesure des angles). Les prédicats en jeu sont donc à nouveau des rapports, mais ces relations consistent cette fois en « structures » (définition 5) davantage élaborées et ne se réfèrent plus directement à des « contenus extralogiques » (définition 6) comme dans le cas du vertébré quadrumane. La question essentielle nous parait être alors, non pas de savoir si le fait d’être un quadrumane ou un triangle, soit <t(x), en implique toutes les qualités ψ(τ), d’où φ(τ) ⊃ ψ(τ) comme dans l’exemple du grand général, mais de déterminer quel rapport existe entre les qualités (donc les relations) qui caractérisent soit une classe à « compréhension » peu formalisée comme celle des quadrumanes, soit une classe dont la « compréhension » ne comporte que des relations essentiellement construites et bien structurées comme la classe des triangles.

Le problème essentiel que soulèvent, du point de vue d’une logique des totalités, les rapports entre les prédicats est donc celui des diverses « structures » possibles (définition 5) des classes en extension et des relations en compréhension. D’un tel point de vue il est illégitime d’assimiler sans plus sous le nom de classes des structures aussi différentes par leur degré de formalisation que la classe des Invertébrés et l’ensemble des nombres entiers. Selon qu’une classe sera engendrée par un simple système d’emboîtements ou par une « loi de formation », — justement par une construction possible des relations les unes à partir des autres, — sa structure opératoire sera différente et les relations entre les prédicats définissant sa compréhension présenteront des formes distinctes. Pour résoudre un tel problème, il s’agit donc d’aborder maintenant celui des rapports entre l’extension et la compréhension en général.

Si les classes correspondent à l’extension des concepts et les relations à leur compréhension, la question des rapports entre l’extension et la compréhension doit pouvoir être éclairée par l’analyse des rapports entre les classes et les relations.

La logique classique, qui ignorait les structures de relations, considérait le prédicat soit comme une classe plus générale que celle du sujet, et incluant cette dernière, soit comme une qualité comprise parmi celles du sujet, l’extension et la compréhension se faisant ainsi exactement symétrie selon deux systèmes d’emboîtements, inverses l’un de l’autre. D’où la fameuse loi selon laquelle l’extension est en raison inverse de la compréhension : Dieu qui est unique a toutes les qualités, donc une extension minimum et une compréhension maximum, tandis que l’être en général est d’extension illimitée et de compréhension minimale. Or, il est fort important de constater que cette loi, exacte en ce qui concerne les classes les moins structurées, cesse de l’être dans le domaine des classes ordonnées ou qualifiées selon certaines relations. C’est ainsi que l’équation générale des sections coniques correspond à une classe d’extension plus grande que celle des paraboles puisque la parabole n’est que l’une des espèces du genre constitué par les sections coniques : cependant cette équation générale est d’une compréhension supérieure à celle de la parabole puisqu’elle la contient à titre de cas particulier. Il

s’agit donc maintenant de comprendre pourquoi cette loi de proportion inverse entre la compréhension et l’extension n’est vraie qu’en certains domaines, et de chercher à dégager la différence entre les structures de classes selon qu’elles se conforment ou non à la loi en question. C’est une chose remarquable que de constater combien la logistique s’intéresse peu à la structure interne des classes : la tendance atomistique, conduisant à considérer une classe indépendamment des rapports avec ses voisines, et la recherche des éléments communs à la logique mathématique et à la logique élémentaire concourent, en effet, à centrer l’intérêt sur l’aspect le plus général des classes, plus que sur leurs structures différenciées. Pourtant une telle discussion était amorcée déjà par les difficultés relatives aux ensembles infinis, et à l’intervention des propriétés se référant à la totalité même des ensembles considérés, difficultés qui ont conduit à un ostracisme illégitime à l’égard des définitions non-prédicatives et au recours à ce palliatif qui a été la théorie des types de Russell ; au lieu d’exploiter le problème, la logistique a ainsi cherché à l’écarter.

Partons des deux extrêmes. La forme la plus simple des classes est sans doute celle que caractérise la définition per genus et diffe- rentiam specificam. Telles sont ainsi les classes utilisées par la systématique zoologique, telle que celle des mammifères quadrumanes discutée au § 5. Le propre de ces classifications est d’invoquer exclusivement des qualités pouvant être décrites pour chaque classe indépendamment des prédicats des classes supérieures ou inférieures : le fait de posséder des glandes mammaires peut être, en effet, énoncé sans référence aux vertèbres ni à la présence de quatre mains. Poincaré appelait prédicatives de telles classifications et il leur opposait les classifications non-prédicatives dont « le principe […] repose sur quelque relation de l’élément à classer avec la collection tout entière ». D’où deux catégories : « les classifications prédicatives qui ne peuvent être bouleversées par l’introduction de nouveaux éléments ; les classifications non-prédicatives que l’introduction de nouveaux éléments oblige à remanier sans cesse »¹. Mais, si les définitions non-prédicatives, dont les mathématiciens ont continué à se servir malgré Russell, ne concernent que certains ensembles infinis, il est possible de différencier davantage, et d’un point de vue analogue, les diverses sortes de classes. Si nous com-

1. H. Poincaré, Dernières pensées, Flammarion 1913, p. J04-105

v

parons, en effet, le rapport des mammifères aux vertébrés à celui du cercle à l’équation générale des sections coniques :

(Az² + A’?/² + Bxy + Cx + C’y + 0) = D

(équation dans laquelle on a pour le cercle A = A’ et B = 0), nous voyons immédiatement que le cercle n’est pas simplement une section conique (genus) plus un certain nombre de propriétés ajoutées à celles des sections coniques, mais sans relation directe avec ces propriétés génériques : tandis que les rapports définissant les glandes mammaires ne sauraient être engendrées par une simple transformation des rapports caractérisant les vertèbres, les propriétés du cercle résultent d’une transformation de celles de l’ellipse, de la parabole, etc., et ce sont justement les transformations possibles, conduisant d’une sous-classe à l’autre tout en conservant certains invariants, qui caractérisent la classe générale des sections coniques. Les propriétés de la sous-classe ou de l’espèce « cercle » se réfèrent ainsi, en ce sens, à celles de la classe générale ou genre « section conique », alors que la différence spécifique « glandes mammaires » s’ajoute simplement, sans composition constructive, à la qualité générique « vertébré ». De même la classe des « nombres pairs » présente une différence spécifique (multiplication de n par 2) qui se réfère nécessairement aux qualités du genre « nombres entiers », puisque l’opération (n × 2) implique l’unité 1 dont l’itération + 1 définit la suite des nombres- entiers : nous n’avons plus à faire, en ce cas, à des « genres » ni à des « espèces », du moins dans le même sens que précédemment, mais à des classes caractérisées par une loi interne de composition engendrant leurs éléments les uns en fonction des autres.

Or, entre ces deux structures s’intercale un tertium : si nous sérions différents objets A < B < C… selon une différence ordonnée quelconque (par exemple de plus en plus lourd), il est clair qu’une différence partielle (A < B) peut être énoncée, ou caractérisée, indépendamment des différences d’ordre supérieur (B < C ou A < C) ; mais les différences totales constituent par contre la somme des différences partielles (A < C) = [(A < B) + (B < C)] et dépendent ainsi d’elles. En ce cas, il n’y a plus hétérogénéité entre la sous-classe (soit la classe formée des termes A et B) et la classe supérieure (soit la classe formée des termes A, B et C) comme dans l’exemple des classes définies per genus et differentiam specifi- cam, et cependant aucune loi de transformation n’est donnée qui

permette de construire la relation B < C à partir de la relation A < B : les deux relations A < B et B < C sont simplement réunies l’une à l’autre de manière à construire la relation totale A < C.

Il convient donc de distinguer au moins trois structures de classes. Désignons par le symbole _<^a _>; <ⁱQ, _<^c ⅜, etc., les relations d’équivalence qualitative exprimant la co-possession des propriétés spécifiques ou génériques, caractéristiques des classes A, B, C, etc. Rappelons, d’autre part, la définition de l’opération (définition 10) en tant que transformation des structures, ce qui signifierait dans le cas des relations etc., la transformation d’une propriété √‰ en une propriété ^>_ :

DÉFINITION 11. — Nous appellerons « faiblement structurées », les classes telles que les individus appartenant à l’une d’elles (par exemple B) soient reliés entre eux par la possession de certaines qualités communes (→LV) propres à cette classe, sans qu’aucune opération donnée ne permette de construire, à ’ partir de ces propriétés ^→-, ⅛^s qualités etc. propres aux classes C, etc., dans lesquelles la classe B est incluse, ni les qualités propres aux classes A incluses en B.

Remarque I. — Les relations ; etc., intervenant dans la

définition précédente sont donc celles qui constituent la compréhension correspondant aux classes A, B, C, etc. Par exemple la relation -+→ existant entre les individus de la classe A signifiera qu’ils possèdent en commun les caractères spécifiques des Quadrumanes ; la relation définira de même la classe B des Mammifères par la possession en commun des glandes mammaires et la relation la classe G des Vertébrés par la qualité commune de posséder des vertèbres. Nous appellerons équivalences qualitatives de telles relations ¹.

Remarque IL — La définition (11) signifie donc que les relations √L>j etc., en qualifiant les classes faiblement structurées constituent des propriétés données et non pas construites, c’est-à-dire que l’on ne peut pas transformer ⅜ ^b  » en -⅜-^c-⅜- ou en^.%.: on ne peut pas, en effet, engendrer les mains des Quadrumanes (A) ou les vertèbres des Vertébrés (G) à partir des glandes mammaires des Mammifères (B) comme on peut, en mathématiques, engendrer les propriétés d’un groupe B à partir de celles d’un sous- groupe A ou d’un groupe supérieur C (dont B serait le sous-groupe), moyennant certaines opérations données.

Remarque III. — Il ne faut pas confondre les « équivalences qualitatives » -_t ^α⅜ ; _> ^c  » ; etc., avec les autres relations qu’il est possible de

tirer des classes A, B, G, etc., par exemple l’appartenance xzN ou l’inclusion A < B. Ces inclusions sont composables au moyen d’opérations telles

1. Voir plus loin § 8, défin. 16 et prop. 1-2.

que (A < B) + (B < C) = (A < G) et l’on peut en tirer des implications telles que [ « x est Quadrumane » □ « x est Mammifère »] et [ « x Mammifère » d « æ est Vertébré »]. Mais ces opérations n’équivalent nullement à la construction des relations < ^a > ; < ^b_> ; « U », les unes à partir des autres : elles se bornent à construire des emboîtements de classes (avec leurs relations asymétriques d’appartenance et d’inclusion) et à tirer de ces emboîtements un jeu de propositions s’enchaînant nécessairement les unes les autres, une fois les données admises.

DÉFINITION 12. — Nous appellerons « semi-structurées » les classes ordonnées N →- B — >- C… telles que les relations asymétriques (— »-), unissant un élément A de la classe à un élément G, constituent la somme des relations partielles (A →- B) + (B->-G), mais sans qu’aucune opération donnée ne permette de composer la relation A →- G à partir de la seule relation A →- B (c’est-à-dire sans qu’il soit possible de transformer A →- B en B →- G ou en A →- G).

Remarque IV. — Supposons trois objets de grandeurs distinctes A < B < C. Nous dirons que la classe formée de ces trois objets est « semi- structurée » si aucune opération ne permet de composer les différences A →- G ou B →- C à partir de A →- B. Par contre, il est’clair que, si A →- B et B →- G sont donnés, on peut composer (A →-B) + (B →- G) = (A→-G) et que, si A →- B et A→-C sont donnés, on a (B →- G) = (A→-C) — (B →- G).

Ici à nouveau, comme dans le cas des classes faiblement structurées, les relations partielles en jeu sont donc données et non pas construites, mais les relations totales constituent sans plus la somme des relations partielles.

Supposons au contraire une suite d’intervalles décroissants selon une loi déterminée (comme les segments égaux d’une droite, mais vue en perspective à la manière d’une « fuyante »). En ce cas, une opération donnée N (dans cet exemple : une transformation projective) permet de construire les relations successives (c’est-à-dire la longueur des segments vus en perspective et leurs différences) à partir de l’une d’entre elles et nous n’avons pas affaire, selon la définition 12, à une classe semi-structurée, mais bien à une classe « structurée » (définition 13).

DÉFINITION 13. — Nous appellerons « classes structurées » les classes telles que, partant des propriétés (relations) qui caractérisent une sous-classe A, on puisse, au moyen d’opérations données, composer les relations caractéristiques des autres sous-classes N’ ainsi que les relations définissant la classe totale B (ou réciproquement composer les propriétés de A ou de N’ en partant de celles de~β).

Remarque V. — La plupart des classes mathématiques sont structurées, mais non pas toutes. D’un « groupe fondamental » géométrique, tel que celui des « affinités », on peut, moyennant certaines opérations concernant ou non les droites, les parallèles,les angles et les distances,tirer les propriétés de ses sous-groupes (similitudes et déplacements) ou remonter à celles des groupes qui l’englobent (projectivités et homéomorphies). Par contre les sous-ensembles d’un ensemble quelconque ne constituent pas à eux seuls un système de classes structurées.

Ces distinctions introduites, il est facile de voir que la loi de la proportionnalité inverse entre l’extension et la compréhension s’applique aux classes faiblement structurées, mais ne vaut plus dans le cas des classes semi-structurées ou structurées. Dans le premier cas, en effet, pour trois classes A, B, C d’extension croissante, c’est-à-dire telles que A soit incluse en B et que B soit incluse en C, la compréhension de la classe A comporte, outre la qualité <^a , , les caractères ^^b _> et _< ^c ; au contraire la compréhension de B comporte ₍ ^b , et < ^c _x , mais non pas < ^α > ; et la compréhension de C comporte la qualité _< ^c_r , mais ni , ^b, ni < ^α>. Il en résulte que plus une classe faiblement structurée est étendue moins elle est riche en compréhension : en un mot, 1’« espèce » est de compréhension plus riche que le « genre » puisqu’elle englobe les caractères génériques plus la différence spécifique tandis que la compréhension du genre comporte les premiers et exclut la seconde.

Au contraire, dans le cas d’une classe semi-structurée, la compréhension augmente avec l’extension, pour cette raison que plus la classe est étendue, plus les rapports sont nombreux entre les termes et que les rapports partiels entrent dans la compréhension du rapport total. Soit la série A < B < C (par exemple : A plus léger que B et B plus léger que C) : la classe formée par les termes ABC présente une extension plus grande que la classe composée des termes A et B, mais elle a aussi une compréhension plus riche puisque la relation A < C comprend les relations A < B et B < C ; la compréhension est donc en raison directe de l’extension. Notons qu’un tel raisonnement ne pourrait pas s’appliquer aux inclusions des classes faiblement structurées ; soit : (Quadrumanes) < (Mammifères) < (Vertébrés), que nous symboliserons aussi par A < B < C. En effet, dans le cas de l’emboîtement de telles classes, il intervient, contrairement à la sériation des termes selon l’ordre d’une seule relation asymétrique (plus ou moins lourd), des classes A’ (les Mammifères non Quadrumanes) et B’ (les Vertébrés non Mammifères) : il en résulte que l’on ne saurait plus sérier l’ensemble des termes, puisque, si l’on a A < B < C, on n^a par contre ni A < A’ ni A > A’ (ni B ≤ B’ ni B ≥ B’). C’est précisément faute d’un ordre unique que le système est faiblement structuré et non pas semi-structuré : la compréhension relevant alors nécessairement de la définition par les caractères génériques et les différences spécifiques, il y a proportion inverse entre la compréhension et l’extension. Dans le cas des classes semi-structurées, au contraire, la compréhension relevant

d’une seule relation asymétrique, qui s’applique à tous les termes (connexité), il y a ordre unique et proportion directe entre l’extension et la compréhension.

Dans les classes structurées, enfin, il est clair que la compréhension croît également en raison de l’extension, puisque les propriétés de la classe totale comprennent, à titre de cas particuliers, celles des sous-classes partielles.

Cherchons maintenant à analyser l’extension elle-même, c’est- à-dire la quantité correspondant aux classes en tant que réunions d’individus, par opposition aux relations qui déterminent leurs qualités en compréhension. On trouve alors une différence fondamentale, non plus entre la première forme (faiblement structurée) et les deux autres, mais entre les deux premières formes (faiblement et semi-structurées) et la troisième (classes structurées). Une telle différence est même de nature à servir de critère général dans la distinction du logique et du mathématique.

Commençons par deux définitions, dans lesquelles le terme de « rapport quantitatif » signifie l’égalité ou l’inégalité d’extension :

DÉFINITION 14. — Nous appellerons « intensifs » les rapports quantitatifs comprenant exclusivement l’inégalité de la partie (classe A) et du tout (classe B), soit A < B, ou l’identité (A = A et B = B), sans considération de relations quantitatives entre une partie (classe A) et les autres parties disjointes de A (classe A’), appartenant au même tout (classe B), ou entre les parties (classes A ou A’) et d’autres parties (classe B’, etc.) appartenant à d’autres totalités.

DÉFINITION 15. — Nous appellerons « extensifs » les rapports quantitatifs entre classes disjointes, notamment les rapports entre une partie (classe A) et lés autres parties disjointes (classe A’) appartenant au même tout (classe B) ou entre une partie (classe A) et des parties quelconques d’autres totalités.

DÉFINITION 15 bis. — Nous distinguerons parmi les rapports extensifs les rapports numériques (ou métriques) impliquant l’itération d’une unité et les rapports extensifs simples englobant des relations quantitatives entre / parties disjointes (A < A’), mais sans’itération d’unités.

Remarque VI. — Nous appellerons « quantités intensives » les quantités formées de seuls rapports intensifs et « quantités quelconques » les quantités formées de rapports indifféremment intensifs ou extensifs. Nous emploierons en outre le terme de « classes intensives » pour les classes dont la quantification demeure exclusivement intensive : les classes intensives sont constituées, comme nous allons le montrer, par les classes faiblement structurées et les classes semi-structurées.

On aperçoit d’emblée l’importance des distinctions précédentes : dire que les structures logiques relèvent d’une quantification exclusivement intensive, c’est, en effet, affirmer qu’aucune comparaison des extensions n’est possible, en logique, entre classes disjointes ; au contraire la quantité mathématique, étant quelconque, connaît les relations quantitatives entre classes disjointes aussi bien qu’entre classes emboîtées.

Pour ce qui est d’abord des classes faiblement structurées, nous constatons que, sauf le cas des classes nulles ou singulières, leur extension ne saurait être connue que relativement à celle des classes emboîtantes ou des classes emboîtées. Soit B une classe telle que celle des mammifères incluse en une classe G (vertébrés) et incluant une classe A (quadrumanes) : nous ne savons qu’une chose des extensions de A, de B et de C : c’est que B > A et B < C. Qu’il ne soit donné qu’un seul mammifère non-quadrumane (classe A’) ou un nombre aussi grand qu’on le voudra, et un seul vertébré non- mammifère (classe B’) ou un nombre quelconque, ce fait n’entre point en considération dans la construction de ces classes : nous savons seulement que les extensions de A, B et C présentent le rapport quantitatif A < B < G, mais nous ne savons rien des extensions respectives des classes disjointes A et A’ ou B et B’ ; nous savons d’autre part que l’on a aussi A’ < B et B’ < C, puisque A’ est inclus en B, et B’ en C, mais, si l’on s’en tient aux « formes » propres aux classes faiblement structùrées, les rapports d’extension entre A et A’ ou entre B et B’ demeurent indéterminés. Seules les classes singulières et les classes nulles ont une extension déterminée en elle-même, puisque réduite à l’individu ou au zéro logique. Mais le « un » logique n’est pas l’unité arithmétique, puisqu’il ignore l’itération : Socrate + Socrate = Socrate et non pas 2 Socrates. Il se définit, en effet, par l’identité, ce qui signifie que les éléments d’une classe singulière sont tous identiques entre eux (qu’il s’agisse de Socrate, du maître de Platon, de l’époux de Xanthippe ou de ce philosophe condamné à boire la ciguë), sans qu’il intervienne à leur sujet aucune composition cardinale. Quant aux classes nulles, elles résultent de la soustraction logique A — A = 0. De ce qui précède on peut donc conclure que l’extension des classes faiblement.structurées ne connaît que les quantités : tous, quelques, un et aucun (avec leurs négations). Sans préjuger de ce qui est la quantité mathématique, nous pourrons ainsi construire une logique des classes faiblement structurées et cette logique est d’abord à construire

pour elle-même, avant que nous puissions décider de ses rapports avec celle des ensembles ou classes mathématiques.

Quant aux classes semi-structurées, il faut distinguer deux choses à leur sujet : l’extension des classes comme telles, c’est-à-dire des collections d’individus ordonnés par des relations asymétriques transitives, et ces relations en tant que rapports en compréhension. Mais comme, en de telles structures, il y a corrélation directe entre l’extension et la compréhension, les relations de différence ordonnée qui constituent cette compréhension se trouvent précisément exprimer une notion de graduation « intensive », correspondant bi-uni- voquement aux rapports quantitatifs d’extension (lesquels relèvent donc eux aussi de la quantité intensive). Soit un ensemble d’objets sériés selon une qualité multivalente quelconque A<B<C<D<… (une suite de bouteilles de vin ordonnées suivant leur finesse). Les relations qui unissent ces objets expriment donc les différences séparant B de A, C de B, etc., selon la qualité considérée. Appelons ⅞ la relation A < B, ⅞ la relation B < C, la relation G < D, Si la relation D < E, etc. Il est en outre possible de composer ces relations entre elles, additivement :

Λ + → = →- [soit (A < B) + (B < C) = (A < C)] ;

^b = X + JJ [soit (A < C) + (C < D) = (A < D)] ; etc…

Nous constatons alors qu’il existe, entre les relations ° , ^a>’ θt →-, des rapports correspondant à ceux que nous avons relevés entre les classes A, A’ et B : nous savons que la différence ° est plus petite que la différence 4- puisque celle-ci englobe celle-là ; que la différence \ est plus petite que la différence JL pour la même raison, etc. : autrement dit, il y a moins de différence entre A et B qu’entre A et C ; entre A et C qu’entre A et D, etc. Mais nous ne savons rien des rapports entre ° et Si ; entre ^b et ^b„’ ; etc., ou entre j et Si, etc. : en d’autres termes, nous ne savons pas s’il existe une plus grande différence entre A et B qu’entre B et C, ou qu’entre C et D, etc., puisque les relations partielles sont disjointes et ne s’englobent pas les unes les autres (contrairement aux différences entre A et B et entre A et C, etc.). Il y a donc à nouveau quantité intensive et rien de plus (quant aux relations d’équivalence, elles constituent, de ce point de vue, des relations de différence nulle).

Si nous traduisons maintenant en termes d’extension ces relations de différences ordonnées, il est clair (étant donnée la corréla-

tion directe observable en ce cas entre l’extension et la compréhension) que nous retrouvons une quantification intensive, mais cette fois en termes de classes et non plus de relations. En effet les classes de termes ordonnés, qui correspondent aux relations précédentes, sont elles-mêmes d’extension croissante : à la relation " correspond la classe (AB), à la relation ⅞ correspond la classe (ABC), etc. On a alors les inclusions (AB) < (ABC) < (ABCD), etc., qui comportent une quantification exclusivement intensive analogue à celle des classes faiblement structurées. Il est vrai que l’on pourrait considérer comme d’extensions égales toutes les classes singulières formées par la différence entre chaque classe et la précédente, c’est-à-dire les classes (C), (D), (E), etc. Mais, d’une part, ces termes C, D, E, etc., même s’ils demeurent singuliers, ne constituent pas des unités itérées puisqu’ils n’ont pas la même valeur (faute de pouvoir déterminer la différence entre l’un de ces termes et le précédent). D’autre part, on pourrait intercaler bien d’autres termes entre A, B, C, etc., ce qui exclurait toute comparaison d’extension entre classes successives disjointes pour ne conserver que les comparaisons entre les classes partielles et les classes totales qui les englobent : par exemple (A… B… C) < (A… B… C… D), etc. Or, ce sont précisément ces comparaisons qui correspondent en compréhension au jeu des relations de différence ordonnée elles-mêmes.

Pour ce qui est des classes structurées, il va de soi, par contre, qu’elles sont susceptibles de quantification extensive. En effet, leur définition même implique qu’une classe partielle A soit délimitée en fonction des autres classes partielles A’ et du tout B : une comparaison des extensions est alors possible entre A et A’. Par exemple dans la notion, propre à la théorie des ensembles, exprimée par les mots « presque tous », c’est-à-dire « tous sauf un nombre fini », la classe B représente l’ensemble total, la classe A « presque tous » et la classe A’ l’ensemble faiblement représenté ou fini correspondant à B — A ; on pourra alors conférer une signification au rapport quantitatif A > A’, ce qui caractérise la quantité extensive.

Nous pouvons résumer cette discussion sous la forme suivante :

lemme i. — Lorsque, en un système de classes, les propriétés caractérisant la classe totale (B) ne peuvent être composées, au moyen d’opérations définies, à partir des propriétés caractéristiques de l’une des sous-classes (A), la quantification du système demeure intensive.

En effet la quantification extensive (définition 15) constituant une comparaison des extensions propres à une sous-classe A et aux autres sous-classes A’ (disjointes de A) de la même classe totale B, il est nécessaire, pour établir de tels rapports quantitatifs, de pouvoir délimiter les classes A, A’ et B autrement que par complémentarité de A et de A’ sous B (soit A = B — A’ et A’ = B — A) ; sinon les rapports quantitatifs entre A et A’ demeurent indéterminés. Or, dans le cas des classes faiblement structurées (définition 11), les propriétés des classes A, A’ et B sont simplement données sans pouvoir être construites les unes à partir des autres : seules la présence ou l’absence de telles propriétés délimitera donc ces classes et les extensions respectives de A et de A’ ne seront ainsi déterminées que par leur complémentarité sous B. Les seuls rapports quantitatifs déterminés seront alors A < B ; A’ < B et B = A + A’. De même, en une classe semi-structurée (définition 12), telle que A→-B->-C, les différences 4_(=A->-B); 4-(=B→-C) et ⅞ (=A→-C) sont simplement données, sans que (4L) ou ( ⅛ ) puissent être construites à partir de (4-) seule. On ne connaîtra donc les différences ( ^a ) et (4L) que par complémentarité sous (4-) : soit (4L) = ( > ) — (→-) θt (→-) = (4-) — ( ^l> )- Il en résulte que les seuls rapports de différence connus en compréhension seront (4-) < (4-) ou (4L) < ( > ) et (4-) = ( ^a ) + ( ^a’ ), sans que l’on puisse déterminer si la différence (4.) est plus grande, égale ou plus petite par rapport à la différence (4L). Il en sera alors de même en extension, parce que les intervalles AB, AG et BC peuvent être meublés d’un nombre indéterminé de termes : on saura ainsi que (AB) < (ABC) et (BC) < (ABC), mais on ne saura rien des rapports d’extension entre les classes (A… B) et (B ;.. C).

Selon le point de vue classique, la logique est autonome à l’égard des mathématiques et s’applique à elles comme une forme à son contenu. Selon Russell les mathématiques entières sont en principe réductibles à la logique. Selon Hilbert (et la plupart des mathématiciens actuels), c’est au contraire la logique qui fait partie des mathématiques, car la logique des classes suppose elle-même le nombre cardinal. Or, la dictinction des quantités intensives et extensives, telles que nous venons de l’introduire en fonction de la structuration plus ou moins grande des classes, permet de conce-

voir le rapport entre les opérations logiques et mathématiques d’une quatrième manière (voir Introduction, § III) : d’une part la logique est autonome, puisqu’elle repose exclusivement sur la quantité intensive, et que celle-ci n’implique pas le nombre ; par contre la logique interfère avec les mathématiques et ne s’applique donc pas, à proprement parler, à elles, car les mathématiques témoignent d’une structuration supérieure, et réunissent en une quantité « quelconque » (voir Remarque VI) les rapports extensifs et les rapports intensifs eux-mêmes. Il en résulte que les mathématiques, ou bien sont à elles-mêmes leur propre logique, ou bien requièrent la construction d’une logique mathématique spéciale, élaborée par des moyens mathématiques.

En effet, toutes les théories mathématiques supposent l’intervention de classes structurées et de quantités extensives, en plus des classes faiblement ou semi-structùrées et de la quantité simplement intensive. En théorie des ensembles déjà, l’introduction de l’infini, de la notion de puissance et même du produit de deux ensembles requièrent la quantité extensive. Il en est de même de la topologie avec les notions de continu et de point d’accumulation. On peut au contraire construire toute la logique des classes, des relations et des propositions bivalentes au moyen de la seule quantité intensive.

Or, la différence essentielle entre les classes faiblement ou semi- structurées, d’une part, et les classes structurées, d’autre part, tient aux relations entre leurs « formes » et leurs « contenus ». On se rappelle (définition 4) que la forme d’une construction opératoire est ce qui demeure inchangé en cas de substitution des données, tandis que le contenu est constitué par le donné substituable. De ce point de vue les classes faiblement ou semi-structurées, toutes deux définissables soit per genus et différentiam specificam, soit par l’intermédiaire de relations asymétriques de différences ordonnées, sont construites au moyen de relations simplement données, ne dépassant pas la structure des emboîtements intensifs, et dont le contenu peut être « extralogique » (définition 6). Leur forme est donc la moins riche des formes logiques : des classes telles que celles des vertébrés, etc., ou que celles d’objets ordonnés selon leurs qualités perceptibles ne comportent, en effet, qu’une forme minimale, directement applicable à un contenu extralogique.

Au contraire les classes structurées, qu’elles soient ordonnées ou non, présentent une forme plus riche, dès le départ, que les précé-

dentes, puisque, outre les rapports intensifs entre les parties et le tout, elles comportent en extension des relations extensives entre les parties elles-mêmes et, en compréhension, une caractérisation des propriétés des sous-classes en fonction de celles du système total. Par exemple un ensemble de puissances ou une suite d’intervalles emboîtés convergeant vers un point limite impliquent une loi de construction dont toutes les parties sont solidaires. Il en résulte que, au lieu de pouvoir porter directement sur un contenu extralogique, les classes structurées ou extensives constituent des formes qui ont pour contenu d’autres formes, lesquelles consistent précisément en constructions logiques préalables. C’est ainsi que pour dénombrer un ensemble d’individus, il faut auparavant les avoir à la fois réunis et distingués, c’est-à-dire les avoir classés et sériés. Dès lors, les prédicats de prédicats ou relations entre relations se présentent de façon autre dans le cas des classes structurées ou mathématiques et dans celui des classes logiques (faiblement ou semi-structurées) : plus une classe est structurée, plus les relations qui la définissent (propriétés) sont, en effet, déterminées les unes par rapport aux autres ; elles sont alors composables et non plus simplement données, ce qui enrichit d’autant l’élément formel, qui consiste alors en véritables « lois de formation » et non plus en simples emboîtements intensifs.

Il est donc singulièrement équivoque de parler d’une « application » de la logique aux mathématiques. En réalité celles-ci utilisent celle-là à titre de partie intégrante, mais sans réduction complète dans un sens ou dans l’autre. La logique conserve donc une certaine autonomie en tant que théorie des structures intensives, bien que celles-ci interviennent aussi dans les « quantités quelconques » dont s’occupent les mathématiques. Mais la question des rapports entre les deux sortes de structures est à laisser ouverte tant que subsistent les discussions sur la nature des inférences mathématiques et sur la non-contradiction de l’arithmétique.

Pour avancer dans l’étude de cette question fondamentale il importe surtout de se placer non pas au point de vue des éléments isolés, mais bien, et exclusivement, des systèmes opératoires d’ensemble. En logique comme en mathématiques, les opérations n’existent que dans leur solidarité et constituent des totalités bien définies. Même si le propre des relations qui caractérisent les classes faiblement et semi-structurées est de demeurer indépendantes des relations totales, les opérations portant sur les classes ou relations

partielles sont d’emblée dépendantes de totalités opératoires : quelles que soient les définitions de A, de A’ et de B, l’addition A + A’ = B est solidaire de la soustraction A = B — A’ et des autres additions et soustractions qui emboîtent ou déboîtent B dans la suite B, C, D, etc. Il s’agit donc d’abord d’étudier à titre de totalité l’ensemble des opérations qu’il faut effectuer pour construire et transformer un système de classes à quantification purement intensive. Il s’agit ensuite d’analyser les systèmes opératoires d’ensemble constitués par les relations intensives. Après quoi seulement il sera possible de caractériser les opérations mathématiques, ainsi que les classes et relations engendrées par elles, de manière à établir leur parenté ou leurs différences par rapport aux opérations intensives.

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