Chapitre II.
La logique des classes ^a 🔗

Soit un terme individuel¹ x₁, vérifiant la fonction φ(z). La proposition φ(z₁) signifiera par exemple que x₁ est « en bois ». Nous pouvons alors substituer à x₁ d’autres termes individuels a⅛ ¾, θtc., conservant à la fonction φ(z) sa valeur de vérité. Nous faisons ainsi intervenir une première opération, celle de la substitution simple (simple par opposition à la « substitution complémentaire » dont il sera question au § 13). La substitution simple (que nous appellerons aussi sans plus la substitution) est ind0finissable_jsinon par l’intermédiaire de l’équivalence. Mais nous préférons définir l’équivalence, qui est une relation, par la substitution, qui est une opération, de manière à respecter l’ordre naturel des filiations, du point de vue des totalités opératoires que nous allons être conduits à reconnaître.

1. Rappelons que nous employons les symboles x₁ ; x₂ ; etc., pour les termes déterminés et le symbole x pour les variables indéterminées.

Du point de vue des opérations réelles du sujet, c’est-à-dire du point de vue psychologique, la substitution simple correspond à un mécanisme tout à fait général de l’action et de la pensée, qui est celui de l’assimilation des objets à un schème d’activité. Dans l’exemple choisi, si une action portant sur un morceau de bois x₁ est répétée sur d’autres objets, qui pourront également être coupés, taillés, etc., ces objets x₂, x₃, etc., seront alors assimilés au premier, du point de vue du schème de l’action considérée, et c’est la formalisation de cette assimilation qui constitue l’opération logique / élémentaire de la substitution. D’autre part, le schème lui-même de ces actions ou des jugements portés à son sujet correspond à la fonction φ.

Dire que x₂ ou x₃, etc., peuvent être substitués à x₁ permet alors d’introduire une relation entre x₁ ; x₂ ; ¾ ; etc. et cette relation est celle de l’équivalence qualitative que nous pouvons définir par la possibilité même de substitution.

DÉFINITION 16. — Deux termes"seront dits qualitativement équivalents s’ils peuvent être substitués l’un à l’autre à titre d’arguments conférant une valeur de vérité à une fonction propositionnelle de forme φ(τ).

Une équivalence qualitative est donc toujours relative à un certain point de vue, exprimé par la fonction considérée : ainsi x_l et ¾ peuvent être équivalents du point de vue d’une première fonction, sans l’être du point de vue d’une seconde. Appelons a la qualité d’être « en bois » que nous avons pris comme exemple de fonction quelconque et désignons par -« — >- le rapport d’équivalence. Nous pourrons donc dire que « x₁ est en "bois comme x₂  », etc. :

(1) x₁~_tH→x₂’,∙ x₂^S_^x₃- etc.

Une telle relation⅞st transitive, c’est-à-dire que de (1) on peut tirer :

(1 bis) x₁ x₃

Elle est en outre réflexive (c’est-à-dire qu’elle existe entre un objet considéré et lui-même) :

(1 ter) x₁₍ ^a , x₁ ; x₂ √L_i~ x₂ ; etc.

Par contre, si x_i est équivalent à x₂ ; à x₃ ; etc., du point de vue de la qualité (ou fonction’) a, il ne l’est pas à d’autres points de vue. Nous devons alors considérer comme limite inférieure de l’équivalence la relation d’identité, qui sera l’équivalence d’un terme avec lui-même exclusivement (cette exclusivité distingue l’identité de

la relation 1 ter, qui est une généralisation de 1). Nous écrirons l’identité, dans.le cas des objets individuels :

(2) χ₁ 4L>- ¾ ; ⅝ →-► ^χz ; etc.

Cette relation d’identité signifie donc que, pour certaines fonctions, le terme x₁ n’est substituable à aucun autre, ce qui revient à affirmer qu’il n’est substituable qu’à lui-même.

Comme nous l’avons déjà vu (§ 4-5), une relation d’équivalence exprime, comme toute relation, une qualité en compréhension. L’extension correspondante, autrement dit le champ de cette relation^ constitue alors une classe (voir définition 8). Les plus simples des classes sont les classes singulières, — celles dont les termes se trouvent être identiques entre eux. Nous écrirons sous la forme (xj) la classe ainsi formée du seul terme aq ; (x^ la classe formée du seul terme x₂, etc. Quant aux classes non singulières, elles seront constituées par la réunion des termes équivalents d’un point de vue autre que l’identité. Ainsi les termes équivalents du point de vue ^a _>constitueront une classe A, que nous construirons comme suit. Introduisons d’abord une nouvelle opération.

DÉFINITION 77. — Nous appellerons addition (inclusive) l’opération qui, étant données deux ¹ classes, détermine la plus petite des classes qui les contienne l’une et l’autre.

On aura donc, si nous désignons par + l’addition inclusive :

(3) {x₁) + (¾) + (¾).+ … = A

L’addition inclusive est commutative :

(3 bis) (x₁) + (x₂) = (x₂) + (rr₁)

Cette commutativité, qui ne se retrouvera pas dans l’addition « sériale » (§ 18 et définition24), résulte du fait que l’addition inclusive traduit en extension le rapport d’équivalence donné en compréhension.

Mais, si l’individu x₁ est équivalent à x₂∙, x₃∙, etc., du point de vue d’une qualité déterminée ( _t ^α , ), il peut leur être équivalent du point de vue d’autres qualités encore, qui caractériseront aussi d’autres individus que les x : l’individu x₁ sera ainsi équivalent ay₁ ; y₂ ; y₃ ; etc. du point de vue d’une fonction ψ(x) qui signifiera par

1. Le mot « deux » est employé par abréviation de « plus d’un • ou « quelques ». Il n’implique donc pas le nombre cardinal.

exemple « x est combustible ». Nous appellerons b cette nouvelle équivalence et écrirons ainsi :

e

(4) x_l y₂ ; etc ; et x₂ y₁ ; x₂ ^^b^ y₂ ; etc.

On a naturellement de même :

(4 bis) x₁₍ ^b , x₂ ; x₁ ^^b> x₃ ; etc.

puisque les individus x ne sont pas seulement équivalents entre eux du point de vue de leur qualité spécifique _t ⁰ > , mais aussi du point de vue de la qualité générique _t, partagée avec les y.

L’extension correspondant à la relation d’équivalence ₍ ^b„ constitue alors la classe B (ici la classe des objets combustibles) :

(5) [(*ι) + (¾) + (¾) + -] + [(2∕ι) +   + (2/s) + •••] = B

Or, tous les x étant par hypothèse des B (tous les objets en bois étant combustibles), tandis que tous les B ne sont pas des x, la classe B présente une plus grande extension que la classe A :

(6) A < B

Cette inégalité (6) signifie donc que la classe A est une partie ou une sous-classe de la classe B. Si ce n’était pas le cas, nous n’aurions, en effet, aucun moyen de comparer les extensions respectives de A et de B. Les relations d’équivalence _λ ^α , et < ^b > nous donnent, elles aussi, il est vrai, ce pouvoir parce que les x sont équivalents entre eux des points de vue _t ^α _y et _t^b , simultanément, tandis que les x et les y le sont du seul point de vue _t ^b _y : mais cela revient précisément à dire que la classe A (ou classe des x) fait partie de la classe B (classe des x et des y réunis). La relation (6) A < B a donc la signification de « la classe A est incluse dans la classe B (sans que la réciproque soit vraie) », ce qui introduit la relation d’inclusion.

Le rapport d’inclusion (<) n’existe qu’entre classes. On appelle appartenance (ε) la relation entre un individu et la classe dont il fait partie. A parler strictement, l’individu x_i n’appartient qu’à la classe singulière (x₁) et celle-ci est incluse en A :

(7) jιφ₁)

et :

(7 bis) (x₁) < A

L’inclusion étant transitive, on tire alors de (7 bis) et de (6) :

(7 ter) « (x₁) < B

Mais, par extension de langage, on écrit également ¾ε(A) ou rr₁ε(B), ce qui confère à l’appartenance une transitivité par délégation lorsqu’elle est composée avec l’inclusion.

D’autre part, si la classe A est incluse en B (6), il demeure alors une différence entre B et A, c’est-à-dire qu’il existe une classe complémentaire de A par rapport à B et co-incluse dans ε(B). Nous appellerons A’ cette complémentaire de A sous B ; elle comprend, dans notre exemple, tous les y non - x, c’est-à-dire tous les termes dont nous savons seulement qu’ils sont « des B, mais non pas des A » ( = « combustibles, mais autres que les objets en bois »). On a donc :

(8) B = A.+ A’

Les classes A et A’ sont disjointes, c’est-à-dire sans éléments communs, puisque, par définition, les A’ sont « tous les B autres que les A ». Dire que les classes A et A’ sont complémentaires signifie en outre qu’elles épuisent à elles deux la classe B. On a donc :

(9) A’ = B — A

et :

(9 bis) A = B — A’

L’opération ainsi introduite est la soustraction logique (— ), opération exprimant l’exclusion ou la dissociation et constituant l’inverse de l’addition. La soustraction est une négation partielle : l’expression (B — A = A’) ’signifie « les B non-A sont les A’ ». Mais c’est une négation demeurant intérieure à la classe incluante B. On a souvent exprimé par le symbole A’ la négation totale, que nous écrirons A, et on l’a considérée comme une opération « uni- naire ». En réalité la négation est toujours binaire : la soustraction B — A = A’ est une négation (ou exclusion) de A par rapport à B, tandis que la négation totale A est une négation (ou exclusion) de A par rapport à l’ensemble des classes du système considéré.

Cela dit, le terme x₁ peut être équivalent aux x₂ ; x₃ ; etc. et aux y à d’autres points de vue encore, qui engloberont, en plus des x et des y, de nouveaux termes individuels z₁ ; z₂ ; z₃ ; ‘etc. Par exemple les x, les y et les z seront tous « pesants » en plus de leurs caractères

I

spécifiques et génériques (« ligneux » pour les x et « combustibles » pour les x et les y). Il s’ensuit alors une nouvelle relation d’équivalence, qui aura le sens, dans notre exemple, de « co-pesants » :

(10) x_1< ^c _y z₁ ; x₁ z₂ ; etc. ; x_1t ^c , y₁ ; etc. et x₁ æ₂ ; etc.

II en résulte, d’autre part, la construction de deux nouvelles classes : la classe C correspondant à _< ^c  » et la classe B’ incluse en C, mais ne comprenant pas les B (= les individus pesants, mais non combustibles) :

(11) O B

(12) C — B = B’; C — B’= B et B + B’= G

Et l’on peut continuer ainsi au fur et à mesure que l’on ajoutera aux équivalences précédentes des équivalences plus générales, conduisant à la construction de classes de plus grande extension.

Notons, avant de poursuivre, que c’est en fonction de telles équivalences et de telles classes qu’un fait individuel est en réalité individualisé, comme nous l’avons déjà vu au § 3 (sans parler des relations, qui feront l’objet du chapitre III). Caractériser un objet individuel, c’est, en effet, simultanément faire rentrer cet objet dans certaines classes A, B, C, etc., en lui prêtant des qualités a, b, c, qui le rendent équivalent aux autres termes individuels contenus dans ces classes, et l’écarter de certaines sous-classes A’, B’, etc., en niant d’autres équivalences. C’est ainsi que l’on descend jusqu’aux classes singulières et aux identités individuelles, toujours relatives au système d’ensemble.

Ces considérations élémentaires montrent d’emblée que toute classe est solidaire d’un système total (même dans le cas des classes « faiblement structurées »). En quoi consiste alors un tel système d’ensemble ? A nous en tenir aux seules opérations de classes décrites précédemment (addition et soustraction), ainsi qu’aux relations qui déterminent les « compréhensions » correspondant à ces classes, il est déjà possible de caractériser en termes précis une première structure opératoire d’ensemble : la classification, c’est-à-dire le système formé par un emboîtement hiérarchique de classes élémentaires disjointes. Toute classe est, en effet, solidaire d’une classification. Qu’il s’agisse des classes utilisées par la pensée commune

(comme les classes A, B et C prises comme exemples au § 8) ou des classes utilisées par les diverses sciences (l’espèce chimique ou biologique, etc.), une classe n’existe logiquement que reliée à d’autres classes dont elle se distingue ou auxquelles elle s’apparente selon des relations d’équivalence négatives ou positives. On ne saurait donc concevoir la classification comme une simple juxtaposition de classes élémentaires données indépendamment d’elle : elle comporte au contraire, en tant que totalité, sa structure formelle propre et ses lois de composition d’ensemble.

Mais, pour dégager ces dernières, il convient d’analyser le mode de classification qui soit le plus simple possible, du point de vue logique, tout en demeurant suffisamment précis. Les classifications du sens commun ne remplissent pas cette seconde condition. Quant aux classifications chimiques, physiques et mathématiques, elles introduisent à des degrés divers les quantités extensives ou métriques (définitions 15 et 15 bis) et font par conséquent appel à des classes plus ou moins fortement « structurées » (définition 13) : il en est ainsi de la table des éléments chimiques, etc. Prenons donc notre exemple dans la classification biologique, qui présente ce grand intérêt logique de constituer un édifice formel parfaitement cohé- rant sans pour autant dépasser les pures relations « intensives » de partie à tout (définition 14), c’est-à-dire sans sortir du domaine des classes « faiblement structurées » (définition 11) :

I. — Le premier caractère d’une classification formellement élaborée est que toute classe se présente simultanément comme incluse en quelque classe d’ordre supérieur et comme incluant quelque classe d’ordre inférieur, à la seule exception de la classe considérée comme totale (la classe référentielle Z, qui contient toutes les autres) et des classes choisies comme élémentaires (A).

Considérons comme élémentaires (rang A) les classes correspondant à l’« espèce » : soit l’espèce pomatia des Hélix (l’escargot vulgaire). On pourrait remonter aux sous-espèces, aux variétés, aux lignées et jusqu’aux classes singulières (2_j). Mais nous partons de l’espèce et écrivons indifféremment, à propos d’un individu x₁ ou de sa classe singulière (x₁) : ιr₁ε(A) ou (x₁) < A (voirprop. 7 et 7 bis). L’espèce pomatia fait partie d’un « genre » B (le genre Hélix, sans parler du sous-genre). Le genre B fait partie d’une « famille » C (les « Hélicidés »), laquelle est incluse dans un ordre D (les « Pulmonés ») ; cet ordre D est lui-même emboîté dans une « classe » E (la « classe », au sens zoologique du mot, des « Gastropodes »), laquelle fait partie

de 1’« embranchement » F (les « Mollusques ») ; cet embranchement appartient enfin au « règne » animal G. Ces divers emboîtements A… G forment la suite de base :

(13) (z₁) <A<B<C<D<E<F<G

On aurait pu choisir une autre suite. Celle des premiers classificateurs ne comprenaient pas tous ces niveaux hiérarchiques. Celle des classificateurs actuels comprend en général des sous-genres, des sous-familles, des sous-ordres, etc., ce qui conduirait à une suite A < H < … < K. Mais peu importe le nombre des emboîtements. L’existence de certains emboîtements définis est seule nécessaire.

IL — Deuxième principe : les diverses classes appartenant à un même niveau hiérarchique sont disjointes. Autrement dit, un même individu x₁ ne peut pas appartenir à deux espèces (A₁ et A₂) à la fois, à deux genres (B₁ et B₂) à la fois, etc. ; une même espèce A₁ ne peut pas appartenir à deux familles (C₁ et C₂) ou à deux ordres (D₁ et D₂) à la fois, etc. Si nous symbolisons par (×)l’opération déterminant la partie commune de deux classes, nous avons donc, pour A₁ et A₂ (= deux espèces quelconques), B₁ et B₂ (= deux genres quelconques), etc. :

£14) A₁ × A₂ = 0 ; B₁ × B₂ = 0 ; C₁ × C₂ = 0 ; etc.

Par contre, chaque classe constitue la partie commune entre elle-même et les classes de rang supérieur :

(15) A₁ × B₁ = A₁Bj(= A]) ; B₁ × C₁ = B₁C₁(= B₁) ; A₁B₁ × C₁ = A₁B₁C₁(= A₁) ; etc.

III. — Le fait que les classes de même niveau hiérarchique demeurent nécessairement disjointes va de pair avec un troisième principe : les classes de même rang ne sauraient être caractérisées que de façon dichotomique, c’est-à-dire par la présence ou l’absence de caractères donnés.

A considérer les espèces d’un même genre, telles que les espèces pomatia, aspersa, lucorum, etc., du genre Hélix, ou les diverses espèces de fauvettes ou de corbeaux, etc., on constate, en effet, de façon générale, que l’on ne saurait sérier ces espèces selon un ordre simple, ni a fortiori fournir une loi de construction extensive ou métrique les engendrant les unes à partir des autres (comme dans la table de Mendeleieff pour les éléments chimiques). Telle espèce est caractérisée par un complexe de caractères a, b, c… (taille, forme, couleur, disposition de certains organes, etc.), une autre par un

complexe û, d, e…, etc. On ne saurait non plus soumettre ces caractères à une combinatoire telle que les espèces d’un genre réalisent toutes les combinaisons possibles : certaines de ces combinaisons sont présentes et d’autres absentes sans règle fixe de construction. C’est en quoi une classification biologique est composée exclusivement de classes « faiblement structurées » (définition 11).

Il en résulte qu’en un genre B₁ l’espèce considérée A₁ est simplement caractérisée par le complexe de rapports a₁ qui fait défaut chez les autres espèces de B₁. Si nous appelons A[ ces autres espèces, le genre B₁ est donc dichotomiquement réparti en B₁ = A₁ + Ap Ces autres espèces A[ comprennent de leur côté une espèce A₂, caractérisée par le complexe de rapports α₂, qui manquent aux autres espèces A₂ du genre B₁ (cette sous-classe A₂ comprenant alors elle-même Λ₁). Il en sera de même d’une espèce A₃, disjointe à la fois de A₁ et de A₂ et partageant à son tour le genre B₁ selon la dichotomie A₃ + AJ, etc. (A₃ fera alors partie à la fois de AJ et de A₂). Et ainsi de suite.

Si l’on cherche à dresser le tableau d’un genre B₁, on a alors le choix entre deux procédés d’exposition (l’un et l’autre utilisés par les systématiciens) et qui se réduisent tous deux, du point de vue formel, à une suite de distinctions dichotomiques :

1° On décrira successivement les espèces (par exemple les trois espèces A₁, A₂ et A₃) en opposant chacune aux autres, ce qui revient à diviser B₁ en diverses sous-classes complémentaires :

l’espèce A₁ opposée aux autres espèces AJ (= A_a + A₃)

— A₃ — — ■ — A₂ (= A₁ + A₃)

•— ∙ A₃ — — — A₃ (= A₁ + A₂)

On a alors (voir la figure 2) :

(16) B₁ = (A₁ ⅛ AJ) = (A₂ + A’) = (A₃ + AJ)

2° Ou bien on construit un tableau dichotomique explicite (comme on le fait souvent, par exemple dans les manuels écrits en vue de déterminations rapides). On a en ce cas la disposition suivante :

„ jA₁ A₁

B » = < ( A₂ A₂

( A, = < ( A₃ A₃

( (A₂ A₁) \ [ A₄ A₁

(17) ((AJ — A₁-A₂)< (Aj A₅

( (A₁ A₁ A₂ A₃) <

( (AJ— etc.)

Dans les deux cas, on constate que le principe de la répartition du genre (B) en espèces (A) ; ou de la famille (C) en genres (B), etc., ne saurait être que dichotomique, faute de sériation possible ou de quantification extensive des caractères en jeu. Il va de soi que la numérotation A₁, A₂, etc., reste affaire de simple différenciation qualitative. Le nombre des espèces n’intervient pas non plus en

Fig. 2.

lui-même : un genre B peut avoir un nombre quelconque d’espèces A, y compris une seule. Ceci nous conduit au principe IV :

IV. — Le quatrième principe essentiel de la classification est que tout terme individuel est emboîté dans une suite de classes appartenant respectivement à chacun des niveaux successifs de la hiérarchie. D’une part, en effet, si la suite fondamentale est :

A < B < … < G (prop. 13)

aucun individu n’appartient à l’une quelconque des classes B à G sans appartenir également aux précédentes. D’autre part, aucun

individu ne saurait être classé dans l’une des espèces A de la classification sans l’être également dans un genre (B), etc., jusqu’à G. Supposons à cet égard que l’on découvre un seul individu d’une espèce nouvelle A_x et que cette espèce ne présente aucun des caractères des « classes » connues de rang E, mais rentre simplement dans l’un des « embranchements » donnés de rang F. En ce cas, il faudra construire, pour ce seul individu nouveau, non seulement l’espèce A_x, mais encore un « genre » nouveau B_Æ composé de cette seule espèce A_x ; une « famille » nouvelle C_x ne contenant que ce seul genre B_j ; un « ordre » nouveau D_z composé de cette seule famille C_x ; et une « classe » nouvelle E_r formée de ce seul « ordre ». Un unique individu non classable dans les classes de rang E nécessitera ainsi la construction de la suite d’emboîtements nouveaux : (x) < A_x < B_x < C_x < D_x < E_x avant de rejoindre l’embranchement F. Et cependant on aurait en ce cas une suite de classes complémentaires nulles par rapport à B_a,, C_x, D₁ et E_z :

a ; = 0 ; Bj, = 0 ; Ci = 0 et Di = 0

Une telle éventualité, que la découverte d’une forme fossile inconnue et unique peut à chaque instant réaliser, montre à elle seule le caractère de nécessité formelle s’attachant à une suite d’emboîtements de classes, même « faiblement structurées », une fois admise la suite de départ (13).

V. — Enfin cinquième principe : La classification suppose un certain principe d’ordre, qu’il s’agit de préciser. Appelons « classes primaires » les classes de départ A<B <C<D <… dont chacune est emboîtée dans la suivante. Appelons « classes secondaires » les complémentaires : A’(= B — A) ; B’(= G — B) ; C’(= D — C) ; D’(= E — D) ; etc. (propositions 9 et 12). Or, il est clair que chacune de ces classes secondaires, si elle n’est pas nulle, contient à son tour un nombre indéterminé de classes primaires. Par exemple la classe B’ inclut une ou plusieurs classes de rang B, qui contiennent elles-mêmes des classes de rang A. Il s’ensuit que, à vouloir expliciter toutes les classes primaires possibles, la classification prendra la forme d’une pyramide ou d’un arbre généalogique (fig. 3). Du point de vue de l’ordre, chaque classe primaire de rang A sera alors emboîtée en une classe primaire de rang B, etc., et l’on retrouvera toujours le même ordre (vertical) A < B < G < … Mais chaque rang de la hiérarchie (c’est-à-dire chaque palier horizontal de la pyramide) sera par contre occupé par un nombre indéterminé de

classes primaires non ordonnées entre elles : aucun ordre général de succession ne permet, en effet, de considérer une espèce A comme * antérieure à une autre dans un genre B donné, ou un genre B comme antérieur à un autre dans une famille C donnée, etc. La classification ne constitue donc qu’un ensemble « partiellement ordonné ».

Fia. 3.

Tels sont les cinq principes qui caractérisent la structure d’ensemble d’une classification, lorsque le classement repose sur les seules notions de classes « faiblement structurées » (définition 11) et de quantité intensive (définition 14), c’est-à-dire lorsque la classification se présente sous sa forme logique la plus simple.

Il s’agit maintenant de chercher à dégager les lois de composition formelle de la structure de classification décrite à l’instant et considérée à titre de système total. On peut concevoir à cet égard trois structures possibles : le système des compositions réversibles constitué par les « groupes », le système des emboîtements semi-ordonnés et non réversibles définissant les « réseaux » et les systèmes mixtes d’emboîtements réversibles que nous avons appelés « groupements ».

II. Le « réseau »🔗

Une seconde notion mathématique, dont l’importance croît aujourd’hui sans cesse dans la théorie des structures, pourrait être appliquée à la classification : le réseau. Notion encore plus générale que celle de groupe, parce qu’un groupe et ses sous-groupes constituent un réseau, ce concept exprime notamment la structure « partiellement ordonnée » de l’ensemble des parties d’un ensemble total. Un système partiellement ordonné est un système dans lequel on doit savoir que, de deux éléments a et b, a vient avant b (ou est son « majorant » dans le sens a > b, l’élément a étant alors le « minorant » de b dans le sens a < b), ou bien que b vient avant a ou que a et b sont sans rapport d’antériorité. On appelle alors « réseau » (ou « lattice », selon le terme utilisé par ses inventeurs américains) un système partiellement ordonné dans lequel

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toute paire d’éléments possède une « borne supérieure » (ou « join »), définie comme le plus petit des majorants (ce qui revient à dire le moins antérieur des éléments antérieurs à a et à b simultanément) ; et dans lequel toute paire d’éléments possède une « borne inférieure » (ou « meet »), c’est-à-dire le plus grand des minorants (donc le moins postérieur des éléments qui sont postérieurs à a et à b). Dans le cas de deux classes A et B, la borne supérieure sera la plus petite des classes dans lesquelles A et B sont toutes deux contenues (le genus prdxi- mum de la logique classique) et la borne inférieure la plus grande des classes contenues à la fois en A et en B (leur intersection) ¹.

Cela dit, on pourrait considérer une classification (fig. 4) comme

un réseau, dans lequel toute paire de classes possède une borne supérieure : B pour A et A’ ; C pour A et B’ ou C pour A’ et B’; B pour A

et a ; e pour a et u ou pour a eu D’; etc. Quant à la borne inférieure, elle existe pour toute paire de classes

dont l’une est incluse dans l’autre : A est la borne inférieure de A et de B ou de A et de C, etc. Par contre, la borne inférieure de deux classes disjointes est nulle : O pour A et A’ ou pour A et B’ ; A’ et B’ ; etc.

Mais si cette assimilation de la classification à un réseau est plus acceptable qu’à un groupe, parce que le réseau est essentiellement une structure d’emboîtements, trois circonstances en limitent néanmoins la portée :

a. Une classification définie comme au § 9 ne constitue qu’un semi- réseau, puisque toutes les bornes inférieures sont nulles en cas de classes disjointes et que toutes les classes de même rang sont disjointes.

b. Plusieurs paires de classes ont les mêmes bornes supérieures ou inférieures : par exemple la classe D est la borne supérieure à la fois de G et de C’ ; de B’ et de G’ ; de B et de G’ ; de A et de C’ ; et de A’ et de C’ (voir fig. 4).

1. Il est à noter que la borne supérieure d’une classe A et d’une classe B, au cas où la classe B contient la classe A, est la classe B elle-même. En effet, on doit considérer tout élément comme étant à la fois antérieur et postérieur à lui-même. Grâce à cette convention la définition des bornes supérieures et inférieures devient valable pour tous les cas, y compris les classes non disjointes.

Fig. 4.

 

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c. Et surtout il n’y a pas réversibilité entière : si à une paire de classes correspond une seule borne supérieure (le genus proximum), l’opération inverse, qui consisterait à retrouver deux classes quelconques à partir de leur borne supérieure, n’est pas toujours possible (en vertu de b) : pour A, A’ et B on a bien A = B — A’ et A’ = B — A ; mais pour A et G’, on n’a pas A = D — C’ ; on a, en effet : A = D — C’ — B’ — A’ (parce que D — C’ = C ; C — B’ = B et B — A’ = A).

Or, la réversibilité est la condition de toute rationalité, comme nous le verrons toujours davantage au cours de cette étude, notamment en ce qui concerne la logique des propositions (chap. VI) et le principe de contradiction (§ 40). La réversibilité joue, en effet, dans une logique opératoire, le rôle qu’assumait l’identité dans la logique classique des concepts. Il importe donc essentiellement, si l’on veut construire la structure d’ensemble correspondant à une classification, d’y incorporer la réversibilité stricte : il s’agit, autrement dit, de pouvoir retrouver une espèce à partir, des classes d’ordre supérieur aussi bien que de monter de l’espèce au genre, etc.

Le « groupement » étant une structure intermédiaire entre celle des « groupes » et celle des « réseaùx », la question préalable est de savoir s’il constitue un système naturel et homogène ou simplement un mélange d’éléments empruntés à deux structures distinctes. Or, l’examen des règles de calcul précédentes suggère précisément, au premier abord, cette seconde interprétation. Si vraiment la tautifi- cation A + A = A et la résorption A + B = B n’interviennent, à titre d’opérations formellement différentes des simplifications, que dans les suites hétérogènes, toute suite rendue homogène ne relevant plus que des opérations de l’algèbre des groupes, le groupement semble alors, en apparence, constituer un simple amalgame des deux structures suivantes : d’une part, l’addition des classes disjointes (A₁ ; A₂ ; A₃ ; etc. ; donc A et A’ ; ou B et B’; etc.) qui relè-

verait du groupe de Boole ; d’autre part les tautologies et résorptions, qui exciperaient de la structure des réseaux. La « classification » ne pourrait-elle donc pas, en dernière analyse, se ramener à une série d’emboîtements de forme :

Ai+A₂+A₃… = B₁ ; A_rt+A_n+1+∙.. = B₂; B₁+B₂+∙.. =C₁j etc.?

L’algèbre de Boole suffirait alors à tous les calculs.

Tel est le vrai problème que soulève la structure de la classification : ou bien elle est réductible à un groupe mathématique, portant sur des ensembles dont on néglige simplement de préciser le nombre et les puissances, ou bien le groupement constitue une réalité plus élémentaire que le groupe et de structure sui generis.

Or, trois arguments décisifs militent en faveur de la spécificité du groupement en tant que succession d’emboîtements dichotomiques. Tous trois reposent sur le parallélisme nécessaire (qu’il ne faut jamais perdre de vue en logique intrapropositionnelle) des structures en extension (classes proprement dites) et des structures en compréhension (relations comme telles). De ce point de vue, il est alors facile de montrer : 1° le caractère naturel et non pas artificiel des classes secondaires (A’; B’; C’; etc. par opposition au dénombrement des classes primaires disjointes) ; 2° la nécessité des opérations de résorption ; 3° la possibilité de réduire toute la logique des classes et des relations à huit groupements simples, dont quatre intéressent les relations et sont isomorphes aux quatre groupements de classes.

1. — Étant donnée une suite de classes « primaires » A ; B ; C ; etc., dont chacune est emboîtée dans la suivante, nous appelons « secondaires » les classes A’; B’; C’; etc., telles que A’ = B— A ; B’ = C— B ; C’ = D — C ; etc. Or, il est clair que, si la classe A’ n’est pas nulle, elle contient un nombre indéterminé de classes de même rang que A : si A est une « espèce » du « genre » B, la classe A’ représente donc simplement « les espèces A₂ ; A₃ ; etc., autres que A elle-même ». De même B’ contient des classes de rang B, etc. La notion des classes secondaires, dont le rôle est simplement d’étendre la complémentarité à tous les emboîtements, autrement dit de généraliser la partition dichotomique, n’est-elle donc pas essentiellement artificielle ?

On se rappelle que toute classe faiblement structurée est déterminée par une relation d’équivalence qualitative (définition 16) donnée entre les éléments (propositions 1, 4 et 10). Or, s’il en est

ainsi des classes primaires A ; B ; C ; etc., les classes secondaires A’; B’ ; C’ ; etc., sont réciproquement déterminées par des relations particulières de non-équivalence, que nous appellerons dans la suite « altérités ». Pour comprendre la chose, il convient de remonter aux formes les plus simples de classification, c’est-à-dire aux arbres généalogiques, dont les classes correspondent, en compréhension, aux diverses relations de parenté.

Fig. 5.

Soient les classes A₁(₁) : les fils d’un même père ; A₁(₂j : idem (mais d’un autre père) ; A₁<₃)! idem (mais d’un père à nouveau distinct), etc. Ces diverses classes A₁<₁) ; A₁(₂) ; A₁(₃⅛ ; etc., sont emboîtées en B₁ : les petits-fils d’un même grand-père. Soit également B₂ : les petits-fils d’un autre grand-père, la classe B₂ comprenant alors les sous-classes A₂(₁j ; A₂(₂>∙, A₂(₃>j etc., définies comme les A₁(,) ; etc. Soit ensuite B₃ défini comme B₂ (et comprenant A₃<,) ; A₃(₂)5 etc.). Soit enfin la classe C : les arrière-petits-fils du même arrière- grand-père (voir fig. 5), cette classe C comprenant B₁ ; B₂ ; B₃ ; etc., ainsi que les classes de rang A. On voit que de telles classes constituent l’extension des relations suivantes, existant entre les individus de chaque classe : pour chaque classe A existera une relation _t^a _r = « x est fils du même père que y » ; pour chaque classe B existera une relation _<^b — « x est petit-fils du même grand-père que y » ; et pour chaque classe C existera une relation

— « x est arrière-petit-fils du même arrière-grand-père que y ». Mais on voit, également que, si ces relations _x ⁿ _> , _t^b _t et „ ^c > suffisent, à caractériser les rapports internes entre les individus appartenant à une classe déterminée de rang A, de rang B ou de rang C, elles n’expriment pas, par contre, les relations données entre deux individus appartenant respectivement à deux classes de rang A distinctes l’une de l’autre : par exemple entre un individu de A₁(₁) et un individu de A₁(₂) ou de A₂(₁) ou de A_a(₁).

Il est donc nécessaire d’introduire des relations nouvelles : la relation _x^g qui unira un individu de la classe A](₁), par exemple, à un individu des classes A₁<₂j ou A₁(_a) (ou un individu de la classe A₂<₁) à un individu des classes A₂(₂j, etc. )etla relation   » qui unira un individu de l’une des classes A₁ à un individu de l’une des classes A₂ ou A₃. Autrement dit, il existera une relation d’« altérité » <^a >-, définissable comme ^Σ→-, donc « petit-fils du même grand-père, mais non pas fils du même père » = « cousin-germain »; et une relation d’altérité _t^b * définissable comme , c’est-à-dire « arrière petit-fils du même arrière-grand-père, mais non pas petit-fils du même grand- père » = « cousin issu de germain », etc. Les relations de cousinage < ^a’ , <^b’ _t , etc., ont donc une signification à la fois univoque et indispensable à la construction des relations de parenté. Ce sont des relations symétriques (comme les équivalences ► , <^b _r , etc.), mais non pas transitives, et qui relèvent donc d’une composition distincte des équivalences simples. Or, on aperçoit d’emblée que ce sont elles qui déterminent l’existence des classes secondaires A’ et B’ : si la classe A₁(₁> signifie « les fils du même père » ; la classe B₁ « les petits-fijs du même grand-père », etc., alors les classes A₁(₂)j A₁(₃)j etc., sont à réunir sous le symbole A((₁) et cette classe secondaire de rang A’ comprendra tous les cousins-germains des A₁(₁> ; de même, pour lesB₁ en général, tous les B₂; B₃; etc., constitueront une classe secondaire B ; qui seront les cousins au second degré des B₁. Réciproquement pour la classe B₂ ou B₃, etc., on aura des classes secondaires B_a ou B, comprenant les cousins au second degré des B₂ ; B₃ ; etc.

Cet exemple des relations de parenté montre bien la signification des classes secondaires, qui sont déterminées par les relations d’« altérité » < ^a’ > ; < *’ > ; etc. De façon générale si une classe A₁ est déterminée par une équivalence „^a _ et une classe B₁ par une équivalence . ⁶ > , les classes A comprises en B₁, mais autres que A₁contiendront tous les individus reliés aux membres de la classe A₁par la relation < ^α’ > = j^l~^a . Dans le cas des relations de parenté, ces altérités portent un nom : ce sont les cousinages de divers degrés ou rangs. Dans le cas des espèces et des genres, elles ne portent pas de nom, mais les relations sont les mêmes : si la relation _t ^a, signifie « de même espèce » et < ⁶ » « de même genre », alors l’altérité signifiera « de même genre, mais pas de même espèce » ; de même ₁⁶’ „ signifiera « de même famille, mais pas de même genre ». Le rôle de telles « altérités » est indispensable à la théorie des relations symétriques. Parallèlement, il en résulte que les classes A et A’ qui partagent dichotomiquement une classe B (ou B et B’ qui partagent dichotomiquement C, etc.) revêtent une signification logique générale et ne sont pas introduites pour les seuls besoins du calcul. Or les classes secondaires A’ ; B’ ; C’ ;… et les rela-

tiens ; , ^b’ _i ; etc. ; qui les déterminent ne sauraient donner lieu à une formulation simple dans le groupe de Boole-Bernstein, tandis qu’elles caractérisent en propre la structure du groupement.

2. — Quant aux tautifications A + A = A et aux résorptions A + B = B, qui sortent entièrement du domaine des opérations appartenant à ce groupe de Boole, leur rôle est aussi indispensable à la construction logique des classes et des relations que celui des termes secondaires. C’est ce que montre à l’évidence la composition des relations symétriques, sur lesquelles nous reviendrons au chapitre III (§ 19).

Pour en rester à l’exemple des relations de parenté, évoquées à l’instant, il est clair, en effet, que la composition des relations < ^a > ; < ^a > ; < ⁶ > ; etc. ; définies comme plus haut (fils du même père, cousin germain et petit-fils du même grand-père), repose en majeure partie sur de simples tautifications et résorptions.

(x < ^a > y) + (y < ^a > z) = (x < ^a > z) Si x est frère de y et que y est frère de z, alors x est frère de z.

(æ < ^a > y) + (y y z) = (x ₍ ^a > z) Si x est frère de y et si y est cousin germain de z, alors x est cousin germain de z.

(x < ^a > y) + (y > z) = (x _t^l’ > z) Si x est frère de y et que y a le même grand-père que z, alors x a le même grand-père que z.

… etc.

Or, chacune de ces compositions de relations symétriques est fondée sur une addition tautologique de classes : A + A = A ; A_i + A₂ = A₂, car A₁ est compris dans A₂’ (par opposition à Aχ + AJ = Bj) ; A + B = B ; etc. Si les tautologies et les résorptions paraissent au premier abord constituer un appareil superfétatoire dans le seul domaine des classes, leur utilisation dans le calcul des relations symétriques est indispensable et ne fait qu’un, en ce cas, avec le système des emboîtements eux-mêmes.

3. — Enfin et surtout les emboîtements dichotomiques selon le • schéma des termes primaires A, B, C… et secondaires A’, B’, C’, … permettent de grouper de la manière la plus simple et la plus symétrique l’ensemble des opérations de classes et de relations. En effet, les opérations intrapropositionnelles peuvent porter soit sur des classes, soit sur des relations, ce qui constitue déjà deux possibilités. Ces mêmes opérations peuvent être soit additives, soit mul-

tiplicatives, ce qui fait à nouveau deux possibilités ; il en résulte déjà quatre groupements possibles : l’addition des classes, celle des relations asymétriques (sériation), la multiplication des classes et celle des relations. Mais il s’y ajoute le fait fondamental que, au lieu de se limiter aux emboîtements des termes secondaires dans les termes primaires (A’ en B, etc.), comme c’est le cas dans les groupements précédents, le groupement peut porter sur les relations des termes secondaires entre eux, ce qui double à nouveau le nombre des groupements. A l’addition simple des classes correspondra alors un groupement portant sur les réciprocités des classes secondaires entre elles : A₁ + A[ = A₂ + A₂ ; etc. (par exemple les frères A₁ et leurs cousins Aj = les frères A₂ et leurs cousins A₂, si A₂ ≤ Aj et A₂ ≥ A₁). A ce. groupement additif des « vicariances », comme nous l’appellerons, correspondra d’autre part, dans le domaine des relations, le groupement des relations symétriques fondé essentiellement sur le mécanisme des éléments secondaires. Quant aux groupements multiplicatifs, le développement des emboîtements secondaires conduit à un schéma de multiplication co-univoque (par correspondance un à plusieurs), et non plus bi-univoque comme la multiplication simple : c’est le schéma des arbres généalogiques, traduits soit en termes de classes, soit en termes de relations.

On aura donc le tableau exhaustif suivant, correspondant aux huit . combinaisons précédentes :

Il est évident qu’un tel tableau, embrassant toutes les opérations élémentaires de la logique des classes et des relations, ne saurait être un produit du hasard. Or, la symétrie qu’il introduit entre les quatre groupements de classes et les quatre groupements de relations repose essentiellement sur le principe même de répartition dichotomique qui caractérise le groupement, c’est-à-dire sur la répartition des éléments en termes primaires et secondaires.

Indiquons encore, pour terminer, que cette notion de groupement avec son caractère spécifique de dichotomie se retrouvera nécessairement sur le terrain de la logique interpropositionnelle. En effet, à l’inclusion A < B, qui constitue le rapport fondamental d’emboîtement, correspond, dans la logique des propositions, la relation d’implicationpz q. Or, si p implique q sans que la réciproque soit vraie (par exemple mammifère implique vertébré, mais vertébré n’implique pas mammifère), alors q est aussi impliqué par une proposition autre que p et complémentaire par rapport à q (par exemple « x est vertébré, mais non mammifère »^-: p • q). La notion de la classe secondaire A’ = B — A est donc impliquée dans l’opération même de l’implication, comme nous y insisterons plus tard (chap. VI, § 39).

Nous allons maintenant procéder à un exposé systématique des quatre groupements de classes, à commencer par celui de l’addition simple (ou inclusive), déjà décrit en partie au cours des remarques précédentes.

Soit donc une suite de classes A < B < C < … dites « primaires », dont chacune est emboîtée dans la suivante. Ces classes n’étant point équivalentes, mais ordonnées selon la relation d’inclusion, on peut faire correspondre à chacune sa complémentaire par rapport à celle qui suit : A’ = B — A ;B’ = C — B ;C’ = D — C ; etc. De telles classes, complémentaires par rapport à la classe emboîtante la plus proche, sont dites « secondaires ». La classe A et les classes secondaires A’, B’, C’, … seront appelées ensemble les « classes élémentaires » du système. Le groupement additif des classes est alors constitué par la suite d’emboîtements dichotomiques :

(18) A+A’=B ; B+B’=C ; C+C’=D ; etc. (Voir fig. 4, p. 95)

Les classes élémentaires du système peuvent être singulières. Elles ne le sont pas nécessairement et le groupement s’appliquera aussi au cas déjà décrit (§ 9) où une « espèce » A est située sans plus par rapport aux autres espèces (A’) dans un « genre » B, etc. Seulement, si l’on en demeure aux seules opérations de ce groupement I, les classes secondaires ne sont point considérées comme décompo- sables (leur décomposition concerne les groupements II et III).

Cela dit, deux opérations quelconques du groupement donnent, par leur composition, "une nouvelle opération du groupement. Ces compositions sont au nombre de cinq :

1. L’opération directe consiste en une addition membre à membre d’équations de forme A + A’ = B ;B + B’ = C ; etc., ou d’iden-

tités A = A et A — A = 0. Mais, si l’on en demeure à ces suites homogènes (définition 19) en appliquant les règles de calcul I-III (§ 10), on peut appeler, par extension, opération directe, l’addition d’une classe quelconque du système : + A ; + B ; + A’ ; etc.

2. L’opération identique générale est celle qui remplit simultanément les deux conditions suivantes : (a) composée avec une opération quelconque, elle laisse celle-ci invariante ; (b) elle constitue le produit de l’opération directe et de son inverse (voir 4). Or le groupement I possède une et une seule identique générale : c’est l’opération 0=0 (ou + 0 = — 0) ou par extension ± 0. En effet, on a :

(19) A + 0 = A [condition a]

et :

(19 bis) A — A = 0 [condition è]

3. Les identiques spéciales (tautologie et résorption) jouent le rôle (a) de l’identique générale, mais dissocié du rôle (b). En effet toute classe additionnée à elle-même et à une classe de rang supé- , rieur et de même signe laisse celle-ci invariante :

(20) A + A = A ; A + B = B ; A + C = C ; etc.

et :

(20 bis) — A — A = — A ; — A — B = — B ; etc.

Mais + A perd le rôle d’identique (a) avec sa propre inverse et avec les classes d’un rang supérieur affectées d’un signe contraire : A — A = 0 ;A — B = — A’ ; etc.

Il y a donc, à côté de l’identique générale, des identiques spéciales (c’est- à-dire ni générales ni singulières). Il est à noter que ces opérations de tauti- fication et de résorption ne sauraient être réduites à des opérations de simplifications, bien que, dans les suites homogènes, le calcul en soit semblable en vertu de la règle I : la simplification est, en effet, une opération inverse consistant à retrancher un même terme dans les deux membres de l’équa- , tion, tandis qu’une résorption n’est pas une inversion, mais une opération

assurant l’inclusion et par conséquent soumise à un ordre (A se résorbe en B et non pas B en A).

4. L’opération inverse (— A) est celle qui annule l’opération directe (+ A). L’opération inverse est unique malgré la dualité des identiques, car seule l’identique générale détermine l’inverse, en vertu de son rôle (b) :

(21) A — A = 0 ; B — B = 0 ; A’ — A’ = 0 ; etc.

Au contraire les identiques spéciales, qui ne remplissent que le rôle (a), ne déterminent aucune inverse.

5. L’associativité (x + y) + z = x + {y + z) est générale entre termes de mêmes signes ou entre termes de signes mélangés ne contenant pas d’identiques spéciales :

(22) (A + A) + A’ = A + (A + A’)

car :

(A) + A’ = A + (B) et :

(22 bis) (B — A’) + B’ = B + (— A’ + B’) car :

A + B’ = C — A’

Par contre, dans les suites de signes mélangés, il n’y a pas associativité lorsqu’un même terme joue tour à tour le rôle d’identique spéciale et un rôle différent. Par exemple :

(— A — A) + B = — A + (— A + B)

donnerait (— A + B) = (A + A’), c’est-à-dire (A’ = A + A’), qui est absurde.

L’opération élémentaire du groupement additif des classes est donc l’addition non-disjonctive¹ (définition 17) par opposition à l’addition disjonctive du groupe de Boole-Bernstein. Dans le cas A + A’ = B, les classes A et A’ sont disjointes par définition, tandis que dans le cas A + B = B les classes additionnées ne le sont pas. L’inverse est la soustraction non-disjonctive² :

— A — A’ = — B ou — A — B = — B

Il est important de noter que ce groupement I est le seul groupement de classes dont toutes les opérations restent possibles dans le cas particulier où les classes élémentaires sont singulières. Dans le cas des groupements II à IV, au contraire, certaines opérations cessent d’être distinctes quand les classes élémentaires sont singulières. Lorsque les classes élémentaires du groupement I sont singulières, on peut considérer ce groupement comme constituant une

1. En logique des propositions, ce sera donc l’opération ∨ (trilemme) et non pas w (dilemme). Voir § 39.

2. En logique des propositions, ce sera la négation conjointe p-q (voir § 39).

énumération. Une énumération n’est point une opération de dénombrement : elle n’implique aucun nombre et se borne à désigner^- chaque individu par l’une au moins de ses qualités propres, c’est- à-dire par l’un des caractères de la classe singulière qu’il constitue. Ce caractère peut se réduire à son nom : la suite Pierre, Paul, Jacques et Jean constitue ainsi une énumération simplement logique, si elle ne fait appel qu’au caractère distinctif de ces individus sans se référer au nombre 4. Mais elle suppose nécessairement alors soit une simple relation d’ordre (of. groupement V), soit une suite d’emboîtements dichotomiques, même si ceux-ci demeurent implicites. Dans le cas des quatre noms, ces emboîtements sont arbitraires. Dans l’énumération suivante l’addition des classes singulières élémentaires correspond au contraire à une hiérarchie réelle d’emboîtements : les sciences exactes et naturelles sont les mathématiques (A), la mécanique (A’), la physique (B’), la chimie (C’), la biologie (D’) et la psychologie (E’) ; en effet les classes A + A’ = B (mathématiques et mécanique), B + B’ = C (mathématiques, mécanique et physique), C + C’ = D, etc., correspondent à des emboîtements que l’on ne saurait changer sans modifier le sens et la portée de l’énumération. Néanmoins une autre énumération des mêmes classes singulières aboutirait à la même classe primaire totale F (voir groupement II).

Cela dit, le principal intérêt théorique de ce groupement I est de mettre en évidence la différence entre l’énumération et la numération, c’est-à-dire entre une suite de classes emboîtées A < B < C < D… et la suite des nombres entiers 1 < 2 < 3 < 4… On sait qu’une école logistique voudrait considérer le nombre cardinal comme un simple dérivé des classes (voir § 25). Si l’on réduit les classes élémentaires A, A’, B’… à des classes singulières correspondant ainsi à l’addition + 1 on a, en effet, le tableau :

0 + A = A ; A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C’ = D ; etc. 0+1=1 ; 1+1=2 ; 2+1=3 ; 3+1=4 ; etc.

Mais entre ces deux suites existent les différences suivantes, que les lois du groupement manifestent de la façon la plus explicite :

1° L’élément logique qualifié ne peut être additionné à lui-même que de façon tautologique : A + A = A. Au contraire l’addition de l’unité arithmétique est itérable : 1 + 1 = 2. D’où la présence des identiques spéciales dans le groupement additif des classes et son absence dans le groupe additif des nombres entiers.

2° Les classes élémentaires A ; A’; B’; etc., ne sont logiquement équivalentes entre elles que relativement aux seules classes primaires qui les emboîtent :

A ₍ ^A > A est vrai, mais A _< ^A , A’ ; A _< ^A > B’ ; etc. ; sont faux.

A ₍ ^B , A’ est vrai, mais A ₍ ^B -, B’ ; A _< ^B -, C’ ; etc. ; sont faux.

A ₍ ⁰ B’ et A’ ₍ ^c B’ sont vrais, mais A<JL> G’; A’ _< ⁰ > D’; etc. ; sont faux.

Au contraire, l’opération arithmétique + 1 exprime une équivalence généralisée entre toutes les classes élémentaires :

A = A’ = B’ = C’ = … = 1 ♦

3° En troisième lieu les compositions du groupement ne peuvent s’effectuer que de façon contiguë, c’est-à-dire relativement aux complémentarités dichotomiques qui en constituent la structure (voir § 10 sous III), tandis que la composition des nombres entiers est indéfiniment mobile et indépendante des emboîtements. Cette troisième différence, qui implique les deux autres, exprime de la façon la plus générale la différence qui sépare les groupements des groupes numériques : les premiers ne portent que sur les relations de partie à tout, à l’exclusion des rapports directs entre les parties d’un même tout.

Le groupement additif des classes ne connaît que les opérations A + A’ = B et A + B = B, mais il ne décompose pas les classes secondaires A’; B’ ; C’… en leurs éléments ni les classes primaires B ; G ; D… selon les diverses dichotomies qu’elles comportent chacune. Or, ces opérations sont possibles, et elles s’avèrent même indispensables dans les compositions additives de la logique qualitative courante.

Soit la classe des « étrangers à la France » et la classe des « étrangers à la Chine ». L’addition de ces deux classes donne « tous les hommes », car la première comprend les Chinois et la seconde comprend les Français. Soit encore l’ensemble des « fils de z », comprenant entre autres les individus x et y : la classe des « frères de x » et celle des « frères de y » donnent alors, par leur réunion « tous les fils de z », car les « frères de x » comprennent y et les « frères de y » comprennent x. Si nous essayons maintenant de formaliser ces deux additions, nous constatons que ni l’une ni l’autre ne rentrent

dans les schémas A + A’ = B et A + B = B, car les classes à additionner interfèrent l’une avec l’autre au lieu d’être ou bien disjointes ou bien l’une incluse dans l’autre. Il convient donc de considérer la classe « tous les hommes » comme une classe de rang B, mais partagée selon deux dichotomies distinctes : A₁ = les Français et A ! = les étrangers à la France, ainsi que A„ = les Chinois et

Fig. 6.

A₂ = les étrangers à la Chine. De même « les fils de z » = B, l’individu x = A₁, ses frères = Aj, l’individu y = A₂, ses frères = A₂. On a alors, dans les deux cas :

(23) (A₁ + Aj) = (A₂ + A ) = B

(23 bis) Aj + A₂ = B

et :

(23 ter) A₁ < A₂ et A₂ < AJ

La proposition 23 ter signifie que A₁ fait partie de A₂ et que A₂fait partie de Aj (voir la figure 6). Il y a donc double dichotomie de la classe B, mais il y a surtout réciprocité¹ entre les emboîtements A₁ < A₂ et A₂ < Aj.

Nous désignerons cette opération (23) du nom de « substitution complémentaire » ou « vicariance ». Ces expressions signifient que si, en une équation de la forme A₁ + Aj = B, on substitue A₂ à A₁, il faut alors également substituer à A{, classe complémentaire de A₁, la classe A₂, complémentaire de A₂.

1. Cf. en logique des propositions l’opération p₁ ∨ p₂ = p₁p₂ ∨ p_lp~₁ ∨ p⅛₂, c’est-à-dire la disjonction non exclusive (voir § 28 sous III).

Il est clair que la vicariance n’est pas limitée aux classes secondaires de rang A’, mais qu’elle intéresse toutes les classes secondaires de n’importe quel rang. Notons d’abord, en ce qui concerne les A’, qu’une classe A’ peut contenir plusieurs classes de rang A, ce qui signifie que la classe B peut se partager dichotomiquement (fig. 2, p. 89) en :

(24) B = A₁ + Aj = A₂ + Aj = A₃ ⅛ Aj = …, etc.

Par exemple, outre les Français et les étrangers à la France, les Chinois et les étrangers à la Chine, il existe des Turcs et des étrangers à la Turquie, etc.

Si A’ ne contient qu’une seule classe de rang A, on a alors¹ :

(25) Aj = A₂ et A’₂ = Aj

Sinon, on a :

(25 bis) A{ = A₂ + A₃ 4- A₄ + … ; Aj = A₁ + A₃ + A₁ -J- … ;

Aj = A₁ + A₂ -|- A₄ + … ; etc.

Une classe secondaire de rang B’ contient, d’autre part, si elle n’est pas nulle, une ou plusieurs classes de rang B, contenant elle- même des A et des A’ :

(26) B₁ + Bj = B₂ + Bj = …, etc. = C

Une classe secondaire C’ contient à son tour, si elle n’est pas nulle, une ou plusieurs classes de rang C, dont chacune se répartit en B et B’, etc.

Etc., etc.

Les vicariances constituent alors un groupement tel que la réunion de deux vicariances soit encore une vicariance :

1. Opération directe :

(Tl) [(A₁ + Aj = A₂ + Aj) -∣- (B₁ + Bj = B₂ + Bj)]

= [A₁ Aj + Bj = B₂ + Bj]

où B₁ = A₁ + Aj et où Bj englobe B₂, tandis que Bj englobe A₁et Aj.

2. Opération identique générale : 0 + 0 = 0 + 0.

3. Identiques spéciales : réunions d’une vicariance à elle-même.

1. Cf., enjogique des propositions : p₁’wp₂ opposé à p₁vp, ; d’où p_j = p₂ et p₂ = p_iopposés à Pi □ p₂ et p₂□ p₁. Cf. § 30 sous XII.

4. L’opération inverse est la soustraction d’une vicariance. Si cette soustraction porte sur l’équation positive correspondante, elle l’annule :

(B₁ + Bj = B₂ + B₂) — (B₁ + Bj = B₂ + B₂) = 0

Si, par contre, une vicariance moins étendue est soustraite à une vicariance plus étendue, la soustraction se borne à écarter les emboî-

Fig. 7.

tements d’ordre inférieur en laissant subsister les emboîtements supérieurs. On a, en effet, par soustractions membre à membre :

(28) (A₁ + A[ + Bj = B₂ + B₂) — (A₁ + A[ = A₂ + A₂)
= (b ; = b₂ + b₂ - b₁)

(voir fig. 7) d’où, par transfert de B₁ dans l’autre membre :

(B₁ + Bj = B₂ + B’₂)

L’intérêt pratique de ce groupement des vicariances est probablement nul, car tout problème de composition portant sur les emboîtements réciproques de classes complémentaires donne lieu à une intuition immédiate de la réciprocité (qu’il s’agisse de parentés, etc., dans la logique quantitative, ou de voisinages, d’extériorités, etc.,

dans celle des ensembles de points). Mais l’intérêt théorique de ces opérations n’en est pas moins grand, car ce sont elles qui correspondent, dans le domaine des classes, à la logique des relations symétriques.

En effet, comme nous l’avons déjà entrevu au § 11, les compositions de relations symétriques correspondent soit aux tautologies simples A + A = A et A + B = B, soit aux inclusions tautologiques des classes primaires dans les classes secondaires : A + A’ = A’ (par exemple le frère de mon cousin germain est mon cousin germain : <^α y + _< ^g’ , = _<^a’ J. Mais, en ce cas, il s’agit d’une classe primaire A et d’une classe secondaire A’ non complémentaire, par exemple A[ + A₂ = A₂ (parce que A₁ < A₂) ou A₂ + A[ = A[ (parce que A₁ > A₂) : il s’agit donc précisément de compositions correspondant à celles du présent groupement, par opposition à celles du groupement I (A + A’ = B).

L’addition n’est que l’une des deux opérations qu’il est possible d’effectuer sur les classes. Celles-ci admettent également les opérations dites de multiplication, dont nous distinguerons la forme élémentaire ou intersection et les deux groupements possibles, co-univoque et bi-univoque.

DÉFINITION 21. — Nous appellerons « multiplication simple », ou intersection, l’opération qui, étant données deux classes A et B, détermine la plus grande des classes incluses simultanément en A et en B, c’est-à-dire leur « partie commune ».

Si AB est la classe des individus appartenant « à la fois » à A et à B (fig. 8), on aura ainsi, si nous désignons par (x) la multiplication :

(29) A x B = AB

et :

(29 bis) AB < A et AB ≤ B

Au cas où la classe (A) est incluse (c’est-à-dire entièrement comprise) en (B), sans que la réciproque soit vraie, le produit (AB) sera alors équivalent à la classe (A) elle-même, mais le symbole multi-

plicatif (AB) exprimera, à la différence du symbole additif (A), que tous les membres de (A) sont.« en même temps » membres de (B) :

(30) Si (A < B) alors (A × B) = AB = A

D’autre part, si deux classes B₁ et B₂ sont incluses l’une dans l’autre, c’est-à-dire si chacune des deux comprend tous les termes de l’autre, on a :

(31) Si (B₁ > B₂) et (B₂ > B₁) alors (B₁ × B₂) = B₁B₂ = B₁ = B₂

Mais l’identité des éléments contenus en B₁ et en B₂, donc de B_jet B₂, n’entraîne pas celle des sous-classes elles-mêmes : il peut n’y avoir entre elles qu’« équiva

lence multiplicative » (voir § 21) parce que B₁ et B₂ peuvent répartir les mêmes éléments selon deux sortes d’emboîtements distincts. C’est ce qui se produit dans le cas des tables à double (ou à triple, etc.) entrée, dont nous ferons le principe du groupement des « multiplications bi-uni- voques » (groupement IV).

Fig. 8.

De façon générale, pour grouper les opérations multiplicatives, il s’agit précisément de ne composer entre elles que des classes se recouvrant entièrement selon le principe de la proposition (31). Il est à cet égard un premier mode de groupement, plus simple que celui des tables à doubles entrées, et qui consiste sans plus à multiplier la suite des classes primaires du groupement I, soit A, B, C,…, par toutes les formes de classes élémentaires qui y sont respectivement emboîtées. Nous appellerons « multiplication co-univoque » cette opération, parce qu’elle repose sur un mode de correspondance « un à plusieurs » que l’on peut désigner sous le terme de correspondance co-univoque :

DÉFINITION 22. — Soit A,; B,; C₁ ; etc., une suite de classes primaires dont chacune est incluse dans la suivante et soit A₂; A₂ ; B₂; etc., la suite des classes élémentaires susceptibles d’être incluses en chacune respectivement des classes de la suite A, ; B₁ ; C₁ ; etc. : nous appellerons « multiplication co-univoque » l’opération qui détermine la partie commune entre l’une quelconque des classes de la première suite K₁ et toutes celles des classes de la seconde suite comprises entre A₂ et la classe de rang K₂ (correspondant au rang de K₁).

Par exemple A₁ seront « les fils d’un môme père », B, « les petits- fils d’un même grand-père », C₁ « les arrière-petits-fils d’un même arrière-grand-père », etc. En ce cas les A₂ seront des « frères », les A₂ des « cousins germains », les B₂ des « cousins issus de germains », etc. On aura alors le tableau¹ :

(32) A₁ × A₂ = A₁A₂

B₁ × B₂ = B₁A₂ + B₁A₂ = (B₁B₂)

C₁ × C₂ = C₁A_a + C₁A₂ + C₁B_a = (C₁C₂)

D₁ × D₂ = D₁A₂ + D₁A₂ + D₁B₂ + D₁C₂ = (D₁D₂) Etc…

L’opération ainsi caractérisée signifie donc qu’à une classe emboîtante quelconque, par exemple B₁, correspondent à titre de parties communes, les classes emboîtées comprises entre A₂ et B₂, soit A₂et A₂ (c’est-à-dire des classes de frères et des classes de cousins germains, ces classes étant naturellement « vicariantes » les unes par rapport aux autres).

Ce sont ces compositions qui déterminent de façon complète une classification. Par exemple si A_j ; B₁ ; C₁ ; etc., représentent les espèces, les genres, les familles, etc., au sens du § 9, et A₂; A₂; B₂ ; etc., les divers espèces, genres, familles, etc., pouvant être comprises dans les classes A₁ ; B₁ ; C₁ ;…, la multiplication co-univoque (32) signifie qu’une espèce A ne contient rien d’autre qu’elle- même, qu’un genre B peut contenir une espèce (A), d’autres espèces (A’) et lui-même, qu’une famille C peut contenir des espèces et des genres (C₁A₂ + C₁A₂’ = C₁B₂), mais ne contient aucun terme de rang supérieur à elle-même, etc.

Les opérations du groupement sont alors les suivantes :

1. Opération directe :

K_i × K₂ = A₁A_a + B₁(A₂ + A₂) + C₁(A₂ + A₂ + B₂) 4- …

(Voir proposition 32.)

2. L’opération inverse d’une multiplication logique est ce qu’on peut appeler une division logique (:). La signification de cette opération est celle de l’abstraction, au sens ordinaire du terme (par opposition au sens spécial que Russell a conféré à ce qu’il appelle le

1. Il faut bien comprendre que, conformément à la proposition 31, les individus compris dans les classes A, et A₂, ou B, et B₂, ou C₁ et C₂, etc., de ce tableau sont, pour chacun de ces couples respectifs, les mêmes individus.

z

principe d’abstraction) : « abstraction faite de K₂ le produit K₁K₂revient à K₁ » :

(33) A₁A₂ i A₂ — Aj et A₃A₂ : Aj — A₂

Il importe de bien saisir la différence entre l’addition logique (+) qui a pour inverse la soustraction (— ) et la multiplication logique (X) dont l’inverse (:) présente une signification très différente de celle de la soustraction ou négation. Réunir deux classes A + A’, c’est, en effet, déterminer une classe d’extension supérieure à chacune d’elles (B) et qui contienne les individus de A’ en plus de ceux de A : les vertébrés (A) et les invertébrés (A’) sont tous les animaux (B). L’opération inverse B — A’ = A consistera donc à enlever à l’extension de B celle de A’ pour retrouver celle de A (les animaux moins les invertébrés sont les vertébrés). Au contraire, une opération telle que la multiplication logique A X B = AB (ou B₁ × B_a = B₁A₂ + BjAj = B₁B₂) n’augmente pas l’extension des classes multipliées entre elles, mais aboutit à un produit dont l’extension est égale à la leur si elles sont de même extension (Bj et B₂) ou égale à celle de la plus petite des classes multipliées si celle-ci est incluse dans l’autre : par exemple AB = A si A < B. Ce qu’augmente la multiplication logique, c’est simplement le nombre des emboîtements : cette opération signifie que les individus de A appartiennent à la fois à A et à B, soit AB (de même que l’opération Bj x B₂ exprime que les B₁ seront à la fois B₁ et A₂ ou B₁ et Aj, donc B₁A₂ + BjAj). L’opération inverse ne consiste donc pas à enlever des individus au produit AB, mais simplement à enlever un emboîtement : donc AB : B = A. Or, comme on ne supprime pas l’existence d’un emboîtement, lequel est donné par ailleurs en vertu de la construction additive des classes A + A’ = B (groupement I), enlever un emboîtement consiste à en faire abstraction. C’est ainsi que la classe A (les vertébrés) appartient à la classe B (les animaux), à la classe C (les êtres vivants), etc. Mais, en posant la classe A sous la forme A, au lieu de la poser sous la forme AB, ou ABC, etc., on se donne le droit de faire abstraction de ses emboîtements AB, ou ABC, etc., pour ne considérer cette classe A qu’en elle-même. Telle est la signification de l’opération inverse de la multiplication (x) : la division logique (:) est donc bien une abstraction et n’a rien d’une soustraction.

3. Les identiques spéciales propres aux groupements multiplicatifs seront, elles aussi, différentes de celles de l’addition. On retrouve

la tautologie A × A = A ; B × B = B ; etc. Mais, par le fait même que la multiplication augmente seulement le nombre des emboîtements et non pas l’extension des classes multipliées, la multiplication d’une classe de plus petite extension avec une classe de plus grande extension, donc la multiplication de la partie par le tout, donne un produit qui n’équivaut pas, en extension, au tout lui- même, mais à la partie seule. Tandis que l’addition admet la résorption de la partie dans le tout (A + B = B), la multiplication n’admet donc que Y absorption du tout dans la partie : si A < B, alors A × B — AB, où AB < B car AB équivaut à A lui-même :

(34) B₁A₂ × B₁B₂ = B₁A₂ ; etc.

4. L’opération identique générale n’est pas 0 comme dans les groupements additifs. La classe nulle (0) est au contraire le produit de la multiplication des classes sans éléments communs : A₁ × Aj = 0. Plus précisément, la classe nulle (0) est, conformément à la définition générale de la multiplication logique (définition 21), la plus grande des classes simultanément incluses en deux classes qui n’ont pas d’individus communs. — 

L’identique générale est constituée par ce qui reste lorsqu’on fait abstraction de tous les emboîtements, puisqu’elle est par définition le produit de l’opération directe par son inverse et que l’inverse n’est autre que l’abstraction. Donc si B₁ × B₂ = B₁B₂, l’identique générale sera B₁B₂ : B₁B₂ ; de même si A × B = AB, l’identique générale sera AB : AB. Or, si l’on divise AB par B (soit AB : B = A), on trouve une classe A d’extension égale à AB, mais si l’on fait abstraction de A (soit AB : A = B) on obtient la classe B, indépendamment de A, soit une classe B d’extension supérieure à AB (puisque AB < B). Si l’on continue ainsi, en divisant B par elle- même, B : B (ou AB par elle-même, AB : AB, etc.), on obtient donc non pas la classe nulle (puisqu’on ne soustrait pas des individus, mais qu’on supprime seulement des emboîtements) : on obtient la classe totale Z, classe la plus générale du système considéré (et lui servant de référentiel), puisque l’on fait abstraction de tout emboîtement particulier. Autrement dit, une classe quelconque (telle que B = les animaux), abstraction faite d’elle-même (B : B), signifie que les individus dont elle est composée ne sont pas différenciés des individus de n’importe quelle autre classe, et sont simplement envisagés comme appartenant à la classe la plus générale

du système en présence : les Animaux, abstraction faite de la classe des Animaux, sont des êtres quelconques. D’où :

(35) A : A = Z ; B :B = Z ; AB : AB = Z ; etc.

On arrive alors à la contradiction apparente que voici : d’une part, la classe Z est celle dont on fait abstraction en posant une classe différenciée quelconque, A ou B, etc. :

(36) AZ : Z = A ; BZ : Z = B

d’autre part, c’est la classe qui réapparaît lorsque l’on divise une classe par elle-même (proposition 35). Mais c’est que, en réalité, toute classe appartenant à un système dont la classe la plus générale est Z, est toujours un produit de Z et d’elle-même :

(37) A × Z = AZ = A ; B x Z = BZ = B ; etc.

Il en résulte qu’en divisant A par elle-même, on effectue en réalité l’opération suivante :

(38) AZ : A = Z ; BZ : B = Z ; etc.

En effet, on ne peut pas faire abstraction de « tout » à la fois, et une classe quelconque étant toujours une partie du « tout » Z en même temps qu’elle est elle-même, l’opération consistant à faire abstraction d’elle-même (A : A) la ramène au tout Z comme s’il s’agissait de l’opération (38). La classe Z joue donc le même rôle que l’unité 1 dans la multiplication des nombres :

4x1 = 1 ; 4 :1=4 ; etc.

5. L’associativité propre aux systèmes multiplicatifs est semblable à celle des groupements additifs : générale dans les suites d’opérations toutes directes (x) ou inverses (:), elle est tenue en échec, dans les suites mixtes, parle mélange des identiques spéciales et des autres opérations.

La multiplication co-univoque consiste à mettre en correspondance un tout à ses parties selon le principe un « à plusieurs ». Mais il est aussi possible de multiplier deux suites de classes selon le principe de la correspondance bi-univoque, comme c’est le cas dans les tables à double (ou à triple, etc.) entrée.

Supposons deux classes distinctes B₁ et C₂, mais telles que tous les individus de B₁ fassent partie de C₂ et réciproquement. Par exemple B₁ seront les Animaux répartis en A₁ : les Vertébrés et en A[ : les Invertébrés. Quant à C₂ ce seront à nouveau les Animaux,

Fia. 9.

La classe B_j est constituée par la réunion des deux colonnes verticales A₁ et Ai ; la classe C₂ est formée des trois rangées horizontales superposées A₂, A£ et B 2.

mais distribués selon une partition différente (selon leur habitat ; A₂ : terrestres ; A₂ : aquatiques et B₂ : aptes à voler, en désignant ces trois classes selon des définitions adéquates). Nous pouvons alors introduire l’opération suivante :

DÉFINITION 23. — Étant données deux suites de classes élémentaires A₁ ; A,’ ; B] ; … et A₂; A₂ ; B₂; …, nous appellerons multiplication bi-univoque l’opération consistant à déterminer la partie commune entre chaque classe de la première suite et chaque classe de la seconde.

On aura donc (voir la figure 9), si aucune de ces associations n’est nulle :

(39) B₁ × C₂ = A₁A₂ + A₁A₂ + A₁B_a + A[A₂ + A[A₂ + A’B₂

La classe A₁A₂ constitue ainsi la partie commune entre la classe A₁et la classe A₂ (dans notre exemple, la classe A₁A₂ sera celle des Vertébrés terrestres) ; la classe A₁A₂ représente, de même, le produit de l’intersection entre les classes A₁ (vertébrés) et A₂ (animaux aquatiques), etc. Une telle opération généralise donc celle de l’intersection (définition 21) en établissant toutes les intersections possibles entre deux suites de classes. Quant à la table à double entrée ainsi construite, il y aura correspondance bi-univoque entre les diverses sous-classes de A₁ (première colonne) et les diverses sous-classes de A₂ (deuxième colonne) ou encore entre les diverses sous-classes de A₂ ; A₂ et B₂ (rangées horizontales).

Si les groupements I à III constituent le fondement des classifications simples, ce groupement IV exprime donc les classifications multiples ou comparatives : par exemple les tables à double entrée purement qualitatives qui interviennent en anatomie comparée.

Les compositions du groupement sont les suivantes :

1. Opérations directes :

A₁ × A₂ = A₁A₂

B₁ χ B₂ = (B₁B₂) = A₁A₂ + A₁A₂ + A(A₂ + AjA₂ ; etc. B₁B₂ × B₃ = (B₁B₂B₃) = A₁A₂A₃ + A₁A₂Aj 4- AjA₂A₃ + A{A₂A₃’ + A₁A₂A₃ + A₁A₂A₃ + A{A₂A₃ + A{A₂A₃ ; etc. (voir proposition 39).

2. Opérations inverses : B₁B₂ : B₂ = B₁ ; B₁ : B₁ = Z (cf. propositions 33 et 35).

3. Identique générale : 7^, parce que B₁ × Z = B₁ ; B₁ : Z = B₁et B₁ : B₁ = Z (cf. propositions 35 à 38).

4. Identiques spéciales : Tautologie (B x B = B) et absorption (A × B = A). Donc chaque classe joue le rôle d’identique par rapport à elle-même et aux classes de rang inférieur qui sont emboîtées en elle (cf. proposition 34).

5. Associativité : comme dans le groupement III.

Les règles de calcul sont les mêmes que dans les groupements additifs (cf. les règles I à IV du § 11), avec substitution de l’absorption à la résorption. Cela est d’ailleurs naturel, puisque ce groupement des multiplications bi-univoque peut être conçu comme un double ou multiple groupement additif.

Trois remarques préciseront l’importance de ce groupement IV :

1° Il est le plus général des groupements de classes, en ce sens que chacun des trois groupements précédents peut être dérivé de

celui-ci, sans que la réciproque soit vraie. C’est ainsi que le groupement additif simple (I) constitue l’une des suites d’emboîtements A, B, C… intervenant dans la multiplication bi-univoque. Le groupement des vicariances (II) intervient dans l’équivalence de départ A₁ + Aj = A₂ + A₂ qui permet la multiplication complète B₁B₂. Le groupement des multiplications co-univoques constitue, enfin, une simple limitation du présent groupement.

2° L’ensemble multiplicatif A₁A₂ + A₁Aj + AjA₂ + AjAj correspond à ce qu’on appelle l’affirmation tautologique en logique des propositions (p∙q ∨ p-q ∨ p-q ∨ p-q) : il est donc au point de départ des 16 compositions binaires propres aux opérations bi-pro- positionnelles ; l’ensemble multiplicatif B₁ × B₂ × B₃ (voir son développement sous « opérations directes ») correspond à l’affirmation tautologique ternaire et se trouve ainsi au point de départ des 256 combinaisons ternaires propres aux opérations triproposition- nelles, etc. C’est ce que nous verrons au § 28.

3° Enfin ce groupement IV rejoint la partie la plus générale’ de la théorie des ensembles. En effet, les structures B₁B₂ ; B₁B₂B₃ ; etc.¹ constituent, par leurs combinaisons 2²∖ les 16 ; 256 ; etc. sous- ensembles qui forment les « ensembles de parties » d’un système de deux, trois, etc., ensembles (ce qui va de pair avec le rapport indiqué à l’instant entre cette structure et celle de la logique des propositions). D’autre part, des structures telles que B₁B₂, etc. constituent des réseaux proprement dits : la borne supérieure de A₁et de A₂ est (A₁ + A₂) et la borne inférieure est (A₁A₂). Chaque couple de parties de l’ensemble est donc borné inférieurement et supérieurement.

Bref, ce groupement IV marque à la fois l’achèvement de la logique des classes et le point de départ de celle des propositions et de celle des ensembles,— cette dernière consistant en une logique des classes vidée de son contenu qualitatif et admettant par le fait même une série d’opérations nouvelles.

1. En théorie des ensemblesja structure B₁B, s’écrira EF, Eï\ EF et EF les classesA, et AJ correspondant à E et à E, et les classes A, et Aâ à F et à F.