Chapitre IV.
Une forme élémentaire de transmission du mouvement par traction ou entraînement ^a 🔗

Les résultats obtenus peuvent être sériés comme suit. A un niveau IA (4-5 ans), il n’y a pas de transmissions sinon partielles, et si la boule A agit sur B c’est à distance. Au niveau IB il y a transmission par l’intermédiaire du fil, mais, si on propose de le couper en tel ou tel point, le sujet n’en prévoit que fort mal les conséquences pour les boules A et B ; en outre les parcours des boules A et B ne sont jugés égaux, ni en longueurs, ni en vitesses. Ces inégalités sont encore niées, même pour des tours complets des trajets, chez certains sujets du niveau IIA, tandis que d’autres parviennent, mais très laborieusement, à l’égalité des trajets des deux boules et sans en dégager la nécessité. C’est au niveau IIB seulement que cette nécessité est comprise, mais les sujets se trompent encore fréquemment quant aux effets des sections du fil, sans distinguer alors suffisamment les deux actions de tirer ce fil ou de le repousser dans la direction du point de section. Au stade III enfin, toutes les questions sont résolues.

Du fait que l’égalité des chemins parcourus n’est atteinte de façon stable qu’au niveau IIB, c’est-à-dire à l’âge moyen où se constitue la conservation des longueurs, nous avons cru utile de terminer cette recherche par un contrôle (§ 7) où sont repris les mêmes problèmes mais sur des trajets linéaires (et non pas cycliques comme avec le dispositif du carré) et où les sujets sont finalement interrogés au moyen de notre ancienne épreuve portant sur la conservation de la longueur de deux tiges égales et mises d’abord en congruence puis décalées l’une par rapport à l’autre. Les résultats sont les mêmes qu’avec la technique du carré quant à l’égalité des trajets des perles, mais la question des deux tiges égales est un peu plus facilement résolue.

Voici des exemples :

Fri (4 ;4) : « Que va-t-il se passer si on avance celle-là (A de près de II vers I) ? — Ça tourne… ça va tirer la ficelle. — Si on tire A, l’autre (B), elle reste là ou elle bouge ? — Elle va pas bouger. — Si on tirait ? — Ça repart tout seul (petit mouvement et retour). — (Constatation : l’enfant déplace A). — Elle part avec la main. — Et la ficelle ? — Elle a bougé jusque-là (angle I).

— Tous les côtés ont bougé ? — Oui, même celle-là (B). — Pourquoi ? — Parce que la ficelle est partie. — (Retour de B). — Que va-t-il se passer ? — La ficelle va partir comme ça (sens I-II donc juste). — Et là (A) ? — Elle va bouger jusque-là (II). — Une des deux va plus vite ou pas ? — La (A) va plus vite. — Pourquoi ? — Parce qu’elle est grande, elle est forte. Si on la fait rouler ça va aussi plus vite que (B). » On met A entre II et III et Fri est content de la voir « à sa place. — Si on tire A ici (vers II) où va B ? — Là (IV) parce que l’autre va là (II). Non, si (A) va là (II), (B) ira là (I). — Et si A va là (III) ? — Alors la rouge (B) va là (IV). — (Constatation). — Pourquoi ? — (Très étonné). Parce que (A) est forte, pas l’autre. — Comment va la ficelle ? — Elle tourne comme ça (juste) ».

Kof (4 ;6) : « Si on tire la perle jaune (A entre II et I) jusque-là (I), qu’est-ce qui va se passer ? — La bleue (B) va là (III). — Et la ficelle elle bouge ? — Oui. — Montre le chemin qu’elle fait ? — Là (de B à A par III-II). — Et là (A à B par I-IV) ? — Non. — Si la perle (A posée entre I et IV) vient ici (I, B étant entre III et II), qu’est-ce qu’il va se passer ? — La bleue (B) vient ici (II) pas là (III). — Là ou là ? — Là (III). — Pourquoi ? — La jaune va là, la bleue va là (juste). — Comment le sais-tu ? — Sais pas. — Montre-moi comment bouge la ficelle. — (Il montre le trajet inverse : I-II-III). — Et là (III-IV-I) ? — Non. — (On met A en III et B en I). — La jaune (A) vient ici (IV) : et la bleue (B) ? — Là (II). — La ficelle bouge à un endroit ? — Elle bouge toute, la ficelle. — Partout ? — Oui. — Pourquoi la jaune (A) bouge quand on tire la bleue (B) ? — Parce qu’elle veut aller là. — Comment elle fait pour avancer, la jaune ? — Parce qu’on la touche. — Et quand on ne la touche pas pourquoi elle avance ? — … — Comment je la fais bouger la jaune ? — … — Si on bouge la bleue, la jaune bouge ? — Oui. — Essaie. — (Il le fait). — Explique. — Il faut tirer la bleue et puis la jaune bouge. — Pourquoi est-ce que la jaune avance quand on tire la bleue ? — Sais pas. — Et la ficelle, elle bouge ? — Oui. — Elle sert à quelque chose ? — Non. — Si on enlevait la ficelle la jaune bougerait ? — Si on enlève le fil, elle roulerait sous la table. — Mais que fait la ficelle ? — Elle reste comme ça. — (On met A près de I et B sous III). — La jaune vient ici (A en II) où va la bleue ? — Là (juste : IV). — Si on coupe la ficelle ici (entre I et IV) est-ce que la bleue va avancer ? — Elle va avancer jusque-là (en IV comme si la ficelle en I-II et II-III poussait B), puis elle tombe si tu coupes (= si tu as coupé). — Si on coupe la ficelle ici (entre II et III) est-ce que la bleue (B) va bouger ? — Non, je ne sais pas, (oui) elle va jusque-là (IV) et elle ne tombe pas. — La jaune vient ici (un trajet des trois quarts à partir de II jusqu’à un quart vers III), et la bleue ? — Ici (montre de IV à I la même longueur). — Une fait un plus long chemin ? — La jaune va aller plus vite (traduction spontanée de la longueur en termes de vitesse). — Mais une fait un plus long chemin ? — La bleue (B) va lentement et la jaune (A) très vite. — Et le chemin ? — La jaune fait un plus long chemin. — Pourquoi la jaune ? — C’est la plus grosse. — (Constatation). — Une a fait un plus long chemin ? — La jaune. — Pourquoi ? — Sais pas. — Comment tu as deviné ? — … — Laquelle va plus vite ? — La jaune. C’est la même chose (que de lui prêter un plus long chemin). — (On déplace A jusqu’à la moitié de I-II et B à la moitié de III-IV). — Laquelle a fait le plus long chemin ?

— La jaune et la bleue. —   La même chose ? — Oui. — Et une a été plus vite ? — La jaune. — Montre-moi les chemins ? — Elles sont la même chose au milieu. — Une a fait un plus long chemin ? — La jaune. — (On met A en I et B en III). — La jaune va prendre la place de la bleue. Où ira la bleue ? — Là (place de A). — Montre-moi le chemin de (A) ? — (Il montre le trajet I-II-III). — Et de la bleue (B) ? — (Il montre III-IV-I). — Elles ont fait la même chose long chemin. La jaune a été plus vite et la bleue plus lentement. — La bleue veut faire tout le tour ; elle sera où ? — (Il montre IV au lieu de I, en partant de I par II et III). — Là. — Et la jaune sera où ? — Elle reste où elle est. — Elle ne bougera pas ? — Non, elle va faire le tour (montre II). — (Constatation : chacune fait tout le tour). — Montre-moi le chemin de la bleue. — (Il montre tout le tour). — Et de la jaune ? — Elle a fait seulement trois chemins (= trois côtés)… La bleue a été tout vite (en tant qu’active en cette situation) et la jaune a été tout lentement. » Puis il répète que la bleue a fait un plus long chemin. On annonce un déplacement de B entre le dernier quart de I-IV : « Où ira la jaune (placée au terme du premier quart de I-IV) ? — Là (il montre la marche symétrique et inverse, vers I tandis que B s’engage vers IV). » Puis il fait faire un tour complet aux deux en tenant B et conclut : « La (B) va plus vite que la (A). — Pourquoi ? — Parce qu’elle veut aller plus vite que la jaune, c’est pour ça qu’elle fait un plus long chemin. — Si elles étaient l’une à côté de l’autre en se donnant la main laquelle irait le plus vite ? — Celle-là (B = active). » On passe aux modèles croisés avec trois boules et trois boules (la troisième C entre A et B mais à bonne distance des deux autres) : il prévoit constamment faux comme s’il s’agissait de la rotation sans croisement. Après constatations, les prévisions sont les mêmes et après nouvelles constatations Kof demande lui-même « pourquoi ça a tout changé ? » et ne trouve aucune réponse. Il ne comprend pas non plus pourquoi la perle C demeure seule au lieu de rejoindre l’une des autres.

Bad (5 ;11) constate que « la ficelle retient les boules. — Si on veut avancer (A) ici (vers I), il faut tirer ou pousser ? — Tirer cette boule (A). — Et que va faire (B) ? — … — Elle va bouger ? — Non, elle ne va pas bouger. — Et la ficelle ? — Non. — (Constatation). — La ficelle bouge et la boule (B) aussi elle bouge. — Pourquoi ? — Parce qu’on a avancé (A) : c’est bien attaché. — Et encore ? — Ça a bougé partout. — Montre le chemin de (A) et de (B). — (Juste). — Si on tire (A) à (II) ? — Celle-là (B) vient là (IV). — Pourquoi ? — Parce qu’on tire de ce côté. — Pourquoi pas dans l’autre sens ? — Ça va pas, il faudrait mettre deux jeux : un sens pour une un autre pour l’autre. — Une fait un plus long chemin ? — Là (B). — Pourquoi ? — Parce qu’elle va plus vite. — Pourquoi plus vite ? — Parce qu’elle est plus petite. — Laquelle est la plus forte ? — (A). — (On met A près de IV). — Si (A) vient là (I) ? — Celle-là (B) ira là (II donc par symétrie et non plus selon le sens du parcours). Le nœud (on a fait un nœud à la ficelle) va partir aussi là. — Laquelle fera le plus long chemin ? — La (B) ». On introduit un angle dans le trajet II-III, dont le sommet V est alors au centre de la planche, où l’on place B, tandis que A est entre I et IV avec direction vers IV : Bad prévoit correctement que B va s’orienter de V à II mais B « va faire le plus long chemin. — Pourquoi ? — Parce qu’elle est plus petite, elle va plus vite. —   Et

le nœud ? — Il va venir là (juste : vers V). — Pourquoi (B) bouge-t-elle si on tire (A) ? — Parce qu’elle est attachée et (A) aussi. — A quoi sert la ficelle ? — Ça sert à avancer la rouge (B). — C’est (A) ou la ficelle qui tire (B) ? — C’est la ficelle. — Que faudrait-il faire pour qu’elles fassent le même chemin ? — Il faudrait mettre aussi (B) là, à côté de (A). — Et si on la mettait juste un peu plus loin ? — Elle ferait un plus grand chemin. — Pourquoi ? — Autrement elle va plus loin que (A) ».

Mir (5 ;9) fait la transition entre les niveaux IA et IB : « Si on tire (A) ? — Il y a tout qui va bouger. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a une ficelle, elle bouge. — Et la boule (B) ? — Non, elle reste là. — Et ce nœud (à la ficelle). — Il reste tranquille. — Et si on pousse la rouge (B), la bleue (A) va bouger ? — Non plus. — Et si elle bougeait elle irait où ? — (Juste). — (Constatation). — (A) a été ici, (B) ici et le nœud aussi a bougé. — Comment (B) a pu bouger ? — Il y a une ficelle, on tire et ça fait bouger (B). » Les prévisions ultérieures sont justes. « Pourquoi dans le même sens ? — Parce que la ficelle va seulement d’un côté : il y a un carré. » Pour la longueur des chemins il y a équivoque, Mir ne comparant que la longueur des côtés, mais lorsque B part près de III dans la direction IV et que A est près de I dans la direction I, elle pense que A sera arrêtée par le clou en I, tandis que B et le nœud continueront jusqu’en IV, d’où un plus long chemin comme si tout ne serait pas bloqué. Pour le modèle croisé elle hésite et se décide pour le faux sens. Lorsque l’expérimentateur saisit une boule en même temps que l’enfant prend l’autre, Mir prévoit bien dans quel sens il faut pousser la première pour aider le partenaire mais se trompe de sens quand il s’agit de freiner.

Pla (5 ;0) : « Que va faire B si on tire A ? — (A) va revenir à sa place, B ne bougera pas parce qu’on ne l’a pas tirée. — Et la ficelle ? — Non, elle ne bougera pas. — (Il essaie mais sans voir B). — Penses-tu que B a bougé ? — Non. — Essaie. — (Il tire B). — Celle-là (A) bouge. — Et si on tire A ? — (B) bouge. — Pourquoi ? — Je ne sais pas. — Qu’est-ce qui fait bouger B ? — Moi. — Comment ? — Je tire (A). — Et A tire quoi ? — Le fil. — Et le fil tire quoi ? — La boule (B). » On met A entre I et IV, B entre II et III et Pla prévoit correctement les déplacements mais : « Pourquoi ne vont-elles pas dans le même sens ? — Parce que (B) ne peut pas passer par là parce qu’il y a (A qui occupe la place). » En d’autres positions, prévisions justes. « Une fait un plus long chemin ou pas ? — Celle-là (B, active à ce moment). — Pourquoi ? — Parce qu’elle a été par là. — Et maintenant (A entre III et IV, tirée vers IV) ? — C’est (A) qui fait le plus long chemin. — Et une va plus vite ? — Celle-là (montre tantôt l’une tantôt l’autre). — Que veut dire aller plus vite ? — Gagner. — Qui gagne alors ? — La grosse, parce qu’elle va plus vite, elle fait un plus grand chemin. » Mais pour un tour complet, « c’est les deux qui ont fait le plus long chemin. — Et si on tire un petit bout ? — C’est celle-là (active) qui fait le plus long chemin », mais il montre en d’autres cas la passive. « Et qui arrive la première ? — Celle-là (qui tire). » Modèle croisé : Pla montre juste la direction de B mais faux le chemin parcouru par le fil. « Pourquoi est-ce le même chemin (on montre le sens) ? — Parce que celle-là (passive) est venue toute seule. — Qui va le plus vite ? — Les deux. »

Le caractère remarquable de ces réactions initiales est une prévision relativement bonne de la direction du déplacement des boules et parfois même de la ficelle autour du carré (ce qui constitue la compréhension d’une sorte de rotation), et l’incompréhension de la transmission comme telle, en tant que due à l’entraînement ou à la traction de la ficelle par la boule active qu’on pousse à la main avec action sur la boule passive ainsi tirée.

Chez Fri la direction est bien prévue quand A va de II à I et B de IV à III, mais il croit encore à de mêmes sens de parcours quand A va vers II à partir du milieu entre II et III : d’où B vers I (alors qu’il a failli prévoir juste). Par contre, tout en comprenant d’emblée qu’un mouvement de la boule A déplace un peu la ficelle puisqu’elles sont liées, il ne prévoit avant les constatations aucun mouvement de l’autre boule et il admet un retour spontané de B. Chez Kof, que l’on a pu interroger plus à fond (ce qui est difficile à 4 ans), la direction de B lors des déplacements de A est d’emblée bien prévue, mais il conçoit la ficelle comme ne se déplaçant que sur une moitié du trajet total (et la moins importante), puis, lors d’une nouvelle prévision, dans le sens inverse de sa direction réelle (et encore à nouveau sur une moitié seulement). Après quoi il dit bien que la ficelle bouge partout, mais ne comprend nullement son effet de traction sur la boule passive : il ne « sait pas » pourquoi celle-ci avance quand on tire l’autre et se borne à y voir une action à distance (« il faut tirer la bleue et puis la jaune bouge ») ou un mouvement intentionnel (« elle veut aller là »), alors que la ficelle « reste là ». Le contrôle consistant à couper la ficelle sur tel ou tel point donne un résultat négatif : il n’en comprend pas les conséquences. Le sujet Bad, tout en constatant que la ficelle « retient les boules » et leur est donc attachée, ne prévoit pas d’action sur la boule passive quand on tire l’active, mais après constatation, n’a pas d’hésitation sur les directions. De même Mir annonce que « tout va bouger » y compris la ficelle mais croit immobile la boule passive ainsi que le nœud de la ficelle elle-même (nœud proche de B) quoique, dans l’hypothèse où ils bougent, il en comprenne bien les directions. Pla ne croit d’abord pas au mouvement de B même en tirant la ficelle.

Il va de soi qu’en ces conditions les chemins respectifs parcourus par les boules ni leurs vitesses ne sauraient être tenus

pour égaux : c’est de façon générale la boule active qui est favorisée, surtout quand il s’agit d’une A qui est plus grosse. Même dans le cas où les boules sont placées au milieu des côtés latéraux et où l’égalité perceptive est donc évidente, Kof, qui dit pourtant qu’« elles sont la même chose au milieu » prête à A un chemin plus long, puis quand l’une prend la place de l’autre, il est bien forcé d’accepter l’égalité des longueurs mais n’en conclut pas à celle des vitesses ; après quoi, pour tout le tour, il retombe dans les deux inégalités, avec cette idée intéressante que le même espace (puisqu’il s’agit du tour complet), mais parcouru plus vite, fait « un plus long chemin ».

Ce défaut initial de transmission propre au niveau IA est à comparer à ce que montre une autre expérience, où le sujet ne comprend pas le rôle du fil sur jantes actionnant une roue à partir du mouvement d’une autre. S’il s’agit en ces deux cas d’une transmission médiate, c’est pourtant par l’intermédiaire d’un intermédiaire mobile, comme dans les conduites instrumentales. Seulement, du fait que l’une des boules (ou des roues) entraîne l’autre par le moyen d’une ficelle que le sujet ne manipule pas directement, tandis que les mouvements des boules elles-mêmes paraissent solidaires en tant qu’obéissant à un même sens simple de parcours, tout l’accent est mis sur celles-ci comme si elles se suivaient de façon autonome sans besoin de médiations. Il va de soi qu’en ce cas le sujet est perdu dès que l’on complique le sens de parcours, comme dans les modèles croisés. Mais pour les trajets simples ce défaut de transmission médiate est comparable aux actions à distance, etc., propres au niveau IA des transmissions par choc étudiées au chapitre II.

D’abord quelques exemples :

Oli (5 ;3), A entre I et II, direction I : « Si on tire A ? — Elle pourrait peut-être tourner (autour du clou I) et aller plus loin. (B) ne peut pas avancer, elle. — Et la ficelle ? — Elle bouge un peu, pas beaucoup, comme ça (latéralement). — Va-t-elle avancer avec (A) ? — Je pense (essai, B étant cachée). — Et (B) va aller où ? — A la place de A (montre le trajet juste III-II). — Pourquoi ? — Parce qu’il y a des clous, la ficelle tient (= ne tombe pas du plateau), elle glisse. — Pourquoi dans ce sens quand (A) va comme ça ? — Parce que la ficelle elle va comme ça (direction juste). — (A entre I et IV

et B entre II et III tiré vers III). — Où va aller A ? — Ici (juste). — Pourquoi ? — Parce que le fil fait comme ça. — Et ce nœud ? — Il ira là (faux : direction inverse à celle indiquée pour le fil). — Si on tire A ici (vers III) et que B vient là (vers I, tous deux à partir de la moitié du côté) font-elles le même chemin ? — Non pas le même. — Lequel fait le plus long ? — (B) parce que le fil est plus long en bas. — (Nouvel essai). — C’est toujours (B). — Pourquoi ? — Parce que c’est elle qui a le plus long fil. — Montre-moi le fil de B. — Là (I-IV). — Et de A ? — Ici (II-III). Le fil de (B) c’est ça (II-I-IV) et de (A) c’est ça (II-III). — Et une va le plus vite ? — C’est (B) : elle a un plus long fil, elle va plus vite. — (On fait faire un tour complet à A par l’enfant). — Si A fait un tour complet et B aussi, qui fait le plus long chemin ? — C’est B. — Quel chemin fait A ? — Tout le chemin. — Et B ? — Tout le tour. — Qui fait le plus long ? — B. — Et qui a fini le tour en premier ? — C’est B. — (Modèle croisé). — Que va-t-il se passer si on tire A ici (vers III à partir du milieu entre II et III) ? — Elle tourne et je sais pas ce qu’elle fera ici au milieu : un accident peut-être (B). — Mais où ira B ? — Ici, non là (puis hésite). — Que décides-tu ? — (A) fait comme ça (II-I) et (B) ainsi (IV-II). — (Constatation). — Ah ! elles vont dans le même sens ! — Pourquoi ? — Parce que le fil fait comme ça (trajet juste). » Mais ensuite échec à toutes les positions.

Rac (5 ;6) : « Si je tire A ? — Elle va avancer. — Quelque chose d’autre va avancer ? — Oui, la ficelle. — Pourquoi ? — Parce qu’on tire. — Et B ? — Elle avance aussi comme ça (direction juste). — Pourquoi ? — Parce qu’elle ne va pas en arrière. — Montre le chemin de la ficelle sans la toucher. — (Juste). » Constatation, mais lorsqu’on met B près de II avec direction vers I et A vers IV (sur le parcours III-IV) Rac prévoit encore que A se dirigera vers IV et non pas vers III : « Pourquoi ? — C’est un petit bout. — Ce sera le même chemin ? — Non, le chemin de (A) sera un peu plus long. — Une ira plus vite ? — La même vitesse. — Pourquoi ? — Si on avance (B), (A) avancera la même chose. — On pourrait la faire aller plus vite que l’autre ? — … — (Constatation). — Elle a été de l’autre côté parce que (B) allait de ce côté et (A) doit aussi aller là (même sens de parcours). — Qui s’est trompé, toi ou la perle ? — La perle. — Laquelle a fait le plus long chemin ? — C’est la même longueur. — Pourquoi ? — C’est la même longueur de ficelle entre les clous (et non pas entre les boules…). — Une a été plus vite ? — La jaune (A). — Pourquoi ? — Parce que. » Modèle croisé, A vers III (sur III-IV) avec direction III-I : « Comment bougera (B) ? — Elle ira ici (vers II) et continuera (II-IV : juste). — Elles vont se rencontrer ? — (B) pourrait partir dans l’autre sens (I-III). » Après les constatations, prévisions justes. Mais ensuite l’expérimentateur retient une perle quand l’enfant tire l’autre et on demande dans quel sens tirer pour aider le sujet au lieu de le gêner : prévisions fausses même après une constatation.

Cep (6 ;0) : « Si je tire A ? — Celle-ci (B) va bouger. — Où ? — Vers là (juste). — Et la ficelle ? — Elle avance aussi. — Comment ? — Ici (de A à B). — Et là (le reste) ? — Elle ne bouge pas. — Pourquoi B ne va pas là ? — Parce qu’elles tournent dans le même sens. » Les autres prévisions sont correctes : « Pourquoi quand A bouge, B avance aussi ? — Parce qu’elles

sont attachées par un fil. — Et si on le coupe ici (entre I et II), et que je tire A vers IV, que fera B ? — Elle fera seulement un petit bout (faux). » Une autre prévision est juste. Pour l’égalité des chemins parcourus par A et B (sur fils non coupés), elle est tantôt reconnue, tantôt niée. « Et une va plus vite que l’autre ? — Oui, celle-là (active). — Pourquoi ? — Vous avez été plus vite avec. » Pour A près de I (et dans sa direction) et B près de III (id.), « un des deux fait un plus long chemin ? — Celle-là (B). — Pourquoi ? — Elle a dépassé le clou (c’est aussi le cas de l’autre) ». En d’autres situations les chemins sont également censés inégaux, mais pour tout le tour chacune « je ne sais pas. — Que penses-tu ? — Les deux la même chose. — Pourquoi ? — Parce que. — Une plus vite que l’autre ? — Les deux la même chose. — Elles sont parties en même temps ? — Oui. — Et arrivées en même temps ? — Non. — Laquelle est arrivée la première ? — Sais pas (nouvel essai). — Celle-là (A) ». Modèles croisés : prévisions mélangées puis, à la constatation : « C’est le même cordon, mais il se croise » et « toute la ficelle bouge » mais les chemins et les vitesses demeurent inégaux.

Nec (6 ;11) prévoit d’emblée le départ de B dans la bonne direction « Parce que le fil il est attaché par les boules » donc « il avance comme ça, I-IV-III ».« Et là (III-II-I) ? — Non. —   Elle ne bouge pas ? — Elle bouge. » Les prévisions de direction sont toutes justes y compris pour A et B au milieu de I-IV et de II-III ou en II et en IV. Par contre, s’il prévoit bien qu’en coupant entre II et III la B peut encore avancer entre I et IV il croit que la jaune A peut alors aller de III vers II, et se trompe aussi pour la section entre I et IV et entre I et II et suppose même des rencontres et des croisements (sans avoir encore passé par le modèle croisé). Les chemins parcourus et les vitesses sont inégaux au profit de la boule active, même quand celle-ci est au milieu entre I et II et la passive entre III et IV. Le modèle croisé donne lieu à un mélange de prévisions justes et fausses bien que le trajet total soit correctement indiqué, mais après les constatations les prévisions sont correctes. Les longueurs des chemins ne sont pas égales et les diverses situations montrent que c’est en faveur de celui qui dépasse l’autre indépendamment des points de départ.

Rab (6 ;2) présente des réactions en apparence différentes pour les longueurs de chemin. Pour A entre I et II : « Ça va bouger. — Comment ? — Cette boule (B) ira là (juste). — Et la ficelle ? — (La suit du doigt). — Partout ou seulement à certains endroits ? — Partout. — Pourquoi B bouge quand on tire A ? — Quand on ne touche pas la boule (A) et la ficelle, elle ne bouge pas. » Les prévisions de directions sont en général justes sauf un cas de directions convergentes. « Que faut-il faire pour qu’elles viennent les deux vers toi ? — Tirer comme ça (les deux vers le bas). — On peut ? — Non, parce qu’il y a une qui va là (haut). » Ficelles coupées : mélange de prévisions justes et fausses. On met ensuite A en II (direction III) et B en IV : erreur de direction, puis constatation :« Tu t’étais trompé de sens ? — Oui. — Est-ce que les deux perles ont fait le même long chemin ou pas ? — Les deux pareils. — Comment tu sais ? — Parce que là (A vers III) il reste un petit bout (entre A et III) et là aussi (entre B et I : donc constatation après coup des égalités). — Et à la même vitesse ou pas ? — (A) va plus vite, parce

qu’on l’a tirée. — (On recommence, mais en tirant B). — Une va plus vite ? — Celle-là (B) parce qu’on l’a tirée. — Et les chemins ? — Les deux le même chemin. — (On met A au milieu entre I et II et B entre III et IV). — Si A vient ici (I), où va B ? — Là (III). — Une fait un plus long chemin ? — Les deux le même. — Pourquoi ? — (Il montre les trajets, chacun d’un demi-côté). — Et la même vitesse ? — Non (A) ira plus vite. — (On met alors B à quelques centimètres en dessous de A entre I et II). La rouge (B) vient ici. Une des deux fera un plus long chemin ? — La rouge fera le plus vite chemin. — Et un plus long chemin ? — La jaune (A). — (Constatation). — Une a fait un plus long chemin ? — La rouge. — Et plus vite ? — La rouge. — Pourquoi ? — Parce qu’elle est devant. — Et comme ça (sens inverse) ? — La jaune va plus vite. — Et le plus long chemin ? — La rouge. — Pourquoi ? — Elle est derrière. — Et elle a un plus long chemin à faire ? — Oui. — Pourquoi plus vite quand on est devant ? — Parce qu’on marche plus vite parce qu’on est devant. — Et quand on marche vite on fait un long chemin ou un petit chemin ? — On ne fait pas un long chemin. — Et lentement ? — On fait un long chemin. — Laquelle est partie en premier ? — La rouge (qu’on tire). — Et arrêtée en premier ? — La jaune parce qu’elle est derrière et elle va lentement. » Modèles croisés : mélange d’erreurs et d’une réussite fortuite (il ne peut l’expliquer). Inégalité des chemins et des vitesses celle qu’on tire allant plus vite.

La nouveauté propre à ce niveau IB est la compréhension rapide de la transmission et cela dès les prévisions et sitôt découvert le fait que la boule active agit sur la ficelle. C’est ainsi que Oli, après avoir supposé que la ficelle n’est qu’ébranlée par A, admet qu’elle avance aussi et en conclut immédiatement que la boule passive est alors entraînée. Rac saisit d’emblée que A tire la ficelle qui fait avancer B, mais il se trompe encore de directions lorsque l’on agit sur B. Cep comprend aussi la transmission de A à B par le moyen de la ficelle mais suppose que celle-ci n’est en mouvement qu’entre deux et non pas dans la partie restante. Nec réagit de même. Rab comprend l’ensemble du processus.

Que cette transmission soit ainsi dominée dès le niveau IB n’a rien de surprenant, car, même s’il s’agit en fait d’une transmission médiate, l’intermédiaire entre les boules active et passive est lui-même en mouvement visible : il en résulte que le processus se réduit à deux transmissions immédiates externes, celle qui conduit de la boule active au fil et celle qui mène du fil à la boule passive, sans qu’il soit besoin de faire intervenir de passage interne ou semi-interne « à travers » le médiateur, comme c’est le cas avec les blocs ou les billes immobiles du chapitre II. Les réactions du présent niveau IB sont donc analo-

gués à celles du niveau correspondant du chapitre II : enchaînement de transmissions immédiates sans passage invisible interne.

Par contre si cette transmission est ainsi rapidement comprise, elle est loin de comporter à ce niveau toutes ses conséquences nécessaires. D’abord, comme on vient de le voir, il subsiste certaines erreurs de directions, même dans les modèles sans croisements (Oli, Rac et Rab) ou des doutes sur le mouvement général en chacun des segments de la ficelle (Cep et Nec). Ensuite, lorsque l’on propose de couper la ficelle en tel ou tel point, ce qui laisse inchangées certaines tractions mais en exclut d’autres, Cep, Nec et Rab ne dominent pas encore la question qui, cependant et en présence du dispositif avec les boules déjà placées, semble facile à résoudre. En troisième lieu, lorsqu’on propose à l’enfant, qui tire l’une des deux boules, d’agir sur l’autre soit en favorisant cette traction soit au contraire en la freinant par un entraînement en sens inverse, la question est loin d’être résolue de façon générale : Rac par exemple se trompe encore après constatations.

Mais surtout, le problème qui fait encore difficulté à ce niveau bien qu’il semble lié de près à celui de la transmission est celui de l’égalité des chemins parcourus et des vitesses de parcours entre les deux boules active et passive. Du moment que ces deux boules sont reconnues attachées à la même ficelle et puisque celle-ci est fermée sur elle-même en décrivant un circuit carré ne varietur, il semblerait que, si la boule active entraîne la passive grâce à cette ficelle de façon quasi instantanée avec départs et arrêts respectivement quasi simultanés, la question de l’égalité de leurs déplacements et de leur vitesse puisse être résolue par déduction directe et pour ainsi dire a priori, c’est-à-dire sans avoir besoin de constatations perceptives ou de contrôles : or, non seulement il n’en est rien, mais encore les vérifications empiriques ne suffisent nullement à détromper ces sujets, qui croient d’avance à l’inégalité et en général au profit de la boule active, comme s’il s’agissait d’une transmission par choc où le mobile actif aurait fait un long chemin pour déplacer de peu un mobile passif résistant, ou l’inverse (donc, dans les deux cas, comme si la ficelle ne jouait plus aucun rôle). C’est ainsi qu’Oli affirme l’inégalité des chemins parcourus par A et B ou de leurs vitesses, et cela jusque dans le cas où les deux boules font chacune un tour complet !

Rac est plus oscillant et semble par moments avoir compris, mais retombe dans les inégalités sans y voir de contradiction. Cep flotte lui aussi et finit par nier même la simultanéité des arrêts. Nec est résolument pour l’inégalité des chemins et des vitesses, etc. Rab semble au début comprendre l’égalité des longueurs de trajet tout en niant celle des vitesses (et plus tard des simultanéités de départ ou d’arrivée), mais en fait il se borne à une constatation de cette égalité des chemins dans les cas où la vérification est facile et même immédiate, puis, dès que celle-ci se complique (les deux boules se suivant alors de près), il pense que l’inégalité des vitesses entraîne celle des longueurs, tout en témoignant d’une incoordination complète entre espaces, vitesses et temps.

Il est vrai que, en cas de constatations et non plus seulement de prévisions, l’évaluation ordinale des longueurs (plus long = arrivant plus loin) peut jouer un rôle perturbateur, bien que le trajet soit fermé. Mais cela n’explique pas pourquoi, du moment que les deux boules sont liées par une ficelle assurant la transmission du mouvement sur une trajectoire en carré facilitant toutes les comparaisons, le sujet ne déduise pas l’égalité des chemins parcourus et des vitesses en partant de son affirmation même de cette transmission : c’est là le fait important et tout en témoignant (ou même parce qu’il témoigne) d’incoordinations cinématiques, il montre la nature encore très incomplète de cette transmission (laquelle correspond donc, comme au niveau IB du chapitre II, à un simple enchaînement de transmissions immédiates, sans transmission médiate « interne », ni même « semi-interne »). Il y a donc là une nouvelle donnée à verser au dossier de la question si complexe des transmissions, donc du problème central de la causalité.

Enfin les modèles croisés ne donnent pas encore lieu à des prévisions exactes, bien que certains sujets (de Rac à Nec mais pas Oli ni Rab) comprennent le processus après constatations.

Le critère de ce niveau IIA est la réussite aux modèles croisés avec quelques intuitions naissantes dans les questions d’égalité des chemins parcourus et des vitesses mais sans qu’elles

soient encore toutes deux résolues en chaque cas, ce qui reste à discuter du point de vue de la transmission :

Per (6 ;6) débute comme au stade I : « Si on tire A ? — Elle (B) va aussi bouger. — Et la ficelle ? — Elle reste ici. — (Constatation). — Ça bouge parce qu’on a attaché (A). — B a bougé ? — Oui. — Pourquoi ? — Le fil a avancé. » Les directions sont correctement prévues pour A entre I et II puis entre I et IV. « Et si on voulait qu’elles aillent dans le même sens ? — On ne peut pas. — Si on tire A la ficelle bouge partout ? — Oui. — Et que fait B ? — Rien. — Elle est tirée par A ou pas ? — Oui. » Prévision juste pour A en II (départ vers III). « Une des deux fait un plus long chemin (les trajets sont donc de II à III et de IV à I au complet, soit faciles à comparer) ? — C’est (B). — Pourquoi ? — … — Et une des deux plus vite ? — La même chose vite. — Pourquoi ? — Elles sont mises presque la même chose. — Parties en même temps ? — Oui. — Et arrivées en même temps ? — Aussi. — Maintenant A va aller vers B, à sa place. C’est possible ? — Oui. — Elles se rencontreront ? — Non… Si je croise (montre des trajets croisés !). — (Constatation). — Une a fait un plus long chemin ? — Oui (A). — Et maintenant elles vont faire tout le tour (essai), A ou B ont fait un plus long chemin ? — Le même long chemin. — Et une plus vite ? — Les deux la même chose. — Pourquoi ? — Elles vont en même temps. — Que faire pour qu’elles fassent le même long chemin ? — Les mettre en face. — Et encore ? — Aller jusque-là (un clou). — (Modèle croisé, A entre I et II, départ vers I). Où ira B ? — Ici (juste : IV). — Comment le sais-tu ? — Parce que c’est croisé. — Comment avance le fil ? — (Correct). — (On met trois boules, dont C dirigé vers I à partir du milieu entre I et IV). Où ira B ? — Ici (juste : III à partir de la proximité du centre). » Pour deux boules tirées à la fois par l’enfant et l’expérimentateur, Per prévoit bien les directions favorables ou les freinages. « Est-ce que A, B et C font le même long chemin ? — Non. A le plus parce qu’elle est plus près (du centre). — Et une plus vite ? — Les trois. — Pourquoi ? — (Il montre les trajets). — Si c’est la même vitesse, elles ne font pas le même chemin ? — Oui (constatation). Non. — La même vitesse mais pas le même long chemin ? — Non. »

Viv (7 ;3) prévoit d’emblée le mouvement et la direction de B : « Comment tu sais ? — On avance la jaune (A), l’autre ne peut pas rester où elle est parce qu’on tire trop le fil, alors elle avance aussi. — Mais pourquoi là ? — Celle-là (A) on la pousse, alors l’autre elle avance ; le fil va plus loin, alors elle doit aller plus loin avec le fil (sens de la rotation). — Il avance partout ? — Oui, il bouge tout le tour. — Si (A) vient ici (IV depuis I) et qu’on coupe le fil ici (III-IV), la bleue (entre II et III) va bouger ? — Non, elle ne va pas bouger (faux). — Et si on coupe ici (I-II) B va bouger ? — Non (juste). » Pour six autres questions, quatre sont réussies mais il reste deux échecs. On va faire partir A de II dans la direction de III sans y parvenir, et B de IV dans la direction de I : « Laquelle va faire le plus long chemin ? — Les deux ensemble ; elles vont avancer pareil. — Pourquoi ? — Parce que la bleue (B) elle ne peut pas s’enlever du carré, elle est attachée. —   Elles font toujours le même long chemin ? — Le carré n’est pas rectangle, sinon elles iraient plus loin. — Et comme ça (en triangle, A sur l’hypoténuse et B sur le petit côté) ?

— Oui, elles suivent aussi tout le long. — Et les vitesses ? — Les deux ensemble. Elles avancent en même temps. » Les départs sont jugés simultanés et les arrivées aussi. On reprend le carré avec des tournants : « Ça fait le même chemin, elles tournent les deux à quelque part. » Par contre, lorsqu’on met A près de IV et B sur le même côté inférieur près de I avec départ soit de A dans le sens IV soit de B dans le sens I, l’égalité se perd : « La jaune (A) a fait un moins long chemin : elles se sont séparées, la rouge (B) a avancé, la jaune n’a pas fait un si long chemina, puis : « La rouge a fait un moins long chemin. La jaune a fait ce petit bout en plus (distance AB). La rouge a fait un petit chemin, la jaune a fait tout le chemin entier. » Viv tient donc compte du point de départ de l’une et du point d’arrivée de l’autre sans les coordonner et surtout en cessant de se fier à ses déductions antérieures. Modèles croisés : après une seule erreur de distraction, les anticipations de direction sont exactes avec indication correcte des trajets, même pour trois boules : « Elles ont fait le même long chemin ? — La jaune et la bleue ont fait le même (long) chemin, mais pas la brillante (C près du centre), ça fait pas la même chose. — Pourquoi ? — Parce que les autres elles font un plus long chemin. — (Constatation). — La brillante, elle… non ! Les trois le même chemin. — Et les vitesses ? — Elles vont les trois à la même vitesse. »

Syl (7 ;2) : « On tire A (vers I à partir du milieu entre I et II), que se passera-t-il ? — (B) sera plus en avant, à peu près jusqu’ici (III : juste). — Pourquoi ? — Celle-là (B) est attachée à la ficelle et si on tire la jaune (A) celle-là bouge aussi. — C’est le fil ou la boule qui décide ? — La boule (A) ; c’est elle qui tire la première le fil. » Prévisions justes pour A entre I et IV, ou en III ou près de II. « On peut tirer A et B dans le même sens ? — Non, il y a toujours un côté qui va vers le haut (II ou III) et un vers le bas (I ou IV). — Mais on ne pourrait pas tirer les deux en même temps ? — Non. — A ou B font un chemin plus long ou non ? — C’est (B). — Pourquoi ? — On ne l’a pas bougée (à la main, donc parce qu’elle est passive). — Toujours un plus long chemin ? — Oui, elle est toujours plus loin. — (On pousse un peu A). — La jaune (A) fait un plus long chemin. — Pourquoi ? — On la descend et comme (B) est montée, elle fait moins. » On fait aller A à la place de B, d’où l’inverse : « Un plus long chemin ? — C’est (A), elle va en bas et (B) en haut. — Maintenant on va faire tout le tour (rotation complète). Quel est le trajet de B ? — Tout le tour aussi. — Il y a un chemin plus long ? — C’est (A), elle est descendue. (On recommence.) B a fait le plus long trajet. » Modèle croisé : d’abord persévération, puis « c’est pas le même système. — Si A (entre I et II) arrive au milieu, où ira B ?— Aussi au milieu (juste). — Comment le sais-tu ? — J’ai pensé au fil (montre le sens de parcours) ». Avec trois boules : « Il y a un plus long chemin ? — La brillante. — Et une va plus vite ? — Oui, la brillante : elle descend, elle fait un grand bout de chemin. »

Pau (8 ;2), A entre I et II : « Celle-là (A) va venir là (I) et celle-là (B) ira là (III). — Pourquoi ? — Parce que la ficelle est attachée ensemble, ça va la même chose. — (A entre I et IV, vers I.) Où va la bleue (B) ? — Là (juste : III), parce que la jaune (A) pousse la bleue. — La ficelle bouge ? — Oui, on tire la jaune et la ficelle bouge avec la jaune. — Partout ? — Oui. — Comment ? — Comme ça (montre le faux sens puis le bon). — On tire la jaune ici (A direction II → I) et on coupe le fil ici (entre II et III) que va faire la bleue

(entre III et IV) ? — Elle ne va pas bouger (juste). » Autres prévisions de ce type également justes. « Comment faire pour qu’elles aillent les deux dans le même sens ? — Tirer les deux… Non ça n’ira pas : si on tire les deux le fil ne bouge pas, elles seront bloquées. » A près de III et B près de I : « Une fait un plus long chemin ? — La bleue (B). — Pourquoi ? — Parce qu’elle a avancé plus loin que l’autre. — Comment ? — Celle-là (B) est plus près du clou et celle-là est plus loin. — (A entre II et I allant jusqu’entre I et IV ; B entre IV et III allant entre III et II). L’une fait un plus long chemin ? — La jaune (A) parce qu’elle est plus près du clou. — (A entre I et IV et B juste en face) ? — La même chose parce qu’elles sont dans le même… (axe). — Une a été plus vite ? — La bleue (B). — Pourquoi ? — Elle a été plus vite que la jaune (A) parce qu’on a tiré la bleue (qui était ici active). » Etc. : mêmes réactions. On fait faire à A « tout le tour. — Et (B) a fait quoi ? — Tout le tour. — Une a fait un plus long chemin ? — La jaune (A). — Pourquoi ? — Elle était plus près de la vis que la bleue (inexact) ». On recommence en mettant A en II et B en IV, chacune tout le tour : les chemins restent inégaux en faveur de la bleue :« Que faire pour qu’elles fassent le même chemin ? — Les arranger autrement. — Comment ? — On ne peut pas (il oublie le cas face à face). — Et quand elles font tout le tour une va plus vite ? — Vous avez poussé la bleue, alors la jaune va plus vite. » Modèles croisés : persé-vération puis mêmes directions en montrant le trajet total, mais les vitesses et les chemins demeurent inégaux jusqu’au bout, même à la constatation.

Luc (8 ;6) : « L’autre (B) viendra là (juste). — Pourquoi ? — La jaune est attachée par la ficelle, ça tire tout le long et ça tire la bleue. — Et si A va comme ça (vers II) ? — Ça entraine toute la ficelle, la jaune à droite et la bleue à gauche. — Quel chemin fait la ficelle ? — (Il montre le trajet total). — Que faut-il faire pour que les deux perles aillent dans le même sens ? — Enlever ça (côté III-IV)… Non, ça ne va pas. » Les autres prévisions de direction sont également correctes. Pour A en III allant vers III et B au-delà de I (côté inférieur) et atteignant IV, Luc pense que B fait le plus long chemin parce qu’« elle part de plus loin. — Et le plus vite ? — La jaune (A)… Elles vont pareil. Quand on fait aller l’une, l’autre suit, mais à distance. — (Constatation). — Le plus long chemin ? — La bleue (B) parce que celle-ci (A) je l’ai fait aller plus vite. — Alors la bleue va moins vite et fait un plus long chemin ? — Elles vont toujours pareil, il n’y a pas de différence de vitesse. — Et le même long chemin ? — Non elles ne font pas le même chemin. — Fais avancer la perle jaune (A : il le fait). Laquelle a fait le plus long chemin ? — La jaune : elle a été un peu plus loin, on ne les a pas attachées tout à fait en face (donc évaluation ordinale). — Et maintenant (on change les places) ? — La bleue, parce qu’elle n’est pas partie du même endroit : elle est partie avant. — Refais les chemins. — (Il refait). — La jaune a fait le plus long chemin… Non c’est pareil. La bleue est arrivée plus près du clou, mais elle est partie de moins loin (évaluation par l’intervalle). — Alors c’est pareil ? — Oui, ça fait le chemin contraire. — (Autres positions). — C’est pareil. Elles avaient fait le chemin contraire (= symétrique) avant. Maintenant c’est la même chose : elles ont fait (un chemin) pareil. — Et la même vitesse ? — Oui. — Et tout le tour laquelle a fait le plus long chemin ? — C’est pareil. — Pourquoi ? — Parce qu’elles vont à la même vitesse ». Modèles croisés : il commence

par inverser les positions, par persévération, mais dès qu’il suit de près le trajet : « On suit tout le chemin et on voit. Si la bleue vient là (I) la ficelle va là et la jaune va là (IV) ; ça fait la même chose (= même direction vers le bas en I-II et en III-IV). » A partir de là toutes les prévisions de directions (huit) sont exactes, même avec trois boules et « elles font toutes le même long chemin, parce qu’elles vont toutes à la même vitesse ». A la constatation il y a cependant à nouveau hésitation (évaluations ordinales) puis retour à l’égalité des distances, des vitesses et des temps « parce qu’elles partent toutes en même temps » et arrivent de même. On voit ainsi, ce qui est d’un certain intérêt, que pour Luc l’égalité des vitesses précède celle des distances parcourues.

Tri (9 ;5) : « L’autre boule va bouger parce qu’elles sont dans le même fil. — Et si on coupe ici (entre II et III, A étant en III et tirée vers IV). Celle-là (B) peut bouger ? — Oui elle peut bouger. — Qu’est-ce qu’elle va faire ? — Elle va tomber là (coupure). — Elle peut aller jusque-là (coupure) ? — Oui. — Et si on tire (B vers IV) ? — Celle-là (A) tombera tout de suite (en allant jusqu’à la coupure entre II et III alors qu’elle ne pourrait pas bouger). » Quant aux vitesses (sans coupures), elles sont inégales : « Celle-ci (passive) a perdu du temps… Elle arrive moins vite parce qu’elle est en arrière, tandis que l’autre est en liberté, elle ne doit obéir à personne. — Et son chemin ? — Plus long. — Pourquoi ? — Parce que (A) vient là et (B) là alors elle fait un plus petit chemin. » Mais dans la suite, elles vont à la même vitesse « parce qu’elles sont attachées au même fil ». Les chemins restent inégaux sauf pour le tour entier puis, à propos des trajets croisés (où toutes les prévisions sont justes), Tri généralise : « Le fil quand une partie bouge les autres bougent aussi alors ça fait partout le même chemin. »

Jac (9 ;8) prévoit bien les directions parce que « si on tire le fil ici (A), ça tourne tout le tour avec la boule ». Par contre, lorsqu’on propose de couper le fil à tel ou tel endroit, il y a mélange d’anticipations justes et fausses. Pour A sur II-III et B sur I-IV mais avec léger décalage, la jaune (A) a été plus vite « parce qu’il y a plus d’espace que là. — Et les chemins ? — Le même chemin. — Pourquoi ? — Parce qu’elles sont accrochées à la corde et les crochets (clous) sont égaux (= à égales distances). — Elles ont fait le même chemin et la jaune a été plus vite ? — Oui. — Et comme ça (deux courts chemins parallèles), laquelle plus vite ? — La jaune (active). — Et plus de chemin ? — Les deux. — Pourquoi ? — Parce que la planche est de mêmes dimensions de tous les côtés. — Et pourquoi plus vite ? — Parce qu’elle est près du crochet (évaluation ordinale) ». Etc. : idem en plusieurs situations. On passe à la constatation pour tout le tour : « Le plus long chemin ? — La rouge, non les deux parce qu’elles sont attachées, elles se sont suivies. — Et la vitesse ? — A la même vitesse. — Pourquoi ? — Parce que quand elles ont commencé le tour elles étaient au même endroit. » De même pour les temps. Modèles croisés : d’abord persévération, puis, dès qu’il suit les trajets, prévisions justes pour trois boules : « Laquelle a été plus vite ? — La bleue parce qu’elle était près du crochet. — Et le plus long chemin ? — Les trois parce qu’elles sont attachées à la ficelle et avancent ensemble. — Et les vitesses ? — Elles font la même vitesse. — Et si la bleue est près du clou ? — Elle va quand même plus vite. » Nouvel essai sur d’autres positions (trois billes) :

il refuse de rien prédire, mais à la constatation :« Elles ont été à la même vitesse. — Pourquoi ? — Parce que deux sont arrivées là et l’autre là (chacune à un angle). — Alors les trois le même chemin ? — Non la brillante a fait un plus long chemin. » — (Nouvel essai, identique). Que peut-on dire pour la vitesse : « Elles sont assez lentes. — Les trois pareil ? — Oui. — Et le même long chemin ? — Oui. — On pouvait le dire à l’avance ? — Non. — Elles vont toujours à la même vitesse, etc., ou il y a des changements ? — Elles font toujours le même parcours et vont toujours à la même vitesse. — Pourquoi ? — Parce qu’elles sont attachées les trois, et quand on tire elles vont les trois ensemble, alors ça fait la même vitesse. — Et pour les chemins comment on sait ? — En calculant (= mesurant) Je chemin qu’elles ont fait. »

Ces faits sont instructifs quant à la nature des transmissions du mouvement propres à ce niveau qui, du point de vue opératoire, marque les débuts de la transitivité. On se rappelle (chap. II) que dans le domaine de la transmission par le choc, le sous-stade IIA est celui de la constitution des transmissions médiates « semi-internes », c’est-à-dire comportant le passage d’un élan, d’une force ou d’un courant « à travers » des éléments immobiles ; mais cette forme « semi-interne » reste donc encore « semi-externe », puisque la condition du passage demeure au stade II que les médiateurs, en réalité molairement immobiles, soient conçus par le sujet comme présentant néanmoins des translations proprement dites. Dans le cas particulier de la transmission par traction et entraînement, il va de soi que le fil utilisé est mobile, mais, pour prévoir et expliquer les divers déplacements et positions observés (et sans cesse vérifiés), il est nécessaire de lui conférer une certaine indéformabilité quant à sa longueur, ce qui revient à dire qu’entre la partie qui tire (par exemple avec la boule A) et la partie tirée (ici sur la boule B), l’action de traction doit se transmettre sous une forme relativement homogène : il y aurait donc là un passage de A à B qui, si l’uniformité de la traction était garantie, serait comparable à la transmission médiate « interne » du stade III du chapitre II. Par contre, dans la mesure où cette transmission demeure hétérogène, c’est-à-dire où la traction par le fil n’est pas conçue comme uniforme, mais comme pouvant agir de façon variable selon les segments, nous comparerions cette situation à une transmission simplement externe : un tel caractère se reconnaîtrait aux diverses contractions ou dilatations implicitement prêtées aux segments successifs du cordon, ce que nous avons constaté au niveau IB. Quant au présent niveau IIA

il est de nature intermédiaire : ses représentants commencent par raisonner comme au niveau IB en niant l’égalité des espaces parcourus par les boules ou de leurs vitesses, mais ils en arrivent parfois à affirmer certaines de ces équivalences et même à en entrevoir la raison, c’est-à-dire à concevoir un début de transmission uniforme. Il y a donc là un ensemble de notions comparables aux transmissions médiates « semi-internes » et semi-externes du stade II analysées au chapitre II.

En effet, l’attitude remarquable dont témoignent les réactions précédentes est que, tout en parvenant à une affirmation générale de la transmission (« ça tire tout le long » dit ainsi Luc, ce que pensent aussi tous les autres) et tout en prévoyant de façon correcte les directions, même pour les modèles croisés (sauf parfois quelques persévérations erronées initiales), ces sujets commencent encore par raisonner comme si le fil qui tire était de longueur variable avec dilatations ou contractions locales. Ce n’est bien entendu pas ce que disent les enfants : mais, ce qui revient au même sauf que le postulat demeure négatif, ils ne voient pas d’emblée de raison pour qu’une traction conduisant la boule active d’une position a à une position a’ ait la même valeur que la traction corrélative conduisant la boule passive de b en b’ : donc a → a’ ≶ b → b’, ce qui est la définition même de la non-homogénéité d’une seule et même transmission liée au déplacement ¹. Ce n’est au contraire que par tâtonnements et à la suite de constatations répétées qu’ils en arrivent (sauf d’ailleurs Syl et Pau) à entrevoir la nécessité de a → a’ = b → b’, bien qu’ils soient dorénavant presque tous d’accord pour admettre que les départs des boules sont simultanés et les arrêts aussi.

C’est ainsi que Per commence par attribuer un plus long chemin à la boule passive, puis, après constatation, à la boule active, et en ne se fondant que sur l’examen des trajets. Quant à la vitesse il y a égalité, mais parce qu’« elles sont mises presque la même chose », autrement dit à nouveau pour des raisons

a posteriori et non pas en vertu de l’indéformabilité du fil (en sa longueur) ou de l’uniformité de la traction. Lorsque les deux boules font un tour complet, il admet bien l’égalité des chemins et celle des vitesses parce qu’« elles vont en même temps », mais cet argument n’a rien de général puisqu’il précise ensuite que pour obtenir un même chemin il faut des boules en face l’une de l’autre ou s’arrêtant à un clou, l’inégalité des trajets réapparaît dans le modèle croisé, mais celle des vitesses est admise plus aisément. Le sujet Viv semble plus proche de la déduction nécessaire : longueurs ou vitesses sont égales « parce qu’elles vont avancer pareil », mais cela tient pour Viv à l’égalité des côtés du carré car sur un rectangle ce serait différent et lorsqu’on place les deux boules sur un même côté avec trajet angulaire pour l’une d’elles, l’égalité des chemins se perd entièrement, de même que pour une des trois boules sur le modèle croisé. Par contre les vitesses semblent plus facilement égali-sables parce qu’« elles avancent en même temps ». Syl et Pau nient toutes les égalités de trajets d’un bout à l’autre de l’interrogation. Chez Luc les vitesses, quoiqu’un moment différentes en faveur de la boule active, sont rapidement égalisées en vertu d’une déduction nécessaire : « Quand on fait aller l’une, l’autre suit mais à distance », mais ce raisonnement ne suffit nullement à assurer l’équivalence des longueurs de trajets : pour juger de celles-ci, Luc procède par estimations a posteriori (« elle part de plus loin », « on ne les a pas attachées tout à fait en face », etc.) et ces évaluations, d’abord simplement ordinales (ordre des points d’arrivée ou de départ), en arrivent à se fonder sur les intervalles ; à ce moment Luc comprend que pour un trajet a → a’ de l’une des boules correspond le chemin contraire de l’autre en b → b’ et alors il conclut déductivement à l’égalité des trajets, mais, chose intéressante, « parce qu’elles vont à la même vitesse » ; le raisonnement est le même pour le modèle croisé. Chez Jac qui est presque du niveau IIB (il a 9 ;8 ans), les vitesses sont d’abord inégales en vertu d’une évaluation ordinale (arrivée plus loin) mais les longueurs sont jugées équivalentes par un raisonnement à moitié déductif (« parce qu’elles sont accrochées à la corde ») quoique encore à moitié fondé sur la disposition spatiale (« et les crochets sont égaux », c’est-à-dire à égales distances les uns des autres). Effectivement, les équivalences se perdent dans la suite à maintes reprises, avec des

oscillations pleines d’intérêt entre la déduction (« parce qu’elles sont attachées, elles se sont suivies ») et les indices empiriques faussement interprétés (« elle est près du crochet », etc.). Mais la déduction l’emporte de plus en plus (d’où une avance dans la direction du niveau IIB) ; seulement elle est suivie d’une conclusion finale bien instructive par son dualisme : les vitesses sont toujours égales parce que « quand on tire elles vont les trois ensemble, alors ça fait la même vitesse », tandis que, pour la longueur des trajets, il faut la vérifier en chaque cas « en calculant le chemin qu’elles ont fait ».

Dans les grandes lignes il semble donc ou qu’il y ait échec ou qu’on assiste à une arrivée laborieuse à l’uniformité de la traction (a → a’ = b → b’) mais moins mal aisée pour les vitesses que pour les espaces parcourus. Ce fait est à mettre en relation avec le caractère tardif (vers 9 ans seulement) de la conservation des longueurs, même en ce qui concerne des solides visiblement indéformables (deux réglettes que l’on met en congruence puis en décalage), car la non-égalité des intervalles aa’ et bb’ se réduit en fin de compte elle aussi à une non-conservation des dimensions des segments du fil. Mais quelles sont les raison de ces non-conservations ?

La première est que si la vitesse, au lieu de débuter par le rapport v = e/t est d’abord une notion ordinale (le dépassement) qui domine la durée elle-même (sous des formes analogues à t = e/v), rien n’empêche qu’en des situations de mouvements on ait e = vt : de même que Luc croit à un moment donné les longueurs égales « parce qu’elles (les boules) vont à la même vitesse », de même une différence illusoire de vitesses (en faveur par exemple de la boule active) ne peut qu’entraîner une inégalité des espaces parcourus. On se rappelle que Kof (§ 2) ayant fait faire un tour complet du carré aux deux boules à la fois conclut que la jaune va plus vite et que « c’est pour ça qu’elle fait un plus long chemin » : à ce niveau deux distances d’autant plus égales qu’elles sont identiques (puisqu’il s’agit du même tour complet) sont donc tenues pour inégales dans la mesure où les vitesses diffèrent¹.

La seconde raison est que, pour conserver sa longueur en cas de déplacement, un solide de forme variable (fil) ou invariable (réglette) doit présenter une certaine consistance physique, qui se traduira au stade III par la notion de particules serrées (d’où la densité, etc.), au niveau IIB par la notion du « rempli », et surtout du bien « tendu », dont la manifestation dynamique est la capacité de se prêter à des transmissions de nature « interne » traversant l’objet de part en part. A cet égard, la difficulté propre à ce niveau IIA de lier la transmission des tractions à des longueurs égales de parcours des deux boules, traduirait donc bien le caractère encore fragile ou, tout au moins, insuffisamment structuré des transmissions « semi-internes » dont se contentent les sujets.

Mais une troisième raison paraît l’essentiel : c’est la difficulté, qui demeure encore assez systématique au niveau IIA, de distinguer le simple déplacement d’un mobile allongé (comme ici la ficelle) de son étirement ou sa dilatation. Nous y reviendrons plus longuement au § 7.

Vers 9-10 ans avec certains cas exceptionnels plus précoces, l’égalité des longueurs de trajets et des vitesses est comprise d’emblée et attribuée à la traction commune des deux boules attachées à la même ficelle. Il pourrait donc sembler que la traction à travers le fil est devenue homogène et comparable à une transmission purement interne. Mais, d’une part, les sujets se trompent encore, en alternance avec les réponses justes, quant aux résultats des sectionnements du fil. D’autre part ils ne prévoient qu’imparfaitement les effets respectifs des deux actions de tirer le fil derrière la boule active ou de le repousser par-devant en cas de sectionnement :

Cal (7 ;9), A vers I : a L’autre bouge. — Jusqu’où ? — Jusque-là (III, juste). — Quoi d’autre bouge ? — Le fil, il bouge tout le long. — (Constatation). — Le fil la tire. — Pourquoi les perles ne vont-elles pas dans le même sens (vers le bas) ? — Si A venait dans l’autre sens, ça n’irait pas. Elles vont dans le même sens (elle montre le circuit correct). » Si on coupe le fil entre II et III, Cal se trompe encore à la question de savoir si l’on peut avancer A vers IV, mais il comprend que B ne bougera pas. Etc.« A et B feront le même

long chemin ou une plus que l’autre ? — Elles feront le même chemin. — Pourquoi ? — Parce qu’elles sont attachées. — Et l’un ira plus vite que l’autre ? — Non, elles iront à la même vitesse. — Et si on allait très vite ? — Elles font le même chemin. — (Constatation). — Oui. — Et comme ça (planche verticale) laquelle fait le plus long chemin ? — Les deux. — On m’a dit une fois que celle-ci fait un plus long chemin parce qu’elle est devant ? — Non, elles font le même chemin parce qu’elles se suivent. — Elles partent en même temps ? — Oui. — Et s’arrêtent ? — Oui, parce qu’elles se suivent, quand l’une s’arrête l’autre s’arrête aussi. » Constatation : « Pourquoi elles ont fait le même chemin ? — Si on tire dans le même sens elles vont à la même vitesse. » Situation croisée : après une erreur de persévération, prévisions justes pour trois boules et quatre positions ; mêmes chemins et mêmes vitesses, par simples déductions.

Jou (8 ;10) : « (A) tournera et fera tourner (B) parce que les deux sont attachées ensemble. » « Qui fera le plus long chemin ? — Les deux la même chose. — A la même vitesse ? — (D’abord l’active plus vite puis) Oui, quand (A) pousse (B) ça la pousse en même temps, elles sont attachées ensemble. — Et qui a fait le plus long chemin ? — (A), non, elles font le même chemin », etc. Mais lorsque l’on coupe le fil entre II et III avec départ de A en III vers IV, il croit que B en I va avancer vers II. Si on coupe entre I et IV, il comprend que B atteint effectivement II et que A peut continuer après la coupure. Si on coupe entre I et II il retombe dans l’erreur pour B ; etc. On demande alors qu’elles sont les parties du fil qui sont tirées et « poussées » ; les réponses sont justes : « Poussé c’est devant et tiré c’est derrière. — Le fil est bien tendu partout ? — Non, c’est tendu ici (tiré). — Et les autres morceaux ? — Ils sont poussés, ils se tordent. — Qu’est-ce qui fait avancer celle-là (B en tirant A) ? — Le fil pion pousse. — Le fil qu’on pousse avance partout la même chose ? — Oui. »

Ant (9 ;3) admet qu’« elles font toujours le même long chemin ». « Comment es-tu sûr ? — Le fil est toujours attaché aux perles, il y a toujours la même longueur entre deux. — Laquelle ira le plus vite ? — Elles iront à la même vitesse. — Et si elles n’étaient pas dans ces coins ? — Elles iraient aussi à la même vitesse. — Pourquoi ? — Le fil est toujours attaché aux boules. » Lorsqu’on propose de couper entre II et III, A étant en III dirigé vers IV, il comprend bien que B en I a ne bougera pas. — Et si on coupe là (entre I et IV) ? — (B) va avancer ». Par contre, si on coupe entre I et II, il croit aussi que B va avancer : « Jusqu’où ? — Jusqu’ici (II). Non elle s’arrêtera là (coupure à mi-chemin de I et II, comme si B pouvait être tirée ou poussée jusqu’à cette coupure). — Et (A) sera où ? — Ici (en face de la coupure, à mi-chemin de III et IV). — Que se passe-t-il pour le fil ? Il bouge partout ? — Non, là (coupure II-III). — Et là (III-IV-I-coupure) ? — Un petit peu. — Et ce morceau III-IV ? — Il bouge aussi. — Tiré ou poussé ? — Poussé. — Quelle différence ? — Quand on tire un fil il est tendu. — Et poussé ? — Il s’écrase. »

San (10 ;2). Chemins : « Les deux les mêmes. — Et les vitesses ? — Elles sont attachées alors on ne peut pas tirer une plus vite que l’autre. » Mais si on

coupe entre II et III et que A en III va en IV et vers I, San croit que B en I va avancer jusqu’à la coupure pour s’arrêter là. De même pour une coupure entre I et II, San comprend bien que A en III peut arriver en IV, mais il pense que pendant ce temps B ira de I jusqu’à la coupure : « La ficelle est bien tendue ? — Oui partout. — Même si c’est coupé là ? — Oui. — Et (A) tire toute la ficelle ? — Oui. »

Fra (10 ;5). Mêmes réactions pour les longueurs et les vitesses, de même au début que pour la coupure entre I et II : A avancera de III en IV et B de I jusqu’à la coupure. Les parties tirées « restent bien droites » tandis que « le fil se plie au fur et à mesure que l’on pousse (A) ». Fra finit alors par comprendre que B ne peut pas aller de I jusqu’à la coupure, mais : « Quand il n’y aura plus de fil là (de la coupure à II), celle-là (A) finira par pousser elle-même (B). » Fra aboutit ainsi aux réponses du stade III mais après incompréhension initiale.

Del (10 ;3), tout en répondant également juste pour les longueurs et vitesses (« elles vont toujours ensemble »), commet d’abord les mêmes erreurs pour les sections, puis dit que le fil « va un peu s’entortiller du côté de (A) ». Del comprend alors que B ne peut avancer que si A la rejoint : « Le fil ne sera plus comme avant : un peu comme un cercle ; mais ça fera un peu comme une ligne et (B) avancera. — Maintenant A tire ou pousse le fil ? — Elle tire parce qu’on a coupé. » Mais sans coupure : « On peut dire suivant comment qu’elle tire partout et, si on regarde autrement, qu’elle pousse partout. » Del comme Fra en arrive ainsi aux réactions du stade III mais après tâtonnements.

Il est d’abord à noter que les questions concernant l’égalité des longueurs parcourues et des vitesses ont souvent été posées après celles des coupures, de manière à ne pas les influencer. Or, on voit que ces problèmes d’égalité sont à ce niveau résolus déductivement, ce qui va de pair avec la conservation des longueurs de deux tiges mises d’abord en congruence puis en décalage, conservation qui ne débute en général que vers 9 ans : en effet lorsque les deux perles ne sont pas en regard l’une de l’autre, mais décalées, la question de la comparaison de leurs trajets est la même que pour les tiges étudiées jadis.

Cette égalité des distances de parcours des deux perles semble alors impliquer l’uniformité de la traction (a → a’ = b → b’) dont nous parlions au § 4, et c’est bien le cas lorsqu’il n’intervient pas de coupure. Par contre, en cas de sectionnement du fil, les difficultés subsistent à ce niveau IIB et l’erreur la plus courante (comme souvent au niveau IIA : Tri, etc.) consiste à croire que pour une coupure x (par exemple entre I et II si A va de III en IV et que B est en I) la boule passive B

avancera encore de sa position (I) jusqu’à la section en x. Or le sujet comprend bien que si A est en III, il ne peut pas tirer B selon le trajet I-II-III, puisque le fil est interrompu en x entre I et II : il raisonne néanmoins comme si le fil constituait un tout rigide et bien fixé qui (dit Del), est « tiré partout » à l’arrière de A mais est aussi « poussé partout » en avant de A. Effectivement, en cas de poussée, A se déplaçant de III à IV ferait avancer B de I vers II et il n’y aurait même pas de raison pour que B s’arrête en x. En fait le sujet, précisément parce qu’il commence à considérer la traction comme uniforme tout le long du fil (d’où l’égalité des chemins parcourus affirmée comme allant a priori de soi), raisonne à la fois comme si cette homogénéité entraînait une poussée de B de I jusqu’à la coupure x et comme si, s’agissant d’un fil flexible coupé au point x, B devait s’arrêter en x (le segment de fil de I à x devant alors tomber verticalement en ce point comme la perle B elle-même). C’est ce que semble supposer Jou, lorsque après avoir déclaré que « poussé c’est devant et tiré c’est derrière », il en vient logiquement à affirmer que, si la perle B va de I à x, elle avance alors à cause du « fil qu’on pousse », et cela bien qu’ayant reconnu que les morceaux « poussés, ils se tordent ».

Mais en général, lorsqu’on demande ce qu’il advient des segments de fil que la perle active repousse devant elle (en cas de coupures), il suffit aux sujets de prévoir qu’alors ces parties vont « se tordre », ou « s’écraser » (Ant), « s’entortiller » (Del), etc., pour qu’ils corrigent leur erreur et comprennent que la perle B ne peut plus bouger (sauf naturellement, comme l’indique Fra, si A rejoint B et « finit par la pousser elle-même »). Mais cette compréhension n’est encore nullement immédiate et ce n’est qu’après erreurs et hésitations multiples qu’elle finit par s’imposer.

De façon générale, ces réactions intermédiaires du niveau IIB rappellent ainsi ce que nous avons vu du même sous-stade en une recherche, où un élastique commence à être conçu comme s’étirant de façon uniforme (avec différenciation des déplacements et allongements). C’est cette uniformité naissante des actions exercées qui, dans le présent cas de la traction, entraîne une sorte d’indifférenciation en quelque sorte renouvelée et non pas seulement résiduelle, entre tirer et pousser.

Enfin, vers 10-11 ans, avec quelques cas précoces dès 9 ;8, on obtient des réponses uniformément correctes, y compris pour les questions de coupure :

Rou (9 ;8) : « Ça (A) fait tourner le fil partout dans le même sens. — Et alors ? — Cette boule (B) tourne aussi comme ça. Elles doivent se suivre toujours. — Est-ce que (A) tire ou pousse le fil ? — Elle tire partout. — Elle ne pousse jamais ? — Non. — Si je coupe le fil ici (entre II et III, A allant vers IV), B peut avancer ? — Non, parce que c’est coupé avant. — Et si je coupe ici (entre I et IV) ? — Elle peut avancer. — Et si je coupe là (entre III et IV) ? — (B) peut de nouveau avancer. — (A) tire ou pousse le fil ? — Elle tire un grand bout. — Partout ? — Non elle pousse un petit bout (entre III où est A et la coupure). — Et qu’est-ce qu’il fait ce petit bout ? — Il va se mettre derrière la perle (A). — Comment derrière ? — Comme à côté et maintenant (A) le tire aussi. » Quant aux trajets « c’est toujours la même chose (longueurs) parce qu’elles sont attachées, elles vont toujours ensemble… et puisqu’il y a toujours le même écart (durant leur marche) ». Vitesses : même réaction.

Gab (10 ;2) : « Elles iront à la même vitesse parce que le fil est tendu » et « elles sont toujours à la même distance… parce qu’elles ont la même longueur de fil entre elles ». Coupures : prévisions justes. « Et là (devant la boule active), le fil est toujours là (entre elle et la coupure) ? — Oui, la boule va le replier. — Elle va le pousser ? — Elle roule dessus, ça le replie. Il va rester sur place, la boule roulera un peu dessus, il n’est pas rigide. — Il sera comment ? — Tout tordu. — Et à la fin ? — Les deux fils seront l’un à côté de l’autre. »

Dom (10 ;2). Coupure entre II et III, A en III dirigé vers IV : « Le bout qui est là (de II à la coupure) s’arrêtera. — Et B ? — Elle restera à sa place. — Pourquoi ? — Parce que ça ne tendra pas son fil. — Et là (devant A) ? — Ça fera des plis ». Etc. Pour trois boules sans coupure : « Elles resteront toujours (fixées) à la même place sur le fil : celle-là (A) les tire alors (B) et (C) font le même chemin (que A). — Il y a plus de fil tiré ou de fil poussé ? — C’est à peu près la même chose parce qu’elle va à la même vitesse pour tirer ou pour pousser. »

Gil (10 ;10). Coupures : mêmes réactions. Durées : « Comme que comme elles viendront en même temps : elles sont attachées les trois au même fil et elles partent en même temps. — Et les chemins ? — Ça va à la même distance. — Et les vitesses ? — Oui, s’il y en avait une qui va plus vite ça ferait sauter le fil. »

L’égalité des trajets respectivement parcourus par les perles ou des vitesses et des durées est ainsi justifiée déductivement

comme au niveau IIB. D’autre part, Rou affirme que le fil « tire partout » et Dom qu’il pousse autant qu’il tire (et « à la même vitesse »), deux opinions également valables, selon les définitions que l’on donne, dans le cas particulier, de l’action de pousser. Quant aux coupures, on voit que les prévisions sont toutes exactes et que ces sujets anticipent d’emblée la forme du segment de fil repoussé en ce cas par la boule active : le fil n’étant « pas rigide », dit Cab, il va se « replier » et se placer à côté du segment tiré pour être alors entraîné à son tour.

L’uniformité de la traction tout le long du fil s’il est tendu (Gab) et l’absence de cette homogénéité entre les segments en cas de coupures permettent ainsi de comparer ces réactions aux notions de transmission interne propres à ce stade III (chap. II), ainsi qu’aux interprétations quantitatives de l’étirement des élastiques (proportions) débutant au niveau IIIA. Mais comme il s’agit ici d’un fil non extensible avec conservation des longueurs respectives des trajets, nous nous trouvons en présence d’une situation privilégiée pour ce qui est des relations entre les interprétations causales ou dynamiques des sujets et leurs opérations logico-géométriques.

Le problème peut être centré sur les réactions du niveau IIB, où le sujet parvient simultanément à l’idée d’une transmission uniforme de la traction le long du fil pour autant qu’il n’intervient pas de coupures, et à l’idée que deux longueurs initialement congruentes (par exemple quand les boules A et B sont en regard l’une de l’autre au milieu des côtés I-II et III-IV du carré), et ensuite décalées (par exemple A dépasse de peu B à l’arrivée comme au départ), demeurent égales entre elles malgré ce décalage. Est-ce alors le progrès de nature causale ou dynamique qui entraîne le progrès géométrique, ou est-ce la conservation opératoire des longueurs (comme dans l’expérience ancienne des tiges à comparer en superposition puis avec dépassements) qui détermine le progrès dynamique ? Un contrôle nous a alors paru nécessaire : confronter les réactions des sujets à l’ancienne épreuve de conservation et aux questions abordées en ce chapitre, mais aussi saisir cette occasion pour établir si les faits décrits aux niveaux IIA et IIB (§ 4 et 5) sont liés au dispositif cyclique de notre planche carrée ou si on les retrouverait en présentation purement linéaire.

Nous avons posé à un certain nombre de sujets de 7 à 9 ans les questions suivantes : 1) Soit une tige rigide et droite (fil de fer) au tiers et aux deux tiers de laquelle sont fixées les perles A et B : si on fait avancer la tige en la tirant par le haut, A et B font-elles « les mêmes longs chemins » ou pas ? Et en poussant la tige ? 2) Soient deux tiges rigides droites et parallèles attachées en leur sommet à un même carton permettant de les tirer ou de les pousser simultanément : une perle est fixée à chacune, mais A au tiers (vers l’avant) de l’une et B aux deux tiers de l’autre : l’une des deux fait-elle un chemin plus long que l’autre ou les chemins sont-ils « la même chose », si on tire le carton ? Idem si on le pousse ? 3) On présente un carton de forme

Les deux résultats obtenus sont très nets. D’une part on retrouve, avec ces dispositifs élémentaires, les mêmes réactions qu’avec le carré des § 4 et 5 quant à l’inégalité des chemins parcourus du fait du dépassement de A par rapport à B (ou l’inverse). D’autre part, cette inégalité dure davantage lorsqu’il s’agit de ces trajets que dans le cas de la comparaison des longueurs plus statiques de la question 4 portant sur la conservation des dimensions des tiges elles-mêmes.

Voici d’abord des exemples du niveau IIA avec échec à ces deux questions :

Bro (7 ;8), question 1 : « Le chemin de (A) est plus long : (A) est plus haut sur le fil. — Elles partent en même temps ou pas ? — Oui. — Et la même chose vite ? — Oui. — Et si on pousse ? — C’est (B) qui fait le chemin le plus court, elle était en bas. » Question 2 : « (A) fait le plus long chemin, il est plus haut que (B). — Et en poussant (de haut en bas) ? — C’est (B) qui fait le

plus long. » Question 3 : « C’est (A) qui est plus haut : il fait le plus long. » Question 4 : « C’est celle-là (qu’on a avancée) la plus longue, elle est plus là (dépassement) que l’autre. — Et si on regarde les deux bouts ? — On les met les deux comme avant : c’est la même longueur. — Et si on les mesure quand elles sont comme ça (décalées) ? — Pas la même chose : celle-là est plus longue. »

Pat (7 ;10), question 1 : « (B) a fait un plus court chemin que (A) parce qu’elle est derrière et presque à la fin du fil de fer : derrière on traîne un peu et devant on va plus vite. » Question 2 : « (A) est devant et va plus vite. — Et elles partent ensemble ? — Oui. — Et elles arrivent ? — En même temps, parce qu’elles sont attachées ensemble. — (Quest. 3). — (A) fait le plus long voyage parce qu’elle est devant. » Question 4 : « Celle-là est plus longue. — Et si on marche comme ça (sens inverse) ? — Si on regarde à droite c’est (B) la plus longue et si on regarde à gauche, c’est (A). — Et ça (dépassement d’un côté) c’est la même chose ou pas que ce qui dépasse ici (l’autre) ? — Ils sont la même chose. Non c’est là (sens du mouvement). — Et comme ça (en vertical) ? — Non celui-là est plus long (en hauteur). »

Ded (7 ;4), quest. 1 : « Je crois que c’est les deux le même chemin parce qu’elles ont avancé en même temps. — (Quest. 2). — C’est (A) qui fait le plus long chemin : je crois que c’est elle qui a commencé à avancer en premier. — Et la même vitesse ? — (A) est arrivée en premier, elle va plus vite. » Quest. 3 : « C’est la même chose, elles sont parties en même temps parce que j’ai poussé le carton. — Et ça (quest. 2) si tu pousse comme ça (carton en bas) ? — Je crois que c’est (A) : elles sont parties en même temps et c’est (A) qui a avancé le plus (parce que près du point de poussée ?). » Quest. 4 : « Pas de la même longueur : elles ne sont pas (= ne sont plus) l’une à côté de l’autre. C’est celle-là la plus longue : elle a plus avancé. — Et si on regarde l’autre bout ? — C’est l’autre la plus longue. — Alors ? — Il manque un bout là et un bout là : c’est celle-là la plus longue (celle qui a « avancé »). »

Cat (8 ;8), quest. 1 :« Je trouve que (A) a fait le plus long chemin : elle est plus éloignée du bout du fil de fer. Comme elle est tenue elle a avancé avec, mais comme elle est plus éloignée elle a fait le plus long chemin. » Même réaction pour 2 et 3. Quest. 4 : « Celle-là est plus longue. — Et si on regarde à l’autre bout ? — C’est le contraire. — Alors ? — C’est pareil, alors c’est difficile à dire. De toute façon c’est de la même grandeur quand on les met l’une à côté de l’autre, mais quand on les pousse celle-là est plus longue que l’autre, mais elle est de la même longueur. — Et les bouts qui dépassent ? — Ils sont pareils. — On peut le savoir d’avance ? — Non, on ne peut pas savoir d’avance s’ils sont pareils. »

Bal (8 ;2), quest. 1 : « C’est (A) le plus long chemin parce qu’elle est en avance sur ce fil de fer. » Quest. 2-3 : même réaction. Quest. 4 : « Celle-là est plus longue : il y a un petit bout qui dépasse, ça compte ! — Et si on marche sur ces barres ? — Si on commence en (B), c’est ici (A) qu’il y a le plus long chemin à faire. De l’autre côté c’est le contraire. » Les dépassements sont inégaux : « C’est plus long ici parce que les baguettes n’ont pas les mêmes petits

bouts (qui dépassent). — Ce n’est pas la même grandeur ? — Oui si on les met égales (congruentes), mais pas maintenant : il y a un petit bout qui dépasse et l’autre, c’est l’autre baguette. »

Pel (9 ;0), quest. 1 : « (A) est en avance plus que l’autre : elle est première. Ceux qui sont derrière ne sont pas alignés. Ceux qui sont entre deux empêchent (B) d’avancer pour rejoindre (A). » Quest. 2-3 : idem. Quest. 4 : inégalité, mais « avant elles étaient de la même grandeur. — Et si on les mesure comme ça (décalées) ? — Elles n’auront pas la même grandeur : celle-là (qui a été avancée) aura plus ».

Den (9 ;0), quest. 1 : « Les deux ont fait le même chemin : elles sont fixées et tirées en même temps. — Elles ont marché en même temps ? — (A) est partie et est arrivée la première. — Et si on pousse au lieu de tirer ? — C’est encore (A) qui a fait le plus long chemin : (B) a poursuivi (A), (A) est arrivée avant, plus vite. — (Quest. 2). — Pas le même long chemin : c’est (A) qui fait le plus. — (Quest. 3). — C’est (A) qui est venue avant, qui a fait le plus long chemin. — Et ta main ? — Le même chemin que (B) : en poussant c’est la même chose. — (Quest. 4). — (A) est la plus longue parce qu’on l’a avancée. — Et les dépassements (on montre) ? — La même chose. — On peut savoir d’avance ? — Non, il faut regarder. Si on pousse les deux c’est pareil, si on pousse une baguette (seulement), c’est pas pareil. »

Tra (9 ;4), quest. 1-3 : « (A) est devant, elle fait un petit peu plus, elle va plus vite. » Quest. 4 : « Non, quand on pousse, c’est pas la même longueur. Celle-là (A) est plus longue. — (On pousse l’autre davantage que la première). — (B) est plus longue, c’est elle qui est en avant maintenant. — Si on regarde les deux à la fois ? — Elles sont les deux la même chose : on les a poussées, on ne sait pas laquelle est la plus longue, alors on croit que c’est la même chose. — Si on mesurait ? — Le bout qu’on a poussé ça fait la même chose de l’autre côté. — Alors elles ont la même longueur ? — Non, maintenant pas. »

On retrouve ainsi les mêmes réactions qu’au niveau IIA du § 5 quant à la longueur des chemins et parfois même quant aux vitesses et durées, bien que plusieurs sujets, comme Ded et Den, commencent par admettre des chemins égaux du fait que les perles sont fixées sur le même support. Cette inégalité des chemins en faveur de la perle antérieure (A) tient à trois raisons étroitement solidaires quoique distinctes : l’évaluation ordinale des longueurs par leur point d’arrivée, l’indifférenciation entre un déplacement et un allongement (dans le cas où le mobile est de forme allongée) faute de mise en référence avec un système de coordonnées immobiles et l’hétérogénéité de cette transmission de mouvement (dont l’effet serait donc à la fois déplacement et allongement).

Le premier de ces facteurs nous est connu depuis longtemps :

avant de mesurer une longueur par l’intervalle entre les deux extrémités d’un objet allongé ou entre le point de départ et celui d’arrivée d’un trajet, le sujet commence par s’en tenir à l’ordre des points d’arrivée, d’où l’équivalence plus long = arrivant plus loin. Or, ce n’est pas là une simple confusion sémantique, mais, au début, l’expression d’une fonction ou d’un schème d’action, le trajet s’évaluant (relativement au corps^[*] propre, etc.) par l’éloignement plus ou moins grand du but à atteindre, donc du seul point d’arrivée. Mais le problème est de comprendre pourquoi cette conception lacunaire dure au-delà de la formation des opérations concrètes, puisque celles-ci conduisent assez tôt, en ce qui concerne les objets immobiles, à des mesures fondées sur l’intervalle.

C’est ici qu’intervient le second facteur, dont le rôle témoigne d’une distinction implicite, mais, semble-t-il, constamment observée par le sujet jusqu’au niveau IIB : celle des longueurs-propriétés, en tant que caractères des objets immobiles, et des longueurs-mouvements ou actions, qui caractérisent les déplacements ou les trajets. Or, en ce qui concerne ces derniers, le problème est alors de différencier un allongement éventuel du mobile, lorsque sa forme s’y prête, et un déplacement en tant que changement de position par rapport à des références immobiles. On voit ainsi que la question ne saurait comporter de solution avant que soient constitués des systèmes de référence ou de coordonnées, ce qui ne se produit qu’au niveau IIB de 9-10 ans : jusque-là rien n’impose la conservation de la longueur d’un mobile allongé, puisqu’il n’est pas constamment situé par rapport à un système extérieur de références immobiles, ni même de la longueur d’un trajet tant qu’il n’est pas intégré en un système plus large.

Mais il y a plus encore. A concevoir qu’un mobile allongé puisse changer de dimensions en se déplaçant, comme les tiges de la question 4 ou encore celles sur lesquelles sont fixées les perles dans les questions 1 et 2 (y compris le carton en 3), il reste à savoir si cet allongement sera uniforme, donc homogène, ou s’il variera selon les positions antérieures ou postérieures des parties considérées. Or, une recherche de G. Cellérier nous a fourni deux indications essentielles à cet égard, en ce qui concerne les dilatations d’élastiques ou de ressorts : l’une est que jusqu’assez tard les sujets confondent ces allongements avec

des déplacements, tandis que dans la présente situation c’est la confusion réciproque, donc la même indifférenciation que nous croyons observer ; la seconde est que cet allongement-déplacement n’est pas conçu comme homogène mais est plus fort du côté où l’on tire, donc à l’avant du mouvement.

Ces trois raisons conjointes expliquent alors les réactions précédentes. En ce qui concerne les problèmes 1-3 elles généralisent simplement les résultats du § 4 et montrent ainsi que ces derniers ne tenaient pas à la forme carrée et au trajet cyclique du dispositif. Mais pour ce qui est de la question 4, qui est notre ancienne épreuve de conservation, des propos comme ceux de Cat à 8 ;8 « quand on les pousse celle-là est plus longue que l’autre, mais elle est de la même longueur » montrent à l’évidence la dualité de la longueur-propriété, qui reste constante, et de la longueur-mouvement qui varie avec l’action de pousser. De même chez Den : « Si on pousse les deux (la longueur est) pareille, si on pousse une (seulement) c’est pas pareil. » Tra (9 ;4) va jusqu’à dire que l’égalité des dépassements à gauche et à droite donne à tort l’illusion d’une égalité (qu’on pourrait même mesurer), tandis que le fait d’avoir poussé l’une des barres en modifie en réalité la longueur. Le déplacement implique ainsi un allongement, même indiscernable, et celui-ci est constamment situé du côté où la baguette avance.

Voici maintenant des cas à situer à un niveau de transition intermédiaire entre les sous-stades IIA et IIB car ils continuent à soutenir l’inégalité des chemins aux questions 1-3 mais admettent l’égalité des barres de la question 4 :

Cit (7 ;0), quest. 1 : « C’est (A) qui a fait le plus long chemin parce qu’il est devant. Quand on est devant ça fait plus long. » Quest. 2-3 : mêmes réactions. Quest. 4 : « Elles sont de la même grandeur, on a seulement changé de place, mais elles n’ont pas changé de grandeur. » Etc. Dépassements égaux.

Rol (7 ;3), quest. 2 : « C’est forcément (A) qui est plus loin, il fait le plus long chemin » mais à vitesses égales « parce que celui qui est derrière ne peut pas aller plus vite. » Quest. 1 et 3 : idem. Quest. 4 : « Il y a simplement une qui est plus en avant, mais elles sont de la même longueur. — (Dépassements) ? — Ce bout est de la même longueur que l’autre bout, donc elles (les barres) sont de la même longueur. —   Comment le sais-tu ? — Si on les met comme avant, c’est pareil. »

Rey (8 ;3), quest. 1 : mêmes longueurs, « elles sont ensemble à cause du bout de fer. — Quest. 2. — C’est (A) qui a fait le plus long chemin ». Quest. 4 :

« Cette barre part plus tôt, mais l’autre arrive plus tard : il y a le même petit bout de différence, elles étaient de la même longueur. »

Bet (8 ;10), quest. 1 : « C’est (A) gui a fait le plus long chemin : elle était déjà plus loin que (B), elle a une distance. » Quest. 2-3 : idem. Quest. 4 : « Elles sont de la même grandeur. Si on casse celle-là à un bout et qu’on le met à l’autre, ça irait. »

Ric (8 ;10), quest. 1 : « C’est (B) qui a fait le plus long chemin : elle est un peu derrière, un petit peu en retard. » Quest. 2 : idem. Quest. 3 : « Celle-là (A = devant) fait le chemin le plus court, celle-là (B derrière) le plus long » parce qu’« elle va moins vite » et met plus de temps. Quest. 4 : d’abord l’une plus longue « parce qu’elle est plus avancée », puis : « C’est les deux la même chose. — (Dépassements) ? — La même chose toujours. Quand on pousse là, ça fait plus long, mais de l’autre côté aussi. »

Geo (9 ;6), quest. 1 : « (A) est plus en avance que l’autre. (B) s’est arrêtée un peu en arrière. (A) fait un plus long chemin. » Etc. Quest. 4 : « C’est la même longueur : une dépasse ici et l’autre là. Si on coupe ça et qu’on met à l’autre, ça fait la même longueur. »

Ros (9 ;5), quest. 1 : « (B) a fait le plus long chemin, elle est toute derrière (cf. Rie). Quest. 3 : « C’est (B) qui est derrière : elle a fait beaucoup plus de chemin que (A). (A) est arrivée en premier : elle va plus vite. » Quest. 4 : mêmes longueurs.

Ces sujets confirment à l’évidence la différence de la longueur-propriété, qui reste constante à la question 4 et la longueur-action qui dépend de l’ordre des points d’arrivée, soit que la perle située en avant fasse plus de chemin parce qu’« elle a une distance » (Bet) soit, plus rarement, qu’elle en fasse moins parce qu’elle va plus vite (Ric et Ros). Cette dernière opinion est l’indice d’une coordination évoluée, plus vite = moins de temps, mais aussi d’une liaison erronée, plus vite ou moins de temps = moins d’espace.

Ce qui est surtout frappant en ces réactions intermédiaires est le fait que les mêmes arguments servent à justifier l’inégalité des chemins parcourus, dans le cas des trajets et l’égalité des longueurs dans le cas des barres de la question 4. Par exemple, pour Rol ces baguettes sont de mêmes longueurs parce qu’« il y a simplement une qui est plus en avant », ce qui ne modifie donc rien, tandis qu’aux questions 1-3 la position « plus loin » donc en avant implique un plus long chemin. Pour Cit les barres ont « seulement changé de place mais pas de grandeur », tandis que dans les situations 1-3 où les tiges auxquelles

les perles sont fixées ne changent aussi que de place la position « devant » implique un plus long chemin. Rey va jusqu’à dire pour 4 que « cette barre part plus tôt mais l’autre arrive plus tard », d’où la conservation, tandis qu’à la question 2 « en avant » implique un plus grand trajet. Bet invoque le décalage entre A et B qui fait « distance » donc inégalité des chemins, tandis que les même décalages à la question 4 aboutissent à une compensation. Mêmes raisonnements contradictoires chez Ric et Geo. En un mot les raisons de conservation pour la longueur-propriété demeurent des raisons de variations inégales dans le cas des trajets : or, dans les deux situations on se borne à déplacer des tiges (ou un même carton), et ces déplacements sont solidaires dans le cas des questions 1-3, tandis qu’il y a indépendance d’une barre par rapport à l’autre à la question 4. Mais, en ce dernier cas les deux longueurs en jeu sont simplement comparées l’une à l’autre, alors qu’en 1-3 comprendre qu’un déplacement n’est pas un allongement (et encore hétérogène selon le segment considéré) suppose une mise en relation avec un système de référence extérieur aux mobiles.

Ces résultats sont d’un certain intérêt à un double point de vue. Ils montrent en premier lieu qu’une structure géométrique comme la conservation des longueurs en cas de déplacement est indissociable de considérations dynamiques ou causales, puisque le problème préalable est de distinguer le déplacement d’un allongement et que cet allongement commence même par être conçu comme non uniforme et comme étant de coefficient supérieur vers l’avant qu’à l’arrière (d’où la convergence entre ce facteur d’étirement hétérogène et l’évaluation ordinale par les points d’arrivée). En effet, dans le cas de l’épreuve de la conservation des longueurs (question 4) le premier groupe de sujets (de Bro à Tra) raisonne exactement comme lors des questions 1-3 : la barre qu’on déplace devient plus longue parce qu’« elle a plus avancé » (Ded et Den) ou qu’on l’a « poussée » (Tra, etc.), sans différenciation entre le déplacement et l’allongement. La solution plus précoce de cette question 4 (second groupe de sujets) semble alors due au fait que l’une des barres n’étant mise en référence qu’avec l’autre, cela facilite l’idée qu’elles sont indéformables, tandis que dans les cas de la ficelle des § 1-6 et des fils de fer ou carton des questions 1-3 du § 7, la distinction du déplacement et de l’étirement

supposerait comme déjà dite une référence extérieure à ces mobiles.

Mais si le passage des niveaux où les corps semblent déformables au niveau IIB, où les longueurs se conservent en tant que propriétés de solides indéformables, suppose ainsi de nouvelles mises en référence et même la constitution d’un système de coordonnées, on doit alors revenir à la question de la fin du § 6 et se demander si ce sont ces progrès géométriques qui entraînent de nouvelles structurations dynamiques ou l’inverse.

Il faut d’abord rappeler à cet égard que, au point de vue de la dynamique, la différence entre les réactions des niveaux IIA et IIB est de façon générale la suivante : les sujets du sous-stade IIA ne différencient que peu le mouvement et la force, comme si tout déplacement et toute vitesse comportaient par eux-mêmes un dynamisme, tandis qu’au niveau IIB la force est distinguée du mouvement et en constitue la cause. Il semble alors naturel que, si un mouvement est conçu comme comprenant une force immanente, le mobile étant ainsi revêtu d’un pouvoir par ses déplacements mêmes, ceux-ci ne pourront se réduire à leurs aspects spatiaux ou cinématiques : d’où une indifférenciation entre les changements de position et les allongements ou étirements, ce qui revient à dire que le mouvement constitue un élan ou une tendance vers l’avant utilisant n’importe quel procédé d’avancement. Au contraire avec la distinction de la force et du mouvement, celui-ci sera ramené, soit à un simple composé de déplacements, durées et vitesses intéressant la totalité du mobile sans déformation de celui-ci et par action purement externe, soit à un étirement ou allongement par déplacement interne des parties de l’objet : il y aura donc différenciation plus ou moins nette (claire dans le cas d’un solide indéformable, un peu plus difficile, mais en partie accessible dans les situations d’élasticité) entre le déplacement et la dilatation.

Mais si l’on voit bien ainsi les relations assez étroites entre le progrès géométrique (conservation des longueurs) et la structuration dynamique, le problème subsiste du détail de leurs interactions. En effet, sans l’instrument logico-géométrique que constitue la conservation des longueurs le sujet ne saurait prévoir que le déplacement de l’un des deux mobiles restera toujours égal à celui de l’autre s’ils sont tirés par le même

fil. D’autre part, ces opérations spatiales permettant de construire une telle invariance ne suffisent pas à expliquer l’accession au concept de la transmission uniforme des poussées ou tractions, sans allongements ou contractions des objets, du fil, etc., en tel ou tel secteur. Chacun de ces deux aspects du progrès général propre au niveau IIB reste donc irréductible à l’autre bien qu’ils soient solidaires. Quant à dire sans plus que le progrès de l’interprétation causale crée le besoin (appétence) de la construction corrélative de l’instrument géométrique, mais que celui-ci est nécessaire (compétence) pour achever cette élaboration dynamique, c’est seulement soutenir qu’il y a interaction et il reste à comprendre quels sont les rapports entre cette appétence et cette compétence.

Or, de façon générale, l’appétence et la compétence ne sont que les deux aspects d’un même processus : l’apparition du besoin (appétence) de construire un nouvel instrument cognitif n’est possible qu’à un certain niveau de compréhension (compétence), puisqu’un tel besoin n’est pas ressenti aux stades antérieurs faute d’apercevoir le problème. Réciproquement, les débuts d’une compétence entraînent certaines appétences nécessaires à son propre développement. Il est donc douteux que, dans le cas particulier, la compétence ne procède que du seul côté logico-géométrique de cette construction d’ensemble et l’appétence que du seul côté causal ou dynamique : on se trouve sans doute au contraire en présence de deux constructions interdépendantes, l’une concernant les opérations logico-géométriques du sujet lui-même, l’autre les opérations attribuées à l’objet (causalité), mais toutes deux en interactions plus étroites encore qu’il n’aurait pu sembler.

Le problème est alors déplacé et se pose sous la forme suivante. Les progrès propres à la construction des structures logico-mathématiques tiennent essentiellement au jeu des « abstractions réfléchissantes », au sein desquelles l’information nouvelle est tirée des actions antérieures du sujet et non pas des objets, tandis que les progrès propres à la connaissance physique des faits ou des lois (en tant que relations répétables ou que « faits généraux ») procèdent par abstraction simple à partir des objets. Or, le propre de l’explication causale est de dégager, au sein des actions qu’exercent les objets les uns sur les autres, des processus analogues aux opérations elles-mêmes

du sujet, autrement dit des processus déductibles et susceptibles de reconstructions opératoires (modèles), en correspondance étroite avec les constructions logico-mathématiques. En outre, l’espace lui-même est à la fois objet de constatations empiriques (espace physique) et de construction logico-mathématique (espace géométrique). On peut donc soutenir que la causalité comme l’espace procède, simultanément et parallèlement, par abstractions à la fois simples et réfléchissantes, en ce sens que, dans l’attribution des opérations à l’objet il s’agit aussi bien de découvrir des propriétés de l’objet ou des relations entre objets que de reconstruire toutes deux au moyen des opérations du sujet (ce qui est vrai dès les stades élémentaires jusqu’à la physique mathématique la plus abstraite). D’un tel point de vue deux problèmes sont à distinguer. Le premier est de nature générale et nous ne le discuterons pas ici : ces reconstructions causales sont-elles subordonnées aux stades d’un développement autonome et endogène des opérations du sujet, ou au contraire celles-ci empruntent-elles une partie des incitations responsables de leur construction aux biaisons objectives et physiques en jeu dans la causalité ? Le second est relatif à l’interaction entre l’aspect dynamique et l’aspect logico-géométrique des résultats du présent chapitre. Or dans la perspective de la causalité, il est clair que tout progrès dynamique appelle une structuration logico-géométrique : c’est ainsi que la notion d’une traction uniforme exercée sur le fil implique une conservation des longueurs. Mais il est non moins clair qu’aucune structure géométrique attribuée à l’objet ne saurait être indépendante d’une dynamique : la conservation des longueurs sur le fil est ainsi inséparable de son indéforma-bilité et de la distinction entre les déplacements et les allongements. Que l’un de ces deux aspects puisse à l’occasion précéder l’autre ou qu’ils se constituent simultanément n’est alors affaire que de prises de conscience ou de conceptualisations occasionnelles et ne tient pas à un ordre intrinsèque de la construction comme telle.