Introduction ^a 🔗

On appelle calcul des propositions l’ensemble des opérations qui consistent à tirer de deux ou plusieurs propositions p, q, etc., posées en tant que vraies ou fausses mais abstraction faite de leur contenu, des assemblages déterminés eux-mêmes en leur vérité et en leur fausseté. Par exemple si p et q sont vraies ensemble, l’assemblage (p. q) est vrai, tandis que (p | q) est faux (incompatibilité).

On appelle bivalente la logique des propositions n’admettant que le vrai (p) ou (p. q) et le faux (p) ou (pTç), par opposition aux logiques polyvalentes qui font intervenir d’autres valeurs telles que le ni vrai ni faux, etc.

On désigne, d’autre part, du nom d’« uninaires » les opérations portant sur un seul terme (l’affirmation p ou la négation p) ; du nom de « binaires » les opérations portant sur deux propositions (par exemple la conjonction p. q) ; du nom de « ternaires » les opérations à 3 éléments (la conjonction p. q.r)-, etc.

On peut exprimer toute opération par le moyen d’une « forme normale » disjonctive, reliant par des disjonctions (v) soit des couples (opérations binaires), soit des trios (opérations ternaires), etc., de propositions distinctes, ces couples ou trios, etc. consistant eux-mêmes en conjonctions (.). Dans le cas des opérations binaires, les duos de base sont fournis par l’expression¹ :

<1) (p * q) ≡ (p. q) V (p. q) V (p. q) V (p. q)

Et, dans le cas des opérations ternaires, on a les trios :

(2) (p ♦ q * r) ≡ (p. q.r) V (p. q.f) ’J (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)

V (p. q.f) M (p. q.r) V (p. q.f)

1. Nous employons le symbole » pour désigner 1’« affirmation complète » ou « tautologie ». Voir notre Traité de logique, Colin (1949), p. 229.

Selon que l’on réunit disjonctivement 0, 1, 2, 3 ou 4 de ces couples ou 0 à 8 de ces trios, on obtient 16 opérations binaires distinctes et 256 opérations ternaires. Ces dernières correspondent aux possibilités suivantes :

1 opération à 0 trio vrai

1 — 8 tries vrais (prop. 2)

8 opérations 1 — 

8 — 7 — 

28 — 2 — 

28 — 6 — 

56 — 3 — 

56 — 5 — 

70 — 4 — 

Si la logique des opérations binaires est fondamentale, celle des opérations ternaires demeure d’un grand intérêt et mérite une étude spéciale à différents points de vue. Tout raisonnement consiste, en effet, à relier entre elles plusieurs propositions et non par deux seulement. Mais, comme les opérations à 4 propositions sont déjà de 65.536, c’est la comparaison des systèmes ternaires avec les systèmes binaires qui est la plus instructive. Il vaut donc la peine de tenter une analyse des 256 opérations ternaires aussi complète que celle dont on est en possession pour les 16 opérations binaires.

Or, chose curieuse, cette investigation n’a jamais été poussée bien loin, quoique le nombre de 256 n’ait rien d’effrayant pour les logiciens. Le Manuel de Boll contient, il est vrai, un tableau des formes ternaires, avec un certain nombre d’équivalences et une représentation géométrique des catégories qu’elles comportent, mais il s’agit là d’une description plus que d’une recherche portant sur les mécanismes opératoires eux-mêmes.

Ce sont ces mécanismes que nous voudrions essayer de dégager dans le présent ouvrage, car seule leur mise en évidence permet une comparaison fructueuse entre les opérations binaires et ternaires.

Il s’agit naturellement, en premier lieu, d’étudier la réduction éventuelle des opérations ternaires aux opérations binaires ou uninaires. Soit une opération ternaire : (p. q.r) ∨ (p. q. f) ∨ (p. q.r). La question se pose de savoir si elle constitue en elle-

même une unité, à la manière des opérations binaires (p 3 q) - ou (p | q) etc. et sans réduction possible à ces dernières, ou bien au contraire s’il est légitime de traduire cette expression normale ternaire sous la forme d’une composition d’opérations plus élémentaires. Dans le cas particulier, on a, en effet¹ :

(3) (p. q.r)y (p. q.f)V (p. q.f)≡ [τ ç] ≡ [(p | q) | (p ) r)J

c’est-à-dire que l’opération ternaire est ici réductible soit à une opération binaire (r } q) réunie par une autre opération binaire (.) à l’opération uninaire (p), soit à deux opérations binaires réunies l’une à l’autre par une troisième opération binaire (|). Le problème est alors de savoir si les réductions sont générales ou non, et comment traiter les expressions uninaires-binaires ou binaires- binaires pour déterminer leurs inverses, leurs réciproques, etc., ou pour les composer entre elles. L’intérêt théorique de cette première question est évident, puisque, si la réduction du ternaire au binaire est toujours possible, ce processus d’assimilation ne saurait sans doute s’arrêter au domaine ternaire lui-même. .

Mais un second problème se pose, d’ordre beaucoup plus général et qui domine en fait le précédent : celui du mode de construction des 256 opérations ternaires et des structures d’ensemble déterminant cette génération. Nous n’entendons pas simplement par système d’ensemble la possibilité de transformer les opérations les unes dans les autres, par exemple :

(P ) q) ≡ (p V q) ≡ p[ q) ≡ (p^) ≡ etc. ’

Nous appelons au contraire systèmes d’ensemble des structures opératoires comportant des lois relatives à leur totalité comme telle : par exemple la structure de « groupe ». Un groupe est un ensemble d’opérations tel que le produit de deux opérations soit encore une opération de l’ensemble ; tel que chaque opération comporte une et une seule inverse ; tel que le produit d’une opération et de son inverse donne l’opération identique (unique) du système (l’opération identique étant celle dont la composition avec une autre opération quelconque ne modifie pas cette dernière) ; tel enfin que 3 opérations quelconques soient

1. Nous employerons le symbole (=) pour désigner l’équivalence entre deux expressions, tandis que (=) sera l’équivalence intérieure à une expression et y jouant par conséquent un rôle opératoire.

associatives¹. Or, nous avons montré ailleurs que les 16 opérations binaires de la logique bivalente des propositions admettent l’existence d’un groupe de 4 transformations exprimant la réversibilité du système².

Toute opération binaire comporte, en effet, une inverse N, qui est sa complémentaire par rapport à 1’« affirmation complète » (prop. 1). Par exemple l’inverse N de p ) q est p. q (puisque p ) q≡ p. q ∨ p. q ∨ p. q). Toute opération binaire correspond également à une réciproque R, qui est la même opération mais entre propositions niées. Par exemple la réciproque R de p ) q est p ) q, c’est-à-dire q 3 p.   Enfin, toute opération binaire peut être transformée en une corrélative C par permutation des (v) et des (.) dans sa forme normale, mais sans changements de signes. Par exemple la corrélative C de p ? q est p. q car, en permutant les (v) et les (.) dans l’expression (p. q y p. q y p. q), on obtient (p ∨ q). (p ∨ q). (p ∨ q), c’est-à-dire une nouvelle expression dont le calcul donne p. q. Appelons en outre I la « transformation identique », qui laisse inchangée l’opération considérée (iii p 5 q). Cela dit, on constate d’emblée que la corrélative C de p ) q, soit p. q, est l’inverse N de sa réciproque R (soit q ? p), ou, ce qui revient au même, que cette corrélative p. q est la réciproque R de l’inverse de p :> q (soit p. q, réciproque de p. q). On se trouve donc en présence d’un groupe commutatif de 4 transformations I, N, R et C, qui s’applique, par quaternes ou par couples, aux 16 opérateurs binaires. En effet en tous les cas (et que R et C soient distincts de N et de I, ou que l’on ait R = 1 et C = N ou encore R = N et C = I), on a toujours :

(4) CR ( = RC) = N ;NR( = RN) = C ; NC ( = CN) = R et

(4 bis) CRN ( = RNC, etc.) = I

1. On exprime souvent, aujourd’hui, ces mêmes conditions en disant qu’un ensemble d’éléments forme un groupe vis-à-vis d’une loi de composition entre ces éléments : 1° Si cette loi est associative ; 2° Si, dans cet ensemble il existe un et un seul élément neutre (c’est-à-dire tel que, composé à droite ou à gauche avec un élément quelconque de l’ensemble, il redonne cet élément); 3° Si tout élément admet un symétrique (c’est-à-dire qu’à tout élément est associé un autre, unique, qui, composé à droite ou à gauche avec le premier, donne l’élément neutre).

2. Traité, p. 286.

Seulement un tel groupe se borne à relier entre elles 4 opérations au plus, au sein de quaternes ou de couples (lorsque deux transformations ne sont pas distinctes), et il reste à déterminer les transformations possibles de ces quaternes ou couples les uns dans les autres.

Il s’agit donc maintenant de chercher sous quelles formes ce groupe INRC se retrouve au sein des 256 opérations ternaires et quelles relations existent sur le second terrain entre les divers quaternes ou couples subordonnés à cette loi. On peut espérer alors, étant donnée la complexité plus grande du système des opérations ternaires, obtenir par cette détermination même de nouvelles lumières sur la structure d’ensemble qui caractérise la totalité des opérations de la logique bivalente. C’est à ce point de vue que nous nous placerons sans cesse en cette étude¹.

1. Pour faciliter la lecture des chapitres qui suivent, se référer à la Table des symboles (p. 228).

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