Chapitre IV.
Les transformations hétérologues par permutations ^a 🔗

I. Soit une expression uninaire-binaire dont la forme générale est p (a) [y (a) r] où (a) est l’opération composante reliant p au couple q r et (oc) l’opération composée reliant q à r. La transformation Pαα consiste alors à permuter (a) et (a), soit :

Paa

(56) p (a) [q (a) r] ► p (a) [q [a] r]

Nous pouvons prendre comme exemple le quaterne des opérations II 3, VI 3, II 25 et VI 25 que l’opérateur Paa transforme en opérations d’ordre IV :

Paa

(57) I(Π3) [q = r] >p = (q.r)IV 35

Paa

N (VI 3) [p | (q = r)] .p=(q∣r) IV 36

R (II 25) [q — f] → [p = (q.r)] ≡ [p = (q V r)] IV 5 Paa

C (VI 25) [p | q = f)] >[p = (q ∣f)]≡[p = q.r) ≡

[p = q( V r)] IV 66

On voit ainsi qu’aux opérations IN R C du premier quaterne correspondent les opérations I N R C d’un second quaterne, puisque IV 36 est la N de IV 35, IV 5 sa R et IV 66 sa C. Nous sommes donc en présence de la structure d’un groupe à 8 éléments, comme à propos des transformations Nh.

Mais il est à remarquer que le second quaterne n’est complet qu’à la condition de donner aux transformations R et C du premier leur forme négative, répondant à la définition de R (inversion du sens des propositions) et de C comme négation de R. Si l’on écrivait l’opération II 25 sous une autre forme équivalente, telle que p. (q = r), car (q = f) — (q = r), la permutation Paa ramènerait à p = (q.r) qui est une équivalence de IV 36.

Notons, en outre, que si les opérations (a) et (a) de la forme générale (56) sont des (. ) ou des (v), sans équivalences (= ou w) ni affirmations ou négations p[ç] ou y[p], la transformation Paa équivaut à la corrélative C :

Paa (58) Si a et a sont (V) ou (.) alors p (a) [q (a) r]  > C

Par exemple :

Pela

(58 bis) (III 1) [q V r] — → [p V (q.r)] = [p | (q | r)] (V 56) = C de III 1

Cette équivalence Paa = C présente une certaine généralité puisque les 8 opérations des deux quaternes complets binaires peuvent être mises sous une forme simple (v) ou (.) : [p 3 q ≡ p v y], [p | q ≡ p ∨ ÿ], etc. Or, nous avons vu que dans les expressions de mêmes formes (v) ou (.), les transformations DNh

1. PIAGET 4

sont égales à la corrélative des transformations effectuées en sens inverse :

DNh = CNhD (prop. 46)

La corrélative constituant, dans les mêmes cas, le produit de la transformation Pa<×, on peut donc inclure cette dernière dans une suite cyclique dont la forme générale sera :

(59) DNh = PaαNhD

Par exemple :

D Nh

(59 bis) IIIl [qVr]→[(p. q)V(p. r)— " « P-V q) V (p V f)] =

[(p∙q l(p∙r)lVIΓ 1

Paa Nh D

IIΓ 1 [q V r]  > [p V (q.r)] — > [p V (q V ?)] → f(p Vq)V⅛ V f)] = VII1

IL Soit maintenant une expression binaire-binaire dont la forme générale sera fp (a) y] (a) [y (β) r] où. (a) est l’opération composante et où (ol). et (β) sont tes deux opérations composées. Par exempte en III 5 [(p = y) . (p vr)] l’opération (a) est (.); (a) est (=} et (β) est (y). La transformation Pαβ consistera alors à permuter (a) et (β), donc dans le cas particulier (=} et (v) sans modifier l’opération composante ni l’ordre des propositions s

PaB

(60) [p (a) q] (a) [p (β) r] — X [p (β) q] (a) [p (a) r]

Par exemple : III5 [(p = q),. (p ∨ r)] [(p ∨ q). (p = r) III9.

Il est alors clair que si l’on soumet la R, la N et la C de III 5 à la même transformation Pαβ, on trouvera tes R, N et C de 1119, c’est-à-dire que la transformation hétérologue Pαβ, jointe aux transformations homologues INRC engendrera un groupe à 8 éléments :

(60) (I) III 5, [(p = φ . (p V r)] M [(p V y) . (p = III 9 (I)

PaB

(N) V 5 [(p = q) | (p V r)] -X [(p V q) | (p = r)] V 9 (N)
PaB

(R) III 36 [(p = q) . (p j r)] -X [<p ∣ q} .. (p = III45 (R)
PaB

(C) V 3© t(p = q) I (p I r)] — X [(p | q) | (p = r)] V 45 (Q

Cette- transformation Pαβ nous sera d’une grande, utilité, pour transformer les uns dans les autres non seulement les éléments

d’une même famille, mais encore ceux de familles (et même d’ordres) differents.

HL Outre les transformations fondamentales Part et Paβ, qui reposent sur la symétrie entre les opérations composées dans les expressions binaires-binaires, ou entre la composante et la composée dans les expressions uninaires-binaires, on peut imaginer des permutations asymétriques, comme entre l’opération composante (a) et l’une seulement ou les deux composées (a ou β ; ou a et β) d’une expression binaire-binaire :

Paa

(61) [p (« ) q} (a) [qj (0) r] * [p (a) q] (a) [q (β) r)

Pas

[P (a) q] (a) [q (β) r] — → [p (a) q] (β’) [q [a)r]

et, si

Pa (αβ)
a = β [p (a) q] (a) [q (β) r] — [p (a) q] (α = β) [q (a) r]

Mais, ces transformations sont moins intéressantes que les précédentes, parce qu’elles ne donnent pas toujours lieu à un groupe reliant entre eux deux ou plusieurs quaterne », faute précisément d’une symétrie logique suffisante. Par exemple, on a l

Pa(ï -,

(62) III 5 [(p = q).(p V r)] [(p = q) V (p. r)J = [(p W q) |

(P ∣ r)l’V 47

Or V 47 demeure dans la même famille d’opérations que III5, Par contre, la réciproque de III 5, qui est III 36, donne :

Paβ.

(62 bis) ΠI36’[(p == q).(p | r) — ⅛ = q) ∣(p. r)]VΠl

qui sort non. seulement de la. famille, mais, encore de l’ordre III-V du quaterne initial III 5, etc.

Par contre, si l’on applique aux opérations de ce type la transformation Paa, on obtient des opérations de même famille et de type [O∙y) = (P ^{v r}>⅛ ^ou [0-9) = (P Γ0k etc., qui sont toutes d’ordre IV, La raison en est que l’opération composante devient l’équivalence (= ou w), ce qui rétablit la symétrie nécessaire à la construction d’un groupe (pour cet exemple, voir le § 31).

De même la transformation Pa (αβ) appliquée aux expressions binaires dans lesquelles on a (α = β) donne lieu à des structures intéressantes. Il en est ainsi de II 7 [(p — q).(p = r)] ; II 12 [p = q).(p w r)] ≡ [(p = q).(p = f)], en :

Pa(αβ)

(63) (I) Il 12 [(p = q) . (p = f)] [(p. q) = (p. r)] ≡

[p | (q = r)] VI 3

Pa (αβ)

(N) VI12 [(p = q) | [(p = r)] _[(p | q) = (p ∣ _f)] ≡

[P I (q = r)] VI 3

Pa (αβ}

(R) II 12 [(p = q).(p = r)] i [(p. q) = (p. r)] ≡

[p | (q = r)] VI 25

Pa(aβ)

(C)VI12 [(p = q) ∣(p = r)] [(p | q) = (p ∣ r)] ≡

[p | (q = r)] VI 25

On voit que II 12, identique à sa réciproque R (d’où VI 12 = N = C) engendre la même opération VI 3 que son inverse VI 12, par le fait que l’opération composante, après la permutation Pa (αβ) devient l’équivalence (=) et que (τ = y) équivaut à (x = ÿ). Mais la réciproque de II 12 écrite sous la forme (p = q). (p = r) engendre VI 25 qui est la réciproque de VI 3, de même que VI 12 écrite sous la forme [(p = q) | (p = r)]. Un tel système présente ainsi l’exemple d’un couple II 12-VI 12 engendrant les deux réciproques d’un quaterne d’une autre famille. Mais, en donnant aux deux incompatibilités VI 12 les formes suivantes, on obtient :

. Pa(αβ) (63 bis) VI12 [(p Wq)V(p W r)] » [(p V q) W (p V r)] ≡

[q = r] II 3

Pa (aβ)

VI12 [(p W q) V (p W f)] → [(p V q) W (p V f)] ≡ (p. (q=r)] II 25

On voit donc que la transformation Pa (αβ), sans présenter la simplicité des permutations élémentaires Paa (uninaire- binaire) et Pαβ, constitue néanmoins à titre d’auxiliaire un opérateur non négligeable de transformation.

En une expression uninaire-binaire dont la forme générale est p (a) [y (a) r], on peut, outre les permutations [y (a) r] *■ [r (a) y] (réciprocité en cas d’implication) et p (a) [y (a) r]   » p (oc) [y (a) r] (permutation Pad), que nous connaissons déjà, permuter la proposition p avec les propositions y ou r. Combinées entre elles, ces 3 transformations donnent les 24 possibilités suivantes :

(64) 1 p (a) [q (a) r] 13 p (a) [q (a) r]

2 p (a) [r (a) q] 14 p (a) [r (a) q]

3 q (a) [p (a) r) 15 q (a) [p (a) r]

4 q (a) [r (a) p] 16 q (a) [r (a) p]

5 r (a) [p (a) q] 17 r (a) [p (a) q]

6 r (a) [q (a) p] 18 r (a) [q (a) p]

7 [r (a) q] (a) p 19 [r (a) q] (a) p

8 [q (a) r] (a) p 20 [q (a) r] (a) p

θ [r (a) P] (a) q 21 [r (a) p] (a) q

10 (P (a) r] (a) q 22 [p (a) r] (a) q

U lq (≈) Pi (a) r 23 [q (a) p] (a) r

12 [p (a) q] (a) r 24 [p (a) q] (a) r

Introduisons maintenant les symboles suivants :

1) Pa. = permutations des éléments sur lesquels porte l’opération (a). Par exemple si en (5) l’opération (a) est ()), on a (p 3 y)→ ⅛ j p).

2) Pa = permutation des éléments de (a). Par exemple si,

Pa

en 13, (a) est l’opération q y r, alors (y j r) — > (r y q).

3) Si, d’autre part, (a) ou (a) est l’opération composante, la permutation Pa ou Pa renverse l’ordre des termes du rapport.

Pa Par exemple si (a) en (1) est (?) on aura p j [y (a) r] — > [y (a) d y p (8).

4) Pu = Ppq ; Ppr ; etc. ou Pqp ; Prp ; etc. = permutation

Ppr

des opérations uninaires. Par exemple p (a) [r (a) y]-→r (a) [P (a) q] — * q (a) [p (a) r], etc.

On constate alors que chaque ensemble de 6 éléments 1-6, 7-12, 13-18 et 19-24 constitue un groupe cyclique par permutations Pu et Pa. ou P a :

(65) 1 (Ppqj* 3 7 (PpqT 9 13 (Ppqî 15 19 (Ppqf 21

3 (Pqr 5 9 (Pqr) 11 15 (Pqr) 17 21 (Pqr) 23

5 (PrpPa) 2 11 (PrpPa) 8 17 (PrpPa) 14 23 (PrpPa) 20

2 (Ppq) 4 8 (Ppq) 10 14 (Ppq) 16 20 (Ppq) 22

4 (Pqr) 6 10 (Pqr) 12 16 (Pqr) 1’8 22 (Pqr) 24

6 (PrpPa) 1 12 (PrpPa) 7 18 (PrpPa) 13 24 (PrpPa) 19

(La transformation PrpPa. ou PrpPa signifie que, outre la permutation Prp il y a alors changement des termes du couple relié par a ou a, du point de vue de l’ordre p, q, r.)

Ces 4 ensembles sont, en plus, reliés les uns aux autres de la manière suivante :

1) Les expressions 1 à 12 correspondent respectivement aux expressions 13 à 24 selon la permutation Paa.

Paa

(66) p (a) [q (a) t] * p (a) [q (a) r] ; etc.

2) Les expressions 1-6 correspondent aux expressions 7-12 -selon Pa et 13-18 à 19-24 selon Pa.

3) Lorsque les opérations (a) et (a) sont mises sous la forme de (v) ou de (.), on a

(67) Paa = C si (a) et (a) = (V) ou (. )

En effet, la transformation homologue € consiste par définition en une permutation des (v) et des (.) dans les opérations composante et composées : d’où C = Paa. Par exemple :

Pci®

III1 p. (q V r) * p V (q. r) ≡ p | (q | r) V 56 ≡ C de ÏU 1

4) Lorsque les opérations (a) et (a) sont mises sous la forme d’implications, les permutations Pa et Pa constituent la réciproque des expressions binaires correspondantes :

R R

<68) (p (a) q] -→ {q (a) p] et [p (a) q] -→ [q (a) p] si (a) et (a) =(3) ou (C)

5) Si l’opération composante (a pour 1-12 et a pour 13-24)

est une implication positive (3 ou c) ou négative, on peut appliquer les deux propriétés suivantes :

(69) p ? [q (a) r] = [q (a) r] 3 p où a est l’inverse de (a)

Par exemple (69 bis) : [p 3 (q.r)] = [(q | r) 3 p]

J^ . - . -■ J^

(70) p 3 [q (a) r] → p 3 [r (a) q] et p 3 [q (a) r] -→ p 3 [r (a) q]

Par exemple :

J^ ----- - jp ……. .

(70 bis) p 3 (q 3 r)→ p 3 (r 3 q) et p 3 (q 3 r) → p 3 (r 3 q)

pp JP

c’est-à-dire p 3 (q ∨ r) -→ p 3 (q | r) et p. (q ∨ r) -→ p. (q | r) (en vertu de x 3 ÿ ≡ x.y, de q 3 r = q ∨ r et de r 3 q = q ] r).

De (69) et (70), on tire alors :

JP

(71) p 3 {q(≈)r] — [r (a) q] 3 p

JP

c’est-à-dire p. [q (a) r] → {r (a) p] .p. 

JP

Par exemple p. (q 3 r)-→(r y q).p. 

On constate donc qu’en considérant les opérations composantes (a pour 1-12 et a pour 13-24) comme des implications négatives x 3 g ≡ x.y ou y 3 x≈y.x, les expressions 7-12 deviennent respectivement les réciproques de 1-6 et les expressions 19-24 celles de 13-18 : p (a) [q (a) r] est alors à traduire par p. ⅛ (« ) r] et [r (a) 9] (a) p par (r (a) q).p (= R), c’est-à-dire p. (q 3 r) et (r 3 q).p ( = R).

6) Dans ce même langage l’expression (1) p (a) [9 (a) r] ≡ p. (q 3 r) donne en (13) la corrélative p 3 (q.r) par permutation de la disjonction (exprimée sous forme d’implication) et de la conjonction. Les expressions 13 à 24 demeurent ainsi les corrélatives de 1 à 12 : il en résulte que les expressions 19 à 24 seront les inverses de 1 à 6 (puisque 7-12) sont les réciproques de 1-6 et que 19-24 sont les corrélatives de 7-12 : or N = CR) et que les expressions 7 à 12 seront les inverses de 13 à 18.

7) Au total, on peut traduire de façon très simple le /

tableau (64), en adoptant le langage mixte des (v) et (.) et des implications positives et négatives :

(72) 1- 6 Opérations directes : (1) p. (q y r)≡p. (qvr)(≡ III1)
7-12 Réciproques : (7) (r 3 q).p ≡≡ p. (q | r) (≡ III 56)

13-18 Corrélatives : (13) p y (q.r) ≡ p | (q | r) (≡ V 56)

19-24 Inverses¹ : (19) (f.q) 3 p = (f y q) y p ≡ p j (q.f) ≡ p | (q V r) (V 1)

On peut ainsi faire correspondre les 24 expressions du tableau (64) aux 24 opérations d’ordre III-V de type p. (q ∨ r) selon la correspondance que nous indiquerons au § 20.

8) On peut naturellement aussi traduire le tableau (64) en n’importe quel autre système d’opérations², quitte à renoncer à ces transformations INRC entre les 4 ensembles 1-6, 7-12, 13-18 et 19-24 et à ne retenir que les transformations Paa entre les ensembles 1-12 et 13-24, les transformations Pa entre 1-6. et 7-12 et Pa entre 13-18 et 19-24. Mais quelle que soit la traduction adoptée pour les opérations (a) et (a), on a toujours, en ce qui concerne les transformations Pu :

(73) Ppr = Ppq Pqr Pa (ou Pa) et Prp = Pa (ou Pa) Prq Pqp

Par exemple Ppr de (1) p (a) [y (a) r] est (6) r (a) [y (a) p]. Or [y (a) p] est Pa de (1) puisque l’ordre qp est l’inverse de l’ordre qr si l’on se réfère à l’ordre de départ pqr.

Remarque. — Au cours des chapitres précédents nous ne nous sommes servis, comme opérations composantes (a) que des conjonctions, incompatibilités et équivalences. Lorsque cette opération composante est (y) ou (c) comme dans les prop. (69) à (72), il est intéressant de connaître une propriété générale de la réciprocité dans les expressions uninaires-binaires :

jp jp

(74) p y [q (a) r] -→ [r (a) q] y p ou p 3 [q (a) r] -→ [r (a) q] y p

Autrement dit la réciproque d’une implication entre une proposition p et une liaison binaire [y (a) r] est l’implication

1. L’inverse est la corrélative, donc la permutée Paa de la réciproque

(ryq).p = (f∖∕q).p >■ (f.q)vp = (f.q) y p.   Elle est aussi la réciproque de

la corrélative p y (q.r) donc py(q.f).

2. Ce qui est forcément le cas lorsque (a) ou (a) sont — , \N, », (3) et PM ou ₉[p].

converse entre la corrélative de cette liaison (soit raq, donc la négation de raq, réciproque de qar) et la proposition p. 

Voici quelques exemples :

p »

(74 bis) p ) (q . r) → (q V r) ) p [≡ p ) q.f] R

p 3 (q V r) → (q . r) 3 p [≡ p 3 (q | r)]

p 3 (q 3 r) → (qH) 3 p [≡ p 3 (q 3 r)] R

p > (q . r) → (q | r) 3 p [≡ p 3 (q . )]

Une telle propriété est donc de nature à faciliter le calcul du passage entre les expressions 1-6 ou 13-18 et les expressions 7-12 ou 19-24 et réciproquement.

En une expression ternaire de forme binaire-binaire telle que (p 3 q)-(p ∨ r), etc., il intervient nécessairement un « moyen terme », puisque sur les 4 propositions de l’expression binaire- binaire, 3 seulement sont distinctes (s’il s’agit d’une opération ternaire), ce qui revient à dire que l’une des 4 se répète dans les deux opérations binaires et joue ainsi le rôle de moyen terme, entre les deux autres propositions : dans le cas de (p 3 q). (q ∨ r), ce moyen terme est q. L’opération Pm consistera donc à permuter le moyen terme q avec un autre moyen terme tel que p ou que r. Nous employerons à cet égard les symboles Pab ou P b a, Pbc ou Pcb, Pag ou Pc a, la figure A étant celle dont le moyen terme est, p, la figure B celle dont le moyen terme est q et la figure C celle dont le moyen terme est r ; soit :

Pba

75) ∕p 3 q).(q Vr)  > (p 3 q).(p V r) Pbc

(P 5 q).(q vr) √p 3 r).(qVr)

P AC

(P 3 q)∙(p vr) >(r 3 q).(p V r) … etc.

La permutation Pm est donc bien déterminée : il suffit de remplacer par la proposition voulue (par exemple p en place de q

¼

le moyen terme antérieur dans celle des deux opérations binaires (p ) q ou p ∨ r) où la nouvelle proposition choisie comme moyen terme n’est pas encore représentée (par exemple p remplacera q dans 7 ∨ r et non pas dans p ) q puisque p ) q contient déjà p). En outre, on substituera la nouvelle proposition à l’ancienne en sa position même et sans se livrer à aucun changement d’ordre à l’intérieur des expressions binaires : par exemple si l’on substitue le moyen terme r à p, l’expression p ) q.p ∨ r donnera r 3 q. p V r et non pas q 3 r. p ∨ r.

Cela dit, la table des permutations Pm possible est la suivante, en tenant compte des permutations Poe, Pβ et Pαβ :

(76) 1 [p (a) q]. [p (β) r] 13 [p (β) q]. [p (a) r]

2 [q (a) P] • [p (β) r] 14 [q (β) p]. [p (a) r]

3 [p (a) q]. [r (β) p] 15 [p (β) q]. [r (a) p]

4 [q (a.) pMr (β) p] 16 [q (β) p]. [r (a) p]

5 IP <≈) <b [q <β) ri 17 [p(β)q],[q(a) r]

« Iq (« ) pMq <β) ^ri ιs {q (W pb [q < ») ri 7 [p (a) q] ■ [r (β) q] 19 [p (β) q]. [r (a) q]

« Iq (“) P] -I^r (β) q] 20 (q (β) pj-Jr (a) q]

9 IP (« ) ri ⅛ (P) r] 21 [p (β) r], [q (a) r]

10 lr<a)pl4q(β) ri 22 [r (β) r].[q(a) r]

11 [P (« ) ^rbl^r (P) q] 23 [p (β) r].jr (a) q]

12 [r (a)p]∙lr (β)q] 24 [r (β) pj.jr (a) q]

On constate alors l’existence de deux groupes cycliques de 12 permutations en suivant l’ordre Pab Pbc Pc a Pab…, etc. : (77) (I) 1 (Pab) 5 ; 5 (Pbc) 9 ; 9 (PcAPβ) 14 ; 14 (Pab) 1« ; 18 (Pbc)

22 ; 22 (PcλPα) 4 ; 4 IPab) 8 ; 8 (Pbc) 12 ; 12 (PcAPβ) 15 ; 15 (Pab) 19 ; 19 (Pcb) 23 ; 23 (PcAPa) 1.

(Il) 2 (Pab) 6 ; 6 (Pbc) 10 ; 10 (PcAPβ) 16 ; 16 (Pab) 20 ;

20 (Pbc) 24 ; 24 (PcAPa) 3 ; 3 (Pab) 7 ; 7 (Pbc) 11 ;

11 (PcAPβ) 13 ; 13 (Pab) 17 ; 17 P(bc) 21 ; 21 (PcAPa) 2.

On voit également que chacun de ces deux cycles passe alternativement de la colonne 1-12 à la colonne 13-24 du tableau (76) : 1 → 5 → 9 (ensemble 1-12) -+ 14 →- 18 → 22 (ensemble 13-24), etc.

Outre les permutations Pm que décrivent ces deux cycles, les éléments du tableau (76) sont reliés entre eux d’une manière constante, à l’intérieur de chaque ensemble de 4 : (1-4), (5-8), (13-16), etc. : chaque élément (1-24) diffère de ses successeurs (1) par une permutation Pa : par exemple le passage de 1 à 2 inverse

LES TRANSFORMATIONS PAR PERMUTATIONS M

p (a) q en q (a) p ; (2) par une permutation Pβ : par exemple le passage de 13 à 14 inverse p (β) q en q (β) p ; (3) Ou par une double permutation Pα + Pβ : par exemple le passage de 2 à 3 ou de 1 à 4 ; ou de 6 à 7 et de 5 à 8 ; etc.

Chaque élément de la colonne (1-12) correspond bi-univo- quement à un élément de la colonne 13-24) par le moyen de la transformation Pαβ (qu’il ne faut pas confondre avec Pα + Pβ) : ainsi :

PaB

(78) [p (a) q]. [p (β) r] (I) -X [p (β) q]. [p (a) r] (13)

Cela dit, les relations remarquables du système sont les suivantes :

1° Chaque élément du cycle I (prop. 77) est relié à son correspondant du cycle II (dans l’ordre même des permutations Pm) par la relation Pa :

(79) 1 JX_2 ;5?X6 ;9^10 ;14JXl« ;18^

4^3 ; « *7 ; 12^11 ; 15^13 ; 19^17 et 23 JX 21.

Mais à appliquer la définition de la gauche et de la droite (donnée à propos du tableau 44), on constate que toutes ces Pa sont à gauche pour les éléments (1) à (12) et à droite pour les éléments (13) à (24).

2° Les transformations Pag (passage de p à r à titre de moyen termes) ou Pca (passage de r à p) ne résultent pas de l’addition simple Pas -f- Psc : par exemple, en substituant r à p en (1) on obtient (23) et non pas (9) (en respectant la règle consistant à conserver l’ordre à l’intérieur des expressions binaires). On aura donc :

(80) Pac = P (ab 4- ne) PαβPα (ou Pβ)

ou (80 bis) Pac = PαβP (ab + bc) Pa (ou Pβ) (commutatif) et (81) Pca = P (cb + ba) PaβPa (ou Pβ)

ou (81 bis) Pca = PaβP (cb + BA)Pa (ou Pβ) (commutatif)

~ Pac

Par exemple (pour 80 et bis) la relation (1) ► (23) équivaut soit à (1) H∆X±-X2 (9) JH (21) H (23) soit à (1) JH- (13)

P (ab + bc) Pa

PcA

D’autre part (81 et bis) (9)  > (14) équivaut soit à

O) BiΞΞ±Ξi> (1) B⅛ (13) JX (U) soit à

(9) (21) (13) JX (U)

soit naturellement aussi à

(9) → (10) (22) jX2Ξ±lX (14), etc.

Quant à savoir comment choisir Pà ou Pβ on aura naturellement Pa si Pβ n’est pas modifié en Pac ou Pca, c’est-à-dire est conservé par la permutation de p avec r, et l’on aura Pβ si c’est Pa qui reste invariant en Pac ou Pca.

En chacun des deux cycles I et II (prop. 77), on trouve ainsi une périodicité des Pa et des Pβ dans les permutations Pca :

Cycle I : 9 (Pca Pβ) 14 ; 22 (Pca Pa) 4 ; 12 (Pca Pβ) 15 et 23 (Pca Pa) 1 ;

Cycle II : 10 (Pca Pβ) 16 ; 24 (Pca Pa) 3 ; 11 (Pca Pβ) 13 et 21 (Pca Pa) 2.

3° On a d’autre part toujours :

(82) Pm = Pα + Pβ

et (82 bis) Pm = PaβPa ou PaβPβ

L’expression Pm signifie 6 permutations successives (ou 3 pour Pm) en suivant l’ordre du cycle I ou du cycle IL

Pin Pm

Par exemple (1) ~→ (4) et (1) — → (14). Or (4) est Pα + Pβ par rapport à (1) et (14) est Pαβ Pβ ou Pa Paβ de (1).

4° Pa et Pβ ne sont pas commutatifs par rapport à Pαβ. On a donc :

(83) PαPαβ = PaβPβ et PβPaβ = PaβPa

Par exemple [(1) — H. (13) -≡ (14)] = [(1) → (2) (14)].

5° Si les opérations composées (a) et (β) sont des (?) ou (t) positives ou négatives ou sont exprimées sous cette forme

(p ∨ q = p ) q ; etc.), alors on aura :

(84 ) Si (a) et (β) = ( ) ) ou ( c ) alors Pa = Ra et Pβ  =  Rβ

(84 bis) Si (a) et (β) = (3) ou (c) alors Pa + Pβ =  R

6° Au cas où (84 et bis) sont vérifiés, c’est-à-dire ou (a) et (β) consistent en implications, on trouve alors la relation fondamentale suivante entre les permutations Pm et la réciprocité R :

(85) Pm = R

Par exemple si (1) ≡ [(p 3 g).(p ∨ r)] ≡(p q).(p y r)] alors (4) sera [(g 3 p).(r 3 p)] ≡ [q 3 p).(p | r)] = R de (1). En effet, Prn — P a + Pβ (prop. 82).

Six permutations Pm successives aboutissent donc à une réciprocité si les opérations composées sont mises sous la forme d’implications, tandis que 12 permutations successives ramènent à l’opération de départ :

(86) Pm = I

Quant à 3 permutations (Pm) on a vu (82 bis) qu’elles équivalent à Pαβ Poe ou Paβ Pβ, ce qui revient à dire, si (a) et (β) sont des implications, que Pm équivaut à une permutation des opérations composées (a) et (β) et à une semi-réciprocité Rg ou Rd ( = Λα ou Pβ selon les cas) :

(87) Pm = PαβRg ou PaβRd

Ces relations essentielles (85 à 87) contribuent à montrer l’unité opératoire des transformations par permutations Pm ou Pαβ et des transformations par négation (R, Rg ou Rd).

7° De (80 à 81 bis) et de (82 bis) ou (87), on tire en outre :

(88) Pαβ = PmPa ou PιnPβ

et, si Pa = Roc et Pβ = Rβ

(88 bis) Paβ = PmRa ou PmRβ

8° Nous nous sommes bornés à considérer la conjonction (.) comme l’opération composante du système. Pour toute autre opération composante commutative, telle que (v) = [p (a) 9] ∨ [p (oc) r] les 24 permutations Pm Paβ Pa et Pβ épuiseront aussi les possibilités. Si l’opération composante est (3) ou (c) = [p (oc) 7] 3 [p (a) r], il va de soi qu’il s’ajoutera alors 24 nouvelles possibilités, par permutation Pa.

Pa

(89) IIP (≈) q] 3 [p (β) r]j — > {[p (β) r] 3 [p (a) q](

Mais cette permutation (89) ne nous sera pas utile. Par contre le système (76) nous servira sans cesse, soit à transformer tes- unes dans les autres les opérations d’une même famille, soit à transformer une famille en une autre : par exemple IV 25

Pab

[(q ⁵ p)∙(p 3 r)] * [(q ) p).(q 3 r)] = V 31 (en ce cas une opération d’ordre IV permute en une autre d’ordre LII-V).

Les permutations précédentes n’épuisent pas la liste des transformations possibles. Il va de soi, d’abord qu’elles peuvent être appliquées aux expressions uninaires-binaires doubles ou binaires-binaires doubles aussi bien qu’aux simples. Mais on peut en outre recourir à une transformation plus limitée qu’une permutation proprement dite et qui consiste simplement à substituer une nouvelle opération à- une opération composée (ou même composante donnée).

Pour ce qui est, par exempte, des 24 opérations de forme p. (q ∨ r) ; p. (q ∨ r) ; p. (q | r) et p. (q [ r) ou inverses, d’ordre III- V, il est immédiatement visible qu’elles correspondent terme à terme aux 24 opérations, d’ordre III-V également, de forme p. (q 3 r)∙∙,p. (q 3 r) ; p (r 3 y)etp.(r > q). La raison en est qu’entre les opérations p ∨ q ; (ou p 3 q) et p q (ou p ∨ q) et p | q (ou q 3 p et q > p (ou p ∨ q) il existe une certaine symétrie, puisque ce sont les mêmes opérations à une négation près (p ∨ q etp ∨ q ou p 3 q et p 3 q). On peut donc recourir à une opération consistant à remplacer (v) par (3), et (∣)par (c)⅛ ou réciproquement et cette opération sera à mi-chemin d’une permutation (puisqu’elle est une substitution simple) et d’une négation (pour tes raisons qut’on vient de voir). Nous désignerons-cette opération par P 3 ∨ et la définirons comme suit :

P 3, ∨  P 3 v

(P- V q) * (p 3 q) et (p | q)  > (q 3 p)

II’est alors facite de construire au moyen d’une telle opération des structures de groupe à 8 éléments ou d’avantage en reliant tes quaternes (v) et (∣)aux quaternes (3>) et (c) :

(90) Quaterne (V) Quaterne (>}

(I) HI l[p∙(qvr)] — → [p • (q 3 r)] III 7

(N) V 1 [p  |  (q V r)] [p  |  (q 3 r)] V 7

(R) -v ■ HI 56, [p • (q I r)] [p . (r 3 q)l III 54

(C) V 56 [p  |  (q |  r)] [p  |  (r 3 q);] V 54

La même opération se retrouve dans le cas des opérations binaires-binaires. Les 24 opérations binaires-binaires d’ordre IV sont à cet égard les. plus, intéressantes.. Trois quaternes appartenant à cet ensemble sont, en effet, de forme (⅛ 3 y), (y- ∨ z\ chacun d’entre eux obéissant aux lois du. groupe INRC. Les 3 autres, quaternes, sont de forme (x 3 y) .(g 3 z} ce qui implique une correspondance entre les opérations (v) et (3) ou (|) et (c) dans l’une des deux opérations composées. D’autre part, chacune de ces 24 opérations comporte une forme équivalente moyennant une. permutation des (v) et. des (>) dans les deux opérations composées (mais avec réciprocité des opérations composées et inversion, de l’opération composante). Par exemple r (91) IV 25 [(q 3 p).(p 3 r)] ≡ [(p V q).(p V r),] ≡ [(p. q) V (p. r)J ≡

[(P V q) | (p | r)}

Autrement dit, ce qui est simple correspondance lorsque l’on substitue une seule (v) à une seule (>X ou réciproquement, devient équivalence en cas de permutation des deux. Mais l’équivalence reposant en ce cas sur la distributivité et la transformation binaire x \ y ≡ x ∨ ÿ, ilya renversement des signes (réciprocité) et inversion d’opération composante.

Dans le cas de ces expressions binaires-binaires d’ordre IV, la transformation P ∨ 3, s’apparente ainsi à la transformation Pαβ, puisque celle-ci se ramène alors à une double transformation P 3 v, l’une portant sur la première et l’autre sur la seconde des deux opérations composées.

On peut de même introduire la substitution des opérations (=) et (.) ou (w) et (|). En effet :

(p = q) = (p. q) v(p. q) et (p w q) = (p. q)V(p. q)

(P ∙ q) = P∙q et (p | q) = (p. q)v(p. q) V (p. q)

La permutation P = (.) ou P w (|) reviendra donc à supprimer le couple (p. q) en P = (.) et à l’ajouter en P w (|), ce qui

conduira, dans le cas d’une expression d’ordre IV telle que [p = (q ∨ r)] et de son inverse [p w ⅛ ∨ r)] à les transformer en opérations d’ordre III-V :

P= .

(92) IV 5 [p = (q V r)]  >  [q v r] III1 et IV 66 [p W (q V r)]

P w I

[p I (q V r)] V 1

On peut de même faire correspondre les opérations d’ordre II-VI {p. y[r]∣ et [q = r] selon la transformation _P[] =. On a, en effet ;

P [q] = (P-q) V (p. q) et p [q] = (p. q) V(p. q)
(p = q) = (p. q) V (p. q) et (p W q) = (p. q) V (p. q)

La permutation P = [] revient donc à transformer le couple (p. q) en (p. q) et le couple (p. q) en (p. q).

Il va de soi, enfin, que ces substitutions d’opérations (dont on peut construire bien d’autres modèles peuvent s’appliquer aux opérations composantes aussi bien qu’aux composées. Par exemple :

P.=

(93) III l [qv r] » [p = (q ∨ r)] IV 5

Elles peuvent même être combinées, par exemple P = . pour l’opération composante et P ∨ y pour la composée

P =.P ∨ y

(94) III 1 [q V r] → [p = (q y r)] IV 17

Telles sont les différentes opérations dont nous allons maintenant nous servir pour structurer les familles d’opérations et pour transformer ces familles les unes dans les autres.