Chapitre VII.
Le système unique de transformations ^a 🔗

’ La difficulté du problème que nous avons à résoudre tient au fait que les compositions des transformations dont nous avons fait usage ne sont point homogènes mais sont de 3 sortes, la troisième à elle seule paraissant d’ailleurs exclure toute composition générale :

1° Deux transformations homologues donnent une transformation

homologue, apparteannt au groupe des 4 : par exemple RN = C ; RC = N ; etc. ;

2° Deux transformations hétérologues peuvent ramener à une transformation homologue : par exemple Nh Ra = I (prop. 36) ; Ra Rβ = R (prop. 34 bis et 48) ; et, si l’opération est mise sous forme d’implications : Pm = R (prop. 85) ;

3° Le produit de deux transformations hétérologues est ordinairement une transformation hétérologue. Cette composition peut être alors elle-même générale ou plus ou moins spéciale. Exemple de composition générale : Pa Paβ = Pαβ Pβ (prop. 83). Exemple de compositions spéciales : si a = (v) et β = (.), on a Paa = NR (prop. 67) et Nh D = CD Nh (prop. 46) ; si a et β sont (=) et (w), on a Pa$ = Nh (prop. 102) ; etc.

Pour composer une suite de transformations quelconques, il est donc nécessaire de tenir compte non seulement (cela va de soi), de leur associativité, de leur commutativité et de leur distributivité permises ou interdites, mais encore de toutes les lois particulières auxquelles les compositions peuvent être soumises en plus de leurs lois générales. Ainsi déterminée, la composition est toujours possible, mais à condition de tenir compte de toutes les transformations sans exception, y compris de celles qui modifient uniquement la forme d’une expression en lui conservant la même signification. Seulement ces compositions de proche en proche sont compliquées et laborieuses : il s’agit donc, pour en dominer le maniement, d’en dégager la structure générale.

Or, transformer les opérations dont sont composées nos 256 expressions binaires-binaires ou uninaires-binaires (qu’il s’agisse de transformer l’une de ces 256 expressions en une autre, ou simplement d’en changer la forme en une forme équivalente), c’est toujours, en fin de compte modifier les formes normales binaires (ou uninaires) de ces opérations composées, en leurs éléments eux-mêmes ou en leur mode d’association. Même la transformation de l’opération composante revient à associer d’une nouvelle manière les éléments des formes normales des opérations composées. C’est donc dans le jeu des substitutions à effectuer au sein des formes normales des opérations binaires ou uninaires considérées, que nous avons à chercher la forme générale des transformations homologues et même hétérologues des

expressions binaires-binaires ou uninaires-binaires, dont ces opérations sont les constituantes.

Pour analyser ces substitutions, commençons par classer et numéroter (de manière à les désigner plus commodément par leurs numéros) les différentes opérations uninaires possibles (que nous désignerons par U 1 à U 6) et les différents couples possibles (que nous désignerons par D là D 12) dont sont constituées les formes normales des opérations binaires composées. On a, en effet, 6 possibilités uninaires et 12 possibilités binaires :

(196) Eléments uninaires : U 1 ≡ p ■; U 2 ≡ ÿ ; ’U 3 ≡ g ; U 4 ≡ ; U 5 ≡ r ; U 6 ≡ f.

Eléments binaires (couples ou duos) :

Ensemble ± p, g D 1 ≡ p. q D 2≡ p. q D 3 = p. q D ½≡p. q

Ensemble ± p, g D5≡p. r D G≡p. f D 7≡p. r D 8≡≡p. f

Ensemble ± g, r D9≡g.r D10≡g.r D 11 ≡ q.r D 12 ≡ q.f

Or, on sait qu’en considérant 0, 1, 2, 3 ou 4 éléments de l’un de ces 3 ensembles binaires, on obtient 16 combinaisons possibles pour chacun (= les 16 opérations binaires) : par exemple, pour l’ensemble p, q[D 1 ∨ D 2 ∨ D 3] ≡ (p ∨ q) ; ou pour l’ensemble q, r [D 10 ∨ D 11 ∨ D 12] ≡(q \r) ; etc. D’autre part, en associant certains des éléments de l’ensemble p, q avec certains de ceux de l’ensemble p, r, on obtient une expression binaire-binaire de figure A (moyen terme p) ; en associant les éléments de p, q avec ceux de q, r on obtient une expression binaire-binaire de figure B (moyen terme g) ; et en associant les éléments de p, r avec ceux de q, r, on obtient une expression binaire-binaire de figure C (moyen terme r). Chacun de ces ensembles comportant un ensemble de parties de 16 éléments, on aura donc :

(169 bis) (± p, g).(± p, r) ≡ 16  ×  16 = 256 combinaisons A

(± P, g)∙(± q> ^r) ≡ 16 x 16 = 256 combinaisons B

(± P, r)∙(± q, r) ≡ 16 x 16 = 256 combinaisons C

Mais, sur les 768 combinaisons différant par leur expression formelle, 256 seulement sont distinctes en leur produit ternaire, pour cette raison que sur l’ensemble des associations possibles,

les deux tiers sont équivalentes au troisième tiers. On a, en effet, les équivalences suivantes :

(197) Couples (duos) Trios

(D 1  ×  D 5) ≡ (D 1  ×  D 9)≡(D5 x D 9) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 1

(DI x D 6) ≡ (D 1 x D 10) ≡ (D 6 x D 10) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 2

(D2  ×  D5)≡(D2 x D 11) ≡ (D 5 x D 11) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 3

(D2 x D 6) ≡ (D 2 x D 12) ≡ (D 6 x D 12) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 4

(D 3 x D 7) ≡ (D 3 x D 9) ≡ (D 7 x D 9) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 5

(D 3 X D 8) ≡ (D 3 x D 10) ≡ (D 8 x D 10) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 6

(D4 × D7)≡(D4 x D 11) ≡ (D 7 x D 11) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 7

(D 4 x D 8) ≡ (D 4 x D 12) ≡ (D 8 x D 12) ≡ (p. q.f) ≡ Tr 8

(D 1 x D 2) ≡ (D 1 x D 3) ≡ (D 1 x D 4) ≡ (D 1 x D 7) ≡ (D 2j x

D 7) ≡ (D 2 x D 8) ≡ (D 3 x D 12), etc. ≡ O

Vingt-quatre associations non-nulles donnent donc seulement

8 produits distincts. Il en sera alors de même pour toute expression ternaire formée de plusieurs trios. Par exemple :

(198) [(p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(D 1 x D 5) + (D 1 x D 6)] ≡ [(D 1

x D 9) + (D 1 x D 16)] ≡ [(D 5 x D 9) + (D 6 x D 10)]

mais sans mélange possible de (D 1 × D 5) ni de (D 1 × D 10) si l’expression est binaire-binaire.

Il en résulte que sur les 768 associations réalisables, 256 seulement donnent lieu à des produits distincts.

Quant aux expressions uninaires-binaires, on a :

(199) (U1 x D 9)≡(U3 x D 5) ≡ (U 5 x D 1) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 1

(U1 x D 10) ≡ (U 3  ×  D6)≡(U6 x D 1) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 2

(U 1 x D 11) ≡ (U 4 x D5)≡(U5 x D 2) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 3

(U1 x D 12) ≡≡ (U 4  ×  D6)≡(U6 x D 2) ≡ (p. q.f) ≡ Tr 4

(U 2 x U 9) ≡ (U 3 x D 7) ≡ (U 5 x D 3) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 5

(U 2 x D 10) ≡ (U 3 x D 8) ≡ (U 6 x D 3) ≡ (p. q.f) ≡ Tr 6

(U 2 ×D11)≡(U4  ×  D7)≡(U5 x D 4) ≡ (p. q.r) ≡ Tr 7

(U 2 x D 12) ≡ (U 4  ×  D8)≡(U6 x D 4) ≡ (p. q.f) = Tr 8

Les produits sont donc les mêmes que ceux du tableau (197), ce qui laisse inchangé le nombre des combinaisons distinctes.

Il est alors facile d’effectuer n’importe quelle opération

binaire-binaire ou uninaire-binaire au moyen de ces deux tableaux. On a, par exemple :

(200) p. (q ) r) ≡ p. [(q.r) ∨ (q.r) V (q.r)] ≡ [U 2 × (D 9 + D 11 + D 12] ≡ [Tr 5 + Tr 7 + Tr 8]

ou :

(201)

[(pvq) | (r 3 p)] ≡ [(p. q) V (p. q) V (p. q)]. [(p. r) ∨ (p. f) v.(p. f)] ≡

[(p. q.r) V(p. q.r)V(p. q.f)]

≡ [(D 1 + D 2 + D 3) × (D 5 + D 6 + D 8)1 ≡

[Tr 1 + Tr 2 + Tr 3 + Tr 4 + Tr 6] ≡ [Tr 5 + Tr 7 + Tr 8]

En effet, la négation des trios 1 à 4 et 6 est l’ensemble des trios 5, 7 et 8.

L’ensemble des 256 opérations ternaires étant ainsi réductible, sous leurs formes binaires-binaires ou uninaires-binaires, à des associations tirées de ces deux seuls tableaux (197) et (199), chacune des transformations homologues ou hétérologues permettant de transformer une opération en une autre peut donc être conçue comme une substitution au sein des composantes U ou D de l’expression considérée, ce qui entraîne ou n’entraîne pas (selon les cas prévus aux tableaux précédents) la substitution des produits Tr, c’est-à-dire dans les trios résultant de l’association de telles composantes. C’est ce que nous allons montrer brièvement pour chacune des transformations envisagées :

N, R et C. — Soit une expression telle que [q. r] résultant de (U 1 x D 9). Sa négation N reviendra à substituer à (U 1 × D 9) l’ensemble des associations complémentaires, c’est₇à-dire non équivalentes à (U 1 × D 9), soit

(202) [q.r] ≡ (U 1 x D9)→(U1 x D10) + (U 1 x D 11) + … (U 2 × D12)≡[p ∣(q.r)]

Sa réciproque R reviendra à substituer à (U 1 × D 9) l’association formée des U et D de signes contraires à ceux de l’association de départ :

(203) (U 1 x D9)→(U2 ⅛ D12)≡ p. (q.f)

La corrélation C sera obtenue par substitution à l’expression de départ des U et D complémentaires de la réciproque R.

Ng, Nd et Nh. — Soit la même expression p. (q.r) mais considérée en tant que résultant de l’association de (p. q) et de (q.r), c’est- à-dire (D 1 × D 9). La transformation Ng consistera alors à substituer à (D Z) ses complémentaires sous (p * q), c’est-à- dire sous l’ensemble (p, q) (voir tableau 196). On aura donc :

Ng

(204) [(p. q).(q.r)] ≡ (D 1 x D 9)— → [(D 2 + D 3 + D 4) x (D9)]M(p | q)-(q.r)]

ce qui revient donc à substituer le trio Tr 5 (p. q.r) au trio Tr 1 (p. q.r) comme produit de la transformation.

La transformation Nd revient à effectuer la même substitution sur D 9 et non plus sur D 1 :

Nd

(205) [(p. q).(q.r)] ≡ (D 1 x D 9)— [(D 1) x (D 10 + D 11 + D 12) = [(p. q).(q | r)]

La transformation Nh revient à effectuer les deux substitutions à la fois :

(206) (DI x D 9) — → [(D 2 + D 3 + D 4) x (D 10 + D 11 + D12) ≡(p∣q)∙(q∣r)

ce qui revient à substituer dans le produit les trios Tr 3, 4, 6, 7 et 8 au trio Tr 1.

Rg, Rd, Cg, Cd et Ch. —   Ces 5 transformations reviennent simplement à appliquer à l’une des opérations composées, ou aux deux (cas de Ch) ce que nous venons de dire de R et de C.

Ra et Ca. — Ces deux transformations qui portent sur l’opération composante et non pas sur les composées consistent à transformer le mode d’association des U ou D constituants, sans substitution proprement dite mais avec adjonctions ou suppressions : il y a alors substitution du tout à la partie ou de la partie au tout.

Par exemple :

(207) [ [p].(q.r)]≡(Ul + D9)3 [p V (q.r)] ≡ [U 1 x D 9] + [U 1 x (D 10 + D 11 + D 12)] + (U 2 x D 9]

ce qui revient à ajouter les trios Tr 2, 3, 4 et 5 au trio initial Tr 1.

La permutation Pa^. — Soit l’expression [(p = q).(p v.r)]≡ [(Z) J -f- D 4) × (D 5 + D 6 + D 7)J. La pehπutation Z⅞cβ revient

alors à substituer à D 1 + D 4 les D correspondants de l’ensemble (p, r) (tableau 196) et à substituer à (D 5 -{-D 6 + DT) les D correspondants de l’ensemble (p, q). Les correspondants (c’est-à-dire les D de mêmes signes) de (D 1 d- D 4) seront donc D 5 et D 8 et les correspondants de (D 5 + D 6 + D 7) seront (D 1 -f- D 2 + D 3). On aura ainsi :

(208) [(p = q).(p vi)]≡[(Dl +D4) x (D 5 + D 6 + D 7)] PaB

→ [(D 1 + D 2 + D 3) x (D 5 + D 8)] ≡ [(p ∨ q). • (P = r)]

ce qui revient à substituer, à titre de produits, les trios Tr 1, 3 et 7 aux trios Tr 1, 2 et 7.

Les permutations Paa. et Pafi. — La même expression [( p = q).{p T r)] ≡ [(D 1 + D 4) × (D 5 + D 6 + D 7)] se transforme, selon Paa. en [(p. q) = (p ∨ r)] et, selon Paβ en [(p = q) ∨ (p. r)]. La substitution consiste alors en adjonction ou suppression d’éléments, c’est-à-dire qu’elle porte sur les relations de tout (= ou v) à partie (.) :

Paa

(209) [(D 1 + D 4) x (D 5 + D 6 + D 7)] — > [(D 1) x (D 5 + D 6 + D 7>] + [D 4 x D 8)]

PaB

(210) [(D 1 + D 4) x (D 5 + D 6 + D 7)] — → [(D 1 + D 4) x D 5)] + [(D 1 + D 4) x (D 6 + D 7 + D 8)] + [(D 2 + D 3) x (D 5)]

La permutation Pa (αβ). — Même principe.

La permutation Pn. — Les transformations Pn assurent le passage d’une expression uninaire-binaire à une expression binaire-binaire équivalente, ou vice versa. Elles peuvent être de deux sortes. La première conserve le couple D de l’expression uninaire-binaire. Par exemple :

Pn

(211) [.q.τ] ≡ [U 1 × D 9] — → [D 1 x D 9] ≡ [D 5 x D 91] ≡I(p∙q)∙(q∙r)l

Pn

[q = r] = [U 1 x (D 9 + D 12>] -→

|(D 1 + D 2) x (D 9 + D 12)] ≡ p [q]. (q = r)

En ce cas la transformation Pn est commutative avec Nh, etc.

La seconde sorte comporte au contraire ône substitution de nouveaux couples D au couple de l’expression initiale :

Pn

(212) [qVr]≡[Ul x (D 9 + D 10 + DU)]— 

[(D 2 + D 3 + D 4) × (D 6 + D 7 + D 8)] ≡ [(p | q) | (p | r)]

En ce second cas la transformation Pn n’est pas commutative avec Nh, etc. On a par exemple Nh Pn — C Pn Nh (voir prop. 46). Le jeu des substitutions de type (206) et (212) permet immédiatement, en ces cas, de déterminer les produits Pn Nh et Nh Pn.

La permutation Pm. — La permutation du moyen terme m revient à substituer à un ou plusieurs couples D appartenant à l’un des ensembles (p, q), (p, r) ou (q, r) (voir les tableaux 196, 196 bis et 197), les couples correspondants (c’est-à-dire de mêmes signes) d’un autre de ces 3 mêmes ensembles. Dans certains cas, la permutation Pm donne un produit équivalent à celui de l’expression initiale :

Pab (213) [(p = q).(p vr)]≡[(Dl + D4) x(D5÷D6 + D 7)]  > [(D 1 + D 4) x (D 9 + D 10 + D 11)]

On a en effet (D 1 × D 5) ≡ (D 1 × D 9) ; (D 1 × D 6) = (DI × D 10), etc. (cf. tableau 197).

Ordinairement, au contraire, la permutation Pm modifie le produit.

La permutation Pu. — Substitution des U pairs entre eux ou impairs entre eux.

Les transformations Ru, Ru’, Rm, etc. (voir prop. 112 à 120 et 126-1). — Ru est la substitution d’un U pair à un 17 impair correspondant (même proposition), Rm une substitution portant sur le moyen terme ; Ru’ revient à substituer aux couples D initiaux de nouveaux couples en fonction de leur association avec U ; etc. La transformation Rm est complémentaire de Rm. Ce sont donc là de simples cas particuliers de substitutions dont le choix est déterminé simultanément par D et U ou par D et la proposition servant de moyen terme.

Les permutations P ) v, P.— , P.*, etc. — Il s’agit ici de la substitution d’une association de D à une autre du même ensemble (p, q), (p, r) ou (q, r). Par exemple :

 »

(214) P ) V = [(D 1 + D 3 + D 4) → (D 1 + D 2 + D 3)] ou [(D 5 + D 7 + D 8) -→ [D 5 + D 6 + D 7)], etc.

Au total, il est évident que toutes les transformations dont A nous nous sommes servi pour construire nos groupes intra- ou interfamiliaux se réduisent à de simples substitutions au sein des opérations uninaires ou des formes normales binaires intervenant dans la composition des 256 expressions binaires-binaires ou uninaires-binaires considérées. On pourrait donc — et c’est là une première solution — concevoir le système unique des opérations ternaires comme un système de substitutions, la transformation d’une opération en une autre consistant en une substitution au sein des constituantes uninaires ou binaires des opérations envisagées.

Mais, si un tel système de substitutions est parfaitement cohérent et s’il est apte à réunir en un seul faisceau l’ensemble des transformations précédentes, tout en mettant en lumière leurs particularités, deux circonstances nous empêchent de nous en tenir à lui pour dégager la structure totale des 256 opérations ternaires. En premier lieu, les substitutions dont il s’agit ne sont pas toutes des substitutions proprement dites, d’élément à , élément, puisque ce sont parfois des substitutions de partie à I tout (prop. 207, 209, 210, 211), lesquelles constituent en fait des additions ou des soustractions plus que des substitutions. En second lieu ce système de substitutions porte sur les associations entre éléments composants et non pas directement sur les produits (les trios Tr 1 à 8) résultant de la composition. Par contre, il est aisé de dresser une table des substitutions possibles entre les trios eux-mêmes : tels seront les tabl. 233 et 239, dont chaque expression élémentaire peut être transformée en une autre par substitution d’un ou de plusieurs des trios constituants (0 à 1234 pour la rangée supérieure et 0 à 5678 pour la colonne de gauche du tabl. 239) : on s’aperçoit alors que l’ensemble de ces substitu- ’ tions traduit sans plus la combinatoire qui caractérise le lattice. Or, il est facile de coordonner cette structure de réseau avec celle du groupe INRC en réduisant toutes les transformations à des réunions (v) ou à des dissociations (7), comme nous allons le montrer maintenant.

Substituer les uns aux autres des couples D ou des opérations uninaires U revient en définitive à substituer leurs produits Tr.

Examinons donc maintenant le système des substitutions appliquées aux trios Tr eux-mêmes, au sein des formes normales ternaires (disjonctives). La transformation la plus générale du système ainsi envisagé consistera donc à passer d’une expression ternaire (forme normale) à une autre, par réunion ou suppression de ses éléments composants (des trios Tr).

Nous avons, en effet, déjà remarqué à plusieurs reprises (voir prop. 138 et 138 bis, ainsi que 141) que les transformations utilisées au cours des chapitres III à VI se réduisent à des additions (ou suppressions) plus ou moins simples de trios Tr au sein des formes normales considérées. Même la transformation, si compliquée en apparence, des opérations uninaires-binaires doubles de la famille III-V c) dans les opérations analogues de la famille TV a) se réduisent comme nous l’avons vu (prop. 180) à la simple adjonction ou suppression d’un seul trio.

Or, il est d’un grand intérêt de constater que ces transformations, dont l’évidence intuitive se perd d’ailleurs sitôt qu’elles sont exprimées sous la forme d’opérations composées¹, obéissent aux lois du groupe (I, N, R, C). Partons d’un exemple élémentaire (215).

On constate en effet, que si la réunion x ∨ y de deux opérations en donne une troisième, l’opération inverse, c’est-à-dire leur négation conjointe (x.ÿb ou conjonction de leurs inverses, donne

cr P< I tr ⅛5⅛ 0⅛⅛⅛ yH 00 00 CÎOl ^b>^b≥ ⅛ tτ⁴ >σ⁴∣σ⁴ p, a⅛ft CM CM r- » > >> tr tr ∣tr ∣σ⁴ p, p, i&, >a oo oo g-z££ V^Z N_Z ×-Z Z yH CM 1. Par exemple [⅛Vr] V [j.f]≡p. ⅛ * r) ou encore [(ri p).(rv ?)].(p. ?[r]] ≡p. (qyr) ; etc.

l’opération inverse N (VI 1, partie commune de VII 1 et de VII 2 et inverse de II 1, qui est la réunion de I 1 et de I 2). D’autre part la réunion des réciproques (Rx ∨ Ry)> donne la réciproque R (II 28, B de II 1). Enfin la négation conjointe des réciproques ou conjonction de léurs inverses (Rx.Ry) donne la corrélative C (VI 28 qui est la C de II 1).

Or, il est essentiel de noter qu’il¹ en va exactement de même lorsque les deux opérations, réunies en une troisième, ont entre elles des éléments (trios) communs, au lieu d’être disjointes comme I 1 et I 2. Par exemple, on peut réunir II 1 [= (p. q.r) ∨ (p. q. f)] et II2 [= (p. q.r) ∨ (p. q.r)] en un seul tout, qui sera III1 [= (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)], tout en respectant les lois du groupe I, N, R, C :

(216) (I) Il ljp,q[r]}vll 2∣p,.r[⅛≡IH l∣p. (qvr)J (I)

(N) VI 1 {p |  q [r]} . VI 2 jp | r [q]∣ ≡ V 1 jp  |  (q V r)} (N)

(R) IL 28 jp . q [r]} V II 27 |p . F [?]) ≡ III 56 jp . (q (. r)(, (R)

(G) VI 28 jp |  q [r]] . VI 27 jp | f [q][ ≡ V 56 jg  |  (q | r)j (G)

Il va de soi, en outre, que si ces compositions sont possibles entre deux opérations, elles le demeurent encore pour un ensemble quelconque. De façon générale, on a donc, pour deux opérations x et y ou pour 3 opérations x, y₁ et y_i, les relations suivantes entre elles et le produit z de leur composition :

(217) (x) ∨ (y) ≡ z (D et [(X) ∨ (y₁)]. (y₂j ≡ (z) (I)

(Nx). (Ny) ≡ (Nz) (N) [(Nx) . (Ny₁)] ∨ (y₂) ≡ (Nz) (N)

<^Rx> y/^Ry) [<^Rx>^v <^Ry^ • (^Ry »> ≡ <^Rz> <^R>

(Cx).(Cy)≡(Cz) (C) [(Cx) . (C(y₁)] ∨ (Ry.) ≡ (Cz) (C)

ou (NRx)).(NRy)≡ (Cz)

Comme exemple d’une composition à 3 opérations, il suffît de combiner les tableaux (215) et (216) en prenant III comme x, II 2 comme y₁ et I 2 comme y₂ :

(217 bis) (I) (II 1  ∨ II 2  = III 1)).(Γ2)≡II 2 (I)

(N) (VI 1 . VI 2  = V 1) ∨ (I 2) ≡ VI 2 (N)

(R) ( II 28 V II 27  = III 56) . (I- 7) ≡ II 27 (R)

(C) (VI 28 . VI 27  = V 56) V (I 7) ≡ VI 27 (C)

L’opération (III 1).(I 2) peut s’entendre de deux manières équivalentes : suppression de I 2 au sein, de III 1 (qui est la

réunion de II 1 et de II 2) ou bien partie commune entre III 1 et VII 2 (inverse donc négation de I 2).

Nous voici donc en possession des transformations générales qui vont nous permettre de construire le système d’ensemble des 256 opérations ternaires et d’en dégager la structure en tant que lois de totalité. Ce qui est vrai de 3 opérations l’étant encore de 256, c’est sous la forme d’une table à quadruple entrée comprenant toutes les opérations ternaires que nous allons maintenant exprimer les propriétés (217).

Pour mieux comprendre la structure d’ensemble des 256 opérations ternaires, il s’agit de la situer dans son processus même de genèse, c’est-à-dire de dégager la loi de construction permettant simultanément d’appliquer les propriétés (217) à toutes les opérations, quelles qu’elles soient (uninaires, binaires, etc.), et de passer de la table des opérations uninaires à celle des opérations binaires, et ainsi de suite. En effet, les propriétés (217) sont entièrement générales, et peuvent être inscrites sous la forme de tables, dont le schéma se retrouvera identique pour 4, 16, 256, 65.536, …, etc., opérations.

I. Opérations uninaires. — Les quatre opéra tions uninaires sont p, p, (p ∨ p) et O (= p. p). Pour appliquer les p ropriétés (217) nous pouvons construire une table à quadruple entrée telle que les éléments situés sur les côtés supérieur et gauche s’addi-

(218)

4.

tionnent (v) au point d’interférence →v et telle que les éléments situés sur les côtés droite et inférieur se multiplient au point d’interférence ∣∖ On a, en effet :

(219) p ∨ p ≡ (p V p) et p. p ≡ O

Les diagonales du carré présentent les propriétés suivantes :

1) Les éléments de la diagonale ^x∖ sont R = I et C = N.

En effet, la réciproque R de (p ∨ p) est p ∨ p) et celle de O est O ;

2) Les éléments de la diagonale sont R = N et C = I.

En effet p est à la fois l’inverse N et la réciproque R de p. 

IL Opérations binaires. — Partons d’une proposition q et soumettons-la aux 4 opérations uninaires précédentes. On aura donc : q, q, (q ∨ q) et O. Multiplions ensuite ces 4 possibilités par p.   On aura :

(220) p. [ (o) V (q) V (q) V (q V q)] ≡ [(o)] V [(p. q)] V [(p. q)] V [(P∙q) V(p. q)]

ce qui donne les 4 opérations binaires suivantes : O ; (p. q) ; (p. q) et p [q] ; c’est-à-dire, outre O, les seules opérations binaires faisant appel exclusivement à p (par opposition à p).

Multiplions maintenant les 4 mêmes opérations q par p :

(221) p. [(o) V (q) V (q) V (q V q)] ≡ [(o)] V [(p. q)] V [(p. q)J V [(p. q) V(p. q)]

ce qui donne les 4 opérations binaires : O ; (p. q); (p. q) et P [q] ; c’est-à-dire, outre O, les seules opérations binaires faisant appel exclusivement à p (par opposition à p).

Dressons maintenant une table à quadruple entrée¹ sur le modèle de (218). Les deux premières de ces entrées sont fournies par (220) et (221) : nous placerons (220) sur le côté supérieur et (221) sur le côté gauche du carré, mais en disposant les éléments (221) dans un ordre tel que chacun corresponde à un élément de (220) qui constitue sa réciproque. Ces deux entrées ainsi déterminées, additionnons (v) élément à élément chacun des éléments de (220) à chacun de ceux de (221). Nous obtenons

1. Ces tables sont isomorphes aux tables de valeur de vérité de Witt- genstein.

ainsi le carré complet (222) et constatons du même coup, que les éléments situés sur les côtés droite et inférieur constituent deux nouvelles entrées de la table, mais, multiplicatives : au point d’interférence des colonnes correspondantes, se trouve, en effet, située la partie commune de deux quelconques de ces éléments clw⅛is l’un sur le côté droite et l’autre sur le côté inférieur du carré ( i*")..

(222)

o p∙q p∙q p⅛1

p. q pWq q [pi ! pVq

p. q q [pj p = q q 3 p

< ⅛

P [ql P I q P 3 q P * q ₍

La table (222) présente donc les propriétés, principales suivantes :

1° Tout élément appartenant au carré dont les 4 angles sont (P w Q)> (P v q), p | q et (p * q) est le produit additif des éléments situés l’un au sommet de la colonne et l’autre à l’extrémité gauche de la rangée dont l’élément considéré fait partie. Par exemple :

(223) (p W q) ≡ (p. q) V (p. q)

(P I Q) ≡ (P∙4) V [p [q[ (P V q) ≡(p. q) vp [q] ; etc.

2° Tout élément appartenant au carré dont les 4 angles sont (o), (p. q), (p = q) et (p. q) est le produit multiplicatif des éléments situés l’un à la base de la colonne et l’autre à l’extrémité droite de la rangée dont l’élément considéré fait partie. Par exemple :

(224) (p W q) ≡ (p ∨ q).(p | q)

© ≡ p [q].p [q]

(p. q) ≡ (q ? p).p [q] ; etc.

3° L’inverse N d’un élément est son symétrique par rapport au centre (®) du carré : (p * q) et (o) ; (p. q) et (p | q) ; (p — q), et (p w q) ; etc. On vérifie alors la propriété (217) (Nx).(Ny) = (Nz)\ Par exemple :

(225) Si (p W q) ≡ (p. q) V (p. q) alors (p = q) ≡ (p y q).(q 3 p) Si (p * q) ≡ P [q]vp [q] alors O ≡ p [q]. p [qf Etc.

4® La réciproque R d≈,un élément est son symétrique par rapport à la diagonale : par exemple (p. q) pour (p. q); (p y q) pour (p∖q)∙, etc. On vérifie alors la propriété (217) (Rx) ∨ (Ry) ≡ (Riz). Par exemple- r

(226) Si (q 3 p) ≡ p [q] V (p. q) alors (p 3 q) ≡ p [q] V (p. q); etc.

5® La corrélative C d’un élément est son symétrique par rapport à la diagonale : par exemple (p. q) et (q 3 p) ; oet(p * q)- ; (p. q) et (p | q) ; etc. On vérifie alors la propriété (217) (Cx).(Cg)≡(Cz)

(227) Si [(p. q) V (p. q)] ≡ (p W q) alors [(q 3 p).(p 3 q)] ≡ (p = q)

6° Les 4’éléments appartenant à la diagonale constituent des couplés tels que N = R et C = I. Par exemple q [p] est à la fois l’inverse N et la réciproque R de q [p] ;

7° Les 4 éléments appartenant à la diagonale \ constituent des couples tels que R — I et C = N. Par exemple (p w q) a pour R (p w q) et pour C son inverse (p> = q) ;

8° Étant donnée l’une des équivalences précédentes, considérée à titre d’équation algébrique, on peut changer de membre un élément (v x) en l’inversant sous forme (.x).. Par exemple :

(228) [(q y p) — p [q] ∨ (ρ.q)( ≡ {(q 3 p).(p. q) = p [q][.

En effet là partie commune de (q 3 p) et de (p ∨ q) est p [ç] ;

9°¹ On peut de même, en l’une des équivalences précédentes, changer de membre un élément (.x) en l’inversant sous la forme (v x) :

(229) {(p = q) = [(q 3 p).(p 3 q)][ ≡ {f(p = q) V(q 3 p)Γ = (p 3 q)[

En effet (p = q) ∨ (p. q) donne (p. q) V (p. q) y (p. q) c’est- à-dire (p y q) ;

10° Si l’on a, par exemple, (p w q) = (p ∨ q). (p | q) et (p W q) = (p. q) V (p. q) alors on en déduit (p Vq).(p | q) = (p. q) v(p. q). Les opérations (8) et (9) peuvent également s’appliquer à de telles équivalences :

(230) [[(p ∨ q).(p | q)] = [(P∙q) v(p∙q)]t≡ ∣[(P V q).(p. q)] = [(p. q) V (p | q)][ ≡ [(p. q) = [(P-q) V (p | q) V (p ∨ q)]} ≡ )(q 3 p) = [(p. q) ∨ (p. q) V (P∙q)l ≡ etc.

Ces opérations (8) à (10) permettent ainsi de généraliser les réunions et multiplications aux éléments frontières eux-mêmes de la table. Mais il ne s’agit en (228) à (230) que d’additions entre éléments entièrement disjoints ou des suppressions correspondantes. Lorsque les termes ne sont qu’en partie disjoints, le calcul est plus compliqué : nous y reviendrons à propos des opérations ternaires (§ 38).

III. Opérations ternaires. — Partons maintenant de deux propositions q et r et soumettons-les aux lois de construction qui ont permis d’engendrer la table (222). Nous obtenons ainsi 16 opérations binaires : o ; (q.r); (q.r); etc., dans lesquelles r joue le rôle que joue q dans la table (222) tandis que q prend le rôle de p.   Ces 16 opérations (q, r) étant posées, multiplions-les par p : nous obtenons alors outre le o les seules 15 opérations ternaires dont tous les trios qui composent leurs formes normales ne contiennent que p par opposition à p.   Soit :

(231) [o =] o ; I 1 [q.r ; I 2 p. q.f] ; I 3 [q.r] ; I 4 [q.f] ; II1 )p. q( [r]} ; II 2 {p. r [q][ ; II 3 [q = r] ;

II 8 [q W r] ; II 9 [r q][ ; II 14 [q r][ ;

III 1 [P• (q V r)] ; III 2 [p. (r 3 q)[ ; III 7 [p. (q 3 r)[ ;

III 22 [q | r] et IVl [q*r]

Multiplions maintenant ces mêmes 16 opérations binaires (q, r) par p.   Nous obtenons ainsi outre le O, les seules 15 opérations ternaires dont les trios composant leurs formes normales font exclusivement appel à p (par opposition à p) :

(232) [o =] o ; I 5, 6, 7 et 8 ; II 23, 24, 25, 26, 27, 28 ; III 53,

54, 55 et 56 ; IV 70.

Ces 16 opérations, dont la forme est la même qu’en (231) à cette seule différence que p est substitué à p, contiennent naturellement les réciproques des opérations (231) puisque chaque opération binaire comporte une (et une seule) réciproque et que p est R de p. 

Construisons alors une table carrée dont le côté supérieur sera occupé par les éléments (231) dans l’ordre indiqué. Plaçons verticalement sur le côté gauche de la table les éléments (232), mais en les ordonnant de manière à ce que chacun corresponde à sa réciproque R en (231). Puis additionnons (v) par couples chacun des éléments (231) à chacun des éléments (232). Nous obtenons ainsi la table des 256 opérations ternaires (voir tableau 233).

Les propriétés de cette table sont les mêmes que celles de la table (222). Pour pouvoir les décrire plus commodément, appelons G 1 l’ensemble des éléments (opérations) situés sur le côté supérieur du carré (donc les éléments de la prop. 231) ; désignons par G 2 l’ensemble des éléments situés sur le côté gauche (donc les éléments de la prop. 232, y compris le O qui est commun à G 1 et à G 2) ; appelons de même G 3 les éléments situés sur le côté inférieur du carré (ce seront les inverses N de G 1) et G 4 les éléments situés sur le côté droit (et qui seront les inverses N des G 2). On a alors :

1° Chacun des éléments de la table, sauf les G 1 et les G 2, constitue le produit de la réunion (v) de l’élément G 1 situé au sommet de la colonne et de l’élément G 2 situé à l’extrémité gauche de la rangée dont l’élément considéré fait partie. Par exemple :

(234) V 28 [f | (p ∨ q)] ≡ II 2 ∣p. r [q]| ∨ III 55 )p. (q 3 r))

IV 51 [(q 3 p).(p ∣ r)] ≡ II 9 jp.f [q]| V [Il 28 p. q [r]} Etc.

2° Chacun des éléments de la table, sauf les G 3 et les G 4 constitue le produit de la conjonction (la partie commune) de l’élément G 3 situé à la base de la colonne et de l’élément G 4 situé à l’extrémité droite de la rangée dont l’élément considéré fait partie. Par exemple :

(235) V 28 [f ∣(pvq)]≡VI 9 {p∣f[q]∣.VII 6 {p∣(q.f)∣

IV 51 [(q 3 p).(p ∣r)]≡VI 2 {p | r [q]}.VI 23 )p | q [r]}

3° L’inverse N d’un élément est son symétrique par rapport au centre du carré (®) : par exemple IV 27 et IV 44 ; III 48 et V 48 ; I 1 et VII 1 ; etc. ;

4 » La réciproque (R) d’un élément est son symétrique par rapport à la diagonale ^x du carré : par exemple I 1 et I 8 ; II 13 et II 6 ; III 17 et III 30 ; etc. ;

5° La corrélative (Q d’un élément est son symétrique par rapport à la diagonale : par exemple III 56 et V I ; I 1 et VII 8 ; etc. ;

6° Les 16 éléments appartenant à la diagonale forment des couples tels que R — N et C = 1. Par exemple IV 1 [p . (q * r)] a pour réciproque IV 70 [ç * r] qui est identique à son inverse [p | (q * r)] ; de même IV 32 et IV 39 ; etc. Ces 16 éléments sont ceux qui constituent des familles IV a), IV b) et IV à), soit 8+2⅛6 = 16 opérations ;

7° Les 16 éléments appartenant à la diagonale forment des couples tels que R = I et C = N. Ce sont ceux qui constituent les familles O-VIII, II-VI c) et ΓV c), soit 2 + 8 + 6 = 16 opérations ;

8° Les éléments G 1 sont les inverses N des éléments G 3, mais, en vertu de (3°) chaque élément G 1 et son inverse G 3 sont disposés symétriquement par rapport au centre de la table. Il en résulte que pour une colonne donnée, par exemple celle dont le sommet est I 1 et la base V 22, l’élément du sommet ( G l_n) et l’élément de base (G 3_n) soutiennent entre eux le rapport :

(236) G 1„ ≡ Na Nβ G 3_n

où Na est la négation de l’opération composante (.) ou (|) et où Nβ est la négation de l’opération composée binaire (par exemple q.r et q | r pour I 1 et V 22). En effet les opérations β étant elles-mêmes disposées symétriquement par rapport au milieu de la rangée G 1 ou de la rangée G 3, en vertu de la symétrie des opérations ternaires G 1 et G 3 par rapport au centre de la table (voir 3°), il en résulte le rapport (236) ;

9° On a également, et pour les mêmes raisons :

(237) G 2_n ≡ Na Nβ G 4„

I

C’est pourquoi, dans les prop. (234) et (235) les deux opérations Il 2 et III 55 dont la réunion engendre V 28 sont dans le rapport Na Nβ avec les deux opérations VI 9 et VII 6 dont la conjonction engendre aussi V 28 ’(de même pour II 9 et II 28 par rapport à VI 2 et VI 23).

Mais pour savoir si ces dernières relations entre le couple (x₁ ^v Ui), qui engendre une opération z, et le couple (⅛₂. y₂) qui engendre la même opération z, restent vraies lorsque x₁ ; x₂; y₁ et y₂ n’appartiennent pas aux 4 côtés G 1 à G 4, il s’agit d’étudier au préalable ce qui se produit si l’on réunit (v) ou si l’on multiplie (.) deux éléments quelconques, intérieurs à la table et non plus seulement les éléments frontières G 1 à G 4. Autrement dit, il convient maintenant de passer du processus générateur qui nous a permis de construire la table (233) aux opérations générales de réunion, ou de conj onction des inverses, entre tous les éléments de cette table. C’est alors seulement, en particulier, que nous pourrons généraliser les procédés de calcul entrevus sous 8° à 10° en II, à propos de la table des operations binaires (222).

IV. Pour parvenir plus commodément à ces opérations générales, procédons comme nous l’avons fait (tableaux 196 à 199) à propos des substitutions d’opérations uninaires ou de couples binaires et représentons par des numéros, non plus ces propositions ou ces couples, mais les trios(p. q.r), etc., qui constituent le produit de leurs associations. Traduisons donc la table (233) en un tableau de numérotation des formes motnmales (disjonc- tives) ternaires, dont la clef sera :

(238) 0 ≡ (trio nul) 5 ≡ (p. q.r)

1≡ (p. q.r) 6 ≡ (p. q.f)

2 ≡ (p. q.f) 7 ≡ (p. q.r)

3 ≡ (p. q.r) 8≡(g.¾.f)

4 ≡ (p. q. r) 12 ≡ (p. q.r) v⅜.q.f) ; etc.

où le symbole (12) représente les n^0s 1 et 2 (et non pas le nombre 12).

On obtiendra ainsi la table (239),, exactement équivalente à la table (233), mais exprimée en formes normales et en symboles numériques.

Partons par exemple de l’opération symbolisée par 17, ce qui signifie donc 1 4- 7 [ = (p. q.r) ∨ (p. ç.r)] ≡ Il 16 et proposons-nous de la réunir (v) à l’opération 28, ce qui signifie 2 4- 8 [= (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ II 13. Nous obtenons ainsi 1 4- 2 4- 7 4- 8 (en suivant l’ordre des nombres entiers), ce qui se lit 1278 » [≡ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. j.r)] et se trouve au point

d’interférence de la colonne 12 et de le rangée 78 (II 1 et II 28). Nous constatons alors que 1278 ≡ IV 15.

Mais nous pouvons aussi chercher de quelles opérations, l’élément IV 15 est la partie commune. Il l’est bien entendu, de VI 23 et de VI 14, en vertu de la prop. 235 (c’est-à-dire d’une propriété générale de la table, commentée sous 2°). En effet, VI 23 = 123478 et VI 14 = 125678, c’est-à-dire que ces deux opérations contiennent bien l’une et l’autre 1278. Mais l’opération 1278 peut être la partie commune ’d’opérations moins éloignées d’elle et comprises entre 1278 et VI 23 ou VI 14 ; effectivement, en suivant sur la droite la rangée dont lait partie 1278, on trouve 12378 (c’est-à-dire 1 4- 2 4- 3 4- 7 4- 8) soit l’opération V 47 qui contient aussi les trios 1, 2, 7, 8. De même en descendant la colonne dont fait partie 1278, on trouve 12678, ■soit V 37 (≡ 1 4- 2 4- 6 4- 7 4- 8). L’opération IV 15 est donc la partie commune non seulement de VI 23 et VI14, mais aussi de V 47 et de V 37, et cela de façon plus proche.

En possession de cet instrument commode de calcul qui est la table (239) (et répétons qu’elle constitue une simple traduction de la table 233), nous allons maintenant pouvoir résoudre les problèmes laissés en suspens sous I quant aux relations internes des éléments G 1 à G 4 et aux opérations générales entre éléments quelconques du tableau. Continuons donc l’énumération des propriétés de la table (voir 1® à 9° sous III) :

10° On vérifie d’abord les lois du groupe INRC, telles ■qu’elles sont appliquées (sous proposition 217) aux réunions et négations conjointes entre opérations interpropositionnelles quelconques (bivalentes). Examinons, à titre d’exemple, la prop. ’240.

En effet 17 4- 38 ≡ 1378. D’autre part 234568 est la complémentaire (donc l’inverse N) de 17 par rapport à l’ensemble des trios 12345678 (ce qui se lit directement sur la table en cherchant le symétrique de 17 par rapport au centre) et 124567 est la complémentaire N de 38 (ce qui se constate aussi par symétrie).

Or la partie commune de 234568 et

Z ⅛ de 124567 est 2456, qui est le complc-

5 men taire (donc N) de 1378. Quant

^r’ aux réciproques R, 28 est R de 17 pour

cette raison que 8 est R de 1 et que 2 est R de ’7 (le fait que 28 est R

T7 ≡ °, de 17 se constate également sur la

^r’ σ 2 table, puisque 28 est le symétrique

^s~^zf । ^x~∙’^z γ^

^vp_r, de 17 par rapport à la diagonale \ ) ;

"S> σ^ιn *

on a de même 16 réciproque de 38

wJ_j a ni puisque 1 l’est de 8 et 6 de 3 (voir

® * “ aussi la symétrie sur la table, par rap-

port à la diagonale )• Or 28 4- 16

ΛΛj[J_ι ≡ 1268 qui est bien R de 1378 (par

“ ⅛ réciprocité 1-8, 2-7 et 3-6 ou par symé-

” 0,3 II trie). Quant à la corrélative, 134567

III — III ⅛ est la complémentaire de 28 et 234578

1 ? ^cr de 16 : or leur partie commune est 3457,

Il ^,h || « complémentaire de 1268 (d’autre part

17 et 134567 ainsi que 38 et 234578 « ÿJL sont symétriques deux à deux par

£ g w rapport à la diagonale ).

III J_jcm II est ainsi possible de réunir (v)

TT^,® ^ O ^ ou de trouver la partie commune (~⅛

00 ^T-( en 2 O ¹ ’ ’

∞ ^σ> [| œ ₁5 de n’importe quel couple d’éléments

Il ça ® intérieurs au tableau (par opposition

Il TT £7°’ ^aux produits additifs et multiplicatifs

0.5 S” oo " ∞ des G1 à 4) et ces opérations obéissent

"T« ‰ « co ® « ∞ aux lois du groupe INRC (ce qui véri-

5ffl⅝ || S ]∣^ fielaprop. 217).

S oo E JT oo o "■ Nous pouvons faire maintenant de J∣∣_ιSJI[S " > S > S même au sein des ensembles-frontières

r- « oo n * r » « » m G 1 à G 4, que nous allons examiner

*^j successivement ;

Ho L’ensemble G 1 comprend o ⅛ d’abord, outre le 0, 4 éléments 1, 2,

eu 3, 4, dont chacun ne peut résulter que

de la réunion de lui-même et de O (soit 1=1+0 ou 1= 10 ;

2 = 2+ 0 ou 2 = 20 ; etc.) et qui ne comportent par conséquent pas de parties communes sauf le O. Mais, additionnés deux à deux ils donnent d’autres éléments de G 1 ; soit :

(241) 1 (11) ∨ 2 (12) ≡ 12 (Il 1) ; 1 (11) V 3 (13) ≡ 13 (II 2) ; etc.

Quant à ces produits additifs (12 à 34) ils donnent eux- mêmes, réunis à 1-4 ou réunis entre eux, les 5 derniers éléments de G 1, y compris 1234 (IV 1), qui les comprend tous :

(241 bis) 12(111) V3(I 3) ≡ 123 (III1) ; 12 (II1) ∨ 4(I4)≡≡ 124 (III2) ; etc. et 12 (II1) V 34 (II14) ≡ 13 (II 2) V 24 (II 9) ≡ etc. ≡ 1234 (IV 1)

12° L’ensemble G 3 est formé des inverses de G 1. Il y a d’abord VIII = 12345678, inverse de O, et qui comprend tous les autres. Puis VII 1 à VII 4, inverses de I 1 à I 4, dont chacun résulte donc de VIII moins l’un des I 1 à 4 :

(242) 12345678 (VIII). 1 (I 1) ≡ 2345678 (VII 1); etc.

La partie commune à deux des VII est un élément d’ordre VI, la partie commune à deux VI est un élément V et enfin l’élément IV 70 est contenu dans chacun des G 3 :

(242 bis) 2345678 (VII 1). 1345678 (VII 2) ≡ 345678 (VI 1); etc.

345678 ( VI 1).245678 (VI 1) ≡ 45678 (V 1) ; etc.

45678 ( V 1). 15678 ( V 22) ≡, etc, ≡ 5678 (IV 70)

13⁰-14⁰ Quant aux éléments G 2 ils sont les réciproques R des G 1 et ils s’engendrent les uns les autres selon le même principe additif que les G 1. Enfin les G 4 sont les inverses N des G 3, donc les réciproques R des G 2 et les corrélatives C des G 1.

Ainsi le système des éléments G, c’est-à-dire les 4 ensemble, G1 à G 4 générateurs de la table entière, se conforme lui-même au principe commun de composition additive (v) et multiplicative (7) et obéit, pour son propre compte, aux lois du groupe INRC. Ainsi , se trouvent appliquées les lois de composition du § 34.

§ 36. Les « bornes » supérieures et inférieures de la table

Si le tableau entier (239) ou (233) des 256 opérations ternaires est donc structuré selon le groupe INRC, il n’en présente pas moins d’autres propriétés. Pour les décrire, nous employerons le vocabulaire des « lattices » et introduirons d’abord les définitions suivantes.

Nous appellerons « borne supérieure » et symboliserons par BS le plus petit des éléments qui en contient deux autres : par exemple II 2 (12) est la BS de I 1 (1) et de I 2 (2), et I 1 est la BS de 1 et de O. Étant donnés deux éléments quelconques, la BS est univoquement déterminée. La « borne inférieure », que nous symboliserons par BJ, sera au contraire le plus grand des éléments contenu en deux autres : par exemple la B J de I 1 (1) et de I 2 (2) est O, mais la BJ de III 24 (236) et de III 25 (237) est II 8 (23 contenu en 236 et 237). Pour un couple quelconque d’éléments la BJ est aussi univoquement déterminée. Nous appellerons réciproquement « plus grands sommandes » (symbole gs) les deux éléments de l’ordre (O, I, II, III, etc.) le plus élevé simultanément compris en une BS à l’exception de cette BS elle-même : par exemple I 1 et I 2 sont les gs de II 1. Mais les gs ne sont pas nécessairement disjoints : par exemple les gs de 128-(III 6) ne sont pas 1 (11) et 28 (II13), mais 12 (II 1) et 28 (II 13) ; ils sont ainsi univoquement déterminés et s’obtiennent de la manière suivante : étant donné un élément quelconque, par exemple 1245 (IV 6), il suffit, pour parvenir aux gs, de remonter la colonne dont 1245 fait partie jusqu’au premier élément entièrement contenu en lui (ici 124 dont III 2) et de suivre de droite à gauche la rangée horizontale dont 1245 fait partie jusqu’au premier élément entièrement contenu en lui (ici 245, donc III 27). Nous désignerons réciproquement du nom de « plus petits multiplicandes » (symbole pm) les deux éléments de l’ordre le moins élevé (I, II, III, etc.) qui contiennent l’un et l’autre un terme jouant le rôle de BJ, à l’exception de cette B J elle-même : par exemple, pour 1245 = BJ, les pm sont 12458 (donc V 44) et 12345 (donc V 56). Il suffit, pour obtenir les pm, qui sont, eux aussi, univoquement déterminés, de partir de la BJ considérée et de descendre la colonne dont elle fait partie, puis de parcourir de gauche à droite la rangée horizontale dont

elle fait partie, jusqu’aux points où se rencontrent les premiers éléments qui la contiennent entièrement. Nous appellerons en outre gsv et pm® celui des gs et celui des pm qui se repèrent en montant ou en descendant une colonne verticale de la table et gsh ou pmh ceux des gs ou des pm qui se repèrent en suivant une rangée horizontale. Nous parlerons enfin, de façon générale, de s et de m pour désigner des sommandes ou des multiplicandes quelconques.

I. Ces définitions posées, demandons-nous d’abord quelles sont les relations entre un couple d’opérations données, x et y.

leur borne, inférieure B J et leur borne supérieure BS, En un tel cas, on considère donc deux bornes, distinctes, tandis que les éléments x et y jouent simultanément le rôle de s et de m (parfois de gs et de : pm mais pas nécessairement). : donc x,. y = (s = m). (Voir la figure : 2).

Fig. 2. — (x, y = s = m)

Soit, par exemple y = 178 (III 21). [(p = q).(q ) r)] et z = 138 (ΠIll)4(p = r).(<pp)],

Leur Bd sera 18 (II 7) [(p = ç).(g = r)] et, leur BS sera 1378 (IV 25) f(φ j p).(p ? r)}„ Remarquons d’abord que 138 et 178. ne sont pas les pm de 18, car, si 178 est bien le pmυ de 18, le pmh de 18 est 128 et non pas 138. D’autre part, 138 et 178 ne sont pas non plus les gs de 1378√ qui sont 127 et 378 : x et y sont dbnc ici des s quelconques, et : des m quelconques. Il existe néanmoins entre eux et leurs bornes inférieure et supérieure, un ensemble de relations générales. On a d’abord, naturellement :

(243) (BJ) ∨ (X) = (x) ; (BJ) ∨ (y) = (y) ; (BJ) ∨ (BS) = (BS) et (244>(BS).(x). = (x):; (BS).(y) = (y); (BS).(BJ) = (BJ) d’où :

(245) (x.y) = (BJ).(BS) et (x V y) = (BJ) ∨ (BS)

Mais ; on. a surtout, puisque l’opération (v) est la corrélative de (.) :

(246) (⅛vy) = Ca (x.y),c’est-à-dire (BS) = Ca (BJ).

On se rappelle que Ca, donc la corrélative C de l’opération composante (a) n’est pas identique à la corrélative C de l’expression- entière qui est C — Ca Ch (proposition 34 ter). Ce n’est que dans le cas des opérations binaires (p. q) et (p ∨ q) que la corrélative C se confond avec Ca, parce que les Ch de p et de q sont p et q, d’où Ca Ch = Ca = C. Par contre dans les expressions uninairesrbinaires ou binaires-binaires, et ternaires en général, Ca est distinct de C. — De même la réciproque de l’opération composante Ra est distincte de la réciproque R qui est R = Rh (prop. 34 bis). Mais on a toujours Na = N (prop. 34). Cela dît, les deux expressions x et y, leur B J et leur BS forment entre elles un groupe, non pas INRC mais I Na Ra Ca. On a, en effet :

(247) (I) x .. y(=BJ) et (I) x ∨ y (= BS)

(Na) (x | y) = x ∨ ÿ (Na) x. ÿ

(Ra) x. ÿ (Ra) (x | y) = x ∨ ÿ

(Ca) xvy(=BS) (Cà) x.y(=BJ)

On remarque alors que :

(248) Na (BJ) = Ra (BS) et Na (BS) = Ra (BJ)

On a, en outre,, tontes les transformations habituelles, du groupe

(249) Na (x.y) = Ra Ca (x.y) et Na (x ∨ y) = Ra Ca (x ∨ y) Na Ra Ca (x.y) = (x.y) et Na Ra Ca (xvy) = (xv y) Etc. Etc.

Dans l’exemple choisi, les transformations (247) donnent l

(249 bis)

BJ :

(I)∙ x . y≡(138).(178>≡18(∏7)

(Na) x ∨ ÿ ≡ (24567) ∨ (23456) ≡ 234567 (VI 7) (Ra) x . ÿ = (24567).(23456) ≡ 2456 (IV 46) (Ca) x V y ≡ (138) ∨ (178) ≡ 1378 (IV 25)

BS :

(I) x ∨ y ≡ (138) ∨ (178) ≡ 1378 (IV 25) (Na) x . ÿ ≡ (24567). (23456) ≡ 2456 (IV 46) (Ra) x ∨ ÿ ≡ (24567) V (23456) ≡ 234567 (VI 7) (Ca) x . y≡(138).(178>≡18(II7)

On voit ainsi que deux éléments quelconques x et y, leur BJ et leur BS forment un groupe isomorphe au groupe IRNC, à condition d’introduire la négation de ces bornes BJ et BS ou des éléments x et y :

On peut donc considérer également les éléments (x.ÿ) ou (*.y), c’est-à-dire les parties non-communes, et leurs négations (* V y) et (x ∨ ÿ), qui signifient, en général et dans l’exemple choisi :

(250) (x . ÿ) = [x. (BJ)] ≡ (138). (23456) ≡ [(138).(234567)] ≡ 3

(250 bis) (x . y) = [y.(BJ)] ≡ (24567).(178)

≡ [(178).(234567)] ≡ 7

(251) (x ∨ ÿ) = (Ï7ÿ) = [(BJ) ∨ ÿ] ≡ (138) ∨ (23456)

≡ [(18) V (23456)] ≡ 1234568

(251 bis) (x V y) = (xTÿ) = [(BJ) ∨ x] ≡ (24567) ∨ (178) ≡ [(18) ∨ (24567)] = 1245678

On trouve alors les relations générales suivantes :

(252) x ∨ y (BS) ≡ x.y (BJ) ∨ (x.ÿ) ∨ (x.y)

ou (252 bis) x.y (BJ) ≡x ∨ y (BS).(x ∨ ÿ).(x V y)

et (253) (xTy) (= Na BJ) = x. ÿ (= Na BS) ∨ (x.ÿ) V (x.y)

ainsi que :

(254) (Na BS) ∨ (BJ) ≡(x.ÿ) ∨ (x.y) ≡ (x V ÿ).(x V y) et (254 bis) (BS).(NaBJ) ≡ (x ∨ y).(x ∨ ÿ) ≡(x.ÿ) ∨ (x.y)

c’est-à-dire que (252) la borne supérieure équivant à B J plus les parties non-communes et que (253) l’inverse de BJ équivaut à l’inverse de BS plus les parties non-communes. Par exemple : 234567 (NaBJ) ≡ 2456 (Na BS) v 3 ∨ 7. Il en résulte alors la prop. (254) : par exemple 2456 (Na BS) ∨ 18 (BJ) ≡ (1234568). (1245678) ≡ 124568 [≡ (x ∨ ÿ).(x ∨ y)] .

Mais la table (239) présente aussi une propriété intéressante au point de vue théorique, parce qu’elle rappelle la « similitude » propre à la logique des relations.

Représentons au moyen des 4 relations — ► , |b, « — et |d

les rapports de position entre les 4 termes BJ, x, BS et y (voir la figure 3). Désignons d’autre part les distances entre deux de ces 4 termes par + nh lorsque le passage de l’un à l’autre suppose un déplacement de n éléments sur une rangée horizontale en allant de gauche à droite (— nh sera le même déplacement de droite à gauche) et par + nυ lorsque le passage exigera un déplacement de n éléments le long d’une colonne verticale en montant (— nv sera le même déplacement en descendant).

On constate alors que, par exemple, dans le cas de BJ = 18 ; x = 138 ; u = 178 et BS = 1378,

les 4 relations sont a = 5 h ; b = — 4 υ ; c = — 5 h et* d = + 4 v. Autrement dit, on a (en distances absolues) : (255) a + b = c + d

Fig. 3

ou (en tenant compte des signes) (a + b) + (c + d) = 0 ce qui revient à affirmer que la distance entre BJ et BS est la même, selon que l’on passe par x ou par y. Or cette rela

tion est toujours vraie, bien qu’elle puisse se présenter sous une forme plus ou moins compliquée.

Sa forme la plus simple est celle des déplacements le long d’une même rangée ou d’une même colonne. Soit, par exemple, x = 13 (II 1) et y = 9 (I 4), c’est-à-dire deux éléments situés en G 1. On a alors BJ = 0 et BS = 134 (III 7) et les relations de distance sont : a = + 6 h ; b = + 7 h ; c = — 9 h et d = — 4 h, ce qui donne 7 + 6 = 9 + 4. Soit maintenant x = 2567 (IV 52) et y = 1568 (IV 33). Leur BJ est 56 (II 23) et leur BS = 125678 (VI 14). Les relations sont donc : a —   — 4 n + 2 h ; b = + 3 h — 1 p ; c = — 4 h + 2 i> et d = — 1 h + 31 ». Le produit est ainsi (a + b) = — 5 i> + 5 h et (c + d) = — 5 h + 5 v.

Cette similitude (255) traduit en termes de relations une propriété générale relative à l’ordre (O, I, II,…, VIII) des éléments : la différence d’ordre (différence du nombre des trios) est la même entre B J et l’un des termes x et y qu’entre l’autre et BS.

Ce que nous noterons en désignant par A cette différence dans le nombre des trios de la forme normale :

(256) (B J A x) = (y A BS) ou (B J A y) = (x A BS)

2 2

Par exemple (O — > 13) = (4— ► 134) puisque O ne contient aucun trio, 13 (Il 1) en contient deux, 4 (I 4) un et 134 (1117) 3. Si x et y contiennent le même nombre de trios comme dans l’exemple des opérations 138 et de 178, on aura de 11 2

même (18— 138) = (178 — 1378) ; ou encore (56 A 2567) = 2

(1568 — > 125678). Au cas où BJ se confond avec x ou y, on a naturellement

O O

(256 bis) Si BJ = x, alors y = BS car (BJ -→ x) = (y — » BS)

Par exemple pour x = 5 et y = 56 on a B J = 5 et BS = 56. Cette propriété (256) découle directement de (243-4) et n’a rien de mystérieux : elle revient sans plus à dire que l’une des parties x moins la partie commune (x.y) égale le tout (x ∨ y) moins l’autre partie (moins y, donc aussi moins x . y). Par exemple 138 moins la partie commune (BJ = 18) donne 3, c’est-à-dire une différence d’un seul trio ; et 178 plus 3 donne 1378, c’est-à-dire qu’il y a de nouveau différence d’un trio : mais il s’agit précisément du même trio (3) !

Il est alors facile de démontrer la similitude (255). Appelons ni la différence du nombre des trios entre BJ et x ; n 2 la différence entre x et BS ; n 3 la différence entre BS et y ; et n 4 la différence entre y et BJ. On a alors (en vertu de 256) :

(257) ni = n3etn2 = n4, d’où nl+∏2 = n3 + n 4

Or, à l’adjonction ou à la suppression d’un nombre n de trios déterminés entre un élément et un autre correspond sur la table des formes normales (239) un ensemble de trajets possibles le long de rangées horizontales (± nh) ou de colonnes (± nu), dont chacune obéit pour son propre compte à la loi (256). Ces trajets ne sont pas déterminés par une loi additive ou multiplicative simple, sinon la similitude (255) serait un truisme, mais par les associations entre les G 1 et leurs réciproques G 2 (ou

entre les G 3 et leurs réciproques G 4). Il s’ensuit que si l’on choisit un x dans l’ensemble G 1 et un y dans l’ensemble des réciproques G 2, on peut toujours faire correspondre à n 1, n 2, n 3 et n 4 (257) des trajets respectifs a, b, c et d tels que a = c et b = d (par exemple si x = 3 et y = 7, on a a = 4- 3 h et c = — 3h ; b = — 2 n et d = 4-2 n); c’est ce qui assure la commutativité nh 4- n’v = n’υ 4- nh. Lorsque, pour un x et un y quelconques, on détermine les trajets entre les B J et leur BS passant par x et par y, on n’a plus nécessairement a = c ni b = d, parce que x n’est plus nécessairement dans la même rangée que BJ ni y dans la même que BS (ni x dans la même calonne que BS ou y dans la même que B J). Mais on a toujours a 4- b = c 4- d, parce que les trajets entre un élément quelconque et un autre sont réductibles à des trajets passant par G 1 et G 2 (par exemple 18 à 37 en passant par 28 et 38 donne 4- 2 h — 1 υ et en passant par 8, 0, 1, 2, 3, 38 donne — 1 h 4- 1 v 4-3h — 2 o = 4*2 h — 1 p), ou à des trajets passant par G 3 et G 4.

Les similitudes (255) à (257) ne font donc que traduire le principe même des tables (233) et (239) : il n’en est pas moins essentiel, au point de vue de l’analyse opératoire, de constater que la structure de ces tables participe ainsi de celle des tables multiplicatives de relations asymétriques transitives, avec leur propriété fondamentale de similitude¹.

IL Analysons maintenant trois cas particuliers des rapports entre x, y, B J et BS : ceux où x et y sont les N, les R ou les C l’un de l’autre², c’est-à-dire où ils sont symétriques par rapport au centre de la table ou par rapport à l’une des diagonales.

Dans le cas où y = Nx (par exemple x = 2358 et y = 1467, il va de soi que BJ est toujours O et BS toujours VIII. On a alors toujours, non seulement a + b = c d (prop. 255) mais encore a = c et b — d :

(258) Si y = Nx alors B J = O et BS = VIII

Dans le cas où y = Rx (par exemple x = 138 et y = 168, d’où B J = 18 et BS = 1368), alors les deux bornes B J et BS

1. Voir notre Traité de Logique, pp. 179-180.

2. Nous disons bien N, R ou C et non plus Na, Ra ou Ca comme les BJ et les BS en (246).

sont nécessairement situées sur la diagonale *\. c’est-à-dire que chacune d’entre elles est identique à sa réciproque. En effet, les trios communs à deux opérations réciproques sont nécessairement en nombre pair (0, 2, 4… 8), puisqu’aucun trio n’est sa propre réciproque (à part O) ; s’ils ne sont pas nuis, ils sont alors réciproques l’un de l’autre par couples, c’est-à-dire que BJ sera sa propre réciproque. Quant à la réunion (BS) de deux opérations réciproques, elle consistera à nouveau en un nombre pair de trios qui seront réciproques par couples puisque les opérations dont ils faisaient partie l’étaient elles-mêmes :

(259) Si y = R (x), alors R (BJ) = BJ et R (BS) = BS

On a en ce cas a = d et b = c.

Enfin, dans le cas où y = C (x) (par exemple x = 1356 et y = 1257, d’où BJ = 15 et BS = 123567), BJ est alors la corrélative C de BS (C et non pas seulement Ca). En effet, si x et y sont corrélatives, elles sont symétriques l’une de l’autre par rapport à la diagonale . En ce cas leurs B J et leur BS le sont aussi entre elles, puisque les corrélatives sont les inverses N des réciproques R : or, les B J et les BS des xety réciproques sont symétriques Γ⅛ne par rapport à l’autre et les BJ et £18’ des x et y inverses le sont également. Si les B J et les BS des a : et y corrélatives sont symétriques l’une de l’autre ce ne peut être aussi que par rapport à la diagonale , puisque x et y le sont et que Γon aa + b = c + d (prop. 255). Donc BJ et BS sont C l’une de l’autre :

(260) Si y = C (x) alors BJ = C (BS) et BS = C (BJ)

On a, en ce cas une relation curieuse entre les relations a, b, c et d : si α = nhn’υ alors c — n’ hrw et si b = n" h n"’υ alors d = n’" h n,,υ. En effet, dans l’exemple cité a (distance entre 15 et 1356) est 5 h 6 v et c (distance entre 123567 et 1257) est 6h 5 v ; de même b (distance entre 1356 et 123567) est 5 h 4v et d (distance entre 1257 et 15) est 4 h 5 v I¹

1. L’entrecroisement est naturellement le même si l’on appelle y l’élément 1356 et x l’élément 1257.

On a donc, du point de vue des similitudes (255) :

(261) Si x  = N (y) alors a =  c et b =  d

Si x  = R (y) alors a =  d et b =  c

Si x  = C (y) alors a =  nhn’p et c  = n’ hny ; b = n" h n"’υ

υ et d =  n’" h n"a

Autrement dit, les 4 termes BJ, x, BS et y forment les 4 sommets d’un parallélogramme

dans le cas x = N (y), d’où l’égalité des grands côtés (a = c) et des petits (ô = c) (fig. 4) ; ils forment, dans le cas x = R (ÿ) les 4 sommets d’un quasi-losange, asymétrique par rapport au centre, d’où l’égalité deux à deux des petits côtés (a = d) et des grands (b = c) (fig. 5) ; enfin dans le cas de la corrélative les 4 même termes forment les 4 sommets d’un trapèze, mais dont les côtés parallèles demeurent virtuels (relations entre BJ et BS ou entre x et y, en pointillé sur la figure 6) : les 4 relations a, b, c et d correspondent alors aux côtés non parallèles et aux diagonales du trapèze, d’où l’entrecroisement des nombres nh n’v et n’hnv pour les couples a et c ou b et d.

Fig. 4

Fig. 5

Fig. 6

On voit, par l’analyse de ces cas particuliers où les opérations x et y sont les inverses, les réciproques ou les corrélatives l’une de l’autre, combien les relations de similitude (255) correspondent profondément à la structure d’ensemble cons

tituée par les 256 opérations ternaires et particulièrement au groupe INRC. (Pour les relations entre les similitudes ou « proportions logiques » et le groupe IRNC, voir V Appendice, p. 223.)

Remarque. — Les similitudes (255-7) ne sont pas spéciales aux réseaux logiques mais correspondent à des propriétés générales des lattices. Soient x et y deux éléments quelconques, xy leur B J et x + y leur BS. Appelons « ensemble quotient » xy/x l’ensemble des éléments compris entre xy et x, soit xy < xy/x < x et « ensemble quotient » y | (x + y) l’ensemble des éléments compris entre y et (x + y), soit y < y/(x + y) < (x + y). On démontre alors que xy/x et y/(x -f- y) constituent deux sous-réseaux isomorphes, c’est-à-dire dont les éléments correspondent terme à terme¹. Par exemple pour nos opérations 28 et 17 (xy = 0 et x + y = 1278), on a : xy/x = 2 et 8 et y/(x + y) = 127 et 178. Nous aurions donc pu fonder le calcul de la similitude sur ces sous-réseaux et non pas sur les « distances » de la table (233)².

Sur cet isomorphisme dex y/x et de y/(x + y) repose d’autre part la démonstration du théorème de Jordan affirmant l’égalité des « chaînes principales » (distances de proche en proche entre deux éléments d’un réseau de Dedekind) : la similitude (256) en est un cas particulier.

Notons encore que dans le lattice des nombres entiers positifs, les mêmes similitudes (ou l’isomorphisme des ensembles quotients) correspondent à une « proportion » proprement dite. On sait, en effet, que les nombres entiers constituent un lattice dans lequel la BS = le plus petit commun multiple (PPCM) et la B J = le plus grand commun diviseur (PGCD). Soient x = le nombre 4 et y = le nombre 6. On a alors BS = le nombre 12 et B J = le nombre 2. D’où la proportion : BJ∣x = y∣BS (2/4 = 6/12) ou x × y = BJ x BS (4 x 6 = 2 x 12).

Il est intéressant de constater que, à la proportion proprement dite qui intervient ainsi dans le domaine des nombres entiers (BJ∣x = y∣’BS) correspond donc une simple similitude (BJ A x) = y A BS) (prop. 256) dans le domaine des opérations

1. La généralisation de ce lemme est due à O. Ore. Voir Hermes et Kôthe, Théorie der Verbande, in Enzykl. derτnath. Wissensch.,ISd. I, Heft 5 (1939), formule 5, p. 13, 10.

2. Nous aurions alors pour la figure 4 un losange proprement dit, avec égalité des 4 côtés.

logiques (fondée par ailleurs sur le groupe 247). Nous avons là un nouvel exemple ≥

de mécanismes communs aux structures logiques et numériques, mais avec la différence qui subsiste ” ∞ « 

toujours en de tels cas entre la quantité inten- S ^o, cm

sive (relations exclusives de partie à tout) et la ” JL ∣∣

quantité extensive (relations quantitatives entre II £ ⅛Λ∙

les parties elles-mêmes)¹ : de ce point de vue, la >1 * _x^

notion métrique de proportion est bien une simi-

. litude logique, mais dont les rapports a/b = c∣d 2233 sont quantifiés par quantification extensive et o p intervention d’une unité commune². >

III. Demandons-nous encore quelles seront 71g 71 les relations entre un ensemble x, y, BR BS et un autre ensemble semblable x’, y’, B J’ et BS’ tel que x’ et y’ soient les N, les R ou les C SJLJL∣∣ de x et y. Reprenons notre exemple initial où II £ £ x = 138 (III 11) et y = 178 (III 21) et dressons la table des 4 possibilités x’ et y’ = I, N, R ou C des x et y (262). 3223

Or IV 46 est l’inverse N de IV 25 ; IV 14 2 ≥ 2 >

est la R et IV 57 la C de IV 25. D’autre part, Tljg ÏOg II 7 est sa propre réciproque et VI 7 également. r2 m cm On constate donc que la BJ des inverses de x ∣∣ ∣∣ ∣∣ ’∣∣ et y est l’inverse de la BS de x et y, tandis que la BS des inverses de x et y est l’inverse de la B J de x et y. Par contre les B J et BS des R de x et y sont les R des B J et BS de x « cm cm

et y. Enfin la BJ des C de x et y est égale à £

la C de BS de x et y et la BS des C de x et y -

est la C de la B J de x et y. 2 S cm

Il II II II « 3S3

Z PC o

1. Voir notre Traité de logique, p. 72. ^Z Kü

2. Voir Piaget et Inheldeb, La représentation de l’espace chez l’enfant, Paris (Presses Universitaires de S France), chap. XII. ζl

On a donc, de façon générale :

(263) B J (Nx, Ny) = N BS (x, y) BS (Nx, Ny)  =  N B J (x, y)

BJ (Rx, Ry) = R B J (x, y) BS (Rx, Ry)  =  R BS (x, y)

B J (Cx, Cy) = C BS (x, y) BS (Gx, Cy)  =  C B J (x, y)

d’où B J (Cx, Cy) = N BS (Rx, Ry) BS (Cx, Gy)  =  N B J (Rx, Ry)

et BJ (Cx, Cy) = R BJ (Nx, Ny) BS (Cx, Cy)  =  R BS (Nx, By)

etc. etc.

On voit ainsi combien les transformations du groupe INRC s’appliquent aux notions de BJ et de BS propres à la structure de lattice que présentent les 256 opérations ternaires. Cela est d’ailleurs bien naturel puisque BJ, BS, x et y forment dès le départ un groupe I, Na, Ra et Ca (prop. 247).

Passons maintenant au problème réciproque de celui que nous venons de discuter sous I à III au § 36 et cherchons à déterminer les relations existant entre les sommandes s et les multiplicandes m (notamment entre les gs et les pm, définis au début du § 36) d’un élément donné jouant simultanément le rôle de BS et de B J (de BS par rapport aux gs et de B J par rapport aux pm (voir la figure 7, à comparer avec la figure 2).

Fig. 7

I. Partons d’un élément quelconque, tel que 1268 (IV 14) [(P ³ q)∙(^{r 3} P)J θu [(P I q) I (P ∨ r)]. Ses gs et ses pm sont ;

1268 (TV 141 - I ¹²⁶ <^{lπ 4}> ⅛∙<^{r 5} P>1 = I<P । 9) Kq ^{3 r})l =  S^sv

gs (iv 14 ; -  |  ₂θ_{8(m 35) [f (pq)] = [(pvr)} j _(q , _{r)] =gsh}

nm 1268 (TV 141 - J ¹²³⁶⁸ <^V48) ∣ ∣ <P ^{W r})l  =  « P W r) ∣(q ₅ r) = pmh

pm U ∨ 14 ; — j ₁₂θ_{78(y 37) [(pwq)} ∣ _(pvr)]=[(p w q) | (q J r)  = _pmv

On aperçoit alors l’existence de certaines relations générales.

En premier lieu, les gs étant, par définition contenus dans BS = B J = BS J (nous désignerons ainsi l’élément jouant simultanément le rôle de BS et de BJ) et BSJ étant contenu dans les pm, il est clair que chacun des gs sera contenu dans l’un et l’autre des pm ; ce que nous écrirons comme suit :

(264) (gsv) V (pmv) = (pmv) et (gsv) ∨ (pmh) = (pmh)

(264 bis) (gsh) ∨ (pmv) = (pmv) et (gsh) ∨ (pmh) = (pmh)

On constate en effet que 126 (gsv) est contenu à la fois dans 12368 (pmh) et dans 12678 (pmv) ; de même 268 (gsh) est , contenu à la fois dans 12368 et dans 12678.

En second lieu, et par conséquent, le passage des gs aux pm consistera toujours en une simple adjonction de trios. Effectivement, si BSJ comporte un nombre Tn de trios (compris entre 0 et VIII), on a :

(265) Si BSJ = Tn, alors gs = Tn —   1 et pm = Tn + 1

Il résulte, en effet, de la définition même des gs et des pm que les premiers sont d’un ordre (0, I, II, etc.) immédiatement inférieur à celui de BSJ et que les seconds sont d’un ordre immédiatement supérieur : la différence entre eux est alors de deux trios. Or, les pm ne peuvent être les inverses des gs, puisqu’ils les comprennent. A part le cas où ils constituent leurs corrélatives C (nous y reviendrons sous III), ils appartiennent donc à une autre famille d’opérations.

Le passage des gs aux pm est ainsi déterminé par l’une des transformations de familles à familles que nous avons étudiées au chapitre VI, du moins par celles d’entre elles qui sont réductibles à de simples adjonctions de trios, sans suppression (ou à des suppressions sans adjonctiorfs). Dans l’exemple cité, où les gs sont III 4 et III 35 (famille III-V a) et les pm\ 48 et V 37 (famille III-V b), la transformation, que nous avons étudiée

plus haut (prop. 189), conserve l’une des deux opérations de l’expression binaire-binaire : (p | q) ou (q ? r) pour gsv et pmh et (p V r) ou (q 3 r) pour gsh et pmv. En d’autres cas, l’une des opérations est inversée, ou est contenue dans la transformée, etc. Mais il y a toujours, correspondant à l’adjonction ou à la suppression des deux trios supplémentaires (prop. 265), transformation directe possible des gs en pm et réciproquement, selon l’un des schémas du chapitre VI. _λ

Il va de soi qu’il en est de même entre l’élément considéré comme BS J et ses gs ou ses pm. Dans l’exemple cité, les relations entre IV 14 [(p | q) | (p ∨ r)] et ses gs III 4 et IV 35 sont déterminées par le tableau (129) et conservent (p | q) pour III 4 et (p ∨ r) pour III 35. Quant aux transformations de IV 14 (famille IV /) en ses pm, qui sont de famille III-V b), elles sont fournies par les tableau^ (187) et (188).

Il en sera enfin de même si l’on considère les sommandes s et les multiplicandes m à des degrés divers, sans se borner aux gs et aux pm, mais alors le nombre des trios à ajouter ou à supprimer sera naturellement variable. Nous y reviendrons au § 39, à propos de la relation « précède ».

IL Deux cas remarquables de relations entre les gs et les pm se présentent lorsque l’élément BSJ est choisi parmi les opérations situées sur l’une des deux diagonales de la table (233) ou (239). Ces relations constituent d’ailleurs simplement les réciproques de (259) et (260). Commençons parla diagonale ¹∖ , dont les éléments sont les couples d’opérations tels que R = I et C = N. En ce cas les gs et les pm présentent 3 propriétés constantes : ils sont respectivement réciproques ; ils appartiennent tous aux deux seules familles I-VII et III-V b) et l’on a toujours ou a (ou β) pm = a (ou β) gs ou pm = Na Na ((ou β) gs.

Pour comprendre la chose, rappelons que la diagonale est composée, outre le O et le VIII, de 8 opérations II-VI c) et de 6 opérations IV c), c’est-à-dire de 8 opérations dont la forme est (p = q).(q = r) et de 6 opérations p = q [r] donc (p = q) = (q = r). La symétrie interner de ces opérations explique alors à elle seule que leurs composantes les plus proches ou leurs pm soient elles-mêmes symétriques, donc à égale distance de la

 »

I

diagonale. Or la symétrie par rapport à la diagonale est, on l’a vu (au § 35 sous 4°) une réciprocité. On aura donc :

(266) Diag. ^V\ : (gsh) = R (gsv) et (pmh) = R (pmυ)

Par exemple II 18 a pour gs I 1 et I 8 (= R) et pour pin 128 et 178, c’est-à-dire III 6 et III 21 (= R) ; IV 24 (1368) a pour gs III 9 (136) et III 45 (368 = R) et pour pm V 27 (13678) et V 48 (12368 = R) ; etc.

Il est donc nécessaire, puisque (à part O et VIII) les éléments de la diagonale appartiennent aux deux seules familles II-VI c) et IV c) et puisque les gs et les pm sont respectivement tous réciproques par couples, qu’ils appartiennent tous eux-mêmes à deux seules familles : I-VII pour II-VI c) et III-V b) pour IV c). En effet, les opérations II c) sont toutes (et sont les seules) formées de deux trios I (1 à 8) réciproques l’un de l’autre. Les gs de II 7, 12, 16 et 19 seront donc tous I et les pm de VI 7, 12, 16 et 19 seront (par symétrie N) tous VII. Quant aux opérations IV c), de forme p = q [r] ou (p = q) = (q = r) leurs gs ne peuvent être que d’ordre III et conserver au moins une opération binaire d’équivalence (=) : ils seront donc III c), de forme (p = q).(q ∨ r) ou (p = q) .(q } r) et leurs pm seront V c) pour la même raison. Quant aux pm des II c) et aux gs des VI c) ils ne peuvent être aussi que de famille III-V b), puisque étant aussi d’ordre III ou V et devant aussi conserver une équivalence (=). Enfin O a pour gs O et pour pm des I ; et VIII a pour pm VIII et pour gs des VIL

On aura donc si nous désignons par n et n’ deux opérations distinctes) :

(267) [gs (Il c)] = [I n] ∨ [In’] et [pm (VI c)] = [VII n]. [VII n’]

[pm (II c)] = [III (b) n].[III (b) n’] et [gs (Vie)] = [V (b) n] ∨ [V (b) n’] [gs (IV c)] = [III (b) n] ∨ [III (b) n’] et [pm (IV c)] = [V (b) n]. [V (b) n’]

Enfin, on a toujours, si l’on met pm et gs sous forme d’expressions binaires-binaires a et β convenables :

(268) a (ou β) pm —  » a (ou β) gs si a (pm) = a (gs) ou (268 bis) a (ou β) pm — > Na (ou β) gs si a (pm.) = Na (gs)

En effet, si l’opération composante a) demeure inchangée en passant de gs à pm (ce qui est le cas pour les opérations II-VI c), on retrouve en pm l’une des opérations composées a ou β de gs. Par exemple les gs de II 18 sont I 1 et I 8 que l’on peut mettre sous la forme I 1 [(p = q).(q.r)] et I 8 [(p ~q).(q. Q]. Or les pm de II 18 sont 128 (III 16) et 178 (III 21), c’est-à-dire [(p = ?) • (r > ç)] et [(p = q).(q j r)], l’opération II 18 elle- même étant [(p — q).(q —   r)]. Il y a donc conservation d’une équivalence (p = q) en passant de gs à pm.

Lorsque, au contraire l’opération composante a s’inverse en passant de gs à pm (ce qui est le cas de IV c), on a, par le fait même la transformation Na Na (ou Nβ). Par exemple IV 15 (1278) [(p — q) — (q —   r)] a pour gs et pm ;

gs 1278 (IV 15) = 127 (III 5) [(p =q).(qvr)] ∨ 278 (III 36) [(p = q).(q | r)] pm 1278 (IV 15) = 12378 (V 47) [(p Wq) ∣(r ) q)]. 12678 (V 37) [(p W q) | (q ) r)]

On retrouve ainsi en pm l’équivalence (p = q) de gs inversée en (p w q) c’est-à-dire que l’on a Na. En d’autres cas l’équivalence ou son inverse sont β ou Nβ (selon les permutations du moyen terme), mais, dans le cas de la diagonale c’est toujours l’opération composée d’équivalence (a ou β) qui se conserve (268) ou s’inverse (268 bis).

On constate donc que les pm et les gs des éléments de la diagonale ^x_x présentent la même propriété Na Nβ que quand les s et les m appartiennent aux ensembles G1 à G 4 (voir prop. 236 et 237). La raison en est que les éléments G1 à G4 constituent, non pas les gs et les pm d’un élément donné, mais les ps et les gm Hes plus petits sommandes et les plus grands multiplicandes). A ce titre, ils présentent naturellement aussi la propriété (264) qui est vraie de tous les s et les m :

(269) (s) ∨ (m) — (m) donc (ps) ∨ (gm) = (gm)

On retrouvera donc, aux extrémités de chaque même colonne ou de chaque même rangée de la table (239) une même opération composée (a) (en fait p ou p). Quant à l’autre, comme les deux extrémités de chaque colonne ou de chaque rangée sont toujours * de même famille (en vertu de la disposition de G 1 à 4) et que

l’opération composante a est inversée, on aura, pour les G comme pour la diagonale *\. Na NÇ>. Ce sont donc les deux propriétés de l’emboîtement de s dans m (269) et de l’identité de famille qui expliquent la commune relation Na Nβ (ou a).

III. Quant aux gs et aux pm des éléments de la diagonale, ils présentent des propriétés analogues, mais se rapportant à la corrélative (Q. On se rappelle, en effet, que les 16 éléments de cette diagonale sont tous d’ordre IV (8 de famille IV a, 2 de famille IV b et 6 de la famille IN d) et qu’ils constituent des couples C = I et R = N. Leurs gs et leurs pm soutiendront donc entre eux les relations suivantes : les gsv et pmh, d’une part, et les gsh et pmv d’autre part, se trouveront respectivement à distance égale de la diagonale, donc respectivement corrélatifs entre eux ; les gs et les pm appartiendront tous aux deux seules familles III-V a) et III-V c).

En effet, les éléments de la diagonale étant chacun identique à sa corrélative ils se décomposeront en gs ou constitueront la partie commune de pm qui seront nécessairement les corrélatifs C les uns des autres ; mais, étant respectivement d’ordre III et V, ils présenteront alors une symétrie croisée¹ : le gsh constituera le symétrique du pmv par rapport à la diagonale (ce qui, nous l’avons vu au § 35 sous 5°, indique la corrélativité) et le gsv le sera du pmh. On aura donc

(270) Diag. 7 : (gsh) — C (pmv) et (gsv) = C (pmh)

Par exemple 1256 (IV 10) [q.(p * r)] a pour gs et pm :

gsh 1256 (IV 10) = 256 (III31) [q.(p | r)]

gsv 1256 (IV 10) = 125(III 3) [q.(pvr)]

pmv 1256 (IV 10) = 12568 (V 39) [q | (p ∨ r)]

pmh 1256 (IV 10) = 12356 (V 52) [q | (p | r)]

ou encore 1235 (IV r) [(p ∨ q).(p ∨ r).(q ∨ r)] a pour gs et pm : gsh 1235 (IV 2) = 235 (III 23) [p = (q.r)].[p | (q.r)] gsv 1235 (IV 2) = 123 (III 1) [p. (q ∨ r)

pmv 1235 (IV 2) = 12358 (V 50) [p = (q.f)] | [p | (q.r)] pmh 1235 (IV 2) = 12345 (V 56) [p | (q | r)]

1. Voir la proposition 201 et la figure 6.

 »

Étant donné cet encroisement des sg et des pm du point de vue de la corrélativité, et étant donné que (à part IV 29 et IV 42) tous les éléments de la diagonale appartiennent aux deux seules familles IV a) et IV d) il est donc nécessaire que les sg et les pm n’appartiennent aussi qu’à deux familles seulement (en réservant le cas des sg et pm de IV 29 et IV 42). Or, on se trouve ici en présence de résultats curieux : 1) Toutes les opérations IV e) ont pour gs et pm des opérations III-V a) ; 2) Les opérations IV a) elles-mêmes ont pour gs et pm des opérations III-V a) sauf IV 2 et son inverse IV 69 ; 3) Deux opérations IV a), soit IV 2 et IV 69 ont, pour gs et pour pm respectivement, une opération III- V a) et une opération III-V c) ; 4) Enfin les deux opérations IV b) elles-mêmes (soit IV 29 et IV 42) ont pour gs et pm des opérations III-V c). On a donc (cf. 267) :

(271) [gs (IV &)] = [III (c) n] ∨ [III (c) n’] et [pm (IV b)] = [V (c) ∏].[V (c) n’]

[gs [IV d)] = [III (a) n] ∨ [III (a) n’J et [pm (IV d)] = [V (a) n].[V (a) n’]

[gs (IV 32, 53, 64, 39 ; 18, 7)] = [III (a) n] ∨ [III (a) n’] et [pm (id)] = [V (a) n]. [V (a) n’]

[gs (IV 2 et 69] = [III (a) n] V [III (c) n] et [pm (IV 2 et 69] = [V (a) n]. [V (c) n]

Or, le fait que ce soit justement IV 2 et IV 69 qui aient des opérations III c) pour gs ou pm (et non pas des opérations III-V c quelconques mais précisément III 23 et III 50) n’est nullement fortuit : on se rappelle (tableaux 112 et 115) que III 23 et III 50 sont les opérations dans lesquelles toutes les autres opérations III- V c) se transforment et qu’il en est de même de IV 2 et IV 69 par rapport à toutes les autres opérations IV a). De plus (tableaux 176, 178 et 180) III 23 se transforme directement en IV 2 et III 50 en IV 69. Quant aux autres opérations III-V c) qui ne figurent pas dans les gs ou les pm des éléments de cette diagonale , ils constituent les s et les m plus éloignés des opérations IV a) différentes de IV 2 ou IV 69.

IV. Notons encore, pour terminer, la manière dont le groupe INRC s’applique à gs et pm, et cela en général (et non pas seulement pour les diagonales). Partons d’une opération x quelconque que nous choisirons II 6 [r.(p — q)] et déterminons,

outre ses gs et ses pm, ceux de son inverse Nx [p | (p = ç)] VI 6, ceux de sa réciproque Rx [f.(p = g)] II 13 et ceux de sa corrélative Cx [f | (p = ç)] VI 13. On obtient alors :

gsh gsυ pmh pmυ

(272) _ _ _ — 

x 17 (11 6) 7 (1 7) 1 (1 1) 127 (111 5) 178 (111 21)

Nx 234568 (VI 6) 34568 (V 5) 23456 (V 21) 1234568 (VII 7) 2345678 (VII 1)

‰28(∏ 13) 8 (1 8) 2 (1 2) 128 (111 6) 278 (111 36)

Cx 134567 (VI 13) 34567 (V 6) 13456 (V 36) 1234567 (VII 8) 1345678 (VII 2)

Or III 6 est la R de III 21 et III 36 l’est de III 5, I 2 l’est de I 7 et I 8 de I 1. On a donc, de façon générale :

(273) gsh (x) = N pmh (Nx) = R gsv (Rx)  =  C pmυ (Cx)

gsυ (x) = N pmυ (Nx) = R gsh (Rx)  =  C pmh (Cx)

pmh (x) = N gsh (Nx) = R pnw (Rx)  =  C gsυ (Cx)

pnw (x) = N gsυ (Nx) = R pmh (Rx)  =  C gsh (Cx)

Il y a là une simple application des diverses transformations du groupe INRC (prop. 240) aux 3 sortes de symétries NRC de la table (233 et 239). Mais cette convergence n’a rien de fortuit : elle montre l’union profonde, au sein du système unique des 256 opérations ternaires, de la structure de groupe avec les notions tirées de celle des lattices (voir aussi sous prop. 263). Nous y reviendrons donc au chapitre VIII.

§ 38. Les règles du calcul

Nous avons vu (prop. 228 à 230) que dans les équations où intervient l’addition entre éléments entièrement disjoints (x ∨ y lorsque x.y = 0) on peut changer de membre un terme en inversant (v x) en (. *) ou (.x) en (v *). Cela reste naturellement vrai des opérations ternaires :

(274) {[(p. (q.r)] ∨  [q.f] ≡ [(p = q).(q = r)∣ = )[(p = q).(q = Γ)].[p I (q.r)] ≡ [q.r]∣

c’est-à-dire :

(274 bis) {[(I1) ∨ (I 8)] ≡ (II 7)} ≡ {[(II 7).^(T8)] ≡ (11)1 ou (1 V 8

= 18) ≡ (18.8.≡ 1)

On a aussi :

(275) ∣[(p = q).(q = r)] ≡ [p | (q V r)].[p | (q ∣ r)]} ≡ {[(p = q). (q = r)] ∨  [q ∣ r] ≡ [p | (q ∨ r)]

c’est-à-dire :

(275 bis) {[II 7] ≡ [(V 53).(V 22)]} ≡ {[II 7) V (V22)] ≡ [V53]} ou encore (par une lecture plus facile sur la table 239) :

(275 ter) {(18) ≡ [(12348).(15678)]} ≡ )[(18) V (234)] ≡ (12348)}

De même, en réunissant le premier membre de (274) au second de (275) :

(276) {(1 V 8) = [(12348).(15678)]} ≡ {1 = [(12348).(15678). (8)] ≡ etc.

On comprend d’emblée la signification de ces opérations : étant donné un terme (II 7) jouant le rôle de BS par rapport à deux éléments entièrement disjoints (I 1 et I 7), c’est-à-dire dont B J = 0, il est facile de retrouver l’un de ces derniers éléments en connaissant BS et l’autre élément (son complémentaire sous BS). Donc :

(277) Si B J = 0 alors [(x ∨ y) = (BS)] ≡ [(BS. ÿ) = (x)] = [(BS. x) = (y)]

De même, étant donné un terme (II 7) jouant le rôle de BJ par rapport à deux éléments (V 53 et V 22) dont la BS est VIII, il est facile de retrouver l’un de ces derniers éléments en connaissant B J et l’autre élément (celui dont la négation est le complémentaire sous VIII) :

(278) Si BS = VIII alors [(x.y) = (BJ)] ≡ [(BJ ∨ x) = (y)] ≡ [(BJ ∨ ÿ) = (x)]

Mais les propositions (277) et (278) ne concernent que des cas particuliers, puisque, dans la grande majorité des situations, on n’a ni BJ = O ni BS = VIII. Il s’agit donc de dégager la forme générale de ces deux opérations.

Introduisons pour cela une nouvelle notion : celle de la complémentaire sous BS. Dans le cas de la proposition (277), l’opération inverse BS.ÿ donne x parce que y est le complémentaire de x sous BS. Mais lorsque x et y ne sont pas entièrement LE SYSTÈME UNIQUE DE TRANSFORMATIONS 177 disjoints (autrement dit lorsque la B J est non nulle), y n’est plus le complémentaire de x sous BS. Il s’agit donc d’introduire la notion que G. Bergmann a définie sous le nom d’« élément complémentaire de première espèce >>¹. Si x < BS, nous appellerons x’ l’élément tel que :

(279) (x.x’) = O et x vx’ = BS

De même si y < BS, il existera un y’ tel que :

(279 bis) (y.y’) = O et y V y’ = BS

Que la B J soit non-nulle ou nulle, on a donc toujours, pour deux éléments x et y :

(280) (xv y) = (χ.y’) ∨ (x.y) ∨ (x’.y) c’est-à-dire

(280 bis) BS = BJ ∨ x’ ∨ y’ (voir la fig. 8)

On remarque que la proposition 280 (dont 280 bis n’est que la traduction) équivaut à la forme nor- male (disjonctive) de la disjonction (v) ~*’^y

elle-même. On constate en outre que cette proposition 280 est identique à (252), puis- x — y que x’ = (x.y) et y’ = (x.y) (prop. 250) χ x.

et que x’ = (x ∨ y) et y’ = (x \ y) ( y’\ x.y ) x" ) (prop. 251). \ \ /  /

Cela posé, il est alors facile de générali- 3√C

ser les propositions (277) et (278) aux cas — ■

où l’on n’a ni BJ = O ni BS = VIII. BS = xvy

Commençons par la composition additive, ^f⅛ ⁸

qui devient entièrement réversible sitôt que l’on remplace les expressions x et y par leur forme complète (tirée de 280 bis) :

(281) x = (BJ ∨ y’) et y = (BJ ∨ x’) d’où :

(282) [(BJ ∨ y’) ∨ (BJ ∨ x’) = BS] ≡ [(BS. x’) = x] ≡ [(BS. ÿ’) =y]

1. Et qui correspond, dans les groupements de classes et de relations à ce que avons appelé les classes et relations « secondaires ». Voir Traité, pp. 104 et 145.

Par exemple x = II7 [(p = q).(q —   r)] et y = II13 (r.(p = ç)].

En ce cas, B J = 18 [q.f] et BS = III6 ([p = q).(r ) y)] ; x’ sera donc BS.(II 7) = (128.18 = 2) = I 2 [y.f] et y’ sera BS.(II 13) = (128.28 = 1) = I 1 [y.r]. On aura donc

(282 bis) (III 6) [(p = q).(r₃ q)].(I2) [q.f] ≡ II 7 [(p = q).(q = r)]
et (III 6) [(p = q).(r 3 q)].(I1) [q.r] ≡ II13 [f.(p = q)]

ou, plus simplement :

(282 ter) [18 ∨ 28 = 128] ≡ [(8 ∨ 1) V (8 ∨ 2) = 128] ≡ [(128.2) = 18) ≡ [(128.1) = 28]

Quant à la composition multiplicative, il suffit également, pour la rendre réversible, de la présenter sous sa forme complète. On a alors (en vertu de 279 et 280 bis) :

(283) x = x.x’ ; y = y.ÿ’ et BJ = BJ.(X’ . ÿ’)

D’où¹ :

(284) [(x.x’).(y.ÿ’) = BJ.(x’.ÿ’)] ≡ [(BJ ∨ x’) = y] ≡ [(BJ V y’) = x]

même exemple x = II 7 et y II 13. Donc x’ = 12 = VII 2

et ÿ’ = ∏ = VII 1 :

(284 bis) [(II 7.VII 2).(II 13.VII 1) = I 8.(VII 2.VII-1)] ≡ [ (18 V I 2) = II 13] ≡ [(I 8 V I 1) = II 7]

ou plus simplement :

(284 ter) [(18.1345678).(28.2345678) = 8.(1345678.2345678)] ≡ [8 ∨ 2 = 28] ≡ [8 ∨ 1 = 18]

Comme χ’ et ÿ’ n’ajoutent ni n’enlèvent rien dans le premier membre de l’équation (283), on peut l’écrire sans plus :

(285) [(x.y) = B J] ≡ [(B J ∨ x’) = y] ≡ [(B J V y’) = x]

Mais la forme complète (284) donne les raisons de la présence de x’ et y’ dans le second membre, par inversion de (BJ.χ’) en (BJ ∨ x’) et de (BJ .ÿ’j en (BJ ∨ y’).

1. Les éléments et ÿ’ (négations de x’ et y’) correspondent aux « éléments complémentaires de seconde espèce » de G. Bergmann : UN BS = 1 et x’.BS = x.

Ainsi les opérations d’inversion (277) et (278) se trouvent entièrement généralisées. On constate, en effet, que (277) est un cas particulier de (282) dans lequel x’ = y = x et y’ — x = ÿ (puisque B J = O) et que (278) est un cas particulier de (284),.. dans lequel x’ équivaut à χ et y’ à ÿ (puisque BS est VIII).

Il est à remarquer seulement que la réversibilité entière qui permet ainsi de retrouver n’importe quel élément à partir des autres (donc de transformer les équivalences du système en équations calculables¹) exige la considération, non plus de 4 termes seulement (x), (y), (x.y = B J) et (x ∨ y = BS) mais de 6, par adjonction de (x’) et (y’), sans parler de (χ’) et de (ÿ¹). Ceci soulève un problème théorique général, sur lequel nous reviendrons au chapitre VIII : celui des relations entre la structure des lattices, qui exprime les emboîtements (BJ et BS) et celle des groupes, qui assure la réversibilité du système et permet l’utilisation des transformations algébriques fondées sur elle.

§ 39. Les opérations (v), (.), (v), (7)
ET LA COMPOSITION DES IMPLICATIONS

Nous n’avons insisté, à propos des systèmes d’ensemble interpropositionnels (222) et (233), ainsi d’ailleurs qu’à propos des compositions analysées au cours des chapitres I-II, que sur les opérations de réunion (v) ou de jonction (.) ainsi que sur leurs inverses, mais sans faire grand usage des implications (3 ou c) plus malaisées à composer. Il nous reste donc à montrer comment l’implication est comprise dans le système des transformations étudiées jusqu’ici et en quoi elle y joue même un rôle essentiel (ainsi que le § précédent permet de le soupçonner).

Soit, en effet, la transformation fondamentale consistant à réunir une opération x et une autre opération y en leur borne supérieur BS, que nous appellerons ici z :

(286) x ∨ y = z (= BS)

On peut toujours, en une telle relation, décomposer y en xy ∨ x’, où xy est la partie commune à x et à y (xy peut être positive ou nulle) et où x’ est l’élément complémentaire de

1. Fondées sur le groupe (247) et ses conséquences (248 à 254).

première espèce (prop. 279 et 280) c’est-à-dire x’ = z. x. On peut alors remplacer la proposition précédente (286) par la proposition équivalente (dans laquelle xy est compris en x) :

(286 bis) x ∨ x’ = z

Or il est immédiatement visible que cette égalité équivaut aux implications x 3 z et x’ y z. En effet :

(287) x j z ≡ x.z ∨ x’ z (= x.z) ∨ x.z x’ ) z≡x’z vxz (= x’z) Vx’z

Or [x ∨ x’= z] ≡ [x z ∨ x’z V (x.x’).z]

On voit que ces 3 propositions sont équivalentes, car x.z, X’ z et x.x’ .z sont un seul et même terme si x ∨ x’ = z et si x’ = x.z.

Toute réunion d’éléments en leur BS équivaut alors à un système d’implications et toute relation entre une opération et celles qui l’englobent est une implication. Par exemple la conjonction binaire (p. q) est comprise dans l’implication binaire (p 3 q) = (p.q) ∨ (p. q) ∨ (p. q). En ce cas x = (p. q); z = (p s q) et x’ = [(p. q) ∨ (p. q)J = p [q]. On peut donc écrire indifféremment :

(288) (p. q) V )p]q]} =(p > q)

ou (288 bis) (p. q) 3 (p 3 q) = (p ♦ q)

car le calcul de (p. q) ∨ p [y] = (p ) q) donne {[(p.q) ∨ (p. q) v (p ?)] V [(j>7q).p M.(p. ç)]! = [(p 3 q) V (p. ÿ)] = (p * q).

Les deux propositions sont exactement équivalentes et tout ce que nous avons dit jusqu’ici en termes de réunion (v) ou de produit (.) pourrait donc s’écrire en langage d’implications.

Mais que signifie la relation (p. q) 3 (p 3 q) ? Et surtout que signifie l’implication analogue o ) (p ) q) ? On a, en effet :

(289) [(O) ) (p ) q)] ≡ [O.(p 3 q) = o] V [Ô (= p * q).(p ) q) = p 3 q] ∨ [ô (= p * q).(p j q) = p. q] ≡ (p * q)

On a, en outre :

(289 bis) (p. q) ) (p * q) = (p * q)

donc :

(289 ter) (p. q) ) [(p J q) V (p. q)]

I "

L’implication (p. q) ? (p 3 q) exprime un rapport souvent exprimé par les mots : « la partie implique le tout ». Et l’implication o 3 (p 3 q) signifie que cela reste exact même de la partie nulle, autrement dit (comme on le traduit parfois) que le faux implique le vrai. Or, malgré le célèbre axiome de Russell p 3 (p ∨ q), on ne saurait accepter sans précautions ces deux interprétations. Étant données les équivalences (286 bis) et (287) ou (288) et (288 bis), nous dirions plus simplement que tout élément implique la possibilité d’être réuni à d’autres pour constituer une totalité qui l’englobe. En effet, soutenir que la partie (et même la partie nulle) implique le tout, c’est oublier que le produit de cette implication est toujours (p * q) (ou p * q * r, etc.), donc le système total envisagé : or, un tel produit signifie, si l’on veut, que (p. q) 3 (p J q) est « toujours vrai »; mais il signifie nécessairement aussi (et c’est à cette condition seulement que l’implication est « toujours vraie ») que (p. q) 1 (p 3 q) équivaut¹ à (p 3 ç) ∨ (p b q), puisque (p * q) = (p ) q) ∨ (p. q) et que (p. q) = (p 3 q). En d’autres termes, en affirmant que la partie (p. q) implique le tout (p 3 q), on se borne à soutenir que la réunion d’un élément quelconque et de tous les autres donne l’ensemble total : l’implication du tout par la partie se dissout en une addition de toutes les possibilités. En effet, s’il est vrai d’affirmer que (p. q) 3 (p 3 q) (prop. 288 bis), il est tout aussi vrai d’affirmer que (p. q) 3 [(p 3 q) ∨ (p 3 ç)] (prop. 289 ter), ce qui atténue sensiblement la portée de l’affirmation (p. q) 3 (∕>5g)l

Il est donc indispensable — et c’est ce qui rend délicat l’emploi de l’implication — de ne conférer un sens à une implication déterminée qu’en fonction de son produit. L’implication p 3 q donne (p. q) ∨ (p. q) ∨ (p. q), ce qui comporte une signification limitée, donc non équivoque. Au contraire (p. q) 3 (p 3 q), aboutissant à (p * q), ne comporte de sens précis qu’en disant : « Ou (p. q) réuni à (p. q) et à (p. q) donne p 3 q, ou l’on n’a ni p 3 q ni p. q. » Il ne s’agit plus ici d’une implication au sens usuel du terme sans quoi l’on pourrait toujours conclure d’une conjonction donnée entre deux propositions à l’implication correspondante

1. Voir le calcul de (288 et bis).

entre les mêmes propositions (ce qui est d’ailleurs légitime si « le faux implique le vrai »).

La meilleure preuve en est que l’implication réciproque de la partie par le tout est, non pas fausse comme l’a soutenu la logistique russellienne contre Aristote, mais impliquée par la précédente et vraie dans la mesure où l’on s’en tient également à son produit. Ce produit est simplement distinct de celui de (288 bis), mais relié à lui par des liens opératoires qu’il est d’un grand intérêt d’analyser au double point de vue du lattice et du groupe.

Écrivons la proposition (288) sous la forme :

(290) (p 3 q) — p [q] V (p. q)

On en tire alors :

(290 bis) (p 3 q).(P∙q) = P [q]

Or toute égalité (x.ÿ = z) équivaut à l’égalité [(x | ÿ) = z] ou (x s y = z) puisque (x.ÿ est l’inverse de (x 3 y) et (z) l’inverse de (z). On a donc :

(291) (p 3 q) 3 (p. q) = p [q]

Ce que le calcul confirme directement : en effet p [y] = (p. q) ∨ (p. q), c’est-à-dire (p. q) ∨ (p q) ; or χ ∨ y = x 3 y, c’est-à-dire que les deux membres de l’équation (291) sont identiquement équivalents.

Mais que signifie alors (p 3 q) 3 (p. q) = p [y] ? On a vu, tout à l’heure que si (p. q) = x et (p 3 q) = z, le terme p [<y] constitue l’élément complémentaire de première espèce x’ tel que x ∨ x’ = z. Il se trouve maintenant que l’implication réciproque z 3 x aboutit au terme p [y], qui est la négation de p [y] et constitue par conséquent 1’« élément complémentaire de seconde espèce » x’ selon la terminologie de Bergmann (voir prop. 284 et la note). Or, il y a là une relation entièrement générale : si l’implication du tout z par la partie x équivaut à la réunion x ∨ x’ = z, l’implication réciproque de la partie x par le tout z a pour produit ×’, lequel équivaut à (z ∨ x). En effet, de l’égalité x ∨ x’ = z (286 bis), on tire l’égalité réciproque équivalente :

(292) x.x’ = z

d’où (voir la fig. 9) : I *

(292 bis) x’ = zvx ou x’=z 3x

Il s’ensuit que, si l’on a : ∕χ~x ×’ \

(293) (x 3 z) = [(x V x’) = z] _x Λ }

^z x J J

la réciproque en est nécessai-

rement : ^z

(294) (z 3 x) = [(x ∙ x’) = z]

= [x’ = (z V x)] Fig. 9. — x’ — x.z et x’ = xvz

Effectivement le calcul de z 3 x

donne (zx) ∨ (fχ) ∨ (zx). Or si z = x ∨ x’, on a zx = x et zx = 0 ; quant à zx, ce terme équivaut alors à z. On a donc bien z 3 x = x ∨ z, soit précisément χ,.

Autres exemples, toujours pour z = (p 3 q) : si x = p. q, on a (x ∨ x’ = z) = [(p. q) ∨ q [p] = (p 3 ç)j. Or (p 3 q) 3 (p. q) = q [p], inverse de q [p]. Si x = (p. ç), on a (x ∨ x’ == z) = [(p. q) ∨ (p = q) = (p 3 ç)]. Or (p 3 q) 3 (p. q) donne (p w q), inverse de (p = q) ; etc.

D’une manière générale, on peut conclure que, si une opération z (binaire, ternaire, etc.) est formée des éléments (couples de propositions, trios, etc.) a, b, c…, soit z = αv⅛vcv …, on a ; (295) z3a = a’ = avz

z 3 b = b’ = b ∨ z

Z)C=C,=CVZ i ! _

z 3 a ∨ b = (â’.b’) = (a ∨ b) ∨ z z 3 a ∨ c = (à’. c’) = (a ∨ c) ∨ z

z 3Z=zvz = l(p*q*r ; etc.) et z 3 o = (δ’) = 0 V z = z

La réunion de ces implications est alors :

(295 bis) (z 3 a) ∨ (z 3 b) ∨ (z 3 c) ∨ … ∨ [z 3 (a ∨ b)J ∨ … etc. = 1 (p * q * r ; etc.)

Sr l’implication du tout par la partie correspond à l’inclusion simple, l’implication réciproque de la partie par le tout correspond ainsi à l’inclusion du tout dans l’ensemble de ses parties (y compris O et lui-même). Chaque implication partielle d’une partie par le tout revient alors à l’affirmation de cette partie et à la négation de sa complémentaire sous le tout ; autrement dit elle équivaut à une réduction du tout à la partie considérée elle-

I

même ! : (z 3 x) = (z = x). Si, du point de vue de la vérité des propositions, l’implication du tout par la partie est toujours vraie (mais avec les restrictions sémantiques que nous avons notées), et la réciproque seulement quelquefois vraie, cette dernière (295) demeure donc intéressante du point de vue de l’implication entre les opérations comme telles. Mais à cet égard, il existe une autre forme possible d’implication dont nous allons parler au paragraphe suivant².

En complément de ces remarques, insistons encore brièvement sur l’intérêt logique et épistémologique de la relation « précède », qui est la relation la plus générale du lattice et que nous symboliserons par →*. Cette relation existe entre la BJ et les éléments x et y dont elle est la partie commune (B J x) et (B J →* y) et entre x et y et leur BS (x →* BS) et y →* BS) ; mais elle existe aussi, par définition, entre x et lui-même (x → x). En effet, on a toujours (donc même lorsque z — x) :

(296) x →→ z si x ∨ z = z

On a donc également, si s (x) sont les sommandes de x (donc les éléments dont x est la réunion) et m (x) les multiplicandes

1. En effet (z = x) = [(z.x) V (z.X)] et si z = x V x’, on a (z 3 x) = [(z.x) ∨ (o) V (z.X], soit, dans les deux cas (z.x) V (z.x), donc xVz (voir la flg. 9).

2. Ajoutons que, outre l’implication du tout par la partie ou de la partie par le tout, on peut calculer l’implication entre parties totalement disjointes, soit x ∨ y = z et x.y = 0. On a alors x 3 y≈ X et y 3 x = ÿ. En effetx 3 y≈ (x.y = o) V (X.y) V (X.ÿ) = X. Par exemple (p. q) > (p W q) = (p | q) et (P W q) 3 (p. q) — (p = q). Ou encore (123 3 45) = (o) V (123.45) V (123.45) = 45678 (= 123). Si x et g sont les inverses l’une de l’autre, soit y = X, on a : x ) y = y.

Si la partie commune (x.y) est non-nulle et ne se confond ni avec x ni avec y, on a enfin, naturellement, x 3 y = y V (X.y).

Plus encore que les précédentes, ces implications ne présentent, il va de soi, qu’une vérité limitée, dont la signification est déterminée par leur produit.

de x (les éléments dont x fait partie, autrement dit les éléments contenant x) :

(297) s(x)→(x)→ m(x)

Par exemple p I 1 étant l’un des s de II 1 et IV 1 l’un des m de II 1, on a I 1-→ IV 1.

En quoi consiste alors, en langage proprement logique, cette relation (→*) ? Si l’on applique l’axiome de Russell p 3 (p ∨ q) aux relations entre éléments des tables (222) et 233), on pourrait, dire que (→*) se réduit à l’implication : (p. ç.r) 3 [(p. ç.r) ∨ (p. q.f)] soit I 1 3 II 1. Mais, si [I 1 3 II 1] est effectivement toujours vrai (le produit en est VIII), nous venons de voir que l’implication réciproque [II 1 3 I 1] n’est pas toujours fausse (le produit en est V11 2) et signifie simplement : « si (p. q. r) ∨ (p. q. f) implique (p. q.r), alors (p. q.r) ∨ (p. q.r) se réduit à (p. q.r) ».

La relation (→÷) est donc plus générale que l’implication et signifie en réalité « est contenu dans ». Autrement dit I 1 →→ II1 signifie « II 1 contient I 1 » ou « la vérité de II 1 contient la possibilité de la vérité de 11 ». Or, si cette signification ne nous apprend pas grand-chose au point de vue de la vérité des propositions en jeu (mais cependant quelque chose), elle est par contre d’une certaine portée eu égard à ce que l’on pourrait appeler l’implication entre les opérations elles-mêmes, en tant que purs mécanismes opératoires (et indépendamment de la vérité des propositions reliées par elles). Or un tel rapport, qui est peut-être sans intérêt au point de vue logique, en comporte certainement un aux points de vue psychologique et épistémologique (voir § 44), en tant qu’exprimant les composantes opératoires d’un opérateur donné.

On peut à ce propos, imaginer toute une composition des. relations (→>) sur le modèle des compositions binaires (3), (v), (|), (*), etc., en considérant comme négation le complément de l’élément, non pas par rapport à (p * q) ou à (p * q * r) (VIII), mais par rapport à la classe entière des 16 opérations binaires, des 256 opérations ternaires, etc. On ne retiendrait alors comme intéressantes que les compositions exhaustives, c’est-à-dire épuisant la totalité de la classe envisagée¹. On aurait donc les formules

1. Les compositions exhaustives fondées sur les relations « est contenu dans » on « contient » correspondent donc aux compositions toujours vraies, ou « tautologiques » du calcul interpropositionnel ordinaire.

suivantes, en symbolisant par q le complément ainsi défini, par (X) » ^ou (X) ^ou (X) les compositions effectuées sur le modèle de (s) ou (|) ou (*), et par m (x) ou m (ÿ) les multiplicandes de x ou de y :

(298) [x X y] ≡ [m (x). m (y)] ∨ [q m (x). m (y)] ∨ [q m (x), q m (y)]

(299) [x X y] ≡ [m (x). q m (y)] ∨ [q m (x). m (y)] ∨ [q m (x). q m (y)]

(300) [x X y] ≡ [m (x).m(y)] V[m(x).qm (y)] ∨ [q m (x). m (y)] ∨ [q m (x) ■ T m (y)], etc. /

Par exemple (et pour commencer par les opérations binaires de la table 222), [(p. q) X (p | ç)] se calculera comme suit :

(301) [(p. q) X (p | q)] ≡ [m (p. q).m (p | q)] V [m (p. q). q m

(P I q)] ∨ [q m (p. q).m (p | q)] V [q m (p. q).q m (p | q)]

Or m (p. q) ≡ [(p. ç) V p [ç] V q [p] V (p V q) V (p = q) V (q 3 p) V

(P 2 P) V (p * q)

et q m (p. q) ≡ [(o) V (p. q) V (p. q) V (p W q) V (p. q) V q [p] V P [Ç] V (p | ç)]

De même m (p | q) ≡ [(p | q) ∨ (p * <?)] et q m (p | q) ≡ les 14 autres opérations binaires.

Il s’ensuit que l’on aura :

(i) m (p∙q)∙ m (p I q) ≡(p* q)

(2) m (p. q).q m (p  |  q) ≡ les 8 éléments m (p. q) sauf (p * q)

(3) q m (p. q). m (p  |  q)  = (p  | q)

(4) q m (p. q). q m (p  |  q) ≡ les 8 éléments q m (p. q) sauf (p  | q)

La relation (X) est donc exhaustive, tandis que l’opération (X) laisserait tomber l’élément (p * q).

Examinons maintenant la relation [(p 3 q) X (p. q)] :

(302) [(p 3 q)X (p. q)] ≡ [m (p 3 q).m (p. q)] ∨ [q m (p 3 q). m(P∙q)] V[qm(p 3 q). qm(p. q)]

Or m (p j q) ≡ [(p 3 q) ∨ (p * ç)]

et q m (p 3 ç) ≡ les 14 autres opérations binaires.

On a donc :

(1) m (p 3 q). m (p. q)≡(p 3 q) ∨ (p * q)

(2) q m (p 3 q). m (p. q) = [(p. q) V p [q] V q [p] V (p ∨ q) V (p = q) V (q 3 p)]

(3) q m (p 3 q). ∏ m (p. q) ≡ les 8 autres opérations binaires.

L’opération (-2 ») est donc exhaustive en ce cas, tandis que la réciproque(p. q) →* (p 3 q) ne l’est pas, car [q m (p. q).m (p b y)] donne O.

On aura de même :

(303) [(o) X (p. q)] ≡ [m (o).m (p. q)] V [m (o).q m (p. q)] ∨ [q m (o/m (p. q)]

Or m (o) ≡ les 16 opérations binaires et q m (o) = O.

Donc [m (o).m (p. g)]≡les 8 opérations binaires contenant (p. q) et [m (o).q m (p. q)]≡les 8 opérations binaires ne contenant pas (p. q). L’opération est ainsi exhaustive.

II est alors facile, en utilisant la table des formes normales (239) d’appliquer les mêmes opérations aux expressions ternaires. On aura par exemple :

<304) [(123) X (1)] ≡ [m (123).m (1)] V [q m (123).m (1)] V [q m (123).qm(l)]

Or m (123) = les colonnes 123 et 1234 et qm (123) = les 14 autres colonnes. De même m (1) = les colonnes 1, 12, 13, 14, 123, 124, 134 et 1234 et q m (1) = les 8 autres colonnes. On aura alors :

(1) m (123). m(l)≡m(123)

(2) q m (123). m (1) ≡ les 8 colonnes m (1) sauf 123 et 1234

(3) q m (123).q m (1) ≡ les 8 autres colonnes.

L’opération est donc exhaustive.

Il est intéressant de remarquer que les même opérations non- exhaustives obéissent à certaines des lois du groupe INRC.

Montrons-le, pour simplifier, sur un exemple exclusivement binaire :

(305) (I) [(p. q) J* (p 3 q)] = (p 3 q) V (p * q)

(N) [(p. q)→→(p 3 q)] ≡ les 16 opérations binaires sauf (P 3 q) et (p * q)

(R) [(p. q) → (q 3 p)] ≡ (q 3 p) V (p * q)

(G) [(p. q)→*(q 3 p)J ≡ les 16 opérations binaires sauf (q 3 p) et (p * q)

Les 14 (N) sont alors les complémentaires q des deux (I), ainsi que les 14 (Q des deux (R). Les 14 (Q sont les B des 14 (N) et les deux (R) des deux (7).

Il est naturellement possible d’effectuer toutes ces mêmes opérations en sens opposé, en faisant porter le calcul sur les s (x) et les s (y). L’implication totale entre opérations (prop. 302 et 304), qui est la seule remarquable de ces compositions, ne donnera plus alors « (p 3 y) contient (p. q) », mais, ce qui revient au même « (p. q) est contenu dans (p 3 q) ». A part leur intérêt formel, de telles opérations se réduisent donc à la composition même des relations « précède » (→*) ou « succède » (**-), considérées en tant que relations (voir § 44).

Avant de chercher à dégager la nature et la portée du système d’ensemble des 256 opérations ternaires, il convient encore de montrer qu’un tel système est général et ne s’arrête pas à 3 propositions seulement. Nous avons vu (§ 35) comment on passe des 4 combinaisons uninaires p, p, 0 (= p. p) et p ∨ p à la table des 16 opérations binaires (en multipliant les 4 combinaisons 0, q, ÿ et (y ∨ q) par p et par p. Nous avons montré ensuite comment en multipliant les 16 combinaisons (y, r) par p et par p, on obtient les éléments générateurs (G 1 et G 2) de la table des 256 opérations ternaires. Il suffit alors de procéder de même pour obtenir les 65.536 opérations quaternaires.

Soient, en effet, 3 propositions y, r et s auxquelles nous allons donner les 256 formes ternaires possibles : q.(r.s); q.(r.s);

q.(f.s); … q.(r.s)∙, q.(r.s)-, …q.r[s]∙, _ ~||

… qRrvs); … etc. jusqu’à VIII * ^cn

[q * (r * s)]. Multiplions ensuite ces g *

256 opérations distinctes (celles de T ∣σXσ^*^T

la table 233) par p et nous obtenons Z .o* ^β

le côté supérieur (G 1) d’une nou- p, ∣⅛∣a p,ξj

velle table carrée. Multiplions éga- _

lement ces 256 opérations distinctes æ “ 2 § g

par p et nous obtenons 255 opéra- gt,Λ>zιo n⅛

tions nouvelles (le O étant commun  = _ισ,^{+ + + +} S

aux deux ensembles G 1 et G 2) S ~

que nous disposerons verticalement

sur le côté gauche (G 2) de la table, : ! : :

en les ordonnant de manière à faire : î î î

correspondre à chaque opération ;

de G 1 sa réciproque en G 2. Nous _o 1 I 1 sommes alors en possession des 5-g ® g éléments générateurs de la table ^{λ l}°

des 65.536 opérations quaternaires. — + + + Nous tirerons des éléments G 1 leurs inverses, que nous disposerons sur

^{1 r} 10 H O Q

le côté inférieur ( G 3) du carré, en - J S les ordonnant par symétrie centrale. A 4. 4. 4- Les inverses des G 2 donneront les ~ éléments G 4 disposés sur le côte droit du carré (en symétrie centrale „ par rapport à G 2 et en réciprocité ^ q 7 2 § K 7 avec les G 3). L’addition (v) par _o -~ + — 

couples des G 1 et des G 2 don- 6 L.

nera l’ensemble des éléments inté- ^λ p,

rieurs de la table, tandis que la multiplication (.) par couples ,

des G 3 et des G 4 redonnera les

memes éléments à titre de parties ’τ’’7"^f-. *

O ∣o^h ∣cr, ∣σ^d O^h communes. ,^, _o “

Le nombre total des éléments %

sera donc 256 × 256 = 65.536. Les £ 3 § S

diagonales seront composées cha- g XXX o’

cune des 256 éléments, les uns tels ” 5-

que R = I et C = N, les autres tels que R = N et C = I. Les propriétés générales de la table seront les mêmes que celles des tables (233) et (239). On nous dispensera sans doute de l’obligation de construire ce nouveau tableau, dont voici simplement le schéma (306).

Il est évident que l’on peut ensuite continuer en multipliant les 65.536 opérations q, r, s, t par p et par p.   D’où 65 536 × 65.536 = 4.294.967.296 opérations ; et ainsi de suite.