Chapitre III.
Les transformations hétérologues par négations réciprocités ou corrélativités ^a 🔗

Repartons de l’opération I 1 [ç.r] et de ses transformations INRC mais pour soumettre chacun des éléments de ce quaterne à la négation hétérologue Nh. On aura ainsi :

(39) Nh [p . (q.r)] ≡p. (q | r) ≡ III 56 correspondant à II

Nh [p ∣ (q.r)]≡p ∣(q∣r) ≡V 56 — VIII

Nh [p . (q.f)] = p. (q Vr) ≡ III 1 — 18

Nh [p ∣ (q.r)] ≡ p | (q Vr) ≡ V 1 — VII 8

1. Pour passer d’une forme donnée à une forme équivalente, il est, en effet, nécessaire d’effectuer certaines opérations et ce sont ces opérations mêmes qui différencient les unes des autres les formes équivalentes : il est alors naturel que ces opérations, qui sont distinctes tout en aboutissant à des produits équivalents, donnent lieu à des résultats différents lorsqu’elles sont composées avec une nouvelle opération.

Or, on a vu plus haut (tabl. 33) que V 56 est l’inverse de III56, que III 1 est la réciproque de III 56 et que V I est la corrélative de III 56. Aux 4 transformations INRC du quaterne I 1, VII 1, I 8 et VII 8, mis sous la forme p. (q.r), etc., correspondent donc les 4 transformations d’un autre quaterne, structuré selon le même groupe INRC mais composé des opérations III 56, V 56, III 1 et V 1 mises sous la forme p. (q | r), etc. ; et cette correspondance entre les deux quaternes est assurée par la transformation de chaque élément du premier eh un élément du second, bien ’déterminé au moyen de l’opérateur hétérologue Nh.

Grâce à cette nouvelle transformation Nh, qui multiplie par deux les 4 transformations de base INRC, nous sommes donc en présence d’une nouvelle structure, que nous nommerons le groupe à 8 éléments. On peut schématiser comme suit la structure de ce groupe (voir la fig. 1) :

Nh N

Soit, par exemple, I 1 — » III 56 — ♦ V 56. On en déduit 4 1 -^CNhR> V 56. En effet C (I 1) = (VII 8) ; Nh (VII 8) = (V 1) et

NhN NNh

R (V 1) = V 56. De même I 8 > V 1 ≡ I 8 V 1 car Nh (I 8) = (III 1) et N (III 1) = V 1. Or N (I 8) = VII 8 et Nh (VII 8) = V 1.

Nh

N li _χ Z

ii *— — * is sise *— — * nu

>

N z^x ∖n Z^

Z X / ^N

c c >Z c

∖N

VU 8 - - VHi V, → - *- V⅛6

Xn K

_z× Nh

Nh

Fig. 1

Un tel groupe constitue donc une structure totale indépendante et nouvelle par rapport au groupe de 4 éléments, la transformation Nh se composant avec les autres de façon commutative

I

et associative. Mais il est essentiel de souligner le fait que, la transformation Nh étant hétérologue la relation entre les opérations III 56, etc., et les opérations I 1, etc., n’est pas la même qu’entre les opérations intérieures à chacun de ces deux quaternes. Il suffit, par exemple, de donner aux opérations 11, etc., la forme (p. q).r, etc., pour que la transformation N h les transforme en des opérations différentes de III 56, etc. :

(41) Nh [r . (p. q)] ≡ r . (p | q) III 51 correspondant à II Nh [r | (p. q)] ≡ f | (p | q) V 51 — VIII

Nh [f . (p. q)] ≡ r . (p ∨ q) III 8 — 18

Nh [f ∣ (p. q)] ≡ r | (p V q) V 88 — VII 8

Le groupe à 8 éléments, tout en constituant une structure bien définie, ne comporte donc pas une parenté entre les opérations lui servant d’éléments aussi étroite qu’entre les constituants d’un groupe simple INRC.

Néanmoins, on aperçoit d’emblée que si le quaterne I 1-VII 8 peut se transformer indifféremment en un quaterne III 56-V 1 ou en un quaterne III 51-V 8 selon la forme attribuée aux opérations I. 1, etc., ces correspondances multiples ne sont point arbitraires, mais forment elles-mêmes un nouveau groupe. C’est ainsi que le passage de la forme [q.r] à la forme [r.(p. y)] de l’opération 11 constitue lui-même une transformation bien déterminée, que nous appellerons dans la suite la permutation de l’opération uninaire Ppr. Or, à comparer les tableaux (39) et (41), on constate que la différence entre les opérations III 56- V 1 et les opérations III 51-V 8 tient précisément à une telle permutation de l’opération uninaire, de telle sorte qu’il est aisé de transformer III 56 en III 51, V 56 en V 51, III 1 en III 8 et V 1 en V 8 au moyen de la même transformation Ppr. Dans le cas de I 1 formes¹ A [y.r] et C [r.(p. y)] les deux formes A et C sont équivalentes, cela est vrai, tandis que III 56 est une opération distincte de III 51, mais la transformation est la même j i j τ i ^pP^r _{τ1 z}- Nh

dans les deux cas. Les correspondances I 1 A >■ I 1 C — *

1. Nous appellerons dans la suite (§ 17) A, B et C les figures dans lesquelles l’opération uninaire est p, g ou r. Il ne faut donc pas confondre ici le symbole C dans le sens de la figure C avec le symbole de la corrélative. Aucune équivoque ne sera possible dans ce qui suivra.

Z

4) Ng de (2) = Nd (43) 1) Opérations 2) Nd de (1) 3) Ng de (1) de (3) = Nh de (1)

I I 1 [r.(p. q)] [r . (p | q)] ≡ III 42 [r . (p. q)]≡ 12 [r . (p ∣ q)] ≡ III 51

N VII 1 [r | (p. q)] [r | (p ∣ q)] ≡ V 42 [r ∣ (p. q)] ≡ VII 2 [f  |  (p ∣ q)] ≡ V 51

R I8[f.(p. q)] [f . (p V q)] ≡ III 28 [r.(p. q)]≡ 17 [r . (p V q)] ≡ III 8

C VII 8 [r | (p. q)] [f∣(pVq)]≡ V 28 . [r ∣ (p. q)] ≡ VII 7 [r  |  (p V q)] ≡ V 8

4) Nh de (1) = Ng (44) 1) Opérations 2) Nd de (1) 3) Ng de (1) de (2) = Nd de (3)

I .. I IV 3 [(p |  r) |  (q 3 r)] [(p |  r) ∣ (q.f)] ≡ VI 11 [(p. r)  |  (q 3 r)] ≡ VI 2 [(p. r) ∣ (q.r)] ≡ VIII

N . IV 68 ](p |  r) . (q 3 r)] [(p |  r) . (q.f)] ≡ II 11 [(p. r) . (q ? r)] ≡ II 2 [(p. r) . (q.r)] ≡ O

R . IV 65 [(p V r) |  (r 3 q)] ](p V r) ∣ (q.r)] ≡ VI 17 [(p. r)  |  (r 3 q)] ≡ VI 27 [(p. f) ∣ (q.r)] ≡ VIII

C.. IV 6 [(p V r) . (r 3 q)] [(p V r) . (q.r)] ≡ II 17 [(p. f) . (r 3 q)] ≡ II 27 [(p. f) . (q.r)] ≡ O

Prp Nh

III 51 — → III 56 — >■ 11 A constituent donc un nouveau groupe plus complexe que le précédent (et non commutatif en ce qui concerne Ppqr). Mais nous n’en saurions aborder l’étude avant d’avoir analysé les transformations hétérologues par permutations. Bornons-nous, pour l’instant, à conclure que, si les transformations hétérologues par négation n’atteignent pas la généralité des transformations homologues, elles n’en permettent pas moins la construction de nouveaux groupes à structure bien définie, et que ces nouveaux groupes peuvent à leur tour servir de point de départ à la structuration de groupes plus complexes, comme nous en verrons sans cesse dans la suite. Sans sortir, d’ailleurs, des composantes de la transformation N h, nous allons constater dès le § 10 la possibilité d’englober le groupe à 8 éléments en un groupe de 16.

Bornons-nous maintenant à nier l’une des deux opérations composées et commençons par une expression uninaire-binaire. En ce cas ? nous désignerons par le symbole Ng la négation de l’opération composée de gauche en écrivant toujours à gauche, par convention, l’opération uninaire : Ng sera doné la négation de cette dernière. Nd sera par contre la négation de l’opération de droite, c’est-à-dire, par convention, de l’opération composée binaire. On a naturellement :

(42) NgNd = NdNg = Nh

et

(42 bis) NdNgNh = I ’

Reprenons comme exemple, le quaterne des opérations I 1, VII 1, I 8 et VII 8 sous la forme du tableau (41) et dressons la table des transformations Ng, Nd et Nh (voir tabl. 43).

On voit l’élégance d’un tel système : les opérations de la quatrième colonne sont simultanément les Nh de celles de la première, les Ng de celles de la seconde et les Nd de celles de la

troisième. De plus les Nd sont les N h des N g et réciproquement. On aura donc toujours :

(43 bis) Nd = NhNg et Ng = NhNd (commutatif)

En outre les 4 Nd, les 4 Ng et les 4 Nh sont respectivement les INRC de leur propre quaterne, en correspondance avec les 4 opérations du quaterne de départ (première colonne).

Par exemple, l’opération V 8 est Nd (VII 7) N (I 7) R (I 2) Nh (III 42) C (V 28) Nd de VII 8. Mais V 8 est aussi : C (III 51) Ng (I 2) N (VII 2) Nd (V 51), Nh (VII 1) R de VII 8, c’est-à-dire que les deux suites de transformations NdNRNhCNd et CNg- NNdNhR conduisent du même point de départ (V 8) au même produit (VII 8) par deux voies différentes, ces deux voies sc ramenant d’ailleurs l’une et l’autre à Nh (parce que NdNd = I et CNR = I).

Examinons encore un autre exemple du groupe à 16 éléments des transformations N h, N g et Nd et choisissons-le maintenant dans le cas des opérations binaires-binaires. Il importe à cet égard, de formuler d’abord une convention quant au choix de ce que nous appellerons les opérations de gauche et de droite. En une expression dont le moyen terme est p nous désignerons l’opération p (a) q comme étant celle de gauche et l’opération p (β) r comme étant celle de droite. Si le moyen terme est q l’opération p (a) q sera dite également celle de gauche et q (β) r celle de droite. Si le moyen terme est r, enfin, l’opération p (a) r sera celle de gauche et q (β) r celle de droite. Ces désignations restent valables en cas de permutation des opérations a et β, l’ordre des propositions restant le même (y y x équivaut de ce point de vue h x c y).

Soit, par exemple, l’opération IV 3 [(p | r) | (q y r)] : la transformation N g donnera alors [(p. r) | (y y r)] et la transformation Nd : [(p | r) | (q.f). On obtiendra ainsi la même forme de groupe (voir tabl. 44, p. 40).

On reconnaît en effet la même structure que celle du tableau (43) et on constate que les prop. (42) et (42 bis) sont . également vérifiées. Il se trouve seulement que, dans le cas particulier des opérations VIII et O, on a N = 1 et R = C, c’est-à-dire que la réciproque et la corrélative ne constituent pas des transformations distinctes de l’identique et de l’inverse : K ? * q) .(q * r)] ≡ [(p * q) .(q * r)] et ((p * q) | (q * F)] ≡ [(p ♦ q) | (q * r)]. Mais cette réduction du quaterne VII1-0 à un couple ne

modifie en rien la structure du groupe formé par les transformations INRC, Nh, N g et Nd, lequel conserve ainsi les mêmes lois qu’il s’agisse d’opérations binaires-binaires ou uninaires- binaires et de quaternes complets ou de couples R = I et N = C.

Par contre, les transformations Nh, Ng et Nd étant hétérologues, il est clair qu’une même opération ne donnera pas nécessairement lieu aux mêmes produits Nh, etc., selon qu’elle est mise sous une forme uninaire-binaire ou binaire-binaire. Par exemple, si l’on attribue à l’opération III 42 une forme binaire-binaire [(r 3 p) I (r 3 7)1> transformation Nh ne conduit plus à I 2 p. (p. 7)] comme au tableau (43), mais à VII 7 [(p. r) ∣ (7.r)] ≡ [r I (P-î)]’ ^tI^uι est la corrélative C de I 2. Seulement une fois de plus, de telles irrégularités apparentes suivent en réalité des lois précises et nous allons d’emblée dégager celle qui régit les rapports de la transformation Nh et de la distributivité.

On sait que les opérations binaires (.) et (v) sont distributives, chacune pour son compte ainsi que Γune par rapport à l’autre (ce qui englobe les opérations p | q, p 3 q, q i p, p 3 7 et 7 3 p sous leurs formes p ∨ q, p ∨ q, p ∨ 7, p. qet p. q mais non pas les opérations =, w, *, 0 et p[7], etc.). On a donc, pour les 4 quaternes binaires complets, ainsi que pour toutes les opérations ternaires dont les formes uninaires et binaires sont exprimables en termes de (v) et de (.), quels que soient les signes des propositions x, y et z :

(45) x.(y ∨ z) = (x.y) ∨ (x.z) et x ∨ (y.z) = (x ∨ y).(x ∨ z)

Or, si l’on compose cette distribution (45), que nous symboliserons par D, avec la transformation Nh, on s’aperçoit qu’elles ne sont pas commutatives, mais présentent cette propriété générale que leur composition dans un sens donne la corrélative du produit de leur composition dans l’autre sens :

(46) NhD = CDNh et DNh = CNhD

En effet :

D Nh

χ.(y vz)→ [(x.y) ∨ (x.z)] — > [(x ∨ ÿ)v(x ∨ z)]

et : x.(y V z) — > x.(y.z) -→ [(x.ÿ).(x.z)] D Nh

ou : x.(y . z) — [(x.y).(x.z)] — [(x V ÿ).(x V z)]

et : x.(y . z) — ► x.(ÿ vz) → [(x.ÿ) ∨ (x.z)]

Or [(* ∨ y) ∨ (χ ∨ ^)] est par définition la corrélative de [(*.ÿ). (*.*)], de même que [(^^v^)∙(^^{v j})] est celle de [(*.ÿ) ∨ (f.z), puisque tous les (.) et les (v) sont permutés de l’une de ces expressions à l’autre. Il en résulte alors, pour ce qui est de l’opération III 42 :

(47) III 42 = r.(p V q) B [(p. r) V (q.r) → [( [p] ∨ f) V (q V f)] =
[(pr | qr)] = VII 7

Nh D

et = r (p | q) = r.(p ∨ q) — . f.(p. q) → [(p. r). (q. r)J = 12

les opérations VII 7 et I 2 étant corrélatives.

Si nous appliquons maintenant à la réciprocité ce que nous venons de voir des négations hétérologues, nous pouvons introduire de même les transformations Rg et Rd selon que l’on transforme en sa réciproque l’opération binaire (ou uninaire) de gauche ou l’opération binaire de droite. Rappelons que nous écrirons toujours à gauche l’opération uninaire. Quant aux expressions binaires-binaire, nous conserverons les mêmes conventions que pour Ng et Nd, c’est-à-dire que l’on aura :

Moyen terme Rg Rd

P P (a) (1 ou P (β) q p (a) r ou p(β)r

q ∙^∙ P (“) q ou p (β) q q (a.) r ou q (β) r

r p (a) r ou p (β) r q (a) r ou q (β) r

Quant à la transformation Rh (=Rg Rd) on se rappelle (prop. 34 bis) que l’on a Rh = R. On en déduit immédiatement que :

(48) Rg = RRd et Rd = RRg (commutatif)

Voici un exemple des transformations Rg, Rd et Rh, que nous prendrons d’emblée de type binaire-binaire :

tf On vérifie en premier lieu la prop. (48) :

les Rd sont les R des Rg et réciproque-

S S ^{co w} g ment : par exemple III 10 est la Rd

⅛  >   >   >   >  de IV 3, ce qui entraîne le fait qu’elle est

λ^{w m M} aussi la R de III 35, laquelle est la Rq

* de IV 3.

,* On en déduit que ces transforma-

o c « m tions Rq, Rd et Rh se réduisent en fait ▼H _r∏ çq çq^u

_ à un groupe de 8 éléments seulement,

K H puisque les Rh sont identiques aux R et

NI III III III puisque les Rd et les Rg ne constituent ⅛ 4 ? jamais deux quaternes distincts mais relè-

⅛ _r, vent d’un même quaterne disposé selon

^p’ ô d 5 S deux ordres différents.

^w 77⅛^C Les transformations Rg et Rd n’en

— — > > sont pas moins très importantes dans êâââ leurs relations avec les transformations

par permutation, comme nous le verrons W « O O ri

n « h sans cesse a propos des permutations du

S > ≡ >  moyen terme ou des permutations d’opé-

S III III III III rations.

_o En symétrie avec les transformations

"^θ précédentes, nous pouvons introduire

tf » » h μ maintenant les transformations Cg et Cd

^ — • — • de la corrélativité, selon que l’on trans-

£ £ 2121 forme en sa corrélative l’opération bi-

p aa a naire (ou uninaire) de gauche ou l’opéra-

— “ — — tion binaire de droite. La double trans-

formation CgCd s’écrira Ch, que nous _{ry ry ry} connaissons déjà (§ 8) et qui ne se confond

c S 5 i pas ^avec ’^a corrélative C (homologue).

5 ~ ~ ^2 Prenons à titre d’exemple, comme pré-

⅛ — 21 > > cédemment l’opération binaire-binaire IV 3

(2, aaap et le quaterne INRC dont elle fait par-

z-. — — — tie :

▼h co oo m co

CD cd

>>>> H-< H-( HH HH

Les transformations hétérologues de cor- rélativité aboutissent ainsi à un groupe de 16 éléments, comme les transformations N g. Ni et Nh. Mais il est facile de les réduire, en tous les cas, à des transformations d’ordre R et N :

On a d’abord, en vertu du caractère réversible de la corrélative (CC = I) :

(51) Cg = ChCd et Cd = ChCg

On a ensuite les équivalences suivantes ;

a) La transformation Ch d’une opération • donnée, par exemple VIII ≡ [(p. r) | (g. r)J pour IV 3, équivaut à la transformation Nh de la réciproque R de cette opération. Dans cet exemple, la R est IV 65 [(p ∨ r) | (r ) ç)] et la Nh de R est bien [(p. f) ∣ (7.r)] :

(52) Ch = NhR ou Ch = NhNC

En effet, on a (prop. 35) Ch = NhRh et Rh = R.

b) La transformation Cg d’une opération donnée est Ng de Rg. Par exemple Cg de IV 3, est [(p. r) [ (7 j r)]. Or Rg de IV 3 est [(p ∨ r) | (7 ? r)] et Ng de [(p vr) | (q ) r)J est [(p. r) | (q ) r)]. De meme Cd sera Rd de Nd :

(53) Cg = NgRg et Cd∙ = NdRd (commutatif)

En effet C = N R, d’où Cg = Ng Rg et Cd = NdRd.

c) On a en outre la relation générale suivante :

(54) Cg = NhRCd et Cd = NhRCg

’^m’ m
 »— (
c >00
~ HL III fll ni ^ω ’— ’ TT TT ” ∏5 . 7 ? t→ ∙7 ’^μ, Λ ∣σ<∣cr, ü* Cr, Ç ? ’∣7’∙7 17 17 r- i> 01 04 >— < HH »•* •— ‘ - III lll. III III <D _l— w— m— 1’— ’ ^rc 717177 g ^ιcr,’^crl^^ ∞ 1717 1717  > > P*_χΛ 00 00 rM HH HH »— < h-( _ > > £ lll lll lll lll ^γc h ⅛ trtj< W) π π π π U m . o ? — 7799ⁱ g Wu h .2 λ : 17 7 ? 1717 -a>  > > q afto<a r* co ∞ m co <0 co ÈÈÈÈ En effet, Cg — Ch Cd (prop. 51) et Ch = NhR (prop. 52). De même Ci = Ch Cg et Ch = Nh R.

i

Par exemple VII 8 est Cg de IV 3 : or la réciproque R de la Cd de IV 3, c’est-à-dire de VII 7, est VII 2 ; et VII 8 sous la forme qui lui est donnée dans le tableau (50) est la Nh de VII 2.

d) On a enfin :

(55) Cg = NdRdCh et Cd = NgRgCh

En effet Cd = Nd Rd (prop. 53) et Cg = CdCh (prop. 51). De même Cd = ChCg et Cg = NgRg.

Par exempte VII 8, Cg de ÏV S est la Nd Rd Ch de IV 3, parce que Ch ≡ [(p. t) ∣ ⅛.r)]; Rd Ch ≡ [(p. f) | (q.r)] et Nd Rd Ch≡[(p. f) \ (q 3 r)]≡VII 8.

En conclusion, toutes les transformations hétérologues de corrélativité sont donc réductibles à des transformations Ng, Nd et Nh ainsi que Rg, Rd et Rh (= R). Ces corrélativités hétérologues nous seront donc peu utiles dans la suite, par opposition aux transformations précédentes. H n’en est pas moins intéressant de constater qu’elles forment à elles seules un groupe de 16 éléments distinct de la structure (44) quoique en relation avec cette dernière grâce aux équivalences (52) à (55) que nous venons de démontrer.

¼