Chapitre VIII.
La nature du système des opérations bivalentes ^a 🔗

Les opérations de la logique bivalente soutiennent évidemment quelque rapport avec les opérations réelles de l’intelligence. Or ces dernières constituent une structure opératoire unique, s’étageant par paliers des propositions les plus simples, qui servent à construire une classification ou une série de relations, jusqu’aux enchaînements purement formels entre n propositions. Que cette structure puisse se différencier, au niveau de la pensée scientifique, par le rejet de certaines règles et l’adoption de nouveaux axiomes (logiques polyvalentes) n’exclut pas l’unicité du système élémentaire des opérations, dont le fonctionnement a conduit à ces différenciations et dont la genèse peut être suivie par l’analyse du développement mental.

Nous aimerions chercher, une fois de plus, mais cette fois à la lumière des données précédentes sur les 256 opérations ternaires, en quoi consiste un tel système.

Il est clair que ce système s’apparente de près, en premier lieu, à la notion de groupe, puisque nous avons pu retrouver, à l’occasion de chaque nouvelle transformation, y compris les.

additions (v) et multiplications (.) de la table (233)¹ le groupe fondamental des 4 transformations INRC. On sait assez, d’autre part, que l’algèbre de Boole, expression de la logique bivalente des propositions, constitue un « anneau », c’est-à-dire un groupe accompagné d’une opération auxiliaire (addition des parties non communes et conjonction des parties communes). On pourrait donc supposer que la structure des opérations réelles de la pensée est la structure de groupe, et c’est une opinion qui a été soutenue notamment par G. Juvet².

Mais si la structure de groupe est effectivement présente dès les formes d’organisation d’ensemble les plus élémentaires des opérations rationnelles, dont elle assure la réversibilité³, deux circonstances empêchent de la considérer comme suffisant à en rendre compte. Ces deux circonstances n’en font d’ailleurs en réalité qu’une seule. La première est que certaines opérations sont indispensables à la logique sans pouvoir rentrer dans les transformations mêmes du groupe⁴ : tels les auto-emboîtements p 3 p = p.   La seconde est que certains mathématiciens contemporains renoncent à voir dans le groupe seul le fondement des opérations les plus générales et sont en voie de transférer une partie de ce rôle à une structure qu’ils jugent aussi importante, consistant précisément en un système d’emboîtements et d’autoemboîtements : celle des « lattices » ou « réseaux »^s.

On dit qu’un système constitue un lattice lorsque les 3 conditions suivantes sont remplies® :

1) A tout couple d’éléments x, y du système correspond un et un seul élément xy du système, tel que :

(307) (x.y) z = x (y.z) ; x.y = y.x et x.x = x

1. Voir § 34.

2. Voir G. Juvet, L’axiomatique et la théorie des groupes, Actes du Congrès intern. de Phil. scient., vol. VI (Hermann), 1936.

3. La réversibilité est sans doute le critère psychologique le plus général de l’intelligence opératoire. Voir notre Psychologie de l’intelligence (Col). A. Colin).

4. Voir plus loin § 43.

5. Les Bourbaki distinguent, comme on l’a vu, trois grands types de structures : ils rattachent le groupe aux « structures algébriques » et le réseau aux a structures d’ordre »,

6. Voir V. Gltvenko, Théorie générale des structures, Hermann, 1938, p. 10.

GROUPE, LATTICE OU GROUPEMENT 193

2) A tout couple d’éléments x, y du système correspond un et un seul élément x + y du système, tel que :

(308) (x + y) + z = x + (y + z) ; x + y = y + x ; x + x = x

3) L’équivalence x.y = x entraîne x + y = y et réciproquement :

(309) [x.y = x] ) [x ∨ y = y] et [x ∨ y = y] 3 [x.y = x]

Si l’on a x.y — x on dit alors aussi que x « précède » y (ce que nous écrirons x →> y).

Il est donc évident que la table (233) constitue un réseau, et nous en avons constaté les relations essentielles quant aux bornes supérieures (x ∨ y) et inférieures (x.y). Faut-il donc conclure sans plus que la structure fondamentale des opérations de la pensée est celle du lattice ? Mais deux difficultés nous arrêtent à nouveau, et elles reviennent sans doute, elles aussi, au même.

La première est qu’il y a plus, dans le système des opérations logiques, que le lattice à lui seul : il y a la réversibilité propre au groupe. Tout lattice comporte il est vrai une certaine réversibilité, sous la forme d’un principe particulier de dualité : si x précède y (ce que nous notons x →> y) on a x + y = y ; on en conclut alors par dualité que, à la relation y →> x correspond x.y = y (substitution de →* à et de . à +).

Mais c’est là un rapport de réciprocité et non pas d’inversion ou négation (nous y reviendrons au § 45). Tout lattice ne constitue donc pas un groupe et tout groupe ne constitue pas un lattice (l’ensemble des sous-groupes d’un groupe en forment par contre un). Les relations entre les lattices et les groupes sont beaucoup plus complexes. On distingue-parmi l’ensemble très général des réseaux, une classe particulière : celle des « structures de Dede- kind » (« Dualgruppe »), qui sont caractérisées par la relation [x ∨ (y.z)] 3 [(x ∨ y).z]. Ces dernières comprennent elles-mêmes à titre de cas spécial les réseaux distributifs dont le propre est de présenter la relation (x.z) + (y.z) = (x + y).z. Enfin, parmi ces derniers une espèce particulière est caractérisée par le fait que tous les « compléments » (c’est-à-dire les produits de la négation d’un élément) se trouvent être définis : telle est l’algèbre de Boole, dont nous avons rappelé à l’instant la propriété de

constituer un anneau. Il s’en faut donc de beaucoup que tout lattice constitue un système d’opérations logiques avec ses caractères particuliers de réversibilité.

D’où la seconde difficulté, qui se retrouve d’ailleurs chaque fois que l’on cherche à situer les opérations logiques parmi les structures mathématiques les plus générales : les structures — et c’est donc notamment le cas des réseaux — débordent si largement le système restreint des opérations logiques, qu’on en vient à soupçonner une sorte de cercle dont le schéma serait le suivant. On définit une structure très générale X (ici les lattices, et cela reste, vrai des groupes). On montre ensuite que cette structure X comporte une série de sous-espèces de plus en plus restreintes Y, Y’, etc. Après un certain nombre de spécifications on caractérise un ensemble très particulier Z, et cet ensemble se trouve être la logique. L’homme de la rue, qu’est par exemple le psychologue, se demande alors avec quoi le mathématicien a construit son système général X, si ce n’est avec les opérations du système Z ? Quant au logicien, il n’aura pas de peine à trouver dans la définition même des notions de lattice (ou de groupe), sous leur forme la plus générale, une série de rapports logiques.

Par exemple, on peut définir le lattice (sous une forme qui est équivalente aux prop. 277-9) en partant de la notion même de « précéder » : x précède y. Ou bien, au contraire, on tire cette relation fondamentale x →> y de (x.y = x et x ∨ y = y). Dans les deux cas, le rapport « x précède y » ou « y succède à x » est une relation asymétrique transitive, et, dans les deux cas, on met cette relation en liaison structurale avec les emboîtements mêmes qui caractérisent le lattice. Ne serait-ce donc pas que la logique des relations et des classes est déjà impliquée par la théorie des lattices, sans parler de celle des propositions qui a permis à G. Birkhoff, à O. Ore, à V. Glivenko, etc., de construire leurs systèmes de déductions cohérentes ? Dira-t-on que le lattice est une chose, qui comprend la logique à titre de cas particulier, et que les énoncés ou propositions décrivant le lattice sont une autre chose, qui constitue la logique en tant que forme, sans relation avec le contenu de ces propositions, c’est-à-dire, en l’espèce, avec le lattice lui-même ? Mais alors le lattice (ou le groupe si l’on dérive la logique de cette notion) est un contenu qui contient sa propre forme à titre de cas particulier, et la logique

GROUPE, LATTICE OU GROUPEMENT 195

est une forme indifférente à son contenu dont elle dérive néanmoins par ailleurs ?

Il n’est qu’une solution pour éviter de tels paradoxes, voisins de ceux à l’occasion desquels B. Russell a édifié sa théorie des types : c’est de distinguer des paliers successifs dans la formalisation, tels que la « forme » caractéristique de l’un de ces paliers puisse servir de « contenu » sur les paliers supérieurs, mais sans que l’on ait le droit de parler une fois pour toutes de forme et de contenu comme si la formalisation était un état et non pas un processus¹.

Or, de ce point de vue (et le rappel de cette question va nous ramener à celle du système unique des opérations logiques) il est évident que pour construire un système de propositions déducti- vement cohérentes, il faut au préalable classer les objets sur lesquels elles portent et établir entre eux un certain nombre de relations. De telles classifications ou systèmes de relations sont déjà, cela va de soi, matières à propositions, mais celles-ci doivent d’abord être considérées comme vraies et comme fausses en raison de leur contenu avant de pouvoir être donné lieu à une élaboration interpropositionnelle. Or ce sont ces structures de classes et de relations qui interviennent dès le départ, dans la construction des structures les plus générales (telles celles de lattices et de groupe). II n’y a donc pas contradiction, et, s’il y a cercle, il n’est pas vicieux, à retrouver la logique à titre de cas particulier de ces structures et à la mettre à leur source même (ou à s’en servir pour les décrire) : mais c’est à la condition de ne pas situer la logique sur un seul plan. II s’agit au contraire de distinguer, en son sein même, des structures de complexité variable : les unes seront alors considérées comme plus élémentaires que les structures dites générales et pourront ainsi les précéder et entrer dans leur constitution, tandis que d’autres seront plus complexes et se retrouveront à titre de cas particulier des structures générales.

Pour atteindre le système unique des opérations logiques, il s’agit donc de partir des structures les plus élémentaires possibles — celles des classifications ou des enchaînements de relations — et de montrer par quel processus continu ces structures élémentaires

1. Voir notre Traité de logique, chap. I, § 2. ⅛

rejoignent des systèmes tels que les tables (222) et (233). Alors seulement il sera possible de déterminer les éléments communs aux structures caractéristiques des différents paliers de la hiérarchie formelle et de dégager leurs relations avec les structures de groupe ou de lattice.

Une telle analyse ne saurait donc être le fait d’une simple axiomatisation : elle doit atteindre, pour être efficace, les filiations des opérations elles-mêmes, c’est-à-dire le mécanisme opératoire sous-jacent, dont les axiomes ne sont jamais que le reflet ou la formulation forcément incomplète.

I. Partons de celle des structures d’ensemble de classes qui est sans doute la plus simple : la classification. Soit une classe A emboîtée en une classe B, celle-ci faisant elle-même partie de C, etc. et soient A’, B’, etc., les classes telles que A + A’ = B ; B + B¹ = C, etc. et que A × A¹ = O ; B × B’ == O ; etc. :

(310) A +A’=B ; B + B’ = C ; etc. et A × A’ = O ; B × B’ = O ; etc.

Un tel système est parent du lattice, puisque B est la borne supérieure BS de A et de A’ ; C est la BS de B et de B¹ ; etc. En outre les « classes secondaires » A’, B’, etc., correspondent aux « éléments complémentaires de première espèce » des réseaux qui en possèdent. Par contre toutes les bornes inférieures BJ sont nulles, sauf en cas d’inclusion A × B = AB ; A × C — AC ; B × C = BC ; etc. On n’est donc pas en présence d’un lattice complet, mais d’un semi-lattice¹.

Un tel système est également parent du groupe, puisque les parties non-communes A, A’, B’, C, etc., peuvent être réunies ou dissociées de façon associative et réversible, selon un système

1. Voir Traité, p.   95.

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comportant l’opération identique (ensemble neutre) unique 0. Mais les opérations A -j- A = A ; A + B B ; A × A = A ; A × B = A qui caractérisent l’aspect « lattice » du système ne font pas partie du groupe¹.

La classification n’est donc ni un lattice ni un groupe, mais un demi-lattice et un système dont les parties non-communes seules forment un groupe (ou les parties communes, par dualité, mais sans les parties non-communes). Demandons-nous alors quelles sont les relations entre ce système élémentaire, que nous appellerons la classification simple, et les tables (222), (233), (306), etc.

Introduisons pour cela deux autres systèmes élémentaires dérivant de la dite classification. Appelons A_λ la classe A de la classification simple, et décomposons sa classe A’ en classes disjointes Aβ∙, A^-, etc. Chacune de ces classes A_a; Ap ; A^ comportera naturellement une complémentaire A’ sous B ; d’où : A_α ÷ A’_α = Aβ -f- A,β = A_γ + A’_γ- etc. = B. On aura en ce cas A_α × Aβ = O ; A_α × A_γ = O ; Aβ × A_γ = O ; mais A^l_aA^lβ ou A ’_a A’y, etc., seront non-nuls. Nous appellerons cette composition une vicariance :

(311) A_a + A’_a = Aβ + A’β = etc. = B

D’autre part, nous pouvons multiplier entre elles deux classifications simples A₁ + A\ — B₁ ; B₁ + B’₁ = C₁ ; etc. etA₂ + A’_i = B_a; B_i + B’₂ = C₂ ; etc. :

(312) B₁ × B₂ = A₁ A₂ + A₁ A’₂ + A’₁ A₂ + A’, A’₂ = B₁ B₂

1. Il est vrai qu’on admet l’existence d’anneaux et même de groupes à éléments « idempotents » tels que précisément A + A = A (par opposition àA+A=2AouàA × A = A²). Par exemple Newman (1942) a constitué une algèbre par union directe de l’algèbre de Boole et de l’anneau de Boole avec possibilité de non-associativité (voir G. Birkhoff, Lattice theory, 2^e éd., pp. 155-8). Mais cette idempotence correspond, dans le cas des structures logiques, à une opération aussi essentielle que les autres. Or celle-ci ne saurait être composée de manière associative avec les opérations directes et inverses : par exemple A + (A — A) = A et (A + A) — A = O. C’est pourquoi un système tel que la classification n’est pas un groupe proprement dit : le groupe intervenant à son sujet est limité à l’ensemble des parties disjointes (A, A’, B’, etc.).

Nous obtenons alors une table à double entrée telle que B_l B_icontiendra 4 éléments ; C₁ C₂ 9 ; etc. :

(312 bis) A₂ A’₂ B’_a C’_a…

Aj …….. A₁ A₂ Ai A ₂ A^ B ₂ Aj C ₂…

A’, A∖ A₂ A’_l A’_a A’₁ B’₂ A’₁ C’₂…

B’₁ B’₁ A_a B’₁ A’_a B,₁ B’_a B’₁ C’₂… _x

C’j C’₁ A_a C’₁ A’₂ C’₁ B’₂ C’₁ C’₂…

Cette table représente donc les associations deux à deux entre chaque classe élémentaire (Ai ; A\ ; B’₁ ; C’₁) de la classification simple A₁ + A’₁ = B₁ ; etc., et chaque classe élémentaire (A_s ; A’_a ; B’_a et C’₂) de la classification simple A_a + A’_a = B₂ ; etc. Nous appellerons un tel système la multiplication bi-univoque des classes. Du point de vue des structures générales, elle n’est pas autre chose qu’une composition multiplicative de deux semi- lattices, puisque les classifications simples ne sont que des semi- latices. Mais cette composition multiplicative a pour effet de transformer la structure initiale en une structure se rapprochant davantage du lattice complet, puisque c’est la généralité des bornes inférieures qui manquait à (310) pour en faire un lattice et que la multiplication les introduit d’elle-même.

IL Nous pouvons alors tirer de la multiplication (312) la table (222) en faisant correspondre à A_l la proposition p, à A\ la proposition p, à A₂ la proposition q et à A’_a la proposition q. Nous constatons d’abord que les 4 associations (312) correspondent aux 4 associations de base p * q = (p. q) ∨ (p. q) v >  (? • ?) ∨ (p. q). Après quoi nous construisons une nouvelle table

en disposant sur ses deux entrées non pas seulement les deux classes A₁A_a et A₁A’_a et les deux classes A’₁A_a et A’₁A’_a(voir 312), mais encore la classe O et’les deux associations A_l B₂et A’₁ B, c’est-à-dire¹ :

(313) A₁ B_a = Ai A_a + A₁ A’_a et A’₁ B_a = A’₁ A_a + A’ A’_a

1. SI nous adoptons le symbolisme p [7] = (p. q) ∨ (p. q) nous pouvons écrire A_j B_i sous la forme A₁ [A₂] et A∖ B₂ sous la forme A’₁ [A₂].

GROUPE, LATTICE OU GROUPEMENT 199

Nous obtenons ainsi deux entrées de 4 classes telles que nous pouvons simultanément les additionner deux à deux (directions →0 et en multiplier les complémentaires (sous B₁ B_i) (directions +-Î). D’où la table (314) dont on voit immédiatement qu’elle correspond terme à terme à la table (222) :

(314)

O Aj A’₂ Aj A₂ A₁B₂ ( = A₁ [A_a])

A’₁ Ag A₁ A’g + A’₁ A₂ A₁ A₂ + A’₁ Ag A’j Ag + A₁B_a

( — A₁ W Ag) ( = Ag B₁ ou Ag [A₁]) ( = A₁ V A_a)

A’₁ A’g A₁ A’g + A’₁ A’g A₁ A₂ + A’₁ A’₂ A₁ B₂ + A’₁ A’₂

(= A’₂[A₁]) (A₁ = Ag) (= Ag 3 A,)

A∖B₂ A₁ A’g + A’₁ Bg A₁ Ag 4- A’₁B₂ A₁B_a + A’₁B_a

(=A’₁[A₂] (=A₁∣A₂) ( = A₁ 3 Ag) (= A₁ * A₂)

Autrement dit, pour passer des 4 classes (312) à la table (314), nous avons construit, à partir de l’ensemble (312) son « ensemble des parties » en combinant n à n ces 4 classes, y compris O et le tout (d’où 16 combinaisons). Nous avons ainsi obtenu une table à quadruple entrée, à la fois additive et multiplicative, qui fournit la raison de la table (222).

II bis. Quant à la table de 256 opérations ternaires (233) ou (239), il est facile de la tirer de même de la multiplication de B₁ x Bj x B_a :

(315) Bj × Bg × B₃ = A₁ A₂ Ag 4- A₁ A₂ A’₃ 4- Aj A,₂ A₂ 4^- A₁ A’g A’g 4- A’₁ Ag Ag ⅛ A’₁ Ag A’₃ 4- A’₁ A’₂ A₃ 4- A’_l A’₂ A’₃

Numérotons, 1, 2, 3… 8 ces 8 trios de classes : on voit d’emblée qu’ils correspondent aux 8 trios (p. q.r); (p. q.r); etc. de la table (239). Disposons alors les 4 premiers, plus le O et leurs associations deux à deux (12, etc.), ou 3 à 3 (123, etc.), le long de la rangée supérieure de la table. On aura :

(316) O ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 12 ; 13 ; 14 ; 23 ; 24 ; 34 ; 123 ; 124 ; 134 ;

234 et 1234

ce qui correspond au côté supérieur (G₁) de la table (239) ; faisons de même avec les trios 5-8 et nous aurons le côté gauche (G 2). de la table (239). Il suffit alors d’additionner deux à deux ces 31 trios de classes pour obtenir une table correspondant terme à terme aux tables (233) et (239).

III. Du point de vue de la filiation des structures, telles que nous l’étudierons au § 44, il importe encore de comprendre que le passage du groupement multiplicatif (312) ou (315) à l’ensemble des parties « constitué par le tableau (314) (ou par le tableau ternaire correspondant) peut être considéré comme une généralisation de la classification elle-même, et cela grâce à la constitution des vicariances (311). Partons des 4 classes multiplicatives de la prop. 312 et considérons chacune d’entre elles comme une classe élémentaire, que nous définirons :

(317) A_i = A₁ A₂ ; A„ = A₁ A’₂ ; A_πl = A’₁ A₂ et A_lv = A’_l A’_t

Si nous « classons » selon le modèle (310) mais de toutes les manières possibles (en vertu de la vicariance 311), ces 4 classes élémentaires, nous obtenons alors :

1 classe O

4 — A (A₁ à A_ιv)

6 — B (B₁  = A₁  +  A_π ; B_π =  A₁ + A_πι ; etc.)

4 — G (C₁  = A_i -|- A_ii -∣- A_lπ ; C_π = A_t -f- A_π  + Ai_T, etc.)

1 — D (D  = C₁  +  C_π  = C₁ +  C∏₁ = etc.)

De même, pour les 8 classes élémentaires A₁ à A_τιπ correspondant à (315) on aura 256 combinaisons ; etc.

Ainsi 1’« ensemble des parties » n’est qu’une généralisation de la classification, consistant à dresser la table de toutes les classifications possibles avec les mêmes éléments de départ, par l’intermédiaire de la vicariance.

IV. Avant de discuter la signification de ces rapprochements, montrons en outre que l’on trouve déjà l’équivalent du groupe INRC dans la table (312 bis) des multiplications bi- univoques de classes.

Remarquons d’abord que la complémentaire de A, dans la classification simple (310) est :

(318)  = A’ + B’ + C’ + etc.

GROUPE, LATTICE OU GROUPEMENT 20f

tandis que A ’ n’est que la complémentaire de A sous B ; que B’ n’est que la complémentaire de B sous C ; etc. C’est pourquoi en faisant correspondre p à A’₁ et q à A’₂ (voir II), nous avons dû nous limiter à une classe totale B.

Cela dit, numérotons 1, 2, 3 et 4 les classes A₁ ; A\ ; et C’₁qui constituent le premier ensemble de multiplicandes de la table 312 bis (en plaçant toujours ces numéros sur la gauche, dans leurs réunions avec les suivants) et numérotons également 1,. 2, 3 et 4 (mais en les plaçant toujours sur la droite) les classes A ₂ ; A’_g ; B’, et C’₂ qui constituent le second ensemble de multiplicandes. La table (312 bis) ainsi traduite en numéros, prendra la forme (319) par réunion des n^os 1 à 4 de gauche et des n^0B 1 à 4 de droite. Nous pouvons alors effectuer les transformations suivantes, par analogie avec celles du groupe INRC (appliqué aux tables 222, 233 ou 239) :

1° La négation N ou inverse (complémentaire) d’une classe

(319) 1 2 3’4

1 Γ∏ 12 13 14

2 21 22 23 24

3 31 32 33 34

4 41 42 43 44

A₁A₂ est A₁A₂. Nous appellerons par contre semi-inverse SN d’un élément donné n₁n₂ celui dont les numéros n’₁ n’₂ respectivement ajoutés à n₁n₂ donnent ici 55. Soit par exemple la classe Ai A,(= 11) sa SN sera C₁ C₂ (= 44) parce que 11 + 44 = 55. La signification de cette addition des numéros d’ordre est purement logique : étant donnés les emboîtements (= inclusions) A < B ; B < C et C < D, la numérotation des classes élémentaires A = 1 ; A’ = 2 ; B¹ = 3 et D’ = 4 traduit donc l’ordre d’inclusion des bornes supérieures correspondantes¹ A, B, C, D. Dire que A₁A₂ est la SN de C’₁ C’₂ c’est donc simplement affirmer que la somme des rangs respectifs de ces deux classes A₁ A₂ et C’i C’₂ correspond au rang D’_lD’₂ ou D₁D₂ si la classe totale considérée est D₁D₂. De même, dire que B’₁A’₂ (= 32) est la SN de A’₁ B’₂ (= 23), parce que 32 -f- 23 = 55, c’est à

1. C’est-à-dire des « classes primaires » A, B, C. D. Voir Traité, p. 104.

nouveau affirmer que la réunion des rangs respectifs de ces deux classes équivaut au rang D∖ D’_a ou D₁D₂, c’est-à-dire de la classe complémentaire de la classe totale considérée¹ D₁D₂.

D’une manière générale, lorsqu’une classe XY de rang n₁n₂fait partie de la classe multiplicative Z₁Z₂, la semi-inverse de XY sera une classe XY de rang n’₁ n’₂, si (n₁ n₂) -∣- (n’₁ n’₂) donne n"₁n’₂(oil n^,₁ = n"_a), c’est-à-dire le rang de la classe Z’₁ Z’₂ :

(320) S N (X Y)_nιBj = (X Y)_n-_ι n-, si (ⁿι ¾) + (ⁿ’ι n’2) = ∏’ι ∏’a (Z’₁Z’₂)

Or, nous constatons que les éléments de la table (312 bis) ou (319) sont respectivement les SX les uns des autres par couples, et cela lorsque les deux éléments du couple sont symétriques par rapport au centre de la table : 22 et 33 ; 13 et 42 ; 12 et 43 ; 14 et 41 ; etc. ;

2° La réciproque R d’une classe A₁ A√s,obtient par inversion des signes de ses composantes : R (A_l A_a) = (A₁ A_a). Nous dirons, d’autre part, qu’il y a semi-réciprocité SR entre deux éléments lorsque le rang de l’un s’obtient par permutation des numéros de gauche et de droite composant le rang de l’autre : par exemple 12 et 21, c’est-à-dire A₁A’_a permuté en A’₁A_aj ou encore la SR de C’₁B’₂ sera B’₁ C’₂ par permutation de 43 en 34 ; etc.

D’une manière générale, si une classe XY est de rang n₁ n’_tsa RS sera une autre classe XY de rang n’₁n₂ (ou elle-même si n_l n’₂ = n∖ n₂) :

(321) SB(XY)^_n,_ι = (XY)_n,_ιnj

Or, on constate, sur les tables (302 bis) ou (309) que la semi- réciproque SR d’un élément est toujours son symétrique par rapport à la diagonale ’∖ : soit 12 et 21 ; 13 et 31 ; 14 et 41 ; etc.

On constate en outre, en nouvelle analogie avec les réciproques R des tables (222) et (233) que les éléments situés sur la diagonale sont sous leurs propres semi-réciproques : 11, 22,

1. Si la classe totale considérée est (D₁ D₂) sa complémentaire D’₁ D’_t sous la suivante équivaut, en effet, à sa négation (D₁ D₂), puisque la suivante est alors « tout ».

GROUPE, LATTICE OU GROUPEMENT 203

33 et 44 (puisque la permutation des rangs ramène alors les mêmes rangs) ;

3° La corrélative d’une classe A₁A₂ (c’est-à-dire A₁ × A,) est par définition A₁ + A₂ (par permutation des x et des +). Les corrélatives des éléments de (319) sont donc :

C (11) = 11+12+13+14+21+31+41

C (21) = 21  +  22  + 23  +  24  +  11  + 31  +  41

C (12) = 12  +  22  + 32  +  42  +  11  + 13  +  14

C (44) = 41  +  42  + 43  +  44  +  34  + 24  +  14

Autrement dit, chaque élément se trouvant situé au point d’interférence d’une colonne Verticale et d’une rangée (horizontale), sa corrélative est la réunion de tous les éléments de cette colonne et de cette rangée.

On constate alors que la corrélative est, comme toujours, l’inverse de la réciproque R, soit C = NR. En effet la réciproque de A₁A ₂ (11) est A₁A₂ c’est-à-dire l’ensemble des éléments n’appartenant ni à la rangée A_l ni à la colonne A₂ : la corrélative est donc, au contraire, l’ensemble des éléments de la rangée A₁et de la colonne A ₂.

Cela dit, nous appellerons, par analogie, semi-corrélative SC d’un élément donné dont le rang est n₁ n’₂, l’élément dont le rang sera n"₁n"’₂ tel que (n₁ + n"’₂) et (n’₂ + n"₁) donnent n""₁ n""₂ (où n""_l = n""₂), c’est-à-dire lerangdelaclasseZ’₁Z’₂, complémentaire de la classe totale choisie.

(322) SC (XY)_M, = (XY),.,™ si (n₁ + n"’₂) (n’₂ + n’_l) = n""₁∏""₂ (Z’₁ Z’₂)

Par exemple si l’élément considéré est A₁ B’ ₂ (— 13), sa semi-corrélative SC sera A’₁C’₂ (— 24), parce que (n_l = 1) + (n"’₂ = 4) = 5 et que (n’₂ = 3) + (n"₁ = 2) = 5, d’où (1 + 4) (3 + 2) = 55.

On voit alors que la semi-corrélative SC est la semi-inverse SN de la semi-réciproque SR, puisque l’on permute les rangs de A’₁ C’_t (= 24) en (42) et que 13 + 42 = 55 : or la permutation des rangs est le propre de la semi-réciprocité et la complémen-

tarifé sous 55 (rangs de D’₁ D’_s, négation de la classe totale D_l D_a) est le propre de la semi-inversion.

On constate, d’autre part, que la semi-corrélative SC d’un élément donné est son symétrique par rapport à la diagonale : soit 31 et 42 (parce que 31 + 24 = 55) ; 21 et 43 (parce que 21 + 34 = 55) ; 11 et 44 ; 22 et 33 ; 12 et 34 (parce que 12 + 43 = 55), etc.

On remarque enfin que les éléments de la diagonale sont tous identiques à leur propre semi-corrélative SC parce que l’addition de leurs rangs à leurs propres rangs permutés donne 55 : par exemple 41 -f- 14 = 55. Par contre la semi-inverse SN de ces mêmes éléments est identique à leur semi-réciproque SR : par exemple 41 a pour semi-inverse 14 qui est aussi sa semi- réciproque.

La conclusion à tirer de ces constatations est d’abord que ces 3 transformations SN, SR et SC, jointes à la transformation identique = I, forment un groupe semblable au groupe INRC. On a en effet :

(323) (SR) (SC) = (SC) (SR) = SN

(SN) (SR) = (SR) (SB) = SC (SN) (SC) = (SC) (SN) = SR

et (324) (SN) (SC) (SR) = (SR) (SN) (SC) = etc. = I

d i m ^SN An ^{sc SR}

Par exemple (12 — * 43 — > 21 — * 12), c est-a-dire

(A₁ A’_a) ≡ (C’₁ B’_i) ≡ (A’₁ A₂) ≡ (A₁ A’.) ;

OU

(34 -→ 21 → 43 -→ 34), c’est-à-dire

(B∖ C’_a) ≡ (A’_l A_a) -≡ (C’₁ B_t) ≡ (B’_l C’_t).

Si l’on passe de 16 éléments, comme sur la table (312 bis) ou (319) à 9, à 4, ou à 25, 36, etc., éléments, on retrouve naturellement les mêmes transformations¹, mais avec d’autres valeurs

1. A la condition, cela va de soi, que la table soit carrée, c’est-à-dire que les rangs n₁ n_a de la classe totale, soient n₁ = n_t. Si la classe totale choisie est d’un rang tel que n₁ < n_a il suffit de compléter le tableau multiplicatif par l’ensemble des autres combinaisons possibles jusqu’à n₁ = n_a.

GROUPE, LATTICE OU GROUPEMENT 205

pour SN et SC, puisque ces deux transformations sont relatives à la classe totale choisie (B₁ B₂ pour 4 ; C_lC₂ pour 9 ; D_iD₂pour 16 ; E₁ E_a pour 25 éléments, etc.).

Or, l’intérêt de ce groupe est que, si les SN et les SC d’un même élément changent donc de valeur selon la classe considérée¹, la semi-réciproque SR reste par contre invariante, en tant que fondée sur une simple permutation et puisque la symétrie relative à la diagonale ne change pas avec l’accroissement de la table (cette diagonale, contrairement à l’autre diagonale ou au point central de la table, ne se déplaçant alors pas mais augmentant simplement de longueur).

Par exemple, l’élément A’_j Λ_a aura toujours pour SR l’élément A₁ A’₂ ; de même la classe B₁ A ₂ (c’est-à_?dire la réunion des classes A₁ A₂ et A’₁ A₂) aura toujours pour SR la classe A₁ B₂(puisque A₁ A ₂ est sa propre réciproque et que A₁ A ₂ + A₁~A ’₂ = Ai B₂), quelle que soit l’extension de la classe Z₁ Z₂ considérée, tandis que la SN de A’₁A₂ ou la SN de la SR (donc sa SC) changeront de valeur selon le rang final de la classe totale du système².

V. Si l’on peut tirer d’une table multiplicative telle que (312) une table telle que (314), isomorphe à celle des opérations interpropositionnelles (222) ou (233), et si une multiplication de classifications comme (312 bis) comporte déjà un groupe I, SN, SR, SC conservant les semi-réciprocités SR quelle que soit la classe totale considérée, on comprend alors la raison des similitudes (255), (257) et (261) : en effet, celles-si sont fondées précisément sur la

1. En cas de carré impair (9, 25, etc.) il existera un élément central qui sera sa propre SR, sa propre SC et même sa propre SN. Cette dernière notion n’est pas contradictoire (comme le serait une opération constituant sa propre N) puisqu’elle signifie simplement que l’élément central constitue le médian des rangs n₁ n₂ possibles.

2. Quant au groupe IN RC lui-même, il s’applique à la table 312 bis) comme à tout ensemble de classes, mais il déborde naturellement les limites de telles tables, puisque la négation N de A₁ A₂, soit χ₂ sera par définition l’ensemble des autres classes possibles, c’est-à-dire la complémentaire de A₁ A₂ par rapport à l’univers du discours et non pas seulement par rapport aux classes emboîtantes B₁ B_a ou C₁ C_a, etc.

C’est pourquoi, si l’on veut comparer la structure des tables (222), (233), etc. à celle des structures élémentaires de classes, il y a intérêt à s’en tenir au groupe I, SN, SR, SC qui, à cause même de ses limitations, dénote ce caractère élémentaire des classifications et de leurs multiplications.

réciprocité des ensembles générateurs additifs (G₁ et G_a) ou multiplicatifs (G 3 et G 4) des tables (233) ou (222).

Mais la notion de similitude est fondée sur la logique des relations — logique dont nous avons cherché à montrer ailleurs que ses structures élémentaires reposaient précisément sur la réciprocité¹. Il reste donc à établir le lien entre ce que nous venons de voir (sous I à IV) et la similitude propre aux multiplications de relations.

Or, on peut faire correspondre à la classification (310) la structure de la sériation ou enchaînement des relations asymétriques transitives (en substituant aux classes A, A’, B’, etc., et B, â^f â^r b’ b c

C, etc., les relations →, →, , etc., ou →, →, etc.) : za a’\ b zb b’∖ c zc c’\ d (325) (→ 4— >-) = → ; (-→ 4— ► ) = — ♦ ; (-→ 4— ►) = — * ; etc.

Et, en multipliant deux suites de forme (325), Γune (a₁ + a’₁ = b_l ; etc.), orientée dans le sens | et l’autre (a₂ + α’₂ = b _a ; etc.) dans le sens — <• on peut construire une table multiplicative de relations asymétriques transitives (326), isomorphe, à la table (312 bis).

(326) r_a

i ai a₂ ^aι a ₂ a∣ b g a₁ c _a

a’₁ a₂ a ₁ a ₂ a j b ₂ a∖ c’_a

¹ * b ₁ a₂ b ₂ a ₂ b ₁ b _a b , c _a

c j a₂ c j a _a c j b 2 c i c _a

Chacune de ces opérations a₁ a₂ ; α₁ a’₂ ; etc., signifie alors r

I ^2 1^2

(327) a₁ × a_a = a₁[ — * ; a₁ × a’₂ = a₁[ — > ; etc.

O D’où la commutativité :

(328) a₁∣Λ=Λ∣a₁

_a. a_l qui assure la similitude (fig. 10) r

(329) (O-⅛-X)(X∣a₁Z) = (O∣a_lY)

- (Y→Z)

• - ■ . ■. ■■ > »

Y ^a2 T

Fig. 10 1. Voir Traité, § § 16-17.

C’est une telle similitude, fondée sur la réciprocité α₁ a₂ = o₂a₁ inhérente aux systèmes élémentaires de relations qui se retrouve dans la similitude (255) des tables (222) et (233).

§ 44. La filiation des structures d’ensemble
CONSTITUÉES PAR LES OPÉRATIONS LOGIQUES

V

I. Il est permis de tirer 3 conclusions de l’analyse précédente (§ 43) : 1) Il existe des structures plus élémentaires que les lattices, telles que les classifications (310) ou les enchaînements de relations asymétriques (325) ne possédant pas d’autres bornes inférieures que les éléments eux-mêmes réunis par chaque borne supérieure A × B = A ou le O (A × A’ = O) ; 2) Deux de ces semi-lattiçes multipliés entre eux (312 ou 325) comportent néanmoins déjà (outre le bigroupe formé par l’opération de réunion des parties disjointes, ou par l’opération de multiplication des parties communes), un groupe I, SN, SR et SC qui préfigure le groupe INRC de la logique interpropositionnelle ; 3) Il est aisé de passer de ces multiplications (312 ou 326) à la structure (222) ou (233) en additionnant entre ⅜ux selon toutes les combinaisons, les produits de telles multiplications de semi-lattices (donc en construisant les « ensembles de parties »).

Deux interprétations sont alors possibles. Selon la première, la classification (310) ou la sériation (325) seront considérées comme des lattices dégénérés, la structure d’ensemble de la logique étant à chercher parmi les lattices proprement dits, dans le cas particulier des réseaux de Dedekind et au sein du sous- ensemble possédant à la fois la distributivité et des compléments définis (voir § 42). Selon la seconde, au contraire, les structures élémentaires de classes ou de relations constituent des structures originales, se suffisant à elles-mêmes et présentant certains caractères communs avec toutes les structures de la logique bivalente. Ce seraient alors ces caractères communs qui constitueraient la structure opératoire propre à la logique.

Nous avons déjà mentionné au § 42 la principale difficulté de la première interprétation : que les opérations de la logique concrète (classification, enchaînements de relations, etc.) interviennent au préalable dans la construction de toutes les structures générales et sont par conséquent plus élémentaires qu’elles.

Nous pouvons ajouter maintenant que s’il existe des structures plus simples que les lattices il n’est pas de raison de considérer ceux-ci comme l’expression des structures les plus générales : ces structures plus simples consistent en emboîtements successifs, additifs (310 et 325) ou multiplicatifs (312 et 326), tandis que le lattice repose sur 1’« ensemble des parties » tiré de ces emboîtements multiplicatifs.

Cherchons donc la structure spécifique des opérations logiques non pas dans un cas particulier de structures qui, comme les lattices, s’appliquent par ailleurs aux nombres, aux éléments de la géométrie projective, aux corps convexes, etc., mais dans les caractères communs à tous les étages de la hiérarchie des opérations logiques, des classifications ou enchaînements de relations ne constituant que des semi-lattices jusqu’à la table générale des opérations interpropositionnelles réunissant en une seule totalité une structure de lattice et une structure de groupe.

Or, ces caractères communs présentent précisément cet intérêt de réunir en un seul système l’emboîtement des parties dans le tout et la réversibilité, à savoir l’aspect essentiel du lattice et l’aspect essentiel du groupe. Il est impossible de raisonner sans réunir des éléments en totalités : la « borne supérieure » du lattice est ainsi l’un des caractères les plus généraux des opérations logiques. Mais il est également impossible de raisonner sans pouvoir retrouver les éléments ainsi réunis, donc sans opérations inverses. Comment donc, au sein du lattice, retrouve-t-on un élément x ou y à partir de la borne supérieure qui les réunit (x + y) ou de la borne inférieure qui constitue leur partie commune ? Nous l’avons vu (propositions 282 et 284) : c’est en dissociant de la première de ces bornes ou en rajoutant à la seconde, non pas la partie y pour x, ou l’inverse, mais les « éléments complémentaires de première espèce » x’ ou y’. Or de tels éléments équivalent précisément à ce que sont, dans les classifications (310) ou les enchaînements (325) les classes ou les relations « secondaires » A’ pour A (ou a’ pour d) ; B’ pour B (ou b’ pour b) ; etc. Mais nous avons vu qu’un calcul fondé sur de tels éléments permet, déjà dans le cas des multiplications de ces classes ou de ces relations, la constitution d’un groupe proprement dit (323 et 324). Il est donc nécessaire que la structure fondamentale des opérations logiques réunisse en un seul tout ces caractères d’emboîtement,

*

retenus par le lattice, et de réversibilité, propres au groupe.

II. En décrivant les structures les plus élémentaires de classes et de relations, nous avons cherché, sous le nom de « groupement w¹, à fondre en un seul système ces deux aspects distincts et interdépendants de toute structure logique. Soient α, β, γ, etc., des éléments logiques « intra-propositionnels » (classes ou relations). On peut toujours exprimer des structures telles que la classification (310), la sériation des relations asymétriques transitives (325) ou les multiplications de classes ou de relations (312) et (326) en les réduisant à la composition des 5 formes suivantes d’opérations additives :

(330) (1) Opération directe ια+α’ = βjβ+β’ = γj etc.

(2) — inverse : — a — a’ = — β ; β — a = a’ ; β — a’ =  a ; etc.

(3) — identique générale : o ; soit a — a = oeta+o =  a

(4) — identiques spéciales : a + a = a ; a + β = β.

(5) Associativité limitée aux éléments de même signe : (α + a’) + β = κ + (a’ + β) ou aux parties non communes a + (β-a’) = (a + β)-a’

ou d’opérations multiplicatives :

(330 bis) (1) Opération directe : α_x × a₂ = a₁ a₂ ; a₁ × a’₂ = a₁ a’, ; etc.

(2) — inverse : a₁ a₂ : a₁ = a₂ ; a₁ a₂ : a₂ = a₁

(3) — identique générale : Z (= 1) soit a : a = Z et a x Z = œ

(4) — identiques spéciales : aa = a ; aβ = a

(5) Associativité limitée aux opérations de mêmes signes ou aux parties communes.

Les règles de calcul assurant de telles compositions et le passage d’un membre à l’autre des équations qui les expriment consistent alors à concilier l’inversion propre au groupe (et déterminant l’identique générale unique du système) avec les identiques spéciales (4) caractéristiques des emboîtements de partie à tout, soit en déterminant l’ordre des opérations (simplifications avant les tautifications, etc.), soit en déterminant la valeur des tautifications (4) à effectuer dans les deux membres².

Or, cette algèbre du groupement est susceptible de s’appliquer aux opérations interpropositionnelles elles-mêmes, en ce sens que si l’on confère à α, a’, β, etc., la signification de propositions ou

1. Traité, § 10, III.

2. Traité, pp. 96-103.

de liaisons interpropositionnelles (binaires, ternaires, etc.) on retrouve les mêmes opérations fondamentales et les mêmes règles de calcul (cf. § 38).

Nous croyons donc que le « groupement » sous les apparences d’un mixte dont les caractères sont empruntés simultanément au groupe et au lattice, constitue une structure élémentaire naturelle, qui exprime les aspects essentiels du système des opérations propositionnelles, tels qu’ils ressortent des tables (222) et (233) aussi bien que les aspects des structures les plus simples de classes et de relation.

Sans constituer un groupe, à cause de l’intervention nécessaire des identiques spéciales, il comprend néanmoins dès le départ la structure de groupe, et c’est pourquoi en tirant de la table (312 bis) les tables (314) ou (222), etc., on retrouve, sous la forme du groupe INRC, une organisation comparable à ce que comportait déjà le groupe I, SN, SR et SC.

Sans constituer d’emblée un lattice, faute d’un système complet de bornes et à cause des exigences de réversibilité, il comporte néanmoins dès le départ la présence de bornes soit supérieures soit inférieures et atteint par conséquent la structure complète du réseau sitôt que des groupements de classes ou de relations on dégage le groupement unique que constituent les liaisons entre propositions indépendamment de leur contexture intraproposi- tionnelle.

III. La position du groupement des opérations logiques (bivalentes) soulève alors un curieux problème de liaison entre les systèmes opératoires. Il existe entre les lattices et les groupes des relations complexes, telles que certains lattices comportent comme éléments des termes qui par ailleurs sont les éléments d’un groupe ou d’un anneau, tandis que tout groupe et ses sous- groupes (Γ « ensemble de tous les sous-groupes d’un groupe ») constituent déjà un lattice. Quelques auteurs américains sont donc aujourd’hui portés à considérer le lattice comme une structure plus générale que le groupe, ce qui signifierait que les relations d’emboîtement priment la réversibilité. Effectivement tous les lattices ne comportent pas d’éléments correspondant nécessairement à un complément (négation), et, lorsque tous les éléments d’un lattice possèdent un complément, il n’existe pas nécessairement, pour autant, d’« éléments complémentaires de première

espèce » (correspondant aux classes secondaires A’, B’, etc., du groupement additif des classes).

Or, une structure ne présentant qu’un genre de « bornes » sur deux, comme le semi-lattice constitué par le groupement additif des classes, semble appartenir à un système plus général que le lattice lui-même : à celui des ensembles possédant au moins une espèce de bornes, mais pas nécessairement deux. Et cependant ce système comporte des éléments complémentaires de première . espèce (A’, B’, C, etc.), ainsi que la négation (ou inversion) caractéristique du groupe.

Pour autant que la logistique, en fournissant le tableau de ∣ toutes les opérations possibles de l’intelligence logique, correspond aux activités réelles de l’esprit, il serait donc d’un intérêt fondamental d’être renseigné sur les opérations, et par conséquent les systèmes d’opérations, les plus élémentaires (qu’il faille ; ou non dissocier l’élémentaire et le général). Mais comment y parvenir, en présence des complications auxquelles nous nous heurtons ainsi ?

Il ne semble malheureusement pas que la méthode purement axiomatique, dont les spécialistes de la logistique nous ont montré la rigueur et la fécondité, suffise à nous fournir la solution cherchée. Lorsque l’on constate que, sur la question capitale des relations entre les mathématiques et la logique et particulièrement entre le nombre entier et le système des classes, les esprits les plus exigeants parviennent à des conclusions sensiblement opposées, on ne peut qu’être pris de doute, non pas sur l’efficacité de la méthode axiomatique quant à la dissection formelle des connexions structurales, mais sur son exclusivité eu égard à l’analyse des opérations elles-mêmes ou à la recherche d’une fdiation des structures.

En effet, le problème que nous posons ici est tout différent de celui qui intéresse les axiomaticiens : ceux-ci recherchent quelles sont les propositions dont la vérité est nécessaire et suffisante pour supporter le poids d’un système. Nous nous demandons simplement, par contre, quelles sont les opérations génératrices d’un système, et quelles sont les filiations génétiques entre ces opérations. Pour le psychologue les opérations sont des actions proprement dites, quoique intériorisées, et les structures qu’elles forment par leur solidarité et leur interdépendance mêmes sont

révélatrices des structures de la pensée, en tant que la pensée est précisément le système des actions intériorisées. Ce sont donc moins les axiomes, ou même la vérité des propositions, qui nous intéressent ici, que les rapports de fdiation entre ces opérations. Comme l’a dit jadis F. Enriques en une belle étude sur les principes de la géométrie, on peut opter entre les définitions formelles et les définitions génétiques, ce qui revient à opter entre les constructions formelles ou proprement axiomatiques et les constructions génétiques ou opératoires.

Optant pour ces dernières, nous aimerions nous rapprocher de l’élémentaire — ce qui ne signifie en rien l’isolable puisque toute opération est solidaire d’une structure — et découvrir comment on passe de cet élémentaire (ou moins composé) au plus composé.

D’un tel point de vue, on peut choisir comme fil conducteur de l’analyse opératoire la relation fondamentale d’antériorité entre opérations (voir § 40). A l’intérieur d’un réseau complet, tel le lattice des 16 opérations binaires, cette antériorité se confond avec la notion d’antériorité propre au lattice (→*). Par exemple (p. q) précède q [p] qui précède (p ? q) :

(331) (p. q)-*♦ q [p] →* (p J q)

Ce qui revient à dire que l’implication (p 3 q) suppose la conjonction (p. q) en tant qu’antérieure à elle.

Au sein d’un tel système achevé, la relation de succession ne présente assurément aucun sens génétique, sinon la signification de plus ou moins simple ou composé (par réunion v). Par contre, si l’on pouvait parvenir à dresser une table des structures et de leurs opérations constitutives en montrant de façon analogue ce que comporte une opération ou une composition déterminées par rapport aux opérations ou compositions plus élémentaires, la relation de succession prendrait une signification proprement génétique.

A cet égard, les résultats auxquels nous sommes parvenus aux § § 35-38 et 43 permettent l’établissement de 3 ou même 4 relations de succession entre structures opératoires distinctes.

Nous conviendrons d’abord de dire que le système x précède le système y quand x se retrouve, à titre d’élément composant, réuni à d’autres en y.

Commençons par décrire cette succession du point de vue du lattice :

1) Le système auquel nous n’avons point trouvé de prédécesseur est celui du groupement additif des classes A + A’ = B ; B + B’ = C ; etc. (prop. 310). Nous avons montré ailleurs à quelles actions élémentaires il correspondait. Ne réunissant que des objets soit entièrement disjoints (A et A’, ou A, A’ et B’, etc.), soit emboîtés (A + B ou A + A), l’addition élémentaire ( +) correspond à l’opération (v) et non ( w), mais avec une seule borne pour deux éléments quelconques x et y : la borne supérieure (tandis que l’inférieure se réduit à O pour AA’ et à A pour AB) ;

2) Le successeur plus ou moins direct de l’opération de l’addition des classes (on pourrait situer entre deux la vicariance 311) est l’opération de la multiplication bi-univoque des classes (312). Cette opération fait intervenir, en plus de l’addition, l’association entre chacune des classes d’une suite (310) et chacune des classes d’une autre suite semblable ; mais elle suppose l’addition, sous la forme d’une addition de ces associations elles-mêmes. Aussi, par cette réunion de l’addition (1) avec l’association, la table (312 bis) marque-t-elle une nouveauté du point de vue des bornes. Distinguons, en cette table ou toute autre semblable, les multiplicandes A, ; A’₁ ; B’₁ ; etc., ou A₂ ; A’₂ ; B’₂ ; etc., et les produits A₁ A_a ; A₁A’₂j etc. Nous constatons que chaque produit Aj A _t ou B₁ B_i, etc., est la borne inférieure de deux multiplicandes. D’autre part, on peut additionner deux à deux les produits et trouver encore un produit à titre de borne supérieure : par exemple A₁A_a + A’₁ A, = B, A₂. On peut également additionner deux multiplicandes et trouver encore un multiplicande : A₁ + A’₁ = B₁. On peut enfin additionner deux multiplicandes et trouver leur borne supérieure parmi les produits : A₁ + A₂ = Ai A ₂ -|- Ai A’₂ -j- Ai B’₂ 4- … -J- A\ A ₂ -f- B\ A ₂ -J- …, etc. ; ou multiplier deux sommes de produits et retrouver leur borne inférieure parmi les produits : (A_i A₂-j-A_x A’₂) × (A_i A_a+ A’i A ₂) = (Ai A₂). Mais les multiplicandes ne font pas partie de l’ensemble des produits et, sauf entre éléments d’une même colonne ou d’une même rangée, la borne inférieure de deux produits est nulle. Cela revient à dire que la table n’est pas encore à la fois additive et multiplicative et que, si la borne inférieure apparaît à titre général entre deux multiplicandes ou si la borne

supérieure demeure générale entre deux produits, le système n’est encore qu’un demi-lattice faute de généralisation des deux formes à la fois pour tous les éléments du système (on passe par contre des produits aux multiplicandes par l’opération inverse de la multiplication, qui est la division, mais en sortant ainsi des opérations du lattice) ;

3) Le successeur du système opératoire (312 bis) est alors la table (314) qui conserve la multiplication (et par conséquent l’addition), mais l’introduit en outre entre les produits élémentaires de la multiplication des deux suites de classes B₁ et B_i et leurs réunions deux à deux. L’élément opératoire nouveau est alors cette combinatoire, qui consiste à réunir les termes deux à deux (ou 3 à 3 et davantage dans le cas de 3 ou n suites de classes) : d’où le fait que les multiplicandes sont incorporés à l’ensemble des produits, autrement dit que la table devient simultanément additive et multiplicative, ce qui généralise les bornes supérieures et inférieures à tout couple d’éléments. Mais ce système opératoire, ainsi promu au rang de lattice complet, n’en succède pas moins par la relation de filiation génétique aux deux systèmes précédents, puisqu’il conserve l’addition et la multiplication. La seule nouveauté est donc le facteur combinatoire qui, d’une classification simple (310) ou du produit de deux classifications (312) conduit à la notion de toutes les classifications possibles contenant les mêmes éléments (par généralisation de la vicariance (311) donc par construction d’un « ensemble de parties ») ;

4) Enfin, de la table (314) on passe à la table (222) et à ses généralisations (233) et (306), grâce à l’intervention d’une opération nouvelle consistant à faire correspondre aux opérations intrapropositionnelles de classes (ou de relations, car nous eussions pu partir de 325 et 326) les opérations interpropositionnelles ne retenant que les valeurs de vérité abstraction faite du contenu des propositions. Mais il s’agit ici d’un autre type de filiation, dont nous avons traité ailleurs et qu’il serait en dehors de notre sujet de rediscuter maintenant (car il tient à l’ensemble du processus de la formalisation logique).

Reprenons par contre la succession (1) à (4) du point de vue de la structure du groupe :

1) L’opération additive élémentaire est constitutive d’une

structure qui comprend en elle (si l’on fait abstraction des additions tautologiques A + A = A et A + B = B) un groupe de deux transformations : l’opération (addition de parties disjointes) et son inverse, d’où l’opération identique (ensemble neutre) unique, qui est 0. Le système complet, ou groupement additif des classes (310) comporte par contre, en plus de l’addition de 1’« identique générale   » (A + O = A) celle des « identiques spéciales   » A + A = A, etc., qui mènent au même résultat. Dira-t-on alors que le groupement (310) contient le bigroupe + A et — A au même titre qu’un successeur contient son prédécesseur, ce qui attribuerait un rang d’antériorité au groupe, proprement dit ? Non, parce que les parties disjointes ne sont pas isolables, sinon par abstraction, des classes d’ordre supérieur qui les emboîtent en vertu de leur réunion même. Il est donc nécessaire d’admettre que le système élémentaire est celui qui présente les deux caractères suivants : a) A toute opération correspond une inverse qui l’annule (d’où l’identique que nous appellerons « générale » parce que produit commun de toutes ces inversions : A — A = O ; B — B ≈ O ; etc.) ; b) L’addition à un élément donné de tous ceux qu’il contient laisse le premier invariant (identiques que nous appelons « spéciales » parce que relatives à chaque élément considéré) ’.B + 0≈B∙,B+A≈ B ; B + B = B ; mais B + B’ = C. La condition a) dérive donc de la réversibilité, caractère de toute opération élémentaire, et la condition b) de l’existence des emboîtements et de leurs bornes supérieures. L’unicité de l’opération identique du groupe est alors à considérer non pas comme primitive, mais comme un cas particulier : celui où la fonction a) de l’identique (produit de l’opération et de son inverse) et la fonction b) (le fait de laisser invariant l’élément auquel l’identique est additionné) sont assimilées l’une à l’autre, c’est-à-dire où le seul élément dont l’addition laisse invariant le terme auquel il est réuni est précisément le produit (O) de l’opération additive et de son inverse ;

2) Le successeur du groupement additif (1) est, au point de vue de la réversibilité et du groupe comme à celui des bornes et du lattice, le groupement de la multiplication bi-univoque (312 bis). En effet, tandis que l’addition (+) entraîne le bigroupe de l’addition des parties non-communes et de son inverse, la multiplication ( X ) entraîne le bi-groupe corrélatif de la réunion

des parties communes et de son inverse. Mais l’intervention de ce nouveau groupe de deux transformations n’abolit pas l’action du précédent, et, de leur multiplication, résulte alors un groupe de 4 transformations : tandis que l’addition comporte déjà l’opération de réunion et son inverse, la multiplication introduit pour sa part, avec la jonction des parties communes, la possibilité d’une nouvelle transformation, par fusion de cette jonction avec la négation (inverse de l’addition). Cette nouvelle transformation n’est autre chose que la réciprocité ou inversion des termes comme tels et non pas de l’opération assurant leur jonction : ainsi les couples x x y et χ x ÿ, ou x × ÿ et x x y, soutiennent entre eux une nouvelle relation opératoire qui ne comporte à elle seule ni l’addition ni la simple jonction des parties communes, mais qui constitue leur réunion en une transformation nouvelle.

Il en résulte que la table (312 bis) comprend déjà un groupe de 4 transformations : le groupe INRC, mais sous sa forme élémentaire I, SN, SR et SC (propositions 323-324), seule la réciprocité (fusion de l’addition et de la multiplication) demeurant invariante indépendamment de l’extension de la classe totale (de l’extension de la table) ;

3) Le successeur du système (2) est alors, du point de vue du groupe comme de celui du lattice, la table (314) ou « ensemble des parties » de B₁ etB₂. Tout en conservant la totalité des mécanismes opératoires de (1) et de (2), ce système (3) y ajoute le facteur combinatoire propre à la constitution d’un ensemble de parties. Il en résulte donc l’achèvement du groupe INRC : chaque élément comporte son inverse N et son corrélatif C à l’intérieur de la table, et déterminés de manière invariante autant que son réciproque R ;

4) Il suffît enfin du passage du système de classes (314) à celui des propositions (222) pour que le groupe INRC prenne sa signification interpropositionnelle générale.

Ainsi, du double point de vue de la constitution du lattice complet et de celle du groupe des 4 transformations INRC, les systèmes (1) à (4) soutiennent entre eux des relations de succession susceptibles de prendre une signification génétique. Dans les deux cas, en effet, un système aussi élémentaire que celui du groupement de la classification (310) permet d’engendrer par

multiplications progressives le lattice des opérations interpropositionnelles et le groupe INRC qui caractérise ces dernières.

On dira que cette double succession n’a rien de surprenant, puisque les bornes inférieures et supérieures du lattice interpropositionnel comportent elles-mêmes un groupe I, Na, Ra, Ca (prop. 247-249) isomorphe au groupe INRC. Mais c’est, nous l’avons vu, à la condition d’introduire les négations (ou « compléments »), ce qui n’est pas le propre des lattices sous leur forme générale.

§ 45. Conclusion : réversibilité, inversion et réciprocité

L’essai de généalogie des structures d’ensembles que nous- venons de tenter conduit à deux conclusions : l’une est que toute structure logique bivalente participe simultanément des lois du groupe et de celles du lattice ; l’autre est que les structures les plus élémentaires de classes ou de relations annoncent déjà cette double parenté, tout en réunissant les deux sortes de caractères en un seul système dont les lois pourraient bien être les plus générales de la filiation considérée.

En réalité — et c’est par cette remarque que nous conclurons cette étude — la succession génétique que nous venons d’esquisser acquiert une signification assez profonde, du point de vue de la structure psychologique de la pensée, lorsqu’on s’aperçoit que le groupe et le lattice contribuent chacun pour sa part à rendre compte des propriétés les plus fondamentales de cette structure, mais sans qu’aucun des deux ne suffise à les épuiser à lui seul, envisagé sous sa forme générale (d’où la nécessité d’un tertium).

L’importance de la notion de groupe en presque tous les domaines logiques et mathématiques s’explique par le fait que sa structure converge avec l’un des mécanismes opératoires les plus essentiels de l’intelligence : l’inversion ou réversibilité reposant sur la négation. Que toute opération de groupe comporte une inverse c’est là, en effet, un principe d’équilibre (ou, exprimé plus généralement, de raison suffisante) indispensable au fonctionnement de la pensée.

Mais, comme on le sait, la généralité du groupe, considérée récemment encore comme devant être illimitée, s’est vue quelque peu affaiblie par les succès grandissants du lattice, notion qui est

en passe de devenir le second pilier fondamental (mais pas le principal) de l’édifice logico-mathématique. Comment donc expliquer cette généralité croissante du lattice ? Il est intéressant de le rechercher à la lumière de l’analyse psychologique des opérations autant que par un examen de sa forme générale abstraite. Si certaines formes particulières de lattices (notamment ses formes logiques) admettent l’inversion (grâce à l’emploi des complémentaires de première et de seconde espèce), sa structure générale ignore ce mécanisme opératoire. Par contre elle en comporte nécessairement un autre, qui est la réciprocité, et dont il s’agit maintenant de déterminer les relations avec l’inversion.

Le premier point à noter est que, si le lattice comporte une loi de dualité, celle-ci, sous sa forme générale n’implique aucune négation, puisqu’elle revient à permuter simultanément les ( x ) et les ( +) ainsi que les relations (z y) et (y →* x) (x précède y et y précède x)¹. En effet, la permutation des ( X ) et des ( +) est une corrélativité Ca (prop. 246) ; or, une corrélative est bien l’inverse d’une réciproque (Ca = Na Ra) du point de vue du groupe que constituent les bornes BJ et BS (prop. 248-9) ; mais on peut aussi la définir de façon entièrement directe (c’est-à-dire sans négations) comme la substitution réciproque des opérations (x) et (-∣-) (ou ∨ et .). Quant à la substitution réciproque de (x •** y) et de (y → r), il ne s’agit également que d’une transformation pouvant se définir sans appel à la négation : cette transformation revient, soit à renverser l’ordre des x et y, soit à retourner la relation « précède » (x -** y) en une relation « succède à » (x « - y).

Donnons deux exemples de l’application de cette loi de dualité. Le premier portera sur le lemme connu : si A →> B, l’on a alors, quel que soit C, la relation AC^BC. Par dualité, on obtient en ce cas :

(332) [(A →> B) 3 (AC →> BC)] → [(A B) 3 (A + C *→ B + C)]

L’autre exemple concernera la relation entre les bornes elles- mêmes. On a, en effet toujours :

(333) (AB A) et (AB →* B) ; A → (A + B) et B →* (A + B)

1. Voir V. Glivenko, Théorie générale des structures, Hermann, 1938, p. 8. Voir également Garret Birkhoff, Lattice theory (2’ éd.), 1948, p. 3.

d’où :

(334) (AB) → (A + B)

L’application de la loi de dualité transforme en ce cas (AB) en (A + B) et réciproquement, ainsi que la relation « précède » (- ») en une relation « succède à » (♦+-). D’où la transformation de (334) en :

(335) (A + B) -h- (AB) f

On constate alors qu’aucune de ces deux transformations ne revient à nier l’expression initiale. Dans le premier cas (332), la transformation consiste à changer l’ordre et à tirer de l’ordre nouveau une relation réciproque qui serait également vraie, mais en ordre inverse (soit A - C →B ⅛ C), pour la relation de départ (A →* B). Dans le second cas (334-5), la transformation se réduit à une simple conversion de la relation, du fait que (334) est vrai quel que soit l’ordre entre A et B.

On voit ainsi que la loi de dualité propre au lattice consiste à déterminer non pas la négation, mais la réciproque d’un emboîtement donné. On comprend par cela même la différence entre l’inversion et la réciprocité : tandis que la première revient à nier l’opération elle-même, indépendamment des relations d’ordre, la seconde consiste au contraire à inverser l’ordre comme tel, sans négation des opérations en jeu. Autrement dit, dans le cas des emboîtements, l’inversion propre au groupe consiste à exclure ou déboîter et la réciprocité à permuter simplement l’ordre des emboîtements : la première porte sur les termes et la seconde sur leurs relations.

Mais cette réciprocité ne soutient-elle pas elle aussi quelque rapport avec la négation ? Examinons à cet égard ce que donne la loi de dualité propre au lattice dans le cas où on y introduit des négations. La chose est possible, non pas en général, mais dans le cas des lattices dont fait partie la logique, puisqu’ils comportent des complémentaires de première et de seconde espèces. Or, si dans une relation A →* B (inclusion ou implication) on nie A et B on obtient la relation inverse entre leurs complémentaires :

(336) (A→*B)→ (A<÷B)

ce qui revient à poser l’équivalence :

(337) (A→B) = (B∙→A)

On retrouve ainsi la contraposition (p 3 q) = (q 3 p) de même que la définition de la réciprocité par la négation des termes du rapport : R (p ? q) = (p 3 q), laquelle équivaut donc au renversement de la relation elle-même : (p 3 q) = (q i p).

Si maintenant nous nions l’opération comme telle, en combinant la dualité du lattice avec celle du groupe, nous obtenons :

(338) [(AB) →→ (A + B)] ∙→ [(ÂB)« -(A +B)] = [(À + B) « - (ÂB)]

On voit alors que (A + B) est la réciproque de (A 4- B) et (ÂB) de (AB) ce qui donne, de façon générale¹ :

(339) [(x.y) →* (x + y)] → [Ba (x + y) Ra (x.y)]

(où Ra = R si x et y sont uninaires).

Ainsi, sous leur forme générale, le groupe comporte une réversibilité consistant en inversions strictes (négations), tandis que le lattice constitue un système d’emboîtements, c’est-à-dire de relations d’inclusion, dont la réversibilité est caractérisée par la réciprocité. On peut certes adjoindre la réciprocité à certaines formes particulières de groupes, tel le groupe logique INRC, ainsi que l’inversion par négation à certaines formes particulières de lattices, tels le lattice caractérisant les opérations logiques. Mais, en leurs structures les plus générales, le groupe repose sur l’inversion et le lattice sur la réciprocité, et c’est ce qui explique à la fois leur indépendance relative et leurs connexions multiples².

Or, l’inversion et la réciprocité constituent les deux mécanismes opératoires fondamentaux qui caractérisent la réversibilité propre à l’intelligence. On peut définir la réversibilité en général comme la possibilité d’un retour au point de départ. Cette possibilité comporte alors deux cas, selon que l’on envisage les opérations comme telles ou les termes et leurs relations. Appliquée aux opérations, la réversibilité revient à les inverser, c’est-à-dire à les

1. Voir la prop. 247.

2. Pour ces combinaisons (systèmes relevant à la fois du groupe et du lattice), voir Garett Birkhof, Lattice theory (2^e éd.), 1948, chap. XIII-XIV.

nier, le produit d’une opération et de son inverse étant alors l’opération nulle (ou identique) : + A — A = 0. Appliquée aux termes et à leurs relations, la réversibilité consiste par contre en son essence à retourner ou renverser la relation ; on parle souvent aussi en ce cas, d’« inversion » ou de relation « inverse », mais il s’agit alors d’une transformation bien distincte de l’inversion- négation, et qui est la réciprocité : en effet, le produit d’une relation et de sa réciproque n’est pas une relation nulle, mais l’équivalence : (A →+ B).(B →> A) = (A ⅛t B). On peut, il est vrai, exprimer la réciprocité en termes de négation, et cela de deux manières, mais qui ne suppriment en rien le caractère irréductible de cette réciprocité, puisque celle-ci est relative à la relation et non pas à l’opération de poser ou d’exclure un terme. On peut d’abord traduire le renversement de la relation par une négation de ses termes (prop. 336) : (A →* B) — (B →+ A). On peut également considérer la relation comme une différence¹ et introduire l’opération d’addition ou de soustraction des différences ( ± a, etc.) : on aura alors + a — a = O mais O signifiera en ce cas la différence nulle, c’est-à-dire à nouveau l’équivalence entre les termes eux-mêmes.

Bref, l’inversion caractérise les opérations consistant à poser ou à exclure des termes ou des assemblages de termes, tandis que la réciprocité concerne les opérations de mise en relations proprement dite : c’est pourquoi toutes deux sont indispensables au mécanisme opératoire de la pensée. Cette complémentarité entre les deux formes fondamentales de réversibilité explique à la fois l’importance respective du groupe et du lattice et le fait que ces deux structures d’ensemble ne se recouvrent pas, ou se recouvrent seulement en partie. Du point de vue exclusivement logique, la structure d’ensemble exprimant la totalité des opérations doit donc exprimer simultanément ces deux aspects de la réversibilité : son originalité, par opposition au groupe ou au lattiee considérés sous leur forme générale, sera précisément d’assurer cette coordination.

C’est de ce point de vue que la notion de groupement présente quelque intérêt, puisqu’elle permet de remonter jusqu’à ces structures élémentaires de classes et de relations ne consistant

1. Voir notre Traité de Logique, p. 142.

encore qu’en demi-lattices ou en groupes imparfaits. Sur un tel terrain, on aperçoit alors de la façon la plus évidente la nature bien distincte et, en même temps, la complémentarité¹ des deux formes essentielles de réversibilité, et cela sous leurs aspects les plus primitifs. En effet, les 4 groupements de classes que nous avons décrits ailleurs², et qui procèdent tous les 4 de la classification (310) sont caractérisés par l’inversion proprement dite, c’est-à-dire qu’ils ont pour opérations inverses des exclusions portant soit sur les termes eux-mêmes (groupements additifs) soit sur le nombre des emboîtements (groupements multiplicatifs, tels que 312). Au contraire les 4 groupements correspondants de relations’, qui procèdent à la sériation (325), relèvent de la réciprocité et ont pour opérations inverses des réciproques proprement dites (inversion des relations comme telles). Mais si la di- tinction de l’inversion et de la réciprocité est ainsi imposée dès le départ, selon qu’il s’agit de classes à réunir ou à exclure ou de relations dont la réciprocité exprime les transformations d’ordre, la complémentarité des deux formes de réversibilité n’en est pas moins assurée, également dès le départ, par la correspondance exacte existant entre les groupements de classes et ceux de relation, les premiers portant sur l’extension et les seconds sur la compréhension. Il n’est donc pas surprenant que l’inversion et la réciprocité, données dès l’origine en leur distinction et en leur complémentarité, se coordonnent de plus en plus étroitement dans les structures ultérieures (voir § 44), jusqu’à se déployer simultanément en un lattice complet (admettant les complémentaires ou négats) et un groupe de 4 transformations (dont précisément N et R) dans les structures interpropositionnelles achevées.

•

1. Au sens usuel du mot « complémentaire » = qui se complète.

2. Traité, chap. II.

3. Ibid., chap. III.