Chapitre Premier.
La réduction des opérations ternaires aux opérations binaires et l’inversion des opérations « composantes »
a
Nous énumérerons, en ce premier chapitre, les 256 opérations ternaires en suivant l’ordre méthodique des combinaisons au sein des formes normales disjonctives. Nous constaterons d’autre part, à propos de chacune d’entre elles, la possibilité de réduire l’expression considérée à une composition d’opérations binaires (ou à plusieurs compositions équivalentes de ce genre). Appelons x l’une des opérations binaires (par exemple p. q ou p 5 r, etc. et y l’autre des opérations binaires entrant dans cette composition (par exemple q | r ou p = r, etc.). En cas d’expressions binaires- binaires doubles, désignons par x et y les deux premières opérations et par xj et y’ les deux autres. Symbolisons enfin par a ou α, β, etc., les opérations qui relient entre elles ces opérations x, y ou x’ et y’. Toute opération ternaire est alors réductible à une forme binaire-binaire, simple ou double, telle que :
I X (a) y ou II [x (a) y] a [x, (β) ÿ’j
En outre les opérations x et x’ peuvent en certains cas demeurer uninaires, ce qui réduit alors l’expression ternaire à une forme uninaire-binaire, simple ou double (mais naturellement jamais à une forme uninaire-uninaire, sans quoi l’expression totale cesserait d’être ternaire).
Appelons maintenant « opération composante » l’opération a, dans le cas x (a) y comme dans le cas [x (a) y] a fx’ (β) y’] et « opérations composées » les opérations x et y dans le cas x (a) y, ou x (a) y et x’ (β) y’, dans le cas II, que relient entre elles l’opé-
ration composante (a). Il n’existe ainsi jamais qu’une seule opération composante. Or, nous vérifierons que cette opération composante (a) est toujours elle-même l’une des 16 opérations binaires.
Pour plus de commodité dans les calculs nous réduirons ordinairement cette opération composante (a) soit à une conjonction (.) ou son inverse une incompatibilité (|), soit à une équivalence (=) ou son inverse (w ou exclusion réciproque), qui sont des doubles conjonctions, soit encore à une « affirmation complète » (*) ou double équivalence.
Nous vérifierons alors la règle suivante (valable d’ailleurs quelle que soit l’opération composante) :
Règle I. — Pour obtenir Γinυerse N d’une opération ternaire mise sous la forme d’une expression binaire-binaire ou uninaire- binaire (simple ou double), il suffit d’inverser l’opération composante (a) selon les règles d’inversion propres à la logique des opérations binaires.
Si long et fastidieux que cela puisse paraître, il est d’autre part nécessaire de débuter par une énumération des 256 opérations ternaires mises sous leurs formes binaires-binaires ou uninaires-binaires, de manière à faciliter la compréhension des analyses qui suivront.
§ 1. Les deux opérations d’ordre VIII et O et les 16 opérations d’ordre I et VII
L’opération ternaire (unique) à 8 trios est 1’« affirmation complète » ternaire (prop. 2). Il est aisé de la réduire à une expression soit binaire-binaire, soit même uninaire-binaire :
(5) (p * q * r) ≡ [(p * q).(q ♦ r)] ≡ [(p. q) V (p. q) V (p. q) V (p. q)].
[(q∙r) V(q.f)V(q.r)V(q.f)]≡ [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q. f)]
et
(5 bis) (p ♦ q ♦ r) ≡ p * (q ♦ r)
En effet p * (q * r) donne ∨ ∨ ∨ (p. (o)], ce qui équivaut à la composition (5).
Cela étant, il est facile d’inverser (c’est-à-dire de nier) les
expressions (5) et (5 bis) en remplaçant les opérations composantes (.) ou (*) par leurs inverses binaires (|) ou (o) :
(6) (p * q * r) ≡ (p * q) | (q * r) ≡ (p) o (q ♦ r) ≡ O
En effet (p * q) | (q * r) donne [(p * q). o] ∨ [(o). (î*01 v[o.o], c’est-à-dire o ∨ o ∨ o.
Ces deux premières opérations ternaires (5) et (6), . que nous désignerons par les symboles VIII et 0, sont donc réductibles à des expressions binaires-binai- res (et même, dans le cas particulier, à des expressions uninaires-binaires).
Examinons maintenant les 8 opérations à 1 trio (I 1 à I 8) et les 8 opérations à 7 trios (VII 1 à VII 8), en les énumérant dans l’ordre correspondant à celui des trios successifs de la prop. (2). Il est clair que chacune des opérations VII constituera l’inverse d’une opération I déterminée, l’inverse étant par définition la complémentaire de l’opération considérée (complémentaire sous l’affirmation complète 5). On aura donc :
| ’α7’ 1ms | IM IH | IM A ? "H ? | |
| ∣cr, « cr* | ∣σl | ∣CΓ* ∣ζj, | Iζj, ∣CΓ, ∣CΓt |
| ∣a ∣a ∣a | ∣a ∣a | ∣a ∣a ∣a | |
| s-xz x--z | ×-X | S— X S-X | |
| > > | > | > > | > > > |
| χ-^ /— S | II ? ’∣h’ | ||
| ∣σ< ∣cr, | ∣σl | ∣cr, ∣σ, | ∣CΓ, Cr, ζj* |
| ∣a ia | ∣a | ∣a ∣a | ∣a ∣a >a |
| s^x, X | ‰-x | X s^-x | s⅛*-z |
| > > | ≥ | > > | .> > > |
| X— z-s | |||
| lUt II— • | II— 1 | IH Ut | Ht Ht Sh |
| tr tr | σ | tr σ, | tr tr |
| ∣a ∣a | ■a | ∣a ∣a | ∣a ∣a ∣a |
| x⅛--χ ⅛⅛X | |||
| « o | |||
| qj x> | |||
| CO x-s | — ~χ | s zλ∖ | |
| Ht | Ht IH | IH l‰t ∣Ht | |
| g σ σ | & | Crl ∣crl | ∣cr, ∣um ∣σ* |
| ∣a ∣a | ∣⅛ | ∣a a | ft Qt ft |
| )A )^ suo | > | ||
| G ,u ,u | ∣H | Jh Hi | h H H |
| ⅛ ∣σ, ∣σl | ∣σ∙ | ∣σ, ∣cr* | ∣cr, ∣ζj, ∣σ* |
| ⅛ a a | a | & A | Pt Pt |
| χ s*^χ | |||
| > > | > | > > | > > > |
| 7 ? ’n ? | lU ? ’lû ? | ÏÛT i∣t7 ^∣Hx | |
| ∙σ* ∣cr, | er | tr σ | C c w |
| a a | a | A A | |
| > > | > | > > | > > > |
| χ∙i"κ | -∏Γ ,∏Γ | "h ? - hΓ ’h ? | |
| tr εr | cr | tr w | tr tr tτ, |
| AA |
a ^x |
Ô-S | A A A |
| TH CM | 00 | O I> 00 | |
| HH | HH | HH | k— 4 k— √ 1— J |
| HH HH | h— t | HH HH | HH HH HH |
| > > | ≥ > ≥ > ≥ > | ||
| Ht « h | H | •H Ht | ■in μl lit |
| g B< W ∣σl | ∣σ1 σ, | ∣cr< ∣cr, | |
| •S S a a | a | a >a | ∣a ∣a ∣a |
|
⅛ 1 x~, Q qj I |
s-z | N„X S_^- ∙^X | |
| 00 | Φ CO | ||
| ⅛ ■« W l-H | 1— t k— 1 | |— J k— u t— f | |
| O | |||
| x^ | |||
| s-x, |
Or, il est immédiatement visible que les opérations 11 à I 8 sont aisément transformables en expressions soit binaires-binaires soit uninaires-binaires dont les opérations composantes sont elles- mêmes binaires. On a, en effet :
<8) I 1 (p. q.r) ≡ [(p . q).(q . r)] ≡ [p. (q.r)J ≡ etc.
I 2 (p. q.r)≡[(p . q).(q ) r)] ≡ [(p. q).(q.r)] ≡ = etc.
I 3 (p. q.r) ≡ [(pTq).(r > q)] ≡ [(p. q).(q.r)}≡ = etc.
I 4 (p. q.r) = [(p-5-q). (q ∨ r)] ≡ [(p. q). (q. f)] ≡ = etc.
I 5 (p. q.r) ≡ [(q ) p).(q . r)] ≡ [(p. q).(q.r)] ≡ [p. (q.r)J = etc.
I 6 (p. q.r)≡ [(q 5 p).(q > r)] ≡ [(p. q).(q.r)] ≡ = etc.
1.7 (p. q.r) ≡ [^V⅞).(r 3 q)] ≡ [(p. q).(q.r) ≡ = etc.
I 8 (p. q.t)≡ {(P V q).(q V r)] ≡ [(p. q).(q. r)] ≡ = etc. .
Les opérations inverses VIIlàVII8 s’obtiennent alors simplement par inversion de l’opération composante propre à chacune des expressions précédentes :
(9) VHt≡[(p. <Dt(q.⅛)≡[p∣(q.r)] VII 5 ≡ [(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [p (q.r)]
VII 2 ≡ [(p. q) [(q.t)] ≡ [p | (q.f)] VII 6 ≡ [(p. q) | (q.F)] ≡ [p (q.r)]
VII 3≡ [(p. q) K⅞..r)l≡[p I(q.r)] VII 7 ≡ [(p. q) ∣ (q.r)]≡ [p (q.r)]
VH4≡[(p. qH(<tm≡[p ∣(q.r)] VII 8 ≡ [(p. q) [(q.r)] ≡ [p (q.r)]
Le principe des calculs permettant d’établir ces équivalences entre les opérations ternaires VII 1 à VII 8, sous leurs formes normales (7), et les expressions (9) consiste à traiter l’ensemble de l’expression binaire-binaire ou uninaire-binaire comme une expression binaire unique x (a) y dans laquelle x et y sont les opérations composées (par exemple p. q et q.r) et a l’opération composante (ici l’incompatibilité). Si x | y ≡ xÿ ∨ χy ∨ (xÿ) (formule de l’incompatibilité) et si x ≡ pq et y ≡ qr, on a en effet :
(10) x.ÿ ≡ p. q (q.r V q. r V q.r) = p. q. î
x.y≡ q.r (p. q V p. q V p. q) ≡ p. q.r
i.y≡(q.rvq.fvq.r).(p. qvp.qvp.q)≡(p. q.r)vφ.q.f)
V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)
D’où
(p. q) | (q.r) ≡ (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.r)
Il en est de même pour les expressions uninaires-binaires, où l’on aura x — p ou p et y = l’opération composée binaire.
!
§ 2. Les 28 opérations d’ordre II et les 28 opérations d’ordre VI
Voici d’abord le tableau des 28 opérations ternaires à 2 tries, sous leur forme normale disjonctive, et de leur réduction à des opérations binaires-binaires ou uninaires-binaires :
(11)11 1 [(p. q.r) V (p. q.r)] ≡ {(p. q).p [r][ ≡ p. q [r] ≡, etc. »
II 2 [(p. q.r) V(p. q.r)]≡ {(p. r).r [q]{ ≡ r.p [q]≡, etc.
II 3 [(p. q.r) ∨ (p-q.r)] ≡ {p [q].(q = r)∣ ≡≡ ≡, etc.
II 4 [(p. q.r) V (p. q.r)] ≡ {(q.r).q [p]} ≡ r.q [p] ≡, etc.
II 5 [(P∙q∙r) ∨ (p. q.f)]≡ {q [p].(p = r)} ≡ [q.(p == r)] ≡,etc.
II 6 [(P∙q∙r) V (p. q.r)] ≡{r [p].(p = q)} ≡ [r.(p = q)] ≡, etc.
II 7 [(p. q.r) V (p. q.f)]≡[(p = q).(p = r)] ≡[(p = q).(q = r)]
II 8 [(p. q.f)v(p. q.r)]≡∣p[q].(qwr)!≡
II 9 [(p. q.r) V (p. q.f)l ≡ {(p. f).p [q]∣ ≡ r.p [q]
II 10 [(p. q.f) ∨ (p. q.r)]≡ {q [p].(p W r)[ ≡ [q.(pwr)]
II 11 [(p. q.r) ∨ (p. q.f)]≡ {(q.f).q [p]} ≡ r.q [p]
II 12 [(p. q.r) V(p. q.r)]≡ [(p = q).(pwr)]≡ [(pwr).(qwr)]
II 13 [(p. q.f) V(p. q.f)]≡ {f [q].(p = q)[ ≡ [f.(p= q)]
II 14 [(p. q.r) V (p. q.f)] ≡ {(p. q).q [r][ ≡ p. q [r]
II 15 [(P∙q∙r) V (p. q.r)] ≡{r[q].(pwq)∣≡r.(pwq)
II 16 [(p. q.r) ∨ (p. q. r)] ≡ [(p W q).(p = r)] ≡ [(p W q).(q W r)]
II 17 [(P∙q∙r) V (p. q.r)] ≡ {(r.q).q [p][ ≡ r.q [p]
II 18 [(P∙q∙r) V (p. q.f)] ≡ {q [p].(p = r)} ≡ q.(p = r)
II 19 [(p. q.f)v(p. q.r)]≡[(pwq).(q = r)]≡[(pwq).(pwr)]
II 20 [(p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ {r [p].(p w q)} ≡ r.(pvv q)
II 21 [(p. q.r) V (p. q.r)] ≡ ∣q [p].(pWr)∣ ≡ q.(pWr)
1122 [(p. q.r) V (p. q.f)] ≡ {(p. f).q [p]) ≡ r.q [p]
II 23 [(p. q.r) V (p. q.r)] ≡ {(p. q).q [r]( ≡ p. q [r]
II 24 [(p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ {(p. r).ρ [q]} ≡ r.p [q]
II 25 [(p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ {p [q].(q = r){ ≡ p. (q = r)
II 26 [(p. q.r) V (p. q.r)] ≡ {p [q].(qvvr)∣ ≡ p. (qW r)
II 27 [(p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ {(ρ.r).p [q]} ≡ r.p [q]
II 28 [(p. q.r) V (p. q.r)] ≡ {(p. q).q [r][ ≡ p. q [r]
Cela posé, il suffit à nouveau d’inverser les opérations composantes (.) pour obtenir les inverses de chacune de ces opérations à 2 trios, c’est-à-dire les 28 opérations d’ordre VI (6 trios) :
1. Le symbole q [r] signifie l’affirmation de q par rapport à r, soit q [r] = {(q.r) V (q.f)[. Voir Traité, p. 237 et p. 263.
(12) VI 1 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ j(p. q) | q [r]} ≡ p | q [r]
VI 2 [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ {(p. r) | p [q]} ≡ r | p [q]
VI 3 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ {p [q] | (q = r)} = [p | (q = r)]
VI 4 [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ )(q.r) | q [p][ = r | q [p]
VI 5 [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ {q [p] | (p = r)} ≡ [q | (p = r)]
VI 6 [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ {r [p] | (p = q)} ≡ [r | (p = q)]
VI 7 [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p = q) | (p = r)]
VI 8 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ ]p [q] ∣ (qv√r)∣ ≡ [p ∣ (qwr)]
VI 9 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ ∣(p. f) | p [q][ ≡ f | p [q]
VI 10 [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ )q [p] ∣(pwr)∣≡[q∣ (p W r)]
VI 11 [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ j(q.f) | q [p]} ≡ f | q [p]
VI 12 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p = q) | (pWr)]≡[(p wr) | (qwr)]
VI 13 [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r)j ≡ {f [q] | (p = q)} ≡ [f | (p= q)]
VI 14 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ ](p. q) | q [r]} ≡ p | q [r]
VI 15 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ jr [q] ∣ (pwq)) ≡ r | (p W q)
VI 16 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(pwq) ∣(p = r)]≡[(p wq) ∣(qWr)]
VI 17 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ [(q.r) | (q [p][ ≡ r | q [p]
VI 18 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ Jq [p] | (p = r)} ≡ q | (p = r)
VI 19 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(pwq) ∣(q = r)]≡[(pwq) ∣(pWr)]
VI 20 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)j ≡ jf [p] ∣(pwq)∣≡f ∣(pwq)
VI 21 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q. f) ∨ (p. q.f)] ≡ |q [p] ∣(pwr)J≡q ∣(pwr)
VI 22 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ j(p. r) | q [p]} ≡ f | q [p]
VI 23 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ )(p. q) | q [r] ≡ p | q [r]
VI 24 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ {(p. r) | p [q] ≡ r | p [q]
VI 25 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ jp [q] | (q = r)[ ≡ p | (q = r)
VI 26 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ jp [q] ∣(qvvr)J≡p ∣(qwr)
VI 27 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ j(p. f) | p [q]} ≡ f | p [q]
VI 28 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ ](p. q) | q [r]J ≡ p | q [r]
Le principe des inversions conduisant des opérations d’ordre II à celles d’ordre VI est le même que celui dont il a été fait usage au § 1. Soit une expression telle que II 1 ≡ (p. y).y[r]. Cette expression se réduit à deux opérations composées x≡p. q et y = q [r] réunies par l’opération composante (.), donc x.y. L’opération inverse VI 1 résultera de l’inversion de l’opération composante, soit x | y. On a alors, comme dans la prop. 10 :
(13) x. ÿ ≡ (p. q). q [r] ≡ [(p. q).(qr V qf)] ≡ 0
x∙y≡(p∣q)∙q[r]≡[(p. qvp.qvp.q).(q.rvq.f)]≡[(p. q.r)v
(p. q.r)]
x∙y≡(P I q)∙q[r]≡ [(p∙qvp.qvp.q).(q.rvq.r)]≡(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)
ce qui donne bien VI 1. De même pour les expressions de forme II 7, on aura1 :
(14) x. ÿ ≡ [(p = q).(p≡r)] ≡ [(p = q).(pwr)]≡[(p. q) V(p. q)].
[(p. f) ∨ (p. r)] ≡ [(p. q.r) ∨ (p. v.r)]
X. y ≡ [(p = q). (p = r)] ≡ [(p w q). (p = r)]≡ [(p. q) V (p. q)].
( ≡ [(p. q.r) V (p. q.r)]
x.y≡ [(p. q) ∨ (ρ.q)].[(p. f) ∨ (p. r)] ≡ [(p. q.r) V (p. q.r)]
Or (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) donnent bien VI 7. Les inversions des opérations d’ordre II en opérations d’ordre VI reposent donc entièrement sur le principe de l’inversion des opérations binaires.
§ 3. Les 56 opérations d’ordre III et les 56 opérations d’ordre V
Sur les 56 opérations d’ordre III (3 trios), 8 ne sont pas réductibles à des formes binaires-binaires simples, mais seulement à des formes binaires-binaires doubles ou uninaires-binaires doubles. Quant aux 48 autres, 24 sont indifféremment exprimables sous forme binaire-binaire simple ou uninaire-binaire simple, tandis que 24 ne se ramènent qu’à des formes binaires-binaires simples (comme nouk l’avons déjà vu des expressions II 7 ; II 12 ; II 16 et II 19).
Voici d’abord le tableau des 56 opérations d’ordre III :
1. Le symbole W exprime l’exclusion réciproque. Traité, p. 236 etp. 262.
| (15) III | 1 | [(p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p ∣ q) ∣ (p ∣ r)] ≡ p. (q ∨ r) |
| III | 2 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p | q) | (p 3 r)] ≡ p. (r ? q) |
| III | 3 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p | q) | (q ∣ r)] ≡ q.(p V r) |
| III | 4 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p | q) | q 3 r)] ≡ q.(r 3 p) |
| III | 5 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p = q).(q V r)] ≡ [(p = q).(p ∨ r)] |
| III | 6 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p = q).(r s q)] = [(p = q).(r 3 p)] |
| III | 7 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ ((p J q) | (p ∣ r)] ≡ p. (q s r) |
| III | 8 | [(P∙q∙r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p | r) | (q ∣ r)] ≡ r.(p V q) |
| III | 9 | [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p = r).(p ∨ q)] = [(p = r).(q ∨ r)] |
| III | 10 | [(P∙q∙r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p | r) | (r 3 q)] ≡ r.(q 3 p) |
| III | 11 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = r).(q 3 r)] ≡ [(p = r).(q 3 p]) |
| III | 12 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p ∨ q).(q = r)] ≡ [(pvr).(q = r)] |
| III | 13 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ j(p. q) = r [q][ .[(p. q) ∣ (q.f)] ≡ [(p. q) = r].[(p. q) | f] |
| III | 14 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r)] ≡ )(p. r) = q [r]} .[(p. φ ∣ (q.f)] ≡ [(p. r) = q].[(p. q) | t) |
| III | 15 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] = [(q = r).(q 3 p)] ≡ [(q = r).(r 3 p)] |
| ni | 16 | [(P∙q∙r) V (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(q 3 p) | (q ∣ r)] = q.(p 3 r) |
| III | 17 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(r 3 p) | (q ∣ r)] ≡ r.(p 3 q) |
| III | 18 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] = [(p 3 q).(q = r)] ≡ [(p 3 r).(q = r)] |
| III | 19 | [(P∙q∙r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ j(q.r) = p [r]} .[(p. q) ∣ (q.f)] ≡ [p = (q.r)].[(p. q) | f] |
| III | 20 | [(P∙q∙r) V (p. q.f) V (p. q.f)] = [(p = r).(r 3 q)] ≡ [(p = r).(p s q)] |
| III | 21 | [(P.q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = q).(q 3 r)] = [(p = q).(p 3 r)] |
| III | 22 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p 3 q) | (p 3 r)] ≡ p. (q | r) |
| III | 23 | [(P∙q∙f) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ |p [q] = (q = r)} .[(p. q) ∣ (q.f)] ≡ [(pwq) = r].[(p. q) | f] |
| III | 24 | [(P∙q∙f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p V q).(qwr)] ≡ [(r 3 p).(qWr)] |
| III | 25 | [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p ∨ r).(q W r)] ≡ [(q 3 p).(qwr)] |
| III | 26 | [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ Jp [q] = (q ∨ r)] .[(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [p = (q ∨ r)].[(p. q) | r] |
| III | 27 | [(P∙q∙f) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p V q).(pwr)] ≡ [(p Wr).(r 3 q)] |
| III | 28 | [(p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p 3 r) | (q 3 r)] ≡ f.(p V q) |
H
III 29 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p wr).(r ∣ q)] ≡ [(pwr).(q ) p)]
III 30 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p ) r) | (q Vr)] ≡ f.(q ) p) w ⅛
III 31 [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(q )p)∣(q) f)] ≡ q.(p | r) &
III 32 [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p ? q).(p W r)] ≡ [(pwt).(q V r)] ©
III 33 [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ jq [p] = (p V r)} .[(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [q = (P V r)].[(p. q) | r]
III 34 [(p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p ) q).(qwf)] ≡ [(p ∣ r).(qWr)] M
III 35 [(p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p Vr)∣(q) r)] ≡ f.(p ) q) g
III 36 [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p = q).(p ∣ r)] ≡ [(p = q).(q ∣ r)]
III 37 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r)] ≡ [(pv√ q).(p V r)] ≡ [(pwq).(q J r)] .
III 38 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p W q).(q ∣ r)] ≡ [(p W q).(r ) p)] g
III 39 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p ) q) | (r 2 q)] ≡ q.(p V r) te
III 40 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p )q)∣(qv f)] ≡ q.(r 3 p) o
IH 41 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(pw q).(q vr)] ≡ [(pwq).(p j r)] ⅛
III 42 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(r ? p) | (r ? q)] ≡ r.(p | q) &
IÎI 43 ](p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ {(p V q) = r [q][ .[(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [(p V q) = t]. [(p. q) | r]
III 44 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.t)] ≡ [(p ∣ q).(q W r)] ≡ [(p 5 r).(qwr)] H
III 45 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p | q).(p = r)] ≡ [(p = r).(q ∣ r)] o
III 46 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p vq)∣(r) q)] ≡ q.(p ? r) ⅛
III 47 [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p w q).(p ∣ r)] ≡ [(p W q).(r j q)] *z
III 48 [(p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(pwr).(p ∣ q)] = [(p w r).(q J r)]
III 49 [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p ∣ q).(q = r)] ≡ [(p ∣ r).(q ≈ r)]
III 50 [(p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r)] ≡ |p [q] — (q = r)∣ .[(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [(p = q) = r].[(p. q) | r]
III 51 [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p V r) | (q V r)] ⅛ f.(p | q)
III 52 [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p V q) | (q V t) ≡ q.(p | r)
III 53 [(p. q.r) V (p,q.f) V (p. q.r)] ≡ [(q 5 p) | (r ) p)]≡p. (qVr)
III 54 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(q )p)∣(pv r)] ≡ p. (r ? q)
III 55 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] = [(p ∨ q) | (r ) p)] ≡ p. (q ? r)
III 56 [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p V q) j (p V r)] ≡ p. (q | r) h1
ÇA
Pour inverser de telles expressions il suffit à nouveau de nier l’opération composante, c’est-à-dire, en l’espèce, de remplacer la conjonction (.) par l’incompatibilité (|) : à chaque opération d’ordre III correspond ainsi une opération d’ordre V qui constitue son inverse, autrement dit sa complémentaire sous VIII. Rappelons, d’autre part, que chaque expression comporte une seule opération composante. Dans le cas des expressions binaires- binaires doubles, ou uninaires-binaires doubles, telles que l’opération III 13, l’opération composante est la conjonction (ou l’incompatibilité) qui relie la première opération composée binaire-binaire (ou uninaire-binaire) à la seconde : c’est donc cette seule opération composante qu’il s’agit d’inverser pour passer de III 13 à VI 13.
Il peut être utile, pour la commodité des exposés ultérieurs, de pouvoir se référer à un tableau complet des opérations d’ordre V, bien qu’il soit facile de le déduire du tableau précédent (voir pages suivantes).
Donnons un seul exemple du calcul de ces incompatibilités : celui de l’expression complexe III 13, sous sa forme uninaire- binaire double. Rappelons la formule de l’incompatibilité :x | y = (xÿ ∨ xy ∨ xÿ) ; appelons x la première opération composée uninaire-binaire et y la seconde. On a alors :
(17) x ≡ [(p. q) = r] donc x ≡ [(p. q) w r] ou x ≡ [(p | q) ■ r] ou x ≡ [(p. q) = f]
(17 bis) y ≡ (p. q | f) donc y≡ [(ρ.q). f) ≡ (p. q. f) (voir 18 au § 1)
D’où :
(18) xÿ = [(p. q) = r]. ≡ [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.f)]. ≡ (p. q.f)
χy = [(p∙q) = f].[p∙q I d ≡ [(p∙q∙f) ∨ (p∙q∙r) ∨ (p. q.r) V (P∙q∙r)]∙[(P∙q∙r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p q q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)]
X.γ≡ [(p. q) = f].(p. q.f) ≡ 0
Donc x | y ≡ [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ V 13
On voit ainsi que le principe de l’inversion demeure exactement le même, la seule différence tenant à la plus grande complication du calcul.
| ⅛ | (16)Λ V V |
1 2 3 |
[(p. q∙i) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p ∣ q).(p ∣ r)] ≡ p 1 (q ∨ r) [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p ∣ q.)(p 3 r)] ≡ p | (r 3 q) [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p ∣ q).(q ∣ r)] ≡ q | (p V r) |
| 3 | V | 4 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p ∣ q).(q )Γ)]≡q∣(Γ)p) |
| ► 0 | V | 5 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p = q) | (q V r)] ≡ [(p = q)∣(pV r)] |
|
w H |
V | 6 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p = q) | (r > q)] ≡ [(p = q) | (r 3 p)] |
| V | 7 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p 3 q).(p ∣ r)] ≡ p | (q 3 r) | |
| V | 8 | [(p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) V(p. q.f)] ≡ [(p ∣ r).(q ∣ r)] ≡ r | (p ∨ q) | |
| V | 9 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p = r) | (p V q)] ≡ [(p = r) | (q ∨ r)] | |
| V | 10 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p ∣ r).(r 3 q)] ≡ r | (q 3 p) | |
| V | 11 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p =r)∣(q) r)] ≡ [(p = r) | (q 3 p)] | |
| V | 12 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p V q) | (q = r)] = [(p V r) | (q = r)] | |
| V | 13 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p. q) = r [q]} ∣ [(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [(p. q) = | |
| r] 1 [(p. q) 1 f] | |||
| V | 14 | [(p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ j(p. r) = q [r][ ∣ [(p. q) ∣ (q.f)] ≡ [(p. r) = | |
| q] 1 [(p∙q∙ 1 f] | |||
| V | 15 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(q =r)∣(q) p)] ≡ [(q = r)∣(r) p)] | |
| V | 16 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(q 3 p)∙(q I r)] ≡ q | (p 3 r) | |
| V | 17 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(r 3 p).(q ∣ r)] ≡ r | (p 3 q) | |
| V | 18 | [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p 3 q) | (q = r)] ≡ [(p 3 r) | (q = r)] | |
| V | 19 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ j(q.r) = p [r][ ∣ [(p. q) | (q.r)]≡ [p = (q.r)] | |
| 1 [(p∙q) 1 f] | |||
| V | 20 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p = r) | (r 3 q)] ≡ [(p = r) | (p 3 q)] | |
| V | 21 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) | (q 3 r)] ≡ [(p = q) | (p 3 r)] | |
| V | 22 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p 3 q)∙(p 3 r)] ≡ p | (q | r) | |
| V | 23 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ jp [q] = (q = r)} ∣ [(p. q)] (q. f)≡ [(p W q)=r] | |
| 1 [(p∙q) 1 f] | |||
| V | 24 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p V q) | (q W r)] ≡ [(r 3 p) | (q W r)] | |
| V | 25 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p V r) | (q W r)] ≡ {(q 3 p) | (q w r)] | |
| tO | V | 26 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ jp [q] = (q V r)∣ ∣ [(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [p = |
| (q vr)] | [(p. q) | r] | |||
| V | 27 | [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p V q) | (p wr)]≡ [(p w r) | (r 3 q)] |
⅛J
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b ⅛J Ju ⅛ Ce ⅛ O ⅛ ⅛ t⅛ 3 1 Ce b h Ce
O ⅛ ⅛ ⅛J
b
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ce b © ©
© b b ce
| V 28 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p 3 r).(q ) r)] ≡ f | (p V q) |
| V 29 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p w r) ∣ (r ∣ q)] ≡ [(p w r) | (q 5 p)J |
| V 30 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p ) r).(qVr)]≡f ∣(q)p) |
| V 31 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(q 5 p).(q ) r)] ≡≡ q | (p | t) |
| V 32 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q. f)] ≡ [(p 5 q) | (p W r)] ≡ [(p W r) | (q V r)] |
| V 33 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r)] ≡ ]q [p] = (p ∨ r)∣ ∣ [(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [q = (p V r)]. [(p. q) | r] |
| V 34 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p > q) | (q W r)] ≡ [(p | r) | (q W r)] |
| V 35 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p V r).(q >r)]≡f ∣(p)q) |
| V 36 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) | (p ∣ r)] ≡ [(p = q) | (q | r)] |
| V 37 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p W q) | (p V r)] ≡ [(p wq)∣(q) r]) |
| V 38 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q. r)] ≡ [(p w q) | (q ∣ r)] ≡ [(p Wq)∣(r) p)] |
| V 39 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p 5 q).(r )q)]≡q∣(pvr) |
| ’ V 40 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p ) q].(qvr)]≡q | (r > p) |
| V 41 | [(p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p w q) | (q ∨ r)] ≡ [(p wq)∣(p) r)] |
| V 42 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ [(r ) p).(r ? q)] ≡ r | (p | q) |
| V 43 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f) ∨ (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ )(p V q) = r [q]} ∣ [(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [(p V q) = r] 1 [(p∙q) 1 r] |
| V 44 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p | q) | (q W r)] ≡ [(p 3 r) [ (q W r)] |
| V 45 | [(p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p | q) j (p = r)] ≡ [(p 5 r) | (q | r)] |
| V 46 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p ∨ q).(r ? q)] ≡ q | (p ) r) |
| V 47 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p W q) | (p ∣ r)] ≡ [(p Wq)∣(r) q)] |
| V 48 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p W r) | (p ∣ q)] ≡ [(p V√ r)∣(q) r)] |
| V 49 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p | q) | (q = r)] ≡ [(p | r) [ (q = r)] |
| V 50 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [p [q] = (q = r)} ∣ [(p. q) ∣ (q.r)] ≡ [(p = q) = r] | [(p. q) | r] |
| V 51 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p ∨ r).(qvr)]≡r | (p | q) |
| V 52 | [(P∙q∙r) V (P∙q∙f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p ∨ g).(q V r)] ≡ q | (p | r) |
| V 53 | [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f)] = [(q ) p).(r > p)] ≡ p | (q ∨ r) |
| V 54 | [(P∙q∙r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(q ) p).(p V r)] ≡ p | (r ) q) |
| V 55 | [(p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p V q).(r jp)]≡p∣(q)r) |
| V 56 | [(P∙q∙r) V(p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [p [q] | (q ∣ r)} ≡ p | (q | r) |
§ 4. Les 70 opérations d’ordre IV
Les expressions ternaires normales formées de 4 trios se répartissent en : a) 24 expressions réductibles à des opérations binaires-binaires simples ; b) 38 expressions réductibles indifféremment à des opérations uninaires-binaires simples ou binaires- binaires simples et c) 8 expressions ne pouvant se traduire qu’en opérations uninaires-binaires doubles ou binaires-binaires doubles (ou encore binaires triples, ce qui revient alors à dire qu’elles demeurent ternaires). Quant aux inverses des opérations d’ordre IV, ce sont encore des opérations d’ordre IV, les expressions IV 1 à IV 35 ayant respectivement pour inverses les opérations IV 70 à IV 36 (voir pages suivantes).
L’inversion de ces opérations repose sur les mêmes principes et s’effectue selon les mêmes règles que précédemment, avec cette seule différence que, outre les inversions de la conjonction (.) en incompatibilité (|) et réciproquement, il est nécessaire de faire appel à des inversions de l’équivalence (positive (=), en équivalence négative (w) et réciproquement.
Par exemple IV 5 [p = (q y r)] s’inverse en IV 66 [p w (7 ∨ r)] par transformation de l’opération composante (=) en son inverse (w). Appelons x la première opération composée (l’opération uninaire p) et y la seconde (q ∨ r). On a alors :
(20) [x = y] ≡ [(x.y) ∨ (x.ÿ)] et [x w y] ≡ [(x.ÿ) ∨ (x.y)]
D’où
(21) [x = y] ≡ ∨ ≡ [(p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)]
[xwy]≡ V ≡ [(p. q.r) V (p. q.r)
V (p. q.r) ∨ (p. q.r)]
On a naturellement aussi (x w y) = (x = y)≡{χ = y), d’où l’inversion possible de p = (q ∨ r) en p = (q.f), c’est-àrdire de (x = y) en (x = y) ou en (x = y).
Quant aux 8 expressions complexes IV 2, 7,18, 32, 39, 53, 64 et 69, elles peuvent naturellement s’écrire, outre leur forme ternaire normale, sous la forme d’une triple liaison binaire :
(22) IV 2 ≡ [(p V q).(q V r).(p V r)] IV 69 ≡ [(p ∣ q).(q ∣ r).(p | r)]
IV 7 ≡ [(p V q).(r 3 q).(r ) p)] - IV 64 ≡ [(p 3 r).(q 3 r).(p | q)]
IV 18 ≡ [(p V r).(q 3 p).(q 3 r)] IV 53 ≡ [(p 3 q).(r 3 q).(p | r)]
IV 32 ≡ [(p 3 q).(q ∨ r).(p 3 r)] IV 39 ≡ [(q 3 p).(r 3 p).(q | r)]
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| (19) IV | 1 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ )p [q].(q * r)∣ ≡ |
N IV 70 |
| IV | 2 [(p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡∣[(pv q).(q V r)]. [(q ∨ r).(p V r)]} ≡ )[p | (q 1 r)] ■ [q | (p | r)]( | IV 69 |
| IV | 3 [(P∙q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(r 3 p).(q ∨ r)] ≡ [(p | r) | (q ? r)] | IV 68 |
| IV | 4 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(q s p).(q V r)] ≡ [(p | q) | (r 3 q)] | IV 67 |
| IV | 5 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (r 3 q)] ≡ [p = (q ∨ r)] | IV 66 |
| IV | θ [(P∙q∙r) V (p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p Vr).(r 3 q)] ≡ [(p 3 r) | (q | r)] | IV 65 |
| IV | 7 [(p. q.r) ∨ (p. q.f) . (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ ][(p V q).(r 3 q)].[(p V q).(r 3 p)][ ≡ |[r | (p 1 q)l∙[p 1 (q 1 f)]} | IV 64 |
| IV | 8 [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p = q) = (q V r)] ≡[p = (r3q)] | IV 63 |
| IV | 9 [(p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(q 3 p)∙(r 3 q)] = [(p | q) | (q V r)] | IV 62 |
| IV | 10 [(P∙q∙r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ ∣q [p].(p * r)} ≡ [q.(p * r)] | IV 61 |
| IV | 11 [(P∙q∙r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p 3 q).(p ∨ r)] ≡ [(p | q) | (r s p)] | IV 60 |
| IV | 12 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p 3 r) = (q = r)] ≡ [q = (p ∨ r)] | IV 59 |
| IV | 13 [(p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p = q) = (p ∨ r)] ≡ [q = (r 3 p)] | IV 58 |
| IV | 14 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p 3 q).(r 3 p)] ≡ [(p I q) I (p V r)] | IV 57 |
| IV | 15 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = r) = (q = r)] ≡ |p = q [r]} | IV 56 |
| IV | 16 [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p V q).(q 3 r)] ≡ [(p 3 q) | (q | r)] | IV 55 |
| IV | 17 [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (q.r)] ≡ [p = (q 3 r)] | IV 54 |
| IV | 18 [(p. q.r) V (p. q.r) . (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ )[(q 3 p).(p V r)].[(p V r).(q 3 r)]∣ ≡ [[q | (P 1 r)[.[f | (p | q)][ | IV 53 |
| IV | 19 [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(r 3 p).(q 3 r)] ≡ [(p | r) | (q ∨ r)] | IV 52 |
| IV | 20 [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p ∨ q).(p 3 r)] ≡ [(q 3 p) | (p | r)] | IV 51 |
| IV | 21 [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ jr [p].(p * q)} ≡ (r.(p * q)] | IV 50 |
| IV | 22 [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = r) = (q 3 p)] ≡[r = (qvp)] | IV 49 |
| IV | 23 [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p V q) = (p = r)] ≡ [r = (q 3 p)] | IV 48 |
| IV | 24 [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (q = r)] ≡ jp = r [q]| | IV 47 |
| IV 25 | [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(q 3 p).(p 3 r)] ≡ [(p V q) ∣ (p | r)] |
N IV 46 |
| IV 26 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (p. r)] ≡ [q = (p 3 r)] | IV 45 |
| IV 27 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)j ≡ [(p V q) = (q = r)] ≡[r = (p)q)] | IV 44 |
| IV 28 | [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (p = r)] ≡ {q = r [p]} | IV 43 |
| IV 29 | [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ jp [q] = (q = r)]) ≡ [p = (q = r)] | IV 42 |
| IV 30 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p ) q) = (p = r)] ≡ [r = (p. q)] | IV 41 |
| IV 31 | [(p∙q∙r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (p 3 r)] ≡ [q = (p. r)] | IV 40 |
| IV 32 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ )[(p J q).(q V r)]. [(q V r).(p 3 r)]} ≡ ][p | (q 1 r)].[q | (p | r)]! | IV 39 |
| IV 33 | [(p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p 3 r).(r 3 q)] ≡ [(p V r) | (q | r)] | IV 38 |
| IV 34 | [(P∙q∙r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p 3 q).(q 3 r)] ≡ [(p ∨ q) | (q | r)] | IV 37 |
| IV 35 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (q 3 r)] ≡ [p = (q.r)] | IV 36 |
| IV 36 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p = q) = (q.f)] ≡ [p = (q | r)] | IV 35 |
| IV 37 | [(p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p 3 q) | (q 3 r)] ≡ [(p ∨ q).(q | r)] | IV 34 |
| IV 38 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [p 3 r) I (r 3 q)] ≡ [(p V r).(q | r)] | IV 33 |
| IV 39 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V(p. q.f)]≡∣[(p 3 q).(qv r)] ∣ [(qvr).(p 3 r)]}≡ ∣[p | (q 1 r)] | [q | (p 1 T)]} | IV 32 |
| IV 40 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] = [(p = q) = (p. f)] ≡ [q W (p. r)] | IV 31 |
| IV 41 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p. q) = (p = r)] ≡ [r = (p | q)] | IV 30 |
| IV 42 | [(p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ |p [q] = (q = r)} ≡ [p = (q w r)] | IV 29 |
| IV 43 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p = q) W (p = r)]≡ |q W r [p]] | IV 28 |
| IV 44 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p. q) = (q = r)] ≡ [r W (p 3 q)] | IV 27 |
| IV 45 | [(p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (p ∣ r)] ≡ [q W (p 3 r)] . …. | IV 26 |
| IV 46 | [(p. q.f) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] = [(q 3 p) | (p 3 r)] ≡ [(p ∨ q).(p | r)] | IV 25 |
| IV 47 | [(p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p = q) W (q = r)] ≡ ]p = f [q]] | IV 24 |
| IV 48 | [(p. q.f) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p. q) = (p = r)] ≡ [(r = (p. q)] | IV 23 |
| IV 49 | [(p. q.f) V (p. q.f) ∨ (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(p. q) = (p = r)] ≡ [r = (p. q)] | IV 22 |
| IV 50 | [(p. q.f) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ {r [p] | (p * q)∣ ≡ [r | (P * q)l |
N IV 21 |
| IV 51 | [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p V q) | (p 3 r)] ≡ [(q 1 p).(p | r)] | IV 20 |
| IV 52 | [(p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(r )p)∣(q) r)] = [(p ∣ r).(q ∨ r)] | IV 19 |
| IV 53 | [(P∙q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ j[(q 3 p).(p V r)] ∣ [(p Vr).(q 3’ r)]]≡][q | (P 1 r)] | [f | (p | q)]} | IV 18 |
| IV 54 | [(P∙q∙r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] = [(p = q) w (q.r)] ≡ [p = (q.f)] | IV 17 |
| IV 55 | [(p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p Vq)∣(qj r)] ≡ [(p j q).(q | r)] | IV 16 |
| IV 56 | [(P∙q∙r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r)] = [(p = r) W (q = r)] ≡ jp = q [r]} | IV 15 |
| IV 57 | [(P∙q∙r) V (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p )q)∣(D p)] ≡ [(p ∣ q).(p ∨ r)] | IV 14 |
| IV 58 | [(P∙q∙r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (p. f)] ≡ [q = (p. r)] | IV 13 |
| IV 59 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p 3 r) w (q = r)] ≡ [q = (p V r)] | IV 12 |
| IV 60 | [(P∙q∙r) V (p. q.f) ∨ (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p 3 q) | (p V r)] ≡ [(p ∣ q).(r 3 p)] | IV 11 |
| IV 61 | [(p. q.r) ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) V (p. q.î)] ≡ ]q [p] | (p * r)∣ ≡ [q ∣ (p*r)] | IV 10 |
| IV 62 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(q 3 p) | (r 3 q)] ≡ [(p ∣ q).(q V r)] | IV 9 |
| IV 63 | [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.f)] ≡ [(p = q) = (q.f)] ≡ [p = (q.r)] | IV 8 |
| IV 64 |
[(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ {[(p V q).(r 3 q)] ∣ [(p Vq). (r 3 p) ]] ≡ {[r | (p 1 q)l 1 [p 1 (q 1 r)]l • - [(p. q.r) V (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r)] ≡ [(p vr) 1 (r 3 q)] ≡ ](p 3 r). (q| r)] |
IV 7 |
| IV 65 | IV 6 | |
| IV 66 | [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p = q) = (q,r)] ≡ [p = (q.r)] | IV 5 |
| IV 67 | [(P∙q∙r) V (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r)] ≡ [(q 3 p) | (q V r)] ≡ [(p ∣ q).(r 3 q)] | IV 4 |
| IV 68 | [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.f)] ≡ [(r ? p) | (q Vr)] ≡ [(p ∣ r).(q 3 r)] ….. | IV 3 |
| IV 69 | [(P∙q∙f) V (p. q.f) V (p. q.r) V (ρ.q.-f)] ≡ ][(p V q).(qVr)] ∣ [(q V r).(p V r)J∣ ≡ [p | (q 1 r)] | [q | (p | r)] | IV 2 |
| IV 70 | [(P∙q∙r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ ]p [q] | (q » r)[ ≡ [p | (q ♦ r)] | IV 1 |
Mais de telles formes binaires triples sont équivalentes, soit à des formes binaires-binaires doubles (par répétition de l’une des 3 opérations composées binaires); soit à des formes uninaires- binaires doubles. Cette dernière réduction s’opère comme suit, en prenant comme exemple l’opération IV 7 :
(23) IV 7 ≡ [(r 3 q).(r 3 p).(p V q)] = [(f V q).(f V p).(p Vq)] ≈
[f v(p. q)].[p V(q.f)]
Or χ ∨ ÿ, = x | y. Donc :
(23 bis) IV7≡[(r y q).(r 3 p).(p V q)] ≡ [r ∣√p ∣ q)].[p | (q | f)] *
Quant au calcul de ces expressions complexes (binaires- binaires doubles ou uninaires-binaires doubles) et de leurs inverses, il s’effectue comme celui des expressions uninaires- binaires doubles oubinaires-binaires doubles d’ordre III(voix § 3).
§ 5. Applications pratiques : le calcul des conclusions
Au total les 256 opérations ternaires sont réductibles.à :
a) 152 opérations uninaires-binaires simples (2 d’ordre O et VIII ; 16 d’ordre I et VI ;. 48 d’ordre II et VI ; 48 d’ordre III et V ; 38 d’Ordre IV).
b) 80 — binaires-binaires simples (8 d’ordre II et VI ;
48 d’ordre III et V ; 24 d’ordre IV).
c) 24 — uninaires-binaires doubles (16 d’ordre III
et V ; 8 d’ordre IV).
Mais les 152 opérations de la catégorie a) peuvent elles-mêmes s’écrire sous une forme binaire-binaire simple comme les 80 opérations de la catégorie b) (sans que la réciproque soit vraie) et les 24 opérations de la catégorie c) peuvent aussi s’exprimer sous une forme binaire-binaire double. Ainsi les : 256 opérations ternaires peuvent toutes revêtir une forme binaire-binaire, soit simple (232 opérations des catégories a et b) soit double (catégorie c).
Si nous avons tenu à écrire ; pour chacune des 256 opérations ternaires énumérées dans les § § 1 à 4, sa forme binaire-binaire simple ou double, c’est qu’il y a à cela un double avantage théorique et pratique. Toute expression binaire-binaire revient, en
effet, à unir deux propositions, exprimées une seule fois chacune, par l’intermédiaire d’un moyen terme, c’est-à-dire d’une troisième proposition exprimée deux fois. Par exemple, dans l’expression IV 9 [(7 3 p).(r 3 7)] la proposition q sert de moyen terme reliant les propositions p et r (il s’agit d’ailleurs, en l’espèce, des deux prémisses d’un syllogismé proprement dit).
Cela étant, l’une des opérations que nous utiliserons dans la suite, pour transformer les 256 opérations ternaires les unes dans les autres, consistera en une permutation du moyen terme (opération Pm, voir § 14). En remplaçant le moyen terme q par le moyen terme p (opération Pqp) on transforme effectivement l’opération IV 9 en l’opération V 53 [(7 3 p).(r 3 p)], qui est d’un autre ordre. Pour pouvoir généraliser une telle opération Pm il s’agissait donc d’exprimer l’ensemble des 256 opérations ternaires sous une forme binaire-binaire, simple ou double.
D’autre part, du point de vue des applications pratiques, deux opérations composées binaires associées par une opération composante peuvent être considérées comme les deux prémisses d’un raisonnement (inférence médiate) dont il s’agit alors de dégager la conclusion.
Pour ce faire, il suffit d’appliquer une règle très simple :
Règle II. — La conclusion d’une expression binaire-binaire est l’opération binaire reliant l’une à l’autre les deux propositions ne servant pas de moyen terme, opération telle que sa composition conjonctive (.) avec l’expression binaire-binaire ne modifie pas cette dernière et que chacun des couples entrant dans la forme normale disjonclive de cette opération binaire soit associé à l’un au moins des trios dont est composée la forme normale disjonclive de l’expression binaire-binaire.
Par exemple, la conclusion de IV q [(7 3 p).(r 3 7)] est l’opération binaire (r 3 p). En effet la composition conjonctive
(24) [(p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.?)].[(p. r) V (p. î) ∨ (p. r)] ≡ [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.?)]
ne modifie pas l’expression initiale IV 9 et chacun des couples (p. r) ∨ (p. f) ∨ (p. f) est associé à l’un au moins des trios de la forme normale de IV 9.
Au contraire, cette conclusion ne saurait être (p. r) car la
conjonction (.) de IV 9 et de (p. r) donne seulement1 (p. q.r), ce qui modifie l’expression IV 9 en la privant de (p. q.r) ∨ (p. q.r) ∨ (p. q.r). Cette conclusion ne saurait non plus être (p * r), car la forme normale disjonctive de l’opération (p * r) contient, en plus des couples caractérisant celle de (r 3 p), le couple (p. r), qui ne peut être associé à aucun des trios dont est formée l’expression normale disjonctive de IV 9.
1. En effet la partie commune de (p. q.r) et (p. r) est (p. q.r) et non pas (p. r), car (p. q.r) est plus restreint que (p. r).