[Appendices] ^a 🔗

Nous appellerons proportion logique (simple) tout système de 4 opérations α, β, γ et 8, disposées sous la forme £ — et telles β °

que l’on ait : : (1) a. 8 = β.γ et (2) a V 8 = β ∨ γ.

Un tel système dérive du groupe IN RC puisque l’on peut écrire z

a = I γ = R , n . q p. q

(I) n h = 4 tf par exemple È2 ^p >

, β = C 8 = N ¹ pvq P | q

En effet (1) a.8 = γ. β parce que I.N = R.C et (2) a v8 = γ ∨ β parce que I ∨ N = R V C.

Propriétés des proportions simples. — De a.8=β.γ et de a ∨ 8 = β ∨ γ, on déduit, par changement d’un membre à l’autre de l’égalité, en inversant (.x) en (v x) et (y x) en (. x), les 8 propriétés suivantes (3-10) qui s’ajoutent à’(l) et (2) :

(3) α . β  =  γ . 8 parce que I . C = R . N (= I . R)

(4) â . β  =  γ . 8 parce que ï . C = R . N (= C . N)

(5) α . γ  =  β . 8 parce que I . R = C . N (= I . C)

(6) â . γ  =  β . 8 parce que I . R = C . N (= R . N)

(7) α ∨ β  =  γ V 8 parce que I  ∨ C = R V N (= I V R)

(8) â ∨ β  =  γ ∨  8 parce que ï V C = R ∨ N (= C ∨  N)

(9) α ∨ γ = β ∨ 8 parce que I ∨ R = C ∨ N (= IvC)

(10) â ∨ γ = β V 8 parce que ï V R = C ∨ N (= N V R)

Mais ces 10 propriétés ne sont pas spéciales aux cas où les termes de la proportion α.8 = β.γ admettent les lois du groupe INRC. Il est, en effet, possible de transformer la proportion initiale en des proportions obéissant aux mêmes lois (1-10), mais dont les termes ne se conforment pas à la structure du groupe INRC. Les transformations conduisant à ce résultat sont les suivantes :

OC Y

Si l’on a - = alors il s’en déduit (x étant une opération non β 8

comprise, même partiellement, dans celle à laquelle on la réunit, ou une opération entièrement comprise dans celle dont on la soustrait) :

W te >u

H ⅛ 4- ⅛

… αVX γ œ.î γ (p. q)v(p. q) p. q . , _ ≥

(11) =— = -j ou₇-r=( par exemple , .— F = (où x = p. q) ⅛

βvx δ β.χ δ ^{1 f} (pvq)V(p. q) p∣q ^{v 1 1}’ O

⅛

nox^α YVX ≈ γ.x , p . q (p . q) V (p. q) „ . . ⅛

⁽¹²⁾ β =δV5E^0uβ = O ^par exemple =  (oux = p. q) ξ

.. . αVx γvx a.x γ.x , (p. q) V (p. q) (p. q) V (p. q) . . >

(13) ou— = ⅛ par exemple (oux = p. q) g

b

(14) _n “ = » ^Y ou -‰ = par exemple ^P-<*  =  ^p’^ ■ (où x = p. q) ^ζ^

βvx δvx β.x δ. x (pvq).(p. q) (p | q) . (p. q) O

…. αVX γ a.x γ , (p. q)v(p. q) p. q , . ⅛

(15) — = -s-¹-- ou — = -₅√- par exemple ^{1 H}— = ₇— _i— ; \ (ou x = p. q) r ?

β δ∙* P 8vx ^{f p} pvq (P∣q)∙(p. q) ’ ^{P 47}

Zi ^α Y • X α γvx , p. q (p. q). (p. q) . , … >

(16) — = ----- ou — = -¼r- par exemple ₇ , (ou x = p. q) ≈

βvx δ β.x δ^{r f} (pvq)v(p. q) p∣q ^{v F}

b O b

i© b h ⅜

Il résulte de ces transformations que l’on peut facilement passer d’une proportion de forme I/C = R/N à la proportion connue qui existe entre deux éléments quelconques d’un réseau, leur borne inférieure BJ et leur borne supérieure BS (voir prop. 256) :

(II) ^α ⅞ = J^f où a = β.γ et 8 = β V γ p O (= oo)

I

En outre, il existe, entre les deux formes extrêmes (I) et (II) une série de formes intermédiaires. Il y a proportion, par exemple, lorsque 8 = Na et γ = Nβ sans que l’on ait β = G (ou R) a :

(^ιπ> i⁼S !^{par exemple} ⅞=⅜

Il peut également y avoir proportion pour a.8 = o sans que l’on ait ni 8 == Na ni β = C (ou R) a ; etc. Par exemple :

(III bis) ₌ JLM

’ p. q p W q

De même il peut y avoir proportion lorsque le produit a. 8 n’est pas nul sans que α = a. 8 ; par exemple’ :

(III ∕er) ≡ = p = q p)q

Proportions réciproques. — On peut également tirer du groupe INRC une proportionnalité que nous appellerons réciproque, dont la forme et les propriétés sont les suivantes :

<^ιv> ⅛ = ^r⅞⅛ p- -≡P^le F⅛ = ^r∕⅛ où :

(1) α.R8 = β.Rγ (= o) (2) a ∨ R8 = B ∨ Rγ (= *)

(3) a.Cβ = γ.Cδ (7)avCβ = γVCδ

(4) Ca. β =  Cγ. 8 (8) Ca V β  = Cγ V 8

(5) a.Cγ =  β.C8 (9) a V Cγ  = β V C8

(6)Ca.γ =  Cβ.δ (10) Ca V γ  = Cβ V 8

Ces lois se vérifient, d’autre part, lorsque l’on a 8 = Cα etγ = Cβ, mais pas γ = Ra ni 8 = Rβ :

.,_τ, a „ γ = Cβ . p. q „ p. q

(V) - = R 4 ₇√- par exemple ^r = R

^v ’ β 8 = Ca ^{1 1} p ) q p V q

Il existe enfin des proportions, que nous nommerons RR, lorsque γ = Ra et 8 = Rβ mais pas 8 = Ca ni γ = Cβ :

<^vl> i = ⁿⁿ⅛κ7,’^r"’^

Dans ce cas, on a :

(1) α.8 = R(β.γ) (2) a V 8 = R (β V γ)

(3) a.Cβ = R (γ.C8) (7) avCβ  =  R(_γv C8)

’(4) Ca. β = R (Cγ. 8) (8) Ca V β  =  R (Cγ V 8)

(5) a.Cγ = R (β.Cδ) (9) a V Cγ  =  R (β ∨ C8)

(6) Ca.γ = R(Cβ.8) (10) CaVγ=R(CβVδ)

Dans le cas de la proportion IV, dont les termes admettent les lois du groupe INRC, les propriétés (1-10) de (IV) et de (VI) sont vérifiées simultanément, puisque, dans ce cas IV, ces égalités (1) à (10) sont toutes auto-réciproques. Ce n’est naturellement pas le cas des proportions (V).

Proportions corrélatives. —   Du groupe INRC on peut, d’autre part, tirer des proportions que nous nommerons corrélatives :

∕trττ∖ α = I γ = C , p. q _pvq

(VII)  = C 4 — par exemple 4— 4. = C+÷

β = N 8 = R ^r P I q p-q

Les lois en sont les suivantes :

(1) α.C8 = β.Cγ(=o) (2) avC8 = βvCγ(=*)

(3) α.Rβ = γ.R8 (7) a ∨ Rβ  =  γ V R8

(4) Rα. β = Rγ. 8 (8) Ra V β  =  Rγ V 8

(5) a.Rγ = β.R8 (9) a ∨ Rγ  =  β V R8

(6) Ra.γ = Rβ.8 (10) Ra V γ  =  Rβ V 8

On retrouve les mêmes propriétés lorsque a = R8 et β = Rγ mais pas γ = Ca ni 8 = Cβ :

(VIII) | = C ≡ par exemple = C

Par contre, il existe des proportions, que nous nommerons CC, dans lesquelles on a γ = Ca et 8  =  Cβ mais pas a = R8 ni β = Rγ :

._τv. a __ γ  =  Ca p. q p ∨ q

(IX) -  = CC 4 — par exemple ⅛-¹ = CC — 

^v ’ β s  =  Cβ p-q p) q

Leurs propriétés sont alors :

(1) α.C8 = β.Cγ (2) a ∨  C8 = β V Cγ

(3) a.Rβ = C(γVR8) (7) a V Rβ = C (γ.R8)

(4) Ra. β = C (Rγ  ∨ 8) (8) Ra  ∨ β = C (Rγ. 8)

(5) a.Rγ = C (β V R8) (9) a V Rγ = C (β.Rδ)

(6) Ra ∨ γ = C (Rβ V 8) (10) Ra ∨ γ = C (Rβ.8)

Dans le cas de la proportion (VII), dont les éléments admettent les lois du groupe INRC, les propriétés de IX sont également vérifiées, car on a toujours x V y = C (Cx.Cy).

Proportions négatives. — En plus des formes précédentes, il existe une forme négative de proportion lorsqu’il n’existe pas de

parties communes entre α, β, γ et 8 et lorsque Γon aavβvγvδ = *. Quand ces deux conditions sont remplies, alors :

(X) “ - N ^γ nar exemnle (p. q.r) V (p. q.f) _ (p. q.r) V (p. q. f)

(X) _β-N_δ par exemple ₍ [p] . _r)y(p _ _f)y(pqr) — 

On a, en ce cas :

(l)α.8 = β.γ  =  o (2) a V 8  =  N (β V γ)

(3) a. β = γ. 8  =  o (5) a ∨ β  =  N (γ V 8)

(4) a.γ = β.8  =  o (6) a V γ  =  N (β V*δ)

Mais ces proportions négatives sont moins intéressantes que

les précédentes, parce que relativement indéterminées (on peut permuter à volonté α, β, γ et 8 ; etc.).

Conclusion et analogies numériques. — Il existe ainsi au total 6 formes de proportionnalité logique : simple (I), R, RR, C, CC, et N. Trois d’entre elles dérivent directement du groupe INRC et les autres indirectement.

Quant aux analogies numériques, il convient d’en signaler deux :

,_τττ. P q , , nx n : y ,2x42 :3

(III) A = -J correspond à — = par exemple = 2^Γ4

. ∕-<ττs P τ->_π P ₁ . nx x : n .2x4 4 :2

et (VI) ξ = RR ~ correspond à — = par exemple 2 _x 3 ⁼ 3÷2

De façon générale les proportions logiques, dès leur forme exclusivement qualitative, jouent un grand rôle dans le fonctionnement psychologique de la pensée et attestent ainsi la signification proprement mentale du groupe INRC.

*

Le groupe des semi-inversions, semi-réciprocités et semi-corré- lativités que nous avons signalé à propos du groupement multiplicatif des classes (p. 200-205) se retrouve dans le cas du groupement de la multiplication bi-univoque des relations (produits de deux relations distinctes).

< « = < ><

Tabl. (1)

Il suffit, pour le vérifier, d’examiner le tableau des 9 associations possibles entre de telles relations. On constate alors (tabl. 1) :

1) Que les éléments du tableau reliés par une symétrie centrale présentent entre eux un rapport SN (par exemple A << B et A » B) : renversement des relations ;

2) Que les éléments reliés par une symétrie en fonction de la diagonale présentent entre eux un rapport SR (par exemple A < = B et A = < B) : permutation des relations ;

3) Que les éléments reliés par une symétrie relative à la diagonale présentent entre eux un rapport SC (par exemple A < = B et A = > B) : permutation et renversement.

Jointes à la transformation identique 1 ces 3 transformations constituent donc un groupe commutatif :

SRSC = SN ; SRSN = SC ; SCSN = SR et SNSRSC = I

Il en résulte que l’on peut construire un système de proportions logiques fondées sur un tel groupe. On a, en effet :

(2) A =

^{v ,} SR SN

Pour calculer une telle proportion logique, il suffit de numéroter les rangs des relations (comme nous l’avons fait pour les classes) ce qui donne le tabl. (3), puis d’additionner ces rangs ou de les multiplier (ce qui revient alors à prendre leur rang médian lorsqu’il existe)¹.

12 3

1 11 21 31

_B 2 12 22 32

3 13 23 33

Tabl. (3)

On a, par exemple, dans le cas de 12/21 = 23/32 :

(4) I x SN = SR x SC soit 12 × 32 = 21 × 23 = 22

I + SN = SR + SC soit 12 + 32 = 21 + 23 = 44

(définition de SN)

I x SN (SR)  = SC x SN (SN) soit 12 x 23  = 23 x 12  =  0

I  + SN (SR)  = SC  +  SN (SN) soit 12  + 23  = 23  +  12

I x SN (SC)  = SR x SN (SN) soit 12 x 21  = 21 x 12  =  0

et I  + SN (SC)  = SR  +  SN (SN) soit 12  + 21  = 21  +  12

Cet exemple revient ainsi à la proportion :

Or, comme toutes les autres proportions de oe système, elle présente une signification concrète. Pour fixer les idées, si la première relation exprime le volume et la seconde le poids, on aura : « plus petit et de poids égal ( = plus dense) » est à « de même volume et de poids plus petit ( = moins dense) » comme « de même volume et de poids supérieur (= plus dense) » est à « plus grand et de même poids ( = moins dense) ».

Il est intéressant de remarquer que les proportions correspondantes que l’on peut construire avec le groupe ISNSRSC des classes sont dénuées de signification concrète. Par exemple, si A₁ ; A’₂et B’₁ sont les organes des reptiles, des oiseaux et des mammifères et que A₂ ; A’₂ et B’₂ sont la tête, le tronc et les membres, la pro-

1. Il est d’ailleurs encore plus simple de numéroter les 9 casiers du tabl. (1) ou (3) dans l’ordre horizontal ou vertical : en ce caste casier du milieu aura le rang 5 et tous les casiers symétriques par rapport au centre (donc présentant entre eux la relation SN) donneront :l+9=2+8 = … = 5+ 5 = 6 + + 4 = … =10. D’où I + SN = SU + SC ; etc. (voir prop. 4).

 » ’ ’

portion A₁ A’₂∣A’₁ A₂ — A,₁ B’₂∣B’₁ A’₂ signifierait : « le tronc des reptiles est à la tête des oiseaux comme les membres des oiseaux sont au tronc des mammifères », ce qui est absurde. Cependant cette proportion est formellement correcte, car A₁ A’₂ + B’₁ A’₂ = = 12 + 32 = 44, et (A’₁ A₂ + A’₁ B’₂) = 21 + 23 = 44 ; etc.

Par contre, les proportions entre classes fondées sur le groupe * INRC sont significatives, tandis que les mêmes proportions I/R = = C/N ne présentent pas de signification concrète dans le cas des relations. La raison en est évidemment que, dans ce dernier cas, la proportion ne porte plus sur les relations elles-mêmes (comme avec le groupe ISNSRSC), mais sur des classes de relations. Réciproquement, la proportion fondée sur le groupe ISNSRSC, dans le cas des classes, ne porte pas sur les classes comme telles, mais sur leurs relations de position dans la table multiplicative à double entrée. Au contraire la proportion entre classes fondée sur le groupe INRC, qui est significative, porte bien sur des réunions de classes ; par exemple :

(θ) Ai A ₂ Ai + A ₂

Ai x A 2 Ai A ₂

X

Page#

≡ identité 3, n.

= équivalence (p = q) ≡ (p. q) ∨ (p. q) 3, n.

conjonction (p. q) 1

v disjonction (p ∨ q) ≡(p. q) ∨ (p. q) ∨ (p. q). 1

| incompatibilité (p| q) ≡ (p. q) ∨ (p. q) ∨ (p. q) 1

w exclusion réciproque (p w y) ≡ (p. ÿ) ∨ (p. q) 13, n.

* affirmation complète (tautologie) (p * q) ≡

(p. ç) V(p. q) V(p. q) v(p-q) 1, n.

p [q] affirmation simple¹ p [y] ≡ (p. q) ∨ (p. q) 11, n.

p ) q implication (p ) q) ≡ (p. q) ∨ (p. q) ∨ (p. q) 3

q ) qoup c q implication réciproque (p c q) = (p. q)

v (p. q) ∨ (p. q) 99, n.

p, q, r propositions 7

x, y, z expressions opératoires 7

a opération composante 7

α, β, a’, β’ opérations composées 7

I transformation identique 4

N transformation inverse (négation) 4

R transformation réciproque (réciprocité) .. 4

C transformation corrélative (corrélativité) . 4

Na inverse de l’opération composante … 33

Ra réciproque — — … 33

Ca corrélative — — … 33

Nh inverse des opérations composées…. 33

Rh réciproque — — …. 33

Ch corrélative — — …. 33

Ng inverse de l’opération composée de gauche 41

Rg réciproque de l’opération composée de

gauche 44

1. Ne pas confondre le symbole p [ç] avec les crochets [] encadrant une expression complexe quelconque contenant elle-même des parenthèses (p. ex. tabl. 8).

Pages

Cg corrélative de l’opération composée de

gauche 45

Nd inverse de l’opération composée de droite 41

Rd réciproque de l’opération composée de

droite 44

Cd corrélative de l’opération composée de

droite 45

D distribution >  43

P permutation 48

Paa Permutation des opérations composante et

et composée (uninaire) 48

Pαβ Permutation des opérations composées… 50

Pa (αβ) Permutation de l’opération composante et des composées 51

Pu Permutation des opérateurs uninaires…. 53

Pa Permutation des éléments sur lesquels

porte l’opération (a) 53

Pa Permutation des éléments sut lesquels

porte l’opération (a) 53

Pm Permutation des moyens termes 57

P_An, etc. — — (p, q, etc.) 57

ABC figures relatives au moyen terme (p, q, etc.) 57

P 3 v, etc. substitution d’opérations (3 et v, etc.)…. 62

Pn passage d’une expression uninaire-binaire à

une expression binaire-binaire équivalente 139

O-VIII ordre (nombre des trios de l’expression normale) 65

II-VI (« , b, c), etc. familles d’opérations 65-6

Ru réciproque de l’expression uninaire (de

gauche : Rg) 79

Rb réciproque droite de chaque opération composée 80

UB I et UB II première et seconde expression uninaire-binaire 81

Ru’ réciproque de l’expression uninaire en

UB I, etc 81-2

Rü’ réciproque des propositions ne servant pas

d’opération uninaire en UB I 82

Rm réciproque de la proposition servant de

moyen terme 82-3

Pages

Rih réciproque des propositions ne servant pas de moyen terme 82-3

Pm (ou Pâb, etc.) permutation des propositions ne servant pas de moyen terme 86

Rmg ou Rmd (et Rmg ou Rmd), application de Rm ou Rm aux m (ou) m des expressions de gauche ou de droite 91-2 et 95-7

U 1, etc., D 1, etc., et Tr 1, etc. expressions uninaires, couples et trios 135-6

(v) et (7) inversions de (v) et de (.), donc négation conjointe et incompatibilité 142

G 1 à G 4 côtés de la table (233) 149

BS borne supérieure d’un réseau 157

B J (B I dans les figures) borne inférieure d’un réseau.. 157

gs plus grands sommandes 157

pm plus petits multiplicandes 157

gsv et gsh gs repérés verticalement ou horizontalement 158

pmv et pmh pm repérés verticalement ou horizontalement 158

s et m sommandes et multiplicandes quelconques 158

a, b, c, d relations de position 160-1

+ nv et-j-nh distances verticales et horizontales…. 161 x’ et y’ éléments complémentaires de première

espèce 177

x’ et ÿ’ éléments complémentaires de seconde es

pèce 178, n.

→> et **- relations « précède » et « succède » 184

→⅛, -→ opérations qui en dérivent 186

q m complément des multiplicandes 186

SN, SR et SG semi-inverses, semi-réciproques et semi- corrélatives 201-3

OC V p = proportions logiques 223