Chapitre II.
Le groupe des quatre transformations appliqué aux 256 opérations ternaires ^a 🔗

Soit une opération ternaire quelconque, telle que IV 3 [(p. y.r] ∨ (p. q.f) ∨ (p. q.r) ∨ (p-î-r)] dont l’expression binaire- binaire est [(r y p)∙(qvr)]. Si l’on définit l’inverse d’une opération comme étant sa complémentaire sous 1’« affirmation complète » ternaire (prop. 2), il est clair que cette opération IV 3 comporte une inverse et une seule, qui sera formée des trios non représentés en IV 3 et présents dans l’affirmation complète : cette inverse sera donc IV 68. Le calcul ternaire de l’inverse se ramène ainsi à l’application de la règle de dualité aux formes normales, c’est-à-dire à une permutation simultanée des (v) et des (.) et des signes des propositions. Soit, dans le cas de IV 3 : (25) N IV3 [(p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p V q V f) .(p V q V r).(p V q V r).(p V q V r)] = [(p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ IV 68

Mais nous venons de constater en outre (§ § 1-4) que pour inverser une opération ternaire, il suffit de la mettre sous la forme d’une expression binaire-binaire ou uninaire-binaire (simples ou doubles) et d’inverser 1’« opération composante ». Ainsi : IV 3 [(r y p).(qv r)] s’inverse en [(r y p) | (q V r)] ≡ IV 68.

1. Voir l’Introduction.

Dès l’instant où les opérations ternaires, sont réduites à des opérations binaires, les règles de transformations de la logique des, opérations binaires s’appliquent donc à l’inversion de ces, opérations ternaires, celles-ci étant en ce cas à concevoir comme une composition binaire (opération « composante »). de termes élémentaires (= les, opérations « composées »_t considérées à titre d’éléments de la composition).

Qu’en est-il alors de la réciproque et de la corrélative ?

La réciproque d’une opération est la même opération mais effectuée entre propositions niées. Par exemple la réciproque de p ∨ q est p ∨ q (= p | q). Il est donc clair que l’on obtiendra directement la réciproque d’une opération ternaire en inversant les signes des propositions de l’expression normale disjonctive de cette opération. La réciproque de IV 3 sera ainsi :

(26) R [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r)] ≡ [(p. q.r) V(p. q.r> V (p. q. r) V (p. q. r)} ≡ IV 65

Mais, si toute opération ternaire est réductible à une compor- sition d’opérations binaires, la question est de savoir si l’on peut passer directement de cette expression binaire composée à sa réciproque. Or la chose est possible.

Règle III. — Pour déterminer la réciproque R d’une opération ternaire mise sous la forme d’une expression binaire-binaire ou uninaire-binaire, simple ou double, il suffit de transformer les « opérations composées » binaires (ou uninaires) en leurs réciproques, en laissant inchangé^ 1’« opération composante ».

En effet, la réciproque d’une expression opératoire quelconque étant la même expression opératoire mais avec changement de signe de toutes les propositions en jeu, et la réciproque d’une opération binaire étant la même opération mais avec permutation des signes des propositions, il est clair que la réciproque d’une expression binaire-binaire ou uninaire-binaire sera la même expression, mais avec transformation des opérations composées en leurs réciproques. On aura donc, pour IV 3 :

(27) R [(r 3 p).(q ∨ r)] ≡ [(f 3 p).(¾ V f)] ≡ ½> 3 r.}.(q ∣₁r)]

Eh effet, [(p 3 r). (q | r) est l’opération IV 65, dont forme fa normale disjonctive est constituée par le second membre de l’équation (26).

Quant à la corrélative C, elle est, par définition, le produit de la permutation des (v) et des (.) dans la forme normale d’une opération donnée, sans modification du signe des propositions. La corrélative C de IV 3 sera donc :

(28) C [(p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f)] ≡ [(p V q V r).(p V q V r).(p V q V r).(p V q V f)] ≡ [(p. q.r) V (p. q. f) V (p. q. f) V (p. q.r)] ≡ IV 6

On constate que cette expression (sous sa forme normale conjonctive aussi bien que disjonctive) est la réciproque R de l’opération IV 68 (voir prop. 25), puisque seuls les signes des propositions sont inversés de IV 68 à IV 6, sans modification des opérations. Or, IV 68 est l’inverse de IV 3, ce qui vérifie l’une des lois du groupe INRC, puisque la corrélative est la réciproque de l’inverse¹ : C = RN (ici IV 6, C de IV 3 est le R de IV 68, inverse de IV 3).

La corrélative étant la réciproque de l’inverse, on peut donc aussi, pour calculer la corrélative, prendre la réciproque de l’inverse, par calcul binaire :

(29) (C IV 3)≡(RN IV 3) ≡ (R IV 68) ≡ R[(r ) p) ∣(q V r)] ≡ [(P 3 r) I (q I 0] ≡ IV 6

D’autre part, la corrélative est aussi l’inverse de la réciproque² : C = NR. La réciproque R de IV 3 étant IV 65, la corrélative C de IV 3 sera donc l’inverse de IV 65 (donc IV 6), /

ce qu’on peut calculer de deux manières. D’abord par la loi de dualité :

(30) (C IV 3) ≡ (N IV 65) ≡ [(p. q. f) V (p. q. r) ∨ (p. q. f) V (p. q. r)]

≡ [(p V q V r).(p V q V f).(p V q V r).(p. q. f)] ≡ IV 6

Ce qui coïncide bien avec la prop. (28).

Ensuite on peut calculer l’inverse de la réciproque par opérations binaires :

(31) (C IV 3) ≡ (N IV 65) = [(p > r).(q ∣ r)] ≡ [(p ) r) | (q | r)] ≡ IV 6

Cela étant, la question est de savoir si l’on peut aussi déterminer directement la corrélative C de l’expression considérée, sans passer par les intermédiaires C = RN ou C = NR (prop. 29-

1. Voir Traité, pp. 285-6.

2. Voir Traité, pp. 285-6.

31), ni se contenter de la transformation ternaire (28), mais en la calculant par opérations binaires. Or, la chose est également possible :

Règle IV. — La corrélative d’une expression ternaire mise sous la forme de compositions binaires (ou uninaires-binaires) s’obtient en substituant leur corrélative à toutes les opérations binaires (ou uninaires) en jeu, composées comme composante, sans modification des signes des propositions.

Dans le cas de l’opération IV 3, la transformation donne : (32) C IV 3 [(r 3 p).(q V r)] ≡ [(p. f) V (q.r)] ≡ [(p7r) ∣ (q7r)] ≡ [(P 3 r) | (q | r)] ≡ IV 6

En effet, la corrélative de (r 3 p) est (p. f); celle de (q V r) est (q.r) et celle de l’opération composante (.) est (v). D’où C IV 3 = [(p. f) V (q .r)j. Or x ∨ ÿ = x \y et xv y ≡ χ \ ÿ. Il suffit donc de nier (p. f) et (q.r) et de remplacer (v) par (|) pour obtenir [(p 3 r) | (q | r)] donc IV 6.

On retrouve donc le même résultat qu’en (29 à 31) mais par une méthode à la fois directe et exclusivement binaire.

Au total, on constate que la réciproque et la corrélative d’une opération peuvent être calculées, de même que l’inverse, par des procédés entièrement tirés de la logique binaire, en plus du calcul ternaire portant sur les formes normales. Il s’agit donc maintenant de chercher quelles formes prend sur le terrain des 256 opérations ternaires, le groupe INRC.

Sur les 16 opérations binaires, 8 présentent une inverse, une réciproque et une corrélative distinctes, 4 présentent le cas R = N et C = I (affirmations et négations de p et de q) et 4 le cas R = I et C = N (équivalences =, w et affirmation ou négation complètes)¹. Cela revient donc à dire que ’ I*— >R sur 16 opérations binaires, on trouve seulement deux

|  | quaternes complets, deux couples R = N, C — I

►N et deux couples R = I, C = N (deux transformations distinctes).

1. Voir Traité, pp. 270-273.

(33) Opérations¹ Inverses (N) Réciproques (R) Corrélatives (C)

VIII [p * (q * r)] Ô (o) VIII [p * (q » r)] O (o)

I 1 [q.r] VII 1 [p  |  (q.r)] I 8 [p. (q.f) VII 8 [p |  (q.f)

I 2 [q.f] VII 2 [p  |  (q.r)] I 7 [q.r VII 7 p I q.r]

I 3 [q.r] VII 3 [p  |  (q.r)] I 6 [q.f] VII 6 [p |  (q.f)]

I 4 [q.f] VII 1 [p| (q.f)] I 5 [q.r] VII 5 [p |  (q.r)]

IIl]p. q(r]∣ VI 1 [p | q [r]| II 28 [q r]} VI 28 [p  | q [r][

II 2 [r.p [q]| VI 2 [r | p [q]∣ II27{f.p[q] VI 27 f |  p [q]

II 3p. (q=r) VI 3 p | (q = r) ∏25p. (q-r) VI 25 p |  (q - r)

II 4r.q[p] VI 4 r | q [p] II22f.q[p] VI 22 f |  q [p]

II 5q.(p=r) VI 5 q I (p  = r) ∏18q.(p=r) VI18 q | (p  = r)

II 6r.(p = q) VI 6 r  | (p  = q) ∏13f.(p=q) VI13 f | (p  = q)

II 7(p = q).(q = r) VI 7 (p = q) | (q = r) II 7 (p. ≡ q).(q = r) VI 7 (p = q) | (q - r)

II 8p. (qwr) VI 8 p  | (q W r) 1126p. (q W r) VI 26 p | (q W r)

II 9r.p[q] VI 9 î  | p [q] II 24 r.p [q] VI 24 r |  p [q]

∏lθq.(pwr) VI10 q  | (p W r) II2iq.(pWr) VI 21 q |  (p W r)

II11 r.q [p] VI 11 f |« q [p] II17 r.q [p] VI17 r |  q [p]

- II12 (p = q).(p W r) VI12 (p =  q) |  (p VV r) II 12 (p = q).(p W r) VI 12 (p - q)  |  (p W r)

II14 p. q [r] VI14p∣q[r] II 23 p. q [r] VL23p∣q[r]

I115r.(pwq) VI15 f |  (p W q) II20f.(pWq) VI 20 f | (p W q)

II16 (p W q).(p =  r) VI16 (p W q) I (p  =  f) II16 (p W q).(p  =  r) VI16 (p w q) I (p — r)

II19 (p W q).(q =  r] VI 19 (p W q) I (q  =  f) II19 (p W q).(q  =  r) VI19 (p W q)  |  (q = » r)

III Ip.(qVr) V 1 p | (q V r) 11156p. (q | r) V 56 p | (q | r)

l∏2p. (rjq) V 2 p | (r 3 q) 11155p. (q 3 r) V 55 p [ (q 3 r)

III 3q.⅛Vr) V 3 q |  (p V r) I∏52q.(p∣r) V 52 q |  (p  | r)

ÎII 4q.(r)p) V 4 q |  (r 3 p) IΠ46Q.(p3r) V46 q j (p 5 r)

III 5(p=q).(qvr) V 5(p = q)∣(qVr) "III 36 (p = q).(q | r) V 36 (p = q) | (q | r)

III 6(p=q).(r)p) V 6 (p = q) | (r 3 p) III 21 (p = q).(p 3 r) V 21 (p = q) | (p 3 r)

III 7p. (q3r) V 7 p |  (q 3 r) III 54p. (r 3 q) V 54 p |  (r 3 q)

III 8r.(pVq) V 8 r |  (p V q) III51f.(p∣q) V 51 » |  (p  | q)

III 9(p=r).(qvr) V 9(p=r)∣(qvr) III 45 (p = r).(q | f) V 45 (p — r) | (q | r)

ΠI10r.(q3p) V 10 r | (q 3 p) III35f.(p3q) V 35 r | (p 3 q)

III11 (p = r).(q 3 p) V 11 (p = r) | (q 3 p) III 20 (p = r).(p 3 q) V 20 (p = r) | (p 3 q)

III 12 (p V q).(q = r) V 12 (p V q) | (q = r) III 49 (p ∣ q).(q  = r) V 49 (p | q) | (q = r)

III 13 [(p. q) = r].[(p. q)  |  f] V 13 [(p. q)] = r] | [(p. q) | f] III 43 [(p V q) =  r].[(p. q)  |  r] V 43 [(p V q) = r) ∣ [(p. q)∣r]

III 14 [(p. r) =- q].[(p. q)  |  f] V 14 [(p. r) ≈ q[ | ((p. q) | f] III 33 [(p V r) =  q]. [(p. q)  |  r] V 33 {(p Vr) - q] ∣ [(p. q)∣ r]

∏I15(q -r).(q 3 p) V 15 (g - r) | (q 1 n) ∏∏β (α - _r) (_n , g) y 1« _fπ _ r ■ r_π a

III22p. (q ∣r) V 22 p ∣ (q ∣ r) I∏53p. (qvr) V 53 p | (q V r)

III 23 [(p W q) = r]. [(p. q) | r] V 23 [(p W q)  = r] ∣[(p. q)∣f] III 50 [(p  = q) = r].[(p. q) | r] V 50 [(p = q)  = r] ∣ [(p. q)∣r]

III 24 (p V q).(q W r) V 24 (p V q) |  (q V√ r) III 44 (p ∣ q).(q W r) V 44 (p  |  q) |  (q W r)

III 25 (p V r).(q W r) V25⅛Vr) |  (q Wr) III 34 (p ∣ f).(q w r) V 34 (p  |  r) [ (q W r)

III 27 (p V q).(p W r) V 27 (p V q) |  (p W r) III 48 (p ∣ q).(p w r) V 48 (p  |  q) |  (p W r)

III28f.(pVq) V 28 f |  (p V q) ΠI42r.(p∣qj V 42 r | (p | q)

III 29 (p W r).(q 3 p) V 29 (p W r) | (q 3 p) III 32 (p W r).(p 3 q) V 32 (p 3 q) I (p W r)

I1131q.(p∣r) V 31 q | (q | r) IΠ39q.(pVr) V 39 q | (p V r)

III 37 (p W q).(p V r) V 37 (p W q) | (p V r) III 47 (p W q).(p  |  r) V 47 (p W <1) I (p I r)

IH 38 (p W q).(q I r) V 38 (p W q) I (q  |  r) III 41 (p W q).(q V r) V 41 (p W q) I (q V r)

IV lp.(q*r) IV 70 p | (q * r) IV 70 p. (q.r) IV 1 p | (q * r)

IV 2 (p V q).(p Vr).(q V r) IV 69 (p ∣ q).(p f r).(q |  r) IV 69 (p ∣ q).(p ∣ r).(q |  r) IV 2 (p V q).(p V r).(q V r)

IV 3 (r 3 p).(qVr) IV 68 (r 3 p) I (q V r) IV 65 (p 3 r).(q | r) IV 6 (p 3 r) | (q | r)

IV 4 (q 3 p). (q V r) IV 67 (q 3 p) I (q V r) IV 55 (p 3 q) ■ (q I r) IV 16 (p 3 q) I (q I r)

IV 5 p =  (q V r) IV 66 p W (q V r) IV 35 p =  (q | r) IV 36 p W (q I t)

IV 7 (p V q).(r 3 p).(i, 3 q) IV 64 (p ∣ q).(p 3 r).(q 3 r) IV 64 (p ∣ q).(p 3 r).(q 3 r) IV 7 (p V q).(r 3 p).(r 3 q)

IV 8 p =  (r 3 q) IV 63 p W (r 3 q) IV 54 p =  (q 3 r) IV 17 p W (q 3r)

IV 9 (q 3 p).(r 3 q) IV 62 (q 3 p) I (r 3 q) IV 34 (p 3 q).(q 3 r) ÏV 37 (p 3 q) I (q J r)

lV10q.(p*r) - IV 61 q | (p * r) IV61q.(p. r) IV 10 q | (p * r)

IV 11 (p 3 q).(p V r) IV 60 (p 3 q) I (p V r) IV 51 (q 3 p).(p | r) IV 20 (q 3 p) I (p I r)

IV 12 q =  (p V r) IV 59 q W (p V r) IV 31 q =  (p | r) IV 40 q W (p I f)

IV 13 q =  (r 3 p) IV 58 q W (r 3 p) IV 45 q =  (p 3 r) ÏV 26 q W (p 3 r)

IV 14 (p 3 q).(r 3 p) IV 57 (p 3 q) | (r 3 p) IV 25 (q 3 p).(p 3 r) IV 46 (q 3 p) I (p 5 r)

IV 15 p =  q [r] IV 56 p = q [r] IV 15 p = q [r] IV 56 p  = q [r]

IV18(q 3 p).(pvr).(q 3 r) IV 53 (p 3 q).(p ∣ r).(t 3 q) IV 53 (p 3 q).(p ∣ r).(r 3 q) IV 18 (q 3 p).(p V f).(q 3 r)

IV 19 (r 3 p).(q 3 r) IV 52 (r 3 p) | (q 3 r) IV 33 (p 3 r).(r 3 q) IV 38 (p 3 r) | (r 3 q)

IV 21 r.(p. q) IV 50 r| (p. q) IV 50 f.(p. q) IV 21 r  |  (p * q)

IV 22 r  =  (p V q) IV 49 r w (p V q) IV 30 r  = (p | q) IV 41 r W (p | q)

IV 23 r  =  (q 3 p) IV 48 r W (q 3 p) IV 44 f  = (p 3 q) IV 27 f W (p 3 q)

ÏV 24 p  =  r [q] IV 47 p W r [q] IV 24 p  = r [ql IV 47 p  =  r [q]

IV 28 q  =  r [p] IV 43 q W r [p] IV 28 q  = r [p] IV 43 q  =  f [p]

ÏV 29 p = (q = f) IV 42 p W (q = r) IV 42 p = (q = r) ÏV 29 p W (q = r)

IV32(p 3 q).(p 3 r).(qVr) IV 39 (q 3 p).(r 3 p).(q I r) IV 39 (Q 3 p).(r J p).(q | r) IV 32 (p 3 q).(p 3 r).(q V r)

1. ∏ est inutile de donner dans cette colonne (l)les 256 opérations, puisque l’on peut reconstituer NR et C à partir de chaque colonne. Par exempile pour une opération de la colonne fi telle que I 8 l’inverse N Sera VII 8 (côloiïhe C), la fi sera I 1 (colonne 1) et la C sera VII 1 (colonne N), puisque N = CR et C = N R.

On peut alors se demander si l’on retrouvera les mêmes proportions au sein des 256 opérations ternaires, ou si le cas des couples de deux transformations distinctes correspond seulement à la diagonale du carré des opérations possibles. Les 16 opérations binaires constituent, en effet, un carré de 4 × 4 et les 8 opérations constituant les 4 couples en question peuvent aussi bien correspondre aux deux diagonales de ce carré qu’à l’une de ses moitiés. Les 256 opérations ternaires forment, d’autre part, un carré de 16 × 16 : trouvera-t-on, en ce cas, 128 opérations réparties en quaternes complets et 64 couples, ou au contraire 56 qua- ternes complets (224 opérations) et 16 couples (32 opérations) correspondant aux deux diagonales ? C’est cette seconde éventualité qui se vérifie.

Nous donnons pages précédentes la liste des transformations IN RC en suivant l’ordre O-VIII, I-VII, II-VI, IlI-VetIV.

Au total, les 256 opérations ternaires constituent donc 56 quaternes complets (4 transformations distinctes) et 16 couples, chacun d’eux comportant seulement deux ftansformations distinctes sur quatre.

Les 8 premiers de ces couples présentent une réciproque non distincte de la transformation identique (R — F) et une corrélative non distincte de l’inverse (C = N). Ce sont :

1) Les 8 opérations II et VI 7, 12, 16 et 19, formées de deux équivalences positives et négatives : [(p = q).(p w r]), etc. ;

2) Les deux opérations VIII et O, qui sont des doubles ou quadruples équivalences ;

3) Les 6 opérations IV 15, 24, 28, 43, 47 et 56, dont l’opération composante est une équivalence et l’une des opérations composées une affirmation ou une négation de p, q ou r : jp = y[r]}, etc. Leur forme binaire-binaire est alors une triple équivalence : (p = r) = (q = r), etc.

Les 8 seconds de ces couples comportent une réciproque non distincte de l’inverse (R = N) et une corrélative non distincte de l’opération identique (C = I). Ce sont uniquement des opérations d’ordre IV :

1) Les 6 opérations IV 1, 70,10, 61, 21 et 50, de type p. (q * r) ;

2) Les 8 opérations IV 2, 69, 7, 64, 18, 53, 32 et 39 de type uninaire-binaire double (ou binaire-binaire double) ;

3) Les deux opérations 29 et 42 de forme (p = q) ≈ r.

Ainsi l’ensemble des 256 opérations ternaires obéit aux lois du groupe des 4 transformations INRC, que ces transformations soient toutes quatre distinctes ou que deux seulement d’entre elles le soient. Avant de pouvoir dégager la portée de ces faits et la signification du carré dont les diagonales sont occupées par les 8 et 8 couples à deux seules transformations distinctes (voir § 35), il s’agit d’examiner les autres transformations possibles et notamment celles qui permettent de passer d’un quaterne ou d’un couple à un second, déterminé ou quelconque.

Une première question se pose quant à l’extension éventuelle des transformations INRC. Nous avons vu (règle I) que l’inversion d’une expression binaire-binaire ou uninaire-binaire était assurée par la négation de l’opération « composante » (a), tandis que la réciprocité (règle III) modifie seulement les opérations « composées ». Que se passe-t-il alors si l’on nie les opérations composées ? Introduisons d’abord quelques définitions.

Par opposition à l’inversion N, qui s’obtient donc par négation de l’opération composante seule, nous désignerons sous le symbole Nh la transformation consistant à nier les opérations composées sans modification de l’opération composante.

Par analogie nous désignerons respectivement par les symboles Rh et Ch, les transformations des opérations composées en leurs réciproques (Rh) ou en leurs corrélatives (Ch), sans modification des opérations composantes.

D’autre part, nous appellerons respectivement Na, Ra et Ca les transformations des opérations composantes (a) en leurs inverses (Na), leurs réciproques (Ra) ou leurs corrélatives (Ca), sans modification des opérations composées.

En vertu des règles I, III et IV, on a naturellement :

(34) N = Na (règle I) (34 bis) R = Rh (règle III) (34 ter) G = ChCa (règle IV)

En outre, comme en toute opération binaire ou uninaire on a toujours R = CN ; C = RN ; N = CR et I = RNC (transformations commutatives), on aura toujours également :

(35) Ch = NhRh et Ca = RaNa

ou

(35 bis) Rh = NhCh et Ra = CaNa ; etc.

Ota en déduit alors :

(36) NhRa = I

En effet Nh = Rh Ch puisque N = RC. On a, d’autre part, Ra = NaCa pour la même raison. Or ChCa = C (prop. 34 ter) et NaRh = NR ≈ C puisque Na = N et Rh = R (prop. 34 et 34 bis). Donc NhRa = RhChNaCa = (ChCa) (NaRh) = CC = I.

Par exemple p | (q V r) donne Ra — p V (q ∨ r) et NhRa = p V (q. f). Or p V (q.r) = p | (q V r) car x V ÿ = x | y.

II en résulte que l’on a, dans tous les cas :

(37) Nh = Ra

Par exemple p. (q V r) donne p. (q.f) pour Nh. Mais la réciproque de la conjonction x.y étant la négation conjointe (x.ÿ), on a ainsi Ra p. (q V r) = p. (q.f), ce qui n’est pas contradictoire avec la définition de l’opération Ra car la modification de l’opération composante entraîne ici celle des opérations composées, sans que celles-ci soient transformées en tant que composées (comme c’est au contraire le cas pour Nh).

Autre exemple : pr V qr donne pr | qr pour Ra. La transformation Nh donne par contre (p | r) ∨ (q | r). Mais (p | r) V (y | r) ≡ [pr | yr] en vertu de x V ÿ ≡ x | y.

Des propositions (35) et (35 bis), on peut tirer une nouvelle expression de la corrélative :

(38) C = RaNNhR (commutatif).

En effet C = ChCa (34 ter). Or Ca = RaNa (35) = RaN (34). D’autre part (34 bis) NhR = NhRh = Ch (35). Donc ChCa = NhRNRa. Ce qui démontre la prop. (38).

Mais, en vertu de (36) et de (37), cette prop. (38) se réduit à :

(38 bis) C = RaNNhR = NR

Ce qui nous ramène à (29) et à (31), c’est-à-dire à la propriété essentielle de la corrélative C = NR.

Ces propositions (35) à (38) contribuent donc à montrer la LE GROUPE DES QUATRE TRANSFORMATIONS 35 cohérence interne du calcul binaire-binaire ou uninaire-binaire des opérations ternaires, cohérence qui était d’ailleurs déjà évidente dans la mesure où le calcul des transformations INRC elles- mêmes est possible par une méthode exclusivement binaire¹.

Seulement, si les propositions (35) à (38) sont toujours vraies,, c’est-à-dire indépendamment de la forme donnée aux opérations en jeu, c’est que les transformations N h, Ch, Ra et Ca n’y sont composées qu’entre elles et en fonction des lois générales du groupe I (= NhRa), R (= Rh), N (= Na), C (= ChCa). A partir du moment, au contraire, où l’on utilisera à part des transformations- telles que N h, il va de soi qu’elles dépendront de la forme choisie pour l’opération considérée. Par exemple Nh de p. (q.r) = I 1 est p. (y | r) = III 56. Mais Nh de (p. q).(q.r) = I 1 est (p | q). (q | r) = V 3. La même transformation Nh transforme donc deux formes équivalentes de l’opération I 1 en deux opérations non équivalentes III 56 et V 3. C’est pourquoi la transformation Nh ne fait pas partie du groupe IRNC, c’est- à-dire des 4 transformations intérieures aux quaternes ou aux couples du tableau (33). Par contre elle peut servir d’instrument pour transformer un quaterne en un autre, et c’est ce que nous allons examiner maintenant, à propos des transformations que nous appellerons « hétérologues » parce qu’elles ne donnent précisément pas des résultats équivalents ou homologues lorsque l’on modifie la forme de l’opération considérée.

1. Les transformations Na,,Ra et Ca nous serviront en outre à construire un groupe des « bornes » supérieures et inférieures du lattice des 256 opé- rations ternaires (prop. 247).