Chapitre VI.
La transformation des familles les unes dans les autres ^a 🔗

Pour assurer la transition entre l’analyse interne que nous venons de faire de chaque famille et l’étude des transformations interfamiliales il est intéressant de décrire les relations entre les familles IV /) et III-V a), car, si cet exemple introductif constitue un cas particulièrement clair de transformation d’une famille en une autre, il démontre en outre l’impossibilité de généraliser l’emploi des transformations Pαβ, Pm, P ∨ y et même Rg ou Rd sans franchir les frontières des familles elles-mêmes.

Soit une opération de la famille IV f) telle que IV 11 [(p 3 q). (p ∨ r)]. On peut la soumettre aux transformations suivantes :

1° Permutation Pαβ, où (a) = (j) et β = (v) :

IV 11 [(p 3 q).(p V r)]^M [(p V q).(p 3 r)] ≡ IV 20 bis

2° Semi-réciprocités Ra ou Rβ :

•O

IV 11 [(p 3 q)∙(p vr)]-→[(q 3 p).(pvr)]≡V 54

IV 11 [(p 3 q).(pvr)]≡[(p 3 q).(p | r)] - V 7

3° Permutation Pm :

Par

IV 11 [(p 3 q).(pvr)]iX[(p 3 q).(qvr)]≡V 40

4° Permutation P ∨ 3 portant sur l’une seulement des opérations composées :

P ∨ 3 II

IV 11 [(p 3 q). (p ∨ r) — * [(p 3 q).(p 3 r)] ≡ V 22

P ∨ 3 I

l(P 3 q).(pvr) √(p vq).(p V r)] ≡ V 56

Or, on s’aperçoit que, sauf une, chacune de ces permutations (ou semi-réciprocités) transforme l’opération IV 11 en une opération appartenant à la famille III-V a). Même la permutation Pαβ transforme d’autres opérations IV /7 par exemple IV 4 [(y 3 p)-(q vr)] en opérations III-V a), dans le cas particulier en V 46 [(p ∨ q).(r y ç)].-

De leur côté, les 48 opérations uninaires-binaires de la famille III-V a), que nous avons étudiées au § 20 présentent toutes des formes équivalentes binaires-binaires selon les transformations suivantes :

III 1 [P∙(q V r)] ≡ [(p. q) V (p. r)] ≡ [(p | q) | (p | r)]

III 7 [q 3 r] ≡ [q ∨ r] ≡ [(p. q) v(p. r)]≡[(p 3 q) J(p |r)]

III 53 p. (q V r) ≡ [(p. q) V (p. r) ≡ [(q 3 p) | (r 3 p)]

’ III 55 p. (q 3 r)≡ [qvr]≡[(p. q)v(p. r)]≡[(p V q) | (r 3 p)] etc. (voir prop. 106).

Il en résulte que chacune des formes uninaires-binaires du tableau (105), caractérisée par une opération uninaire p, q ou r, ou p, q, f, correspond à une forme binaire-binaire dont le moyen

*

terme p, q ou r est la même proposition que celle qui constitue, dans l’expression uninaire-binaire, l’opération uninaire elle- même. Il en sera naturellement ainsi des opérations inverses comme des directes : d’où 12 quaternes binaires-binaires d’ordre III-V a), dont 4 auront pour moyen terme la proposition p, 4 la proposition q et 4 la proposition r. Or, les quaternes de la famille IV f), sont également au nombre de 12, si l’on tient compte des expressions équivalentes IV n (bis) pour les raisons qu’on a vues au § 24 (cf. le tableau 125). Il est donc évident que si les permutations Pαβ Pm et Pa ou Bβ transforment les opérations IV f) en opérations III-V a), et réciproquement, et si ces dernières se présentent sous deux formes, uninaires-binaires et binaires-binaires, telles que le moyen terme de la seconde forme corresponde à l’opération uninaire de la première, il existera une correspondance définie entre les quaternes III-V a) (cf. le tableau 105)¹ et les quaternes IV f) (sous leur forme usuelle ou sous celle du tableau 125) :

(128)

Moyen terme

ou opération uninaire Opérations III-V (a) Opérations IV (f)

p III-V ( 7 ; 54) et (55 ; 2) IV 11 ; 20 ; 51 ; 60 (et bis)

q III-V (16 ; 40) et (46 ; 4) IV 4 ; 16 ; 55 ; 67 (et bis)

r III-V (17 ; 30) et (10 ; 35) IV 3 ; 6 ; 65 ; 68 (et bis)

p III-V ( 1 ; 56) et (22 ; 53) IV 14 ; 25 ; 46 ; 57 (et bis)

q III-V ( 3 ; 52) et (31 ; 39) IV 9 ; 34 ; 37 ; 62 (et bis)

r III-V ( 8 ; 51) et (28 ; 42) IV 19 ; 33 ; 38 ; 52 (et bis)

Ces deux sous-ensembles correspondent aux deux sous- familles que nous avons distinguées (tabL 105 et 125, mais la sous-famille II du tabl. 125 correspond à la sous-famille I du tabl. 105).

On se trouve ainsi en présence d’un ensemble de 96 éléments, structuré selon le groupe des transformations (I, N, R, C = 4) × (Pαβ = 2) x (Ra. = 2) × (Pm = 3) x (Rmd = P ∨ y = 2) = (4 x 2 x 2 × 3 × 2) = 96 :

1. Le tableau 105 donne sur chaque ligne horizontale, les opérations directes et réciproques de deux quaternes distincts, dont l’opération uninaire est p ou p. 

<129)

1) Opérations 4) N de (3) =

de départ 2) N de (1) 3) R de (1) de (2) = C de

j=t ∣→ IV 11 IV 60 IV 51 IV 20

Pαβ (P)q)∙(pVr) (P)q)l(pvr) (q3p).(p∣r) (q 3 p) I (p I r) Pab L IV 20 bis IV 51 bis IV 60 bis IV 11 bis

(pvq).(p3r) (p V q) I (p 3 r) (p I q).(r 3 p) (p I q) I (r 3 j

t=5r+ V 40 III 40 V 16 III 16

Paβ (p3q).(qVr) (p 3 q) I (q V r) (q3p).(q∣r) (q 3 p) | (q | :

Pbc L IV 16 bis IV 55 bis IV 67 bis IV 4 bis

(pVq).(q)r) (p V q) | (q 3 r) (p I q).(r 3 q) (p I q) I (r 3 <

*∣→ V 30 III 30 V 17 III 17

Paβ (p3r).(qVr) (p 3 r) [ (q V r) (r 3 p).(q I r) (r 3 p) I (q ! :

U V 35 III 35 V 10 III 10

(pvr).(q3r) (p V r) | (q 3 r) (p ∣ r).(r 3 q) (p  | r) | (r 3 <

Rmd

₁=t |+ V 22 III 22 V 53 III 53

Paβ (p3q).(pVr) (p 3 q) | (p V r) (q3p).(p∣r) (q 3 p) | (p |

Pab L V 56 III 56 VI III 1

(pvq).(p3r) (P V q) | (p 3 r) (p I q)∙(r 3 p) (p I q) I (r 3 :

→ IV 34 IV 37 IV 9 IV 62

Paβ (p3q)∙(qVr) (p)q)∣(qvr) (q3p).(q∣r) (q 3 p)  | (q |

Pbc ∣→ V 52 III 52 V 3 III 3

(pvq).(qjr) (p V q) | (q 3 r) (p ∣ q).(r 3 q) (p I q) I (r 3 ’

¹ * _f÷ V 28 III 28 V 42 III 42

Paβ (p3r).(qvr) (p 3 r) | (q V r) (r3p).(q∣r) (r 3 p)  | (q |

→ V 51 III 51 V 8 III 8

(pvr).(q)r) (pVr)∣(q3r) (p ∣ r).(r 3 q) (p  | r) |  (r 3 i

Remarque. —   Pour pouvoir concilier la transformation Pαβ, qui laisserait invariantes des expressions telles que V 22, écrites sous la forme [(p 3 q)∙(p 3 r)], avec la transformation Pv 3, appliquée à droite et reliant par exemple IV 11 [(p 3 q).(pvr)] à V 22 sous la forme [(p s q)∙(p 3 r)L nous avons donné aux opérations de la seconde sous-famille (Q 7 à Q 12) la forme [(p 3 q) .(p V r)], etc. La transformation P ∨ 3 est alors remplacée par la transformation équivalente Rmd, c’est-à-dire par le changement de signe (R) du moyen terme (m, donc p, q ou r) dans l’opération

/

1

8) N de (7) ≈ R ua- 5)Λxde(l) = Eβ 6) N de (5) = Λx 7) R de (5) = Rβ de (6) = Pβ de (2) Qua- rnes de (3) de (2) = Pβ de (4) de (1) = Ra de (3) « = Ra de (4) ternes

V 54 III 54 V 7 III 7

1 (qlP)∙(PVr) (q)p)∣(p√r) (p)q)∙(p∣r) (P 5 q) I (p | r) Q 13

V 55 III 55 V 2 III 2

2 (pVq).(r)p) (pVq)∣(Dp) (P I q)∙(p 7 r) (p I q) I (p > r) Q 14

IV 4 IV 67 IV 55 IV 16

3 (qlp)∙(qvr) (q)p)∣(qvr) (p)q).(q∣r) ∣P 3 q) I (q I r) Q 15

V 46 III 46 V 4 III 4

4 (pvq).(rjq) (pVq)f(r)q) (plq).(q)r) (p 1 q) I (q 3 r) Q 16

IV 3 IV 68 IV 65 IV 6

⁵ (f)P)∙(qVr) (Dp)l(qvr) (p}r).(q∣r) (p  > r) | (q | r) Q 17

IV 6 bis IV 65 bis IV 68 bis IV 3 bis

6 (pvr).(r}q) (pVr)∣(r)q) (P∣r).(q)r) (p I r) | (q ) r) Q 18

IV 25 IV 46 IV 14 IV 57

7 (q)p).(pvr) (q)p)l(pvr) (pJq).(p∣r) (p J q) | (p | r) Q 19

IV 46 bis IV 25 bis IV 57 bis IV 14 bis

8 (P V q).(r J p) (p V q) I (r ) p) (p ∣ q).(p y r) (p I q) I (p y r) Q 20

V 31 III 31 V 39 III 39

θ (q)p)∙fivr) (q)p)lflvr) (p)q)∙(q∣r) (p y q) ∣ (q ∣ r) q 21

IV 37 bis IV 34 bis IV 62 bis IV 9 bis

10 (PVq).(r>q) (p V q) | (r y Q) (p ∣ q).(q y r) (p ] q) | (q y r) Q 22

IV 19 IV 52 IV 33 IV 38

11 (rjp).(qvr) (r y p) | (q V r) (p ) r).(q | r) (p J r) | (q | r) Q 23

IV 38 bis IV 33 bis IV 52 bis IV 19 bis

12 (pVr).(r)q) (p V r) | (r y q) (p∣r).(q)r) (P∣r)∣(q)r) Q 24

binaire de droite (d). Il s’ensuit que (p ∨ r) est transformé en (pM r) [≡ p y r] ; (p | r) en (p | r) [≡ r y p] ; (p y r) en (p y r) [= p V r] et (r > p) en (r } p) [≡ p | r], ce qui équivaut donc exactement à la transformation Pv y, selon ses 4 possibilités.

Mais il va de soi que l’on aurait pu adopter une autre forme d’équivalence pour P V y. Auquel cas le groupe eût été différent, puisqu’il s’agit de transformations hétérologues. Mais toute équivalence de P V y employée de façon uniforme donne un groupe de 96 éléments analogue au précédent.

9

On constate alors la parfaite cohérence du système. Verticalement, chaque quaterne pair (Q 2 ; Q 4 ; etc.) est le résultat de la permutation Pαβ du quaterne impair précédent ; chaque couple de quaternes impair et pair successifs (Q 1 Q 2 ; Q 3 Q 4 ; etc.) est le produit de la permutation Pm (Pab ou Pbg) du couple précédent ; les deuxièmes sous-familles (Q 7 àQ 12 et Q 19 à Q 24) sont le produit de la transformation Rmd par rapport aux premières sous-familles (ces 3 transformations étant réciproques). Horizontalement, chaque ensemble de 4 opérations successives (1) à (4) ou (5) à (8)constitue un quaterne INRC ; les 4 opérations de droite (5 à 8) constituent enfin les Ra (semi- réciprocité relative à a qui est l’implication : 3) des opérations correspondantes de gauche (1 à 4 : soit 5 et 1 ; 6 et 2 ; 7 et 3 ; 8 et 4) et réciproquement. Chacun des 96 éléments du groupe est donc rigoureusement déterminé par rapport à tous les autres.

Quant aux compositions qui unissent entre elles les transformations verticales et horizontales, elles obéissent à des lois très simples :

1° Les semi-réciprocités Ra (réciprocité de celle des deux opérations binaires qui contient l’implication) ou Rβ (réciprocité des ∨ et |) se composent comme suit avec les autres transformations :

(130) RαR = Rβ (cf. prop. 83) (commutatif) d’où (130 bis) RRβ = Ra et R = RαRβ

Par exemple (IV 11 -5^ V 54) = (IV 11 ≡ V 7-5- V 54) ou (IV 11 5-IV 51 5^V 7) = (IV 11 ≡ V 7) Ces compositions sont commutatives, de même que la suivante : (131) RαPαβ ≈ PαβRα

Par exemple (IV 11→V 54⅛γ 55) = (IV 115⅛

IV 20 bis→V 55).

Mais on a naturellement :

(131 bis) RgPαβ — PaβRd ou Rd Paβ = PaβR⅛

puisque la transformation Pαβ fait passer l’opération (a) (= 3) de gauche à droite ou l’inverse.

On a aussi :

(132) RaN = NRa ; RaC = CRa ; RaRmd = RmdRa ; etc.

/

Par exemple :

(IV 11 J≥l y 22 → = IV 25) = (IV 11 → V 54^≡^ IV 25

2° L’opération Pαβ consiste à permuter (1) et (v), ou (j) et (|), ou (c)¹ et (v) ou (|). Elle est donc commutative :

(133) RPαβ = PaβR ; PaβPAB = PABPaβ ; PaβRmd — Rmd. Paβ ; etc.

Par exemple (IV 115- IV 51 IV 60 bis) = IV 11

IV 20 bis → IV 60 bis).

On vérifie en outre, la prop. (88 bis)

Pαβ = Pm Pa ou Paβ = Pm³ Pβ où Pa = Ra et Pβ = I

Par exemple (IV 11→IV 20 bis) = (IV 11 — → V 40

V 30-^^ IV 20 bis∙→ IV 20 bis puisque q V p = p V q et (IV 51 bis^ IV 60) = (IV 51 Dis — IV 55 bis→ III 35

III 54⅛ iv 60).

On a Pa (donc Ra) lorsque l’opération x (β) y reste invariante au cours de la permutation Pac ou Pca, et Pβ quand x (a) y reste inchangé.

3° Les permutations Pm vérifient leurs propriétés habituelles, sauf que, dans le cas particulier, on a Pβ = I (puisque qv p = pv q et q \ p — p \ q) :

Pac = Pab + bc Pαβ Pa (ou Pβ)

Par exemple (IV 11→ IV 6 bis) = (IV 11 V 30

⅛ V 35→ IV 6 bis) et (IV 20 bis→ V 30) = (IV 20 bis

V 35∙→ V 30) car Pβ = I mais on a :

(134) R = PmRβ

puisque Rm = P lorsque a et β sont des implications (prop. 85), et que Pm = Pa + Pβ. Or, dans le cas particulier Pβ = L Pour obtenir R il faut rajouter à Pm la semi-réciprocité Rβ.

1. L’opération (C) intervient quand l’implication (J) relie les propositions dans l’ordre r, q, p. 

R Par Prγ

Par exemple (IV 11 → IV 51) = (IV 11 V 40 → V 30 Pca _tλtnn ,. Pab Pbc Pac Rb _ττr

* IV 20 bis » IV 16 bis » V 35  > V 54 — > IV 51).

Quant aux relations entre les permutations Pm et le tableau (76), il suffit, pour établir la correspondance, d’égaler les permutations (1 = 3), (2 = 4), etc., puisque p (β) r = r (β) p, etc., dans les cas (v) et ( |).

Remarque. — Pour réaliser de façon distincte les 24 possibilités du tableau (76), il faudrait remplacer la permutation Pαβ par la transformation P ∨ 3 ou P | c appliquée aux deux opérations binaires simultanément, donc permuter (3) en (v) et (c)

PB

en ( |) en posant en outre Pβ = Rβ donc (p ∨ q) — ► (p | q) :

p ∨ 3

IV 25 (q 3 p).(p 3 r) ► (p ∣ q).(p ∨ r)

On réaliserait ainsi sous une nouvelle forme un groupe de 96 éléments, avec naturellement d’autres propriétés particulières, mais il est inutile d’en fournir le détail.

Les familles IV f) et III-V a) ne se transforment pas seulement l’une dans l’autre selon le groupe de transformations que nous venons de décrire : chacune d’entre elles donne lieu à des transformations en d’autres familles, selon des modes variés.

I. Il est d’abord intéressant de noter que chaque quaterne de la famille IV f) se transforme doublement en opérations O-VIII moyennant la négation hétérologue Nh :

(135) (I) IV 11 [(p 3 q) . (p V r)J — → [(p. q) . (p. f)] ≡ O (I)

(N) IV 60 [(p 3 q)  |  (p V r)] ≡∙ [(p. q)  |  (p. f)] ≡ VIII (N)

Nh

(R) IV 51 [(q 3 p) . (p  | r)] -→ [(p. q) . (p. r)] ≡ O (R)

(C) IV 20 [(q 3 p)  |  (p ∣ r)] ≡ [(p. q) ∣ (p. r)] ≡ VIII (G)

Etc.

Les opérations conjonctives (dont les colonnes 1, 3, 5 et 7 du tabl. 129) donnent donc (O) et les incompatibilités N et C (colonnes 2, 4, 6 et 8) donnent VIII.

Par contre, la même transformation Nh appliquée aux quaternes de la famille III-V a) les transforme dans les opérations

/

de la famille I-VII (nouvelle preuve que IV /) et III-V a) constituent deux familles distinctes et naturelles) :

Nh

(136) (I) V 54 [(q ) p) . (p Vr)]— ► [(p. q) . (p. f)]≡p . (q.f) 16(1)

(N) III 54 [(q 3 p) ∣ (pVr)]B[(p. q) ∣ (p. f)] ≡ p  |  (q.r) VII 6 (N)

Nh

(R) V 7 [(p 3 q) . (p  | r)]— > [(p. q) . (p. r)] ≡p . (q.r) I 3 (R)

(C) III 7 [(p 3 q) |  (p ∣ r)]-→[(p. q) ∣ (p. r)] ≡p |(q.r) VII 3 (C)

On a de même (en se reportant au tableau 129) :

8 Z g g ^-⅛, Tf m

S S S

iq* Gⁱ tr "g* a ρ_j ∣c⅛ g. fl t fl t λ t λ t rv

Z | Z | Z | Z | - δ δ ⅛
O O CO CO QQ qq ∣ _rH

xf ^τT rH tH

g z g g ^{r c ς}’ ²

s S S -S

ïl Z, g ⅛ S* i ? ^zS* cr

 »r^ cs N gj (ft ft ft

^1-1 Z ^m Zfl↑Λ↑fl3↑Λ↑

>  > Z| Z| Z∣ Z|

^ <“s z-x s CO CO T-H TH

S-h f→ ’« -< LQ LO

S S ô ô ≥ ^hh  >  K

’≡ⁱS⁵’Sⁱ’Sⁱ^g’≤’5-

∙C↑fl3↑,⊂lt,Qf ^φ

Z I Z | Z I Z |

LO OJ

io LO

⅛ ≥ ≡ ≥ Z

g, g Z g g

∖

l(fâ TRANSFORMATIONS DES OPÉRATIONS LOGIQUES

Les 8 autres quaternes des 12 que comporte la famille Hl-Vaj donnent les mêmes 4 quaternes I-VII (les transformations Pu et Pm transformant ces derniers quaternes en eux-mêmes tandis qu’elles donnent lieu à des opérations distinctes en III-V a).

Oh constate ainsi qu’aux transformations INRC d’un quaterne III-V a) correspondent les transformations INRC du quaterne I-VII produit de Nh. On est donc, comme dans le cas (135) en présence de nouveaux groupes de transformations d’une famille en une autre.

Mais il y a plus. Si au lieu de partir des formes binaires- binaires données aux opérations de la famille III-V a), on considère les formes uninaires-binaires (tabl. 105), il suffît, pour les transformer en opérations I-VII de les soumettre à l’opérateur N (Cd), c’est-à-dire à une négation de l’opération composante et à la transformation de l’opération composée de droite (binaire) en sa corrélative C. On a ainsi :

(137) (I) III 1 p . (q V r) NJ¾ [p] ∣ (_q. _r) VII 1 (I)

(N) V 1 p  |  (q V r)5^— 1 p . (q.r) I 1 (N)

(R) III 56 p . (q ∣ r)∙55^p ∣ (q.r) VII 8 (R)

(C) V 56 p  |  (q ∣ r)55≡p. (q.r) I 8 (C)

On a de même III 55 p. (q 2 r) ^N p | (q.r) VII 7 ; etc.

On peut alors (et cette remarque prendra de l’importance au chapitre VII, lorsqu’il s’agira de réunir ces différents groupes de transformation en un groupe unique), réduire les transformations (135) à (137) à de simples réunions ou soustractions, de la manière suivante :

b< tu

H tu ⅛U z Co ⅛

(138) [IV 11 — → O] ≡ [(IV 11) . (IV 11)] g

Nh . £

[IV 60 -→ VIII] ≡ [(IV 60) V (IV 60)] H

donc [IV (f) . (ÏVf)] ≡ O g

et [IV (f) V(ΓVf)] =  VIII fa

Nh ^h3

et (138 bis) [III 54 — → VII 6] ≡ [(III 54) ∨ ( V 54).(Cd III 54)] ≡ [VIII.(p . q.f)] ≡ VII 6

Nh S

et [ V54— > I 6] ≡ [ V 54) ∨ (III 54).(Cd V 54)] ≡ VIII.(p | q.f) = I 6 C

donc [III c — → VII] = [(III c) V ( V c).(Cd III c) ≡ [(VIII).(Cd III c)] ≡ I g

Nh ^b5

et [ V c — → I]≡[( V c) V(IIIc).(Cd V c)] ≡ [(VIII).(Cd V c) = VII ^c^

 »-* o CO

Autrement dit la transformation N h, dans le cas particulier, équivaut à la réunion et à la suppression de certains trios (p. q.r), (p. q.f), etc., avec observation des règles du groupe INRC.

II. Appliquons maintenant aux opérations des mêmes familles IV f) et III-V a) les transformations Ng etNd. Nous les transformons alors, dans le premier cas, en opérations de la famille II-VI b). On a, en effet :

(139) (I) IV 11 [(p jq).( [p]vr)]-≡[(p5q).(p. r)]≡p. f[q] 1127 (I) (N) IV 60 [(p 5 q) | (p V r)] -≡ [(p ₅ q) ∣ (p. r)] ≡P | f [q] VI 27 (N) (R) IV 51 [(q₅p).(p ∣r)]⅛(q₃p).(p. r)]≡p. r[q] II 2 (R) Nd

(C) IV 20 [(q 2 p) | (p | r)]— →[(q 2 p) ∣ (p. r)] ≡p | r [q] VI 2 (C) et

(140) (I) IV 11 [(p 2 q).(pvr)]⅛(p. q).( [p]vr)]≡p. q[r] 1114 (I) Ng

(N) IV 60 [(p 3 q) | (pVr)]-⅛q)∣(pVr)]≡p | q [r] VI 14 (N) Ng

(R) IV 51 [(q 2 p) . (p | r)] -Λ [(p. q) . (p ∣ r)] ≡ p . q [r] II 23 (R) Ng

(C) IV 20 [(q 2 p) | (p ∣ r)]-⅛q) ∣(p ∣ r)] ≡ p | q [r] VI 23 (C)

Or, il est intéressant de noter que la réunion des produits de Nd et de N g donne alors N :

(141) P-r [q] V p. q [r] ≡ (p. q.r) V (p. q.f) V (p. q.r) V (p. q.f) ≡ IV 60 (= II 14 ∨ II 27)

p-r [q] V p. q [r] ≡ (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.f) ≡ IV 20 (≡ II 2 V II 23)

Il est en outre à remarquer que les opérations IV f) formées de deux implications ou de deux disjonctions donnent également ces opérations II-VI b). Par exemple :

Nd

(142) IV 14 [(p 2 q).(r 2 p)]-→[(p 2 q).(p . r)]≡p. r [q]

Ng

et IV 14 [(p 2 q).(r 2 p)] — → [(p . q).(r 2 p)] ≡ p. q [r]

d’où p. q [r] V p. r [q] ≡ IV 57 qui est l’inverse (N) de IV 14.

D’autre part, si, au lieu d’opérer sur la forme conjonctive des opérations IV f) (tabl. 129) on applique les transformations Nd et Ng aux mêmes opérations IV f) mises sous forme d’équivalences (tabl. 125), on obtient sans plus leurs inverses TV (en vertu de la prop. 141).

On a, en effet :

Nd

(143) IV 11 [(p. q) = (p. f)]— →[(p .q) = (pv r)] ≡ IV 60

Ng

et IV 11 [(p. q) = (p. f)]-⅛ 3 q) = (P ∙ f)] ≡ IV 60

Nd

ou encore IV 14 [(p. q) = (p. r)] » [(p . q) = (r 3 p)] ≡ IV 57

Ng

et IV 14 [(p• q) = (p. r)] — → [(p 3 q) = (p . r)] ≡ IV 57

Par contre les mêmes transformations appliquées aux opérations de la famille III-V donnent des résultats tous différents. En premier lieu, si l’on applique Nd et Ng aux formes conjonctives binaires-binaires de cette famille, on obtient :

Nd

(144) (I) V 54 [(q 3 p) . (p V r)] — → [(q 3 p) . (p . f)] ≡ p . (q. r) 18(1)

(N) III 54 [(q ) p) | (p V r)] → [(q 3 p) | (p . f)] ≡ p | (q. r) VII 8 (N) Nd

(R) V 7 [(p 3 q) . (p | r)]  > [(p 3 q) . (p . r)] ≡ p . (q.r) 11 (R)

Nd

(C) III 7 [(p 3 q) | (p | r)]  > [(p 3 q) | (p . r)] ≡p | (q.r) VII1 (C)

Ng

et (145) (I) V54 [(q 3 p) . (p Vr)]— ⅛[(p . q) . (pvr)]≡p . (q.r) 15(1)

Ng

(N) III 54 [(q 3 p) | (p Vr)]-Λ[(p . q) | (p Vr)]≡p ∣ (q.r)VΠ5(N) Ng

(R) V 7[(p 3 q).(p | Γ)]-Λ[(p . q).(p ∣r)]≡p. (q.r) I 4 (R) Ng

(C) III 7 [(p 3 q) | (p | r)]— →[(p . q) | (p ∣ r)] ≡p ∣ (q.r)VII4 (C>

Par contre la forme uninaire-binaire de la famille III-V a) ne se transforme en cette même famille I-VII que par application de Nd (négation de l’opération composée binaire). La transformation Ng laisse l’expression transformée à l’intérieur de la famille III-V a).

Si maintenant l’on réunit en une seule opération les produits de transformations Nd et Ng appliquées à la même expression

binaire-binaires III-V a) (voir 144 et 145), on obtient un élément de la famille ÏI-VI a) :

<146) [q.f] ∨  [q.rJ ≡ p. q = r] II 25 (≡ I 8 V I 5) et [q.r]V [q.f]≡ [q = r] II 3 (≡ 11 V I 4)

III. Or, on se rappelle (§ 24) que les opérations de la famille III V a) ne peuvent être mises sous la forme d’équivalences comme celles de la famille IV f), mais que la permutation □

des conjonctions (.) ou incompatibili-

_z,, , . , … , m co co

tes (|) en équivalences positives ou ne- ^w ^>

gatives (= ou w) dans les expressions ≥ *-< ≥ ^h-,

binaires-binaires III-V a) transforme P P P

celles-ci en opérations d’ordre II-VI qui II II II II

appartiennent précisément à la fa- S S S S

mille II-VI a) (147) : ∣p, ∣⅛ a à

Λ Λ 1 Λ

a Qj 0, p,

On constate ainsi que la permuta- Il 5 II § 

tion P.= transforme la famille III-V a) a pi σ⁵ en opérations II-VI a). Mais on constate y a ft

en plus que le produit de cette permu- ü ≥≤ ü ü

tation, pour une expression III-V a) Il || " || ||

donnée, constitue l’inverse (N) du pro- ⅛ ‰ ‰ ‰

duit de la réunion des transformations Nd g g g ^

et N g. Par exemple Nd et N g de V 54  >   >  — — 

donnent ensemble II 25 tandis que P. = ô ô ô ô

de V 54 est VI 25. On retrouve ainsi, ,4777 Pi p_l Γr^l

pour les opérations III-V a) l’équivalent du rapport que soutiennent entre elles S S ô ô

les prop. 141 et 143 pour les opéra- 7 7 5 5

tions IV/). £ g _>

Si l’on soumet, d’autre part, ces équi- S S

valences (q y p) =  (p ∨ r), etc., aux trans- g Z 8 u

formations Nd et N g, on retrouve des opérations de la famille II-VI a). Par P exemple, Nd de VI 25 [(q y p) = (p V r)] 0

donne p. (q = r) II 25 et N g également. On a donc en ce cas Nd = Ng = N.

IV. Les opérations de la famille IV f) peuvent enfin être transformées en éléments des familles II-VI c), III-V b), III- V c) et IV e), etc., moyennant certaines transformations que nous exposerons à propos de ces familles respectives. Quant aux opérations III-V a), lorsqu’on les soumet aux mêmes transformations ou à d’autres analogues, elles conduisent aux opérations des familles III-V b), III-V c), IV b) et IV e), etc.

Les 24 opérations de la famille IV e), dont la forme est p = (q V r) ; p = (q 3 r) ; etc., donnent lieu à un ensemble de transformations intéressantes. Mais, étant donné qu’une même expression p = (q ∨ r) peut s’écrire sous une série de formes équivalentes [p = (q.f); pw (q.r); p w (qv r); etc.], les transformations dont nous allons parler n’ont plus la simplicité des précédentes. Elles n’en sont d’ailleurs que plus instructives, à un certain point de vue : elles démontrent, en effet, que des formes équivalentes ne sont point tautologiquement identiques, puisque, soumises aux mêmes transformations, elles aboutissent à des résultats différents.

I. En premier lieu on peut écrire toute opération IV e) sous la forme d’une expression uninaire-binaire dont l’opération composée binaire est une conjonction (ou une négation conjointe ou une non-implication). Il suffit naturellement alors de permuter l’opération composante (= ou w) avec une conjonction ou son inverse (. ou |) pour obtenir une opération de la famille I-VII :

(148) (I) IV 35 [p = (q.r)⅛p. (q.r) I 1 (I) pi w

(N) IV 36 ⅛w(q.r)]-Up ∣ (_q._r) VII 1 (N)

(R) IV 5 [p = (q.f)]^Xp.(q.r) I 8 (R) p | w

(C) IV 66 [pw(q.r)]-!-→p | (q.f) VII 8 (C)

Les 8 + 8 opérations I-VII étant chacune représentée sous 3 formes équivalentes, selon la transformation Pu (permutation

« 

de l’opération uninaire), tandis que cette même transformation Pu donne lieu à des expressions non équivalentes au sein de la famille IV e), il y a donc 48 expressions I-VI (dont 16 distinctes) à mettre en correspondance avec les 24 opérations IV e). Mais à chacune de ces 48 expressions I-VI correspondent deux opérations IV e), l’une appartenant à la sous-famille dont l’opération composée est une disjonction (ou une incompatibilité ou leurs inverses), l’autre à la sous-famille dont l’opération composée est une implication. Par exemple à I 4 p. (g.r) peut correspondre soit IV 66 [p = (g.r)] soit IV 27 [f = (p. g)] c’est-à-dire [p = (q ∨ r)] ou [r = (p > g)].

II. D’autre part, toute opération IV e) sous sa forme uninaire-binaire, peut être soumise à la transformation Paa. (permutation des opérations composante et composée) : elle aboutit alors à une opération appartenant à la famille II-VI a). Mais, étant donnée la multiplicité des formes équivalentes de chaque expression uninaire-binaire IV e), cette transformation de IV e) en II-VI a) ou réciproquement ne donne lieu à un groupe que si l’on adopte une forme bien déterminée pour les opérations de départ. Par exemple IV 5 [p = (q v r)] donne selon Paa [p ∨ (g ^{= r})l c’est-à-dire [p/ (q w r)] VI 26 mais l’inverse de IV 5, soit IV 66, écrite sous la forme [p w (q v r)] donne [p ∨ (g w r)] c’est-à-dire [p | (g = r)], qui est l’opération VI 25 et ne constitue pas l’inverse de VI 26. Par contre, si l’on conserve l’équivalence positive (=) comme opération composante, et si l’on adopte uniformément la conjonction (.) et son inverse (|) comme opération composée on obtient :

(149) (I) IV 5 [p = (q. f)]⅛ [q = f] 1125 (I)

Paa

(N) IV 66 [p  =  (q I f)] > [p |  (q  =  f)] VI 25 (N)

(R) IV 35 [p  =  (q . r)] → [p . (q  =  r)] II 3 (R)

(C) IV 36 [p  =  (q |  r)]→ [ [p] ∣ _(q  =  _r)]VI ₃ (C)

Il en ira naturellement de même avec toute autre écriture

conservant une même opération composante et attribuant à

l’opération composée un couple de significations directe-inverse ; par exemple :

(150) (I) IV 5 [p = (q 3 r)] → [p 3 (q = r)] ≡ [p 3 (q VV r)] VI 3 (I) ip A ry

(N) IV 66 [p = (q 3 r)]  > [p 3 (q = r)] ≡ [p . (q = r)] II 3 (N) Pa_α

(R) IV 35 [p = (q 3 f)[  > [p 3 (q = f)] ≡ [p 3 (q VV r)J VI 25 (R)

JP A’Y

(C) IV 36 [p = (q 3 f)] √P3(q = f)]≡[p . (q = r)] II 25 (C)

Mais comme on le voit, ce second groupe, tout en comportant les mêmes transformations I, N, R, C et Paa que le premier, n’aboutit pas aux mêmes produits : bien que [p = (q 3 r)] soit (équivalent à [p = ÿ.r)], puisque tous deux signifient [p = (q ∨ r)], la permutation Paa donne II 25 dans un cas et VI 3 dans l’autre : c’est que la permutation de (=) et de (.) est distincte de la permutation de (=) et de (s), bien que la combinaison de ces deux couples (=) et (.) ou (=) et (3) fournisse des expressions équivalentes du quaterne IV 5.

III. On peut donner aux opérations IV e), par transformation des expressions (124 bis), une forme binaire-binaire dont l’opération composante est l’équivalence (=) et dont les opérations composées sont l’équivalence (=) et la conjonction (.) ou son inverse (|). Par exemple :

(151) IV 5 [p = (q V r)] ≡ [(p = ¾= (q.r)] ≡ [(p = q) = (q | f)] IV 66 [p  =  (q . f)] ≡ [(p = q)  =  (q.r)] ≡ [(p = q)  = (q  | r)]

IV 26 [q  =  (p 3 r)] ≡ [(p = q)  =  (p. r)] ≡ [(p = q)  = (p  | r)]

IV 17 [p  =  (q 3 r)] ≡ [(p = q)  =  (q.r)] ≡ [(p = q)  = (q  | r)]

IV 40 [q  =  (p  |  r)] ≡ [(p = q)  =  (p. f)] ≡ [(p = q)  = (p | ?)]

Etc.

Or, il suffit d’appliquer à ces expressions binaires-binaires (151) la transformation Paβ (permutation de l’opération composante (=) et de la seconde opération composée (. ou |) pour obtenir les 4 4- 4 opérations de la famille II-VI c) :

Les opérations £ Z K £

II-VI^comportent « « 

chacune 3 formes 1 g « 

q ^ ^ ^ équivalentes selon SS

E la transformation 17 17 1 ?

<o CO CO CO .

g g g g ^Pm (pe^rmutatιon  +  1 _c<

^m  >  *^^l  >  du moyen terme). — N — 

£ £ £ £ D’où (4 + 4) × 3 ≥ ≥ £ E

=24 opérations. g ? j|"

S E S S Les 24 opérations E ∣ ⅛ A ⅛ eu 1111 IV e) demeurent £ " " 7 : τ∙

f tr o* c . ,. .. ⅛ m c -C

≥ ≥  >   >  P^ar contre distinc-  >   >  — 

_ _ _ tes selon Pm. Cha- S S E E

ï ï ï ï ^{que opération π}^ 5 II § Il

VI c) correspond a ,⅛ _a c.

17 17 17 »7 donc 4 _{une 0}p⅛_ra. “ “ “ “

Il UonIVe>.  >   >  S ≡

S ≡ 3 ≡ IV. Quant aux “ ≥ “ ≥

+ Q -g) relations entre les £ £ £ ⅛

|| || || || 24 opérations IV e)

3 E E S et les 48 opérations £ Z £ £

⅛‰7coT<_aT III-V a) elles sont _r< 1 « X

∣S I ⅛ | ⅛ | ⅛ I naturellement as- _M 1 E

£ £ £ £ surées grâce à la SS

• — • — permutation P.— £ £ £ £

E S S S ou P \ w. Comme  >  * — — 

Il II II II chaque opération "E — E" — 

∣tf ∣σ, c w IV e) est suscepti- ∙ ⅛ ,o. £ ∣≥

Il II II II ble de deux exprès- g II î 5 ↑ Il ∣ £ ’

£ S ê sions équivalentes I ⅛’ ‰ £

S £ S p = (q ∨ r) et pw |

p> > > (q ∨ r), il s’ensuit  >  21

une correspondance σ E E E

£ £ £ bi-univoque avec II 5 II 5

eî les 48 opérations _λ <¾ ∣⅛ ∣¾

r- III-V a) : m to iλ o

^z co co co

~  >  ≥ ≥ ≥

CO _ _

e £ £ £ S

LA TRANSFORMATION DES FAMILLES llî

On voit ainsi que la forme II des opérations IV e) aboutit, une fois transformée par la permutation P.= à une expression III-V a) qui est la NRg du produit de la forme I :

(153 bis) [p | (q V r)] = NRg [q V r] ; etc.

(Voir le tableau 105.)

V. Les opérations IV e) étant ainsi transformables en III- V a) selon la permutation P. = et les opérations III-V a) étant elles-mêmes transformables, sous leur expression binaire-binaire, en opérations IV f) selon les transformations Ra ou Λβ, etc. (voir tableau 129), il s’ensuit que les opérations IV e), sous leur forme binaire-binaire, sont à leur tour transformables en éléments IV /7 selon la permutation P.= appliquée à l’opération composée a. Le produit de la transformation est alors l’opération IV /7 sous sa forme d’équivalence (voir tableau 125). On a, en effet :

(154) (I) IV 5[(p = q)=(q.r)]5^[( [p].q) = (q.r)]IV34 (I) P I W a

(N) IV 66 [(p = q) W (q.r)] — 1  > [(p. q) W (q.r)] IV 37 (N)

(R) IV 35 [(p = q) = (q. r)] [(p. _q) = (_q._r)] IV 9 (R)

P I W a

(C) ΓV36 [(p = q) W (q.r)]— >■ [(p. q) W(q.f)] ΓV62 (G)

Or, si l’on compare ces transformations (154) aux deux transformations (153), on constate ce qui suit (en recourant au tableau 129) :

1° Les deux opérations III-V a) engendrées par la transformation P.—   des formes I et II d’une opération IV e) sont, l’une par rapport à l’autre, si on leur donne leur expression binaire-binaire, dans la relation NPaβ (la négation N provient du fait que la forme II est négative quand la forme I est positive, et réciproquement). Par exemple :

(155) V 53 [p | (q V r)] ≡ [(q ₃ p).(p ∣ r)] ≡ NPαβ III 1 [(p | q) | (r j p)] ≡ [q vr], etc.

2° Le produit IV f) de la transformation P.= (a) d’une opération IV e) soutient avec les produits III-V a) de la transformation P.= de cette même opération IV e) une relation Pab (ou Pbc, etc.) parce que le moyen terme de la forme binaire- binaire d’une opération IV e) ne correspond pas à l’opération.

uninaire de la forme uninaire-binaire de cette opération, relation jointe à Rα, Rβ, R, etc., selon les cas. Par exemple :

(156) IV 34 [(p. q) = (q.r)] ≡ [(p ) q).(q ∨ r)] ≡ RPab V 53 l(q y p)∙(p I r)] ≡[p∣(qv r)l Etc.

I. Les 6 opérations IV c), de forme p = q [r] et les 6 opérations IV d) de forme p. (q*f) peuvent d’abord se transformer les unes dans les autres par permutation Paa appliquée à IV c) ou à la forme p [q = r] de IV d). En effet, une expression telle que p. (q * r) équivaut à 1’« affirmation de p par rapport à x » [symbole p [τ] = (p. x) v(p. *)) où x est l’une quelconque des 16 opérations binaires reliant q à r. Par exemple :

(157) p. (q*r)≡p[q . r]≡p. (q . r)vp.(q | r)

p. (q * r) ≡ p [q ∨ r) ≡p. (q ∨ r) ∨ p. (q . f) p. (q*r)≡p[q = r]≡p. (q = r) vp.(q wr) Etc. ♦

Or, il va de soi qu’entre l’opération p = q [r] (IV c) et l’opération p [y = r] (IV d) il existe un rapport de transformation possible, déterminé par la permutation Paa. (permutation de l’opération composante et de l’opération composée) :

(158) (I) IV 15 p = q [r]→p [q = r] ≡ [p . (q * r)] IV 1 (I)

Paa

(N) IV 56 p = q [r]  > p [q = r] ≡ [p  |  (q ♦ r)] IV 70 (N)

(R) IV15p = q[r]→p[q = r]≡[p  |  (q * r)] IV 70 (R)

(C) IV 56 p = q [r]→ p [q = f] ≡ [p . (q * r)] IV 1 (C)

Ce groupe est particulièrement intéressant au point de vue

des transformations opératoires car, dans lè cas des opérations IV c) on a R = I et C — N et dans celui des opérations IV d), on a au contraire R = N et C = I. Or, on constate qu’en inversant IV 15 p = q [r] en p = q [r] et en écrivant les réciproques (R pour Z et C pour N) sous leur forme complète, c’est₇à-dire en inversant le signe des propositions la transformation Paa. donne effectivement R = N pour IV 70 et C = I pour IV 1. Quant à

l’inversion de p = q [r] en p w q [r] la transformation Paa donnerait p [g w r] qui équivaut à p [g = r] : le groupe n’est donc possible qu’en conservant pour les IV c) l’opération composante (=). Cette condition respectée, les 6 opérations IV c) et les 6 IV d) forment donc un seul système dont les transformations sont I, N (2) × Pu (3) × Paa (2) = 12 éléments.

IL Les 6 opérations IV d) sous leur forme p = (g ♦ r) et p. (g * r) sont respectivement transformables en opérations 0- VIII selon la permutation Paa et en opérations I-VII selon la permutation P .* appliquée à l’opération composée (a) :

(159) (I) IV 1 [p = (q » r)] → [p ♦ (q = r)] VIII (I)

Paa

(N) IV 70 [p = (q * r)] √pi(q = r)] O (N)

Paa

(R) IV 70 [P = (q * f)]=→ [p * (q = f)] VIII (R) Paa

(C) IV l[p = (q*f)] Hp*(q = 0]O (C)

En effet p = (q* r) = (p. o) ∨ p.(g * r) = IV 70 et (♦) = 0. D’autre part (q * f) = (q * r). Ce groupe donne donc à nouveau (comme 158) l’exemple d’un entrecroisement des R = N et des R = I. On a, d’autre part :

(160) (I) IV 1 [p . (q * r)] ^P’*⁽-^a)> [p . (q.r)] Il (I)

(N) IV 70 [p |  (q ♦ r)] 5j±l [ [p] ∣ (_q._r)] VII 1 (N)

P *(α)

(R) IV 70 [p . (q * f)] U [p . (q. f)] I 8 (R)

(C) IV 1 [p I (q * f)] 5≤^α2 [p |  (q.ï)] VII 8 (C)

Les réciproques (R pour I et C pour N) doivent être écrites de façon complète (avec changement de signe de toutes les propositions), bien que q * f = q * r.

III. Les 6 expressions IV c) donnent naturellement, par permutation P. = appliquée à l’opération composante (a), les 12 + 12 opérations II-VI b). On a, en effet, {p = q [r]} ≡ jp = q [r]}, tandis que II 1 p. q [r] est une opération distincte de p. q [r] II 28 (R de II 1). D’autre part p = q [r] équivaut à p w g [r] tandis que p. q [r] est distinct de p | q [r]. D’où, 12 + 12 opérations II-VI contre 6 opérations IV c). On a alors :

On voit que deux

” £ £ ⅛ opérations IV c) cor-

S 3 S respondent bien à

_ « >→ « 8opérationsII-VI ô). S g g g

… A ^l~^l, IV. Donnons m _{loo o}

h £. h Δ • maintenant aux opé- « _ _

* T ’5 rations IV c) une A ~ ~

c, m a a forme binaire-binai- σⁱ w σ σ>

⅛ S 3 3 re, qui sera : 5 5 § $

≥ Il > 7 ô ô ô

E I — ^ll∙ - ^ll. (162) |p = q [r]∣ ≡ -

⅛ ⅛ ‰ ‰ Λ ∣p[r] = q[r]∣ “ “

Ξ Ξ Ξ Ξ ≡I(p=γ) = Λ 1 A I

cr tr >⊂r ∣_σ^ι (q ≈ r)} g C »? »?

5 II 5 II 5 S s g

•a Kl a a Si nous appli- Il § || $ m co lo g quons à l’expression t ? C *? »?

>  >   >   >  [(P = r) = (y = r)] g g g g

hh hh « hh ]_es transformations 77777^7+*

« Z 7 u Nd et N g, nous obte- ⅞ ⅞ ⅛ ⅜

^s*" nons simplement N. Il > Il

_th 00 ∞ ^si P^{ar contre nous} 7 7 7 7

« « 2 « substituons (.) à (=)

*^^d ≥ ^m ≥ dans les deux opé-

Ξ Ξ Ξ Ξ rations composées, _crcrκr ,5

T î ^sα*^t P∙≈(°Φ∖ nous ï ⅞ ï ⅞

a a ∣a ∣⅛ transformons [(p=r) 7

8 8 3 S ⁼ (? = ^r)] ^en [(P∙^r) || || || ||

-, n ¾ || 5 ≈ (?-01 qni est une _ft0u ,_ftιeu

i I ‰ 7 Λ ‰ expression équiva- “ “ “ “

c lente de r | p w q) ^mτ∏>o

⅛ 7∣ appartenant donc à ≥ ≥ ≥i ≥

|| 5 || 5 la famille II-VI a). g g g g

o. a ≤‰ m On a alors : 7

U5 « O WJ CO ∞

TH LO rH LO ^cβ

>  >   >  >

HM H-( HH h— f

g g g- g

/-H ? ▼M- CO v— i x— z

D’autre part, la même transformation P.= appliquée à l’opération composante (d) aboutit aux éléments de la famille II- VI c) :

(164) (I) IV 15 [(p = r) = (q = r)] Zl≤⅛- [(p = r) . (q = r)] II 7

P∣w(a)

(N) IV 56 [(p = r) W (q = r)] — U [(p = r)  |  (q  =  r)] VI 7

(R) IV 15 [(P = f)  = (q = r)] [(p = f) . (q  =  f)] II 7

P I W (a)

(C) IV 56 [(p = f) w (q = f)] L  < [(p = f)  |  (q  =  f)] VI 7

Dans les deux cas, on a donc R = I et C = N. On se rappelle

(§ 19) que la famille II-VI c) comporte 8 formes distinctes, dont deux comportant deux opérations composées (=) et 6 comportant deux opérations composées (w). On peut de même écrire chacun des 3 couples d’opération IV c) sous deux formes équivalentes, telles que [(p = r) = (q = r)] et [(p w r) = (p w r)J. Il en résulte que les 3 couples IV c) correspondent soit,à II 7 et VI 7, soit à l’un des couples II-VI 12, 16 ou 19 : il y a donc bien ainsi correspondance entre les 6 opérations IV c) et les 8 opérations II VI c).

V. Appliquons maintenant la transformation P.= à l’une seulement des deux opérations composées a ou β : on transforme alors de ce fait les 6 opérations IV c) en 24 opérations IV e) ! En effet :

4

P =(α) ^m∙

(165) (I) IV 15 [(p = r) = (q = r)] U [( [p] . r) = (q ≡ r)] ≡ [q = (r 3 p)] IV 13 (I) S

PI W (a)

(N) IV 56 [(p w r) = (q = r)] ¹H [( [p] | r) = (q = r)] ≡ [q W (r 3 p)] IV 58 (N) _s

(R)IV15[(p = r) = (q = r)]H≡H[(p. f) = (q = r)]≡[q = (p 3 r)] IV 45 (R) S

P I W (a) ⅛

(C) IV 56 [(p W r) = (q = f)] — U [(p | f) = (q = f)] ≡ [q = ( [p] > r)] IV 26 (C) $

O et ⅛

p — fβ) ⅛

(166) (I) IV15[(p = r) = (q = r)]-^[(p=r)=(q.r)]≡[p = (r 3q)]IV 8(1) £

P∣W(β) 2

(N) IV 56 [(p = r) = (q W r)] — _[(p = r) = (q ∣ (r] ≡ [p W (r 3 q)] IV 63 (N) S

P. = (β) ⅛

(R) IV 15 [(p = f) = (q = f)] → [(p = r) = (q . f)] ≡ [p = (q 3 r)] IV 54 (R) ⅜

P∣w(β) b

(C) IV56[(p = f) = (qWf)]-! →[(p = f) = (q∣r)]≡(pw(q) r)] IV 17 (C) ⅛

⅜

Mais on a aussi : g

P∣W(α) ⅛

(167) (I) IV15[(p W f) = (q  =  r)] — U [(p  |  r) = (q = r)] ≡ [q = (p V r)J IV 12 (I) to

(N) IV 56 [(p = r) = (q  =  r)]-^rl≤^al ((p . f) = (q = r)] ≡ [q w (p vr)] IV59 (N) H

P I W ( a) O

(R) IV 15 [(p W r) = (q  =  f)] — ► [(p  |  r) = (q = f)]≡[q = (p ∣r)]IV31(R) ⅛

(C) IV56[(p = r) = (q  =  f)]^Ξ^[(p  =  r) = (q = f)]≡[qW(p ∣r)]IV40 (C) _k £

© et ζ

(168) IV15[(p = r) = (qwf)]^m≡[(p = r) = (q∣f)] = [p = (qvr)]IV5 § 

Etc. g

On constate alors que si l’on traduit les formes binaires-binaires de la “ m famille IV e) en formes uninaires-binaires

2 (traduction fondée sur la distribution D), ___ __

> les produits des permutations P. = (a) a w

_ — et P. = (β) ainsi traduits sont, pour une c eu

> £ même opération IV c) de départ, dans II II

eu cr une relation Pu : par exemple IV 15 — ~

^s-^{z 1} III 91

|| || donne q — (r ) p) pour P,  = (a) et ^l" "^l

2 a p = (r 2 q) pour P.= (β), ce qui équi-

III (|| vaut à une permutation de q et de p ; ∣∣ *

” ^ dθ même IV 15 sous ses formes [(p w f) ’-^z

||  = (q = c)] et [(p = r) = (g w f)], donne

σ σ q = (p ∨ r) pour P | w (a) et p = (g ∨ r) ^l7

p । pour P | w (β), ce qui équivaut à nou- p, eu

veau à une permutation de g et de p — — r, || au sein de g = (p ∨ r). On peut donc J S

a a écrire : || ||

(169) D (P. = (a)] = PuD (P. = (β)] ⅛

où D signifie le passage de la forme bi- ** ^,

eu eu naire-binaire à la forme uninaire-binaire £ ’

tr CT ^ ^ et Pu la permutation de l’opération γ γ

y y composée uninaire. X

oj σ Notons enfin que si l’on applique à y y l’opération IV 15 (p = r)  =  (q  = r)Ues _ft

^ transformations P 2 = (a) et P 2 = (β), — — 

|| || on trouve les mêmes produits qu’en (167) X J,

a a et (168) (voir (170)). ≡ -

•— < u_. cr cr

s S II II

> >  ^ft

HH >— I 10*0

® La permutation Pu (prop. 169) joue >

^s-" ® donc également dans le cas des transfor- ”

mations P 2 = (a et β). £

Par contre les permutations P ♦ =  ⅞

(a et β) transforment la famille IV c) en elle-même :

C’est alors la transformation P ♦ = elle-même qui engendre une permutation Pu tandis que son application à (a) et à (β) ne produit qu’une permutation q [p] en p [ç].

I. Les deux opérations IV 29 [p = (q = r)] et IV 42 [p w (y = r)] de la famille IV b) sont d’abord transformables par substitution P. = dans l’opération composante (a) dans les 12 + 12 opérations II-VI a). On a, en effet :

p __ ∕_a∖

(172) (I) (p = (q = r)] — VJ [p . (q = r)] Il 3 P I w (a)

(N) [p W (q = r)] 4 [P I (q = r)] VI 3

(R) [P = (q 01= [p . (q = r)] II25 P I W (a)

(C) [p W (q = 01 -L— LJ [p 1 (q = r)] VI 25

P I W (a)

et (I) [p W (q W r)] 4 [p  | (q W r)] VI 8

(N) [p =  (q W r)] ^P’~H [p . (q W r)] II 8

(R) [p W (q W 01 Z1ÏÏ4H [p  | (q _{w r})] VI 26

(C) [p =  (q W f)J — ¾ [p . (q W r)] II 26

Les deux seules opérations IV 29 et IV 42 mises sous deux formes équivalentes engendrent ainsi 8 opérations II-VI a) distinctes. D’autre part en permutant l’opération uninaire (Pu) on obtient 3 jeux équivalents d’expression IV 29 et IV 42 et 3 jeux non équivalents d’opération II-VI a) : d’où 3 × 8 = 24.

IL En appliquant maintenant la permutation P.= à l’opération composée (a), on transforme IV 29 et IV 42 en 24 opérations IV e) :

)

P. = (α)

(173) (I) [p ≈ (q  =  r)] [p = (q.r)] IV 35

(N) [p W (q  =  r)] ^p’~^^g→ [p W (q.r)] IV 36

P = (a)

(R) [p  =  (q . f)] U- [p = (q.f)] IV 5

(C) [p W (q . f)] — → [p W (q. ï)] ΓV 66

et (I) [p = (q W f)] ^P|W(a)> [p = (q | f)] IV 17

P I W ( a)

(N) [p w (q W f)] — ! → [p W (q | f)] IV 54

(R) (P = (q W r)] Z15X⁰2 [p = (q | r)] IV 63 P I W ( a)

(C) [P W (q W r)] — ! → [p w (q | r)] IV 8

On a à nouveau 8×3 (Pu) = 24 opérations IV e) issues des deux seules opérations IV 29 et IV 42 sous deux formes équivalentes.

III. La transformation P = * (a) donnera naturellement les C opérations IV d) : *

(174) (I) [p = (q = r)] ^P * ~ ^(g-l [p = (q * r)] ≈ [q ♦ r] IV 1 (I) (N) [p w (q = r)] ^P * ~ ^^g→ [p W (q * r)] ≡≡ [q * r] IV 70 (N) P * = (œ)

(R) [p = (q = 0] ^l→ [p = (q * f)] ≡ [p∙(q * r)] IV 70 (R) P * =f(a)

(C) [p W (q = f)] — 4 [p W (q * f)] ≡ [q * r] IV 1 (C)

On remarque que le couple d’opérations IV 29 et IV 42, dans lequel on a R = I et C = N, se transforme ainsi en un couple IV 1 et IV 70, dans lequel on a au contraire R = N et C = I. Il suffit de multiplier cette transformation par 3 (Pu) pour obtenir les 6 opérations IV d).

IV. Il suffît enfin de combiner les transformations (173) et (153) pour transformer les deux opérations IV b) en 48 opérations III-V a) :

(175) (I) [p = (q W r)] — ⅛, [p . (q | r)] III56 (I) et (1) [p W (q W r)] ^P- -⁰V-l [p | (q | r) V 22 (I) P (fl y\

(N)[pw(qWr)]- Ll-t[p ∣(q∣r)] V 56 (N) (N) [p = (q W r)] 1 → [p . (q | r) III22 (N)

p — ∕_aα∖

(R)[p = (qWf)l- — → [p ∙ (¾ | f)] III 1 (R) (R) [p W (q W f)] → [P I (q | f) V53(R)

P ’—   fa oô

(C) [p W (q W f)] — — → [p I (q I f)] V 1 (C) (C)[p=(qWf)] ► [p . (q | f) III 53 (C)

On a aussi :

(175 bis)

(I)[p≈(qWf)]^≤⅛(p. (q∣r)]III 7(1) et (I) [p = (q W r)] l^≤⅛p . (q | r)J III 2(1)

(N)[pw(qWf)] * [p I (Q I ï)] V 7 (N) (N)lpw(qwr)] * [p | (q | r)] V 2 (N)

(R) IP = (q w r)J → [p . (q | r)] III 54 (R) (R) [p = (q W f)] ► [p . (q | f)] III 55 (R)

(C)∣pw(qwr)] √P∣(q∣r)] V54 (C) (C)[pw(qwf)]  > [p I (q 10] V 55 (C)

Les deux opérations IV 29 et IV 42 engendrent ainsi par double substitution P.= ou P|w ; dans l’opération composante (a) et dans l’opération composée (a), 16 opérations III-V a). Il suffît maintenant de répéter cette transformation selon Pu pour obtenir 16 × 3 = 48 opérations distinctes III-V a), tandis que les deux opérations IV b) demeurent équivalentes à elles- mêmes lors de la permutation de l’opération uninaire.

Les transformations (175) et (175 bis) ne sont naturellement possibles qu’au cas où l’opération composée (a) est (w). Si elle est (=) la permutation de (=) en (.), jointe à P. = (a) ou à P | w (a) donne, il va de soi, les 8 + 8 opérations I-VII. Mais il est inutile de développer cette dernière transformation.

On se rappelle qu’il existe deux familles dont les opérations ne peuvent être mises sous forme uninaire-binaire ou binaire- binaire simples, car elles requièrent un mode d’expression uninaire-binaire double : ce sont les familles IIIc)etIVα) composées respectivement de 8 + 8 et de 8 opérations. Il est donc particulièrement instructif, du point de vue de l’analyse des mécanismes opératoires, d’étudier les transformations de ces deux familles.

I. Il est tout d’abord possible de transformer l’une des deux familles dans l’autre, malgré la différence apparente de leurs formes respectives. Cette transformation, qui peut paraître au premier abord assez laborieuse, se réduit, en fin de compte, à quelque chose de très simple. Pour mieux la comprendre rappelons que les 4 opérations IV 2, 32,18 et 7 comportent 4 inverses IV 69, 39, 53 et 64, qui sont en même temps leurs réciproques ; - les 4 opérations III 23, 19, 14 et 13 ont au contraire 4 réciproques distinctes (III 50, 26, 33 et 43), ces 8 opérations III c) correspondant d’autre part à 8 inverses V c). Mettons maintenant les 4 opérations IV 2, 32, 18 et 7 et les 4 opérations III 23, 19, 14 et 13 (voir les tableaux 114 et 112) sous des formes comparables pour déterminer en quoi consiste leur transformation (— ►) :

^M S ? “ ^r* g θ^{n consta}t^e alors

>>>>■_ > que la transformation ^M co S ^c’ . 7 7 5, 7 des opérations III c) en  >   >   >  >

Sac* 77 → s ? opérations IV a) ou vice © _α> _oo

^ ^{o rι} 2 λ versa consiste : -π τs -o τ□

A 7 A — 7 1° Pour la première Ê Ê £ £

≤ ±, S^* !⅝ opération uninaire-bi- S ® S S

7 7 7 7 7 naire (que nous nom-  >   >   >  >.

77 — — ^* ^H merons UB I) à nier A A A A

SS ⅛ ô^→ 5 l’opération uninaire x a &i

7 ~ ~ — (soit Nx) et à permu- ^r’ ^ ^ ^r’

777 7 “ ter l’équivalence (=) et 7 ⅛ A 7

g I I I I l’incompatibilité (soit er σ, ⅛ ⅛

V l ? a σ>→ -s P | =) ; fl, fl, fl, fl,

„ 2° Pour la seconde 7 7 7 _

ÔSSt"* h, opération uninaire-bi- S 5 ⅛ S

e ∣r ,μ ∙⅛→ 7 naire (que nous nom- 7 7 7 7

fl 7 fl, 7 7 merons UB II) à per- “ “ “ “

777 7"* 7 muter (x y z) et (z y x). J î J X

A ⅛ ô^-*" .⅛ Soit : a ∣⅛ ∣Bⁱ

^{11 il l}∣ " ¹¹ (177) 2 2 & &•

CL ∣CL ∣σ< ∣n → ⁷ O- O 77 77

7777 7 [∏I(c)-÷ (IV (a)] =  7 7 77

y, j(Nx+P | — ) UB 1} +  “ 7 “ 7

H Ξ Ξ S Ξ ∣I^p (^χ y z) • (z y χ)] fa’is ; 9 UB II} 5 S Ô

<o o Si nous passons

r*∙ ï> . ∙^r , ∣7 7 b

0 0 maintenant aux réci- *— — — • — 

proques, nous consta- ^222

tons que la transfor- _wMM _

mation est la même (voir (178)). _MMM

x ω ω ω q

’O T5 t5 _λ

On note seulement que la transformation g ⅛ ⅛ p*

de (x y z) en (z y x) figure ici sous la forme o « m m

1O n M (z y x) — >■ (f 3 x), qui lui est équivalente _

(contraposition). _m ∏∏

Quant aux inverses, il va de soi que les ∞

transformations sont les mêmes : il suffit de 0

remplacer dans les tableaux (176) et (178)

l’opération composante (. ) par sa négation ( ∣). ⅛ +1+ +

Mais, tandis que les inverses des opéra- £ sésé

tions III c) sont distinctes des réciproques >.  > > > >

(les N sont d’ordre V et les R d’ordre III), ^l",

on a, au contraire, dans les opérations IV a), â ’^cT ^κT T

N — R, soit :  |  ÔÔÔÔ

κ > > > >

<179) [P | (q | r)] | [q | (r 2 p)] ≡ [p | (q ∣ f)].  | |

r i ✓ - \ -i a ¾j “ σ< , w ζ>

[q I (P 2 r)] ; etc. £

w ^> > >

Il y a donc correspondance bi-univoque e

entre les 16 opérations III-V c) et 16 opé- ~ <> σ, tr ÷

rations IV a) dont 8 seulement sont dis- ⅛ Sôôô

^z ⅛ ü ü ü ü

tmctes, et cette correspondance est, en o « ∞ r-

chaque cas, assurée par la transforma- ”

tion (177). ≥ ≥ £ ≥

Mais en quoi consiste cette transforma-

tion complexe, qui fait intervenir, du moins ^μ! ^tl * *:

pour la seconde opération uninaire-binaire ^t5 T ^ltT ^tf

∣C‰ iQh ∣Pm c¼

(U B II) la permutation inusitée d’une non-

implication en une incompatibilité ? Si l’on -3 £• £ £ £

se reporte à la remarque faite à propos des  + 0, + ∣0,

propositions (138) et (138 bis) (ainsi que 141) ^κ, à £ à à

— remarque que nous eussions pu répéter § I > > > S

à propos de chacune des transformations ¾

étudiées en ce chapitre — on est en droit ⅛ ^cΓ ^tT ^tT ^cΓ

de supposer qu’une telle transformation ^o êâââ

revient simplement à ajouter ou à retran- m o m

cher certains trios au sein des formes nor- g

males correspondant aux expressions trans- H 5 H H

formées l’une dans l’autre. Or, à comparer ces formes normales, on s’aperçoit qu’elles

ne diffèrent précisément que par l’adjonction ou la suppression d’un seul trio (mis en italiques dans le tableau (180)).

Dans le cas des réciproques R le trio additionnel en IV a) est naturellement le réciproque de celui du tableau (180) : (p. q.f) pour IV 69 comparé à III 50 (parce que l’on a p. g.r en IV 2 comparé à III 23), etc. Quant aux 8 opérations inverses d’ordre V

elles comportent chacune un trio de plus que les 8 opé- £

rations IV a) : or, ce trio additionnel est naturelle- ⅛

ment le même que celui dont on vient de constater £ l’adjonction dans le passage de III 23 à IV 2, ou >

de III 19 à IV 32, etc., mais il est ajouté cette fois £

à l’inverse de l’opération IV a) correspondante. Par ^|:?

exemple IV 69 (inverse de IV 2) requiert l’adjonction ""

de (p. q.r) pour être transformée en V 23 (inverse £ de III 23) ; de même IV 39 (inverse de IV 32) requiert l’adjonction de (p. q.r) pour être transformée en V 19 ₁*

(inverse de III 19). E E

Il est alors facile de calculer la composition de ce 17 17

trio supplémentaire, en partant de la transforma- >>

tion (177) et en se reportant à la forme complète de £ E

cette transformation (prop. 176 bis). Le trio addi- >

tionnel est, en effet, simplement le produit de (Nx +  ^N. ^N.

P I =) UB I, c’est-à-dire de la transformation de *7 •

K K

[x = (y | z)] en [χ | (y | z). Il suffit, à cet égard, de E

calculer ces deux expressions pour constater que la ^

seconde comporte, en plus de la première, le trio

(.τ.y.z) : £ £

(181) ⅞ ⅞

[x = (y | Z)] ≡ [(x.y.z) ∨ (x.ÿ.z) ∨ (x.ÿ.z) ∨ (χ.y.z)] √₁ >,

[x | (y ∣ z)] ≡ [(x.ÿ.z) ∨ (x.y.z) ∨ (x.ÿ.z) ∨ (x.ÿ.z) £ Ê

v (x.y.z)

Et, effectivement, si l’on compare le tableau (180) * *

au tableau (176), on constate que le trio additionnel x _N

est, en chaque cas, égal à (x.y.z) (en tenant naturel- lement compte des signes que x, y et z présentent “ “

en chacune des opérations du tableau 176). £

_ _ -o

Quant au rapport entre y | (x ) z) et y | (z 3 a), on a (181 bis). £

Ce rapport revient donc à soustraire les deux derniers trios de ÿ | (x 3 z). Mais, comme ils sont déjà écartés, dans les expres- sions III c) elles-mêmes du fait de la conjonction de ÿ | (x 3 z)

avec x = (y | z), seul le rapport (181), intervient dans la transformation des opérations III c) en IV a).

IL Quant aux autres transformations de la famille III-V c) on peut naturellement la transformer en opérations I-VII, par négation de la seconde opération uninaire-binaire : p | (q.f) niée en p. (q.f), etc. Mais il est plus intéressant d’examiner la transformation de cette même famille dans les 48 opérations III-V a). Il suffit, en effet, d’appliquer à la seconde opération uninaire- binaire (UB II) la transformation Nh (ce que nous noteronsNh II) pour obtenir une opération III-V a) (voir (182)).

Il en est ainsi des 8+8 opérations III-V c), lesquelles multipliées par les 3 permutations Pu donnent bien 3 x 16 = 48 opérations III-V a).

Or on voit l’intérêt de ces compositions. La partie de droite du tableau (182), c’est-à-dire le produit des transformations Nh II peut, en effet, être mis sous la forme suivante, en traduisant chacune des expressions uninaires-binaires par son numéro d’ordre dans la table des opérations (233) et en appelant x l’opération IV 35 et y l’opération V 1 (cf. § 34) :

(183) (I) (IV 25) . ( V 1) ≡ (III 56) (I) soit (I) x.y ≡ Cy (I)

(N) (IV 36) V (III 1) ≡ ( V 56) (N) (N) Nx V Ny ≡ Ry (N)

(R) (IV 5) . ( V 56) ≡ (III 1) (R) (R) Rx . Ry ≡ Ny (R)

(G) (IV 66) V (III 56) ≡ ( V 1) (C) (C) Cx V Cy ≡ y (C)

Chaque colonne de ce tableau (183) exprime donc les rapports INRC, tandis que les lignes horizontales traduisent cette propriété générale que si x.y = z alors x yÿ = X et si x y y ≡z alors x.ÿ ≡ z. Il s’y ajoute que, dans le cas particulier, z ≡ Cy, donc z ≡ Ry, Rz ≡ Ny et Cz ≡ y.

III. Si les opérations III-V c) peuvent être transformées en III-V a), les opérations IV a) peuvent de leur côté être transformées en la famille IV j), proche parente de III-V a). Il suffit, pour ce faire, de permuter les opérations composées UB I et UB II (ce que nous écrirons Pαβ I-II ou plus brièvement Paβ) et de nier l’opération binaire de UB II (ce que nous écrirons Nd II) (voir (184)).

X

On peut de même passer directement de IV a) à III-V a), mais il est inutile d’insister.

IV. Enfin les opérations IV a) sont susceptibles d’une série d’autres transformations dont nous nous bornerons à mentionner les deux suivantes. En premier lieu, les transformations N h 1 ou N h II conduisent de IV a à IV e) :

(185) IV32[p|(_q|r)]._[q|(p|r)]N_LJfqr)][.₎₍._|r)l≡ [q = (r C p)] IV 13’

IV 32 [p | (q | r). [q | (p | r)]^H [p I (q I r)].[q | (p . r)I ≡[p = (q.r)] IV 35

En second lieu la substitution de (=) à (.) comme opération composante a) conduit de IV a) à II-VI a) :

P. = (a)

(186) IV 32 [p I (q I r)].[q | (p | r)] U ∏p ∣ (q | r)] = [q [ (P I Γ)]∣ ≡ [r.(p = q)]

On voit que la forme complexe de ces expressions III-V c) et IV a) ne les empêche nullement de rentrer dans le cycle général de transformations de famille à famille.

Les 48 opérations de la famille III-V b) (la seule d’ordre III-V que nous n’avons pas encore examinée ici) sont de forme (p — q). (q ∨ r) ou (p = q).(q 3 r) et donnent lieu aux transformations habituelles des formes binaires-binaires.

I. La permutation de l’opération composante (a) avec la première opération composée (a), c’est-à-dire (=) ou(w), donne les 24 opérations IV f) :

(187) (I) III 5 [(p = q) . (q V r)]^ [(p . q) = ($ V r)] IV 9 (I) Paa

(N) V 5 [(p = q) [(q ∨ r)l * [(p | q) = (q ∨ r)J IV 62 (N) Paa

(R) III36 [(p = q) . (q | r)J  > [(p . q) = (q | r)] IV 34 (R).

(C) V 36 [(p = q) | (q | r)] → [(p ] q) = (q ∣ r>} IV 37 (C>

Mais les 48 opérations III-V b) ne donnent que 24 opérations IV f) parce que deux des premières aboutissent à une même opération IV f) :

(188) (I) V 24 [(q W r) | (p ∨ q)] J∏∙ [(q | r) W (p V q)] IV 34 (I)

Paa

III24 [(q W r) . (p ∨ q)] » [(q . r) w (p ∨ q)] IV 37 (N)

Paa

V 44 [(q W f) I (p I q)] ► [(q | f) W (p | q)J IV 9 (R)

Paa

III 44 [(q W f) . (p I q)J » [(q . f) W (p | q)] IV 62 (C)

Chaque opération IV f) présente donc deux formes équivalentes, telles que (p. q) = (q | r) et (q | r) w (p ∨ q) pour IV 34, correspondant à deux opérations distinctes III-V b).

IL Les opérations III-V b) engendrent également les opérations III-V a), étant donnée la parenté étroite de cette famille avec la famille IV f). Il suffît à cet égard, de permuter (=) et ()) ou (w) et (c) dans l’opération composée (a) de III-V b) :

(189)

(I) III 5 [(p  = q) ■ (q vr)] ^P = 3 [(p y q).(qvr)] V 40 (I)

(N) V 5 [(p  = q) | (q V r)] J⅛ ⁽7 [( [p. 5]_q) | (q _Vr)] IH 40 (N)

(R) III 36 [(p  = q). (q | r)] ^P— --H _[(p) q).(q ∣ r)] = [(q y p).(q|r)] V16(R)

(C) V 36 [(p  = q) 1 (q | r)] JJξ2-∏ [(q ₅ p) |(q | r)] III 16 (C)

On aura de même :

P W C (a)

(189 bis) III 24 [(q W r).(p ∨ q)] * [(r ) q).(p V q)] V 46

Ainsi les 48 formes distinctes III-V b) correspondent biuni- voquement aux 48 formes distinctes de III-V a).

III. Nous allons voir à l’instant comment les expressions II- VI c) peuvent être transformées en opérations IV f). Or, les opérations III-V b) qui se transforment en IV f), peuvent aussi être transformées directement en II-VI c) par le moyen de la permutation P = v (β) :

p = v (0)

(190) (I) III 5 [(p = q) . (q V r)] ∑% [(p = q) . (q = r)] II 7 B (I)

P — v (0)

(N) V 5 [(p = q) | (q V r)] El [(p = q) | (q = r)] VI 7 B (N)

P = v (0)

(R) III 36 [(p = q) . (q V f)] [(p = q) . (q = f)] II 7 B (R)

P = v (0)

(C) V 36 ](p = q) I (q V r)] [(p = q) | (q = f)] VI 7 B (C)

Les réciproques R, distinctes de (I) en III-V b), correspondent donc à des réciproques non distinctes en II-VI c), à condition de s’en tenir à la permutation P = v (β) sans introduire P | w.

IV. Enfin il va de soi que la négation Ng transforme la famille en elle-même, tandis que les négations Nd ou Nh la transforment en opération I-VII :

Nd

(191) (I) III 5 [(p = q) . (q ∨ r)] — > [(p = q) . (q. f)] ≡ [p . (q. f)] 18 (I)

Nd

(N) V 5 [(p = q) | (q V r)]— → [(p = q) ∣ (q.f)]≡ [p | (q.f)] VII 8 (N)

Nd

(R) III 36 [(p = q) . (q | r)] -→ [(p = q) . (q.r)] ≡ [p . (q.r)] 11 (R)

Nd

(C) V 36 [(p = q) | (q | r)]— > [(p = q) ∣ (q.r)] ≡ [p | (q.r)] VII 1 (C)

Les 3 transformations Pm donnent lieu à (8 + 8) x 3 = 48 opérations distinctes en III V b), et à 48 expressions dont 24 sont équivalentes aux 16 autres en I-VII.

Nous avons déjà examiné la plupart des transformations de ces 3 familles dans celles d’ordre III-V et IV. Il demeure cependant deux transformations intéressantes des 4+4 opérations de la famille II-VI c) en 24 opérations IV f) et II-VI a).

I. Nous venons, en effet, de constater que les expressions III- V b) se transforment en IV f) selon la permutation Paa (prop. 187 et 188), qui a pour effet de placer le signe de l’équivalence (=) à titre d’opération composante (a). Nous avons ensuite vu la possibilité de transformer les opérations III-V b) en opérations II-VI c) par permutation de (v) et de (=) dans l’opération composée (β).

Il suffit alors de composer ces deux permutations en une seule

pour obtenir le passage direct dé la famille II-VI c) en la famille IV f) :

(192) [Paa] + [P = V (β)] ≡ Pa (αβ)

où Pa (αβ) signifie la permutation de l’opération composante avec les deux composées. D’où, si l’on met les inverses x | y sous forme * ∨ ÿ et si l’on alterne les signes en (a) et en (β) (193).

Les expressions IΓ-VI 7 B et II-VI 7 C engendrent de même les quaternes IV 37, 34, 62 et 9 et IV 38, 33, 52 et 19 tandis que les expressions II-VI 16 A, II-VI 19 B et II-VI 19 C engendrent respectivement les quaternes IV 11,. 60, 51 et 20 ; IV 4,67, 55 et 16 et IV 3, 68, 65 et 6. Les formes II-VI c) comportant un (w) et un (=) ne sont par contre pas transformables, toute expression (p w q) étant donc à mettre sous forme (p = q) ou (p = q). Seulement, même ainsi, il y a deux possibilités, (p = q) ou (p = q) ; or l’une donne une opération IV f) comme en (193), tandis que l’autre (dans les cas w et =) transforme l’expression II-VI c) en une expression II-VI a). Par exemple [(Pwq)∙(P = équivaut à [(p = q).(p.   = r)] ou à [(p = q).(p = r)]. Or, après transformation Pti (αβ), l’expression [(.p ■ q) — (p. r)] équivaut à IV 51, et l’expression [(p. ÿ) = (p. r)] à VI 3 [p | (q = r)]¹. Il n’en est pas

g S «  ^th - >  > I ï c ^> A > CO — t- ≥≤ v ^f 1O . ⅛ . « Q. ^1-1 ∩^{4 1-1} ci, ,-^l I(i iu ï I ï ∣σ,  >  B* •P* 1 ? & O CT √7 II √7 II CO- Q. CQ. ¹¹ 2 si ∣∣ <Λ Il ‰ || îî il il y ® ∙S Jj’ Ift îc ? S⁵ c* Ç Il II II || I&J ∣⅛ O, < -<  <  < g £ g § O ? σ> r4 1. La raison en est que, on l’a vu au § 24, les 48 opérations de la famille III-V (a), liée à la famille IV (/) par le rapport Ua (3), sont transformées en opérations II-VI (a) lorsque l’on remplace les opérations composantes (.) et (])^lpar(=).et (W). Voir également la proposition 147. Or [(p. ÿ) <= (p. r)] ≡ [(P > ?) = (P I r)] et [(p. ç) = (p. r)I ≡ [(y 3 p) = (P I r]) sont jRa l’une de l’autre.

t

[p. 131] :

moins intéressant de constater la parenté des familles II-VI c) et IV f), surtout que, comme on le voit sur le tableau (193) les inverses (N et C) aboutissent aux formes IV 25 et IV 14 bis (q y p = p y r et p y q = r y p) tandis que les opérations directes (Z) et (R) aboutissent aux formes IV f) non bis.

IL Les expressions II-VI c) se transforment également, comme on vient de le voir, en opérations II-VI a) grâce à la permutation Pa (αβ), et cela dans tous les cas où cette permutation ne donne pas une opération IV f) :

Pa(αβ)

(194) (I) [(p = q)∙(p = r)]-4⅛(p. q) = (p. r)] VI 8(1)

Pa(aβ)

(N) [(pwq).(pwr)] 574 [(p. q) w (p. r)] Il 8 (N)

Pa(aS)

(R) [(P = q).(P = Q] 5-7 [(p. q) = (P.f)] VI 26 (R) Pa(aβ)

(C) [(i> w q).(p W f)l 574 [(p. q) W (p. r)] II 26 (C)

On a vu d’autre part (prop. 152) les transformations de la famille II-VI c) en opérations IV e) et l’on se rappelle (prop. 149 et 154) celles de IV e) en II-VI a) et en IV f), ainsi qu’en III-V a) (prop. 153). Cet ensemble de familles constitue donc un système de relations réciproques particulièrement étroites. On se rappelle enfin les relations des familles II-VI c) et IV c) (prop. 164).

III. Pour ce qui est de la famille II-VI b), nous avons déjà vu ses transformations en IV f) (prop. 139-142) et en IV c) prop. (161). Il reste à montrer comment la permutation de son opération composante (.) et de son opération composée ([]) la transforme en opérations IV d), à condition d’écrire l’inverse sous la forme (x ∨ ÿ) et non (x | y) :

(195) (I) II 1 [qr]∣→∣p[q.r]∣≡p. (q*r) IV 1 (I)

(N) VI 1 [p  |  q [r]) ≡≡ jp ∨ q [r]} J-→ {p [q ∨ r]} ≡≡ p. (q ♦ r) IV 70 (N)

(R) II 28 [p . q [r])→[p [q.r]) ≡ p. (q * r) IV 70 (R)

(C) VI 28 )p  |  q [f]) ≡ [p V q [r])⅛ [p [q V r∏ ≡ p. (q * r) IV 1 (C)

En effet p [y.r] signifie {p. (q.r) ∨ p. (q ∣ r)} ≡ IV 1 ; de

même p [y ∨ r) ≡ {p. (q ∨ r) ∨ p. (q.f)}, etc. En outre, dans la famille IV d), on a R = N, tandis qu’en II-VI b), les 4 transformations Z, N, R, C sont distinctes.

IV. Pour ce qui est de la famille II-VI a), reliée à III-V a) (prop. 146-7), à IV e) (prop. 149), à IV c) (prop. 163), à IN’b) (prop. 172), à IV a) (prop. 186) et à II c) (prop. 194), elle est naturellement aussi transformable en I-VII par le moyen de la permutation P.= (a) :

P = (a)

(196) Il 3 [q = r] U [q.r] I 1 ; etc.

Quant aux familles I-VII et O-VIII, elles sont transformables en chacune des autres et nous en avons vu un certain nombre d’exemples (prop. 135, 136-7, 144, 148, 159, 160, 191 et 196).

Nous venons ainsi d’indiquer 35 transformations possibles de l’une des 14 familles dans une autre et la liste est loin d’être exhaustive. Il s’agit donc maintenant de rechercher si, de ces cas particuliers, on peut remonter aux transformations générales qui les contiendraient toutes.

x f

t X