Chapitre V.
Les familles d’opérations ^a 🔗

Les opérations décrites aux § § 1-4 et 7 permettent de distinguer 14 familles¹, dont une d’ordre O-VIII, une d’ordre I-VII, 3 d’ordre II-VI, 3 d’ordre III-V et 6 d’ordre IV :

O-VIII : une seule famille, de deux opérations, ne connaissant

1. Ces familles correspondent aux 22 types décrits par Boll (Manuel, pp. 143-154) parce que, sur nos 14 familles, 8 (c’est-à-dire celles de O-VIII à III-V) comportent une opération directe et une inverse d’ordres différents, d’où 8 + 8 + 6 = 22 types.

que les transformations IRNC et telles que R = I et N = C. Forme : p ♦ (q * r) et (p (o) (q * r).

I-VII : une seule famille, de 16 opérations réparties en 4 quaternes complets, telle que l’on puisse transformer un quaterne en un autre (ou une opération en une autre) au moyen des transformations Nd et Ng, Paa et Pu. Forme : p. (q.r) et p | (q.r).

II-VI a) Une famille de 12 opérations p. (q-r) ou p. (q w r) et de 12 inverses p | (q = r) ou p | (q w r) ; 6 quaternes transformables selon Nh, Nd et Pu.

b) 12 opérations de forme p.   q[r] et 12 inverses p | q [r] ; 6 quaternes INRC, transformables selon Ng et Pu ;

c) 4 opérations de forme (p = q).(p = r) et 4 inverses (p = q) | (p = r), réparties en 4 couples tels que R = I et N = C et transformables selon Nh, N g, Nd èt Pm.

III-V a) 24 opérations de forme [q ∨ r] ou [q y rJ d’où deux sous-familles de 12 opérations chacune, et 24 inverses p | q ∨ r] ou (p | (q y r)]. Les opérations de cette famille (12 quaternes) se transforment les unes dans les autres par le moyen des opérations Pm, Rg et P ∨ y.

De plus l’opération p. (q ∨ r) est équivalente à la forme binaire-binaire p .(q ∨ r) ≡ (p. q) ∨ (p. r) ≡ (p | q) | (p | r) ;

b) 24 opérations de forme [(p = q). (q ∨ r)] ou [(p = q). (q j r)] (d’où deux sous-familles de 12 opérations chacune) et 24 inverses [(p = q) | (q ∨ r)] ou [(p = q) | (q y r)j. Ces 48 opérations forment une famille unique de 12 quaternes transformables les uns dans les autres selon Pαβ, Pm, P ∨ y et N g ;

c) 8 opérations binaires-binaires ou uninaires-binaires doubles de forme {[(p. q) = r].[(p. q) | r]), et 8 inverses ([(p. q)=r]∣ [(p. q) | r[j, réparties en 4 quaternes INRC et transformables selon Nd et Pu.

IV d) 8 opérations de forme [(pvq).(qvr).(pvr)] ou [p | (q | r)].[q | (p | r)] dont 4 inverses, formant ensemble 4 couples R = N et C = I transformables selon Pm, N g et P y v ;

b) Deux opérations [(p = q) = r] et [(p — q) w r] formant un couple N = C et R = I ;

c) 6 opérations q = p [r] et q w p [r] formant 3 couples R = I et N = C, reliés par les transformations Pu ;

d) 6 opérations p. (q*r) et p| (q*r) formant 3 couples R = N et C — I, reliés entre eux par la transformation Pu ;

e) 24 opérations de forme [p = (q ∨ r)] ou [p = (q 3 r)] (d’où deux sous-familles) ; les 6 quaternes complets que forme cette famille sont transformables au moyen de Pu et P v 3 ;

f) 24 opérations [(p 3 q).(pvr)] ou [(p 3 q).(q 3 r) (d’où deux sous-familles), réparties en 6 quaternes complets selon les transformations Pm, Paβ et P 3 v. Mais, à ne considérer que les formes indiquées, ces 3 transformations relient indissociablement les éléments de cette famille à ceux de la famille III-V a) sous leur forme binaire-binaire, en un système total de 96 opérations. Pour composer les 24 opérations IV /) en un système fermé, il faut les mettre sous la forme [(p ∨ q) = [(p | r)] ou [(p. q) = (p. r)∣ et les transformer au moyen de Pm et de certaines permutations particulières.

Ces 14 familles ne sont pas relatives aux formes uninaires- binaires ou binaires-binaires que nous avons choisies pour les exprimer, car on retrouve leur unité interne sous toutes les formes qu’on leur donne. De plus, dans la représentation géométrique à 3 dimensions que Boll a imaginée pour les opérations ternaires, ces familles correspondent aux différents types de relations possibles entre les 8 sommets d’un cube¹, ce qui comporte peut-être une correspondance entre les groupes au moyen desquels nous allons caractériser algébriquement ces familles et une structure topologique déterminée. Il s’agit donc maintenant pour nous d’analyser chacune d’entre elles dans le but de dégager sa structure d’ensemble.

Les deux opérations O et VIII constituent à elles seules une famille d’un seul couple (R = I et C = N). Il va de soi que l’on peut soumettre les deux opérations de ce couple à des transformations Pu, s’il s’agit de la forme uninaire-binaire [p * (q * r)] ou Pm, s’il s’agit des formes binaires-binaires équivalentes l(P * q) • (P ♦ ^r)]∙ etc. Mais on obtient ainsi que 3 formes également équivalentes entre elles :

(95) VIII A [p » (q * r)] ⅛ [q ♦ (p * r)] ^[r »(p* q)l

1. Cf. M. Boll (Manuel, pp. 144-145).

Il en est de même pour les opérations Nh (car 0*0 = VIII) N g ou Nd, Rg ou Rd, etc.

Pour ce qui est, par contre, des opérations I-VII, on peut les réduire au moyen des transformations N g et Paa (en plus de R, N et C) h une famille unique de 24 opérations I (dont 3 équivalentes entre elles pour chacune) et 24 opérations inverses VIL Le principe des transformations Paa est le suivant :

Paa

(96) Il A [q.r] ≡ [(q.r) 3 p] ► [(q 3 r).p] ≡ [q.f] 16 A

18 A [q.f]≡ [(q.f) J p]⅛. [(q ) f).p]≡ [q.r] 13 A
Paa

I 2 A [q. r] ≡ [(q. f) 3 p] — → [(q 3 f).p] ≡ [q.r] 15 A Paa

17 A [q.r] ≡ [(q.r) 3 p] ► [(q 3 r).p] ≡ [q.f] 14 A

D’où le tableau :

(97)

1) Opérations - 2) Paa

A 1 A p. (q. r) <— ► p. (q. f) I 6 A

^/ I 1 B q.(p. r) <— > q.(p. f) I 4 B

Rg I1C r.(p. q)^→ r.(p. q) I 4 G

*1 5 A p. (q. r) — ► p. (q. r) I 2 A

I 3 B q.(p. r) « ► q.(p. f) I 2 B

I 2 C f.(p. q) <— ► r.(p. q) I 3 G

4) Paa de (3) = R

3) Réciproques de (1) de (2)

I 8 A p. (q. r) * * p. (q.r) 13 A

_?I 8 B q.(p. f) « — → q.(p. r) I 5 B

I 8 C r.(p. q) — → r.(p. q) I 5 C,

Rg ^X

,14 Ap.(q.f) <— * ρ.(q. r) I 7 A Rg ^xI6Bq.(p. f)θq.(p. r)I7B I

I 7 C r.(p. q) ÷-→ f.(p. q) 16 C^z

Le tableau des inverses est semblable¹. On constate que chaque ligne (horizontale) de l’ensemble des trois premières

1. Et avec les mêmes numéros en VII : à 11 A correspond VII1 A, etc.

lignes, ou des trois dernières, est reliée à la suivante par la transformation Pu (= Ppq et Pqr). Chaque ligne du premier ensemble de 3 est d’autre part reliée à la ligne (correspondante du second ensemble de 3 par la transformation Rg = [q. r] — * [q. r]. Le système forme ainsi un groupe unique dont les transformations sont (INRC = 4) × (Rg — 2) × (Pax = 2) × (Pu = 3) = 48 éléments, dont 3 équivalents entre eux par opération (IA, B et C).

Les transformations du groupe sont ∣∣ ^ ^ ^

commutatives sauf en ce qui con- SL > >

cerne Pu. w a 1

Le groupe des 24 expressions uni- ≈ y y y

naires-binaires d’ordre II-VI a) dont ∣ w a &

l’opération composée binaire est une II ∣⅛ √< 7

équivalence (= ou w) est comparable ⅛ ”

au précédent. Mais les figures A, B H H K

et C résultant de la permutation Pu ^M g t g t g t

ne sont pas équivalentes entre elles ; A Λ A

l’opération Rg portant sur l’opéra- 3  > > >

tion uninaire se confond avec R elle- « > > >

R I S ô ô

même : p. (q = r) →p. (q = r) ; enfin g i⅛⅛

la transformation Pax est remplacée ∞ 2 S

par Nh et Nd (car Pact elle-même ^cs ≡ K K

transformerait p. q — r en opérations î ZI Z î

d’ordre IV). On a ainsi (en s’en JS A A

tenant aux 12 opérations directes « u n h

d’ordre II) : ¾ ^{11 11 11}

’ ü⁴ pu eu

S-X -Q …

ce , Λ ^M

C co m o

,O ¹ hh hh HH

"q^hL H. . -J

« U

Q.

^ O Ü⁴ ⅛

∞ _ eu tr

Sz eu pu

On constate que les opérations (3) sont les Nh des (2) et que les opérations (4) sont les Nh des (1). Or Nh Nd = Ng (prop. 43 bis) : donc les opérations (3) sont les N g des (1) et les (4) le sont des (2) ;

* or, dans le cas particulier, on a Ng = Rg — R. Le tableau des inverses est naturellement isomorphe¹, d’où (INRC = 4) x (Nd = 2) X (Pu = 3) = 24 opérations (distinctes).

Quant aux 24 opérations de forme II VI (b), p. q[r], etc., la structure d’ensemble de cette famille est voisine de la précédente, à ces deux différences près que R équivaudra cette fois à Nh, et non plus à N g, et que le rôle joué par la transformation N h en (98) le sera donc par Ng. En outre, il importe de noter que chaque opération de type p. q [r] se présente sous deux formes équivalentes p. q [r] et y.p [r]. L’ensemble des permutations Pu donnera donc pour cette opération II 1 :

(99) (II1 A)p. q [r] ⅛ (II1 B) q.p [r] (112 C) r.p (112 A)p. r[ql

et(Π2A)p. r[q]⅛(Π4B)q.r[p]JX(II4C)r.q[p]JH(ΠlA)p. q[r]

*

Pour abréger nous ne donnerons que les transformations distinctes : (II 1 A) p. q [r] ^Ppr ⅛ (II 4 B) q.r [p] ⅛±2I (II 2 C) r.p [qj.

On a alors le tableau :

(100)

4) Nd de (3) 1) Opérations de départ 2) Nd de (1) 3) R de (1) — R de (2)

Nd ’ Ne Nd

rll 1 p. q [r] <— > II14 p. q [r] *— ► II28 p. q [r] *— >- II 23 p. q [r]

Ppr + rq Nd _Ng Nd

4114 q.r [p] X→ II 11 q.r [p] XX II22q.r [p] ÷-→ II17q.r [p] Pqp + pr Nd Ne Nd

¹-II 2 r.p [q] — > II 24 r.p [q] *— l 1127 r.p [q] *— * II 9 r.p [qj

On constate que les opérations (3) sont les N g des (2) et qu’il en est de même entre les (4) et les (1). Or N g Nd = Nh (prop. 42) : les opérations (3) sont donc les Nh des (1) et les (4) des (2), car, dans le cas particulier, on a Nh = R. Le tableau des inverses est le même (avec la même numérotation transposée en VI). On

1. Et avec les mêmes numéros en VI : à II 3 correspond ainsi VI 3, etc.

a donc (INRC = 4) × (Nd = 2) X (Pu = 3) ⅛ 77777 ?

= 24 opérations distinctes ( = 48 avec les 5 ^ Il H II

homologues de la prop. 99).

Ces mêmes opérations (98) et (100) wwT ?

peuvent être mises sous une forme binaire- I 5 > >

, binaire : p [y]. [y = r] pour p . (q = r) -JJ y ôôô

et (p. q).p [r] ou même (p. q). (r j q) ⅛g J ®

pour p. q [r]. Ces formes binaires-binaires donnent également lieu à des groupes de — — ∙→

transformations caractéristiques des fa- _λ

milles II-VI a) et b), et il va de soi que  > > >

si le premier de ces deux groupes est le p⅛ cr c

même que celui du tableau (98), il n’en  <  ^⅛77

n’est pas ainsi du second par rapport au II ∣ ∣∣ y ∣∣

tableau (100). Mais il est inutile d’entrer § _aaa

dans les détails. ⅞  < W u

JJ JJ 2

Les 8 expressions binaires-binaires Q S SS

d’ordre II-VI c) présentent chacune 3 fi- _v ⅛⅛T7

gures A, B et C équivalentes entre elles, *  |  >

mais ces figures A, B et C ne sont sem- ⅞

blables que dans le cas de Γop⅛ration  < W^u

contenant deux équivalences positives (=). 3 22

La structure d’ensemble de la famille com- ^m *-^{, M}

portera donc un groupe de transforma- tions à 24 éléments dont 8 seulement non- Il II II

équivalents. Voici le tableau des 4 opéra- ⅛ a tr σ

tions directes (d’ordre II) : ¾

V σ, c”-

Il 11 II

8 | & & a i

K. « ü ≡

© dJdd

77 77 mu

O CM

d- ‰ ‰

*

f

Chaque colonne (1) à (4) est ainsi respectivement Ng, Nd et Nh de l’une des trois autres d’où : Ng = Nh Nd ; Nd = Nh Ng et Nh = Ng Nd ; en outre chaque ligne horizontale est reliée aux deux autres par une permutation Pm. Deux particularités sont à noter en ce qui concerne cette famille (101) :

1° La transformation Pαβ (permutation des deux opérations composées binaires), qui intervient toujours dans la structuration d’ensemble des familles binaires-binaires simples, est effectivement présente ici aussi, mais, dans le cas particulier des

, opérations (=) et (w), elle se confond avec Nh :

(102) Pαβ (=) et (W) ≡ Nh

PaB

Par exemple II 12 A (p = q).(p w r) * (p w q).(p = r) II16 A (= Nh II12 A). Quant aux expressions de forme (=).(=) ou (w).(w), on a naturellement Pαβ = I (transformation identique). Mais on peut aussi les mettre sous forme (=) et (w), ce qui les ramène au cas de la prop. (102). Par exemple :

(102 bis) [(p = q).(p = r)] ≡ [(p W q).(p = r)] [(p = q).

(p w r)] ≡ [(p w q).(pw r)]

ce qui vérifie Pαβ = Nh au cas où les opérations composées sont (=) et (w).

2° On se rappelle que Pac n’est pas le produit Pab + bc mais que l’on a toujours Pac = Pab -f- bc Pαβ Pa (ou Pβ) (prop. 80 à 81 bis). Or, dans le cas particulier de cette famille Pa et Pβ donnent sans exception Pa = I et Pβ = I, d’où :

(103) Pac = Pab + bc Pαβ (si a et β sont = ou W)

Par exemple :

Pac

(103 bis) 1112 A[(p = q).(p wr)] ► [(r = q).(p W r)] II19 G

Pab -4- bc

1112 A[(p = q).(p wr)]  > [(p=r).(q wr)] II16C

Or, on a bien II 19 C — ∏ 16 C ou (prop. 102) II 19 C

II 16 C.

Cette prop. (103) est valable également dans le cas de II 7 A

(p = q).(p = f) ou de II 19 A (p w q).(p w r), car alors Pαβ redonne les mêmes expressions, d’où

(104) Pac = Pab + bc si Pαβ = I

Cette prop. (104) n’est pas contradictoire avec la prop. (102), ■ puisque cette dernière n’est va

lable que dans les expressions cς q î ^ 9 ^ ^ ^ où (a) et (β) sont (=) et (w) || X

ou(w)et(=). gg 5ÔÔ 0⅛S

Les transformations Pm sont  | à ⅛ à t ? L

comme toujours cycliques. Les ⅛Λ « S $ « ® autres transformations du groupe hhh hhm

sont commutatives. ’* ≈ ^1-1 *^^{, m w M 1-1}

§ cr a⁵ a b^j

Les 48 opérations uninaires- ^M « >→ >→ — *-∣ ∣→

binaires d’ordre III-V a) cons- ~

. é-< fl ζτ* ⅛ f-t CT

tituent deux sous-familles de

24 opérations (dont 12 d’or- 72 Sêô

dre III et 12 inverses d’ordre V).  | >â ∣c÷ ⅛ à ∣σ,

L’une de ces sous-familles est ⅞ ma® o ≤ « 

de forme p .(q ∨ r) et l’autre f ? _ _

p. (q ∨ r), c’est-à-dire p. (q y r), H H H H H K

la transformation reliant une _

sous-famille à l’autre étant donc ⅛  >   > > 22 22 X

P ∨ y. Les transformations in- ¾ • cr a a cr a a

ternes de chaque sous-famille « i ÷ ⅛ à ⅛ û

sont simplement Rg, Rd et Pu : _wτ-, _w ∞ r- « r-

§ ।

s ≡~≈≈ ≈H≡

×^υ A

a _

O CF O⁴ Jh

cl σ cl σ*

^ PU Pm Oh ‰

ιθ^{s r}’

O >

Pm

Le tableau des inverses est naturellement isomorphe, avec remplacement de (.) par (|) (et même numérotation :• V 1 ; V 53 ; etc.). On a donc (INRC = 4) × (Rg = 2) × (Pu = 3) X (Pv 3 = 2) = 48 éléments structurés selon un même groupe de 14 transformations. Parmi celles-ci figurent les 6 permutations Ppq, Pqr, Ppr ou Pqp, Prq et Prp, lesquelles (jointes à Paa et à Pa ou Pa) se distribuent, on s’en souvient, selon le tableau (64). On peut donc faire correspondre les tableaux (105) et (64) selon les correspondances suivantes (et il en va de même pour la deuxième sous-famille) :

(106) 1 =  111 1 2  =  11122 3  =  III 3

7 =  III56 8  =  III 53 9  =  11152

13 =  V 1 14= V22 15  = V 3

19 =  V 56 20  =  V 53 21  = V 52

4=III31 5 = III 8 6 = 11142

’10 = 11139 11  =  11151 12 = 11128

16 = V 31 17  =  V 8 18= V42

22 = V 39 23  =  V 51 24 = V 28

Mais le principal intérêt de cette famille III-V a) tient à ses relations étroites avec la famille IV f). En effet une expression telle que p. (qv r) ou p. (q 3 r) peut être mise sous une forme binaire-binaire :

(lθθ) P∙(q V r) ≡ [(p. q) ∨ (p. r)] ≡ [(p | q) | (p | r)]

p. (q 3 r) ≡ p. (q ∨ r) ≡ (p. q) V (p. r) ≡ (p 3 q) | (p | r)

et il en est ainsi des 48 expressions de la famille III-V a). Or ces formes binaires-binaires permutent selon la transformation Pαβ soit en d’autres opérations de la. même famille soit en opérations de la famille IV f). Nous reviendrons donc sur ces relations (§ 25).

Ces 48 expressions se répartissent en deux ou même 4 sous- familles selon que l’on permute (v) et (3) en (p = q).(p ∨ r) et que l’on combine cette seconde opération composée (v) ou (3) avec une première opération composée (=) ou (w). De plus chaque expression III-V b) comporte deux formes équivalentes, par exemple (p = q).(p ∨ r) et (p = q).(qv r), ces formes étant alors de figures différentes (A et B ou A et Cou B et Q. Ce sont donc en fait 96 expressions différentes (mais dont seulement 48 de signification distincte) qu’il s’agit de grouper, d’où la possibilité de distinguer 4 sous-familles.

Les opérations permettant de structurer ces différentes sous- familles sont les suivantes (outre INRC) :

1° La permutation Pαβ des deux opérations composées (a) et (β) c’est-à-dire (= ou w) et (v), (|), (3) ou (c). Par exemple :

<107) [(p = q) • (P V r)] [(p V q). (p = r)

2° La permutation Pm du moyen terme. Dans le cas particulier des deux premières sous-familles, la permutation Pm conduit à une expression équivalente à celle de départ si le moyen terme cherché appartient déjà à celle des deux opérations composées qui contient l’opération (=) ; sinon l’expression nouvelle ne saurait être équivalente à l’expression initiale. Par exemple :

Pab

(107 bis) III12 A [(p = q).(p ∨ r)] [(p = q).(q ∨ r)] III12 B

= III 12 A parce que q est compris dans (p = q) P A C

et III 9 A [(p ∨ q).(p = r)] - [(q V r).(p = r)]

III 9 C = III 9 A parce que r est compris dans ^{(P =} PAC

mais III 36 A [(p = q).(p | r) . [(r = q).(p | r)] III 12 G ≠ III 36 A parce que r n’est pas compris dans (p = q).

Quant aux deux dernières sous-familles nous verrons plus loin les conditions d’équivalence.

3° La permutation P ∨ 3 transformant [(p = q). (p ∨ r)] en [(p = q).(p 3 r)].

Voici la structure des deux premières sous-familles (108) : /

(108)

1) Opérations de départ 2) Pαβ de (1) 3) R de (1) 4) Paβ de (3) = R de (2)

|— →rl∏ 5 A [(p - q).(p V r) III 9 A (p V q).(p  =  r) III 36 A (p  =  q).(p  |  r) III 45 A (p ∣ q).(p  =  r)— i

PîV Pbc f^{111 5 B} K^p “ ^q)∙<^{q V} HI¹² B (p V q).(q  =  r) III 36 B (p  =  q).(q  |  r) III 49 B (p ∣ q).(q  =  r)

^lIII 9C (p- r).(qvr) III12 C (p V r).(q  =  r) III45 C (p  =  r).(q  |  r) III 49 C (p ∣ r).(q  =  r) PIC

~ ’rlll 21 A (p = q).(p 3 r) III 20 A (p 3 q).(p = r) III 6 A (p = q) .(r 3 p) ΠIllA(q3p).(p = r)- ^AB llll 21 B (p  =  q).(q 3 r) III18 B (p 3 q).(q  =  r) III 6 B (p  =  q).(r 3 q) III15 B (q 3 p).(q  =  r)

’ III11C (p — r).(q 3 r) III18 C (p 3 r).(q — r) III 20 C (p  =  r).(r 3 q) III 15 C (r 3 p).(q  =  r)

(HO)

1) Opérations de départ 2) Paβ de (1) 3) R de (1) 4) Paβ de (3) = R de (2)

"5^^*rl∏ 37 A (pwq).(p Vr) III 27 A (p V q).(p Wr) III 47 A (p wq).(p I r) III 48 A (p ∣q).(pWr)*

[p]^AB rlll 41 B (pwq).(q Vr) III 24 B (p ∨ q).(q wr) III 38 B (p wq).(q I r) III 44 B (p I q).(qwr)

^{3V BC} ⅛I32C(pwr).(qVr) III 25 C (p V r).(q Wr) III 29 C (p W r).(q | r) III 34 C (p ∣ r).(q Wr)

PIC

p "rlll 41 A (pwq).(p 3 r) III 32 A (p 3 q).(p Wr) III 38 A (p wq).(r 3 p) III 29 A (q 3 p).(p wr) *^j

^AB rlll 37 B (pWq).(q 3 r) III 34 B (p 3 q).(qwr) III 47 B (p Wq).(r 3 q) III 25 B (q 3 p).(qWr)

^C III48 G (p W r).(q 3 r) III 44 C (p 3 r).(q Wr) III 27 C (p w r).(r 3 q) III 24 G (r 3 p).(qwr)

Ko’.À.. ’ i √ .

On constate que les opérations (3) sont les Rg Paβ ou Pαβ Rd (cf. prop. 83) des opérations (2) et que les opérations (4) sont les Rd Pαβ ou Paβ Rg des opérations (1). On a, en outre, comme nous l’avons vu en général (prop. 88) : Pαβ = Pm Ra ou Pm Rβ.

Par exemple (III18 B III 21 B) = (III18 B → III18 C (^RaPc\ III 6 A~ III 6 B). En effet III 18 est soit Rg Pca soit Pca Rd de III 6 A.

Quant à Pac (ou à Pca), on a comme d’habitude (prop. 80 et 81) : Pac = Pa + bc Pαβ Pa (ou Pβ) mais dans les cas de (=) de (v) et de ( |) on a Ra = I et Pβ = I, ce qui permet de poser, dans la première sous-famille Pαβ = Pm et Pac = Pab + BC Paβ.

Le tableau des inverses (d’ordre V) est, enfin, évidemment semblable.

Les deux autres sous-familles présentent une structure exactement isomorphe à celle du tableau (108), à cette seule différence près que toutes les équivalences de l’opération composée (a) ou (β) y sont négatives. La condition d’équivalence entre deux expressions n’y est donc plus la même qu’en (107) mais une expression (w).(v) ou (w).(∣) a pour équivalente une expression (w).(3) ou (w).(c). Par exemple :

(109) III 41 A [(p Wq).(p ) r)] ≡ [(p W q).(qv r)] III 41 B

III 47 A [(p W q).(p ∣ r)] ≡ [(p W q).(r 3 q)] III 47 B

III 27 A [(p W r).(p V q)] ≡ [(p W r).(r 3 q)] III 27 G¹

On en déduit alors le tabl. (110).

On a, à nouveau la relation Rg Paβ ou Pαβ Rd entre les opérations (2) et (3) et la relation Rd Paβ ou Paβ Rg entre les opérations (1) et (4).

1. Ainsi, pour III41 A [« Vertébré ou Invertébré • et« Vertébré implique locomotion »] = [« Vertébré ou Invertébré » et « ou Invertébré, ou animal non-flxé ou tous les deux »]. Et pour III 47 A9 : [< Végétal ou animal » et « Végétal incompatible avec locomotion »] = [« Végétal ou animal • et « locomotion implique animal »]. Enfin, pour III 27 A : [∣ Animal (p) ou végétal (r) » et « animal ou fixé (q) »] = [« Animal ou végétal » et « végétal implique fixé >]. En effet, si (pV q) il y a exclusion de (p. q); de même si (p w r) il y a exclusion de (p. f) : il n’y a donc que trois possibilités pour III 27 A et C : (p. q.r) V (p. q.r) V (p. q.r), donc (r 3 q).

Les autres opérations Pαβ, Pm et P 3 ∨ ou P j | vérifient aussi les mêmes lois qu’en (108) et le tableau des inverses d’ordre V est naturellement isomorphe à celui des opérations d’ordre III.

Il est alors facile de réunir les 4 sous-familles (108) et (110) en une structure unique, en passant de l’ensemble (108) à l’ensemble (110), et réciproquement, au moyen de la transformation N g pour les colonnes (1) et (3) et Nd pour les colonnes (2) et (4).

Il ne s’agit là que d’une seule transformation (cf. prop. 83) :

(111) Ng Pαβ = PaβNd

Par exemple :

N S Paû

(III 5 A(p = q).(p Vr)— → III37 A(p W q).(p vr)— → III27 A(p vq).(p W r)
(III 5 A(p = q).(pvr)^→ III9 A (p Vq).(p = r)-^- III27 A(p V q).(p W r)

On a ainsi, au total : (I, N, R, C = 4) × (Pαβ ≡ 2) X (Pm = 3) X (P ) v = 2) × (Ng ou Nd = 2) = 4 × 2 × 3 × 2 X 2 = 96 éléments dont 48 non équivalents entre eux.

4’

57 57 tr ⅛> — — — !⅛ S

Une expression telle que [p = (q. r)]. 7X7

[p I (?■ ^f)l peut être considérée comme une composition double dont les deux opéra- S © &

tions composées sont a (=) et β (|), sans £ Si.

tenir compte des conjonctions (q.r) et (q.f) T Ç ⅛

à titre d’opérations séparées. On peut alors ≡ ∣ ⅛ i i.

permuter (a) et (β), ce qui permet de faire ^κ! nui

rentrer ces opérations complexes dans le ® fi S t.

schéma des transformations précédentes : « S « 

or, ces permutations Pαβ donnent, dans 2 2 2

le cas particulier, la réciproque R puis- 72 7 X

qu’elle revient simplement à intervertir les ? ? S

p_αβ 57 -S « S ? -ô

signes : [p = (q.r)].[p | (ÿ.r)] √p∣(y.r)]. ~ g

[p =  (ÿ. F)]. D’autre part, les permuta- "^c “ ⅛

tions Pu portant simultanément sur les ⅛ . C S ©

deux opérations uninaires (p) et (p) permet S !& !&

le passage de III 19 à III 14 et à III 13 - « « •

(ou à leurs réciproques), tandis que la semi- — — — 

réciprocité Rg (disons plutôt Ru) de ces ^cq 2 ” ~

mêmes opérations uninaires assure la trans- K U B

formation de ces 3 opérations dans les ü7 ©7 10*

3 formes équivalentes A, B et C de III 23 ≈ !⅛ & &

et de sa réciproque. Il en sera naturelle- ⅞ ,⅛ “

ment de même pour les inverses d’ordre V. ⅛ fl fl fl

On a donc, pour les opérations III c) : § I ⅛

1 ^{ιι ιι ,} & (⅛ &¹ fa

^{o σ,} 2

h-H HH ∣→

I H 1 cm tr ⅛

th CL O*

Ile ÎU ⅛ ⅛ s •. •. •, On aboutit ainsi à un groupe de réci- ~ 5 5 5 procités et semi-réciprocités de (INRC = 4) ∣⅛ ⅜ >⅜

× (Pu = 3) × (Ru = 2) = 24 éléments ∣ ∣ q ⅛ c

dont 16 non équivalents entre eux : les ^ > > >

operations (3), tout en étant les Ru (= Rg ≥≤ ≥≤ — 

de chaque opération composée) des opé- ’* æ 2 œ rations (1) sont les Rb (= Rd de chaque  >   >  >

opération composée, c’est-à-dire R de q.r X 2. _

et de q.f, ou de p. r et de p. f, ou de p. q  >   >  >

de p. q) des opérations (2) ; et les opéra- “ “ ⅛

tions (4), tout en étant les R des (3) et 7 Ç ? ?

les Ru des (2) sont les Rb des (1). On a ⅛ a &• w

donc : c I χ

g w er

.(113) n S ⅛5

(1) =  R de (2) = Ru de (3) = Rb de (4) « « ü

(2) =  R de (1) = Ru de (4) = Rb de (3)  >   >  >

(3) =  R de (4) = Ru de (1) = Rb de (2) « - « 

(4) =  R de (3) = Ru de (2) = Rb de 1

_λ∣σ, ∣⅛ ∣‰

On a, en outre ’~’ ? ⅛ ⅛

« Uc ∣_σ*

TJ  > > >

<113 bis) R = Ru Rb ; Ru = RRb ; Rb = RRu ⅞∣ SS⅛

G* £ £ Par exemple (2) = R de (1); donc (2) =Ru cς * * >

de (4), car (4) = Rb de (1). Le groupe (112) £ ζf

présente donc le même schéma que le  >   >  >

groupe (49), avec simple remplacement _ _ _M

de Rg et Rd par Ru et Rb (c’est-à-dire Rg  >   >  >

et Rd de chacune des deux expressions uni- § o ; ⅛ &

naires-binaires). ¾ ⅛ ~ ⅛

Quant à la famille des 8 opérations ⅛  >   >  >

binaires triples IV a), on peut la structu- g |  SS&

rer sous sa forme la plus simple : ~ £ £ £

X ∣p< ∣σ∙ ∣u

O ≥≤ ≥≤ — 

00 Γ*

O M r- » r > > > *→

l Il 1
nu
C Pc ‰

Mais, avant de commenter ce tableau, il est intéressant de chercher à rendre ces mêmes- opérations comparables à celles de la famille III-V c). Or nous avons déjà vu (prop. 23 et 23 bis, au § 4) comment les expressions précédentes (binaires triples) peuvent être mises sous une forme uninaire-binaire double. Voici la structure constituée par la famille IV a) sous ces nouvelles formes :

(115)

1) Opérations de départ 2) R (= N) de (1)

p r IV 32 [p  | (q | r)]. [q | (p  | r)] IV 39 [p ∣ (¾ | f)l - [q I (P I 01

^L_r IV 18 [q  | (p ∣ r)].[f | (p ∣ q)] IV53 [q  | (p ∣ f)].[r | (p | q)]

IV 7 [r  | (p ∣ q)].[p | (q  | f)] IV64 [f  | (p ∣ q)].[p | (q | r)]

3) RW de (1) 4) R ( = N) de (3)

IV2 A [p | (q | r)].[q | (p | r)] IV 69 A [(p  | (q ∣ f)].[q  | (p | f)]

IV2B[q | (p | r)].[r | (p | q)] IV69 B [ q  | (p ∣ f)].[r  | (p | q)J

IV2 C [f | (p ∣q)l.[p | (q | r)] IV 69 C[r  | (p ∣q)].[p  | (q | f)]

On constate alors un fait curieux. Contrairement au cas des opérations III-V c) dans lesquelles la proposition servant d’opération uninaire est la même dans les deux expressions uninaires- binaires de l’opération totale (par exemple p et p pour III 19 et III 26 ou III 23 A ; q et q pour III14 et III 33, etc.), les expressions du tableau (115) ont une opération uninaire différente pour chaque expression uninaire-binaire (par exemple p et q pour IV 32 ; q et r pour IV 53, etc.). Mais la proposition servant d’opération uninaire dans la première expression uninaire- binaire (expression que nous désignerons par U B I) se retrouve naturellement dans l’opération binaire de la seconde expression uninaire-binaire (expression que nous nommerons U B II) : par exemple, en IV 32 (opérations 1), on a p en UB I et p en (p | r) compris en UB IL Or on note que dans la colonne (3) l’opération IV 2 A inverse ces signes : onap un UB I et p en UB IL Nous introduirons donc, dans le cas particulier, la transformation Ru’, qui sera le changement de signes de la proposition ser-

vant d’opération uninaire en U B I et de la même proposition lorsqu’elle se retrouve en U B II :•

(116) V 32 [p | (q I r)].[q | (p ∣ r)] [p | (q ∣ r)]. [q | (p | r)] IV 2 A (changement des signes de p)

Réciproquement, nous remplacerons la transformation Rb (prop. 113) par une transformation Rü’, définie comme le changement de signe des propositions ne servant pas d’opération uninaire en UB I :

(117) IV 32 [p I (q I r)].[q | (p ∣ r)] → [p | (q ∣ r)].[q | (p | r)] IV 69 A (changement des signes de q et de r)

On constate alors que les opérations (1), (2), (3) et (4) du tableau (115) soutiennent entre elles les relations suivantes :

(118) (1) = R de (2) = Ru’ de (3)  =  Rü’ de (4)

(2) = R de (1) = Ru’ de (4)  =  Rü’ de (3)

(3) = R de (4) = Ru’ de (1)  =  Rü’ de (2)

’ (4) — R de (3) = Ru’ de (2)  =  Rü’ de (1)

On a, en outre :

(119) R = Ru’ Rü’ ; Ru’ = RRü’ ; Rü’ = RRu’

Le groupe (115) est donc semblable au groupe (119), à la distribution près des opérations uninaires et binaires ou, ce qui revient au même, à la permutation près des opérations (=) et (|) en UB I.

Quant à la forme (114) de cette même structure, la permutation ne porte plus sur les signes de l’opération uninaire, puisqu’il n’y en a plus, mais sur les signes de la proposition servant de moyen terme au premier couple d’opérations binaires : p pour IV 32, q pour IV 18 et f pour IV 7. On peut alors définir la transformation Rm comme étant le changement de signe du moyen terme et la transformation Rm comme étant le chan-

gement de signe des propositions ne servant pas de moyen terme. On aura ainsi, pour les opérations (1), (2), (3) et (4) du tableau (114) :

Z (120) (1) =  R de (2)  =  Rm de (3)  =  Rnï de (4)

(2) =  R de (1)  =  Rm de (4)  =  Rnï de (3) »

(3) =  R de (4)  =  Rm de (1)  =  Rm de (2) ^z’

(4) =  R de (3)  =  Rm de (2)  =  Rm de (1) ⅛~⅛

a a

Ce qui constitue la même structure que (118), ∣∣ ∣∣

à cette seule différence près que Rm remplace Ru,, 4 ? t>

c’est-à-dire que les propositions p, q ou r jouent ⅛

ici un rôle de moyens termes et non plus d’opéra- tions uninaires. ^{ft a}

C K7^r ∞ CO (M

Les deux opérations IV 29 [(p = q) = r] et  > >

IV42[(pWq) = r] ou [(p = q)wr] ou [(p = q) = r] Jζ ~

forment à elles seules une famille IV b), telle 7. ψ

que R = I et N = C : toutes les transforma- ⅛ ⅛

[C* CL tions Pαβ, Pu, N g, Nd, N h, etc., les transforment ‰ ‰ soit l’une dans l’autre, soit chacune en elle-même. 2 Ξ

Par exemple : ≡^r tr

P 3 ^{11 11}

(121) [(p = q) w r] — X [(p w q) = r], c’est-à-dire

IV 42 JH IV 42  >  >

Quant à la famille IV c), de forme p = q [r], etc., _ les 6 opérations qui la composent forment une _β0

structure très simple, puisque chaque opération X Z est sa propre R ; en effet, p = q [r] équivaut à p = q [r] puisque p = q [r] équivaut àq = p [r]. On aura donc :

x_

∖

Z On voit que la transforma-

tion Pu de IV 15 à IV 28 et à IV 24 n’est pas simplement Ppr ou Pqr, _σ, _cr ce qui donnerait des formes équi- γ ’ζ’ valentes, mais qu’elle est, comme au tableau (100) Ppr + rq et

J y Pψ + pr- « 

_r,_ιPl Par contre, si l’on met les 6 opé- Il

“ “ rations de la famille IV c) sous Z

LO CD ^z H

^{th ko} une forme binaire-binaire, telle que ¹¹

IV 15 ∣p = Hr]∣≡ [(p = r) =  g

β ↑ n î (.Q = ^r)]> alors les transformations √^-T.

du groupe se réduisent à TV et à <* T

17 17 la permutation du moyen terme Pm λ a

Il II (122 bis). U ∙⅛

S S SS

ii s es

p. p, Nous aurons à revenir sur cette ^

“ “ forme binaire-binaire de la fa- * *

mille IV c) à propos de la table

— ^ι→ générale des 256 opérations ter- ’^σ,

« tnt \ S 5

naires, dont la diagonale est >■

17 17 occupée entre autres par ces élé- et et

Il II ments (122 bis) (voir § § 35-37). £| ⅛ |

3 ô La famille IV d) fournit une 17 17

Il 5 structure analogue, sauf que R = e e

e e N = Ng (d’où C =  7) et que Ppq N

Il || et Pqr suffisent au passage d’une

⅜ ô expression distincte à l’autre (123) :

oo co T T

> >  Z

en ¹¹

Z (M tdD

C Z •2 ►Q cq

Quant à la famille IV e) elle est constituée par 12 opérations de forme p = (q ∨ r) et par 12 opérations de forme p = (q 3 r), représentant deux sous-familles correspondantes :

(124)

1) Opérations de 2) Rg (= N)
départ de (1)

>rIV 5 p = (q ∨ r) IV 66 p = (q V r) PPQ hv 12 q=(pv r) IV 59 q = (p V r)

PV3 Pqr L_lv 22 r = (pvq) IV 49 f  = (p V q)

>-rIV 17 p = (q) r) IV 54 p  = (q s r) ^pPq L_IV 26 q = (p3 r) IV 45 q  = (p 3 r)

Pqr Liv 27 r = (p 3 q) IV 44 f  = (p 3 q)

4) Rg (= N) de (3) = Rd

3) R de (1) (= C) de (1)

IV 35 p = (q | r) IV36p = (q ∣ r)_r~ IV 31 q = (p I r) IV 40 q  = (p | r)] ^Fpq

IV 30 f = (p  |  q) IV 41 r  = (p | q)-< ^Pqr P I C

IV 63 p = (r 3 q) IV 8p  = (r 3 q)_j÷p-

IV 58 q = (r 3 p) IV 13 q  = (r s p]] ζ^q

IV 48 r = (q 3 p) IV23r = (qsp)^{j 4}

Chaque ligne horizontale (1 à 4) constitue un quaterne INRC, mais, comme l’opération composante est l’équivalence (=), l’inverse N équivaut à N g et à Rg ; la corrélative C équivaut à Rd de (1) ou à Rg de R (car Rg R = Rd) ; et la réciproque R équivaut naturellement à Rg Rd, donc à Rd de (2) et à Rg de (4). On retrouve les mêmes relations au sein de la sous-famille p = (q 3 r) et l’on passe d’une sous-famille à l’autre par correspondance bi-univoque au moyen de la transformation P 3 v

P 3 V

[p = (y ∨ r)] ► [p = (q ∨ r)].

Mais les opérations IV e) présentent également chacune deux

formes binaires-binaires équivalentes, qui sont intéressantes à divers égards. D’abord il y a croisement au point de vue des (j) et des (v) en ce sens que la forme uninaire-binaire (v), par exemple p = (q ∨ r) donne des formes binaires-binaires ()), telles que [(p = q) — (r y q)] et [(p = r) = (q y r)], et que réciproquement p — (q y r) donne [(p = r) = (q ∨ r)] et [(p = q) = (q.r)]. En second lieu, ces deux formes équivalentes n’ont pas le même moyen terme, et leurs moyens termes sont toujours différents de la proposition servant d’opération uninaire en (124). Il en résulte un système dans lequel, outre I, N, R et C, on a pour transformations : 1) Pïn = la permutation de la proposition ne jouant le rôle de moyen terme ni dans l’une ni dans l’autre des deux formes binaires-binaires équivalentes ; nous écrirons ainsi Pab lorsque les expressions ayant pour moyen terme q et r (donc : non p) sont permutées en expressions ayant pour moyen terme p et r (donc : non q) ; 2) P (y) (v) : nous désignerons par ce symbole complexe la permutation de (x y y) en (x ∨ y) ou en (x. ÿ) et la permutation de y y x donc (x c y) en (x | y) ou en (x.y). Or cette permutation P (y) (v) est elle-même liée au moyen terme m : quand, en (x y y), la proposition y joue le rôle de moyen terme dans l’expression totale dont fait partie (x y y), la permutation P (y) (v) donne (x ∨ y) ; si c’est x qui est le moyen terme, la permutation P (y) (v) donne (x.y). Lorsque, de même, dans l’implication inverse y y x (ou x c y) c’est x qui est le moyen terme de l’expression totale, la permutation P (y) (v) donne x.y ; si c’est y qui est le moyen terme, la permutation (P ()) (v) donne x | y¹.

Il en résulte alors le tabl. (124 bis).

On voit l’analogie de cette structure avec celle du tableau (124) malgré la différence des transformations hétérologues en jeu².

1. Il s’ensuit qu’aux semi-réciprocités x y y et y y x d’un couple d’expressions équivalentes correspondent les semi-corrélativités x.y et x\! y ou x.y et x | y dans le couple permuté.

2. A remarquer encore que pour une expression donnée, Tune des deux permutations possibles Pm (et non pas Pin) donne la R : par exemple p_BA Pbg

1(P = 9) = (r y 9)1 •* [(P = 9) = (r J P)1 mais Kp = q) = (r y ?)] *

I(P= r) = (r y 9)] = R.

(124 bis) 1) Opérations de départ

Pλb Γ^{iv 5} I(P  =  q)  =  (r 2 q)l≡ l(P  =  r)  =  (q ) r)]

p₅₅ flV 12 [(p  =  q)  =  (r 3 p)] = [(q  =  r)  =  (p 3 r)]

^rBC llV 22 [(p  =  r)  =  (q 3 p)] ≡ [(q  =  r)  =  (p 3 q)]

(3 P(3)(V) de (1)

pλb [^{IV 17} « p = q) = (q∙^r>l ≡l(p = r) = (qv r)]

psf r^{lv 26} « ^p ≈ q> = (p ∙ ^r)l ≡ ∣(q = ^r) = (pv ^r)i

^rBC UV 27 [(p = r) = (p. q)] ≡ [(q = r) = (p V q)]

5) N de (1) = C de (2) ≈ NP (3 ) (V) de (3)

PÂB [^{IV 66} KP w q) = (r 3 q)] ≡ [(p Wr) = (q 3 r)]

^{IV 59} KP W q) = (r 3 p)] ≡ [(q W r) = (p 3 r)]

•■IV 49 [(p W r) = (q 3 p)] ≡ [(q W r) = (p 3 q)]

7) P (3) (V) de (5) = N de (3) = C de (4)

PÂB f^{IV 54} !<P W q) = (q.r)] = [(p W r) = (q V r)]

Plie ^{IV 45} K^{p w} q) = (P∙^r)i ≡ l(q ^w r) = (P ∨ r)] •IV 44 i(p W r) = (p. q)] ≡ [(q W r) = (p V q)J

H ⅛ en

⅛ g

2) R de (1)

IV 35 [(p  =  q) = (q 3 r)] ≡ [(p = r) (r 3 q)h [p]_λs g

IV 31 [(p  =  q) = (p ) r)] ≡ [(q = r) =  (r J p)]4 [p]— 

IV 30 [(p  =  r) = (p 3 q)] ≡ [(q = r) =  (q 3 p)]l O

4) P(3)(V) de (2) = R de (3) ⅛

IV 63 [(p  =  q) = (q.f)] ≡ [(p = r) = (q ∣ r)h [p]_χs &

IV 58 ((p  =  q) = (p. r)j ≡ [(q - r) = (p |  r)]4 [p]— 

IV 48 [(p=r) = (p. q)]≡ [(q = r) = (P I q)] ^rBC H

6) N de (2)  = C de (1) =  R de (5) O

IV 36 [(p W q)  =  (q 3 r)]≡ [(p W r)  =  (r 3 q)]] [p]_λs § 

IV 40 ](p W q)  =  (p 3 r)] ≡ [(q W r)  =  (r 3 p)H [p]— 

IV 41 [(p W r)  =  (p 3 q)] ≡ [(q W r)  =  (q 3 p)J^j

8) P (3) (V) de (6)  = N de (4) = C de (3)  = R de (7)

IV 8 [(p W q)  =  (q.f)] ≡ [(p W r)  =  (q ∣ r)]ι [p]_χ5

IV 13 ](p W q)  =  (p. r)] ≡ [(q W r)  =  (p |  r)]| [p]— 

IV 23 [(p W r)  =  (p. q)]  = [(q W r)  =  (p |  q)]J

oo

Les 12 opérations binaires-binaires de forme [(p y q).(r y p)] constituent une sous-famille particulièrement importante, parmi les opérations ternaires, comme en témoigne le rôle que lui a déjà attribué la syllogistique classique. Jointe à la sous-famille des 12 opérations de forme [(p y q)-(p ∨ r)] elle constitue une famille de 24 éléments.

Or, contrairement aux cas des familles étudiées jusqu’ici, dont les transformations simples Pm, Pcφ, Nh, Rg ou Rd permettaient la structuration sous forme de groupes sans sortir de l’ensemble des éléments constituant la famille donnée, il se trouve que chacune de ces mêmes transformations, appliquées aux éléments de la famille IV f) les relie nécessairement à ceux de la famille III-V a), sous leur forme binaire-binaire, et conduit à la construction d’un groupe total de 96 éléments (48 III-V a, 24 IV / et 24 équivalents IV /). Nous reviendrons sur ce fait essentiel au cours du chap. VI (§ 25), à propos de la transformation des familles les unes dans les autres.

Il est cependant une manière de dissocier la famille IV f) de la famille III-V a) et de grouper en un système fermé les éléments de la première. Mais cette méthode nécessite l’emploi des transformations plus complexes dont nous avons dû nous servir à propos des familles uninaires-binaires doubles ou binaires- binaires doubles III-V c) et IV a), ainsi qu’une traduction des opérations sous la forme d’équivalences. Ces circonstances montrent assez le caractère particulier de la famille IV f), qui, quoique séparable et constituant ainsi un système naturel, n’en atteste pas moins l’existence de relations plus étroites que ce n’est le cas habituellement avec une famille voisine, et appartenant à un autre ordre (ordre III-V et non pas IV).

On peut, en effet, mettre une opération telle que IV 11 [(p q)-(p v r)J sous la forme d’une équivalence [(py q) = Qpv r)] car cette opération composante d’équivalence se décompose en deux conjonctions : [(p y q).(p ∨ r)] et [(p. q).(p.  r)]. Or, [(p. ÿ). (p. r)] ≡ O, ce qui réduit l’équivalence à la première de ces deux conjonctions, c’est-à-dire à la forme [(p y q).(pv r)] de l’opé-

ration IV 11. Par contre les expressions les plus proches de IV 11 appartenant à la famille III-V a), c’est-à-dire les opérations V 54 1(7 3 p)∙(p ∨ ^r)] et V 7 [(p 3 q).(p | r)] ne peuvent être mises sous la forme d’équivalences analogues, telles que [(7 3 p) = (p v r)] ou [(p 3 q) — (p | r)], car les conjonctions [(p-q)-(β-r)] et [(P ■ q) • (p • ^r)] ne sont pas nulles mais sont respectivement égales à (p. q.r) et à (p. q.r). Les expressions [⅛3p) = (pv r)J et [(p 3 q) = (p | r) n’appartiennent donc plus à la famille III- V a) mais bien à la famille II-VI a).

D’une manière générale, chacune des 24 opérations IV f) et sous chacune de ses deux expressions équivalentes telles que [(p ^{5 f}l)∙(P v ^r)] ^et [(P I q) I (r J P)] (IV 11) peut donc être mise sous la forme d’une équivalence positive (=) ou négative (w) en remplaçant simplement les opérations composantes (.) ou (|) par (=) ou par (w). Au contraire, les 48 opérations de la famille III-V a) sont transformées en opérations II-VI a) lorsque l’on remplace les opérations composantes (.) et (|) par les équivalences (=) et (w).

Partons ainsi de ces opérations IV f) mises sous forme d’équivalences et adoptons, pour une expression telle que [(p 3 q). (p ∨ r)] l’équivalence entre opérations composées niées, soit [(p. q) = (p. r)] et non par [(p 3 q) = (p ∨ r)]. Cela simplifiera les transformations tout en ne changeant rien au principe puisque ces deux équivalences reviennent naturellement au même¹.

On peut alors dresser le tableau suivant (125).

On voit que cet ensemble d’opérations est réparti en deux sous-familles de 6 quaternes chacun : Q 1 à Q 6 et Q 7 à Q 12. Chaque sous-famille comporte 3 couples de quaternes, chacun de ces 3 couples étant lui-même caractérisé par un moyen terme : p pour Q 1 Q 2 et pour Q 7 Q 8 ; q pour Q 3 Q 4 et Q 9 Q 10 ; r pour Q 5 Q 6 et Q 11 Q 12. Enfin chaque couple de quaternes représente deux systèmes d’expressions équivalentes pour la même opération : IV 51 et IV 51 bis en Q 7 Q 8 ou IV 46 bis et IV 46 en Q 1 Q 2, etc.

1° Examinons d’abord la relation entre chaque expression et son équivalent, donc la relation entre les quaternes impairs Q 1 ⅛

1. En vertu de (x =• y) ≡ (x = ÿ).

(125)

1) Opérations de départ 2) N de (1) 3) R de (1) 4) C de 1 = N de (3) Q

1IV 46 bis (ρ.q) = (p. r) IV 25 bis (p. ¾) W (p. r) IV 57 bis (p. q) = (p. r) IV 14 bis (p. q) W (p. r) Q 1

’IV 46 (p. q)w(p. r) IV 25 (p. q)  =  (p. f) IV 57 (P-Ô)W(p. r) IV 14 (P∙q)=(P∙τ) Q 2

Pab

,j(IV 37 bis (p. q) = (q.r) IV34 bis (p. q) W (q.r) IV 62 bis (p. q) — (q. f) IV 9 bis (p. q) w (q. r) Q 3

’IV 37 (p. ¾)w(q.f) IV34 (p. q)  =  (q.f) IV62 (p. q) W (q.r) IV 9 (p. q)  = (q.r) Q 4

Pbc

[p](IV 38 bis (p. r) = (q.r) IV 33 bis (p. q) W (q.r) IV 52 bis (p. r) = (q. r) IV 19 bis (p. r) w (q. f) Q 5

^G’IV 38 (p. f)W(q.r) IV33 (p. f)=(q.r) IV 52 (p. r) W (q. r) IV 19 (p. r)=(q.f) Q 6

Ring

ΛIV 51 (p. q) = (p. r) IV 20 (p. q)W(p. r) IV11 (p. q) = (p. f) IV 60 (p. q)w(p. f) Q 7

^A*IV 51 bis (p. q) w (p. f) IV 20 bis (p. q) = (p. f) IV 11 bis (p. q) Wl(p. r) IV 60 bis (p. q) = (p. r) Q 8

Pab

LlV 55 (p∙q) = (q∙r) IV16 (p. q)W(q.r) IV 4 (p. q) = (q.f) IV 67 (p. q)w(q.f) Q 9

’IV 55 bis (p. q) w (q. f) IV 16 bis (p. q) = (q. f) IV 4 bis (p. q) W (q.r) IV 67 bis (p. q) = (q.r) Q 10

Pbc

I <IV 65 (p. f)=(q.r) IV 6 (p. f)W(q.r) IV 3 (p. r)=(q.f) IV 68 (p. r)w(q.f) Q11

^Chv 65 bis (p. f) W (q.r) IV 6 bis (p. f) = (q.r) IV 3 ils (p. r) w (q.f) IV 68 bis (p. r) = (q. f) Q 12

Q 3 ; etc. et les quaternes pairs correspondants. Cette relation présente une forme générale. Appelons m le moyen terme, qui sera donc p pour les figures A ; q pour les figures B et r pour les figures C. Appelons d’autre part m (comme dans le tableau 120) les propositions ne servant pas de moyen terme, donc, pour les figures A, B et C :

(A) m = q, r ; (B) m = p, r ; (C) m — p, q

On constate alors que, dans tous les cas, la forme équivalente d’une expression donnée (par exemple IV 46 bis pour IV 46 et réciproquement) comporte un changement de signe des propositions in, donc Rm, ainsi qu’une inversion de l’opération composante, (= en w ou réciproquement), donc N :

(126) IV n ■^{Rm) N}> IV n bis

Mais, comme la réciprocité Rm concerne les opérations composées et N l’opération composante, on ne peut pas composer R et N en C ;

2° Le passage de chaque couple de quaternes au couple suivant est assuré par la permutation Pm, soit Pab pour passer de QlQ2aQ3Q4 ou de Q 7 Q 8 à Q 9 Q 10 et Pbc pour passer de Q 3 Q 4 à Q 5 Q 6 ou de Q 9 Q 10 à Q 11 Q 12. Mais il est à remarquer que le tableau (125) ne correspond pas à l’ensemble des permutations Pm possibles (cf. tableau 76) : seules les transformations englobant simultanément les familles IV j) et III- V a) réaliseront cette correspondance complète ;

3° Quant au passage de la première à la seconde sous-famille, c’est-à-dire des quaternes Q 1 à Q 6 aux quaternes correspondants respectifs Q 7 à Q 12, il est d’un grand intérêt. On remarque, eu effet, qu’il n’est pas possible de mettre en correspondance les quaternes de la première sous-famille avec ceux de la seconde, du double point de vue de l’opération composante et du signe des propositions dans les opérations composées, sans faire intervenir lés formes équivalentes (IV n bis). Par contre, en introduisant celles-ci (et en intervertissant leurs positions en Q 1-Q 6 et en Q 7-Q 12 de manière à ce que la correspondance conserve la même opération composante), il se trouve que la seconde opération binaire composée reste constamment la même dans les

H »

expressions de la première sous-famille et dans les expressions correspondantes de la seconde sous-famille : par exemple on a (p. r) en IV 46 bis et en IV 51 ; on a de même (q.r) en IV 38 et en IV 65 bis ; etc. La transformation conduisant de la première à la seconde sous-famille ne porte donc que sur les premières des deux opérations binaires composées de chaque expression, c’est- à-dire, par définition, sur les opérations de gauche.

Cela dit, appelons mg celle des deux propositions de cette opération binaire composée de gauche qui ne joue pas le rôle de moyen terme m. Il suffit alors, pour passer d’une opération de la première sous-famille à l’opération correspondante de la seconde sous-famille, ou vice versa, d’inverser le signe de cette proposition mg, donc d’effectuer la transformation Rmg :

(127) [Q 1-Q 6] ⅛± IQ 7-Q 12]

Par exemple IV 46 bis se transforme en IV 51 au moyen d’un simple changement de signe de q en q ; en effet (p. q) est l’opération binaire composée de gauche, et comme p est le moyen terme m c’est q qui constitue la proposition mg : donc (p. q) donne (p. q).

Or, il est à noter que cette transformation Rmg n’équivaut pas à la permutation P ∨ 3 : en effet (p. q) donne (p. q) dans la transformation de IV 46 bis en IV 51, mais (p. q) donne (p. q) dans la transformation de IV 37 bis en IV 55 parce qu’alors c’est p qui devient mg.

En bref, la famille IV f), tout en étant naturelle comme le prouve la possibilité de transformer ses opérations en équivalences sans changer leur signification, ce qui les distingue des expressions III-V a), ne peut être structurée sous forme d’un groupe qu’au moyen des transformations inusitées (Rm) N et Rmg. Si l’on applique par contre les transformations habituelles Pαβ, P ∨ J et Pm (dans toute sa généralité), il faut réunir en un seul tout les familles IV f) et III-V a) : c’est ce que nous verrons au chapitre suivant.