Chapitre IX.
Quelques problèmes de relations entre le poids et la quantité de matière^{1 a} 🔗

— Le premier de ces exemples sera d’ordre simplement verbal. Nous montrons aux enfants deux barres de la couleur du plomb et du fer en demandant : « Qu’est-ce qui est le plus lourd, une barre de plomb ou une barre de fer si elles sont de la même grandeur ? » L’enfant sait presque toujours que c’est le plomb et nous éliminons les cas dans lesquels ces données ne sont pas connues. La réponse obtenue, nous poursuivons : « Alors, est-ce qu’une boule de fer qui sera la même chose lourde (= du même poids) qu’une boule de plomb sera la même chose grande (= de la même grandeur), ou plus grande ou plus petite ? »

Le second exemple traduit le même problème en termes d’action opératoire. Nous présentons aux enfants une petite boule de cire sèche, très légère, et demandons de faire une boulette de même volume en pâte à modeler (argile lourde). Lorsque le sujet a constaté la différence des poids, nous lui montrons une boulette de la même cire, seulement un peu plus grosse, en le priant de confectionner une boulette d’argile, mais qui ait cette fois le même poids et non pas un poids différent. Nous laissons sur la table à titre de témoins les deux boulettes initiales de même volume.

Il s’agit donc, dans les deux cas, de procéder d’une égalité de volume (ou de quantité apparente de matière), avec inégalité de QUELQUES PROBLÈMES DE RELATIONS

poids, à une égalité de poids avec inégalité de volume. C’est cette opération de multiplication logique des relations que nous aimerions décrire dans ce paragraphe, indépendamment des questions de quantification. Nous examinerons à part la question verbale (premier problème) et la question d’opération effective (second problème) pour pouvoir juger des différences qui opposent le plan dé la réflexion abstraite à celui de l’action. Enfin nous étudierons un troisième exemple, semblable au second et qui consiste à confectionner un petit tas de sable et un tas de millet en calculant leurs grosseurs de façon à leur attribuer le même poids.

Or, pour ce qui est de ces trois sortes d’exemples, les réactions se sont trouvées exactement les mêmes, en questionnant naturellement d’autres enfants dans le cas des boulettes de cire et d’argile et dans celui des boules de fer et de plomb. La seule .différence est que les âges moyens des stades observés sont plus élevés pour la question verbale (fer et plomb) que pour les problèmes pratiques (cire et argile ou question des deux tas) : cela revient à dire que, dans l’abstrait, les questions sont plus difficiles à résoudre, ce qui n’a rien de surprenant’. Par contre, et ceci est plus curieux, on trouve, dans les trois problèmes trois types identiques de solutions, les deux premières correspondent au premier des stades de l’évolution de la notion de densité (chap. VIII § 1) et la troisième au second stade. Les deux premières consistent, soit à faire deux boules ou deux tas de même volume pour qu’ils aient le même poids, soit à attribuer un volume plus grand au corps le plus dense, pour qu’il ait le même poids que le plus léger ! Cette seconde réaction, assurément paradoxale, s’est retrouvée, en effet, sur le plan des opérations effectives aussi bien que sur le plan verbal, et elle témoigne comme la première d’une difficulté à dissocier le poids du volume (premier stade). Enfin la solution juste (volume en proportion inverse de la densité) correspond au second des stades distingués jusqu’ici.

Voici les exemples de la première des réactions propres au premier stade, à commencer par quelques réponses données à la question verbale du plomb et du fer :

Pera (7 ans) : « Qu’est-ce qui est le plus lourd, une barre de plomb ou une barre de fer ? •— De plomb. — Alors un garçon veut faire une boule de fer la même chose lourde qu’une boule de plomb. Elle sera de la même grosseur, ou plus petite ou plus grande. — S’il les fait la même chose lourdes, elles seront la même chose grandes. — Pourquoi ? — Pour avoir le même poids. — Mais qu’est-ce qui est plus lourd le fer ou le plomb, quand les barres sont de la même grosseur ?

— Le plomb — Alors si on fait des boules qui aient juste le même poids, elles seront comment ? — La même chose grandes. »

Et des exemples de la même première réaction du premier stade mais à la question pratique des boules de cire et d’argile :

Jaro (7 ans) : « Elles seront la même chose grosses si elles ont le même poids. »

Lenk (7 %) : • Elles doivent avoir la même grosseur, pour qu’elles soient la même chose lourdes. »

Jun (7 ; 8) : « Elles seront de la même grosseur. Elles auront la même chose de fer et la même chose de plomb ( = égalité des quantités apparentes de matière). »

Kir (8 ; 9) : « Il faut les faire de la même grandeur. »

Ric(4 ; 11): « Tiens cette boulette (cire). Pèse-là dans ta main.— C’estléger ! •— Oui, c’est de la cire, c’est très léger. Fais-moi avec cette pâte une boulette la même chose grande. — (Il la fait.) Voilà. — Bien, pèse-les dans ta main. Laquelle est la plus lourde ? — Celle-là (argile). C’est plus lourd parce que c’est de la pâte. — Alors écoute-moi bien. Voici une autre boule de cire, tu vois, alors tu vas faire avec la pâte une boule qui soit la même chose lourde, tu entends bien, la même chose lourde et pas plus lourde que cette boule de cire. — (Rie assemble tout ce qui se trouve de pâte à modeler, pour faire une boule aussi grosse et dit :) Je prends encore ce bout pour que ça fasse gros. (Il mesure du regard et rajoute encore.) — Qu’est-ce que tu fais ? — Je cherche à voir que c’est la même chose gros. — Il faut faire aussi gros ? a- Oui. — Pourquoi ? — Pour que ce soit la même chose lourd. — Laquelle est la plus lourde de ces deux (les témoins) 1 — Celle-là (argile). — Alors ces deux grosses (les deux autres) qui sont la même chose grosses seront la même chose lourdes ? •— Oui. ■— Pourquoi ? — Parce qu’elles sont la même chose grosses. »

Ar (5 ans) est mis en présence d’une boulette de cire plus grande qu’une boulette d’argile, mais de poids égal. Il prévoit que la grande sera la plus lourde : « Essaie. •— (Il pèse.) Non, c’est la même chose lourd. — Pourquoi ? — Il y en a une qui est dure, et l’autre est pas dure. — Laquelle est dure ? — La petite (précisément celle qui est en pâte molle, mais dur signifie lourd ou condensé). ■— Alors tiens une petite boule de cette cire-là. Fais avec la pâte quelque chose qui pèse juste autant que ça. — (Il fait le même volume.) — Elle pèsera la même chose ? — Oui. ■— Pourquoi ? — Elle est aussi comme ça (comme la petite boule de cire), la même chose petite. »

Gas (6 ans) fait, comme nous le lui demandons, une boulette de pâte de même volume que la boulette témoin de cire : « Laquelle est la plus lourde ? — C’est la pâte. —   Pourquoi ? — Quand c’est la même chose gros ça fait plus lourd. — Très bien. Alors, tiens, voilà une autre boule de cire (un peu plus grosse). Fais-moi une boule de pâte qui pèse juste la même chose. — (Il lui donne le même volume.) Voilà. — Ce sera le même poids ? — Oui. — Pourquoi ? — C’est la même chose gros. — Mais tu m’as dit tout à l’heure que quand c’est la même chose gros c’est plus lourd ? — Oui. — Alors ? — Oui, je me rappelle (air embarrassé). — Qu’est-ce qu’il faut faire ? — Je ne sais pas. »

Et avec la question du tas de sable et du tas de millet :

Nier (5 ; 4) : « Tiens voilà une petite boîte de sable et une petite boîte de graines (deux boîtes de la même grandeur). Laquelle est la plus lourde ? — (Il pèse.) Le sable est plus lourd et le grain est pas lourd. —   Alors tiens, tu peux prendre du sable ici et des grains ici (les deux provisions) : fais-moi un tas de sable qui pèse juste la même chose lourd que celui des grains et fais aussi un QUELQUES PROBLÈMES DE RELATIONS

tas de grains qui pèse juste la même chose lourd que celui du sable. — (Il fait deux tas de la même grandeur.) — Qu’est-ce qui était le plus lourd dans ces boîtes (les boîtes témoins sont restées devant l’enfant) ? — Le sable. — Et maintenant les tas que tu as fait sont la même chose lourds ? — • (Il examine les tas pour voir s’ils ont exactement la même taille.) Les grains sont plus lourds. C’est un petit peu plus grand, le tas des grains. (Il rajoute du sable.) — Et comme ça ? — La même chose lourd. »

Nad (5 ans) construit ses tas après avoir pesé les boîtes : « Ça deviendra la même chose grand ou un sera plus petit que l’autre ? — La même grandeur (il termine). — C’est la même chose lourd ? — Oui. (Il pèse et constate le contraire.) Ah non, le sable est plus lourd. — Alors ? — Il faut un petit peu plus de grains. »

Car (6 ans) constate que le sable est plus lourd, mais fait deux tas identiques : « Ils sont aussi grands l’un que l’autre 1 — C’est la même chose. — Pourquoi ? — Pour que ça fasse la même chose lourd. — ■ Mais quand tu as pesé les deux boîtes c’était la même chose ? — Le sable était plus lourd. — Alors pour faire deux tas la même chose lourd il ne faut pas mettre plus de sable ou plus de graines 1 — Non. »

Tré (8 ans) constate que « le sable est plus lourd » mais fait deux tas de même volume : « Pourquoi tu as mis la même grosseur 1 — Il faut le même poids. Pour ça j’ai mis la même quantité de graines. — • Mais là, (les deux boîtes) c’est la même quantité ? — Oui. — • Et le même poids ? — Non. — Alors pourquoi tu mets ici la même quantité ? — Pour que ça fasse la même chose lourd. »

On peut hésiter, en présence de tels faits, entre deux interprétations : ou bien l’enfant oublie en cours de route les données qu’il a constatées (et la réaction de Gas, en particulier, pourrait laisser cette impression à propos des boules de cire et d’argile), ou bien il se rappelle bien les données, mais ne parvient pas à inverser la relation : « A est plus lourd que B à volume égal » en cette autre : « A est moins volumineux que B à poids égal. » Notons que, chez les petits, l’incapacité à opérer cette transformation peut bien entraîner l’oubli des données, mais cela ne justifierait pas la première de ces deux interprétations car la question est de savoir si c’est l’oubli des prémisses qui explique, à titre de phénomène mnésique, la réaction de l’enfant ou si cet oubli, au cas où il se présente, n’est que dérivé par rapport à la difficulté intellectuelle.

Or, si l’on peut conserver des doutes lorsqu’on interroge un ou deux enfants seulement, la grande fréquence de cette réaction et surtout, au cas où elle ne se présente pas, l’existence de la réaction suivante (second type du premier stade) nous semblent assez montrer qu’au niveau du premier stade l’oubli et la distraction n’expliquent pas tout et que la difficulté proprement logique du maniement de la multiplication des relations demeure essentielle.

Notons d’abord que, dans chacun des cas cités, le raisonnement

de l’enfant est absolument le même. Le sujet commence par constater qu’à égalité de volume, le poids de A est plus grand que celui de B. Nous écrivons A ’ B pour l’égalité de volume et A £ B pour l’inégalité de poids en faveur de A : On a donc (A B) = (A £ B). Or, de ce système, l’enfant conclut, lorsqu’il s’agit de prévoir verbalement le poids des boulettes de fer et de plomb ou de construire effectivement une boule d’argile pour égaler le poids d’une boule de cire, ou encore de confectionner un tas de sable et un tas de graines de poids équivalents, à l’égalité (A B) = (A £ B), qui, pour nous est contradictoire avec (A B) = (A £ B). Lorsqu’il s’agit de prévoir dans l’abstrait le poids des boules de fer et de plomb, cette erreur dure plus longtemps, tandis que sur le plan des opérations effectivement réalisées, elle disparaît plus tôt, mais elle présente dans les deux cas exactement la même structure logique. Comment expliquer la chose ?

On pourrait dire, et c’est évidemment par là qu’il faut commencer, que pour ces sujets il n’existe aucun rapport entre la constatation initiale de l’inégalité des poids (A 3 B) = (A P. B) et le problème ultérieur de quantification : construire deux tas ou deux boulettes de poids équivalent. Dans le premier cas, en effet, l’enfant constate simplement qu’à égalité de volume il y a inégalité de poids : d’où il conclut que le poids est une qualité substantielle appartenant au plomb plus qu’au fer, à l’argile plus qu’à la cire et au sable plus qu’au millet, mais il ne se pose nullement le problème de la quantification de cette qualité conçue de façon purement égocentrique et phénomé- niste (voir chap. I à VI). Dans le second cas, au contraire, on pose à l’enfant et du dehors, un problème de quantification : construire mentalement ou réellement une boule ou un tas A qui ait le même poids qu’une boule ou un tas B et déterminer son volume. Alors, n’ayant à sa disposition aucun instrument de quantification du poids ni en lui-même ni en rapport avec le volume, l’enfant se dit sans plus : pour trouver un poids équivalent, rendons tout équivalent, d’où l’égalité de volume (A £ B) = (A X B), cette solution étant donc celle qu’impose la méthode de simple équivalence intuitive faute de quantification possible.

Mais pourquoi la quantification du poids et du volume demeure- t-elle inaccessible à l’enfant de ce niveau ? C’est là la vraie question et l’on peut y répondre de deux façons. On peut invoquer des raisons d’ordre physique : le poids, au cours du premier stade, n’est en effet,

qu’une qualité intuitive, donc égocentrique et phénoméniste, dépendant de la forme des objets et ne se conservant pas au cours de leurs transformations, irréductible par conséquent à toute mesure et à toute quantification. Mais on peut aussi bien en appeler aux raisons d’ordre logique : toute quantification supposant une composition logique, l’enfant de ce niveau ne saurait parvenir ni à grouper les relations de poids ni, en particulier, à effectuer les multiplications de relations qui interviennent dans les présents problèmes. Mais laquelle de ces deux explications est-elle la vraie ? Est-ce faute d’une physique suffisante que le sujet ne parvient pas à constituer une logique du poids, ou faute d’une logique suffisante que sa notion du poids demeure si intuitive et si peu physique ?

Il se pourrait surtout que ces deux problèmes n’en constituent en réalité qu’un seul. Les « opérations physiques » de sectionnements et de déplacements ne sont sans doute que des opérations logiques effectuées dans le temps et dans l’espace et s’appliquant successivement aux diverses qualités physiques elles-mêmes, à la substance comme telle, tout d’abord, puis au poids, au volume, etc ; Il n’y a pas de doute qu’il en soit ainsi pour la substance elle-même, ou plus précisément pour la quantité apparente de matière, notion dont la constitution se confond avec celle de la quantité en général et qui représente dès lors la première forme de quantification. Or, au niveau du premier stade, la substance comme telle n’est point encore quantifiée et il n’y a rien de surprenant à ce que le poids ne puisse donc l’être davantage : c’est au cours du second stade que, la quan- • tité de matière étant constituée à titre d’invariant, le poids pourra s’en dissocier et que la quantification de cette qualité particulière posera un problème distinct, dont la solution ne sera découverte par l’enfant qu’au niveau du troisième stade. Pour le moment, il est donc permis de conclure qu’aucune quantification n’est encore possible, pour des raisons à la fois physiques et logiques, d’où les réactions que nous venons de décrire et celles que l’on va trouver maintenant.

En effet, outre les réponses que nous venons d’examiner, on observe au niveau du premier stade, un second type de réactions caractérisées par le fait qu’ayant constaté contre toute attente le poids supérieur de A par rapport à B, l’enfant en conclut que pour construire un tas ou une boule de A ayant un poids égal à B il faut rendre A plus volumineux que B ! Voici d’abord quelques exemples relatifs au problème verbal du plomb et du fer :

Ret (6 ans) : « Le plomb est plus lourd que le fer. — Bien, alors pour faire une boule de plomb qui soit juste aussi lourde qu’une boule de fer, faut-il la faire aussi grande, ou plus grande ou plus petite ? — Il faut en faire une plus grosse que l’autre. — Bien, laquelle ? — Il faut faire celle en plomb plus grosse, parce que le plomb est plus lourd que le fer. »

Hal (7 54) : « Une barre de fer est plus lourde ou plus légère qu’une barre de plomb ? — Plus légère. — Et alors, si on veut faire une boule de fer et une boule de plomb la même chose lourdes, comment elles doivent être ? — Il faut faire celle de plomb plus grande, puisqu’il est plus lourd. •

No y (8 ans) : « Celle de fer sera plus petite, puisqu’il est plus léger. —   Mais alors une sera plus lourde que l’autre 1 — Non, la même chose lourde si on fait celle de plomb plus grande. »

Et avec les boulettes de cire et d’argile :

Bad (5 ; 8) : « Fais-moi une boulette grosse comme celle-là. — (Il la fait.) — Laquelle est la plus lourde ? — (Il pèse.) Celle-là, parce que c’est de la terre à modeler. — Alors, tiens, voilà une grosse boule de cire. Fais-moi maintenant une boule de pâte qui pèse juste la même chose et qui ne soit pas plus lourde. — Elle devra être plus grosse. (Il confectionne une boulette d’argile qui a exactement le même volume que celle de cire.) — Est-ce qu’elle sera la même chose lourde ? — Non, il faut qu’elle soit plus grosse. ■— Pourquoi ? — • Pour être la même chose lourde. (Il ajoute encore de la pâte et fait une boulette sensiblement plus grosse.) — Et puis alors ? — Ce sera la même chose lourd. — Essaie. — (Il pèse.) Ah elle est plus lourde ! »

Boul (6 ans) : « Fais une boule de même grosseur. ■— • (Il la fait.) — Laquelle est la plus lourde ? •— C’est la pâte. — Tiens cette autre boule de cire. Fais une boule juste du même poids avec la pâte. — (Il rassemble tous les morceaux.) — Qu’est-ce que tu cherches ? — (Il termine une boule plus grosse que celle de cire.) Il faut faire lourde comme celle-ci. — Et tu penses que c’est juste ? — Oui, je ne suis pas sûr. —   Pourquoi ? — Je crois qu’il n’y a pas assez de terre. Il faut la faire plus grosse pour qu’elle soit la même chose lourde. — (On lui redonne de la pâte et il agrandit encore sa boule.) Pèse. — Oh ! c’est plus lourd. — Pourquoi 1 — Parce qu’il y a plus de terre. — Qu’est-ce qu’il faut faire alors ? — La même chose de terre. »

Et avec le tas de sable et le tas de millet :

Kad (6 ans) constate que le sable est plus lourd que les graines. On verse sur la pâte un petit tas de sable en demandant d’en faire un de même poids : Il met moins de graines : « Pourquoi ? — ■ Il faut plus de sable parce que le sable est plus lourd. »

Mao (6 ans). Mêmes réactions. « Essaie de peser. — Ah, j’ai trop mis de sable. — Alors fais la même chose lourd. — (Il enlève un peu de sable mais laisse le tas de sable plus grand.) — Lequel des deux tas est le plus grand maintenant ? — Encore le sable. — Pourquoi ? — Pour que ça fasse la même chose lourd. — Mais qu’est-ce qui était le plus lourd, la boîte de sable ou la boîte de graines ? — De sable. — Alors pourquoi tu fais le sable plus gros ? — Parce que le sable est plus lourd. « 

Juc (7 %) fait d’abord deux tas de même volume. « Pourquoi ? — Il faut qu’ils soient la même chose gros pour faire le même poids. — Mais qu’est-ce qui était plus lourd dans la boîte ? — Le sable. — Alors qu’est-ce qu’il faut faire pour avoir deux tas juste aussi lourds ? — Ah ! il faut remettre du sable. (Il le fait.) — Maintenant, ça fera quoi ? — La même chose lourd. »

Il est bien clair que chez ces enfants l’oubli des données ou la distraction ne sauraient plus être invoqués pour expliquer leur réaction. Sans doute, dans le cas du fer et du plomb le caractère verbal de la question pourrait expliquer que le « plus » entraîne le « plus » mécaniquement, par simple association de mots. Mais chez Bad, Boul, Mag et Juc on voit au contraire le raisonnement se construire peu à peu, avec effort pour dissocier les relations de poids et de volume que la constatation initiale leur a montré être indépendantes : c’est donc au moment où ils cherchent à dissocier le poids et la quantité de matière qu’ils renversent les relations pour retomber comme malgré eux dans une proportion directe entre ces deux termes. Bad commence, par exemple, par faire une boule d’argile de même grosseur que celle de cire, puis il se corrige et dit « il faut qu’elle soit plus grosse pour être la même chose lourde », ce qui n’est plus une association verbale entre le « plus » et le « plus », mais un effort manqué de coordination. Boul trouve même que sa boulette n’est pas assez grande et rajoute de la pâte-en disant également « il faut la faire plus grosse pour qu’elle soit la même chose lourde » : il pose ainsi comme prémisse qu’à volume égal le poids sera différent et en conclut que la plus lourde des deux substances doit être en plus grande quantité pour faire le même poids ! Mag a beau être détrompé par une première pesée lui montrant qu’il a « mis trop de sable », il n’en conserve pas moins un tas de sable plus grand « pour que ça fasse la même chose lourd… parce que le sable est plus lourd ». Quant à Juc, qui comme Bad commence par deux quantités égales, il admet, dès qu’il se rappelle que le sable est plus lourd qu’« il faut remettre du sable » pour avoir l’équivalence des poids. Certes, pour ces sujets, on peut dire en un sens que le « plus » entraîne « le plus », mais ce n’est pas par association verbale, c’est par incapacité de multiplier logiquement les relations et surtout de comprendre le rapport inverse. Leur raisonnement est même si peu verbal qu’ils en arrivent à cette absurdité de construire réellement une plus grande boule d’argile ou un plus grand tas de sable, pour égaler le poids d’une boule de cire ou d’un tas de millet, tout en disant et en constatant qu’à même volume la première substance est plus lourde que la seconde !

Comment donc expliquer cette réaction extraordinaire ? Notons tout d’abord qu’elle n’a rien d’exceptionnel. Dans le domaine du temps et de la vitesse, notions auxquelles nous espérons consacrer ultérieurement une étude d’ensemble, on trouve, par exemple, des 194 LE DÉVELOPPEMENT DES QUANTITÉS

raisonnements tels que l’enfant attribue « plus de temps » à un mouvement A exécuté à une vitesse plus grande que B, les espaces parcourus étant égaux ; ou encore il attribue une plus grande vitesse au mobile qui parcourt la plus petite de deux pistes circulaires concentriques dans le même temps qu’un autre mobile parcourt la grande. Il n’y a donc dans les faits que nous examinons maintenant aucune singularité particulièrement anormale.

Or, dans le cas de cette seconde réaction du premier stade comme dans celui de la première, on peut trouver deux explications parallèles, l’une d’ordre physique et l’autre d’ordre logique. L’interprétation physique nous paraît être la suivante, étant admis qu’à ce niveau du développement ni le poids ni le volume ni même la quantité apparente de matière ne sont encore quantifiables et qu’ils ne constituent par conséquent aucun invariant susceptible de constance au travers des transformations. Or, si le poids, le volume et la quantité de matière sont ainsi indifférenciés en une telle totalité intuitive, à la fois égocentrique et phénoméniste, la constatation d’une substance A plus lourde que B à volume égal ne peut être interprétée par l’enfant que de deux manières : ou bien il attribuera une qualité substantielle à A, n’entraînant aucune conséquence quant au rapport du poids et du volume (première réaction de ce stade); ou bien il admettra que A possède en général quelque chose en « plus », qui est d’être à la fois plus lourd, plus volumineux et plus riche en substance. On se rappelle, en effet, ces cas du premier stade (chap. VIII § 1, cas de Zur et de Che) qui prévoient à tort qu’un gros bouchon est plus lourd qu’un petit caillou et qui, une fois détrompés, répondent que le caillou est plus lourd « parce que quand la pierre est plus grosse que le bouchon, elle est plus lourde » (Zur); ou que le franc blanc est plus lourd que le franc en laiton « parce que c’est lui qui est plus épais » tandis qu’il était considéré comme moins épais juste auparavant (Che). De même nos sujets actuels doivent sans doute attribuer à la substance A plus lourde que B la propriété de présenter ordinairement quelque chose « en plus » de B, ce « plus » demeurant indifférencié et global. Et alors, sollicités de construire une boule ou un tas de A ayant le même poids que B, ils en concluent que A étant plus lourd que B il faut mettre « plus » de A que de B sinon A serait plus léger. Lorsque Kad, par exemple, dit « il faut plus de sable, parce que le sable est plus lourd » il exprime directement cette indifférenciation de la quantité de matière et du poids, laquelle constituerait ainsi le

vrai motif de ces constructions bizarres, puisqu’elle rend impossible au sujet d’inverser ces deux termes. En un mot, on pourrait traduire les choses comme suit : 1° l’enfant s’attend à la proportionnalité entre le poids et la quantité de matière, donc (A ’ B) = (A £ B); 2° il découvre que le poids est supérieur, soit (A ’ B) = (A £. B); 3° il en conclut que pour obtenir un poids égal, il faut rétablir l’équilibre en augmentant aussi la matière, soit (A £ B) = (A B).

Mais il va de soi que parallèlement à cette explication d’ordre physique, il faut chercher une explication d’ordre logique. Seulement celle-ci ne nous pose aucun problème nouveau : l’incapacité à tirer de la relation (A £ B) = (A £ B) la relation inverse (A £. B) = (A X- B) ^ne constitue qu’un cas particulièrement frappant de la difficulté des sujets de ce stade à la composition réversible. Or, même sans effectuer une telle opération qui relève ’du « groupement » des multiplications bi-univoques des relations asymétriques ¹ l’enfant pourrait parvenir à une solution intuitive ou empirique. Le fait qu’il en demeure incapable montre a fortiori qu’il ne peut encore remplacer le système des rapports égocentriques par celui des opérations réversibles.

Quant à la relation qu’il convient d’établir entre ces facteurs physiques et ces facteurs logiques, tout semble à nouveau indiquer comme dans le cas de l’explication des réactions du premier type de ce stade, qu’ils sont étroitement interdépendants. Mais il importe naturellement de distinguer deux cas, celui des réactions pratiques (cire et argile ou sable et millet), dans lequel cette interaction des représentations physiques et du raisonnement joue à plein, et celui des réactions verbales (fer et plomb) qui sont résiduelles et se retrouvent à des âges plus tardifs. Il faut en outre se rappeler, et nous l’avons déjà noté précédemment, qu’une fois acquise la quantification de la substance (notion de la quantité de matière), le mécanisme logique est pratiquement monté mais sans pour autant s’appliquer d’emblée aux relations de poids et de volume proprement dit, qui soulèvent des problèmes physiques nouveaux.

Au total les deux types de réaction propres à ce premier stade constituent donc un tout homogène, dont le principe commun est l’indifférenciation du poids, du volume et de la substance et qui se manifeste du point de vue logique par l’incapacité à la composition

¹ Voir Compte-rendu des Séances de la Société de Physique et d’Histoire naturelle de Genève, vol. 58 (1941), p. 154.

réversible et à la quantification. Avec le second stade, par contre, nous assistons à une découverte de la réponse juste par dissociation des notions de poids et de quantité de matière, cette dernière étant devenue susceptible de composition, tandis que la première demeure intuitive. Une telle dissociation suffit, en effet, nous l’avons vu au cours des deux derniers chapitres, pour que l’enfant comprenne la relation inverse du poids et du volume, et c’est tout ce que réclamé la solution des trois problèmes analysés dans ce paragraphe. Mais nous constaterons au § 2 qu’une telle relation inverse d’ensemble peut être découverte intuitivement sans résulter d’une opération proprement dite, car à ce niveau elle n’implique encore ni généralisation ni quantification du détail (lorsque l’on envisage la moitié ou le quart des objets). En attendant d’examiner ce dernier point, voici des exemples des réponses correctes du second stade aux problèmes étudiés présentement, à commencer par celui du plomb et du fer :

Don (6 54)’: ’ Il faut faire la boule de fer plus grande pour que ce soit la même chose lourd que le plomb. »

Hum (7 54) : « Il faut faire la même chose gros, non, il faut le fer plus gros parce que, s’il y en a plus, c’est la même chose lourd. »

Ons (8 ans) : « La boule de plomb doit être plus petite parce qu’il est plus lourd. »

Rad (9 ans) : « Le fer est plus léger que le plomb, alors il en faut bien plus pour que ce soit lourd comme le plomb. »

Gar (10 ans) : « Celle de fer sera plus grosse, parce qu’il en faut plus pour faire le même poids. »

Et pour la question pratique de la cire et de l’argile :

Mor (6 ans) : « Fais une boulette de même grosseur que cette boule de cire. — (Il la fait.) — Laquelle est la plus lourde ? — La pâte. —   Pourquoi ? — Je ne sais pas. —   Tiens, maintenant, cette autre boule de cire. Fais une boulette qui ait juste le même poids. Comment tu feras ? •— • Il faut faire la boule plus petite parce que ça (le modèle) c’est de la cire. »

Cor (6 y₂) : « Il faut la faire plus petite. —   Et si tu fais la même chose grande ? — Elle sera plus lourde. »

Ano (6 y₂) : « Il faut la faire plus petite. —   Pourquoi ? — La pâte, c’est lourd, il en faut moins. »

Mey (7 ans) : « Il faut mettre moins de terre à modeler, parce qu’elle est plus lourde. »

Et pour la question des deux tas :

Ton (6 y₂). On présente les deux boîtes : « Le sable c’est plus lourd, mais il y a la même chose gros. —   Alors fais-moi deux tas la même chose lourds, un avec le sable et l’autre avec les graines. •— ■ Il faut faire celui de sable plus petit, parce que c’est plus gros ( = plus lourd). — Essaie. — Il faut un tas de graines plus gros ( = volumineux), parce que c’est moins lourd. »

Rel (6 54) : « Le sable est plus lourd, alors le tas de graines doit être plus gros, parce que les graines sont moins lourdes. »

Naz (6 y₂) : « Il faut plus de graines. —   Pourquoi ? — Parce que le sable est plus lourd. »

May (7 ans) : « Le sable est plus lourd, il faut faire le tas de graines plus grand. — Pourquoi ? — Pour que ça pèse la même chose. »

Telles sont les réponses correctes que l’on obtient au cours du second stade. Du point de vue physique, elles témoignent donc d’une dissociation entre les notions de poids et de quantité de matière, ce qui est conforme aux caractères généraux de ce niveau. Du point de vue logique, elles font preuve d’une capacité à coordonner deux relations inverses, ce qui constitue un résultat parallèle au progrès des représentations physiques. Mais si la substance est déjà quantifiée à ce stade, intensivement et même extensivement, la relation inverse entre cette quantité et le poids ne requiert aucune nouvelle opération proprement dite et peut s’expliquer par un simple progrès d’ordre empirique ou intuitif, c’est-à-dire sans généralisation, à tous les cas successifs. Cela revient à dire que le poids comme tel demeurera donc lui-même à l’état de qualité intuitive, sans quantification spéciale. Or, c’est bien ce que nous allons constater au cours du § 2 : nous allons voir, en effet, qu’au cours de ce stade la relation inverse entre le poids et le volume s’applique seulement à la totalité des objets perçus mais ne saurait être reportée à la moitié ou au quart de ces mêmes objets, preuve que si la matière elle-même peut être quantifiée extensivement, le poids demeure une qualité substantielle. C’est pourquoi nous classons les réponses précédentes dans le second stade et devons maintenant compliquer les épreuves pour pouvoir distinguer ces réactions de celles du troisième stade.

— On pose devant l’enfant un gros bouchon, plus large que haut (de la dimension des bouchons pour pots de conserve) et divers morceaux informes d’argile à modeler. On prie d’abord l’enfant de faire avec l’argile « quelque chose qui soit la même chose lourd que ce bouchon ». L’opération une fois exécutée on laisse à l’enfant le soin d’en vérifier le résultat et de se corriger. Après quoi l’on substitue à ce bouchon un second exemplaire de même taille mais sectionné verticalement en deux moitiés et l’on prie l’enfant de confectionner un morceau d’argile qui ait le même poids que l’une de ces moitiés. Enfin, on substitue au bouchon coupé en deux un même exemplaire mais partagé cette fois en quatre et on demande au sujet de faire une boulette qui ait le poids de l’un de ces quarts.

On voit ainsi que le problème posé est double. Il s’agit, d’une part, comme au § 1, de dissocier le poids et le volume, c’est-à-dire de tenir compte de la densité respective du bouchon et de l’argile pour construire une égalité de poids. D’autre part, il est intéressant de voir si l’enfant est capable d’une décomposition des poids et des volumes apparents par moitiés et quarts, ceci dans l’hypothèse où la quantification du poids n’est pas immédiate et où l’explication progressive de la densité (comme d’ailleurs la construction des invariants de poids en général) la suppose au préalable.

Or, la succession des stades montre d’emblée l’intérêt de cette dernière supposition. Au cours d’une première étape, en effet, l’enfant ne dissocie pas le poids et le volume et, s’il construit des copies en argile qui ont exactement la forme et les dimensions des moitiés et des quarts cela n’est dû qu’à l’indifférenciation du poids, du volume et de la quantité de matière et non pas à une décomposition métrique. Au cours d’un stade intermédiaire (II A) l’enfant prévoit qu’une boulette de mêmes dimensions que le bouchon sera plus lourde, mais il ne parvient pas à agir en conséquence. Au cours du second stade (correspondant au stade II B), le sujet dissocie correctement le poids du volume pour le bouchon entier et fabrique ainsi une boulette d’argile plus petite que le modèle, mais, lors des essais de reproduction du poids du demi-bouchon et du quart, il ne tient pas compte des rapports quantitatifs, il ne comprend pas qu’il lui suffirait de couper sa boulette en deux ou en quatre, et il construit de nouvelles boulettes de volume arbitraire. Enfin, au niveau du troisième stade la quantification est exacte (cette épreuve ne comportant pas de résultats correspondant au quatrième stade).

Voici des exemples du premier stade :

Rie (4 ; 11) fait une boulette à peu près aussi grosse que le bouchon : « C’est le même poids ? — Non. — Qu’est-ce qui sera le plus lourd ? — C’est le bouchon. Pourquoi ? — Parce qu’il est un petit peu plus gros. — Essaie. — (Il pèse.) Oh, elle est trop lourde ! —   Qu’est-ce qu’il faut faire ? — Pour faire plus léger, on doit enlever un bout (il enlève un morceau). Non, j’ai trop enlevé (il remet exactement ce qu’il avait pris) comme ça. »

Après s’être corrigé peu à peu, il présente exactement les mêmes réactions pour la moitié et le quart.

Eb (5 ; 7) : « Le bouchon c’est lourd ? — C’est pas lourd. — Et la pâte ? — C’est lourd. —   Alors fais-moi un bout de pâte qui soit aussi lourd que ce bouchon, pas plus lourd mais pas moins. — (Il commence.) — Pour que ce soit la même chose lourd, il faut faire la même chose grand ou pas ? — La même grandeur. — Pourquoi ? — Parce que la pâte est plus lourde. — Et alors, si elle est plus lourde, comment tu feras ? — La même chose grand (il le fait). — Et ce sera QUELQUES PROBLÈMES DE RELATIONS

le même poids comme ça ? — Oui. —   Pourquoi ? — Parce que c’est la même chose grand. » On pèse, il constate que la boule de pâte est plus lourde et recommence de la même manière pour un demi-bouchon.

Ren (5 ; 7) : « Comment tu feras pour avoir une boule de même poids ? — La même chose grand que ça (bouchon). — C’est la même chose lourd la pâte et le bouchon ? — La pâte est plus lourde. —   Pourquoi ? — Parce que le bouchon est plus léger. — ■ Alors fais-moi une boulette qui soit juste lourde comme le bouchon. — (Il la construit de la même grandeur.) Là. (Puis il pèse, constate que la pâte est plus lourde.) Non, c’est pas juste. (Il reprend un nouveau morceau de pâte et reconstruit un bloc aussi grand que le premier.) Maintenant c’est juste. (Il pèse et constate à nouveau l’inégalité de poids.) Ah non. —   Comment vas-tu faire alors ? — Il faut enlever. (Il fait un grand trou dans la pâte, mais sans enlever de matière et pèse à nouveau.) C’est encore trop lourd, il faut que je fasse plus petit (il enlève un morceau).

« Et fais-moi maintenant la même chose lourd que ça (un demi-bouchon). — (Il rajoute de la pâte et imite exactement la forme et la grandeur.) — Pèse. — (D corrige peu à peu.) — Et pour ça (le quart) ? — (Mêmes réactions.) »

And (5 ; 10) regarde longuement le bouchon entier et réunit quelques morceaux d’argile dans l’intention évidente de reproduire le même volume. Il aboutit ainsi à une boule plus petite et s’écrie d’emblée : « Elle sera moins lourde. — Pourquoi ? — Elle n’est pas si haute. » Il rajoute alors de la pâte et construit sensiblement le même volume que celui du bouchon. Il pèse et constate que c’est plus lourd : « Qu’est-ce qu’il faut faire ? — Faut enlever un peu. (Il enlève très peu et repèse, ainsi de suite plusieurs fois.) » Pour la moitié et le quart : mêmes réactions.

Luo (6 ; 6) : « Fais avec cette pâte quelque chose qui aura le même poids que ce bouchon. — (Il fait un disque de pâte qui a le même diamètre que le bouchon, et mesure en l’appliquant contre le modèle pour voir si c’est bien exact. Puis il ajoute à ce disque un second disque en mesurant à nouveau le diamètre du bouchon.) — Pourquoi tu fais des ronds comme ça ? — Pour que ça fasse le même rond que le bouchon. — (On montre ce qu’il a fait et le bouchon.) Tu penses que ça pèse la même chose ou .pas ? — C’est le bouchon qui est plus lourd, parce que le bouchon est plus gros. — Alors fait que ce soit le même poids. — (Il pose un nouveau disque et dit :) Je fais comme celui-ci (montre le bouchon), pour que ça fasse le même poids. — Mais pourquoi tu prends un disque après l’autre ? — Parce que je ne peux pas faire tout à la fois, pour faire juste. » Il finit par imiter ainsi exactement le volume. Il pèse et est étonné que ce ne soit pas le même poids : il enlève un disque après l’autre, en prenant chaque fois avec le même étonnement, et dit : « La pâte à modeler c’est lourd ! »

Or, après avoir fini par trouver l’équivalence du poids, on passe au demi- bouchon, et au lieu de couper en deux le petit morceau auquel il vient d’aboutir, il lui superpose immédiatement d’autres morceaux, jusqu’à imiter à nouveau le volume du modèle. Il pèse alors et s’écrie : « Ah non, il faut de moins. —   Pourquoi ? — Parce que la moitié du bouchon, ça fait pas non plus beaucoup de poids. »

Telles sont les réactions du premier stade. On remarque d’abord combien nettes sont ces réactions initiales déjà observées au § 1, d’indifférenciation entre le poids et le volume ou la quantité de matière. Lorsque Rie essaie de reproduire avec l’argile le volume du bouchon et, ayant construit une boulette à peine plus petite, pense que c’est le bouchon qui sera le plus lourd « parce qu’il est un peu plus LE DÉVELOPPEMENT DES QUANTITÉS

gros »; lorsque Eb et Ren après avoir reconnu qu’en soi, si l’on peut dire, la pâte est lourde et le bouchon « pas lourd » en concluent néanmoins qu’il faut construire « la même grandeur » pour atteindre le même poids, lorsque And pense que sa boulette « sera moins lourde » que le modèle parce qu’« elle n’est pas si haute » et lorsque Lug se donne la peine de reproduire la forme du bouchon en entassant des disques de pâte mesurés l’un après l’autre, il est clair que ces enfants ne dissocient encore en rien le poids, le volume et la quantité de matière et confirment ainsi entièrement ce que nous avons vu du premier stade au § 1 du chapitre précédent. Or, cette confirmation est d’autant plus précieuse que les réactions du chap. VIII pouvaient être soupçonnées de rester verbales, tandis que nous voyons dans le présent chapitre l’enfant agir avec conséquence selon les mêmes principes.

Mais il y a plus. Ce qui est nouveau et remarquable dans ces données, c’est qu’elles fournissent en toute clarté la preuve que les proportions directes que l’enfant établit si exactement, à ce niveau, entre le poids, le volume et la quantité de matière ne sont nullement dues à un besoin de quantification précise mais au contraire à une simple intuition subjective d’équivalences perceptives. Les cas de Eb et de Ren sont particulièrement instructifs à cet égard, puisque tous deux savaient d’avance que la pâte est lourde et le bouchon léger : « La pâte est plus lourde, dit même explicitement Ren, parce que le bouchon est plus léger. » Or ils n’en concluent pas moins que pour réaliser le même poids, il faut que le morceau de pâte ait « la même grandeur » que le bouchon, et Eb ajoute de la façon la plus paradoxale « parce que la pâte est plus lourde ». Nous avons déjà cherché au § 1 à expliquer ces réactions absurdes, du double point de vue physique et logique. Il convient maintenant de compléter cette analyse en montrant en quoi le poids ni le volume ne sont encore quantifiables. Lorsque l’enfant dit « la pâte est plus lourde et le bouchon plus léger », il ne songe qu’à l’impression subjective ressentie dans la main et ne soupçonne pas un instant que ces réalités intuitives pourraient correspondre à des mesures ou à des évaluations précises. Aussi lorsqu’on lui demande de trouver « le même poids » il s’applique simplement à construire au moyen de l’argile une copie aussi exacte que possible du modèle, quant à la forme et aux dimensions, persuadé que cette équivalence perceptive entraînera celle du poids également. Le raisonnement de Eb « il faut faire la même grandeur parce que la QUELQUES PROBLÈMES DE RELATIONS

pâte est plus lourde » cesse alors d’être absurde et signifie simplement : puisque la pâte et le bouchon sont de qualités différentes, il faudra copier le modèle très fidèlement si l’on veut que la copie lui soit semblable en tout, y compris en ce qui concerne les pressions qu’elle exercera sur la main. De même, lorsque Ren, s’apercevant que les poids ne sont pas égaux, dit « il faut enlever quelque chose », il ne soustrait aucune quantité proprement dite de matière, mais change simplement la forme en pratiquant une excavation au milieu et en rejetant la pâte sur les bords, il agit intuitivement, si l’on peut dire, et nullement opératoirement ou quantitativement.

Mais il y a mieux encore. Lorsque chacun de ces enfants, après avoir corrigé sa construction et constaté que le morceau d’argile doit être beaucoup plus petit que le bouchon pour être de même poids que lui, est appelé à trouver un poids équivalent à la moitié ou au quart du bouchon, il oublie entièrement la constatation qu’il vient de faire et, au lieu de couper simplement son morceau de pâte en deux ou en quatre, il recommence à imiter exactement le volume du modèle. Le sujet Lug va jusqu’à rajouter sans hésiter de la matière au petit morceau dont il vient de constater l’égalité de poids avec le bouchon total, comme si la moitié était plus lourde que le tout ! Il est clair que cette réaction si systématique, que nous retrouverons sans discontinuer jusqu’au troisième stade, suffirait à elle seule à démontrer le caractère non quantitatif des relations de poids et de volume établies par l’enfant durant les premiers stades du développement de la densité.

Durant un sous-stade intermédiaire (stade II A), dont il convient maintenant de dire quelques mots, l’enfant parvient bien, au moment où il constate que la pâte est plus lourde que le bouchon, à coordonner les relations de poids et de volume ou de quantité de matière et va jusqu’à conclure que le morceau de pâte doit être plus petit que le bouchon pour représenter le poids. Mais, lorsqu’il cherche à réaliser ce projet, il retombe tôt ou tard dans l’indifférenciation et reproduit comme au premier stade, deux volumes identiques. Voici des exemples :

Sum (5 ; 11) : Le bouchon. « il est pas lourd. —   Et la pâte ? — Elle est lourde. — Tu vas me faire un morceau de pâte qui soit la même chose lourd que le bouchon. — Oui. — Il sera aussi grand ? — Non, pas aussi grand. — Plus grand ou plus petit ? — (Il prend la pâte et fabrique un morceau de la même grandeur.) La même chose. — Ce sera le même poids ? — Non, ça (l’argile), ce sera plus lourd. — Qu’est-ce que je t’ai demandé ? — La même chose lourd. —   Alors LE DÉVELOPPEMENT DES QUANTITÉS \

essaie (nouveau morceau de pâte). — (Il recommence à produire un même volume.) — Ça ira 1 — Le bouchon sera plus léger. —   Tu peux arranger ? — (Il enlève de la pâte jusqu’à égalité de poids.) « Et maintenant ça (la moitié) ? — (Il rajoute de la pâte et imite la forme et le volume). « 

Din (6 ; 11) déclare d’emblée que « la pâte est plus lourde. —   Alors pour faire un morceau qui ait le même poids que ce bouchon, il faut le faire de la même grandeur ou plus grand ou plus petit ? — On va faire un plus petit. (Mais il fabrique un morceau de la même grandeur.) — Ça pèsera plus ou moins que le bouchon ? — La même chose (il pèse). Ah non, c’est plus lourd (il enlève de la pâte jusqu’à égalité). »

Et pour ça (la moitié) ? ■— (Il reproduit le volume exact.) — Et ça (l’autre moitié). — (Même réaction.) — Et si on pèse ça (les deux morceaux de pâte reproduisant le volume des deux moitiés) et ça (le bouchon entier) ? — La pâte sera plus lourde parce qu’il y a là deux morceaux et là (le bouchon) un seul. —   Et si on les met comme ça (on les sectionne en huit morceaux) ? — C’est pas la même chose. Le bouchon sera plus lourd, parce que ces petits bouts ça vaut rien. »

Kel (7 ans) déclare, en faisant effectivement un morceau plus petit de pâte qu’« il faut faire la pâte plus petite », mais sitôt le morceau terminé, il rajoute aussitôt de la matière jusqu’à égalité complète de volume avec le bouchon. Il pèse alors et dit : « Il faut qu’il soit plus petit. »

Pour la moitié et le quart, il copie sans plus le volume, puis corrige progressivement. Une fois qu’il est parvenu à faire une boulette de même poids qu’un quart de bouchon, on met sur un plateau de la balance deux quarts du bouchon et on offre à l’enfant le morceau qu’il vient de façonner, égal en poids à l’un de ces quarts, ainsi qu’un autre semblable. On demande alors : « Fais-moi le même poids que ces deux bouchons ensemble. » Or, au lieu de prendre simplement les deux boulettes offertes, il n’en retient qu’une mais lui ajoute une quantité importante d’argile, sans donc témoigner d’aucun sens des proportions ni de la mesure.

Les réactions de ce sous-stade II A sont d’un grand intérêt et montrent la fascination qu’exerce sur l’esprit de l’enfant le schème de l’indifférenciation du poids, du volume et de la quantité de matière, puisque, même alors qu’ils annoncent eux-mêmes d’emblée qu’il faut construire une boule de pâte plus petite que le bouchon pour obtenir le même poids, les sujets ne parviennent en fait qu’à imiter exactement la forme et les dimensions du modèle : la perception immédiate suffit donc à rendre vain, aux yeux de l’enfant, son projet mental, c’est-à-dire que la tyrannie du schème perceptif l’emporte encore sur la coordination des relations. Quant à la composition en tout et en parties, il n’y a aucun progrès sur le premier stade : pour reproduire le poids d’une moitié de bouchon, l’enfant continue de rajouter de la pâte au morceau qui égalait le poids du total, et il en fait autant pour le quart malgré l’expérience acquise. Il a même si peu de compréhension des lois de la composition que Din croit que huit huitièmes pèseront moins que deux moitiés et que le bouchon entier pèsera plus que les huit huitièmes tandis qu’il a pu constater QUELQUES PROBLÈMES DE RELATIONS

un instant auparavant que le même bouchon pèse moins que l’un des huitièmes à lui seul ! Kel, de même, ne comprend pas que pour le poids de deux quarts de bouchon il faut mettre deux morceaux représentant un quart et ajoute simplement une quantité arbitraire à l’un de ces derniers.

En bref, comme les précédents, les enfants de ce niveau ne présentent aucune idée précise d’une quantification possible du poids en relation avec le volume ou avec la quantité de matière. Ils assimilent simplement le poids à une qualité subjective telle qu’une couleur ou qu’une odeur, et, tout en commençant à comprendre que le poids doit être dissocié de la quantité apparente de matière (ou volume), ils ne parviennent pas à traduire cette dissociation en opérations véritables. Ils annoncent ainsi sans plus le stade suivant tout en demeurant pratiquement au niveau du premier stade.

Quant aux cas francs du second stade (spus-stade II B), ils parviennent par contre à réaliser en action la dissociation esquissée par les précédents : non seulement, ils savent comme eux d’avance que la pâte est plus dense que le bouchon, mais encore, lorsqu’il s’agit de confectionner un morceau d’argile de même poids que ce bouchon, ils s’efforcent d’emblée de construire un morceau de plus petit volume. Comme les enfants du second stade du § 1 de ce chapitre ou du chapitre VIII, ils admettent donc qu’un objet puisse être à la fois moins grand et plus lourd qu’un autre. Seulement, de même que ces derniers sujets n’en arrivent pas pour autant à quantifier le poids ainsi dissocié de la quantité de matière et du volume, de même les enfants que nous allons examiner continuent de regarder le poids comme une simple qualité et échouent à la composer quantitativement selon un principe additif. En effet, lorsqu’il s’agit, après réussite de la première question, de construire des boulettes d’argile correspondant à la moitié ou au quart du bouchon, ils ne savent nullement encore diviser en deux ou en quatre la boulette correspondant au poids du tout, ni confectionner de nouvelles boulettes présentant ces proportions, mais ils construisent des morceaux de grandeur arbitraire, souvent même plus gros que le morceau initial, en tout cas de décroissance inférieure à celle qui résulterait d’une dichotomie simple puis double. Voici des exemples :

Ale (6 ans) ne commence plus, comme les cas du stade II A, par imiter le volume du bouchon : « Tu vois cette pâte. Fais-moi quelque chose qui pèse juste autant que ce bouchon. — (Il prend un morceau de taille équivalente et LE DÉVELOPPEMENT DES QUANTITÉS

en enlève d’emblée une partie.) — Pourquoi tu fais ça ? — Parce que la pâte est plus dure, plus lourde. Elle fait lever le bouchon (sur la balance). » Il prend alors un beaucoup plus petit morceau d’argile et dit : « Maintenant c’est la même chose lourd. »

« Et si je mets maintenant la moitié du bouchon ? — (Il regarde cette moitié et la compare avec sa petite boulette équivalente au poids du tout.) Il faut en rajouter (!) un peu. —   Pourquoi ? — (Il pèse.) Non, c’est trop lourd. (Il enlève de la pâte et atteint peu à peu le bon poids.) — • Et un quart du bouchon ? — Il faut un peu enlever, parce que c’est moins lourd (mais il ne coupe nullement en deux). »

Ban (6 ans) fait d’emblée une boulette A plus petite que le bouchon, puis la corrige en B (B<A) et parvient enfin à l’égalité C (C<B). « Et maintenant fais une boulette qui ait juste le même poids que la moitié du bouchon (on montre le bouchon coupé en deux et l’on met la moitié devant l’enfant). » Ban, au lieu de diviser en deux sa boulette finale (C), prend un nouveau morceau d’argile, et, en regardant cette moitié de bouchon, construit une boulette un peu plus petite que ce demi-bouchon, mais sensiblement égale à sa boulette initiale (A). Il pèse, puis corrige, mais la nouvelle boulette demeure bien plus grosse que le morceau C qui équivalait au poids du bouchon entier.

Après réussite, on lui demande de faire le poids d’un quart de bouchon. Il dit : « La boulette sera plus petite », mais il enlève simplement un menu morceau sans mesurer ni constituer la moitié de la moitié.

Por (6 ; 10) fait une boulette sensiblement plus petite que le bouchon, puis, comme elle est encore trop lourde, il la serre fortement pour en diminuer le poids (on voit que ce sujet, comme ceux du second stade en général, ne croit pas à la conservation du poids) ! Après qu’il ait enlevé des morceaux successifs et établit l’égalité, on lui donne un bouchon coupé en deux moitiés : « Pour faire le même poids que ces deux moitiés, tu feras une boulette comment ? — Il faut faire une boulette plus grande qu’avant parce qu’il y a plus de morceaux. — • (Il fait une boulette plus grosse,et pèse, puis il la réduit et finit par constater :) Ah non, c’est la même chose. — Alors quand tu as un bouchon entier, ou ces deux moitiés, tu as cette même boulette. Si je mets seulement une moitié de bouchon, et que je te demande de faire une boulette la même chose lourde, tu la feras comment ? — Plus petite. — Plus petite de combien ? — … — Beaucoup plus petite ? — Je ne pense pas. — Alors comment ? — (Il diminue un peu, sans s’occuper de la dichotomie, et arrive par corrections successives en pesant chaque fois.) Voilà. — Et pour le quart ? ■— • Il faut la faire encore plus petite (mais il ne la diminue qu’à peine). »

Kes (7 ; 7) prend d’emblée un morceau plus petit. « Pourquoi ? — Parce c’est moins lourd, j’ai pris un plus petit. » Il enlève encore de la pâte jusqu’à égalité de poids. « Et pour ça (la moitié du bouchon) ? — (Il prend le morceau correspondant au poids du bouchon entier, le soupèse, puis dit :) Ce sera trop. — Qu’est-ce qu’il faut faire ? — (Il en coupe environ le dixième.) Là. — Et pour ça (le bouchon entier) ? — (Il remet le petit morceau enlevé.) — ■ Qu’est- ce que tu as fait ? — Avant j’ai coupé un petit peu et maintenant je l’ai remis. » Même réaction pour le quart.

On présente ensuite le bouchon entier et la pâte qui lui correspond en poids et un autre bouchon semblable mais sectionné en deux moitiés. « Qu’est-ce qu’il faut mettre pour ça (première moitié) ? — (Il enlève un huitième environ de la boulette correspondante au tout et donne l’autre partie, soit les 7/8.) Ça. — Et pour ça (l’autre moitié) ? — (Il donne la partie restante, soit le 1/8). ■— C’est juste, tu crois ? — (Il égalise en enlevant environ 5/8 de la première partie.) Comme (a. —   Et pour ça (on redonne le bouchon entier ? — (Il réunit QUELQUES PROBLÈMES DE RELATIONS

les deux petites boulettes, soit 1/8 et 2/8 environ, en négligeant le résidu.) — Et ça (le résidu) ça va avec quoi ? — Je ne sais pas. •

Tal (9 ; 0) de même, parvient sans peine à faire une petite boulette correspondant au poids du bouchon entier, mais ensuite, lorsqu’il s’agit de faire le poids d’un demi-bouchon, il enlève une partie de cette boulette, puis, pour l’autre moitié du bouchon, reconstitue un morceau analogue : prié alors de trouver le poids des deux moitiés de bouchon à la fois, il réunit ces deux morceaux de pâte valant ensemble environ une fois et demi le poids du bouchon initial non sectionné.

Poli (9 ; 2) fait pour le bouchon entier une boulette « moins grande. —   Pourquoi ? — La pâte est plus lourde. — Et pour ça (la moitié) ? — Je peux ôter un morceau. — Combien ? — (Enlève un morceau sans proportion.) — Et si on prend ces deux morceaux (celui qu’il vient d’enlever et l’autre) ça fera le même poids que ça (le bouchon entier) ? — Non, un des deux est plus petit. — Alors 1 — Ça fera moins lourd. » Pour le quart, il ôte encore un morceau, mais il est incapable de reconstituer le tout en réunissant toutes les parties pour les égaler au bouchon entier.

De tels faits sont d’un haut intérêt et, joints à ceux du sous-stade II A et du premier stade, ils projettent une lumière évidente sur les raisons de la non-conservation du poids et du volume. Nous avons constaté sans cesse, tant à propos de la construction des invariants de poids (chap. II et V-VI) qu’à propos du rôle du poids dans l’explication de la dilatation et de la densité (chap. VII-VIII) que la quantification du poids suppose une composition réversible, telle qu’une totalité donnée puisse toujours être décomposée en parcelles conservant leur poids quels que soient leurs arrangements ou leurs déplacements. Or cette construction, précisément en tant qu’elle conduit l’esprit à reconnaître la conservation comme déductivement nécessaire, suppose chez l’enfant un certain niveau de raisonnement déjà atteint à ce stade en ce qui concerne la quantité de matière, mais dont il devient très visible qu’il ne l’est nullement encore en ce qui concerne le poids. Pour ce qui est de la quantification de la matière, en effet, l’enfant du second stade sait bien que la somme des parties égale le tout, que deux moitiés ou les quatre quarts ne contiennent ni plus ni moins de substance que l’entier. C’est précisément la constitution de cet invariant total qui lui permet de comprendre qu’à poids égal une boule d’argile doit être plus petite et un bouchon plus grand. Seulement les groupements qualitatifs de classes et de relations et les groupes additifs et multiplicatifs des nombres qui sont ainsi achevés en ce qui concerne la composition et la quantification de la substance ne le sont point encore eu égard au’poids. Nous avons déjà vu au cours du second stade du chap. II

14 LE DÉVELOPPEMENT DES QUANTITÉS

qu’un boudin d’argile ne pèse plus autant s’il est coupé en deux ou en plusieurs morceaux. Nous constatons maintenant d’une manière beaucoup plus précise qu’aucune composition additive n’est encore possible à ce même niveau pour ce qui est des rapports entre le poids et la quantité de matière. Si Q est la quantité de pâté à modeler qui correspond au poids P du bouchon entier, l’enfant n’en déduit nullement que % Q soit égale à % P ni que Q corresponde à ^4 P.I Pourtant il sait bien que % Q + % = Q tout entier, mais il n’admet pas que % Q + % Q = P même si P = Q. Chez les enfants des deux premiers stades on pourrait, il est vrai, expliquer la chose en disant que, après avoir tenté de reproduire avec l’argile le volume total du bouchon entier, pour en égaler le poids, ils font de même avec le demi-bouchon ou avec le quart parce qu’ils oublient qu’ils ont dû réduire la boulette initiale après vérification des poids. Mais cette explication, que nous avons déjà dû rejeter à propos des réactions des stades inférieurs est manifestement insoutenable pour les sujets du second stade (II B), puisqu’ils savent d’avance que la boulette d’argile pesant autant que le bouchon sera plus petite que lui : or, malgré cette connaissance exacte des rapports totaux de densité, l’enfant, pour trouver le poids de la moitié ou du quart du bouchon, ne divise nullement en deux ou en quatre la boulette correspondant au poids total, mais se comporte comme si le rapport était imprévisible.

C’est ainsi que Kes s’attend à ce que la boulette qui équivaut au poids total du bouchon corresponde aussi à la moitié, et, après avoir pesé se borne à lui enlever un dixième environ de sa matière. Bau va même jusqu’à faire pour la moitié du bouchon une boulette semblable à celle qu’il a construite au début pour le tout et qu’il a dû réduire considérablement de volume, puis il la corrige mais la laisse bien plus grande que celle qui correspondait en fin de compte au tout 1 Ale pousse l’absurdité jusqu’à rajouter d’emblée de l’argile à la boule qui correspond au bouchon entier, boule qu’il vient de mettre en équilibre sur la balance avec ce tout, et cela pour obtenir le poids de la moitié ! Por déclare explicitement que deux moitiés de bouchon pèsent plus qu’un bouchon non coupé « parce qu’il y a plus de morceaux » et qu’ainsi pour ces deux morceaux réunis « il faut faire une boulette plus grande qu’avant » pour le bouchon entier. Quant aux plus âgés, comme Tal et Poli (9 ans), qui, pour faire une boulette correspondant au demi-bouchon, enlèvent d’emblée une partie de QUELQUES PROBLÈMES DE RELATIONS

celle qui correspond au tout, ils ne la réduisent nullement de moitié, mais ne suppriment qu’une fraction minime. A noter enfin, les compositions étranges de Kes, Tal et Poli. Kes, après avoir enlevé un dixième pour la boulette correspondant au poids du demi-bouchon la remet quand il s’agit de refaire le poids du bouchon entier, ce qui semble indiquer un sens au moins relatif de la composition ; mais ensuite, ayant réparti cette dernière boulette en 7/8 et 1/8, puis égalisé en 2/8 et 1/8 il néglige les 5/8 restants lorsqu’il s’agit de reconstituer le poids du tout. Tal au contraire aboutit à trouver pour le poids des deux moitiés du bouchon 1 % fois le volume qui correspond au poids du bouchon entier, et Poli ayant sectionné en deux la boulette qui correspond au poids du tout se refuse à admettre que le poids de ces deux fractions réunies égalent encore celui du- tout t On ne saurait donc démontrer plus éloquemment l’absence complète de composition quantitative du poids que ne le font ces quelques enfants avec leurs diverses réactions.

Comment expliquer cette absence de composition ? Ici à nouveau interviennent assurément, comme au § 1, des raisons d’ordre logique et des raisons d’ordre physique. Rappelons en premier lieu que l’enfant de ce deuxième stade est capable de remplir toutes les conditions logiques de la quantification en ce qui concerne la substance comme telle. Ainsi qu’on l’a vu ailleurs, en effet, l’enfant parvient vers sept ans, lorsqu’il raisonne en agissant sur un matériel manipulable, à grouper en systèmes cohérents les opérations de la logique des classes, celles de la sériation des relations asymétriques, et toutes deux réunies sous forme de correspondances bi-univoques et réciproques « quelconques » et d’opérations proprement numériques C’est précisément cette construction de la notion générale de quantité qui permet à l’enfant de quantifier la matière elle-même, et c’est pourquoi nous avons pu constater au chapitre I du présent ouvrage que la conservation de la substance résulte sans plus du fonctionnement de ces mécanismes logico-arithmétiques et ceci au niveau de ce que nous appelons ici le second stade. Or, il se trouve que les raisonnements les plus élémentaires que l’enfant de ce stade applique sans hésiter à la matière, ne sont plus valables pour le poids ! Si Q est, comme nous en avons convenu, la quantité d’argile dont le poids équivaut au poids total P du bouchon ; et si Q’ est la quantité de

¹ Piaget et Szeminska, La genèse du nombre chez renfant, Delachaux & Niestk\ 1941.

liège du bouchon lui-même de poids P et P’ le poids de la boulette d’argile de quantité Q, l’enfant admettra sans difficulté que % Q + % Q = Q ou 4(¹/_< Q’) = Q’, etc. Il parvient même à déduire avant toute manifestation que si P = P’ alors Q < Q’ parce qu’à volume égal le poids du liège est inférieur à celui de l’argile. De Q < Q’ il n’aura aucune difficulté à conclure que % Q < % Q’ ou *4 Q’ > % Q. Il sait que Q et Q’ demeurent invariants quel que soit l’arrangement de leurs parties, etc. Par contre, les expressions % P + % P = P ou 4 (¹/_< P’) = P’ n’ont plus aucun sens pour lui ! En effet, la seule manière de mesurer le poids d’un objet consiste à lui faire correspondre celui d’un autre objet, ce dernier étant choisi comme unité et soumis aux règles de composition de la logique et du nombre. Mais, comme le poids ne-peut être dissocié de la matière, la composition de ces unités de poids requiert une condition préalable : c’est qu’elles correspondent terme à terme aux unités de matière ou de « quantité de substance » de l’objet désigné comme étalon. Or, c’est précisément ce à quoi se refuse l’enfant de ce niveau : Si P’ correspond à Q et P à Q’ alors % Q correspond bien à y₂ Q’ mais y₂ Q ne correspond plus ni à % P ni même à y₂ P’- On peut aller jusqu’à dire que la notion de y₂ P ou de y₂ P’ n’a aucun sens pour l’enfant puisque s’il partage Q ou Q’ en deux parties de poids équivalents il n’admettra pas que la somme de ces deux poids égale le poids du tout initial. C’est ainsi que Por affirme que le poids des deux moitiés du bouchon est supérieur à celui du bouchon entier, donc P [ % Q’ + Va Q’] > P [Q’] « parce qu’il y a plus de morceaux ». En bref, il est clair que la seule évaluation du poids dont soit capable l’enfant de ce niveau est la lecture directe de l’impression subjective produite par l’objet sur la main. Une telle évaluation permet assurément d’établir des équivalences et des différences, mais elle n’autorise en rien d’égaliser les différences en un système additif d’unités. Aussi bien, dès qu’il s’agit de constituer un tel système au moyen d’équivalences entre les objets eux-mêmes, tout procédé de composition fait-il défaut à l’enfant.

Mais alors, nous retrouvons inchangé le problème énoncé à l’instant : d’où vient cette absence de composition, ou, plus précisément pourquoi la mesure du poids ne réussit-elle pas à se libérer de l’égocentrisme phénoméniste pour aboutir au groupement objectif, tandis que cette évolution est achevée en ce qui concerne la quantité de matière ? Faut-il invoquer ici des raisons d’ordre physique, d’ordre QUELQÛES PROBLÈMES DE RELATIONS

logique ou les deux réunies, et, dans ce dernier cas, comment concevoir leurs rapports ? Nous connaissons bien les raisons physiques dont se réclame l’enfant : le poids d’un objet est une force active et substantielle qui dépend de sa structure et de ses dimensions et qui peut se perdre lors de toute déformation et de tout sectionnement, ce qui rend évidemment impossible toute composition. C’est pourquoi, par exemple, Poli ayant sectionné sa boulette en deux parties inégales dit « un des deux est plus petit, ça fera moins lourd » que le tout initial. Mais les raisons logiques demeurent mystérieuses même en ne se fondant que sur les équivalences et les différences de poids perçues à la main, il semblerait que l’enfant, comprenant que le poids de Q correspond à celui de Q’, pût déduire que pour trouver le poids de % Q’ il suffit de couper Q en deux >/₂ Q. Pourquoi n’en fait-il rien et surtout, même s’il a des raisons physiques de n’en pas être certain, pourquoi n’essaie-t-il même pas de cette solution qui s’impose formellement, quitte à la vérifier par l’expérience ?

La question est d’autant plus troublante que nous allons voir maintenant par quels procédés de simple réversibilité opératoire l’enfant du troisième stade découvre la solution juste. Voici, en effet quelques exemples de ce troisième stade, à commencer par un cas intermédiaire montrant en toute clarté le mécanisme de la découverte.

Chio (8 ; 8). On présente le bouchon en demandant un morceau de pâte de poids égal : « C’est que c’est plus lourd la pâte ! —   Alors comment tu feras ? — Plus petit. La pâte c’est plus lourd : si on ferait de la même grandeur, ça pèserait plus. (Il fait une boulette de même poids.) Et pour ça ( %) ? — (H ôte de la pâte, mais sans mesurer.) — Est-ce que le morceau que tu as enlevé pèserait aussi la même chose que l’autre moitié du bouchon ? — (Il essaie à la main.) Oui. —   Et les deux morceaux ensemble ça pèserait la même chose que le bouchon entier ? — Pas tout à fait, c’est un peu plus grand. —   Et pour ça (un quart) ? (Il enlève un morceau au premier des deux autres.) — Et pour cet autre quart ? — (II enlève un morceau à la seconde des deux boulettes ayant servi à reproduire une moitié et écarte les résidus comme si V, = ^f* 4- résidus. »

« Et maintenant, pour le poids de ça (le bouchon entier) ? — (Il reprend tous les morceaux de pâte avec lesquels il a travaillé, y compris les résidus.) ■— Pourquoi tu prends tout ça ? — Pour voir si ça fait égal. — Et pour ça (la moitié du bouchon) 1 — Il partage la boule. — Et pour l’autre moitié ? — Le reste ( = l’autre moitié de la boule) va avec ça ( = correspond à l’autre moitié du bouchon). ■— Et pour ça (^l/₄ du bouchon) ? — (Il partage une % boulette en deux quarts.) »

Oer (9 ; 6) fait un morceau d’argile « plus petit (que le bouchon) parce que la pâle est plus lourde. — Et pour ça ( %) ? — Je peux prendre la moitié de ça (de sa boulette). Comme la pâte (de la boulette entière) est égale à un bouchon entier, la moitié de la pâte doit être égale à la moitié du bouchon. — Et pour ça

(*/,) ? — C’est facile. Je n’ai qu’à couper la moitié en deux. —   Et pour ça (le bouchon entier) ? — Je n’ai qu’à mettre les deux parties (*/, + ensemble, et puis ça avec l’autre moitié, ça fait comme deux moitiés, c’est de nouveau la même chose. »

Est (10 ; 2) : « Comment tu vas faire une boulette qui pèse comme ce bouchon ? ■— Plus petite, parce que la pâte est plus lourde (il la fait). — Et pour ça ( %) ? — II coupe en deux. —   Et ça (le reste de sa boulette) c’est égal à l’autre moitié du bouchon ? — C’est sûr, parce qu’on a partagé en deux. ■— Et pour ça ÇIJ ? — Je partage encore en deux. — ■ Et pour ça (l’entier) ? — Il faut les remettre ensemble. »

Ces réactions qui témoignent de compositions exactes sont si naturelles qu’il semble en effet étrange qu’elles n’apparaissent pas plus tôt. Rien n’est plus simple que leur mécanisme, mais cette simplicité apparente suppose précisément cette réversibilité de la pensée qui a fait défaut jusqu’ici dans le domaine des relations de poids. Le cas intermédiaire de Chio est à cet égard très significatif. Cet enfant commence par réagir comme ceux du second stade, coordonnant correctement le poids et le volume de la boulette pour la faire correspondre au poids du bouchon total mais incapable de généraliser cette coordination dans le cas de la moitié ou du quart. Par contre, au moment où on lui demande de recomposer le tout, il découvre qu’il suffit pour cela de rassembler l’ensemble des parties, y compris les résidus inemployés, et cette réversibilité opératoire lui fait comprendre que le poids des fractions égale celui de la totalité : il devient alors immédiatement capable de décompositions en moitiés et en quarts, dans lesquelles il a échoué jusque-là. Avec Oer et Est, enfin, nous voyons cette réversibilité fonctionner immédiatement et se confondre avec le principe même de la composition.

Mais qu’en faut-il conclure ? Cette réversibilité n’intéresse-t-elle que le mécanisme purement formel de la pensée ou dépend-elle en partie de l’élaboration de la notion même du poids, qui constitue son contenu ?

— Il convient encore, avant de chercher la solution de ce problème, de fournir en d’autres conditions une contre-épreuve des résultats précédents. Il se pourrait, en effet, que les relations entre le poids et le volume sphérique fussent trop complexes pour permettre d’emblée une quantification et qu’en remplaçant le volume difficile à analyser de la boulette ou du bouchon par celui, plus simple, de plaques d’épaisseur et de largeur constantes et dont on ferait varier

seulement la longueur, l’intuition des proportions s’avérât plus précoce ? C’est ce que nous aimerions examiner rapidement dans ce paragraphe.

Nous avons posé deux sortes de questions à cet égard. La première correspond à celles du § 1 et ne porte que sur la relation inverse du poids et de la longueur : une barre de fer sera-t-elle, à poids égal, de longueur équivalente à une barre de plomb si à volume égal le fer est plus léger que le plomb ? Ce premier problème ne nous servira qu’à contrôler si les résultats sont comparables à ceux des tas et des boulettes. Puis vient une seconde question, qui porte cette fois sur la quantification elle-même : trouver la longueur de plaques rectangulaires de carton dont le poids corresponde à une plaque de même largeur et de même épaisseur d’un métal léger, puis à la moitié et au quart de cette dernière.

Pour ce qui est de la première de ces deux questions, nous avons trouvé exactement les mêmes réponses qu’au’ § 1, soit, pour le premier stade un type I avec égalités et longueurs et un type II avec proportions directes entre le poids et la longueur et, pour le second stade, la découverte de la relation inverse.

Voici des exemples du type I du premier stade :

Ner (7 ans) : « Qu’est-ce qui est le plus lourd, le plomb ou le fer ? — Le plomb. — Bien. Alors tu vois ces deux barres (dont on ne voit que l’extrémité). On dira que c’est du plomb et du fer. Si elles sont la même chose lourdes est-ce qu’elles sont de la même longueur ? — Les deux la même chose. — En quoi est celle-ci ? — En plomb. —   Et celle-ci ? — En fer. — Elles ont le même poids ? — Oui. —   Et la longueur ? — Les deux la même chose. — Pourquoi ? — A cause qu’on a mis les deux la même chose pour faire la même chose lourd. »

Hum (7 ans) : « Les deux la même chose long. — Pourquoi ? — ■ Pour qu’elles soient la même chose lourd. »

Et voici des exemples du type II :

Lan (6 >4) : « Le plomb est plus lourd ou plus léger que le fer ? — Plus lourd. — Alors voilà une barre de plomb et une barre de fer. Elles sont la même chose lourdes. Est-ce qu’elles ont la même longueur ? — Non, une est plus longue que l’autre. — Laquelle ? — Celle de plomb, parce que c’est plus lourd, le plomb. »

Lut (7 fa) : “ Celle de plomb doit être longue, puisque le plomb est plus lourd. — ■ Mais les barres sont la même chose lourdes ou pas, tu as compris ? — La même chose lourdes. — Alors laquelle est la plus longue ? — Celle de plomb. »

Et des réponses justes du second stade :

Her (7 fa). « Le bâton de fer doit être plus long. — Pourquoi ? — Puisque le fer est plus léger. — Alors ? — Il doit être plus long pour que ça soit la même chose lourd que le plomb. »

Schmo (8 ; 9) : « Le fer est plus long. —   Pourquoi ? — Parce que le fer n’est pas si lourd que le plomb. — Et puis ? — Alors il en faut plus pour que ce soit le même poids qu’une barre de plomb. »

On voit ainsi que les trois sortes de réactions correspondent exactement à celles du § 1 ; elles requièrent ainsi les mêmes explications.

Quant au problème des plaques de métal et de carton, nous le présentons comme suit : On pose sur la table une série de cartons des longueurs les plus variées (pour que le choix ne soit pas conditionné par le matériel) mais tous de même largeur et de même épaisseur. Puis on donne à l’enfant une plaque de métal de mêmes largeur et épaisseur en le faisant soupeser par le sujet qui a déjà manipulé auparavant les cartons. On lui demande alors de trouver le carton de même poids. Une fois qu’il a trouvé juste (et après vérifications sur la balance) on le prie de découvrir également les cartons dont les poids correspondent aux plaques de métal de demie longueur et du quart de la longueur totale. Or, chose intéressante, on retrouve exactement avec cette technique, les stades décrits au § 2 à propos des rapports du poids et du volume. Voici d’abord quelques exemples du premier stade, au cours duquel les longueurs sont censées être proportionnelles aux poids :

Ude (5 ; 7) choisit d’emblée un carton de même longueur que la plaque de métal, mais à la balance il le constate plus léger : « Il faudra prendre l’autre (désigne un plus grand qui se trouve par hasard à côté). — Pourquoi ? — Parce que ça c’est plus petit et ça c’est plus grand. — Très bien (il les a mis sur la balance et ils sont du .même poids). Pourquoi ça va ensemble ? — Ça ne va pas. —   Mais c’est la même chose lourd sur la balance. — Ça ne va pas. —   Pourquoi ? — Le carton est plus grand. »

Bon (5 ; 3) choisit de même un carton de même grandeur, et aussi pour la moitié et le quart bien qu’ayant constaté sur l’entier l’inégalité des poids. Lorsqu’on lui fait remarquer cette dernière, il cherche un autre carton, tantôt plus grand (premier type de réaction) tantôt plus petit (second type), mais retombe toujours, enfin de compte sur la même longueur.

Durant un sous-stade intermédiaire (stade II A) l’enfant commence, en analogie avec le cas du bouchon et de l’argile, par dissocier le poids de la longueur, mais en cours d’expérience il retombe dans l’indifférenciation.

Hal (6 ; 4) : « Il faut un carton pas la même chose, parce que le fer est plus lourd. — Bien, alors choisis. — (II en touche plusieurs à la suite, puis prend un carton de même longueur.) — Tu crois que ça pèsera la même chose ? — Oui, parce que les deux, c’est la même grandeur. (Il pèse.) Ah non, le fer est un petit peu plus lourd. (Il choisit un carton plus grand.). »

On montre alors une demi-plaque et l’on fait comprendre par superposition QUELQUES PROBLÈMES DE RELATIONS

de deux exemplaires qu’il s’agit d’une moitié, mais sans prononcer le mot : « Cherche un carton qui pèse exactement la même chose. — (Il choisit la même longueur.) — Ça va ? — (Il pèse et constate l’inégalité.) — Cherche un autre qui soit la même chose lourd.) — (Il hésite longtemps et prend à nouveau la même longueur.) — Pourquoi ? — Parce que c’est la même chose grand, alors c’est la même chose lourd. — (On lui montre le rapport exact). Choisis maintenant un fer qui aille avec ce carton. — (Juste.) — Et pour ça (le quart) ? — (Il prend la même longueur.) Les deux sont la même chose lourds. — Pourquoi ? — Parce qu’ils sont la même chose grands et la même chose larges. »

La clarté de cet exemple est singulièrement significative de la difficulté qu’éprouve encore l’enfant de ce niveau, malgré son projet initial, de dissocier le poids et la quantité apparente de matière. Les cas francs du second stade (sous-stade II B) parviennent à une inversion immédiate des rapports de poids et de longueur pour ce qui est des plaques entières initiales, mais présentent comme au § 2, et ce parallélisme est également précieux, une difficulté systématique à composer les mêmes relations pour la demie et le quart :

Ros (7 ans) dit : « C’est le carton qui est plus léger » et choisit d’emblée une plaque plus longue pour égaler le poids du métal. » Et pour celle-là ( %) ? — (Choisit une plaque un peu plus petite que pour le tout). — Pourquoi ? — Parce qu’elle est un peu plus grande que ça ( % du métal). — Et pour ça (’/₄) ? — (Même réaction.) — Est-ce qu’on pourrait prendre la moitié (pour la % et le tout) ? — Non, il faut couper plus petit ( = enlever moins que la moitié). Ça doit être un peu plus grand que ça (que la % du métal). »

Zem (8 ans) choisit d’emblée une plaque plus longue « parce que le fer est plus lourd. — Et pour ça ( %) — On a coupé en deux (mais il choisit un carton sans proportion). » De même pour le quart.

Voici enfin un exemple du troisième stade, avec composition exacte des rapports de moitié et de quart :

Bali (9 ; 11) prend une plaque de carton plus longue pour faire le poids exact « parce que le fer est plus lourd. — Et pour ça (%) ? — Il faudrait… Ah c’est la moitié, alors il faut que je prenne la moitié du carton. — Et pour ça (*/₄) ? — C’est facile. C’est la moitié de la moitié et puis ça (le ¹/_t du métal) c’est la moitié de la moitié du fer. Ça fait exact. »

On voit ainsi que l’évolution de ces mises en relation entre le poids et la longueur est entièrement parallèle à celle des connexions établies entre le poids et le volume. La difficulté à composer les rapports en fonction de la moitié et du quart apparaît donc comme systématique et liée au problème de la quantification elle-même. Nous pouvons donc reprendre la question avec quelque sécurité, et la poser en termes généraux en vue de l’étude qu’il convient de lui consacrer dans la quatrième partie de cet ouvrage.

— Nous avons constaté sans cesse au cours des chapitres précédents que le problème de la conservation, celui de l’explication corpusculaire et celui de la compression ou de la densité constituent tous les trois des questions de composition opératoire et de quantification. Les quantités qui se conservent sont des invariants de groupements ou de groupes résultant de deux sortes de constructions réversibles : celle du tout et des parties ou du sectionnement, permettant à l’enfant de découvrir que la somme des parties égale la totalité initiale et demeure constante quelles que soient les répartitions auxquelles on soumet l’objet ; et celle des relations ou des déplacements, conduisant le sujet à comprendre que dans les altérations de la forme d’ensemble, chaque transformation est compensée par une autre. Mais ces deux sortes de compositions n’expliquent pas seulement la genèse des principes de conservation de la substance, du poids et du volume à égale concentration de matière : ce sont eux encore que l’on retrouve dans les schémas atomistiques puisque ceux-ci en constituent le simple prolongement à l’échelle corpusculaire. Ce sont eux, enfin, qui permettent à nos sujets d’expliquer les dilatations et contractions des corps, ainsi que leurs différences de densités, grâce à cette forme particulière de déplacements qu’est la compression ou la décompression : sans faire appel à des augmentations ou des pertes de substance ni de poids l’enfant parvient ainsi à assurer la permanence de la quantité de matière et même du volume corpusculaires en les distinguant de la quantité et du volume apparents et en expliquant les variations de ces derniers par le simple déplacement centrifuge ou centripète des grains élémentaires.

Or, quelle est la nature de ces compositions et comment expliquer les conditions de leur genèse ou les décalages de leur application à la substance, au poids et au volume ? En suivant l’enfant dans ses difficultés à interpréter la densité, nous en sommes venus tout naturellement aux questions posées au cours du présent chapitre, lesquelles nous permettent justement de préciser la position de ces problèmes. Le grand intérêt des réactions étudiées précédemment est, en effet, l’étonnant parallélisme qui existe entre le raisonnement proprement logico-arithmétique et le raisonnement physique de l’enfant : il s’est trouvé, et c’est là une sorte de confirmation implicite de l’idée directrice qui a présidé à nos recherches, que ces questions mêmes sont

devenues par la force des choses des problèmes de logique autant que de représentation physique. Les erreurs commises durant les deux premiers de nos stades reviennent à ne pas savoir inclure une partie dans un tout ou à ne pas pouvoir inverser une relation, autant qu’à ne pas comprendre la mesure du poids ou ses rapports avec le volume. C’est la structure de la logique des classes et des relations ou celle des opérations arithmétiques résultant de leur union qui est ainsi en cause, par delà la densité et le schème de la compression, dans l’atomisme et la conservation elle-même.

La question qui se pose à nous maintenant est donc de dégager le rapport qui existe entre ces facteurs logico-arithmétiques et les notions physiques, ou plus précisément d’analyser le mécanisme de la quantification du poids et du volume physique (la quantification de la matière en tant que simple substance se confondant avec la genèse de la quantité et du nombre eux-mêmes, que nous avons étudiés ailleurs). C’est à cette tâche que nous consacrerons la dernière partie de cet ouvrage (chap. X-XII).

Du point de vue psychologique, le problème se pose comme suit : lorsqu’un enfant s’égare, au cours d’un interrogatoire, cela peut tenir au fait que, tout en sachant raisonner, il ne sait pas de quoi on parle, c’est-à-dire ne possède pas les notions physiques nécessaires à la réponse correcte ; ou bien à ce que, tout en comprenant de quoi il s’agit dans le concret des objets présentés et dans l’action qu’il exerce sur eux, il ne sache pas raisonner formellement ; ou encore cela peut tenir aux deux raisons à la fois. Il se pourrait donc que les difficultés rencontrées chez les petits tiennent au contenu de la pensée, à la forme logique ou au rapport de la forme et du contenu ; en d’autres termes aux notions même.de poids, de volume physique et de densité, ou bien à la déduction par emboîtement des parties dans le tout, par coordination des relations et par composition numérique, ou encore à tous les deux. La question est essentielle pour la psychologie du raisonnement : il s’agit en réalité de savoir si la forme peut être dissociée de son contenu, donc si la réversibilité des opérations logico- arithmétiques dérive de celles des opérations physiques, ou l’inverse, ou s’il y a connexion constante. Or, d’après les indications recueillies jusqu’ici, la forme et le contenu semblent d’autant moins dissociables que l’on remonte aux niveaux plus élémentaires. Si l’enfant ne peut pas répartir un poids en parties dont la réunion égale le tout ni les quantifier en unités, moitiés et quarts, ni même inverser certains rapports

donnés, ce n’est pas qu’il soit incapable de réussir de telles opérations en d’autres domaines avec plus ou moins de facilité : ces structures dépendent donc en partie du contenu à structurer. Mais inversement ce contenu n’est pas donné tel quel de façon permanente et il se transforme sous l’effet des structurations mêmes, lesquelles ne dérivent donc pas sans plus de lui. Il y a donc indifférenciation relative initiale entre la matière assimilée et les schèmes qui tentent de l’assimiler, mais demeurent informes pour autant qu’ils ne sont pas différenciés. Autrement dit, la matière à assimiler (la substance, le poids, le volume, etc.) demeure irréversible tant que l’assimilation n’est pas achevée mais elle devient réversible par le progrès de l’assimilation même : alors seulement se dissocient une forme consistant en mécanismes réversibles d’assimilation et un contenu auquel la forme s’accommode plus ou moins parfaitement selon les domaines.

Du point de vue logique, le même problème se pose de la manière suivante : Nous avons distingué au cours de cet ouvrage, les opérations logico-arithmétiques consistant en groupements de classes et de relations ou en groupes de nombres fusionnant les deux précédents, et les opérations physiques, lesquelles se déploient dans le temps et dans l’espace et transforment ainsi les rapports de classes en sectionnements, les relations asymétriques en déplacements et le nombre en mesures permettant de quantifier les deux premiers. La question est donc de savoir quel lien unit les opérations physiques aux opérations du premier type. Pour le résoudre il nous suffira, maintenant que nous connaissons les principales opérations physiques relatives à la substance, au poids et au volume, de soumettre ces mêmes notions à des opérations proprement logico-arithmétiques de sériation, de compositions par équivalences et de construction numérique. Nous demanderons ainsi à l’enfant de sérier des poids et d’effectuer des raisonnements du type (A >B) + (B > C) = (A>C) et d’autres semblables (le signe > signifiant « plus lourd »), (chap. X), ou de constater des équivalences et d’en déduire (A = B) + (B = C) = (A = C) ou [(A = B) + (B = C) 4- (C = D)] = [(A 4- B) = (C 4- D)], etc., ceci pour le poids (chap. XI) ou le volume (chap. XII), chacun de ces raisonnements ayant déjà été étudié ailleurs pour ce qui est de la quantité de matière L Dès lors, à supposer que la forme logique soit indépendante du contenu physique, de telles opérations, purement formelles

¹ Piaget et Szeminska, loc. cit., chap. X.

mais portant sur le poids et le volume, devront être contemporaines des raisonnements correspondants relatifs à la quantité en général (substance) et précéder par conséquent les opérations physiques, sans présenter de rapports avec l’ordre d’apparition de ces dernières. Si, au contraire, le contenu constitue le vrai principe du développement, l’ordre d’apparition sera déterminé par l’expérience seule. Si enfin, comme nous le croyons, la forme et le contenu sont solidaires, l’ordre d’apparition des opérations logico-arithmétiques sera lié à celui des opérations physiques, chaque notion donnant lieu simultanément à une logique et à une physique, et cela selon la loi de succession que nous avons pu observer jusqu’ici. En outre, si les opérations logiques et les opérations physiques, tout en restant solidaires, se différencient toujours davantage les unes les autres, on assistera vers la fin de ce développement à la constitution d’une logique plus générale qu’au début et permettant d’accélérer les étapes sur le plan formel tandis que la généralisation des opérations physiques demeure liée à la vérification expérimentale : cette dernière question nous donnera l’occasion, eh fin de compte, d’analyser le rapport des opérations avec l’expérience elle-même.