Chapitre XI.
Les compositions simples et additives des équivalences de poids^{1 a} 🔗

— A ce niveau le plus bas, qui dure jusque vers six à sept ans, l’enfant échoue donc dans n’importe quelle composition, même celles qui ne font appel à aucune équivalence entre objets hétérogènes. Il arrive bien à l’enfant de repondre juste, lorsque par exemple il identifie la ; Ib et le non colorés et parallèles ou lorsqu’il identifie trois barres à la plaque III parce qu’elles lui sont exactement superposées : mais même alors il suffît que les barres ne soient plus parallèles ou soieht séparées de la plaque III pour que ces équivalences se rompent : il n’y a donc aucune équivalence logique à ce stade mais seulement- assimilation perceptive ou sensori-motrice, ce qui est bien différent. Voici des exemples :

Gai (5 ; 4) ne parvient pas à composer les poids même par simple addition de moitiés. C’est ainsi que mis en présence de deux bouchons semblables dont l’un est coupé en deux après que cette identité est reconnue, il dit : « Le bouchon entier sera plus lourd [que les deux moitiés]. — ■ Pourquoi ? — Parce qu’il est plus gros. »

On présente à Gai la plaque de laiton III, d’un côté, et de l’autre, les barres lia + la : « Ce sera la même chose lourd ou pas ? — Ça (Ha + la) sera plus lourd. —   Pourquoi ? — Parce qu’il y en a deux. — Et si on met ça (II a + la) sur ça (III) c’est la même chose gros ou pas ? — C’est la même chose gros (il le fait). — Alors, sur la balance ? — Ça sera plus lourd. —   Pourquoi ? — Parce c’est plus gros. — Mais comment a-t-on fait ça et ça (II a et I a)? — On a pris une chose comme ça (III) et on a coupé. — Alors c’est la même chose lourd ? — Non, ça (III) ce sera plus lourd, parce que c’est plus gros. »

On montre d’autre part à Gai deux barres la et Ib qu’il prévoit être de même poids « : Et sur la balance ? — C’est du même poids. — Et ça (I a et P b)?¹ — Ça ne doit pas faire le même poids. —   Essaie. — (Il pèse.) C’est le même poids. — Alors ça (Ib et Pb)? — Ça (Pb) est le plus lourd, parce que c’est plus gros (il le soupèse à la main). — Et sur la balance ? — C’est plus lourd. — Essaie. ■— (Il pèse.) C’est le même poids. »

Une fois convaincu par une série de pesées de l’identité de poids de Pb et de chacune des barres la, Ib et le, on lui présente d’un côté la + Ib et de l’autre le + Pb : — « Ça (la + Ib) ce sera plus lourd. — Mais comment c’était, ça (la) et ça (Pb) sur la balance ? — C’est le même poids. — Alors ça (la + Ib) et ça (le + Pb) ? — C’est plus lourd parce que le plomb est plus gros. »

¹ Abbréviations employées : Pb = le morceau de plomb de même poids que I ; Cha = le morceau de charbon de même poids ; Ar — la boule d’argile de même poids.

Après vérification on montre enfin d’un côté la plaque III et de l’autre Ha + Pb : Ça sera la même chose lourd ? — Non, ça (III) ce sera plus lourd parce que c’est plus grand. Non, c’est ça (lia + Pb) qui sera plus lourd, parce qu’il y a deux choses. »

Col (5 ; 10) compare III sur un plateau avec la + Ib + le sur l’autre : Est-ce que c’est le même poids ? — Non, ça (III) est plus lourd : c’est plus gros. — On va voir (on pose les 3 I sur III et Col vérifie de ses doigts la superposition exacte, puis on les remet sur les plateaux). Alors ? — C’est le plus gros (III) qui sera le plus lourd. »

On lui montre, d’autre part la et Pb : « C’est du même poids ? — Non, ça (Pb) c’est plus lourd parce que c’est plus gros. — Regarde. — (Il pèse.) C’est la même chose. —   Pourquoi ? — Parce que le plomb n’est pas gros. —   Et ça et ça (la = Ib) ? — Oui, c’est comme ça les deux (geste d’allonger). — Et ça et ça (la et Pb7 — Oui, on a vu, c’est toujours la-même chose. — Et ça (Ib) et ça (Pb)7 — Non, c’est plus lourd ça (Ib), et le carré (Pb) est moins lourd. »

Ensuite on met d’un côté la + Ib et de l’autre le + Pb. « Ça fera la même chose des deux côtés de la balance ? — Non. — Pourquoi ? — Ça (la + Ib) c’est plus lourd parce qu’il y a deux choses la même chose et par là (le + Pb). — Mais ça (Pb et la) tu te rappelles ? — Oui, c’est la même chose. — Alors ça et ça (la + Ib et le + Pb) ? — Le premier (la + Ib) c’est plus lourd parce qu’il y a deux longs. — (On pèse alors Pb avec la, puis avec Ib, puis avec le). C’est la même chose tout ça (deux à deux) ? C’est la même chose. — Alors ça (la + Ib et le + Pb) ? — Le second est moins lourd. — A quoi tu vois 7 — A le compter. Il y a un ici (le) et autrement (Ia + Ib) il y a deux de mêmes. — Et ça (Pb) ? C’est pas du même. »

Vin (6 ; 1) Barres non vernies : « Ça (la) et ça (Ib) ça pèse la même chose ? — Oui. — Et ça (Ib) et ça (le). — Oui (il les colle l’une contre l’autre). — Qu’est-ce que tu fais ? — Je regarde. C’est la même chose. —   Et ça (la et le)? — Oui. » — (On recommence.) Ça (la et Ib) ? — Oui. — Et ça (Ib et le) ? — C’est la même chose. — Et ça (la) et ça (le que l’on place cette fois perpendiculairement à la) ? — Non. —   Pourquoi ? — Ça c’est plus lourd (la). » Pour III et la + Ib + le, Vir serre les trois barres et les pose sur III en disant : « Si on les prend les trois à la fois ça fait la même chose lourd. — Et ça (séparés) ? — Ça (III) c’est plus lourd que ça (la + Ib + le). — Pourquoi ? — Parce que c’est plus gros. »

Les mêmes essais avec la boule de plomb donnent naturellement le même résultat négatif. Et pour (la + Ib) et (le + Pb), Vir dit : « Ça (la + Ib) c’est plus lourd : il y a deux, et là (le + Pb) il y a le morceau. »

Pas (6 ; 3). Barres vernies : « Elles pèsent la même chose, la rouge (la) et la bleue (Ib) ? — Il faut voir avec les mains (il soupèse). Oui. — ■ Et l’orange (le) et la bleue (Ib) ? — (Il pèse.) Oui. — Et l’orange (le) et la rouge (la) ? — (Il veut peser) — Non, devines, qu’est-ce que tu crois ? — … » Même résultat avec le Pb : il constate l’égalité de Poids Pb = la et se rappelle l’égalité la = Ib : « Et le plomb et la barre bleue (Ib) ? — Non, le plomb est plus lourd. »

Bouc (6 ; 10) pèse la barre rouge et la barre orange et constate que « ça balance. — Et si je mets la bleue à la place de la rouge ? — (Il essaie.) C’est la même chose. — Bien (on les enlève.) Et si je mets la rouge et la bleue ? — La bleue sera plus lourde. »

Après avoir constaté l’égalité des trois, on demande : « Le plomb et la bleue ? — Il sera plus lourd, parce qu’il est plus gros. (Il pèse.) Non, c’est la même chose. — Et avec la rouge ? — Le plomb sera plus lourd. — Essaie. — (Il pèse.) Non, t’est la même chose. — Et avec l’orange ? — Le plomb sera plus lourd. —   Regarde. — (Il pèse.) Ah non, c’est de nouveau la même chose. »

Enfin (la + Pb) et Ib + le) : « Le rouge est le plomb seront plus lourds. —   Pourquoi ? — Parce que le plomb est lourd. »

Telles sont les réactions typiques de ce premier stade, qui est donc bien caractérisé par l’absence complète de toute composition de poids, même par simple équivalence et simple addition de parties homogènes.

On peut, en effet, constater en premier lieu que même lorsque, par la superposition spatiale d’objets homogènes ces sujets ont vérifié l’identité des dimensions, par exemple de la + Ib + le et de III ou de III = lia + la, ils n’en concluent pas à l’équivalence de leurs poids (nous commençons par ces cas-là puisque ils nous permettent d’emblée de vérifier ce qui a déjà été entrevu au cours des chap. II et IX). C’est ainsi que Gai, après avoir pourtant affirmé que Ha + la c’est « la même chose gros que III, déclare, dès que les plaques ne sont plus superposées, que III est plus lourd « parce que c’est plus gros ». Vir va jusqu’à serrer spontanément la + Ib + le pour les poser sur la plaque III en disant : « Si on les prend les trois ensemble ça fait la même chose lourd » pour dire aussitôt que s’ils sont dissociés, III est plus lourd parce que « plus gros ».

D’autre part, ces mêmes suj ets ne sont pas capables d’opérer dans le cas des barres d’ordre I, la composition fondamentale de toute logique : si A = B et que B = C alors A = C que l’on peut écrire sous la forme d’une coordination d’équivalences (A = B) + (B = C) = (A = C). Il suffit, en effet, que les barres soient vernies ou même qu’elles ne soient plus parallèles pour que la relation d’équivalence de jpoids qui les unit deux à deux ne soit plus transitive ! Assurément si l’on présente à l’enfant les barres la et Ib non colorées et parallèles pour qu’il reconnaisse l’égalité de leur poids, puis les barres Ib et le et qu’enfln on lui demande si la = le, les deux barres étant aussi parallèles et de même couleur, chacun répondra affirmativement (voir le cas de Vir au début). Mais il n’y a là aucun raisonnement : les trois jugements la = Ib ; Ib = le et la = le ont exactement la même valeur de simple lecture perceptive et ne sont pas liés entre eux. Par contre, il suffit, après avoir fait constater les équivalences la = Ib et Ib = le, de présenter la et le non vernis mais placés sans parallélisme, pour que l’enfant se refuse à conclure la = le ! Le même Vir, par exemple, aussitôt après avoir déclaré que la = Ib = le lorsqu’ils sont parallèles, répète que la = Ib et Ib — le, mais

dès que l’on place le perpendiculairement à la, conteste qu’ils aient le même poids ! Quant à Par et à Bourg, ils illustrent la réaction propre à ce niveau au cas des trois barres colorées : il suffit que ces trois barres d’ordre I (et qui ont donc exactement les mêmes dimensions) soient vernies en trois couleurs différentes, pour que de la = Ib et de Ib = le, l’enfant se refuse à tirer la = le 1

Pour ce qui est de la comparaison entre le morceau de plomb et ces mêmes trois barres, l’enfant arrive naturellement encore moins, au schème A = B ; B = C donc A = C. Boug va jusqu’à répéter à propos de chaque barre successivement (après avoir constaté leur égalité complète de poids) que « le plomb sera plus lourd » et cela malgré les démentis successifs de la balance. D’autre part, on fait voir à Col et à Gai que la = Ib, Ce qu’ils prévoient d’ailleurs immédiatement, puis on leur fait découvrir que la a le même poids que le plomb, ce qui est inattendu et les frappe : il suffit alors de leur demander si le plomb aura aussi le même poids que Ib pour qu’ils oublient tout ce qui précède ou plutôt pour qu’ils manifestent leur incapacité de composition en niant cette conclusion nécessaire.

Enfin, lorsque cette identité de poids entre le plomb et chacune des barres est établie expérimentalement en chaque cas, et que l’enfant n’a plus aucun doute à son égard, il suffit de l’insérer dans le système plus complexe (la + Ib) et (le + Pb) pour que l’enfant n’en tienne plus aucun compte. Sur ce point, les réactions du premier stade, naturellement négatives, frappent par leur caractère primitif. Par exemple Col déclare que (la + Ib) seront plus lourd « parce qu’il y a deux choses la même chose » ou « deux des mêmes » comme si la ressemblance qualitative des deux barres permettait d’en faire deux unités tandis que l’hétérogénéité qualitative du plomb et de la troisième barre empêchait de les assimiler à deux unités équivalentes en poids : le plomb « c’est pas du même ». Vir dit également que la + Ib font plus lourd parce qu’« il y a deux et là (le +Pb) il y a le morceau ». Gai, au contraire pense que Ha + Pb sont plus lourds que III « parce qu’il a deux choses », ce qui est cohérent avec son idée initiale qu’un bouchon coupé en deux moitiés pèse plus qu’un bouchon entier, mais ce qui montre en même temps que les termes de « un » et de « deux » ne sont pas pour lui des nombres réels mais des unités intuitives sans rapport de composition numérique entre elles.

Or, ces réactions de Col, de Vir et de Gai conduisent tout naturellement à poser le problème de la quantification métrique ou de la ÉQUIVALENCES DE POIDS

composition numérique, en relation avec les aspects négatifs que l’on vient de constater quant à la composition des équivalences logiques, simples ou additives. Un nombre est, en effet, un système d’unités, toutes équivalentes entre elles du point de vue considéré, et cependant distinctes de ce même point de vue, le mot « distinctes » signifiant alors simplement qu’on peut les sérier dans n’importe quel ordre mais que toutes ces séries possibles seront « semblables » entre elles (ordre « vicariant »). Une quantité continue (telle que le poids) constitue d’autre part un système analogue d’unités, mais appliquées aux variations d’une qualité donnée ; ou, ce qui revient au même, un système de relations asymétriques sériées ena+a’=b ; b + b’ = C ; c + c’ = d ; etc. (où a, b, c … sont les relations de différences croissantes entre le premier terme et chacun des suivants, et où a’, b’, c’ … sont les relations de différence entre le second terme et le troisième ; entre le troisième et le quatrième ; etc., mais telles que a’ soit équivalent à a ; b’ équivalent à a’; c’ à b’-, etc. Le nombre ou la quantité métrique .supposent donc l’un et l’autre 1° un groupement possible des équivalences ; 2° une sériation possible des termes ou des relations ; 3° la réunion opératoire de ces deux groupements en un seul, qui constitue précisément la composition numérique ou métrique. Ces trois conditions sont-elles donc remplies au présent niveau du développement ?

Pour ce qui est du groupement des équivalences A = B ; B = C donc A = C nous venons de voir qu’il n’en est rien. Or, à ce premier stade de la construction des équivalences correspond le premier stade de l’évolution de la sériation et nous avons précisément constaté, au chapitre précédent, que la composition des relations asymétriques est aussi impossible, à ce stade, que celle des équivalences. En effet, de même que les enfants dont il vient d’être question ne peuvent additionner les relations d’équivalences (A = B) et (B = C) en une relation unique (A — C) qui les coordonnerait, et cela parce qu’ils envisagent chaque rapport isolément sous un angle purement perceptif et non pas encore logique, de même l’enfant du même niveau ne peut pas sérier A, B et C parce qu’après avoir constaté AeBet jugé inutile de mettre C en relation avec A ou avec B et se borne à lui attribuer une qualité perceptive non relative : dans les deux cas la relation, soit symétrique ou d’équivalence soit asymétrique ou de différence, est donc intransitive et incomposable. Il va de soi dès lors que la réunion opératoire de l’équivalence et de la relation asymétrique

demeure impossible puisque ni l’un ni l’autre de ces deux rapports n’est encore susceptible de groupement : c’est pourquoi il ne saurait y avoir à ce niveau de composition numérique du poids ni de quantification extensive de cette qualité. Le poids n’est pas encore un quantum, mais une simple qualité subjective dont la vraie évaluation demeure la pesée sur la main et qui ne donne lieu qu’à des rapports perceptifs de quantité brute (par opposition aux quantités intensives de la sériation et aux quantités extensives de la mesure par unités).

Notons d’ailleurs que cette situation n’est pas spéciale au poids et qu’au cours de ce premier stade la quantité de matière elle-même n’est pas non plus quantifiable par unités extensives. C’est ce que nous avons pu montrer ailleurs en soumettant l’enfant à des épreuves exactement parallèles relatives à la mesure des quantités de liquides : si une quantité occupant le bocal A est versée en B, puis de B en C, l’enfant n’est pas certain, même s’il admet que A = B et B = C, de l’égalité A — C et il ne pense pas non plus que B + C = 2 A, etc. *. Mais, sans même invoquer d’autres faits que ceux dont nous disposons ici, il est clair que les compositions appelées tout à l’heure « homogènes » entre les seules barres et plaques de laiton intéressent la quantité de matière autant que le poids lui-même, puisque la densité de tous ces objets est la même et qu’ainsi le poids est proportionnel à la substance comme telle.

Il est donc impossible, on le voit, de ne pas mettre ces réactions élémentaires en rapport avec celles du premier des stades que nous avons distingués au cours de tout le présent ouvrage, c’est-à-dire du stade au cours duquel l’enfant ne quantifie ni le poids ni le volume, et ne parvient pas même à comprendre l’idée simple de la conservation de la substance ou quantité de matière : rien d’étonnant à cela si le niveau logique de l’enfant du même âge est caractérisé par l’incapacité à comprendre qu’un tout est égal à la somme de ses parties, que deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles ou que trois termes non équivalents peuvent être sériés si l’on connaît les différences entre le premier et le second et entre le second et le troisième.

¹ Piaget et Szeminska, op. cit., chap. X. Il est seulement à noter que le premier stade envisagé ici correspond aux stades I et II de la Genèse du nombre.

— Les enfants de ce second niveau s’avèrent capables de composer des suites simples d’équivalence (A = B) +_t(B = C) = (A = C) ou des équivalences additives (la + Ib + le = III, etc.) tant qu’il s’agit d’objets qualitativement homogènes (barres et plaques de laiton) mais ils échouent à effectuer les mêmes compositions dès qu’intervient un objet d’autre densité (compositions hétérogènes). En d’autres termes, ils savent quantifier la matière (et par conséquent le poids s’il est proportionnel à la quantité apparente de matière) mais sont encore incapables de composer logiquement et de quantifier les relations de poids, lorsque celles-ci ne sont plus proportionnelles à la quantité apparente de matière mais qualifient des corps de densités différentes. Voici des exemples à commencer par un cas intermédiaire :

Man (5 ; 4) prévoit d’emblée que fa = Ib = le = Id, mais, lorsqu’on met sur un plateau la et Ib parallèlement l’un à l’autre et sur le second plateau le et Id perpendiculairement l’un à l’autre il hésite : « Là (la + Ib) c’est plus lourd • puis prévoit que « fa pèse la même chose ». Dans la suite, après les essais dont nous allons parler, on lui demande « ça (III) et ça (la + Ib + le) c’est la même chose lourd ou pas ? — La même chose. »

Par contre, lorsqu’après avoir déclaré que la et le plomb « ça pèse pas la même chose, parce que le plomb est plus petit », il vérifie que c’est bien le même poids, mais nie que Ib = Pb. « Pourquoi pas ? — Parce que celui-là (Ib) est en fer, et il pèse lourd. » Ensuite, pour (la + Ib) et (le + Pb), Man dit : « C’est le premier qui pèse plus (la + Ib) : Il y a deux longues choses qui sont plus lourdes, et dans l’autre c’est plus léger parce qu’il y a un long et un petit. » Mais un moment après il croit (le + Pb) plus lourds « à cause du carré » (du morceau de plomb.)

Cla (6 ;6) constate l’égalité entre la barre bleue et la noire, puis entre la noire et la rouge : « C’est la même chose. — Qu’est-ce qui reste à peser ? — La rouge et la bleue : ce sera la même chose. — Pourquoi ? — Parce qu’une est ici (la bleue à gauche) et l’autre là (la rouge à droite) et que… (il déplace la noire de l’une à l’autre marquant par ce geste que si A = B et B = C alors la noire B assure l’égalité de A et de C !)

Mais, malgré cette conviction dans la déduction, Cla ne parvient pas à appliquer le même schème opératoire à la composition des équivalences de poids entre objets hétérogènes : « C’est la même chose lourd ce morceau de plomb et cette barre noire ? — La barre sera plus lourde, elle est plus longue. (Il pèse.) Non, c’est la même chose. ■— Et la barre noire et la rouge ? — La même chose. —   Et le plomb et la rouge ? — La barre est plus longue, ça sera plus lourd. »

Après avoir vérifié que Pb est égal à chaque barre d’ordre I, on dispose (la + Ib) et (le + Pb) : « Ça sera la même chose encore ? — Non, ça (le F Pb) c’est plus lourd : il y a une grosse chose et une longue. »

Gri (6 ; 10). Les barres d’ordre I : « La rouge et la bleue pèsent la même chose ? — Oui. —   Pourquoi ? — C’est la même grandeur. —   Et la bleue et la noire ? — • Oui. — Et la rouge et la noire (disposées perpendiculairement) ? — C’est la même chose. »

« Et le plomb et cette barre rouge ? — Le plomb est plus lourd, parce que,

c’est un peu grand là (épaisseur). — Pèse. — Ah non, c’est la même chose. — Et ça (barre bleue) et la rouge ? — La même chose. — Et le plomb et la bleue ? — Non, le machin (barre) est plus léger. — Pourquoi ? — Parce que le plomb est plus lourd. »

Bol (7 ans) parvient de même à identifier les barres deux à deux (la = Ib) + (Ib = le) = (la = le) mais sans réussir l’épreuve avec le morceau de plomb ni avec un caillou.

Lorsque sur un plateau se trouve la pierre et sur l’autre une barre, Bol pèse et s’écrie : « Ouhl C’est la même chose. — Alors, regarde, je vais maintenant rajouter une barre de chaque côté (on les tient en mains). Ça fera encore la même chose lourd ? — C’est la même chose, les deux barres, j’ai vu avant : elles sont la même chose grosses. Et ces deux aussi (la pierre et la barre déjà posée), mais la pierre est plus grosse. — Alors ? — Alors ça fera plus lourd de ce côté (pierre + une barre) parce qu’il y a une barre, et ça (caillou) c’est lourd. »

Après avoir constaté que le plomb est égal à chacune des barres, on place sur un plateau la et sur l’autre Pb : « Alors la barre et le plomb c’est la même chose ? — Oui. —   Maintenant tu vois, je rajoute une barre de chaque côté (Ib et le) [d’où (la + Ib) et (le + Pb)]. Alors ça fera comment ? — C’est là où il y a le plomb que ça fera le plus lourd. »

Bon (8 ans) : « « La barre rouge et la bleue ? — (Il pèse.) C’est la même chose. — Et la rouge et la noire ? — Aussi. — Alors ? — Alors toutes les trois sont la même chose. »

« Et le plomb et la barre bleue ? — C’est le plomb qui est le plus lourd, parce qu’il n’est pas en fer. — Pèse. — C’est la même chose. —   Et le plomb et la rouge ? Le plomb est plus lourd. — Pourquoi ? — C’est autre chose que le fer. —   Et la bleue et la rouge ? — C’est la même chose. — Et quand tu as pesé le plomb et la bleue ? — La même chose. —   Alors le plomb et la rouge ? — Le plomb est plus lourd. —   Essaie de peser. — Ah c’est la même chose. —   Et le plomb et la noire ? C’est la même chose… Non, le plomb est plus lourd que le fer. — Essaie. — (Il pèse.) Ah c’est de nouveau la même chose. — Et (Pb + rouge) et (noire + bleue) ? — Ici (Pb + rouge) c’est plus lourd, parce que le plomb est plus lourd que le fer. »

Telles sont les réactions de ce deuxième stade. On voit tout d’abord le progrès qu’il marque sur le précédent : tandis que les sujets du premier stade sont incapables de toute composition déductive, ceux-ci réussissent d’emblée à tirer (A = C) de (A = B) et de (B = C) dans le cas des barres homogènes, même lorsqu’elles sont colorées ou disposées différemment, et à effectuer les additions la + Ib = Ha, etc.

Sur le premier point Cia et Rod sont particulièrement nets et nous donnent pour la première fois l’image d’une déduction. Avant même de comparer la barre rouge et la bleue, Cia qui vient de voir que toutes deux égalent la noire, dit qu’il reste « la rouge et la bleue : ce sera la même chose », et pour le prouver, il indique d’un geste que la noire constitue leur commune mesure. Quant à Rod il formule d’emblée, après avoir vu A = B et B = C, qu’« alors toutes les trois sont la même chose ». Mais, si intéressant que soit ce passage de l’as- 258 LE DÉVELOPPEMENT DES QUANTITÉS

qu’ils demeurent à l’état de qualités égocentriques et phénoménistes. Aussi bien Ventant ne parvient-il pas dans les compositions hétérogènes à considérer chaque objet comme une unité de poids. Par exemple Cia qui, dans le cas des trois barres seules, les considère d’emblée comme des unités interchangeables, se refuse à comparer (la + Ib) à (le + Pb) parce que, dans ce cas « il y a une grosse chose et une longue », c’est-à-dire que le plomb et la barre le ne peuvent être considérées comme deux unités et ne sont pas comparables.

Cette impossibilité de quantifier le poids jointe à la composition achevée de la notion de quantité de matière, qui caractérisent ce stade convergent ainsi avec tout ce que nous avons vu du même niveau, tant à propos de la conservation simple (chap. I-II) et corpusculaire (chap. IV et VII) qu’à propos des relations entre le poids et la matière en cas de densités différentes (chap. VIII et IX).

— Le troisième stade marque enfin l’application au poids lui-même des schèmes opératoires de l’équivalence simple et additive. Mais cette découverte ne se fait pas en un bloc et il convient même, pour en marquer les étapes, de distinguer deux sous-stades III A et III B. Au cours du premier, le sujet n’aboutit à la solution correcte que par une méthode encore semi- intuitive et semi-opératoire, reconnaissable à l’existence de divers tâtonnements. Lorsque dans la composition simple (A=B) + (B = C) = (A = C) deux des trois termes sont homogènes, il y a déjà déduction immédiate, mais elle est facilitée par l’équivalence intuitive de ces deux termes. Par contre, lorsque les trois termes de la composition simple sont hétérogènes entre eux ou lorsque la composition additive porte sur des termes dont un au moins est hétérogène aux autres, il y a encore tâtonnement. Au cours du second sous-stade III B, au contraire, toutes les compositions sont immédiatement déductives.

Voici des exemples de sous-stade III A à commencer par un cas de transition entre le stade précédent et celui-ci :

Cha (6 ; 10) identifie d’emblée les barres après en avoir serré deux l’une contre l’autre : • Ça fait ça (superposition), regardez ! — Et ça (Pb et la) ? — Le plomb est plus lourd. (Il pèse.) Non, ça fait la même chose. — Et ça (Ib et Pb) ? — La barre est plus lourde. (Il pèse.) Je ne sais pas pourquoi, c’est la même chose. ÉQUIVALENCES DE POIDS 255

similation perceptive à la déduction, il faut remarquer que seules la couleur et la position différencient les trois barres : nous sommes donc très près encore du domaine perceptif puisque la composition peut toujours se fonder sur la forme et les dimensions, ainsi abstraites des autres qualités, et ne porte donc en fait que sur la quantité de matière et de poids qui lui est proportionnel.

Quant aux premières compositions par addition, nous voyons par exemple Man identifier III à la + Ib le, etc., tandis que les sujets du premier stade échouaient à établir des équivalences additives aussi évidentes. Mais, ici de nouveau, si le progrès est notable, il ne faut pas s’abuser sur sa valeur, puisqu’il est essentiellement relatif aux dimensions, donc à la quantité de matière.

Que se passe-t-il, en effet, lorsque le poids cesse d’être proportionnel à la quantité de matière et qu’il s’agit d’établir des équivalences, simples ou additives, entre des poids comme tels, c’est-à-dire entre les poids d’objet de densités différentes ? Cette composition entre objets qualitativement hétérogènes s’avère encore impossible, et cela bien que l’enfant vérifie sans cesse lui-même l’équivalence des poids.

En effet, dès qu’à l’une des trois barres on substitue le morceau de plomb, le caillou, ou tout autre objets de même poids, mais étranger au système du matériel en laiton, l’enfant de ce stade se trouve incapable d’appliquer à cet objet le raisonnement qu’il vient pourtant de faire sur les barres elles-mêmes. Les cas de Cla et de Rod sont, de nouveau ici, particulièrement intéressants, puisque après avoir formulé le schème opératoire (A = B) + (B = C) = (A = C) ces mêmes enfants se trouvent absolument impuissants à le généraliser dans cette situation nouvelle. Même aussitôt après la constatation sur la balance que le plomb pèse juste autant que l’une des barres, ils répètent obstinément toutes les fois qu’on demande la comparaison avec une nouvelle barre, que le poids sera différent. Man et Cri réagissent de la même manière, mais Cri montre à l’évidence le pourquoi de cette opposition entre les compositions hétérogènes et les compositions intéressant les barres seules : dans le cas des barres, en effet, si A = C quand A = B et B = C, c’est, dit Cri, parce que « c’est la même grandeur », tandis que dans le cas du plomb les dimensions ne sont plus comparables : « C’est un peu grand là (l’épaisseur) ». On voit assez combien les compositions entre les poids des barres constituent en réalité des compositions de quantités de matière

tandis que celles que l’on propose entre objets hétérogènes sont seules vraitnent des compositions de poids. On pourrait, il est vrai invoquer, pour expliquer l’insuccès de ces dernières, un défaut de mémoire de la part de l’enfant qui s’attend à ce que le plomb soit toujours plus lourd et qui oublierait ainsi la constatation contraire qu’il vient de faire : mais le cas de Rod montre assez, lorsqu’il dit par exemple « c’est la même chose… Non, le plomb est plus lourd que le fer » qu’il ne s’agit pas là d’un trou de mémoire, mais d’un conflit entre la logique et le sens intime. Et le conflit finit simplement par le triomphe de la qualité subjective sur la composition logique quantifiante !

Quant à l’expérience de la composition additive des objets hétérogènes, il va de soi que l’enfant de ce stade y échoue a fortiori. Même après avoir vérifié l’équivalence du plomb et de chacune des barres, il suffit que le sujet revoie ce plomb dans un système nouveau de quatre unités pour qu’il se trouve une fois de plus persuadé que le plomb est plus lourd (ou plus léger) et qu’ainsi le plateau sur lequel il est déposé soit tout entier plus lourd. Aussi dans quelques cas avons-nous simplifié la présentation de l’épreuve, et, au moment où l’enfant vient de contrôler sur la balance l’égalité de poids du plomb et d’une barre, nous sommes-nous bornés à rajouter une barre de chaque côté : or même ainsi Bol se refuse à admettre l’équivalence totale. Dans le cas du caillou (A) et d’une barre (B) faisant équilibre à deux autres barres (C et D), Bol va même jusqu’à dire explicitement A = C et B = D mais (A 4- B) 4- (G 4- D) : « C’est la même chose les deux barres, et ces deux aussi… alors ça fera plus lourd de ce côté. » On ne saurait pousser plus loin le mépris de la composition lôgico-arithmétique I

Au total, on constate donc qu’il existe, au cours de ce second stade une différence fondamentale entre les compositions entre objets homogènes (de même densité), qui sont réussies sous leur double forme de coordination des équivalences simples et d’addition des termes équivalents, et les compositions entre objets hétérogènes (de densités différentes), qui sont manquées sous ces deux mêmes formes. La raison en est, comme on l’a vu, que les premières consistent en réalité en compositions des quantités de matière, les poids étant dans ce cas simplement proportionnels à ces quantités, tandis que les compositions du second type sont les seules que l’on puisse considérer comme des compositions du poids lui-même. Ces faits confirment ainsi d’une ÉQUIVALENCES DE POIDS 257

manière frappante ceux que nous avons pu observer au cours des épreuves décrites au chap. IX : lorsqu’il cherche à confectionner une boulette d’argile de même poids qu’un gros bouchon, l’enfant de ce second stade parvient bien à la faire plus petite, parce qu’il sait dissocier le poids de la quantité de matière, mais lorsqu’il s’agit de trouver le poids du demi-bouchon ou du quart, il ne parvient pas à couper sa boulette en deux ou en quatre, faute de pouvoir composer ou quantifier les poids.

La conséquence de cette opposition entre les deux types de composition est, en effet, fondamentale en ce qui concerne la quantification elle-même : on peut dire, en un mot qu’au niveau de ce second stade la matière est déjà quantifiable, tandis que le poids ne l’est pas plus qu’au niveau précédent. Si la quantification métrique, est bien due, comme nous l’avons admis à la suite de nos recherches précédentes sur la genèse du nombre, à uhe synthèse opératoire de la sériation et de l’équivalence (ou, si l’on préfère, de la relation asymétrique et de la classe) il est facile d’expliquer ce décalage. Pour ce qui est de la quantité de matière, l’enfant de ce niveau sait déjà sérier des grandeurs ou des grosseurs, et lorsqu’on lui présente, pour étudier les équivalences correspondantes, un système de récipients et de liquides à transvaser, if réussit toutes les épreuves analogues à celles que nous venons de retrouver dans nos compositions de barres et de plaques de laiton¹ : par la synthèse de ces ordinations et de ces égalités il parvient donc au nombre et à la mesure de la quantité en général, c’est-à-dire de la substance. Par contre, de même qu’il échoue à mettre les poids eux-mêmes en équivalences (compositions hétérogènes) ainsi qu’on vient de le voir, de même il échoue encore au niveau de ce deuxième stade, à sérier des poids inégaux (chap. X) et cela pour les mêmes raisons : dans les deux cas, il parvient bien à établir des rapports perceptifs tels que A = B ; B = C ; G = D, etc, ou A4-B ; A4-C ; C4-D, etc., mais il ne parvient pas à les coordonner opéra- toirement en (A + B) = (C + D) ni en A 4- B 4- C 4- D parce qu’il raisonne par couples juxtaposés ou mélangés et qu’il ne parvient même pas à tirer (A = C) de (A = B) et (B = C) ni à sérier deux relations dans l’ordre A 4- B et B 4- C et non pas A 4- B et A 4- C. Si donc, au cours de ce stade, les poids ne peuvent être ni sériés opé- ratoirement ni mis en équivalences composables transitivement, il est évident qu’ils ne sauraient être quantifiés métriquement et

¹ Piaget et Szeminska, loc. cit., chap. X.

— Et ça (le et Pb) ? — Ah c’est la même chose, parce que celte barre et cette barre c’est la même chose, regardez ! —   Et ça (Pb et Id) ? — (Il hésite.) C’est la même chose, écoutez, j’ai vu ça parce que ça (Id) c’est la même chose que ça (Ib et le). •

« Et si je mets de ce côté (Pb + le) et de l’autre (la + Ib) ? — Là (Pb + le) c’est plus lourd, parce que le plomb est plus lourd. — On montre Pb et une barre, en les présentant simplement à part. — Ah c’est la même chose. — (On remet les quatre objets.) — Ça (les deux barres) c’est plus lourd parce qu’ils sont deux et là une. »

Mur (6 ; 11) : « (Pb et la) ? — Je ne sais pas. —   Essaie. — C’est la même chose. — Et avec (Ib) ? — C’est la même chose avec top tes, puisqu’elles sont toutes a même chose. —   Et (Pb + la) et (Ib + le) ? — Ça (Pb + la) c’est plus lourd, parce que le plomb est plus gros » puis il admet que c’est « la même chose ».

Bon (7 ans) : « La barre rouge et la bleue ça pèse autant ? — (Il essaie.) Oui. —   La rouge et la noire ? — Oui. —   Et qu’est-ce qui reste ? — La noire et la bleue : c’esl tout la même chose, parce qu’on a vu avec la noire et la rouge. »

« La bleue et le plomb ? — C’est le plomb qui est le plus lourd, parce que c’est presque la même chose que le fer. —   Pèse. — Ah c’est la même chose. — Et le plomb avec la rouge ? — C’est la même chose. — Pourquoi ? Moi je ne suis pas sûre. — Parce qu’on a vu à la balance que le bleu et le plomb c’est la même chose, et avant on avait vu que le rouge, le bleu et le noir c’est la même chose, »

« Et maintenant on mettra de ce côté le bleu et le rouge et de l’autre côté le plomb et le noir. — Le plomb et le noir, ça fera plus lourd parce que le plomb ça fait du poids. Le plomb et le bâton noir ne sont pas du même poids. Ah ! oui ils sont la même chose, c’est vrai. Mais ça sera quand même plus léger, le rouge et le bleu : les deux bâtons ça fait plus léger. —   Et le plomb avec une de ces barres (bleue) ? — C’est la même chose. —   Et si je mets le plomb et la bleue d’un côté et le noir et le rouge de l’autre ? — Si on ferait une boule, ça serait quand même la même chose : c’est plus gros le plomb, ça ne peut pas faire la même chose en longueur (Bod s’efforce donc spontanément de dissocier le poids du volume). — Alors (Pb + Ib) et (la.+ Ic) ? — C’est tout la même chose. »

« Et cette boule de pâte et le plomb ? — C’est facile, c’est le plomb qui sera plus lourd. (Il pèse.) Heu ! C’est la même chose ! — Et la pâte et la barre bleue ? — Ce sera la même chose. Non, la pâte est plus légère, on a vu avec le plomb. Ah ! non, c’est la même chose. —   Et (pâte + plomb) avec (rouge + bleue) ? — C’est la même chose. Si c’était un peu plus mince (= moins dense), le plomb, ça ferait (en longueur) le bâton, c’est ce que j’ai dit avant. —   Et (rouge + bleue) avec (pâte + plomb) ? — C’est la même chose. On a vu avant (les égalités terme à terme). — Et (pâte + barre bleue) avec (plomb et rouge) ? — C’est toujours la même chose. »

Fred (7 y₂) admet d’emblée pour les barres que A = C si A = B et B = C. « Et la bleue et le plomb ? — La barre sera plus lourde parce qu’elle est plus longue. (Il pèse.) Ah c’est la même chose. —   Et la noire et le plomb ? — C’est aussi la même chose, parce que la noire et la bleue c’est la même longueur ensemble. — Et avec la rouge ? — C’est avec toutes la même chose. »

« Ça (la rouge + plomb) et ça (la bleue + la noire) ? — C’est la même chose. Non, avec la bleue et la noire c’esl plus lourd. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a deux choses. —   La rouge et le plomb tu te rappelles ? — Oui, ça fait le même poids. — Et (la rouge + le plomb) avec (la noire + la bleue) ? — C’est pas le même poids. Ah oui, les barres c’esl la même chose que le plomb. »

« Et cette pâte et la barre bleue ? — La pâte sera plus lourde. (Il pèse.) C’est la même chose. —   Et ça (la bleue + la noire) et (la rouge + la pâte) ? — C’est la même chose, parce que la rouge et la pâle P est le même poids, et la rouge c’est a même chose que les autres barres. — Et (le plomb + la pâte) avec (la noire

+ la bleue) ? — Il y a deux barres et le plomb et la pâte. Si je mets les deux barres dans mes mains (en pensée !) la noire est comme le plomb et la pâte comme la bleue. Je pense, alors je vois que c’est la même chose. »

Tel (7 fa) : « La bleue et la rouge ? — (Il pèse.) C’est la même chose. —   La rouge et la noire ? — Aussi. — La bleue et la noire ? — La noire a l’air plus grande, non c’est la même chose parce qu’elles pèsent toutes la même chose. —   Et ce plomb avec la bleue ? — Ça pèse plus parce que c’est plus gros. (Il pèse.) Non, c’est la même chose, parce que ça (la barre) c’est long et ça (le plomb) c’est épais. — Et ça (rouge, etc.) ? — C’est la même chose parce que la bleue et le plomb ont le même poids, et la noire et la rouge c’est la même chose. »

« Et ça (la rouge + la bleue) avec ça (le plomb + la noire) ? — Oh ! C’est aussi la même chose, parce que les barres sont de la même longueur… Non, je me suis trompé, les barres sont plus lourdes. — Et (la bleue + le plomb) avec (la rouge + la noire) ? — Ce n’est pas la même chose. Le plomb est épais, et ça (la bleue) c’est long et de l’autre côté il y a deux longs. Les barres sont plus lourdes. —   Mais tu te rappelles quand tu as pesé le plomb et la bleue ? — Ah oui, c’est tout la même chose. » Avec la pâte à modeler et les barres, Tel est d’emblée certain des équivalences additives.

Cas (7 ; 11) : « Le plomb et la bleue ? — Le plomb est plus lourd (il pèse). Non, la même chose. — Et avec la rouge ? — La même chose. Avec n’importe laquelle parce que les trois sont la même chose. — (On vérifie sur la balance.) — Et (le plomb + la noire) avec (la rouge + la bleue) 1 — Du côte du plomb, c’est plus lourd, mais sûr ! Le plomb avec, c’est plus lourd qu’une barre ! —   Mais quand tu as pesé, le plomb était comme quoi ? — Une barre. Non, il est plus lourd c’est sûr (il pèse à nouveau le plomb et une barre, et se tait embarrassé, en se grattant les cheveux). Oui, c’est la même chose. —   Alors tout ça (les quatre objets deux à deux) ? — C’est la même chose. On avait vu avant avec la barre et le plomb : c’est le même .poids. Alors, puisqu’on a mis une barre avec le plomb ça doit faire la même chose. — Pourquoi ? — Parce que le plomb vaut une barre. Alors deux barres avec une barre et le plomb, ça doit faire le même poids. »

Ensuite Cas constate l’égalité du plomb avec la boule de pâte. On pose (plomb + pâte) et (deux barres) : « C’est le même poids ? — Ça devrait être les deux la même chose. » Puis il vérifie l’égalité de la plaque de charbon et du plomb : « C’est le même poids, parce que le charbon c’est léger et gros et le plomb c’est petit et lourd. » Mais quand on met d’un côté trois barres et de l’autre le charbon + la pâte + le plomb, Cas se refuse d’abord à l’équivalence : « C’est le même poids ? — Non, le charbon, c’est le plus léger, plus que la pâte et que le plomb, mais pas plus léger qu’une des barres. — Alors ? — Alors ça (les trois objets hétérogènes) c’est plus léger parce que la barre est plus lourde que le charbon… ah ! mais non, ça pèse la même chose, c’est facile à comprendre. »

Quis (8 ; 4) : « La barre rouge et la noire ? — C’est les mêmes. ■— La bleue et la noire ? — Aussi. — Et la rouge et la bleue ? — C’est le même poids parce que la rouge et la noire étaient les mêmes et la bleue et la noire aussi. — La bleue et cette pâte ? — La pâte est plus lourde (il pèse et rit). Je me suis trompé. —   La rouge et la pâte ? — La même chose, puisque la rouge est la même que la bleue. — La noire et la pâte ? — Aussi. »

• Et ça (la + Ib) avec (le + pâte) ? — C’est les deux barres qui sont les plus lourdes. — Pourquoi ? — Là il y a seulement la pâte et un bout de fer et là deux bouts. »

« Le plomb et cette barre (la) — (Il pèse.) C’est le même poids. —   Et ça (Pb + la) avec (Ib et le) ? — C’est les deux barres qui sont les plus lourdes. —   Pourquoi ? — Comme avant : là il y a deux barres et là seulement une barre et un plomb. — (On enlève une barre de chaque côté.) Et maintenant ? — Ça pèse ÉQUIVALENCES DE POIDS

la même chose. C’est comme avec la barre bleue et le plomb, on a déjà vu. — (On remet les barres.)- Et comme ça ? — Ah ! c’est la même chose. »

« Et ça (pâte 4- plomb) avec ( deux barres) ? — Là (deux barres) c’est plus lourd. — Qu’est-ce qui pèse comme le plomb 7 — Une barre. — Et comme la pâte ? — Aussi une barre. — Alors ? — Ah, les deux plateaux pèsent la même chose. »

Ces cas de découvertes progressives de la composition et de la quantification des poids nous paraissent d’un certain intérêt non pas seulement pour l’objet de cet ouvrage, mais pour la psychologie de la quantité en général.

On se rappelle que les sujets du stade précédent n’étaient pas capables de conclure de A — B et de B = C à A = C, lorsque la composition portait sur les objets de densité hétérogènes, donc sur le poids lui-même, tandis que le même raisonnement leur était aisé lorsqu’il s’agissait d’objets de même densité et que la composition intéressait ainsi la quantité de matière et les dimensions mêmes des corps à comparer. Or, il se trouve que, dès les débuts de ce troisième stade le même schème est appliqué sans aucune difficulté à deux barres homogènes et un objet d’autre densité (plomb, argile, charbon, etc.). Par exemple Mur ayant reconnu que le morceau de plomb est de même poids que la barre bleue conclut d’emblée : « c’est la même chose avec toutes, puisqu’elles sont toutes la même chose ». De même Bod comprend d’emblée que l’égalité avec le plomb s’étendra à toutes les barres. Fred, Tel, Cas et Quis sont aussi nets. Seul Cha se trompe une fois et a besoin de vérifier l’égalité avec deux barres successives avant de généraliser, et c’est en quoi son cas est encore intermédiaire entre le second et le troisième stade.

Comment expliquer ce changement relativement brusque d’attitude entre ces deux stades, et cette libération de la déduction par rapport à ses limites antérieures ? Si l’on compare ces données à celles qui ont été établies au cours des chap. I à VI, la situation est claire et peut se formuler comme suit : au niveau où la quantité de matière est seule à se conserver tandis que le poids n’est pas encore invariant (second stade), le raisonnement formel par simple coordination d’équivalences s’applique seulement à la quantité de matière (compositions homogènes) et non pas au poids comme tel (compositions hétérogènes), tandis qu’au niveau où le poids lui-même devient invariant (troisième stade III A et III B), il donne prise pour la première fois au raisonnement logique de forme (A = B) + (B = C) = (A= C) A = C) ! En d’autres termes, tant que le poids demeure une qua-

lité subjective, il ne se prête pas aux déductions les plus élémentaires. Tant qu’il ne consiste qu’en impressions égocentriques et phénomé- nistes, en effet, cela ne sert de rien de peser les objets sur une balance : on ne saurait enfermer dans la précision des équivalences objectivement composables une qualité dépendant de facteurs aussi fluctuants que la force de la main qui soupèse, ou que la force active attribuée aux corps pesants. L’enfant a beau voir que, sur la balance, le plomb équilibre la barre rouge, et que la rouge équilibre la bleue, il ne veut pas se résoudre à admettre que le plomb équilibrera aussi la bleue, et préfère penser que, si ce plomb n’a pas été plus lourd que la barre rouge, comme on pouvait s’y attendre, il se rattrapera sur la bleue, si l’on ose ainsi parler ! Au contraire, dans la mesure où le poids est pensé sous les espèces d’un invariant physique, il n’y a pas de raison pour ne pas conclure que, si le plomb équivaut en poids à l’une des trois barres semblables entre elles, il équivaudra à toutes. L’opération logique qui permet la coordination des équivalences apparaît donc comme étroitement parallèle à l’opération physique qui construit les invariants et il s’agira précisément d’analyser cette solidarité.

A cet égard, les difficultés mêmes de la composition par addition sont aussi instructives que le succès de la coordination des équivalences simples car nous pouvons suivre ainsi pas à pas la marche du groupement logique et de la quantification elle-même.

Notons d’abord que le succès final de l’épreuve des quatre objets répartis en deux ensembles n’est pas le même chez tous les enfants de ce sous-stade intermédiaire III A : le cas intermédiaire Cha échoue complètement tandis que les autres aboutissent plus ou moins rapidement à la réussite. Mais, durant ce sous-stade, tous les sujets présentent une résistance initiale à la composition additive (A 4- B) = (C 4- D) et cette résistance ne cède pas d’un bloc, vaincue par une compréhension soudaine et définitive, mais au travers de tâtonnements variés. Ce sont ceux-ci précisément qui sont intéressants pour notre propos.

Il y a donc en premier lieu les sujets qui s’avèrent incapables de passer de la composition simple des équivalences hétérogènes à la composition additive, quoi qu’ils comprennent parfaitement celle-ci dans les cas des objets homogènes, c’est-à-dire de la quantité de matière. Pour eux, par conséquent, le poids du plomb est bien équivalent à celui de chaque barre lorsqu’on les compare en une suite de ÉQUIVALENCES DE POIDS

relations d’égalité, mais cesse de l’être dès que l’on rajoute en chaque membre d’une équation ou sur chaque plateau de la balance, une barre égale en plus. Par exemple Cha reconnaît que le plomb « c’est la même chose » que chacune des barres mais dès que l’on réunit le plomb à l’une d’elles pour le comparer à deux autres, l’égalité cesse « parce que. le plomb est plus lourd ». Et, comme on lui fait remarquer sa contradiction, il répond que d’un côté les barres « sont deux et là une » comme si le plomb n’entrait plus dans le calcul. De même Mur, qui dit du plomb « c’est la même chose avec toutes (les barres), puisqu’elles sont toutes la même chose », commence par admettre que ce plomb, ajouté à une barre, rompt l’égalité avec les deux autres « parce que le plomb est plus gros ».

Nous avons ensuite le cas de ceux qui tâtonnent longtemps pour aboutir en fin de compte à la solution juste. Le sujet Bod est intéressant pour illustrer la construction de l’unité. Il admet sans peine que si le plomb égale l’une des barres, il équivaut à chacune des autres, mais, une fois réuni à la barre noire « ça fera plus lourd parce que le plomb ça fait du poids ». Il se rappelle ensuite l’équivalence terme à terme, mais se refuse néanmoins à abstraire les qualités habituelles du plomb : « Ce sera quand même plus léger que les deux barres. » Enfin, ramené à la constatation de l’égalité entre le plomb et une barre, il se décide à faire du premier une unité comme les autres, mais grâce à un raisonnement qui lui permet d’annuler les qualités différentielles de ce métal : s’il était moins dense, dit Bod, il ferait une barre de même longueur (« si c’était un peu plus mince, le plomb, ça ferait le bâton »). Ainsi rassuré il conclut que « c’est toujours la même chose ». Fred, après avoir dit que le plomb et les barres « c’est avec toutes la même chose » pense d’abord que deux barres seront plus lourdes qu’une barre avec le plomb « parce qu’il y a deux choses », ce qui est donc le primat de la qualité sur l’unité numérique. Mais, une fois rappelées les équivalences, il en vient à la quantification numérique et donne même un bel exemple, pour le plomb, la pâte et les deux barres, d’une substitution généralisée : « Si je mets les deux barres dans mes mains, la noire est comme le plomb et la pâte comme la bleue… alors je vois que c’est la même chose. » Quis, après les mêmes hésitations, « là il y a seulement la pâte et un bout (une barre) et là il y a deux bouts (barres) », en vient au même raisonnement par correspondance, mais avec notre aide.

Il y a enfin les sujets qui, comme Cas, parviennent après quelques

fluctuations, à une solution définitive en fournissant de bonnes raisons à ce succès final. Cas, après avoir admis que le plomb est équivalent à une barre « n’importe laquelle, parce que les trois sont la même chose », se refuse pourtant d’abord à croire que le plomb et la noire égalent la rouge et la bleue. Il donne à cela un motif qu’il formule de façon tout à fait curieuse et qui montre bien les difficultés propres aux débuts de ce stade à construire des ensembles : le plomb est bien, équivalent à une barre, à l’état isolé, mais « le plomb avec, c’est plus lourd qu’une barre ». Rien ne saurait mieux marquer que cette opposition entre le plomb seul et « le plomb avec » la résistance de la qualité intuitive à la composition opératoire. Mais après avoir refait la mesure de l’équivalence, Cas change ses positions et exprime de la façon la plus claire le principe de la quantification : « Le plomb vaut une barre, alors deux barres avec une barre et le plomb ça doit faire le même poids. » Avec six objets, il hésite à nouveau mais revient à la composition : « Ça pèse la même chose, c’est facile à comprendre. »

Telles sont, au total, les réactions propres à ce sous-stade intermédiaire III A. On voit ainsi que l’enfant s’y trouve sans cesse partagé entre deux attitudes. Il y a, d’autre part, l’évaluation subjective et égocentrique des poids, héritée des stades précédents et selon laquelle le poids est relatif à nos organes : le morceau de plomb apparaît à la main, et malgré toutes les mesures, comme plus lourd que la barre de laiton, ou apparaît à l’œil plus léger parce que plus petit, etc. D’autre part, il y a l’attitude logico-arithmétique, qui consiste à décomposer les poids en équivalences ou en différences pour les recomposer selon les deux logiques de la classe ou de la relation, ou les quantifier en réunissant ces deux logiques en une seule. Lorsque la composition ne dépasse pas le niveau des équivalences terme à terme (A = A’) + (A’ = A”) = (A = A”) ou des différences terme à terme (A 4- B) + (B 4-C) = (A 4 G) la seconde attitude tend à l’emporter sur la première. Mais que la composition dépasse ces limites élémentaires et exige un nouvel effort de coordination, alors aussitôt réapparaît l’attitude la plus simple, qui tient en échec la seconde. C’est pourquoi un même enfant peut affirmer simultanément que le plomb équivaut à une barre lorsqu’ils sont seuls en regard l’un de l’autre, mais que « le plomb avec » cette même barre comparés à deux autres redevient alors plus lourd ou moins lourd. Il y a donc encore un conflit latent entre la fausse logique de l’expérience immédiate ou de l’égocentrisme et la construction réversible et opé ÉQUIVALENCES DE POIDS 265

ratoire, et ce n’est qu’après une série de tâtonnements qu’il se termine par la victoire de celle-ci.

Les deux problèmes qui se posent à propos de ce sous-stade III A sont ainsi de savoir pourquoi certaines compositions d’équivalences simples sont plus faciles que d’autres ou que les compositions additives et comment celles-ci se constituent, sous leur double aspect logique et numérique.

La première de ces deux questions est aisée à résoudre, d’autant plus qu’elle reproduit exactement celle que nous avons déjà rencontrée à propos du sous-stade III A des compositions d’inégalités (chap. X). En effet, au cours de ce même sous-stade l’enfant sait aussi coordonner A <-B et B 4- G en A 4- C, mais la méthode empirique et tâtonnante lui est encore nécessaire pour sérier deux à deux les quatre termes A 4- B 4 G 4- D. La raison, avons-nous vu, en est assurément, puisqu’il s’agit des mêmes opérations pour trois ou quatre termes, que la sériation de trois termes offre une plus grande facilité intuitive, autrement dit qu’au niveau III A elle n’est toujours pas entièrement opératoire mais présente encore les aspects d’une intuition, rapide et articulée sans doute, mais non généralisable immédiatement. Or, la situation est la même dans le cas présent. Pour admettre que si Pb = la et si la = Ib = le, etc., alors Pb = Ib = le, etc., il faut certes que le sujet dépasse l’attitude phénoméniste et construise un système opératoire, — nous l’avons vu tout à l’heure. Mais il est clair aussi que le libre exercice de cette opération est bien facilité par l’équivalence intuitive des barres. Il suffit déjà, de poser le même problème avec le plomb, la pâte et le charbon, c’est-à-dire avec trois objets hétérogènes et non plus deux objets homogènes sur trois, pour que les choses se compliquent un peu. Dans le cas des compositions additives même aussi faciles que (la + Pb) = (Ib + le) il s’y ajoute, et c’est là le grand intérêt de l’expérience, que les termes reconnus comme équivalents lorsqu’on les compare un à un, constituent dorénavant des ensembles ou totalités qu’il s’agit de comparer couple à couple. Par conséquent le facteur intuitif qui facilitait la substitution de Ib ou de le, etc., à la dans l’équivalence la = Pb, joue cette fois à sens contraire en opposant une totalité homogène (Ib + le) à une totalité hétérogène (Pb + la) et, ces deux couples n’étant alors pas jugés équivalents pour ces raisons intuitives, on a la preuve que les équivalences simples n’étaient donc elles- mêmes pas entièrement opératoires mais encore en partie intuitives.

En d’autres termes, l’enfant qui admettait que le poids d’un morceau de plomb peut être équivalent à celui d’une barre de laiton, en abstrayant momentanément ce poids des autres qualités en jeu, arrivait alors à reconnaître aussi qu’il sera équivalent à toutes les autres barres intuitivement semblables, mais le plomb une fois inclus dans un ensemble intuitif nouveau, les équivalences disparaissent et les qualités ordinaires reprennent leur rôle antérieur à l’abstraction momentanée qui les a exclues : le plomb redevient alors « plus lourd » en soi.

Cette attitude, semi-intuitive et semi-opératoire des sujets du sous-stade III A permet d’autant mieux de suivre comment se constitue la composition additive sous son double aspect logique et numérique, et comment elle entraîne donc une quantification à la fois intensive et extensive.

L’addition logique, tout d’abord, n’est pas autre chose que la réunion des éléments (par ex. Pb = Ai et la = A4) en une classe Aj + A4 = B_x (ou Ib = A_a et le — A’,, d’où A_a 4- A’_a = B_a) ou de deux classes en une classe totale, par ex. B_t 4- B_a = D. Or, cette réunion qui se présente naturellement d’abord sous une forme intuitive, devient opératoire à partir du moment où les éléments demeurent identiques à eux-mêmes quelques soient leurs arrangements, autrement dit à partir du moment où la composition est réversible et où il y a par conséquent conservation du tout et des parties. On se rappelle à ce sujet les raisons de la non-conservation du poids (chap. II et V), qui consistaient précisément en une non-observation de ces conditions de composition. Or, lorsque les enfants que nous venons de citer considèrent que le poids du plomb soit A ! est différent selon qu’on le compare seul à une barre ou qu’il est incorporé dans les ensemble B, ou D, ils raisonnent exactement de même. Comment donc parviennent-ils à la composition additive ? C’est une fois de plus et simplement par une coordination progressive de l’opération directe A_x 4- A4 = Bj avec l’inverse B ! — A4 = Aj et avec l’identique A_t 4- O = A_t, c’est-à-dire par une construction réversible permettant de passer d’un arrangement à l’autre sans contredire les constatations antérieures : « C’est la même chose » comme disent Cas et Quis lorsqu’ils ont compris, parce que « on a vu avant » ou « c’est comme avant ». Nous retrouvons donc ainsi sans plus la méthode 1 décrite à la fin du chap. I.

Mais comment l’enfant procède-t-il de cette addition des classes à ÉQUIVALENCES DE POIDS

la composition numérique, donc à la quantité métrique ? Il y a d’abord généralisation des substitutions possibles, donc des équivalences, mais à l’intérieur même des classes B_x et B, ou D : « parce que le plomb vaut une barre, dit Cas, alors deux barres avec ùne barre et le plomb ça doit faire le même poids. » Donc, si l’on fait abstraction des qualités de Aj et A’, ou de A_a et A’_a on aAj = A’j = A_a = A’_a d’où Aj + A’i = A_a + A’_a, c’est-à-dire B_t = B_a.

Mais cette généralisation de la substitution qui engendre ainsi l’unité recouvre en réalité une organisation toute nouvelle du groupement opératoire des classes et des relations. Si Aj = A\ = A_a = A’_a on peut composer une classe B aussi bien de Aj + A_a que de A_t+ A’i ou A\ + A’_a, etc., et elle cesse par cela même d’être une classe qualifiée. Or, c’est précisément ce que l’enfant se refuse à faire au début : pour lui les deux barres A_a + A’_a « sont deux », comme dit Cha, « et là (Ai + A\) un », c’est-à-dire que le plomb Aj n’est pas une unité comme les autres. Au contraire le nombre apparaît dès que l’enfant admet que n’importe quel couple est équivalent à n’importe quel autre, n’importe quel trio à n’importe quel autre, etc. Mais, pour en arriver là, il faut alors que la substitution ou la « correspondance quelconque » entre 1 A et 1 A, 1 couple B et 1 autre couple B, etc., qui en résulte, s’accompagne d’une sériation également généralisée : si £ marque le premier rang ( = la différence de rang entre le premier A et O) ; si est la différence de rang entre le A suivant et 1 A ; la différence entre le suivant et 2 A ; etc., on a alors b = ° etc. Ces rangs demeurent les mêmes si l’on intervertit

les termes. Si le nombre et la mesure constituent ainsi un système d’unités par substitution généralisée, c’est donc par la fusion en un seul tout opératoire de l’addition des équivalences, propre au groupement des classes et de la sériation des différences de rang propre au groupement des relations asymétriques transitives, les équivalences et les différences étant toutes deux généralisées grâce aux substitutions possibles entre les termes.

Examinons maintenant l’achèvement de cette construction à la fois logique et numérique au cours du deuxième des sous-stades de la présente période, ou sous-stade III B : toutes les compositions étudiées ici y sont effectuées sans tâtonnements ni retours, même celles qui portent sur le poids des objets de différentes densités (compositions hétérogènes).

Voici des exemples de ce sous-stade III B, à commencer par un

curieux cas de transition, dans lequel on observe de l’hésitation pour les déductions élémentaires, puis un brusque décrochage du mécanisme déductif s’appliquant alors aussitôt à tout :

Dep (7 ; 10) constate que la barre rouge équivaut à la bleue et celle-ci à la noire : « Et la rouge sera de même poids que la noire ? — On dirait qu’elle est plus épaisse. Elle est plus lourde. — Que quoi ? — Que la rouge. —   Mais la rouge est comme quoi ? — La bleue. —   Et la noire est comme quoi ? — La bleue. —   Alors ? — (Il pèse la noire et la rouge.) Elles sont la même chose, maintenant j’ai vu. —   Et la bleue et la rouge ? — Oh alors ça doit être la même chose : la rouge est comme la noire, alors puis la bleue égale la noire, elle est la même chose que la rouge. »

« La rouge et ce plomb ? — Le plomb est plus lourd. (Il pèse.) Non, je me suis trompé. — Est-ce qu’il y a encore autre chose sur cette table qui pèsera comme le plomb ? — Oui, la noire puisqu’elle est comme la rouge ; la bleue aussi puisqu’elle pèse comme la noire et la rouge. —   Regarde : (rouge et noire) et (bleu + plomb). — (Il réfléchit.) Je ne sais pas combien ça fera. Pas la même chose puisqu’il y a deux barres. Ah oui ! Je me rappelle que le plomb est égal à la rouge, et parce que le plomb avec la bleue ça fait deux, alors deux et deux ça fait la même chose. — Et (noire + plomb) avec (bleu + rouge) ? — Vous changez ? Ce n’est pas la peine, c’est toujours le même poids. >

« Et ça (pâte) avec la bleue ? — (Il pèse.) Ça fait la même chose avec la rouge et la noire ! — Et la pâte et le plomb ? — C’est pareil, puisque le plomb est comme le rouge et que la pâte est comme la bleue, quand on a essayé. Et puisque la bleue est pareille à la rouge, la pâte est la même chose que le plomb. »

« Et ça (pâte et plomb) avec (noire et bleue) ? — Oui, ça (pâte et plomb) ça fait comme deux barres. —   Et si le charbon est comme le plomb, alors le plomb et le charbon ensemble font quoi 1 — Comme deux barres, comme la bleue et la noire. — Tu es sûr T — Je crois, oui, je suis sûr. On n’a pas essayé le charbon et la noire, mais le charbon va avec le plomb et le plomb avec les barres quand on a essayé. •

« Tu peux arranger quelque chose qui pèse comme les trois barres ? — (Il met la pâte + le plomb + le charbon.) La pâte on a essayé avec la noire et ça faisait la même chose. Le plomb égale la bleue ; et le charbon, puisqu’il est comme le plomb, il est pareil au rouge. Alors ces trois barres et les trois choses ensemble ça fait le même poids. »

Geb (9 ; 6) : « Cette barre bleue pèse comme la blanche ? — (Il pèse.) Oui. — Et la rouge comme la bleue ? ■— (Il pèse.) Oui. — Et la rouge et la blanche ? — Elles doivent peser la même chose puisque ensemble elles pèsent pareil. •— Et la blanche et le plomb ? — Le plomb sera plus lourd. (Il pèse.) Ah non. —   Et la rouge et le plomb ? — Ce sera la même chose, puisque la rouge et la bleue sont pareilles. »

« Ça (blanche + rouge) et (bleue + plomb) ? — C’est pareil puisque la blanche est comme la bleue et que la rouge et le plomb aussi. — Et cette pâte avec le plomb ? — Moins lourd. (Il pèse.) Non, c’est pareil. — Et ça (pâte + plomb) avec (bleue -I- rouge) ? — Pas la même chose, ah ! oui, la même chose. Non, deux barres, ça faisait deux choses pas comme ça (il a pris la pâte dans sa main). Attendez (il pose la pâte à la place d’une barre et met ainsi le plomb et une barre d’un côté et la pâte et une barre de l’autre). Comme ça ce sera la même chose. (On remet comme avant.) Oui, c’est la même chose. — Comment sais-tu que la barre pèse comme la pâte ? — • On a pesé la pâte et le plomb, et le plomb pèse comme une barre. »

« Ce charbon et la pâte ? — (Il pèse.) Pareil. —   Tiens, trois barres sur ce plateau. Arrange-moi sur l’autre quelque chose qui ait le même poids. — (Il met la pâte + le charbon et le plomb.) — On peut les mettre autrement ? — (Il fait toutes les substitutions.) C’est toujours la même chose. »

Tit (9 ; 6) après avoir réussi toutes les équivalences simples : « Ça (bleue + blanche) et ça (plomb + rouge) ? — Ça sera juste. Le plomb et la bleue pèsent la même chose et la rouge et la blanche aussi. Donc ce sera juste. — Et si on change (le plomb contre la blanche) ?— C’est la même chose. — Regarde si la pâte égale le plomb. — (Il pèse.) Oui. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de pâte que de plomb : ça fait le même poids. —   Et ça (deux barres) avec (pâte-(-plomb)? — C’est le même poids parce que la pâte pèse la même chose que le plomb et les barres. — Et si on change de place ? — C’est pareil : le bout de fer vaut l’autre bout de fer et le plomb vaut la pâte. — Et le charbon ? — (Il pèse.) Comme le plomb. —   Et ça (pâte + deux barres) avec (une barre + plomb + charbon) ? — C’est juste. Le plomb vaut le truc blanc, le rouge vaut le bleu et le charbon la pâte. — Peux-tu arranger autrement ? — (Il fait toutes les substitutions.) C’est toujours la même chose. »

Lar (10 ans) admet aussi toutes les combinaisons, en disant que « chacun (chaque objet hétérogène) remplace une barre ».

Telles sont les réactions finales de ce développement. Nous retrouvons d’abord chez Dep un dernier cas de ces conflits propres au sous- stade III A entre l’attitude d’évaluation subjective et l’attitude de composition objective : Dep commence, en effet, par douter de la transitivité de l’équivalence, mais, dès qu’il s’en persuade (« oh alors ça doit être la même chose »), il élimine d’un bloc les éléments intuitifs, et applique à tout son schème opératoire : il le généralise d’emblée à la composition additive de quatre et même de six objets, pour en arriver à considérer chacun comme une véritable unité numérique : « Le plomb avec la bleue ça fait deux, alors deux et deux ça fait la même chose. »

Comment donc expliquer cette victoire totale de la composition déductive, victoire qui, durant la période intermédiaire III A n’apparaît chez le sujet qu’après une suite de tâtonnements préalables, et qui s’affirme d’emblée chez les enfants de la période III B, c’est- à-dire chez les cas francs du troisième stade ? La première hypothèse qui vient à l’esprit est celle d’une sorte de structuration brusque sur le modèle de la « Gestalt » quand les sujets de la fin du sous-stade III A s’écrient après toutes leurs hésitations « non, ça pèse la même chose, c’est facile à comprendre », ou quand, dans la précédente période l’enfant dit d’emblée : « elles doivent peser la même chose puisqu’ensemble elles pèsent pareil » (Ger) ou « ce sera juste » (Tit) on a l’impression d’une cristallisation instantanée comme dans les changements immédiats de structures perceptives. Seulement si l’assimila-

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tion propre à la déduction constitue bien, comme l’a montré M. Wer- theimer à propos du syllogisme un processus rappelant ces mises en « forme », il est bien clair, dans le domaine que nous étudions ici, que cette structuration est le résultat d’opérations proprement dites, c’est-à-dire de réunions (additions et soustractions logiques ou arithmétiques) et de substitutions, soit simples, soit au sein même des ensembles ainsi formés par additions. Comment, en effet, l’enfant découvre-t-il que A = A” si A = A’ et si A’ =i A” ? C’est précisément en substituant en pensée A” à A’ dans l’égalité A = A’. Or cette substitution, fondement de l’équivalence, est une opération proprement dite, que l’enfant effectue mentalement ou même en actions : c’est ainsi que Ger, troublé par la comparaison de deux barres avec le plomb et la pâte réunis, suspend son raisonnement et permute la pâte avec l’une des barres pour faciliter son calcul. De même Tit et Lar se convainquent par une série de substitutions réelles qui complètent leurs substitutions mentales : « Chacun remplace une barre », dit Lar, ce qui est exactement la source de l’équivalence. Contrairement à la restructuration perceptive qui est la découverte de « la bonne forme » définitive, la structuration logique est « formelle » en un tout autre sens, qui est celui de la mobilité : la « bonne forme » logico-arithmétique est celle du groupement ou du groupe dont toutes les opérations sont à la fois réversibles, composables entre elles et associatives.

Or dans les réactions que nous venons de citer il n’intervient pas moins de trois groupements achevés : le groupement préliminaire des équivalences (ou substitutions), (A = A’) + (A’ = A”) = (A = A”) le groupement additif des classes permettant de construire n’importe quelle classe par réunion (+) ou exclusion (— ), telles que A_t + A\ = Bj ou A _a -I- A’j = B a, etc., et enfin le groupe additif des nombres entiers, qui permet de considérer chaque élément équivalent comme étant égal à toutes les autres et cependant distinct. Or comment ces sujets passent-ils du groupement additif des classes au groupe des nombres ? C’est à nouveau en généralisant la substitution ou en introduisant une équivalence « quelconque », par abstraction de toutes les qualités autres que le poids : comme le dit Ger après cette substitution généralisée : « C’est toujours la même chose », les unités Équivalentes n’étant plus, en effet, distinctes que par l’ordre de leur mise en correspondance ou de leur énumération.

— Nous avons ainsi terminé, en ce qui concerne le poids, l’étude des groupements d’opérations sériales et de mises en équivalence, et nous connaissons déjà, pour ce qui est de la quantité de matière, ces compositions logiques ainsi que la quantification possible qui résulte de leur synthèse opératoire. Le moment est donc venu d’analyser les rapports qui existent entre ces opérations logico-arithmétiques, et les « opérations physiques » que nous avons vu à l’œuvre dans l’élaboration des invariants réels de substance, de poids et de volume.

Rappelons d’abord les définitions. Les opérations logico-arithmétiques sont celles des classes (ou réunions de termes équivalents), de relations asymétriques (ou séries) et des nombres, tandis que les opérations physiques consistent en sectionnements, déplacements et en mesures par congruence. Or il est visible que les trois notions intervenant en chacun de ces deux ensembles d’opérations se correspondent terme à terme, les trois premières faisant simplement abstraction de l’espace et du temps pour les remplacer par l’extériorité et la succession déductives, tandis que les trois secondes opèrent sur la réalité spatio-temporelle. Disons tout de suite que cette distinction ne revient nullement à prétendre que les premières opérations sont effectuées mentalement et les secondes matériellement : on peut engendrer une classe en construisant un « tas » et une série en alignant les objets en « rangée », tout en faisant abstraction dans ces deux cas de l’espace occupé et de l’ordre temporel des opérations successivement exécutées ; inversement on peut sectionner en pensée un morceau de sucre en « grains » et les situer mentalement dans l’espace du verre d’eau en se rappelànt que cet état de dissolution est nécessairement ultérieur, dans le temps, à l’état solide initial. Le caractère commun de ces deux sortes d’opération est d’être toutes deux des actions réversibles, et c’est la définition même d’une opération, mais que cette réversibilité se traduise ou non en gestes matériels et en transformations extérieures, cela n’intervient en rien quant à l’opposition établie entre les deux types de composition opératoire : de n’être pas ou d’être de nature spatio-temporelle. Cela dit, il est donc bien clair que ces deux ensembles se correspondent terme à terme. Qu’est-ce, en effet, qu’une classe logique et que sa répartition en sous-classes ou en éléments composants ? C’est un système de réunions (additives ou multiplicatives) et de séparations

(soustractions ou divisions logiques). Les opérations physiques de sectionnement ou de reconstitution du tout initial ne sont pas autre chose, mais en transposant les compositions dans le champ spatio- temporel. Qu’est-ce, d’autre part, que la sériation des relations asymétriques, sinon une juxtaposition de différences dont chacune cons- ’ titue ainsi un segment de la série totale ? Or c’est là, physiquement parlant, l’exact équivalent d’un système de placements et de déplacements. Enfin il est évident que les nombres correspondent aux unités choisies pour mesurer et que leur composition correspond physiquement aux substitutions rendues possibles par les congruences spatio-temporelles. Les sectionnements et déplacements peuvent ainsi être envisagés sous leur aspect simplement qualitatif et logique (un corps étant alors un ensemble de morceaux reconnaissables qualitativement) ou quantifiés grâce à la mesure, laquelle constitue à son tour une synthèse opératoire des sectionnements et des déplacements, comme le nombre est la fusion de la classe et de la relation asymétrique.

Mais, cela étant, les opérations logico-arithmétiques n’en pourraient pas moins être considérées comme une « forme » par rapport aux opérations physiques qui constitueraient leur « contenu », puisque, par exemple pour sectionner une boulette d’argile en morceaux et comprendre que le tout reste cependant invariant (cette compréhension est précisément ce qui caractérise le sectionnement en tant qu’« opération », par opposition à une action quelconque de couper ou de tailler), il faut sans doute être capable de manier la logique des classes ou celle des nombres. C’est du moins ainsi qu’on se représente souvent la logique formelle, laquelle construirait donc non pas seulement les formes les plus générales de composition, mais celles qui s’« appliquent » à toutes les autres, comme un vêtement s’applique au corps humain. Notons d’ailleurs d’emblée que les notions de la forme et du contenu de la pensée sont toutes relatives, puisque les opérations physiques elles-mêmes, qui seraient dans cette hypothèse le contenu des formes logiques pourraient être elles-mêmes conçues comme des formes, par rapport à leur contenu expérimental comme tel : le sectionnement est une forme dont le contenu est la boulette d’argile donnée à la perception ; et l’invariant de poids du tout sectionné est une autre forme dont le contenu est le résultat des vérifications expérimentales, c’est-à-dire des pesées à la main ou sur la balance.

Nous nous trouvons ainsi en présence de deux sortes de problèmes de rapports de forme à contenu : celui des relations entre les opérations logico-arithmétiques et les opérations physiques, et celui des rapports entre celles-ci (ou selon la solution adoptée pour la première question) entre toutes deux et l’expérience. Nous étudierons le second de ces deux problèmes au cours du prochain chapitre. Mais pour pouvoir l’analyser avec fruit, il faut être en possession d’une solution à l’égard du premier : c’est précisément de quoi nous allons nous occuper maintenant.

Comme on l’a vu à la fin du chap. IX, on peut hésiter, en ce qui concerne le rapport des opérations logico-arithmétiques et des opérations physiques, entre trois solutions. Selon la première, la construction de la forme précéderait et déterminerait celle du contenu, c’est- à-dire que les opérations logico-arithmétiqups s’élaboreraient avant les opérations physiques, celles-ci étant alors à concevoir comme le résultat d’une application de la logique à la réalité. Ce serait donc dans cette première solution, et dans cette première seulement, que l’on aurait le droit de parler de forme et de contenu, au sens classique que les logiciens ont attribué à ces termes. Ou bien au contraire la construction du contenu détermine celui de la forme, et alors non seulement les opérations physiques précéderaient les opérations logico- arithmétiques, mais encore ce serait l’induction expérimentale, ou plus précisément l’expérience inductive qui constituerait leur source commune. Enfin, troisième solution, on pourrait admettre qu’aucune des deux sortes d’opérations ne précède ni ne détermine l’autre, mais qu’elles se construisent parallèlement et synchroniquement, l’induction expérimentale étant alors à concevoir comme la composition physique elle-même (ou logico-arithmétique lorsqu’il s’agit d’inductions ou analogies portant sur des classes, séries ou nombres) mais en voie de constitution et non encore achevée.

La première hypothèse paraît au premier abord la plus vraisemblable. On voit mal, a priori, pourquoi l’esprit ne serait pas capable d’appliquer la logique formelle aux notions de poids et de volume avant de découvrir, par le moyen des opérations physiques, que le poids d’une boulette se conserve si on l’étire ou l’aplatit et que le niveau de l’eau reste élevé après que le sucre ait fondu. Il semble au contraire qu’il faille commencer par savoir sérier des poids ou conclure que le poids A = le poids A”, si A = A’ et que A’ = A”, pour pouvoir ensuite construire les invariants du poids de la boulette

transformée en boudin ou du sucre dissout dans l’eau claire ! Or, l’expérience psychologique vient de nous montrer, au cours des chap. X et XI qu’il n’en est précisément rien et que ni la logique des classes d’Aristote ni même celle des relations de Russell ne sauraient impunément prétendre devancer le travail des Galilée ou des Lavoisier, puisqu’il n’est possible de constituer une logique ni une arithmétique du poids avant d’en posséder la physique.

Quelle est, en effet, la signification des recherches décrites en ces chap. X-XI ? Elles nous montrent d’abord et de façon générale que les mêmes compositions formelles et proprement logico-arithmétiques ne s’appliquent pas synchroniquement à la matière, au poids et au volume, pas plus que les opérations physiques étudiées dans les chap. LIX, mais qu’on observe dans les deux cas un décalage systématique entre la substance et le poids, puis (verrons-nous au chap. XII) entre le poids et le volume. De toute évidence les constructions logico-arithmétiques et les constructions physiques sont donc parallèles et synchronisent entre elles au fur et à mesure de leur généralisation à ces trois sortes d’objets, sans que les premières précèdent les secondes. En second lieu, l’analyse de la sériation (chap. X) a contribué à nous faire voir le pourquoi de ces décalages : c’est que la matière, le poids et le volume affectent différemment le sujet tant par leurs modes d’appréhension perceptive que par les actions qui leur sont relatives, de telle sorte que la notion du poids reste plus longtemps égocentrique et phénoméniste que celle de quantité de matière et celle de volume physique plus encore que celle de poids, d’où le retard des compositions opératoires, à la fois logico-arithmétiques et physiques, qui s’y rapportent. En troisième lieu, et ceci est encore le plus frappant, l’étude des compositions d’équivalences de poids vient de nous montrer, au cours de ce chap. XI, qu’à l’absence d’invariants physiques correspond l’absence d’invariants opératoires d’ordre logique, dans le sens où M. Arnold Reymond a pu définir le concept comme un « invariant fonctionnel »¹ : en effet, tant que l’enfant ne considère pas le poids d’un objet ccmme un invariant physique, il ne parvient pas à composer logiquement ni arithmétiquement les équivalences de poids ; il n’arrive même pas à réunir en ensembles de deux ou de trois les termes équivalents et conserver ainsi ces équivalences à titre, non plus de constantes physiques,

¹ A. Reymond,Les principes de la logique et la critique contemporaine. Paris, Boivin.

mais — et c’est cela qui est stupéfiant — de simples constantes logiques, c’est-à-dire de données demeurant identiques à elles-mêmes ou de prémisses admises pour le cours du raisonnement ! Ainsi A = A’ mais si A’ = A” alors A n’est pas = A” ou surtout- A = A’ mais si A est réuni à A₂ et A’ à A’₂ alors A n’est plus = A’ ! Et au chapitre suivant, nous constaterons la même chose pour le volume, avec encore un décalage d’un stade par rapport au poids, de même que ces compositions de poids sont en décalage d’un stade par rapport à celles des simples quantités de matière.

Nous pouvons donc conclure : l’hypothèse n° 1 d’une élaboration des compositions logico-arithmétiques précédant celle des opérations physiques correspondantes et les déterminant comme une forme détermine son contenu, est à rejeter parce que les premières compositions supposent les secondes aussi bien que l’inverse. Raisonner sur les poids implique l’existence d’invariants logiques constitués par des notions ou relations de poids exemptes de contradiction, de même que composer ’ physiquement des poids implique l’existence d’invariants physiques de poids : or, ces deux sortes d’invariants s’entraînent l’une l’autre et ne peuvent se construire indépendamment l’une de l’autre, puisque, si l’on peut dire, l’une représente la connaissance axiomatique et l’autre la connaissance réelle et qu’il est difficile avant que les mécanismes formels aient atteint un haut degré de généralité, de construire une axiomatique avant la science à laquelle elle correspond^l.

Quant à la seconde solution, qui ramènerait les constructions logico-arithmétiques aux constructions physiques et toutes deux à l’expérience, nous verrons au cours du chap. XII en quoi elle est inacceptable puisque non seulement l’induction expérimentale mais encore la lecture même de l’expérience constituent des compositions, l’expérience véritable étant, en effet, une construction qui constitue le contraire de l’expérience immédiate, au même titre que le « groupement » est le contraire de l’égocentrisme.

Il ne subsiste donc d’interprétation adéquate que la troisième, selon laquelle les opérations logico-arithmétiques et les opérations physiques sont solidaires, en un commun développement. Mais comment expliquer ce synchronisme ? Et faut-il le concevoir comme dû à des rapports d’interaction ou de parallélisme ?

¹Voir Gonseth,Les Fondements des Mathématiques. Paris (Blanchard) 1926.

Sur le premier point nous nous permettons de rappeler comment, en concluant le chapitre précédent consacré à la question de la sériation des poids, nous avons été conduits à considérer le groupement progressif des relations asymétriques ou sériales de poids comme consistant en une victoire graduelle sur l’égocentrisme logique initial, pour lequel le poids n’est pas relatif puisque non composable mais consiste en qualités absolues dépendant en réalité de l’activité propre ou du moi. D’une manière générale le groupement logique d’un système de notions ou de relations telles que celles de matière, de poids ou de substance est donc une conquête sur une forme correspondante d’égocentrisme et c’est pourquoi il peut y avoir décalages de l’un à l’autre de ces systèmes selon les rapports qu’il présente avec le mode de perception ou d’action immédiate dont il dépend. Il est donc facile d’expliquer pourquoi toutes les compositions logiques possibles ne sont pas contemporaines et pourquoi leur stade d’achèvement varie d’un cas à l’autre. Mais pourquoi ces décalages synchronisent-ils avec ceux que l’on observe dans le développement des opérations physiques et de leurs propres compositions, telles que la construction des invariants, l’atomisme, ou les schèmes de compression et de décompression rendant compte des différences de densité ? L’explication en est bien simple, et il suffit pour la dégager, de se reporter aux raisonnements que font les enfants interrogés au cours des chap. I-IX lorsqu’ils cherchent à motiver leurs croyances à la non-conservation, soit de la substance, soit du poids soit du volume. On voit alors que l’obstacle permanent à la composition physique et à la constitution des invariants, c’est l’apparence des choses, c’est l’expérience immédiate ou perceptive, d’un mot c’est le phénoménisme : c’est donc la réalité qualitative telle qu’elle apparaît avant d’être corrigée par la raison, c’est-à-dire avant d’être complétée par une construction qui « sauve les apparences » (SwÇeiv ta çaiv<5p. eva 1) mais en les insérant dans un univers dont elles dérivent alors sans que la réciproque soit vraie. De même, par conséquent, que le point de vue du moi ne disparaît pas dans la composition logique mais, une fois corrigé, est inséré à titre de rapport parmi les autres possibles et cela grâce précisément à la décentration de l’action propre sous forme de groupements ; de même les relations apparentes ne disparaissent-elles pas dans la composition physique mais, sont insérées à titre de relations parmi les autres, et cela grâce à la correction du phénoménisme et à sa soumission aux règles de l’expérience ration-

nelle. Mais il y a plus : le phénoménisme qui fait obstacle aux compositions physiques et l’égocentrisme qui retarde la composition logique, ce sont, nous l’avons vu sans cesse, les deux aspects d’une même illusion : l’apparence ou la surface des choses n’est la réalité que pour celui qui ne sort pas de son propre point de vue perceptif, et l’égocentrisme ne consiste qu’à prendre pour seule réalité celle qui apparaît à la perception propre. La lune paraît nous suivre : voici un rapport devenant objectif s’il est inséré dans le groupe des déplacements et des perspectives ; mais « la lune nous suit réellement » : voici une croyance phénoméniste qui ne se formerait pas chez le jeune enfant sans égocentrisme, ou, tout aussi bien, une croyance égocentrique qui n’existerait pas sans le phénoménisme. De même, penser qu’une boulette d’argile perd son poids en s’allongeant « parce qu’on l’a défaite », « parce qu’elle n’est plus longue », « .parce qu’elle est plus mince », etc. c’est à la fois, et nécessairement à ta fois, de l’égocentrisme logique et du phénoménisme physique. Il n’y a donc rien d’étonnant à ce que le développement des opérations physiques synchronise avec celui des opérations logico-arithmétiques, avec les mêmes étapes et les mêmes décalages.

Mais quelle est la relation de ces deux types d’opérations ? Sont- elles simplement parallèles ou y a-t-il interaction ? Est-il nécessaire de parvenir à un invariant physique pour raisonner correctement sur la notion correspondante, ou de constituer des invariants logiques pour pouvoir construire les systèmes physiques qui leur correspondent en retour ? Posé de cette manière, le problème serait bien artificiel, car il est évident qu’il existe des rapports logico-arithmétiques, c’est-à-dire extemporanés, en toute construction physique, et des rapports spatio-temporels, donc physiques, en toute construction logique (réunions, sériations, etc.), mais dont on peut faire légitimement abstraction. Le vrai problème, c’est-à-dire celui que nous avons rencontré sans cesse, et en particulier au chap. IX, se pose comme suit.

Une opération est une action réversible. Dans le cas des opérations logico-arithmétiques, il est clair, par exemple, que si l’on peut réunir deux objets en un seul ensemble A + A’ — B, on pourra également retrouver l’un des deux par soustraction B — A’ = A si, d’autre part, les sectionnements et déplacements constituent des opérations physiques, par opposition à des transformations quelconques, c’est précisément qu’ils permettent une réversibilité rigoureuse tout en se déployant dans un champ spatio-temporel : on peut annuler un sec-

tionnement en replaçant (en fait ou en pensée) les morceaux dans le tout initial, et annuler un déplacement en revenant au placement de départ. C’est donc, comme nous l’avons vu sans cesse au cours de cet ouvrage, lorsqu’il découvre la réversibilité de ces transformations que l’enfant comprend leur caractère opératoire et devient capable de compositions explicatives : c’est pourquoi, par exemple, le processus irréversible de la dissolution du sucre est expliqué lorsque le morceau total est conçu comme sectionné en grains, lesquels se déplacent dans l’eau en conservant leur substance, leur poids et leur volume, mais pourraient être replacés par compression en un nouveau morceau total, somme de çes matières, poids et volumes élémentaires et qui égalerait ainsi le morceau initial par réversibilité opératoire.

Mais une telle réversibilité des opérations suppose des invariants élémentaires et y conduit en retour. Du point de vue physique, pour qu’une boulette ne perde pas son poids total une fois sectionnée en morceaux, il faut que ceux-ci eux-mêmes gardent le leur quels que soient leurs arrangements ou leurs déplacements. Ou, du point de vue logique, pour que l’on puisse composer le poids d’une barre A avec celui d’un objet A’ en un tout B, tel que la construction soit réversible, il faut que A associé à A’ garde les mêmes caractères que lorsqu’il était A tout seul. Or, nous avons vu que l’enfant doute précisément de l’existence de ces invariants élémentaires autant que de celle de l’invariant total et ceci pour deux raisons, dont l’une provient de ses idées sur la réalité (obstacles d’ordre réel, dus au phénoménisme) et l’autre de sa difficulté à concevoir la réversibilité ou à manier les opérations en tant que réversibles (obstacles d’ordre formel dus à l’égocentrisme). Dans le domaine des opérations physiques (voir par exemple le chap. IX) il a peine à admettre qu’une fraction (moitié ou quart) d’une matière pèse la moitié ou le quart du tout, car elle peut changer de propriétés par le fractionnement et le déplacement (obstacle réel); et d’autre part, il n’est pas assez habitué à la composition réversible pour que son mécanisme opératoire triomphe de ces hésitations (obstacle formel). Dans le domaine des opérations logiques, également, nous venons de voir, à propos de la composition des barres que même si l’enfant constate A_x = A₂, il n’est pas sûr que A, + X=A_a + X (par exemple le plomb égale une barre, mais si l’on ajoute une barre de chaque côté cette équivalence se rompt), et cela d’une part, parce qu’un corps réuni à un autre n’apparaît plus sous le même aspect intuitif (obstacle réel) et d’autre part, parce que le

sujet n’est pas en possession d’un mécanisme opératoire suffisant pour considérer cela comme un illogisme (obstacle formel).

Comment ces deux sortes d’obstacles — que l’on rencontre donc dans le champ des opérations logiques aussi bien que dans celui des opérations physiques — vont-ils être levés ? Est-ce le mécanisme formel qui l’emportera sur les idées fausses de l’enfant à l’égard du réel, ou est-ce la correction de ces idées qui permettra à la composition formelle de s’effectuer ? Tel est le vrai problème du rapport entre les opérations logiques et physiques, ainsi que nous l’avons vu déjà en conclusion du chap. IX. Or, il n’est qu’une réponse possible à cette question précise : ces deux obstacles sont levés simultanément. Ce n’est pas la constitution des invariants qui permet la réversibilité des opérations, ni l’inverse : les deux notions,surgissent à la fois, la réversibilité se constitue en fonction d’invariants hypothétiques et le succès même de la composition atteste ensuite leur réalité. C’est pourquoi la logique formelle ne devance pas la composition matérielle, mais que toutes deux marchent nécessairement de pair l’une avec l’autre.

Mais alors, les opérations logico-arithmétiques et les opérations physiques apparaissent ainsi comme étant, au début, identiques les unes aux autres, à cette seule différence près que les premières constituent une régulation du mécanisme opératoire lui-même et les secondes une régulation de ses résultats matériels ou extérieurs. C’est au fur et à mesure de leur développement, qu’elles se dissocient et se différencient, les unes dans la direction d’une logique générale de l’esprit, et les autres en s’engageant dans la construction d’un univers. Mais, en leurs stades élémentaires, toutes les opérations sont à la fois logiques et physiques. Avant, six ou sept ans l’enfant ne se représente les nombres que comme des figures et les êtres logiques que comme des objets complexes dont la classe est l’aspect collectif et la relation la structure intérieure. C’est au moment seulement où il dépasse ce niveau intuitif pour concevoir les opérations réversibles, que le sujet commence à distinguer les opérations physiques et les opérations logico-arithmétiques : elles constituent en leur mécanisme formel, exactement les mêmes transformations, mais les premières s’appliquent à l’objet comme tel et à ses parties, ou à ses rapports spatio-temporels internes, et les secondes aux collections d’objets (classes), aux rapports entre objets conçus comme éléments de classes ou entre classes (relations) ou aux deux à la fois (nombres). Telle est

la seule différence entre les deux sortes d’opérations et il n’est donc pas surprenant que leurs groupements qualitatifs ou intensifs et leurs quantifications numériques ou métriques soient toujours synchroniques pour les mêmes réalités (substance, poids ou volume).

Mais, s’il en est ainsi, un dernier problème se pose à nous. Ces opérations physiques constituent donc une composition du monde extérieur. Mais la réalité s’y prête-t-elle sans plus ? Il peut y avoir des compositions incomplètes ou des résultats atteints empiriquement avant d’être composables. Quel est donc le rapport de la composition physique avec ce que l’on appelle communément l’induction expérimentale ? C’est ce problème des opérations et de l’expérience qu’il nous reste à examiner au chap. XII.