Conclusion ^a 🔗

Il serait absurde d’opposer radicalement la quantité à la qualité, comme si le domaine mathématique était purement quantitatif et comme si les raisonnements de simple logique demeuraient exclusivement qualitatifs. La quantification si progressive des qualités physiques, telles que nous l’avons observée au cours de toute notre étude, montre au contraire l’interdépendance complète de ces deux termes nullement antithétiques.

En réalité, tout rapport entre les qualités elles-mêmes enveloppe une quantité. Or, précisément nous ne concevons ni même ne percevons jamais de qualités absolues ou isolées, mais bien et toujours des qualités rapportées les unes aux autres et lorsque nous croyons le contraire, ce n’est que par illusion. Koehler a, par exemple, montré qu’un animal dressé à choisir B par opposition à A, choisira ensuite C et non pas B si on lui présente B et C simultanément, et que ces deux termes sont dans le même rapport que l’étaient A et B (couleur, grandeur, etc.). Il n’y a donc jamais de qualités sans rapports et la quantité est par conséquent aussi primitive que la qualité : ce sont là deux notions distinctes mais indissociables.

Seulement il existe trois types de rapports entre objets qualifiés, et par conséquent trois types de quantités, qui requièrent chacune une explication psychologique et axiomatique différente :

Il y a tout d’abord la quantité intensive (pour reprendre un terme dont Kant a fait un usage classique) : elle définit simplement les rap-

ports de partie et de tout, et se borne à affirmer que le tout est plus grand que la partie ou qu’une partie a la même grandeur qu’elle-même, mais sans comparer une partie quelconque à une autre partie. Ce type de quantité est le seul qui intervienne en logique, mais il intervient en tout groupement logique. Si, par exemple, tous les A et tous les A’ sont des B et que les B sont A ou A’ ; si tous les B et tous les B’ sont des C et que les C sont B ou B’, etc., alors on a A < B et A’ < B ; B < C et B’ < C ; etc., mais on ne sait rien du rapport entre A et A’ comme tels ; ou entre B et B’; entre A et B’; entre A’ et B’; etc. De même s’il existe entre o et a la différence a, dans une série de relations asymétriques (relations de différences) ; entre a et 0 la différence a’; entre 0 et y la différence b’, etc., on sait, si a + a’ = b ; b + b’ = c ; etc., que a < b et a’ < b, que b <c et b’ <c, etc., mais on ne sait rien des rapports entre a, a’ et b’. Il en est de même si a, b, c, etc., sont des relations de ressemblances ou de parenté (rel. symétriques emboîtées). Tout cela est d’ailleurs évident puisque, pour exprimer les emboîtements de classes le langage logique ne connaît que les quantités « un », « aucun », « quelques » et « tous » et que dans une sériation qualitative telle que « le vin A est moins bon que le vin B, et celui-ci moins bon que C » on sait seulement qu’il y a • plus » de différence entre A et C qu’entre A et B on qu’entre B et C, mais on ne sait pas de combien ces différences sont les unes ou les autres.

Supposons maintenant qu’au lieu de poser simplement que A + A’ = B ou que a + a’ = b nous puissions égaliser les termes A = A’ ou les différences a = a’, nous aurons alors B = 2 A ; C = 3 A ; etc. (ou b = 2 a ; c = 3a ; etc.), c’est-à-dire une suite de nombres ou de segments : d’où le deuxième type de quantité ou quantité métrique (ou numérique) fondée sur la constitution d’unités (A ou a).

Mais il est une troisième possibilité : sans égaliser les parties A, A’, B’, etc., ou a, a’, b’, etc., on peut établir entre elles des relations de différences obéissant à une loi quelconque de construction, par exemple une série de différences croissantes ou décroissantes, des proportions, des rapports harmoniques, etc. On a alors une quantification, qui sans être métrique, dépasse celle de la simple logique. Tout ce qu’on appelle la géométrie « qualitative »¹ repose sur ce

¹ Notamment la théorie du continu (sauf l’axiome d’Archimède, qui est métrique) : les postulats de Cantor (intervalles emboîtés convergeant vers un point limite), de Weierstrass, etc. ; ou la géométrie projective non métrique (rapports anharmoniques et calcul graphique des quaternes harmoniques, etc ).

Lorsque, par exemple, Kovalevsky définit le < voisinage » entourant un point de

troisième type de quantité, que nous appellerons extensive, notion générale dont le second type apparaît donc comme un cas particulier.

La quantité intensive étant caractéristique de la logique il pourrait donc sembler qu’elle soit donnée dès les rapports perceptifs ou intuitifs les plus élémentaires. Seulement si la quantité est bien présente dès ces niveaux les plus primitifs de l’activité mentale c’est sous une forme « brute », c’est-à-dire indifférenciée (mêlant l’extensif et l’intensif) et surtout immédiate, donc pleine de contradictions, sauf dans le champ tout momentané de la perception ou de l’intuition actuelles. Il faudra dès lors attendre, pour que la quantité intensive se constitue sous une forme stable et différenciée, que la logique elle-même s’organise effectivement. Or, la logique n’est pas innée, et l’ouvrage entier que l’on vient de lire en fournit une nouvelle démonstration. En chacune de nos expériences nous avons pu constater, qu’il suffît, à un certain niveau du développement mental, d’un changement quelconque dans la disposition des parties pour que, selon l’enfant, l’ensemble (ou addition logique) de celles-ci n’équivale plus au tout. Ou encore, si A = B et si B = C, A n’est pas, jusqu’entre sept et neuf ans, nécessairement égal à C. Ou si trois poids différents sont donnés, les sujets de sept à huit ans ne savent pas comment les sérier en A < B < C, etc. D’où naturellement l’incapacité à toute quantification systématique, même intensive, puisque celle-ci est la mise en relation des parties et du tout et que sans logique il n’y a pas de tout stable. Et, de fait, tant à propos de la substance elle-même que du poids et du volume, nous avons pu retrouver sans cesse ce même résultat : tant qu’il n’y a pas de logique (de logique en général, pour ce qui est de la substance, puis de logique du poids ou de volume), il n’y a pas de conservation et, sans conservation, il n’y a pas de quantités supérieures à la « quantité brute » de l’intuition perceptive.

D’où le problème fondamental : comment l’enfant parvient-il à la logique (en général ou aux solutions logiques particulières) ? Ce n’est nullement, avons-nous constaté, par un simple perfectionnement convergence comme contenant « presque tous • les points de l’ensemble, ce » presque tous i ( — tous sauf un nombre fini) sans être métrique, dépasse assurément le < quelques > et le < tous » logiques.

des méthodes intuitives ou perceptives, car la perception est rigide et irréversible et que, pour parvenir à coordonner la mobilité des transformations réversibles, il s’agit au contraire de briser les struc-, tures perceptives et de construire un système d’opérations pures.

C’est ici que nos présentes recherches ont pu confirmer les hypothèses déjà faites à propos de « la genèse du nombre » et en montrer la généralité dans le cas de ces nouveaux problèmes : l’opération logique n’apparaît pas à l’état isolé, comme un raisonnement ou un jugement sans contexte, tels que les étudiait la logique des manuels classiques, mais d’emblée sous la forme de systèmes d’ensemble, tels que chaque opération n’existe qu’en fonction de chacune des autres. Il n’y a, en effet, pas d’opération isolée pour cette raison très simple qu’elle serait contradictoire, une opération étant une action virtuelle mais une action qui se puisse à la fois coordonner à d’autres (composition) et dérouler dans les deux sens (réversibilité). La réalité concrète et « naturelle », dans le domaine des opérations est donc le « groupement » : il n’y a pas d’opérations antérieures à un groupement car c’est seulement grâce à ce groupement que les actions deviennent opératoires ou que les opérations se constituent comme telles.

Qu’avons-nous, en effet, observé lors de la découverte des solutions de chacun des problèmes étudiés en ce volume ? C’est la constitution simultanée et la coordination des quatre mécanismes suivants : 1° L’opération directe, qui est constituée par n’importe quelle action pourvu que deux de ces actions composées l’une avec l’autre donnent encore une action du même type et que l’action inverse fasse partie du même système. Par exemple toutes les actions qui consistent à réunir des éléments en un tout (ou à dissocier les parties de ce tout) : si A est un élément et A’ un autre, on a alors A + A’ = B ; si B est réuni à B’, on a B + B’ = C ; etc. Ou encore toutes les actions qui consistent à placer les éléments selon un ordre de différences graduelles (ou à les déplacer, par translation, rotation, compression, etc.) : si a est une première différence et qu’on y ajoute a’ on a alors a + a’ = b ; b + b’ — c ; etc. Ou encore les actions qui consistent à ordonner selon deux séries de différences à la fois : A est à la fois plus long et plus mince que B ; etc. 2° L’opération inverse : les actions précédentes ne deviennent « opératoires » que si à chacune peut correspondre une action inverse : séparer pour réunir ; déplacer pour placer (ou replacer pour déplacer, l’inverse de l’inverse redevenant l’opération directe), parcourir une série dans l’autre sens (inverser

une relation consistant alors à construire la relation « converse »), etc. En effet, tout ce que nous avons vu des débuts de la réversibilité (chap. I-VI, etc.) nous a montré qu’elle constituait la condition de formation des systèmes opératoires, de même que la réversibilité véritable ne se constitue de façon stable (et dépasse le niveau du « retour empirique au point de départ ») qu’en s’appuyant sur l’ensemble des opérations : c’est donc dire, en un mot, que l’opération directe s’appuie nécessairement sur l’inverse et réciproquement. 3° Mais pour que la pensée atteigne cet équilibre mobile que constitue dans la vie mentale le « groupement » des opérations directes et inverses, il faut encore qu’une condition essentielle soit remplie, et l’observation nous a montré à nouveau qu’elle l’est bien en synchronisme avec les précédentes : c’est qu’un résultat donné soit considéré comme indépendant du chemin suivi pour l’atteindre, autrement dit que si le même résultat est atteint par deux chemins différents, il soit néanmoins reconnu comme « le même ». Telle est Y associativité : admettons, par exemple, qu’ayant réparti une boulette C en morceaux A, A’ et B’ je réunisse d’abord A + A’ en un seul morceau (B) pour lui adjoindre ensuite B’ ou que je mette A à part pour réunir (A’ + B’). Au niveau logique aucun enfant ne doute plus que (A + A’) + B’ = A + (A’ + B’) tandis qu’auparavant le résultat n’était pas nécessairement identique pour lui. 4° Si maintenant une opération directe est composée avec son inverse (par exemple applatir une boulette en galette puis ré-arrondir celle-ci en boulette) tout se passe comme si l’on n’avait rien fait : l’opération identique définit un tel produit et permet en même temps d’assurer l’identité d’un tout ou d’une partie lorsque aucune transformation n’est effectuée du point de vue de l’opération considérée. Or, nous l’avons vu maintes fois, l’identification simple invoquée par nos sujets (« vous n’avez rien enlevé ni ajouté ») n’apparaît qu’en liaison avec la réversibilité et avec l’ensemble du groupement.

Telles sont les quatre processus qui apparaissent simultanément au moment où le sujet cherche à penser les transformations comme telles au lieu de s’attacher à chaque forme perceptive donnée comme à un absolu qui se suffirait à lui-même. D’où les répercussions immédiates que nous avons notées sur la quantification et qui fournissent la meilleure des vérifications de l’achèvement des groupements : l’affirmation a priori de la conservation et la construction de schémas atomistiques. Pour constater l’existence même d’un groupement

progressif des opérations, il suffit, en effet, de relever les propos spontanés de nos sujets, puisqu’une fois dépassé le raisonnement simplement intuitif des débuts, ils invoquent eux-mêmes les opérations directes, la réversibilité et l’identité et que la croyance à l’associativité ressort sans cesse de leurs affirmations. Mais le groupement pourrait s’esquisser simplement sans aboutir en fait : quoi de plus démonstratif, au contraire, de son achèvement, que le passage des jugements empiriques et de seule probabilité au raisonnement déductif et constructif qui affirme la conservation en tant que nécessaire et qui construit pour la justifier un système de relations atomistiques dépassant toute vérification perceptive ?

Avant de montrer comment les groupements achevés engendrent une quantification extensive, sitôt constituées les quantités intensives ainsi définies par les rapports des parties et du tout, il convient encore de rappeler que les opérations, dont nous venons de décrire le groupement, peuvent être de deux sortes. Lorsque le sujet, en présence d’objets individuels supposés invariants, les réunit en classes ou les ordonne selon leurs relations, ces classes ou ces séries sont indépendantes du temps et de l’espace, de même que les nombres ou équivalences arithmétiques qu’il établira entre eux. Nous parlons alors d’opérations logico-arithmétiques lorsque ces deux conditions sont remplies que les éléments sur lesquels porte l’opération sont des objets individuels invariants et que les opérations font abstraction, quant à leur action même, des conditions ’spatio-temporelles.

Or, lorsque nos sujets réunissent (effectivement ou en pensée) des parties de matière en une seule boulette ou des grains de substance dissoute en un seul morceau, ils composent les rapports de partie et de tout exactement comme s’il s’agissait d’éléments individuels à réunir en classes ou de rapports entre sous-classes et classes totales : cependant le tout, c’est-à-dire la boulette ou le morceau n’est plus ici une classe mais bien un objet individuel. On dira peut-être que la différence entre les rapports de parties à objet total ou d’objets à classe totale ne concerne que la représentation ou le contenu de la pensée et n’intéresse pas la logique ? Il n’en est rien et l’on peut au

contraire distinguer facilement, d’un point de vue purement formel, les inclusions de partie à tout qui sont transitives entre elles (par ex. le nez de Socrate fait partie de sa tête ; la tête de Socrate fait partie de Socrate, donc son nez fait partie de Socrate ; etc.), et les inclusions d’individu à classe ou de classes à classes qui le sont naturellement aussi (Socrate est un Athénien ; les Athéniens sont des Grecs, donc Socrate est un Grec), car les premières ne sont pas transitives par rapport aux secondes (Socrate est un Athénien, un Grec, etc., mais ni sa tête ni son nez ne sont des Grecs ou des Athéniens, bien que faisant partie de lui-même ; et s’il avait perdu son nez il n’en aurait pas moins été Athénien, Grec, etc., mais lui-même en tant qu’objet individuel n’eût plus constitué le même tout). Nous opposons donc la partition ou addition partitive (réunion ou sectionnement de parties) à l’inclusion ou addition logique (réunion ou exclusion d’objets en tant qu’éléments de classes) en distinguant la première de ces opérations de la seconde par les deux caractères suivants : 1° elle est infra-logique, c’est-à-dire que le « tout » qui constitue sa limite supérieure est l’objet individuel (aussi grand que l’on voudra, y compris l’Univers lui-même considéré comme objet); 2° elle envisage les parties et le tout en tant qu’éléments spatiaux ou temporels, puisqu’elle les délimite par des sectionnements et non plus par de simples distinctions abstraites.

De même, en second lieu, lorsque nos sujets Conçoivent les états successifs de la boulette, du sucre ou du grain de maïs comme dus à des étirements ou des contractions, à des décompressions ou des compressions, etc., il est clair qu’ils composent ces rapports de la même manière que des relations asymétriques quelconques, susceptibles de sériations simples (additives) ou multiples (multiplicatives). Cependant, il ne s’agit pas là de sérier des objets comme tels, soutenant les uns avec les autres certaines relations invariantes comme eux, mais de sérier les « états » d’un même objet. Par conséquent, les rapports entre états ne constitueront pas des relations quelconques mais bien les placements spatio-temporels, dont les transformations sont des déplacements ; et de même que les partitions composent les objets qui peuvent être ensuite classés, de même les placements et déplacements sont des opérations infra-logiques engendrant les relations qui peuvent être ensuite sériées.

En bref, les opérations spatio-temporelles ou physiques (infra- logiques) ont la même structure formelle que les opérations logiques,

mais elles présentent une autre signification opératoire et c’est pourquoi elles ne peuvent être composées avec elles tout en s’organisant selon les mêmes types de groupements. Comme les opérations logiques, les opérations physiques peuvent ainsi se présenter sous une forme qualitative, avec quantification simplement intensive, et être quantifiées extensivement ou métriquement.

Le passage de la quantité intensive aux quantités extensive et métrique, et cela du double point de vue des opérations logiques et spatio-temporelles, s’opère, nous l’avons vu sans cesse, non pas par adjonction d’opérations nouvelles, mais par un simple regroupement des opérations en jeu dans les groupements précédents.

f En effet, dans tous les domaines explorés jusqu’ici, la chronologie de l’évolution s’est montrée la même : il n’y a pas, contrairement à ce qu’on aurait pu attendre, un stade de quantification intensive d’abord, suivi d’un stade ultérieur de quantification extensive ou métrique. Ce qui est donné en premier lieu est tout autre chose : c’est la quantité « brute », intuitive ou perceptive, qui est à la fois indifférenciée (c’est-à-dire aussi bien intensive et extensive, faute d’opérations nettes permettant de distinguer le logique et le numérique) et incohérente. Puis se constitue la quantité intensive grâce aux opérations logiques et physiques dont on peut suivre le développement pas à pas : et alors, sitôt ce premier type de quantification achevé, on s’aperçoit que les quantités métriques ou extensives en général interviennent en même temps, sans que l’on comprenne au premier abord d’où elles sortent ! Telle est la situation paradoxale qui se présente toujours et elle révèle un mécanisme génétique fort instructif pour l’intelligence des rapports entre la logique et la mathématisation des qualités.

Nous ne parlons naturellement pas ici de l’emploi que peut faire l’enfant des notions apprises telles que les premiers nombres, mais bien de cette métrique concrète et spontanée qui se manifeste dans les expériences du chap. IX par exemple.

Pour ce qui est de la quantité de matière ou de substance, c’est- à-dire de la forme la plus simple des quantités, nous n’avons pas fait

(sauf à propos des barres « homogènes » du chap. XI)) de nouvelles expériences sur la quantification extensive ou métrique, puisqu’on en a vu le résultat ailleurs ¹ : or, on s’en souvient peut-être, c’est au moment où l’enfant s’avère capable de postuler la conservation de liquides transvasés d’un récipient dans un autre, donc d’aboutir à une quantification au moins intensive,, qu’il sait résoudre les premiers problèmes de quantification métrique ou extensive. Par exemple, si le contenu d’un bocal B est versé en A_x + A₂, il saura prévoir que Ai reversé en B donnera seulement la % de la hauteur initiale, etc. Ou si l’on verse B en L plus mince et allongé, il saura tenir compte des proportions inverses et égaliser les différences observées, etc. Au contraire, avant le stade de la conservation, il demeure inapte et à une métrique aussi simple et à ces proportionalités extensives.

Or, chose très intéressante, cette même interdépendance entre la quantification intensive ou logique et les quantifications extensive et métrique, se retrouve exactement pareille en ce qui concerne le poids, mais avec un décalage d’un stade, puisque la conservation du poids caractérise le stade III par opposition au stade II qui connaît I seulement celle de la matière. En effet, au stade même où l’enfant devient capable d’affirmer la nécessité de la conservation du poids, il comprend également, après avoir confectionné une boulette d’argile de même poids qu’un bouchon beaucoup plus volumineux, que pour réaliser le poids de la moitié ou du quart du bouchon il lui suffira de couper sa boulette en moitiés ou en quarts. Or, on se rappelle combien de solutions absurdes il a données de ce problème avant d’en arriver là. Ou encore, toujours au même stade III, il saura non seulement que si deux barres sont égales A = B et si la seconde a le poids d’un morceau de plomb C (B = C) alors A = C (quantification intensive), mais encore que si C — D, alors A+B=C + DouA+C = B + D, etc., et de façon générale A + A = 2 A (quantification métrique). Quant à la quantification extensive non métrique nous avons assez vu, en discutant les conditions de découverte de la conservation en général, et en particulier les quatre méthodes possibles à cet égard (fin du chap. I), combien la constance des proportions est toujours affirmée en même temps que l’égalité de différences et que l’identité des éléments logiques.

Rappelons encore qu’au stade IV la découverte de la conserva-

¹ Piaget et Szeminska, La Genèse du Nombre chez l’Enfant, chap. I et surtout chap. x.

tion du volume physique donne lieu exactement aux mêmes synchronismes : le groupement logique entraîne les compositions métriques (chap. XII) et compositions extensives non métriques (proportions).

Enfin, s’il fallait poursuivre, on voit combien l’étude du développement de l’atomisme spontané fournirait de preuves de la généralité du même phénomène : né des groupements infra-logiques de partition et de déplacements, l’atomisme constitue en sa source le prototype de la quantification intensive puisqu’il a pour seul but d’expliquer la conservation. Mais par le fait même que les « grains » sont aussitôt égalisables, donc réductibles à une collection d’unités, cette quantification se double immédiatement d’une métrique implicite, la collection des grains constituant, en effet, comme un « ensemble dénombrable » par rapport aux nombres eux-mêmes.

Or, si la formation des quantités intensive, extensive et métrique présente ce synchronisme dans la genèse psychologique, c’est assurément qu’il y a parenté étroite dans les mécanismes opératoires qui les constituent respectivement. Et, en effet, on ne saurait mentionner aucune opération particulière qui soit constitutive des quantités métriques ou extensives par opposition aux autres : c’est donc la synthèse qui est nouvelle plus que telle ou telle forme opératoire élémentaire. Certes, il y a l’« itération » A + A = 2 A en dehors de laquelle il ne saurait y avoir de métrique et qui distingue le rapport numérique de l’addition logique A + A’ = B ou de l’identité tautologique A + A = A. Mais l’itération n’est que l’addition de l’« unité » A à elle-même et l’unité résulte simplement de la généralisation des substitutions que l’on peut introduire entre A, A’, B’, etc., dans le groupement additif A + A’ = B ;B + B’ = C ; etc. Ce qui distingue le mathématique du logique, c’est-à-dire l’extensif de l’intensif, c’est donc le passage du « groupement » au « groupe », c’est par conséquent une nouvelle organisation des opérations, mais sans adjonction d’opérations spéciales radicalement différentes des opérations logiques.

Comment expliquer ce passage ? Nous l’avons vu à propos de la composition des poids (chap. X § 3), mais il importe de montrer que l’explication donnée est générale : les « groupements logiques » se transforment en « groupes » mathématiques par une synthèse opératoire des groupements de classes (équivalences) et des groupements de relations asymétriques (différences), lorsque les équivalences et les différences sont simultanément généralisées les unes en

fonction des autres ^l. Lorsque, en effet, une collection d’éléments tels que le morceau de plomb Ai et les trois barres que nous appellerons A₂; A’₂ et B’a sont définis par leurs seules qualités, on peut les grouper : 1° en sériant leurs différences : par exemple O ® Aj^Aj signifiera que A₂ est plus dense que zéro et que A_r est plus dense que A_a; etc. 2° en les réunissant en classes : par exemple le plomb formera une classe à part Aj et les trois barres une autre classe (C₂ — A₂ + A’j + B’₂) parce que A₂; A’₂ et B’_s sont équivalents par toutes leurs qualités et que A_t présente d’autres caractères qualitatifs. On peut aussi constater que ces objets ont tous le même poids et construire alors la classe D(=A_a + A’_s + B’₂ + A_a devenu alors C’₂) comprenant l’ensemble de ces mêmes objets, mais sans exclure les qualités particulières qui les différencient. 3° Supposons maintenant que l’on fasse abstraction de ces qualités particulières et que l’on retienne seulement les équivalences, du point de vue considéré : alors chacun des termes est promu au rang d’unité A et la classe D se définit sans plus D=A+A+A+A. Mais, en ce cas, comment distingue-t-on les A les uns des autres puisqu’ils sont substituables sans conditions ? C’est à nouveau en les sériant. Or, les groupements logiques (1° et 2°) ne peuvent combiner en une seule totalité opératoire la classification des équivalences et la sériation des différences, parce qu’on ne peut pas construire une série qualitative tout en se réservant le droit d’en permuter les termes (c’est-à-dire les considérer comme équivalents). La seule sériation qui permette de distinguer des unités équivalentes A sera donc celle qui fait également abstraction des qualités particulières et qui ne retient que les différences d’ordre : ce sera simplement la série constituée par l’ordre de désignation car, quelque soit l’ordre choisi, on aura toujours A+A+A+A=D. C’est en ce sens que le groupe numérique (3°) résulte de la synthèse des groupements logiques d’équivalences (2°) et de différences (1°) par généralisation des unes et des autres.

Constatons maintenant que le même mécanisme se retrouve dans le cas des opérations spatio-temporelles ou physiques. On peut indifféremment, en effet, considérer les objets précédents (les barres et le plomb) comme des éléments de classes et de relations ou comme des parties d’un même objet total (— le poids total résultant de l’addition des poids partiels). En ce cas, la métrique est à concevoir

Voir La Genèse du Nombre chez VEnfant pp. 223-228, et le Compte-rendu des séances de la Société de Physique de Genève, vol. 58 (1941) p. 123 (théorème VID.

comme la synthèse de la partition (les parties une fois rendues substituables sous la forme A+A+A+A) et du placement (chacune se distinguant des autres par la place occupée dans l’arrangement spatial). Par exemple, l’enfant construit ses modèles atomistiques au moyen d’une partition de la matière (sectionnement en grains) et de groupements de placements et déplacements (déplacements simples ou compression et décompression, etc.). Or, sitôt cette construction qualitative achevée, elle engendre une métrique virtuelle par le fait que le sujet considère chaque grain comme une unité équivalente aux autres. Mais comment alors les distingue-t-il les uns des autres, lorsqu’il affirme, par exemple, la conservation du « nombre » total de ces particules, cependant innombrables, répandues dans l’eau sucrée ou dans la farine du maïs, et qu’il l’affirme sans même être capable d’en percevoir une seule ? Simplement parce qu’il sait bien, en pensée, les « placer » les uns à côté des autres ou les uns au-dessus des autres et cela sans qu’ils occupent jamais deux à la fois le même emplacement L La quantité métrique est donc une synthèse de la partition et du placement (ou déplacement), par égalisation des parties-unités et généralisation de l’idée d’ordre (toutes les rangées que l’on peut construire en mettant les mêmes unités bout à bout ayant la même valeur), comme le nombre est une synthèse de la classe et de la relation asymétrique par généralisation des équivalences et des différences sériables.

Quant à la quantité extensive non métrique, il va de soi qu’elle résulte aussi d’une comparaison entre les parties d’un même tout, par opposition aux simples relations de parties à tout, mais elle est une égalisation des rapports (proportions, etc.) et non plus seulement une égalisation des unités ou des différences comme telles.

Quelles sont donc, en cette construction d’ensemble qui embrasse l’inclusion des classes, la sériation des relations et le nombre, de même que la partition, le placement et la métrique, la part de l’expérience et la part de l’activité mentale ? Nous avons eu l’occasion, en plusieurs pages de cet ouvrage, de rencontrer ce problème, en par-

¹ L’arrangement total demeurant le même si l’on permute deux éléments quelconques, l’ordre étant ainsi « vicariant » comme dans le cas de l’ordination numérique finie.

ticulier sous la forme de la question des rapports entre le contenu ou la matière expérimentale des opérations et leur structure déductive.

Nous avons d’abord été conduits à distinguer deux moments dans cette discussion : il y a d’une part, les rapports entre les opérations physiques et les opérations logico-arithmétiques et, d’autre part, les relations entre toutes deux et l’induction expérimentale. Or-, il serait erroné de considérer les premières de ces opérations comme un contenu par rapport aux secondes et un contenu plus proche de l’expérience elle-même. En réalité toutes deux se constituent ensemble et se différencient d’un fonds commun, les premières consistant à structurer les parties de l’objet ainsi que leurs placements et les secondes les réunions d’objets ou relations entre objets. Elles sont donc aussi formelles ou aussi expérimentales les unes que les autres.

Quel est donc ce fonds commun qui est à la source des deux sortes d’opérations ? C’est ici seulement que se pose la question de la forme déductive et du contenu expérimental, ou de la composition et de l’induction. Ce fonds commun des opérations en général n’est pas autre chose, en effet, que l’action elle-même sous sa forme la plus concrète et la plus sensori-motrice. Une opération, nous l’avons vu sans cesse, c’est une action devenue réversible. Une action quelconque n’est pas une opération, parce qu’elle ne conduit qu’à des résultats quelconques et n’y conduit qu’empiriquement. Elle constitue bien, alors, une construction susceptible de fécondité, mais une construction non réglée. Le réglage de cette construction commence, et avec lui le caractère opératoire de l’action, lorsque les actions se groupent en un système fermé, associatif et réversible (voir II). L’induction n’est que la construction en voie de groupement, la déduction commence lorsque la construction s’effectue à l’intérieur de « groupements » ou de « groupes » achevés.

Mais si cette solution suffit sur le terrain du raisonnement, la question de la forme due à l’activité intellectuelle et du contenu imposé par l’expérience comme telle peut se retrouver sur le terrain de l’induction elle-même ou des stades de l’intelligence précédant l’opération. L’induction est un raisonnement non encore groupé qui peut être contemporain de déductions véritables, tandis qu’avant toutes deux, il y a l’intelligence intuitive, l’intelligence sensori-motrice, l’habitude et la perception, et sur chacun de ces plans le problème peut être posé en de nouveaux termes.

Si l’on généralise donc, il faut dire que, dès les activités mentales

les plus basses, sont données deux réalités dont le rapport domine au début le problème qui nous occupe : la motricité, source des opérations futures, et la matière sensible, point de contact avec les propriétés du milieu extérieur. Or, deux sortes de recherches permettent d’affirmer que, si haut que l’on remonte, ce ne sont pas là deux réalités indépendantes, mais qu’elles sont toujours interdépendantes. Certains travaux¹ sur la perception ont montré que si la matière sensible fournit à la motricité ses points de repère et ses signaux, celle-là fournit en retour à celle-ci ses structures en un cercle sans fin (le « Gestaltkreis »). En étudiant, d’autre part, les perceptions et surtout l’intelligence sensori-motrice des premiers mois du développement de l’enfant, nous avons cherché à établir également que toutes deux sont interdépendantes dès le début en des totalités, ou « schèmes sensori-moteurs », telles que les données sensibles n’acquièrent de signification que par « assimilation » aux actions qui se répètent et que celles-ci ne réussissent que par « accommodation » aux données successivement perçues. C’est dans cette assimilation égocentrique du réel à la motricité et dans cette accommodation phénoméniste de l’action aux données extérieures qu’il faut chercher le premier contact — et les premiers conflits — de l’activité mentale et de l’expérience.

Or, toute l’histoire du « groupement » est celle d’une décentration progressive de l’action propre, c’est-à-dire d’une élimination de l’égocentrisme au profit de la « composition » fermée et réglée, par le fait que les actions initiales deviennent réversibles et opératoires ou, si l’on préfère, par le fait que les actions du « moi » s’insèrent dans la totalité des actions possibles ; et toute l’histoire de l’expérimentation est celle d’une correction graduelle du phénoménisme, chaque donnée perçue pouvant tôt ou tard se concevoir comme le résultat de l’une de ces opérations possibles. Alors seulement l’assimilation et l’accom- modatiori des débuts, d’indifférenciées et d’antagonistes qu’elles étaient à la fois, tant que la première demeurait égocentrique et la seconde phénoméniste, se dissocient et deviennent complémentaires, l’une en « groupant », les actions opératoires selon des liens de nécessité interne et l’autre en appliquant aux réalités irréversibles les modèles les plus probables suggérés par cette organisation.

¹ Ceux de l’école de Weizsàcker, Auersperg, etc.