Introduction ^a 🔗

[p. 5]Les recherches décrites en cet ouvrage avaient pour but initial de développer les interprétations proposées dans nos analyses antérieures des fonctions élémentaires (volume XXIII des « Etudes »), qui voyaient en celles-ci une étape préalable de la formation des opérations. Mais en généralisant notre objectif aux correspondances et morphismes de toutes natures (et en réservant à la fonction son sens classique de dépendance entre les variations de y et celles de x dans l’expression y = f [x]), nous nous sommes rapidement aperçus de l’existence d’une dualité assez fondamentale entre les correspondances élémentaires, qui ne transforment rien et se bornent à relier ou comparer des « états » (ou des transformations mais sans les modifier), et ce que nous avons appelé jusqu’ici « opérations » en tant que transformations d’un état en un autre.

1 / Cette distinction, qui nous avait échappé lorsque nous faisions de la fonction l’une des sources des opérations (ou même la source générale si l’on admet que toute action transformante comporte des fonctions), est pourtant déjà bien claire dans le cas des liaisons fonctionnelles. Si y = f(x), il faut, en effet, considérer d’une part les variations de x en x’, x", etc., et de y en y’, y", etc., et, d’autre part, les relations entre x et y, x’ et y’, x" et y", etc. Or ces variations de x et de y sont des transformations et ce sont elles qui annoncent ou impliquent [p. 6] déjà (si le sujet y introduit la réversihilité et des conservations) les opérations en tant que transformantes. Par contre, les correspondances découvertes par les jeunes sujets se bornent d’abord à relier bijectivement x et y, x’ et y’, etc., et elles ne constituent pas la source des transformations, dont elles n’ont à connaître que les résultats successifs simplement comparés à titre d’états. La correspondance comme telle ne transforme, en effet, rien ¹ et si elle indique déjà une dépendance entre les valeurs de y et celle de x c’est à titre de constatation entre les observables sans en dégager la raison qui est à déduire des transformations, une fois celles-ci comprises comme telles et structurées opératoirement. En ce dernier cas la correspondance change alors de nature en se reliant ou même se subordonnant à un système organisé de transformations et atteint alors le rang de morphisme.

Le problème essentiel dont nous aurons à traiter en cet ouvrage est donc celui des relations entre les correspondances et les transformations et leurs divers niveaux de formation et de développement, en mettant l’accent sur les phases élémentaires, quittes à revenir ultérieurement sur les compositions de morphismes de rang supérieur. Or le problème est central pour cette raison que l’évolution des correspondances tient avant tout à leurs relations avec les transformations. En elles-mêmes les correspondances ne changent guère de formes d’un niveau à un autre : qu’il s’agisse de correspondances partielles, d’« applications » ou de morphismes (nous préciserons tantôt notre terminologie) on retrouve à toutes les étapes des bijections, des injections et des surjections ou des compositions entre elles et si l’on observe naturellement des passages du moins au plus complet et du moins au plus pertinent, ce ne sont pas là, et même loin de là, des modifications comparables aux grands changements de structures qui caractérisent la succession des stades opératoires. Si l’on nous permet une comparaison biologique, les correspondances initiales seraient donc, au plan cognitif, l’équivalent des connexions intercellulaires (les cellules étant les schèmes), formatrices de tissus, tandis que les structures opératoires ou de transformations constitueraient les [p. 7] organes différenciés au sein d’un système total en son intégration constamment améliorée, Or, le passage de l’intercellulaire à l’organe suppose un ensemble complexe de synthèses épigénétiques et de régulations : leur équivalent cognitif, si les correspondances sont ainsi comparables au palier très général des connexions intercellulaires, serait alors à chercher dans les interactions progressives (puisque c’est sur ce point qu’il y a développement) entre les correspondances et les transformations, celles-ci débutant sous les espèces de simples actions transformantes pour aboutir à des opérations de mieux en mieux structurées. Des correspondances élémentaires (et en général incomplètes) entre observables aux morphismes solidaires d’une structure et déductibles à partir de ses lois, il y a donc évolution et même importante, sauf qu’elle n’est donc pas due aux seules correspondances, mais bien à leur coordination progressive avec les transformations.

2 / Avant d’indiquer les critères qui nous serviront à distinguer transformations et correspondances, fixons d’abord notre terminologie quant à celles-ci, car il existe à ce sujet quelques variations entre les écoles. Nous prendrons le terme de « correspondances » dans le sens le plus large, comprenant, d’une part, toutes les formes d’« applications » et de morphismes, mais aussi, d’autre part, les formes élémentaires et incomplètes, non exhaustives à gauche, donc dans l’ensemble de départ ; de plus, et ceci s’appliquera à toutes nos correspondances, celles-ci pourront être envisagées en compréhension (correspondances entre qualités ou entre parties d’objets) et non pas seulement en extension. Mais si ce terme sera donc pris en un sens très général, cela ne signifie pas qu’une relation à elle seule constitue déjà une correspondance : celle-ci ne débute qu’avec la répétabilité, effective ou virtuelle : b’ est à b comme a’ est à a, etc. La correspondance implique donc une sorte de corrélat, au sens de Spearman, mais lié à l’action et à ses intentions, sans exiger ni une abstraction réfléchie, ni même une conceptualisation, puisque les correspondances débutent dès l’application de schèmes sensori-moteurs à de nouveaux objets ou situations.

Nous définirons les applications, selon l’usage, comme des correspondances exhaustives quant à l’ensemble de départ (ou [p. 8] à l’ensemble des propriétés en compréhension) et univoques quant à l’arrivée. Mais en plus des termes classiques de bijections, surjections et injections, nous aurons besoin d’une terminologie au sujet des réciproques de ces deux dernières : à la surjection répondra ainsi ce que nous appellerons « multijection », ou correspondance un à plusieurs, et à l’injection répondra la « sous-jection » qui n’est plus une application mais une correspondance incomplète, cette dernière notion étant importante au point de vue psychogénétique, par exemple pour la compréhension de l’inclusion (l’injection d’une sous-classe A dans une classe B ne se traduisant pas d’abord sans plus par une sous-jection de B en A, mais par des bijections illusoires entre B et la complémentaire A’ de A sous B).

Quant aux morphismes, nous utiliserons la définition courante d’applications conservant la structure des systèmes comparés entre eux (ce qui implique de nouveaux rapports entre les correspondances et les transformations, avec subordination des premières aux secondes), mais nous y ajouterons la notion de « prémorphismes » pour désigner les mises en correspondance portant non seulement sur les objets ou leurs propriétés, mais encore sur les relations qui les unissent. Cette adjonction des correspondances entre relations qu’il s’agit d’expliciter conduit à la conservation des structures, mais est susceptible, avant d’en arriver là, de présenter des degrés, ce qui est utile à considérer du point de vue du développement.

3 / Il convient en outre d’introduire le concept de « coordinateurs », comparables aux combinateurs de la logique de Curry, mais sur un plan purement psychologique, donc sans isomorphisme avec ces opérateurs de la logique combinatoire. La source des correspondances est, en effet, à chercher dans le processus psychologique de l’assimilation, à l’œuvre dès les premiers niveaux sensori-moteurs : par exemple lorsque le nourrisson frappe un objet suspendu pour le balancer comme il a réussi à le faire en des cas analogues, il met de ce fait même en correspondance la nouvelle situation avec les précédentes, et reproduit les mêmes mouvements, ce qui engendre un schème d’action. D’autre part, la source des transformations est à situer dans la coordination de ces schèmes d’assimilation : par exemple, tirer un support (une couverture, etc.) pour [p. 9] amener à soi un objet posé à son extrémité et trop éloigné pour être saisi directement. En de tels cas la coordination est assurée par l’assimilation réciproque des deux schèmes de tirer et de saisir, réunis en un schème total à la fois différencié et intégré. Il y a alors avantage à détailler les divers aspects fonctionnels de ces assimilations simples ou réciproques et nous appellerons « coordinateurs » ces différents aspects, mais en insistant sur le fait qu’ils ne sont ainsi que fonctionnels, donc immanents aux processus mêmes de l’action assimilatrice et n’existant pas au préalable à titre de facteurs préformés.

Nous distinguerons à cet égard neuf types de coordinateurs, répartis en trois trios. Les trois premiers sont ceux de la répétition, de l’identification et de la substitution ou remplacement. Ils caractérisent la formation même des schèmes, car une action isolée ne constitue pas un schème et ne l’engendre que par sa « répétition » sur le même objet, alors « identifié, » ou sur d’autres analogues pouvant le « remplacer ». Les trois suivants caractérisent la forme logique du schème : ce sont ceux de mise en relations de ressemblance ou de différence (à nous en tenir à elles, sans quoi tout est relation), de réunion et de succession (suite ordonnée des parties d’une même action ou d’objets quelconques alignés). Les trois derniers se réfèrent à la forme infralogique du schème (infralogique signifiant relatif aux voisinages et au continu, en opposition avec les ressemblances entre objets discrets) : ce sont ceux d’enveloppement, de direction (spatiale ou téléonomique) et de positions momentanées ou de déplacements en tant que simples changements de position (sans considération métrique ou autre). On voit que le dernier terme de chacun de ces trios (donc la substitution, la succession et le déplacement) est un coordinateur de changement, tandis que les deux premiers assurent les différenciations et intégrations.

Or, l’intérêt de ces coordinateurs, en tant, répétons-le, qu’aspects du seul fonctionnement des schèmes d’assimilation et non pas de facteurs structuraux préalables, est qu’ils constituent la source commune des correspondances et des transformations, mais cela de deux manières bien distinctes, liées aux deux directions d’extériorisation et d’intériorisation du développement des actions. Celles-ci sont orientées vers l’extérieur dans la mesure où elles s’appliquent à des objets et c’est cette [p. 10] application des coordinateurs aux objets qui constitue la source des correspondances. Mais il y a, d’autre part, intériorisation des actions dans la mesure où elles sc coordonnent par voie de composition endogène (assimilation réciproque des schèmes en totalités nouvelles, par opposition à l’assimilation des objets), et c’est cette composition des coordinateurs par une activité interne qui constitue la source des transformations.

4 / On trouve ainsi à tous les niveaux des correspondances et des transformations, mais, avant d’exposer l’hypothèse générale qui inspirera cet ouvrage quant à leurs relations, encore faut-il compléter notre terminologie par l’indication dcs critères servant à leur distinction. Nous en voyons sept. En premier lieu, les transformations engendrent les états, puisque constituant des changements d’états, tandis que les correspondances se bornent à les relier statiquement, pour les comparer sans les modifier ; et, lorsqu’elles les mettent en relation avec des transformations, c’est sans engendrer ni altérer celles-ci, qui sont alors considérées comme des objets ou contenus de pensées, donc comme des termes à relier en analogie avec les états. On dira peut-être qu’en ajoutant une nouvelle forme aux états les correspondances les modifient par cela même, mais il faut distinguer les formes qui se bornent à enrichir d’un nouveau cadre un contenu préexistant et celles qui le structurent jusqu’à le construire (cf. la suite des nombres naturels) ou le reconstruire. D’où la seconde différence : les transformations modifient matériellement les objets ou logiquement les contenus sur lesquels elles portent, tandis que les correspondances s’y soumettent et consistent à appliquer les mêmes formes à de nouveaux contenus eux aussi contraignants (voir la figure ci-dessus, suggérée par G. Henriques).

 

(F = formes — C = contenus)

[p. 11]En troisième lieu, les transformations sont créatrices de formes nouvelles qu’elles imposent à leurs contenus et qui, au niveau opératoire, sont à la fois transformantes et conservantes (invariances solidaires des modifications) tandis que les formes des correspondances sont transformables sous la pression des accommodations du sujet aux objets, mais non transformantes parce que subordonnées aux propriétés de ceux-ci. En quatrième lieu, les compositions des transformations ou des formes qu’elles engendrent atteignent tôt ou tard un niveau de nécessité intrinsèque, tandis que les correspondances, avant leur soumission aux structures et transformations, ne sont qu’obligées par les propriétés de leurs contenus ; quant à leurs compositions, une surjection composée avec une autre reste une surjection ; il en est ainsi des injections et des bijections conservant tout, mais le produit d’une injection et d’une surjection ou l’inverse demeure indéterminé. En cinquième lieu, les correspondances ignorent la négation, donc la réversibilité au sens de l’inversion, ainsi que l’involution (du moins en général), tandis que les transformations y conduisent. Sixièmement, les transformations ont une source endogène, sauf en ce qui concerne celles dont témoignent les phénomènes physiques, mais qui ne sont comprises que par assimilation aux opérations du sujet ; les correspondances, par contre, avant leur intégration dans les structures opératoires, sont subordonnées à un contenu exogène. Enfin, en septième lieu, les transformations en tant que constructions du sujet dérivent les unes des autres par filiation psychogénétique (abstractions réfléchissantes et généralisations constructives), tandis que les correspondances s’ajoutent les unes aux autres en fonction des apports de l’observation et de l’expérience, dont la succession demeure contingente.

Les sept différences que nous venons de relever entre les correspondances et les transformations peuvent toutes se déduire des caractéristiques fonctionnelles qui les opposent : tandis que les transformations de tous niveaux (de l’action transformante élémentaire aux opérations composables et réversibles) visent à la construction de nouveautés (qu’il s’agisse de modifications en vue d’adaptations pratiques ou cognitives comme d’inventions, etc.), la fonction propre des correspondances est essentiellement de comparer des objets, des états [p. 12] et finalement des transformations comme telles : or, la condition la plus générale d’une comparaison est assurément de ne point déformer les termes à comparer, d’où la soumission aux états, aux objets, etc., en un mot à des contenus qu’il s’agit d’analyser et non pas de modifier ni même de dépasser. Certes, aux niveaux supérieurs des morphismes intra ou interstructuraux, il y a construction de nouveaux instruments de comparaisons, par correspondances entre correspondances (tels les morphismes fonctoriels qui relient entre eux des foncteurs), etc., d’où des transformations portant sur les formes comparatives, mais qui n’en modifient pas pour autant les contenus (sauf enrichissements exceptionnels), le but général demeurant le succès des comparaisons à fournir à l’intérieur des structures ou entre elles.

5 / Cela dit, les interprétations générales auxquelles nous avons abouti, en ce qui concerne les correspondances élémentaires étudiées en cet ouvrage, sont d’abord qu’il faut distinguer trois grandes périodes dans leurs rapports avec les transformations, mais précédées par la phase de formation au cours de laquelle ces correspondances sont dues aux applications des coordinateurs dont les compositions sont par ailleurs source des transformations. Durant la première de ces périodes, les correspondances ne relient que des états observables, sans relations sinon occasionnelles avec les transformations. Durant la seconde, il se constitue des interactions entre deux, avec appuis mutuels mais alternés et discontinus. Lors de la troisième période, qui coïncide avec la formation des structures opératoires, les correspondances se subordonnent aux transformations jusqu’à devenir des morphismes inter ou cotransformationnels : exemple la bijection nécessaire entre les opérations directes et inverses au sein d’un groupement. Mais si les transformations jouent ainsi un rôle prépondérant dans cette évolution, il faut ajouter qu’à tous les niveaux elles sont préparées par les correspondances, qui organisent les contenus avant que les actions transformantes leur assignent des formes nouvelles et endogènes, susceptibles d’engendrer les morphismes de type supérieur.

Il reste à comprendre pourquoi, si les correspondances et les transformations ont un point de départ commun, avec les [p. 13] coordinateurs, et finissent par reconstituer ou retrouver une synthèse harmonieuse, la première des périodes mentionnées à l’instant marque un tel manque de coordination entre deux, et la seconde des collaborations aussi fragmentaires et laborieuses. Cela semble être dû, tout d’abord, aux lois de la prise de conscience, qui procède de la périphérie au centre, donc du résultat des actions à leur mécanisme interne. D’un tel point les observables sur l’objet et sur I’aspect matériel et extérieur des actions l’emportent naturellement au début sur la compréhension des transformations et de leurs raisons. Mais il s’y ajoute, lié à ces lois, le processus général de l’évolution des connaissances, qui est le passage de l’exogène à l’endogène : or, ce passage ne se réduit pas à une simple intériorisation, car celle-ci entraîne et même exige une reconstruction plus ou moins complète et au moyen de nouveaux instruments. L’histoire des sciences abonde en exemples et en enseignements à cet égard. En mathématiques, la géométrie, de description des figures, est devenue un vaste système de groupes de transformations. En physique, la légalité, produit des seules correspondances et fonctions, quoique exprimées mathématiquement, se subordonne de plus en plus aux modèles explicatifs construits au moyen des opérations et structures endogènes du sujet. En chimie, les lois locales initiales ont ensuite connu un début de transformations avec la classification de Mendeleev, puis se sont prêtées aux explications électroniques, dont le dynamisme transformationnel est évident. Bref, en tous les domaines, l’effort consiste à subordonner les correspondances d’abord simplement constatées à des systèmes opératoires à base de transformations. Il ne faut donc pas nous étonner si, même lors des très modestes débuts de la formation des connaissances, nous retrouvons des phases dominées d’abord par les exigences exogènes, mais suivies plus ou moins rapidement d’étapes où les transformations l’emportent et où les correspondances, devenues des morphismes par leur subordination aux structures, trouvent leur véritable place dans le progrès des systèmes cognitifs.