Chapitre VII.
Correspondances et transformations dans le cas de l’intersection ^{1 a} 🔗

Nous savons depuis longtemps qu’aux niveaux préopératoires l’enfant réagit à des classements comportant une intersection, soit en laissant le tout en une même collection, faute de savoir comment la diviser, soit en ne parvenant qu’à des dichotomies A1 et A2 sans se soucier du fait qu’une partie des deux sous-collections leur est commune.

[p. 123] Il y a donc en ces cas surjections et multijections par rapport à ces classes, mais incomplètes faute de la sous-collection A1 A2. Il est inutile de revenir sur ces faits, mais ce qui est instructif est le premier niveau d’accession à l’intersection en un contexte où les sous-collections disjointes l’emportent encore de beaucoup :

Ald (7 ;0). 2cB 2cJ 1piB ² réussit d’abord l’inclusion (tandis que lors d’une question finale il dira qu’il ya plus de canards blancs que de canards pour 6 contre 9) : « Il y a plus de bêtes que de canards : 5 c’est plus que 4. » Mais à la question : « plus de bêtes bleues ou de canards » il en reste à la disjonction : « Plus de bêtes bleues : il y en a 3 puis là (ne montre que les canards J) il y a 2. » Situation III : 1 coBc, 1 cBc, 1 cB : « Qu’est-ce qu’il y a plus devant toi, des canards ou des bêtes blanches ? — Des canards, parce qu’ils sont 2, puis là il y a 1 coq (à nouveau disjonction). — Combien de Bl ? — 2 blancs pi un bleu. — Tous ensemble ? — 3 bêtes. — (On écrit 2 + 1 = 3.) — Tout à l’heure 2 canards : 2c + 2Bl ça fait encore 3 ? — Non… parce qu’il y a 2 canards pi 2 blancs ça fait 4. — 4 quoi ? — 2c pi 1co (ça fait 3) mais 2c pi 2BC ça fait 4. — 4 quoi ? — 4 bêtes. — Devant nous il y a 4 ? — Non il y en a 3… avec le coq ça fait 4. — Je n’en vois que 3. — C’est parce qu’il y a 2Bl et 2C. — Tu peux expliquer mieux ? — Il y a celui-là (cBc) qui fait faire 2C et il faut faire 2BC. Il fait deux choses. — Pourquoi ? — C’est un canard et il est blanc. » Mais ensuite il suffit d’ajouter une poule blanche pour qu’il retombe dans la disjonction.

Yva (7 ;8) : mêmes réactions initiales de disjonction pour 2cBl, 1cJ 3cB, 1piB + 1hiB et il y voit plus d’animaux bleus. « Que quoi ? — Que de canards. » Mais après un moment on lui pose la question facilitante : « Ce canard bleu tu le compte pas dans les canards ou dans les animaux bleus ? — Dans les… dans les… canards, puis après ceux-là aussi (canards non bleus) je les compte dans les canards. Des fois on peut le compter dans les canards puis des autres fois dans les animaux bleus. — Il y a un des deux qui est plus juste que l’autre ? — Non c’est juste : il y a 2 animaux bleus (pi et hi !) et plusieurs canards. — Plus de canards ou plus d’animaux bleus ? — Plus de canards : il y a 2 animaux bleus. » Yva manque donc l’intersection malgré sa surjection et sa multijection précédentes. Dans la situation III (1poBl, 1cBl et 1CB) il compte 3 animaux, mais à la question. 2 canards et 2 animaux ça fait combien ? — 2 + 2 ça fait 4 mais si on en rajoute encore 1 ça fait 4. — Comment expliquer ? — 2 + 2 ça fait bien 4. On en rajoute encore 1 et ça fait 4. — Il y a là plus de canards ou plus de BC ? — Plus de canards. Il y en a 2 puis il y a 1 poule ».

Ana (8 ;6) en reste aux disjonctions. Pour la situation III : « Si on dit 2 blancs et 2 canards ? — Ça fait 4. — Pourquoi tout à coup 4 et pas 3 ? — Parce que si on met 2 blancs puis… Par exemple si on avait 3 canards ça fait aussi 4 (elle la rajoute). »

[p. 124]Ces sujets n’atteignent donc pas l’intersection dont Ald est proche mais momentanément et ils ne résolvent pas sans aide (sauf à nouveau Ald sur le point de la résoudre, mais pour un instant seulement) le problème du désaccord entre le comptage numérique A1 ⊕ A2 (en comptant alors deux fois les éléments communs) et l’extension de A1 ∪ A2 (< A1 ⊕ A2). ^b Et pourtant au point de vue des correspondances ils parviennent à la multijection et à la surjection. Pour ce qui est de la première Ald dit ainsi : « Celui-là (le canard blanc) fait faire 2 canards et il fait faire 2 blancs, il fait deux choses » donc il entraîne une correspondance 1 à 2 ; et Yva, sur question facilitante, déclare « des fois on peut le compter dans les canards et puis des autres fois dans les animaux bleus ». Quant à la surjection, Ald la formule en compréhension sous la forme « c’est un canard et il est blanc », tandis que les sujets des niveaux supérieurs tiennent souvent à préciser « il est en même temps blanc et canard ». D’autre part, Yva dit qu’il compte (en extension) le canard bleu « dans les canards et puis après ceux-là aussi (non bleus) je les compte dans les canards ». Il y a donc bien en ces cas correspondance plusieurs à l, selon la définition selon laquelle tout élément de l’ensemble d’arrivée est l’image d’au moins un élément de l’ensemble de départ. Que manque-t-il donc à ce niveau pour que ces applications réciproques n’entraînent pas une compréhension durable de l’intersection ?

Un petit indice est déjà révélateur : l’opposition entre le « en même temps » des sujets plus évolués et l’affirmation momentanée de Ald, ou les successions temporelles dans les expressions de Yva : « puis après ceux-là aussi » ou « des fois on peut … puis des autres fois … ». Il semble ainsi que ces sujets pensent au processus de la mise en correspondance et non pas à des classes ou sous-classes constituées une fois pour toutes. Effectivement les sujets en restent au niveau des collections et même Ald ne parvient pas à une quantification stable de l’inclusion (à la fin de l’interrogation il dit pour 9 canards dont 6 blancs qu’il y a « plus de canards blancs » que de canards après avoir affirmé qu’ils sont tous des canards). Or, pour construire des intersections il est clair qu’il faut disposer de classes en extension, avec réglage du « tous » et du « quelques », tandis que les correspondances ne connaissent que les rapports 1 à 1, 1 à plusieurs, etc., et les mathématiciens les expriment [p. 125] simplement par « au moins 1 », « au plus 1 » ou encore « exhaustif » à gauche (pour les applications) mais qui n’implique pas le « tous » et peut se traduire par « chaque » en compréhension.

Un second indice traduit cette extension manquée : l’adjonction pure et simple d’un objet proposée par les sujets pour égaliser le résultat du comptage et celui du calcul « On en rajoute encore un, ça fait 4 »). Au moment où le sujet introduit des correspondances entre objets il oublie les totalités auxquelles appartiennent ces objets. Au contraire, lorsque la question porte sur des collections définies en compréhension (« Plus de canards ou plus d’animaux B ? »), le sujet en oublie les différenciations du matériel, et Yva répond que : « Il y a 2 animaux B », écartant ainsi les canards bleus. L’intersection ne sera maîtrisée de manière opératoire qu’au moment où les correspondances sauront coordonner propriétés d’objets et propriétés de classes, cette dernière condition nécessitant la maîtrise d’opérations de classes.

Les sujets précédents échouaient à la question « plus de canards ou plus de x » par prédominance de la disjonction et, ne raisonnant qu’imparfaitement en extension ne sont pas particulièrement troublés par le problème (A1 ∪ A2) < (A1 ⊕ A2) qu’ils pensent souvent résoudre en rajoutant un animal. Lors de la présente étape, en revanche, le sujet résout la première question, mais éprouve une telle surprise lors de la seconde qu’il remet en discussion les solutions précédentes :

Sil (7 ;9) en reste à l’étape I pour cette seconde question, mais est à citer pour son souci de préciser l’extension dans la situation III où il n’y a pourtant que trois éléments : Il débute par « plus de canards parce qu’il y a 1 poule blanche et 2 canards. — Et celui-là (cBc) tu l’as compté avec les canards ou avec la blanche ? — Ça ne fait rien si on dit la réponse avec les blancs ou les canards (= les deux sont justes)… Si on dit « les animaux blancs » il peut aller avec le poulet blanc et si on dit « tous » les canards il peul aller avec le canard bleu ». Autrement dit, pour Sil, on peut faire à volonté une correspondance ou une autre, mais si on précise le « tout » « il va dans l’ensemble des canards et dans l’ensemble des blancs ».

Val (8 ;9) est par contre un cas type de ce niveau. En situation I, il y a « plus de canards. — Pourquoi ? — 6 canards. — Et d’animaux bleus ? — 2 non 5 ! ». On cache : « Il y a combien d’animaux là-dessous ? — 11. J’ai fait 6 et 5, ça fait 11. — On doit vérifier ? — On peut, mais on est sûr ! —  [p. 126] (On regarde et elle compte 8.) — Comment tu expliques ? — Il y en a toujours 8, alors j’ai dit faux. Pour faire 8 j’aurais dû faire 6 et 2. — C’était juste 6 et 5 ? — Non, parce qu’il y en avait 8. — Mais les 6 canards sont bien là et les 5 animaux aussi ? — Ah ! mais parce que j’ai compté dans les animaux bleus les canards qui étaient bleus… On avait compté 5 canards et 6 animaux bleus qui (= dont certains) étaient encore des canards (elle rappelle donc ses multijections et surjections combinées auxquelles elle ne croit plus qu’à moitié). — C’était juste ? On avait le droit de faire ça ? — Non. Ces canards (B) on devait les laisser dans les canards. Alors ça faisait 6c et 2B. — Alors les 3cB on les met avec les c et pas dans les B ? — Oui, parce que… (Non) on peut aussi les mettre dans les bleus. A ce moment-là, ça fait 5B et 3c. — On ne peut pas compter les cB dans les c ? — Alors il y en a 6. — Et des B. — Il y en a 2. — Et puis ça (canards bleus) ? — C’en est aussi, ils peuvent aller dans les deux (elle revient à la multijection) parce qu’ils sont bleus et ils sont canards (surjection réciproque). — Alors je peux dire 6 canards et 6 oiseaux bleus ? — Non. Ah c’est juste… si on les met dans les B. — Quand on les met dans les bleus ils ne comptent plus pour les canards ? — Ils comptent pour les deux à la fois. » Mais pour la situation II tout est à recommencer. Elle dit, de la partie commune : « On peut les compter (d’un côté) ou bien par les comptes. — Une chose est préférable ? — Il faudrait aussi les mettre dans les deux », mais elle continue à flotter comme si les correspondances étaient un processus temporel modifiable au gré des choix.

Lau (8 ;1) réagit de même pour la partie commune : « Ils peuvent être avec les deux en même temps ? — Pas tout à fait. — Ça t’embête qu’ils soient à la fois des canards et des bleus ? — Oui. » Et il propose de remplacer les canards bleus : « Des fois on a plus de canards puis des fois moins de canards, c’est embêtant. Il faudrait les enlever et mettre des autres couleurs. »

Lin (9 ;2) invoque le même processus d’alternance temporelle, mais finit par en sortir : «  Si on les met là (les cBl avec les c) il y en a beaucoup, puis après si on les met là (avec les Bl) il y en a beaucoup ! » Situation III à trois éléments seulement : il y voit tantôt plus de canards et tantôt plus de blancs : « Mais (l’un ou l’autre) ? — On a plus de canards… plus de… Ah ! mais je comprends maintenant : c’est la même chose, 2 et 2 c’est juste : deux canards ensemble (et il les serre) et deux blancs ensemble (qu’il serre aussi). Voilà ! »

Ser (9 ;8) pour la situation I est très surpris après avoir calculé 5 + 6 = 11 sous le cache de n’en trouver que 8 lorsqu’il les compte, mais il finit par comprendre que les cB « ils font partie des deux, du groupe des canards, puis des bleus ». Seulement cette découverte est si peu stable qu’à la situation II il y songe bien, mais à titre de processus temporel (« Ils font partie des deux, comme avant : on pourrait (les) mettre ici, puis les ôter »), pour conclure finalement à une impossibilité : « Si on ôtait ça il y aurait plus de canards, mais si on les rajoutait, comme ils sont aussi des blancs ( !)… alors on ne peut pas les mettre ni dans l’un ni dans l’autre… » « On pourrait les mettre ? — Oui, on pourrait, mais on ne peut pas. » Enfin à la situation III la solution est trouvée : « C’est un canard… et puis il est blanc, ça va les deux. »

[p. 127]Ces faits sont instructifs quant aux rapports entre les correspondances et les classes. Ils nous font d’abord comprendre les rôles distincts que ces sujets attribuent à la multijection et à la surjection. La première des deux est plus fréquente, sans doute parce qu’elle paraît plus libre et portant sur des possibilités et non pas sur des obligations. Chacun de ces sujets dit ainsi, par exemple pour les canards bleus, qu’« ils peuvent aller » (Sil) avec les bleus ou avec les canards, mais qu’on peut les ôter, qu’« on peut les compter ou pas les compter » (Val) ; et même qu’on ne peut « pas tout à fait » (Lau) les placer dans les deux en même temps, cela jusqu’à dire avec Ser : « On pourrait (en fait) mais on ne peut pas (en droit). » Au contraire, la surjection ne part plus des canards bleus pour suivre deux flèches possibles (C ou B), mais part des collections c (canards) et B (animaux bleus) pour diriger les flèches vers les mêmes éléments cB (« des bleus qui étaient encore des canards », Val, ou « c’est un canard et puis il est blanc », Ser) : en ce cas, et surtout dans la formulation « ils sont bleus et ils sont canards » il s’agit de deux propriétés d’un même objet, et, comme elles sont stables, leur union est obligée : tout au plus peut-on, avec Lau, considérer comme « embêtante » cette conjonction de deux qualités, mais elles sont là et on n’est plus libre, comme avec la multijection, de les placer et de les enlever.

Cela dit, la multijection, avant d’être reconnue, fournit donc le tableau des liaisons possibles et utilisées tour à tour, tandis que la surjection sert à la justifier, une fois acceptée et stabilisée avec ses deux flèches. S’il en est ainsi, on voit alors que la construction de l’intersection, donc le passage des correspondances aux classes, suppose au moins trois conditions. La première est que la multijection et la surjection fonctionnent concurremment, l’une pour établir les flèches dans la direction de l’ensemble d’arrivée selon ses diverses variables (animaux et couleurs), l’autre pour fonder les flèches sur les propriétés des éléments considérés et en ce cas la direction est inverse : retrouver dans le même objet une ou deux (« au moins une ») des variables en question.

La seconde condition s’avère également fondamentale, au vu des faits précédents : c’est de cesser de considérer la multijection comme un processus temporel, avec alternances de flèches dans un sens ou un autre et de substituer la simultanéité [p. 128] ou plutôt un statut intemporel aux possibilités de succession. Il s’agit donc de considérer les deux flèches et les appartenances aux deux collections d’arrivée comme s’imposant « en même temps », c’est-à-dire conjointement (ce que nient d’abord Lau et Ser).

Mais ces deux conditions ne suffisent pas et il est indispensable, pour parvenir à l’intersection, d’introduire une quantification dépassant celle des correspondances, mais que peuvent en tirer de nouveaux mécanismes, d’un rang supérieur, qui sont ceux des opérations de classes. Il y a alors constitution d’une nouvelle forme, donc transformation, et dont l’essentiel est le réglage du « quelques » et du « tous » : c’est ce que montre explicitement Sil, quand, après avoir situé le canard blanc dans les « blancs » et non pas dans les « canards », précise que « si on dit tous les canards » alors il faut prendre ce « tous » au sérieux et le canard blanc comporte une double appartenance.

Alors qu’un sujet de 9 ans (sur 5) et tous ceux de 10 ans résolvent d’emblée les questions posées et ne sont plus embarrassés par le paradoxe (A1 ∪ A2) < (A1 ⊕ A2), on trouve quelques cas de 8-9 ans (et même un de 7 1/2) qui parviennent à ces solutions (et même en général en précisant spontanément le « en même temps » pour les deux appartenances), mais qui débutent par les étapes I et II, y compris les disjonctions initiales. Voici des exemples :

StÉ (7 ;6) commence par des disjonctions dans la situation I puis découvre qu’il y a 6 et non pas 3 canards ! Puis surpris de trouver 8 éléments alors que 6 + 5 = 11, il veut en rajouter (niveau I). Mais ensuite il comprend l’intersection et précise (en III) qu’« il va avec les deux parce qu’il est en même temps blanc et en même temps canard ».

Isa (8 ;6) : même évolution et en III il y a 2 et 2 « à cause de ce canard : il est blanc et en même temps il est un canard ».

Den (8 ;2) débute encore par des disjonctions et en situation I en reste aux formulations de l’étape Il : « Les cB on pourrait les compter aussi dans les canards. » Mais dès la situation II il précise qu’il y a 4b et 6Bl « en comptant les canards blancs en même temps dans les animaux blancs et en même temps dans les canards ».

Cri (9 ;4) en est à l’étape I pour la situation I et ne trouve pas d’expli— cation au fait de trouver 8 éléments sous le cache quand « ça devrait faire 11 : [p. 129] 6 et 5 ça fait 11 ». Mais en situation III le conflit entre 3 et 4 vient de ce qu’on compte 2 fois un canard « parce qu’il est canard et puis il est blanc » et en reprenant la situation I elle construit ses classes uvee intersection : "Je les mets au milieu parce que ça fait canard el blanc. »

Quant aux cas francs de l’étape III, il n’y a plus de problèmes :

Jos (10 ;6). Situation II : « On peut les compter deux fois (les cBl) parce qu’un canard blanc fait partie des canards et puis des autres animaux blancs. »

Jac (10 ;9). Situation I ; « Plus de canards : 6, puis 5 oiseaux blancs. » Ou cache : il y aura 11 éléments « parce qu’il y a 6 + 5. Euh ! … Attendez ! Non 8 parce que quand on compte 5 blancs il y en a 3 qui sont des canards… Ils sont blancs et en même temps canards ».

On voit que les trois conditions de l’intersection sont remplies. En premier lieu, la coordination des surjections et multijections est constante. En second lieu, les correspondances ne sont plus liées à des alternances temporelles et la plupart des sujets insistent même spontanément sur le fait que les deux appartenances jouent « en même temps ». En troisième lieu, la construction des classes et sous-classes est nette.

Mais il reste à préciser le rapport entre ces opérations de classes, avec leur réglage du tous et du quelques, et les correspondances qui les précèdent avant de s’y soumettre. Que ces correspondances préparent leur élaboration c’est l’évidence même, car, lorsque le contenu d’une classe n’est pas purement formel (comme dans le cas des différentes classes de nombres), mais est constitué par des objets concrets, leur classification suppose la connaissance de leurs propriétés, en ressemblances et en différences et ces comparaisons préalables consistent en correspondances. Que les classes une fois construites on puisse tirer des correspondances par des liens nécessaires, comme l’injection des sous-classes dans les classes, cela est non moins clair. Mais les deux questions qui se posent sont d’établir si les opérations de classes sont tirées des correspondances par abstraction ou comportent l’intervention de transformations d’une autre nature et, en cas de filiation, entre les classes et les correspondances, si la coordination de la surjection et de la multijection ou de façon générale les compositions entre applications ne constituent pas déjà des transformations.

A commencer par le second problème, notons d’abord qu’en [p. 130] plus de la coordination en question, on trouve d’autres compositions dans les faits qui précèdent. Les inclusions sont des injections et les intersections en combinent deux à la fois. Lorsque le sujet voit l’analogie entre les situations I et II il fait une bijection et en ce cas la composition des surjections et des bijections conserve les premières, etc., mais deux différences essentielles opposent les transformations à ces diverses compositions. La première est que celles-ci n’engendrent pas de formes nouvelles mais se bornent à les conserver. Il n’y a rien de plus dans la multijection qu’une surjection retournée et dans le domaine du discret (par opposition au continu où les parties ne sont pas délimitables) cette réciprocité ne fait pas problème : preuve en soit que, dès le niveau I, Ald, découvrant pour un instant la multijection, la justifie d’emblée par la surjection « c’est un canard et il est blanc ». Quant aux compositions générales entre « applications » elles se bornent à conserver la forme de départ : « injection × injection = injection », « surjection × surjection = surjection », et idem pour la bijection, qui conserve tout. La seconde différence est qu’une composition opératoire est nécessaire, tandis qu’entre correspondances ce n’est pas le cas, à part cette conservation de la forme : la composition d’une injection avec une surjection et l’inverse demeurent indéterminées et peuvent donner les trois formes possibles d’applications.

Quant à savoir si les opérations de classes, qui dans les présents résultats jouent le rôle de transformations, dérivent des correspondances qui les préparent, il faut distinguer la forme et le contenu. Il importe d’abord de remarquer que parmi les structures logico-arithmétiques, les groupements de classes sont les moins formels et les plus proches de leur contenu concret (y compris les groupements multiplicatifs qui sont la source des intersections). Il est donc clair, répétons-le, que leur contenu est toujours fourni par des correspondances préalables. En ce qui concerne, par contre, leur forme, on ne saurait dire qu’elle soit tirée de celles-ci par abstraction, puisqu’elle introduit de nouvelles quantifications. Certes on peut, au vu des correspondances une fois établies, y ajouter des problèmes d’extension et les symboliser par des nombres, comme on l’a fait dans la présente recherche, mais c’était précisément pour passer des correspondances à la considération [p. 131] des classes. Or, il reste que la réunion de deux classes en une classe emboîtante A + A’ = B implique nécessairement une opération inverse B — A’ = A, tandis que, quand nos sujets de l’étape II proposent une multijection pour la défaire ensuite « on peut les mettre avec… ou on peut les ôter »], c’est qu’ils ne l’ont pas encore dominée et qu’ils se livrent à des préopérations propres aux collections, que l’on peut constituer ou dissocier à volonté à titre de simples possibilités ; quant aux surjections et multijections de l’étape III, elles sont bien réciproques l’une par rapport à l’autre, mais ne comportent pas d’« inverses » ou négations et ne sont qu’obligées par leurs contenus avant de servir elles-mêmes de contenus aux opérations de classes qui se constituent ainsi à un rang supérieur au leur.