Chapitre X.
Les embranchements successifs en une structure d’arbre ^{1 a} 🔗

Les quatre conditions générales des embranchements successifs (sans s’en tenir à une continuation précise et limitative de la figure présentée en modèle) sont : 1) la connexité ; 2) l’ouverture sur de nouveaux prolongements possibles ; 3) la succession à partir d’une extrémité ou d’un nœud ; et 4) une même orientation générale (vers le haut, en oblique ou en vertical). Or, contrairement aux reconstitutions des labyrinthes, la connexité est, dans le cas particulier, respectée à tous les niveaux, y compris dans les reconstitutions de mémoire, ce qui semble dû à la différence des embranchements récursifs et précursifs. Par contre, à l’étape I (niveaux préopératoires), les trois autres conditions ne sont pas observées [p. 165] simultanément, et, si l’une peut l’être chez certains sujets (l’ouverture est la plus fréquente), les autres manquent encore et cela avec variations d’un sujet à un autre. Voici des exemples d’une sous-étape IA :

Har (4 ;2) continue l’arbre en fermant presque l’une des dichotomies () et en plaçant une perpendiculaire à l’une des branches de l’autre, après quoi elle dispose 4 bâtons parallèles, eux-mêmes perpendiculaires à chacun des deux qu’elle a situés d’abord. L’orientation des 4 premiers est donc bonne, celle des 4 autres presque horizontale et la condition 3, donc la succession, n’est pas respectée. Har ne parvient pas à une reconstitution de mémoire, mais la copie présente cet aspect intéressant d’un renversement du sens des dichotomies (< > ou lieu de et ), d’où une figure d’ensemble presque fermée.

Mun (4 ;9) fait partir deux bâtons simples de deux des branches des dichotomies du modèle, puis continue en ajustant les unes aux autres des mais sans orientation, par simple jonction des extrémités respectives, de telle sorte qu’elle aboutit à une figure quasi fermée en rejoignant le point de départ (donc le bas du tronc) du modèle. Le dessin de mémoire y ajoute des traits simples reliant les ou en différentes positions : d’où deux ensembles fermés et contigus, collés à un troisième à fermeture presque entière. Aucune des conditions 2, 3 et 4 n’est donc respectée, tandis que la copie donne 2 Y isolés du reste et l’un à côté de l’autre sans connexité.

Moh (4 ;9), au contraire, prolonge le modèle au moyen de 12 bâtons orientés dans toutes les directions y compris vers le bas, les uns uniques, les autres en > < ou . La reconstitution de mémoire utilise même 14 bâtons en 9 embranchements dont 2 dirigés vers le haut, 2 latéralement et 5 vers le bas. La copie témoigne d’inversions de sens analogues.

Cri (4 ;10) coordonne 2 en sens inverse l’un de l’autre, ce qui aboutit à un grand carré au sommet de l’arbre. Il met, d’autre part, en dessous (et à partir de la base) des traits simples parallèles aboutissant à une sorte de rectangle. La copie indique 3 orientés vers le bas et la reconstitution de mémoire un triangle au sommet d’une suite de bâtons verticaux.

Xia (5 ;8) ne donne que 4 traits verticaux, de même que StÉ (5 ;10) mais qui les ferme par un bâton transversal.

Pha (5 ;10) place encore 4 bâtons orientés vers le bas (en dessous même de la base du modèle à continuer), mais les 6 bâtons prolongeant le sommet sont orientés vers le haut. Dans la reconstitution de mémoire ils se ferment par contre.

Nat (5 ;11) ne place que des tiges (8) orientées vers le bas.

Man (6 ;2) donne encore une figure semi-fermée pour le modèle à dichotomies et entièrement close avec les trichotomies, plus quelques branches vers le bas.

[p. 166]Et voici des cas de l’étape IB, où disparaissent les fermetures :

Fra (5 ;6) prolonge chacune des branches du modèle au moyen de tiges simples, de même pour la figure à trichotomies. La reconstitution de mémoire donne cependant la copie exacte du modèle dichotomique et les prolongements qu’elle a mis. Mais la mémoire de la trichotomie fait défaut et malgré ses tâtonnements Fra retombe dans la construction précédente. La copie n’est guère meilleure et donne un éventail sur tige.

Mic (6 ;2) débute par une figure fermée de type IA, mais la construction de mémoire donne 2 dichotomies sur 3 et, lors des trichotomies, elle prolonge le modèle par des tiges simples et 1 Y tous deux partant du premier nœud. La reconstruction donne 3 trichotomies côte à côte (avec trois troncs parallèles). donc contigus sans embranchement d’ensemble.

Mur (6 ;6) débute aussi par une figure fermée (IA) mais dans la mémoire elle la remplace par un arbre à 3 trichotomies, alors qu’il n’a été présenté jusque-là que le modèle dichotomique. Pour l’autre modèle elle ne prolonge en trichotomie que la branche supérieure, se contentant de tiges simples pour le reste, mais la mémoire est correcte.

Gin (7 ;4) se borne à prolonger chaque extrémité des deux modèles par des tiges uniques. « Ces deux (modèles) sont pareils ? — Non il y a là 2 branches qui partent et là 3. — Alors ? — Je peux mettre 3 branches. » Il semble qu’il ait compris, mais ce qu’il appelle « mettre 3 branches » consiste à prolonger chacune de celles du modèle par un bâton unique.

Nic (8 ;0) malgré son âge donne encore pour les dichotomies 3 Y mais insérés au milieu des tiges et dont deux partent vers le bas. Mêmes défauts pour les trichotomies. Mais dans la mémoire du premier modèle et lorsqu’on le refait agrandi pour facilitation, les dichotomies deviennent trichotomies.

Ces faits sont instructifs quant à la difficulté surprenante de coordonner les successions et les embranchements. Pourtant ni les uns ni les autres ne font problème chacun à part lorsqu’il s’agit d’un petit nombre d’objets. Pour ce qui est de la succession, la consigne ne semble présenter aucune embûche : « la première année il pousse ça », et on pose un bâton figurant le tronc, « la seconde année ça (deux branches issues du tronc) et la troisième année ça (deux branches à l’extrémité des précédentes, donc 4) » ; une sériation de 1 < 2 < 4, s’il s’agissait de verticales | < || < ||||, ne saurait faire problème, même à demander la suite, si celle-ci ne consiste qu’à choisir un ensemble plus nombreux. Preuve en soit dès l’étape IA, les huit sujets cités ont ajouté au modèle 10, 12, 11, 11, 4 [p. 167] (Xia 10 dans la mémoire), 5, 8 et 12 bâtons et les cinq de IB de 8 à 13 éléments. La difficulté de la succession ne tient donc pas aux correspondances entre nombres croissants. Quant aux embranchements, il ne s’agit en chaque cas que d’une multijection de 1 à 2 pour les dichotomies et de 1 à 3 pour les trichotomies. Or, les chapitres précédents nous ont assez montré qu’il n’y a pas là non plus d’obstacle sérieux, cette forme de correspondance étant peut-être la plus facile après la bijection. Preuve en soit à nouveau que si trois sujets en IA et deux en IB se contentent de prolongements par tiges uniques, cinq en IA (parmi les cités) et trois en IB donnent de 2 à 5 dispositions en , mais d’orientations variables.

La vraie difficulté semble donc tenir à la composition des correspondances de succession et des multijections du point de vue de leur double direction puisque ici toutes deux sont spatiales : la succession (liée à la croissance de l’arbre) est, en effet, dirigée vers le haut pendant que les embranchements s’orientent latéralement. Le problème est alors de placer les pour qu’ils satisfassent simultanément à ces deux conditions et l’orientation du soulève déjà une question, puisque les branches de cette figure dichotomique partent en sens partiellement opposés.

Il faut d’ailleurs distinguer ici deux problèmes : celui de la copie de la figure modèle avec ses , avec en général échec à l’étape IA, et celui de l’utilisation des dicho- ou trichotomies quand la copie et même la mémoire sont bonnes. Sur le premier point, on voit par exemple Har renverser les deux en < >, et d’autres les placer n’importe comment. Il y a donc là une situation initiale qui est celle du chapitre premier : faire correspondre une copie à son modèle en composant les coordinateurs de réunion, d’enveloppement, de direction, etc. A cet égard la fermeture de l’arbre par la bonne moitié des sujets IA n’est ni un hasard, ni l’imitation d’arbres arrondis, mais résulte à la fois d’un effort infructueux pour coordonner les , sinon en les reliant au moyen de leurs extrémités (cf. Mun qui accentue ensuite ce processus lors de la construction de mémoire), et de la tendance à l’enveloppement, décrite au chapitre premier.

Les faits les plus intéressants sont donc ceux de l’étape IB, où les copies sont à peu près correctes, sauf au début pour la [p. 168] trichotomie, et les reconstructions de mémoire souvent supérieures à la continuation matérielle, Or la mémoire comportant une correspondance bijective entre l’objet et l’image-souvenir, ces reconstitutions paradoxales (voir Mur et Nic) montrent que le facteur figuratif n’est pas le moteur principal de la continuation du modèle et que le vrai problème demeure de coordonner les embranchements multijectifs et les successions selon leurs deux directions.

Dès 7 ans, par contre, cette coordination est immédiate avec reconstitution de mémoire sans hésitations. Il est vrai que sur 18 sujets de 7 à 10 ans on en trouve encore qui se contentent de tiges isolées (Gin) ou d’insertions au milieu des branches (Nic) et même un qui oriente un des à l’envers mais ce sont là des réactions attardées de l’étape IB ou des inattentions momentanées. De façon générale, il n’y a plus problème quant à la composition des successions et des multijections :

Myr (7 ;0) prolonge immédiatement les 4 extrémités du premier modèle par de nouvelles dichotomies et les 9 du second par des trichotomies : « L’autre poussait comment ? — Avec 2. — Et celui-là ? — Avec 3. »

Ria (7 ;9) : « Celui-là en a toujours 2 au bout des branches et là toujours 3. »

Fer (9 ;0) pour continuer le modèle à dichotomie commence par rajouter une branche à la base de chacun des , ce qui le change en trichotomie, puis il prolonge les extrémités en nouveaux groupes de 3. Quand on passe au modèle II il rajoute deux nouvelles trichotomies entre les trois présentées et prolonge celles-ci à deux reprises. Mais la mémoire des modèles est exacte : ce qui l’intéresse est donc de les prolonger eu se souciant de la croissance maximale de l’arbre plus que de la copie.

Mar (9 ;5) commence par prolonger en tiges isolées, puis dit « non, comme ça » et les continue en trichotomies et dichotomies.

En un mot, la préoccupation du sujet est la croissance de l’arbre et non pas la fidélité au détail du modèle, la consigne étant d’ailleurs de montrer « ce qui va pousser après ». Or, on constate que la composition des embranchements multijectifs et des successions avec coordination de leurs deux dimensions s’effectue au niveau du début des opérations concrètes comme dans les cas où la succession sériale se subordonne à la récursivité, [p. 169] où les emboîtements de sous-collections dans les collections se complètent par la quantification des inclusions de classes et où la précursivité est atteinte dans la solution des problèmes de labyrinthes. Il n’y a donc pas là un hasard et c’est le signe qu’ici encore les correspondances initiales finissent par se constituer en morphismes en se subordonnant à des transformations structurales. Et pourtant la question de l’arbre semble plus facile en raison de ses aspects figuratifs, tels qu’ils sont reproduits dans les dessins de mémoire. C’est donc bien le problème des deux directions ou, si l’on préfère, de la double succession en largeur et en hauteur qui fait problème. Dans le cas d’une sériation il n’y a qu’une direction à suivre. Dans celui de la précursivité il suffit de suivre le chemin à l’envers (du terme aux situations initiales) pour que les croisements ne soulèvent plus de questions multidirectionnelles. Dans le cas des emboîtements de classes il y a bien une sorte de dualité entre l’élargissement croissant du système et la succession sériale des classes emboîtantes, mais ce qui facilite la compréhension est que cette succession consiste en une suite d’enveloppements encastrés (d’où la tendance de nos présents sujets de l’étape IA à réduire la forme d’ensemble de l’arbre à un enveloppement). Dans le cas de l’arbre, au contraire, il n’est plus question de successions linéaires ou de cercles emboîtés, mais d’une forme déterminée pyramidale ou autre dont la croissance tient de ces deux aspects simultanément.

Mais en quoi ces deux dimensions peuvent-elles faire problème alors qu’en bien d’autres situations l’enfant parvient facilement à penser à deux choses à la fois ? C’est que ^b les variations en jeu dans la construction d’une forme conservant ses proportions lors de son extension ne sont pas simplement des covariations ou des fonctions à deux variables : il s’agit de deux fonctions dont l’une dépend de l’autre, autrement dit d’une fonction de puissance supérieure puisque les deux variations sont solidaires et que cette solidarité est encore une fonction. Or, en une fonction, si la bijection entre les résultats des variations est une correspondance, les variations comme telles sont des transformations : à plus forte raison en est-il ainsi de la fonction complexe dont il est question ici, et c’est pourquoi la solution du présent problème n’est trouvée avec système qu’au niveau des opérations concrètes.

[p. 170]I. A titre de contre-épreuve il peut y avoir quelque intérêt à se demander quelle sera la réaction des jeunes sujets à des distances sur des chemins à bifurcations dichotomiques, ou se suivant par segments rectilignes mais avec des angles quelconques entre eux et tous orientés dans la même direction à partir de la position A face au sujet (avec un deuxième modèle où une partie d’entre eux sont orientés de même et une partie en sens inverse à partir d’un point E qui est central). De façon générale la distribution de ces chemins présente donc une structure d’arbre, mais sans la régularité des modèles précédents. (Voir les deux villages V1 et V2.)

Quant aux distances, il suffit de compter les unités ou segments de chemins qui sont tous égaux. On a donc utilisé un jeu de villages où les maisons (toutes pareilles) sont reliées par les chemins en question à partir d’un point d’origine (base de l’arbre) qui est l’école ; on dispose, d’autre part, d’un ensemble de 30 bâtons symbolisant des arbres, dont 5 de chacune de six grandeurs différentes (s’échelonnant entre 1 et 10 cm). Pour faire évaluer les distances sans s’en tenir à un simple dénombrement, on a alors utilisé une correspondance sériale, de signification arbitraire, consistant à placer à côté de l’école le plus petit arbre et à prévoir pour chaque maison un seul arbre mais d’autant plus grand que le trajet à parcourir entre cette maison et l’école est plus long. Par cette procédure indirecte on peut alors juger de la manière dont les sujets évaluent les distances en une telle situation, ce qui peut [p. 171] compléter notre information quant à la coordination des deux dimensions dont il a été question précédemment.

Plus précisément, on commence par faire prolonger au sujet, s’il le peut, le début de la correspondance entre grandeurs et distances. On lui annonce qu’on va donner un arbre à chaque maison, mais pas n’importe lequel. L’expérimentateur met alors en A (école) l’arbre I en disant « je donne le plus petit à l’école », puis un arbre II à B et H (maisons les plus proches = un seul segment de chemin) et un arbre III à K, I et C (deux chemins chacun). Puis il dit, sans allusions aux distances, ni aux chemins : « Tu continues comme moi. » Après quoi, on demande à l’enfant d’expliquer ce qu’il a fait, puis on lui formule la règle en se référant cette fois aux chemins à parcourir et l’on examine ses corrections. On enlève ensuite tous les arbres et l’on pose des questions telles que « quel arbre donner à D ? » ou « à quelles maisons correspondent les arbres V ou VI ? ». Enfin on passe au second village en ne plaçant que l’arbre I (à l’école E) et en laissant faire le reste. Pour ce dispositif comme pour le précédent il est instructif d’ajouter un bâton VI plus grand que tous les autres pour voir si et où l’enfant ajoutera une maison et un chemin supplémentaires.

II. Les résultats de la première partie de l’interrogation (avant l’énoncé de la règle) sont assez surprenants. Les sujets les plus jeunes se bornent naturellement à des correspondances indifférenciées, se contentant de distribuer les arbres au hasard ou à dire « je mets comme vous des petits, des moyens et des grands », mais sans régularités. Par contre, dès 5 ans 1/2, on trouve des sujets énonçant le principe « du plus petit au plus grand » dans le sens voulu ou plus précisément « plus loin » correspond à « plus grand ». Mais le fait remarquable est qu’il faut attendre jusqu’à 10-11 ans pour que le sujet découvre de lui-même que cette distance de la base A aux maisons peut et doit se mesurer au nombre des trajets de l’une d’entre elles à la suivante, alors que si les chemins étaient parallèles cela irait de soi. En outre, comme nous le verrons, une fois ce procédé indiqué explicitement (seconde partie de l’interrogation), il ne s’ensuit nullement une correspondance sériale immédiatement correcte alors que ces chemins ne varient que de 1 à 4.

Il est inutile de citer des exemples de l’étape IA où les sujets se bornent à des distributions au hasard, de même que certains cas où l’enfant cherche des différences de grandeurs entre les maisons, qui sont toutes pareilles. Par contre, il importe de signaler une étape intermédiaire fréquente où le sujet, sans se livrer encore à des essais de sériation, construit [p. 172] des classes d’équivalence en fonction de positions jugées comparables :

Deb (6 ;2) constate d’abord que G (3s) ² doit avoir un arbre « un peu plus grand que C (2s) », puis donne « des plus grands arbres » aux maisons du fond D, E, J, L. « Comment tu sais ? — Parce que vous avez commencé comme ça : du plus petit au plus en plus grand. » Mais il est à noter qu’ensuite elle introduit deux distinctions dans cette classe d’équivalence au lieu d’en rester là : d’abord elle juge que E mérite un arbre plus grand que F auquel elle a donné V : or E est situé sur la branche la plus haute d’un un peu incliné. Mais surtout elle retire D (3s) de l’ensemble parce qu’« il est plus grand que ça (V F 4s) » : or D est nettement plus bas que F mais est au terme d’un chemin isolé et vertical ce qui fait que de nombreux sujets le privilégient.

Fra (6 ;10) de même distingue au début deux classes d’équivalence : « Ici (le groupe du bas partant de A) il y a des différentes grandeurs et après C, c’est tout la même grandeur », après quoi elle distingue également le D : « la plus grande … c’est ça ».

Syl (7 ;2) par contre s’en tient à ses classes d’équivalence et sans les sérier entre elles : « Là la même grandeur (I L 4s et I J 3s), là aussi (0 D 3s et 0 E 4s), là aussi (II G 3s et II F 4s) et là aussi (H B 1s et K I C 2s montrés au début par l’expérimentateur) ^c ». Or chacun de ces couples est situé sur un segment oblique montant à gauche ou à droite ou sur une oblique virtuelle (DE).

Qu’elles soient provisoires et ensuite différenciées (Deb et Fra) ou définitives et non sériées entre elles (comme les couples ou trios des premiers essais de sériations), ces classes d’équivalence marquent un début de mises en correspondance. Mais ou bien il y a privilège des distances en vertical (E et D chez Deb, D chez Fra) ou bien un tracé oblique sert de lien d’équivalence et un sujet de 11 ans réunit encore C (2s), G (3s) et F (4s) « parce que ça continue en diagonale », sans voir qu’une oblique modifie les distances selon deux dimensions et avec en plus la négligence totale du nombre des chemins.

L’étape suivante est alors celle du progrès de la correspondance sériale, à commencer par une situation intermédiaire par rapport à la précédente et à continuer par l’établissement d’« étages » :

Ort (5 ;8) décrit ce qu’a fait l’expérimentateur en disant A « tout petit », B et H (1s) « moyen-moyen » et K I C (2s) « moyens »,^[*] donc « du plus petit au plus grand » et il continue avec « des grands » : V à G (3s) et E (4s) parce que [p. 173] reliés et VI à L (4s), J (3s) reliés également par une oblique ainsi qu’à D, à nouveau privilégié en tant que sommet d’une verticale.

Ron (6 ;7) résume son programme : « C’est toujours un petit peu plus grand » et met V à G (3s), J (3s) et L (4s) mais VI à E (4s) et à D (3s), en privilégiant E et D du point de vue des verticales. « G et J sont la même chose ? — Oui, parce qu’ils sont dans le même étage et L aussi… non, là (F 4s auquel il a rajouté VI) je me suis trompé (il remplace VI F par V F et le compare à V G). — Tu as mis le même à G et à F ? — Oui, parce qu’ils sont au même étage. — Comment tu sais ? — Parce qu’ils ne sont pas plus hauts. » Or F et G sont en fait aux deux extrémités d’un segment oblique, considéré à nouveau comme un lien et non pas comme un chemin comportant une distance, contrairement à ce qui se passe pour D dont le chemin qui y mène est vertical.

Phi (7 ;2) : « Là (A) le tout petit, après des moyens, après des plus grands, J, D, G (s 3 mais sans compter les chemins 1), L et F (s 4) un peu plus grands et E (s = 4 comme L et F) encore plus grand. » Or, E et F sont aux deux extrémités d’un mais E sur la branche la plus verticale.

Mar (8 ;2) décrit ce qu’a fait l’expérimentateur en disant : « Ici (A) le plus petit, puis passé à une maison d’un cran et ajouté cet arbre (II) », ce qui semble indiquer qu’il va considérer les chemins, mais il n’en est rien et il donne l’arbre le plus grand (VI) à G (3), D (3) et L (4) en tant que reliés par une oblique.

Citons encore un des cas de 11-12 ans qui découvre le rôle des chemins après tâtonnements :

Vel (12 ;0) donne V à D et E, une fois de plus en raison de la verticale, et IV à J (3) et L (4) ainsi qu’à G (3) et F (4) situés par couples sur les branches écartées d’un même grand en disant : « Pour les maisons qui sont en biais (branches du ) par là et par là (symétrie des deux couples) j’ai mis de grands arbres. — Moi je n’ai peut-être pas fait en fonction de la direction. — Ah, bien oui, les routes, c’est vrai ! — Ça te donne une idée ? — En ligne droite ça va du plus petit au plus grand ! » Il en reste donc, même au moment de cette découverte, à l’idée de la distance en vertical. Puis « non… ah ! c’est nombre de chemins ! ».

On aurait attendu de telles réactions au niveau de 7-8 ans.

Lors de la seconde partie de l’interrogatoire, l’expérimentateur explique que les arbres placés au début l’ont été en fonction du nombre des chemins et il va de soi que, une fois en possession de ce critère, les sujets réussissent la correspondance sériale dès le niveau des opérations concrètes (7-8 ans et quelques cas de 6 ;6 ou plus). Mais l’intérêt des réactions préopératoires est alors que les correspondances ne sont pas d’emblée corrigées [p. 174] et que nous retrouvons ainsi notre problème des deux dimensions. Voici d’abord des exemples de classes d’équivalence non sériées entre elles, comme dans la partie I :

Sam (5 ;6), une fois compris que K = I = C « parce qu’ils ont deux chemins à faire », d’où l’arbre II, saute de II à VI pour D qui mérite « un tout grand, parce qu’il est seul et a 3 chemins à faire », ce terme de « seul » signifiant ainsi qu’il est au sommet d’une verticale. Puis elle donne VI aussi à G et J « parce que chacune a 3 chemins » et des « moyens » (IV) à F, E, L qui ont « 4 chemins ». Il y a donc classes d’équivalences mais non sériées, sans doute à cause du D privilégié une fois de plus.

Lau (5 ;6) de même comprend que K = I = C ont l’arbre II parce qu’« il y a deux chemins à faire », mais préfère préciser « parce que (K) et (I) sont à côté de (C) », ce qui est à noter puisqu’il s’agit d’une oblique très inclinée. Puis, comme Sam, elle saute à VI pour D et lui adjoint L avec VI « un très grand parce qu’elle a 4 chemins à faire », tandis qu’elle a compté 3 pour D : « C’est les mêmes VI pour L et D ? — Oui. — C’est juste ? — Oui. » Pour le village II, elle compte bien les chemins mais préfère les estimations en termes de « ils sont à côté » ou (J) « un peu plus grand parce qu’elle est tout au fond ». Mais elle aboutit à des classes d’équivalence non sériées : « J’ai mis les grands (VI) parce qu’ils sont plus proches (du centre), les moins grands (III) parce qu’ils sont moins proches et un plus grand (A IV et J IV) parce qu’ils sont plus loin. »

Et voici les essais progressifs de correspondance sériale :

Ort (5 ;8) répète comme dans la partie I (voir le § 3) qu’il faut aller « du plus petit au plus grand » et il compte correctement les chemins de 1 à 4. Mais l’intérêt est qu’il revient ensuite à ses critères habituels : D exige naturellement VI, comme E et L (4 et 4s) ainsi que J qui est sur la même oblique que L. Etc.

Ren (6 ;0) commence correctement par VI à F et E qui « doivent faire 4 chemins », IV à D et G (3s), etc. Mais elle abandonne le système et donne par exemple III à la maison I et II à K en disant chaque fois « parce qu’elle a 2 chemins à faire. — Et pourquoi alors I a un arbre plus grand ? — Parce qu’elle doit faire comme ça (chemin AH) et comme ça (HI) », autrement dit parce que son trajet fait un angle au lieu de suivre l’oblique AHK qui est rectiligne.

Deb (6 ;2) lâche également le comptage par chemins pour revenir à ses critères (voir au § 3) : E (4s) mérite plus que F (4s), sans doute à la fois parce que au terme d’une verticale et que faisant un angle et D exige aussi un « plus grand que (F) » pour les raisons habituelles.

Phi (7 ;2) débute bien, sauf pour D qu’il n’avait pourtant pas favorisé dans la partie I : K, I et C sont pareils « parce qu’ils doivent faire deux chemins, J et G doivent faire 3 chemins (IV) et celle-là (L V) 4 chemins : c’est la même chose que D (3 !) ». On lui fait constater l’erreur, mais quand, après avoir enlevé les arbres, on demande lequel mettre à D, il désigne V. Par contre, [p. 175] il comprend qu’un arbre supplémentaire plus grand pourrait être placé si on ajoute un chemin et une maison aux extrémités A ou J (dans le village II).

Syl (7 ;2) : « Ah ! J’ai compris maintenant : là un plus grand parce qu’il fait un plus grand chemin » : elle donne néanmoins VI à L (4), J (3) mais sur la même oblique, à E (4) et naturellement à D ; puis V à F et G sur la même oblique sans donc tenir compte de la succession CG et GF en tant que conférant un chemin de plus à F. Pour le village II, elle compte bien les chemins, mais croit qu’un bâton et un chemin supplémentaires peuvent aussi bien être raccordés à C (2s) qu’à A (3s), parce que situés aux deux extrémités droite et gauche.

Dro (7 ;3) montre en quoi le comptage des chemins ne lui suffit pas : elle met « un grand (V) à G parce qu’il est à 3 chemins de l’école. — Et c’est la même chose que F ? — Oui (c’est la même oblique). — Combien de bouts de chemins ? — 4. — Alors c’est juste de donner V et V à F et G ? — Je ne sais pas », son critère étant « c’est loin ». Le classement final est V à L, E, F (4s) et naturellement à D, IV à G et III à J (pourtant s = 3 comme G).

Il est inutile de citer les cas de correspondances exactes, y compris les adjonctions de termes supplémentaires aux extrémités des séries : on les trouve donc dès le niveau de 7-8 ans pour cette partie II de l’interrogation.

Les cas précédents, joints à ceux du paragraphe 3, nous offrent par contre une contre-épreuve instructive quant aux difficultés rencontrées pour la construction des arbres ou sa continuation. L’hypothèse était qu’elles tiennent à la coordination des successions selon les deux dimensions de la hauteur et de la largeur, lorsque ces variations ne sont pas indépendantes l’une de l’autre mais sont solidaires. Mais le problème était alors de prolonger les dicho- ou trichotomies en respectant la forme d’une croissance, donc de bien placer les ou les Y les uns par rapport aux autres, tandis que dans le présent cas ils sont donnés en leur configuration et le problème est d’évaluer les distances et la longueur des trajets. Or, en cette question apparemment sans rapport avec la précédente, on retrouve les mêmes tâtonnements à propos des angles et des obliques, au point que dans la première partie de l’interrogation aucun sujet avant 10 ou 11 ans ne songe à compter les chemins ou leurs segments, tandis que, si les trajets étaient tous verticaux ou tous horizontaux, les questions de succession et de correspondances sériales seraient vite résolues par la considération du nombre de ces unités : en d’autres termes les segments obliques ne constituent pas d’authentiques unités de distance.

[p. 176] Le problème central est, en effet, celui des obliques ou diagonales en tant que comportant une double variation dimensionnelle dans le sens de l’éloignement et latéralement : d’où l’embarras des sujets qui tendent à considérer les éléments placés aux deux bouts d’une oblique suffisamment distincte de la verticale comme situés à la même distance, du point de vue de l’éloignement, et la solution élégante consistant à les caractériser par « un même étage » (comme Ron pour G et F dont il ajoute qu’« ils ne sont (donc) pas plus hauts » l’un que l’autre, en quoi il exagère). Or, du fait que dans le village I (et plus encore en II) tous les chemins sont obliques sauf le trajet AD, on comprend deux des réactions courantes de nos sujets : d’une part, non seulement dans la première partie de l’interrogation ils ne s’occupent en rien du nombre des chemins, mais encore, invités à les compter (II^e partie), ils n’utilisent cette méthode que très approximativement, jusqu’aux environs de 7 ans : elle ne les convainc donc pas entièrement, puisqu’ils restent en partie fidèles à leurs critères précédents. D’autre part, les éléments D et E étant les seuls (et E approximativement) situés au terme d’une verticale, ils sont jugés les plus éloignés : or D est nettement dépassé par E, F ou L, mais comme F et L sont au bout d’obliques, la position de D est très souvent privilégiée « parce qu’il est seul », comme dit Sam, et qu’il constitue ainsi une sorte de sommet authentique sans les attaches suspectes de L avec J et de F avec G.

Une autre conséquence de cette difficulté de comprendre le caractère bidimensionnel et donc bifonctionnel des obliques est le fait qu’en présence des dichotomies (3 dans la figure 1) et trichotomies (J, D et G dans cette figure) le sujet ne compte pas toujours les branches, pourtant égales, comme marquant les mêmes distances, mais tient faussement compte des inclinaisons (GE fait plus que GF) et des angles (pour Ren le trajet AHI est plus long que AHK parce que faisant un angle). On voit ainsi que la position des fait problème pour les distances comme aux paragraphes 1-2 pour la croissance de l’arbre.

En un mot, la structure d’arbre qui caractérise le village dans le cas des présentes questions aboutit à ce résultat que les correspondances demandées, bien que portant sur des distances à évaluer et non plus sur des formes dont il s’agit de continuer la construction, se heurtent à une même difficulté centrale, qui [p. 177] qui est de coordonner deux fonctions dimensionnelles lorsque leurs variations sont interdépendantes. Autrement dit dans le cas particulier comme dans le précédent, les correspondances ne se stabilisent en morphismes qu’en se subordonnant à des transformations qui sont les opérations spatiales aboutissant synchroniquement à une métrique et à un système de coordonnées : d’où l’intégration finale des obliques au sein de telles constructions opératoires.