Chapitre IX.
Les correspondances de succession en un système topologique (ouvertures et fermetures d’un labyrinthe) ^{1 a} 🔗

Il va de soi que les jeunes sujets ne procèdent que par tâtonnements de proche en proche, d’où la possibilité de réussites par hasard, mais aussi les lacunes de l’anticipation. C’est donc d’une manière très progressive que se constitue la conduite de l’évitement des impasses, ce qui rend difficile la distinction entre un niveau IB, où elle se manifeste (mais naturellement sans relier encore les uns aux autres les centres de bifurcation), et un niveau IA, où elle semble ne pas jouer même pour les impasses très voisines [p. 155] du point où en est l’enfant. On trouve par exemple des sujets qui débutent par le trajet 1 → 2 → 17 sans voir que 17 est une impasse, alors qu’en parcourant les segments 1 et 2 on ne peut que difficilement ne pas englober 17 dans le même champ du regard. Faut-il dire alors que ceux qui passent de 2 à 3 ou à 13 ont évité plus ou moins intentionnellement 17, ou que seul est intervenu le hasard ? Voici donc des exemples de l’étape I avec passages continus de IA à IB :

Har (7 ;5) débute malgré son âge par le trajet 1 → 2 → 17, puis au deuxième essai 1 → 18 → 19 → 23, donc avec nouvelle impasse, plus éloignée mais facile à voir en montant 18 ou en suivant 19. Mais dans la suite il parvient en évitant 18 puis 17 à trouver le trajet 1 → … → 12, puis pour un autre chemin le trajet 1 → 2 → 13 → 14 → 15 → 16 → 11 → 12. Après quoi il dit bien que pour échapper au chat la souris doit retrouver l’entrée, mais, comme on le verra, ne comprend pas que, sans demi-tour, cela exige un trajet cyclique. Sur le labyrinthe II il retrouve les mêmes chemins. Le modèle III aboutit à une réussite mais Har est convaincu de l’existence d’un autre trajet : seulement « je ne peux pas le trouver » (après avoir reproduit sans le savoir le même). Or les succès obtenus par l’action avec ses tâtonnements n’aboutissent pas à la compréhension. Pour la comparaison des trois labyrinthes, Har voit plus d’impasses en II qu’en III (en fait II en a 6 et III en présente 7) et montre comme différences des détails sans signification sans comprendre qu’en III le retour à l’entrée n’est pas possible. Mais surtout, dans ses constructions de labyrinthes favorables à la souris, Har n’aboutit qu’à deux figures sans connexité (deux parties disjointes) et si, dans la seconde, il indique un trajet de retour dirigé vers l’entrée il ne parvient pas sans aide à la fermeture du cycle.

BÉa (7 ;1), après un début 1 → 23 comme Har, elle réussit également par tâtonnements (donc presque sans tomber par instants dans les impasses) les deux trajets en I mais ne les retrouve pas en II et déjà en I croit faire un troisième trajet en répétant sans le savoir le second. Pour le retour de la souris à l’entrée, elle n’y parvient qu’une fois examinées les différentes bifurcations à la demande, de proche en proche, de l’expérimentateur et elle croit la chose impossible en II, puis pense de même pour III. Quant à ses constructions de labyrinthes, elles consistent en carrés et rectangles contigus, plus nombreux pour le retour de la souris, réduits à deux pour le non-retour sans voir qu’il reste ainsi possible, puisqu’il s’agit de figures fermées.

Yvo (5 ;3) présente des réactions analogues mais est à citer pour sa construction finale formée de trois parties sans connexions : une verticale partant de l’entrée, une autre verticale proche de la première aboutissant malgré la consigne à une sortie supplémentaire et deux figures fermées rectangulaires et contiguës, mais sans liaisons avec le reste.

Les correspondances en jeu dans ces réactions sont claires en leurs limitations comme en leurs rôles positifs. En présence [p. 156] d’un croisement l’enfant constate qu’au trajet suivi jusque-là correspondent deux ou trois continuations possibles, ce qui est donc une multijection élémentaire se répétant lors de chacune des bifurcations, mais sans que le sujet relie encore ces dernières. En second lieu, parmi ces deux ou trois continuations, il y en a de deux sortes : celles qui conduisent à des impasses ou fermetures ; et celle qui reste ouverte sur une suite. Or à l’étape IA, par laquelle débutent ces sujets, il n’y a pas encore de choix par examen des situations ultérieures, mais de simples essais sans prévision, avec lecture après coup du succès ou de l’échec de la continuation recherchée : d’où les trajets 1-2-17 et 1-18-19-23 de Hur et Béa. C’est ensuite seulement que débute l’étape IB où le sujet, instruit des blocages possibles, commence, avant de choisir une voie, par regarder où elle mène en tenant plus ou moins compte des chemins reconnus inefficaces lors des essais précédents. En ce cas les succès de l’action sur le labyrinthe I s’expliquent facilement : parvenu au terme de 1, le sujet sait donc que 18 est à exclure et suit 2. Au terme de 2 les deux voies 3 et 13 sont bonnes : pour le trajet 3-4 … 12, la seule impasse à éviter est 25 mais au terme de 10 il est possible de voir que ni 16 ni 25 ne mènent à la sortie qui est proche ; quant au trajet 13-14-15-16, il est probable que, au terme de 16, le sujet doute que 10 ou 25 mènent à la sortie, puisqu’ils s’en éloignent vers le haut ou vers la gauche : d’où le succès 16-11-12. Même en ne procédant ainsi que de proche en proche une nouvelle forme de correspondance se constitue donc, consistant à injecter dans les quelques continuations possibles et observables la seule qui ne conduira pas à une fermeture.

Mais on voit alors le caractère particulier de cette correspondance. En un système de relations successives tel qu’une sériation, les caractères d’un élément ou d’une relation (<) quelconques de la suite sont déterminés par les prédécesseurs, le morphisme du successeur étant déterminé par les propriétés de l’ensemble des prédécesseurs. Ici, au contraire, le successeur à choisir est caractérisé par des propriétés indépendantes de celles des prédécesseurs et ne dépendant que d’autres successeurs de plus en plus éloignés et cela jusque, y compris, au segment final 12 qui détermine tous les autres. Il y a donc là une sorte de récursivité renversée, que nous nommerons [p. 157] « précursivité » puisque fondée sur l’ultérieur et non pas sur l’antérieur.

Or, il va de soi que, à cette étape I, cette précursivité n’est pas encore atteinte et que le sujet n’établit nullement encore, en présence du premier croisement, à ce que donnera jusqu’au terme final la continuation choisie : elle n’est donc injectée que dans le premier ensemble de possibles, comme elle le sera ensuite, si tout va bien, dans le second, etc., et cela de proche en proche, sans anticipation d’ensemble et en allant sans plus de l’avant.

Cette injection limitée, donc à faible intervalle de continuation et sans encore ce renversement de direction qu’implique la précursivité, explique alors les lacunes propres à ce niveau. Par exemple, une fois comprise la nécessité d’un retour à l’entrée, pour que la souris évite le chat (ce que Béa ne saisit pas à elle seule), Har et Yvo trouvent le chemin sans demi-tour mais il leur suffit pour cela d’utiliser les deux trajets 1-2-3 … 12 et 1-2-13 … 16 déjà découverts sans rien de neuf à construire : cependant ils ne comprennent pas qu’il y a là un trajet total de forme cyclique, puisqu’ils en restent à la procédure de proche en proche. Il leur arrive même, ce qui est significatif, de croire découvrir un chemin nouveau quand ils se bornent à reproduire l’un des deux précédents. Faute de coordination anticipée des croisements (donc faute de précursivité à longs intervalles), ils ne parviennent donc pas à réunir leurs choix de proche en proche en un système représentatif d’ensemble et simultané : ils échouent ainsi à la comparaison des trois dispositifs et surtout de I-II et III. Mais surtout, et c’est le fait le plus révélateur, leurs constructions finales, qui sont censées fournir des labyrinthes isomorphes à I-II et à III, manquent de connexité (sauf Béa mais simplement parce que, pour simplifier, elle n’a construit que des rectangles) : ces figures à secteurs discontinus sont, en effet, le symbole parlant d’un manque de précursivité faute de vision totale.

Chez les sujets du niveau des opérations concrètes (7-8 à 10 ans) la nouveauté est la constitution de cette précursivité en ce sens que, en présence d’une bifurcation, le sujet ne se contente plus d’examiner les prolongements les plus proches pour voir s’il y a impasse ou continuation, mais limitée à de courts intervalles : il y a au contraire enchaînement [p. 158] des bifurcations, la chaîne des continuations possibles étant à juger en fonction de son dernier terme. Mais il convient de distinguer encore deux sous-étapes : en IIA le sujet découvre bien successivement les divers aspects généraux du système (connexité des trajets utiles, circularité du chemin d’aller et retour de la souris évitant le chat, différences de II et III), mais il ne les coordonne pas encore dans les constructions terminales, se centrant sur l’un et oubliant les autres ; au niveau IIB par contre la coordination se fait, mais c’est à l’étape III que les raisons générales sont explicitement dégagées. Voici des exemples de l’étape IIA :

Dan (6 ;0 avancé) est encore intermédiaire entre IB et IIA en ce que, après avoir trouvé le trajet 1-2-3 … 12 il retombe au second essai dans l’impasse 1-18 … 22 et que, après avoir indiqué correctement le retour de la souris à l’entrée, il donne avec le modèle II un retour aboutissant à l’impasse 17. Mais, pour le modèle III, il découvre qu’il n’y a pas d’autres chemins et indique (ce qui est échoué à l’étape I) la petite connexion que l’on pourrait ajouter pour rendre possible le retour à l’entrée. Sa construction finale correspondant aux modèles 1-11 comporte la connexité mais oublie d’abord la liaison assurant le retour : « Explique-moi ta construction. — Si le chat attend à la sortie… non j’ai oublié quelque chose (il rajoute une connexion assurant la circularité). »

Cla (7 ;10) donne aussi au début un trajet sans issue 1-18-24, puis trouve le trajet correct ainsi que le retour possible de la souris à l’entrée et considère le trajet d’aller et celui de retour comme un seul chemin (cycle fermé), tandis qu’avec le modèle III le retour est impossible faute d’un chemin en plus. Centrée sur ces conditions de retour, Cla construit en fin d’interrogation un trajet en cinq segments (fermés) mais oublie la connexion avec la sixième droite indiquée qui mène à la sortie, après quoi elle rajoute un bâton de liaison.

ThÉ (7 ;10) trouve les deux trajets en I ainsi que le chemin de retour à l’entrée. Pour III elle ne voit qu’un trajet mais en cherche un second sans décision puis propose d’ajouter une connexion avec une des impasses, ce qui assurerait le trajet cyclique. Néanmoins sa construction finale, quoique complexe et assurant un cycle avec huit segments et des angles aigus, droits et obtus, ne comporte pas de connexion avec l’axe de la sortie : « C’est une bonne construction ? — Non. — Qu’est-ce qu’on devrait changer ? — Ajouter deux bâtons (elle ajoute une impasse alors qu’il n’y en avait pas et une médiane inutile puisqu’il y a déjà circularité). » Puis elle propose une sortie de plus et comme on lui rappelle la consigne elle s’aperçoit du fait qu’il manque une connexion avec le segment de sortie.

Et voici pour comparaison quelques cas de l’étape IIB

Sca (8 ;0) trouve d’emblée les deux trajets en I et le retour possible de la souris. En II, par contre, elle reconnaît bien les deux chemins, mais [p. 159] croit exclu le retour « parce que en I il y avait des bifurcations qui menaient dehors », puis elle le revoit (segment 2). En III elle constate son impossibilité réelle par opposition à I et II où « il y a plu, de sorties. — Où ça ? — Plus de chemins ». On lui demande de montrer ^b comment supprimer le retour en II et elle propose d’interrompre le segment 15. Sa construction finale comporte à la fois un cycle (12 segments) et la connexité.

Roc (9 ;1) trouve aussi immédiatement les deux trajets en I et le cycle permettant le retour. En III celui-ci n’est pas possible : « Je crois qu’il n’y a plus un chemin. supplémentaire. » Par contre en II, outre les deux trajets indiqués en I il croit à un troisième par répétition des segments du haut : d’où 1-2-3-10-16-15-14-13-3·4 … 12 et dans la comparaison de II et III il croit voir « plus d’impasses » en III. Sa construction finale comporte non seulement une double connexité avec le segment de sortie mais trois possibilités de retour avec variantes intermédiaires.

Kar (9 ;6) mêmes réactions initiales et voit tout de suite qu’en III « il n’y a pas de chemin » de retour. Sa construction comporte d’emblée la connexité et un projet de cycle mais il manque un élément (sur 10) qu’elle rajoute d’elle-même.

Cor (10 ;1) demande pour le retour de la souris s’il « est permis de faire un cycle » et elle le désigne. En III « il n’existe plus de chemin pour sortir ». La construction finale comporte un retour et la connexité.

Le progrès propre à ces étapes tient donc à la manière dont le sujet domine le système en son ensemble, d’abord dans l’exploration qui porte sur le trajet jusqu’à son terme, et permet de juger rapidement du nombre de chemins, et ensuite dans la caractérisation de leurs formes, cycliques ou linéaires, avec compréhension des connexions à rajouter ou enlever selon le but désiré. A l’étape IIA ces divers aspects ne sont pas immédiatement coordonnés dans la construction finale mais ils le sont en IIB.

Cette prise de possession du système total par enchaînement des bifurcations successives suppose donc une composition des correspondances, que les sujets de l’étape I établissaient de proche en proche, tandis qu’elles sont dorénavant coordonnées rapidement en une anticipation représentative. Cette composition se présente sous une double forme. En premier lieu chaque croisement donnant lieu à une multijection (correspondance de l à 2 ou à 3) la combinaison de 2 ou n multijections est encore une multijection, mais qui augmente chaque fois le nombre total des trajets possibles, y compris le bon mais y compris également les impasses. La seconde forme de composition [p. 160] consiste alors à choisir le bon en écartant d’avance les chemins sans issues : or ce choix, répétons-le, est dicté par le point d’arrivée et non pas par ce qui précède, et est donc précursif et non pas récursif, ce qui suppose une suite d’injections du trajet favorable parmi les possibles. Il y a donc composition des injections, et ici à nouveau deux injections successives donnent encore une injection, mais dont le champ se rétrécit alors proportionnellement au fur et à mesure des compositions au lieu de s’étendre comme dans le cas des multijections. Il va de soi, en outre, que ces injections s’accompagnent de sous-jections, c’est-à-dire de non-correspondances par rapport aux impasses. Mais ni les unes ni les autres de ces compositions ne consistent encore en transformations, puisqu’il ne s’agit que de relier des états constatables dont les propriétés sont données et dont la forme trouvée ne consiste qu’à les dégager.

La seule nouveauté propre à cette dernière étape est la recherche des raisons du système déjà découvert précédemment, donc l’introduction d’une nécessité logique reliant les morphismes à la structure :

Eri (7 ;10 avancé) débute par des réactions du type IIA avec deux erreurs avant l’anticipation des trajets corrects. Mais dès la question du chat on voit apparaître un processus déductif : « La souris doit sauter. — Ce n’est pas permis. — Alors il doit y avoir deux chemins. — Et combien y en a-t-il ici ? — Deux ! » Il y a donc ici introduction de la nécessité logique avant la constatation des faits. Les constructions finales donnent correctement une structure avec cycle comportant le retour et une autre qui l’exclut.

Nic (10 ;7) dit de même que pour échapper au chat il faut « un chemin qui rejointl’autre et qui reconduit à l’entrée » et elle montre que ce n’est pas le cas en III, en indiquant la généralité des impasses en dehors du seul trajet valable.

Rol (10 ;4) voit d’emblée qu’en III le retour n’est pas possible sans demi- tour « parce qu’il n’y a qu’un chemin ». Les deux constructions sont correctes.

La structure à laquelle aboutit cette évolution des correspondances peut être qualifiée de « succession ordonnée d’ouvertures » et elle présente avec les sériations et les emboîtements de classes certains caractères communs et certaines différences. Par rapport à la sériation celles-ci sont au nombre de deux : d’une part, il y a bien comme en toute sériation une succession [p. 161] ordonnée, donc un enchaînement, mais résultant de choix successifs parmi des éléments dont un seul comporte une ouverture et les autres des fermetures et sont donc à écarter ; d’autre part, ce choix n’est pas dicté en fonction des éléments précédents, mais des suivants, le prédécesseur dépendant donc des successeurs jusqu’à l’ouverture finale et non pas l’inverse (précursivité). Quant aux emboîtements de classes, les trajets non valables (impasses lors des bifurcations) pourraient être comparés aux classes complémentaires ou secondaires A’, B’, etc. (en B = A ∪ A’ ; C = B ∪ B’, etc.) et les bifurcations elles-mêmes sont comparables aux dichotomies ou trichotomies, etc., qui interviennent lors des subdivisions de classes, mais la grande différence est alors que la classe emboîtante résulte de la réunion de ces sous-classes ainsi distinguées, tandis que le trajet choisi lors d’une bifurcation parce que comportant une ouverture exclut les trajets secondaires au lieu de s’incorporer à leur réunion ; en outre, on retrouve la différence entre un choix dicté par les successeurs et non pas par les prédécesseurs déjà classés.

La précursivité semble donc constituer une structure opératoire parmi les autres, et caractéristique des systèmes téléonomiques en général ². Elle peut naturellement comporter des variantes comme un accroissement progressif du nombre des ouvertures (structures d’arbre) ou une forme cyclique. En ce dernier cas, qui intervient dans le problème du retour de la souris, la correspondance en jeu consiste à relier le dernier des successeurs du chemin adopté au premier prédécesseur (ou à l’un des premiers), mais l’enchaînement demeure précursif.

Cela dit, il va de soi que cette structure est préparée par les correspondances portant sur les observables, mais le problème qui se pose est d’établir comment et où apparaissent les transformations. Or, le fait décisif à cet égard est, à comparer les étapes I et II, que la démarche préeursive dirigée en sens inverse du chemin à parcourir est loin d’être immédiatement utilisée et que les jeunes sujets commencent au contraire, comme [p. 162] dans le cas d’une sériation, par aller vers l’avant de proche en proche sans se soucier de savoir comment se terminera l’aventure ou, plutôt, avec la conviction que si tout va bien d’un segment au suivant cela ne peut que continuer ainsi. A cet égard la situation est bien différente de celle du chapitre V où pour faire passer des tiges par un trou les jeunes sujets reconnaissaient que, si une grande peut y entrer, les tiges un peu plus petites et voisines peuvent faire de même, mais sans que cela soit admis de l’ensemble des plus petites : en ce cas on est en présence de courts secteurs de sériation, mais qu’il suffira de généraliser inductivement pour les étendre, et qui s’orientent déjà dans la direction de la récursivité opératoire. Dans le présent cas, au contraire, la démarche initiale, qui consiste à aller de l’avant, doit être à un moment donné non pas généralisée, mais renversée en une précursivité pour atteindre le but recherché. Il y a donc là un changement de forme, modifiant l’orientation des correspondances et l’on peut y voir un début de transformation, analogue à ce qu’est la constitution de la réversibilité opératoire.

Mais cela n’intéresse encore que la méthode d’exploration ou de lecture des liaisons. Il reste alors à effectuer la traduction des résultats en une structure et ici le critère de la transformation est, comme d’habitude, la nécessité des compositions. Or c’est elle que l’on voit apparaître à l’étape III, dès 7 ans chez Eri « il doit y avoir deux chemins »), vers 10-11 ans chez la plupart. Ces transformations, et cela dès le renversement de la marche vers l’avant en une précursivité de direction inverse, conférant finalement aux correspondances le rang de morphismes, en tant que conséquences nécessaires d’une structure, et nous croyons avoir montré que la « succession ordonnée d’ouvertures » présente bien les caractères d’une structure opératoire en tant que comportant un ordre nécessaire et les compositions qui en découlent déductivement.