Chapitre V.
Les correspondances entre éléments sériables dans une situation de contenant à contenu ^{1 a} 🔗

Les sujets ne pouvant être classés par étapes communes aux différentes situations, nous examinerons leurs comportements selon ces dernières en les examinant successivement. La première consiste donc à demander que « tous les bâtons » puissent entrer dans la boîte, sans allusion au nombre de trous.

I / Lors d’une première étape le sujet ne tient pas compte des inégalités de longueur entre les bâtons comme s’il les considérait comme équivalents : il choisit alors un trou de grandeur quelconque quoique en général parmi les plus grands et ne constate qu’après coup sa non-correspondance avec les bâtons plus longs.

Ber (3 ;9) dessine correctement les trous lors des épreuves préliminaires sur un plot, lorsqu’on demande le passage de celui-ci à travers le papier, mais lorsqu’on suggère « un trou où on ne peut pas faire passer le plot », elle ne parvient pas à faire un dessin plus petit que son contour, tout en disant et répétant : « Il ne passe pas. » On ne donne ensuite, pour simplifier la tâche, que les bâtons 2, 4, 6 et 8 : elle indique le contour du bâton 2 (trou B) lorsqu’on lui demande que tous les bâtons passent. « Tu peux faire passer un comme ça (bâton 6) ? — Non, un petit (elle reprend le 2). — Et un autre ? — (Elle prend le bâton 8.) — (On dessine le trou H.) Tu crois qu’il va être bon ? — Il va être un peu bon. (Elle essaie.) Ça va. — Les autres bâtons peuvent passer ? — (Elle essaie de faire passer 4 en B, d’où échec et 6 en H d’où réussite.) Non, on ne peut pas. — Et le rouge (6) il peut passer là (H) ? — Oui. — Et pourquoi pas (6) en (B) ? — Il est plus grand. —  [p. 78] Et (2) en (H) ? — Oui. — Comment tu sais ? — Parce qu’il est un peu petit. — Et tous les bâtons ? — (Elle montre H.). »

Mar (3 ;4) pour les bâtons 1, 3, 5 et 7 débute par un trou G, ce qui semble être d’un niveau supérieur, mais lorsqu’on demande si les autres bâtons que 7 peuvent aussi passer par G, il a besoin d’essayer sur 5, 3 et même 1. « Comment sais-tu que ce trou suffit pour tous ? — (Il remet 5 en G.) — Si on fait un trou comme ça (bâton 3) tous peuvent passer ? — Oui. ils peuvent (essaie 5 sur C). Celui-là ne passe pas. — Quel autre ne passe pas ? — Celui-là (7) il passe là (G). — Et dans (C) qu’est-ce qui passe encore ? — Celui-là (1). — Et dans ce trou (on fait A) tous peuvent passer ? — Oui (hésitant). — Tous ? — Celui-là (1). — Et les autres ? — Celui-là (3) peut pas. — Et (5 et 7). — Non. — Comment tu sais ? — … »

On voit que, avant la lecture du résultat des essais, un seul trou, et non nécessairement parmi les grands, peut servir à tous les bâtons, comme si ceux-ci étaient équivalents quant au problème posé et non pas sériables en fonction de leurs inégalités ; d’autre part, l’épreuve de la sériation ne donne lieu, à ce niveau, qu’à la formation de couples (un grand, un petit, etc.). Mar, qui choisit d’abord un grand trou, pense dans la suite que le trou C convient à tous et il lui faut des essais pour le détromper. Ces essais ne s’accompagnent, en général, d’aucune anticipation correcte. Il y a néanmoins ensuite apprentissage progressif, mais bâton par bâton, sans compréhension de la raison générale qu’un trou doit être égal ou plus grand pour le passage des bâtons et exclut toute entrée s’il est plus petit. C’est ce qu’on voit encore nettement lors d’une étape IB, où, à deux ou trois trous correspondent des sous-collections de bâtons caractérisées, non pas par les relations plus grand ou plus petit, mais par les propriétés globales des bâtons répartis en « petits » et « grands » (ou encore « moyens ») :

Ana (3 ;6) pour les deux trous D et F n’y met pas seulement 4 et 6, mais cherche à faire passer 5 en D « parce qu’il (5) est petit » et 8 en F« parce qu’il est grand ». A la fin de l’interrogation elle montre bien G pour tous les bâtons « parce qu’il est plus grand » (sans dire encore « le plus grand ») et remontre le même G pour « un trou qui ne va pas pour tous les bâtons » !

Cependant cette différenciation des grandeurs des bâtons et des trous va entraîner en même temps certains progrès de la sériation, qui deviendra possible avec tâtonnements et l’idée qu’« un trou pour tous les bâtons » comporte comme solution « un trou pour chaque bâton » par correspondance bijective.

[p. 79] II / Cette seconde étape, caractérisée ainsi par la bijection, n’est d’ailleurs pas atteinte d’un coup, mais au travers de réactions intermédiaires, de même que sitôt manifestée elle se prolonge en ébauches des étapes ultérieures (aucune étape n’étant jamais « pure » sauf la dernière) :

Car (4 ;6) aboutit à la bijection par généralisation des conduites IB. Il débute par « un grand rond (trou) comme ça (tour de 7 donnant G). —  Et après ? — On fait un petit (8 pour 2). — On veut qu’à la fin tous les bâtons soient dedans ? — Oui. On fait ça (E pour 5, donc un moyen). — Pourquoi tu l’as choisi ? — C’est pas la même grandeur que celui-là (5 et 7). — Peut-on faire passer d’autres bâtons par ces trous ? — Oui, celui-là (essaie 8 en G), non, un trou pour lui, il est trop grand. — Mais pour les autres ? — D’autres (trous). — On peut se débrouiller avec les trous qu’on a ? — Oui (met 4 en E, 1 en B, 3 en G et 4 en H). » Il y a donc là une sorte de surjection avec les éléments précédents, mais qui ne satisfait pas : « Le bâton 4 passe en (E) ? — Si on coupe ça (= raccourcir le trou E !). — Et si on coupe ce qu’on a déjà dessiné ? » Il passe alors à des bijections et chose intéressante, bien qu’échouant plus tard à l’épreuve de sériations, il procède selon un ordre relatif des bâtons, ascendant pour certains (1 → B, 3 → G, 6 → H, descendant pour d’autres 7 → G, 8 → H, 6 → E corrigé en 5 → E, et 2 → B. Le 7^e « ne va pas » en H mais si on découpe en H « il passe ») : « Peut-on faire moins de trous pour tous ces bâtons ? — Non, on doit avoir comme ça parce que ces trous sont trop petits. — Et puis ? — Et les bâtons ils sont grands », mais il accepte que dans le trou H passent aussi d’autres bâtons : 6 « parce qu’il est trop petit » et même 2 parce qu’alors « on coupe tout (H) comme ça et ils passent dans le trou ».

Oli (4 ;0) avec les bâtons 2, 4, 6, 8 passe par les étapes 1 et 1 B avant d’atteindre 2 : il fait d’abord le trou F avec 6 et pense qu’il vaudra pour « tous les bâtons », Puis il essaie 8 et dit « il faut faire un autre trou. — Comment ? — Petit ou grand ». Il fait H et constate que 6 y passe aussi « et même celui-là (4) et celui-là (2 : sans essayer). — On a besoin d’autres trous ? — On a besoin des autres. — Mais si on veut avoir un seul trou ? — Non un grand, jusqu’ici (il dessine un trou sur toute la longueur de la feuille). — On a besoin d’un si grand trou ? — Non, un petit comme ça (mais le fait trop petit). — Un des deux trous qu’on a coupés va pour tous les bâtons ? — Non (il fait D et B et conclut « 4 → H) est moyen, (2 → B) est tout petit, (6 → H) est moyen et celui-là (8 → G) est grand », ce qui est une sériation par étiquetage.

Sam (5 ;2) contrairement aux précédents fait d’emblée une sériation correcte lors de l’épreuve finale. Au début de l’interrogation, en présence des 8 bâtons, elle fait G pour 8 (les bâtons étant comme toujours en vrac) puis ajoute : « Moi j’ai une idée : on découpe le trou et quand on a fait, on peut passer tous les autres. — Comment ? — (Elle prend 4 et fait le contour.) Je les dessine et après je les fais. » Sam a donc pensé à une bijection et non pas à une surjection en G. « On ne peut pas faire un seul trou qui va pour tous les bâtons ? — Oui (elle serre les bâtons non sériés et les entoure d’un grand [p. 80] trou dessiné en cercle bien au-delà de leurs extrémités). » On fait E : « Il y a d’autres bâtons qui y passent (en plus de 5) ? — Oui, 3, 4, 2 … et même 5. Ah, encore ça (1). — Alors comment faire pour 6, 7 et 8 ? — Il faut un grand, un plus petit, un moyen et un petit. » On limite les bâtons à 2, 4, 6, 8 : « Tu peux faire un trou où tous les 4 peuvent passer un à un ? — C’est très difficile. Il faut faire 4 trous. — Pourquoi 4 ? — J’ai une idée (elle les série en ordre de grandeur). — Mais un seul trou ? — … »

Guy (5 ;5) de même traduit la consigne en « chacun par une fois. — Alors le trou servira pour combien de bâtons ? — Un. — Le trou F, d’autres bâtons peuvent passer par là ? — Oui (5, 4, 3). — Pourquoi ? — Parce qu’ils sont petits. — Alors ils peuvent aussi passer par E ? — Non ».

Fra (5 ;7) : « Pour faire passer tous ces petits bâtons, comment tu feras ? — (Il les compte.) 8 trous. — On peut faire moins que 8 ? — 0n peut faire seulement que 8 parce qu’il n’y a pas plus de bâtons. — Mais on peut faire moins de trous ? — 7 aussi. — Ils suffisent ? — 9 ? Seulement 8. — On peut faire peu de trous pour passer beaucoup de bâtons ? — Non ! (Très catégorique.) » Il dessine H et essaie avec 5 et 6. « Et les autres sans essayer ? — (Essaie quand même encore avec 7.) Oui. — Et pour celui-là (2) ? — Non, il faut faire un plus petit trou (fait B). — Et celui-là (3 dans H) ? — Non, il faut faire un autre trou. — Pourquoi ? — Parce qu’il ne peut pas entrer dans (B). — … — Et puis là (H) ? — Non parce que ça (H) il est grand. — Mais il peut aller dedans ? — Oui. — Alors il faut un autre trou ? — … » Il refuse de même que 5 passe par H, mais ajoute dans la suite spontanément : « Ça (8) c’est le bâton de H et ça aussi (le 7). — Pourquoi ? — C’est presque la même grandeur … et ça aussi (6), il est presque. — Et 5 ? — Non, il faut faire un trou. » Pour 4 il faut D : il essaie cependant, 3, 2, et 1 mais dit chaque fois « Non. — 3 ne va pas ? — Ah ! oui, il est presque la grandeur. — Et d’autres aussi ? — Ça (2 → C) et ça aussi (5 → H) et ça (1 → B). — Et 1 peut passer par 1, 2 ou tous les trous ? — Par celui-là (B). — Et aussi par un autre ? — Non (il essaie 1 sur D). Non, il n’est pas presque la grandeur ! » Fra résume alors : « 8 et 7 → H ; 2 et 1 → B ; 3 et 4 → D ; et 5 et 6 → H. » « C’est tout ce qu’on peut mettre ? — Oui, il n’y en a pas d’autres de la même grandeur. » Fra passe ainsi l’étape III.

Le point de départ de cette étape II est de chercher comme le montrent Cyr et Oli dans les réactions IB où les bâtons, d’abord équivalents (IA) commencent à se différencier en grands, moyens et petits : d’où une continuation de ce processus jusqu’à les voir tous différents et à supposer alors un trou distinct pour chacun. Le point d’arrivée de cette même étape II est, d’autre part, l’étape III où il semble y avoir retour à des équivalences partielles (quelques « presque la même grandeur » pour un même trou). Mais la différence essentielle entre les étapes IB et IIIA est, non seulement qu’en IB prolongé il subsiste des erreurs (Oli choisit un trou trop petit pour « tous ») [p. 81] et des compromis tels que « couper » (c’est-à-dire raccourcir) des trous, mais surtout qu’en IB il s’agit d’un début de différenciation des éléments eux-mêmes, tandis qu’en IIIA il y a début d’intégration en équivalences entre relations (x < Tn, où x est un élément variable et Tn un trou d’un certain rang n), ce qui n’est nullement pareil. Il est à noter en outre qu’il est bien plus facile, une fois un trou constitué, de lui faire correspondre un à un des bâtons plus petits que d’anticiper de telles relations en tant que surjections, ce qui est aussi à considérer dans les différences entre les étapes IB et III. Cette remarque est d’ailleurs de portée générale et s’applique à toutes les étapes sauf la dernière.

Cela dit, la condition principale de la bijection est ainsi la généralisation de la différenciation des éléments, donc une possibilité de sériation (même en cas d’échec comme chez Cyr pour lequel la correspondance sériale semble plus petite que la sériation). Mais la raison de cette même bijection est alors qu’aux grandeurs distinctes des bâtons doivent correspondre des trous distincts, comme si les différences excluaient toute équivalence : d’où la traduction immédiate de « un trou pour chacun » (voir Guy qui explicite cette croyance commune).

Mais il y a plus que cela et le sujet Fra montre clairement l’intervention d’un autre facteur, assez intéressant et en fait fréquemment à l’œuvre : c’est l’idée que si un bâton ne peut pas entrer dans un petit trou il ne doit pas non plus passer par un plus grand (cf. « seulement » 8 trous « par confusion » de « pas plus » et de « pas moins » ; ou H n’est pas le trou adéquat pour 3 puisqu’il ne passe pas en B). Autrement dit le fait que 3 n’entre pas en B marque son individualité (= différent de tous les autres), d’où la conservation de celle-ci lorsqu’il s’agit de trous plus grands. Bien entendu, si l’on présentait aux sujets un petit bâton isolé et un trou plus grand, ils accepteraient que le passage est possible, mais la bijection des bâtons et des trous, propre à cette étape, pousse l’enfant à croire qu’un seul trou est adéquat à un bâton, l’individualisation de celui-ci excluant les plus grands trous comme les plus petits, d’où une sorte de fausse symétrie qui l’emporte sur la considération des grandeurs croissantes et surtout de leur transitivité. Il y a donc là une indifférenciation relative des deux sens de parcours < et > dont nous verrons d’autres effets.

[p. 82] Néanmoins ces sujets parviennent enfin à faire admettre à un trou les éléments un peu plus petits quand ils ont « presque la grandeur », mais sans généralisation aux autres. Comme on le verra à propos de l’étape V (sériation opératoire et non plus empirique), cela est dû au manque de transitivité et de récurrence, sinon « presque la même grandeur » s’étendrait de proche en proche à « tous ».

III/La troisième étape est donc celle des débuts de la surjection (auxquels vient d’aboutir Fra), mais, comme les éléments choisis pour un même trou ne sont pas toujours contigus, il faut plus d’un trou pour tous les bâtons, d’autant plus que la méthode demeure celle des tâtonnements sans nécessité anticipée (et la plupart du temps en débutant par des bijections) :

FrÉ (5 ;9) débute par la bijection. « Peut-on faire moins de trous. — Ça (5) ça peul aller là (G). — Et encore ? — Ça (2), celui-là (1) il peut aller aussi, et celui-là aussi (6 dans G). — Alors ce trou va pour tous ? — Oui », puis elle découvre que 8 ne passe pas et fait H : « On peut savoir sans essayer si tous passent par H ou est-ce nécessaire ? — C’est nécessaire (et elle essaie 6 dans H, alors qu’elle vient de constater qu’il entre dans G !). »

ElÉ (6 ;0) débute aussi par la bijection : « On fait chaque même grandeur » et « si on enlève celui-là (F) celui-là (6) ne peut pas entrer », ni 4 « s’il n’a pas de trou ». Mais ensuite à la question « on peut en faire moins ? Elé découvre qu’on peut ramener les trous à 4 (H, E, F, G) parce que les autres bâtons « ils sont petits ils peuvent quand même entrer ». Après quoi elle découvre qu’on peut ramener les trous à 2 (G et H).«  On peut faire moins que 2 ? — Non, parce que si on enlève le trou H, le (8) ne peut pas rentrer. — Et si on enlève le G ? — (Découverte !) Tous peuvent rentrer dans (H) ! — Pourquoi ? — Parce qu’il est grand. »

Ced (6 ;6) projette une bijection et construit H, G, F pour 8, 7, 6. « Ils vont pour les autres bâtons ? — Non … oui (il applique 5 sur F, 2 sur H et 4 sur G). — Alors tous les bâtons peuvent aller dans ces trois trous ? — Oui, parce qu’il y a un grand, un moyen et un petit. » Ensuite il découvre qu’« on garde ça (H et G) parce qu’ils sont plus grand » et enfin, mais sur nouvelle question il se rallie comme Elé à H seul.

L’argument qui pourrait servir de raison générale à ces sujets de l’étape III est le suivant : il faut plus d’un trou parce que les grands bâtons ne peuvent pas entrer dans les petits trous, d’où la nécessité de grands et de petits trous. Il saute, en effet, aux yeux que ces sujets, pourtant capables de sériation empirique (elle est même en général spontanément construite), [p. 83] ne dominent encore ni la transitivité, ni les inférences récursives. Fré croit indispensable (et encore à la fin de l’interrogation) de vérifier que tous les bâtons entrent bien dans H, alors qu’elle vient de découvrir qu’ils entrent en G et qu’elle a construit H pour 8, donc pour avoir H > G. Elé, après avoir ramené les trous à 4, puis à 2 seulement, H et G, les croit tous deux nécessaires parce que 8 n’entre pas dans G. En un mot, puisque les grands bâtons ne sauraient entrer dans les petits trous, ceux-ci s’imposent donc. Ce raisonnement surprenant nous fait du même coup comprendre en quoi le défaut de transitivité ou de récursivité est lié à une sorte d’indifférenciation initiale des deux sens de parcours, comme si le sujet imposait une fausse symétrie aux relations antisymétriques > et <, sans comprendre l’asymétrie fondamentale selon laquelle les petits seuls entrent dans les petits trous tandis que les petits et les grands passent par les grands trous.

IV / Avec l’étape IV deux progrès corrélatifs sont décisifs : la compréhension du fait que pour quelques bâtons le trou commun doit correspondre au plus long d’entre eux et l’arrivée par tâtonnements au trou unique H. Il s’y ajoute, mais sans être général, le caractère contigu des éléments initialement réunis en petits groupes.

Sal (6 ;5) débute encore par la bijection : il faut « 8 trous parce qu’il y a 8 bâtons. — On peut faire moins de trous ? — On peut pas parce qu’il y a 8 bâtons ». Mais après avoir construit le trou H et refusé d’y faire entrer 7 et 6 et surtout 1 « parce qu’il est trop petit », elle s’avise qu’« il va parce qu’il est petit » et réunit d’une part 1 à 6 puis 7 et 8 et conclut que H étant « plus grand… il suffit parce que les autres sont plus petits ».

Nat (6 ;8) propose 5 puis 4 trous pour 5-6, 1-2, 4-3 et 8-7 et pour chaque trou « on choisit toujours le plus grand. — Est-ce qu’il y a un bâton qui peut passer par toutes les fentes ? — Le petit vert (1). — Et d’autres ? — Et aussi celui-là (2). Ils sont petits ». — Et d’autres ? — Le (3) parce qu’il est un tout tout petit peu petit ». Puis a près avoir essayé 5 dans D : « Non, c’est trop grand, il n’y a que ces trois (1, 2, 3) qui peuvent passer dans tout et que celui-là (4) qui va en D, F, H. — Alors on peut faire moins de trous que quatre ? — On peut : rien qu’un celui-là. (H). — Pourquoi ? — On est obligé ( !) autrement les grands ils ne peuvent pas passer par là et par là (F, D et B). »

Did (7 ;0) : « 8 trous parce qu’il y a 8 bâtons. — On peut faire moins ? — Oui, sept : celui-là (5) il est plus grand alors on peut passer (2) dans (5). Tous ceux qui sont plus petits que les autres, on peut les faire passer dans les autres trous. — Alors combien de trous ? — Quatre (il veut dire deux pour [p. 84] quatre bâtons) parce que ceux-là (7, 8, 6, 5) sont plus grands que ceux-là (4, 1, 3, 2). » Puis il série de façon contiguë 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 et les compte : « Ces sept sont assez grands pour que celui-là (A) passe. — C’est possible de faire moins ? — Oui deux… — Deux ? — Oui, deux ou un (8). Je crois que celui-ci (7) est plus petit que celui-là (8). — Alors un suffit ? — Oui, parce que tous ceux-là (1-7) sont plus petits que celui-là (8). »

San (7 ;3) de même débute par des bijections et passe à des couples (donc 4 trous) puis montre que les bâtons 1 à 6 entrent dans F, puis ajoute le couple 7-8 et conclut que le trou H suffit « parce que c’est le plus grand de tous ».

On voit que, débutant presque tous par la bijection puis passant à des couples ou à de petits ensembles, ces sujets obéissent alors aussitôt à un principe que Nat énonce en disant que pour chaque trou « on choisit toujours (le bâton) le plus grand » et Did : « Tous ceux qui sont plus petits que les autres, on peut les faire passer » dans les trous supérieurs, d’où naturellement la découverte finale de la suffisance du seul trou H. On constate ainsi que le principe invoqué n’est autre qu’un début de transitivité, mais que ce qui manque encore est une récurrence remontant de 8 à 1 ou suivant l’ordre inverse. Les deux ordres de parcours sont par contre d’emblée distingués, avec reconnaissance mais seulement finale de leur réciprocité au sein de l’antisymétrie.

V / La dernière étape, débutant souvent dès 6 ans, mais générale à partir de 7-8 ans est celle de la compréhension immédiate :

Lan (5 ;8 avancé) dit d’emblée que pour faire entrer tous les bâtons il faut un trou « long comme ça (8), il y a tous qui peuvent passer (sans essais) ».

Ina (6 ;0) serre les bâtons verticalement mais sans ordre pour juger des grandeurs et fait un trou carré« parce que c’est pour le plus grand ». Ce trou a, en effet, la hauteur du plus grand bâton, mais aussi une largeur telle que tous puissent y entrer côte à côte.

Phi (6 ;8) construit le même carré et quand on lui demande d’économiser le papier, fait une fente H en disant « il suffit comme ça parce que (8) c’est le plus grand de tous ».

Yve (7 ;7) : « On prend le plus grand, on fait un trou et il peut (faire) passer tous les bâtons. »

La récurrence est désormais à l’œuvre dès le départ. On se souvient qu’à l’étape IV le sujet avait besoin de passer par des [p. 85] classes disjointes et cela malgré sa capacité de sériation (voir Did à 7 ;0 qui construit les classes 1 à 4 et 5 à 8), chacune de ces classes comportant la transitivité mais sans récurrence d’emblée générale. En revanche les sujets de l’étape V sont devenus capables de saisir d’emblée qu’en une sériation telle que α < β < γ < δ) < … il y a inclusions successives des classes que l’on en peut tirer sous la forme (α) ⊂ (α ∪ β) ⊂ (α ∪ β ∪ γ) ⊂ … , la classe totale correspondant au trou H par surjection immédiate de ses éléments.

Le problème, qui consiste ici à déterminer un trou pour n éléments (1, 3, 5 ou 6) seulement (« que seulement n bâtons puissent passer ») s’avère plus difficile que le précédent puisqu’il s’agit de délimiter un sous-ensemble en opposition avec d’autres et non plus de trouver des relations générales. Il en résulte que les étapes observées ne coïncident pas entièrement, du moins chez les mêmes sujets, avec les précédentes, les conditions étant autres. Les trois conditions nécessaires et suffisantes pour résoudre ces nouveaux problèmes sont, en effet : 1) que les n bâtons à choisir soient les plus petits ; 2) qu’ils soient contigus, sinon les intermédiaires oubliés s’ajouteront aux autres ; 3) que le trou à ouvrir ne soit pas seulement susceptible de laisser passer le plus long bâton des n, mais encore qu’il ne soit pas plus grand que lui, sinon il laissera passer n + n’ éléments, les n’ pouvant s’ajouter aux n désignés. Or les six étapes observées (sauf celle de la bijection) sont relatives à la coordination progressive de ces trois conditions, compte tenu des décalages possibles selon les valeurs de n.

1 / La première étape, qui est ici celle de la bijection, n’a pas d’intérêt comme telle puisqu’elle résulte d’une déformation de la consigne : par exemple « un trou pour 2 bâtons seulement, pas pour les autres » traduit en « un trou pour chacun des deux bâtons ». Mais chez les jeunes sujets il est fréquent qu’ils choisissent les éléments les plus petits, ce qui n’est pas le cas aux étapes II, III et IV et soulève un problème. Voici des exemples :

Cyr (4 ;6). Un trou pour seulement deux bâtons : il montre sans hésiter 1 et 2 puis dessine les trous A et B « parce qu’ils sont tout petits et ils sont deux. — Et pour un seul bâton ? — Un petit ».

[p. 86]Sam (5 ;2). Un trou pour trois : elle prend 1, 2, 3 et veut faire trois trous puis, pour un seul trou, fait C. Pour seulement cinq bâtons, elle donne 8, 7, 6, 5, 1 mais ne sait pas quel trou faire et se décide pour C.

On voit que ni la contiguïté, ni le trou du plus grand élément ne sont respectés, mais que pour deux ou trois bâtons ces sujets choisissent les plus petits. Cette compréhension apparente des plus jeunes sujets est probablement due au fait que le choix des « petits » nombres (1 à 3) évoque pour eux les « petits » bâtons : un indice en faveur de cette interprétation est que, quand on passe à de plus grands nombres, ils débutent (comme Sam et d’autres) par les plus grands éléments, dans l’ordre descendant et non plus ascendant.

II / L’étape suivante est caractérisée par le choix de n éléments quelconques (et non plus les plus petits), non forcément contigus et avec un trou plus long que le plus grand des bâtons :

Dan (5 ;8) donne entre autres 8, 7 et 4 pour trois seulement et énumère les restants (2, 5, 1, 3 puis 6) sans y voir de problème. On redemande trois seulement et on ajoute : « Le trou sera grand ou petit ? — Grand ! » Puis il désigne le trou H pour 7, 1 et 2. Enfin il trouve 1, 2, 3 mais montre aussi 5, 4 et 6 pour le trou F en maintenant que 1, 2, 3 vont également.

StÉ (5 ;10) réunit 3, 5 et 8 et montre le reste. « Mais trois seulement. — Je n’ai pas d’idée. — Comment il doit être ? — Petit et faire passer que les petits ou bien grand et faire passer seulement les grands. » Pour six bâtons elle donne 8, 7, 6, 5, 3, 2 en les tenant debout, mais elle passe à 8, 4, 1, 5, 7, 3 en ajoutant : « Celui-là (8) est trop grand et celui-là (3) trop petit. — Mais comme ça ? — Celui-là (8) peut pas passer (en H !) ! »

Aucune des conditions n’est ainsi remplie.

III / A cette étape les sujets voulant construire un trou adapté non seulement au plus grand bâton de SK ² mais en même temps aux autres (puisqu’il y a sous-classe définie par le cardinal indiqué 3, 4 ou 6 et non plus collection de bâtons individuels) construit un trou bien adapté aux grandeurs mais qui, au lieu d’une fente, est une véritable enveloppe :

Viv (6 ;3) pour trois bâtons seulement ne cherche pas les plus petits mais indique 8, 7 et 6, les met côte à côte et fait le tour des trois à la fois en un rectangle bien ajusté aux grandeurs : elle les retourne même (

[p. 87] en

) pour vérifier l’ajustement. Après quoi elle propose 8, 6 et 2 (oubliant la contiguïté) et les entoure d’une figure (voir ci-contre fig. 1 puis 2) qui est une enveloppe adaptée à leur détail, puis propose 5, 6 et 7 et construit l’enveloppe n° 3. Pour six bâtons elle construit l’enveloppe n° 4 et conclut avec assurance « Les autres peuvent pas passer », SK’ étant ainsi délimité spatialement.

 

Ced (6 ;6), de même, pour trois bâtons, choisit 8, 7 et 6 et les entoure d’un trou rectangulaire. Pour un seul bâton il commence par un trou environ équivalent à C et montre que 2 et 1 y passent. « On veut un trou pour un seul. — … — Il doit être petit ou grand pour laisser passer un seul bâton ? — … » On voit l’éloquence de ces silences.

Cette étape III (par laquelle ne passent pas nécessairement tous les sujets) semble résulter du fait que l’enfant, au lieu d’assembler des éléments quelconques comme à l’étape II, commence à voir, dans les trois ou six bâtons demandés (pour un trou dans lequel ils seront « seuls » à entrer), une sous-classe SK de l’ensemble total K des bâtons. Effectivement, un début de contiguïté se manifeste à cette étape. Cela étant, c’est en vue de cette sous-classe entière qu’ils cherchent à faire le trou qui prend alors la forme d’un enveloppement. Quant à comprendre le pourquoi de celui-ci ainsi que la tendance quasi générale en cette situation II (étapes II à V) à faire un trou trop grand, nous y reviendrons à propos de l’étape IV.

IV / Cette quatrième étape marque un progrès quant à la contiguïté, mais non pas en ce qui concerne les deux autres [p. 88] conditions. Il faut par ailleurs se rappeler le fait que presque tous les sujets parcourent au moins deux étapes, davantage encore que pour la situation I :

Cec (6 ;1) pour trois bâtons choisit 4, 3 et 2 en faisant un trou E (correspondant à 5). Pour six bâtons elle donne 5, 2, 3, 4, 6 puis corrige l’ordre.

Did (7 ;0) pour un seul bâton hésite entre 6 et 3 et retient 3 en vérifiant que « (4, 5, 6) ils vont pas. Celui-là (2) oui, il y a deux qui peuvent y aller. Mais on avait dit un seul bâton, alors (1) il faut que je le supprime et le mette avec les grands ( !). — Et un trou pour zéro bâton, où aucun n’y entre ? — (Il prend la mesure de 1, donc le trou A !) ». Pour trois bâtons : « (1, 2, 3), non ! (6, 8, 5, 3) », le 8 servant à déterminer le trou, et il précise ensuite que, pour un trou comme E (= 5), le bâton 5 « ne passe pas … peut-être ? » et que pour 2, 1, 3 avec trou C « il n’y a que les deux (1 et 2) qui passent ». De même : « Je fais déjà le trou de ce bâton (7 donc G) », puis il réunit les trois : « Ceux-là (6, 4 et 5) » comme si 7 n’entrait pas dans le trou G qu’il vient de construire grâce à lui.

Cette difficulté, non rencontrée dans la situation I (§ 1) à décider si un élément x fait partie ou non du sous-ensemble entrant dans le trou Tx construit avec cet x, n’est que l’un des aspects d’une difficulté plus générale (et levée aux seules étapes supérieures), à déduire d’une sous-classe de 3, 5 ou 6 éléments la sous-classe complémentaire des bâtons n’entrant pas dans le même trou (mais ici le problème interfère avec ceux de la situation I). Par exemple un sujet de ce niveau, devant faire une sous-classe de trois choisit le trou E dans lequel entrent 5, 4, 3, 2, 1 : pour arriver à trois il commence alors par éliminer 1 et 2, tandis que d’autres élimineraient 5 et 4 ou 5 et 1 (comme Sté à l’étape II élimine 8 et 3 de la suite 8, 4, 1, 5, 7, 3).

Le problème reste donc d’expliquer le refus d’englober x dans la sous-classe entrant en Tx et la solution pourrait être la suivante. On demande au sujet de construire une sous-classe SK comprenant « seulement » 1, 3, 5 ou 6 éléments passant par le même trou : il s’agit alors de trouver les éléments correspondant par surjection à SK et d’éliminer la complémentaire SK’. Mais par cela même il s’agit de faire une injection de la sous-classe SK dans la classe totale K, injection dont la réciproque est une sousjection permettant d’écarter SK’. Or cette élimination suppose une frontière entre SK et SK’ et c’est précisément cette frontière qui fait défaut car, comme on vient de le voir, il y a difficulté générale à savoir ce qu’il [p. 89] faut écarter (« ce qui n’entre pas » dans le trou convenant à SK). Autrement dit nous constatons une fois de plus que la sous-jection est plus malaisée à dominer que l’injection. En ce cas, faute de frontière fixe entre SK et SK’ la surjection elle-même de certains éléments en SK ne pourra pas comporter de réciproque déterminée donc de correspondance 1 à plusieurs entre SK et ses éléments. En de telles conditions nous savons par ailleurs qu’au lieu de caractériser un tout (ici SK) par la somme de ses éléments (fondée sur la multijection), il le sera par un enveloppement distinct de cette somme : telle semble être la raison du fait que pour une sous-classe dont le plus grand élément est x le sujet choisisse un trou supérieur à Tx et capable d’envelopper tous ses répondants. Le trou trop grand, propre à cette étape, constituerait ainsi la suite logique de l’enveloppe propre à l’étape III.

V / L’étape V marque un progrès décisif : les éléments choisis pour seulement trois ou six bâtons sont toujours les plus petits, et contigus, mais on observe encore un résidu des conduites précédentes en ce que pour n bâtons dont le plus grand est x le trou ne sera pas Tx mais Tx + 1, c’est-à-dire le suivant :

Lau (5 ;8) (étape V dans la situation I : § 1) pour six bâtons désigne 1-6 et fait le trou G correspondant à 7 qu’il n’y fait pas entrer.

Sab (6 ;5) pour cinq bâtons donne 1-5 mais fait un trou avec le tour du 6. Pour quatre le trou est E, correspondant à 5, que Sab ne compte pas. De même on lui présente le trou D et elle dit qu’il comporte 1-3 à titre d’ensemble de 3.

Il va de soi que ces sujets qui réussissent les questions de la situation I savent fort bien que l’élément écarté peut passer par le trou Tx + 1, mais comme il s’agit d’une sous-classe SK et non pas de bâtons isolés ils jugent encore utile de donner à cette sous-classe une frontière déterminée par le trou Tx + 1 de rang immédiatement supérieur à x.

VI / Enfin vient l’étape où les trois conditions sont remplies : contiguïté, éléments les plus petits et trou correspondant au plus grand d’entre eux :

Dav (6 ;9) pour un seul bâton donne sans hésiter 1 « parce que c’est le plus petit ». Pour trois il donne 3, 2, 1 avec pour mesurant le trou C : « Il ne peut [p. 90] passer que les trois, — Pourquoi ? — Parce qu’avant (situation I), j’avais mis 8, 7… 2, 1 : si j’enlève les trois (3, 2, 1) ils peuvent passer et ces cinq (4 à 8) ne peuvent pas passer. » Pour six il donne de même 1-6 en écartant 7 et 8, avec pour mesurant F.

Au total, on voit ainsi la plus grande complexité de ces problèmes due à l’emboîtement des sous-classes et aux correspondances réciproques qu’il suppose. Nous y reviendrons dans les conclusions.

Il va s’agir maintenant, étant donné dans la consigne les trous C et F correspondant aux bâtons 3 et 6, de trouver : 1) un bâton qui entre dans les deux, soit CF ; 2) un élément qui ne passe par aucun des deux, donc ; 3) un bâton qui entre en F mais pas en C, donc F ; 4) un bâton qui passe par C mais pas par F, donc C, situation impossible. Nous retrouvons ici six étapes, dont les deux premières sont caractérisées par l’incapacité de relier C et F en un tout simultané et les suivantes à leur coordination progressive, mais il va de soi qu’il y a décalage entre les réussites aux trois questions.

I et II / A l’étape I l’enfant déforme la consigne en ne tenant compte que d’un seul des deux trous indiqués ou, ce qu’on peut parfois observer jusqu’à 5 ans, à inverser « un même bâton pour les deux trous » en « plusieurs bâtons pour le même trou ». A l’étape II, le sujet place simplement un bâton par trou (bijection) :

Ber (3 ;9) pour les trous B et F donne les bâtons 2 pour B et 6 pour F. «  Mais je pense à un seul bâton qui peut passer par (B) et aussi par là (F). » Ber met 2 pour B, et 6 en F. Pour BF, Ber donne 6 mais se borne à dire qu’il passe en F, en oubliant B. « Je pense à un autre bâton qui va en (F) et pas en (B). — Pas celui-là (2) mais celui-là (6) », ce qui est cette fois correct. On reprend alors « un même bâton qui va pour les deux trous » et elle montre à nouveau 2 pour B et 6 pour F.

Sam (5 ;2) pour les trous B et D applique 2 sur D et 1 sur B. Pour le passage en B mais non en D elle traduit la consigne en deux exclusions B et D et montre 7 pour D et 6 pour B. « Mais avec un seul bâton ? » Elle prend 3 et l’applique successivement sur B et D, mais n’est pas satisfaite et revient à la bijection : 4 en D et 2 en B. Pour « un seul bâton qui passe dans (A) et dans (B) », elle montre de même 2 pour B et 1 pour A. « Et qui passe dans B mais pas dans A ? — Celui-là (2, donc juste). » De même elle trouve d’emblée 8 pour ni A ni B.

[p. 91]Fra (5 ;7) pour C et F montre 3 et 6 par bijection. « Mais je pense à un seul. — Ça (3) parce que c’est la grandeur de ça (C) » : elle oublie F puis montre 6. Pour ni C ni F elle applique 6 contre C et 3 contre F pour montrer qu’ils n’entrent pas. « Mais je pense à un seul bâton. — Alors 3 (puis prend 2 et enfin 1) parce que ce n’est pas la grandeur (2 et 1 ne sont pas « adéquats » à F ni à C). »

La bijection présente ici une signification un peu différente de celle qu’elle avait dans la situation I, où il s’agissait surtout d’individualiser des éléments jusque-là appréhendés également, tandis que chez les présents sujets la difficulté est de tenir compte des deux trois à la fois. La première raison de la bijection est alors de juxtaposer simplement des relations à établir d’abord en successif. Mais il y a plus : une seconde raison est que les bâtons entrant en B ou en C forment une sous-classe de ceux qui entrent en F et que la tendance du sujet est naturellement de transformer cette inclusion en une dualité de classes disjointes. La troisième raison est que, comme on l’a vu au § 1, un élément n’entre pas dans un trou, soit parce que celui-ci est trop petit, mais soit aussi parce qu’il est trop grand et que le bâton ne lui convient donc pas : voir ici Fra déjà cité au § 1 à ce point de vue et qui ici refuse que 3, 2 et 1 conviennent au passage par F. En ces conditions il est naturellement plus sûr de bijecter chaque bâton en son trou correspondant et d’écarter les autres.

Cette tendance à l’élimination, si visible chez les jeunes sujets du § 1, n’implique donc pas, à proprement parler, une négation construite par le sujet, mais une sorte de résistance de l’objet. D’où la facilité relative (et au premier abord surprenante) de la question « ni C ni F » que Sam résout d’emblée en désignant 8 > F tandis que Fra en reste à 3, 2 ou 1, inadéquats à F. Alors que « C et F » « F et non-C » supposent des inclusions, « ni C ni F » peut donc être traité par un jeu plus facile (dont le sujet abuse même) de relations d’inadéquations.

III / L’étape suivante est celle du passage de la bijection aux débuts de la surjection :

Oli (4 ;0) à la consigne B et F montre 8 pour F et 2 pour B puis se corrige et indique 2 « parce qu’il peut entrer dans les deux ». Ni B ni F : met immédiatement le 8 « parce qu’il est grand ». Par contre pour F et non-B, il traduit en « ni F ni B » et redonne 8, ou en « F et B » et redonne 2 puis il semble comprendre en indiquant 6 mais propose à nouveau 2 « ça aussi ».

[p. 92]Car (5 ;8). B et G : donne 2 pour B et 7 pour G. « Mais je pense à un seul bâton. — Alors le (2) il peut passer là et là. — Maintenant (ni B ni G). — Celui-là (8) il ne passe pas là et non plus là. — Et qui passe dans G et pas dans B ? — Le (7). — Et un autre ? — Le (2) il peut passer dans ce trou (B) et pas là (G : non adéquat !). — Mais il passe dans G ? — Oui il peut. Alors un autre ? — (4). »

FrÉ (5 ;9), trous C et E : débute par des erreurs dans la situation « C et non-E », puis songe à des bijections pour C et E : « Je veux un seul bâton, le même. — Celui-là (4) parce qu’il est petit. — Et (ni C ni E) ? — (Montre immédiatement le 8) Parce qu’il est grand. — Et encore d’autres ? — 7… 6 il va pas dans (C). — Trouve un bâton qui va pour les deux trous. — (5), non (2, 3, 1), parce qu’ils sont petits. »

Ced (6 ;6) pour C et F commence par 3 en C et 6 en F puis 3 pour les deux. « Il y en a d’autres ? — Non (série d’essais). — Et ça (2) ? — Non il est trop petit. — Mais il passe ? — Oui (il ajoute alors 1). — (Pour ni C ni F, il montre 5 et 7.) Mais un seul ? — (6) et (3). — Mais qui ne passe pas ici ni là ? — 7 et 8. — Maintenant (F et non-C) ? — Celui-là (3 : donc C et F). — Qu’est-ce que j’ai demandé ? — (Montre 3, 2 et finalement 6.) — Il y en a d’autres ? — (8). »

Man (7 ;1) pour Cet F donne 1, 2, 3 pour le premier et 4, 5, 6 pour l’autre. « Mais un seul ? — Alors (1) ou (2) ou (3). — Dans F et pas dans C ? — Celui-là (8). Non, on ne peut pas être sûr : peut-être 7 ou 6 ? (Enfin 6 et 5 puis 4 avec essai.) — (Ni C ni F) ? — Ces deux (7 et 8). — Dans (C) et pas dans (F) ? » Il n’aperçoit pas l’absurdité et écarte 3 qui passe dans les deux et 7 dans aucun : « Alors (7) », puis 3 : « Il va tout juste en C et le trou F est trop grand pour lui. — Il en existe pour C et non F ? — Ah non, tous ceux qui passent ici (C) sont plus petits qu’ici (F) et peuvent passer. »

La question la plus facile reste visiblement celle de « ni C ni F », pour les raisons déjà vues (seul Ced tâtonne avant de trouver 7 et 8). Pour « C et F », il y a toujours d’abord bijection, puis solution parfois finalement exhaustive (Fré et Man). Quant au problème « F et pas C », le plus difficile, Oli le transforme en ni C ni F puis en C et F et ne le résout finalement pas, malgré une réussite presque entrevue. Le sujet Car recourt à l’inadéquation (2 ne convient pas à G) et échoue finalement. Ced finit par trouver 6 et se trompe ensuite. Fré et Man tâtonnent avant de réussir approximativement et ce dernier ne trouve pas à lui seul l’absurdité de F et non-C.

IV / A l’étape suivante la surjection est recherchée d’emblée mais avec tâtonnements n’aboutissant pas aux sous-classes en tant que telles (1, 2, 3 pour FC et 4, 5, 6 pour F non-C) du moins en ce qui concerne « F non-C » :

[p. 93]Sab (6 ;5) pour F et D montre 3. « Il y en a d’autres ? — Oui (1). — Et encore ? — (2) — Et d’autres ? — (Oublie 4 et essaie 5.) Non, il n’y a pas d’autres. — Et pour (F) mais pas (D) ? — … — Il y a des bâtons comme ça ? — Non. — Pourquoi ? — Parce que (5) est trop grand pour (D). —  Alors il va ? — Oui. — Et d’autres ? — Oui, celui-là (1 puis 3)… non, parce qu’ils vont tous là (D). » « Ni F ni D : montre d’emblée 7 et 8. » Pour D et pas F elle cherche : « Il y en a ? — (Signe de tête négatif mais essaie quand même avec 4 et 6.) Non parce qu’ils passent dans le grand trou. »

Mur (6 ;0). F et non-C : elle montre 7 et 8. « Ils passent en (F) ? Non celui-là (6). — Et d’autres ? — Non, celui-là seulement (essaie 5 et 4 sur C et F). Tous ceux-là (4, 5, 6, 7, 8). — Tous ? — (Essaie à nouveau 7 et 8.) Non, seulement (4, 5, 6). — (Ni C ni F) ? — (Hésite puis 7 et 8.) — (C et F) ? — Tous ceux-là (1 à 5). — Tous ? — Non (1 à 4). — Tous ceux-là ? — Oui parce que ceux-là (8, 7, 5, 6) ne passent ni là ni là (ni C ni F !), celui-là (2) dans (F et C) et celui-là (1 dans les deux). » Les classes sont donc en partie fausses mais pour C et non-F Mur voit qu’« il n’y en a pas ! ».

Rin (7 ;2). E et non-C : « Celui-là (5) ne peut pas aller là (C). — D’autres ? — (6) euh ! (7), essais non concluants, puis celui-là (4). — (F et C) ? — Le (5). — Il peut dans les deux ? — Non, celui-là (3). — Un autre ? — (1 et 2). — Et ni C ni E ? — Celui-là (8). — Et d’autres ? — (7 et 6). — Pourquoi ? — Parce qu’ils sont plus grands que (E). »

On voit que pour F et C il y a d’emblée surjection ou acceptation de sa possibilité, mais erronée ou non exhaustive, contrairement à ni F ni C. Quant à F et non-C, question qui s’avère à nouveau un peu plus difficile, Mur débute par des erreurs, et Sab croit même d’abord à une impossibilité. Rin procède par tâtonnements.

V / A l’étape V, l’exhaustivité est atteinte pour « F et non-C » comme pour F et C mais par choix successifs et sans anticipation :

ElÉ (6 ;0). C et F : « Celui-là (3 : vérifie). — Et d’autres ? (2 et 1). — Ni C ni F ? — Celui-là (8) et celui-là (7). — (F et non-C) ? — Celui-là (5) ; non, il n’y en a pas, parce que celui qui peut aller dans (C) peut aussi aller dans (F). »

Cec (6 ;1). F et C : « Celui-là (3). — D’autres ? — (2 et 1) parce qu’ils sont petits. — Et un bâton qui va dans (F) ? — Et pas dans celui-là (C) ! — Oui, c’est ça. — (Prend 7 et l’écarte, puis choisit 6.) — Puis celui-là (5). — D’autres ? — (4). J’ai tout montré (4, 5, 6). » Ni C ni F : immédiat. C et pas F : « Ça se peut pas ! »

Did (7 ;0). C et F :« Celui-là (1). — D’autres ? — 4, ah ! non (sans essai) 2. Je suis sûr qu’il passe, parce qu’il est plus petit que (C et F) et puis (3). —  [p. 94] D’autres ? — Aucun autre ne peut passer, ces trois seulement : 1, 2, 3. — F et non-C ? — Celui-là, ah ! non, 6, 5, 4. Il n’y a que deux qui vont pas : 7 et 8. — Et d’autres ? — Non, ceux-là (1,2,3) ils sont plus petits que ça (C) et 7, 8 plus grands. — C et non-F ? — Aucun ! »

On voit le progrès sur les niveaux précédents et Did finit par atteindre l’étape V.

VI | A cette dernière étape, les solutions de C et F et F et non-C sont l’une et l’autre exhaustives et anticipées :

StÉ (5 ;10). C et D : « 1. — Un autre ? — 3. Il y a 3 bâtons qui peuvent passer dans les deux : 1, 2, 3. — Et F mais non-C ? — Ça peut être encore 3 bâtons : 6, 5, 4. — C’est tout ? — Oui. 5 est plus grand que C mais plus petit que F. Le 4 aussi. — Ni C ni F ? — Il n’y a que deux (7 et 8). — C et non-F ? — Aucun : s’il passe ici (C) il passerait aussi là (F). »

Dav (6 ;9). C et F : « Celui-là (3) et même ceux-ci (1, 2). — F et non-C ? — 6 et aussi 5 et 4 : seulement ces trois. — Pourquoi ? — 7 et 8 sont plus grands, 4, 5, 6 sont plus grands que C et plus petits que F. — Ni C ni F ? — 7 et 8. — C et pas F ? — (Il rit.) S’il peut entrer ici (C) il peut aussi entrer là (F). »

Il est ainsi clair que les bâtons désignés par ces sujets (toujours correctement) sont réunis dès l’anticipation en sous-classes : (SK) A qui entrent en C ; (SK) A’ = en F mais pas en C ; B (A + A’) en F ; et B’ non en F. Mais avant d’en discuter il reste un dernier problème à examiner.

On a vu le rôle que jouaient en bien des réactions les difficultés à coordonner les deux sens de parcours < < < … et > > > … selon leur réciprocité, et tout d’abord à les différencier avec système sans mélanger les deux sortes de relations. Il a donc paru intéressant de poser la question suivante : étant donné qu’il y a, en notre série de bâtons, sept éléments plus grands que le premier, combien y en a-t-il de plus petits que le dernier ?

I / Or, chose surprenante, on trouve encore à 6 et même 7 ans des sujets qui ne résolvent pas le problème :

ElÉ (6 ;0) qui atteint pourtant l’étape III du § 1 et qui fait sans hésiter une série correcte de 1 à 8 répond bien à la question : « Combien de plus grands que le plus petit ? — Tous, sauf lui, sept. — Et de plus petits que le plus grand ? — (Elle essaie de compter, ce qu’on empêche.) J’sais pas. — Alors compte. — (Elle le fait à nouveau de 2 à 8)… — Mais les autres ils ne sont pas plus petits que celui-là (8) ? — Ils sont plus grands que celui-là (1). »

[p. 95]Ced (6 ;6) : « Combien sont plus petits que 8 ? — Sept. — Et combien plus grands que 1 ? — Ça (Il montre les autres et essaie de compter mais s’embrouille et ne peut donc pas répondre). » Après le comptage réussi : « Comment ça se fait qu’il y a 7 plus grands et 7 plus petits ? — Ils ne sont pas de la même grandeur. »

San (7 ;3, étape IV du § 1 !) : « Combien de plus petits que celui-là (8) ? — (Les compte) sept. — Et combien de plus grands que (1) ? — Je ne sais pas. » — Combien en tout ? — Huit. — Et combien de plus grands que celui-là (1) ? — (Il doit les compter) Sept. — Comment ça se fait ? — On a enlevé un ici et ici aussi. » (C’est l’argument de l’étape III mais qui sera utilisé, comme nous le verrons, dès l’anticipation.)

On voit ainsi qu’il n’y a pour ces sujets aucune nécessité à ce que, dans une série donnée, il y ait autant de « plus petits » que de « plus grands » éléments, ce qui explique bien des choses dans les réactions initiales aux situations I à III. Pour certains sujets le bâton 2 ne rentre même pas dans les « plus petits » :

Oli (4 ;0) pour les bâtons 2, 4, 6 et 8 : « Combien de plus grands que (2) ? — Trois (il les montre). — Et combien de plus petits que (8) ? — Deux (6 et 4). — Et celui-là (2) ? — Il est minuscule. »

Ce sujet a d’ailleurs raison si l’on prend les termes de « grands » et « petits » en des sens absolus et non pas relatifs.

II / Lors d’une seconde étape le problème n’est toujours pas résolu, mais un léger progrès se marque par l’affirmation de l’identité de la classe totale, qu’on la répartisse en (1) + x ou en (8) + x. Seulement cela n’entraîne pas pour autant la certitude que les x soient de même nombre dans les deux sens :

Sab (6 ;5) : « Plus grands que le petit ? — (Les prend dans la main et compte) sept. — Et plus petits que le plus grand (on cache) ? — … — On ne peut pas savoir sans compter ? — … — (On enlève le cache.) — Tous ! — Combien plus grands que le petit ? — Tous (elle recompte) Sept. — Et combien de plus petits ? — Tous (elle compte) Sept. — Comment ça se fait ? — Parce qu’on prend celui-ci (8) et après on le repose et on prend celui-là (1, qu’on remet après). »

Il y a donc ici une réaction intermédiaire entre la non-égalité possible des < et des > et la permanence du « tous » qui devrait l’assurer ³.

[p. 96] III / Il s’ensuit alors l’étape qui en découle logiquement : le nombre est le même dans les deux sens, non pas à cause de la réciprocité nécessaire des relations, mais parce que dans les deux cas on a enlevé un élément :

StÉ (5 ;10) conclut d’emblée à sept et sept « parce qu’on en a ôté qu’un. Si on avait ôté deux il y aurait 6 (et 6) ».

Cec (6 ;1) compte en ascendant : « Sept. — Et plus petits que le plus grand ? — Euh … sept. — Comment savoir ? — Parce qu’il y en a chaque fois huit et on en enlève un. »

Did (7 ;0) : « Il y en a huit. Si j’en enlève un (le 8) ça fait sept et si j’ôte (1) ça fait sept. »

Il n’y a donc pas là de référence aux relations elles-mêmes.

IV / Par contre, l’enfant de l’étape suivante se centre sur les relations et sur la nécessité opératoire de leur réciprocité :

Lau (5 ;8 avancé) indique « sept » plus petits que 8 et sans compter « sept qui seront plus grands »… « parce qu’on les met une fois d’un côté avec le 8 comme étant plus grand que 1 et une fois de l’autre côté comme étant plus petits que 8 ».

Viv (6 ;8) : « Tous ceux-là sept : c’est le contraire, la même chose que l’autre mais à l’envers. »

Man (7 ;1) : « Sept = sept parce que 8 est le plus grand de tous et le 1 le plus petit de tous : pas besoin de compter ! »

On voit que l’égalité du nombre des relations ou des éléments eux-mêmes n’est acquise en tant que nécessaire qu’une fois dominée la réciprocité des converses.

Rappelons d’abord que nous nommons « correspondances » les mises en relations répétables ou transférables, à partir des correspondances incomplètes précédant les « applications » et jusqu’aux morphismes. Seront dites « applications » les correspondances exhaustives à gauche et univoques à droite. Appelons « prémorphismes » les applications ne portant pas seulement sur des termes en extension ou sur leurs propriétés prédicatives, mais aussi sur les relations qu’ils soutiennent entre eux à gauche et sont retrouvées à droite. Enfin, les morphismes sont des correspondances conservant les structures (donc « toutes » [p. 97] les relations à considérer), ce qui revient à les supposer non seulement conditionnées mais encore déterminées par les compositions structurales, d’où la possibilité de « morphismes transformationnels ».

1 / Cela dit, nous constatons d’abord qu’aux dernières étapes des situations étudiées (étape V du § l, VI des § § 2 et 3) nous avons bien à faire à des morphismes déterminés par les transformations ou compositions opératoires liées aux structures de sériations simples ou doubles. Ces transformations, reconnaissables grâce à nos six critères habituels (voir l’introduction à ce chapitre), sont essentiellement les suivantes. Les premières sont liées à la récursivité, que l’on peut définir par la possibilité de déduire ⁴ chaque terme d’une série au moyen des précédents :

H = A + ε (ΔAB + ΔBC + … + ΔGH)

d’où X = H — εΔXH

où A, B, C, etc., sont les longueurs des bâtons mesurées à leur pourtour et Δ la différence entre un terme et le suivant. Cette différence Δ comporte une signification psychogénétique très concrète que l’enfant exprime par le terme de « dépassement » et il arrive que nos sujets, pour dire que x > y déclare que x « dépasse » y. Mais cela ne signifie naturellement pas qu’il sache d’emblée composer les dépassements entre eux (Δxz = Δxy + Δyz) et, comme on le verra sous 2), il est au contraire probable qu’aux débuts un plus grand dépassement, et même un dépassement égal mais entre éléments plus grands, leur paraissent d’une autre nature qu’un dépassement entre petits éléments. Cette hétérogénéité des dépassements semble indiquer que si, par exemple, le bâton 8 n’entre pas en B parce que trop grand et que 2 n’entre pas en H parce que ce trou ne lui est pas adéquat, ces deux significations sont moins différentes qu’il ne paraît et impliquent dans les deux cas la présence d’un trop grand écart entre le bâton et le trou pour permettre leurs mises en relation. La récursivité n’est donc naturellement pas comprise par les jeunes sujets et est remplacée par une fausse symétrie selon laquelle, du fait qu’un grand bâton ne passe pas par un petit trou ils semblent en inférer [p. 98] que les petits bâtons n’entrent pas non plus dans les grands trous et qu’il faut ainsi des petits et des grands trous. De même la négligence de la contiguïté dans la solution des problèmes III est un indice de cette non-récursivité.

En second lieu, il y a les transformations liées à l’intervention de la transitivité, en particulier à propos de ces problèmes III : si un bâton passe par le trou C il passe nécessairement aussi par F :

C < F si C < D, D < E et E < F.

Les étapes I-III et en partie IV du § 1 témoignent de l’incompréhension d’une telle transitivité et il importe donc de distinguer celle-ci de la simple transférabilité. Lorsque le sujet croit qu’il est nécessaire de construire plusieurs trous, par exemple deux et fait entrer 1, 2, 3 en C comme 6, 7, 8 en H il y a transférabilité de la relation « passer par un trou plus grand » mais pas encore de transitivité qui permettrait de se contenter du seul trou H.

Une troisième transformation est la réciprocité non pas des correspondances elles-mêmes (comme la surjection et sa réciprocité la multijection), mais des relations sériales dans le sens ascendant (1 → 8) et descendant (1 ← 8). Le § 4 nous a montré le caractère opératoire et tardif de cette conversion, avec sa propriété de nécessité logique (« toute » relation x < y implique sa converse y > x). Or, on constate sa négligence initiale, puisque les jeunes sujets commencent par mélanger les deux sens de parcours (ce qui renforce l’illusion de l’utilité des petits trous dans la situation I), avant de pouvoir les différencier et les coordonner en une intégration cohérente.

Une quatrième forme de composition opératoire, d’ailleurs liée aux précédentes, est la construction de sous-classes SK à l’intérieur du tout K avec les relations d’inclusion qu’elles comportent. Il convient, en effet, de se rappeler que les surjections et injections à elles seules ne suffisent pas à la constitution de classes, ne connaissant que les extensions « au moins un » ou « au plus un » ; les classes supposant donc en plus une opération de colligation ou de réunion avec sa réversibilité (+ et — ) et ses lois de composition (SK + SK’ = K, etc.) qui caractérisent le « groupement » des classifications. Or les difficultés des problèmes III et déjà II (§ § 2 et 3) [p. 99] montrent assez la nature transformationnelle et tardive de ces compositions.

Une dernière transformation à distinguer est la négation en tant que construite par le sujet. Il ne s’agit donc pas de la simple résistance des objets, comme dans les réussites précoces où l’enfant désigne les bâtons 7 et 8 pour ceux qui n’entrent pas dans les trous C ni F, parce qu ‘il lui suffit alors de montrer les plus grands bâtons. Il s’agit de négations portant sur des sous-classes, comme dans le cas des éléments entrant en F mais pas en C, et où la construction de cette sous-classe SK’ suppose deux négations, l’une par rapport à SK (entrée en C) et l’autre par rapport aux éléments > F, donc 7 et 8. Or, ici il nouveau la négation n’est pas réductible à de simples correspondances, qui sont toujours positives, la sous-jection n’exprimant qu’une absence d’application, tandis que la négation opératoire suppose un jeu d’inclusions, avec les réunions et soustractions qu’elles impliquent. Il est à noter à cet égard l’apparition, aux dernières étapes, d’expressions négatives non utilisées jusque-là : « le 3 n’est pas plus grand que le 8 », etc.

Au total, ces cinq transformations semblent former un système cohérent : deux d’entre elles relèvent de la logique des classes : c’est la construction de sous-classes avec les négations partielles qu’elles comportent par rapport à leurs complémentaires. Deux autres tiennent à la logique des relations : la transitivité des inégalités et la réciprocité des deux sens de parcours. Ces quatre formes distinctes sont enfin dominées par la récursivité. Notons enfin que toutes les cinq sont caractéristiques du niveau de début des opérations concrètes, ce qui n’exclut pas, comme nous allons le voir, une certaine préparation dès les niveaux préopératoires, sous l’action des prémorphismes se constituant à ces étapes.

2 / Les transformations étant ainsi caractérisées, nous constatons que les morphismes au sens strict, qui interviennent dans la solution de nos problèmes (surjections ou injections anticipées, ou bijections déduites dans le cas de l’égalité des < et des >), sont dirigés par elles, mais que ces transformations elles-mêmes ne se constituent que pas à pas et sont préparées par des prémorphismes. C’est ainsi qu’une fois les correspondances globales de l’étape I (dans la situation I) remplacées par [p. 100] un début de différenciation (IB) les bijections qui en résultent (étape II) favorisent les premiers essais de sériations qui constituent une ébauche de transformation.

Seulement les bijections ne suffisent naturellement pas à cela et il faut que le sujet y ajoute des relations d’ordre assignant à chacun des éléments une position dans la série. Mais une condition préalable de la constitution de ce prémorphisme du successeur (où la relation entre un terme et son successeur est constatée en fonction des grandeurs perceptibles et non pas construite opératoirement comme dans l’itération n + 1) est que ces relations de succession soient homogènes. Or, on a quelques raisons de douter que pour les jeunes sujets les relations < entre deux éléments soient les mêmes pour tous les couples, indépendamment des termes eux-mêmes ⁵, et surtout que la relation x1 < x2 soit de même nature que x1 < x5 en tant que la différence entre x1 et x2 intervient à titre de composante dans la relation entre x1 et x5 (ce qui préparerait la récursivité et la transitivité). S’il en est ainsi il va de soi que la composition des relations en est rendue difficile et qu’un prémorphisme de mise en correspondance entre les relations elles-mêmes (favorisant puis généralisant leur transférabilité) est indispensable à sa préparation, la constitution de ce prémorphisme supposant un ensemble d’essais et de constatations.

Ces conditions une fois remplies, les appuis mutuels, mais toujours encore alternés, entre de tels prémorphismes et les débuts de transformation (sériation) se multiplient et conduisent à la formation des surjections (étape III) permettant de faire correspondre plusieurs bâtons à un même trou, en attendant qu’à l’étape IV ce trou corresponde au plus grand des bâtons réunis et finalement au plus grand de tous. Ce sont alors ces progrès dans les prémorphismes successifs qui favorisent l’élaboration de la récursivité et de la transitivité opératoires qui, à l’étape V, déterminent en ce cas les morphismes au sens strict.

Ce passage des prémorphismes aux morphismes terminaux et des débuts de transformations à une structure opératoire complète est entre autres caractérisé par deux modifications [p. 101] fondamentales. La première est la substitution du « simultané » aux constatations « successives ». Au niveau des prémorphismes le simultané se réduit à la constatation d’une relation isolée, en général de différence, tandis que les mises en relation multiples ne sont que successives et, initialement, avec absence de sens ou direction dans le parcours de la série. Au niveau opératoire, il y a par contre simultanéité des mises en relation en une représentation d’ensemble tenant compte des deux sens ascendant et descendant. En outre, et ceci est essentiel, morphismes et transformations ne sont plus en rapport de simple alternance mais constituent un tout simultané. A cela s’ajoute cette différence essentielle que les prémorphismes ne sont qu’obligés par les constatations successives, tandis que les morphismes et transformations accèdent, à l’étape V qui est celle des surjections anticipées, à un niveau de nécessité logique.

3 / A passer à la situation II, on a vu que trois sortes de correspondances sont à établir pour résoudre les problèmes posés. La première est le prémorphisme du successeur qualitatif, assurant la contiguïté (étape IV comme dans la situation I). La seconde est celle qui permet au sujet de constater que seule une série d’éléments contigus commençant par les plus petits bâtons permet de les faire entrer dans un trou spécifique (les plus grands devant être écartés). Cette mise en correspondance limitative (étape V) s’appuie naturellement sur la récursivité et la transitivité naissantes, une fois celles-ci ébauchées, mais auparavant elle les prépare au cours d’une suite d’essais et de constatations encore indispensables à la formation de ces prémorphismes. Quant à la troisième, elle conduit à déterminer un trou de grandeur égale et non pas supérieure à celle du plus grand élément choisi. On a vu que ce problème est résolu à l’étape VI seulement parce qu’auparavant la surjection des bâtons réunis en une sous-classe SK et l’injection de celle-ci dans le tout K ne s’accompagnent pas encore de leurs réciproques sous-jective et multijective, ce qui conduit à conférer à ce trou la forme d’un enveloppement englobant du dehors, sans se borner à les réunir, les éléments assemblés. En ce cas les prémorphismes contribuent à préparer la construction opératoire des sous-classes et de leurs inclusions (alors que la tendance initiale est de procéder par classes disjointes) ainsi que l’élaboration [p. 102] également opératoire du « tous » et du « quelques » (alors que les prémorphismes procèdent de façon successive sur le « chaque »).

4 / Mais c’est à l’occasion de la situation III que les relations entre morphismes et transformations sont les plus claires. On se rappelle que la question la plus facile est de trouver les bâtons qui n’entrent ni en C ni en F ; puis vient (mais bien après) la désignation de ceux qui entrent à la fois en C et en F ; et la question la plus difficile est relative à ceux qui passent en F mais non pas en C. Or, la solution du premier de ces problèmes ne consiste qu’à éliminer les plus grands éléments (7 et 8) en suivant l’ordre ascendant de la série. La solution de F et C à la fois comporte par contre l’appartenance des bâtons choisis à une sous-classe, elle-même incluse dans le tout : il s’agit alors d’un choix qui est fonction des deux sens de parcours ascendant et descendant. Il en est de même de la question F et non-C, mais avec en plus l’obligation de fixer deux limites, donc de constituer une sorte d’intersection.

La liaison entre cette dernière question et les sens de parcours est encore plus frappante lorsque l’on compare les réponses à celles du problème du § 4 (égalité numérique des plus petits et des plus grands). Ceux des sujets qui échouent à ce problème (voir Ced et Sab) présentent à la question F et non-C des réactions tâtonnantes et des erreurs : confusion avec F et C et avec ni C ni F, difficulté à considérer les seuls éléments à la fois plus petits que F et plus grands que C et incompréhension du caractère nécessaire des relations en jeu. En revanche, la solution immédiate et anticipée de la question du nombre est présentée par les sujets qui, en grande majorité, parviennent à la même nécessité dans la solution de F et non-C.

Il semble donc exister un lien entre la transitivité et la réciprocité de > et des <, toutes deux s’affirmant opératoirement au dernier niveau et ne se constituant qu’à cette étape sous forme de transformation nécessaire. Pour ce qui est de la réciprocité, on le voit clairement au § 4 avec les sujets de 7 ans environ. Quant à la transitivité opératoire, le critère le plus sûr est la réaction à la question C et non-F : si, aux étapes précédentes, le sujet parvient par essais à la constatation de l’impossibilité de fait, ce n’est qu’aux étapes finales qu’il voit d’emblée la contradiction entre le passage par un petit trou [p. 103] et le blocage en un plus grand. Or, le rapport entre la réciprocité et cette transitivité est à chercher dans la récursivité : si H = A + ΔAB + ΔBC + … + ΔGH, cela entraîne, d’une part, la transitivité, mais cela implique aussi, d’autre part, la possibilité d’enlever les différences Δ aussi bien que les ajouter, d’où la réciprocité des > et des < que les correspondances ne sauraient assurer à elles seules. De plus, c’est cette récursivité qui permet la traduction d’une sériation en classes emboîtées : si A < B < C, etc., on a aussi A ⊂ (A + B) ⊂ (A + B + C), etc., ce qui est nécessaire pour la solution opératoire des problèmes II, III et IV (§ § 2 à 4).

En un mot, les prémorphismes préparent les transformations, par voie de constatations fondées par les essais ; et les transformations, une fois constituées sous la forme d’opérations et non plus seulement d’actions transformantes, locales et partielles (donc préopératoires), remplacent les prémorphismes, simplement obligés par les contenus observés, par des morphismes nécessaires, en tant que leur forme est imposée à titre de résultats des opérations en jeu. Il faut, en effet, bien comprendre qu’avant le niveau des transformations opératoires (récursivité, transitivité et réciprocité complètes avec construction de classes emboîtées et de négations) il en existe de préopératoires, partielles, locales et sans nécessité faute de fermeture, et que leur constitution est due aux prémorphismes, bien que ceux-ci ne résultent d’abord que des comparaisons entre états, avant de lier ceux-ci aux actions transformantes, et avant qu’ils ne se constituent en morphismes stricts une fois intégrés dans les structures opératoires. On trouve donc à tous les paliers, des correspondances et des transformations, mais leurs rapports se modifient d’un palier au suivant avec inversion de sens lors de l’intégration finale. Néanmoins, avant cette fusion terminale, on peut dire que si chaque transformation partielle doit être préparée par des prémorphismes, c’est elle qui conduit à la découverte des suivants : de façon générale ce sont donc les transformations, même préopératoires, qui constituent le moteur principal du progrès d’une étape à l’autre (sauf en ce qui concerne les simples généralisations extensionnelles d’une correspondance d’abord incomplète) ⁶.