Recherches sur les correspondances ()
Chapitre premier.
Correspondances et coordinateurs dans les débuts du dessin 1
a
đ
On peut assigner deux sources complĂ©mentaires aux correspondances dĂ©butant dĂšs la pĂ©riode sensori-motrice. Lâune est lâactivitĂ© assimilatrice des schĂšmes dâactions, qui les applique Ă des objets ou situations analogues aux prĂ©cĂ©dents et les met donc en correspondance avec ces derniers, mais en fonction de schĂšmes dĂ©jĂ constituĂ©s ou en voie dâĂ©laboration, ce qui revient Ă dire selon une polarisation centrĂ©e sur le sujet. Lâautre est Ă chercher dans les processus accommodateurs, les correspondances Ă©tant alors imposĂ©es par les propriĂ©tĂ©s de lâobjet. Or, comme lâaccommodation se prĂ©sente sous une forme maximale dans les conduites dâimitation, la mise en correspondance de la copie et du modĂšle joue alors un rĂŽle particuliĂšrement important, puisque sa fidĂ©litĂ©, qui peut faire problĂšme, est, en ce cas, spontanĂ©ment recherchĂ©e par le sujet quoique (ou parce que) centrĂ©e sur lâobjet. Sans remonter aux niveaux sensori-moteurs, nous avons voulu Ă©tudier la formation de telles correspondances dans cette forme particuliĂšre dâactivitĂ© imitatrice quâest le dessin lorsquâil se prĂ©sente en tant que copie dâun modĂšle.
§ 1. Position du problĂšmeđ
Nos modĂšles Ă©tant de difficultĂ©s inĂ©gales, les copies exigeront une Ă©laboration graduelle relevant soit de la technique de lâacte graphomoteur, soit de la conceptualisation du modĂšle pour en dĂ©gager les propriĂ©tĂ©s gĂ©omĂ©triques. Dans les deux cas il sâagit de construire ou de corriger des schĂšmes dâaction et notre problĂšme sera surtout dâanalyser le mĂ©canisme de cette structuration, condition prĂ©alable de la mise en correspondance elle-mĂȘme, sous la forme dâune copie correcte. En ce sens nous allons donc Ă©tudier la genĂšse de certaines correspondances et cette formation soulĂšve alors la question des coordinateurs.
Rappelons que nous appelons « coordinateurs » les aspects fonctionnels gĂ©nĂ©raux de la formation et de lâexercice des schĂšmes dâassimilation. Ils ne constituent donc pas des facteurs causaux antĂ©rieurs Ă ces schĂšmes : par exemple, tout schĂšme est issu de la rĂ©pĂ©tition dâune action et lâon peut parler Ă cet Ă©gard dâun coordinateur de rĂ©pĂ©tition, mais il nây a pas dâexistence avant ce fonctionnement, dont il se borne Ă traduire un aspect gĂ©nĂ©ral mais Ă titre immanent. Par contre, il est source ou facteur de mises en correspondances, puisque câest cette rĂ©pĂ©tition qui en entraĂźne la formation. Il en sera de mĂȘme des autres coordinateurs, dâenveloppement, de rĂ©union, de direction, etc., dont le modĂšle prĂ©sentĂ©, de maniĂšre Ă en assurer une copie par correspondance conforme, ce qui prend quelques bonnes annĂ©es jusque, par exemple, Ă la construction de la rectilinĂ©aritĂ© (75 % des sujets Ă 5-6 ans seulement).
Mais alors le problĂšme qui va se poser Ă nous sera le suivant : dans les recherches ultĂ©rieures (chap. III, etc.), nous serons conduits Ă une distinction essentielle entre les correspondances ou morphismes qui relient les Ă©tats, sans les modifier, et les transformations dont procĂšdent ces Ă©tats et qui relĂšvent dâactions transformantes ou dâopĂ©rations comportant une dynamique Ă©trangĂšre aux correspondances de dĂ©part. Nous constaterons en outre lâexistence de trois grands paliers (et, en les subdivisant, de six) quant aux rapports entre les correspondances et les transformations : alors que, sur le premier, les correspondances prĂ©parent simplement la comprĂ©hension des transformations, mais sans les engendrer, au second il y a appuis rĂ©ciproques et au troisiĂšme le systĂšme des transformations devenu opĂ©ratoire engendre ses propres morphismes et avec nĂ©cessitĂ© sans plus se contenter de comparaisons entre observables donnĂ©s du dehors. Or, dans la prĂ©sente recherche, lorsque le sujet Ă©choue Ă copier une figure rectiligne et quâil lui faut se livrer Ă toute une structuration, de nature naturellement constructive, pour parvenir Ă une correspondance exacte, faut-il dĂ©jĂ parler de transformations, et, si oui, ne sommes-nous pas dans une situation qui rappelle le troisiĂšme et non pas le premier des paliers prĂ©cĂ©dents ?
Câest ici que la notion des coordinateurs se montre utile par le double rĂŽle quâils sont appelĂ©s Ă jouer. A lui seul, un coordinateur en tant quâaspect fonctionnel de lâĂ©laboration et de lâexercice dâun schĂšme dâassimilation est source de correspondances en tant que le schĂšme sâapplique Ă ses objets habituels (dâoĂč la « rĂ©pĂ©tition » de lâacte et lâ« identification » des objets) ou Ă de nouveaux objets (dâoĂč le « remplacement »). Mais les coordinateurs jouent un autre rĂŽle, car si chacun dâentre eux est source de correspondances par ses applications centrifuges, ils peuvent aussi se composer entre eux et en engendrer de nouvelles formes selon une direction centripĂšte. Ce double mouvement dâextĂ©riorisation (application des schĂšmes) et dâintĂ©riorisation (coordination ou composition des schĂšmes entre eux) fait ainsi des coordinateurs la source commune des correspondances et des transformations et il nâest pas surprenant que leurs voies commencent par diverger puisque les premiĂšres sont centrĂ©es sur lâobjet et ses observables et les secondes sur les activitĂ©s du sujet, ni que leur rĂ©union finale ne dĂ©bute que par actions rĂ©ciproques, mais alternĂ©es, et ne sâimpose que tardivement puisquâil sâagira alors de remplacer les liaisons exogĂšnes par des reconstructions endogĂšnes.
Cela dit, la différence principales entre les débuts de transformations dus à la composition des coordinateurs et les transformations opératoires (palier débutant à 7-8 ans) engendrant avec nécessité leurs propres morphismes est que, en ce dernier cas, les transformations sont préparées par des correspondances indispensables à leur compréhension progressive, tandis que, comme nous allons le voir, les compositions de coordinateurs ne sont pas préparées par les correspondances initiales, mais bien par leurs échecs (ou déformations du modÚle) 2 obligeant à construire des coordinateurs différenciés.
§ 2. Technique et Ă©tapes observĂ©esđ
40 sujets ont Ă©tĂ© examinĂ©s de 1 Ă 6-8 ans, les premiers au moyen de figures variĂ©es selon les besoins avec entre autres des droites : // ou // ou â , et les autres avec les 7 figures ci-dessous. LâexpĂ©rimentateur fait lâun des dessins devant lâenfant sur le haut dâune feuille puis on le prie de faire « ici (bas de la feuille) exactement le mĂȘme dessin ». La copie obtenue, on demande si elle est « tout Ă fait la mĂȘme chose » et on laisse faire de nouveaux essais. Ces figures sont caractĂ©risĂ©es par un certain nombre de propriĂ©tĂ©s : fermeture (pour toutes), voisinage par contiguĂŻtĂ© (5), sĂ©paration (2), courbure ou rectilinĂ©aritĂ© (2), croisement (3 et 4), intersection (6) et mĂ©lange de courbure et de pointe (7).

Or, comme on pouvait sây attendre, ces propriĂ©tĂ©s ne sont pas atteintes aux mĂȘmes Ăąges et on peut distinguer trois Ă©tapes, une fois dĂ©passĂ© le simple gribouillis. Lors de la premiĂšre il y a prise en considĂ©ration de la fermeture ou de la courbure (avec distinction graphique des courbes non fermĂ©es comme nous lâavons vu jadis). La seconde Ă©tape est marquĂ©e par les sĂ©parations et contiguĂŻtĂ©s suivies de prĂšs par les intersections et croisements (de 3 ;6 Ă 4 ;6 environ), puis enfin seulement (troisiĂšme Ă©tape) par la rectilinĂ©aritĂ©. La question sera donc dâessayer de comprendre cette Ă©volution par le jeu des compositions entre coordinateurs.
La difficultĂ© est naturellement dâabord de faire la part de ce qui tient Ă la maladresse graphomotrice des sujets et de ce qui rĂ©sulte en leurs dessins dâun effort rĂ©el de mise en correspondance. Mais, de façon gĂ©nĂ©rale, la loi selon laquelle les dessins des jeunes sujets traduisent moins la perception spatiale du modĂšle que lâidĂ©e quâils sâen donnent implique une forme en partie conceptualisĂ©e de mise en relation et il est alors relativement facile de saisir les intentions du sujet sous ses hĂ©sitations graphiques. En second lieu, deux sortes de comportements sont instructifs, qui dĂ©butent entre la phase initiale de gribouillis et les premiers dessins adaptĂ©s, mais qui persistent souvent au-delĂ . Lâun est le marquage qui consiste Ă faire le dessin de copie sur le modĂšle lui-mĂȘme, en sa totalitĂ©, ou Ă partir de son intĂ©rieur pour le relier par des traits Ă ce qui devrait ĂȘtre sa copie (entre autres) Ă 1 ;10 et 2 ;6, etc.) ou encore Ă marquer sur le modĂšle les indices significatifs Ă retenir : un sujet de 2 ;7 inscrit par exemple sur la figure 2 deux sortes de taches proches lâune de lâautre sur la circonfĂ©rence, tandis quâil les place Ă deux des angles du carré ; pour la figure 7 il en met une sur le contour circulaire et une dans la pointe, quâil relie par un trait Ă une mĂȘme tache sur la copie, laquelle recouvre dâailleurs en partie le modĂšle. En un tel cas la maladresse graphique nâempĂȘche pas de discerner les intentions diffĂ©renciĂ©es de la mise en correspondance, dâautant plus que ces conduites, comme la suivante, se prolongent souvent par le geste, aux Ăąges ultĂ©rieurs, sans plus de marquage graphique.
Un autre comportement instructif consiste Ă entourer dâun ou plusieurs traits la figure Ă copier, soit sur son pourtour, soit, ce qui est Ă noter, en un enveloppement plus large, dont la signification semble alors plus conceptuelle que spatiale : le sujet Lau (2 ;6), par exemple, entoure le modĂšle de la figure 5 dâun tracĂ© circulaire se poursuivant en trois rotations successives et de surface intĂ©rieure au moins six fois plus grande que celle des deux cercles rĂ©unis Ă copier ; or, ce large enveloppement (17 cm de diamĂštre contre 5,5 pour lâun des cercles modĂšles) se prolonge finalement en une ligne qui en sort sur une dizaine de centimĂštres et conduit Ă la copie (une seule courbe fermĂ©e de trĂšs petite surface), laquelle se prolonge elle-mĂȘme en un quasi-droite de 15 cm qui rend Ă ramener Ă lâenveloppement.
§ 3. La signification de lâenveloppementđ
Ce beau cas nous conduit au principal rĂ©sultat de cette petite recherche : que toutes les correspondances observĂ©es, en leurs progrĂšs, sont dues Ă des compositions de lâenveloppement avec dâautres coordinateurs, Ă lâexception de la rectilinĂ©aritĂ©, sans doute parce que la droite est la seule ligne qui, Ă elle seule (sauf naturellement Ă composer plusieurs droites, comme dans les polygones), nâaboutit Ă aucun enveloppement ; quant aux correspondances lacunaires ou erronĂ©es, abondantes pour les figures 2 Ă 7, elles sont rĂ©ciproquement dues Ă lâabsence de telles compositions, autrement dit Ă la supposition que lâenveloppement Ă lui seul suffit Ă tout.
1 / Lâenveloppement constitue effectivement un schĂšme trĂšs gĂ©nĂ©ral dont la fonction est de confĂ©rer une totalitĂ© Ă un objet (y compris une figure) ou Ă une collection, ou encore dâattribuer ce caractĂšre de totalitĂ© Ă lâensemble des Ă©lĂ©ments qui entourent cet objet ou cette collection (par voisinage spatial ou par un acte de colligation comme une classe gĂ©nĂ©rale englobant des sous-classes). Il est donc normal que, sous ses formes Ă©lĂ©mentaires, lâenveloppement constitue un coordinateur, source de correspondances (par ses applications) ou de compositions (par diffĂ©renciations ou par conjonctions avec dâautres coordinateurs).
Rappelons seulement que les enveloppements dont il va ĂȘtre question ne reprĂ©sentent quâune forme particuliĂšre parmi quatre possibles selon les deux dichotomies prĂ©opĂ©ratoires ou opĂ©ratoires et infralogiques (continu et voisinages) ou logico-arithmĂ©tiques (collections dâobjets discrets rĂ©unis selon leurs Ă©quivalences ou diffĂ©rences). Les enveloppements opĂ©ratoires ne nous concernent point ici, leurs caractĂšres Ă©tant essentiellement quantitatifs (quantitĂ© totale Ă©gale Ă la somme des parties et se conservant lors des changements de forme). Quant aux enveloppements prĂ©opĂ©ratoires, ils peuvent porter sur des Ă©lĂ©ments discrets (telle une rangĂ©e de jetons dont la quantitĂ© est censĂ©e augmenter si on lâallonge en espaçant les unitĂ©s), ce qui ne nous intĂ©resse pas non plus en cette recherche, ou sur des totalitĂ©s infralogiques et notamment spatiales, ce qui est le cas de nos figures.
Mais, cela Ă©tant, il convient de distinguer deux significations dans les utilisations que font nos sujets dâĂ©tapes I et II de leur notion dâenveloppement. Il y a, dâune part, le sens spĂ©cifiquement spatial dâun entourage continu et comportant une fermeture. Il y a longtemps dĂ©jĂ que lâun de nous a montrĂ© avec B. Inhelder la nature topologique des premiĂšres reprĂ©sentations spatiales de lâenfant, avant quâil parvienne aux intuitions euclidiennes et projectives, et, dâun tel point de vue, le caractĂšre primitif et trĂšs prĂ©gnant des courbes fermĂ©es va de soi lors des dĂ©buts du dessin. Nous ne reviendrons donc pas sur cet aspect.
En revanche, lâenveloppement comme coordinateur joue un rĂŽle bien plus gĂ©nĂ©ral et de nature Ă la fois organisatrice et quasi conceptuelle (en un sens parent du « rĂ©alisme intellectuel » de Luquet) : câest le postulat selon lequel la figure forme un
tout malgrĂ© les diffĂ©rences entre ses parties avec leurs articulations. Autrement dit, il sâagit dâun coordinateur dâintĂ©gration et, sur le terrain spatial, celle-ci se traduit par la caractĂ©risation dâune forme dâensemble. Mais, partout oĂč existent un tout, des parties et leurs articulations, un mĂȘme problĂšme se retrouve dâĂ©quilibre Ă assurer entre lâintĂ©gration et la diffĂ©renciation, et câest pour le rĂ©soudre quâil sâagira pour le sujet de composer lâenveloppement (affirmant lâexistence dâun enveloppant) avec dâautres coordinateurs susceptibles de prĂ©ciser les articulations entre les parties, donc les relations entre Ă©lĂ©ments enveloppĂ©s, et leur rapport avec le tout. Seulement comme cette composition ne saurait ĂȘtre immĂ©diate nous retrouvons ici, mais sur un plan exclusivement qualitatif, une dualitĂ© analogue Ă celle qui, du point de vue quantitatif, sĂ©pare les enveloppements prĂ©opĂ©ratoires (oĂč la quantitĂ© totale est autre que la somme des parties) et opĂ©ratoires (oĂč il y a rĂ©duction entre deux, les articulations en jeu comportant alors entre autres lâadditivitĂ©). Au plan qualitatif (et donc bien antĂ©rieur) oĂč nous nous trouvons situĂ©s, la question est dâĂ©tablir si lâenveloppant, en tant que forme totale, est autre chose que la rĂ©union des articulations qui unissent les unes aux autres les parties enveloppĂ©es, ou sâil sây rĂ©duit. En ce dernier cas, cela ne signifie donc pas que le tout Ă©quivaut quantitativement Ă la somme des parties, mais quâil comporte nĂ©cessairement, ce qui est diffĂ©rent, la coordination de leurs articulations. Or, nous constaterons dans ce qui suit trois sortes de solutions lacunaires avant que cette synthĂšse difficile soit rĂ©ussie : ou bien le sujet cherche dans le tout enveloppant autre chose que les articulations entre enveloppĂ©s (exemple, le sujet Lau citĂ© Ă la fin du § 2), ou bien il accentue la diffĂ©renciation aux dĂ©pens de lâintĂ©gration et donne simplement pour les figures complexes un ensemble de parties disjointes, ou bien encore (et cette troisiĂšme solution conduira Ă la rĂ©ussite) il dessine des parties disjointes en indiquant ensuite symboliquement leur liaison (par exemple deux cercles sĂ©parĂ©s pour le 
2 / Mais avant dâanalyser les faits, relevons encore les propriĂ©tĂ©s de lâenveloppant en tant que comportant ses caractĂšres topologiques initiaux de fermeture et de courbure. Pour ce qui est de la premiĂšre, il va de soi que tout enveloppant tend Ă se fermer et câest ce quâon observe dĂšs 2 ans dans la phase de transition entre le gribouillage et le dessin, la fermeture ou du moins sa recherche Ă©tant les caractĂšres les plus primitifs des rĂ©actions observĂ©es. Mais il va aussi de soi quâĂ ce niveau il faut faire une large part Ă la maladresse graphique, de telle sorte quâen fait ces essais de fermeture se marquent par une rĂ©pĂ©tition de plusieurs exemplaires plus ou moins superposĂ©s des mĂȘmes traits courbes se poursuivant de façon continue, mais sans que leur point dâarrivĂ©e rejoigne celui de dĂ©part. Par contre, et notamment dans la copie du cercle, on trouve Ă partir de 2 ;7, mais Ă titre encore exceptionnel, des fermetures Ă un seul trait et sans discontinuitĂ© finale.
Quant Ă la courbure comme telle, il faut distinguer deux situations. La plus tardive est celle oĂč le sujet, parvenu Ă la rectilinĂ©aritĂ©, oppose intentionnellement les courbes aux droites, mais ceci ne se produit guĂšre quâĂ partir de 3 ;6 Ă 4 ans. La situation initiale rĂ©sulte au contraire du fait que le sujet ne sait pas encore copier de droites et nâen produit que par hasard, au sein des enveloppements multiples mentionnĂ©s Ă lâinstant, ou lorsquâil veut marquer le trajet vers un but rĂ©alisant alors un chemin droit sans lâavoir recherchĂ© comme tel. En ces conditions, les courbures initiales, observables en toutes les copies, y compris celles des carrĂ©s, ne sont que lâexpression de lâintention dâenveloppement.
§ 4. Le dĂ©but et la rĂ©ussite des articulations (Ă©tapes II et III)đ
Avec lâintersection (fig. 6, rĂ©ussie dĂšs 4 ans avec deux cas prĂ©coces de 3 ;2 et 3 ;6) et le 
1 / Lâintersection donne lieu Ă cinq types de rĂ©actions (1-5) que lâon peut rĂ©partir en trois phases (A-C). La phase A est caractĂ©risĂ©e par une rĂ©pĂ©tition de lâenveloppement, soit sous une forme disjointe 1/ 







On voit ainsi que la correspondance entre la copie et le modĂšle suppose dans le cas particulier une diffĂ©renciation de lâenveloppement en enveloppements partiels et en traversĂ©es de frontiĂšres, et corrĂ©lativement une composition de ces formes avec les coordinateurs de rĂ©pĂ©tition, de rĂ©union et de direction, puisque lâintersection de deux cercles comporte une double ou quadruple traversĂ©e de frontiĂšre, avec directions opposĂ©es 

2 / La figure en 




simple spirale (dessin b) et pour la reprise du 




La composition des coordinateurs entre eux est donc encore plus claire pour cette figure que pour lâintersection : lâenveloppement de dĂ©part (une boucle) sâaccompagne de rĂ©pĂ©tition (deux boucles), mais avec sortie de la frontiĂšre (cf. la spirale de Beg) et entrĂ©e dans celle de lâautre et rĂ©ciproquement (substitution, donc remplacement rĂ©ciproque), et avec en plus une coordination de directions opposĂ©es : en 3 la frontiĂšre de droite en haut passe Ă gauche en bas et rĂ©ciproquement. Câest ainsi la composition dâau moins quatre coordinateurs distincts qui seule permet la correspondance rĂ©ussie de la phase C (5 ;6 - 6 ans).
3 / Le modĂšle 5 (deux cercles contigus) ne donne pas lieu, chose curieuse, Ă une rĂ©ussite immĂ©diate. Comme Ă propos des figures complexes prĂ©cĂ©dentes, on observe une phase A oĂč les cercles sont soit sĂ©parĂ©s (Fab 3 ;5) ou rĂ©unis par englobement : on a citĂ© Lau 2 ;6 (fin du § 2) entourant le modĂšle lui-mĂȘme dâune vaste courbe fermĂ©e et Beg (2 ;7), Kah (3 ;0), etc., jusquâĂ Car (4 ;1) donnent des englobements (avec mĂȘme ensuite intersection chez Kab). La premiĂšre rĂ©ussite est celle de Opi Ă seulement 4 ;0.
§ 5. La rectilinĂ©aritĂ©đ
Deux questions distinctes sont Ă discuter ici : celle de la correspondance dans la copie dâun carrĂ© (fig. 2) ou dâune figure combinant une courbure et un angle droit (fig. 7), et celle des conditions de la rectilinĂ©aritĂ© en gĂ©nĂ©ral.
1 / Nous savons depuis longtemps (en fait depuis Binet) que vers 3 ans lâenfant dessine encore un carrĂ© comme une courbe fermĂ©e. Il ne faut donc pas sâĂ©tonner de la frĂ©quence des assimilations de la figure 2 Ă deux cercles et mĂȘme souvent avec englobement de lâun dans lâautre (Kab 3 ;0, etc.). Par contre lâintĂ©rĂȘt est de voir ce qui se passe lorsque le sujet commence Ă savoir faire des droites : on trouve en ce cas des copies du carrĂ© telles que 



Pour ce qui est de ce problĂšme de lâangle il va de soi que la figure 7 est rendue comme une courbe fermĂ©e avec une pointe, ressemblant souvent Ă une sorte de bec et câest seulement aprĂšs (et parfois de beaucoup) la rĂ©ussite du carrĂ© que cette figure 7 est copiĂ©e avec une discontinuitĂ© directionnelle correcte et avec un angle droit et non pas quelconque. On se rappelle dâailleurs les « carrĂ©s » (normaux) quâavait observĂ©s B. Inhelder 4 sous la forme de courbes fermĂ©es munies en guise dâangles de 4 petites pointes ou simplement de 4 petits traits.
2 / Quant Ă la question de la rectilinĂ©aritĂ© comme telle, dans le cas dâune seule droite, il faut distinguer soigneusement, du point de vue de la formation des correspondances, les droites spontanĂ©es et pour ainsi dire inconscientes, liĂ©es Ă une action particuliĂšre oĂč elles servent de trajets, et les droites Ă construire (en copie dâun modĂšle, etc.) et oĂč, alors seulement, interviennent les correspondances. Or les premiĂšres sont naturellement plus prĂ©coces : Ema (3 ;6), ayant copiĂ© correctement la figure 1, la complĂšte par une belle droite de 9,5 cm, qui est le chemin dâ« un ballon », tandis que pour copier une figure 

§ 6. Conclusionsđ
On constate dâabord que, Ă part la figure 1, les correspondances ne sont obtenues dans les copies quâune fois le modĂšle restructurĂ© par le sujet et que cette structuration est due, comme annoncĂ©, Ă des diffĂ©renciations de lâenveloppement dues Ă sa composition avec la plupart des autres coordinateurs : rĂ©pĂ©tition, identification, substitution (dans le 
1 / Cela dit revenons Ă lâobjection formulĂ©e au § 2, selon laquelle les structurations observĂ©es pourraient concerner lâacte graphique en ses difficultĂ©s plutĂŽt que le modĂšle lui-mĂȘme en tant que conceptualisĂ© par le sujet. Or la rĂ©ponse dĂ©cisive Ă cette supposition semble ĂȘtre fournie par la ressemblance assez frappante de nos rĂ©sultats avec ce que nous savons de lâimage mentale, qui est une imitation, comme lâimage graphique, mais intĂ©riorisĂ©e en reprĂ©sentations donc non accompagnĂ©e de maladresses motrices. Tout dâabord lâimage mentale, comme le dessin, est une continuelle recherche, couronnĂ©e ou non de succĂšs, de correspondance entre un modĂšle extĂ©rieur et sa copie, mais, pas plus que dans le cas du dessin, cette « copie » nâen est une au sens ordinaire dâune sorte de dĂ©calque ou de photographie. Tout au contraire la reprĂ©sentation imagĂ©e, pas plus que le dessin, ne se rĂ©duit Ă une lecture perceptive avec reproduction pure et simple des donnĂ©es perceptivo-spatiales : en particulier les lois propres aux dĂ©formations perceptives ne sâappliquent pas Ă lâimage, dont les dĂ©formations spĂ©cifiques qui se produisent aux niveaux Ă©lĂ©mentaires tĂ©moignent comme dans le dessin de restructurations conceptuelles insuffisantes.
Il est frappant Ă cet Ă©gard de retrouver dans lâimage mentale des jeunes sujets le rĂŽle prĂ©gnant des enveloppements en tant que totalitĂ©s supĂ©rieures Ă la rĂ©union des articulations entre parties (cf. § 3) : il se marque alors par un respect exagĂ©rĂ© des frontiĂšres lors des dĂ©placements 5. A noter en outre que les images des niveaux prĂ©opĂ©ratoires portent toujours sur les rĂ©sultats des transformations et non pas sur celles-ci : on peut rapprocher de cela le fait que, dans lâimage graphique, les dessins de nos sujets nâont Ă©tĂ© que fort peu (sinon nullement) amĂ©liorĂ©s lorsque lâexpĂ©rimentateur construisait le modĂšle devant eux au lieu de le donner tout fait.
Dâune maniĂšre gĂ©nĂ©rale on est confrontĂ© dans la formation des images avec les mĂȘmes problĂšmes de relations entre les correspondances et les transformations que dans tout dĂ©veloppement de morphismes et la mĂȘme nĂ©cessitĂ©, au dĂ©part, de structurer conceptuellement les modĂšles pour pouvoir en fournir une correspondance fidĂšle.
2 / Ceci nous ramĂšne au problĂšme des coordinateurs en tant quâaspects gĂ©nĂ©raux du fonctionnement des schĂšmes et que source commune des correspondances et des transformations. Or, il subsiste Ă cet Ă©gard quelques questions encore ouvertes quâil convient de prĂ©ciser pour terminer cet exposĂ©.
a) En ce qui concerne dâabord lâexistence mĂȘme de ces coordinateurs, on aurait pu les soupçonner de nâĂȘtre que le produit de considĂ©rations thĂ©oriques sans relever des activitĂ©s mĂȘmes du sujet. Or, si effectivement certaines hypothĂšses ont pu ĂȘtre imaginĂ©es avant leur contrĂŽle, il semble bien que les faits prĂ©cĂ©dents ont assurĂ© celui-ci en montrant la complexitĂ© de correspondances apparemment tout Ă fait simples (cf. les lignes droites). Il nây a, en effet, que deux raisons possibles au caractĂšre incomplet dâune correspondance : ou bien une exploration insuffisante du modĂšle en tant que donnĂ© de lâextĂ©rieur, ou bien son assimilation lacunaire faute dâinstruments intĂ©rieurs dâintĂ©gration. Or, dans le cas de la droite, qui est prĂ©cisĂ©ment la plus tardive de nos correspondances correctes, on voit mal ce que lâexploration peut ajouter Ă sa perception immĂ©diate, tandis quâon a constatĂ© la nĂ©cessitĂ© de coordinations assimilatrices.
b) En second lieu le seul fait de nommer nos neuf coordinateurs et de les distinguer en leur assignant un nombre (apparemment vĂ©rifiĂ©) tend Ă leur faire attribuer une existence structurale alors quâil faut expressĂ©ment se rappeler quâil sâagit exclusivement dâaspects fonctionnels. En effet, comme lâassimilation elle-mĂȘme, dont ils ne font que dĂ©crire le mĂ©canisme, ils se retrouvent partout en tant que fonctions gĂ©nĂ©rales, mais conduisent Ă la construction de structures trĂšs diffĂ©rentes (« la fonction crĂ©e lâorgane ») : entre les remplacements (ou substitutions) sensori-moteurs dans lâapplication de mĂȘmes schĂšmes Ă des objets nouveaux et le « groupe des permutations » sâintercalent par exemple onze Ă douze ans de structurations progressives.
c) Cette distinction entre le caractĂšre fonctionnel des coordinateurs initiaux et les structurations auxquelles aboutissent leurs compositions permet de lever la contradiction apparente quâil y a Ă voir dans ces coordinateurs la source commune des correspondances et des transformations, alors que toutes deux se sĂ©parent ensuite les unes des autres pour ne rĂ©aliser leur rĂ©union effective quâau niveau des opĂ©rations. En fait la source commune dont nous parlons ainsi coĂŻncide avec un niveau Ă©lĂ©mentaire oĂč la connaissance C ne procĂšde ni dâactivitĂ©s isolables du sujet S, ni de propriĂ©tĂ©s dĂ©limitables de lâobjet O, mais dâun centre dâinteractions situĂ© Ă mi-chemin des deux, donc Ă leur pĂ©riphĂ©rie commune (barre | sur la figure 1) avec indiffĂ©renciations multiples.

Câest Ă ce niveau Ă©lĂ©mentaire que les coordinateurs, expressions du fonctionnement des schĂšmes, engendrent les correspondances par application de ceux-ci et les transformations par composition entre eux. Mais de ce point dâorigine commun prennent naissance deux processus de directions opposĂ©es et de plus en plus distincts : un processus dâextĂ©riorisation (â O) visant une lecture dâobjectivitĂ© croissante des observables caractĂ©risant les objets (correspondances) et un processus dâintĂ©riorisation S â) sources dâactions transformantes et finalement de transformations opĂ©ratoires. Dâabord peu coordonnĂ©s, ces processus de source fonctionnelle engendrent la construction de formes et structures qui entrent forcĂ©ment en interaction (â) puisque les rĂ©sultats des transformations ne se constatent dâabord que sur les objets et que les propriĂ©tĂ©s de ceux-ci ne sont connues que par assimilation : dâoĂč les appuis mutuels, en premier lieu locaux et alternĂ©s, des correspondances et des transformations jusquâĂ leur union stable et gĂ©nĂ©rale du niveau des opĂ©rations.
On peut symboliser ces services réciproques progressifs par une figure 3 qui fait la synthÚse des deux précédentes.

A suivre les Ă©tapes 1 Ă 6, les flĂšches de dĂ©part indiquent les directions contraires Ă partir de leur point dâorigine commun (|), puis dâĂ©tape en Ă©tape chaque action flĂ©chĂ©e (â) dirigĂ©e vers lâobjet part dâun point plus profondĂ©ment enracinĂ© (= plus Ă gauche) dans les constructions du sujet tandis que chaque action (â) marquant un progrĂšs dans ces constructions endogĂšnes utilise davantage (= partant de plus Ă droite) de donnĂ©es observĂ©es sur lâobjet. Supposons ainsi que les faits dĂ©crits dans ce chapitre premier correspondent Ă lâĂ©tape symbolique 2 oĂč les coordinateurs fonctionnels internes conduisent aux correspondances sur lâobjet, lâĂ©tape suivante 3 sera celle oĂč les coordinateurs, obligĂ©s de sâaccommoder Ă la diversitĂ© des objets Ă comparer, se diffĂ©rencieront sous cette pression exogĂšne, mais permettront en rctour des correspondances plus variĂ©es : câest ce que nous allons voir au chapitre II. Dans la suite (dĂšs le chapitre III) des correspondances de plus en plus prĂ©cises en leur contenu exogĂšne prĂ©pareront des transformations partielles ou locales qui rĂ©ciproquement favoriseront les prĂ©morphismes, etc., par une alternance des actions (â) et (â), jusquâau moment de leur jonction Ă un niveau suffisant dâachĂšvement.