Recherches sur les correspondances ()

Chapitre premier.
Correspondances et coordinateurs dans les débuts du dessin 1 a

On peut assigner deux sources complĂ©mentaires aux correspondances dĂ©butant dĂšs la pĂ©riode sensori-motrice. L’une est l’activitĂ© assimilatrice des schĂšmes d’actions, qui les applique Ă  des objets ou situations analogues aux prĂ©cĂ©dents et les met donc en correspondance avec ces derniers, mais en fonction de schĂšmes dĂ©jĂ  constituĂ©s ou en voie d’élaboration, ce qui revient Ă  dire selon une polarisation centrĂ©e sur le sujet. L’autre est Ă  chercher dans les processus accommodateurs, les correspondances Ă©tant alors imposĂ©es par les propriĂ©tĂ©s de l’objet. Or, comme l’accommodation se prĂ©sente sous une forme maximale dans les conduites d’imitation, la mise en correspondance de la copie et du modĂšle joue alors un rĂŽle particuliĂšrement important, puisque sa fidĂ©litĂ©, qui peut faire problĂšme, est, en ce cas, spontanĂ©ment recherchĂ©e par le sujet quoique (ou parce que) centrĂ©e sur l’objet. Sans remonter aux niveaux sensori-moteurs, nous avons voulu Ă©tudier la formation de telles correspondances dans cette forme particuliĂšre d’activitĂ© imitatrice qu’est le dessin lorsqu’il se prĂ©sente en tant que copie d’un modĂšle.

§ 1. Position du problÚme

Nos modĂšles Ă©tant de difficultĂ©s inĂ©gales, les copies exigeront une Ă©laboration graduelle relevant soit de la technique de l’acte graphomoteur, soit de la conceptualisation du modĂšle pour en dĂ©gager les propriĂ©tĂ©s gĂ©omĂ©triques. Dans les deux cas il s’agit de construire ou de corriger des schĂšmes d’action et notre problĂšme sera surtout d’analyser le mĂ©canisme de cette structuration, condition prĂ©alable de la mise en correspondance elle-mĂȘme, sous la forme d’une copie correcte. En ce sens nous allons donc Ă©tudier la genĂšse de certaines correspondances et cette formation soulĂšve alors la question des coordinateurs.

Rappelons que nous appelons « coordinateurs » les aspects fonctionnels gĂ©nĂ©raux de la formation et de l’exercice des schĂšmes d’assimilation. Ils ne constituent donc pas des facteurs causaux antĂ©rieurs Ă  ces schĂšmes : par exemple, tout schĂšme est issu de la rĂ©pĂ©tition d’une action et l’on peut parler Ă  cet Ă©gard d’un coordinateur de rĂ©pĂ©tition, mais il n’y a pas d’existence avant ce fonctionnement, dont il se borne Ă  traduire un aspect gĂ©nĂ©ral mais Ă  titre immanent. Par contre, il est source ou facteur de mises en correspondances, puisque c’est cette rĂ©pĂ©tition qui en entraĂźne la formation. Il en sera de mĂȘme des autres coordinateurs, d’enveloppement, de rĂ©union, de direction, etc., dont le modĂšle prĂ©sentĂ©, de maniĂšre Ă  en assurer une copie par correspondance conforme, ce qui prend quelques bonnes annĂ©es jusque, par exemple, Ă  la construction de la rectilinĂ©aritĂ© (75 % des sujets Ă  5-6 ans seulement).

Mais alors le problĂšme qui va se poser Ă  nous sera le suivant : dans les recherches ultĂ©rieures (chap. III, etc.), nous serons conduits Ă  une distinction essentielle entre les correspondances ou morphismes qui relient les Ă©tats, sans les modifier, et les transformations dont procĂšdent ces Ă©tats et qui relĂšvent d’actions transformantes ou d’opĂ©rations comportant une dynamique Ă©trangĂšre aux correspondances de dĂ©part. Nous constaterons en outre l’existence de trois grands paliers (et, en les subdivisant, de six) quant aux rapports entre les correspondances et les transformations : alors que, sur le premier, les correspondances prĂ©parent simplement la comprĂ©hension des transformations, mais sans les engendrer, au second il y a appuis rĂ©ciproques et au troisiĂšme le systĂšme des transformations devenu opĂ©ratoire engendre ses propres morphismes et avec nĂ©cessitĂ© sans plus se contenter de comparaisons entre observables donnĂ©s du dehors. Or, dans la prĂ©sente recherche, lorsque le sujet Ă©choue Ă  copier une figure rectiligne et qu’il lui faut se livrer Ă  toute une structuration, de nature naturellement constructive, pour parvenir Ă  une correspondance exacte, faut-il dĂ©jĂ  parler de transformations, et, si oui, ne sommes-nous pas dans une situation qui rappelle le troisiĂšme et non pas le premier des paliers prĂ©cĂ©dents ?

C’est ici que la notion des coordinateurs se montre utile par le double rĂŽle qu’ils sont appelĂ©s Ă  jouer. A lui seul, un coordinateur en tant qu’aspect fonctionnel de l’élaboration et de l’exercice d’un schĂšme d’assimilation est source de correspondances en tant que le schĂšme s’applique Ă  ses objets habituels (d’oĂč la « rĂ©pĂ©tition » de l’acte et l’« identification » des objets) ou Ă  de nouveaux objets (d’oĂč le « remplacement »). Mais les coordinateurs jouent un autre rĂŽle, car si chacun d’entre eux est source de correspondances par ses applications centrifuges, ils peuvent aussi se composer entre eux et en engendrer de nouvelles formes selon une direction centripĂšte. Ce double mouvement d’extĂ©riorisation (application des schĂšmes) et d’intĂ©riorisation (coordination ou composition des schĂšmes entre eux) fait ainsi des coordinateurs la source commune des correspondances et des transformations et il n’est pas surprenant que leurs voies commencent par diverger puisque les premiĂšres sont centrĂ©es sur l’objet et ses observables et les secondes sur les activitĂ©s du sujet, ni que leur rĂ©union finale ne dĂ©bute que par actions rĂ©ciproques, mais alternĂ©es, et ne s’impose que tardivement puisqu’il s’agira alors de remplacer les liaisons exogĂšnes par des reconstructions endogĂšnes.

Cela dit, la différence principales entre les débuts de transformations dus à la composition des coordinateurs et les transformations opératoires (palier débutant à 7-8 ans) engendrant avec nécessité leurs propres morphismes est que, en ce dernier cas, les transformations sont préparées par des correspondances indispensables à leur compréhension progressive, tandis que, comme nous allons le voir, les compositions de coordinateurs ne sont pas préparées par les correspondances initiales, mais bien par leurs échecs (ou déformations du modÚle) 2 obligeant à construire des coordinateurs différenciés.

§ 2. Technique et étapes observées

40 sujets ont Ă©tĂ© examinĂ©s de 1 Ă  6-8 ans, les premiers au moyen de figures variĂ©es selon les besoins avec entre autres des droites : // ou // ou ∅, et les autres avec les 7 figures ci-dessous. L’expĂ©rimentateur fait l’un des dessins devant l’enfant sur le haut d’une feuille puis on le prie de faire « ici (bas de la feuille) exactement le mĂȘme dessin ». La copie obtenue, on demande si elle est « tout Ă  fait la mĂȘme chose » et on laisse faire de nouveaux essais. Ces figures sont caractĂ©risĂ©es par un certain nombre de propriĂ©tĂ©s : fermeture (pour toutes), voisinage par contiguĂŻtĂ© (5), sĂ©paration (2), courbure ou rectilinĂ©aritĂ© (2), croisement (3 et 4), intersection (6) et mĂ©lange de courbure et de pointe (7).

 

Or, comme on pouvait s’y attendre, ces propriĂ©tĂ©s ne sont pas atteintes aux mĂȘmes Ăąges et on peut distinguer trois Ă©tapes, une fois dĂ©passĂ© le simple gribouillis. Lors de la premiĂšre il y a prise en considĂ©ration de la fermeture ou de la courbure (avec distinction graphique des courbes non fermĂ©es comme nous l’avons vu jadis). La seconde Ă©tape est marquĂ©e par les sĂ©parations et contiguĂŻtĂ©s suivies de prĂšs par les intersections et croisements (de 3 ;6 Ă  4 ;6 environ), puis enfin seulement (troisiĂšme Ă©tape) par la rectilinĂ©aritĂ©. La question sera donc d’essayer de comprendre cette Ă©volution par le jeu des compositions entre coordinateurs.

La difficultĂ© est naturellement d’abord de faire la part de ce qui tient Ă  la maladresse graphomotrice des sujets et de ce qui rĂ©sulte en leurs dessins d’un effort rĂ©el de mise en correspondance. Mais, de façon gĂ©nĂ©rale, la loi selon laquelle les dessins des jeunes sujets traduisent moins la perception spatiale du modĂšle que l’idĂ©e qu’ils s’en donnent implique une forme en partie conceptualisĂ©e de mise en relation et il est alors relativement facile de saisir les intentions du sujet sous ses hĂ©sitations graphiques. En second lieu, deux sortes de comportements sont instructifs, qui dĂ©butent entre la phase initiale de gribouillis et les premiers dessins adaptĂ©s, mais qui persistent souvent au-delĂ . L’un est le marquage qui consiste Ă  faire le dessin de copie sur le modĂšle lui-mĂȘme, en sa totalitĂ©, ou Ă  partir de son intĂ©rieur pour le relier par des traits Ă  ce qui devrait ĂȘtre sa copie (entre autres) Ă  1 ;10 et 2 ;6, etc.) ou encore Ă  marquer sur le modĂšle les indices significatifs Ă  retenir : un sujet de 2 ;7 inscrit par exemple sur la figure 2 deux sortes de taches proches l’une de l’autre sur la circonfĂ©rence, tandis qu’il les place Ă  deux des angles du carré ; pour la figure 7 il en met une sur le contour circulaire et une dans la pointe, qu’il relie par un trait Ă  une mĂȘme tache sur la copie, laquelle recouvre d’ailleurs en partie le modĂšle. En un tel cas la maladresse graphique n’empĂȘche pas de discerner les intentions diffĂ©renciĂ©es de la mise en correspondance, d’autant plus que ces conduites, comme la suivante, se prolongent souvent par le geste, aux Ăąges ultĂ©rieurs, sans plus de marquage graphique.

Un autre comportement instructif consiste Ă  entourer d’un ou plusieurs traits la figure Ă  copier, soit sur son pourtour, soit, ce qui est Ă  noter, en un enveloppement plus large, dont la signification semble alors plus conceptuelle que spatiale : le sujet Lau (2 ;6), par exemple, entoure le modĂšle de la figure 5 d’un tracĂ© circulaire se poursuivant en trois rotations successives et de surface intĂ©rieure au moins six fois plus grande que celle des deux cercles rĂ©unis Ă  copier ; or, ce large enveloppement (17 cm de diamĂštre contre 5,5 pour l’un des cercles modĂšles) se prolonge finalement en une ligne qui en sort sur une dizaine de centimĂštres et conduit Ă  la copie (une seule courbe fermĂ©e de trĂšs petite surface), laquelle se prolonge elle-mĂȘme en un quasi-droite de 15 cm qui rend Ă  ramener Ă  l’enveloppement.

§ 3. La signification de l’enveloppement

Ce beau cas nous conduit au principal rĂ©sultat de cette petite recherche : que toutes les correspondances observĂ©es, en leurs progrĂšs, sont dues Ă  des compositions de l’enveloppement avec d’autres coordinateurs, Ă  l’exception de la rectilinĂ©aritĂ©, sans doute parce que la droite est la seule ligne qui, Ă  elle seule (sauf naturellement Ă  composer plusieurs droites, comme dans les polygones), n’aboutit Ă  aucun enveloppement ; quant aux correspondances lacunaires ou erronĂ©es, abondantes pour les figures 2 Ă  7, elles sont rĂ©ciproquement dues Ă  l’absence de telles compositions, autrement dit Ă  la supposition que l’enveloppement Ă  lui seul suffit Ă  tout.

1 / L’enveloppement constitue effectivement un schĂšme trĂšs gĂ©nĂ©ral dont la fonction est de confĂ©rer une totalitĂ© Ă  un objet (y compris une figure) ou Ă  une collection, ou encore d’attribuer ce caractĂšre de totalitĂ© Ă  l’ensemble des Ă©lĂ©ments qui entourent cet objet ou cette collection (par voisinage spatial ou par un acte de colligation comme une classe gĂ©nĂ©rale englobant des sous-classes). Il est donc normal que, sous ses formes Ă©lĂ©mentaires, l’enveloppement constitue un coordinateur, source de correspondances (par ses applications) ou de compositions (par diffĂ©renciations ou par conjonctions avec d’autres coordinateurs).

Rappelons seulement que les enveloppements dont il va ĂȘtre question ne reprĂ©sentent qu’une forme particuliĂšre parmi quatre possibles selon les deux dichotomies prĂ©opĂ©ratoires ou opĂ©ratoires et infralogiques (continu et voisinages) ou logico-arithmĂ©tiques (collections d’objets discrets rĂ©unis selon leurs Ă©quivalences ou diffĂ©rences). Les enveloppements opĂ©ratoires ne nous concernent point ici, leurs caractĂšres Ă©tant essentiellement quantitatifs (quantitĂ© totale Ă©gale Ă  la somme des parties et se conservant lors des changements de forme). Quant aux enveloppements prĂ©opĂ©ratoires, ils peuvent porter sur des Ă©lĂ©ments discrets (telle une rangĂ©e de jetons dont la quantitĂ© est censĂ©e augmenter si on l’allonge en espaçant les unitĂ©s), ce qui ne nous intĂ©resse pas non plus en cette recherche, ou sur des totalitĂ©s infralogiques et notamment spatiales, ce qui est le cas de nos figures.

Mais, cela Ă©tant, il convient de distinguer deux significations dans les utilisations que font nos sujets d’étapes I et II de leur notion d’enveloppement. Il y a, d’une part, le sens spĂ©cifiquement spatial d’un entourage continu et comportant une fermeture. Il y a longtemps dĂ©jĂ  que l’un de nous a montrĂ© avec B. Inhelder la nature topologique des premiĂšres reprĂ©sentations spatiales de l’enfant, avant qu’il parvienne aux intuitions euclidiennes et projectives, et, d’un tel point de vue, le caractĂšre primitif et trĂšs prĂ©gnant des courbes fermĂ©es va de soi lors des dĂ©buts du dessin. Nous ne reviendrons donc pas sur cet aspect.

En revanche, l’enveloppement comme coordinateur joue un rĂŽle bien plus gĂ©nĂ©ral et de nature Ă  la fois organisatrice et quasi conceptuelle (en un sens parent du « rĂ©alisme intellectuel » de Luquet) : c’est le postulat selon lequel la figure forme un tout malgrĂ© les diffĂ©rences entre ses parties avec leurs articulations. Autrement dit, il s’agit d’un coordinateur d’intĂ©gration et, sur le terrain spatial, celle-ci se traduit par la caractĂ©risation d’une forme d’ensemble. Mais, partout oĂč existent un tout, des parties et leurs articulations, un mĂȘme problĂšme se retrouve d’équilibre Ă  assurer entre l’intĂ©gration et la diffĂ©renciation, et c’est pour le rĂ©soudre qu’il s’agira pour le sujet de composer l’enveloppement (affirmant l’existence d’un enveloppant) avec d’autres coordinateurs susceptibles de prĂ©ciser les articulations entre les parties, donc les relations entre Ă©lĂ©ments enveloppĂ©s, et leur rapport avec le tout. Seulement comme cette composition ne saurait ĂȘtre immĂ©diate nous retrouvons ici, mais sur un plan exclusivement qualitatif, une dualitĂ© analogue Ă  celle qui, du point de vue quantitatif, sĂ©pare les enveloppements prĂ©opĂ©ratoires (oĂč la quantitĂ© totale est autre que la somme des parties) et opĂ©ratoires (oĂč il y a rĂ©duction entre deux, les articulations en jeu comportant alors entre autres l’additivitĂ©). Au plan qualitatif (et donc bien antĂ©rieur) oĂč nous nous trouvons situĂ©s, la question est d’établir si l’enveloppant, en tant que forme totale, est autre chose que la rĂ©union des articulations qui unissent les unes aux autres les parties enveloppĂ©es, ou s’il s’y rĂ©duit. En ce dernier cas, cela ne signifie donc pas que le tout Ă©quivaut quantitativement Ă  la somme des parties, mais qu’il comporte nĂ©cessairement, ce qui est diffĂ©rent, la coordination de leurs articulations. Or, nous constaterons dans ce qui suit trois sortes de solutions lacunaires avant que cette synthĂšse difficile soit rĂ©ussie : ou bien le sujet cherche dans le tout enveloppant autre chose que les articulations entre enveloppĂ©s (exemple, le sujet Lau citĂ© Ă  la fin du § 2), ou bien il accentue la diffĂ©renciation aux dĂ©pens de l’intĂ©gration et donne simplement pour les figures complexes un ensemble de parties disjointes, ou bien encore (et cette troisiĂšme solution conduira Ă  la rĂ©ussite) il dessine des parties disjointes en indiquant ensuite symboliquement leur liaison (par exemple deux cercles sĂ©parĂ©s pour le

mais avec ensuite un petit trait discontinu entre deux).

2 / Mais avant d’analyser les faits, relevons encore les propriĂ©tĂ©s de l’enveloppant en tant que comportant ses caractĂšres topologiques initiaux de fermeture et de courbure. Pour ce qui est de la premiĂšre, il va de soi que tout enveloppant tend Ă  se fermer et c’est ce qu’on observe dĂšs 2 ans dans la phase de transition entre le gribouillage et le dessin, la fermeture ou du moins sa recherche Ă©tant les caractĂšres les plus primitifs des rĂ©actions observĂ©es. Mais il va aussi de soi qu’à ce niveau il faut faire une large part Ă  la maladresse graphique, de telle sorte qu’en fait ces essais de fermeture se marquent par une rĂ©pĂ©tition de plusieurs exemplaires plus ou moins superposĂ©s des mĂȘmes traits courbes se poursuivant de façon continue, mais sans que leur point d’arrivĂ©e rejoigne celui de dĂ©part. Par contre, et notamment dans la copie du cercle, on trouve Ă  partir de 2 ;7, mais Ă  titre encore exceptionnel, des fermetures Ă  un seul trait et sans discontinuitĂ© finale.

Quant Ă  la courbure comme telle, il faut distinguer deux situations. La plus tardive est celle oĂč le sujet, parvenu Ă  la rectilinĂ©aritĂ©, oppose intentionnellement les courbes aux droites, mais ceci ne se produit guĂšre qu’à partir de 3 ;6 Ă  4 ans. La situation initiale rĂ©sulte au contraire du fait que le sujet ne sait pas encore copier de droites et n’en produit que par hasard, au sein des enveloppements multiples mentionnĂ©s Ă  l’instant, ou lorsqu’il veut marquer le trajet vers un but rĂ©alisant alors un chemin droit sans l’avoir recherchĂ© comme tel. En ces conditions, les courbures initiales, observables en toutes les copies, y compris celles des carrĂ©s, ne sont que l’expression de l’intention d’enveloppement.

§ 4. Le début et la réussite des articulations (étapes II et III)

Avec l’intersection (fig. 6, rĂ©ussie dĂšs 4 ans avec deux cas prĂ©coces de 3 ;2 et 3 ;6) et le

(fig. 3 et 4 rĂ©ussies Ă  5 ;6 - 6 ans) nous assistons Ă  des diffĂ©renciations de l’enveloppement dues Ă  des compositions avec d’autres coordinateurs, notamment de rĂ©pĂ©tition, rĂ©union et direction.

1 / L’intersection donne lieu Ă  cinq types de rĂ©actions (1-5) que l’on peut rĂ©partir en trois phases (A-C). La phase A est caractĂ©risĂ©e par une rĂ©pĂ©tition de l’enveloppement, soit sous une forme disjointe 1/

(Pat à 3 ;2, Tin à 3 ;7, Ure à 4 ;0, ou Opi à 4 ;0, etc.), soit sous une forme conjointe 2/ qui ressemble à une inclusion :
(Lau Ă  2 ;6, Beg Ă  2 ;7, Kab Ă  3 ;0). Mais l’inclusion Ă©tant une relation logico-arithmĂ©tique de comprĂ©hension tardive, nous ne parlerons pour cette situation spatiale et infralogique que d’« englobement » 3. La phase B marque deux progrĂšs : une diffĂ©renciation du double enveloppement ne donnant plus lieu Ă  un englobement, mais Ă  un enveloppement partiel (demi-cercle) adjoint Ă  un enveloppement complet (cercle entier) avec en plus traversĂ©e de la frontiĂšre (type 3) : c’est ainsi que Cri (3 ;5) donne deux fois la figure
ou
et Car (4 ;0) une figure analogue. Le type 4 (mĂȘme phase B) s’efforce de trouver un lien entre les deux enveloppements par diffĂ©rents moyens : Jer (3 ;6) dĂ©bute par
sans se douter que la partie de droite de son dessin suffirait comme intersection, puis il donne
(un enveloppement partiel et un complet reliés par un arc de cercle), Dom (4 ;2) débute par
qui contient à nouveau une vraie intersection, mais complétée par un arc de cercle extérieur ; et il fournit ensuite
, ce qui est en fait une double intersection, mais oĂč la partie commune du modĂšle est 2 Ă  3 fois plus grande sur la copie que les deux cercles Ă  relier ! AprĂšs quoi il retombe au type I. Enfin le type 5 (phase C) est celui de la rĂ©ussite avec plus ou moins de tĂątonnements : Can Ă  4 ;3 dĂ©bute par une quasi-disjonction avec contiguĂŻtĂ©, mais avec une minime partie commune triangulaire, puis arrive Ă  la solution correcte, quoique entre deux cercles de grandeurs trĂšs inĂ©gales.

On voit ainsi que la correspondance entre la copie et le modĂšle suppose dans le cas particulier une diffĂ©renciation de l’enveloppement en enveloppements partiels et en traversĂ©es de frontiĂšres, et corrĂ©lativement une composition de ces formes avec les coordinateurs de rĂ©pĂ©tition, de rĂ©union et de direction, puisque l’intersection de deux cercles comporte une double ou quadruple traversĂ©e de frontiĂšre, avec directions opposĂ©es

ou
et les diffĂ©rents essais citĂ©s quant au mode de liaison des cercles montrent assez qu’il y a lĂ  un problĂšme directionnel et pas seulement de relations entre parties et totalitĂ©s.

2 / La figure en

donne lieu Ă  des essais trĂšs analogues que l’on peut aussi rĂ©partir en 5 types et 3 phases. La phase A est caractĂ©risĂ©e Ă  nouveau par une simple rĂ©pĂ©tition des enveloppements, soit de façon disjointe (type 1 : Pat et TiĂ© Ă  3 ;2 tous deux) soit par simple englobement (type 2 : Laur 2 ;6, etc.). La phase B marque des progrĂšs dans la recherche de liaisons variĂ©es qui, au type 4, consistent en recherches d’un passage continu entre la frontiĂšre de l’un des enveloppements (premiĂšre boucle dessinĂ©e du
Ă  celle de l’autre. Le type 3 se contente d’assurer la liaison des deux boucles par une simple intersection, ce qui n’atteint donc pas la substitution des frontiĂšres : Kik (3 ;2) dĂ©bute ainsi par un englobement (type 2), puis le corrige en une intersection. Fab (3 ;5) dessine d’emblĂ©e celle-ci, Kab (3 ;0) commence par une belle intersection (alors que pour copier celle-ci lors de la figure 6 il se contentait d’un englobement !) mais constatant qu’elle n’assure pas le croisement, il ajoute Ă  l’intĂ©rieur de chacun des deux cercles trois englobements et sous-englobements de plus en plus petits dont l’un se termine par un point bien marquĂ©, mais donc au centre de l’une des deux boucles et non pas au point de croisement. On peut rattacher Ă  ce type 3 le dessin de Rie (3 ;4) : une seule courbe fermĂ©e, mais Ă  son intĂ©rieur deux petits cercles noirs. Le type 4 est en progrĂšs rĂ©el par son effort pour relier les frontiĂšres elles-mĂȘmes et assurer le passage de celles de l’une des boucles Ă  celles de l’autre, mais il ya encore Ă©chec au croisement lui-mĂȘme, donc Ă  la substitution amenant celles de l’une dans celles de l’autre et rĂ©ciproquement : Ă  2 ;7 dĂ©jĂ  Beg pour
construit une sorte d’englobement, mais non fermĂ© et comportant une forme de spirale (dessin a) ; pour
elle passe Ă  une

 

simple spirale (dessin b) et pour la reprise du

il y a Ă  nouveau spirale, mais avec un prolongement esquissant le passage d’une boucle Ă  l’autre. Le souci de spirale semble ainsi indiquer la comprĂ©hension du fait que la frontiĂšre de l’une des boucles sort de celle-ci Ă  la recherche de l’autre. Mais le modĂšle le plus frĂ©quent est
(Alb 3 ;5, Opi 4 ;0, Car 4 ;1, etc.). A noter en outre les solutions de Lau (4 ;2) et de San (3 ;10) et Jer (3 ;4) qui indiquent à part le passage d’une frontiùre à l’autre par une verticale
et mĂȘme leur croisement par des croix explicites :
(Jer) et
(San). Enfin le type 5 (phase C) est celui de la réussite en un seul mouvement du crayon pour les deux boucles (Isa 5 ;8 et Mie 6 ;4, etc).

La composition des coordinateurs entre eux est donc encore plus claire pour cette figure que pour l’intersection : l’enveloppement de dĂ©part (une boucle) s’accompagne de rĂ©pĂ©tition (deux boucles), mais avec sortie de la frontiĂšre (cf. la spirale de Beg) et entrĂ©e dans celle de l’autre et rĂ©ciproquement (substitution, donc remplacement rĂ©ciproque), et avec en plus une coordination de directions opposĂ©es : en 3 la frontiĂšre de droite en haut passe Ă  gauche en bas et rĂ©ciproquement. C’est ainsi la composition d’au moins quatre coordinateurs distincts qui seule permet la correspondance rĂ©ussie de la phase C (5 ;6 - 6 ans).

3 / Le modĂšle 5 (deux cercles contigus) ne donne pas lieu, chose curieuse, Ă  une rĂ©ussite immĂ©diate. Comme Ă  propos des figures complexes prĂ©cĂ©dentes, on observe une phase A oĂč les cercles sont soit sĂ©parĂ©s (Fab 3 ;5) ou rĂ©unis par englobement : on a citĂ© Lau 2 ;6 (fin du § 2) entourant le modĂšle lui-mĂȘme d’une vaste courbe fermĂ©e et Beg (2 ;7), Kah (3 ;0), etc., jusqu’à Car (4 ;1) donnent des englobements (avec mĂȘme ensuite intersection chez Kab). La premiĂšre rĂ©ussite est celle de Opi Ă  seulement 4 ;0.

§ 5. La rectilinéarité

Deux questions distinctes sont Ă  discuter ici : celle de la correspondance dans la copie d’un carrĂ© (fig. 2) ou d’une figure combinant une courbure et un angle droit (fig. 7), et celle des conditions de la rectilinĂ©aritĂ© en gĂ©nĂ©ral.

1 / Nous savons depuis longtemps (en fait depuis Binet) que vers 3 ans l’enfant dessine encore un carrĂ© comme une courbe fermĂ©e. Il ne faut donc pas s’étonner de la frĂ©quence des assimilations de la figure 2 Ă  deux cercles et mĂȘme souvent avec englobement de l’un dans l’autre (Kab 3 ;0, etc.). Par contre l’intĂ©rĂȘt est de voir ce qui se passe lorsque le sujet commence Ă  savoir faire des droites : on trouve en ce cas des copies du carrĂ© telles que

(Cat 3 ;2),
, puis
(San 3 ;10) et
(Cri 3 ;3). Ces tentatives montrent la nĂ©cessitĂ© d’une composition entre les coordinateurs de rĂ©pĂ©tition (seule rĂ©ussie par Cat), de direction (progrĂšs chez San et quasi-rĂ©ussite chez Cri), de rĂ©union d’extrĂ©mitĂ©s contiguĂ«s des droites (Ă©chec chez Cri dont un des quatre cĂŽtĂ©s demeure d’ailleurs courbe) et au total d’enveloppement continu (remplacĂ© par une courbe fermĂ©e chez San), le problĂšme de cette composition complexe se centrant sur celui des quatre angles droits, non rĂ©solu par ces sujets. La rĂ©ussite est par contre Ă  peu prĂšs gĂ©nĂ©rale dĂšs 4 ans avec des cas prĂ©coces dĂšs 3 ;2.

Pour ce qui est de ce problĂšme de l’angle il va de soi que la figure 7 est rendue comme une courbe fermĂ©e avec une pointe, ressemblant souvent Ă  une sorte de bec et c’est seulement aprĂšs (et parfois de beaucoup) la rĂ©ussite du carrĂ© que cette figure 7 est copiĂ©e avec une discontinuitĂ© directionnelle correcte et avec un angle droit et non pas quelconque. On se rappelle d’ailleurs les « carrĂ©s » (normaux) qu’avait observĂ©s B. Inhelder 4 sous la forme de courbes fermĂ©es munies en guise d’angles de 4 petites pointes ou simplement de 4 petits traits.

2 / Quant Ă  la question de la rectilinĂ©aritĂ© comme telle, dans le cas d’une seule droite, il faut distinguer soigneusement, du point de vue de la formation des correspondances, les droites spontanĂ©es et pour ainsi dire inconscientes, liĂ©es Ă  une action particuliĂšre oĂč elles servent de trajets, et les droites Ă  construire (en copie d’un modĂšle, etc.) et oĂč, alors seulement, interviennent les correspondances. Or les premiĂšres sont naturellement plus prĂ©coces : Ema (3 ;6), ayant copiĂ© correctement la figure 1, la complĂšte par une belle droite de 9,5 cm, qui est le chemin d’« un ballon », tandis que pour copier une figure

elle ne donne que des courbes non fermĂ©es, d’ailleurs bien disposĂ©es. Or, Ă  Ă©tudier les droites rĂ©sultant d’une mise en correspondance, on est portĂ© Ă  conclure que mĂȘme celle-ci, si simple paraĂźt-elle, suppose une composition prĂ©alable de coordinateurs, preuve en soit le caractĂšre tardif de sa rĂ©ussite. Quant Ă  la raison de cette difficultĂ©, elle va de soi si les courbes fermĂ©es sont l’expression du coordinateur infralogique le plus fondamental, qui est l’enveloppement (ou traduction de la totalitĂ© du schĂšme) ; en effet, la droite est la seule ligne qui en se prolongeant ne conduit Ă  aucune fermeture ni aucun enveloppement. Elle comporte donc une direction d’abord conçue comme peu naturelle (sauf, rĂ©pĂ©tons-le, dans le cas de trajets, etc., au sein d’actions et non pas de reprĂ©sentations) et surtout la nĂ©cessitĂ© de conserver cette direction, donc une composition des coordinateurs de direction et de rĂ©pĂ©tition, sans oublier la succession puisqu’il s’agit de rĂ©pĂ©titions ordonnĂ©es : c’est ce que l’on voit chez les sujets qui dĂ©butent dans cette construction (comme chez Dra Ă  2 ;7 ou Cat Ă  3 ;2) ; leurs droites in statu nascendi revient, effectivement, en une accumulation de segments plus ou moins bien orientĂ©s, tels que
, comme si le sujet ne parvenait Ă  la rectilinĂ©aritĂ© qu’en corrigeant sans cesse des dĂ©viations qui iraient de soi ou qui pourraient le tenter. Il y a en tout cas lĂ  la preuve d’une composition, en attendant que les moments successifs de la construction se soudent en un acte unique et quasi simultanĂ© permettant de surcroĂźt l’anticipation.

§ 6. Conclusions

On constate d’abord que, Ă  part la figure 1, les correspondances ne sont obtenues dans les copies qu’une fois le modĂšle restructurĂ© par le sujet et que cette structuration est due, comme annoncĂ©, Ă  des diffĂ©renciations de l’enveloppement dues Ă  sa composition avec la plupart des autres coordinateurs : rĂ©pĂ©tition, identification, substitution (dans le

), rĂ©union, succession et direction (les mises en relations de ressemblance et diffĂ©rence vont de soi partout). Seul, sur nos neuf coordinateurs, le changement de formes et positions (dĂ©placement) n’intervient pas (sauf quand la droite reprĂ©sente le trajet d’un mobile).

1 / Cela dit revenons Ă  l’objection formulĂ©e au § 2, selon laquelle les structurations observĂ©es pourraient concerner l’acte graphique en ses difficultĂ©s plutĂŽt que le modĂšle lui-mĂȘme en tant que conceptualisĂ© par le sujet. Or la rĂ©ponse dĂ©cisive Ă  cette supposition semble ĂȘtre fournie par la ressemblance assez frappante de nos rĂ©sultats avec ce que nous savons de l’image mentale, qui est une imitation, comme l’image graphique, mais intĂ©riorisĂ©e en reprĂ©sentations donc non accompagnĂ©e de maladresses motrices. Tout d’abord l’image mentale, comme le dessin, est une continuelle recherche, couronnĂ©e ou non de succĂšs, de correspondance entre un modĂšle extĂ©rieur et sa copie, mais, pas plus que dans le cas du dessin, cette « copie » n’en est une au sens ordinaire d’une sorte de dĂ©calque ou de photographie. Tout au contraire la reprĂ©sentation imagĂ©e, pas plus que le dessin, ne se rĂ©duit Ă  une lecture perceptive avec reproduction pure et simple des donnĂ©es perceptivo-spatiales : en particulier les lois propres aux dĂ©formations perceptives ne s’appliquent pas Ă  l’image, dont les dĂ©formations spĂ©cifiques qui se produisent aux niveaux Ă©lĂ©mentaires tĂ©moignent comme dans le dessin de restructurations conceptuelles insuffisantes.

Il est frappant Ă  cet Ă©gard de retrouver dans l’image mentale des jeunes sujets le rĂŽle prĂ©gnant des enveloppements en tant que totalitĂ©s supĂ©rieures Ă  la rĂ©union des articulations entre parties (cf. § 3) : il se marque alors par un respect exagĂ©rĂ© des frontiĂšres lors des dĂ©placements 5. A noter en outre que les images des niveaux prĂ©opĂ©ratoires portent toujours sur les rĂ©sultats des transformations et non pas sur celles-ci : on peut rapprocher de cela le fait que, dans l’image graphique, les dessins de nos sujets n’ont Ă©tĂ© que fort peu (sinon nullement) amĂ©liorĂ©s lorsque l’expĂ©rimentateur construisait le modĂšle devant eux au lieu de le donner tout fait.

D’une maniĂšre gĂ©nĂ©rale on est confrontĂ© dans la formation des images avec les mĂȘmes problĂšmes de relations entre les correspondances et les transformations que dans tout dĂ©veloppement de morphismes et la mĂȘme nĂ©cessitĂ©, au dĂ©part, de structurer conceptuellement les modĂšles pour pouvoir en fournir une correspondance fidĂšle.

2 / Ceci nous ramĂšne au problĂšme des coordinateurs en tant qu’aspects gĂ©nĂ©raux du fonctionnement des schĂšmes et que source commune des correspondances et des transformations. Or, il subsiste Ă  cet Ă©gard quelques questions encore ouvertes qu’il convient de prĂ©ciser pour terminer cet exposĂ©.

a) En ce qui concerne d’abord l’existence mĂȘme de ces coordinateurs, on aurait pu les soupçonner de n’ĂȘtre que le produit de considĂ©rations thĂ©oriques sans relever des activitĂ©s mĂȘmes du sujet. Or, si effectivement certaines hypothĂšses ont pu ĂȘtre imaginĂ©es avant leur contrĂŽle, il semble bien que les faits prĂ©cĂ©dents ont assurĂ© celui-ci en montrant la complexitĂ© de correspondances apparemment tout Ă  fait simples (cf. les lignes droites). Il n’y a, en effet, que deux raisons possibles au caractĂšre incomplet d’une correspondance : ou bien une exploration insuffisante du modĂšle en tant que donnĂ© de l’extĂ©rieur, ou bien son assimilation lacunaire faute d’instruments intĂ©rieurs d’intĂ©gration. Or, dans le cas de la droite, qui est prĂ©cisĂ©ment la plus tardive de nos correspondances correctes, on voit mal ce que l’exploration peut ajouter Ă  sa perception immĂ©diate, tandis qu’on a constatĂ© la nĂ©cessitĂ© de coordinations assimilatrices.

b) En second lieu le seul fait de nommer nos neuf coordinateurs et de les distinguer en leur assignant un nombre (apparemment vĂ©rifiĂ©) tend Ă  leur faire attribuer une existence structurale alors qu’il faut expressĂ©ment se rappeler qu’il s’agit exclusivement d’aspects fonctionnels. En effet, comme l’assimilation elle-mĂȘme, dont ils ne font que dĂ©crire le mĂ©canisme, ils se retrouvent partout en tant que fonctions gĂ©nĂ©rales, mais conduisent Ă  la construction de structures trĂšs diffĂ©rentes (« la fonction crĂ©e l’organe ») : entre les remplacements (ou substitutions) sensori-moteurs dans l’application de mĂȘmes schĂšmes Ă  des objets nouveaux et le « groupe des permutations » s’intercalent par exemple onze Ă  douze ans de structurations progressives.

c) Cette distinction entre le caractĂšre fonctionnel des coordinateurs initiaux et les structurations auxquelles aboutissent leurs compositions permet de lever la contradiction apparente qu’il y a Ă  voir dans ces coordinateurs la source commune des correspondances et des transformations, alors que toutes deux se sĂ©parent ensuite les unes des autres pour ne rĂ©aliser leur rĂ©union effective qu’au niveau des opĂ©rations. En fait la source commune dont nous parlons ainsi coĂŻncide avec un niveau Ă©lĂ©mentaire oĂč la connaissance C ne procĂšde ni d’activitĂ©s isolables du sujet S, ni de propriĂ©tĂ©s dĂ©limitables de l’objet O, mais d’un centre d’interactions situĂ© Ă  mi-chemin des deux, donc Ă  leur pĂ©riphĂ©rie commune (barre | sur la figure 1) avec indiffĂ©renciations multiples.

 

C’est Ă  ce niveau Ă©lĂ©mentaire que les coordinateurs, expressions du fonctionnement des schĂšmes, engendrent les correspondances par application de ceux-ci et les transformations par composition entre eux. Mais de ce point d’origine commun prennent naissance deux processus de directions opposĂ©es et de plus en plus distincts : un processus d’extĂ©riorisation (→ O) visant une lecture d’objectivitĂ© croissante des observables caractĂ©risant les objets (correspondances) et un processus d’intĂ©riorisation S ←) sources d’actions transformantes et finalement de transformations opĂ©ratoires. D’abord peu coordonnĂ©s, ces processus de source fonctionnelle engendrent la construction de formes et structures qui entrent forcĂ©ment en interaction (⇄) puisque les rĂ©sultats des transformations ne se constatent d’abord que sur les objets et que les propriĂ©tĂ©s de ceux-ci ne sont connues que par assimilation : d’oĂč les appuis mutuels, en premier lieu locaux et alternĂ©s, des correspondances et des transformations jusqu’à leur union stable et gĂ©nĂ©rale du niveau des opĂ©rations.

On peut symboliser ces services réciproques progressifs par une figure 3 qui fait la synthÚse des deux précédentes.

 

A suivre les Ă©tapes 1 Ă  6, les flĂšches de dĂ©part indiquent les directions contraires Ă  partir de leur point d’origine commun (|), puis d’étape en Ă©tape chaque action flĂ©chĂ©e (→) dirigĂ©e vers l’objet part d’un point plus profondĂ©ment enracinĂ© (= plus Ă  gauche) dans les constructions du sujet tandis que chaque action (←) marquant un progrĂšs dans ces constructions endogĂšnes utilise davantage (= partant de plus Ă  droite) de donnĂ©es observĂ©es sur l’objet. Supposons ainsi que les faits dĂ©crits dans ce chapitre premier correspondent Ă  l’étape symbolique 2 oĂč les coordinateurs fonctionnels internes conduisent aux correspondances sur l’objet, l’étape suivante 3 sera celle oĂč les coordinateurs, obligĂ©s de s’accommoder Ă  la diversitĂ© des objets Ă  comparer, se diffĂ©rencieront sous cette pression exogĂšne, mais permettront en rctour des correspondances plus variĂ©es : c’est ce que nous allons voir au chapitre II. Dans la suite (dĂšs le chapitre III) des correspondances de plus en plus prĂ©cises en leur contenu exogĂšne prĂ©pareront des transformations partielles ou locales qui rĂ©ciproquement favoriseront les prĂ©morphismes, etc., par une alternance des actions (←) et (→), jusqu’au moment de leur jonction Ă  un niveau suffisant d’achĂšvement.