Chapitre IV.
Les correspondances entre trajectoires ^{1 a} 🔗

Voici d’abord deux exemples :

Ver (4 ;3) pour un trajet horizontal de la figure 1 dessine le point B sous le A mais se borne à un geste de la main pour représenter le trajet B sans pouvoir le dessiner. On refait le trajet de A en marquant les positions successives y compris le point d’arrivée : avec le modèle sous les yeux, Ver donne pour B une correspondance exacte, mais sans le modèle complet et n’ayant sous les yeux que les points dessinés pour A elle manque la correspondance. Il en est de même pour le trajet courbé. Pour la figure 2, Ver copie correctement le modèle (déplacement du carton complet), mais, lorsqu’elle ne le voit plus, elle donne trois horizontales arrivant sur une même frontière verticale (donc ⋮) et en repartant pour aboutir à la figure

symétrique du modèle (donc

au lieu de

) : cf. les symétries du § 1 du

chapitre II.

Mur (4 ;5) admet pour la figure 2 (trajet horizontal) trois points d’arrivée superposés verticalement (donc B et C juste en dessous de A qui est donné). Les trajets courbes et en lignes en toit ne donnent que des zigzags arbitraires, avec absence complète de correspondance pour les positions intermédiaires et

une disposition soit verticale ( ⋮ ) soit oblique ( ⋰ ) des points d’arrivée (de la

figure 3).

On voit ainsi que, tout en ayant perçu un déplacement du carton entier et tout en conservant sous les yeux le trajet de A, tracé grâce à ce déplacement, ces sujets paraissent ne pas se douter qu’il s’agit d’un solide indéformable. Tout ce qu’ils retiennent de son point de départ est le nombre (2 ou 3) des éléments (A-C) et en général leur ordre selon la relation dessus-dessous (mais encore avec erreurs comme Mur pour la figure 3). D’autre part, s’il y a une tendance constante à situer les trois points d’arrivée en superposition (au mépris de ce qu’ils sont au départ des cartons 2 et 3), cette superposition exacte pour le carton 1 est complètement négligée lorsqu’il s’agit de positions intermédiaires (sur le parcours). En un mot, ce qui compte, [p. 66] dans les correspondances cherchées par le sujet, n’est pas la position relative des éléments mais uniquement la direction et la forme générales des trajets, encore que très globalement reproduites. Même la configuration en toit (

En un mot ces cas vérifient ce que nous savions des débuts de la représentation du déplacement : une action qui est source de nouveautés imprévues, sans conservation ni des quantités comme on l’a assez vu ailleurs, ni des formes du mobile. En effet, tant que n’est pas constituée la commutabilité, la seule correspondance intéressant ce mobile est celle qui lui reconnaît son identité qualitative (= le même objet), mais ce n’est une identité ni extensive (chap. II, § 2) ni de configuration spatiale. En ces conditions il va de soi que les seules correspondances pouvant être recherchées à ce niveau sont celles qui relient les trajets en leurs caractères les plus globaux.

Le progrès accompli par les correspondances suivantes est que le sujet commençant à réduire le déplacement à un changement de position sans pouvoir décider encore dans quelle mesure il y a modification dans les formes du mobile comprend alors que les parties de celui-ci, formant un tout continu, sont bien obligées de suivre le même chemin. La solution la plus simple est en ce cas le parallélisme, donc l’écart constant entre les chemins et non pas entre les éléments (mais cet écart cesse de se conserver quand le trajet de A est oblique) :

Fab (5 ;0) est l’objet d’un essai de la part de l’expérimentateur qui, pour la figure 2, lui fait marquer la position spéciale du point B au départ ³, d’où sa réussite après hésitations, mais pour les positions intermédiaires elle s’en tient à la superposition stricte (⋮). Dans le cas de l’escalier (

) le parallélisme des trajets dessinés entraîne aux deux angles une correspondance selon les inclinaisons (⋰) sans souci des positions de départ. Quant à un [p. 67] trajet oblique de A il est reproduit pour B avec une inclinaison nettement plus forte, d’où une distance progressivement accrue entre A et B.

Bio (5 ;11) donne avec hésitation des points d’arrivée corrects pour la figure 2, mais trouve ensuite que c’est faux et revient à la superposition (⋮). Les trajets en escalier donnent les mêmes réactions que chez Fab, et ni les obliques ni les courbes ne conservent la distance entre A et B. Pour le

(avec A et B seuls), le parallélisme exact est tenu en obstacle par la volonté d’éviter les croisements, d’où des trajets d’inégales longueurs pour A et B et des inclinaisons variées pour les correspondances entre positions intermédiaires.

Gio (6 ;1) donne pour la figure 2 une arrivée de A, B et C en superposition. Pour A et B avec trajet en toit la flèche de A à D est perpendiculaire à la ligne de A. L’escalier comme le Z donnent lieu à des trajets parallèles sans croisements ni recouvrements. Il est, d’autre part, frappant pour les correspondances entre A et B en positions intermédiaires de la figure 2 de voir que les flèches, correctes près du point de départ (↘), se redressent insensiblement jusqu’à la verticalité (↓) à la 8^e et cela déjà avant le milieu du trajet.

San (6 ;5) donne les mêmes redressements progressifs de ↘ en ↓ pour la figure 2. Pour la figure 3 avec trajet de A en escalier, le trajet de B est parallèle mais sans recouvrement comme il faudrait et C fait un détour sous B pour imiter ensuite son trajet de près, mais à nouveau sans recouvrement.

Gin (6 ;6) s’oriente vers l’étape III par ses corrections. La figure 2 en horizontal donne la superposition habituelle finale de A, B et C : « Le noir (B) est comment ici (départ) ? — Un peu plus derrière. — Et ici (arrivée) ? — Un peu plus devant. — Tu crois que c’est juste ? — Non (correction). » Pour l’escalier, il est d’emblée frappé en comparant avec le modèle du fait qu’il y a recouvrement pour le segment vertical : « On voit que c’est la même ligne. »

Contrairement aux sujets du § l, ceux-ci concluent du fait que les anneaux A, B et C font partie d’un tout continu qu’ils doivent bien faire le même chemin, d’où la correspondance des trajets dessinés comme parallèles. Mais on a vu au chapitre premier qu’on doit distinguer au moins trois sortes d’enveloppements, selon que l’enveloppant est autre chose que la réunion et l’articulation des parties enveloppées, selon qu’il se réduit à l’ensemble de ces articulations, mais sans encore de conservations quantitatives et selon qu’enfin le tout soit quantitativement équivalent à la somme des parties. Or ces sujets n’en sont encore qu’à la première de ces formes et, pourvu que les deux ou trois éléments fassent le même trajet, peu importe que leurs articulations se modifient : la manière dont Gio et San relient les positions intermédiaires de A et B pour la [p. 68] figure 3 montre assez que selon eux cette relation (↘) ne se conserve que près du point de départ et se modifie au cours du déplacement.

La seconde réaction à noter est le souci significatif d’éviter tout croisement et tout recouvrement comme si, du fait que les éléments doivent suivre les mêmes chemins que le tout, ils pouvaient occuper les mêmes positions simultanément et risquaient de se cogner, ou encore comme si, étant séparés dans le tout, leurs trajets respectifs devaient l’être également. Mais dans les deux cas il y a confusion ou indifférenciation du mobile et de son mouvement, alors que, si ces sujets étaient en possession de la commutabilité qui seule confère au déplacement le rang d’une transformation, ils comprendraient qu’un mobile laisse derrière lui une place vide équivalente à celle qu’il occupe ensuite, et que, si deux mobiles se suivent dans l’espace, il n’y a pas de raison pour que le second n’occupe pas la position quittée par le premier.

Un troisième indice curieux de ces relations entre le tout et les éléments est que si A suit un trajet oblique ou courbé, l’inclinaison ou la courbure sont accentuées par le chemin de B, en ne conservant donc pas la distance entre deux comme si la tendance marquée par la direction du tout devait être renforcée par les chemins correspondants.

En un mot, la prégnance du trajet de l’enveloppant et la négligence des articulations initiales entre éléments enveloppés expliquent leurs positions à l’arrivée : à des trajets parallèles en horizontal et en vertical correspondent des positions finales superposées (⋮) en tant que déterminées par les frontières terminales de ces chemins parallèles sans souci de leurs longueurs. Par contre lorsqu’on rappelle au sujet les positions de début (Fab) ou qu’il y revient par comparaison avec le modèle, ces déformations sont corrigées par une commutabilité naissante dont le propre est de comprendre que ce qui est déplacé au départ doit bien se retrouver à l’arrivée.

À 7-8 ans, âge auquel débute la commutabilité spontanée quant à la conservation des quantités (comprendre qu’on n’ajoute rien au terme d’un déplacement, [p. 69] qui n’ait été enlevé au point de départ) apparaît également ce processus quant à la conservation des positions internes lors du déplacement d’un continu rigide. Pour ce qui est de cette notion même de solide indéformable nous y reviendrons dans les conclusions. Quant aux positions internes qu’il comporte, il s’agit des relations de distances et d’orientations entre les trois éléments A, B et C, et la nouveauté propre à cette étape des mises en correspondance est que pour juger de ces relations à l’arrivée le sujet se réfère spontanément à ce qu’elles sont au départ, ce qui ne signifie d’ailleurs pas sans tâtonnements ni corrections. En particulier (et c’est ce qui rend utile l’analyse de ces corrections), la correspondance des positions extrêmes étant anticipée, il reste à les relier et, pour ce faire, se libérer des trajets parallèles admis jusqu’ici : c’est alors qu’il peut y avoir conflit avec les trajets de l’ensemble, donc de l’enveloppant qu’il s’agirait de réduire à la réunion des articulations entre enveloppés, ce qui n’est pas immédiat. Voici des exemples :

Lut (7 ;6) donne d’emblée pour la figure 2 (avec déplacement horizontal de A) les trois points d’arrivée exacts avec même une bonne correspondance pour les positions à mi-chemin ; par contre, lors du déplacement en courbe il dessine pour D une courbe semblable mais en partie enveloppante, donc trop longue avec alors des flèches de correspondance obliques parce que perpendiculaires à ces trajets et non pas verticales. Pour le toit

Je trajet de B est de forme correcte mais un peu décalé de telle sorte que les flèches de correspondances entre positions de A et de B sont bien verticales, mais celle qui part du sommet du trajet de A tombe à côté de celui de D. Mais le plus significatif des dessins est celui de la figure 2 lorsque A suit également un trajet en (

) : en ce cas les positions finales sont correctes tandis que les intermédiaires relient toutes A, B et C par des verticales. Pour l’escalier, Lut donne un dessin correct avec recouvrement partiel, mais celui-ci le gêne (« Ça va pas ») avant qu’il y revienne.

Ver (7 ;0) témoigne des mêmes progrès sauf pour le recouvrement. Pour la figure 3 avec trajet de A en toit, elle reproduit d’abord la disposition triangulaire de A, B et C aux deux extrémités du toit et, ce qui est beau, sous le sommet, mais ensuite elle relie simplement les positions correctes

de B et C, par un trajet unique, avec donc un replat au sommet

.

Zol (7 ;6) pour la figure 2 en trajet horizontal reproduit quatre fois la disposition de départ de A, B et C le long de leurs trajets, mais finit d’abord en superposition, sous l’influence du parallélisme. Même début pour cette figure 2 en arc, puis « ah ! non, non ! » et il se corrige. Pour l’escalier avec la figure 3 il dessine sans hésiter le recouvrement partiel des chemins de B et C [p. 70] en horizontal mais généralise faussement en vertical, puis réussit lors d’un nouvel essai. Pour la figure 2 avec trajet en Z il indique le croisement pour B mais l’évite pour C.

STÉ (8 ;0) procède comme Zol pour la figure 2 en chemin horizontal, puis, au terme des trajets, demande : « Il faut que ce soit l’un au-dessous de l’autre (⋮) ? — Comme tu penses. — Je pense comme ça (superposition). » Puis « Un peu plus loin (B par rapport à A) ». En arc même problème. Avec l’escalier il y a réussite immédiate pour B (fig. 3) avec recouvrement correct, mais d’abord échec pour C. Le

(fig. 2), par contre, en reste aux parallélismes.

Del (8 ;0) qui réussit tout sauf en partie l’escalier (comme Zol) donne un croisement correct pour le

à deux éléments, mais éprouve des hésitations : « Si c’est des voitures, ça va pas. »

Ces sujets atteignent donc spontanément la commutabilité mais pas de manière complète : les positions de départ sont reportées, ou sur les seuls points d’arrivée, mais pas sur les intermédiaires (Lut), ou au contraire elles le sont en cours de route, mais pas au terme des trajets (Zol et Sté). Il y a ensuite corrections, mais la question que pose Sté montre assez l’existence de problèmes et non pas simplement de distractions. La raison de cette difficulté particulière de la commutabilité lorsqu’elle porte sur la conservation de positions et non pas de quantités est sans doute qu’il s’agit de concilier un changement de positions du tout (donc de la réunion des éléments), avec la conservation des positions de ces mêmes éléments les uns par rapport aux autres. Dans le cas des quantités, il est aisé de généraliser la conservation sitôt compris que ce qui s’ajoute à l’arrivée équivaut à ce qui est enlevé au départ, car cela revient simplement à affirmer que le déplacement se réduit à un changement de positions conservant l’identité quantitative du mobile. Par contre, dans le présent cas, le tout change de position et ses éléments avec lui mais le déplacement d’ensemble est censé conserver les positions des éléments les uns par rapport aux autres, donc une absence de déplacements internes : la difficulté est ainsi de concevoir un changement de positions comme conservant une absence de changements. Sans doute cette identité de forme et positions internes du mobile au cours du déplacement d’ensemble est-elle réductible à une identité quantitative et c’est ce que l’on verra à l’étape IV avec les [p. 71] mesures de distance (ce qui montre la parenté de ces deux formes de commutabilité), mais il s’agit alors d’une quantification de relations distinctes et non pas de quantités totales, et cela est plus complexe. Sans doute aussi suffirait-il pour lever les difficultés de distinguer deux systèmes de référence, mais la composition de deux systèmes de coordonnées est de formation plus tardive.

En plus de ce conflit général, il s’ajoute que les positions finales de A, B et C sont immobiles, tandis que les positions intermédiaires, dont il s’agit de trouver les correspondances, sont des instantanés à abstraire du mouvement : or s’il y a progrès à cette étape quant aux croisements et recouvrements, c’est encore avec hésitations et les réflexions de Del sur les voitures montrent que les trajets sont encore en partie conçus comme une présence continue de mobiles, ce qui renforce la difficulté à concilier les changements de position avec les absences de changements.

Il y a donc, pour résoudre la question, trois sortes de correspondances à coordonner : 1) celle des trajets de A, B et C en leurs formes (direction →) ; 2) celle des positions intermédiaires simultanées de ces éléments (direction ↓) et 3) celle

de leurs positions initiales et finales (direction

n’est pas la dualité des directions à distinguer qui fait problème, c’est l’hétérogénéité des changements et des conservations, autrement dit c’est la difficulté, dans le cas des positions, de généraliser la commutabilité en tant qu’affirmation que l’on retrouve au cours et au terme d’un déplacement, les caractères constitutifs de la situation de départ.

Les réactions de ce dernier niveau (9-10 ans) ne sont pas exemptes d’erreurs, que l’on retrouve jusque chez l’adulte, mais elles sont dues aux lacunes de la représentation spatiale lorsqu’elle porte sur plusieurs variables, tandis que le principe guidant le sujet dans ses essais est correct et généralisé : ce qu’il recherche est une conservation des directions et des distances, celles-ci portant sur la longueur des trajets comme sur les intervalles séparant A de B et C, ainsi que B de C. Il y a donc simultanément coordination et quantification :

[p. 72]Sal (9 ;6) pour la figure 2 en horizontal prend le modèle et dessine le triangle : « Sans le modèle tu arriverais ? — Non, il faut faire des mesures. » Pour la même figure 2 avec trajet en toit il mesure avec ses doigts l’écart de B par rapport à la verticale AC et la reporte au terme mais oublie d’abord la verticalité et les positions au sommet. Pour la figure 3 avec trajet en escalier, il mesure la longueur AC et oublie d’abord D pour se corriger ensuite et limiter les recouvrements aux segments horizontaux.

Mie (9 ;9) pour la figure 2 en horizontal débute par une terminaison en superposition mais corrige en disant : « Le bleu (trajet B) est plus long que les autres, il devrait être la même chose. » En arc (fig. 2 renversée) : « Ah, je dois mettre le bleu en arrière. » En escalier : « Comme ça, ça fait la même longueur. »

Ira (10 ;4) réussit presque les positions intermédiaires comme les finales pour la figure 2 avec trajet en toit : elle précise que A et B ne « passent pas (par le sommet) en même temps » mais marque à tort celui de B sous celui de A. Pour B et C en horizontal « (B) part avant et arrive avant ». Pour la figure 3 en

, elle réussit avec tâtonnements, en reportant avec précision les longueurs des trajets, notamment en horizontal.

Orf (10 ;10) pour la figure 2 en escalier commence par des estimations à vue : « Ça ne va pas », puis reprend le dessin en reportant chaque longueur avec sa main.

Dio (10 ;8) pour la même construction : « Je regarde le bout de chemin et je le remets là » … « et puis le vert il est derrière alors il doit être à la même distance ici, ici et ici (les trois segments) ». De même pour le

.

On est surpris qu’il faille attendre ce niveau de 9-10 ans pour que le sujet comprenne ce qu’est un solide indéformable et pourquoi son déplacement conserve ses relations quantitatives (distances) internes et, par conséquent, les positions de ses éléments les uns par rapport aux autres. D’autre part, le fait que la coordination des correspondances en jeu soit obtenue grâce à des quantifications montre la parenté de cette forme de commutabilité avec celle qui porte sur la conservation des quantités totales, la seule différence est qu’il s’agit ici de quantifications internes, solidaires des directions.

Il y a longtemps que l’épistémologie de la géométrie a montré que la notion de solides indéformables, souvent considérée comme le point de départ empirique des constructions euclidiennes, constituait en réalité un produit, et même très complexe, de telles constructions. On voit combien l’analyse psychogénétique confirme ce renversement des perspectives. [p. 73] Du point de vue qui nous intéresse en cet ouvrage, des relations entre les morphismes et les transformations, cela signifie que la notion de déplacement, apparemment identique à elle-même à partir de ses origines sensori-motrices les plus élémentaires, change au contraire profondément de statut au cours de son développement.

Au point de départ, il n’est qu’un changement de position dû à un coordinateur, donc au fonctionnement d’un schème d’action, et ce ne sont que ses résultats, c’est-à-dire l’identité qualitative du mobile et son point d’arrivée, qui peuvent être mis en correspondance à titre d’états. Même lorsque le mouvement laisse derrière lui la trace de son trajet, comme ici pour le point A, et même lorsque A fait partie avec B et C d’un solide indéformable, les trajets de B et C mis en correspondance avec celui de A peuvent en différer fortement pourvu que A, B et C aboutissent à des points d’arrivée voisins et que chacun de ces éléments garde son identité qualitative comme les deux autres.

A l’étape suivante la correspondance dominante est la surjection des éléments A, B et C en un tout continu qui les enveloppe et le déplacement de cet enveloppant commence alors à jouer un rôle de transformation en tant qu’il entraîne les déplacements de trois enveloppés et doit donc assurer une certaine ressemblance entre ces trajets. Mais cette action transformante du déplacement de l’enveloppant ne va pas loin puisqu’elle n’assure ni la correspondance des positions des enveloppés, ni même l’égalité des longueurs des trajets qui ne se ressemblent alors que par leurs formes : parallélisme des segments horizontaux ou verticaux et renforcement de l’inclinaison des obliques.

C’est seulement au niveau du début des opérations concrètes (7-8 ans) que le déplacement est en voie d’acquérir, mais encore à titre partiel, un statut de transformation, avec ses caractères de compositions nécessaires, de solidarité constante des modifications et des conservations, ainsi que de filiation déductive. En effet, ce que commence à découvrir le sujet est que l’enveloppement n’est pas autre chose que le système d’ensemble des articulations des éléments enveloppés, et que par conséquent, en entraînant ceux-ci, le déplacement du tout conserve les positions des parties. Mais, conformément [p. 74] à ce qu’on observe en toutes les recherches, les transformations ne sont d’abord que locales parce que préparées par des correspondances encore incomplètes : les sujets de l’étape III ne voient, en effet, que la bijection entre les positions de départ et d’arrivée, sans généralisation pour les situations intermédiaires, ou bien ils commencent par celles-ci et négligent la correspondance entre les extrêmes. Ces incohérences tiennent aux difficultés de l’équilibre à maintenir, en toute transformation, entre les modifications et les conservations : or, la commutabilité, selon laquelle on ne retrouve au terme d’un déplacement que ce qui a été enlevé au départ, ne fournit ici qu’un programme puisqu’il reste à distinguer ce qui change de position et ce qui ne change pas.

La solution est alors trouvée à l’étape IV : seule a changé la position du tout enveloppant, mais non pas sa forme, puisqu’elle est déterminée par les valeurs quantitatives des liaisons spatiales (ou articulations) entre éléments enveloppés : ce sont donc ces valeurs mesurables qui seront transférées sans changements, ce qui entraîne en ce cas les correspondances au lieu d’en résulter. Ainsi la commutabilité atteint enfin sa structure en tant que transformation au sens complet avec équilibre des déplacements et des conservations, ce qui assure, par conséquent, un sens à la notion de solide indéformable.