Chapitre VIII.
Correspondances et relations ^{1 a} 🔗

Nous n’examinerons dans les § § 1-3 que les relations comme telles et non pas encore les divers arrangements d’objets. Voici des exemples des réactions initiales (pour 4-5 ans) :

Oli (4 ;7) : « La carte qui est le plus pareille à celle-là (B3) ? (Il donne B4 = même taille mais 4 ronds rouges contre 3.) — Et celle qui ressemble le plus ? — (Donne X3 = verte.) — Et maintenant ? — (A3 = même grandeur que B3.) — Et maintenant (C3 = id.) — Il en reste encore ? — Oui (B2). — Et ? (B1 = mêmes grandeurs). — Et de presque pareilles ? — (C5 = plus grande, puis C4 plus grande aussi, A4 id. et enfin X4 bleue.) — Il y en a encore ou pas ? — (C2, A2, X2, A1, et encore C1, X1… C5 et enfin X6 bleue, certaines avec hésitation, d’autres pas.) — X6 (bleue) ressemble à B3 ? — Non. » Mais pour justifier tous les premiers choix il répète « parce que c’est la même forme. — (B3) est différent de (B4 = 4 ronds rouges) ? — Ils sont tout à fait la même chose. — Rien de différent ? — Non, parce que c’est la même forme ». On passe aux différences d’avec B3 et Oli indique X3 « parce que bleu et rouge. — Un autre différent ? — (B2) à cause des deux ronds rouges. — Un autre différent ? — (B4) parce qu’il a la même forme. — Pourquoi il est différent ? — Ça a la même couleur les cartes. — Il est différent ? — Non. — Un autre qui est différent de (B3) ? — (A3) parce qu’il a la même couleur (plus haut il était dit pareil à cause de la forme). — Qu’est-ce qui n’est pas le même ? — (A3) parce qu’il a (seulement) un rond. —  Un autre qui est différent ? — (A2) parce que (c’est) un petit et puis un moyen ici (B3). — De X3 (pareil à B3 mais bleu) et A2 (petit) lequel est le plus différent de B3 ? — (X3) parce que (les ronds sont ⸪) 2 et 1 et ici (B3 ⸫) il y a 1 et puis 2. — Et celui qui ressemble le plus ? — A2 parce qu’ils sont de la même couleur (tandis que celle de X3 vert n’a pas été notée comme différence) ».

Lyn (4 ;0). Ressemblances pour B3 : « C5 (plus grand et n = 3) c’est pareil, B4 (plus grand et n = 4) c’est pareil, B5 (5 ronds mais même taille) c’est un peu pareil, A2 c’est pareil. — B3 est comme X3 (vert n = 3) ? — Non pas du tout : il est plus comme X1 (n = 1 et plus petit que B3). » Mais pour les différences, Lyn montre d’abord C5 (pourtant « pareil » et X1, parce que c’est pas le même ! ».

Mar (4 ;11) choisit d’emblée X3 (= B3 sauf la couleur) puis C5 (n = 3 mais plus grand). « Pourquoi B3 ressemble à X3 ? — Parce que celui-là est bleu (= seule différence). — Montre une très différente de B3. — C3 (même taille et n = 3 comme B3). — Pourquoi ? — Parce qu’il y a 3 (ronds) rouges (donc un des deux caractères communs). — Et X3 est différent ? — Il n’est pas différent, il est bleu. »

[p. 136]Pie (4 ;6) : X3 « c’est le même (que B3). — Même quoi ? — C’est des ronds (n = 3). — Et ils sont comment ? — Rose et bleu. — Ils se ressemblent quand même ? — Un peu. — Un autre qui ressemble à B3 ? — (C3) (mêmes taille et nombre). — Pourquoi ? — Là ils montent (

). — Ils se ressemblent ? — Là (B3 =

) ils montent et puis ils repartent (angle droit). — En quoi ils se ressemblent encore ? — Carrés et roses tous les deux, — Un autre qui ressemble très fort. — C2. — Pourquoi ? — Il y a quelque chose qui change : ici 3 et là encore 1 (= 4) et là plus de roses (= côtés plus longs). — Encore un qui ressemble. — B4, ici il y a 1 de plus. — Et encore un qui ressemble ? — X4 : là c’est rose et là vert, ici 3 et là 1 de plus ».

Eva (5 ;0) donne X4, C5, X1, X2, B2, X3, C3, C2 et B4 et dit chaque fois « c’est presque pareil » à B3. Mais, d’une part, ils ne se ressemblent pas tous entre eux et, d’autre part, X4 et X1 sont aussi donnés connue différents de B3 (couleur ou arrangement de ronds rouges).

Ces faits sont instructifs quant aux difficultés respectives (et comme on le voit assez distinctes) des mises en correspondances des ressemblances entre éléments, des différences entre eux et surtout de la coordination de ces deux sortes de mises en relations.

Notons d’abord que les choix successifs des sujets sont moins aléatoires qu’il ne semble et obéissent parfois à un mode d’exploration non intentionnel et cependant assez régulier. Ainsi Oli débute par 7 cartes de même grandeur que B3 (en disant d’ailleurs « parce que c’est la même forme »), puis passe à 3 plus grandes, puis à 3 plus petites et enfin aux plus grandes. Eva de même passe de 3 cartes de n = 3 à 2 de n = 2, 2 de n = 3 et 2 de n = 4 en ne disant que « c’est presque pareil ». On reconnaît dans ces allées (→) et venues (←) d’extension croissante et à sens opposés les formes élémentaires de symétrie qui précèdent souvent la sériation (cf. chap. II, § 1).

Il n’empêche que, quant à leur système général, ces sujets en restent à des mises en relation locales entre éléments isolés et chaque fois en fonction d’un autre critère, ce qui revient donc à une absence de système conscient. Le fait fondamental à cet égard (raison et conséquence à la fois de ces comparaisons demeurant locales) est qu’il n’y a pas encore de degrés dans les ressemblances ni dans les différences (donc pas de dénombrement des différences), d’où une incoordination complète entre deux. Par exemple, Oli, pour le plus différent de B3, entre X3 et A2 à choix, indique X3 en vertu d’un léger changement [p. 137] dans la disposition des trois points, sans s’occuper de la différence de couleur, tandis que pour le plus ressemblant il désigne A2 « parce qu’ils (B3 et A2) sont de la même couleur ».

Ce qui est surtout frappant dans ces incoordinations est, non seulement que les mêmes éléments sont choisis tantôt comme ressemblants et tantôt comme différents (ce qui serait très justifié s’il y avait considération des degrés mais reste incohérent en son absence), mais encore que les mêmes propriétés sont désignées soit comme des ressemblances, soit comme des différences. Sur le premier point nous voyons ainsi Lyn déclarer que B3 n’est « pas du tout » pareil à X3 (pourtant semblable en tout sauf la couleur), mais « est plus comme X1 » : or celui-ci est tôt après désigné comme différent, ce qui serait bien plus justifiable, mais si le sujet invoquait des degrés. Sur le second point, Oli ne voit « rien de différent » entre les éléments qu’il choisit comme ressemblants, « parce qu’ils ont la même forme » ; après quoi il montre deux différences effectives entre B3 et X3 ou B2 mais passe à B4 (en fait différent par n = 4) et le déclare différent « parce qu’il a la même forme » puis A3 « parce qu’il a la même couleur ». Mar voit avec raison la ressemblance entre B3 et X3, mais la justifie par la formulation « parce que celui-là est bleu », donc en invoquant la seule différence entre eux. Réciproquement, il considère comme « très différents » C3 et B3 en se référant à l’un de leurs caractères communs, et continue en disant que X3 « n’est pas différent : il est bleu (et pas rouge !) ». Pie est encore plus paradoxal lorsque, pour une carte qui « ressemble très fort » à B3, il donne C2 parce qu’« il y a quelque chose qui change » : 3 et 4 ronds rouges ; et il continue ainsi pour B4 et B3 et même pour X4 !

Ces substitutions de ressemblances et différences sont trop fréquentes et tenaces pour être dues au hasard ou à des erreurs de langage. La raison en est plus profonde et intéressante, et tient à une opposition entre les correspondances de ressemblances et de différences. Pour les ressemblances, il suffit de dégager une propriété commune a en faisant abstraction des différences pour que deux objets A1 et A2 soient reliés en un tout Col (A) et lui correspondent par surjection sur la base de cette propriété a : c’est ce que fait Oli quant il se contente de la justification répétée « parce que c’est la même forme ». Par contre une différence repose sur une sous-jection, c’est-à-dire [p. 138] sur une absence locale de correspondance : A1 possède a1 que n’a pas A2 (et réciproquement si A2 possède a2 sans que cela soit le cas de A1). Seulement il ne peut exister de sous-jection à elle seule et elle est nécessairement solidaire d’une injection. En langage courant cela revient à dire que, si les ressemblances ont un maximum (l’identité), mais pas de minimum égal à zéro (car il subsiste toujours entre deux objets une ressemblance quelconque, comme d’être des objets), les différences par contre comportent un minimum (l’identité est une différence nulle), mais elles n’ont pas de maximum en tant que différence totale, puisqu’il s’y ajoute toujours des ressemblances. En ce cas les deux objets A1 et A2 à comparer quant à leurs différences présentent donc à la fois des ressemblances et des différences, ce qui revient à dire qu’ils constituent les sous-collections (même si elles sont singulières) d’une collection B dont la qualité commune n’est ni a, ni a2 mais b : d’où l’injection de A1 et A2 chacune à part en B, mais avec sousjection de B eu égard à chacune. Ou encore, ce qui est plus près du processus mental effectif, A1 est un complexe de qualités et A2 un autre complexe analogue : il y a alors injection réciproque quant au sous-complexe des qualités communes et sousjection réciproque des propriétés différentielles.

Bien entendu ce ne sont pas là des réflexions d’enfants mais le fait remarquable est la facilité avec laquelle le sujet justifie les ressemblances par des énoncés tels que « c’est la même forme », « c’est pareil », en faisant abstraction des différences, tandis que pour trouver ou justifier celles-ci, il mélange ressemblances et différences, en parallèle avec ce que notre analyse des sousjections différentielles montre de leur union indispensable et, par conséquent, de leur confusion possible en tant qu’intervenant simultanément.

Il s’y ajoute un fait curieux pour lequel nous n’avons à proposer qu’une interprétation hypothétique : c’est la réaction de Pie lorsqu’il invoque à titre de ressemblance des critères communs (présence de ronds rouges ou couleur des côtés du carré), mais avec en plus « quelque chose qui change », qui se réfère alors aux deux propriétés spécifiques et respectives des éléments à comparer. On a en ce cas l’impression qu’il voit dans ces sousjections réciproques (A1 possède a1 mais pas a2, comme A2 présente a2 mais pas a1) une sorte de ressemblance [p. 139] fonctionnelle revenant à dire A1 est équivalent à A2 en tant que relevant comme lui du même genre et de sa propre différence spécifique : donc a2 est à A2 comme a1 à A1.

Le cas de Pie nous rapproche d’ailleurs de l’étape II dont l’un des caractères est une mise en relations répétées, donc une mise en correspondances du point de vue du sujet, qui en reste à un même critère de ressemblance avant de passer à un autre. Mais il s’y ajoute la considération de degrés de ressemblances, ce qui conduit à de nouveaux rapports entre elles et les différences, celles-ci n’étant par contre pas toujours dénombrées :

Yar (5 ;9) : « La carte qui ressemble plus à B3 ? — C3 : c’est 3 (ronds) comme ça, ce n’est pas dans le même ordre, mais c’est le même carré. — Une autre qui ressemble ? — C5 parce que c’est le même ordre. — Une autre ? — Ça devient difficile parce qu’il n’y en a plus qui a 3 (ronds) dedans… B4 parce que c’est la même longueur de carré. — Encore ? — B2… (puis) B1… (puis) B5 parce que c’est le même carré (grandeurs égales). — Et une qui ressemble à B1 ? — A4 parce que ça commence avec 1 (rond), A5 parce qu’il y a 1 point, C4 parce qu’il y a 1 point, C2 (4 ronds) parce qu’il y a juste 1 qu’on doit enlever (pour égaler B3 qui en a 3). — Pourquoi C2 ressemble plus à B3 que C1 ? — Parce qu’il y en a moins dans C1. — Une carte avec une seule différence de B3 ? — C3, parce que les points rouges c’est tout raide (linéaire) et ça (B3) mélangé. — Un autre avec une différence ? — C5, c’est plus grand, le carré. »

Val (5 ;11) ! « Celui qui ressemble le plus à B3 ? — C5 parce qu’il y en a 3 (ronds) et les bords sont de la même couleur (mais C5 > B3). — Encore ? — C3 … non pas celui-là parce qu’ils ne sont pas placés de même. — Et encore ? — Non, pas vraiment, il y en a (à 3 ronds), mais pas très bien placés comme B3. — X3 ? — Non les bords ne sont pas de la même couleur. — Vraiment pas d’autres ? — Non. parce que les autres ils n’ont pas tous les 3 points. — Tu as choisi C5. Il ressemble vraiment à B3 ? — Non il est plus grand. — De C5, C3 et X3 y en a-t-il un qui ressemble le plus à B3 ou sont-ils tous différents ? — Ces deux (C3 et X3) sont très différents : de la même taille, oui, mais pas de la même couleur et c’est pas bien placé. »

Lau (6 ;4) choisit C3 pour le nombre 3 et la grandeur. « Une autre ? — C5 … et X3 » à cause des 3 ronds et conclut qu’« il n’y en a plus. — Et X5 ? — Non il y a 3 là (B3) et ici zéro. — Il y a quelque chose qui ressemble ? — C’est seulement la même grandeur ». D’où aussi B2 et B4. « Tu peux m’en donner une qui a une seule différence avec B3 ? — A5 parce qu’elle est plus grande et il y a un seul rond. — Ça fait une ? — Non, deux différences. — Et une seule ? — C3 parce que les petits ronds ne sont pas placés de la même chose. — Une autre ? — C5 parce qu’elle est plus grande. — Entre C3 et C5 il y a une différence ? — Non deux : le placement et la grandeur (mais n = 3, [p. 140] ce dont il tient compte. » B2 ressemble plus à B3 que B1 parce qu’il a 2 ronds et B1 un seul.

Ana (6 ;2) : « Laquelle ressemble le plus à C1 (petit et n = 2) ? — B2 (plus grand mais n = 2) parce qu’il y a 2 petits ronds. — Sûre ? — B2 est plus haut. — Ça ressemble quand même ? — Oui, plus que toutes les autres, parce que les autres, il y en a plus que (n) 2 ou moins que 2. — Et A1 ne ressemble pas à C1 ? — Un peu plus parce que c’est un petit aussi. — Donne un qui a une différence avec B4 (n = 4). B5, il y a juste (en plus) un petit rond au milieu. — Un autre ? — B3 (n = 3) parce qu’on en a enlevé un. — Lequel ressemble le plus à B4 ? — B5 parce qu’il y en a dans les 4 coins. » Par contre de B5 (n = 5) et C4 (n = 1) « le plus différent de B4 (n = 4) » est B5 : « Il est plus différent parce qu’il y en a un de plus. »

Rio (6 ;9) après avoir relié B2 à B3 « parce que c’est la même forme, puis (= mais) il y en a 1 (point) qui manque », puis C5 « parce qu’il y en a 3 puis (= mais) c’est grosse », puis X3 (mais ?) « tout est bleu », conclut que l’important est le nombre de points, les différences étant « seulement la grosseur » ou « seulement la couleur ». Mais ensuite B4 ressemble le plus à B3 « parce qu’il y a seulement un de plus » et que X3 est exclu « parce qu’il y a la couleur ». Quant aux différences B1 s’oppose à B2 « parce qu’il y a un de moins », mais pas C3 « parce qu’il y en a plus (3 > 2). — Et B3 ? — Ah oui. — C’est la même différence ? — (3 > 2 et 1 < 2). — Ah non, il y en a de trop : là on devrait en rajouter ».

Dan (6 ;7) tend à l’étape suivante par ses essais d’homogénéisation : C5 ressemble à B2 « parce qu’il est grand et a trois points et l’autre est petit. —  Mieux ? — C3, petit et 3 points. — Un autre ? — X3 parce que celui-là a des points bleus et l’autre rouges et (= mais) c’est des petits carrés. — De C5, C3 et X3 lequel ressemble le plus à B3 ? — C3 même couleur et mêmes points, C5 grand et (mais) 3 points et même couleur. — Et entre C3 et B3 il y a une différence ? — Pas de différence parce que 1es points sont (seulement) arrangés autrement ».

Le premier intérêt de ces réactions est donc la considération de degrés dans les ressemblances, ce qui suppose une connexion nécessaire avec les différences, tandis qu’à l’étape I les ressemblances absolues (« pareil », etc.) se passaient de toute référence à ce qui diffère. Or, ces nouvelles liaisons, jointes au fait que le sujet en reste à un même critère analysé en détail avant de passer à un autre, conduisent les correspondances établies à préparer en un sens des systèmes de collections avec sous-collections, tandis que les mises en relations de l’étape I correspondent à de simples assemblages avec rapprochements locaux et variant sans cesse selon les rencontres.

Mais le second intérêt de ces réponses est que ces degrés de ressemblances et de différences ne sont pas cherchés dans la [p. 141] direction du nombre des emboîtements possibles (ou des successions sériales), mais dans celle de l’importance plus ou moins grande à attacher à tel contenu : pour certains la couleur est secondaire, tandis que pour d’autres c’est une grande différence, de même pour la grandeur. Par contre, il est frappant de rencontrer chez plusieurs sujets (voir Ana, Rio avec d’autres) l’argument selon lequel il y a plus de ressemblance ou plus de différence quand la carte à choisir (et non pas le référent) possède un point rond « de plus », comme si « 1 de plus » dans un sens n’était pas équivalent à « 1 de moins » dans l’autre.

De façon générale on observe ainsi avec l’introduction de degrés une tendance nouvelle des correspondances dans la direction d’injections et de sousjections réciproques. D’où sans doute l’importance attribuée au nombre des points rouges puisqu’on a alors 1 < 2 < 3 … La plupart des sujets y ajoutent la considération de leur arrangement tandis que Dan, proche de l’étape III n’y voit « pas de différences » appréciables.

A l’étape III, l’importance d’une ressemblance ou d’une différence ne tient plus à son contenu subjectivement évalué : il ne reste alors comme estimation possible que le nombre des différences. Cette question, posée à tous les niveaux (mais sans succès systématique jusqu’à la présente étape), pourrait paraître arbitraire (contrairement à « ce qui diffère le plus »), mais nous allons constater que plus de la moitié des sujets de 7 à 9 ans, en réponse à la question de ce qui « ressemble le plus » comptent spontanément les différences jugées équivalentes. Cette équivalence marque, d’ailleurs, le second progrès notable de cette étape : c’est la supposition implicite de la construction possible d’autant de sous-classes qu’il y a de différences ou de combinaisons entre elles. Mais en termes de morphismes c’est l’élaboration d’une correspondance de puissance supérieure, ou correspondance entre correspondances (équivalences entre différences) :

Nat (7 ;5) pour la plus grande ressemblance avec B3 choisit un X « formé la même chose et les deux rouges. Une différence : B3 est plus petite », puis d’autres X avec aussi une différence, contre un qui en a deux.

Dac (7 ;7) ne compte pas spontanément les différences, mais les énumère à propos des choix de ressemblances : couleur, arrangement des points, [p. 142] leur nombre et finalement la grandeur : d’où X3 comme le plus ressemblant, mais « c’est tous à peu près la même chose différent ». Donc pour B et X3, C5 ou C3 « une différence » et pour B3 et C2 « deux, la grandeur et le nombre ».

Pat (7 ;11) : même réaction initiale d’énumération puis réponses justes pour 1, 2 et 3 différences.

Xan (8 ;4) est plus explicite. A la question de savoir ce qui de X3, C5 et C3 ressemble le plus à B3 il dit : « Attendez, je crois que c’est égal. Le bleu, ça fait une différence (il murmure et compte). Alors ces deux cartes (X3 et C3) ressemblent le plus, les deux ont une différence. — Et C5 ? — Deux différences : la grandeur et… ah non juste la grandeur. (Alors) il va avec… Attendez, là (X3) il y a aussi la couleur des ronds et celle des lignes : ça fait deux différences, alors il va pas avec. » Tout cela est dit avant qu’on pose les questions du nombre des différences, qui sont réussies.

Cla (8 ;5) pour le degré de ressemblance de B3 avec C3, X3 et C5 : « Une le plus ? — Non, les trois sont la même chose. — Laquelle est la plus différente de B3 ? — La même chose les trois. »

Dan (8 ;10). B3 et C5 comparés à C3 sont équivalents en ressemblance parce qu’« il y a une différence, les deux, ils ont chacun une différence ». On passe alors au nombre des différences : il réussit pour 1, 2 et 3. « Et 4 ? — Il n’y en a pas. »

FrÉ (9 ;0). Le plus ressemblant à B4 : « On peut en prendre deux ? — Comme tu veux. — Alors B3 et B5 parce que B4 c’est 4 (points), 3 va à côté du 4 et 5 aussi. — Qu’as-tu regardé ? — Le nombre, la grosseur et la couleur. »

Tia (10 ;1). Le plus ressemblant à B3 : essais variés puis « c’est difficile parce qu’ils sont tous différents », puis, pour « lequel est le plus différent X4 et B3 ? — X4 parce qu’il y a deux différences avec B3 et une différence entre B3 et B2 ».

Une différence entre deux termes A et B est un écart qui peut consister soit en une grandeur ΔAB = B — A si B > A, soit en une propriété a que possède une classe ou sous-classe A et non pas B (mais avec réciprocité possible si B a la qualité b et non pas A). Dans le cas d’une sériation l’équivalence entre les différences successives ΔAB = ΔBC = … est facile à établir, encore qu’à l’étape II, les sujets Ana et Rio ne voient pas que 1 de plus équivaut à 1 de moins (ce qu’explicite par contre Fré dans les cas cités ici). En revanche, lorsqu’il s’agit de différences qualitatives ou hétérogènes, dire comme tous ces sujets que des différences de grandeur, couleur ou quantité de points s’équivalent, cela revient au moins implicitement à supposer qu’elles peuvent donner lieu à des subdivisions en sous-classes, le nombre de celles-ci étant indépendant de leurs [p. 143] contenus respectifs, et chacune ayant donc le même rang que les autres.

Ce niveau marque ainsi la synthèse des ressemblances et des différences, celles-ci donnant lieu à des équivalences et le degré des ressemblances se mesurant au nombre des différences. Ce double progrès constitutif de morphismes à partir des correspondances incomplètes initiales est assurément dû à des transformations et celles-ci ne sont pas difficiles à imaginer puisque cette étape III coïncide avec le niveau des opérations concrètes, donc du maniement opératoire des classes et des sériations, de même que l’étape II correspondait au niveau des collections et l’étape I à celui des simples assemblages. Or, si la constitution des groupements de classes et de relations est assurément préparée par des correspondances antérieures, il va de soi que, une fois élaborés, ils dirigent les mises en correspondance et deviennent donc sources de morphismes proprement dits.

Après les interrogations du début sur les ressemblances et différences que l’on vient d’analyser dans les § § 1 à 3, on réunit l’ensemble des cartes en vrac et on demande au sujet de les arranger comme il l’entend. Nous serons brefs quant à ces résultats, puisqu’ils ne nous présentent pas de nouveaux types de correspondances, mais il est utile de les mentionner car ils confirment ce que nous venons de supposer des relations entre l’évolution précédente et la construction des structures préopératoires et opératoires.

Les réactions de l’étape I ne consistent qu’en assemblages locaux sans critère général sinon en paroles :

Oli (4 ;7) fait trois alignements successifs où il mélange en fait les grandeurs sans que rien ne les distingue l’un de l’autre, puis prétend : « J’ai mis le moyen, le moyen et le moyen ensemble, les grands carrés ensemble (ce qui n’est justement pas le cas), les moyens carrés à la même forme, les moyens petits carrés », etc.

Mar (4 ;11) se laisse d’abord guider par les nombres 1 à 4 mais sans s’occuper des 5 puis met les restantes au hasard tout en prétendant qu’il a « mis les mêmes couleurs ».

Il y a donc bien là le correspondant des mélanges locaux de ressemblances et différences que nous avons noté au § 1.

[p. 144] De même à l’étape II correspondent les collections et sériations mais sans système d’ensemble :

Yar (5 ;9) fait trois séries : « Ça c’est par les nombres 1,2, 3, 4, 5, ça c’est par grandeurs, pour rapetisser et c’est aussi par grandeurs mais pour agrandir. — Ici A1 et C1 sont différents ? — Non il faudrait donner le tout petit là-bas. »

Val (5 ;11) fait 5 colonnes de 3 : « J’ai mis les 2 (ronds) et les 2, j’ai mis les 4 et les 4, le 5 et le 3 ; j’ai mis de côté 3 et 3 ; puis les six 1 je les ai mis à côté. »

Dan (6 ;7) fait deux rangées d’après les nombres et un début de 3^e : « Ici (2^e ligne) il y a quatre 1 et un 2 et dans l’autre (3^e) il y a un 2 tout seul que j’aurais dû mettre à côté de l’autre. » Il le fait et finit la 3^e rangée : « Un 4, un 4 moyen et petit, un grand 1, un 1 moyen, un tout petit 1, un petit carré, un moyen carré, un à grands points, un à petits points, là 2, petit 2, 3, 3, 5, 3. »

En certains cas le sujet cherche un critère unique, comme Val, mais sans ordre, en d’autres, comme chez Yar, il y a deux critères, mais non coordonnés (avec erreurs de sériation et opposition des deux sens de parcours pour introduire de la variété) ; ou enfin, il y a mélange comme chez Dan. Rien de tout cela ne dépasse donc le niveau des petites collections, ce qui correspond bien aux réactions décrites au § 2.

Enfin l’étape III est caractérisée par deux progrès importants confirmant le rôle des opérations transformantes supposé au § 3 : la constitution de classes d’équivalence reposant sur le critère du « tous » et leur ordination avec finalement les séries emboîtées à l’intérieur de ces classes. Voici des exemples, sans avoir besoin de citer quelques cas intermédiaires de 6 ;6 à 7 ;6 qui essaient les emboîtements mais y échouent encore :

Jos (6 ;11) réunit tous les 5 et dit : « Les 5, puis les 4, puis les 3, les 2, les 1, 1, 1, 1, 1, 1. — Et ceux-là tu les a arrangés comment ? — Du plus grand au plus petit. »

Pat (7 ;11) commence par une simple sériation : « 5, puis un de moins : 4, un de moins : 3 », mais elle constate alors la pluralité des 3 et les différences de taille et fait alors comme Jos : « De plus en plus petits les chiffres (par classes) puis les carrés (A, n = 1) de plus en plus petits. »

Cla (8 ;5) généralise par contre la coordination des classes et des séries : « D’abord j’ai mis tous les 1, puis les 2, les 3 jusqu’à 5 et chaque fois j’ai mis du plus petit au plus grand. »

FrÉ (9 ;0) : « J’ai mis par le chiffre, puis après j’ai mis tous les 1 par la grosseur, en descendant, et puis les 2, les 3 par la grosseur des cadres et puis le 4 (seul présenté) pour le chiffre. — Tu peux les mettre en 3 tas ? — (Il [p. 145] met tous les B ensemble, donc n = 1 à 5, puis tous les A avec C4, C1 et C5, puis C3 et C2, mêlant donc les chiffres et les grandeurs.) Tu peux faire 3 tas de long ? — Tous les A c’est les 1, quatre B et un C (pour la grandeur) et il en reste juste 5. »

Tia (10 ;1) : « J’ai placé les pions 1 du plus grand au plus petit, puis les pions 2 du plus grand au plus petit, puis 3, 4 et 5 la même chose. »

On voit combien la coordination des relations de ressemblances et différences décrite au § 3 allait de pair avec la construction de structures. A ce niveau correspondances et opérations sont ainsi étroitement coordonnées.

Pour compléter nos informations sur ces relations il a été en outre posé diverses questions. La première a été de faire arranger séparément les trois ensembles A, B et C. Les deux collections A et B ne font pas problème puisqu’elles sont sériables. Quant aux C, ils le sont par la grandeur mais pas par le nombre puisque C3 et C5 ont tous deux n = 3. Dès l’étape II le sujet en est gêné : « On doit enlever C5 et mettre B5 (n = 5) » propose ainsi Yar à 5 ;9. Ou : « Ceux qui avaient la même chose, je les ai mis aux bouts de chaque côté » (Ana 6 ;2) ou plus simplement « mais il y a les ronds … on dit qu’ils ne comptent pas » (Mar 6 ;9). Dès le niveau des sériations empiriques il y a donc exigence d’un bon arrangement final.

Une question plus instructive a consisté, en présentant les A sériables par leurs grandeurs, puis les B et enfin les C, à demander au sujet d’y ajouter (en les dessinant simplement) un élément A0 ou B0 précédant le tout et un autre élément A6 à situer après le dernier :

A l’étape I le sujet dessine bien un A0 « un tout petit. — Pourquoi ? — Parce qu’il est tout petit, puis petit, puis moyen, moyen, moyen puis grand puis moyen » (Oli, 4 ;7). Ce dernier moyen est alors A6 dessiné plus grand que A0 mais en fait plus petit que A2.

A l’étape II, A0 est plus petit que A1 et A6 plus grand que A5 mais sans proportions quant aux grandeurs. De plus le sujet ne coordonne pas avec succès les tailles et les nombres, ajoutant parfois des antisymétries là où il y a équivalences ou l’inverse, mais avec préférence pour les premières. Val (5 ;11) dessine ainsi un B0 : « J’ai mis un zéro dedans (ce qui est juste puisque B1, B2, etc., ont n = 1 ; 2 ; etc.) et je l’ai fait plus petit (alors que les B sont de mêmes grandeurs). » Pour C6 elle met 4 dedans puisque C3 et C5 ont n = 3 : « Et le carré. — Il est plus grand. »

[p. 146] Enfin à l’étape III les équivalences et antisymétries sont toutes deux conservées et le sujet tient compte de toute la série pour déterminer les grandeurs de A0 à A6, en établissant donc, implicitement ou explicitement, une égalité entre les différences successives : Jac (7 ;7) dessine un A0 « encore plus petit (que A1). — Pourquoi un rond ? — Parce qu’il n’y en a qu’un là (A1, etc.), — Et B6 ? — J’en mets 6 (5 ronds à B5). — Et A6 ? — Toute grande », puis, pour que la série reste « belle » : « Ah, il faudrait une plus grande (que dessinée). » Xan (8 ;4) pour B6 : « C’est la même grandeur que les autres avec 6 dedans. — C6 ? — Plus grand que C5 et on peut mettre dedans 6, 5 ou 2 ou 3 (rit) » puisqu’on a C3 = C5 = n3. FrÉ (9 ;0), avant de dessiner C6 évalue la longueur des côtés de C5.

On constate à nouveau combien ces réactions convergent avec ce que nous avons vu de la coordination progressive des relations de différences et d’équivalences. Une dernière question confirme encore cette généralité : celle de savoir à quelles conditions on peut substituer une carte à une autre sans altérer la série (on se rappelle que les substituts X1 et X2 sont situés entre deux grandeurs et que les autres ont des couleurs modifiées).

A l’étape I les sujets négligent, comme il est naturel, soit les exigences d’équivalence, soit celles d’antisymétries et les plus jeunes parfois les deux :

Lyn (4 ;0) remplace ainsi B5 par X1 « parce qu’il est petit comme A1 » et elle l’accepte ensuite en A1. « Mais ils ne sont pas les mêmes ? — Oui, ils sont petits. » Par contre X3 ne va « nulle part, parce qu’il est bleu ». Pour Pie (4 ;6), X5 (n = 3) peut remplacer C3 parce qu’« il y a quelque chose qui change. — Mais la grandeur est juste ? — Oui ». Oli (4 ;7) refuse X2 à la place d’un petit « parce qu’il y aura deux petits » et de même pour les grands mais accepte plusieurs moyens.

A l’étape II le sujet s’en tient à une relation, en général d’antisymétrie et néglige le reste. Yar (5 ;9) utilise X3 « parce que la couleur on ne la dit pas », X4 peut remplacer C3. « Mais il y a 4 ronds ? — Ça ne fait rien. » Puis X1 est mis en C1 : « Mais il est plus petit ? — Ça ne fait rien, on va toujours du plus petit au plus grand. » Pour Val (5 ;11), X1 doit aller « avant A1 » et pas à sa place « sinon on n’arrive pas à faire ce jeu. — Quel jeu ? — Du plus grand pour arriver au plus petit ». Pour Lau (6 ;4), X5 quoique sans point rouge peut remplacer A3 « parce que ça reste exactement bien, ça a la même grandeur ». Idem avec B3 « parce que (les B) c’est tous des moyens ». Dan (6 ;7) néglige aussi consciemment les points : « C’est la grandeur qui va. »

Une fois de plus c’est à l’étape III que les deux sortes de relations sont envisagées, d’abord à tour de rôle puis coordonnées : Nat (7 ;5) dit que tel substitut convient pour la grandeur, un autre « comme chiffre dedans ». Pat (7 ;11) de même dit d’abord « j’ai classé par numéros » puis accepte une grandeur « parce que ça va de plus en plus petit ». Xan (8 ;4) en progrès dit [p. 147] pour X2 : » J’ai regardé le nombre et puis il est plus petit » que le suivant. Cla (8 ;5) soutient que C2 ne peut être échangé avec aucun A ni B « parce que dans les A c’est tous des 1 et dans B tous des grands ». Par contre X3 peut remplacer C3 ou B3 « parce qu’il y a 3 ronds » et la même taille. Cri (10 ;1) donne explicitement la raison de quelques refus : « Non, parce que là aussi il y a deux choses : la grandeur du carré et le nombre de pions. »

Ces faits sont à nouveau conformes à ce qui a montré l’évolution des relations (§ § 1-3), ce qui nous permet de chercher pour conclure les rapports entre les correspondances observées et les transformations.

Qu’il s’agisse de classifications ou de sériations, toutes deux supposent des coordinations entre ressemblances et différences, mais sous des formes distinctes quant aux correspondances de départ et à leurs rapports avec les opérations terminales, car le progrès pour les classes conduit à leur différenciation et pour les différences sériales à leur égalisation en succession. Il s’agira donc, dans ce qui suit, de distinguer une fois de plus deux sortes de différences avec leurs deux sortes de quantifications, d’où deux sortes de correspondances et de transformations. Une différence étant un écart entre deux termes portant sur leurs propriétés, y compris leur grandeur, cet écart peut être antisymétrique B > A et en ce cas répéter par succession entre d’autres termes C > B, etc., d’où une quantification portant sur la grandeur de l’écart ou des écarts successifs : ΔAC = ΔAB + ΔBC, etc. Mais cet écart peut en d’autres cas être symétrique et comporter une loi de réciprocité et non plus de succession : telles sont entre autres les « altérités » ³ (B est cousin de A comme A de B ; ou encore si l’objet A diffère de B par sa couleur, c’est que B a « une autre couleur » que n’a pas A ; etc.). Ce qui importe alors n’est pas la grandeur de l’écart (pouvant être considérée par ailleurs et donner lieu à des enchaînements antisymétriques), mais le [p. 148] nombre de ces solidarités simultanées entre A et d’autres termes, source de sous-classes possibles par différenciation des classes.

1 / Cela rappelé, les correspondances en jeu dans les deux situations sont distinctes et préparent des opérations elles aussi différentes. Si A1, A2 et A3 se ressemblent par une qualité commune a, il y a surjection de ces éléments par rapport à a et multijection réciproque de a à eux et ces applications en compréhension préparent des réunions en collections ou classes A fondées sur ces correspondances et y ajoutant des considérations d’extension. Quant aux sous-collections ou sous-classes les correspondances sont plus complexes. Il y a, d’une part, surjection et multijection entre elles et la classe totale ainsi qu’entre leurs éléments et chacune d’entre elles. Mais, d’autre part, il y a entre elles les relations d’altérités qui présentent une situation spéciale, et que l’on peut caractériser comme suit du point de vue de la compréhension : entre deux sous-collections A et A’ reconnaissables l’une et l’autre à un complexe de qualités réunies, il y a correspondance quant à leurs qualités communes b qui, par ailleurs, définit le tout B (= A + A’) et absence de correspondance quant à leurs qualités différentielles a et a’. Or l’une et l’autre font problème. Leur correspondance sous b caractérise par ailleurs leur multijection en B, mais par rapport aux relations entre A et A’ on pourrait parler de bijection partielle (sous b) entre les éléments de A et ceux de A’, ou encore (mais en compréhension) d’injection de b de A dans le complexe des qualités de A’ : mais alors cette injection est réciproque puisque ^b b de A’ se retrouve dans le complexe de propriétés de A. Nous choisirons donc les termes d’« injection mutuelle » ou « cosurjection » pour cette correspondance entre A et A’ puisqu’à l’injection est toujours liée une sousjection et que précisément ici on ne retrouve pas a en A’ ni a’ en A : la sousjection est donc en ce cas également réciproque et c’est cette double réciprocité qui caractérise l’« altérité »).

Quant aux différences antisymétriques, la situation est en un sens plus simple, car si A < B on peut dire qu’il y a injection de A en B pour la partie de B égale à A et sousjection de B en A, c’est-à-dire non-correspondance pour la partie différentielle [p. 149] B — A = ΔAB = B — A = A’ : or ni cette injection ni cette sous-jection ne sont réciproques au sens de symétriques comme dans le cas des altérités. Par contre, ce qui est nouveau et complexe est que cette correspondance A < B se répète en une succession B < C ; C < D, etc., de telle sorte qu’interviennent deux correspondances nouvelles : 1) à chaque terme correspond un successeur (par opposition aux altérités sans succession des sous-classes de même rang, mais en analogie avec la succession des inclusions A ⊂ B ⊂ C ⊂ … qui constitue une sériation, à en rester aux classes primaires) ; 2) à chaque relation A < B correspond entre les successeurs BC, CD, etc., une relation équivalente <, cette équivalence comportant alors des degrés possibles, sur lesquels il convient d’insister, car certains d’entre eux supposent des transformations.

L’équivalence du degré le plus pauvre ne requiert rien de plus que la lecture des observables : C est plus (grand, etc.) que B comme B l’est de A, mais sans quantification de ces deux écarts ou différences, donc sans que l’on ait ΔAB = ΔBC. Or, on a vu que, même dans le cas de nombres, des sujets de l’étape II comme Rio et Ana (voir le § 2) ne considèrent pas « 1 de plus » comme une différence équivalente à « 1 de moins », et le chapitre V (§ 4) nous a montré qu’à ce niveau de 5-6 ans les sujets ne savent même pas qu’en une sériation de 8 éléments il y en a 7 de moins grands que le dernier s’il y en a 7 de plus grands que le premier. Il y a donc à considérer une première forme d’équivalence où seule la qualité « plus (quelque chose) » se conserve, sans quantification de cet écart. La seconde forme est l’équivalence quantitative simple ou additive : ΔBC = ΔAB, donc ΔAC = 2Δ ; ΔAD = 3Δ, etc. Les troisièmes formes sont les équivalences multiplicatives (en cas de séries exponentielles, etc.).

2 / Nous voici alors en mesure de distinguer dans l’évolution si régulière, quoique si complexe, décrite en ce chapitre, ce qui relève des correspondances et ce qui est dû à l’intervention de transformations. Or, comme dans le cas des classes, les groupements de relations comportent des formes si simples et si proches de leurs contenus que la part des constructions transformantes dues aux activités du sujet semble minime par rapport à ce que fournissent les correspondances quant à [p. 150] l’analyse de ces contenus. En effet, le sujet en présence de notre matériel peut fort bien, par simple lecture (mais à la condition naturellement de penser à tout à la fois et de ne pas oublier une relation quand il passe à une autre) découvrir toutes les ressemblances ou équivalences en jeu, ou toutes les différences qui consistent en altérités et relier les différences antisymétriques jusqu’à construire empiriquement les petites sériations possibles. Les opérations qui apparaissent à l’œuvre à notre étape III ne font apparemment que de prendre acte de ces résultats des mises en correspondance en n’y ajoutant qu’un langage apparemment plus simple.

Mais, à comparer les réactions des étapes II et III on constate deux changements notables dans les attitudes du sujet : l’intervention de quantifications susceptibles de compositions (et consistant donc en formes à la fois transformantes et conservantes) et l’établissement de connexions nécessaires : or, ce sont là les deux principaux critères des transformations. Comme on l’a vu au chapitre V la sériation opératoire comporte trois caractères de nécessité qui font défaut aux sériations empiriques : la récursivité (ou déduction possible d’une relation à partir de la loi de composition), la transitivité et la réciprocité des parcours dans les deux sens ascendant et descendant. C’est ce que l’on retrouve ici. Pour ce qui est de la quantification, et sans revenir sur le réglage du « tous » et du « quelques » nécessaire à la construction des classes d’équivalence et des sous-classes avec leurs altérités, il est clair que l’égalisation des différences antisymétriques ΔBC = ΔAB, etc., n’est pas donnée par la simple composition des applications d’injections et de succession (= « de plus en plus grand », etc.) mais qu’elle suppose une métrique avec composition des unités. De même le dénombrement des différences d’altérités (source de sous-classes possibles) n’est pas donné dans les correspondances qui établissent celles-ci, mais met en jeu au moins implicitement tout l’appareil des opérations de classification avec leurs inclusions et négations partielles.

En un mot, les correspondances initiales fournissent aux actions transformantes et aux opérations un contenu organisé au moyen de formes transformables mais non transformantes, tandis que la réorganisation endogène du niveau opératoire non seulement intègre ces résultats, mais transforme les applications [p. 151] antérieures en morphismes solidaires d’une structure. Celle-ci n’est donc pas tirée de celles-là, mais les reconstruit sur de nouvelles bases, par une fusion de ce qui jusque-là demeurait incoordonné : les correspondances dégageant les régularités d’un contenu exogène et les actions du sujet s’essayant à construire les structures dont l’achèvement dépend du progrès de la composition de ces actions entre elles, donc du développement opératoire.